Порядковое проектирование в OAr(E,F)

Аннотация

В работе изучается операторы порядкового проектирования на различные полосы в пространстве регулярных ортогонально аддитивных операторов. Указаны формулы проектирования на полосу, порожденную направленным семейством положительных ортогонально аддитивных операторов, а также на полосу латерально непрерывных операторов.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 2. Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 3. Векторная решетка регулярных ортогонально аддитивных операторов . . . . . . . . . 409 4. Проектирование на полосу, порожденную семейством операторов . . . . . . . . . . . . 411 5. Проектирование на полосу латерально непрерывных операторов . . . . . . . . . . . . 416 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 1. Введение Порядковое проектирование является полезным и важным инструментом для исследования различных классов операторов, действующих в упорядоченных векторных пространствах. Если упорядоченное векторное пространство E является порядково полной векторной решеткой, то для каждой полосы B в E существует линейный оператор πB : E → B порядкового проектирования на B. Выяснением точного вида проекционных операторов на различные полосы в векторной решетке линейных регулярных операторов на протяжении десятилетий занимались многие математики (см. [2-4, 8, 14, 15, 22, 26]). В конце прошлого столетия ряд исследователей занялся исследование порядковой структуры нелинейных операторов. Порядково ограниченные ортогонально аддитивные операторы (абстрактные операторы Урысона в другой терминологии) изучались в работе [23]. Вопросы порядкового проектирования в пространстве абстрактных операторов Урысона рассматривались в работах [18, 31]. Более общий класс регулярных ортогонально аддитивных операторов (ОАО) был введен [30]. Там же было установлено, что порядковая полнота пространства образов операторов обеспечивает существование решеточной структуры пространства регулярных ортогонально аддитивных операторов. Регулярные и близкие к ним ортогонально аддитивные операторы изучались в работах [1, 9, 10, 13, 20, 21, 25, 28, 29]. Отметим публикации [11, 12], затрагивающие вопросы порядкового проектирования в пространствах регулярных ОАО. В настоящей работе мы продолжим исследования в данном направлении и получим формулы порядкового проектирования на полосы, порожденные направленными семействами положительных ОАО, а также на полосу латерально непрерывных ортогонально аддитивных операторов. Н.А. Джусоева была поддержана Министерством науки и высшего образования Российской Федерации (соглашение 075-02-2022-890). © Российский университет дружбы народов, 2022 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 407 2. Предварительные сведения В настоящем разделе мы приведем некоторые предварительные сведения, необходимые для дальнейшего чтения, а также зафиксируем терминологию и обозначения. В качестве стандартного источника для ссылок по теории векторных решеток используются монографии [6, 16]. Все встречающиеся ниже в тексте векторные решетки являются архимедовыми. Сеть (xα)α∈A элементов векторной решетки E порядково сходится к элементу x ∈ E, если существует убывающая сеть (eβ)β∈B положительных элементов решетки E такая, что βinf∈B eβ = 0 и для любого eβ найдется индекс α(β) такой, что неравенство выполняется для всех. В этом случае пишут, что x = o-lim xα. Подмножество D векторной решетки E называется порядковым замкнутым, если оно содержит пределы всех порядковых сетей,α∈A составленных из элементов D. Векторное подпространство J векторной решетки E называется порядковым идеалом E, если для любых x ∈ E, y ∈ J неравенство влечет включение x ∈ J. Будем говорить, что элементы x,y векторной решетки E являются дизъюнктными, и писать x ⊥ y, если |x| ∧ |y| = 0. Для произвольного подмножества D ⊂ E будем использовать следующие обозначения: D⊥ := {x ∈ E : x ⊥ y ∀y ∈ D}; D⊥⊥ := (D⊥)⊥. Множество B такое, что B = D⊥ для некоторого множества D, называется полосой в E. Заметим, что