Многочлены на регулярных параболических многообразиях

Аннотация

В данной работе мы рассматриваем регулярное параболическое многообразие X и многочлены на нем. Доказаны некоторые свойства регулярных параболических многообразий и описанных многочленов на дополнениях к алгеброидным множествам Вейерштрасса.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2. Предварительные результаты и свойства параболических многообразий . . . . . . . . . 42 3. Многочлены на параболических многообразиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4. Полнота алгеброидного множества Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1. ВВЕДЕНИЕ Понятие «параболичности» введено в совместной работе П. Гриффитса, Дж. Кинга [10] и в работах В. Столла [17, 18], где параболические многообразия применялись к теории распределения значений Неванлинны в высших измерениях. Эти исследования в основном были сосредоточены на аффинных алгебраических подмногообразиях комплексных пространств. Этот тип многообразий был назван параболическим. В работе [2] А. Садуллаевым была изучена теория Неванлинны для отображения на параболическом многообразии. В качестве дальнейшего развития параболических многообразий Штейна можно указать исследования А. Зариахи [20], А. Айтуна, Дж. Крон, Т. Терзиоглу [4], Дж.П. Демайлли [8], Р.Л. Фут [9], А. Айтуна и А. Садуллаева [5, 6], М. Калка, Г. Патрицио [11], А.С. Снабьярнарсон [16]. В данной работе мы используем следующие понятия (см. [5, 6]). Определение 1.1. Многообразие Штейна X называется параболическим, если оно не обладает отличными от константы ограниченными сверху плюрисубгармоническими функциями. Определение 1.2. Многообразие Штейна X называется S-параболическим, если существуют специальные плюрисубгармонические сюръективные функции ρ(z) ∈ psh(X), максимальные вне компактного подмножества X. Кроме того, если ρ(z) можно выбрать непрерывным, то будем говорить, что X является S∗-параболическим. Известно, что для открытых римановых поверхностей понятия параболичности, S-параболичности и S∗-параболичности совпадают. При dimX > 1 этот вопрос остается открытым. Пусть X - S-параболическое многообразие, а ρ(z) - специальная сюръективная функция. Определение 1.3. Если для функции f(z) ∈ O(X) существуют положительные числа c и d такие, что для каждого z ∈ X выполняется неравенство (1.1) © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2022 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 41 где ρ+ (z) = max{0, ρ(z)}, то функция f(z) называется ρ-многочленом на X. Минимальное целочисленное значение d, которое удовлетворяет (1.1), называется степенью полинома (как показывают примеры, в общем случае минимальное значение d может быть нецелым). Для каждого d > 0 обозначим через множество всех ρ-полиномов степени меньше или равной d, а через - множество всех ρ-полиномов на X. В работе А. Айтуна и А. Садуллаева [6] (см. также [17]) было доказано, что векторное пространство для S∗параболического многообразия конечномерно и с оценкой сверху: dim. Класс полиномов на произвольных параболических многообразиях может быть очень бедным, даже пустым, Pρd(X) = {const}. Следующая теорема помогает построить S∗-параболическое многообразие без нетривиальных полиномов (см. [6]). Теорема 1.1. Существуют полярный компакт K ⊂ C и субгармоническая функция u(z) на комплексной плоскости C, гармоническая в C\K, такие, что u|K = -∞ и . (1.2) Пример 1.1. Рассмотрим многообразие X = C¯\K, где K - компакт, как в теореме выше. В качестве специальной сюръективной функции положим ρ(z) = -u(z). Тогда ρ является гармоническим на X\{∞}, ρ(∞) = -∞, и ρ(z) → ∞ при z → K. Следовательно, (X,ρ) является S∗-параболическим. Многочлены на X - это функции f ∈ O(X), для которых . Доказано, что такого рода функции тривиальны, т. е. f = const. Отсюда следует, что на X нет нетривиальных многочленов. Пример 1.2. Алгебраическое множество В этом случае по известной теореме В. Рудина [14], можно считать, что (после соответствующего преобразования), где C,k - константы. Тогда, если мы положим , то сужение ρ|A может быть специальной сюръективной функцией для A. Ясно, что полиномы на A являются ограничениями полиномов . Следовательно, плотно в O(A). В этой статье мы сосредоточимся на специальном классе параболических многообразий, которые мы называем регулярными. Определение 1.4 (А.