Об ограниченности дробного интегрирования по Адамару и типа Адамара в пространствах Лебега со смешанной нормой

Аннотация

В статье рассматривается ограниченность интегралов дробного интегрирования по Адамару и типа Адамара (смешанного и по направлению) в пространствах Лебега со смешанной нормой. Доказаны теоремы типа Соболева об ограниченности одномерного и многомерного дробного интегрирования типа Адамара в весовых пространствах Лебега со смешанной нормой.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 2. Дробное интегрирование Адамара и типа Адамара (смешанное и по направлению) . . . 180 3. Об ограниченности дробного интегрирования по Адамару и типа Адамара в пространстве L Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 1. ВВЕДЕНИЕ В 1961 году были введены пространства Лебега со смешанной нормой Lp (Rn) как естественное обобщение классического пространства Лебега Lp (Rn) путем замены постоянной экспоненты p вектором экспоненты p. Пространства Лебега со смешанной нормой были введены и изучены в работе [9]. Изучению ограниченности операторов в пространствах Лебега со смешанной нормой посвящены работы [4, 7, 8, 20]. Ряд свойств пространств Лебега со смешанной нормой можно найти в книге [2]. Будем называть пространства Lp (Rn) анизотропными, а - весовыми анизотропными пространствами. Поскольку функциональные пространства со смешанными нормами имеют более тонкие структуры, чем соответствующие классические функциональные пространства, они естественным образом возникают в исследованиях решений уравнений в частных производных, используемых для моделирования физических процессов, включающих как пространственные, так и временные переменные такие, как тепловые или волновые уравнения [13, 15, 18]. Известно, что дробное интегродифференцирование Римана-Лиувилля является формально дробной степенью и инвариантно относительно сдвига [5, 6]. Ж. Адамар [14] предложил конструкцию дробного интегродифференцирования, являющуюся дробной степенью , приспособленную к полуоси и инвариантную относительно растяжения. Именно, он ввел дробные © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2022 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 178 интегралы вида: . При 0 < α < 1 дробная производная по Адамару имеет вид . В работе [1] рассматриваются свойства некоторых интегродифференциальных операторов, обобщающих операторы дробного дифференцирования в смысле Адамара и Адамара-Маршо в классе гармонических функций. В качестве применения полученных свойств изучаются вопросы разрешимости нелокальных задач для уравнения Лапласа в шаре. В статьях [3, 10-12, 16, 17, 19, 21] рассмотрены операторы одномерного дробного интегродифференцирования Адамара и типа Адамара. Ряд свойств дробного интегрирования по Адамару можно найти в книге [6]. В настоящей работе дается распространение теории такого дробного интегрирования на случай функций многих переменных в рамках пространств L со смещенной нормой. В работе [21] доказана теорема об ограниченности одномерного дробного интегрирования по Адамару и типа Адамара в кусочно-степенных весовых пространствах суммируемых функций. В настоящей работе доказана ограниченность дробного интегрирования по Адамару и типа Адамара (смешанного и по направлению) в весовых пространствах Лебега со смешанной нормой. Кроме того, доказаны теоремы типа Соболева ограниченности дробного интегрирования типа Адамара в весовых пространствах Лебега. Полученные результаты являются новыми и дополняют статью [21]. Рассмотрение ведется в рамках пространств со смешанной нормой ⎧ ⎧ pn ⎫ 1 ⎫ L, Норма в L также определяется формулой , (1.1) где (1.2) Работа имеет следующую структуру. В разделе 2 приведены необходимые сведения о дробном интегрировании Адамара и типа Адамара (смешанном и по направлению), в разделе 3 доказывается ограниченность дробного интегрирования Адамара и типа Адамара (смешанного и по направлению) в пространствах Лебега со смешанной нормой. 