Корректная разрешимость и спектральный анализ интегродифференциальных уравнений, возникающих в теории вязкоупругости

Аннотация

В работе изучается корректная разрешимость начальных задач для абстрактных интегродифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве, а также проводится спектральный анализ оператор-функций, являющихся символами указанных уравнений. Изучаемые уравнения представляют собой абстрактную форму линейных интегродифференциальных уравнений в частных производных, возникающих в теории вязкоупругости и имеющих ряд других важных приложений. Получены результаты о корректной разрешимости упомянутых интегродифференциальных уравнений в весовых пространствах Соболева вектор-функций со значениями в гильбертовом пространстве, заданных на положительной полуоси. Установлена локализация и структура спектра оператор-функций, являющихся символами этих уравнений.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Работа посвящена исследованию интегродифференциальных уравнений с неограниченными опе- раторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Рассматриваемые уравнения пред- ставляют собой абстрактное гиперболическое уравнение, возмущенное слагаемыми, содержа- щими вольтерровы интегральные операторы. Эти уравнения могут быть реализованы как ин- тегродифференциальных уравнения в частных производных, возникающие в теории вязко- упругости (см. [17, 32], а также как интегродифференциальные уравнения Гуртина-Пипкина (см. [17, 29, 36]), которые описывают процесс распространения тепла в средах с памятью с конеч- ной скоростью; кроме того, указанные уравнения возникают в задачах усреднения в многофазных средах (закон Дарси) (см. [5, 13, 14]). Перечисленные задачи можно объединить в достаточно широкий класс интегродифференциаль- ных уравнений в частных производных, поэтому более естественно рассматривать интегродиффе- ренциальные уравнения с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовых про- странствах (абстрактные интегродифференциальные уравнения), которые могут быть реализованы как интегродифференциальные уравнения в частных производных. В настоящее время существует обширная литература по абстрактным интегродифференциальным уравнениям (см., например, ра- боты [2-11, 18, 25-27, 33-42] и цитированную в них литературу). В работах [1-3, 25-27, 33, 41, 42] (см. также цитированную в них литературу) изучались интегродифференциальные уравнения, главной частью которых является абстрактное параболическое уравнение. Интегродифференци- альные уравнения, главной частью которых является абстрактное гиперболическое уравнение, изучены в меньшей степени (см, например, [4, 7-11, 28, 34, 39, 40]). Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство, A - самосопряженный положительный оператор, A∗ = A ); κ0I (κ0 > 0), действующий в пространстве H, имеющий компактный об- ратный. Пусть B - симметрический оператор (Bx, y) = (x, By) , действующий в пространстве H с областью определения Dom (B) (Dom (A) ⊆ Dom (B)), неотрицательный, (Bx, x) ); 0 для лю- бых x, y ∈ Dom (B) и удовлетворяющий неравенству lBxl :( κ lAxl , 0 < κ < 1 для любого x ∈ Dom (A) , I - тождественный оператор в пространстве H. Рассмотрим следующую задачу для интегродифференциального уравнения второго порядка на положительной полуоси R+ = (0, ∞): d2u(t) dt2 + Au(t) + Bu(t) - t r K(t - s)Au(s)ds - 0 t r Q(t - s)Bu(s)ds = f (t), t ∈ R+, (1.1) 0 u(+0) = ϕ0, u(1)(+0) = ϕ1. (1.2) Предположим, что ядра интегральных операторов K(t) и Q(t) имеют следующее представление: ∞ ∞ K(t) = \\"" ak e-γk t, Q(t) = \\"" bk e-γk t, (1.3) k=1 k=1 где коэффициенты ak > 0, bk ); 0, γk+1 > γk > 0, k ∈ N, γk → +∞ (k → +∞). Кроме того, будем считать, что выполнены условия ∞ \\"" ak < 1, γk k=1 ∞ \\"" bk γk k=1 < 1. (1.4) Условие (1.4) означает, что K(t), Q(t) ∈ L1(R+), lKlL1 < 1, lQlL1 < 1. Если к условиям (1.4) добавить также условия ∞ ∞ K(0) = \\"" ak < +∞, Q(0) = \\"" bk < +∞, (1.5) k=1 k=1 1 тогда ядра K(t) и Q(t) будут принадлежать пространству W 1(R+). Интегродифференциальное уравнение (1.1) представляет собой абстрактную форму динамиче- ского уравнения вязкоупругости, где операторы A и B порождаются следующими дифференциаль- ными выражениями: A = -ρ-1μ (Δu + grad(divu)) , B = -ρ-1λ grad(divu), где u = uu(x, t) ∈ R3 - вектор перемещений вязкоупругой наследственной изотропной среды, сре- да заполняет ограниченную область Ω ⊂ R3 с достаточно гладкой границей ∂Ω, ρ - постоянная плотность, ρ > 0, коэффициенты Ламе λ, μ - положительные постоянные, K(t), Q(t) - функции релаксации, характеризующие наследственные свойства среды. На границе области ∂Ω выполня- ется краевое условие Дирихле u|∂Ω = 0. (1.6) 2 В качестве пространства H рассматривается пространство трехмерных вектор-функций L2(Ω). Область определения Dom(A) принадлежит векторному пространству Соболева W 2(Ω) и есте- ственно выделяется краевым условием (1.6). Условия (1.4) имеет конкретный физический смысл (подробнее см. [15, 20]). В случае, когда оператор B = 0 и самосопряженный положительный оператор A может быть реализован как Ay = -y//(x), где x ∈ (0, π), y(0) = y(π) = 0, либо как Ay = -Δy с условиями Дирихле в ограниченной области с достаточно гладкой границей, уравнение (1.1) представляет собой абстрактную форму уравнения Гуртина-Пипкина, описывающего процесс распространения тепла в средах с памятью с конечной скоростью. Другой класс приложений - это задачи усреднения в многофазных средах, где одной из фаз является упругая (или вязкоупругая) среда, а другой - вязкая (сжимаемая или несжимаемая) жидкость (подробнее см. [21, 22]). Задача усреднения состоит в том, чтобы построить эффектив- ную (усредненную) модель такой двухфазной среды, в которой отдельные включения той или иной фазы быстро чередуются при изменении пространственных переменных. Предварительные иссле- дования показывают, что одномерная модель распространения колебаний в такой усредненной (го- могенизированной) среде в абстрактной форме может быть записана как операторное уравнение, рассматриваемое в данной работе. Следует также отметить, что уравнения рассматриваемого вида возникают в физических зада- чах. К уравнениям, близким по форме к рассматриваемым в этой статье, относится ряд уравнений и систем уравнений, возникающих в кинетической теории газов. В этих задачах интегральные сла- гаемые играют роль вязкости. Такое операторное представление вязкости возникает при выводе уравнений газовой динамики непосредственно из законов взаимодействия молекул (см. [19]). 