Айтуна, А. Садуллаев, [6]). S-параболическое многообразие X называется регулярным в случае, если пространство всех ρ-многочленов Pρ(X) плотно в O(X). В данной работе мы рассматриваем свойства регулярных параболических многообразий, в частности, изучаем дополнения к алгеброидным множествам на комплексном пространстве. В разделах 1 и 2 мы делаем обзор свойств параболических многообразий и многочленов на параболических многообразиях. Основные результаты статьи приведены в разделах 3 и 4. В разделе 3 доказана регулярная параболичность декартовых произведений регулярных параболических многообразий Штейна. В разделе 4 мы рассматриваем дополнения алгеброидных множеств Вейерштрасса и многочлены на этих многообразиях. Благодарности. Автор выражает благодарность профессорам А. Айтуна и А. Садуллаеву за неоднократное обсуждение результатов и полезные комментарии. 2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И СВОЙСТВА ПАРАБОЛИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ Следующие свойства параболических многообразий показывают, что мы можем конструировать широкие классы параболических многообразий помимо аффинно-алгебраических многообразий. Теорема 2.1 (В. Столл, [17, теорема 10.12, с. 82]). Некомпактная риманова поверхность X является S∗-параболической тогда и только тогда, когда каждая ограниченная (сверху) субгармоническая функция, определенная на X, сводится к константе. Теорема 2.2 (В. Столл, [17, теорема 10.13, с. 82]). Пусть (X1,ρ1) и (X2,ρ2) являются S∗параболическими многообразиями размерностей n и m, соответственно. Определим многообразие M = X1 × X2 размерности k = n + m и проекции π1 : M → X1, π2 : M → X2. Тогда M = X1 ×2X22 является S∗-параболическим со специальной сюръективной функцией ρ = ln(e2ρ1◦π1 + e2ρ ◦π ). Отметим, что в качестве специальной сюръективной функции на M = X1 × X2 мы можем рассматривать ρ = max{ρ1 ◦ π1,ρ2 ◦ π2}. Как показано в [5], S∗-параболические многообразия являются уточненной категорией многообразий Штейна в смысле пространств Фреше аналитических функций, заданных на них. Градуированное пространство Фреше- это набор , где Y - пространство Фреше и фиксированная система полунорм на Y, определяющая топологию. Непрерывный линейный оператор T между двумя градуированными пространствами Фреше называется ручным, если: . Два градуированных пространства Фреше называются ручно изоморфными, если существует взаимно однозначный ручной линейный оператор из одного в другое, обратный которому также ручной. На многообразии Штейна X каждое исчерпание голоморфных выпуклых компактов таких, что Ks ⊂⊂ intKs+1, s = 1,2,3,... , индуцирует градуировку, где - нормы Чебышева на компактах Ks. Теорема 2.3 (А. Айтуна, А. Садуллаев [5]). Многообразие Штейна X размерности n является S∗-параболическим тогда и только тогда, когда существует исчерпание многообразия X такое, что градуированные пространства ручно изоморфны, где Этот результат в некотором смысле показывает сходство пространства аналитических функций на S∗-параболических многообразиях и пространства аналитических функций на комплексных евклидовых пространствах. В [5] получен критерий параболичности в терминах известной P-меры. Каждое многообразие Штейна можно должным образом вложить в комплексное пространство C2n+1, где n = dimX. Пусть w ∈ C2n+1 и σ(z) - ограничение ln|w| на X. Тогда псевдошары BR = {z ∈ X : σ(z) < lnR} ⊂⊂ X. Без ограничения