1.1. Обозначения. N - множество натуральных чисел, R = R1 - множество вещественных чисел, C - множество комплексных чисел, R+ = (0;+∞) - полуось; Rn - n-мерное евклидово пространство точек x = (x1,...,xn); R˙ n - компактификация Rn одной бесконечно удаленной точкой,. Всюду ниже: E - единичный оператор; , - оператор растяжения. Введем конечную разность с использованием оператора растяжения: , (1.3) и смешанную конечную разность функции f векторного порядка l = (l1,l2,...,ln), lk ∈ N, с «мультипликативным» векторным шагом: , (1.4) где - биномиальные коэффициенты, k - мультииндекс. Условимся, что запись , означает, что Обозначим и . Пусть ω = (ω1,...,ωn), тогда, . Если u = (u1,...,un), , 2. ДРОБНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ АДАМАРА И ТИПА АДАМАРА (СМЕШАННОЕ И ПО НАПРАВЛЕНИЮ) Определим интегралы дробного порядка по Адамару и типа Адамара. Определение 2.1. Для функции ϕ(x), заданной во всем октанте, интегралы , (2.1) (2.2) назовем смешанными интегралами дробного порядка по Адамару (соответственно, левосторонним и правосторонним). Определение 2.2. Для функции ϕ(x), заданной во всем октанте, интегралы (2.3) (2.4) , (2.5) (2.6) назовем смешанными интегралами дробного порядка типа Адамара (соответственно левосторонними и правосторонними). Операторы (2.1)-(2.4) коммутируют с оператором растяжения Jα ,μΠρ. Операторы J±α...±, J±α...±,μ связаны с оператором Римана-Лиувилля I±···±α (см. [6, ±···± с. 251]) равенствами , тогда из (2.3), (2.4) следуют (2.1), (2.2). С помощью замены ti = xi ·yi, ti = xi ·yi-1, интегралы (2.3), (2.4) можно записать в следующем виде: , где Дробным интегралом порядка α, α ∈ R+, по направлению, назовем конструкцию , где и вектор ω = (ω1,...,ωn) подчинен условию (lnω1)2 +...+ (lnωn) = 1. Введем модификацию смешанных дробных интегралов с ядром, «улучшенным» на бесконечности: (2.7) (2.8) где . Аналогичная модификация дробного интеграла по направлению ω, ω ∈ Rn+, имеет вид , (2.9) где . Очевидно, что на достаточно хороших функциях ϕ(x), т. е. операторы (2.7)-(2.9) получаются применением определений (1.3)-(1.4) разностных операторов с «мультипликативным» шагом к операторам Они имеют то преимущество по сравнению с что при li > αi > 0, i = 1,2,... ,n, s > α > 0, они ограничены в пространстве L при всех (т. е. включая случай γi = 0, i = 1,2,... ,n). 3. ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ ДРОБНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО АДАМАРУ И ТИПА АДАМАРА В ПРОСТРАНСТВЕ Lpγ Теорема 3.1. Пусть (i) Если Re- постоянные из (1.2), то оператор ограничен в , и , (3.1) где C+ (μi,γi∗) = (Reμi + γi∗)-αi . (ii) Если Re-постоянные из (1.2), то оператор J-α...