24 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН Рассматривая преобразование Лапласа уравнения (1.1) при однородных начальных условиях, получаем оператор-функцию L(λ) = λ2I + A + B - Kˆ (λ)A - Qˆ(λ)B, (1.7) которая является символом этого уравнения. Здесь Kˆ (λ) и Qˆ(λ) - преобразования Лапласа ядер K(t) и Q(t) соответственно, имеющие представления ∞ Kˆ (λ) = \\"" k=1 ak , (λ + γk ) ∞ Qˆ(λ) = \\"" k=1 bk (λ + γk ) . (1.8) В предлагаемой работе мы устанавливаем корректную разрешимость начальной задачи для урав- нения (1.1) в весовых пространствах Соболева на положительной полуоси и исследуем вопрос о локализации спектра для оператор-функции L(λ), являющейся символом указанного уравнения. В наших предшествующих работах [4, 6-11, 39, 40] проводилось подробное исследование зада- чи (1.1), (1.2) в случае, когда оператор B = 0. Наш подход к исследованию основывался на спек- тральном анализе оператор-функции (1.7), который также дает возможность получить результат о корректной разрешимости и представление решения указанной задачи в виде ряда по экспонен- там, соответствующим точкам спектра оператор-функции L(λ). Отметим также, что результаты работ [4, 6, 8-11, 39, 40] подытожены в главе 3 монографии [7]. Следует отметить, что метод, используемый нами для доказательства корректной разрешимости начальных задач для абстрактных интегродифференциальных уравнений, существенно отличается от более традиционного подхода, использованного Л. Пандольфи в работе [38], где разрешимость изучается в функциональном пространстве на конечном временном интервале (0,T ). В нашей ра- 2,γ боте разрешимость изучается в весовых пространствах Соболева W 2 (R+, A0) вектор-функций на положительной полуоси R+, где A0 - положительный самосопряженный оператор в гильбер- товом пространстве. Доказательство нашей теоремы 2.1 о разрешимости существенно использует 2,γ гильбертову структуру пространств W 2 (R+, A0), L2,γ (R+,H), а также теорему Пэли-Винера, в то время как в работе [38] рассмотрения проводятся в банаховом функциональном пространстве гладких функций на конечном временном интервале (0,T ). На протяжении всей работы выражение вида D ;S E подразумевает неравенство D :( cE, выполненное с некоторой положительной константой c, выражение D ≈ E означает D ;S E ;S D. Мы используем символы := и =: для введения новых величин. Введем обозначения: ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ ∞ ∞ a := \\"" ak , b := \\"" bk , A0 := A + B. (2.1) k=1 k=1 Согласно известному результату [31, с. 361], оператор A0 является самосопряженным и положи- тельным. Превратим область определения Dom(Aβ ) оператора Aβ , β > 0 в гильбертово простран- 0 0 ство Hβ , введя на Dom(Aβ ) норму l· lβ = lAβ · l, эквивалентную норме графика оператора Aβ . 0 0 0 Замечание 2.1. Из свойств операторов A и B следует, что оператор A0 является обратимым, операторы AA-1, BA-1 - ограниченные, а оператор A-1 - компактный. 0 0 0 2,γ Корректная разрешимость. Через W n (R+, A0) обозначим пространство Соболева вектор- функций на полуоси R+ = (0, ∞) со значениями в H, снабженное нормой 1/2 \\ 2 ⎛r∞ (1 12 ⎞ lulW n ≡ ⎝ e-2γt 1u(n)(t)1 + lA0u(t)l dt⎠ , γ ); 0. 2,γ (R+,A0) 0 1 1H H 2,γ Подробнее о пространствах W n 2,γ (R+, A0) см. [16, глава 1]. При n = 0 полагаем W 0 (R+, A0) ≡ L2,γ (R+ 2,0 ,H) , при γ = 0 будем писать W n 2 = W n. КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 25 Определение 2.1. Будем называть вектор-функцию u сильным решением задачи (1.1), (1.2), ес- 2,γ ли она принадлежит пространству W 2 (R+, A0) для некоторого γ ); 0 (A0 = A + B), удовлетворяет уравнению (1.1) почти всюду на полуоси R+ и начальному условию (1.2). Следующая теорема дает нам достаточное условие корректной разрешимости задачи (1.1), (1.2). Теорема 2.1. Пусть выполнено условие (1.5), f/(t) ∈ L2,γ0 (R+,H) для некоторого γ0 ); 0 и f (0) = 0, кроме того, ϕ0 ∈ H1, ϕ1 ∈ H1/2. Тогда существует такое γ1 ); γ0, что для 2,γ любого γ > γ1 задача (1.1), (1.2) имеет единственное решение в пространстве W 2 (R+, A0) , удовлетворяющее неравенству (1 1 1 1/2 1 \\ lulW 2 :( d 1f/(t)1L (R ,H) + lA0ϕ0lH + 1A0 ϕ11 , (2.2) 2,γ (R+,A0) 2,γ + 1 1H где константа d не зависит от вектор-функции f и векторов ϕ0, ϕ1. Спектральный анализ. Перейдем к изучению структуры спектра оператор-функции L(λ) в случае, когда выполнены условия (1.4), (1.5), а также следующие условия: k sup γ2(γk+1 - γk ) = +∞ (2.3) и существует предел k∈N lim k→∞ γk - γk-1 γk = 0. (2.4) Замечание 2.2. Условие (2.4) выполняется в случае степенного поведения последовательности k=1 {γk }∞ , т. е. когда γk kα, α > 0. В этом случае γk - γk-1 γk α ∼ k → 0, (k → ∞). В задачах k=1 усреднения в многофазных средах последовательности {γk }∞ являются последовательностями собственных значений некоторых вспомогательных эллиптических задач и поэтому имеют степен- ную асимптотику (подробнее см. [5, 13, 14]). В свою очередь, условие (2.4) не выполняется, если k=1 последовательность {γk }∞ ведет себя как геометрическая прогрессия со знаменателем большим единицы, т. е. γk = cqk , q > 1, c > 0. Подобное поведение членов последовательности γk реже встречается в приложениях. Теорема 2.2. Пусть выполнены условия (1.4), (1.5), (2.3), (2.4). Тогда