К теории анизотропной плоской упругости

Полный текст

Рассмотрим систему Ламе [4, 5] ∂2u 1. СИСТЕМА ЛАМЕ ∂2u ∂2u a11 ∂x2 + (a12 + a21) ∂y∂y + a22 ∂y2 = 0 (1.1) с постоянными коэффициентами a11 = a21 = ( α1 α6 α6 α3 ( α6 α3 α4 α5 \\ , a12 = \\ , a22 = ( α6 α4 \\ , α3 α5 ( α3 α5 \\ . α5 α2 Qc 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 114 К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 115 Элементы αj матричных коэффициентов, называемые модулями упругости, подчиняются требованию положительной определенности матрицы ⎛ α1 α4 α6 α = ⎝ α4 α2 α5 α6 α5 α3 ⎞ ⎠ . (1.2) Удобно наряду с этой матрицей ввести в рассмотрение и присоединенную к ней матрицу β = α∗, записанную в том же виде: ⎛ β1 β4 β6 ⎞ β = ⎝ β4 β2 β5 ⎠ , 5 4 β1 = α2α3 - α2 β3 = α1α2 - α2 6 β2 = α1α3 - α2, β4 = α5α6 - α3α4, (1.3) β6 β5 β3 β5 = α4α6 - α1α5, β6 = α4α5 - α2α6. Тогда критерий Сильвестра положительной определенности матрицы α можно выразить неравенствами det α > 0 и αi > 0, βi > 0, 1 i 3. 1 Из коэффициентов системы Ламе составим блочную матрицу a = (aij )2. Тогда из вида (1.2) непосредственно видно, что для любого вектора η ∈ R4 справедливо равенство η, η = (η1, η4, η2 + η3), (1.4) по отношению к скалярным произведениям векторов в R4 и R3. В частности, для любых ненулевого λ = (λ1, λ2) ∈ R2 и ξ ∈ R2, составляющих вектор η = (λ1ξ, λ2ξ), имеем соотношение ⎡⎛ 2 ⎣⎝ i,j=1 ⎞ ⎤ aijλiλj ⎠ ξ⎦ ξ = (αη)η. η Поэтому равенство нулю левой части влечет = 0 или, что равносильно, ξ = 0. Таким образом, матрица в левой части этого выражения положительно определена: 2 aijλiλj > 0 (1.5) i,j=1 и, следовательно, система Ламе (1.1) сильно эллиптична. Рассмотрим матричный трехчлен p(z) = a11 +(a12 + a21)z + a22z2 системы (1.1), представляющий собой симметричную матрицу p = ( p1 p3 \\ , p3 p2 p1(z) = α1 + 2α6z + α3z2, p2(z) = α3 + 2α5z + α2z2, (1.6) p3(z) = α6 + (α3 + α4)z + α5z2. В силу (1.5) определитель det p(t) > 0 для t ∈ R, т. е. характеристический многочлен четвертой степени χ = det p(z) системы Ламе не имеет вещественных корней. Соответственно, в верхней полуплоскости имеются два его корня ν1, ν2, для которых возможны два случая, когда (i) ν1 /= ν2 и (ii) ν1 = ν2 = ν. В дальнейшем основную роль играют не сами по себе эти корни, а их симметричные комбинации s = ν1 + ν2, t = ν1ν2. (1.7) В случае (ii) кратных корней они принимают значения s = 2ν и t = ν2. 3 В обозначениях (1.3), (1.6) характеристический многочлен χ = p1p2 - p2 можно записать в виде χ(z) = β2 - 2β5z + (β3 + 2β4)z2 - 2β6z3 + β1z4. (1.8) Нетрудно описать условия на его коэффициенты, обеспечивающие случай (ii) кратных корней. В этом случае должно быть χ(z) = β1(z - ν)2(z - ν)2, (z - ν)(z - ν) = δ0 + δ1z + z2, 1 где δ2 < 4δ0. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, получим выражения δ = β2 0 β 1 β , δ = - β6 β5 = -√β β 1 1 1 2 116 А. П. СОЛДАТОВ для коэффициентов δj и соотношения 5 < 4β2 , β5 = β6...β2/β1, β5 + 2β2 = β2(β3 + 2β4), (1.9) β2 2 2 2 необходимые и достаточные для кратности корней характеристического уравнения. В этом случае согласно (1.9) для корня ν имеем выражение 2β1ν = β6 + i 4β1...β1β2 - β2. (1.10) / 6 В классе A положительно определенных матриц вида (1.2) выделим подмножества A1 и A2, которые определяются условием линейной независимости многочленов, соответственно, p2, p3 и p1, p3, фигурирующих в (1.6). Очевидно, дополнения к этим множествам можно описать условиями α ∈/ A1 ⇔ α3α5 = α2α6, α2(α3 + α4) = 2α2 ⇔ χ(ν) = p2(ν) = 0, 5 6 α ∈/ A2 ⇔ α1α5 = α3α6, α1(α3 + α4) = 2α2 ⇔ χ(ν) = p1(ν) = 0 (1.11) 3 для одного из корней ν характеристического уравнения. Вторая эквивалентность вытекает из того, что χ = p1p2 - p2. Поэтому равенства pj (ν) = p3(ν) = 0 для одного из значений j = 1, 2 равносильны линейной зависимости многочленов pj и p3. α2 Заметим, что 3 < α1α2 при α ∈/ A1 ∩ A2. (1.12) В самом деле, пусть, например, выполнены условия α ∈/ A1 в (1.11). Тогда 2α2α2 = α2(α3 + α4), 6 3 5 2α1α2 = α1α2(α3 + α4). Подставляя эти выражения в формулу для определителя матрицы (1.2), получим 3 2 det α = (α1α2 - α2)(α3 - α4) > 0. 3 Остается заметить, что неравенства α1α2 - α2 < 0 и α3 < α4 противоречат неравенству 4 α1α2 - α2 > 0. Случай α ∈/ A2 рассматривается аналогично. Введем еще класс A0 матриц α, для которых p3 = 0, т. е. α3 + α4 = α5 = α6 = 0. Очевидно, этот класс не пересекается с множествами A1 и A2. Из (1.12) легко следует, что A = A0 ∪ A1 ∪ A2. (1.13) Действительно, пусть α ∈/ A1 ∪ A2, так что соответствующие условия в (1.11) выполнены 3 одновременно. Тогда из первых равенств (1.11) следует α5α6(α1α2 - α2) = 0, так что на основании (1.12) должно быть α5α6 = 0. Согласно (1.11) отсюда α ∈ A0. Аналогичные соображения показывают, что матрица p(ν) отлична от нулевой для всех ν: p(ν) /= 0, ν ∈ C. (1.14) В самом деле, если p(ν) = 0, то Im ν /= 0 и α ∈/ Aj для обоих значений j = 1, 2. Поэтому α ∈ A0, но в этом случае многочлены p1 и p2 линейно независимы. В случаях, когда α принадлежит одному из исключительных множеств A0 и A\\ Aj, j = 1, 2, корни νj характеристического уравнения вычисляются в явном виде через квадратные уравнения. При α ∈ A0 система Ламе диагонализируется, т. е. распадается на два уравнения ∂2u1 ∂2u1 ∂2u2 ∂2u2 α1 ∂x2 + α3 ∂y2 = 0, α3 ∂x2 + α2 ∂y2 = 0. В этом случае χ = p1p2 и можно считать pj (νj ) = 0 или, в явной форме, ν1 = i α1 α3 , ν2 = i α3 α2 . (1.15) В случае α ∈/ Aj корни характеристического уравнения находятся из уравнений (α2p1 - α2p2)(ν1) = 0, p2(ν2) = 0, α ∈/ A1; 2 5 (1.16) p1(ν1) = 0, (α2p2 - α2p1)(ν2) = 0, α ∈/ A2. 3 5 В самом деле, пусть, например, α ∈/ (α2p1 - α2p2)p2. 2 A1. Тогда α2p3 - α5p2 = 0 и имеем равенство α2χ = 2 5 Случай α ∈/ A2 рассматривается аналогично. Заметим, что принятая в (1.16) нумерация корней согласуется со случаем α ∈ A0 в (1.15). К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 117 Во всех отмеченных трех случаях корни νj различны. В случае (1.15) этот факт вытекает из (1.12). Если эти корни совпадают в случае (1.16), то p1(ν) = p2(ν) = 0 и, значит, p(ν) = 0, что противоречит (1.14). В частности, в ситуации (ii) кратного корня матрица α обязательно принадлежит A1 ∩ A2. Условимся ненулевой вектор x ∈ C2 называть собственным вектором многочлена p, отвечающим корню ν характеристического уравнения, если p(ν)x = 0, и присоединенным вектором, если p(ν)x + p∗(ν)y = 0, где p(ν)y = 0 и p∗(ν)y /= 0. Лемма 1.1. а). Пусть корни νj различны. Тогда существует базис e = {e1, e2} пространства C2, состоящий из собственных векторов, т. е. p(νj )ej = 0, j = 1, 2. Любой другой базис e˜ этого типа связан с e соотношением e˜j = λjej, j = 1, 2. б). Пусть корень ν кратен. Тогда существует базис e = {e1, e2}, состоящий из собственного и присоединенного векторов, т. е. p(ν)e1 = 0, p(ν)e2 + p∗(ν)e1 = 0. (1.17) Любой другой базис e˜ этого типа связан с e соотношением e˜1 = λe2, λ /= 0. Доказательство. e˜2 = λe2 + λ0e1, а). В силу (1.14) пространства {x ∈ C2, p(νj )x = 0}, j = 1, 2, одномерны, поэтому достаточно убедиться, что для ненулевого вектора x ∈ C2 совместные равенства p(ν1)x = p(ν2)x = 0 невозможны. В самом деле, предположим, что такой вектор x = (x1, x2) существует. Тогда обязательно x1x2 /= 0, поскольку многочлены p1 и p2 не могут иметь своими корнями оба числа νj. Таким образом, можно считать x1 = 1, x2 = λ. Тогда равенство p(νj )x = 0 сводится к двум скалярным равенствам (p1 + λp3)(νj ) = 0, (p3 + λp2)(νj ) = 0. Следовательно, многочлены p1 + λp3 и p3 + λp2 нацело делятся на многочлен q(z) = (z - ν1)(z - ν2), так что p1 + λp3 = c1q, p3 + λp2 = c2q с некоторыми множителями cj ∈ C. Поскольку коэффициенты многочленов pj вещественны, отсюда и p1 + λp3 = c1q, p3 + λp2 = c2q, где q(z) = (z - ν1)(z - ν2). Поскольку квадратный трехчлен с вещественными коэффициентами не может быть кратен q, число λ не является вещественным. Поэтому из этих систем многочлены pj можно выразить через q, q по формулам pj = djq + djq, 1 j 3, с соответствующими коэффициентами dj ∈ C. В частности, 2 p1p2 - p2 = (d1d2 - d2)q2 + (d1d2 + d1d2 - 2d3d3)qq + (d1d2 - d )q2. 3 3 3 С другой стороны, согласно (1.6) в принятых обозначениях p1p2 - p2 = cqq, c = α2α3 - α2 > 0. 3 5 3 Следовательно, должно быть d1d2 - d2 = 0 и 2 Re(d1d2) - 2d3d3 = c (в противном случае многочлен q2 делится нацело на q, что невозможно). Но тогда c = 2[Re(d1d2) - |d1d2|], что противоречит неравенству c > 0. j б). Покажем прежде всего, что совместное равенство p(ν)x = p∗(ν)x = 0 невозможно ни для какого ненулевого вектора x ∈ C. В самом деле, предположим, что такой вектор x = (x1, x2) существует. Тогда обязательно x1x2 /= 0, поскольку для вещественных многочленов pj равенства pj (ν) = p∗ (ν) = 0 невозможны. Как и в случае различных корней, отсюда приходим к соотношениям p1 + λp3 = c1q, p3 + λp2 = c2q, где q(z) = (z - ν)2. Дальнейшие рассуждения аналогичны проведенным при доказательстве пункта а). Таким образом, любая пара ненулевых векторов e1, e2 со свойством (1.17) является базисом. Существование такой пары будет показано ниже в лемме 1.2. 118 А. П. СОЛДАТОВ Остается установить связь между двумя базисами e и e˜, удовлетворяющими (1.17). Очевидно, e˜1 = λe1, λ /= 0, и e˜2 = λ0e1 + λ∗e2, λ∗ /= 0. Следовательно, p(ν)e˜2 + p∗(ν)e˜1 = λ∗p(ν)e2 + λp∗(ν)e1 = 0. Вычитая из этого равенства второе равенство (1.17), умноженное на λ∗, получим (λ-λ∗)p∗(ν)e1 = 0, откуда λ∗ = λ. Рассмотрим присоединенную с p матрицу Лемма 1.2. p∗ = ( p2 -p3 -p3 p1 \\ . (1.18) 1. В случае различных корней при α ∈ Ak, k = 1, 2, условию p(νj )ej = 0 предложения а) (k) леммы 1.1 удовлетворяет k-й столбец ej = p∗ (νj ). Если α ∈/ A1, то в обозначениях (1.16) (j) можно положить ej = p∗ (νj ). Соответственно в случае α ∈/ A2 аналогичным образом (1) можно положить e1 = p∗ (2) (ν2), e2 = p∗ (ν1). 2. В случае кратного корня матрица α ∈ A1 ∩ A2 и условию (1.17) удовлетворяют век- (k) торы e1 = p∗ (k) (ν) и e2 = (p∗)∗ (ν) для любого значения k = 1, 2, где штрих означает производную матрицы (1.18). Доказательство. Проведем доказательство для каждого из случаев (i) и (ii) отдельно. (i). Воспользуемся очевидным соотношением p(z)p∗(z) = χ(z), (1.19) где χ в правой части означает скалярную матрицу. Из этого соотношения следует, что (k) p(νj )p∗ (k) (νj ) = 0 для каждого из значений k = 1, 2. Другими словами, если столбец p∗ (νj ) матрицы p∗(νj ) ненулевой, то он является собственным вектором, отвечающим νj. Согласно (1.18) при k = 1 ( k = 2) нулевым он может быть только тогда, когда α ∈/ A1 ( α ∈/ A2). С учетом леммы 1.1 первое утверждение леммы получается отсюда непосредственно. (ii). Поскольку по условию χ(ν) = χ∗(ν) = 0, то p(ν)p∗(ν) = p(ν)(p∗)∗(ν)+ p∗(ν)p∗(ν) = 0. (k) Следовательно, векторы e1 = p∗ (k) (ν) и e2 = (p∗)∗ (ν) удовлетворяют (1.17). Поскольку, как было отмечено ранее, в рассматриваемом случае кратного корня ν матрица α принадлежит A1 ∩ A2, эти векторы ненулевые. Упругая среда называется ортотропной, если α5 = α6 = 0, (1.20) в этом случае координатные прямые служат осями симметрии упругой среды и для многочленов (1.6) имеем более простые выражения p1(z) = α1 + α3z2, p2(z) = α3 + α2z2, p3(z) = (α3 + α4)z. (1.21) В частности, в ортотропной среде либо α ∈ A1 ∩ A2, либо α ∈ A0. 3 Из (1.21) следует, что характеристическое уравнение p1p2 - p2 = 0 биквадратно и его корни ν в верхней полуплоскости можно выразить явно. С этой целью введем положительные ρ и ρ0 по формулам α1 2 √ 1 2 3 1 2 4 ρ2 = 0 , ρ2 = α α α2 - α4 + 2α ( α2α3 α α - α ) . (1.22) 4 То, что выражение в правой части второго равенства положительно, следует из условия α2 < α1α2. Из этих же соображений величина √ √ ρ2 0 - 4ρ2 = ( α1α2 - α4)( α1α2 - α4 - 2α3) α α (1.23) 2 3 имеет один и тот же знак с √α1α2 - α4 - 2α3. К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 119 В этих обозначениях для корней ν имеем формулы ρ2 2ρ2 ν1,2 = iρe±iθ, 2θ = arccos 0 - 2ρ2 , если ρ0 < 2ρ, ρ 2 ν1,2 = iρe±τ , 2τ = arcch 0 - 2ρ2 , если ρ0 > 2ρ, (1.24) 2ρ2 ν1 = ν2 = iρ, если ρ0 = 2ρ. 0 В самом деле, пусть δ означает выражение в квадратных скобках (1.24), так что ρ2 = 2(δ + 1)ρ2. Тогда 3 p1(z)p2(z) - p2(z) = α2α3(ρ4 + 2δρ2z2 + z4). Следовательно, ν2 = -ρ2(δ ± √δ2 - 1), что после элементарных преобразований приводит к (1.24). Заметим, что случай α ∈ A0 диагонализируемой системы Ламе соответствует первому равенству в (1.20) и в этом случае выражения для корней νj совпадают с (1.14). Случай (ii) кратных корней соответствует последнему равенству в (1.24). Заметим, что этот факт согласуется с критерием (1.9), (1.10) кратных корней. Легко видеть, что независимо от трех возможных случаев в (1.24) для суммы и произведения (1.7) корней имеем единые выражения s = iρ0, t = -ρ2. (1.25) Ортотропная среда называется изотропной, если в дополнение к (1.20) выполнены соотношения α1 = α2 = 2α3 + α4. (1.26) 4 Совместно с неравенством α2 < α1α2 отсюда вытекает, что α1 > α3, так что величина α1 + α3 (1.27) α κ = 1 o α3 > 1. Легко видеть, что в рассматриваемом случае характеристическое уравнение имеет кратный корень ν = i. 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛАМЕ Соответственно двум случаям (i) и (ii) корней характеристического уравнения введем матрицы 0. J = ( ν1 0 0 ν2 \\ , (ii) J = ( ν 1 0 ν \\ . (2.1) С этой матрицей свяжем эллиптическую систему первого порядка специального вида ∂φ ∂φ ∂y - J ∂x = 0, (2.2) при J = i она соответствует системе Коши-Римана, определяющей аналитические функции. По этой причине решения φ = (φ1, φ2) этой системы называем J-аналитическими функциями. В исследованиях краевых задач плоской упругости классическими методами можно выделить два основных направления. Первое из них состоит в использовании аналитических функций по аналогии с формулами Колосова-Мусхелишвили [6] в изотропном случае. Это направление представлено работами С. Г. Лехницкого, Г. Н. Савина, С. Г. Михлина и др. (см., например, [5, 6, 20]). Второе заключается в применении вместо аналитических функций решений некоторых эллиптических систем первого порядка (см., например, [17, 18, 21]). Рассматриваемый ниже подход примыкает к этому направлению и базируется на системе (2.2), точнее, на представлении общего решения системы Ламе через J -аналитические функции. В основе этого представления лежит следующая структурная лемма. 120 А. П. СОЛДАТОВ Лемма 2.1. Существует такая обратимая матрица b ∈ C2×2, что a11b + (a12 + a21)bJ + a22bJ 2 = 0, (2.3) при этом любая другая матрица ˜b с теми же свойствами связана с b соотношением ˜b = bd с некоторой обратимой матрицей d, коммутирующей с J. Равенство (2.3) равносильно соотношению AB = B diag(J, J ) (2.4) для блочных матриц ( 0 1 A = a0 a1 \\ , B = ( b b bJ bJ \\ , (2.5) где положено a0 = -a-1a11, a1 = -a-1(a12 + a21). При этом матрица B обратима. 