О пространствах вектор-функций, голоморфных в угловой области

Аннотация

Изучаются пространства вектор-функций, голоморфных в угловой области комплексной плоскости, со значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве. Показано, что, снабженные соответствующими нормами, указанные пространства являются гильбертовыми пространствами.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 2. Функциональные пространства и их основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 3. Доказательства некоторых сформулированных утверждений о свойствах функциональных пространств Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 1. Введение В статье изучаются пространства вектор-функций со значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве, голоморфные в угловой области комплексной плоскости. 2. Функциональные пространства и их основные свойства 2.1. Определения, обозначения и формулировка результатов. В работе М.М. Джрбашяна и В.М. Мартиросяна [5], а также в монографии М.М. Джрбашяна [4] изучен класс функций , голоморфных в угловой области Sθ = {τ ∈ C : |argτ| < θ} и таких, что . В [4, 5] установлено, что, снабженное соответствующей нормой, является гильбертовым пространством, и для него доказана теорема типа Пэли-Винера. В предлагаемой работе исследуются классы функций со значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве H, голоморфных в области Sθ. Работа выполнена в рамках Программы развития Междисциплинарной научно-образовательной школы Московского университета «Математические методы анализа сложных систем» при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований РФФИ (проект № 20-01-00288 A). © Российский университет дружбы народов, 2022 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 393 В предлагаемой работе исследуются классы функций со значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве H, голоморфных в области Sθ. При этом класс состоит из вектор-функций, для которых конечна величина , а класс - из вектор-функций, для которых и конечна величина , где A - самосопряженный положительный оператор в пространстве H, имеющий компактный dnu(τ) обратный, при этом - производная в смысле комплексного анализа. Здесь и в дальнейшем dτn через · обозначается норма в пространстве H. В работе доказано, что класс, снабженный соответствующей нормой, образует гильбертово пространство, а также установлен аналог теоремы Пэли-Винера для пространства . Показано, что класс функций , снабженный соответствующей нормой, является гильбертовым пространством, установлен аналог теоремы о промежуточных производных и теоремы о следах. Условимся в дальнейшем называть функцией (без добавления слова «вектор») функцию со значениями в пространстве H, а функцию со значениями в C называть скалярной, или числовой, функцией. Обозначим через L2 (R+,H) пространство (классов) функций со значениями в H, измеримых относительно меры Лебега dt на полуоси R+ = (0,+∞) и таких, что . Пусть A - самосопряженный положительный оператор , действующий в пространстве H, имеющий компактный обратный. Превратим область определения оператора Aβ, β > 0, в гильбертово пространство Hβ, введя на норму , эквивалентную норме графика оператора Aβ. Через обозначим пространство Соболева функций на полуоси R+ = (0,+∞) со значениями в пространстве H, снабженное нормой . Подробнее о пространствах см. монографию [6, гл. 1]. Для n = 0 полагаем Будем также полагать в дальнейшем, что, . Укажем основные свойства пространства. Предложение 2.1. Для функции существуют такие граничные значения , что . (2.1) Предложение 2.2. Пусть функция . Тогда для функции f (τ) справедлива интегральная формула Коши (2.2) Предложение 2.3. Пусть функции f±θ ∈ L2 (R+,H). Тогда функция f (τ), представимая в виде , (2.3) принадлежит классу . На основании предложений 2.1-2.3 может быть установлена следующая теорема. Теорема 2.1. 10. Класс функций с нормой (2.4) является банаховым пространством. 20. Класс функций со скалярным произведением (2.5) является гильбертовым пространством. 30. Если f (τ) -произвольная функция из класса и , (2.6) то справедливы неравенства . (2.7) Приведем теорему, являющуюся аналогом теоремы Пэли-Винера для классов функций . Теорема 2.2. Пусть θ ∈ (0,π/2). Справедливы следующие утверждения: 10. Класс функций совпадает с множеством функций, допускающих представление , (2.8) . 