О регулярности решений начально-краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова

Аннотация

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ. ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ В работе рассматривается начально-краевая задача для уравнения Захарова-Кузнецова ut + uxxx + uxyy + uux = f (t, x, y), (1.1) u t=0 = u0(x, y), x ;:? 0, (1.2) T u x=0 = u1(t, y), 0 t T (1.3) в области Π+ = {(t, x, y):0 < t < T, x > 0,y ∈ R}, где T > 0 произвольно, u = u(t, x, y). Уравнение (1.1) является одним из вариантов (2 + 1)-мерного обобщения уравнения Кортевега- де Фриза ut + uxxx + uux = 0. Впервые оно было выведено в работе [2] для описания распростра- нения нелинейных ионно-звуковых волн в плазме, помещенной в магнитное поле, и в дальнейшем получило название уравнения Захарова-Кузнецова. Это уравнение является модельным для опи- сания волн, двигающихся в заданном направлении (в данном случае это положительное направле- ние оси x) и испытывающих поперечные деформации. Физический смысл рассматриваемой задачи состоит в описании волн, распространяющихся от начальной «стенки» x = 0. Целью работы является изучение свойств внутренней регулярности слабых решений. В случае задачи Коши для уравнения Захарова-Кузнецова эти вопросы были ранее рассмотрены в ста- тьях [1, 12, 16], а в случае аналогичной начально-краевой задачи в полуполосе (0,T ) × R+ для уравнения Кортевега-де Фриза - в статье [4]. Для описания классов рассматриваемых решений введем некоторые обозначения. Положим R2 2 k k 2 k k 2 + = {(x, y) : x > 0}, BT = (0,T ) × R, Lp,+ = Lp(R+), Wp,+ = Wp (R+), H+ = H (R+). Ес- ли ν = (k1, k2) - целочисленный мультииндекс, |ν| = k1 + k2, то положим ∂ν = ∂k1 ∂k2 . Пусть |Dk φ| = ( '\\" (∂ν φ)2'\\ |ν|=k 1/2 x y , |Dφ| = |D1φ|. Для любого α ∈ R положим Lα α 1,α α α 1,α 1,α p,+ = {φ(x, y): (1 + x) φ ∈ Lp,+}, Wp,+ = {φ(x, y) ∈ Lp,+ : φx, φy ∈ Lp,+}, H+ = W2,+ и введем на этих пространствах естественные нормы. В дальнейших результатах начальная функ- 2,+ ция u0 будет выбираться из пространств Lα + и H1,α при α ;:? 0. Для описания свойств краевых условий будем использовать анизотропные пространства Соболева дробного порядка: для s1, s2 ;:? 0 положим Hs1,s2 (R2)= {μ(t, y): (1 + |ξ1|s1 + |ξ2|s2 )μ(ξ1, ξ2) ∈ L2(R2)}, μ где символом обозначено преобразование Фурье функции μ. Для области Ω ⊂ R2 через Hs1,s2 (Ω) Ω обозначим пространство сужений на функций из Hs1,s2 (R2) с естественной нормой. b Символом Ck (Ω) будем обозначать пространство функций, обладающих всеми частными про- b,+ 2 изводными до порядка k включительно, непрерывными и ограниченными в Ω. Положим Ck = Ck b b (R+), Cb(Ω) = C0(Ω). Слабые решения рассматриваемой задачи понимаются в смысле следующего определения. Работа выполнена в рамках Проекта 333 государственного задания Минобрнауки РФ в сфере научной деятельности. Qc 2015 РУДН 5 6 А. П. АНТОНОВА, А. В. ФАМИНСКИЙ ∞ + t ∞ 2,+ Определение 1.1. Функция u ∈ L∞(0,T ; L2,+) называется слабым решением задачи (1.1)- (1.3), если для любой функции φ(t, x, y) такой, что φ ∈ L (0,T ; H3 ), φ ∈ L (0,T ; L ), φ|t=T = 0, φ|x=0 = φx|x=0 = 0, справедливо равенство rrr Π + T г 1 u(φt + φxxx + φxyy )+ 2 l u2φx + fφ + dxdydt+ rr t=0 u0φ R 2 + rr dxdy + BT x=0 u1φxx dydt = 0. (1.4) T Слабые решения задачи (1.1)-(1.3) будем рассматривать в пространстве функций Xα(Π+) при α ;:? 0, состоящем из функций f (t, x, y) таких, что T x0+1 2,+ f ∈ Cw ([0,T ]; Lα r r r ), sup x0;:?0 0 x0 R |Df|2 dydxdt < ∞, а если α > 0, то дополнительно α-1/2 |Df|∈ L2(0,T ; L2,+ ) (символ Cw обозначает пространство слабо непрерывных отображений). T Разрешимость задачи в пространствах Xα(Π+) изучалась в работах [8, 11] (на самом деле там рассматривались уравнения более общего вида) и [9, 10]. В статье [10] доказан следующий результат. 2,+ Теорема 1.1. Пусть u0 ∈ Lα 2,+ , u1 ∈ Hs/3,s(BT ), f ∈ L1(0,T ; Lα ) для некоторых α ;:? 0, T s > 3/2, T > 0. Тогда существует слабое решение задачи (1.1)-(1.3) из пространства Xα(Π+). Если α ;:? 1, то это решение единственно в рассматриваемом классе. При более гладких граничных данных глобальная корректность рассматриваемой задачи рас- сматривалась в статьях [9, 10]). Введем пространство функций K1(Π+)= {u ∈ C([0,T ]; H1 ) ∩ L2(0,T ; C1 ) ∩ L2(R+; Cb(BT )), T + b,+ x ∂j xu ∈ Cb(R+; H(2-j)/3,2-j (BT )), 0 j 2} (символ Cb обозначает пространство непрерывных ограниченных отображений). В работе [9] был установлен следующий результат. Теорема 1.2. Пусть u0 ∈ H1 , u1 ∈ H2/3,2(BT ), f ∈ L2(0,T ; H1 ) для некоторого T > 0, + + u1(0, y) ≡ u0(0, y). Тогда существует единственное слабое решение задачи (1.1)-(1.3) из про- странства T K1(Π+). Глобальная корректность рассматриваемой задачи при более гладких граничных данных u0 ∈ Hk +, u1 ∈ H (k+1)/3,k+1 (BT ) при k ;:? 2 доказана в [10]. Другие начально-краевые задачи для уравнения Захарова-Кузнецова изучались в работах [5- 7, 10, 11, 13-15, 17-19] и других. T В настоящей работе устанавливается, что при дополнительных условиях убывания начальной функции u0 и правой части f при x → +∞ решения, построенные в теоремах 1.1 и 1.2, обладают дополнительной гладкостью внутри области Π+. Чтобы сформулировать результаты настоящей статьи, введем дополнительные обозначения. Для T δ ∈ (0,T ), x0 ;:? 0 положим Πδ,x0 = (δ, T ) × (x0, +∞) × R, α α L2,x0 = {φ(x, y): (1 + x - x0) φ ∈ L2/(x0, +∞) × R)}, T x1+1 r r r λ(f ; T, δ, x0)= sup x1;:?x0 δ x1 R f 2 dydxdt. T Через Xα(Πδ,x0 ) обозначим пространство функций f (t, x, y) таких, что 2,x0 f ∈ Cw ([δ, T ]; Lα ), λ(|Df|; T, δ, x0) < ∞, О РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 7 а если α > 0, то дополнительно 2,+ Теорема 1.3. Пусть u0 ∈ Lα α-1/2 |Df|∈ L2(δ, T ; L2,x0 ). 