Локальные и 2-локальные дифференцирования локально простых алгебр Ли

Аннотация

В статье изучаются локальные и 2-локальные дифференцирования классических локально простых алгебр Ли. Доказано, что каждое локальное и 2-локальное дифференцирование классической локально простой алгебры Ли является дифференцированием. Далее показано, что каждое локальное дифференцирование борелевской подалгебры локально простой алгебры Ли является дифференцированием.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2. Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3. Локальные дифференцирования классических локально простых алгебр Ли . . . . . . . 63 4. 2-локальные дифференцирования классических локально простых алгебр Ли . . . . . . 65 5. Локальные дифференцирования на борелевских подалгебрах . . . . . . . . . . . . . . . 65 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1. ВВЕДЕНИЕ Пусть L - алгебра. Линейный оператора D : L → L называется дифференцированием, если D(xy) = D(x)y + xD(y) для всех x,y ∈ L (тождество Лейбница). Каждому элементу a ∈ L соответствует дифференцирование Ra, которое называется внутренним дифференцированием. Понятие локального дифференцирования впервые было введено в 1990 г. Р.В. Кадисоном [16], а также Д.Р. Ларсоном и А.Р. Сурором [17]. Линейный оператор Δ над алгеброй L называется локальным дифференцированием, если для любого x ∈ L существует дифференцирование Dx (зависящее от x) такое, что Δ(x) = Dx(x). Основная задача состоит в том, чтобы получить условия, при которых локальные дифференцирования становятся дифференцированиями и привести примеры алгебр с локальными дифференцированиями, которые не являются дифференцированиями. Р.В. Кадисоном доказано, что каждое непрерывное локальное дифференцирование алгебры фон Неймана M в двойственный банахов M-бимодуль является дифференцированием. В 2001 г. Б.Е. Джонсоном завершено исследование локальных дифференцирований и показано, что каждое локальное дифференцирование, отображающее C∗-алгебру A в банахов A-бимодуль, является дифференцированием [15]. Исследование локальных дифференцирований алгебр измеримых операторов началось работах в [1, 6] и др. Затем в [5, 12] схожие концепции были рассмотрены для алгебр Ли. В [5] Ш.А. Аюпов и К.К. Кудайбергенов доказали, что каждое локальное дифференцирование полупростой алгебры Ли является дифференцированием и привели примеры нильпотентных конечномерных алгебр Ли с локальными дифференцированиями, которые не являются дифференцированиями. В [2] исследованы локальные дифференцирования разрешимых алгебр Ли и было показано, что каждое локальное © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2022 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 59 дифференцирование разрешимой алгебры Ли идеальным нильрадикалом является дифференцированием. В [3] Ш.А. Аюпов, А.Х. Худайбердиев и В.В. Юсупов доказали, что все локальные и 2локальные дифференцирования разрешимых алгебр Лейбница с идеальными или абелевыми нильрадикалами, чья размерность дополняющего пространства максимальна, являются дифференцированием. Также они показали, что разрешимая алгебра Лейбница с абелевыми нильрадикалами, которые имеют размерность дополняющего пространства 1, содержит локальные дифференцирования, которые не являются дифференцированиями. В 1997 г. П. Шемрл [20] ввел понятие 2-локальных дифференцирований и 2-локальных автоморфизмов на алгебрах. А именно, отображение ∇ : L → L (не обязательно линейное) на алгебре L называется 2-локальным дифференцированием, если для всех пар элементов x,y ∈ L существует дифференцирование Dx,y : L → L такое, что Dx,y(x) = ∇(x) и Dx,y(y) = ∇(y). Понятие 2локального автоморфизма определяется схожим образом. Для данной алгебры L основная задача, связанная с этими понятиями, состоит в том, чтобы доказать, что они автоматически являются дифференцированиями (соответственно, автоморфизмами) или привести примеры локальных и 2-локальных дифференцирований или автоморфизмов на L, которые не являются дифференцированиями или автоморфизмами, соответственно. Решение