20. В представлении (2.8) для каждой фиксированной функции функция единственна, и справедлива формула обращения (2.9) 30. Если функция представима функцией по формуле (2.8), то справедливы неравенства . (2.10) Уместно отметить, что при θ = 0 теорема 2.2 переходит в хорошо известную теорему Пэли-Винера для пространства L2 (R+,H) и пространства Харди в правой полуплоскости . Соответствующий комментарий по этому поводу в скалярном случае приведен в статье [5]. Перейдем к рассмотрению и изучению аналогов пространств Соболева векторфункций, голоморфных в угле Sθ. Условимся в дальнейшем обозначать через производную функции u(τ) в смысле комплексного анализа. Поскольку , (2.11) то класс функций совпадает с классом функций, голоморфных в угле Sθ и таких, что конечна величина . (2.12) В нижеследующей лемме установлен аналог теоремы о промежуточных производных, широко известной для пространств Лемма 2.1. Пусть . Тогда и справедливы неравенства (2.13) с положительными постоянными Kj, j = 0,1,... ,n. Предложение 2.4. Для функции существуют граничные значения из класса такие, что . (2.14) Теорема 2.3. 10. Класс функций с нормой (2.15) является банаховым пространством. 20. Класс функций со скалярным произведением является гильбертовым пространством. 30. Для произвольной функции справедливы неравенства , (2.17) где . Приведем вариант теоремы о следах для пространства. Теорема 2.4. Пусть. Тогда в смысле нормы · пространства H равномерно относительно argτ, где |argτ| < θ, существуют пределы . (2.18) Уместно отметить, что теоремы 2.3 и 2.4, а также предложение 2.4 приведены в статье [2]; полные подробные доказательства сформулированных утверждений о пространствах, W2n (Sθ,An) приведены в депонированной работе [1]. 3. Доказательства некоторых сформулированных утверждений о свойствах функциональных пространств Доказательство предложения 2.1. Пусть - ортонормированный базис пространства H. Для функции положим fj (τ) = (f (τ),ej), j = 1,2,... , τ ∈ Sθ. Тогда справедливо представление и следующая цепочка равенств: . (3.1) Согласно [5, лемма А, с. 871] числовая функция fj (τ), j = 1,2,... , имеет граничные значения , т. е. существуют такие функции, для которых . (3.2) Положим и покажем, что, т. е. . (3.3) Доказательство проведем для +θ, рассуждения для -θ совершенно аналогичны. Обозначим через M величину . (3.4) Предположим противное. Тогда найдется такое N ∈ N, что В силу (3.2) для любого ε > 0 можно указать такое ϕ0 < θ, что для любого ϕ, удовлетворяющего неравенству ϕ0 < ϕ < θ, будет выполнено неравенство Следовательно, мы пришли к противоречию с равенством (3.3). Отсюда в силу (3.1) существует такое ϕ0 < θ, при котором (3.5) что, очевидно, противоречит неравенству (3.6) в силу произвольности M1 > 4M. Таким образом, неравенство установлено. Согласно [5, лемма 1.1, с. 873]), для числовых функций fj (τ) справедливо неравенство . (3.7) Отсюда из (3.2) вытекает, что . (3.8) Установим теперь справедливость соотношения (2.1). Рассмотрим случай ϕ → +θ, а случай ϕ → -θ рассматривается совершенно аналогично. Зафиксируем ε > 0. По ε выберем такое N ∈ N, чтобы выполнялись неравенства . (3.9) В силу (3.3), (3.8) такой выбор N возможен. По N выберем такое δ > 0, чтобы для ϕ : θ - ϕ < δ выполнялись неравенства (3.10) Существование такого δ вытекает из (3.2). Тогда (3.11) Наконец, из (3.9), (3.11) получаем, что Таким образом, соотношение (2.1) установлено и предложение 2.1 доказано. Доказательство предложения 2.2. Сходимость интегралов в правой части (2.2) при τ ∈ Sθ вытекает из оценок . Чтобы обнаружить, что достаточно проверить последнее равенство покоординатно: где - ортонормированный базис пространства H. Интегральная формула Коши справедлива для числовых функций (f (τ),ej) (см. [4, теорема 7.5, с. 414]), откуда и вытекает справедливость интегральной Формулы Коши для. Доказательство предложения 2.3. Пусть h±θ (ς) ∈ L2 (R+). Тогда для функции h(τ), представимой в виде справедливо неравенство const, где постоянная const не зависит от функций h-θ (ς) и hθ (ς), а кроме того, функция h(τ) голоморфна в секторе Sθ. Используя разложение функции f (τ) по ортонормированному базису , а также то, что , получим векторный аналог приведенного утверждения. В самом деле, для любого ϕ ∈ (-θ,θ) справедлива следующая цепочка неравенств: const = const , откуда вытекает, что const (3.12) Голоморфность функции f (τ) при τ ∈ Sθ очевидным образом следует из свойств интегралов типа Коши. Доказательство теоремы 2.1. Вначале докажем пункт 30. Установим неравенство (2.7). Неравенство вытекает из более сильного неравенства (3.7). Перейдем к доказательству второго неравенства. Для этого воспользуемся соотношением (2.1) из предложения 2.1, согласно которому для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что для ϕ : θ - ϕ < δ Отсюда из неравенства , в частности, следует, что и, тем более, Отсюда, в силу произвольности ε, получаем . Дословно повторяя проведенные рассуждения для -θ, получим . Из последних двух неравенств и следует, что . Докажем пункт 10. В доказательстве нуждается лишь доказательство утверждения о полноте, т. к. проверка того, чтообладает свойствами нормы, вытекает из соответствующих свойств нормы . Итак, пусть имеется фундаментальная по норме последовательность функций , т. е. . Покажем, что существует функция такая, что . Согласно предложению 2.1, каждая из функций fk (τ) имеет граничные значения L2 (R+,H), и в соответствии с неравенством (2.7) из сходимости последовательности функций по норме вытекает сходимость последовательностей по норме пространства L2 (R+,H). Но пространство L2 (R+,H) является полным. Следовательно, существуют функции f±θ (t) ∈ L2 (R+,H) такие, что . По функциям f±θ (t) образуем интеграл типа Коши Тогда в соответствии с предложением 2.3 имеем , и последовательность сходится к функции f (τ) по норме . 