22 22 j Доказательство. Из (2.1) видно, что для любой матрицы b ∈ C2×2 в случае (i) различных корней для j-го столбца имеем соотношения (bJ )(j) = νjb(j), (bJ 2)(j) = ν2b(j) и, следовательно, (a11 + (a12 + a21)bJ + a22bJ 2)(j) = p(νj )b(j) (j = 1, 2). Аналогично в случае (ii) кратного корня (bJ )(1) = νb(1), (bJ )(2) = b(1) + νb(2), (bJ 2)(1) = ν2b(1), (bJ 2)(2) = 2νb(1) + ν2b(2), откуда (a11 + (a12 + a21)bJ + a22bJ 2)(1) = p(ν)b(1), (a11 + (a12 + a21)bJ + a22bJ 2)(2) = p(ν)b(2) + p∗(ν)b(1). Поэтому, выбирая в качестве столбцов b(j) вектора ej леммы 1.1, приходим к справедливости первой части леммы. Нужно только принять во внимание, что матрицы d, коммутирующие с J, имеют вид 1. d = ( d1 0 0 d2 \\ , (ii) J = ( d1 d0 0 d1 \\ . (2.6) Равносильность соотношений (2.3) и (2.4) очевидна, поэтому остается установить обратимость матрицы B. Рассмотрим обратимую матрицу B1, приводящую A к жордановой форме. Поскольку матрица A вещественно, жорданову матрицу можно выбрать в виде diag(J1, J1), где собственные значения матрицы J1 лежат в верхней полуплоскости, причем эта матрица либо диагональна, либо является клеткой Жордана. Соответственно B1 можно подчинить блочной структуре Таким образом, B1 = ( b1 b1 \\ . b2 b2 В силу очевидного тождества AB1 = B1diag(J1, J1). (2.7) (z - A) ( 1 1 0 z \\ ( z 0 \\ = -a0 z2 - a1z - a0 собственные значения матрицы A в верхней полуплоскости совпадают с корнями характеристического уравнения det p(z) = 0. Следовательно, либо J1 = J, либо матрица J1 скалярна: J1 = ν. Покажем, что второй случай невозможен. В самом деле, если J1 = ν, то существуют два линейно независимых собственных вектора η, η˜ ∈ C4 матрицы A, отвечающих собственному значению ν. Но тогда из вида (2.5) этой матрицы следует, что η = (η1, η2), где векторы ηj ∈ C2 удовлетворяют соотношениям η2 = νη1, p(ν)η1 = 0 и аналогичным свойством обладает вектор η˜. Но тогда вектора η1 и η˜1, а вместе с ними и векторы η, η˜ должны быть линейно зависимыми, что противоречит принятому допущению. К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 121 Итак, матрица J1 = J и из (2.4) следует, что b2 = b1J и матрица b1 удовлетворяет (2.3). Переходя к столбцам этих матриц, как и при доказательстве леммы 1.1, убеждаемся, что b1 = bd с некоторой матрицей d, коммутирующей с J. Но тогда B1 = Bdiag(d, d), откуда det B1 = det B| det d|2. Следовательно, матрицы B и d обратимы, что завершает доказательство леммы. Обратимся к системе (2.2) в некоторой области D комплексной плоскости. Условимся записывать частные производные ее решений в виде φ∗ = ∂φ ∂φ , Jφ∗ = . ∂x ∂y Тогда если с комплексным числом z = x + iy связать матрицу zJ = x + yJ, (2.8) то можно записать ∂φ dx + ∂x ∂φ ∂y dy = dzJ φ∗. В частности, функция φ восстанавливается по своей производной ψ = φ∗ криволинейным интегралом z r φ(z) = φ(z0)+ dtJ ψ(t) (2.9) z0 по некоторой гладкой дуге, соединяющей точки z и z0 в области D. Обратно, если J -аналитическая функция ψ задана, то эта формула определяет J -аналитическую функцию φ, производная которой совпадает с ψ. Если область D односвязна, то эта формула определяет однозначную функцию. Однако в случае многосвязной области функция φ, вообще говоря, многозначна и при обходе связных компонент границы ∂D может допускать ненулевые приращения. В дальнейшем под многозначными функциями понимаются функции, частные производные которой однозначны. Теорема 2.1. В обозначениях леммы 2.1 любое решение u системы Ламе (1.1) в области D представимо в виде u = Re bφ, (2.10) с некоторой (вообще многозначной) J-аналитической функцией φ в этой области, причем ее производная φ∗ восстанавливается по градиенту grad u этого решения формулой ( ∂u ∂u\\ ( d1 d2 \\ 1 φ∗ = 2 d1 ∂x + d2 ∂y , d1 d2 = B- . (2.11) Доказательство. В обозначениях (2.5) по отношению к вектору U = grad u систему (1.1) можно записать в форме системы первого порядка ∂U ∂U ∂y - A ∂x = 0. В силу (2.4) по отношению к V = B-1U эта система переходит в ∂V ∂V ∂y - diag(J, J ) ∂x = 0. Поскольку вектор U веществен, вектор V = B-1grad u имеет блочную структуру (ψ, ψ), так что функция ψ является J -аналитической и grad u = BV, V = (ψ, ψ). (2.12) Таким образом, в соответствии с видом (2.5) матрицы B имеем: ∂u = 2 Re bψ, ∂x ∂u = 2 Re bJψ. ∂y Отсюда аналогично (2.9) приходим к равенству u = Re bφ + ξ, ξ ∈ R2, 122 А. П. СОЛДАТОВ где J -аналитическая функция φ имеет своей производной φ∗ = ψ. В силу обратимости матрицы B найдется такой вектор η ∈ C2, что Re bη = ξ. Поэтому, обозначая φ + η снова через φ, в результате приходим к представлению (2.10). Что касается равенства (2.11), то оно равносильно (2.12) по отношению к ψ = φ∗. Теорему 2.1 можно дополнить формулой представления и для тензора напряжений σ = ( σ1 σ3 \\ . σ3 σ2 Напомним, что вектор u = (u1, u2) характеризует вектор смещения, он связан со столбцами σ(1), σ(2) тензора напряжений соотношениями ∂u ∂u σ(i) = ai1 ∂x + ai2 ∂y , i = 1, 2, (2.13) которые составляют содержание закона Гука. При отсутствии массовых сил матрица σ удовлетворяет уравнениям равновесия ∂σ(1) ∂x ∂σ(2) + ∂y = 0, которые совместно с (2.13) и приводят к системе Ламе. Столбцы тензора напряжений удобно описывать в форме частных производных так называемой сопряженной функции v. Последняя определяется соотношением ∂v ∂x Записывая (1.1) в форме ( ∂u = - a21 ∂x + a22 ∂u \\ , ∂y ∂v ∂u ∂y = a11 ∂x + a12 ∂u. (2.14) ∂y ∂ ( ∂u ∂x a11 ∂x + a12 ∂u \\ + ∂y ∂ ( ∂u ∂y a21 ∂x + a22 ∂u \\ ∂y = 0, убеждаемся, что необходимое условие существования функции v выполнено. Поэтому с точностью до аддитивного постоянного слагаемого ξ ∈ Rl она однозначно определена в каждой односвязной подобласти D0 ⊆ D. Во всей области эта функция может оказаться многозначной и допускать ветвление при обходе связных компонент границы ∂D. Если сопряженная функция v постоянна, то (2.14) является однородной системой относительно вектора градиента η, поэтому на основании (1.4) отсюда ∂u1 = ∂u1 + ∂u2 = ∂u2 = 0 ∂x ∂y ∂x ∂y тождественно в области D. Очевидно, эти соотношения равносильны u1(x, y) = λ1 - λ0y, u2(x, y) = λ1 + λ0x (2.15) с некоторыми λj ∈ R. Решения такого типа назовем тривиальными, они соответствуют перемещению упругой среды как целого. Из (2.13), (2.14) приходим к выражениям ∂v ∂v для столбцов тензора напряжений. σ(1) = ∂y , σ(2) = - ∂x (2.16) Теорема 2.2. В условиях теоремы 2.1 сопряженная функция к решению (2.10) системы Ламе представима в виде v = Re cφ, c = -(a21b + a22bJ ). (2.17) При этом v постоянна тогда и только тогда, когда в этом представлении производная φ∗ постоянна. К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 123 Доказательство. Дифференцируя (2.10) и подставляя результат в формулы (2.14), получим: ∂v ∂x = - Re(a21b + a22bJ )φ∗, ∂v ∂y = Re(a11b + a12bJ )φ∗. (2.18) В силу (2.11) для матрицы c в (2.17) имеем соотношение a11b + a12bJ = cJ, так что ∂v = Re cφ∗, ∂x ∂v = Re cJφ∗. ∂y Как и при доказательстве теоремы 2.1, отсюда приходим к формуле (2.17). Если в представлении (2.17) функция v постоянна, то, как было отмечено выше, решение u системы Ламе тривиально и имеет вид (2.15). Совместно с (2.10) отсюда приходим к системе Re bφ∗ = ξ, Re cφ∗ = 0 с вектором ξ = (0, λ0) ∈ R2. Согласно лемме 2.1 матрица ( b b c c \\ ( 1 0 = -a21 -a22 \\( b b bJ bJ \\ (2.19) обратима, так что предыдущая система дает постоянный вектор φ∗. С помощью леммы 1.2 нетрудно дать явные выражения для матриц b и c, фигурирующих в теоремах 2.1, 2.2. Эти выражения введем отдельно для каждого из трех возможных случаев принадлежности матрицы α подмножествам в (1.13). С этой целью в обозначениях (1.3) введем многочлены q0(z) = β5 - β3z + β6z2, q1(z) = β2 - β5z + β4z2, q2(z) = β4 - β6z + β1z2, Непосредственно проверяется, что q3(z) = zq2(z), q4(z) = q0(z) - zq2(z). (2.20) -(a21 + a22z) ( p2(z) -p3(z) \\ = -p3(z) p1(z) ( -q3(z) -q1(z) \\ q2(z) q4(z) . (2.21) Лемма 2.2. В случае (i) различных корней можно положить b = ( p2(ν1) p2(ν2) -p3(ν1) -p3(ν2) \\ , c = ( -q3(ν1) -q3(ν2) \\ q2(ν1) q2(ν2) , α ∈ A1, (2.22) ( -p3(ν1) -p3(ν2) \\ , c = ( -q1(ν1) -q1(ν2) \\ , α , b = p1(ν1) p1(ν2) q4(ν1) q4(ν2) ∈ A2 b = 1, c = ( -i√α1α3 -α3 \\ α3 -i√α2α3 , α ∈ A0. (2.23) В случае (ii) кратного корня можно положить 2 b = ( p2(ν) p∗ (ν) 3 -p3(ν) -p∗ (ν) \\ , c = 3 ( -q3(ν) -q∗ (ν) \\ 2 q2(ν) q∗ (ν) . (2.24) Во всех случаях матрица c обратима и представима в виде c = c0d, (2.25) где (i) c0 = ( -ν1 -ν2 1 1 \\ , (ii) c0 = ( -ν -1 \\ 1 0 и матрица d коммутирует с J. Доказательство. Выражения (2.22) и (2.24) для матрицы b вытекают непосредственно из леммы 1.2. В том, что при α ∈ A0 матрица b = 1 удовлетворяет (2.3), с учетом (1.15) можно убедиться прямой проверкой. В случае (i) для столбцов матрицы c в (2.17) имеем выражения c(j) = -(a21 +a22νj )b(j). Подставляя сюда столбцы матрицы b из (2.22) и пользуясь соотношением (2.20), получим соответствующие выражения для матриц c. Равенство (2.23) для c проверяется непосредственно. 124 А. П. СОЛДАТОВ В случае (ii) аналогичным образом соотношения c(1) = -(a21 + a22ν)b(1), c(2) = -(a21 + a22ν)b(2) - a22b(1), совместно с (2.20) и выражением (2.24) для b приводят к нужному результату. Остается установить вторую часть леммы. В силу (1.15) для матрицы c в (2.23) можно записать c = ( -ν1 -ν2 1 1 \\( α3 0 \\ , 0 -i√α2α3 поэтому достаточно рассмотреть случаи α ∈ Aj, j = 1, 2. В обозначениях (2.20) многочлен (1.8) можно записать в форме χ(z) = q1(z) - zq0(z)+ z2q2(z) = q1(z) - zq4(z). (2.26) В частности, q1(ν) = νq4(ν) при χ(ν) = 0. Следовательно, в случае различных корней νj матрицу c в (2.22) можно записать в форме, соответственно, c = ( -ν1 -ν2 1 1 и \\( -p2(ν1) 0 0 -p2(ν2) \\ , α ∈ A1, c = ( -ν1 -ν2 1 1 \\( p4(ν1) 0 0 p4(ν2) \\ , α ∈ A2. Если корень ν кратный, то α ∈ A1 ∩ A2 и матрицу c в (2.24) можно представить в форме ( -ν -1 \\( p3(ν) p∗ (ν) \\ . c = 1 0 Поэтому достаточно убедиться, что 3 0 p3(ν) χ(ν) = q2(ν) = 0 ⇒ α ∈/ A1, χ(ν) = q4(ν) = 0 ⇒ α ∈/ A2. (2.27) Первые три равенства в (2.20) по отношению к векторам q = (q2, q1, q0) и e = (z2, 1, -z) можно записать в форме q = βe. В частности, вектор q(z) /= 0 для любого z. Поскольку β = (det α)α-1, отсюда (det α)e = αq, или, в явном виде, (det α)z2 = α1q2 + α4q1 + α6q0, (det α) = α4q2 + α2q1 + α5q0, -(det α)z = α6q2 + α5q1 + α3q0. В частности, многочлены qj связаны двумя соотношениями (α4z + α6)q2 + (α2z + α5)q1 + (α5z + α3)q2 = 0, (α6z + α1)q2 + (α5z + α4)q1 + (α3z + α6)q2 = 0. (2.28) Предположим теперь, что χ(ν) = q2(ν) = 0. Тогда согласно (2.26) должно быть q1(ν) = νq0(ν), q0(ν) /= 0. Поэтому согласно (1.6) при z = ν левая часть первого равенства (2.28) совпадает с p2(ν)q0(ν). Таким образом, p2(ν) = 0 и на основании (1.11) отсюда следует (2.27). Рассуждения для второго случая аналогичны. Если χ(ν) = q4(ν) = 0, то в силу (2.26) должно быть q1(ν) = 0 и q0(ν) = νq2(ν), q2(ν) /= 0. Поэтому из (1.6) и второго равенства (2.28) следует p1(ν) = 0, что означает линейную зависимость многочленов p1 и p3. Согласно теореме 2.2 пространство J -аналитических функций φ, для которых вещественная функция v = Re cφ тождественно равна нулю, трехмерно и состоит из многочленов φ(z) = η0 + zJ η1, Re cη0 = 0, Re cη1 = Re cJη1 = 0. (2.29) Этот факт можно несколько уточнить. Лемма 2.3. Пространство {η ∈ C2 | Re cη = Re cJη = 0} одномерно и натянуто на вектор e, определяемый системой ce = iξ0, cJe = iξ1, (2.30) где в обозначениях (1.7) векторы ξk ∈ R2 (k = 0, 1) определяются равенствами ξ0 = (- Im t, Im s), ξ1 = (- Im(s¯t), Im t). К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 125 В частности, в формуле (2.29) можно положить η1 = λe, λ ∈ R. Совместные равенства Re cη = Re cJη = Re cJ 2η = 0 возможны только для η = 0. Доказательство. Согласно (2.25) операция η → dη переводит подпространство Xn ⊆ C2, определяемое условиями Re cJkη = 0, 0 k n, в аналогичное пространство, отвечающее c0. А в случае c = c0 равенства dim X1 = 1 и dim X2 = 0 проверяются непосредственно. Заметим далее, что система уравнений (2.30) разрешима тогда и только тогда, когда (cJc-1)ξ0 = ξ1. (2.31) Но в силу (2.25) в обоих случаях (i) и (ii) матрица 0 cJc-1 = c0Jc-1 = ( s t \\ , -1 0 и равенство (2.31) для рассматриваемых векторов ξk проверяется непосредственно. Рассмотрим подробнее систему (2.1), (2.2). Если корни νj различны, то эта система распадается на два скалярных уравнения ∂φ ∂φ ∂y - νj ∂x = 0, которые в переменных x˜+iy˜ = x+νjy переходят в уравнение Коши-Римана. Поэтому подстановка φj (x, y) = ψj (x + νjy), j = 1, 2, (2.32) определяет аналитические функции ψj в областях D(νj ) = {z˜ = x + νjy, z ∈ D}. Прямая проверка показывает, что и в случае кратного корня ν подстановка 2 φ1(x, y) = ψ1(x + νy)+ yψ∗ (x + νy), φ2(x, y) = ψ2(x + νy) (2.33) осуществляет взаимно однозначное соответствие между J -аналитической вектор-функцией φ и вектор-функцией ψ, аналитической в области D(ν). Обратное преобразование дается аналогичной формулой 2 ψ1(x + νy) = φ1(x, y) - yφ∗ (x, y), ψ2(x + νy) = φ2(x, y). Следует заметить, что в случае, когда область D является верхней полуплоскостью, функция ψ определена также в этой полуплоскости. Подстановка формул (2.32), (2.33) в (2.10), (2.17) совместно с (2.13) приводит к классическим представлениям вектора смещения и тензора напряжений через пару аналитических функций. В случае кратных корней в этом представлении участвует и производная одной из этих функций. Хорошо известно [5, 6], что данное обстоятельство несколько затрудняет использование данных представлений при исследовании краевых задач. В качестве иллюстрации обсудим связь представлений (2.12), (2.15) для изотропной среды с классическими формулами Колосова-Мусхелишвили, выражающими вектор перемещений u и тензор напряжений σ через аналитические функции. Согласно разделу 1 в рассматриваемом случае имеем кратный корень ν = i и матрица J представляет собой клетку Жордана, а матрицы b и c даются формулами (2.24). В силу (1.20), (1.26) эти формулы дают равенства b = ( α3 - α1 2α1i (α3 - α1)i α3 - α1 \\ , c = 2α3 ( (α1 - α3)i 2α1 - α3 \\ . α3 - α1 α1i Согласно лемме 2.1 в качестве b и c можно взять также матрицы, которые получаются умножением этих равенств справа на матрицу d = (α3 - α1)-1 ( 1 2α1(α1 - α3)-1i \\ 0 1 . После элементарных вычислений в результате приходим к формулам ( 1 0 b = i -κ \\ , c = α3 ( -2i κ - 1 2 i(κ + 1) \\ (2.34) с положительной постоянной κ из (1.27). С этими матрицами в покомпонентной записи представление (2.10) принимает вид u1 = Re φ1, u2 = Re(iφ1 - κφ2). (2.35) 126 А. П. СОЛДАТОВ Подставляя в (2.17) выражение (2.34) матрицы c, для элементов матрицы σ в (2.16) получим представления σ1 = Re[2φ∗ + i(κ - 3)φ∗ ], 1 2 σ2 = - Re[2φ∗ + i(κ + 1)φ∗ ], (2.36) 1 2 σ3 = Re[2iφ∗ - (κ - 1)φ∗ ) 1 2 компонент тензора напряжений. Стоит отметить, что матрица c обладает свойством (cJ )2k = -c1k, согласно которому в покомпонентной записи (2.35) равенство, определяющее σ3, встречается дважды. Подставляя (2.33) в (2.34), (2.36), приходим к представлению u1 = Re[ψ1 + yψ∗ ], u2 = Re[i(ψ1 + yψ∗ ) - κψ2] 2 2 компонент вектора смещения и σ1 = α3 Re[2(ψ∗ + yψ∗∗)+ i(κ - 3)ψ∗ ], 1 2 2 σ2 = -α3 Re[2(ψ∗ + yψ∗∗)+ i(κ + 1)ψ∗ ], 1 2 2 σ3 = α3 Re[2i(ψ∗ + yψ∗∗) - (κ - 1)ψ∗ ] 1 2 2 элементов тензора напряжений через пару аналитических функций ψ1, ψ2 той же переменной z. С помощью линейной подстановки 2 χ1(z) = -iψ2(z), χ2(z) = -2ψ1(z)+ iκψ2(z)+ izψ∗ (z) эти представления можно переписать в форме равенств 1 2(u1 - iu2)(z) = κχ1(z) - zχ∗ (z) - χ2(z), (σ1 + σ2)(z) = 4α3 Re χ∗ (z), (σ2 - σ1 + 2iσ3)(z) = 2α3[z¯χ∗∗(z)+ χ∗ (z)], 1 1 1 которые и составляют классические формулы Колосова-Мусхелишвили [6]. 