спектр оператор- функции L(λ) принадлежит объединению интервалов Δk = (-γk , p˜k ) ⊂ (-γk , -γk-1), k ∈ N (γ0 = 0) и полосы {λ ∈ C|α1 :( Re λ :( α2} , где p˜k = max {pk (τ /), pk (τ //)} , pk (τ ) - вещественные корни уравнения ∞ ∞ Φτ (p) := τ \\"" ak (p + γk )-1 + (1 - τ ) \\"" bk (p + γk )-1 = 1 (0 :( τ :( 1), k=1 k=1 1 1/2 -1/21-1 // принадлежащие интервалам (-γk , -γk-1), k ∈ N (γ0 = 0), τ / := 1A- A0A 1 , τ := 1 1 -1/2 1 -1/21 1A0 AA0 1 (0 < τ/ < τ // :( 1) , ∞ 1 \\"" ((ak A + bk B)f, f ) ∞ 1 \\"" ((ak A + bk B)f, f ) 2 α1 = - sup 1f 1=1 k=1 , α2 = - inf ((A + B)f, f ) 2 1f 1=1 k=1 k ((A + B + γ2I)f, f ) , f ∈ D(A). Замечание 2.3. Согласно [23, лемма 2.1] оператор A-1/2BA-1/2 допускает ограниченное за- мыкание в пространстве H. Отсюда следует, что оператор A-1/2A0A-1/2 = I + A-1/2BA-1/2 допускает ограниченное замыкание в H. В свою очередь, в силу упомянутой [23, лемма 2.1] и самосопряженности оператора A0 = A + B оператор A-1/2AA-1/2 также допускает ограниченное 0 0 замыкание в пространстве H. Таким образом, величины τ / и τ //, фигурирующие в формулировке теоремы 2.2, определены корректно. Теорема 2.3. Невещественный спектр оператор-функции L(λ) симметричен относительно вещественной оси и состоит из собственных значений конечной алгебраической кратности, причем для любого ε > 0 в области Ωε := C\\ {λ : α1 :( Re λ :( α2, | Im λ| < ε} собственные зна- чения являются изолированными, т. е. не имеют точек накопления. 26 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН Отметим, что оператор-функция вида (1.7) в случае конечного числа слагаемых в представле- нии (1.8) (ak = bk = 0, k > N, N ∈ N) изучалась в [18]. Теоремы 2.2, 2.3 представляют собой естественное развитие результатов работы [18]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.1 Вначале докажем теорему 2.1 в случае однородных (нулевых) начальных условий (ϕ0 = ϕ1 = 0). Для доказательства корректной разрешимости задачи (1.1), (1.2) используем преобразование Ла- пласа. Напомним основные определения и утверждения, которые будут использоваться далее. Определение 3.1. Назовем пространством Харди H2(!Rλ > γ, H) класс вектор-функций fˆ(λ) со значениями в H, голоморфных (аналитических) в полуплоскости {λ ∈ C : !Rλ > γ ); 0}, для которых +∞ r 1 12 sup 1fˆ(x + iy)1 dy < ∞ (λ = x + iy). (3.1) x>γ 1 1H -∞ Сформулируем хорошо известную теорему Пэли-Винера для вектор-функций в пространстве Харди H2(!Rλ> γ, H). Теорема (Пэли-Винер). Пространство H2(!Rλ> γ, H) совпадает с множеством вектор-функций (преобразований Лапласа), представимых в виде fˆ(λ) = 1 √2π где f (t) ∈ L2,γ (R+,H) , λ ∈ C, !Rλ>γ ); 0. r∞ e-λtf (t)dt, (3.2) 0 Для любой вектор-функции fˆ(λ) ∈ H2(!Rλ> γ, H) существует и единственно представле- ние (3.2), где вектор-функция f (t) принадлежит пространству L2,γ (R+,H) и справедлива формула обращения +∞ 1 r ˆ (γ+iy)t f (t) = √2π -∞ f (γ + iy)e dy, t ∈ R+, γ ); 0. (3.3) Для вектор функций fˆ(λ) ∈ H2(!Rλ > γ, H) и f (t) ∈ L2,γ (R+,H) , связанных соотношени- ем (3.2), справедливо равенство +∞ +∞ r 1 12 r 2 2 lfˆ 2 ≡ sup 1fˆ(x + iy)1 dy = e-2γt lf (t)l dt ≡ lf l . (3.4) lH2( λ>γ,H) x>γ 1 1H -∞ 0 H L2,γ (R+,H) Сформулированная теорема Пэли-Винера хорошо известна для скалярных функций и имеет естественное обобщение для вектор-функций со значениями в сепарабельном гильбертовом про- странстве. Доказательство теоремы 2.1. Преобразование Лапласа сильного решения задачи (1.1), (1.2) с начальными условиями u(+0) = 0, u(1)(+0) = 0 имеет следующее представление: uˆ(λ) = L-1(λ)fˆ(λ). (3.5) Здесь оператор-функция L(λ) является символом уравнения (1.1) и имеет вид (1.7), fˆ(λ) - преоб- разование Лапласа вектор-функции f (t), I - тождественный оператор в пространстве H. Пусть f/(t) ∈ L2,γ2 (R+,H) , f (0) = 0. Для доказательства теоремы 2.1 достаточно доказать, что вектор-функции λ2uˆ(λ) и A0uˆ(λ) принадлежат пространству Харди H2(!Rλ> γ, H) для некоторого 2 γ > γ0 ); 0. Тогда по теореме Пэли-Винера мы получим, что вектор-функции d u dt2 и A0u(t) 2,γ принадлежат пространству L2,γ (R+,H) и, следовательно, u(t) ∈ W 2 (R+, A0) . Таким образом, КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 27 будет доказана корректная разрешимость задачи (1.1), (1.2) с однородными начальными условиями 2,γ в пространстве W 2 (R+, A0) . В дальнейших рассуждениях мы будем опираться на следующие леммы. Лемма 3.1. Существует такое γ > 0, что справедливо неравенство 1 1 11 const 1 sup 1 A0(λ2I + A0)- 1 < τ , λ = τ + iν. (3.6) 1 Re λ>γ>0 1 λ 1 Доказательство. Принимая во внимание, что оператор A0 самосопряженный, используем спек- тральную теорему (см. [31, с. 452-453]). Положим λ = τ +iν (τ, ν ∈ R) и a ∈ σ(A0) ⊂ [κ0, +∞), т. е. a принадлежит спектру оператора A0. Согласно утверждению спектральной теоремы, достаточно установить следующую оценку: a (τ 2 + ν2)1/2((τ 2 - ν2)+ a)2 + 4τ 2ν2)1/2 Для этого оценим снизу функцию const :( τ , τ ); γ > 0. (3.7) f (a, τ, ν) = (τ 2 + ν2)((τ 2 - ν2)+ a)2 + 4τ 2ν2). Пусть константа d ∈ (0, 1), тогда имеет место следующая оценка: ( f (a, τ, ν) ); min min f (a, τ, ν), min f (a, τ, ν) ); Следовательно, ν2∈[0, da] ν2∈[da,+∞] ); min {τ 2(τ 2 + (1 - d)aτ 2)2, (τ 2 + da)4daτ 2 . a г 1 1 l (f (a, τ, ν))1/2 :( a max √ , (τ 2 + (1 - d)a)τ (τ 2 + da)1/22 ⎡ :( daτ ⎤ :( max ⎢ 1 ( τ 2 1 \\ , г 1 1/2 ⎥ :( max , 1 l . (3.8) dτ ( τ τ ⎣ a + (1 - d) √ 2 2 a + d\\ ⎦ τ (1 - d) 2τd Полагая d = 1/3 в неравенстве (3.8), мы получаем искомую оценку (3.7). Лемма доказана. Лемма 3.2. Предположим, что выполнено условие теоремы 2.1. Тогда существует такое γ > 0, что оператор-функция (I - V (λ))-1 , где 1 V (λ) = Kˆ (λ)A(λ2I + A0)- 1 + Qˆ(λ)B(λ2I + A0)- (3.9) является аналитической в правой полуплоскости {λ : Re λ> γ} и справедливо следующее нера- венство: 1 1 sup 1(I - V (λ))-11 :( const. (3.10) λ:Re λ>γ 1 1 Доказательство. Используя условия (1.5), легко показать, что