2,+ , u1 ∈ H2/3,2(BT ), f ∈ L2(0,T ; Lα α-1/2 ), |Df|∈ L2(δ0,T ; L2,+ ) для некоторых α ;:? 1/2, T > 0, δ0 ∈ [0,T ). Тогда существует слабое решение задачи (1.1)-(1.3) u ∈ Xα(Π+) такое, что |Du|∈ Xα-1/2(Πδ,0) для любого δ ∈ (δ0,T ). T T 2,a Теорема 1.4. Пусть выполнены условия теоремы 1.3 при α ;:? 1, и пусть дополнительно существует натуральное число m ∈ [2, 2α] такое, что ∂ν f ∈ L1(δ0,T ; Lα-|ν|/2) для 2 |ν| m и некоторого a ;:? 0. Тогда если u ∈ X Xα-m/2(Πδ,x0 T α(Π+) - слабое решение задачи (1.1)-(1.3), то |Dm f| ∈ T ) для любых δ ∈ (δ0,T ), x0 > a. + Теорема 1.5. Пусть выполнены условия теоремы 1.2 и дополнительно u0 ∈ H1,α, f ∈ L2(0,T ; H1,α) для некоторого α > 0. Тогда, если u ∈ K1(Π+) - слабое решение задачи (1.1)- + T T (1.3), то ∂ν u ∈ Xα(Π+) при |ν| 1. 2,a Теорема 1.6. Пусть выполнены условия теоремы 1.5 при α ;:? 1/2, и пусть дополнительно существует натуральное число m ∈ [2, 2α + 1] такое, что ∂ν f ∈ L1(δ0,T ; Lα-|ν|/2+1/2) для 2 T T |ν| m и некоторых δ0 ∈ [0,T ), a ;:? 0. Тогда, если u ∈ K1(Π+) - слабое решение задачи (1.1)- (1.3), то |Dmf|∈ Xα-m/2+1/2(Πδ,x0 ) для любых δ ∈ (δ0,T ), x0 > a. T Подчеркнем, что все производные в условиях теорем 1.1-1.6 рассматриваются как обобщенные в смысле Соболева. Можно установить также результаты о существовании непрерывных производ- ных рассматриваемых решений строго внутри области Π+. Эти результаты полностью аналогичны случаю задачи Коши и приведены в последней части работы. Условия, накладываемые в теоремах 1.2 и 1.3 на функцию u1, можно считать естественными, так как они индуцированы свойствами дифференциального оператора ∂t + ∂3 + ∂x∂2 в следую- x y щем смысле. Пусть v(t, x, y) является решением задачи Коши из пространства Cb(Rt; H1(R2)) для уравнения vt + vxxx + vxyy =0 (1.5) с начальной функцией v0 ∈ H1(R2). Тогда согласно [5] для любого x ∈ R lv(·, x, ·)lH˙ 2/3,2(R2) = l(|ξ1| 2/3 + |ξ2|2)v(ξ1 2 (R2) , x, ξ2)lLξ1,ξ2 ∼ l∇v0lL2(R2). В дальнейшем мы будем использовать следующие вспомогательные функции. Положим ( ce1/(x2-1), x < 1, ω(x) ≡ 0, | | (1.6) x ;:? 1, | | 1 где положительная константа c выбрана так, чтобы Г -1 известны, в частности, ω ∈ C∞(R). Положим 2x-1 ω(x) dx = 1. Свойства этой функции хорошо x r η(x) ≡ r ω(ξ) dξ =2 ω(2ξ - 1) dξ. (1.7) -∞ -∞ Тогда η ∈ C∞(R), η∗(x) > 0 при x ∈ (0, 1), η(x) = 0 при x 0, η(x) = 1 при x ;:? 1, а также η(x)+ η(1 - x) ≡ 1. (k) Будем использовать следующее интерполяционное неравенство из статьи [11]. Пусть ψ0(x), ψ1(x) - две положительные бесконечно гладкие при x ;:? 0 функции такие, что ψ0(x) cψ1(x), |ψj (x)| c(k)ψj (x) для всех x ;:? 0, натуральных k и j =0 или 1, а w(x, y) - такая функция, что 1/2 1/2 + |Dw|ψ0 , wψ1 ∈ L2(R2 ). Тогда для q ∈ [2, +∞) lwψsψ1/2-s 1/2 2s 1/2 1-2s 1/2 0 где s = 1/2 - 1/q. 1 lLq,+ c(q)l|Dw|ψ0 lL2,+ lwψ1 lL2,+ + c(q)lwψ1 lL2,+ , (1.8) 8 А. П. АНТОНОВА, А. В. ФАМИНСКИЙ + Далее мы будем опускать пределы интегрирования в интегралах по R2 . Символом [s] обознача- ется целая часть числа s ;:? 0. Статья организована следующим образом. В части 2 рассматривается вспомогательная линейная задача. В части 3 устанавливаются вспомогательные результаты о разрешимости начально-краевой задачи для более общего уравнения, чем (1.1), но при нулевой краевой функции u1, а также некоторые оценки решений. Теоремы 1.3-1.6 доказаны в части 4. Результаты о существовании непрерывных производных и их оценках в нормах Гельдера приведены в части 5. ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА T Рассмотрим начально-краевую задачу в Π+ для линейного уравнения ut + uxxx + uxyy = f (t, x, y) (2.1) с граничными данными (1.2), (1.3). В статьях [9-11] было построено специальное решение однородного уравнения (2.1) типа «гра- ничного потенциала». Рассмотрим алгебраическое уравнение r3 - rξ2 + iλ = 0, (λ, ξ) ∈ R2 \\ {(0, 0)}. Это уравнение имеет единственный корень r0(λ, ξ) с отрицательной действительной частью. По- ложим для μ ∈ L2(R2) при x ;:? 0 J (t, x, y; μ) ≡ F-1 [er0xμ(ξ1, ξ2)] (t, y) (2.2) t,y (F-1 - обратное преобразование Фурье). Известно, что эта функция бесконечно дифференцируема при x > 0 и удовлетворяет уравнению (2.1) при f ≡ 0. Более того, если μ ∈ H1/3,1(BT ) и μ(t, y)=0 при t < 0, то J является слабым решением задачи (2.1), (1.2), (1.3) для u0 ≡ 0, u1 ≡ μ, f ≡ 0 в смысле, аналогичном определению 1.1. Лемма 2.1. Если μ(t, y)=0 при t < 0, то для любых T > 0, a > 0, β ;:? 0 и целых неотрица- тельных чисел m, l, j существует положительная константа c такая, что sup eβxl∂m∂l J (t, x, ·; μ)l j clμl 2 . (2.3) t x t∈[0,T ],x;:?a H (R) L2(R ) Доказательство. В работе [9] для функции J при x > 0 было установлено альтернативное пред- ставление t r r J (t, x, y; μ)= (3∂3 + ∂2)G(t - τ, x, y - z)μ(τ, z) dzdτ, (2.4) x y -∞ R 1 ( x y 1 i(ξ3+ξ1ξ2) , , A(x, y) ≡ F G(t, x, y) ≡ t2/3 A ) - e 1 t1/3 t1/3 x,y 2 (x, y). (2.5) Свойства функции A изучались в работах [5, 12]. В частности, в [12] установлено, что функция A бесконечно дифференцируема и существует положительная константа c0 > 0 такая, что для любых x0 ∈ R, целых неотрицательных m и мультииндекса ν 3/2 (1 + |y|)m|∂ν A(x, y)| c(x0, m, |ν|)e-c0(x-x0) Тогда оценка (2.3) следует из равенства (2.4). ∀x ;:? x0, ∀y ∈ R. В статье [10] при изучении корректности задачи (1.1)-(1.3) для описания класса рассматрива- емых решений были введены следующие пространства, частным случаем которых является упо- мянутое выше пространство K1(Π+), а именно, для любого целого n ;:? 