3. ФУНКЦИИ, АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПО ДУГЛИСУ Пусть область D ограничена гладким контуром Γ, который ориентирован положительно по отношению к D. Эта область может быть как конечной, т. е. лежать внутри некоторого круга, так и бесконечной, т. е. содержать внешность некоторого круга и, следовательно, являться окрестностью бесконечно удаленной точки ∞ на плоскости. Удобно для краткости эти два возможных случая указывать обозначением, соответственно, σ(D) = 1 и σ(D) = 0. Рассмотрим в области D систему (2.2) с произвольной матрицей J ∈ Cl×l, все собственные значения которой лежат в верхней полуплоскости. В случае, когда J является ганкелевой матрицей, эта система была изучена А. Дуглисом [19] в рамках гиперкомплексных чисел. Удобно с комплексным числом z = x + iy связать матрицу zJ = x1+ yJ, (3.1) где x = x1 означает скалярную матрицу. Поскольку собственные значения J лежат в верхней полуплоскости, при z /= 0 эта матрица обратима. Напомним, что решения φ системы (2.2) были названы J -аналитическими функциями, введение данного термина мотивируется тем, что эти решения можно описать как функции класса C1(D), допускающие в каждой точке z ∈ D обобщенную производную φ∗(z) = lim(t - z)-1[φ(t) - φ(z)], t→z J которая совпадает с частной производной по x. В случае σ(D) = 0 бесконечной области к этому определению добавляется условие ограниченности φ на ∞. В дальнейшем убедимся, что тогда φ имеет предел φ(∞) = lim φ(z) при z → ∞. Вообще условимся говорить, что φ имеет порядок k ∈ Z на ∞, если функция |z|-kφ(z) ограничена в окрестности ∞. Пусть l-вектор-функция φ ∈ C1(D) удовлетворяет системе (2.2) в области D и в случае σ(D) = 0 имеет порядок -2 на бесконечности. Тогда, интегрируя равенство (2.2) и пользуясь формулой Грина, получим равенство r dtJ φ+(t) = 0, (3.2) Γ К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 127 которое играет роль теоремы Коши. Матричный дифференциал здесь определяется аналогично (3.1) и действует на вектор φ+ по обычному правилу и потому стоит впереди этого вектора. Как и в случае классических аналитических функций, отсюда выводится и формула Коши 1 r 2πi Γ J (t - z)-1dtJ φ+(t) = ( φ(z), z ∈ D, 0, z ∈ D , (3.3) где D = C \\ D и дополнительно предполагается, что в случае σ(D) = 0 функция φ имеет порядок -1 на бесконечности. Из этой формулы, в частности, следует, что функция φ ∈ C∞(D). Обозначая φ(k) последовательные частные производные по x, с учетом (2.2) для остальных частных производных имеем выражения ∂kφ ∂xk-s∂ys = J sφ(k) , 0 s k. (3.4) Из формулы Коши также вытекает, что функция, которая J -аналитична на всей плоскости и исчезает на бесконечности, тождественно равна нулю. Как и для обычных аналитических функций, из формул (3.2), (3.3) легко следует следующее предложение об аналитическом продолжении. Пусть в области D проведен разрез L, т. е. гладкая дуга с концами в точках граничного контура Γ, которая за исключением этих концов лежит внутри D. Тогда, если функция φ непрерывна в D и J -аналитична в D \\ L, то эта функция J -аналитична во всей области D. Все основные результаты классической теории аналитических функций, основанные на интеграле Коши, сохраняют свою силу и для J -аналитических функций [11]. Для удобства приведем без доказательства основные положения этой теории. В окрестности изолированной особой точки a для J -аналитической функции имеем разложение в ряд Лорана J φ(z) = (z - a)k ck, ck ∈ Cl, по целым степеням матрицы (z - a)J . Если φ ограничена в окрестности этой точки, то она устранима и данное разложение переходит в соответствующий ряд Тейлора с коэффициентами ck = φ(k)/k!. Соответствующие частичные суммы этого ряда представляют собой J -аналитические многочлены n J p(z) = (z - a)k ck, ck ∈ Cl. k=0 J Если область D бесконечна, то бесконечно удаленную точку ∞ можно рассматривать как изолированную. В этом случае справедливо разложение Лорана в окрестности ∞ по целым степеням zJ . Если φ имеет порядок k на бесконечности, то в этом разложении участвуют только степени zi , J i k. В частности, функция z-kφ(z) аналитична по Дуглису в окрестности ∞. Если функция ψ задана и J -аналитична в односвязной области D, то интеграл z r φ(z) = z0 dtJ ψ(t) (3.5) не зависит от пути интегрирования и определяет J -аналитическую функцию с производной φ∗ = ψ. В случае многосвязной области D первообразная φ функции ψ, вообще говоря, многозначна и допускает ветвление при обходе связных компонент границы области. Очевидно, формула (3.5) приводит к однозначной функции тогда и только тогда, когда r dtJ ψ(t) = 0 (3.6) Γt для любого простого контура Γ∗ ⊆ D. В общем случае интеграл здесь можно трактовать как приращение функции φ вдоль контура Γ∗. j Пусть область D конечна и ее граница состоит из конечного числа m связных компонент. Рассмотрим в D простые контуры Γ∗ , 1 j m - 1, которые оставляют внутри себя соответствующие 1 из этих компонент. Тогда в силу теоремы Коши условие (3.6) достаточно проверить для этих m - контуров. Аналогичное утверждение справедливо и для бесконечной области при условии, что ψ 128 А. П. СОЛДАТОВ имеет порядок -2 на бесконечности. В этом случае интегрирование в (3.5) можно вести от z0 = ∞, j а компоненты границы, связанные с Γ∗ , равноправны. Аналогично (3.3) можно ввести обобщенный интеграл типа Коши (Iϕ)(z) = 1 r 2πi Γ J (t - z)-1dtJ ϕ(t), определяющий вне ориентируемого контура J -аналитическую функцию φ = Iϕ с порядком -1 на бесконечности, и соответствующий сингулярный интеграл Коши 1 r (Sϕ)(t0) = πi Γ J (t - t0)-1dtJ ϕ(t), t0 ∈ Γ, который понимается в смысле главного значения. Определяемый этим интегралом оператор I ограничен в пространствах Гельдера Cμ(Γ) → Cμ(D), 0 < μ < 1, где D - любая из связных компонент дополнения к Γ, и для ее граничных значений φ± (знаки определяются ориентацией контура) справедливы формула Сохоцкого-Племеля [1] 2φ± = ±ϕ + Sϕ. (3.7) Пусть функция φ аналитична по Дуглису вне контура Γ, имеет конечный порядок на бесконечности и принадлежит Cμ(D), где D - любая из связных компонент дополнения к Γ. Тогда в 0 силу (3.7) разность φ0 = φ - Iϕ, где ϕ = φ+ - φ-, обладает свойством φ+ 0 = φ-. С помощью формул Коши (3.2), (3.3), примененных к областям D, отсюда легко вывести, что φ0 аналитична по Дуглису на всей плоскости и, следовательно, является J -аналитическим многочленом p. Из формулы (3.7) также следует, что сингулярный оператор S ограничен в Cμ(Γ). Впрочем, с помощью следующей леммы этот факт легко сводится к аналогичному хорошо известному результату [7] для классического сингулярного оператора Коши отвечающему случаю J = i. 1 r (S0ϕ)(t0) = πi Γ ϕ(t)dt t - t0 , t0 ∈ Γ, Лемма 3.1. Пусть контур Γ принадлежит классу C1,ν и k(t0, t) ∈ Cν (Γ × Γ), k(t, t) ≡ 0. (3.8) Тогда интегральный оператор 1 r (Kϕ)(t0) = πi Γ k(t0,t) t - t0 ϕ(t)dt, t0 ∈ Γ, (3.9) ограничен C(Γ) → Cν (Γ) и, в частности, компактен в пространствах C(Γ) и Cμ(Γ), 0 < μ < ν. Если функция ϕ суммируема, то интеграл (3.9) существует почти всюду на Γ и оператор K компактен в лебеговом пространстве Lp(Γ) для любого p 1. Доказательство. Существует такое 0 < ρ < 1/2 (стандартный радиус контура), что для любой точки a ∈ Γ и 0 < δ < ρ множество Γ ∩ {|t - a| δ} является гладкой дугой. Тогда для функции ψ = Kϕ имеем очевидную оценку r |ψ(t0)| |k|ν |ϕ|0 Γ |t - t0|ν-1|dt| M0|k|ν |ϕ|0, (3.10) где | |0 и | |ν означают нормы, соответственно, в C и Cν, а постоянная M0 > 0 зависит только от Γ. Воспользуемся далее оценкой r Γ∩{|t-a| δ} |t - a|α-2|dt| M1 ( δα-1, 0 < α < 1, ln(1/δ), α = 1, (3.11) где постоянная M1 > 0 зависит только от Γ и α. К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 129 Зафиксируем точки t1, t2 ∈ Γ и пусть δ = |t1 - t2| ρ/3. Запишем r ψ(t1) - ψ(t2) = Γ k(t1,t) t - t1 - k(t2,t) t - t2 ϕ(t)dt = Δ1 + Δ2, где Δ1 и Δ2 означают интегралы по, соответственно, Γ1 = Γ∩{|t-t1| 2δ} и Γ2 = Γ∩{|t-t1| 2δ}. Очевидно, r |Δ1| |k|ν |ϕ|0 Γ1 [|t - t1|ν-1 + |t - t2|ν-1]|dt|. Поскольку |t - t1| 2δ влечет |t - t2| 3δ, аналогично (3.10) имеем: |Δ1| M0[(2δ)ν + (3δ)ν ]|k|ν |ϕ|0. Что касается Δ2, то запишем r Δ2 = k(t1,t) - k(t2,t) t - t r ϕ(t)dt + (t1 - t2)k(t2,t) ϕ(t)dt. (t - t )(t - t ) Тогда 1 1 2 Γ2 Γ2 ⎡ r r ⎤ |Δ2| |k|ν |ϕ|0 ⎣δν Γ2 |t - t1|-1|dt| + δ Γ2 |t - t1|-1|t - t2|ν-1|dt|⎦ . Поскольку |t - t1| 2δ влечет |t - t2| |t - t1|- δ |t - t1|- |t - t1|/2, к выражению в квадратных скобках можно применить оценку (3.11). Тогда |Δ2| |k|ν |ϕ|0M1[δν ln(1/δ)+ 21-ν δν ]. Объединяя обе оценки для Δ1 и Δ2, в результате получим: |ψ(t1) - ψ(t2)| C|k|ν |ϕ|0|t1 - t2|μ при |t1 - t2| ρ/3 с некоторой постоянной C > 0. C учетом (3.10) отсюда следует ограниченность оператора K из C в Cν. Обратимся ко второму утверждению леммы. Предполагая функцию ϕ суммируемой, в соответствии с (3.8) запишем (3.9) в форме r (Kϕ)(t0) = Γ k˜(t0, t)ϕ(t)|dt| , |t - t0|α где 1 - ν < α < 1, а функция k˜ непрерывна и обращается в нуль при t = t0. Тогда по теореме Фубини этот интеграл существует почти всюду и определяет суммируемую функцию ψ = Kϕ с оценкой r r |ψ(t0)||dt0| |k˜|0 Γ Γ r |ϕ(t)||dt| Γ r |t - t0|-α|dt0| M |k˜|0 Γ |ϕ(t)||dt|. Если функция ϕ ∈ Lp(Γ), p > 1, то в силу неравенства Гельдера 1/p 1/q ⎛ ⎞ r ϕ(t) p dt ⎛ ⎞ r dt |ψ(t0)| |k˜|0 ⎝ | | | | ⎠ ⎝ | | ⎠ , |t - t0|α Γ |t - t0|α Γ где 1/q = 1 - 1/p. Возводя это неравенство в p-ую степень и интегрируя, совместно c предыдущим неравенством получим r r 0 |ψ(t0)|p|dt0| |k˜|pM p/q Γ Γ |ϕ(t)|p|dt|. Таким образом, оператор K ограничен в Lp(Γ) с оценкой |K|L(Lp) M |k˜|0 (3.12) для его нормы. 130 А. П. СОЛДАТОВ Очевидно, если для некоторого δ > 0 функция k˜(t0, t) обращается в нуль при |t - t0| δ, то оператор K компактен в Lp(Γ). Выберем последовательность функций k˜n с этим свойством по отношению к δ = δn, сходящуюся к k˜ по sup-норме, и пусть Kn определяется по k˜n как выше. Тогда в силу оценки (3.12), примененной к разности K - Kn, последовательность компактных операторов Kn сходится к K по операторной норме, так что компактен и оператор K. Лемма 3.2. Пусть контур Γ принадлежит классу C1,ν и собственные значения матрицы J не лежат на вещественной прямой. Тогда оператор S -S0 компактен в пространствах Cμ(Γ), 0 < μ < ν, и Lp(Γ), p > 1. 0 Если контур Γ служит границей области D и ориентирован положительно по отношению к ней, то S2 = S2 = 1. Доказательство. Разность S - S0 запишем в виде 1 r [(S - S0)ϕ)](t0) = πi Γ q(t; t - t0) t - t0 ϕ(t)dt J с матрицей-функцией q(t, ξ) = [e(t)]J ξ-1ξ - e(t). Тогда остается воспользоваться леммой 3.1 и следующим общим свойством функций вида q. Пусть Γ ∈ C1,ν и функция q(t0, t; ξ), заданная для t0,t ∈ Γ и ξ = ξ1 + iξ2 ∈ C, ξ /= 0, четна, однородна степени нуль и непрерывно дифференцируема по ξ, причем вместе с частными производными по ξ непрерывна по всем переменным. Тогда, если q(t0, t; ξ) ∈ Cν (Γ × Γ) равномерно по |ξ| = 1, то функция k(t0, t) = q(t0, t; t - t0) принадлежит Cν (Γ × Γ), причем k(t, t) = q(t, t; e(t), где e(t) - единичный касательный вектор на Γ. Доказательство этого предложения достаточно провести в окрестности фиксированной точки (a, a) ∈ Γ × Γ. Запишем параметризацию контура в этой окрестности в форме z = γ(s), |s| δ, где s - параметр длины дуги, отсчитываемый от точки a. Тогда функция 1 α(s0, s) = γ(s) - γ(s0) = r s - s0 0 γ∗[sτ + s0(1 - τ )]dτ принадлежит классу Cν в квадрате |s0|, |s| δ, отграничена по модулю от нуля и принимает значение γ∗(s) при s0 = s. Следовательно, функция k[γ(s0), γ(s)] = q[γ(s0), γ(s); α(s0, s)] также принадлежит этому классу и ее значение при s0 = s совпадает с q[γ(s0), γ(s); γ∗(s)]. Отсюда следует справедливость сформулированного предложения для функции q(t0, t; t - t1) в рассматриваемой окрестности контура. Обратимся ко второму утверждению леммы. Для оператора S0 оно хорошо известно [7], а для S его доказательство проходит по той же схеме, что и в [7]. Именно, пусть контур Γ ориентирован положительно по отношению к области D и для краткости P = (1 + S)/2. Тогда для граничного значения функции φ = Iϕ имеем равенство φ+ = Pϕ. С другой стороны, по формуле Коши φ = Iφ+, где учтено, что в случае бесконечной области D функция φ исчезает на ∞. Отсюда Pφ+ = φ+ или P 2ϕ = Pϕ, что равносильно операторному равенству S2 = 1. Граничные свойства интегралов типа Коши Iϕ с плотностью из ϕ ∈ Lp(Γ), 1 < p < ∞, изучались в [10]. В этом случае J -аналитическая функция φ = Iϕ принадлежит пространству Харди Hp(D), которое можно ввести [12] следующим образом. Пусть контур Γ принадлежит классу C1,ν и последовательность контуров Γn ⊆ D, n = 1, 2,... сходится к Γ по метрике C1. По определению это означает, что для некоторых диффеоморфизмов γn : Γ → Γn выполняется условие lim n→∞ |γn(t) - t|C1(Γ) = 0. (3.13) Тогда Hp(D) состоит из всех J -аналитических в D функций, для которых конечна норма |φ| = sup |φ|Lp(Γn). (3.14) n В этих обозначениях интеграл типа Коши как линейный оператор ϕ → φ = Iϕ ограничен Lp(Γ) → Hp(D), угловые предельные значения φ± существуют почти всюду на Γ и справедлива К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 131 формула Сохоцкого-Племеля [10]. Обратно, любая функция φ ∈ Hp представима интегралом типа Коши с плотностью ϕ ∈ Lp(Γ). В самом деле, пусть область Dn ⊆ D ограничена контуром Γn. Тогда для фиксированной точки z ∈ D и достаточно больших n можно записать формулу Коши φ(z) = 1 r 2πi Γn J (t - z)-1dtJ φ(t). k k Из (3.14) и слабой компактности [9] единичного шара в рефлексивном банаховом пространстве Lp, p > 1, следует, что найдется такая функция ϕ ∈ Lp(Γ), что некоторая подпоследовательность φ ◦ γn слабо сходится к ϕ в Lp. Поэтому с учетом (3.13) в предыдущем равенстве для n = nk можно перейти к пределу при →∞ и в результате представить φ интегралом типа Коши. Отсюда, в частности, следует, что функция φ ∈ Hp(D) тогда и только тогда, когда существуют угловые предельные значения почти всюду на Γ, принадлежащие Lp(Γ), и сохраняет свою силу формула Коши. Из этих же соображений пространство Hp можно определить как замыкание класса J -аналитических функций, непрерывных в замкнутой области D, по норме |φ| = |φ+|Lp(Γ), которая эквивалентна норме (3.14). Напомним, что в случае σ(D) = 0 бесконечной области J аналитические функции предполагаются ограниченными на ∞, так что указанное равенство определяет норму и в этом случае. Хорошо известно [7], что каждая аналитическая функция с точностью до постоянного слагаемого может быть представлена интегралом типа Коши. Этот факт справедлив [10] и для J аналитических функциях в классах Гельдера. С помощью следующей леммы его легко распространить и на класс Харди. Лемма 3.3. Пусть область D ограничена простым ляпуновским контуром Γ и матрица J треугольна. Пусть J-аналитическая функция φ ∈ Hp(D) такова, что Reφ+ постоянна на Γ. Тогда φ постоянна в области D. Доказательство. Проведем доказательство сначала для скалярного случая l = 1, когда J = ν ∈ C и φ является решением уравнения ∂φ ∂φ ∂y - ν ∂x = 0. При аффинном преобразовании z = x + iy → zν = x + νy это уравнение переходит в уравнение Коши-Римана, определяющее аналитические функции. Очевидно, класс Харди инвариантен относительно этих преобразований, так что без ограничения общности функцию φ можно считать аналитической. В этом случае утверждение леммы хорошо известно [2]. Итак, в скалярном случае утверждение леммы установлено. В общем случае пусть для определенности матрица J ∈ Cl×l верхнетреугольна, т. е. Jik = 0 при i > k. Тогда в покоординатной записи относительно вектора φ = (φ1,..., φl) систему Дуглиса можно переписать в виде ∂φj ∂y - l k=j kj J ∂φk = 0, 1 k l. ∂x В силу уже доказанного из последнего уравнения этой системы следует, что функция φl постоянна. Следовательно, (l - 1)-ое уравнение этой системы переходит в рассмотренное выше скалярное уравнение по отношению к φl-1 и ν = Jl-1,l-1. Поэтому из тех же соображений функция φl-1 постоянна. Повторяя эти рассуждения, в результате приходим к заключению, что постоянны все функции φk. Обратимся к вопросу о представимости J -аналитических функций φ ∈ Hp интегралами типа Коши с вещественной плотностью. Теорема 3.1. Пусть ляпуновский контур Γ ограничивает область D, ориентирован положительно по отношению к D и состоит из компонент Γ1,..., Γm, m 1, причем в случае 132 А. П. СОЛДАТОВ конечной области контур Γm охватывает все остальные. Пусть матрица J треугольна. Тогда любая J-аналитическая функция φ ∈ Hp(D) представляется в виде φ = Iϕ + η, η ∈ Cl, (3.15) где вещественная l-вектор-функция ϕ ∈ Lp(Γ) и Re η = 0 в случае конечной области D. В этом представлении φ = 0 тогда и только тогда, когда η = 0 и функция ϕ постоянна на контурах Γj, причем в случае конечной области D она равна нулю на Γm. Доказательство. Оно осуществляется по той же схеме, что и в случае функций, рассматриваемых в классах Гельдера [10]. Предположим сначала, что область D конечна и ограничена простым контуром (т. е. m = 1). Обозначим D дополнение к D на плоскости, и пусть I ϕ означает оператор типа Коши в области D . Тогда на основании (3.7) (Iϕ)+ - (I ϕ)- = ϕ. (3.16) Утверждается, что Re(Iϕ)+ = 0 ⇒ ϕ = 0, (3.17) Re(I ϕ)- = ξ ∈ Rl ⇒ ξ = 0, ϕ ∈ Rl. (3.18) В самом деле, если Re(Iϕ)+ = 0, то на основании леммы 3.3 функция Iϕ постоянна и с учетом (3.16) функция Im(I ϕ)- также постоянна. Опять