имеют место неравенства sup Kˆ (λ) = sup ∞ \\"" a ⎛ ∞ ⎞ \\"" 1 K(0) Re λ>0 Re λ>0 j :( ⎝ j aj ⎠ sup Re λ>0 :( , (3.11) 1 sup Qˆ(λ) = sup j=1 ∞ \\"" (λ + γ ) b j=1 ⎛ ∞ ⎞ \\"" |λ + γ | 1 |λ| Q(0) j :( bj sup :( . (3.12) Re λ>0 Re λ>0 j=1 (λ + γj ) ⎝ j=1 ⎠ Re λ>0 |λ + γ1| |λ| Затем из леммы 3.1 получаем, что существует такое γ∗ > 0, что для всех Re λ > γ∗ справедливы оценки 1 - 1 1 ˆ 2 11 1 - 1 11 1 2 11 0 1 1K(λ)A(λ I + A0) 1 :( Kˆ (λ) 1AA- 1 1A0(λ I + A0) 1 :( 1 1 11 const 1 1 ( λ 1 0 )- 1 :( |K(0)| 1AA-11 1 A0 1 λ2I + A0 1 :( 1 Re λ . (3.13) 28 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН 1 - 1 1 ˆ 2 11 1 - 1 11 1 2 11 0 1 1Q(λ)B(λ I + A0) 1 :( Qˆ(λ) 1BA- 1 1A0(λ I + A0) 1 :( 1 1 11 const 0 :( |Q(0)| 1BA-11 1 A0 λ2I + A0 1 :( . (3.14) 1 Объединяя оценки (3.13), (3.14), получаем const 1 1 ( 1 λ )- 1 1 Re λ lV (λ)l :( , Re λ> γ∗. (3.15) Re λ Следовательно, возможно выбрать такое γ > 0, что имеет место оценка Лемма доказана. sup Re λ>γ lV (λ)l < 1. Лемма 3.3. Справедлива следующая оценка 1 11 1 - 2 1 1 1λ(λ I + A0) 1 :( |Re λ| . (3.16) Доказательство. Пусть параметр a принадлежит спектру оператора A0. Используя спектральную теорему, нетрудно получить следующую цепочку неравенств: 1/2 1 (τ 2 + ν2) 1 - 2 ( 2 √ 2 λ(λ + a) = τ 2 + (ν + √a)2 \\1/2( τ + (ν - a) \\1/2 :( |τ | , λ = τ + iν. Таким образом, получаем оценку (3.16). Лемма доказана. Теперь используем леммы 3.1-3.3 и следующее представление: uˆ(λ) = 1 г( λ λ2I + A0 )-1 ( 1 I - Kˆ (λ)A(λ2I + A0)- - Qˆ(λ)B(λ2I + A0) -1\\-1 l λf (λ) . (3.17) Покажем, что вектор-функции λ2uˆ(λ) и A0uˆ(λ) принадлежат пространству Харди H2 (Re λ> γ, H) . По условию теоремы f/(t) ∈ L2,γ (R+,H) и f (0) = 0, следовательно, вектор-функция λfˆ(λ) принад- лежит пространству Харди H2 (Re λ> γ0,H) . Из лемм 3.1-3.3 вытекает, что оператор-функция 1 г( 2 -1 ( 2 -1 2 -1\\-1l A0 λ λ I + A0) I - Kˆ (λ)A(λ I + A0) - Qˆ(λ)B(λ I + A0) является ограниченной и аналитической в полуплоскости {λ : Re λ> γ} . Выберем γ1 = max(γ0, γ). Следовательно, вектор-функция A0uˆ(λ) принадлежит пространству Харди H2 (Re λ> γ1,H) . Кро- ме того, справедлива следующая оценка: 1 1 1 1 ( 2 )-1 -11 lA0uˆ(λ)lH2(Re λ>γ1,H) :( sup 1A0 λ I + A0 (I - V (λ)) 1 · lλf (λ)lH2(Re λ>γ1,H). (3.18) Re λ>γ1 1 λ 1 По теореме Пэли-Винера имеем следующую оценку: 1 1 1 (R lA0u(t)lL2,γ + ,H) :( const1f/(t)1L 2,γ1 (R+ ,H). (3.19) Таким образом, из леммы 3.3 получаем, что оператор-функция λ(λ2I + A0)-1(I - V (λ))-1 яв- ляется ограниченной и аналитической в полуплоскости {λ : Re λ> γ} . Следовательно, вектор- функция λ2uˆ(λ) ∈ H2 (Re λ> γ1,H) и справедлива следующая оценка: 1 1 1 ( )-1 1 1λ2uˆ(λ)1 :( sup 1λ λ2I + A0 H2(Re λ>γ1,H) (I - V (λ))-11 · lλf (λ)l . (3.20) H2(Re λ>γ1,H) Re λ>γ1 1 1 По теореме Пэли-Винера получаем следующую оценку: 1 d2u 1 1 1 1 1 1 1 :( const1f/(t)1L (R ,H). (3.21) 1 dt2 1L 2,γ1 (R+ ,H) 2,γ1 + Используя неравенства (3.19) и (3.21), получаем оценку lu(t)lW 2 :( const1f/(t)1 . (3.22) 2,γ1 (R+,A0) 1 1L2,γ1 (R+,H) КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 29 Таким образом, мы доказали теорему 2.1 для однородных начальных условий (1.2). Рассмотрим теперь общий случай, а именно задачу (1.1), (1.2) с ненулевыми начальными усло- виями ϕ0 и ϕ1. Будем искать решение задачи (1.1), (1.2) в виде u(t) = cos(A1/2t)ϕ0 + A-1/2 sin(A1/2t)ϕ1 + ω(t), 0 0 0 где ω(t) - неизвестная вектор-функция. Тогда вектор-функция ω(t) является решением следующей задачи с однородными начальными условиями: t d2ω(t) r dt2 + A0ω(t) - 0 t r K(t - s)Aω(s)ds - 0 Q(t - s)Bω(s)ds = f1(t), t ∈ R+, (3.23) ω(+0) = ω(1)(+0) = 0, (3.24) где f1(t) = f (t)+ h(t) и вектор-функция h(t) имеет вид t r ( 1/2 -1/2 1/2 \\ h(t) = 0 K(t - s)A cos(A0 s)ϕ0 + A0 sin(A0 s)ϕ1 t ds+ r ( 1/2 -1/2 1/2 \\ + Q(t - s)B 0 cos(A0 s)ϕ0 + A0 sin(A0 s)ϕ1 ds. (3.25) Достаточно доказать, что h/(t) ∈ L2,γ0 (R+,H) и h(0) = 0. Интегрируя по частям, получаем следу- ющее представление для вектор-функции h/(t): h/(t) = g1(t)+ Ag2(t)+ Bg3(t), (3.26) где g1(t) = K(t)Aϕ0 + Q(t)Bϕ0, t r ( 1/2 1/2 1/2 \\ g2(t) = 0 t K(t - s) -A0 sin(A0 s)ϕ0 + cos(A0 s)ϕ1 ds, (3.27) r ( 1/2 1/2 1/2 \\ g3(t) = 0 Q(t - s) -A0 sin(A0 s)ϕ0 + cos(A0 s)ϕ1 ds. Далее, интегрируя по частям, имеем t r e-γj (t-s) cos(A1/2 2 1 ( ( 1/2 -γj t \\ 1/2 1/2 \\ 0 s)ds = (A0 + γj I)- 0 t r γj cos(A0 t) - e I + A0 sin(A0 t) , e-γj (t-s) sin(A1/2 2 1 ( 1/2 ( -γj t 1/2 \\ 1/2 \\ 0 s)ds = (A0 + γj I)- A0 e 0 I - cos(A0 t) + γj sin(A0 t) . (3.28) В дальнейшем нам понадобится следующее предложение. Предложение 3.1. Справедливо неравенство ∈ 1 1( 2 )-112 1 -2 1 1 - 1/21 1 1 A0 + γj I 1H ;S γj 1A0 1 , j N. (3.29) H Действительно, для любого вектора x ∈ H такого, что lxlH = 1, справедлива следующая цепочка неравенств: 1 1( 2 1 )-1 12 ∞ \\"" ( 2)-2 ∞ 2 \\"" ( 1/2 \\-2 1 2 1 -1 1 -1/2 12 1 A0 + γj I x1H = n=1 an + γj |xn| ;S n=1 γj an |xn| = 1γj A0 x1H , j=1 где xn = (x, en), n ∈ N и {ej }∞ - ортонормированный базис, составленный из собствен- ных векторов самосопряженного оператора A0, соответствующих собственным значениям aj : 30 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН A0ej = aj ej , j ∈ N. Собственные значения aj упорядочены по возрастанию с учетом кратности: 0 < a1 :( a2 :( ... ; an → +∞ as n → +∞. Далее будем использовать следующие известные оценки: 1/2 1/2 l cos(A0 t)lH :( 1, l sin(A0 t)lH :( 1, t ∈ R+. (3.30) Будем считать, что выполнено условие (1.5) и начальные векторы удовлетворяют следующим усло- виям: ϕ0 ∈ D(A0), ϕ1 ∈ D(A0). На основе соотношений (3.28) оценим нормы вектор-функций lg1(t)lL2,γ (R+,H) , lAg2(t)lL2,γ (R+,H) , lBg3(t)lL2,γ (R+,H) . Будем использовать следующее замеча- ние. Замечание 3.1. Из определения оператора A0 следуют очевидные неравенства lAxlL2,γ (R+,H) :( lA0xlL2,γ (R+,H) , x ∈ Dom(A0) lBxlL2,γ (R+,H) :( lA0xlL2,γ (R+,H) . (3.31) Опираясь на замечание 3.1, оценим вектор-функции A0g2(t) и