Задача успокоения системы, описываемой смешанным дифференциально-разностным уравнением

Аннотация

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ В статье исследуется задача полного успокоения в системе, описываемой уравнениями, являющимися дифференциальными по одной переменной и разностными по другой. Начальные и краевые задачи для таких уравнений, названых смешанными, изучались А. Д. Мышкисом [5], Г. А. Каменским [6]. Задача полного успокоения управляемой системы, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением с запаздыванием, исследована в работах Н. Н. Красовского [4], А. Л. Скубачевского [7] (линейная задача), Г. А. Каменского [6] (нелинейная задача). В данной статье доказан критерий управляемости системы, описываемой смешанным дифференциальноразностным уравнением, при управлении с помощью краевых функций. Ранее эта задача изучалась в работе [1], результаты сформулированы в тезисах конференции [2]. 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим систему, описываемую уравнением xt(t, s)= (Rx)(t, s), (t, s) ∈ QT , (2.1) с управлением и начальными условиями x(t, s)= u(t, s), (t, s) ∈ GT (2.2) x(0, s)= x0(s), s ∈ (0, a). (2.3) Здесь QT = (0,T )×(0, a), a = N +θ, N - натуральное число, 0 <θ 1, GT = (0,T )×((-N, 0)∪ (a, a + N )), R : L2(GT ∪ QT ) → L2(QT ) - разностный оператор, действующий по формуле N (Rx)(t, s)= '\\" i=-N aix(t, s + i), ai - вещественные постоянные, x0 ∈ L2(0, a), u ∈ L2(GT ) - функция управления. Задачу (2.1)- (2.3) назовем задачей управления с помощью краевых функций u. Решением задачи (2.1)-(2.3) будем называть функцию x ∈ H = {y(t, s) ∈ L2(QT ∪ GT )|y(t, s) ∈ H1,0(QT ), (t, s) ∈ (QT )}, если условия (2.1)-(2.3) выполнены почти всюду. Здесь H1,0(QT ) - анизотропное пространство Соболева функций из L2(QT ), у которых существует и принадлежит L2(QT ) обобщенная производная по t. Определение 2.1. Состояние x0 ∈ L2(0, a) назовем управляемым, если существуют T ∈ R1, u ∈ L2(GT ) такие, что для функции x ∈ H, являющейся решением задачи (2.1)-(2.3) в области QT , x(T, s)= 0, s ∈ (0, a). Определение 2.2. Система, заданная уравнениями задачи (2.1)-(2.3), называется полностью управляемой, если каждое состояние x0 ∈ L2(0, a) управляемо, т. е. X = L2(0, a). Получим условия на коэффициенты разностного оператора R, гарантирующие управляемость системы (2.1)-(2.3). Qc 2015 РУДН 65 66 Е. П. ИВАНОВА 3. УСЛОВИЯ УПРАВЛЯЕМОСТИ Лемма 3.1. Множество управляемых состояний X является подпространством L2(0, a). Доказательство. Из линейности системы следует, что если x0 ∈ X и ему соответствуют время T и управление u, то ∀α ∈ R1 αx0 ∈ X с тем же временем T и управлением αu. Пусть x1 ∈ X с параметрами управления (T1, u1) и x2 ∈ X с параметрами (T2, u2) (для определенности T1 ;;; T2). Тогда x3 = x1 + x2 ∈ X с временем T3 = max{T1, T2} = T1 и управлением u3(t, s) = u1(t, s)+ u2(t, s), t ∈ (0, T2), u3(t, s)= u1(t, s), t ∈ [T2, T1). Сведем задачу (2.1)-(2.3) к эквивалентной задаче. Используем формализм, описанный в [7]. Введем операторы IQ,T , IG,T ,RQ,T , RG,T такие, что IQ,T : L2(QT ) → L2(QT ∪ GT ); (IQ,T x)(t, s)= x(t, s), (t, s) ∈ QT ; (IQ,T x)(t, s)= 0, (t, s) ∈ GT ; IG,T : L2(GT ) → L2(QT ∪ GT ); (IQ,T x)(t, s)= x(t, s), (t, s) ∈ GT ; (IQ,T x)(t, s)= 0, (t, s) ∈ QT ; RQ,T : L2(QT ) → L2(QT ); RQ,T = RIQ,T ; RG,T : L2(GT ) → L2(QT ); RG,T = RIG,T . Тогда уравнения (2.1)-(2.2) эквивалентны уравнению xt = RQ,T x + RG,T u, (3.1) x ∈ H1,0(QT ), u ∈ L2(GT ). ( \\ ( ( \\\\ Обозначим через L2 Q G L2 J T J T αi αk i k (J \\ подпространства функций в L2(QT ) (L2(GT )) , αi G αk равных нулю вне J QT T i k QT . Здесь, если θ = 1, то α = 1; если θ < 1, то α = 1, 2; 1i = (0,T ) × (i - 1,i - 1+ θ), i = 1, ..., N + 1; QT 2i = (0,T ) × (i - 1+ θ, i), i = 1, ..., N ; GT 1k = (0,T ) × (k - 1 - N, k - 1 - N + θ), k = 1, ..., N ; GT 1k = (0,T ) × (k, k + θ), k = N + 1, ..., 2N ; GT 2k = (0,T ) × (k - 1 - N + θ, k - N ), k = 1, ..., N ; GT 2k = (0,T ) × (k + θ, k + 1), k = N + 1, ..., 2N. Введем изометрические изоморфизмы гильбертовых пространств Uα : L2 ( r J QT \\ → Lr (QT ) и Vα : L2 ( 2N \\ J GT → L2N (QT ) , где Lr (QT r ) = ТТ L (QT αi i=1 ) , по формулам 2 α1 αk k=1 2 α1 2 α1 2 α1 i=1 α1 (Uαx)i(t, s)= x(t, s + i - 1), (t, s) ∈ QT , i = 1, ..., r; r = N + 1, если α = 1; r = N, если α = 2; α1 (Vαx)k (t, s)= x(t, s + k - N - 1), (t, s) ∈ QT , k = 1, ..., N, 11 (V1x)k (t, s)= x(t, s + k), (t, s) ∈ QT , k = N + 1, ..., 2N, 21 (V2x)k (t, s)= x(t, s + k - 1), (t, s) ∈ QT , k = N + 1, ..., 2N. Операторы Rα = UαRQ,T U-1 : Lr (QT ) → Lr (QT ) суть операторы умножения на матрицы Q,T Aα порядка (r × r) вида α 2 α1 2 α1 ⎛ a0 a1 a2 ... ar-1 ⎜ ⎜ a-1 a0 a1 ... ar-2 Aα = ⎜ a-2 a-1 a0 ... ar-3 ⎜ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , α = 1, 2. . . . . ⎜ .. . ⎝ ... ... .. ⎟ ⎠ a1-r a2-r a3-r ... a0 Элементы a˜ij матриц Aα определяются по формулам a˜ij = ai-j, i, j = 1,..., r. (3.2) УСПОКОЕНИЕ СИСТЕМЫ, ОПИСЫВАЕМОЙ СМЕШАННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫМ УРАВНЕНИЕМ 67 Введем также операторы Rα = UαRG,T V -1 : L2N (QT ) → Lr (QT ). Операторы R1 , R2 G,T α 2 α1 2 α1 G,T G,T суть соответственно операторы умножения на матрицы B1 порядка ((N + 1) × 2N ) и B2 порядка (N × 2N ): a ⎛ -N 0 a-N a-N +1 ... a-2 aN 0 0 ... 0 0 0 0 a-N ... a-3 aN-1 aN 0 ... 0 0 ⎜ ⎜ ⎜ B1 = ⎜ a-N +1 a-N +2 ... a-1 0 0 0 ... 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . ⎜ .. ⎜ ... ... ... ... . ... ... ... ... ... .. ⎟ . ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 0 0 0 ... a-N a2 a3 a4 ... aN 0 ⎟ 0 0 0 ... 0 a1 a2 a3 ... aN-1 aN Матрица B2 - это матрица B1 без последней строки. Элементы матрицы B1 определяются по формуле ( aj-i-N , i = 1,...,N + 1, j = 1,..., N, 1 , (3.3) bij = где ak = 0, k > N, k < -N. aj- i+1, i = 1,...,N + 1, j = N + 1,..., 2N, Используя введенные обозначения, запишем уравнение (3.1) в виде Uαxt = AαUαx + BαVαu, α = 1, 2, (3.4) а условие (2.3) в виде (Uαx)(0, s)= Uαx0(s), α = 1, 2. (3.5) Введем в рассмотрение матрицу E1 порядка (N + 1) × (2N (N + 1)) и матрицу E2 порядка N × ... 1 2N 2 : E1 = ( B1| A1B1| A2B11 ... 1AN B1), E2 = ( B2| A2B2| A2B21 1AN-1B2). 