общности считаем, что 1 . Как обычно, определим известную P-меру компакта B¯1 относительно области BR: . Пусть Теорема 2.4 (А. Айтуна, А. Садуллаев). Многообразие Штейна X является параболическим тогда и только тогда, когда ω(z,B¯1) ≡ -1. Установлена связь параболичности многообразий Штейна с некоторыми линейными топологическими свойствами пространств Фреше аналитических функций на X. Пусть O(X) - пространство аналитических функций на X. Топология на O(X) - это топология равномерной сходимости на компактных подмножествах X. Эта топология делает O(X) ядерным пространством Фреше. Пространства Фреше X обладают свойством ДН (доминируемой нормы) Фогта в случае, если для системы полунорм, порождающих топологию из X, выполнено Следующий результат принадлежит А. Айтуна [4]. Теорема 2.5. Для n-мерного многообразия Штейна X следующие условия эквивалентны: • X является параболическим; • O(X) обладает свойством ДН; • O(X) изоморфно как пространство Фреше к O(Cn). Другая характеристическая теорема параболических многообразий в терминах операторов продолжения доказана Д. Фогтом (см. [19]). Здесь мы приводим этот результат в удобной (в смысле нашей терминологии) интерпретации. Многообразие Штейна является параболическим тогда и только тогда, когда всякий раз, когда оно вкладывается в многообразие Штейна как замкнутое подмногообразие, оно допускает непрерывный линейный оператор продолжения. 3. МНОГОЧЛЕНЫ НА ПАРАБОЛИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ В этом разделе рассмотрены некоторые свойства регулярных параболических многообразий и многочленов. Пусть X - S-параболическое многообразие и ρ(z) - специальная сюръективная функция psh. Через psh(X) обозначим пространство всех плюрисубгармонических функций на X. Рассмотрим класс функций u ∈ psh(X), удовлетворяющих условию с некоторой константой cu, зависящей от функции u. Класс всех таких функций обозначим через Aρ(X). Этот класс называется классом Лелонга плюрисубгармонических функций. На компакте E ⊂⊂ X определим функцию . Верхняя регуляризация называется верхней ρ-функцией Грина компакта E. Заметим, что для псевдошара функция Грина равняется Vρ(z,B¯r) = max{ρ(z) - lnr, 0}. (3.1) Для функции Грина либо Vρ ∈ psh(X), либо Vρ ≡ +∞. Более того, множество E ⊂ X плюриполярно тогда и только тогда, когда. Если ln называется полиномиальной. При этом [mind] есть degf. Для каждого многочлена и для произвольного компакта E ⊂ X выполнено неравенство Бернштейна-Уолша (3.2) где - норма Чебышева. Действительно, если мы рассмотрим функцию, тогда u ∈ Aρ(X), так как и. Следовательно,. Следующая теорема является аналогом теоремы Столла 2.2 для регулярных параболических многообразий. Теорема 3.1. Пусть (X1,ρ1) и (X2,ρ2) - регулярные параболические многообразия размерности n и m, соответственно. Определим многообразие X = X1 × X2 размерности k = n + m и проекции π1 : M → X1, π2 : M → X2. Тогда X = X1 × X21- регулярное параболическое1 2 2 многообразие со специальной сюръективной функцией ρ = ln(e2ρ ◦π + e2ρ ◦π ). Следствие 3.1. Пусть (X1,ρ1), (X2,ρ2), (Xk,ρk) - регулярные параболические многообразия с размерностями m1,m2,...,mk. Определим многообразие X = X1 ×X2 ×...×Xk размерности n = m1 + m2 + ... + mk и проекции π1 : M → X1, π2 : M → X2, πk : M → Xk. Тогда X - регулярное параболическое многообразие со специальной сюръективной функцией ρ = ln(e2ρ1◦π1 + e2ρ2◦π2 + ... + e2ρk◦πk). Доказательство теоремы 3.1. Пусть (X1,ρ1 (z)), (X2,ρ2 (w)) - регулярные параболические многообразия размерности n и m, соответственно. Параболичность многообразия X = X1 × X2 со специальной сюръективной функцией следует из теоремы 2.2. Рассмотрим многочлены на X = X1 × X2 и докажем, что всякая аналитическая функция может быть приближена ρ-многочленами. Сначала мы выразим ρ-многочлены через ρ1и ρ2-многочлены. Пусть f(z,w) ∈ O(X) является ρ-многочленом степени d > 0, т. е. удовлетворяет