A0g3(t). Имеет место следующая оценка: 1 1 ∞ lg1(t)lL (R ,H) = \\"" 1 2,γ + 1 1 1j=1 aj e- γj t Aϕ0 + ∞ \\"" j=1 bj e- γj t 1 1 1 Bϕ01 1 1L2,γ (R+,H) :( lA0ϕ0lH . (3.32) Используя соотношения (3.28), получим для вектор-функции A0g2(t) следующее представление: t A0g2(t) = \\"" aj e-γj (t-s)A0 (-A1/2 sin (A1/2s\\ ϕ0 + cos (A1/2s\\ ϕ1\\ = 0 j=1 0 0 0 ds ∞ j = \\"" aj A0 (A0 + γ2I)- A1/2 1 ( 1/2\\( -A0 0 (e-γj tI - cos A1/2t ( \\\\ 0 + γj sin 0 t (A1/2 \\\\ ϕ0+ j=1 ∞ j 1 ( + \\"" aj A0 (A0 + γ2I)- γj (cos 0 t (A1/2 \\ - e-γj tI\\ 0 + A1/2 sin 0 t (A1/2 \\\\ ϕ1. j=1 Предложение 3.2. Справедливы неравенства 1 11 - 2 1 1 1A0 (A0 + γj I) 1H :( 1, j ∈ N. На основе предложений 3.1, 3.2 и неравенств (3.30) получаем следующие оценки: 1 1 ∞ 1 lA0g2(t)lH :( 1\\"" aj A0 (A0 + γ2I)- 1 1 A0e-γj tϕ01 + 1 j 1 1 1 1j=1 1H 1 1 1 1 1 1 1 ∞ 1 +1\\"" aj A0 (A0 + γ2I)- A0 cos (A1/2t\\ ϕ01 ∞ 1 +1\\"" aj γj A0 (A0 + γ2I)- t A1/2 sin (A1/2 \\ 1 ϕ01 + 1 1 1j=1 1 1 ∞ j 0 1 1 1H 1 1 1 1 1 ∞ 1 1 1j=1 j 0 0 1 1 1H 1 1 1 + 1\\"" aj γj A0 (A0 + γ2I)- e-γj tϕ11 + 1\\"" aj γj A0 (A0 + γ2I)- cos (A1/2t\\ ϕ11 + 1 1 1j=1 1 1 ∞ j 1 1 j 0 1 1 1 1 1H 1j=1 1H 1 1 1 ∞ ∞ + 1\\"" aj A0 (A0 + γ2I)- A1/2 sin ( 1/2t\\ ϕ11 ;S \\"" aj lA0ϕ0l + \\"" aj 1A1/2ϕ11 . (3.33) 1 1 1j=1 j 0 A0 1 1 1 j=1 H 1 1 0 H 1 1H j=1 Абсолютно аналогично получаем оценку для вектор-функции Bg3(t): ( 1 1/2 1 \\ lBg3(t)lH :( lA0g3(t)lH :( const lA0ϕ0lH + 1A0 ϕ11 . 1 1H КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 31 Объединяя неравенства (3.32)-(3.33), получаем следующую оценку: ( 1 1/2 1 \\ lg1(t)lH + lAg2(t)lH + lBg3(t)lH :( const lA0ϕ0lH + 1A0 ϕ11 . (3.34) 1 1H Из представления (3.25) и оценки (3.33) получаем, что вектор-функции A2g2(t), Bg3(t) принадле- жат пространству L2,γ (R+,H) для любого γ > 0, и справедлива следующая оценка: 1 1 1h/(t)1L 2,γ (R+ ,H) :( lg1(t)lL2,γ (R+,H) + lAg2(t)lL2,γ (R+,H) + lBg3(t)lL2,γ (R+,H) :( :( const ( A0ϕ0l 1 + 1A1/2ϕ11 \\ . (3.35) Положим γ = γ0. 1H l H 1 0 1 1 Поскольку ядра K(t) и Q(t) принадлежат пространству W 1(R+), согласно замечанию 3.1 и условиям теоремы 2.1 вектор-функция h(t) (см. (3.25)) удовлетворяет требуемым условиям lim t→+0 h(t) = h(+0) = 0. На основе оценок (3.22), представлений (3.25), (3.26) и оценки (3.35) получаем требуемую оценку (2.2). Теорема 2.1 доказана. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 2.2, 2.3 Рассмотрим семейство уравнений λ2(N ) N \\"" ck ω2 +1 = k=1 λ(N )+ γk , λ(N ) ∈ C, ck > 0, k ∈ N, (4.1) зависящих от параметра N ∈ N при фиксированном значении ω ∈ R. Рассмотрим также семейство соответствующих (4.1) уравнений Кроме того, рассмотрим уравнение λ2 N 1 = \\"" k=1 ∞ \\"" ck p(N )+ γk ck . (4.2) ω2 +1 = k=1 λ + γk , λ ∈ C, (4.3) соответствующее семейству уравнений (4.1). Обозначим N f (x) := \\"" k=1 ck x + γk , x ∈ R для любого фиксированного значения параметра N ∈ N. Так как на области определения функции f (x) справедливо неравенство N f/(x) = - \\"" ck 2 < 0, k=1 (x + γk ) то функция f (x) является убывающей на области определения и f (x) → ∞ при x → -γk , k = 1,..., N. Согласно результатам работ [18], [7, гл. 3], уравнение (4.1) имеет N вещественных и два комплексно-сопряженных корня, а уравнение (4.2) имеет N вещественных корней. Обозначим λk (N ) ∈ R, k = 1,..., N, λ±(N ) = α(N ) ± iβ(N ) ∈ C, α(N ), β(N ) ∈ R - корни уравнения (4.1) для любого фиксированного значения параметра N ∈ N. Обозначим pk (N ) ∈ R, k = 1,...,N - корни уравнения (4.2) для любого фиксированного значения параметра N ∈ N. Лемма 4.1. Пусть выполнено условие k sup γ2(γk+1 - γk ) = +∞. (4.4) k∈N k Тогда уравнение (4.3) имеет счетную последовательность вещественных корней {λ0 |k ∈ N , удовлетворяющих неравенствам -γk k < λ0 < -γ k-1 , k ∈ N, γ0 = 0, а также пару комплексно- 0 сопряженных корней λ± = α0 ± iβ0 ∈ C, α0, β0 ∈ R, α0 < 0. 32 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН Доказательство. На комплексной плоскости переменной z = x + iy, x, y ∈ R рассмотрим прямо- угольный контур Γ = {Γ+ ∪ Γ- ∪ Γ∗ ∪ Γ¯∗ , где Γ± = {z = x + iy ∈ C|x = ±X, |y| :( Y, X > 0,Y > 0} , Γ∗ = {z = x + iy ∈ C||x| :( X, y = Y, X > 0,Y > 0} , Γ¯∗ = {z ∈ C|z¯ ∈ Γ∗} . Положим ∞ f (z) = \\"" ck z2 - 1, g(z) = . k=1 z + γk ω2 Покажем, что существуют такие числа X > 0, Y > 0, что неравенство |f (z)| < |g(z)| (4.5) выполняется для всех z ∈ Γ. Вначале установим оценку (4.5) на вертикальных отрезках Γ±, а затем на горизонтальных отрезках Γ∗, Γ¯∗. Для всех z ∈ Γ- справедлива оценка ∞ \\"" |f (z)| = k=1 ck z + γk - 1 :( ∞ \\"" k=1 ck |- X + iy + γk | +1 :( ∞ \\"" k=1 ck |- X + γk | +1 =: q(X). Положим X = XN := (γN + γN +1)/2, где N - достаточно большое натуральное число. Покажем, что Действительно, inf N ( q(XN ) X 2 N = 0. N c q(XN ) = \\"" k ∞ + \\"" ck + 1. Поскольку k=1 XN - γk k=N +1 γk - XN Следовательно, XN - γk = (γN +1 - γk + γN - γk )/2 ); (γN +1 - γk )/2, k :( N, γk - XN ); (γk - γN )/2, k ); N + 1. q(XN ) :( 2 N \\"" ck ∞ + \\"" ck \\ +1 < ∞ 2 \\"" ck . Таким образом, k=1 γN +1 - γk k=N +1 γk - γN γN +1 - γN k=1 q(XN ) X2 2 < γ2 ∞ \\"" 1 ck + 2 . N N (γN +1 - γN ) k=1 γN Отсюда, учитывая условие (4.4), получаем, что для заданного ω при достаточно больших N спра- ведливо неравенство X 2 | | g(z) ); N ω2 N > X2 2 γ2 N 1 \\"" ck + 2 \\ N > X2 q(XN ) 2 ); |f (z)|. Пусть теперь z ∈ Γ+, тогда N (γN +1 - γN ) k=1 γN XN ∞ ∞ |f (z)| :( \\"" ck +1 :( \\"" ck + 1. k=1 |XN + iy + γk | γk k=1 Следовательно, неравенство (4.5) выполняется для всех z ∈ Γ+, если X 2 | | g(z) ); N ω2 ∞ > \\"" ck γk k=1 + 1, КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 33 N > ω что равносильно выбору X ( ∞ ck \\1/2 +1 . Рассмотрим теперь горизонтальный отрезок Γ∗ k=1 γk контура Γ. Пусть z ∈ Γ∗ Очевидно, что inf z2 2 = Y z∈Γ∗ ω2 ω2 для всех z ∈ Γ∗. Далее, для всех z ∈ Γ∗ имеем ∞ ∞ \\"" |f (z)| :( \\"" ck 1 :( ck . k=1 |x + iY + γk | Y k=1 