0 пусть символ Kn(Π+) T T обозначает пространство функций u(t, x, y) таких, что t u ∈ C/[0,T ]; H+ ), m [n/3], ∂m l ∂xu ∈ Cb/R+; H n-3m (n-l+1)/3,n-l+1(BT )), l n + 1, t ∂x∂y u ∈ L2/0,T ; Cb,+)), 3m + l + j n, ∂m l j t ∂x∂y u ∈ L2/R+; Cb(BT )), n ;:? 1, 3m + l + j n - 1. ∂m l j О РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 9 В частности, в [10] доказана следующая оценка: T ) lJ (·, ·, ·; μ)lKn(Π+ c(T, n)lμl H(n+1)/3,n+1(R2) . (2.6) T Для описания свойств правых частей уравнения (2.1) в этой же статье было введено простран- ство Mn(Π+) функций f (t, x, y) таких, что t f ∈ L2/0,T ; H+ ), m m0 = [(n + 1)/3]. ∂m n-3m Чтобы сформулировать утверждения о разрешимости рассматриваемой задачи, введем вспомо- гательные функции Φ m следующим образом: пусть Φ 0(x, y) ≡ u0(x, y), а для m ;:? 1 положим Φ m(x, y) ≡ ∂m-1f (0, x, y) - (∂3 + ∂x∂2)Φ m 1(x, y). (2.7) t x y - В работе [10] был установлен следующий результат. + Лемма 2.2. Пусть u0 ∈ Hn T для некоторого целого n ;:? 0, u1 ≡ 0, f ∈ Mn(Π+), и пусть Φ m(0, y) ≡ 0 при m < n/3. Тогда существует единственное решение u(t, x, y) зада- T чи (2.1), (1.2), (1.3) из пространства Kn(Π+) и для любого t0 ∈ (0,T ] ( 1/6 m0-1 '\\" m '\\ lulKn(Π+ c(T, n) lu0lHn + t0 lfl + + l∂t f l n-3(m+1) . (2.8) t0 ) + Mn(Πt0 ) m=0 t=0 H+ В частном случае n = 1 это утверждение было установлено в [9] и выглядит следующим образом: если u0 ∈ H1 , u0(0, y) ≡ 0, u1 ≡ 0, f ∈ L2(0,T ; H1 ), то существует единственное + + решение T u(t, x, y) задачи (2.1), (1.2), (1.3) из пространства K1(Π+) и для любого t0 ∈ (0,T ] справедливо неравенство lulK1(Π+ c(T )/ 1/6 lu0lH1 + t0 lflL2(0,t0;H1 ). (2.9) t0 ) + +) Определим также специальные пространства экспоненциально убывающих функций. Для лю- бого β > 0 положим Yβ (Π+)= {u(t, x, y): ueβx ∈ C([0,T ]; L2,+), |Du|eβx ∈ L2(Π+)}, T T и пусть для целых неотрицательных n Yβ,n(Π+)= {u(t, x, y): ∂m∂ν u ∈ Yβ (Π+), 3m + |ν| n}; T t T введем на этих пространствах естественные нормы. + Лемма 2.3. Пусть u0eβx ∈ Hn , где n = 3k для некоторого целого неотрицательного k, u1 ≡ 0, ∂mfeβx ∈ L2(0,T ; Hn-3m) при m k, причем выполнены условия согласования гранич- t ных данных, а именно, + Φ m(0, y) ≡ 0 при m < k. Тогда существует единственное решение u(t, x, y) задачи (2.1), (1.2), (1.3) из пространства Yβ,n(Π+) ∩ Kn(Π+) и для любого t0 ∈ (0,T ] справедливо неравенство ( βx k 1/6 '\\" T m βx T k-1 '\\" m βx '\\ lulYβ,n(Π+ c(T, n, β) lu0e lHn + t0 l∂t fe l n-3m + l∂t f e lHn-3(m+1) . t0 ) + m=0 L2(0,t0;H+ ) m=0 t=0 + (2.10) / βx Доказательство. При n =0 утверждение леммы было ранее установлено в [11]. При этом были доказаны оценка lulYβ (Π+ c(T, β) lu0eβx lL2,+ + lfe lL (0,t ;L )) (2.11) и неравенство t0 ) 1 0 2,+ rr u2(t, x, y)e2βx dxdy + 2β t r rr (3u2 + u2 )e2βx dxdydτ x y 0 t rr r rr t r rr 0 u2e2βx dxdy + 8β3 0 u2e2βx dxdydτ +2 0 fue2βx dxdydτ (2.12) 10 А. П. АНТОНОВА, А. В. ФАМИНСКИЙ (формально оно получается умножением равенства (2.1) на 2ue2βx и последующим интегрирова- нием). T t0 Поскольку при выполнении условий настоящей леммы выполнены также условия леммы 2.2, то существование решения рассматриваемой задачи из пространства Kn(Π+) уже доказано. При этом норма решения в пространстве Kn(Π+ ) оценивается через правую часть (2.8). Поэтому, в частности, в силу линейности задачи можно считать рассматриваемое решение достаточно гладким для справедливости промежуточных выкладок. Осталось оценить решение в пространствах функций с экспоненциальными весами, например, при x ;:? 1. Для любого r ;:? 1 положим ρ(x) ≡ e2βxη(2 - x/r)η(x)+ e4βr η(x/r - 1). Заметим, что ρ(x) → e2βxη(x) при r → +∞. Кроме того, |ρ∗∗∗(x)| c(ρ(x)+ 1) при x ;:? 0 равномерно по r. t Пусть 3m + |ν| n. Тогда функция v ≡ ∂m∂ν u удовлетворяет уравнению t ∂ vt + vxxx + vxyy = ∂m ν f (2.13) и v|t=0 = Φ m. Умножив равенство (2.13) на 2v(t, x, y)ρ(x) и проинтегрировав, получим аналогич- но (2.12), что rr v2(t, x, y)ρ(x) dxdy + t r rr (3v2 + v2)ρ∗ dxdydτ = x y 0 t rr r rr t r rr m = Φ 2 ρ dxdy + 0 v2ρ∗∗∗ dxdydτ +2 0 t ∂m∂ν fvρ dxdydτ, (2.14) откуда с учетом (2.8) следует, что равномерно по r lvρ1/2lC([0,t ];L ) + l|Dv|(ρ∗)1/2l + 0 2,+ c( L2(Πt0 ) k u0eβxlHn + t1/6 '\\" l∂mfeβxl n 3m k-1 + '\\" l∂mf eβxl '\\. l + 0 t m=0 + L2(0,t0;H - ) m=0 t t=0 H n-3(m+1) + Переходя в этом неравенстве к пределу при r → +∞, завершаем доказательство леммы. ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА Перейдем к нелинейному уравнению следующего вида: T ut + uxxx + uxyy + uux + (g(t, x, y)u)x = f (t, x, y). (3.1) Вначале рассмотрим задачу (3.1), (1.2), (1.3) для u1 ≡ 0 в классе функций K1(Π+). Теорема 3.1. Пусть u0 ∈ H1 , u1 ≡ 0, g ∈ K1(Π+) ∩ L2(0,T ; W 1,3/4), f ∈ L2(0,T ; H1 ), причем + T ∞,+ + u0(0, y) ≡ 0. Тогда существует единственное слабое решение u(t, x, y) задачи (3.1), (1.2), (1.3) T из пространства K1(Π+). Отображение (u0, g,f ) 1→ u Липшиц-непрерывно на любом шаре в норме отображения H1 × K1(Π+) ∩ L2(0,T ; W 1,3/4) × L2(0,T ; H1 ) в K1(Π+). + T ∞,+ + T Доказательство. Сначала установим результат локальный по времени. t0 Для t0 ∈ (0,T ] определим на множестве K1(Π+ ) отображение Λ следующим образом: u = Λv является решением из множества K1(Π+ ) начально-краевой задачи в Π+ для линейного уравнения t0 t0 ut + uxxx + uxyy = f - vvx - (gv)x (3.2) с граничными условиями (1.2), (1.3) (при u1 ≡ 0). В работе [9] было установлено следующее неравенство: при t0 ∈ (0,T ] luvxlL2(0,t0;H1 ) + luvy lL2(0,t0;H1 ) c(T )lulK1(Π+ lvl + . (3.3) + + t0 ) K1(Πt0 ) Из леммы 2.2 следует, что отображение Λ существует и в силу неравенств (2.9) и (3.3) ( 2 