условию · Таким образом, если мы зафиксируем z ∈ X1, то f(z,w) - ρ2-многочлен на X2, и обратно, для всякой фиксированной w ∈ X2 функция f(z,w) - ρ1-многочлен на X1. Так как векторное пространство конечномерно, существует линейно независимые ρ2-многочлены Q1(w),Q2(w),... ,Qs(w) такие, что f(z,w) = c1(z) · Q1(w) + c2(z) · Q2(w) + ... + cs(z)Qs(w). (3.3) Покажем, что коэффициенты cj(z) выражения (3.3) являются ρ1-многочленами на X1. Поскольку det(Qj(w))j=1,s ≡ 0, существуют точки w1,w2,...,ws ∈ X2 такие, что . k=1,s Следовательно, система f(z,w1) = c1(z) · Q1(w1) + c2(z) · Q2(w1) + ... + cs(z)Qs(w1), f(z,w2) = c1(z) · Q1(w2) + c2(z) · Q2(w2) + ... + cs(z)Qs(w2), (3.4) ... f(z,ws) = c1(z) · Q1(ws) + c2(z) · Q2(ws) + ... + cs(z)Qs(ws) имеет единственное решение {c1 (z),c2 (z),...,cs (z)} ⊂ O (X). Коэффициенты cj(z) представляют собой линейную комбинацию ρ1-многочленов f(z,w1), f(z,w2),...,f(z,ws), поэтому cj(z) являются ρ1-многочленами. Следовательно, каждый ρ-многочлен на X = X1 × X2 допускает конечное разложение по многочленам на X1 и X2: f(z,w) = P1(z) · Q1(w) + P2(z) · Q2(w) + ... + Ps(z)Qs(w). (3.5) Теперь покажем, что каждая аналитическая функция на X может быть приближена ρ-многочленами на компактных подмножествах X. Доказательство проведем в три этапа. Этап 1. Пусть функция f(z,w) ∈ O(X) - ρ2-многочлен относительно w на X2 для каждого фиксированного z ∈ X1. В этом случае мы имеем выражение f(z,w) = c1(z) · Q1(w) + c2(z) · Q2(w) + ... + cs(z)Qs(w), где коэффициенты cj(z) - аналитические на X1. Таким образом, если мы зафиксируем компакт K = K1 × K2 ⊂ X и положим , то для любого ε > 0 существуют ρ1-многочлены Pj(z) такие, что . Следовательно, - · · · т. е. каждый квазиполином на X может быть приближен ρ-полиномами. Этап 2. Пусть (Y, ρ(ξ)) - регулярное параболическое многообразие. Так как размерность пространства конечна, dim, оно имеет конечный базис. Отсюда следует, что пространство Pρ(Y ) всех многочленов сепарабельно и имеет счетную всюду плотную в Pρ(Y ) систему {qj (ξ)}j=1,2,... ⊂ Pρ(Y ). Предположим, что . Зафиксируем компакт K ⊂ Y и псевдошар B ⊃ K. Возьмем замыкание O (Y ) L2 (∂B) по норме . Так как (Y, ρ(ξ)) регулярно, замыкание системы {qj (ξ)}j=1,2,... совпадает с O (Y ). Ортонормируем систему {qj (ξ)}j=1,2,... в L2 (∂B): Qj (ξ) = aj1q1 (ξ) + aj2q2 (ξ) + ... + ajjqj (ξ), . Тогда произвольное f (ξ) ∈ O (Y ) может быть выражено (в L2 (∂B)) следующим образом: (3.6) Ряд в (3.6) сходится в L2 (∂B), следовательно, он равномерно сходится в B. В частности, он равномерно сходится на K ⊂ B. Более того, выполняется равенство Парсеваля . (3.7) Этап 3. Зафиксируем компакт K = K1 ×K2 ⊂ X1 ×X2 и псевдошары B1 ⊃ K1, B2 ⊃ K2. Составим также две полиномиальные системы {Pk (z)}k=1,2,... и {Qj (w)}j=1,2,... в L2 (∂B1) и L2 (∂B2), соответственно. Поскольку (X2,ρ2 (w)) регулярно, для любого фиксированного z ∈ X1 функция f (z, w) может быть выражена как (3.8) Из (3.7) следует, что cj (z) ∈ O (X), j = 1,2,... В силу этапа 1 псевдомногочлен равномерно приближается многочленами P (z,w) ∈ Pρ(X) на каждом компакте F ⊂ X, в частности, на K = K1 × K2. С другой стороны, , и при N → ∞ сумма стремится к нулю для любого фиксированного z ∈ ∂B1, а по теореме Леви . Это означает, что при N → ∞ сумма сходится к f (z,w) в пространстве L2 (∂B1) × L2 (∂B2). Тогда эта сумма равномерно сходится на каждом компакте в B1 × B2, в частности, на K = K1 × K2 ⊂ X1 × X2. Теорема доказана. 4. ПОЛНОТА АЛГЕБРОИДНОГО МНОЖЕСТВА ВЕЙЕРШТРАССА В этом разделе мы обсудим важный пример параболических многообразий и многочленов на этих многообразиях. 