1 1 1 1 2 1 1 2 Лемма 3.2. Система, заданная уравнениями (2.1)-(2.3), полностью управляема тогда и только тогда, когда rang E1 = N + 1, rang E2 = N. Доказательство. Необходимость. Если x(t, s) является решением задачи (2.1)-(2.3), а следовательно, задачи (3.4)-(3.5), то для почти всех s1 ∈ (0, θ) функция x1(t) = (U1x)(t, s1) ( x1(t) ∈ N +1 ТТ i=1 \\ H1(0,T ) является решением задачи x1 t = A1x1 + B1u1, (3.6) x1(0) = μ1 (3.7) ( N \\ для почти всех s2 ∈ (θ, 1), а функция x2(t)= (U2x)(t, s2) ем задачи x2(t) ∈ ТТ H1(0,T ) i=1 является решениx2 t = A2x2 + B2u2, (3.8) x2(0) = μ2 (3.9) 2 где uα(t) = (Vαu)(t, sα), uα(t) ∈ L2N (0,T ), μα = (Uαx0)(sα), α = 1, 2; μ1 ∈ RN +1, μ2 ∈ RN , H1(0,T ) - подпространство Соболева функций из L2(0,T ) у которых существует и принадлежит L2(0,T ) обобщенная производная. Для систем (3.6), (3.7) и (3.8), (3.9) стандартным образом вводится понятие управляемости (см. [3, гл. 2]). Если система, заданная уравнениями (2.1)-(2.3), управляема, то системы, заданные уравнениями (3.6), (3.7) и (3.8), (3.9), управляемы и в силу критерия управляемости (см. [3, гл. 2, теорема 3.4]) rang E1 = N + 1, rang E2 = N. Достаточность. Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.4 в [3]. В силу леммы 2.1 множество управляемых состояний U1X является подпространством в LN +1 N 2 (0, θ), а множество U2X - подпространством в L2 (θ, 1). Предположим противное, что система неуправляема. Тогда U1X /= LN +1(0, θ) или U2X /= LN (θ, 1). Пусть для определенности = LN +1 2 2 N +1 X / 2 (0, θ). Тогда найдется ν ∈ L2 (0, θ), ν /= 0, такое, что (ν, U x ) = 0 ∀x ∈ X, где U1 2 (·, ·) - скалярное произведение в LN +1 (0, θ). 1 0 0 68 Е. П. ИВАНОВА Нетрудно убедиться, что решение x(t, s) задачи (3.4), (3.5) описывается формулой t r U1x(t, s)= etA1 U1x0(s)+ 0 e(t-ξ)A1 B1V1u(ξ, s)dξ. В силу определения 2.1, x0 ∈ X, если найдутся T и u такие, что T r 0= eT A1 U1x0(s)+ 0 e(T -ξ)A1 B1V1u(ξ, s)dξ. (3.10) 1 Положим x0 = 0, V1u(ξ, s) = B1×e-ξA1∗ ν(s), где B1×, A× - транспонированные матрицы B1, A1 соответственно. Тогда t r U1x(t, s)= 0 и для любого T ; e(t-ξ)A1 B1B1×e-ξA1∗ ν(s)dξ T r 0= -eT A1 e-T A1 U1x(T, s)+ 0 e(T -ξ)A1 B1B1×e-ξA1∗ ν(s)dξ, 1 следовательно, в силу (3.10) -U-1e-T A1 U1x(T, s) ∈ X. Тогда T r 0= (ν(s), e-T A1 U1x(T, s)) = (ν(s), 0 e-ξA1 B1B1×e-ξA1∗ ν(s)dξ)= T r ∗ = ⊕B 1×e-ξA1 0 ν(s) ⊕2dξ = 0, 2 где ⊕·⊕ - норма в LN +1(0, θ). Следовательно, ν×(s)e-ξA1 B1 =0 (3.11) 1 y 1 для почти всех s ∈ (0, θ) и для почти всех ξ ∈ (0,T ). Дифференцируя последовательно формулу (3.11) по ξ, получаем ν×(s)Ak B1 = 0 для почти всех s ∈ (0, θ), k = 0, ..., N. Так как ν /= 0, найдется ∈ RN +1 такое, что y×Ak B1 = 0, k = 0, ..., N. Следовательно, rang E1 < N + 1, и лемма доказана. Определение 3.1. Назовем оператор R существенно разностным, если среди ai, i = -N,..., N, i /=0 найдется ai /= 0. Лемма 3.3. Для того, чтобы rang E1 = N + 1, rang E2 = N, необходимо и достаточно, чтобы оператор R был существенно разностным. Доказательство. Необходимость. Если оператор R не является существенно разностным, матрица B1 нулевая (следовательно, и E1, E2 нулевые). Достаточность. Пусть оператор R существенно разностный. Докажем, что rang E1 = N + 1, rang E2 = N. Пусть среди ai, (i = -N,..., -1) найдутся ai /=0 (для