этой задачи для конечномерных алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики было получено в [4, 8, 12]. А именно, в [8] доказано, что каждое 2-локальное дифференцирование на полупростой алгебре Ли L является дифференцированием и что каждая конечномерная нильпотентная алгебра Ли с размерностью большей, чем 2, содержит 2-локальные дифференцирования, которые не являются дифференцированием. Аналогичные результаты касательно 2-локальных дифференцирований и автоморфизмов на простых алгебрах Лейбница были получены в [7]. Для 2-локальных автоморфизмов З. Чен и В. Ванг в [12] доказали, что если L - простая алгебра Ли типа Al, Dl или Ek (k = 6,7,8) над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, то каждый 2-локальный автоморфизм L является автоморфизмом. Наконец, в [4] Ш.А. Аюпов и К.К. Кудайбергенов обобщили результат, полученный в [12], и доказали, что каждый 2-локальный автоморфизм конечномерной полупростой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики является автоморфизмом. Более того, они показали, что каждая нильпотентная алгебра Ли конечной размерности большей, чем 2, содержит 2-локальные автоморфизмы, которые не являются автоморфизмами. В [10, 11, 22] были изучены 2-локальные дифференцирования бесконечномерных алгебр Ли над полем нулевой характеристики и доказано, что все 2-локальные дифференцирования алгебры Витта являются (глобальными) дифференцированиями и что каждое 2-локальное дифференцирование на алгебре Вирасоро является дифференцированием. В [9] авторы доказали, что каждое 2-локальное дифференцирование обобщенной алгебры Витта Wn(F) над векторным пространством Fn является дифференцированием, где F - поле нулевой характеристики. Ниже мы рассмотрим обобщенные алгебры Витта вида W = W(G,I) над полем F, где I - бесконечное множество индексов, а кроме конечного числа i ∈ I}, и докажем, что все 2-локальные дифференцирования W(G,I) также являются дифференцированиями. Наконец, в [9] показано, что все 2-локальные дифференцирования B(Zn,I), борелевской подалгебры Wn(F), являются дифференцированиями. В [13] Й. Чен, К. Жао и Й. Жао изучили локальные дифференцирования на обобщенных алгебрах Витта. Они доказали, что каждое локальное дифференцирование на алгебрах Витта является дифференцированием и что каждое локальное дифференцирование на нецентрированной обобщенной алгебре Вирасоро высшего ранга является дифференцированием. В настоящей работе изучаются локальные и 2-локальные дифференцирования классических локально простых алгебр Ли и их борелевские подалгебры. В разделе 2 доказывается, что каждое локальное дифференцирование классической локально простой алгебры Ли является дифференцированием. В разделе 3 доказывается, что всякое 2локальное дифференцирование такой алгебры Ли является дифференцированием. В разделе 4 доказывается аналогичный результат для борелевских подалгебр описанных выше алгебр Ли. 2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ В этом разделе дадим необходимые определения и некоторые предварительные результаты. Определение 2.1. Алгебра Ли L над полем K - это векторное пространство на K с билинейным отображением L × L → L, обозначаемым и называемым скобкой L, которое удовлетворяет следующему свойству: [x,x] = 0, ∀x ∈ L, [[x,y],z] + [[y,z],x] + [[z,x],y] = 0,∀x,y,z ∈ L. Алгебра Ли L называется разрешимой, если L(k) = {0} для некоторого целого k, где L(0) = L, . Всякая алгебра Ли L содержит единственный максимальный разрешимый идеал, который называется радикалом L и обозначается через RadL. Нетривиальная алгебра Ли L называется полупростой, если RadL = 0. Это эквивалентно требованию того, что L не имеет ненулевых абелевых идеалов. В алгебре L простой алгеброй Ли называется неабелева алгебра Ли, которая не содержит ненулевых правильных идеалов. Известна следующая теорема для локальных и 2-локальных дифференцирований на полупростых алгебрах Ли. Теорема 2.1 (см. [5]). Пусть L - конечномерная полупростая алгебра Ли. Тогда любое локальное дифференцирование Δ на L является дифференцированием. Теорема 