1/6 2 '\\ lulK1(Π+ c(T ) lu0lH1 + lflL2(0,T ;H1 + lgl + + t0 lvl + . (3.4) t0 ) + +) K1(ΠT ) K1(Πt0 ) О РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 11 0 Из неравенства (3.4) вытекает, что при достаточно больших R > 0 и достаточно малых t∗ ∈ (0,T ] отображение Λ для любого t0 ∈ (0, t∗] переводит шар K1,R(Π+ ) = {v ∈ K1(Π+ ) : lvl + R} в себя. 0 t0 v + t0 K1(Πt0 ) Далее рассмотрим две функции v и из шара K1,R(Πt0 ). Аналогично (3.4) находим, что 1/6 lΛv - Λ + c(T )t /R + lgl + ) v - l + . (3.5) t vlK1(Π ) 0 0 K1(ΠT ) l t v K1(Π ) 0 t0 Таким образом, при достаточно малых t0 отображение Λ является сжимающим в шаре K1,R(Π+ ). В итоге, применяя принцип сжимающих отображений, находим, что существует величина t0, + зависящая от lulH1 , lglK1(Π+ и lflL (0,T ;H1 , такая что в области Π существует единственное + T ) 2 +) t0 t0 решение задачи (3.1), (1.2), (1.3) из пространства K1(Π+ ). Чтобы продолжить это решение на весь интервал времени (0,T ), установим две априорные оценки. Лемма 3.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.1, и пусть для некоторого T ∗ ∈ (0,T ] функция u ∈ K1(Π+ ) является слабым решением задачи (3.1), (1.2), (1.3) в области Π+ , тогда T ∗ lulC([0,T ∗];L2,+) + lux L2(B ) c/T, lu0lL2,+ , lgl 1 , lfl T ∗ ), (3.6) x=0l T ∗ L1(0,T ;W ∞,+) L1(0,T ;L2,+) lulC([0,T ∗];H1 ) c/T, lu0lH1 , lgl 1,3/4 , lflL2(0,T ;H1 ). (3.7) + + L2(0,T ;W ∞,+ ) +) + Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу неравенства (3.3) uux, (gu)x ∈ L2(0,T∗; H1 ). Тогда в силу [10, лемма 4.3] для t ∈ [0,T ∗] справедливо равенство rr rr u2(t, x, y) dxdy + Bt u 2 x x=0 rr dydτ = rrr 0 u2 dxdy +2 Π + t /f - (gu)x - uux)u dxdydτ (3.8) (формально оно получается умножением равенства (3.1) на 2u и последующим интегрированием), откуда очевидно следует оценка (3.6). Далее в силу [10, лемма 4.4] (см. также [9, лемма 4]) для t ∈ [0,T ∗] справедливо равенство rr (u2 2 1 3'\\ rrr 2 2 2 ∗ x + uy - 3 u rr ρ(x) dxdy + (3uxx + 4uxy + uyy )ρ (x) dxdydτ + Π + t rrr + /u2 ρ + 2uxxuxρ∗ - u2 ρ∗∗) dydτ - (u2 + u2 )ρ∗∗∗ dxdydτ- xx Bt rrr x x=0 rrr Π + x y t rrr - u(4u2 + 2u2 )ρ∗ dxdydτ + 1 u3ρ∗∗∗ dxdydτ + 1 u4ρ∗ dxdydτ- rrr Π + x y t Π 3 + t rrr Π 4 + t 1 rrr Π - 2 + t (gu)x(uxx + uyy )ρ dxdydτ - 2 - - (gu)xuxρ∗ dxdydτ Π + 3 t (2gxρ gρ∗)u3 dxdydτ = Π + t 1 rr ( '\\ rrr rr = u2 + u2 - u3 ρ dxdy +2 (f u + f u )ρ dxdydτ +2 (fu ρ) dydτ- 3 0x 0y 0 R 2 + x x y y Π + t Bt rrr x x=0 - fu2ρ dxdydτ, (3.9) Π + t где ρ(x) ≡ 2 - (1 + x)-1/2 (формально оно получается умножением равенства (3.1) на -/2(uxρ)x + 2uyy ρ + u2ρ) и последующим интегрированием). В силу интерполяционного неравенства (1.8) и уже установленной оценки (3.6) rr 3 (rr 2 '\\1/2(rr 4 2 '\\1/2 (rr 2 '\\1/2 u ρ dxdy u dxdy u ρ dxdy c |Du| ρ dxdy + c, (3.10) 12 А. П. АНТОНОВА, А. В. ФАМИНСКИЙ аналогично при |ν| =1 rr ν 2 ∗ (rr ν 4 ∗ 2 '\\1/2 u(∂ u) ρ dxdy c (∂ u) (ρ ) dxdy rr ε rr |D(∂ν u)|2ρ∗ dxdy + c(ε) (∂ν u)2ρ dxdy, (3.11) где ε > 0 можно выбрать сколь угодно малым; далее, rr (gu)x(uxx + uyy )ρ dxdy ε rr 2 2 ∗ |D u| ρ dxdy+ + c(ε) ess sup l(g2 + g2)(ρ∗)-1l rr (u2 ρ + u2) dxdy, (3.12) x x + (x,y)∈R2 где (ρ∗(x))-1 ∼ (1 + x)3/2, а ε > 0 также можно выбрать сколь угодно малым. Тогда из равен- ства (3.9) легко следует оценка (3.7). Вернемся к доказательству теоремы 3.1, в котором осталось установить непрерывную зависи- мость решений от данных задачи. Пусть два набора (u0, g,f ) и ( , f ) лежат в некотором шаре в u0 g, u соответствующем пространстве. Рассуждая полностью аналогично доказательству существования локального по времени решения, выберем R > 0 и t0 ∈ (0,T ] так, чтобы решения соответству- ющих начально-краевых задач u и были единственными неподвижными точками сжимающих отображений Λ t0 и Λ в шаре K1,R(Π+ ). По аналогии с неравенством (3.5) можно записать, что lu - + c(T )llu0 - l 1 + lf - f l 1 + Rlg - l + + t ulK1(Π ) 0 u0 H+ T L2(0,T ;H+) g K1(Π ) + t1/6 gl + )lu - ul + + t1/6Rlu - ul + l, T ) 0 max(lglK1(Π+ , l K1(ΠT ) K1(Πt0 ) 0 K1(Πt0 ) откуда следует непрерывная зависимость локально по времени. Применение оценок (3.6), (3.7) завершает доказательство теоремы. ∞,+ Замечание 3.1. Использовав в доказательстве леммы 2.2 другую весовую функцию ρ, пока- затель 3/4 в условии g ∈ L2(0,T ; W 1,3/4), очевидно, можно немного уменьшить, но для наших дальнейших целей это непринципиально. Обобщим данный результат на более гладкий случай. Чтобы сформулировать условия согла- сования граничных данных на прямой (t, x) = (0, 0), введем соответствующие вспомогательные функции: пусть Φ0(x, y) ≡ u0(x, y), а для m ;:? 1 положим Φm(x, y) ≡ ∂m-1f (0, x, y) - (∂3 + ∂x∂2)Φm 1(x, y)- t x y - '\\" m-1 m - 1 - l l=0 l Φl(x, y)∂xΦm-l-1(x, y)+ /∂tg(0, x, y)Φm-l-1(x, y))x . (3.13) + Теорема 3.2. Пусть u0 ∈ Hn T для некоторого натурального n, u1 ≡ 0, g ∈ Kn(Π+) ∩ L2(0,T ; W 1,3/4), f ∈ M n(Π+), причем Φm(0, y) ≡ 0 для любого m < n/3. Тогда существует ∞,+ T T единственное решение u(t, x, y) задачи (3.1), (1.2), (1.3) из пространства Kn(Π+). Доказательство. Как и при доказательстве предыдущей теоремы, сначала установим локальный по времени результат. Для t0 ∈ (0,T ] введем множество функций K n(Π+ )= {v ∈ Kn(Π+ ): ∂mv = Φm при m m0 - 1 t0 t0 t t=0 t0 и определим на нем отображение Λn следующим образом: u = Λnv является решением из K n(Π+ ) t0 начально-краевой задачи в Π+ для линейной задачи (3.2), (1.2), (1.3) (при u1 ≡ 0). Заметим, что при m < n/3 функции Φ m, записанные по формулам (2.7) для случая уравне- ния (3.2), совпадают с функциями Φm из формул (3.13). О РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 13 В статье [10] были установлены следующие неравенства, обобщающие (3.3): luvxlMn(Π+ + luvy l + c(T, n)lul + lvl + , (3.14) а при n ;:? 