любая полоса в E является порядково замкнутым порядковым идеалом E. Будем n говорить что полоса B порождена множеством D, если B = D⊥⊥. Для суммы попарно дизъюнктных элементов xi, i ∈ {1,... ,n} будем использовать обозначение . В частном случае n = 2 используем обозначение. Элемент y векторной решетки E называется осколком элемента x ∈ E, если y ⊥ (x - y). Запись выражает тот факт, что y - осколок x. Множество всех осколков элемента x обозначается через Fx. Бинарное отношение на векторной решетке E является отношением частичного порядка на E, который называется латеральным порядком. Латеральный порядок важен для изучения ортогонально аддитивных операторов [19, 25]. Следующая латеральная версия леммы Рисса часто будет использоваться в тексте. Лемма 2.1 (см. [27, Proposition 3.1]). Пусть E -векторная решетка и для некоторых Тогда существует семейство попарно дизъюнктных элементов (zik) ⊂ E, где i ∈ {1,... ,n} и k ∈ {1,...,m}, таких, что 1. для любого i ∈ {1,...,n}; 2. для любого k ∈ {1,... ,m}; 3. . Пусть Λ - некоторое индексное множеств и Θ - множество всех конечных подмножеств Λ, упорядоченное по включению. Семейство (uλ)λ∈Λ элементов векторной решетки E называется порядково суммируемым, если сеть (uθ)θ∈Θ порядково сходится и u = o-limuθ. Здесь . При этом элемент u обозначается. Характеристическая функция множества D обозначается 1D. Напомним, что с каждой полосой B в порядково полной векторной решетке E ассоциирован порядковой проектор πB : E → B на эту полосу, действующий по следующему правилу: . В этом случае x1 ∈ B и x2 ∈ B⊥ называются проекциями элемента x на полосы B и B⊥ соответственно. Через πx обозначим проектор на главную полосу {x}⊥⊥, порожденную элементом x, и через обозначим порядковый проектор на дополнительную полосу {x}⊥. Отметим, что πx⊥⊥ = πx. Приведем полезные для дальнейшего общие формулы порядкового проектирования, справедливые для произвольной порядково полной векторной решетки. Будем полагать, что -полоса в E. и . Множество всех порядковых проекторов в E обозначается P(E). Известно, что в случае порядково полной векторной решетки E множество P(E) является полной булевой алгеброй, где частичный порядок и булевы операции вводятся следующим образом: , (2.1) - - (2.2) - тождественный оператор наE. (2.3) Отметим, что равенства выполняются для любых порядковых проекторов. Ниже мы будем пользоваться следующими полезными формулами: В качестве иллюстрации докажем первую из них. Пусть v ∈ E+. Тогда имеем Ниже для обозначения порядковых проекторов мы будем использовать буквы греческого алфавита: π,ρ,σ и т. д. Семейство (ρξ)ξ∈Ξ ⊂ P(F) попарно дизъюнктных порядковых проекторов таких, что , будем называть разбиением единицы в E. Положительный элемент u векторной решетки E называется слабой порядковой единицей, если {u}⊥⊥ = E. 3. Векторная решетка регулярных ортогонально аддитивных операторов В данном разделе мы рассмотрим порядковую структуру пространства регулярных ортогонально аддитивных операторов и приведем некоторые важные для приложений примеры таких операторов. Определение 3.1. Пусть E - векторная решетка и X - действительное векторное пространство. Оператор T : E → X называется ортогонально аддитивным (ОАО для краткости), если T(x + y) = Tx + Ty для любых дизъюнктных x,y ∈ E. Определение 3.2. Пусть E,F - векторные решетки. Ортогонально аддитивный оператор T : E → F называется: 1. положительным, если T(E) ⊂ F+; 2. регулярным, если T = S1 - S2, где S1,S2 - позитивные ОАО из E в F; 3. порядково ограниченным, или абстрактным оператором Урысона, если T отображает порядково ограниченные подмножества E в порядково ограниченные подмножества векторной решетки F; 4. осколочно ограниченным, или оператором Попова, если любого элемента x ∈ E множество T(Fx) порядково ограниченно в F. Векторные пространства всех регулярных, порядково ограниченных и осколочно ограниченных ОАО из E в F обозначаются через OAr(E,F), OAb(E,F) и P(E,F) соответственно. Конус всех положительных ОАО из E в F обозначается OA+(E,F). В пространстве