2.2 (см. [8]). Пусть L -конечномерная полупростая алгебра Ли. Тогда всякое 2локальное дифференцирование Δ на L является дифференцированием. Пусть F - алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики, и предположим, что L - конечномерная простая алгебра Ли над F ранга l, H - фиксированная подалгебра Картана алгебры L, R ⊆ H∗ - соответствующая корневая система алгебры L, Π = {α1,...,αl}- фиксированная база R, R+ - множество соответствующих положительных корней относительно Π. Корни в Π называются простыми. Положим . Тогда B называется стандартной борелевской подалгеброй L. Известны следующие теоремы для локальных дифференцирований стандартных борелевских подалгебр. Теорема 2.3 (см. [21]). Пусть F -алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики, L - конечномерная простая алгебра Ли над F, B -стандартная борелевская подалгебра L. Тогда любое локальное дифференцирование Δ на B является дифференцированием. Если A- аддитивная группа в Zn и n > 0, то групповая алгебра FA изоморфна полиномиальной алгебре Лорена над F. Для набора из n элементов J = (j1,...,jn) ∈ Zn запишем . Пусть T - линейная оболочка операторов. Если отображение (∂,J) → ∂(J) : T ⊗ A → F удовлетворяет ∂i(J) = ji, то соответствующая обобщенная алгебра Витта W = Wn(F) может быть определена алгеброй Ли Der дифференцирования полиномиальной алгебры Лорена над F, состоящей из полиномиальных векторных полей Лорена , где (t1,...,tn) ∈ Fn - канонические координаты в Fn. Алгебра Ли, которая изоморфна алгебре Ли Wn(F) полиномиальных векторных полей Лорена, называется алгеброй Витта над векторным пространством Fn. Алгебра Ли Wn(F) имеет базис {w(a,i) : a ∈ Zn, i ∈ I} такой, что выполняется правило умножения: , (2.1) где Известны следующие теоремы для локальных и 2-локальных дифференцирований бесконечномерных алгебр Ли. Теорема 2.4 (см. [9]). Всякое 2-локальное дифференцирование Δ на Wn(F) является дифференцированием. Теорема 2.5 (см. [13]). Всякое локальное дифференцирование Δ на Wn(F) является дифференцированием. Пусть Z+ - множество положительных целых чисел. Полагая B(Zn,I) = span, мы получаем т. н. стандартную борелевскую подалгебру Wn(F). Теорема 2.6 (см. [9]). Пусть B(Zn,I) - борелевская подалгебра обобщенной алгебры Витта Wn(F) над полем нулевой характеристики. Тогда любое 2-локальное дифференцирование на B(Zn,I) является дифференцированием. Для данного векторного пространства V пусть gl(V ) обозначает алгебру Ли всех линейных эндоморфизмов над V. Представление алгебры Ли L над V является гомоморфизмом алгебры Ли ρ : L → gl(V ). Например, ad : L → gl(L), заданное в виде ad(x)(y) = [x,y] является представлением L на векторном пространстве L, которое называется сопряженным представлением. Если V - конечномерное векторное пространство, тогда представление ρ называется конечномерным. Пусть L- алгебра Ли и ρ : L → gl(V ) - конечномерное представление L. Тогда отображение τ : L × L → F, определенное формулой τ(x,y) = tr(ρ(x)ρ(y)), является симметричной билинейной формой на L, которая называется следом на L относительно ρ, где tr обозначает след линейного оператора. В частности, для V = L и ρ = ad соответствующий след называется формой Киллинга и обозначается. Другое важное значение формы Киллинга состоит в следующем свойстве. Алгебра Ли L полупроста тогда и только тогда, когда ее форма Киллинга не вырождена, т. е. из того, что для всех y ∈ L, следует, что x = 0. Пусть F - поле нулевой характеристики и g - F-алгебра Ли, которая равна прямому произведению простых конечномерных алгебр Ли. Это означает, что g = limgj - прямой предел семейства (gj)j∈J конечномерных простых алгебр Ли gj, которые являются подалгебрами-→ L, и прямой порядок множества индексов J задается неравенством если g. Определение 2.2. Алгебра Ли называется локально конечномерной, или, проще, локально конечной, если каждое ее конечное подмножество порождает конечномерную подалгебру. Произведение матриц xy определено, если по крайней мере один множитель лежит в glJ(F), а другой в MJ(F). В частности, glJ(F) наследует