2 t0 ) Mn(Πt0 ) Kn(Πt0 ) Kn(Πt0 ) luuxlMn(Π+ + luuy l + c(T, n)lul + lul + . (3.15) t0 ) Mn(Πt0 ) Kn-1(Πt0 ) Kn(Πt0 ) В силу (3.14) vvx ∈ Mn(Π+ ); очевидно также, что (gv)x ∈ Mn(Π+ ). Тогда из леммы 2.2 вытекает t0 t0 существование отображения Λn, причем аналогично (3.4) (c + t1/6 2 '\\ t ) t ) lulKn(Π+ 0 c(T, n) 0 lvlKn(Π+ 0 , (3.16) c где константа зависит от норм u0, g и f в соответствующих пространствах. Из этого неравенства 0 следует, что при достаточно больших R > 0 и достаточно малых t∗ ∈ (0,T ] отображение Λn 0 для любого t0 ∈ (0, t∗] переводит соответствующий шар радиуса R в себя. Аналогично (3.5) устанавливается также, что при малых t0 это отображение является сжимающим. Чтобы построить глобальное решение, установим следующую априорную оценку: если u ∈ Kn(Π+ ) является слабым решением задачи (3.1), (1.2), (1.3) в области Π+ при n ;:? 2, то T ∗ lulKn(Π+ c(n, T, lu0lHn , lgl + , lgl 1,3/4 , lflM T ∗ (Π+ , lul + ). (3.17) T ∗ ) + Kn(ΠT ) ,+ L2(0,T ;W ) ∞ n T ) Kn-1(ΠT ∗ ) Действительно, если рассмотреть решение u как неподвижную точку отображения Λn, то анало- гично (3.16) (но применяя вместо неравенства (3.14) неравенство (3.15)) находим, что lulKn(Π+ c(T, n) (c + t1/6 lul + lul + '\\, t0 ) 0 Kn-1(ΠT ∗ ) Kn(Πt0 ) откуда очевидным образом следует оценка (3.17). T T Замечание 3.2. Методами, аналогичными доказательству теоремы 3.1, можно также устано- вить непрерывную зависимость решений от данных задачи в каждом из пространств Kn(Π+), но это в дальнейшем не используется. Однако, разумеется, из доказательства теоремы 3.2 следует, что норма решения задачи (3.1), (1.2), (1.3) в пространстве Kn(Π+) оценивается через соответ- ствующие нормы функций u0, g, f из условия теоремы. Перейдем к результату, аналогичному теореме 3.3 для случая пространств с экспоненциаль- ными весами. Для описания свойств правой части уравнения введем специальное пространство (фактически оно уже использовалось в лемме 2.3) с естественной нормой: для n = 3k (k ;:? 0 - целое число) и β > 0 положим Zβ,n(Π+ m βx n-3m T )= {f (t, x, y): ∂t fe ∈ L2(0,T ; H+ )}. Лемма 3.2. Если k - натуральное, то для любого T > 0 при t0 ∈ (0,T ] luvxlZβ,n(Π+ + luvy l + c(T, β, n)lul + lvl + . (3.18) t0 ) Zβ,n(Πt0 ) Kn(Πt0 ) Yβ,n(Πt0 ) Доказательство. Для простоты изложения ограничимся случаем k = 1, поскольку в общем слу- чае рассуждения полностью аналогичны. t0 Оценим в пространстве L2(Π+ ) выражения ∂ν1 u∂ν2 veβx для |ν1|+|ν2| = 4, |ν1| 3. Если |ν1| = 0, то lu∂ν2 veβxl + lul + l∂ν2 veβxl + clulC([0,T ];H2 lvl + L2(Πt0 ) L∞(Πt0 ) L2(Πt0 ) +) Yβ,3(Πt0 ) ∞ в силу известного вложения H2(Ω) ⊂ L (Ω) на плоскости. Аналогично, если |ν1| = 1, то l∂ν1 u∂ν2 veβxl + c(T )lulC([0,T ];H3 l∂ν2 veβxlC([0,t ];L ), а если |ν1| = 3, то L2(Πt0 ) +) 0 2,+ l∂ν1 u∂ν2 veβxl + c(T )lul 3 l∂ν2 veβxlC([0,t ];L ) c(T, β)lul + lveβxl 3 . L2(Πt0 ) Наконец, если |ν1| = 2, то C([0,t0];H+) 0 ∞,+ K3(Πt0 ) C([0,t0];H+) l∂ν1 u∂ν2 veβxl + c(T )l∂ν1 ulC([0,t ];L )l∂ν2 veβxlC([0,t ];L ) L2(Πt0 ) 0 4,+ 0 4,+ βx c(T, β)lulC([0,t0];H3 lve l 3 . +) C([0,t0];H+) 14 А. П. АНТОНОВА, А. В. ФАМИНСКИЙ Кроме того, при |ν| =1 lu∂ν vteβxl + clul 2 l|Dvt|eβxl + , L2(Πt0 ) C([0,T ];H+) L2(Πt0 ) l∂ν uvteβxl + c(T )lul 3 lvteβxlC([0,t ];L ). L2(Πt0 ) C([0,T ];H+) 0 2,+ + Теорема 3.3. Пусть u0eβx ∈ Hn для некоторого β > 0, n = 3k и натурального k, u1 ≡ 0, T T T g ∈ Kn(Π+) ∩ Yβ,n(Π+), f ∈ Zβ,n(Π+), причем Φm(0, y) ≡ 0 для любого m < k. Тогда существует единственное решение (t, x, y) задачи (3.1), (1.2), (1.3) из пространства Kn(Π+) ∩ Yβ,n(Π+). u T T Доказательство. Схема доказательства полностью аналогична теореме 3.2. Для t0 ∈ (0,T ] опре- делим на множестве K n(Π+ )∩Yβ,n(Π+ ) отображение u = Λnv как решение задачи (3.2), (1.2), (1.3) t0 t0 из этого же множества. t0 В силу лемм 2.2 и 2.3, а также оценок (3.14) и (3.18) отображение Λn существует, и для него справедлив аналог неравенства (3.16), в котором норма в пространстве Kn(Π+ ) заменена на сумму норм в Kn(Π+ ) и Yβ,n(Π+ ). Рассуждая аналогично теореме 3.2, получаем результат о t0 t0 разрешимости рассматриваемой задачи в Kn(Π+ ) ∩ Yβ,n(Π+ ) при малых t0. t0 t0 T Чтобы продолжить это локальное по времени решение, заметим, что в пространстве Kn(Π+) это уже осуществлено. Далее, в силу (2.10) и (3.18) t0 ) lulYβ,n(Π+ c(T, β, n)/c + lgl T Yβ,n(Π+)lul T Kn(Π+)+ 0 lglKn(Π+ lul + t1/6 T ) t0 Yβ,n(Π+ ) + t 1/6 0 lul T Kn(Π+)lul , ) t0 Yβ,n(Π+ ) T что позволяет продолжить решение и в пространстве Yβ,n(Π+). α Определим вспомогательную весовую функцию ρα(x), α ;:? 0, следующим образом: ρα ∈ C∞(R) - монотонно возрастающая функция такая, что ρα(x) ≡ ex для x -1, ρα(x) ≡ (1 + x)α, если α > 0, и ρ0(x) ≡ 2 - (1 + x)-1/2 для x ;:? 0, ρ∗ (x) > 0 для -1 < x < 0. Заметим, что ρ∗ (k) α α(x) c(α)ρα(x), |ρα (x)| c(k, α)ρ∗ (x) для всех x ∈ R и натуральных k ;:? 2. В следующих шести леммах будем предполагать, что условия теоремы 3.3 выполнены при лю- бом натуральном k и рассматривать соответствующие бесконечно гладкие быстро убывающие на бесконечности решения задачи (3.1), (1.2), (1.3), но полученные оценки будут зависеть от норм функций u0, g и f из условий каждой леммы. Лемма 3.3. Пусть α ;:? 0. Тогда T ) lulXα(Π+ c, (3.19) 2,+ где константа c зависит от T, α, нормы u0 в Lα ∞,+ , нормы g в L1(0,T ; W 1 ) и нормы f в 2,+ L1(0,T ; Lα ). + Доказательство. Пусть ρ(x) ≡ ρ2α(x - x0) для произвольного x0 ;:? 