-,μ ограничен в , и , где (iii) Если Re - постоянные из (1.2), то оператор ограничен в L , и , (3.2) где Доказательство. Докажем утверждение (i). Сначала рассмотрим случай . С помощью обобщенного неравенства Минковского имеем . После подстановки получаем . Следовательно, В случае p = ∞ в (3.3) заменим на 1. Тогда получим (3.1). Аналогично доказывается утверждение (ii). Докажем теперь утверждение (iii). С помощью обобщенного неравенства Минковского получаем . После подстановки имеем . (3.4) В случае p = ∞ в (3.4) заменим на 1. Тогда получим (3.2). Принимая во внимание очевидные соотношения между дробными интегралами типа Адамара (2.3), (2.4) и (2.5), (2.6) и применяя теорему 3.1 с μi, замененным на μi + 1 и μi - 1, мы получаем свойства L ограниченности дробных интегральных операторов Теорема 3.2. Пусть (i) Если Re-постоянные из (1.2), то оператор ограничен в , и , где (ii) Если Re-постоянные из (1.2), то оператор ограничен в , и , где Доказательство теоремы 3.2 аналогично доказательству теоремы 3.1. Теорема 3.3. 1. Пусть (i) Если то оператор ограничен в L, и , где- постоянные из (1.2). (ii) Если то оператор ограничен в L, и , где- постоянные из (1.2). (iii) Если- постоянные из (1.2), то оператор Jωα ограничен в и , где 2. Пусть Операторы дробного интегрирования ограничены из L тогда и только тогда, когда Доказательство. Первое утверждение вытекает из теоремы 3.1. Далее, операторы связаны с операторами Римана-Лиувилля равенствами (3.5) где (Qϕ)(x) = ϕ(ex) = ϕ(ex1,...,exn), v = lnω. В силу связи (3.5) второе утверждение теоремы следует из известной теоремы Харди-Литтлвуда для обычного дробного интегрирования по Rn (см. [6, c. 345]). Теорема 3.4. Пусть (i) Если Reμi - постоянные из (1.2), то оператор, и , где (ii) Если Re, где- постоянные из (1.2), то оператор Jω,μα,s;τ ограничен в Lpγ, и , где 0 < c1 (τ,μ) < 1. Доказательство теоремы 3.4 аналогично доказательству теорем для одномерного случая из [21]. Теорема 3.5. Операторы ограничены в пространстве L при , , где 0 < ci (τi) < 1 при где 0 < c1 (τ) < 1 при . Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теорем для одномерного случая из [21]. Рассмотрим одномерные левосторонние и правосторонние дробные интегралы типа Адамара , (3.6) , где (3.7) , Теорема 3.6. Пусть. (i) Если Reμ > -γ∗, то оператор ограничен из L и , (3.8) где при , при при p = q, r = 1. (ii) Если Reμ > γ∗, то оператор ограничен из L и , где при , при 1 = p < q, r = q, C1- (μ,γ∗) = (Reμ - γ∗)-α при p = q, r = 1. Доказательство. Прежде всего заметим, что если и из неравенства Гельдера следует, что для всех x ∈ R+ справедливо неравенство . Поэтому в дальнейшем будем считать, что q < ∞. Пусть 1 < p < q, r < q, тогда представим дробные интеграла типа Адамара (3.6) в виде . Применяя к последнему интегралу обобщенное неравенство Гельдера, записанное в виде где , а равенство α1 + α2 + α3 = 1 следует из , получим В силу теоремы Фубини для почти всех функция конечна и интегрируема на (3.9) Далее с учетом свойства (3.7) вычислим . (3.10) Подставляя (3.10) в (3.9), получим (3.8). В случаях p = q, r = 1 и 1 = p < q, r = q доказательство аналогично. Оценка интеграла осуществляется с помощью неравенства Гельдера для двух функций. Аналогично доказывается утверждение (ii). Теорема 3.7. Пусть, (i) Если Re- постоянные из (1.2), то оператор ограничен из , и где при 1 < pi < qi, при (ii) Если Re где -постоянные из (1.2), то оператор ограничен из Lи , где при , ri < qi или при 1 = pi < qi, ri = qi, i = 1,n, C1- (μi,γi∗) = (Reμi - γi∗)-αi при pi = qi, ri = 1, i = 1,n. Доказательство. После последовательного применения обобщенного неравенства Минковского (см. [2, с. 23, формула (13)]) и n-кратного применения неравенства (3.8), получим обобщение неравенства (3.8) на многомерный случай. Теорема 3.8. Пусть , (i) Если Re-постоянные из (1.2), то оператор ограничен из , и , где при при или при pi = qi, ri = 1, i = 1,n. (ii) Если Re где-постоянные из (1.2), то оператор ограничен из Lpγ в Lqν, и , где при 1 < pi < qi, ri < qi или - - (Reμi - 1 - γi∗)-αi при pi = qi, ri = 1, i = 1,n.