Следовательно, неравенство (4.5) выполняется на множестве Γ∗, если Y 2 1 ∞ \\"" ( ∞ ω2 > Y \\1/3 k=1 ck , что равносильно выбору Y > ω2 ck k=1 . Для всех z ∈ Γ¯∗ справедливо f¯(z) = f (z¯), следовательно, неравенство (4.5) выполняется при том же условии. ( ∞ ck \\1/2 Таким образом, согласно теореме Руше и принципу аргумента для всех XN > ω 1/3 и k=1 γk ( Y > ω2 k ∞ c \\ k=1 получаем N (g) - P (g) = N (f + g) - P (f + g), где N (ϕ) и P (ϕ), соответственно, - число нулей и полюсов функции ϕ внутри контура Γ, причем каждый полюс и нуль считается с учетом его порядка и кратности соответственно. Очевидно, N (g) - P (g) = 2. Внутри контура Γ функция f + g имеет N полюсов: -γN , -γN -1,..., -γ1. Следовательно, N (f + g) = N + 2. Легко видеть (графически), что функция f (z)+ g(z) имеет N +1 N или N действительных нулей внутри контура Γ, в зависимости от того, λ0 N < XN или λ0 ); XN . В первом случае функция f (z) + g(z) имеет один невещественный нуль внутри контура Γ, что невозможно, т. к. f¯(z) + g¯(z) = f (z¯) + g(z¯). Следовательно, внутри контура Γ существует ровно два недействительных комплексно-сопряженных нуля λ±, где λ- = λ+. 0 0 0 Следующая лемма доказана в работе [18], однако приведенное в этой работе доказательство содержит небольшие пробелы. После устранения указанных пробелов и неточностей приводим здесь полное доказательство. Лемма 4.2 (А. И. Милославский). Для любого фиксированного значения N уравнение (4.1) имеет N вещественных корней λk (N ) ∈ R, k = 1,..., N, удовлетворяющих неравенствам -γk < λk (N ) < pk (N ) < -γk-1, k = 1,..., N, γ0 = 0, (4.6) а также пару комплексно-сопряженных корней λ±(N ) = α(N ) ± iβ(N ) ∈ C, α(N ), β(N ) ∈ R, причем для вещественной части α(N ) справедливо следующее неравенство: 1 N 1 N ω2c \\"" \\"" k - 2 k=1 ck < α(N ) < - 2 k=1 k ω2 + γ2 . (4.7) Доказательство. Приведем уравнения (4.1) и (4.2) к общему знаменателю и применим к полу- ченным уравнениям теорему Виета: в уравнении, соответствующем (4.1), для коэффициентов при степенях λN +1(N ), λN (N ) и свободного члена получим соотношения N N \\"" λk (N )+ \\"" γk = -2α(N ), (4.8) k=1 N k=1 \\"" λk (N )λn(N )+ 2α(N ) \\"" λk (N )+ α2(N )+ β2(N ) = ω2 + \\"" γk γn, (4.9) 1:(k<n:(N k=1 1:(k<n:(N 34 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН N γk k=1 N ω2 - \\"" k=1 ck \\ γk N = (-1)N λk (N ) (α2(N )+ β2(N )); (4.10) k=1 в уравнении, соответствующем (4.2), для коэффициента при степени pN -1(N ) и свободного члена получим следующие соотношения: N N N \\"" pk (N )+ \\"" γk = \\"" ck , (4.11) k=1 N k=1 N k=1 N c \\ - pk (N ) = (-1)N γk 1 \\"" k γk , (4.12) k=1 k=1 k=1 Из неравенств (4.6) получаем 0 < λk (N )+ γk < pk (N )+ γk , k = 1,..., N, γ0 = 0. Следовательно, учитывая соотношения (4.8) и (4.11), получаем N N N N N -2α(N ) = \\"" λk (N )+ \\"" γk < \\"" pk (N )+ \\"" γk = \\"" ck . k=1 k=1 k=1 k=1 k=1 Отсюда следует левая часть неравенства (4.7). Покажем теперь, что справедлива правая часть неравенства (4.7). Выделяя в уравнении (4.1) мнимую часть, получим следующее уравнение: ω2 N c \\"" k α(N ) = - 2 k=1 (α(N )+ γk )2 + β2(N ) . (4.13) Из равенства (4.13) получаем, что для доказательства правой части неравенства (4.7) достаточно доказать справедливость следующих неравенств: k (α(N )+ γk )2 + β2(N ) < ω2 + γ2, k = 1,..., N. (4.14) Перепишем неравенство (4.14) в виде α2(N )+ β2(N )+ 2γk α(N ) < ω2, k = 1,..., N. (4.15) Из (4.13) получаем, что α(N ) < 0, N ∈ N. Следовательно, неравенство (4.15) достаточно доказать для k = 1. Используя соотношения (4.8) и (4.9), перепишем неравенство (4.15) для k = 1 в следующем виде: 0 > α2(N )+ β2(N )+ 2γ1α(N ) - ω2 = \\"" 1:(k<n:(N N (γk γn - λk (N )λn(N )) - 2α(N ) \\"" (λk (N ) - γ1) = k=1 N \\2 N N N = \\"" (γk γn - λk (N )λn(N )) + \\"" λk (N ) + \\"" λk (N ) \\"" γk - γ1 \\"" γk . 1:(k<n:(N k=1 k=1 k=2 k=1 Выполняя преобразования в последнем неравенстве, получаем \\"" λ2 N k (N )+ \\"" λk (N )λn(N )+ \\"" 2 γk γn < γ1 - N \\"" λk (N ) N \\"" γk = k=1 1:(k<n:(N 2:(k<n:(N k=1 k=2 N N N 1 = -λ1(N ) \\"" γk + γ2 - \\"" λk (N ) \\"" γk . (4.16) Введем обозначения: k=2 k=2 k=2 1 A(N ) := λ2(N )+ λ1(N ) \\"" λn(N ), N k B(N ) := \\"" λ2 (N )+ \\"" 2:(k<n:(N (λk (N )λn(N )+ γk γn). k=2 2:(k<n:(N КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 35 Тогда неравенство (4.16) можно переписать в виде N N N 1 A(N )+ B(N ) < -λ1(N ) \\"" γk + γ2 - \\"" λk (N ) \\"" γk . (4.17) Из неравенств (4.6) следует, что k=2 1 A(N ) < γ2 - λ1(N ) \\"" k=2 γn. k=2 2:(k<n:(N Таким образом, для доказательства неравенства (4.17) достаточно показать, что N N B(N ) < - \\"" λk (N ) \\"" γk . (4.18) k=2 k=2 Обозначим δk (N ) := γk + λk (N ), k = 2,..., N, следовательно, согласно (4.6), 0 < δk (N ) < -λk+1(N )+ λk (N ), k = 2,...,N - 1. (4.19) Тогда неравенство (4.18) можно переписать в виде \\"" λ2 N k (N )+ \\"" λk (N )λn(N )+ \\"" (-λk (N )+ δk (N ))(-λn(N )+ δn(N )) < k=2 2:(k<n:(N N 2:(k<n:(N \\"" \\ N \\ < \\"" (-λk (N )+ δk (N )) k=2 - λk (N ) k=2 . (4.20) Совершая тождественные преобразования в обеих частях неравенства (4.20), получаем \\"" λ2 N k (N )+ \\"" λk (N )λn(N )+ \\"" (-λk (N )+ δk (N ))(-λn(N )+ δn(N )) = k=2 N 2:(k<n:(N 2:(k<n:(N k = \\"" λ2 (N )+2 \\"" λk (N )λn(N ) - \\"" (λk (N )δn(N )+ λn(N )δk (N ))+ k=2 2:(k<n:(N N 2:(k<n:(N \\"" \\ N \\ N + \\"" δk (N )δn(N ) < \\"" (-λk (N )+ δk (N )) - λk (N ) k = \\"" λ2 (N )+ 2:(k<n:(N k=2 k=2 k=2 N +2 \\"" 2:(k<n:(N λk (N )λn(N ) - \\"" 2:(k<n:(N (λk (N )δn(N )+ λn(N )δk (N )) - \\"" δk (N )λk (N ). (4.21) k=2 Сокращая одинаковые слагаемые в обеих частях неравенства (4.21), имеем N \\"" 2:(k<n:(N δk (N )δn(N ) < - \\"" δk (N )λk (N ). (4.22) k=2 Складывая неравенства (4.19), приходим к неравенствам 0 < δ2(N ) < -λ3(N ), δ2(N )+ δ3(N ) < -λ4(N ),... N -1 \\"" δk (N ) < -λN (N ). (4.23) k=2 Группируя слагаемые в левой части неравенства (4.22), получаем N -1 N -2 \\"" δk (N )δn(N ) = δN (N ) \\"" δk (N )+ δN -1(N ) \\"" δk (N )+ ... + δ3(N )δ2(N ) < 2:(k<n:(N k=2 k=2 N -δN (N )λN (N ) - δN -1(N )λN -1(N ) - ... - δ3(N )λ3(N ) < - \\"" δk (N )λk (N ). k=2 Таким образом, доказано неравенство (4.22) и, следовательно, правая часть неравенства (4.7). 