0. Умножив равенство (3.1) на 2u(t, x, y)ρ(x) и проинтегрировав по R2 , получим, что d rr rr u2ρ dxdy + r (3u2 + u2 )ρ∗ dxdy + u2 rr ρ(0) dy - u2ρ∗∗∗ dxdy- dt x y R 2 rr 3 ∗ x x=0 rr 2 rr - 3 u ρ dxdy + (gxρ - gρ∗)u dxdy +2 fuρ dxdy. (3.20) Аналогично (3.10), используя уже полученную оценку (3.6), находим, что rr 3 ∗ (rr 2 '\\1/2(rr 4 ∗ 2 '\\1/2 u ρ dxdy u dxdy c(rr u (ρ ) dxdy 1/2 rr 1/2 rr |Du|2ρ∗ dxdy'\\ ( u2ρ dxdy'\\ + c u2ρ dxdy. (3.21) Тогда из (3.20), (3.21) и свойств функции ρ следует утверждение леммы. О РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 15 Лемма 3.4. Пусть α ;:? 1/2. Тогда для любых δ0 ∈ (0,T ), δ ∈ (δ0,T ) 1 1 T ) 1|Du|1Xα-1/2(Πδ,0 c, (3.22) 2,+ где константа c зависит от T, α, δ0, δ, нормы u0 в Lα ∞,+ , нормы g в L2(0,T ; W 1,3/4), нормы f в 2,+ L2(0,T ; Lα α-1/2 ) и нормы |Df| в L2(δ0,T ; L2,+ ). Доказательство. Пусть ρ(x) ≡ ρ2α-1(x-x0) для произвольного x0 ;:? 0, ϕ(t) ≡ η/(t-δ0)/(δ -δ0)), + где функция η задана равенством (1.7) (тогда ϕ(t) = 0 при t δ0, ϕ(t) = 1 при t ;:? δ). Умножим равенство (3.1) на -/2(uxρ)x + 2uyy ρ + u2ρ)ϕ и проинтегрируем по R2 ; тогда аналогично (3.9) d rr (u2 2 1 3'\\ rr 2 2 2 ∗ dt x + uy - 3 u r ρϕ dxdy + (3uxx + 4uxy + uyy )ρ ϕ dxdy+ rr + /u2 ρ + 2uxxuxρ∗ - u2 ρ∗∗) ϕ dy - (u2 + u2 )ρ∗∗∗ϕ dxdy- xx x R rr x=0 x y rr rr - u(4u2 + 2u2 )ρ∗ϕ dxdy + 1 u3ρ∗∗∗ϕ dxdy + 1 u4ρ∗ϕ dxdy- x y 3 rr rr 4 1 rr 3 - 2 (gu)x(uxx + uyy )ρϕ dxdy - 2 (gu)xuxρ∗ϕ dxdy - 3 (2gxρ - gρ∗)u ϕ dxdy = = rr (u2 + u2 1 u3 '\\ rr ρϕ∗ dxdy +2 (f u r + f u )ρϕ dxdy +2 (fu ρ) ϕ dy- - x y 3 x x y y x x=0 R rr - fu2ρϕ dxdy. (3.23) Здесь аналогично (3.10), используя уже полученную оценку (3.19), находим, что rr 3 (rr 2 '\\1/2(rr 4 ∗ 2 2 '\\1/2 (rr 2 '\\1/2 u ρϕ dxdy u dxdy u (ρ ) ϕ dxdy c |Du| ρϕ dxdy + c, кроме того, в силу (3.19) T r rr 1 3 2 2 ux + uy - 3 u ρϕ∗ dxdydt c. 0 Для оценки интегралов по R при x = 0 используем неравенство (3.6). Далее, аналогично (3.11) при |ν| =1 и любом сколь угодно малом ε > 0 rr ν 2 ∗ (rr 2 '\\1/2(rr ν 4 ∗ 2 2 '\\1/2 u(∂ u) ρ ϕ dxdy u dxdy (∂ u) (ρ ) ϕ dxdy Наконец, аналогично (3.12) rr rr ε |D(∂ν u)|2ρ∗ϕ dxdy + c(ε) (∂ν u)2ρϕ dxdy. rr (gu)x(uxx + uyy )ρϕ dxdy ε rr 2 2 ∗ |D u| ρ ϕ dxdy+ + c(ε) ess sup l(g2 + g2)ρ(ρ∗)-1l rr (u2 + u2)ρϕ dxdy, (3.24) x x + (x,y)∈R2 где ρ(x)(ρ∗(x))-1 c(1 + x)3/2 при α = 1/2, ρ(x)(ρ∗(x))-1 c(1 + x) при α > 1/2, а ε > 0 можно выбрать сколь угодно малым. Тогда из равенства (3.23) вытекает искомая оценка. Лемма 3.5. Пусть α ;:? 1/2. Тогда для любых δ0 ∈ (0,T ), δ ∈ (δ0,T ) T ) lulK1(Πδ,0 c, (3.25) T где константа c зависит от тех же величин, что и в (3.22), а также от нормы g в K1(Π+) 16 А. П. АНТОНОВА, А. В. ФАМИНСКИЙ Доказательство. Перенесем начало отсчета времени в точку t = δ. В силу (3.22) + lu(δ, ·, ·)lH1 c. (3.26) Тогда требуемое утверждение следует из теоремы 3.1. Лемма 3.6. Пусть α ;:? 1, 2 m 2α для некоторого натурального m. Тогда для любых δ0 ∈ (0,T ), δ ∈ (δ0,T ), a > 0, x0 > a, если 2 l m, то 1 1 1|Dlu|1 T Xα-l/2(Πδ,x0 ) c, (3.27) где константа c зависит от тех же величин, что и в (3.25), а также от m, a, x0, нормы g в m+1 L1(δ0,T ; W 1 2,a ((a, +∞) × R)) и норм |Dj f| в L1(δ0,T ; Lα-j/2) при 2 j m. Доказательство. Применим индукцию по l. Пусть x∗ ∈ (x0, a), x - x1 + x0 - x∗ ρ(x) ≡ ρ2α-l(x - x1)η x0 - x∗ для произвольного x1 ;:? x0 (тогда при x ;:? x1, если 2α - l > 0, то ρ(x) = (1 + x - x1)2α-l, а если 2α - l = 0, то ρ(x) = 2 - (1 + x - x1)-1/2; ρ(x) = 0 при x x1 - x0 + x∗), δ∗ ∈ (δ0, δ), ϕ(t) ≡ η тогда t - δ∗ δ - δ∗ , |ν| = l. Умножим равенство (3.1) на (- + 1)l2∂ν (∂ν uρ)ϕ и проинтегрируем по R2 ; d rr dt rr (∂ν u)2ρϕ dxdy - rr (∂ν u)ρϕ∗ dxdy + rr x y rr /3(∂ν u )2 + (∂ν u )2 rr )ρ∗ϕ dxdy - - (∂ν u)2ρ∗∗∗ϕ dxdy +2 ∂ν (uux)∂ν uρϕ dxdy +2 ∂ν (gux + gxu)∂ν uρϕ dxdy = rr =2 ∂ν f∂ν uρϕ dxdy. (3.28) Согласно (3.22) при l =2 и в силу индуктивного предположения при l > 2 T r rr 0 (∂ν u)2(ρϕ∗ + ρ∗∗∗ϕ) dxdydt c. (3.29) Оценим интеграл от функции ∂ν1 u∂ν2 ux∂ν uρϕ, где |ν1|, |ν2| l, |ν1| + |ν2| = l, причем если |ν2| = l, то ν2 = ν. Если |ν1| = 0, то разобъем интеграл на две части. Положим ψ1(x) ≡ η(x - x1), ψ2(x) ≡ η(1 + x1 - x). Тогда при t ∈ [δ∗,T ] в силу (3.25) rr ν ν 2 rr ν 2/ ) u∂ ux∂ uρψ1ϕ dxdy = (∂ u) uxρψ1 + u(ρψ1)∗ rr ϕ dxdy rr c sup + (x,y)∈R2 | / ux| + |u|) × (∂ν u)2ρϕ dxdy = γ(t) (∂ν u)2ρϕ dxdy, (3.30) где lγlL1(0,T ) c. Если x ∈ (x1 - x0 + x∗, x1 + 1), то из определений функций η (см. (1.7)) и ρα легко следует, что ρ(x) cρ∗(x), и тогда согласно (3.25) при t ∈ (δ∗,T ] rr rr |u∂ν ux∂ν u|ρψ2ϕ dxdy c sup |u|× ( x;:?0 (∂ν ux)2ρ∗ϕ dxdy'\\ 1/2 × (rr × (∂ν u)2ρϕ dxdy'\\ 1/2 rr ε rr (∂ν ux)2ρ∗ϕ dxdy + γ(t) (∂ν u)2ρϕ dxdy, (3.31) где lγlL1(0,T ) c, а ε > 0 можно выбрать сколь угодно малым. О РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 17 Если |ν1| = 1, то в силу (3.25) при t ∈ [δ∗,T ] rr rr 1/2 |∂ν1 u∂ν2 ux∂ν u|ρϕ dxdy c sup + (x,y)∈R2 |∂ν1 u|× ( (rr (∂ν2 ux)2ρϕ dxdy'\\ × 1/2 rr × (∂ν u)2ρϕ dxdy'\\ γ(t) |Dlu|2ρϕ dxdy, (3.32) где lγlL1(0,T ) c. Аналогичная оценка, разумеется, справедлива при |ν1| = l. Наконец, если |ν1| l - 1, |ν2| l - 2, то rr ∂ν1 u∂ν2 ux∂ν uρϕ (rr (∂ν1 u∂ν2 ux)2ρϕ dxdy '\\1/2(rr (∂ν u)2ρϕ dxdy '\\1/2 . (3.33) Опять применяя интерполяционное неравенство (1.8), находим, что (rr (∂ν1 u∂ν2 u)2ρϕ dxdy'\\1/2 c '\\" 2α l (rr (∂ν u)4ρ2 - (x)χ (x∗,+∞) (x)ϕ dxdy'\\1/2 |ν| l-1 rr c1 '\\" j l - |Dj u|2ρ2α l(x)χ (x∗,+∞) (x)ϕ1/2 dxdy = γ(t), (3.34) где символ χI обозначает характеристическую функцию интервала I ⊂ R, lγlL1(0,T ) c. В итоге из равенства (3.28) и оценок (3.29)-(3.34) получаем, что d rr l 2 1 rr l+1 2 ∗ rr l 2 dt |D u| ρϕ dxdy + 2 |D u| ρ ϕ dxdy γ(t)/ |D u| ρϕ dxdy + 1), (3.35) где lγlL1(0,T ) c, откуда следует утверждение леммы. Лемма 3.7. Если α > 0, то 1 1 T ) 1|Du|1Xα(Π+ c, (3.36) где константа c зависит от T, α, нормы u0 в H1,α, норм g в K1(Π+) и L2(0,T ; W 1,3/4), нормы + f в L2(0,T ; H1,α). + T ∞,+ + Доказательство. Пусть ρ(x) ≡ ρ2α(x - x0) для произвольного x0 ;:? 