таким образом структуру локальной конечной алгебры Ли посредством формулы [x,y] := xy - yx и slJF := {x ∈ glJ(F) : trx = 0} - гиперплоскостный идеал, который является простой алгеброй Ли. Чтобы определить алгебры Ли oJ,J(F) и+ spJ(F), положим 2J := J∪ -˙ J, где -J обозначает копию J, чьи элементы обозначаются -i,i ∈ J, и рассмотрим 2J × 2J-матрицы . Затем мы определим o и spJ. Пусть J - множество, MJ(F)rc-fin - алгебра Ли J×J-матриц с конечным числом строк и столбцов и 1 = (δij) - единичная матрица [18]. Тогда , Через gl(J,F) обозначим алгебру Ли всех J×J-матриц с конечным большим числом ненулевых элементов, которая натянута на элементарные матрицы J × J. Алгебра Ли g = gl(J,F) локально конечна и, очевидно, все ее подалгебры также локально конечны. Это дает нам следующее разложение по корням g относительно подалгебры h = spanF{Ejj : j ∈ J} диагональных матриц. Если мы положим, тогда корневая система будет и корневые пространства gεj-εk = FEjk. Мы говорим, что алгебра Ли g имеет разложение по корням относительно абелевой подалгебры h, если g , α∈R где gα = {x ∈ g : (∀h ∈ h)[h,x] = α(h)x} и R := - соответствующая корневая система и h∗ - пространство всех линейных функционалов на h. В этом случае h называется подалгеброй разбиения Картана g, и g относительно пары (g,h) называется разделенной алгеброй Ли. Пусть тогда g = limgi - прямой предел семейства (gi)i∈I конечномерных простых алгебр Ли gi. Через RI обозначим систему корней алгебры-→ gI (см. [19]). 3. ЛОКАЛЬНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ЛОКАЛЬНО ПРОСТЫХ АЛГЕБР ЛИ Основные результаты этого раздела заключены следующей теореме. Теорема 3.1. Пусть g -локально простая алгебра Ли над полем нулевой характеристики. Тогда всякое локальное дифференцирование на g является дифференцированием. Для доказательства этой теоремы нам потребуется несколько лемм. Для конечного подмножества I ⊂ J определим проекцию pI : g → gI следующим образом: , где . α∈R Лемма 3.1. pI([x,y]) = [pI(x),pI(y)] для всех x,y ∈ g. Доказательство. Возьмем элементыиз g, где h1, h2 ∈ h и α∈R β∈R . Достаточно рассмотреть следующие три случая. Случай 1. Пусть x = h1 ∈ h и y = h2 ∈ h. Тогда pI([x,y]) = pI(0) = [pI(x),pI(y)]. Случай 2. Пусть . Тогда β∈R . (3.1) С другой стороны, . (3.2) Сравнивая (3.1) и (3.2), мы получаем, что pI([x,y]) = [pI(x),pI(y)]. Случай 3. Пусть . Тогда α∈R β∈R С другой стороны, . (3.4) Далее нам нужно рассмотреть следующие частные случаи. Случай 3.1. Пусть α + β ∈ RI. Сравнивая (3.3) и (3.4), мы получаем, что . Случай 3.2. Пусть . Сравнивая (3.3) и (3.4), мы получаем, что . Доказательство завершено. Лемма 3.2. Пусть Δ - локальное дифференцирование на g. Тогда отображение ΔI на gI, определенное формулой ΔI(x) = pI(Δ(x)), x ∈ gI, является локальным дифференцированием. Доказательство. Пусть x ∈ gI - произвольный элемент. Возьмем элемент ax ∈ g такой, что Δ(x) = [ax,x]. Тогда по лемме 3.1 ΔI(x) = pI(Δ(x)) = pI([ax,x]) = [pI(ax),pI(x)] = [pI(ax),x]. Доказательство теоремы 3.1. Покажем, что любое локальное дифференцирование Δ на g является дифференцированием. Возьмем конечное подмножество I в J такое, что x, y, Δ(x), Δ(y), Δ([x,y]) ∈ gI. Тогда ΔI - локальное дифференцирование gI. Так как gI - конечномерная простая алгебра Ли, по теореме 2.1 ΔI является дифференцированием. Следовательно, Δ([x,y]) = ΔI([x,y]) = [ΔI(x),y] + [x,ΔI(y)] = [Δ(x),y] + [x,Δ(y)]. Это означает, что Δ является дифференцированием. 4. 