36 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН Лемма 4.3. Пусть выполнены условия (2.3), (2.4) и ряд ∞ k=1 ck сходится. Тогда существует предел lim λ±(N ) = λ±, и для вещественной части α0 корней λ± уравнения (4.3) справедливо нс нераве Nт→в∞о 0 ∞ 1 \\"" ∞ 1 \\"" 0 ω2ck - 2 k=1 ck :( α0 :( - 2 N k=1 k ω2 + γ2 . (4.24) Доказательство. Последовательность сумм N ck является возрастающей, следовательно, в сиk=1 лу (4.11) последовательность сумм (pk (N )+ γk ) также является возрастающей. Кроме того, k=1 в силу сходимости ряда ∞ k=1 N ck справедлива оценка N (pk (N )+ γk ) < k=1 ∞ k=1 ck . Таким образом, последовательность сумм (pk (N )+ γk ) является возрастающей и ограниченной сверху и, слеk=1 довательно, имеет предел при N → ∞. Далее, из неравенств (4.6) имеем 0 < λk (N )+ γk < pk (N )+ γk , k = 1,..., N, γ0 = 0. (4.25) N Поэтому последовательность сумм (λk (N )+ γk ) является возрастающей и ограниченной сверху k=1 и, следовательно, также имеет предел при N → ∞. Обозначим ψk (N ) := λk (N )+ γk . Таким образом, в силу равенства (4.8) существует предел lim 1 α(N ) = - lim N 1 \\"" (λk (N )+ γk ) = - lim N \\"" ψk (N ) =: α0. (4.26) N →∞ 2 N →∞ k=1 2 N →∞ k=1 Теперь покажем, что существует предел lim β(N ). Действительно, из соотношения (4.10) получаем N →∞ (α2(N )+ β2(N )) = N γk k=1 N \\ N - ω2 \\"" ck , γk (-1)N λk (N ) k=1 k=1 - β2(N ) = α2(N )+ N N γk k=1 N - ω2 \\"" ck γk \\ . (4.27) (γk - ψk (N )) k=1 k=1 Покажем, что при N →∞ правая часть равенства (4.27) имеет предел. В самом деле, при N →∞ В свою очередь, сомножитель lim N →∞ \\ N - ω2 \\"" ck γk k=1 ∞ - c = ω2 \\"" k . γk k=1 N γk N γk k=1 = k=1 , (-1)N N λk (N ) k=1 N (γk - ψk (N )) k=1 где ψk (N ) ); 0, k ∈ N, может быть преобразован к виду 1 N k=1 γ ( ψk (N ) 1 - k \\ . (4.28) КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 37 Покажем, что величина (4.28) имеет предел при N → ∞. Легко проверить, что справедливо следующее неравенство: - ln(1 - x) < 2x, x ∈ [0, 1/2). (4.29) В свою очередь, из условия (2.4) вытекает, что величина ψk (N ) γk стремится к нулю при k → +∞, поскольку ψk (N ) < γk - γk-1 0, k → +∞. γk γk → Следовательно, найдется такое k0 ∈ N, что для всех k ); k0 выполнено неравенство 0 < ψk (N ) < 1 . γk 2 Таким образом, согласно неравенству (4.29) справедлива цепочка неравенств N - ln k=k0 ( ψk (N )\\ γ 1 - k N = - \\"" ln k=k0 ( ψk (N )\\ γ 1 - k N < 2 \\"" k=k0 ψ (N ) N k :( 2 \\"" ψk γk k=k0 (N ), γk ); 1. Отсюда и из соотношения (4.26) следует существование предела последовательности N - ln k=1 ( ψk (N )\\ γ 1 - , k а следовательно, и последовательности (4.28), поскольку конечное число слагаемых ( k0 \\"" ψk (N )\\ γ - ln 1 - k=1 k N не влияет на сходимость последовательности - ln k=1 ( ψk (N )\\ γ 1 - k при N → +∞. Таким образом, правая часть равенства (4.27) имеет предел при N → ∞, следовательно, существует предел lim β(N ) = β0. Выделяя в уравнении (4.1) действительную и мнимую части, →∞ N получаем следующие равенства: α2(N ) - β2(N ) N c (α(N )+γ ) ω2 +1 = k \\"" k=1 k (α(N )+ γk )2 + β2(N ) , (4.30) ω2 N c \\"" k α(N ) = - 2 k=1 (α(N )+ γk )2 + β2(N ) . (4.31) Переходя к пределу при N →∞ в уравнениях (4.30) и (4.31) получаем равенства α2 2 ∞ 0 - β0 \\"" ck (α0 + γk ) ω2 +1 = k=1 (α0 + γk 0 )2 + β2 , ω 2 ∞ \\"" ck α0 = - 2 k=1 (α0 + γk 0 )2 + β2 . 0 Следовательно, числа λ± = α0 ±iβ0 являются комплексно-сопряженными корнями уравнения (4.3). Таким, образом, переходя к пределу при N →∞ в неравенстве (4.7), получаем неравенство (4.24). Определим расположение невещественных корней уравнения ∞ - a (Af, f )+ b (Bf, f ) ∈ || || (L(λ)f, f ) = λ2 + (Af, f )+ (Bf, f ) \\"" k k = 0 (f D(A), f = 1). (4.32) λ + γk k=1 Введем следующие обозначения: ω2 = ((A + B)f, f ) > 0, ck = ((ak A + bk B)f, f ) ω-2 > 0, A(λ) = ∞ k=1 ak (λ + γk )-1, B(λ) = ∞ k=1 bk (λ + γk )-1. 38 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН В указанных обозначениях уравнение (4.32) принимает вид (4.3): λ2 ω2 +1 = ∞ \\"" k=1 ck λ + γk , λ ∈ C. Покажем, что в этом случае выполняются условия используя условия (1.4) и (1.5), получаем ∞ k=1 ck < +∞, ∞ k=1 k ck γ-1 < 1. Действительно, ∞ ∞ ∞ \\"" ck = \\"" ak (Af, f )ω-2 + \\"" bk (Bf, f )ω-2 < max {a, b} ((Af, f )ω-2 + (Bf, f )ω-2) = max {a, b} , k=1 k=1 ∞ ∞ k=1 ∞ k = \\"" ck γ-1 k=1 \\"" k=1 k ak γ-1(Af, f )ω-2 + \\"" k=1 k bk γ-1 (Bf, f )ω-2 < (Af, f )ω-2 + (Bf, f )ω-2 = 1. Лемма 4.4. Пусть выполнены условия (1.4), (1.5), (2.3), (2.4). Тогда невещественные корни уравнения (4.32) лежат в полосе α1 :( Re λ :( α2, где ∞ 1 \\"" ((ak A + bk B)f, f ) 1 1 -1/2 1 -1/21 2 α1 = - sup 1f 1=1 k=1 1 ((A + B)f, f ) ); - 2 1A0 (aA + bB) A0 1 , f ∈ Dom(A), ∞ 1 \\"" ((ak A + bk B)f, f ) 11 1/2 ( 2 -1/2 1-1 α2 = - 2 inf ( 2 ) < - 1(a1A + b1B)- A0 + γ1 I) (a1A + b1B) 1 , 1f 1=1 k=1 (A + B + γk I)f, f 21 1 f ∈ Dom(A). Доказательство. Пусть λ - невещественный корень уравнения (4.32). На основании леммы 4.3 имеем 1 Re λ ); - 2 ∞ \\"" k=1 1 ck = - 2 ∞ \\"" k=1 ∈ || || ((ak A + bk B)f, f ) (f D(A), f = 1). (4.33) ((A + B)f, f ) 0 Положим в неравенстве (4.33) f = A-1/2g, тогда ( -1/2 -1/2 \\ ( -1/2 -1/2 \\ k k 0 0 (a A + b B)A g, A g \\"" 1 \\"" A0 (ak A + bk B)A0 g, g 1 Re λ ); - 2 ∞ k=1 (A1/2 -1/2 \\ ∞ - = 2 k=1 = (g, g) (A-1/2 0 g, A0 g -1/2 \\ 1 0 (aA + bB)A0 g, g 1 1 1/2 -1/21 1A- (aA + bB)A 1 . = - 2 (g, g) ); - 2 1 0 0 1 Согласно [23, лемма 2.1] оператор A-1/2 (aA + bB) A-1/2 допускает ограниченное замыкание в 0 0 пространстве H. С другой стороны, ∞ 1 \\"" ω2ck ∞ 1 \\"" ((ak A + bk B)f, f ) Re λ :( - 2 k=1 k ω2 + γ2 = - 2 