0. Умножим равенство (3.1) на -/2(uxρ)x + 2uyy ρ) и проинтегрируем по R2 ; тогда аналогично (3.23) d rr rr (u2 + u2 )ρ dxdy + (3u2 + 4u2 + u2 r )ρ∗ dxdy + /u2 ρ + 2uxxuxρ∗ - u2 ρ∗∗) dy- dt x y rr - (u2 + u2 )ρ∗∗∗ dxdy + xx xy yy xx R rr rr (uxρ - uρ∗)(u2 + u2 ) dxdy +2 x x=0 (gu)x(uxx + uyy )ρ dxdy- x y x y rr rr r - 2 В силу теоремы 3.1 (gu)xuxρ∗ dxdy =2 (fxux + fy uy )ρ dxdy +2 R x=0 (fuxρ) dy. (3.37) rr 2 2 / ) rr 2 2 (x,y)∈R2 (uxρ - uρ∗)(ux + uy ) dxdy c sup + |ux| + |u| × (ux + uy )ρ dxdy = rr = γ(t) (u2 + u2 )ρ dxdy, (3.38) x y где lγlL1(0,T ) c. Используя также оценку (3.6) и оценку (3.24) (в которой положим ϕ ≡ 1), выводим из равенства (3.37) утверждение леммы. Лемма 3.8. Пусть α ;:? 1/2, 2 m 2α +1 для некоторого натурального m. Тогда для любых δ0 ∈ (0,T ), δ ∈ (δ0,T ), a > 0, x0 > a, если 2 l m, то 1 1 1|Dlu|1 T Xα-l/2+1/2(Πδ,x0 ) c, (3.39) 18 А. П. АНТОНОВА, А. В. ФАМИНСКИЙ где константа c зависит от тех же величин, что и в (3.36), а также от m, δ0, δ, a, x0, нормы m+1 g в L1(δ0,T ; W 1 2,a ((a, +∞) × R)) и норм |Dj f| в L1(δ0,T ; Lα-j/2+1/2) при 2 j m. Доказательство. Доказательство полностью аналогично доказательству леммы 3.6. Применяем индукцию по l. Пусть x∗ ∈ (x0, a), ρ(x) ≡ ρ2α-l+1(x - x1)η/(x - x1 + x0 - x∗)/(x0 - x∗)) для про- извольного x1 ;:? x0, δ∗ ∈ (δ0, δ), ϕ(t) ≡ η/(t - δ∗)/(δ - δ∗)), |ν| = l. Умножив равенство (3.1) на + l > 2 (-1)l2∂ν (∂ν uρ)ϕ и проинтегрировав по R2 , получаем равенство (3.28) В силу (3.36) при l = 2 и индуктивного предположения при выводим неравенство (3.29). Интеграл от нелинейно- сти рассматривается полностью аналогично (3.30)-(3.34). В итоге получаем неравенство (3.35) и завершаем доказательство леммы. ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ На основании результатов части 3 проведем доказательство основных утверждений работы. Доказательство теорем 1.3 и 1.4. В силу определения пространств Hs1,s2 (Ω) можно сразу счи- тать, что u1 ∈ H2/3,2(R2). Более того, перейдя к функции u1(t, y)η(t + 1), можно также считать, что u1(t, y)=0 при t -1. Положим g(t, x, y) ≡ J (t, x, y; u1), (4.1) где функция J задана формулой (2.2). Положим также T U0(x, y) ≡ u0(x, y) - g(0, x, y), F (t, x, y) ≡ f (t, x, y) - g(t, x, y)gx(t, x, y) (4.2) и в области Π+ рассмотрим начально-краевую задачу t=0 Ut + Uxxx + Uxyy + UUx + (gU )x = F, U x=0 = U0, U = 0. (4.3) Тогда из свойств функции J вытекает, что функция U (t, x, y) ≡ u(t, x, y) - g(t, x, y) (4.4) является слабым решением задачи (4.3) тогда и только тогда, когда функция u является решением исходной задачи. В силу свойств (2.3) и (2.6) функция g ∈ K1(Π+), eβxg ∈ L2(0,T ; C1 ), eβxg ∈ C([0,T ]; H1 ) T b,+ + для любого β ;:? 0, а если a > 0, то eβxg ∈ C([0,T ]; Hn((a, +∞) × R)) для любого n. Тогда, в частности, для функций U0 и F выполнены те же условия, что и для функций u0 и f в гипотезах рассматриваемых теорем. Теперь приблизим функции g, U0 и F более гладкими с помощью операции усреднения. Для h > 0 положим 1 rr uh ( t - t1 '\\ ( y - y1 '\\ h 2 h 1 (t, y) ≡ 2 ω ω R h u1(t1, y1) dy1dt1, (4.5) где ядро усреднения ω задано формулой (1.6), 1 gh(t, x, y) ≡ J (t, x, y; uh). (4.6) Аналогично продолжим нулем функцию U0 при x < 0 и функцию f при t ◦∈ (0,T ), а также функцию f четным образом при x < 0 и положим 0 U0h(x, y) ≡ U h(x, y)η(x/h)η(1/h - x), Fh(t, x, y) ≡ F h(t, x, y)η(t/h)η(1/h - x), (4.7) где верхний индекс h везде обозначает переход к средней функции. Свойства операции усред- 1 нения хорошо известны. В частности, функции uh аппроксимируют функцию u1 в пространстве H2/3,2(R2). Тогда, используя оценки (2.3), (2.6), нетрудно получить, что функции gh, U0h, Fh аппроксимируют функции g, U0, F во всех указанных выше пространствах. Более того, если рассмотреть задачу t=0 Ut + Uxxx + Uxyy + UUx + (ghU )x = Fh, U x=0 = U0h, U = 0, (4.8) то для нее справедливы условия теоремы 3.3 для любых β и k. Рассмотрим соответствующее решение этой задачи Uh ∈ Kn(Π+) ∩ Yβ,n(Π+), n = 3k. T T О РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 19 Тогда соответствующие аналоги оценок (3.19), (3.22), (3.25), (3.27) для функций Uh будут справедливы равномерно по h. Эти оценки обеспечивают слабую или ∗-слабую сходимость функ- ций Uh и ее производных к некоторой функции U и ее производным при h → 0 (после перехода к подпоследовательности) в аналогах пространств из гипотез рассматриваемых теорем, в кото- рых свойство слабой непрерывности по времени соответствующих отображений надо заменить на принадлежность отображений классу L∞ (эти и последующие рассуждения более подробно проведены, например, в [8, 11]). Покажем, что предельная функция U является слабым решением задачи (4.3). Используя само уравнение (4.8), находим, что равномерно по h + lUhtlL2(0,T ;H-3) c, (4.9) + h и тогда для любого компакта K ⊂ R2 , применяя также ограниченность множества {U } в про- странстве L2(0,T ; H1(K)) (следующую из (3.19)), получаем сильную сходимость Uh к U (опять по подпоследовательности) в пространстве L2((0,T ) × K). Запишем аналог интегрального тожде- ства (1.4) для функций Uh: rrr Π + T Uh(φt + φxxx + φxyy )+ h 1 rr U 2φx + ghUhφx + Fhφ dxdydt + 2 U0hφ t=0 dxdy = 0. + Пусть в нем сначала пробные функции φ гладкие с компактными носителями в R2 . Тогда уста- новленная сильная