20. Полнота пространства с нормой , порождаемой скалярным произведением (2.6), вытекает из неравенства (2.7) и утверждения пункта 10. Проверка остальных аксиом гильбертова пространства со скалярным произведением (2.7) проводится непосредственно. Теорема 2.1 доказана. Доказательство теоремы 2.2. 10. Пусть. Положим - ортонормированный базис пространства H. Тогда и, согласно [5, теорема 1], существует скалярная функция такая, что При этом функция fj (τ) определяется единственным образом по функции Fj (λ), и согласно теореме Пэли-Винера (см. [5]) имеют место неравенства , (3.13) где (здесь и в дальнейшем) По набору скалярных функций образуем вектор-функцию. Покажем, что. Поскольку для числовых функций fj (τ) справедлива оценка , (3.14) то из неравенств (3.13), (3.14) получаем следующую цепочку неравенств: Искомое утверждение вытекает теперь из того, что слабая голоморфность в банаховых пространствах влечет за собой сильную голоморфность (см. [7, теорема 3.10.1]), и значит из голоморфности скалярных функций fj (τ) следует голоморфность вектор-функции f (τ). 20. Так как интеграл в правой части (2.9) существует при ϕ : |ϕ| < θ, то достаточно установить равенство (2.9) покоординатно. Но покоординатное равенство справедливо в силу [5, теорема 1] (см. пункт 20). 30. Неравенство (2.10) вытекает из того, что для числовых функций Fj (λ) и fj (τ) согласно [5, теорема 1, пункт 30] справедливы оценки , и, кроме того, имеют место очевидные равенства . Теорема 2.2 доказана. Доказательство леммы 2.1. Опираясь на теорему о промежуточных производных для пространства W21 (R+,A) (см. [6, с. 29]), получаем неравенства Принимая во внимание то, что , из неравенства (3.15) получим неравенство (2.13). В свою очередь доказательство предложения 2.4 опирается на лемму 2.1, а также на предложение 2.1 применительно к функциям Доказательство предложения 2.4. Согласно лемме 2.1, из принадлежности функции u(τ) пространству вытекает, что d u В соответствии с предложением 2.1 функции u(τ), dτj (τ) имеют граничные значения u±θ (t) = такие, что (3.16) (3.17) Покажем вначале, что почти всюду на полуоси R+. Из соотношения (3.17) и неравенства Коши-Буняковского следует, что при ϕ → ±θ. Таким образом, функция сходится к функции y±θ,1 (t) по норме L1 ((0,r),H). Следовательно, функция сходится к функции e±iθy±θ (t) в пространстве L1 ((0,r),H) при ϕ → ±θ. В самом деле, это вытекает из того, что а также того, что при ϕ → ±θ. Таким образом, из сказанного следует, что . (3.18) Но , (3.19) и, как будет показано в конце этого предложения, для любых ϕ1,ϕ2 ∈ (-θ,θ) . (3.20) Отсюда и из соотношений (3.18), (3.19) вытекает, что . Таким образом, Отметим, что в силу произвольности r ∈ R+ приведенное равенство справедливо на полуоси R+. Отсюда получаем, что функция дифференцируема почти всюду на полуоси R+, и , и, кроме того, согласно (3.17) . Повторяя рассуждения, приведенные для функций приходим к тому, что функцияраз дифференцируема по t, и . Согласно определению пространства , функции Aju(τ) имеют граничные значения z±θ,j (t) ∈ L2 (R+,H): . (3.21) Откуда, в силу того, что оператор A-1 компактен и, стало быть, ограничен, следует соотношение . (3.22) Сравнивая (3.21) и (3.22), приходим к равенствам Следовательно, и на основании (3.21) получаем . (3.23) Для завершения доказательства осталось показать, что для любых, . Пусть-сходящаяся к нулю последовательность положительных вещественных чисел та- k+1 1 кая, что < . Рассмотрим последовательность: tk 2 . Из неравенства Коши-Буняковского, теоремы о промежуточных (см. [6, с. 29]), а также положительной определенности оператора A вытекает, что c положительной постоянной c, не зависящей от функции u(τ), индексов k и j. Отсюда получаем . Следовательно, для любого ε > 0 найдется такое N ∈ N, что для k > N Согласно теореме Фубини и значит, (3.24) Из (3.24), в силу непрерывности функции вытекает существование такого, что (3.25) (ибо в противном случае выполнялось бы неравенство противоречащее неравенству (3.24)). Следовательно, для любого ε > 0 можно указать такое N ∈ N, начиная с которого Contemporary Mathematics. Fundamental Directions, 2022, Vol. 68, No. 3, 393-406 Отсюда Обозначив через δk дугу {λ ∈ C : |λ| = sk,ϕ1 arg , можно записать Далее, из неравенства (3.25) получаем j = 0,1,... ,n - 1. Таким образом, для любого ε > 0 можно указать такое N ∈ N, начиная с которого Следовательно, Но по уже упоминавшейся теореме о следах (см. [6, с. 33]) существуют пределы , и значит, . Предложение 2.4 доказано.