пользуясь леммой 3.3, отсюда выводим, что постоянна и функция I ϕ, а вместе с ней и плотность ϕ = ξ ∈ Rl. Но тогда Iϕ = ξ и поскольку по условию Re(Iϕ)+ = 0, отсюда следует (3.17). Рассуждения для интеграла I ϕ аналогичны. Как и выше, убеждаемся, что функции I ϕ и ϕ постоянны. Поскольку первая из них исчезает на бесконечности, отсюда вытекает (3.18). Рассмотрим операторы Mϕ = Re(Iϕ)+ и M ϕ = Re(I ϕ)-, действующие в Lp(Γ). Согласно (3.7) имеем: Mϕ = Re(ϕ + Sϕ)/2, M ϕ = Re(-ϕ + Sϕ)/2. Операция комплексного сопряжения ϕ → ϕ функций индуцирует соответствующую операторную инволюцию N → N по правилу Nϕ = Nϕ. В этих обозначениях M = 1 + (S + S)/2, M = -1+ (S + S)/2. (3.19) Если зависимость оператора S от матрицы J указывать обозначением S = S(J ), то S(J ) = -S(J ) (знак минус возник из-за множителя 1/πi перед сингулярным интегралом). Согласно лемме 3.2 операторы S(J ) - S0 и S(J ) - S0 компактны в пространстве Lp(Γ). Но тогда этим свойством обладает и оператор S + S = S(J ) - S(J ). Поэтому по теореме Рисса [9] операторы M и M в (3.19) фредгольмовы индекса нуль. В соединении с (3.17), (3.18) отсюда заключаем, что оператор M обратим и ker M = 0, Rl ∩ im M = 0. (3.20) Пусть теперь φ ∈ Hp(D) и f = Re φ+. Полагая ϕ = M -1ϕ, получим (φ-Iϕ)+ = 0 и по лемме 3.2 функция φ = Iϕ + iξ с некоторым ξ ∈ Rl. Если в этом равенстве φ = 0, то Mϕ = 0 и, значит, ϕ = 0. Тем самым утверждение теоремы в рассматриваемом случае установлено. Пусть далее φ ∈ Hp(D ) и φ 0(z) = φ (z)-φ (∞). Напомним, что оператор M фредгольмов индекса нуль. Поэтому с учетом (3.20) функцию f = Re φ 0 можно представить в виде M ϕ+ξ с некоторыми ϕ ∈ Lp и ξ ∈ Rl. Тогда Re(φ 0 - I ϕ) = ξ и на основании леммы 3.2 функция φ 0 - I ϕ постоянна. Поскольку она исчезает на ∞, то в действительности φ = I ϕ, что приводит к разложению (3.15) для φ с η = φ (∞). То, что φ = 0 в этом разложении влечет η = 0 и ϕ ∈ Rl, доказывается аналогично. Таким образом, утверждение теоремы установлено и для случая бесконечной области, ограниченной простым контуром. Рассмотрим общий случай контура Γ, предполагая для определенности область D конечной. Пусть область Dj ограничена контуром Γj, причем эта область бесконечна при 1 j m - 1 и конечна при j = m, так что D = D1 ∩ ... ∩ Dm. В соответствии с формулой Коши функцию φ ∈ Hp(D) можно представить в виде суммы φ(z) = φ1(z)+ ... + φm(z), z ∈ D, (3.21) К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 133 где φj ∈ Hp(Dj ) определяются интегралом типа Коши 1 r φj (z) = 2πi Γj J (t - z)-1dtJ φ+ (t), z ∈ Dj. К функциям φj утверждение теоремы уже применимо, так что 1 r φj (z) = 2πi Γj J (t - z)-1dtJ ϕj (t), 1 j m - 1, 1 r 1 l J φm(z) = 2πi Γm (t - z)- dtJ ϕm(t)+ iξ, ξ ∈ R . j Подставляя эти выражения в (3.21), приходим к требуемому разложению (3.15). Если в этом разложении φ = 0 и функции φj ∈ Hp(Dj ) определяются интегралом типа Коши с плотностью ϕ|Γ , то равенство -φm = φ1 + ... + φm-1 позволяет продолжить -φm до функции, аналитической по Дуглису на всей плоскости и исчезающей на ∞. Следовательно, φm = 0. Аналогично показывается, l что φj = 0 для всех j. Применяя к φj утверждение теоремы, убеждаемся, что ϕ|Γj ∈ R 1 j m - 1 и ξ = 0, ϕ|Γm = 0. 4. ЗАДАЧА РИМАНА-ГИЛЬБЕРТА при Как и в случае обычных аналитических функций, для функций, аналитических по Дуглису, можно рассмотреть задачу Римана-Гильберта 1Γ Re Gφ1 = f, (4.1) где l × l-матрица-функция G ∈ C(Γ) обратима всюду на Γ. Эта задача рассматривается в пространстве Hp(D), p > 1 с правой частью f ∈ Lp(Γ). Фредгольмовость и индекс задачи понимается по отношению к R-линейному оператору φ → Re Gφ ее краевого условия. Теорема 4.1. Пусть ляпуновский контур Γ составлен из m связных компонент и определитель матрицы-функции G ∈ C(Γ) отличен от нуля всюду на Γ. Тогда задача (4.1) фредгольмова и ее индекс κ дается формулой κ = - π arg det G1 1 1Γ + (2 - m)l, (4.2) где приращение непрерывной ветви аргумента на Γ берется в направлении, оставляющем область D слева. Если Γ ∈ C1,ν и G ∈ Cν (Γ), то любое решение φ ∈ Hp(D) этой задачи с правой частью f ∈ Cμ(Γ), 0 < μ < ν, принадлежит классу Cμ(D). При дополнительном предположении G ∈ C1,ν (Γ) аналогичное утверждение справедливо и по отношению к классам C1,μ. Доказательство. Без ограничения общности матрицу J можно считать жордановой и, в частности, треугольной. В самом деле, пусть матрица b ∈ Cl×l приводит J к жордановой форме J0, т. е. J0 = b-1Jb. Тогда подстановка φ = bφ0 переводит J -аналитические функции в J0-аналитические. Остается заметить, что при этой подстановке задача (4.1) переходит в аналогичную задачу для J0-аналитической функции φ0 с матрицей G0 = Gb. Таким образом, можно воспользоваться теоремой 3.1. Из этой теоремы следует, что интегральный оператор I, действующий из пространства Lp(Γ) вещественных l-вектор-функций в Hp(D), фредгольмов и его индекс ind I = l(m - 2). С другой стороны, согласно (3.7) для композиции N = 2RI оператора R задачи (4.1) с I имеем равенство Nϕ = Re(ϕ + Sϕ). В терминах операторной инволюции сопряжения, введенной при доказательстве теоремы 3.1, можно записать N = G(1 + S)/2+ G(1 + S)/2 = G(1 + S0)/2+ G(1 - S0)/2+ K (4.3) 0 с интегральным оператором 2K = G(S - S0) + G(S + S0), который в силу леммы 3.2 компактен в Lp(Γ). Согласно классической теории сингулярных операторов с ядром Коши [3, 7] отсюда заключаем, что оператор N фредгольмов в Lp и его индекс определяется первым слагаемым в правой части (4.2). Поскольку S2 = 1, с помощью леммы 3.2 аналогичным образом проверяется, 134 А. П. СОЛДАТОВ 0 0 что оператор N (-1) = G-1(1 + S )/2+ G-1(1 - S )/2 является регуляризатором N, т. е. операторы 1 - NN (-1) и 1 - N (-1)N компактны в Lp(Γ). Вторая часть теоремы опирается на лемму 4.1, которую докажем чуть ниже. Пусть Γ ∈ C1,ν , G ∈ Cν (Γ) и 0 < μ < ν. Тогда на основании леммы 3.1 оператор K в (4.4) компактен в пространстве Cμ(Γ) и оператор N (-1) является регуляризатором N в этом пространстве. Поэтому утверждение теоремы вытекает из леммы 4.1. Пусть далее G ∈ C1,ν (Γ). Рассмотрим операцию дифференцирования на Γ по формуле (Dϕ)(t0) = lim t→t0, t∈Γ J (t - t0)-1[ϕ(t) - ϕ(t0)]. С аналогичной операцией D0 по отношению к J = i она связана соотношением D = dD0, где J d = e-1e ∈ Cν (Γ). Интегрированием по частям непосредственно проверяется, что (Iϕ)∗(z) = 1 r 2πi Γ J (t - z)-1dtJ (Dϕ)(t). В частности, оператор типа Коши I ограничен C1,μ(Γ) → C1,μ(D). Поэтому утверждение теоремы о гладкости достаточно установить по отношению к уравнению Nϕ = f, определяемому оператором (4.3). Применяя к предыдущему равенству формулу Сохоцкого-Племеля (3.7) и сравнивая результат с продифференцированной формулой (3.7), получим равенство DS = SD или dD0S = SdD0. Аналогичным образом и D0S0 = S0D0, так что D0(S - S0) = [d-1(S - S0)d + (d-1S0 - S0d-1)d]D0. В результате для оператора K в (4.3) имеем соотношение D0K = K0+K1D0, где Kj (j = 0, 1) определяются аналогично (3.9) с некоторыми функциями kj (t0, t) со свойством (3.8). Следовательно, оператор K компактен в пространстве C1,μ(Γ), 0 < μ < ν. Аналогично проверяется, что оператор N (-1) является регуляризатором N и в пространстве C1,μ(Γ), так что остается воспользоваться леммой 4.1. Лемма 4.1. Пусть оператор N фредгольмов в пространстве Lp(Γ), p > 1, и вместе со своим регуляризатором N (-1) ограничен в некотором банаховом пространстве X, вложенном в Lp(Γ). Тогда если N (-1) является регуляризатором N и по отношению к X, то любое решение ϕ ∈ Lp(Γ) уравнения Nϕ = f с правой частью f ∈ X также принадлежит X. Доказательство. Достаточно провести доказательство по отношению к уравнению ϕ + Kϕ = f, где K = 1 - N (-1)N. По условию оператор K компактен как в Lp, так и в X. Пространстве Lq (Γ), q = p/(p - 1), является сопряженным к Lp(Γ) по отношению к билинейной форме r (ϕ, ψ) = Γ ϕ(t)ψ(t)dt. Соответственно, сопряженный оператор K∗, связанный с K тождеством (Kϕ, ψ) = (ϕ, K∗ψ), компактен в пространстве Lq. по теореме Рисса [9] размерность ядра n = dim[ker(1 + K)] оператора 1+K конечна и совпадает с dim[ker(1+K∗)], а уравнение Nϕ = f разрешимо тогда и только тогда, когда (f, ψ) = 0, ψ ∈ ker(1 + K∗). Пусть n0 имеет аналогичный смысл по отношению к оператору K0 = K|X, действующему в X. Тогда, очевидно, условие (f, ψ) = 0, ψ ∈ ker(1 + K∗) необходимо для разрешимости уравнения Nϕ = f в пространстве X. Таким образом, n0 n, dim[X/Im (1 + K0)] n0, так что ind(1+K0) ind(1+K) = 0. Поскольку в действительности ind(1+K0) = 0, то и предыдущие два неравенства являются точными равенствами. Таким образом, ker(1 + K0) = ker(1 + K), а условие (f, ψ) = 0, ψ ∈ ker(1 + K∗) необходимо и достаточно для разрешимости уравнения Nϕ = f в пространстве X. Отсюда утверждение леммы получается непосредственно. К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 135 Особо остановимся на задаче Римана-Гильберта с постоянной матрицей G. В этом случае формула индекса (4.2) переходит в κ = l(2 - m). Для более подробного рассмотрения этой задачи удобно ввести пространство Харди и для класса вещественных вектор-функций u = Re Gφ, (4.4) которое обозначим здесь hp(D). Оно вводится аналогично случаю J -аналитических функций с той разницей, что последовательность контуров Γn ⊆ D, n = 1, 2,... сходится к Γ по метрике этого класса. Другими словами, область D ограничена контуром Γ ∈ C1,ν и условие (3.13) выполнено по отношению к норме пространства C1,ν (Γ). Тогда пространство hp(D) функций u = Re Gφ определяется условием конечности нормы |u| = sup |u|Lp(Γn). (4.5) n Теорема 4.2. Пусть область D ограничена контуром Γ класса C1,ν , тогда u ∈ hp(D) тогда и только тогда, когда в представлении (4.4) функция φ ∈ Hp(D). Доказательство. Без ограничения общности матрицу J можно считать треугольной, что обосновывается также, как и в случае теоремы 4.1. Поскольку утверждение теоремы связано с поведением φ вблизи связных компонент контура, область D можно считать конечной, а контур Γ - состоящим из двух компонент. В этом случае удобно слегка видоизменить оператор I интеграла типа Коши, полагая (Iϕ)(z) = ⎡ 1 r 2πi ⎣ Γ r J (t - z)-1dtJ ϕ(t)+ Γ ⎤ ϕ(t)|dt|⎦ , z ∈ D, (4.6) Тогда в силу теоремы 3.1 этот оператор обратим Lp(Γ) → Hp(D). В принятых обозначениях формуле (3.7) соответствует равенство 1 r 2(Iϕ)+ = ϕ + Sϕ, (Sϕ)(t0) = πi Γ J [(t - t0)-1eJ (t)+ 1]ϕ(t)|dt|. (4.7) и для оператора Nϕ = Re G(Iϕ)+ имеем аналогичное (4.5) выражение N = G(1 + S)/2+ G(1 + S)/2. (4.8) Таким образом, задача (4.1) равносильна уравнению Nϕ = 2f, решение ϕ которого определяет решение φ = Iϕ задачи. Согласно теореме 4.1 эта задача и, соответственно, оператор N фредгольмовы индекса нуль. Пусть φ1,..., φk ∈ Hp(D) образуют базис пространства решений однородной задачи (4.1). Не ограничивая общности, можно считать, что некоторая подобласть D0 вместе со своей границей лежит внутри всех контуров Γn. Вещественные l-вектор-функции Re φj как элементы C(D0) линейно независимы. В самом деле, если Re φ ≡ 0 в области D0 для некоторой J -аналитической функции φ, то и φ ≡ 0, что доказывается аналогично лемме 3.2. Выберем систему вещественных l-вектор-функций ψ1,..., ψk, биортогональную к функциям Re φj (z), z ∈ D0. Другими словами, r (Re φi)ψjdxdy = δij, D0 где δij - символ Кронекера. Тогда однородная задача (4.1), дополненная условиями r ψj Re φ dxdy = 0, 1 j k, D0 имеет только нулевое решение. Рассмотрим оператор L : Lp(Γ) → Rk по формуле r (Lϕ)j = D0 Re ψj Re(Iϕ)dxdy, 1 j k. 136 А. П. СОЛДАТОВ С учетом (4.6) его можно записать в более явной форме скалярного произведения r с функциями (Lϕ)j = Γ gj (t)ϕ(t)|dt|, 1 j k, (4.9) 1 r gj (t) = 2π D0 J Im[eJ (t)(t - z)-1 + 1]ψj (z)dxdy. В этих обозначениях оператор (N, L) : Lp(Γ) → Lp(Γ) × Rk фредгольмов и его ядро нулевое. Зависимость операторов (4.7)-(4.9) и определяющих их функций от Γ указываем обозначениями SΓ, LΓ и т. д. Обратимся к последовательности контуров Γn, о которых идет речь в теореме. По условию найдутся такие гомеоморфизмы γn : Γ → Γn класса C1,ν (Γ), что выполнено условие (3.12) в норме C1,ν , т. е. lim n→∞ |γn(t) - t|C1,ν = 0. (4.10) Операция суперпозиции ϕ → ϕ ◦ γn функций индуцирует операторное преобразование M → M ◦ αn по правилу (M ◦ γn)(ϕ ◦ γn) = (Mϕ) ◦ γn, которое переводит банахово пространство L[Lp(Γn)] операторов, ограниченных в Lp(Γn), на L[Lp(Γ)]. Аналогичный смысл имеет обозначение (M ◦ γn)(ϕ ◦ γn) = Mϕ для оператора M : Lp(Γn) → Rk. Утверждается, что в этих обозначениях |SΓn ◦ γn - SΓ|L → 0, |LΓn ◦ γn - LΓ|L → 0 (4.11) при n →∞ по операторной норме соответствующих пространств. В самом деле, положим qn(t0, t) = [γn(t) - γn(t0)]-1eJ [γn(t)]e-1(t)(t - t0)J . J J Тогда в силу (4.10) последовательность матриц-функций qn → 1 по норме Cν (Γ × Γ). Остается заметить, что в этих обозначениях 1 r [(S ◦ γn)ϕ](t0) = πi Γ J n [qn(t0, t)(t - t0)-1eJ (t)+ 1]ϕ(t)|γ∗ (t)||dt|, r [(LΓn ◦ γn)ϕ]j = Γ n gΓn,j [γn(t)]|γ∗ (t)|ϕ(t)|dt|, и воспользоваться оценкой для операторной нормы оператора K в Lp(Γ), установленной при доказательстве леммы 3.1. n Пусть теперь задана J -аналитическая в D функция φ, для которой норма (4.5) конечна, т. е. вещественные функции fn = Re φ|Γ равномерно ограничены по норме пространств Lp(Γn). Положим r ξj = D0 ψj Re φ dxdy, 1 j k. n Пусть ϕn ∈ Lp(Γn) определяются равенством φ = IΓ ϕn в области Dn ⊆ D, ограниченной контуром Γn. Тогда NΓn ϕn = 2fn и (LΓn ϕn)j = ξj, или, что равносильно, ϕn = 2fn, [(LΓn ◦ αn)ϕn]j = ξj, ϕn где положено = ϕn § αn . Согласно (4.8) соотношение (4.11) справедливо и для оператора N, ϕn поэтому на основании нижеследующей леммы 4.2 последовательность ограничена в Lp(Γ). С учетом (4.7), (4.11) отсюда следует, что последовательность функций ϕn (SΓn ◦ αn) , а вместе с ней и φ ◦ αn ограничены в Lp(Γ), что завершает доказательство теоремы. Лемма 4.2. Пусть заданы банаховы пространства X, Y и фредгольмовый оператор N ∈ L(X, Y ) с нулевым ядром. Пусть последовательность Nn → N при n → ∞ по норме пространства L(X, Y ). Тогда если последовательность векторов Nnxn ограничена в Y, то xn ограничены в X. К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 137 Доказательство. Предположим сначала, что образ im N оператора совпадает с Y, т. е. оператор N обратим. Тогда операторы Nn также обратимы для достаточно больших n и последовательn ность N -1 n сходится к N -1 в L(Y, X), так что последовательность xn = N -1yn ограничена. В общем случае по условию образ im N замкнут и Y = Y0 ⊕ im N для некоторого конечномерного подпространства Y0. Рассмотрим операторы N , N n ∈ L(X × Y0,Y ) по формуле N (x, y0) = Nx + y0, N n(x, y0) = Nnx + y0. Тогда оператор N обратим и последовательность N n → N по операторной норме. Поскольку N n(xn, 0) = yn, отсюда следует ограниченность последовательности xn. Заметим, что аналог теоремы 4.2 справедлив и по отношению к классам Гельдера Cμ(D), 0 < μ < ν. J В заключение обсудим многозначные J -аналитические функции, т. е. функции φ, производные φ∗ которых однозначны в области D. При этом в случае бесконечной области предполагается, что эта производная имеет порядок -2 на ∞. Указанные функции легко свести к однозначным с помощью специальной матрицы-функции L(z), производная которой совпадает с (2πi)-1z-1. Нетрудно показать [11], что ее можно определить как значение аналитической функции (2πi)-1 ln ζ от матрицы zJ . Тогда при любом η ∈ Cl многозначная вектор-функция φ(z) = L(z)η будет J аналитической функцией, приращение которой при обходе точки z = 0 против часовой стрелки дает вектор η. В случае матрицы (2.1) эта функция дается формулой 1. L(z) = 1 2πi ( ln(x + ν1y) 0 \\ , 0 ln(x + ν2y) (4.12) 2. L(z) = 1 2πi ( ln(x + νy) y(x + νy)-1 \\ 0 ln(x + νy) , Исходя из L(z), построим семейство многозначных функций, имеющих аналогичное поведение по отношению к связным компонентам контура Γ = ∂D. Пусть этот контур состоит из связных компонент Γ1,..., Γm, причем в случае конечной области D контур Γm охватывает все остальные. Очевидно, дополнение к замкнутой области D на плоскости состоит из m областей D 1,..., D m, каждая из которых ограничена простым контуром. При 1 j m - 1 все области D j конечны, а области D m и D имеют противоположный тип. Выберем внутри каждой области D j по точке aj и положим 1 Lj (z) = 2πi ( L(z - aj ), σ(D) = 1, 1 j m 1. (4.13) L(z - aj ) - L(z - am), σ(D) = 0, - j Заметим, что в случае бесконечной области производная L∗ (z) имеет порядок -2 на ∞. Нетрудно видеть, что в этих обозначениях любая многозначная функция единственным образом представима в виде m-1 φ(z) = φ0(z)+ Lj (z)ηj, ηj ∈ Cl, (4.14) j=1 где φ0 однозначна. В соответствии с этим запись φ ∈ hp(D) по определению означает, что в этом представлении φ0 ∈ hp(D). Аналогичным образом вводятся и другие классы многозначных функций. Постановку задачи Римана-Гильберта (4.1) можно расширить на допустимые многозначные функции, т. е. функции φ, для которых вещественная l-вектор-функция Re Gφ однозначна. Они определяются разложением (4.14), в котором Re Gηj = 0. Соответственно данную задачу можно рассматривать как задачу 1Γ Re Gφ01 m-1 1Γ + Re[GLjηj ]1 = f j=1 относительно (φ0, η1,..., ηm-1), где φ0 однозначна, а вектора ηj (j = 1,...,m - 1) принадлежат конечномерному пространству {η ∈ Cl, Re Gη = 0} размерности l. Хорошо известно [8], что расширение фредгольмового оператора на n измерений увеличивает его индекс на n. Следовательно, с учетом (4.2) индекс задачи (4.1) в классе hp(D) допустимых многозначных функций равен l. 138 А. П. СОЛДАТОВ 5. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛАМЕ Рассмотрим систему Ламе в области D, ограниченной ляпуновским контуром Γ ∈ C1,ν , 0 < ν < 1. Как известно [6], основные краевые условия для этой системы состоят в задании на граничном контуре либо вектора смещений u+ = f, (5.1) либо нормальной компоненты σ+n = σ+ n1 + σ+ n2 тензора напряжения σ, где n = (n1, n2) - (1) (2) единичная внешняя нормаль на Γ и верхний знак + указывает на граничное значение функций. Согласно (1.1), (2.13) последнее краевое условие можно записать в форме ( ∂u ∂u \\+ ( ∂u ∂u \\+ n1 a11 ∂x + a12 ∂y + n2 a21 ∂x + a22 ∂y = g, (5.2) где положено x1 = x, x2 = y. Таким образом, (5.1) отвечает задаче Дирихле для системы Ламе, а (5.2) - задаче Неймана. Эти задачи носят также название первой и второй краевых задач. В случае σ(D) = 0 бесконечной области на градиент решения u этой системы накладывается условие grad u(z) = O(|z|-2) при z → ∞, (5.3) в частности, существует предел u(∞) = lim u(z) на бесконечности. Из теоремы 2.1 тогда следует, что в представлении (2.10) функция φ∗(z) имеет порядок -2 на ∞. С точки зрения общих сильно эллиптических систем вопросы разрешимости задач Дирихле и Неймана для системы Ламе в гельдеровских и соболевских пространствах хорошо изучены [16]. В данном разделе рассмотрим эти задачи в классах Харди hp(D) для решений системы Ламе и сопряженных к ним функций, которые в соответствии с теоремами 2.1, 2.2 определяются как в разделе 4 по отношению к G = b и G = c соответственно. В классе C1(D) единственность решения задачи Дирихле для системы (1.1) легко следует из формулы Грина: 2 r ( ∂u \\ ∂u 2 r ( ∂u \\ i,j=1 D j aij ∂x dx1dx2 = ∂xi i,j=1 Γ j aij ∂x ni u|dt|, (5.4) где для единообразия положено x1 = x, x2 = y. Если u удовлетворяет однородному краевому условию (5.1), то интеграл по Γ в этом равенстве выпадает, и на основании (1.4) решение u должно быть тривиальным, т. е. иметь вид (2.15). Совместно с (1.4) отсюда u = 0. Из тех же соображений заключаем, что однородная задача (5.2) допускает только тривиальные решения. С другой стороны, для двух решений u, u0 ∈ C1(D) можно написать аналогичное (5.4) тождество 2 r ( ∂u \\ ∂u0 2 r ( ∂u \\ i,j=1 D j aij ∂x dx1dx2 = ∂xi i,j=1 Γ j aij ∂x ni u0|dt|. Если u0 является тривиальным решением, то 2 2 r a ∂u ∂u0 dx dx = r a ∂u0 ∂u dx dx = 0, i,j=1 D ij ∂xj ∂xi 1 2 i,j=1 D ij ∂xj ∂xi 1 2 так что условие ортогональности r g(t)u0(t)|dt| = 0 (5.5) Γ правой части задачи (5.2) тривиальным решениям u0 необходимо для ее разрешимости. Теорема 5.1. Пусть область D ограничена контуром Γ ∈ C1,ν . Тогда задача Дирихле однозначно разрешима в классе hp(D), p > 1. Если правая часть f ∈ Cμ(Γ), 0 < μ < ν, то любое решение u ∈ hp(D) этой задачи принадлежит Cμ(D). Аналогично f ∈ C1,μ(Γ) влечет u ∈ C1,μ(D). К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 139 Доказательство. В силу теорем 2.1 и 3.3 задача Дирихле равносильна задаче Римана-Гильберта Re bφ+ = f (5.6) в классе hp(D) допустимых многозначных решений. Как отмечено в конце раздела 3, в рассматриваемом классе эта задача фредгольмова и ее индекс равен 2. Если f = 0, то по теореме 4.1 функция φ ∈ C1(D) и, соответственно, u = Re bφ является решением однородной задачи Дирихле системы Ламе. Как отмечено выше, отсюда u = 0, так что по теореме 2.1 функция φ постоянна. Итак, размерность пространства решений однородной задачи (5.6) равна 2 и, поскольку ее индекс равен 2, эта задача безусловно разрешима. Тем самым первое утверждение теоремы установлено. Вторая часть теоремы является следствием второй части теоремы 4.1. Обратимся к постановке задачи (5.2) в классе Харди. Если u ∈ C1(D), то в силу (2.14) равенство (5.2) можно записать по отношению к сопряженной функции v в форме (v+)∗ = g, (5.7) где штрих означает производную по параметру длины дуги, отсчитываемой в направлении, положительном по отношению к D. Пусть Γj, 1 j m, - простые контуры, составляющие Γ. В силу (2.19) существуют единственные ηj ∈ C2, удовлетворяющие системе r Re bηj = 0, Re cηj = Γj g(t)|dt|, 1 j m - 1. (5.8) Рассмотрим многозначное решение системы Ламе m-1 u1(z) = u(z) - Re bLj (z)ηj, (5.9) j=1 сопряженная функция к которому согласно теореме 2.2 дается равенством m-1 v1(z) = v(z) - Re cLj (z)ηj. j=1 Очевидно, она удовлетворяет аналогичному (5.7) краевому условию 1 (v+)∗ = g1 (5.10) с правой частью ⎡⎛m-1 ⎞+⎤∗ g1 = g - ⎣⎝ Re cLjηj ⎠ ⎦ . j=1 В силу (5.8) функция g1 удовлетворяет условию r g1(t)|dt| = 0, 1 j m, (5.11) Γj Пусть необходимое условие разрешимости (5.5) задачи Неймана выполнено. Тогда, выбирая в качестве u0 постоянные вектор-функции, приходим к аналогичному (5.11) равенству и на Γm. Таким образом, существует первообразная f1 ∈ C1(Γ) функции g1. При этом функция v1 однозначна и (5.9) переходит в задачу Дирихле для сопряженной функции v. v+ 1 = f1 (5.12) Последнюю задачу уже можно рассматривать как в классе Гельдера Cμ(D), так и в классе Харди hp(D) сопряженных функций. Если однозначная сопряженная функция v1 ∈ hp(D) к решению u1 системы Ламе, удовлетворяющая краевому условию (5.12), найдена, то однозначную функцию u, определяемую равенством (5.9), будем называть решением задачи Неймана. Приведенная процедура устанавливает соответствие между задачей (5.2) решения системы Ламе, для которого 140 А. П. СОЛДАТОВ сопряженная функция многозначна, и задачей (5.12) для однозначных сопряженных функций к многозначным решениям системы Ламе. В случае v1 ∈ C1,μ(D) так определенная функция u принадлежит тому же классу и удовлетворяет классическому краевому условию (5.2). В частности, тогда условие (5.5) для g1 необходимо должно быть выполнено, поскольку оно имеет место для g и для сужения на Γ функции ), Re cLjηj. Напомним, что в случае бесконечной области тривиальными решениями являются только постоянные векторы. Таким образом, после интегрирования по частям условие ортогональности (5.5) в случае бесконечной области выпадает, а в случае конечной области D переходит в одно условие r f1(t)n(t)|dt| = 0, (5.13) Γ где подынтегральное выражение понимается как скалярное произведение f1(t) и вектора нормали n = (n1, n2) в точке t ∈ Γ в R2. Итак, если область D конечна и f1 ∈ Cμ(Γ), то условие (5.13) необходимо для разрешимости задачи (5.12). В силу соображений плотности отсюда заключаем, что оно необходимо и для любой правой части f1 ∈ Lp(Γ). Теорема 5.2. Пусть область D ограничена контуром Γ ∈ C1,ν . Тогда однородная задача Дирихле для сопряженных функций в классе hp(D), p > 1, имеет только нулевое решение, а неоднородная задача безусловно разрешима в случае σ(D) = 0, а при σ(D) = 1 она разрешима тогда и только тогда, когда ее правая часть удовлетворяет условию ортогональности (5.13). В частности, эта задача фредгольмова и ее индекс равен -σ(D). Если правая часть f1 ∈ Cμ(Γ), 0 < μ < ν, то любое решение v1 ∈ hp(D) этой задачи принадлежит Cμ(D). Аналогично f1 ∈ C1,μ(Γ) влечет v1 ∈ C1,μ(D). Доказательство. Оно аналогично доказательству теоремы 5.1. В силу теорем 2.2 и 4.1 задача Дирихле (5.12) равносильна задаче Римана-Гильберта Re cφ+ = f1 (5.14) в классе hp(D) допустимых многозначных решений. В частности, на основании теоремы 4.1 последняя задача фредгольмова индекса 2. Отсюда же следует и вторая часть доказываемой теоремы, в частности, любое решение v однородной задачи принадлежит классу C1,μ(D). Аналогичным свойством обладает и многозначное решение u системы Ламе, сопряженная функция которого есть v. Условимся под разрезом области D понимать гладкую дугу, которая соединяет различные контуры Γj. Рассмотрим конечное число попарно непересекающихся разрезов L1,..., Ln, разбивающих область D на подобласти D1,..., Dl, каждая из которых ограничена простым кусочно-гладким контуром. Тогда в каждой области Dk любая многозначная J -аналитическая функция φ допускает однозначную ветвь φk, при этом если Ls ⊆ ∂Dk ∩ ∂Dr, то разность φk - φr постоянна на Ls. Рассмотрим теперь многозначное решение φ однородной задачи (5.14), которое по теореме 4.1 принадлежит классу C1(D). По определению для этого решения функция v = Re cφ однозначна в области D и обращается в нуль на Γ. Тогда к функциям ur = Re bφr в области Dk можно применить тождество (5.4): 2 r ( ∂uk \\ ∂uk r i,j=1Dk j aij ∂x dx1dx2 = ∂xi ∂Dk k v∗ uk |dt|, где vk = Re cφk и штрих означает касательную производную в направлении, оставляющем область Dk слева. Сумма правых частей этого равенства по всем k обращается в нуль. В самом деле, интегралы по Γ ∩ ∂Dk обращаются в нуль в силу краевого условия для v. С другой стороны, k если Ls ⊆ ∂Dk ∩ ∂Dr, то на Ls имеем равенства vk = vr и v∗ r = -v∗ , поскольку касательные производные берутся по противоположным направлениям. C другой стороны, разность uk - ur К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 141 на Ls равна постоянному вектору ξs ∈ R2. Поэтому с точностью до знака r ∂Dk v∗ kuk |dt| + r ∂Dr r v∗ uk |dt| = r ∂Dk k v∗ ξs|dt| = 0, где учтено, что на концах Ls функция vk обращается в нуль. Таким образом, интеграл от левой части (5.4) равен нулю и, следовательно, u = Re bφ является тривиальным решением системы Ламе и, соответственно, v = 0. Как отмечено в разделе 2, функции φ с этим свойством в случае σ(D) = 1 являются многочленами первой степени и образуют трехмерное пространство, а при σ(D) = 1 являются постоянными векторами и образуют двумерное пространство. Поскольку индекс задачи равен 2, отсюда следует, что в случае σ(D) = 1 неоднородная задача безусловно разрешима, а при σ(D) = 0 эта задача разрешима при выполнении одного условия ортогональности, которым, очевидно, и является условие (5.13). В качестве следствия теоремы 5.2 приходим к следующему классическому результату о разрешимости задачи Неймана. Теорема 5.3. Пусть область D ограничена контуром Γ ∈ C1,ν . Тогда однородная задача Неймана для системы Ламе в классе C1,μ(D), 0 < μ < ν, имеет только тривиальные решения, а неоднородная разрешима тогда и только тогда, когда ее правая часть удовлетворяет условиям ортогональности (5.5) этим тривиальным решениям. Проиллюстрируем также применение теоремы 5.2 в следующей ситуации. Лемма 5.1. Пусть область D бесконечна и ограничена простым контуром Γ ∈ C1,ν . Пусть f есть сужение многочлена p(x, y) = xξ0 + yξ1 на Γ, где ξk (k = 0, 1) фигурируют в (2.30). Тогда существует единственная J-аналитическая функция φ0, которая принадлежит классу C1,μ(D) при любом μ < ν, исчезает на бесконечности и удовлетворяет краевому условию 0 Re cφ+ = ξ + f1 (5.15) с некоторым ξ ∈ R2. Доказательство. Оно требует только единственность. Пусть функция φ ∈ Hp(D) исчезает на бесконечности и удовлетворяет краевому условию Re cφ+ = ξ с некоторым ξ ∈ R2. Тогда по теореме 5.2 функция v = Re cφ тождественно равна нулю, так что на основании теоремы 4.2 функция φ является многочленом второй степени. Поскольку по условию φ(z) → 0 при z → ∞, этот многочлен равен нулю. Таким образом, единственность функции φ0 леммы установлена. 6. ПОТЕНЦИАЛЫ ДВОЙНОГО СЛОЯ Исходя из единичной внешней нормали n = n1 + in2 на ляпуновском контуре Γ, рассмотрим в области D интегралы 1 r (Pϕ)(z) = π Γ Re[n(t)(t - z)] |t - z|2 ϕ(t)|dt|, z ∈ D, (6.1) 1 r (Qϕ)(z) = π Γ с вещественной плотностью ϕ. Im[n(t)(t - z)] |t - z|2 ϕ(t)|dt| z ∈ D, (6.2) Интегралы (6.1) и (6.2) можно также рассматривать и для z = t0 ∈ Γ, в этом случае их обозначаем P ∗ϕ и Q∗ϕ соответственно. Поскольку контур Γ ляпуновский, аналогично лемме 3.1 проверяется, что ядро интегрального оператора P имеет слабую особенность. Что касается интеграла (6.2), то, как и соответствующий интеграл Коши, он является сингулярным. Поскольку dt = in|dt|, эти интегралы связаны с интегралом типа Коши соотношением 1 r (Pϕ)(z) - i(Qϕ)(z) = πi Γ ϕ(t)dt . t - z (6.3) 142 А. П. СОЛДАТОВ Поэтому функции Pϕ и Qϕ являются гармоническими в области D. Из равенства (6.3) непосредственно следует, что операторы P, Q ограничены Lp(Γ) → hp(D), p > 1, и справедливы формулы (Pϕ)+ = ϕ + P ∗ϕ, (Qϕ)+ = Q∗ϕ (6.4) для их граничных значений. Из этих же соображений в предположении Γ ∈ C1,ν эти операторы ограничены Cμ(Γ) → Cμ(D) и C1,μ(Γ) → C1,μ(D), 0 < μ < ν. Хорошо известно также, что оператор P ограничен C(Γ) → C(D). Интеграл (6.1) представляет собой классический потенциал двойного слоя. Обобщенные потенциалы двойного слоя для решений системы Ламе и сопряженных к ним функций построим по аналогичной схеме, исходя из матрицы (2.1), интеграла типа Коши для J -аналитических функций и матриц b, c, фигурирующих в теоремах 2.1 и 2.2. С этой целью в обозначениях (3.1) введем однородные степени -1 матрицы-функции переменной ξ = ξ1 + iξ2 по формулам H11(ξ) = Im[b (iξ)J ξ-1b-1], H22(ξ) = Im[c (iξ)J ξ-1c-1], J J (6.5) H21(ξ) = Im[c (iξ)J ξ-1b-1], H12(ξ) = Im[b (iξ)J ξ-1c-1]. J J J Заметим, что в явном виде (iξ)J ξ-1 = (-ξ2 + ξ1J )(ξ1 + ξ2J )-1. Очевидно, матрицы H(ξ) однородны степени нуль и в силу леммы 2.1 не зависят от выбора b. Эти матрицы определяют интегральные операторы 1 r (Pkrϕ)(z) = π Γ 1 r Re[n(t)(t - z)] H (t z)ϕ(t) dt , z D, |t - z|2 kr - | | ∈ Re[n(t)(t - t0)] (6.6) kr (P ∗ ϕ)(z) = π Γ |t - t0|2 Hkr (t - t0)ϕ(t)|dt|, t0 ∈ Γ. (6.7) kr Как и в случае P ∗, ядро операторов P ∗ имеет слабую особенность, что с учетом четности матриц-функций H(ξ) устанавливается совершенно аналогично доказательству леммы 3.2. Поэтоkr му на основании леммы 3.1 операторы P ∗ компактны в Lp(Γ). Следующая лемма описывает связь функций Pkrϕ с интегралом типа Коши Iϕ, введенном в разделе 3. Удобно класс hp ввести и для функций w = Pkrϕ условием конечности соответствующего выражения в правой части (3.8). Лемма 6.1. Имеет место равенство [Im(bkb-1)]Qϕ + Pkrϕ = 2 Re[bk I(b-1ϕ)], k, r = 1, 2, (6.8) r r где для единообразия положено b1 = b, b2 = c. В частности, операторы Pkr ограничены Lp(Γ) → hp(D), p > 1, и имеют место формулы kk (Pkkϕ)+ = ϕ + P ∗ ϕ, k = 1, 2, 21 (P21ϕ)+ = [Re(cb-1)]ϕ + P ∗ ϕ, 12 (P12ϕ)+ = [Re(bc-1)]ϕ + P ∗ ϕ (6.9) для угловых граничных значений. Доказательство. По отношению к единичному касательному вектору e = in можно записать eξ-1 = |ξ|-2[Re(nξ) - i Im(nξ)] или |ξ|2(e1 + ie2) = [Im(nξ)]ξ + [Re(nξ)]iξ. Поскольку выражения в квадратных скобках вещественны, отсюда |ξ|2eJ = [Im(nξ)]ξJ + [Re(nξ)](iξ)J . что с учетом определения (6.5) приводит к равенству |ξ|2 Im[bkξ-1eJ )b-1] = [Im(nξ)] Im(bkb-1)+ [Re(nξ)]Hkr (ξ). J r r На основании (6.2), (6.6) отсюда следует (6.8). Аналогичное равенство справедливо и для интегральных операторов со «звездой» в обозначениях: [Im(bkb-1)]Q∗ϕ + P ∗ ϕ = Re[bk S(b-1ϕ)]. (6.10) r 0 kr r К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 143 С другой стороны, формулы (3.7) и (6.4), примененные к (6.8), дают соотношение [Im(bkb-1)]Q∗ϕ + (Pkrϕ)+ = [Re(bkb-1)]ϕ + Re[bk S(b-1ϕ]. r 0 r r Совместно с предыдущим равенством отсюда следует (6.9). С учетом (6.5) из (6.8) и теорем 2.1, 2.2 непосредственно вытекает, что следующие пары являются решением u системы Ламе и сопряженной к ним функцией v: u = P11ϕ, v = [Im(cb-1)]Q0ϕ + P21ϕ; v = P22ϕ, u = [Im(bc-1)]Q0ϕ + P12ϕ. (6.11) В соответствии с этим интегралы P11ϕ и P22ϕ естественно назвать обобщенными потенциалами двойного слоя для, соответственно, решений системы Ламе и сопряженных к ним функций. Предыдущие результаты распространяются и на пространства непрерывных функций. Лемма 6.2. Пусть Γ ∈ C1,ν , 0 <μ < ν и X означает любой из символов C, Cμ, C1,μ. Тогда kr оператор Pkr ограничен X(Γ) → X(D), а оператор P ∗ компактен в X(Γ). Доказательство. Рассмотрим сначала операторы Pkr. Ограниченность этих операторов Cμ(Γ) → Cμ(D) вытекает из равенства (6.8) и аналогичного свойства операторов Q и I. По отношению к классам C1,μ доказательство основывается на формуле дифференцирования интеграла типа Коши φ = Iϕ. Пусть ϕ ∈ C1(Γ) и Dϕ означает производную ϕ по параметру длины дуги на Γ, отсчитываемой в положительном направлении. Тогда ∂φ (z) = ∂x 1 r 2πi Γ J [(t - z)-2eJ (t)ϕ(t)|dt| = - 1 r 2πi Γ J [D(t - z)-1]ϕ(t)|dt|, ∂φ (z) = ∂y 1 r 2πi Γ J [J (t - z)-2eJ (t)ϕ(t)|dt| = - 1 r 2πi Γ J [DJ (t - z)-1]ϕ(t)|dt|, откуда после интегрирования по частям приходим к формулам дифференцирования ∂(Iϕ) ∂x J = I(e-1Dϕ), ∂(Iϕ) ∂y J = I(Je-1Dϕ). (6.12) С учетом (6.4) аналогичные формулы имеем и для оператора Q0: ∂(Qϕ) ∂x ⎡ 1 r = - Im ⎣ πi Γ ⎤ (Dϕ(t)|dt| t - z ⎦ , ∂(Qϕ) ∂y ⎡ 1 r = - Im ⎣ π Γ (Dϕ(t)|dt| t - z ⎤ ⎦ . (6.13) Применяя эти формулы к (6.8), приходим к ограниченности операторов Pkr : C1,μ(Γ) → C1,μ(D). Доказательство рассматриваемого утверждения леммы для пространств C опирается на оценку r sup z∈D Γ | | ∞ | Re[n(t)(t - z)]| dt < , |t - z|2 хорошо известную для классических потенциалов двойного слоя. Поскольку элементы однородной степени 0 матрицы-функции H по модулю не превосходят некоторой постоянной, отсюда и r sup z∈D Γ | | Re[n(t)(t - z)]| H |t - z|2 kr (t - z)||dt| < ∞, (6.14) где под |H(t - z)| понимается какая-либо норма в R2×2. Поэтому рассматриваемое утверждение будет установлено, если покажем, что для ϕ ∈ C(Γ) функция (Pkrϕ)(z), z ∈ D, допускает предел в фиксированной граничной точке t0 ∈ Γ. Согласно (6.8) оператор Pkr переводит постоянные векторфункции в постоянные. Поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что ϕ(t0) = 0. Если Γ0 ⊆ Γ - некоторая окрестность точки t0, то, очевидно, r Re[n(t)(t - z)] H(t z)ϕ(t) dt r Re[n(t)(t - t0)] H(t t )ϕ(t) dt Γ\\Γ0 |t - z|2 - | |→ Γ\\Γ0 |t - t0|2 - 0 | | 144 А. П. СОЛДАТОВ при t → t0. С другой стороны, в силу (6.14) при надлежащем выборе Γ0 аналогичный интеграл по Γ0 можно сделать сколь угодно малым по модулю равномерно по z. kr Обратимся к операторам P ∗ . В предположении Γ ∈ C1,ν их компактность в пространствах Cμ(Γ) и Cμ(Γ), 0 < μ < ν, устанавливается с помощью леммы 3.1 совершенно аналогично доказательству леммы 3.2. Нужно только учесть, что однородная степени нуль матрица функция Hkr (ξ) четна. Что касается последнего случая пространства C1,μ, то установим предварительно формулу дифференцирования DP ∗ ϕ = P ∗ Dϕ, ϕ ∈ C1,μ(Γ), (6.15) kr kr kr где оператор P ∗ получается заменой n(t) на n(t0) под интегралом в левой части (6.7). Доказательство основывается на использовании формул дифференцирования (6.12) и (6.13). Пусть оператор Q ∗ получается из Q∗ аналогичным образом заменой n(t) на n(t0) под знаком J интеграла. Положим еще S = eJ Se-1 или, в явной форме, 1 r (S ϕ)(t0) = πi Γ J eJ (t0)(t - t0)-1ϕ(t)|dt|, t0 ∈ Γ. Тогда, как и при доказательстве леммы 6.1, убеждаемся, что аналогичное (6.10) равенство справедливо и для рассматриваемых операторов: [Im(bkb-1)]Q ∗ϕ + P ∗ ϕ = Re[bk S (b-1ϕ)]. (6.16) r 0 kr r Зафиксируем далее точку t0 ∈ Γ и подставим в выражение e1(t0) ∂(Iϕ) (z)+ e2(t0) ∂x ∂(Iϕ) (z) ∂y частные производные (6.12). Тогда в пределе при z → t0 с учетом формул Сохоцкого- Племеля (3.7) получим 2D(Iϕ)+ = Dϕ + S Dϕ. С другой стороны, дифференцирование формулы Сохоцкого-Племеля дает аналогичное равенство 2D(Iϕ)+ = Dϕ + DSϕ. Сравнивая его с предыдущим, получим формулу дифференцирования DS = S D сингулярного оператора S. Совершенно аналогично с использованием (6.13) получим равенство DQ = Q 0D для оператора Q. Действуя на равенство (6.10) оператором D и применяя эти формулы, получим [Im(bkb-1)]Q Dϕ + DP ∗ ϕ = Re[bk S (b-1ϕ)]. r kr r Совместно с (6.16) отсюда следует (6.15). kr kr Как и выше убеждаемся, что оператор P ∗ отсюда следует компактность оператора P ∗ компактен в пространстве Cμ(Γ). На основании (6.15) в C1,μ(Γ), что завершает доказательство леммы. Если сопряженная функция представлена одним из двух способов (6.11), то по формулам (2.16) можно определить элементы тензора напряжений σ. Поэтому важную роль играют явные формулы дифференцирования функции v в представлениях (6.11). Они непосредственно получаются из соотношения (6.8) леммы 6.1 и формул дифференцирования (6.12) интеграла типа Коши. Лемма 6.3. Пусть ϕ ∈ C1(Γ) и Dϕ означает производную ϕ по касательному направлению e = in на Γ. Тогда ∂v 1 r (z) = ∂x π Γ J Im[c(t - z)-1c-1](Dϕ)(t)|dt|, если v = P22ϕ, и ∂v 1 r (z) = ∂y π Γ J Im[cJ (t - z)-1c-1](Dϕ)(t)|dt|, ∂v 1 r (z) = ∂x π Γ J Im[c(t - z)-1b-1](Dϕ)(t)|dt|, ∂v 1 r (z) = ∂y π Γ J Im[cJ (t - z)-1b-1](Dϕ)(t)|dt|, если функция v сопряжена к u = P11ϕ. К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 145 7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛАМИ ДВОЙНОГО СЛОЯ Рассмотрим вопрос о представлении решений системы Ламе и сопряженных к ним функций обобщенными потенциалами двойного слоя. Предварительно опишем ядро ker P11 = {ϕ ∈ Lp(Γ) |P11ϕ = 0} оператора P11. Согласно теореме 3.1 аналогичное ядро оператора I состоит из комплексных функций, которые постоянны на простых контурах, составляющих Γ (и обращаются в нуль на внешнем контуре в случае σ(D) = 1 конечной области). Поэтому с учетом (6.8) аналогичные вещественные вектор-функции входят в ядро ker P11. В действительности они полностью описывают это ядро. Лемма 7.1. Пусть область D ограничена контуром Γ ∈ C1,ν , состоящим из связных компонент Γ1,..., Γm, причем в случае конечной области контур Γm охватывает все остальные компоненты. Тогда ядро оператора P11 состоит из функций, которые постоянны на связных компонентах Γ и обращаются в нуль на Γm в случае конечной области. В частности, dim(ker P11) = 2[m - σ(D)]. Доказательство. Запишем равенство (6.8) для рассматриваемого оператора: P11ϕ = 2 Re[bI(b-1ϕ)]. (7.1) Предполагая P11ϕ = 0, рассмотрим в области D интеграл типа Коши φ = I(b-1ϕ) и аналогичный интеграл в дополнении D = C\\ D, который обозначим ψ = I (b-1ϕ). Для граничных значений этих функций в силу (3.7) можно записать: φ+ - ψ- = b-1ϕ, (7.2) где учтено, что контур Γ ориентирован отрицательно по отношению к D . В соответствии с (7.1) предположение P11ϕ = 0 означает, что Re bφ = 0. Следовательно, функция φ постоянна в области D, более точно, bφ = iξ, ξ ∈ R2. На основании (7.2) и вещественности ϕ отсюда Im bψ- = ξ, ϕ = - Re bψ-. (7.3) Следовательно, функция u0 = (Im bψ) - ξ является решением однородной задачи Дирихле для системы Ламе в связных компонентах открытого множества D , и по теореме 5.1 она тождественно равна нулю. Поэтому функция ψ постоянна в связных компонентах D . Если область D конечна, то область D m бесконечна, и поскольку ψ(∞) = 0, функция ψ = 0 в D m. Совместно со вторым равенством (7.3) отсюда следует, что функция ϕ постоянна на контурах Γj и в случае σ(D) = 1 обращается в нуль на Γm. Следующая основная теорема аналогично теореме 3.1 решает вопрос о представлении решений системы Ламе обобщенными потенциалами двойного слоя. Согласно (7.1) функцию u = P11ϕ можно записать в виде u = Re bφ, где J -аналитическая функция φ = I(b-1ϕ) однозначна в области D. Таким образом, функция, сопряженная к u = P11ϕ, однозначна в области D. Кроме того, в случае σ(D) = 0 функция P11ϕ исчезает на бесконечности. Поэтому в обозначениях (4.12), (4.13) функции вида ⎧ m-1 ⎪ ⎪ u = ⎨ ⎪ ), j=1 Re bLjηj, σ(D) = 1, m-1 ), Re bηj = 0,ξ ∈ R2, (7.4) ⎪⎩ ξ + j=1 Re bLjηj, σ(D) = 0, не могут быть представлены потенциалом P11ϕ. Заметим, что эти функции образуют пространство размерности 2[m - σ(D)]. В действительности дополнение к этому пространству дает образ оператора P11. 146 А. П. СОЛДАТОВ Теорема 7.1. Пусть область D ограничена контуром Γ ∈ C1,ν , состоящим из связных компонент Γ1,..., Γm, причем в случае конечной области контур Γm охватывает все остальные компоненты. Тогда любое решение u ∈ hp(D), 1 < p < ∞, системы Ламе представимо в виде u = P11ϕ + u0 (7.5) с некоторыми ϕ ∈ Lp(Γ) и функцией u0 вида (7.4), причем последняя функция определяется однозначно по u. Если u ∈ X(D), где X означает любой из символов C, Cμ, C1,μ, μ < ν, то и ϕ ∈ X(Γ). Доказательство. Для первого утверждения доказательство почти очевидно. В силу леммы 6.1 композиция P11 с оператором задачи Дирихле (2.1) представляет собой фредгольмовый оператор 11 1 + P ∗ индекса нуль, поэтому на основании теоремы 4.2 и известных свойств фредгольмовых операторов [8] оператор P11 также фредгольмов и его индекс равен 1. В частности, образ im P11 замкнут и его коразмерность совпадает с размерностью 2[m - σ(D) ядра ker P11. Поскольку пространство функций (7.4) также имеет эту размерность и не пересекается с образом P11, откуда следует справедливость первой части теоремы. 11 Второе утверждение является следствием леммы 4.1. В самом деле, если u ∈ X(D)? то согласно (7.5) функция ϕ ∈ Lp(Γ) является решением уравнения ϕ + P ∗ ϕ = f1 с правой частью f1 = u+ - u+ ∈ X(Γ). Согласно лемме 6.2 оператор P ∗ компактен как в Lp(Γ), так и в X(Γ), так 0 11 что регуляризатором оператора 1+P ∗ 11 может служить единичный оператор. Поэтому на основании леммы 4.1 функция ϕ ∈ X(Γ). Теорема 7.1 позволяет свести задачу Дирихле в пространстве hp(D) к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма в Lp(Γ). Пусть k = 2[m - σ(D) и g1,..., gk есть базис пространства ker P11. Пусть также u1,..., uk образуют базис пространства функций вида (7.4). Тогда в силу теоремы 7.1 оператор k r P ϕ = P11ϕ + (ϕ, gj )uj, (ϕ, g) = 1 Γ ϕ(t)g(t)|dt|, обратим Lp(Γ) → hp(D) и задача Дирихле u+ = f редуцируется к эквивалентному уравнению Фредгольма второго рода k ϕ + P ∗ ϕ + (ϕ, gj )u+ = f. (7.6) 11 j 1 Если ϕ есть решение этого уравнения, то первая пара в (6.11) определяет решение u задачи Дирихле и отвечающее ему сопряженную функцию. Как видно из доказательства теорем 3.1 и 5.1, разрешимость задачи Дирихле для системы Ламе сводится к сингулярному интегральному уравнению на Γ, что не позволяет в рамках этого подхода рассматривать эту задачу в классе C(D). Классические потенциалы двойного слоя, как известно [5], строятся исходя из фундаментальной матрицы решений для исходной эллиптической системы. Для системы Ламе варианты матриц этого типа были предложены в [4], однако построенные с их помощью потенциалы двойного слоя также редуцируют основные краевые задачи для системы Ламе к сингулярным интегральным уравнениям на границе. Достоинством рассматриваемых обобщенных потенциалов двойного слоя u = P11ϕ является то, что они дают возможность свести задачу к уравнению Фредгольма (7.6), которое свободно от указанного недостатка. Заметим, что эти потенциалы связаны с вариантом Re[(2πi)-1b ln zJ ] фундаментальной матрицы системы Ламе. Обратимся к оператору P22 и аналогично предыдущему опишем сначала все его ядро. Лемма 7.2. В условиях леммы 7.1 ядро ker P22 оператора P22 состоит из функций ϕ, для которых в обозначениях (2.30) ϕ1 0 1Γj = ξj + λj (xξ 1Γj + yξ1)1 , 1 j m - σ(D), (7.7) ϕ1 1Γm = λm Im 1Γ (cψ01 \\ m , σ(D) = 1, (7.8) где ξj ∈ R2, λj ∈ R и функция ψ0 определена, как в лемме 5.1, по отношению к D m. В частности, ker P22 ⊇ ker P11 и dim ker P22 = 3m - 2σ(D). К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 147 Доказательство. Оно осуществляется аналогично лемме 7.1. Пусть P22ϕ = 0, так что для интегралов типа Коши φ = I(c-1ϕ) и ψ = I (c-1ϕ) в D и D , соответственно, имеем соотношения Re cφ = 0 (7.9) и φ+ - ψ- = c-1ϕ. Последнее комплексное равенство с учетом (7.9) равносильно двум вещественным: Im cψ- = Im cφ+, (7.10) ϕ = - Re cψ-. (7.11) Верно и обратное: если некоторые функции φ и ψ из класса Hp удовлетворяют (7.9) и (7.10), то ϕ = - Re cψ- ∈ ker P22. В самом деле, тогда φ+ - ψ- = c-1ϕ и формула Коши (3.3), примененная к φ в области D и к ψ в связных компонентах D , дает равенства φ = I(c-1ϕ), ψ = I (c-1ϕ), первое из которых совместно с (7.9) означает P22ϕ = 0. Дальнейшие рассуждения проведем отдельно для двух случаев конечной и бесконечной областей. 0. Пусть область D бесконечна. Тогда с учетом теоремы 2.2 из (7.9) следует φ = 0 и (7.10) переходит в равенство Im cψ- = 0. Поэтому на основании теоремы 5.2 в каждой компоненте D j открытого множества D функция Im cψ тождественно равна нулю. С учетом теоремы 2.2 отсюда заключаем, что в области D j функция iψ(z) является многочленом вида (2.29), т. е. в обозначениях леммы 2.3 ψ(z) = i(ηj + λjzJ e), z ∈ D j , (7.12) с некоторыми ηj ∈ C2 и λj ∈ R. Остается заметить, что ϕ = - Re cψ- для функций вида (7.11) описываются на Γj равенством (7.7). 1. Пусть область D конечна. Тогда уравнение (7.9) определяет многочлен φ = p вида (7.12): p(z) = η + λzJ e, z ∈ D. В случае j m - 1 задачу (7.10) для функции ψ в конечной области D j можно переписать в форме Re ci(ψ - p)- = 0, так что ψ - p определяется правой частью (7.12). Поскольку Re cp = 0, для функции ϕ = - Re cψ- имеем выражение (7.7). Что касается бесконечной области D m, то по отношению к φ0 = -iψ уравнение (7.10) в этой области можно записать в форме Re cφ- = Re c(-ip)1 . 