4.1. Пусть в комплексном пространстве Cn задано полиномиальное множество Вейерштрасса , где - целые функции переменной. Тогда X = Cn\A - S∗-параболическое с сюръективной функцией . Очевидно, что ρ(z) ∈ psh(X) и достигает максимума вне конечного множества . Остается доказать, что эта функция сюръективна на X, т. е. мы должны показать, что Er = {ρ(z) < r} ⊂⊂ X, ∀r ∈ R. (4.1) Действительно, если F(z) = 0, то ρ(z) = +∞, так что ρ(z)|A = +∞. Когда все коэффициенты являются константами, (4.1) тривиально. Поэтому предположим, что хотя бы одна из функцийне является константой. Тогда при r → +∞. При имеем , где C = const и αm(r) → 0 при r → +∞. Если мы положим , то получим, что ρ|∂Ur → +∞ при r → +∞. Теперь рассмотрим множество Bc = {ρ(z) < c}, где c - константа. Это множество открыто, и если выбрать r достаточно большим, выполняются следующие неравенства: Тогда Bc ⊂⊂ Ur, так как Bc не имеет компонент на X\Ur, поскольку ρ(z) достигает максимума вне конечного множества. Изучим структуру многочленов на X. Начнем со следующего интересного примера, предложенного А. Айтуной. Пример 4.1. Если F : C2 → C определена как F(z) = z2 - ez1, тогда f (z) = z2 не является многочленом на X. Действительно, предположим, что f (z) = z2 является многочленом, т. е. существуют константы d,c такие, что В частности, если z = (ln(k),k + 1) для некоторого k ∈ N, будем иметь , что невозможно. Хотя фукция f (z) = z2 - не многочлен, она может быть приближена многочленами. Основной результат статьи представлен в виде следующей теоремы. Теорема 4.1. Пусть в комплексном пространстве Cn задано алгеброидное множество Вейерштрасса , где все коэффициенты fj(`z), j = 0,1,2,... ,m - 1, - целые функции переменной (z1,z2,...,zn-1) ∈ Cn-1 и хотя бы один из них не является многочленом. Если X = Cn\A - S∗-параболическое многообразие Штейна со специальной сюръективной функцией ρ(z) = , то функция f ∈ O(X) - ρ-многочлен степени d тогда и только тогда, когда она допускает конечное разложение , (4.2) где- обыкновенные полиномы в Cn-1 степени (d - k) и (d - k - 1), соответственно. 4.2. В доказательстве теоремы 4.1 мы часто используем разложение Якоби-Хартогса по секциональным лемнискатам. Напомним некоторые результаты из теории рядов Якоби-Хартогса (подробнее см. [3]. Нам будет удобно использовать переменные [3] из разложения Якоби-Хартогса для изучения рядов рациональных функций). Пусть Q(z) - рациональная функция C, Q(∞) = ∞. Через GR обозначим объединение нескольких связных компонент открытого множества {z ∈ C : |Q(z)| < R} в комплексной плоскости, которое называется рациональной лемнискатой. Если функция f(z) голоморфна в окрестности, тогда функция голоморфна в области GR × {|w| < R}. Согласно интегральной формуле Коши, F(z,Q(z)) ≡ f(z), z ∈ GR. Разложим F(z,w) в ряд Хартогса по переменной w: . (4.3) Если мы положим w = Q(z), то , (4.4) а ряд (4.3) называется рядом Якоби-Хартогса функции f(z). Коэффициенты в (4.4) могут быть определены по формуле . (4.5) Действительно, . Таким образом, . Это доказывает формулу (4.5). По интегральной формуле Коши контур ∂GR может быть заменен любым контуром Если мы рассмотрим рациональную функцию , где pm(z), qm(z) - полиномы ), то в силу (4.5) Следовательно, коэффициенты также являются рациональными функциями и deg ; т. е. ck (z)qm (z) - полином по zn степени deg = (m - 1). Если Q(z) = P (z), то Лемма 4.1. Для любого монического многочлена P(z) на комплексной плоскости выполняется неравенство . Доказательство. Пусть P (z) = zm + am-1zm-1 + ... + a1z + a0 - монический многочлен. По разложению в ряд Тейлора получим и рассмотрим интеграл . Разделим интеграл на две части: . В работе В.