2-ЛОКАЛЬНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ЛОКАЛЬНО ПРОСТЫХ АЛГЕБР ЛИ В этом разделе мы изучим 2-локальные дифференцирования классических локально простых алгебр Ли. Представим следующие результаты из [18]. Предложение 4.1. Каждая инвариантная симметрическая билинейная форма k на g инвариантна относительно всех дифференцирований g. Предложение 4.2. Существует невырожденная инвариантная симметрическая билинейная форма k : g × g → F. Основные результаты этого раздела содержатся в следующей теореме. Теорема 4.1. Пусть g - локально простая алгебра Ли над полем нулевой характеристики. Тогда всякое 2-локальное дифференцирование на g является дифференцированием. Поскольку каждое дифференцирование на локально простой алгебре Ли g внутреннее, для алгебр, описанных выше, определение 2-локального дифференцирования переписывается следующим образом. Отображение ∇ : g → g называется 2-локальным дифференцированием на g, если для любых двух элементов x,y ∈ g существует элемент ax,y ∈ g (зависящий от x,y) такой, что ∇(x) = [ax,y,x], ∇(y) = [ax,y,y]. Лемма 4.1. Пусть ∇- 2-локальное дифференцирование локально простой алгебры Ли g. Тогда ∇ линейно. Доказательство. Пусть x,y,z ∈ g - произвольные элементы. Учитывая adg-инвариантность формы Киллинга, мы получаем κ(∇(x + y),z) = κ(Dx+y,z(x + y),z) = -κ(x + y,Dx+y,z(z)) = -κ(x + y,∇(z)) = = -κ(x,∇(z)) - κ(y,∇(z)) = -κ(x,Dx,z(z)) - k(y,Dy,z(z)) = = κ(Dx,z(x),z) + κ(Dy,z,z) = κ(∇(x),z) + κ(∇(y),z) = κ(∇(x) + ∇(y),z), т. е. κ(∇(x + y),z) = κ(∇(x) + ∇(y),z). Поскольку форма Киллинга невырождена, последнее равенство означает, что ∇(x + y) = ∇(x) + ∇(y) при x,y ∈ g. Далее, ∇(λx) = Dλx,x(λx) = λDλx,x(x) = λ∇(x). Таким образом, ∇ линейно. Доказательство теоремы 4.1. Пусть ∇ - 2-локальное дифференцирование на g. В силу леммы 4.1 ∇ - локальное дифференцирование. По теореме 3.1 ∇ является дифференцированием. 5. ЛОКАЛЬНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ НА БОРЕЛЕВСКИХ ПОДАЛГЕБРАХ В этом разделе мы изучим локальные дифференцирования на борелевских подалгебрах. Теорема 5.1. Пусть b -разделенная борелевская подалгебра. Тогда каждое локальное дифференцирование на b является дифференцированием. Разделенная борелевская подалгебра множества может быть определена как прямой предел b = limbn борелевских подалгебр bn ⊂ sl(n). Поскольку основная разделенная --n→2 борелевская подалгебра множества sl(∞) сопряжена относительно Aut(sl(∞)) с разделенной борелевской алгеброй, содержащей фиксированную разделенную подалгебру Картана h ⊂ sl(∞), мы рассмотрим только разделенные борелевские алгебры, содержащие h. Остальные борелевские подалгебры заданы следующей конструкцией. Мы говорим, что подмножество R+ ⊂ R - подмножество положительных корней, если: 1. для любого корня α ∈ R существуют единственные α и -α в R+; 2. α, β ∈ R+ и α + β ∈ R влекут α + β ∈ R+. Каждому положительному подмножеству корней R+ поставим в соответствие борелевскую подалгебру b множества sl(∞) и таким образом получим все разделенные борелевские подалгебры sl(∞), содержащие h (см. [14]). Для конечного подмножества I ⊂ J определим проекцию pI : b → bI следующим образом: , где . Лемма 5.1. Имеем pI([x,y]) = [pI(x),pI(y)] для всех x,y ∈ b. Доказательство. Возьмем из g, где h1, h2 ∈ h и . Достаточно рассмотреть следующие три случая. Случай 1. Пусть x = h1 ∈ h и y = h2 ∈ h. Тогда pI([x,y]) = pI(0) = [pI(x),pI(y)]. Случай 2. Пусть . Тогда (5.1) С другой стороны, . (5.2) Сравнивая (5.1) и (5.2), мы получим, что pI([x,y]) = [pI(x),pI(y)]. Случай 3. Пусть . Тогда . (5.3) С другой стороны, (5.4) Далее нам нужно рассмотреть следующие частные случаи. Случай 3.1. Пусть α + β ∈ R+I . Сравнивая (5.3) и (5.4), мы получим, что . Случай 3.2. Пусть . Сравнивая (5.3) и (5.4), мы получим, что . Доказательство завершено. Пусть Δ - локальное дифференцирование. Определим отображение ΔI : bI → bI формулой ΔI(x) = pI(Δ(x)), x ∈ bI. Лемма 5.2. Пусть Δ - локальное дифференцирование на bI. Тогда ΔI является дифференцированием. Доказательство. Пусть x ∈ bI - произвольный элемент. Возьмем элемент ax ∈ b такой, что Δ(x) = [ax,x]. Тогда, по лемме 5.1 ΔI(x) = pI(Δ(x)) = pI([ax,x]) = [pI(ax),pI(x)] = [pI(ax),x]. Доказательство теоремы 5.1. Покажем, что любое локальное дифференцирование Δ на b является дифференцированием. Возьмем конечное подмножество I в J такое, что x, y, Δ(x), Δ(y), Δ([x,y]) ∈ bI. Тогда ΔI - локальное дифференцирование на bI. Поскольку bI - стандартная борелевская подалгебра, по теореме 2.3 ΔI является дифференцированием. Следовательно, Δ([x,y]) = ΔI([x,y]) = [ΔI(x),y] + [x,ΔI(y)] = [Δ(x),y] + [x,Δ(y)]. Это означает, что Δ является дифференцированием.