0 1Γm В силу леммы 2.3 к рассматриваемой задаче можно применить лемму 5.1, согласно которой существует единственная функция ψ = iφ0, удовлетворяющая этому краевому условию. Соответственно ϕ = - Re cψ- на Γm определяется формулой (7.8). Заметим, что в предположении Γ ∈ C1,ν функция (7.8) принадлежит классу C1,μ(Γ) для любого μ < ν. Класс функций этого типа обозначаем кратко C1,ν-0(Γ). Обратимся к вопросу о представлении сопряженных функций потенциалами P22ϕ. Как и в случае решений (7.4) системы Ламе убеждаемся, что функции вида ⎧ m-1 ⎪ ⎪ v = ⎨ ⎪ ), j=1 Re cLjηj, σ(D) = 1, m-1 ), Re cηj = 0,ξ ∈ R2, (7.13) ⎪⎩ ξ + j=1 Re cLjηj, σ(D) = 0, не могут быть представлены потенциалом P22ϕ. Теорема 7.2. В условиях теоремы 7.1 существует такое конечномерное пространство V ⊆ C1,ν-0(D) размерности 3m - 2σ(D) - 1, содержащее функции вида (7.13), что любая функция v ∈ hp(D), сопряженная к некоторому (вообще многозначному) решению системы Ламе, представима в виде v = P22ϕ + v0 (7.14) 148 А. П. СОЛДАТОВ с некоторыми ϕ ∈ Lp(Γ) и v0 ∈ V, причем v0 в этом представлении определяется по v однозначно. Если v ∈ X(D), где X означает любой из символов C, Cμ, C1,μ, μ < ν, то и ϕ ∈ X(Γ). Доказательство. Оно совершенно аналогично доказательству теоремы 7.1. Поскольку компози- 22 ция P22 с оператором задачи Дирихле (5.12) есть фредгольмов оператор 1+ P ∗ индекса нуль, с учетом теоремы 5.2 отсюда заключаем, что оператор P22 фредгольмов и его индекс равен σ(D). Следовательно, его образ im P22 замкнут и имеет коразмерность, равную k = dim(kerP22) - σ(D). C учетом леммы 6.2 аналогичные рассуждения можно провести и для оператора P22, действующего из X(D) в X(Γ). В частности, в C1,μ(D) существует подпространство V размерности k, которое содержит функции (7.13) и для которого справедливо разложение (7.14) функций v ∈ (D). В силу соображений размерности это разложение имеет место и в hp(D). Второе утверждение теоремы доказывается с помощью леммы 4.1 совершенно аналогично предыдущему. Как и выше, теорема 7.2 позволяет свести задачу Дирихле для сопряженных функций к эквивалентной системе граничных уравнений Фредгольма. Некоторых изменений требует только случай σ(D) = 1 конечной области D, на котором и остановимся. Положим k = dim(kerP22) - 1 и рассмотрим в пространствах kerP22 и V базисы, соответственно, g1,..., gk+1 и v1, ..., vk. Рассмотрим оператор k Nϕ = ϕ + P ∗ ϕ + (gj, ϕ)v+ + (gk+1, ϕ)n, 22 j 1 где, напомним, функция n = (n1, n2) означает единичную внешнюю нормаль. Очевидно, функции ϕ + P ∗ ϕ = (P22ϕ)+ и v+ удовлетворяют условию ортогональности n. Поэтому если Nϕ = 0, то 22 j (gk+1, ϕ) = 0, с учетом теоремы 7.2 имеем также соотношения N22ϕ = 0 и (gj, ϕ) = 0, 1 j k, откуда ϕ = 0. Таким образом, оператор N обратим, причем функция Nϕ ортогональна n тогда и только тогда, когда (gk+1, ϕ) = 0. Поэтому в предположении (f, n) = 0 решение ϕ уравнения Nϕ = f будет давать решение задачи Дирихле по формуле k v = P22ϕ + (gj, ϕ)vj. 1 8. СТРУКТУРА МАТРИЦ Hkr (ξ) В обозначениях (1.7) введем квадратичные формы ω(ξ) = (ξ1 + ν1ξ2)(ξ1 + ν2ξ2) = ξ2 + sξ1ξ2 + tξ2, 1 2 2ω1(ξ) = sξ2 + 2tξ1ξ2 + s¯tξ2, 1 2 (8.1) ( [(t - 1)ξ1ξ2 + sξ2] t|ξ|2 \\ . Ω(ξ) = 1 2 -|ξ|2 (t - 1)ξ1ξ2 - sξ2 Очевидно, достаточно описать матрицу-функцию Gkr (ξ) = |ξ|-2|ω(ξ)|2Hkr (ξ), (8.2) однородную степени 2. Теорема 8.1. Матрицы Gkr определяются формулами G11(ξ) = Im[ω1(ξ)+ ω(ξ)(bΔb-1)], (8.3) где параллельно двум случаям (i) и (ii) положено (i) Δ = 1 ( ν1 - ν2 0 \\ ( 0 1 \\ , (ii) Δ = , 2 0 ν2 - ν1 0 0 К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 149 и ( sξ2 + tξ1ξ2 tξ2 + s¯tξ1ξ2 \\ G22(ξ) = Im 1 2 sξ1ξ2 + tξ2 1 2 tξ1ξ2 + s¯tξ2 , (8.4) G21(ξ) = |ξ|-2 Re [ω(ξ)Ω(ξ)] Im(cb-1)+ G22(ξ) Re(cb-1), G12(ξ) = |ξ|-2 Im(bc-1) Re [ω(ξ)Ω(ξ)] + Re(bc-1)G22(ξ). (8.5) Доказательство. Доказательство первого равенства (8.3) проведем для случаев (i) и (ii) отдельно. (i). Положим тогда h(ξ, ν) = -ξ2 + νξ1 , ξ1 + νξ2 (-ξ2 + ξ1J )(ξ1 + ξ2J )-1 = diag[h(ξ, ν1), h(ξ, ν2)]. (8.6) По определению матрицы Δ отсюда (-ξ2 + ξ1J )(ξ1 + ξ2J )-1 = Нетрудно видеть, что h(ξ, ν1)+h(ξ, ν2) 2 + h(ξ, ν1) - h(ξ, ν2) Δ. ν1 - ν2 2 h(ξ, ν1)+h(ξ, ν2) = ω0(ξ) , h(ξ, ν1) - h(ξ, ν2) = |ξ| , (8.7) 2 2ω(ξ) ν1 - ν2 ω(ξ) где ω0(ξ) = (-ξ2 + ν1ξ1)(ξ1 + ν2ξ2)+ (-ξ2 + ν2ξ1)(ξ1 + ν1ξ2). Следовательно, 2 2|ξ|-2|ω(ξ)|2b[(-ξ2 + ξ1J )(ξ1 + ξ2J )-1]b-1 = |ξ|-2ω0(ξ)ω(ξ)+ 2ω(ξ)(bΔb-1). (8.8) Как легко проверить, Im h(ξ, ν) = |ξ| Im ν , (8.9) так что по определению (8.1) |ξ1 + νξ2|2 | | 1 ξ 2ω (ξ) Im[h(ξ, ν1)+ h(ξ, ν2)] = . |ω(ξ)|2 Совместно с первым равенством (8.7) отсюда приходим к соотношению Im[(ω0(ξ)ω(ξ)] = |ξ|2 Im[ω1(ξ)] для квадратичных форм. Поэтому в соответствии с определениями (6.5), (8.2) мнимая часть равенства (8.8) совпадает с (8.3). (ii). По определению матрицы Δ в этом случае так что (-ξ2 + ξ1J )(ξ1 + ξ2J )-1 = h(ξ, ν) ( ξ1 1+ -ξ2 + νξ1 \\( Δ 1+ ξ|2 ξ2 ξ1 + νξ2 \\-1 Δ , - 2 1 1 2 ( ξ + ξ J )(ξ + ξ J )-1 = h(ξ, ν)+ | Δ. ω(ξ)2 Полагая νk = ν в первом соотношении (8.7), получим равенство ω1(ξ) h(ξ, ν) = , 2ω(ξ) которое аналогично предыдущему случаю (i) приводит к (8.3). Обратимся к доказательству остальных формул теоремы. Равенство (8.8) справедливо и по отношению к матрице c. Поскольку матрица d, фигурирующая в (2.25), коммутирует с Δ, матрицу cΔc-1 в правой части этого равенства можно заменить на матрицу c0. Прямая проверка показывает, что в обоих случаях (i) и (ii) произведение c0Δc-1 = 1 ( s 2t \\ . 0 2 -2 -s 150 А. П. СОЛДАТОВ Таким образом, 0 2|ω(ξ)|2c[(-ξ2 + ξ1J )(ξ1 + ξ2J )-1]c-1 = ω0(ξ)ω(ξ)+ 2ω(ξ)(c0Δc-1). Из определения квадратичной формы ω0 в (8.7) видно, что в обозначениях (1.7) ее можно записать в виде ω0(ξ) = 2(t - 1)ξ1ξ2 + s(ξ2 - ξ2). Как показывает прямая проверка, выражение ω0(ξ) + 1 2 0 2|ξ|2c0Δc-1 совпадает с матрицей 2Ω(ξ) в (8.1), так что |ω(ξ)|2c[(-ξ2 + ξ1J )(ξ1 + ξ2J )-1]c-1 = Ω(ξ)ω(ξ). (8.10) С учетом (6.5), (8.2) отсюда G22(ξ) = |ξ|-2 Im[Ω(ξ)ω(ξ)], (8.11) что непосредственно приводит к (8.4). Точно так же в силу (8.10) равенство G21(ξ) = |ξ|-2|ω(ξ)|2 Im[c(-ξ2 + ξ1J )(ξ1 + ξ2J )-1c-1(cb-1)] можно переписать в форме G21(ξ) = |ξ|-2 Im[Ω(ξ)ω(ξ)(cb-1)], откуда с учетом (8.11) следует первая формула (8.5). Вторая формула доказывается аналогично. Подставляя в (8.3)-(8.5) соответствующие выражения леммы 2.2 для матриц b и c, можно вычислить элементы матриц Gkr. Проще всего это сделать с помощью следующих билинейных форм от многочленов, которые вводятся для каждого из двух случаев корней νj характеристического уравнения системы Ламе: f (ν1)g(ν2) - f (ν2)g(ν1) 0. [f, g] = ν1 - ν2 , (ii) [f, g] = f ∗(ν)g(ν) - f (ν)g∗(ν), (8.12) (i) {f, g} = 2 f (ν1)g(ν2)+f (ν2)g(ν1) , (ii) {f, g} = f (ν)g(ν). В принятых обозначениях лемма 2.2 приводит к следующим выражениям для рассматриваемых матриц. Лемма 8.1. Если α ∈ A1, то , bΔb-1 = 1 ( -{p2, p3} -{p2, p2} \\ [p3, p2] {p3, p3} {p2, p3} cb-1 = 1 ( -[p3, q3] -[p2, q3] \\ , (8.13) [p3, p2] [p3, q2] [p2, q2] bc-1 = 1 ( -[p2, q2] -[p2, q3] \\ . Если α ∈ A2, то [q3, q2] [p3, q2] [p3, q3] , bΔb-1 = 1 ( -{p1, p3} -{p3, p3} \\ [p1, p3] {p1, p1} {p1, p3} cb-1 = 1 ( [p1, q1] [p3, q1] \\ , (8.14) [p1, p3] -[p1, q4] -[p3, q4] bc-1 = 1 ( [p3, q4] [p3, q1] \\ . Наконец, в случае α ∈ A0 [q1, q4] -[p1, q4] -[p1, q1] bΔb-1 = √α1α2 - α3 ( i 0 √ \\ , cb-1 = α3 ( -i...α1/α3 -1 \\ , α2α3 0 -i 1 -i...α2/α3 (8.15) . bc-1 = 1 ( -i...α2/α3 1 \\ √α1α2 - α3 -1 -i...α1/α3 К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 151 Доказательство. C парой многочленов f1, f2 соответственно двум случаям корней свяжем матрицу ( f1(ν1) f1(ν2) \\ 1 ( f1(ν) f ∗ (ν) \\ (i) W (f1, f2) = f2(ν1) f2(ν2) , (ii) W (f1, f2) = 2 f2(ν) f ∗ (ν) . Легко видеть, что для ее определителя имеем выражение (i) det W (f1, f2) = (ν1 - ν2)[f1, f2], (ii) det W (f1, f2) = -[f1, f2], так что обратимость этой матрицы обеспечивается условием [f1, f2] /= 0. b = W (p2, -p3), c = W (-q3, q2), α ∈ A1, b = W (-p3, p1), c = W (-q1, q4), α ∈ A2. Согласно лемме 2.2 в этих обозначениях можно записать (8.16) Как показывает простая проверка, одинаково для обоих случаев (i) и (ii) имеют место равенства 1 ( {f1, g2} -{f1, g1} \\ W (f1, f2)Δ[W (g1, g2)]-1 = [g1, g2] , {f2, g2} -{f2, g1} W (f1, f2)[W (g1, g2)]-1 = 1 ( [f1, g2] -[f1, g1] \\ . [g1, g2] [f2, g2] -[f2, g1] Подставляя в эти формулы выражения (8.16), приходим к справедливости формул (8.13) и (8.14). Что касается (8.15), то эти равенства получаются непосредственно, исходя из (1.15) и (2.23). Важно отметить, что в силу леммы 2.1 при α ∈ A1 ∩ A2 соответствующие матрицы в (8.13) и (8.14) совпадают. Явные выражения для элементов этих матриц получаются при вычислении форм (8.12) для многочленов (1.6) и (2.20). В частности, формулы (8.3)-(8.5) совместно с (8.13) показывают, что ядра Pkr (n, ξ) зависят только от α ∈ A1 ∪ A2 и являются непрерывными функциями от переменных αj. Исходя из конкретных выражений многочленов (1.6) и (2.20), элементы матриц в правой части (8.13) и (8.14) легко вычисляются. Поскольку форма [, ] кососимметрична, а форма {, } - симметрична, достаточно знать значения этих форм от базисных элементов zi, 0 i 3. Эти значения зависят только от простейших симметричных комбинаций (1.7). В частности, элементы матриц (8.13) вычисляются с помощью формул 5 [p3, p2] = α3(α3 + α4) - 2α5α6 + (α3α5 - α2α6)s + [2α2 - α2(α3 + α4)]t, [q3, q2] = β2 - β4β6s + (β2 - 2β1β4)t + β1β4s2 - β1β6st + β2t2, 4 6 1 [p2, q2] = 2α5β4 + α3β6 + (α2β4 - α3β1)s - (α2β6 + 2α5β1)t, [p2, q3] = -α3β4 + α3β6s - α3β1(s2 - t)+ (α2β4 + 2α5β6)t - 2α5β1st - α2β1t2, [p3, q2] = (α3 + α4)β4 + α6β6 + (α5β4 - α6β1)s - [α5β6 + (α3 + α4)β1]t, [p3, q3] = -α6β4 + α6β6s - α6β1(s2 - t)+ [α5β4 + (α3 + α4)β6]t- -(α3 + α4)β1st - α5β1t2, {p2, p2} = α2 + 4α2t + α2t2 + 2α3α5s + α2α3(s2 - 2t)+ 2α2α5st, 3 5 2 {p3, p3} = α2 + (α3 + α4)2t + α2t2 + (α3 + α4)α6s + α5α6(s2 - 2t)+ 6 5 +(α3 + α4)α5st, 2{p2, p3} = 2α3α6 + [2α5α6 + α3(α3 + α4)]s + 4(α3 + α4)α5t+ 5 +(α2α6 + α3α5)(s2 - 2t)+ [α2(α3 + α4)+ 2α2]st + 2α2α5t2. В случае ортотропной среды приведенные выше формулы для матриц G(ξ) существенно упрощаются. В этом случае либо α ∈ A1 ∩ A2 и можно пользоваться любой из двух групп равенств (8.13), (8.14), либо α ∈ A0. Пусть α ∈ A1 ∩ A2, т. е. α5 = α6 = 0 и α3 + α4 /= 0. Тогда и β5 = β6 = 0, так что предыдущие формулы принимают вид [p3, p2] = α3(α3 + α4) - α2(α3 + α4)t, [q3, q2] = β2 + β1β4(s2 - t) - β1β4t + β2t2, 4 1 152 А. П. СОЛДАТОВ [p2, q2] = (α2β4 - α3β1)s, [p3, q3] = -(α3 + α4)β1st, [p2, q3] = -α3β4 - α3β1(s2 - t)+ 2{p2, p3} = α3(α3 + α4)s + α2(α3 + α4)st, {p2, p2} = α2 + α2t2 + α2α3(s2 - 2t), 3 2 +α2β4t - α2β1t2, [p3, q2] = (α3 + α4)β4 - (α3 + α4)β1t, {p3, p3} = (α3 + α4)2t. Поскольку β1 = α2α3, β4 = -α3α4, с учетом (1.22), (1.25) отсюда после элементарных преобразований получим: 4 [p3, p2] = (α3 + α4)(α3 + √α1α2), [q3, q2] = α3(α3 + α4)(α1α2 - α2), [p2, q2] = -iρ0α2α3(α3 + α4), [p3, q3] = iρ0α2α3(α3 + α4)ρ2, [p2, q3] = [p3, q2] = 2{p2, p3} = iρ0(α3 + α4)(α3 - √α1α2), 2 {p2, p2} = (α3 + α4) , 2 2 = α3(α3 + α4)(√α1α2 - α4), {p3, p3} = -(α3 + α4) ρ . В результате для матриц, фигурирующих в (8.13) и (8.13), получаем следующие выражения: bΔb-1 = 1 2(α3 + √α1α2) ( -iρ0(α3 - √α1α2) -2(α3 + α4) \\ , -2ρ2(α3 + α4) iρ0(α3 - √α1α2) 2 cb-1 = α3 ( -iρ0α2ρ -(√α1α2 - α4) \\ , α3 + √α1α2 √α1α2 - α4 -iρ0α2 bc-1 = 1 ( iρ0α2 -(√α1α2 - α4) \\ . 4 α1α2 - α2 Отсюда после элементарных вычислений √α1α2 - α4 iρ0α2ρ2 ρ0 ( ρ2(α2ξ2 + α3ξ2) (α3 + α4)ξ1ξ2 \\ 1 2 G11(ξ) = α + √α α ρ2(α3 + α4)ξ1ξ2 α3ξ2 + α1ξ2 , 3 1 2 1 2 ( ξ2 2 \\ G22(ξ) = ρ0 1 ρ ξ1ξ2 , 2 ξ1ξ2 ρ2ξ2 2 α3ρ0 ( ρ2ξ1ξ2g1(ξ) -ρ4α2ξ o δξ2 \\ G21(ξ) = α + √α α , 1 2 2 2 3 1 2 ρ [α2ξ + δξ2 ] ξ1ξ2g2(ξ) 2 ρ0 ( -ξ1ξ2g1(ξ) ρ2[ρ2α2ξ 2 - δξ2] \\ , G12(ξ) = α α α2 2 2 2 2 1 2 - 4 -ρ α2ξ + δξ1 -ρ ξ1ξ2g2(ξ) где для краткости δ = √α1α2 - α4, ξ = ξ1 - ρ ξ2 и положено 2 2 2 2 2 -2 j 2 2 -2 gj (ξ) = α2(ρ2 + 1)ξ |ξ| + (-1) [α2ρ0ξj |ξ| - δ], j = 1, 2. Эти формулы еще более упрощаются в случае изотропной среды, когда соотношения (1.26): α1 = α2 = 2α3 + α4 или, что равносильно, ρ = 1, ρ0 = 2. В частности, δ = 2α3, gj (ξ) = 2(-1)j (α1 - α3), 2 2 2 ξ = ξ1 - ξ2 . В этом случае имеем кратный корень ν = i и неравенство α1 > α3. По отношению к положительной постоянной κ = (α1 + α3)/(α1 - α3) отсюда cb-1 = α3 ( -i(κ + 1) -(κ - 1) , bc-1 = 1 , \\ ( i(κ + 1) -(κ - 1) \\ κ κ - 1 -i(κ + 1) 1 4α3 κ - 1 i(κ + 1) G11(ξ) = |ξ|2 + α3 κ G1(ξ), G22(ξ) = |ξ|2 + G1(ξ), 1 G21(ξ) = κ где положено [(κ - 1)|ξ|2 + 2G2(ξ)]E, G12(ξ) = 4α3 [(κ - 1)|ξ|2 - 2G2(ξ)]E, ( ξ2 2 \\ ( κ(ξ2 - ξ2) -2ξ1ξ2 \\ ( 0 -1 \\ G1(ξ) = 1 - ξ2 2ξ1ξ2 , G2(ξ) = 1 2 , E = . 2ξ1ξ2 ξ2 - ξ2 -2ξ1ξ2 ξ2 - ξ2 1 0 2 1 1 2 Таким образом, в соответствии с определениями (6.5), (6.6) и (8.2) операторы Pkr (k, r = 1, 2) можно записать в виде P11 = P + 1 P1, P22 = P + P1, κ К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 153 где P21 = α3 κ [(κ - 1)P + 2P2]E, P12 = 1 4α3 [(κ - 1)P - 2P2]E, 1 r Pjϕ)(z) = π Γ Re[n(t)(t - z)] G (t z)ϕ(t) dt . |t - z|4 j - | | Соответственно согласно (6.11) каждая пара равенств u = Pϕ + 1 1 α3 P1ϕ, v = κ κ 1 (κ + 1)Qϕ + α3 κ [(κ - 1)P + 2P2]Eϕ, u = 4α3 (κ + 1)Qϕ + 4α3 [(κ - 1)P - 2P2]Eϕ, v = Pϕ + P1ϕ определяет решение u системы Ламе и сопряженную к ней функцию v. 9. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В КУСОЧНО ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ Проиллюстрируем предыдущие результаты на задаче Дирихле для системы Ламе с кусочно постоянными коэффициентами. Пусть конечная односвязная область D на плоскости ограничена гладким контуром Γ1 ∈ C1,ν , 0 < ν < 1, и содержит простой гладкий контур Γ0 того же класса, разбивающий эту область на односвязную D0 и двусвязную D1 подобласти. Рассмотрим в D систему Ламе (1.1) с кусочно постоянными коэффициентами, принимающими в области Dk постоянное значение aij = ak , k = 0, 1. Аналогичный смысл имеют записи αj = αk, а также u = uk, ij j v = vk для векторов u, v и σ = σk для тензора напряжений. Пусть nk = (nk, nk ) означает единичный вектор внешней нормали на ∂Dk (по отношению к 1 2 области Dk ), в частности, на контуре Γ0 = ∂D0 ∩∂D1 векторы n0 и n1 противоположны. Условимся под решением u системы (1.1) в области D понимать функцию u, сужение uk которой принадлежит классу C1(Dk ∩ Γ0), k = 0, 1, и является классическим решением (1.1) в каждой из областей Dk, а на Γ0 удовлетворяет контактным условиям 1Γ0 (u0 - u1)1 1Γ = 0, (σ0n0 + σ1n1)1 0 = 0. (9.1) В частности, функция u непрерывна в области D. Смысл контактных условий заключается в том, что при дополнительном предположении интегрируемости частных производных ∂u/∂xj, где x1 = x, x2 = y, функция u удовлетворяет тождеству 2 r a ∂u ∂ϕ dx = 0, ϕ C∞(D). i,j=1 D ij ∂xj ∂xi ∈ 0 Другими словами, функция u является обобщенным решением системы (1.1) в области D, записанной в дивергентной форме 2 i,j=1 ∂ ∂xi ( ∂u \\ j aij ∂x = 0. Этот факт получается непосредственно из (2.13), (9.1) интегрированием по частям. В терминах сопряженной функции v второе контактное условие в (9.1) можно проинтегрироs вать. Пусть (vk )∗ означает производную на Γ0 вдоль направления против часовой стрелки. Тогда, s полагая n = n0 = -n1 на Γ0, в силу (2.13), (2.14) будем иметь соотношение σkn = (vk )∗ , и в результате (9.1) перейдет в с некоторой постоянной ξ ∈ R2. 1Γ0 (u0 - u1)1 1Γ0 = 0, (v0 - v1)1 = ξ (9.2) Рассмотрим в области D для решения u ∈ C(D) системы (1.1) в указанном выше смысле задачу Дирихле u1 1Γ1 = f. (9.3) 154 А. П. СОЛДАТОВ 1 Хорошо известно [16], что в соболевском классе W 2(D) эта задача однозначно разрешима. Единственность решения доказывается непосредственно. В самом деле, в предположении u ∈ C1(Dk ) по формуле Грина имеем: 2 r a ∂u ∂u 2 r dx = ( aij ∂u \\ nk uds. k i,j=1 D ij ∂xj ∂xi k i,j=1 ∂D ∂xj i Если u удовлетворяет однородному краевому условию (9.3), то интеграл по Γ1 в этом равенстве для k = 1 выпадает, и после сложения этих равенств с учетом (2.13), (9.1) получим соотношение 2 r a ∂u ∂u dx = 0. (9.4) i,j=1 D ij ∂xj ∂xi j Следовательно, в каждой из областей Dk функция uk является тривиальным решением, т. е. существуют такие постоянные ck, k = 0, 1, j = 1, 2, 3, что uk k k k k k 1 (x, y) = c3 y + c1 , u2 (x, y) = -c3 x + c2 . j Подставляя эти выражения в (9.2) и однородное краевое условие (9.3), получим ck = 0. Заметим, что в двусвязной области D1 сопряженная функция v1, вообще говоря, многозначна и при обходе Γ0 может получать ненулевое приращение. С другой стороны, в односвязной области D0 функция v0 всегда однозначна. Поэтому при выполнении контактных условий (9.2) однозначной будет и функция v1. Основная цель данного раздела состоит в эквивалентной редукции задачи (1.1), (9.3) к системе интегральных уравнений Фредгольма на Γ0 ∪ Γ1, которая в силу единственности будет однозначно разрешимой. Отметим, что в каждой из областей Dk матрица (2.19) обратима. Этот факт можно распространить на случай двух пар матриц b и c. Лемма 9.1. Пусть матрицы αk, k = 0, 1, вида (1.2) положительно определены и матрицы bk, ck отвечают αk. Тогда det ( b0 b1 c0 c1 \\ /= 0. (9.5) Доказательство. Предположим противное, тогда найдется ненулевой вектор η = (η0, η1) ∈ C4 такой, что В частности, b0η0 + b1η1 = 0, c0η0 + c1η1 = 0. 