OAr(E,F) существует естественный частичный порядок, задаваемый следующим образом: (T - S) ∈ OA+(E,F). В случае порядковой полноты векторной решетки F упорядоченное векторное пространство OAr(E,F) является порядково полной операторной векторной решеткой. Лемма 3.1 (см. [30, Theorem 3.6]). Пусть E и F -векторные решетки, причем решетка F порядково полна. Тогда OAr(E,F) = P(E,F) и OAr(E,F) является порядково полной векторной решеткой. При этом для любых S, T ∈ OAr(E,F) и x ∈ E решеточные операции имеют следующий вид: 1. ; 2. ; 3. ; 4.; 5. | | Рассмотрим несколько примеров ортогонально аддитивных операторов. Нам потребуются некоторые предварительные сведения. Определение 3.3. Пусть (A,Σ,μ) и (B,Ξ,ν) - пространства с конечными мерами. Через (A× B,μ ⊗ ν) обозначим пополненное произведение пространств с мерами. Отображение K: A × B × R → R называется функцией Каратеодори, если выполняются следующие условия: (C1) функция K(·,·,r) является μ ⊗ ν-измеримой для любого r ∈ R; (C2) функция K(s,t,·) является непрерывной на R для μ ⊗ ν-почти всех (s,t) ∈ A × B. Будем говорить, что функция Каратеодори K нормализована , если K(s,t,0) = 0 для μ⊗ν-почти всех (s,t) ∈ A × B. Пример 3.1. Пусть E - порядковый идеал в L0(ν), K: A × B × R → R- нормализованная функция Каратеодори, и для любого элемента f ∈ E неравенство выполняется для почти всех s ∈ A. Тогда формула 3.1 (3.1) задает регулярный ортогонально аддитивный оператор T : E → L0(μ). Заметим, вышеприведенный интегральный оператор T известен в литературе как интегральный оператор Урысона. Нормализованная функция Каратеодори K называется ядром интегрального оператора (см. [5]). Частным случаем интегрального оператора Урысона является оператор Гаммерштейна, заданный формулой , где K(·,·) - это μ×ν-измеримая функция на A×B, а N : B×R → R - такая функция, что u(t,·) непрерывна на R для ν-почти всех t ∈ B, N(·,r) ν-измерима для любого r ∈ R и N(t,0) = 0 для ν-почти всех t ∈ B (для соблюдения условия C0). Рассмотрим следующий типичный пример ортогонально аддитивного оператора. Пример 3.2. Пусть (A,Σ,μ) - пространство с конечной мерой. Будем говорить, что функция N : A × R → R суперпозиционно измерима (супер-измерима для краткости), если функция N(·,f(·)) μ-измерима для любой измеримой функции f ∈ L0(μ). Супер-измеримая функция называется N называется нормализованной, если N(s,0) = 0 для μ-почти всех s ∈ A. С каждой нормализованной супер-измеримой функцией N связан ортогонально аддитивный оператор N : L0(μ) → L0(μ), заданный по следующему правилу: N(f)(s) = N(s,f(s)), f ∈ L0(μ). Ортогональная аддитивность оператора N выводится из включения N(f) ∈ {f}⊥⊥, f ∈ L0(μ). Действительно, для почти всех s ∈ A справедливо равенство N(f)(s) = N(s,f(s)) = N(s,f1suppf(s)) = N(s,f(s))1suppf(s). Отсюда выводим, что suppN(f) ⊂ suppf, в силу чего N(f) ∈ {f}⊥⊥. Операторы, обладающие данным свойством, называются нерастягивающими. Оператор N известен в литературе как нелинейный оператор суперпозиции, или оператор Немыцкого (см. [17]). 4. Проектирование на полосу, порожденную семейством операторов В данном разделе мы исследуем операторы порядкового проектирования в векторной решетке OAr(E,F) на полосы, порожденные направленными вверх семействами положительных ОАО. Для дальнейшего нам потребуется одно вспомогательное утверждение, доказанное методами булевозначного анализа. Лемма 4.1 (см. [7, теорема 10.4.8]). Пусть F -порядково полная векторная решетка со слабой порядковой единицей u, а (xλ)λ∈Λ -порядково ограниченная сеть в F. Тогда сеть (xλ)λ∈Λ порядково сходится к элементу x ∈ F тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 найдется разбиение единицы (ρλ)λ∈Λ такое, что Лемма 4.2. Пусть E,F -векторные решетки, причем решетка F порядково полна, и A - множество слабых порядковых единиц в F. Если операторы T,S ∈ OA+(E,F) дизъюнктны, тогда для любых x ∈ E, u ∈ A и ε > 0 найдется разбиение единицы (πα)α∈Δ в P(F) и семейство осколков (xα)α∈Δ элемента x такие, что для любого α ∈ Δ. Доказательство. Возьмем произвольный элемент x ∈ E. Через Δ обозначим множество всех пар α = (y,z) ∈ Fx × Fx попарно дизъюнктных осколков элемента x таких, что Для любого α = (y,x - y) ∈ Δ положим fα = Ty + S(x - y). Согласно формуле 2 леммы 3.1 дизъюнктность операторов S и T влечет равенство inf {fα} = 0. Обозначим через Ξ набор всех α∈Δ конечных подмножеств Δ, упорядоченный по включению, т. е., если . Рассмотрим множество (yξ)ξ∈Ξ инфимумов всех конечных подмножеств множества {fα : α ∈ Δ}, т. е. если ξ ∈ Ξ- конечное множество для любого k = 1,...,n, тогда Отметим, что множество (yξ)ξ∈Ξ является убывающей сетью и o-ξlim∈Ξ yξ = 0. Согласно лемме 4.1, для любого ε > 0 и u ∈ A существует разбиение единицы (ρξ)ξ∈Ξ в F такое, что для любого ξ ∈ Ξ. Отсюда легко вывести, что ρξ(fα) < εu, если ξ = α. Отождествим F с векторной подрешеткой порядково полной векторной решетки C (Q) всех непрерывных функций, заданных на экстре∞ мальном компакте Q, принимающих бесконечные значения на нигде не плотных множества. При этом в качестве слабой порядковой единицы выбираем характеристическую функцию 1Q множества Q. Тогда порядковые проекторы (ρξ)ξ∈Ξ - это операторы умножения на характеристические функции 1Qξ открыто-замкнутых множеств. Супремумявляется тождественным оператором IF на F. Для ξ ∈ Ξ и α ∈ Δ введем следующее множество: и обозначим через его замыкание в Qξ и соответственно Q. Отметим, что являются открыто-замкнутыми подмножествами Q для любого ξ ∈ Ξ и α ∈ Δ. Также отметим, что подмножества попарно дизъюнктны в случае, когда либо. Через ρξα обозначим оператор умножения на характеристическую функцию , т. е. для любого элемента f ∈ C (Q). Оператор ρξα является порядковым проектором в C∞(Q), и включение ∞ влечет. Таким образом,для любого α ∈ Δ и ξ ∈ Ξ. Отсюда выводим, что порядковые проекторы ρξα попарно дизъюнктны в случае, когда или. Таким образом, порядковые проекторы также дизъюнктны. Покажем, что. Предположим, что верно обратное утверждение. Тогда найдется порядковый проектор , который дизъюнктен всем порядковым проекторам πα, в силу чего дизъюнктен каждому проектору ρξ. Это противоречит тому, что семейство (ρξ)ξ∈Ξ является разбиением единицы. Таким образом, семейство (πα)α∈Δ является разбиением единицы и для любого α ∈ Δ. Следующая лемма представляет необходимые и достаточные условия дизъюнктности положительных ортогонально аддитивных операторов. Лемма 4.3. Пусть E,F -векторные решетки, причем решетка F порядково полна. Операторы S,T ∈ OA+(E,F) являются дизъюнктными тогда и только тогда, когда для произвольных x ∈ E и ε > 0 найдется разбиение единицы (ρα)α∈Δ в F и семейство осколков (xα)α∈Δ ⊂ Fx такие, что неравенства и выполняются для любых α ∈ Δ. Доказательство. Предположим, что∨ ⊥ TxS(Sx∧ T∨ Tx= 0).и дизъюнктныхПусть u := Sx ∧v1Txи v+2 можем написатьρ⊥Sx∧Tx(Sx + Tx). Тогда для v1 = ρSx∧Tx(Sx Tx), v2 = ρSx∧ Sx + Tx = Sx ∧ Tx + Sx ∨ Tx, Sx ∨ Tx = v1 + v2. Отметим, что v1 ∈ (Sx ∧ Tx)⊥⊥. Если w ∈ F дизъюнктен u, то w⊥(Sx ∧ Tx) и w⊥ρ⊥Sx∧Tx(Sx + Tx). TxwОтсюда выводим, что⊥)(Sxполучаем, что+Tx). Таким образом,w⊥wρ⊥⊥Sx(∧SxTx∧(SxSxTx+∨)⊥⊥TxTxи∈ {),wт. е.u⊥}v⊥⊥1.wВ силу⊥и vu2-слабая порядковая единица в. Так какSx ∨ Txw=⊥(ρvSx1 +∧Txv2()Sxи∨wTx⊥() +Sx{Sx∧ρSx⊥Tx+∧TxTx)⊥⊥(Sx},⊥⊥то∨. Покажем, что Для этого сначала установим два вспомогательных равенства (a) ρSx ◦ ρ⊥Sx∧TxTx = 0 и (b) ρSx ◦ ρ⊥Sx∧Tx(Sx + Tx) = ρ⊥Sx∧TxSx. Тогда ρSx ◦ ρ⊥Sx∧TxTx = ρ⊥Sx∧Tx ◦ ρSxTx = ρ⊥Sx∧Tx ◦ ρSx ◦ ρTxTx = ρ⊥Sx∧Tx ◦ ρSx∧TxTx = 0 и равенство (a) установлено. Равенство (b) следует из следующей цепочки формул: ρSx ◦ ρ⊥Sx∧Tx(Sx + Tx) = = ρSx ◦ ρ⊥Sx∧TxSx + ρSx ◦ ρ⊥Sx∧TxTx = = ρ⊥Sx∧Tx ◦ ρSxSx + ρSx ◦ ρ⊥Sx∧TxTx = ρSx⊥∧TxSx + ρSx ◦ ρSx⊥ ∧TxTx = = ρ⊥Sx∧TxSx. Далее имеем: ρSx∧TxSx + ρ⊥Sx∧TxSx = Sx. Те же аргументы имеют место для ρTxu. Отметим, что элемент u+v будет слабой порядковой единицей в F, так как u - слабая порядковая единица в {Sx+Tx}⊥⊥, а v - слабая порядковая единица в {Sx+Tx}⊥. В силу дизъюнктности T и S, применяя лемму 4.3, для любого ε > 0 найдем разбиение единицы (ρα)α∈Δ в F и семейство осколков (xα)α∈Δ элемента