сходимость позволяет перейти к пределу и получить интегральное тождество rrr U (φ + φ 1 + φ )+ U 2φ + gUφ + Fφ rr dxdydt + U φ dxdy =0 (4.10) t xxx Π + T xyy 2 x x 0 t=0 в этом случае. Аппроксимируя функции φ из определения 1.1 соответствующими гладкими фи- нитными функциями и, в свою очередь, переходя к пределу, получаем равенство (4.10) и в общем случае. Осталось заметить, что слабая непрерывность по времени отображений, необходимая для при- надлежности функции U и ее производных соответствующим пространствам Xα или Xα-m/2, + вытекает стандартным образом из принадлежности этих отображений классам L∞ и принадлеж- ности производной Ut пространству L2(0,T ; H-3) (см. (4.9)). + Доказательство теорем 1.5 и 1.6. Введем функции g, U0, F по формулам (4.1), (4.2). Заме- тим, что в силу условия согласования граничных данных U0(0, y) = u0(0, y) - J (0, 0, y; u1) = u0(0, y) - u1(0, y) ≡ 0, и тогда продолжение функции U0 нулем при x < 0 приводит к функции из пространства H1(R2). Поэтому, функции U0h, определенные по формулам (4.7), аппроксимируют функцию U0 в пространстве H1,α. Следовательно, для функций Uh справедливы равномерные по h аналоги оценок (3.19), (3.36) и (3.39). Более того, поскольку в силу неравенств (2.3) и (2.6) gh → g при h → 0 в пространствах K1(Π+) и L2(0,T ; W 1,3/4), то в силу теоремы 3.1 функции Uh → U в K1(Π+) при h → 0, а следо- T ∞,+ T вательно, решение исходной задачи, заданное формулой (4.4), также принадлежит пространству T K1(Π+). T Окончание доказательства проводится так же, как и для предыдущих теорем, причем оно может быть значительно упрощено за счет использования свойств пространства K1(Π+). Заметим, что из теоремы 3.3, свойств граничного потенциала J и формул (4.1)-(4.4) легко выте- кает следующий результат о корректности исходной задачи в пространствах гладких убывающих на бесконечности функций. + Теорема 4.1. Пусть u0eβx ∈ Hn для некоторого β > 0, n = 3k и натурального k, u1 ∈ Hk,n + m (BT ), f ∈ Zβ,n(ΠT ), причем Φm(0, y) ≡ ∂t u1(0, y) для любого m < k, где для вычисления функций Φm в формулах (3.13) следует положить g ≡ 0. Тогда существует единственное решение u(t, x, y) задачи (1.1)-(1.3) из пространства Kn(Π+) ∩ Yβ,n(Π+). T T 20 А. П. АНТОНОВА, А. В. ФАМИНСКИЙ НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Из теорем 1.1-1.6 и свойств фундаментального решения оператора ∂t + ∂3 + ∂x∂2 можно полуx y чить следующие результаты о существовании у рассматриваемых слабых решений классических непрерывных производных. 2,+ Теорема 5.1. Пусть u0 ∈ Lα ∞ , u1 ∈ H2/3,2(BT ), f ∈ L 2,+ (0,T ; Lα ) для некоторого α > 3/4 ∞ такого, что (2α - 1/2) нецелое, ∂ν f ∈ L 2,+ (0,T ; Lα-|ν|/2) для 1 |ν| 2α, m = [2α - 1/2]. Тогда T существует непрерывное в Π+ слабое решение u(t, x, y) задачи (1.1)-(1.3) из пространства Xα(Π+). Это решение обладает в Π+ непрерывными производными ∂ν u до порядка |ν| m- 1. T T При этом для любых δ ∈ (0,T ) и x0 > 0 sup δ,x0 |∂ν u(t, x, y)| < ∞, 0 |ν| m - 1. (5.1) (t,x,y)∈ΠT Более того, если |ν| = m - 1, ε = 2α - m - 1/2, то для любых x1, x2 ;:? x0, y1, y2 ∈ R и t ∈ [δ, T ] |∂ν u(t, x1, y1) - ∂ν u(t, x2, y2)| c(|x1 - x2|ε-σ + |y1 - y2|ε-σ ) ∀σ ∈ (0, ε), (5.2) а если |ν| = m - 1 - j, j = 0, 1, 2, ε = 2α - m - 1/2+ j, то для любых x ;:? x0, y ∈ R и t, τ ∈ [δ, T ] |∂ν u(t, x, y) - ∂ν u(τ, x, y)| c|t - τ |(ε-σ)/3 ∀σ ∈ (0, ε), (5.3) где константы зависят от x0, δ, σ, α. T Замечание 5.1. Если 3/4 < α < 1, то построенное в теореме 5.1 решение рассматриваемой задачи обладает также свойствами из теоремы 1.3. Если α ;:? 1, то выполнение свойств решений из теорем 1.3 и 1.4 вытекает автоматически из единственности решений в классе Xα(Π+). + ∞ Теорема 5.2. Пусть u0 ∈ H1,α, u1 ∈ H2/3,2(BT ), u0(0, y) ≡ u1(0, y), f ∈ L + (0,T ; H1,α) для ∞ некоторого α > 3/4 такого, что (2α + 1/2) - нецелое, ∂ν f ∈ L 2,+ (0,T ; Lα-|ν|/2+1/2) для 2 |ν| 2α + 1, m = [2α + 1/2]. Тогда существует (единственное) непрерывное в ΠT слабое решение u(t, x, y) задачи (1.1)-(1.3) из пространства K1(Π+). Это решение обладает в Π+ T T непрерывными производными ∂ν u до порядка |ν| m - 1. При этом для любых δ ∈ (0,T ) и x0 > 0 справедливо неравенство (5.1). Если |ν| = m - 1, ε = 2α - m + 1/2, то для любых x1, x2 ;:? x0, y1, y2 ∈ R и t ∈ [δ, T ] справедливо неравенство (5.2), а если |ν| = m- 1 -j, j = 0, 1, 2, ε = 2α - m + 1/2+ j, то для любых x ;:? x0, y ∈ R и t, τ ∈ [δ, T ] справедливо неравенство (5.3). Доказательство теорем 5.1 и 5.2. Доказательство этих теорем полностью аналогично доказа- тельству соответствующих результатов из работ [1, 12]. Действительно, пусть x0 > 0, δ ∈ (0,T ). Введем вспомогательные функции ψ(x) ≡ η(4x/x0 - 1), ϕ(t) ≡ η(2t/δ - 1). Положим v(t, x, y) ≡ ∂ν u(t, x, y)ϕ(t)ψ(x), где |ν| m - 1, тогда функция v(t, x, y) является решением (вообще говоря, в смысле обобщенных функций) в слое ΠT линейной задачи Коши vt + vxxx + vxyy = ∂ν fϕψ - '\\" |ν1|+|ν2|=|ν| c(ν1, ν2)∂ν1 u∂ν2 uxϕψ + ∂ν uϕ∗ψ+ + 3∂ν uxxϕψ∗ + 3∂ν uxϕψ∗∗ + ∂ν uϕψ∗∗∗ + ∂ν uyy ϕψ∗ ≡ F (t, x, y), (5.4) v t=0 = 0. (5.5) Используя фундаментальное решение оператора ∂t + ∂3 + ∂x∂2 (см. (2.5)), запишем функцию v в виде x y t r rr v(t, x, y)= 0 G(t - τ, x - ξ, y - ζ)F (τ, ξ, ζ) dξdζdτ. (5.6) Именно такое представление было использовано в [12] для получения оценок аналогичных (5.1) и в [1] - оценок аналогичных (5.2). Эти рассуждения без изменений переносятся на случай настоя- щей работы. Оценка модуля непрерывности по t в (5.3) вытекает из результатов работы [3] и уже полученных оценок модуля непрерывности по пространственным переменным (более подробно см. также в [1]).