0 Re (b0 η 1 + b1 η \\ = Re 0 (c0 η 1 + c1 η \\ = 0, t ∈ R. t + i t - i t + i t - i Пусть G0 и G1 означают, соответственно, верхнюю и нижнюю полуплоскости. Рассмотрим в G = G0 ∪ G1 аналитическую вектор-функцию ( η0(z + i)-1, z ∈ D0, ψ(z) = η1(z - i)-1, z ∈ D1, по отношению к которой предыдущее равенство переходит в 1 Re(b0ψ0 + b1ψ1)1 R 1 = Re(b0ψ0 + b1ψ1)1 R = 0. (9.6) Пусть νk, j = 1, 2 - корни характеристического уравнения pkpk - (pk )2 = 0, отвечающие матриj k k k 1 2 3 k k це α . Рассмотрим J -аналитические функции φ (x, y) в области D , связанные с ψ соотношениями (2.32), (2.33). Здесь учтено, что для Im ν > 0 преобразование x + iy → x + νy переводит полуплоскость Dk на себя и оставляет ее граничные точки x ∈ R неподвижными. При этом φk (x) = ψk (x). Поэтому соотношение (9.6) справедливо и для функций φk. Но тогда для функции u = Re bϕ, удовлетворяющей системе Ламе в области Dk с матрицей упругости αk, и сопряженной к ней функции v = Re cφ имеют место контактные соотношения 1 (u0 + u1)1 R 1 = (v0 + v1)1 = 0 R К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 155 на прямой R. Как и выше, отсюда заключаем, что для функции u справедливо равенство (9.4) во всей плоскости D = C. В свою очередь, оно возможно только для u = 0, что приводит к противоречию. Тем самым утверждение (9.5) установлено. ij Обратимся к постановке задачи Дирихле (9.2), (9.3). Условимся снабжать верхним индексом k операторы P, Q и Pij из раздела 6 по отношению к области Dk, k = 0, 1, внешней нормали nk на ∂Dk и матрице упругости αk. Аналогичный смысл имеют и обозначения Pk∗, Qk∗ и Pk∗ для граничных операторов. Согласно теореме 7.1 любые решения uk ∈ C(Dk ) системы Ламе в области Dk, такие, что при k = 1 сопряженная функция v1 однозначна, представимы в виде u0 = P 0 ϕ0, u1 = P 1 ϕ1 (9.7) 11 11 с некоторыми вектор-функциями ϕ0 ∈ C(Γ0) и ϕ1 ∈ C(Γ0 ∪ Γ1), причем u0 = u1 = 0 в этих представлениях влечет 1Γ ϕ0 = ϕ11 1 1Γ = 0, ϕ11 0 ∈ R2. (9.8) Положим для краткости d = cb-1. Тогда на основании (6.11) 21 vk = - Im dk Qkϕk + Pk ϕk, k = 0, 1. (9.9) Поэтому с учетом леммы 6.2 краевые условия (9.2), (9.3) сводятся к эквивалентной системе уравнений относительно (ϕ0, ϕ1, ξ), определяемой равенствами ϕ0 - ϕ1 + P 0∗ϕ0 - P 1∗ϕ1 = 0 на Γ0, 11 11 -(Im d0)Q0∗ϕ0 + (Im d1)Q1∗ϕ1 + (Re d0)ϕ0 - (Re d1)ϕ1+ (9.10) 21 ϕ +P 0∗ 0 21 - P 1∗ϕ1 = ξ на Γ0, 11 ϕ ϕ1 + P 1∗ 1 = f на Γ1. С точки зрения разрешимости удобно вместо этой системы рассматривать систему относительно только пары (ϕ0, ϕ1), определяемую равенствами ϕ0 - ϕ1 + P 0∗ϕ0 - P 1∗ϕ1 = 0 на Γ0, 11 11 -(Im d0)Q0∗ϕ0 + (Im d1)Q1∗ϕ1 + (Re d0)ϕ0 - (Re d1)ϕ1+ 21 ϕ +P 0∗ 0 21 - P 1∗ϕ1 + ), j=1,2 lj ( Γ0 ϕ1(t)lj |dt| = 0 на Γ0, (9.11) 11 ϕ ϕ1 + P 1∗ 1 = f на Γ1, где ϕ1(t)lj означает скалярное произведение в R2 с базисными элементами l1 = (1, 0) и l2 = (0, 1). Лемма 9.2. В классе ϕ0 ∈ C1,μ(Γ0) и ϕ1 ∈ C1,μ(Γ0 ∪ Γ1), 0 < μ < ν, система уравнений (9.11) имеет только нулевое решение. Доказательство. Функции ϕ0 ∈ C1,μ(Γ0) и ϕ1 ∈ C1,μ(Γ0 ∪ Γ1), 0 < μ < ν, удовлетворяют системе (9.10) с f = 0 тогда и только тогда, когда выполнены соотношения (9.8) и ξ = 0. 11 11 В самом деле, в силу леммы 6.2 функции uk = Pk ϕk принадлежат C1,μ(Dk ) и определяют в области D решение однородной задачи Дирихле. Поэтому, как показано выше, эти функции равны нулю. Следовательно, по теореме 7.1 имеют место соотношения (9.8). С учетом лемм 7.1, 7.2 отсюда заключаем также, что и v1 = P21ϕ1 = 0. Поэтому постоянная ξ в (9.10) также равна нулю. Обратное утверждение очевидно, поскольку из (9.8) следует Pk ϕk = 0. Пусть теперь пара (ϕ0, ϕ1) является решением однородной системы (9.11). Тогда в силу предыдущего предложения имеют место соотношения (9.8) и ηl1 = ηl2 = 0, где η ∈ R2 означает сужение ϕ1 на Γ0. Следовательно, ϕ0 = ϕ1 = 0. Положим для определенности n = n0 = -n1 на Γ0 и пусть для краткости p(n, ξ) = |ξ|-2 Re(nξ), q(n, ξ) = |ξ|-2 Im(nξ), n, ξ ∈ C. 156 А. П. СОЛДАТОВ Тогда с учетом (6.1)-(6.3) и принятых обозначений систему (9.11) можно представить в следующем явном виде: 1 r π ϕ0(t0) - ϕ1(t0)+ Γ0 11 p[n(t),t - t0] Hk (t - t0)ϕk (t)|dt|- k=0,1 1 r 1 1 1 - π p[n (t),t - t0][H11(t - t0)ϕ (t)|dt| = 0, t0 ∈ Γ0, Γ1 1 r π Re[d0ϕ0(t0) - d1ϕ1(t0)] - Γ0 1 r q[n(t),t - t0] Im[d0ϕ0(t)+ d1ϕ1(t)]|dt|+ 21 π + p[n(t),t - t0] Hk (t - t0)ϕk (t)|dt|- Γ0 k=0,1 1 r 1 1 1 1 1 - π [p(n (t),t - t0)H21(t - t0) - q(n (t),t - t0)](Im d )ϕ (t)|dt|+ Γ1 r +l1 Γ0 r ϕ1(t)l1|dt| + l2 Γ0 1 r ϕ1(t)l2|dt| = 0, t0 ∈ Γ0, ϕ1(t0)+ π Γ1 11 p[n1(t),t - t0]H1 (t - t0)ϕ1(t)|dt|- 1 r 1 1 - π p[n(t),t - t0][H11(t - t0)ϕ (t)|dt| = f (t0), t0 ∈ Γ1. Γ0 Эту систему можно переписать кратко в операторной форме. С этой целью положим 1Γ ϕ0 = (ϕ0, ϕ1)1 0 1Γ , ϕ1 = ϕ11 , 1 0 и пусть операторы P ∗ 0 и Q∗ определяются как в (6.1), (6.2) по отношению к Γ0, в пространстве вектор-функций ϕ0 они действуют покомпонентно. Таким образом, аналогично (6.3) можно написать 0 - iQ0 = S0 (9.12) P ∗ ∗ с соответствующим сингулярным оператором Коши S0. Введем далее интегральные операторы K0, K1 и K01, K10 по формулам 1 r (K0ϕ0)0(t0) = p[n(t),t - t0] Hk (t - t0)ϕk (t)|dt|, π 11 0 Γ0 k=0,1 1 r (K0ϕ0)1(t0) = p[n(t),t - t0] Hk (t - t0)ϕk (t)|dt|+ π 21 0 Γ0 k=0,1 r r +l1 Γ0 0 ϕ1(t)l1|dt| + l2 Γ0 1 r 0 ϕ1(t)l2|dt|, (9.13) (K01ϕ1)0(t0) = π Γ1 11 p[n1(t),t - t0][H1 (t - t0) - q(n1(t),t - t0)](Im d1)ϕ1(t)|dt|, 1 r (K01ϕ1)1(t0) = π Γ1 и 21 p[n1(t),t - t0]H1 (t - t0)ϕ1(t)|dt|, t0 ∈ Γ0 1 r 1 1 (K1ϕ1)(t0) = π Γ1 p[n (t),t - t0]H11(t - t0)ϕ1(t)|dt|, 1 r 1 1 (9.14) (K10ϕ0)(t0) = π Γ0 p[n(t),t - t0][H11(t - t0)ϕ0(t)|dt|, t0 ∈ Γ1. В этих обозначениях система (9.11) запишется в форме 0 (Re D)ϕ0 - (Im D)Q∗ϕ0 + K0ϕ0 - K01ϕ1 = 0, ϕ1 + K1ϕ1 - K10ϕ0 = f (9.15) К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 157 с матрицей D = ( 1 -1 d0 -d1 \\ ( b0 = 0 b1 \\( (b0)-1 1 0 \\ 1 , которая в силу леммы 9.1 обратима. c c 0 -(b )-1 0 Согласно [7] оператор S0 в (9.12) обладает свойством S2 = 1. Поскольку он коммутирует с оператором умножения на постоянные матрицы, отсюда заключаем, что оператор (Re D)ϕ0 + i(Im D)S0 = [D(1 + S0)+ D(1 - S0)]/2 обратим и обратным к нему служит 0 0 0 0 (Re D-1)ϕ + i(Im D-1)S = [D-1(1 + S )+ D-1(1 - S )]/2. Поэтому, записывая первое уравнение системы (9.15) в форме 0 [(Re D)+ i(Im D)S0 - i(Im D)P ∗ + K0]ϕ0 - K01ϕ1 - ξ0 = 0, получим 0 ϕ0 + [(Re D-1)+ i(Im D-1)S0][-i(Im D)P ∗ϕ0 + K0ϕ0 - K01ϕ1] = 0, или, после выделения действительной части, ϕ0 + [(Re D-1) - (Im D-1)Q∗][K0ϕ0 - K01ϕ1]+ (Im D-1)(Im D)(P ∗)2ϕ0 = 0. 0 0 В результате приходим к эквивалентной (9.14) системе уравнений Фредгольма ϕ0 + K 0ϕ0 - K 01ϕ1 = 0, ϕ1 + K1ϕ1 - K10ϕ0 = f (9.16) с операторами K 0 = [(Re D-1) - (Im D-1)Q∗]K0 + (Im D-1)(Im D)(P ∗)2, 0 0 0 K 01 = [(Re D-1) - (Im D-1)Q∗]K01. 10. ГЛАДКОСТЬ МАТРИЧНЫХ ЯДЕР ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ Рассмотрим подробнее структуру матричных ядер операторов в (9.16), включая зависимость их гладкости от гладкости контуров Γj. С этой целью запишем операторы P0 и S0 в комплексной форме, полагая 1 r 0 (P ∗ϕ0)(t0) = πi Γ0 1 r 0 (Q∗ϕ0)(t0) = πi Γ0 0 0 p∗(t0, t) t - t0 q∗(t0, t) t - t0 0 ϕ0(t)dt, p∗(t0, t) = 0 ϕ0(t)dt, q∗(t0, t) = Im[n(t)(t¯- t¯0)] , n(t)(t¯- t¯0) Im[n(t)(t¯- t¯0)] , n(t)(t¯- t¯0) (10.1) где dt = i(n1 + in2)|dt| - комплексный дифференциал, отвечающий ориентации контура против часовой стрелки, и положено n = n1 + in2, ξ = ξ1 + iξ2. Аналогичным образом поступим и по отношению к операторам (9.13): 1 r (K0ϕ0)(t0) = πi Γ0 k0(t0,t) t - t0 ϕ0(t)dt, k0(t0, t) = Re[n(t)(t¯- t¯0)] ( H0 (t - t0) H1 (t - t0) \\ t - t0 ( 0 0 \\ = 11 11 + , 21(t - t ) H1 (t - t ) E E n(t)(t¯- t¯0) H0 0 21 0 n(t) 1 2 (10.2) 1 r (K1ϕ1)(t0) = πi Γ1 k1(t0,t) t - t0 ϕ1(t)dt, Re[n(t)(t¯- t¯0)] 1 k1(t0, t) = 0 n(t)(t¯- t¯ ) H11(t - t0), t0,t ∈ Γ1, где матрицы Ej ∈ R2×2 определяются равенствами ( 1 0 \\ ( 0 1 \\ E1 = 0 1 , E2 = 1 0 , 158 А. П. СОЛДАТОВ и 1 r (K01ϕ1)(t0) = πi Γ1 k01(t0,t) t - t0 ϕ1(t)dt, 11 Re[n(t)(t¯- t¯0)] ( H1 (t - t0) \\ Im[n(t)(t¯- t¯0)] ( Im d1 \\ k01(t0, t) = = n(t)(t¯- t¯ ) H1 0 - n(t)(t - t ) , 0 21(t - t ) ¯ ¯0 0 (10.3) 1 r (K10ϕ0)(t0) = πi Γ0 Re[n(t)(t¯- t¯0)] 1 k10(t0,t) t - t0 ϕ0(t)dt, k10(t0, t) = 0 n(t)(t¯- t¯ ) H11(t - t0), t0 ∈ Γ1, t ∈ Γ0. Далее воспользуемся следующим вспомогательным результатом. Лемма 10.1. Пусть функция h(ξ), ξ = ξ1 +iξ2, бесконечно дифференцируема при ξ /= 0, однородна степени нуль и четна. Тогда на гладком контуре Γ класса Cm,ν, где m - натуральное число и 0 < ν < 1, функция k(t1, t) = h(t1 - t) принадлежит классу Cm-1,ν (Γ × Γ) и при t1 = t принимает значение h[in(t)], где n(t) = n1(t)+ in2(t) - единичная нормаль к Γ. Доказательство. Его достаточно провести в окрестности фиксированной точки (t0, t0) ∈ Γ × Γ. Запишем параметризацию контура в этой окрестности в форме z = z(s), |s| δ, где s - параметр длины дуги, отсчитываемый от точки t0. Тогда функция 1 α(s1, s) = z(s) - z(s1) = r s - s1 0 z∗[sτ + s1(1 - τ )]dτ принадлежит классу Cm-1,ν в квадрате |s1|, |s| δ, отграничена по модулю от нуля и принимает значение z∗(s) при s1 = s. Следовательно, функция k[z(s1), z(s)] = h[α(s1, s)] также принадлежит этому классу и ее значение при s1 = s совпадает с h[z∗(s)] = h[in(s)]. Отсюда следует и утверждение леммы для функции k(t1, t) в рассматриваемой окрестности контура. Из этой леммы и (10.1)-(10.3) следует, что в предположении Γj ∈ Cm,ν, m 1, функции p∗ ∗ m-1,ν m-1,ν причем 0, q0 , k0 ∈ C (Γ0 × Γ0), k1 ∈ C (Γ1 × Γ1), (10.4) 0(t, t) = 0, q0 (t, t) = -i, kj (t, t) = 0, j = 0, 1. (10.5) p∗ ∗ Что касается непрерывных функций k0,1(t0, t) и k1,0(t0, t), то по переменной t0 они принадлежат, соответственно, Cm,ν (Γ0) и Cm,ν (Γ1) равномерно по t. Рассмотрим теперь операторные произведения Q∗K0 и (P ∗)2, фигурирующие в выражении (9.16) 0 0 для оператора K 0. Согласно (10.1), (10.2) имеем: 1 r 0 (Q∗K0ϕ)(t1) = πi Γ0 0 q∗(t1, t0)dt0 1 r t0 - t1 πi Γ0 k0(t0,t)ϕ(t)dt t - t0 , t1 ∈ Γ0. С учетом (10.5) перестановка двух фигурирующих здесь интегралов, первый из которых сингулярный, возможна [7], так что Поскольку 1 r 0 (Q∗K0ϕ)(t1) = πi Γ0 1 r ϕ(t)dt πi Γ0 0 q∗(t1, t0)k0(t0, t)dt0 . (t0 - t1)(t - t0) t - t1 = 1 1 , отсюда окончательно (t0 - t1)(t - t0) t0 - t1 - t0 - t 1 r 0 (Q∗K0ϕ)(t1) = πi Γ0 [k∗(t1, t, t1) - k∗(t1, t, t)]ϕ(t)dt t - t1 , t1 ∈ Γ0, (10.6) К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 159 где 0 1 r q∗(t1, t0)k0(t0, t)dt0 k∗(t1, t, t2) = πi Γ0 . t0 - t2 Лемма 10.2. Пусть Γ0 ∈ Cm+1,ν , где m - неотрицательное целое число и 0 < ν < 1. Тогда функция k∗(t1, t, t2) по всем трем переменным принадлежит классу Cm,ν-ε для любого ε > 0, т. е. k∗(t1, t, t2) ∈ Cm,ν-0(Γ0 × Γ0 × Γ0). (10.7) Доказательство. Согласно (10.4) функция k(t1, t, t0) = q∗(t1, t0)k0(t0, t) принадлежит классу Cm,ν-0(Γ0 × Γ0 × Γ0), поэтому при m = 0 утверждение леммы вытекает из хорошо известных свойств [7] сингулярных интегралов, зависящих от параметра. В общем случае m 1 воспользуемся формулой дифференцирования сингулярного интеграла k∗ по всем переменным. Удобно осуществлять дифференцирование функции ϕ на Γ0 по комплексному параметру контура, т. е. как предел ϕ∗(t0) = lim t→t0, t∈Γ0 ϕ(t) - ϕ(t0) . t - t0 Аналогично понимаются и частные производные. Хорошо известно [7], что сингулярный интеграл p∗ можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла: ∂k∗ ∂t1 1 r (t1, t, t2) = πi Γ0 ∂k ∂t1 (t1, t, t0) dt0 , t0 - t2 ∂k∗ ∂t 1 r (t1, t, t2) = πi Γ0 ∂k ∂t (t1, t, t0) dt0 . t0 - t2 Утверждается, что аналогичная формула справедлива и по последней переменной: ∂k∗ ∂t2 1 r (t1, t, t2) = πi Γ0 ∂k ∂t0 (t1, t, t0) dt0 t0 - t2 . (10.8) В самом деле, рассмотрим внутри контура Γ0 аналитическую по переменной z функцию 1 r k(t1,t,t0)dt0 φ(t1, t, z) = πi Γ0 Интегрированием по частям убеждаемся, что . t0 - z ∂φ 1 r ∂z (t1, t, z) = πi Γ0 ∂k ∂t0 (t1, t, t0) dt0 . t0 - z По формуле Сохоцкого-Племеля [7] для граничных значений этих функций имеем: 1 r φ+(t1, t, t2) = k(t1, t, t2)+ πi Γ0 k(t1,t,t0)dt0 , t0 - t2 ( ∂φ\\+ ∂z (t1, t, t2) = ∂k ∂t2 1 r (t1, t, t2)+ πi Γ0 ∂k ∂t0 (t1, t, t0) dt0 . t0 - t2 Дифференцируя первое равенство по t0 и сравнивая результат со вторым равенством, приходим к справедливости (10.8). Утверждение (10.7) леммы теперь получается непосредственно индукцией по m из формул дифференцирования. 0 Совершенно аналогично устанавливается и аналогичный результат для оператора (P ∗)2: 1 r [k∗(t1, t, t1) - k∗(t1, t, t)]ϕ(t)dt 0 [(P ∗)2ϕ](t1) = 0 πi Γ0 0 t - t1 , t1 ∈ Γ0, (10.9) 160 А. П. СОЛДАТОВ где по лемме 10.2 функция 0 1 r p∗(t1, t0)p∗(t0, t)dt0 k∗ 0 (t1, t, t2) = πi Γ0 принадлежит классу Cm,ν-0(Γ0 × Γ0 × Γ0). 0 t0 - t2 Поэтому на основании (10.2) и (10.6), (10.9) оператор K 0 в (9.16) действует по формуле 1 r (K 0ϕ)(t0) = πi Γ0 где в предположении Γ ∈ Cm+1,ν функция k0(t0,t)ϕ(t)dt t - t0 , t0 ∈ Γ0, (10.10) k0(t0, t) ∈ Cm,ν-0(Γ0 × Γ0), k0(t, t) = 0. (10.11) Аналогичным свойством обладает и оператор K1 по отношению к контуру Γ. Таким образом, (4.10) является системой уравнений Фредгольма. Прежде чем сформулировать для нее центральный результат, рассмотрим следующую типичную ситуацию, связанную с этой системой, для аналогичного (10.10) интегрального оператора 1 r (Kϕ)(t0) = πi Γ0 k(t0,t)ϕ(t)dt t - t0 , t0 ∈ Γ, (10.12) Лемма 10.3. Пусть в условиях леммы 3.1 оператор K компактен в пространстве Cm,μ(Γ), m 1. Тогда любое решение ϕ ∈ C(Γ) уравнения ϕ + Kϕ = f с правой частью f ∈ Cm,μ(Γ) также принадлежит f ∈ Cm,μ(Γ). Доказательство. Согласно лемме 3.1 оператор K компактен в каждом из пространств C(Γ), Cμ(Γ), причем любое решение ϕ ∈ C(Γ) уравнения ϕ + Kϕ = f с правой частью f ∈ Cμ(Γ) также принадлежит f ∈ Cμ(Γ). Кроме того, для этого уравнения справедливы следующие альтернативы Фредгольма: 1. однородное уравнение ϕ + Kϕ = 0 имеет конечное число n линейно независимых решений ϕ1,..., ϕn ∈ C(Γ); 2. однородное союзное уравнение ψ + K∗ψ = 0, где оператор K∗ получается из (10.10) заменой k(t0, t) на -k(t, t0) под знаком интеграла, имеет то же число n линейно независимых решений ψ1,..., ψn ∈ C(Γ); 3. неоднородное уравнение ϕ + Kϕ = f разрешимо тогда и только тогда, когда r f (t)ψj (t)|dt| = 0, 1 j n. (10.13) Γ Заметим, что в действительности функции ϕj и ψj принадлежат Cμ(Γ). Пусть теперь оператор K компактен в Cmμ(Γ). Тогда по теореме Рисса для уравнения ϕ + Kϕ = f в классе Cm,μ(Γ) также справедливы альтернативы Фредгольма, т. е. однородное уравнение в этом классе имеет n0 n линейно независимых решений и найдутся такие n0 линейно независимых функционалов над Cm,μ(Γ), что обращение их в нуль на функции f необходимо и достаточно для разрешимости неоднородного уравнения ϕ+Kϕ = f. Но поскольку условия (10.13) необходимы для разрешимости этого уравнения и в классе Cm,μ(Γ), отсюда следует неравенство n n0. Таким образом, n0 = n, так что утверждения 1-3 справедливы и по отношению к классу Cm,μ. В свою очередь отсюда вторая часть леммы получается непосредственно. Теорема 10.1. Пусть Γ0, Γ1 ∈ C1,ν . Тогда система уравнений (9.16) однозначно разрешима в классе ϕ0 ∈ C(Γ0) ϕ1 ∈ C(Γ1), причем f ∈ Cm,μ(Γ1), m = 0, 1, 0 < μ < ν, влечет и ϕ0 ∈ Cm,μ(Γ0) ϕ1 ∈ Cm,μ(Γ1). Если дополнительно Γj ∈ Cm+1,ν , m 2, то предыдущее утверждение справедливо и для m 2. Доказательство. Согласно (10.10) оператор K 0 удовлетворяет условиям первой части леммы 10.3 и это же верно по отношению к оператору K1 на контуре Γ1. Кроме того, в силу леммы 6.2 эти операторы компактны и в пространстве C1,μ(Γ1). Поэтому первое утверждение теоремы вытекает К ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛОСКОЙ УПРУГОСТИ 161 из леммы 10.3, примененной к системе уравнений на контурах Γj, и леммы 9.1. Предположим далее, что Γj ∈ Cm+1,ν . Тогда функция k(t0, t), определяющая оператор K 0 в (10.10), обладает свойством (10.11). Поэтому оператор K 0 компактен в пространстве Cn,μ(Γ1), что легко показывается индукцией по m с помощью формулы дифференцирования, установленной при доказательстве леммы 10.2. Ситуация с оператором K1 совершенно аналогична, и нужный результат теперь следует из леммы 10.3.

Об авторах

Александр Павлович Солдатов

Национальный исследовательский университет «Белгородский государственный университет»

Email: soldatov48@gmail.com
308015, г. Белгород, ул. Победы, д. 85

Список литературы