x такие, что для любых α ∈ Δ. Таким образом, для любого α ∈ Δ имеем и Докажем теперь обратное утверждение. Возьмем произвольный элемент x ∈ E. Требуется установить, что . Согласно предположению, для любого ε > 0 найдется разбиение единицы (ρα)α∈Δ в F и семейство (xα)α∈Δ ⊂ Fx осколков элемента x, удовлетворяющие необходимым вышеуказанным условиям. Тогда можем написать inf {Txα + S(x - xα)} = α∈Δ . В силу произвольности ε > 0 окончательно получаем (T ∧ S)x = 0. Для множества A ⊂ OAr(E,F) через πA обозначим порядковый проектор в OAr(E,F) на полосу A⊥⊥, порожденную A, а через πA⊥ = (πA)⊥ обозначим проектор на дополнительную полосу A⊥. Множество A ⊂ OA+(E,F) называется направленным вверх, если для любых R,T ∈ A найдется оператор G ∈ A такой, что Следующая теорема устанавливает правило вычисления проекции на полосу, порожденную направленным вверх множеством положительных ортогонально аддитивных операторов. Теорема 4.1. Пусть E,F -векторные решетки, причем решетка F порядково полна, A ⊂ OA+(E,F) -направленное вверх множество. Тогда для произвольных T ∈ OA+(E,F) x ∈ E имеют место формулы: , (4.1) (4.2) Доказательство. Достаточно доказать вторую формулу. Для произвольного x ∈ E обозначим правую часть равенства (4.2) через η(T)(x). Покажем, что η(T) ∈ OA+(E,F). Пусть. Используя лемму 2.1, выводим, что каждый осколок y ∈ Fx представляется в виде yi ∈ Fxi, i = 1,2. Отметим, что для любого z ∈ E в силу положительности T : E → F. Отсюда получаем, что η(T) : E → F - положительный ортогонально аддитивный оператор. Для T ∈ OA+(E,F)η(T). Теперь покажем, что κ(T) = πAT. Действительно, так как для любых , в силу чего то выводим , откуда получаем . Порядковый идеал, порожденный множеством A, порядково плотен в векторной решетке A⊥⊥, в силу чего найдется операторная сеть (Tγ)γ∈Γ ⊂ OA+(E,F), где , где Si ∈ A, n(γ) ∈ N, γ ∈ Γ, λi ∈ R+ и Tγ ↑ πAT. Используя тот факт, что множество A направлено вверх, получаем . Зафиксируем некоторый индекс γ0 ∈ Γ. Тогда для некоторого S0 ∈ A и n ∈ N. Для произвольного ε > 0 найдется проектор ρ ∈ P(F) и осколок y ∈ Fx такие, что Заметим, что множество таких проекторов и осколков непусто. Действительно, достаточно взять y = x и произвольный проектор ρ ∈ P(F). Следовательно, для y и ρ в силу выводим Переходя к сначала инфимуму относительно y ∈ Fx и ρ ∈ P(F), а затем к супремуму относительно ε > 0 и S ∈ A в правой части вышеприведенного неравенства, получаем следующую цепочку формул: Tγ0x εnS0x + κ(T)(x). В силу произвольности ε получаем, что. Тогда и В силу произвольности x ∈ E получаем Докажем теперь обратное неравенство. Для произвольного T ∈ OA+(E,F) можем написать . С другой стороны, имеем . Тогда η(T) = η(πA⊥T) и κT = T -ηT = πAT +πA⊥T -η(πA⊥T). В завершение осталось показать, что η(πA⊥T) = πA⊥T. Пусть C = πA⊥T и S ∈ A. Тогда C 0 и C ∧ S = 0. Если κ(C) = 0, то равенство κ(πA⊥T) = πA⊥T - η(πA⊥T) влечет πA⊥T = η(πA⊥T). Согласно лемме 4.3 для любого ε > 0 и x ∈ E найдется разбиение единицы (ρα)α∈Δ в F и семейство осколков (xα)α∈Δ элемента x такие, что Тогда , откуда выводим, что . Левая часть вышеприведенного неравенства не зависит от S. Кроме того, выражение в правой части возрастает при убывании ε. Для фиксированного ε0 > 0 получаем ε0Cx и для имеем . Отсюда выводим ε0Cx . Таким образом, для произвольного ε0 > 0 и следовательно κ(C) = 0. Для проектора на главную полосу в OA+(E,F) формулы (4.1) и (4.2) упрощаются. Для S ∈ OA+(E,F) порядковые проекторы на полосы {S}⊥⊥ и {S}⊥ обозначим через πS и πS⊥ соответственно. Замечание 4.1. Пусть E,F - такие же, как в теореме 4.1. Тогда для произвольных S,T ∈ OA+(E,F) и x ∈ E имеют место формулы: , Доказательство. Формула для (πS⊥T)x получается следующим образом. Во-первых, отметим, что имеет место равенство ρ⊥Sx((πS⊥T)x) = ρ⊥Sx(Tx). Действительно, элемент ρ⊥Sx лежит в полосе P(F), в силу чего неравенство выполняется для любого ε > 0. Отсюда выводим = ρ⊥Sx ◦ (ρ⊥Sx(T0) + ρ⊥Sx(Tx)) = ρ⊥Sx ◦ ρSx(Tx) = 0. Таким образом, ρ⊥Sx(πST)x = 0. Во-вторых, для любого элемента такого, что и y ∈ Fx, справедливы формулы , где ρ ∈ [0,ρSx]. Тогда можем написать . Пусть E,F - векторные решетки. Зафиксируем ϕ ∈ OAr(E,R), и пусть u ∈ F. Тогда одномерный ортогонально аддитивный оператор ϕ⊗u: E → F задается формулой (ϕ⊗u)x = ϕ(x)u. В качестве приложения мы найдем формулу проекции на полосу {ϕ ⊗ u}⊥⊥ и полосу, дополнительную ей. Лемма 4.4. Пусть E,F -такие же, как и в теореме 4.1, ϕ ⊗ u -положительный ортогонально аддитивный оператор ранга 1, где ϕ ∈ OA+(E,R), u ∈ F+ и T ∈ OA+(E,F). Тогда для любого x ∈ E справедливы следующие формулы: (4.3) . (4.4) Доказательство. Достаточно доказать формулу (4.4). Для ρ ∈ [0,ρu] выражение в правой части (4.3) может быть записано как Согласно формуле последнее неравенство равносильно неравенству. Заметим, что для произвольного x ∈ E такого, что ϕ(x) > 0, справедлива формула Отсюда выводим ρ(ϕ⊗u)x = ρu. Таким образом, т. е. Отсюда выводим, что супремум в правой части формулы (4.3) достигается, когда ρ = ρu. Замечание 4.2. Для любых S,T ∈ OA+(E,F), e ∈ E, справедливы формулы: , Замечание 4.3. ; . Доказательство. Достаточно доказать вторую формулу. Пусть π ∈ [0,πf]. Если справедлива формула Отсюда следует, что. Кроме того, если e ∈ E и. Условие не зависит от π. Поэтому верхняя грань достигается при π = πf. Отсюда получаем . 5. Проектирование на полосу латерально непрерывных операторов В настоящем разделе мы продолжим начатое в работе [30] исследование порядковых проекторов на полосу латерально непрерывных операторов в OAr(E,F). Если для линейного регулярного оператора в векторной решетке естественной областью определения является порядковый идеал, то для ортогонально аддитивного оператора такой областью является в общем случае нелинейное множество, обладающее некоторой специфической структурой. Дадим точное определение. Подмножество D векторной решетки E называется латеральным идеалом, если выполняются следующие условия: • если x ∈ D, то y ∈ D для любого y ∈ Fx; • если x,y ∈ D, x⊥y, то x + y ∈ D. Приведем некоторые примеры. Пример 5.1. Пусть E - векторная решетка. Каждый порядковый идеал в E является латеральным идеалом. Пример 5.2. Пусть E - векторная решетка и x ∈ V. Тогда Fx - это латеральный идеал. Пример 5.3. Пусть E,F - векторные решетки и T ∈ OA+(E,F). Тогда KT :={x∈E: Tx=0} является латеральным идеалом в E. Говорят, что сеть (vα)(α∈A) ⊂ V латерально сходится к элементу v, если v = o-limα vα и (vα - vβ)⊥vβ для любых При этом пишут v = l-limα vα. Ортогонально аддитивный оператор T называется латерально непрерывным (латерально σ-непрерывным), если для всякой латерально сходящейся сети (fα) (последовательности (fn)) такой, что f = l-limα fα (f = l-limn fn), выполняется Tf = o-limα Tfα (соответственно Tf = o-limn Tfn). Если T - ортогонально аддитивный оператор, то следующие условия эквивалентны: 1. T - латерально σ-непрерывный оператор; 2. для каждой последовательности попарно дизъюнктных элементов справедлива импликация Множество всех латерально непрерывных (латерально σ-непрерывных) ортогонально аддитивных операторов обозначается через OAc(E,F) (OAσ,c(E,F)). Если E и F - векторные решетки и решетка F порядково полна, то пространства OAc(E,F) (OAσ,c(E,F)) являются полосами в OAr(E,F) (см. [30, Theorem 3.13]). Для векторной решетки E множество M ⊂ E называется латерально замкнутым (σ-латерально замкнутым), если оно содержит пределы всех латерально сходящихся сетей (последовательностей), составленных из элементов M. Пример 5.4. Нелинейный оператор суперпозиции N : L0(μ) → L0(μ) из примера 3.2 является латерально непрерывным (см. [19, Proposition 3.2]). Пример 5.5. Каждый интегральный оператор Урысона T : E → F является σ-латерально непрерывным (см. [24, Proposition 2.9]). В [30] был установлен следующий критерий латеральной непрерывности. Пусть T : E → F - положительный ортогонально аддитивный оператор, E - произвольная векторная решетка и F - порядково полная векторная решетка. Множество векторов, на которых оператор T обращается в нуль, называется ядром оператора и обозначается ker(T). Оператор