k=1 k ((A + B + γ2I)f, f ) < 1 1 ((a1A + b1B)f, f ) 1 1 ((A + B + γ2I)f, f )\\- < - 2 ((A + B + γ2I)f, f ) = - 2 ((a A + b B)f, f ) . (4.34) 1 1 1 Положим в неравенстве (4.34) f = (a1A + b1B)-1/2g, тогда -1 ⎛((A + B + γ2I)(a1A + b1B)-1/2g,(a1A + b1B)-1/2g\\ ⎞ 1 ⎠ = Re λ :( - 2 ⎝ 1 ((a1A + b1B)1/2g, (a1A + b1B)-1/2g\\ -1 1 1 ⎛((a1A + b1B)-1/2(A + B + γ2I)(a1A + b1B)-1/2g, g\\ ⎞ = - 2 ⎝ (g, g) ⎠ :( КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 39 11 1 :( - 21(a1A + b1B)- 1/2 1 (A + B + γ2I)(a1A + b1B) 1 . -1/21-1 1 1 В силу [24, лемма 8.2] оператор a1A + b1B является самосопряженным и, согласно [23, лем- ма 2.1], оператор (a1A + b1B)-1/2(A + B + γ2I)(a1A + b1B)-1/2 допускает ограниченное замыкание в пространстве H. Определим расположение вещественных корней уравнения (4.32). Обозначим τ = (Af, f )ω-2, где f ∈ Dom(A), lfl = 1, 0 :( inf τ :( τ :( sup τ :( 1. Перепишем уравнение (4.32) в виде λ2 ω2 +1 = τ Рассмотрим уравнение ∞ \\"" k=1 ak λ + γk + (1 - τ ) ∞ \\"" k=1 bk λ + γk =: τ A(λ)+ (1 - τ )B(λ). (4.35) Φτ (p) := τ A(p)+ (1 - τ )B(p) = 1, (4.36) ∈ - ∈ ∈ Функция Φτ (p) → ∞ при p → -γk , k ∈ N и монотонно убывает при вещественных p ∈ (-γk , -γk-1), k ∈ N (γ0 = 0). Следовательно, уравнение (4.36) имеет бесконечную последова- тельность вещественных корней pk (τ ) ∈ (-γk , -γk-1), k ∈ N. В свою очередь, уравнение (4.35) также имеет бесконечную последовательность вещественных корней λk (τ ) ∈ (-γk , pk (τ )) (по по- строению). Следовательно, λk (τ ) ( γk , max pk (τ )) для всех τ (0, 1), k N. 0<τ<1 Лемма 4.5. Пусть выполнены условия леммы 4.4. Тогда вещественные корни уравне- ния (4.32) принадлежат интервалам Δk = (-γk , p˜k ), где p˜k = max {pk (τ /), pk (τ //)} , pk (τ ) - ве- щественные корни уравнения (4.36), принадлежащие интервалам (-γk , -γk-1), k ∈ N (γ0 = 0), 1 τ / := 1A-1/2A0A-1/21- , τ // := 1 1 1 1 1 -1/2 -1/21 1A0 AA0 1 . Доказательство. Если мы покажем, что корни pk (τ ) уравнения (4.36) непрерывно зависят от параметра τ, то max pk (τ ) = max {pk (inf τ ), pk (sup τ )} , k ∈ N. Действительно, решим уравне- ние (4.36) относительно τ : τ = B(p) - 1 B(p) - A(p) . (4.37) Отсюда получаем, что каждому p ∈ (min pk (τ ), max pk (τ )), k ∈ N соответствует единственное значение τ, если B(p) /= A(p). Кроме того, правая часть уравнения (4.37) непрерывно зависит от p на интервале p ∈ (-γk , -γk-1), если B(p) /= A(p). Следовательно, правая часть уравнения (4.37) является монотонной функцией на интервале p ∈ (-γk , -γk-1), если B(p) /= A(p). В случае, когда B(p) = A(p), получаем, что A(p) = B(p) = 1 и pk (τ ) = pk не зависит от τ. Таким образом, либо pk (τ ) монотонно зависит от τ ∈ (inf τ, sup τ ), либо pk (τ ) не зависит от τ. Покажем, что sup τ = 1A AA 1 , inf τ = 1A-1/2A0A-1/21- . Действительно, по определе- 1 -1/2 -1/21 1 нию 1 0 0 (Af, f ) τ = 1 1 (Af, f ) = 1 , (f ∈ D(A), ||f || = 1) (4.38) ((A + B)f, f ) (A0f, f ) 0 Положим в равенстве (4.38) f = A-1/2g, тогда (AA-1/2 -1/2 -1/2 -1/2 τ = 0 g, A0 g) = (A0 AA0 g, g) . (A1/2 -1/2 (g, g) Таким образом, 0 g, A0 g) (A-1/2 -1/2 1 1 sup τ = sup 0 AA0 g, g) :( 1A-1/2AA-1/21 . g/=0 (g, g) 1 0 0 1 Положим в равенстве (4.38) f = A-1/2g, тогда 1/2 -1/2 -1/2 -1/2 τ-1 = (A0A- g, A g) (A A0A g, g) = . (A1/2g, A-1/2g) (g, g) 40 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН Следовательно, sup τ-1 = sup (A- 1/2A0A-1/2g, g) 1 1 :( A-1/2A A-1/2 . g/=0 (g, g) 1 0 1 1 1 1 Отсюда получаем, что inf τ = (sup τ-1)-1 ); 1A-1/2A0A-1/21- . 1 1 1 Введем обозначения: τ / := 1A-1/2A0A-1/21- , τ // := 1A AA 1 , p˜ := max p (τ ) = 1 1 1 -1/2 -1/21 k k 1 0 0 1 0:(τ :(1 max {pk (τ /), pk (τ //)} . Из приведенных рассуждений следует, что вещественные корни λk (τ ) уравнения (4.35) принадлежат интервалам Δk = (-γk , p˜k ). Завершим доказательство теоремы 2.2. Рассмотрим λ, находящееся на положительном рас- стоянии от нулей и особенностей функции (L(λ)f, f ) , где f - произвольный вектор из области определения Dom(A) оператора A и lfl = 1. С этой целью введем в рассмотрение сколь угодно малые δk > 0, k ∈ N и δ > 0. Обозначим Πk = {λ = xk + iyk ∈ C|xk , yk ∈ R, xk ∈ [-γk - δk , p˜k + δk ], yk ∈ [-δk , δk ], δk > 0} , Π = {λ = x + iy ∈ C|- α1 - δ < x < -α2 + δ, δ > 0} . k=1 Из лемм 4.4-4.5 следует, что для любого λ ∈ C\\ {∪∞ Πk ∪ Π} существует такое число C(λ) > 0, что lL(λ)fl ); sup f ||=1 |(L(λ)f, f )| ); C(λ) > 0. Кроме того, так как L∗(λ) = L(λ¯), то lL∗(λ)fl ); || k=1 C(λ) > 0. Таким образом, оператор-функция L(λ) обратима на множестве C\\ {∪∞ Πk ∪ Π} для сколь угодно малых δk > 0, k ∈ N Теорема 2.2 доказана. и δ > 0. Доказательство теоремы 2.3. Преобразуем оператор-функцию L(λ) к виду L(λ) = A1/2 (λ2A-1 + (1 - Kˆ (λ))I + (1 - Qˆ(λ))K)\\ A1/2, (4.39) где K - неотрицательное самосопряженное ограниченное расширение по Фридрихсу оператора A-1/2BA-1/2 (подробнее см. [23, лемма 2.1]). Рассмотрим оператор-функцию Q(λ) = (1 - Kˆ (λ))I + (1 - Qˆ(λ))K) = (1 - Kˆ (λ)) [I + s(λ)K] , (4.40) где s(λ) = 1 - Qˆ(λ) . Оператор-функция (λ) обратима, если arg s(λ) = π и Kˆ (λ) = 1. Предполо- 1 - Kˆ (λ) Q / / жим, что s(λ) = -r при некотором положительном r, тогда из уравнения 1 - Qˆ(λ) следует уравнение -r = 1 - Kˆ (λ) r 1+ r Kˆ (λ)+ 1 1+ r Qˆ(λ) = 1, (4.41) которое имеет решение. Корни уравнения (4.41), также как и корни уравнения 1 + Kˆ (λ) = 0 - отрицательные числа, следовательно, при arg λ /= π оператор-функция Q(λ) обратима. Соглас- ∞ но теореме И. Ц. Гохберга (см. [12]), оператор-функция Q(λ) + λ2A-1(A-1 ∈ σ ) обратима при всех невещественных λ, за исключением некоторого счетного множества характеристических чи- сел конечной алгебраической кратности, которые могут иметь лишь отрицательные точки сгуще- ния. В силу формулы (4.39) это утверждение справедливо и для оператор-функции L(λ). Сим- метрия невещественной части спектра относительно вещественной оси вытекает из соотношения L∗(λ) = L(λ¯).