положительных i доказательi,j ство проводится аналогично). Обозначим m := max {-i| ai /= 0 } , cl 1 - элементы матриц Al B1 порядка (N + 1) × 2N. 1. Покажем, что cl l+1 lm+i,N-m+i = a-m, (3.12) cl lm+i+q,N-m+i = 0, (3.13) УСПОКОЕНИЕ СИСТЕМЫ, ОПИСЫВАЕМОЙ СМЕШАННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫМ УРАВНЕНИЕМ 69 l = 1, ..., N m ,i = 1,..., pl, pl = min {(N +1 - lm),m } ,q > 0. Здесь N N m - целая часть N . m Если l = 1,..., m - 1, то m<N +1 - lm и pl = m. Выбор верхних границ изменения индексов 1 обусловлен порядком матриц Al B1. Проведем доказательство индукцией по l. a). Докажем справедливость утверждения для l = 1. В силу (3.2), (3.3) c1 m+i,N-m+i = N +1 N +1 '\\" j=1 a˜m+i,j bj,N -m+i = N +1 '\\" j=1 aj-m-iaN-m+i-j-N = = '\\" aj j=1 -m- 2 ia-m+i-j = ai-m-ia-m-i+i = a-m, i = 1,..., m, так как a-n =0 для n>m и, следовательно, aj-m-i =0 для i>j и a-m+i-j =0 для j > i. Кроме того, c1 m+i+q,N-m+i = N +1 '\\" j=1 a˜m+i+q,j bj,N -m+i = N +1 '\\" j=1 aj-m-i-qaN-m+i-j-N = N +1 '\\" j=1 aj-m-i-qa-m+i-j = 0, i = 1,..., m, q > 0, так как aj-m-i-q =0 для i ;;; j и a-m+i-j =0 для j > i. б). Пусть утверждение справедливо для l - 1: cl-1 l+1 i = 1,..., m, q > 0,l N m (l-1)m+i,N -m+i = a-m, (3.14) cl-1 (l-1)m+i+q,N -m+i = 0, (3.15) . Покажем справедливость формул (3.12), (3.13). Учитывая, что aj-lm-i =0 для j < (l - 1)m + i, и, используя формулу (3.14), получим N +1 cl '\\" l-1 N +1 '\\" l-1 l-1 lm+i,N-m+i = j=1 a˜lm+i,j cj,N -m+i = j=1 aj-lm-icj,N -m+i = a(l-1)m+i-lm-ic(l-1)m+i,N -m+i = l l+1 Кроме того, = a-ma-m = a-m, i = 1,..., pl = min {(N +1 - lm),m } cl m+i+q,N-m+i = N +1 '\\" j=1 j,N -m+i a˜lm+i+q,j cl-1 = N +1 '\\" j=1 aj lm i qc = 0, l-1 - - - j,N -m+i i = 1,..., pl, q > 0, - - - j,N -m+i так как aj lm i q = 0 для j < (l - 1)m + i + q и cl-1 = 0 для j ;;; (l - 1)m + i + q в силу формулы (3.15). ⊕i,j=1 1 2. Покажем, что rang E1 = N + 1. Выберем из матрицы E1 N + 1 столбец и образуем из них матрицу D = ⊕di,j N +1 . Из каждой матрицы Al B1 берем m столбцов с номерами j = N - m + 1, ..., N. Из последней матрицы при l = Для i = 1,...,N +1 положим N m берем оставшиеся N +1 - N m m столбцов. ⎧ bi,N-m+j, l = 0,j = 1,..., m; ⎪ N ⎪ l di,p = di,lm+j = ⎨ ⎪ l ci,N-m+j, l = 1,..., m N - 1, j = 1,..., m; N ⎪⎩ci,N -m+j ,l = m ,j = 1,..., (N +1 - m). m 70 Е. П. ИВАНОВА В силу формул (3.2), (3.12) для i = 1,...,N +1 ⎧ N al+1 ⎪ -m, l = 0,..., - 1, j = 1,..., m; di,i = dlm+j,lm+j = ⎨ ⎪ m l+1 N N ⎩a-m, l = m , j = 1,..., (N +1 - m). m В силу формул (3.3), (3.12) di,p = 0 для i = 1,...,N + 1, p < i, т. е. матрица D является m треугольной и det D = ak - /= 0. Следовательно, rang E1 = N + 1. Аналогично доказывается, что rang E2 = N. Из лемм 2.2, 2.3 следует Теорема 3.1. Для управляемости системы, описываемой уравнениями (2.1)-(2.3), необходимо и достаточно, чтобы оператор R был существенно разностным. T Обозначим Gd T = (0,T ) × (a, a + d), G-d = (0,T ) × (-d, 0), d > 0. Из леммы 2.2 и доказательства леммы 2.3 вытекает Теорема 3.2. Если среди ai, i = 1,..., [d] ( i = -1,..., - [d]) найдется ai /= 0, то система (2.1)-(2.3) управляема относительно области Gd (G-d).