T латерально непрерывен (латерально σ-непрерывен) тогда и только тогда, когда ядро любого оператора латерально замкнуто (латерально σ-замкнуто). В [30] также были указаны формулы проекции положительного ортогонально аддитивного оператора на полосы латерально непрерывных и латерально σ-непрерывных операторов. С каждым положительным ортогонально аддитивным оператором T : E → F свяжем операторы Tc и Tσc, определяемые по формулам: Tcu := inf{supTuα : u = l-limuα}; α α Tσcu := inf{supTun : u = l-limun}. n n Инфимум берется по всем сетям uα, латерально сходящимся к u. Аналогично и в отношении последовательностей. Операторы Tc и Tσc являются проекциями положительного оператора T на полосы латерально непрерывных и латерально σ-непрерывных операторов соответственно и называются латерально непрерывной и латерально σ-непрерывной составляющей оператора T. Ниже мы рассмотрим проблему вычисления латерально непрерывной составляющей ортогонально аддитивного оператора с более общих позиций, использовав порядковое проектирование в векторной решетке OAr(E,F). Отметим также, что интерес вызывает изучение полосы , дизъюнктной полосе латерально непрерывных операторов. Пусть E - векторная решетка. Латеральный идеал I ⊂ E называется латерально плотным (σ-латерально плотным), если для любого e ∈ E найдется сеть (eα) в I (найдется последовательность (en) в I) такая, что eα латерально сходится к e (en латерально сходится к e). Для дальнейшего важно отметить, что для любого латерально плотного латерального идеала (σ-латерально плотного латерального идеала) его латеральное замыкание (латеральное σ-замыкание) совпадает с E. Всюду ниже будем полагать, что E - это векторная решетка с проекциями на главные полосы, F - порядково полная векторная решетка. Оператор T ∈ OAr(E,F) называется сингулярным (σ-сингулярным), если он равен нулю на некотором латерально плотном латеральном идеале (σлатерально плотном латеральном идеале). Множество всех сингулярных (σ-сингулярных) операторов обозначим через OAs(E,F) (OAσs(E,F)). Теорема 5.1. , т. е. классы латерально непрерывных операторов и операторов, дизъюнктных сингулярным, совпадают. Доказательство. Рассуждения достаточно провести для положительных операторов. Пусть положительный ортогонально аддитивный оператор T латерально непрерывен. Допустим, что T /∈ OA⊥s (E,F). Тогда существует регулярный ортогонально аддитивный оператор S ∈ OAc(E,F), S > 0, для которого G := T ∧S > 0. Так как равен нулю на некотором латерально плотном латеральном идеале. Но, с другой стороны, G ∈ OAc(E,F). Следовательно, оператор G тождественно равен нулю. Обратно, пусть и T 0. Покажем, что T - латерально непрерывный оператор. Предположим, что существует сеть (xα)α∈Λ, латерально сходящаяся к x и удовлетворяющая неравенству y = o-limα Txα < Tx. Через πα обозначим проектор на полосу {x - xα}⊥⊥. Для каждого элемента e ∈ E положим Ge := o-limTπαe. α Ясно, что соответствующие пределы существуют для всех e ∈ E. Таким образом, определен положительный ортогонально аддитивный оператор и, кроме того,. Оператор G ненулевой, так как Gx = o-limTπαx = o-limT(x - xα) = Tx - o-limTxα > 0. α α α Теперь покажем, что оператор G одновременно и сингулярный. Обозначим через E множество всех e ∈ E, которые дизъюнктны с некоторым x - xα0. Если . Ясно, что E - латеральный идеал в E. Докажем, что латеральный идеал E латерально плотен в E. Если бы это было не так, то нашелся бы элемент, который бы принадлежал всем полосам {x - xα}⊥⊥. Пусть- проектор на полосу. Тогда для любого индекса α0 мы бы имели . Но последняя формула противоречит условию, что o-limα(x - xα) = 0. Таким образом, E - латерально плотный латеральный идеал и оператор G сингулярен. Однако из определений следует, что оператор G нулевой. Полученное противоречие доказывает, что оператор T латерально непрерывен. С каждым латерально плотным латеральным идеалом I ⊂ E свяжем множество операторов NI := {T ∈ OAr(E,F) : I ⊂ ker(T)}. Лемма 5.1. Множество NI является полосой в пространстве OAr(E,F). Проектор на полосу NI⊥ задается формулой . Доказательство. Ясно, что для любых положительных T1,T2 ∈ NI их произвольная линейная комбинация также принадлежит NM. Кроме того, для операторов S,T ∈ OAr(E,F) можно написать . Рассмотрим возрастающую сеть (Tα ∈ NI)α∈Λ, T = o-limα Tα, и возьмем e ∈ I. Очевидно, что Te = o-limTαe = 0 ⇒ T ∈ NI. α Таким образом, множество NI является полосой в пространстве OAr(E,F). Чтобы установить, что оператор πI является проектором на полосу NI, достаточно доказать, что для любого T ∈ OA+(E,F) оператор πIT ортогонально аддитивен и, кроме того, выполняются следующие соотношения: 1. ; 2. πI(πIT) = πIT; 3. πIT = T ⇔ T ∈ NI⊥; 4. πI - линейный оператор. Ортогональная аддитивность легко выводится, если принять во внимание, что для дизъюнктных любой элемент допускает представление, где и Пусть. Тогда можем написать: Для оператора T ∈ OA+(E,F) справедливы формулы: Для доказательства пункта 3 установим следующее соотношение: . Действительно, пусть и существует оператор S ∈ NI, G := S ∧ T > 0. Теперь можем написать: . Переходя к супремуму по всем получим, что. Но так как NI является полосой и . Обратно, пусть T ∈ NI⊥ и найдется такой В этом случае можно полагать, что неравенство имеет место. В противном случае заменим оператор T на оператор T, определяемый формулой . Пусть. Определим положительный ортогонально аддитивный оператор G формулой G := T - πIT. Ясно, что Gf = 0 для всех f ∈ I. Оператор G ненулевой, так как Ge = Te . Итак, оператор G определен корректно, . Далее, по условию T⊥G. Отсюда получаем Получили противоречие, доказывающее пункт 3. Далее для T, S ∈ OA+(E,F) очевидно, что . Докажем противоположное неравенство. Для этого возьмем e1, e2 ∈ Fe и положим e0 = e1 ∩ e2, где e1 ∩ e2 - латеральный инфимум e1 и e2 (см. [25]). Латеральный супремум элементов e1 и e2 обозначим через e1 ∪ e2 Далее положим . Тогда , Теперь можем написать = (S + T)(e1 ∪ e2) = πI(T + S)(e). Переходя в этом неравенстве к супремуму сначала по e1 ∈ Fe, а затем по e2 ∈ Fe, получим что доказывает аддитивность πI. Однородность оператора πI очевидна. Напомним, что семейство множеств A называется насыщенным вверх, если ∀A ∈ A,B ⊃ A ⇒ B ∈ A. Лемма 5.2. Пусть A-насыщенное вверх семейство латерально плотных латеральных идеалов. Тогда оператор πA := inf{πI : I ∈ A} является проектором на полосу OAA(E,F)⊥, где OAA(E,F) = {T ∈ OAr(E,F) : ∀I ∈ A, I ⊂ ker(T)}. Доказательство. Оператор πA является проектором на некоторую полосу в пространстве OAr(E,F). Обозначим через σ проектор на полосу OAA(E,F)⊥ и покажем, что πA = σ. Если. Значит, Пусть теперь T ∈ OAA(E,F)⊥. Для любого латерально плотного латерального идеала I ∈ A оператор T - πIT равен нулю на I. Так как , то оператор T - πAT равен нулю на любом латерально плотном латеральном идеале I ∈ A. Отсюда следует, что T - πAT ∈ OAA(E,F) ∩ OAA(E,F)⊥ = {0}. Таким образом, получаем, что T = πAT и πA = σ. Замечание 5.1. Пусть A и Aσ обозначают множества латерально плотных латеральных идеалов и σ-латерально плотных латеральных идеалов соответственно. Тогда проекторы πc = inf{πA : A ∈ A}, πσc := inf{πA; A ∈ Aσ} являются проекторами в пространстве OAr(E,F) на полосы OAs(E,F)⊥ и OAsσ(E,F)⊥ соответственно. Из теоремы 5.1 следует, что πc и πσc являются проекторами на полосы OAc(E,F) и OAcσ(E,F). Замечание 5.2. Для любого оператора T ∈ OA+(E,F) справедливы следующие формулы (см. [30]): Tcv = inf{supTvα : v = l-limvα}, Tσcv = inf{supTvn : v = l-limvn}. α α n n Доказательство. Докажем первую формулу, вторая доказывается аналогично. С оператором T и элементом v свяжем выражение G(T,v) = inf{supTvα : v = l-limvα}. α α Для каждой сети (vα),v = l-limα vα рассмотрим семейство латерально плотных латеральных идеалов C(v), содержащих сеть (vα). Ясно, что где I ∈ C(v). В то же время каждый латерально плотный латеральный идеал I содержит некоторую сеть (vα), v = l-limα vα. Таким образом,. Оператор πcT - латерально непрерывный. Ясно, что G(πcT,v) = πcTv. Далее можем написать G(T,v) = G(πcT,v) + G(T - πcT,v), в силу чего выводим, что G(T,v) = πcTv.