О неравенствах для моментов ветвящихся случайных процессов

Аннотация

Мы рассматриваем ветвящиеся случайные процессы с иммиграцией, начинающиеся со случайного числа элементов. В данной работе даются оценки сверху для моментов таких процессов.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 2. Основные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 3. Предварительные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4. Доказательство основных результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 1. ВВЕДЕНИЕ Пусть {ξk,i,εk : k,i ∈ N}- независимые, неотрицательные, целые случайные величины такие, что {ξk,i : k,i ∈ N}, а величины {εk : k ∈ N} одинаково распределены. Рассмотрим ветвящиеся процессы с иммиграцией , которые определены следующим рекуррентным соотношением: , (1.1) где η - неотрицательная целая случайная величина, не зависящая от Последовательность {Xk : k ∈ Z+} называется ветвящимся процессом с иммиграцией. Величина Xk интерпретируется как размер k-го поколения популяции, в которой начальные моменты- это η частиц, где ξk,j - число потомков j-й особи в (k - 1)-м поколении, а εk - число иммигрантов, дающих вклад в k-е поколение. В случае, когда η ≡ 1 и εk ≡ 0, процесс (1.1) является хорошо известным и тщательно исследованным процессом Галтона-Ватсона (см., например, [2, 4, 6]). Обозначим m := Eξ1,1, σ2 := Dξ1,1, γp := Eξ1p,1, θp := E | ξ1,1 - m |p, λ := Eε1, b2 := Dε1, τp := Eεp1, δp := E | ε1 - λ |p, νp := Eηp, s2 := Dη, βp := E|η - Eη|p. Здесь и далее полагаем, что все моменты конечные. Случаи m < 1, m = 1, m > 1 называются субкритическим, критическим и суперкритическим, соответственно. © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2022 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 157 Благодаря практической важности процессов вида (1.1) многие научные работы были посвящены их изучению (см., например, [3]). Ветвящиеся процессы с иммиграцией и их разнообразные обобщения до сих пор представляют большой научный интерес (см., например, недавно опубликованные работы [5, 7]). В работе [5] доказана слабая сходимость агрегации многотипных ветвящихся процессов Гальтона-Ватсона с иммиграцией к стационарному гауссовскому процессу с нулевым средним. В работе [7] получены необходимые и достаточные условия существования моментов стационарного распределения субкритических многотипных процессов Гальтона-Ватсона с иммиграцией. Оценки моментов случайных величин играют важную роль в теории вероятностей. Многие результаты были получены для моментов суммы независимых случайных величин (см. [8, 10]). Однако оценки моментов процессов вида (1.1) были мало изучены. Хорошо известно, что моменты получаются дифференцированием производящей функции EsXn m раз. Однако выражение для m-й производной функции EsXn становится сложным при увеличении числа m. Поэтому важной является оценка сверху моментов. Неравенства для моментов критических и суперкритических процессов Гальтона-Ватсона были впервые даны С.В. Нагаевым (см. [9]). В его работе в основном был использован анализ производящих функций. В настоящей работе предоставляются оценки моментов ветвящихся случайных процессов с иммиграцией. Мы используем вероятностные методы и хорошо применимые известные неравенства для сумм независимых случайных величин. 2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Пусть имеется процесс (1.1). В следующих двух теоремах дадим оценки моментов и оценки центральных моментов процессов Xn. Теорема 2.1. Справедливы следующие неравенства: 1. при ; 2. при ; 3. при ; 4. при p > 1 и 2p-1γp = 1 Теорема 2.2. Справедливы следующие неравенства: 1. при ; 2. при ; 3. при ; 4. при 1 < p 2 и m = 1 ; 5. при - где C(p) - константа, зависящая только от p; 6. при , где C(p) - константа, зависящая только от p. Рассмотрим важный частный случай. Если , тогда мы имеем процесс Гальтона- Ватсона: . (2.1) Воспользуемся обозначениями . Для этого процесса из теорем выше будем иметь следующие результаты. Следствие 2.1. Пусть Zn, n = 0,1,... -процесс, определенный формулой (2.1). Тогда 1. при 0 < p 1 ; 2. при p > 1 . Следствие 2.2. Пусть Zn, n = 0,1,... - процесс, определенный формулой (2.1). Тогда 1. при ; 2. при ; 3. при ; 4. при ; 5. при , где C(p) - константа, зависящая только от p; 6. при , где C(p) - константа, зависящая только от p. 3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Дадим некоторые леммы, используемые для доказательства основных результатов. Введем обозначения f(s) := Esξ1.1, h(s) := Esε1, ϕ(s) := Esη, Hn(s) := EsXn. Лемма 3.1. Справедливо следующее соотношение: , (3.1) где f0(s) = s, fk(s) - k-я итерация функции f(s). Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. При n = 1 имеем , где мы воспользовались независимостью величин η,{ξ1,j,j ∈ N} и ε1. Пусть выражение (3.1) выполнено при n = m. Докажем его для n = m + 1: Это завершает доказательство леммы 3.1. Лемма 3.2. Пусть Xn -ветвящийся случайный процесс с иммиграцией, определенный формулой если = 1; (ii) EXn = ν1 + nλ, если- m = 1; n 1 n 2n λσ2 n n 1 , если = 1; 2 + ν1σ2n + b2n + λσ n(n - 1), если m = 1; (iv) DXn = s 2 (v) cov(Xk,Xn) = m|k-n|DXmin(k,n). Доказательство. Сначала докажем равенство (i). Логарифмируя обе части равенства (3.1), получаем соотношение lnHn(s) = lnϕ(fn(s)) + lnh(fn-1(s)) + ... + lnh(s). Дифференцируя это равенство, получим Учитывая выражения в равенстве (3.2), будем иметь Доказательство пункта (ii) производится аналогично пункту (i). Перейдем к доказательству равенства (iii). Дифференцируя равенство (3.2), получим Учитывая соотношения в последнем равенстве, будем иметь Рассматривая выражения(см. [1]) в последнем равенстве, получим пункт (iii). Доказательство равенства (iv) является аналогичным доказательству пункта (iii). Теперь докажем равенство (v). С этой целью докажем следующее рекуррентное соотношение: (3.3) (3.4) В самом деле, из соотношения (1.1) получаем откуда следует равенство (3.3). Используя равенство (3.3) и свойства условного математического ожидания, получим где Fk - σ-алгебра, порожденная случайными величинами . Из последнего соотношения следует равенство (3.4). В свою очередь, равенство (v) следует из равенства (3.4). Это завершает доказательство леммы 3.2. Теперь дадим некоторые результаты, необходимые для доказательства основных результатов. Следующая лемма является обобщением неравенства фон Бара-Эссеена для случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Лемма 3.3. Пусть Y1,Y2,...,Yn,... - независимые и одинаково распределенные случайные величины, ζ -случайная величина, принимающая неотрицательные целые значения и не зависящая от {Yk,k ∈ N}. Пусть Eζ < ∞,EY1 = 0 и E|Y1|p < ∞ для некоторых 0 < p 2. Тогда (3.5) Доказательство. Из независимости случайных величин ζ и {Yk,k ∈ N}, а также из формулы полной вероятности следует соотношение . (3.6) Для последнего равенства из неравенства фон Бара-Эссеена (см. [10]) имеем Из равенств (3.6) и (3.7) следует соотношение (3.5). Это завершает доказательство леммы 3.3. Лемма 3.4. Пусть Y1,Y2,...,Yn,... - независимые и одинаково распределенные случайные величины, ζ - случайная величина, принимающая целые значения и не зависящая от {Yk,k ∈ N}. Пусть Eζ < ∞,EY1 = 0 и E|Y1|p < ∞ при некотором p 2. Тогда , (3.8) где C(p) - константа, зависящая только от p. Доказательство. Из независимости случайных величин ζ и {Yk,k ∈ N} и формулы полной вероятности имеем . (3.9) Так как величины {Yk,k ∈ N} одинаково распределены, из последнего равенства и из неравенства Марцинкевича-Зигмунда (см. [10]) следует . (3.10) Из равенств (3.9) и (3.10) следует соотношение (3.8). Это завершает доказательство леммы 3.4. Лемма 3.5 (см. [8]). Справедливы следующие равенства: при , при. 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ В этом разделе мы представим доказательства теорем 2.1 и 2.2. Доказательство теоремы 2.1. Рассмотрим сначала случай . Используя первое неравенство леммы 3.5, получим . (4.1) Из равенства (i) леммы 3.2 следует . В случае используя соотношение (4.1) и равенство (ii) леммы 3.2, получаем . Теперь рассмотрим случай . Используя второе неравенство леммы 3.5, получаем . Из последнего неравенства следует, что - Пусть p > 1, 2p-1γp = 1. Используя второе неравенство леммы 3.5, получим и, следовательно, Это завершает доказательство теоремы 2.1. Доказательство теоремы 2.2. Рассмотрим сначала случай . Имеем (4.2) Используем обозначения . Эти обозначения позволяют переписать формулу (4.2) в следующем виде: Dn = mDn-1 + Mn. Из этого равенства следует, что (4.3) Из формулы (4.3) и леммы 3.5 следует, что . (4.4) Первое неравенство теоремы 2.2 следует из формулы (4.4). Случай доказывается аналогично. Теперь рассмотрим случай . Согласно формуле (4.3) и лемме 3.5, имеем Из лемм 3.3 и 3.5 следует . (4.6) Третье неравенство теоремы 2.2 следует из формул (4.5) и (4.6). Случай доказывается аналогично. Остается только рассмотреть случай p > 2. Из лемм 3.4 и 3.5 следует . (4.7) Пятое неравенство теоремы 2.2 следует из формул (4.5), (4.7) и теоремы 2.1. Случай p > 2, m = 1 доказывается аналогично. Это завершает доказательство теоремы 2.2. Авторы выражают искреннюю благодарность рецензенту, чьи комментарии внесли вклад в улучшение статьи.