И. Данченко [1] доказана следующая оценка длины лемнискат: Таким образом, получаем . Теперь мы используем следующую теорему Померенко [12] для оценки производной многочлена Pm (ξ), m = degPm: Пусть E -связное и замкнутое множество с положительной гармонической емкостью capE > 0. Если на E выполняется неравенство , тогда для всех z ∈ E верна оценка . Последовательно используя эту оценку для производных полиномиальных лемнискат G¯R = и учитывая равенство cap(GR) = m√R, получаем где L(m,j) j. Применяя оценки производных к (4.6), мы завершаем доказательство. Теорема 4.2 (см. [3]). Область сходимости ряда (4.4) является лемнискатой {|g(z)| < R}, где R определено формулой , где E -любое фиксированное неполярное множество, отделенное от множества полярных точек рациональной функции Q(z). Случай Пусть теперь - произвольная псевдорациональная функция на . Зафиксируем Рассмотрим . Это множество состоит из конечного числа областей. Тогда, если функция голоморфна в области, она может быть разложена в ряд Якоби-Хартогса: , (4.7) где Очевидно, что коэффициенты - рациональные функции по zn, коэффициенты которых голоморфны в D. Теорема 4.3 (см. [3]). Ряд Якоби-Хартогса (4.7) равномерно сходится на компактных подмножествах открытого множества , где-любое фиксированное неплюриполярное множество, и (Заметим, что R(‘z) не зависит от Более того, функция плюрисубгармонична в D, и множество плюриполярно. Прежде чем мы перейдем к доказательству основной теоремы этого раздела, докажем еще одну лемму о свойствах многочленов на рассматриваемых многообразиях. Лемма 4.2. Пусть задано алгеброидное множество Вейерштрасса в комплексном пространстве , где все коэффициенты , - целые функции переменной (z1,z2,...,zn-1) и хотя бы одна из них не является многочленом. Если X = Cn\A - S∗-параболическое многообразие Штейна со специальной сюръективной функцией ρ(z) = тогда каждый многочлен степени s в то же время является ρ-многочленом степени s на X = Cn\A и произведение q -многочлен вида является ρ-многочленом степени deg Доказательство. Неравенства deg и deg тривиальны. Достаточно показать, что deg Предположим противное, т. е. что выполняется неравенство deg для достаточно малого действительного числа ε > 0. Тогда выполняется неравенство Перепишем многочлен в виде суммы однородных многочленов: . Так как deg и, следовательно, существует w = (w1,w2,...,wn-1) ∈ . Рассмотрим комплексную прямую ∈ и ограничение g(λ Если мы положим тогда для достаточно большого числа тогда мы получим , и , Последнее неравенство противоречит произвольности R. Таким образом, наше предположение неверно. Лемма 4.2 доказана. Доказательство теоремы 4.1. I. Достаточность. Пусть задана функция вида , где - полиномы в степени deg. Тогда мы оцениваем слагаемые и - - · · Следовательно, каждое слагаемое в f - многочлен на X и deg II. Необходимость. Докажем необходимость, т. е. что каждый ρ-многочлен в X допускает конечное разложение (4.1), в несколько этапов. Этап 1. Пусть функция f ∈ O(X) - ρ-многочлен степени d. Рассмотрим следующую рациональную функцию переменной zn: . Зафиксируем и рассмотрим рациональную лемнискату . Граница этой лемнискатысостоит из конечного числа гладких кривых для почти всех значений Разложим функцию в ряд Якоби-Хартогса по степеням рациональной функции: . (4.10) Коэффициенты ряда (4.10) определяются интегральной формулой . (4.11) При интегрирование по в (4.11) может быть заменено на разницу интегралов по полиномиальным лемнискатам: . Заметим, что Соответственно, мы получаем и все коэффициенты ряда (4.10) являются рациональными функциями zn степени 2m - 1 с голоморфными коэффициентами, т. е. deg. Этап 2. Так как-многочлен степени d, то . Из неравенства получаем при и, таким образом, для R > 4 мы получаем оценки ; . Таким образом, в силу леммы 4.1 для всех( мы получаем (4.12) Следовательно, в силу произвольности , т. е. . (4.13) Этап 3. На этом этапе мы покажем, что псевдомногочленыне зависят от zn. Для этого мы воспользуемся леммой Картана об оценке модуля многочленов. Лемма (лемма Картана, см. [13]). Для любого действительного числа ε > 0 и для каждого многочлена p(λ) = (λ - α1)...(λ - αn) существует система дисков на комплексной плоскости с общей суммой радиусов ε такая, что вне этих дисков выполняется неравенство . Следствие. Для любого ε > 0 существует действительное число α(ε) > 0 и радиусы rj > 0 такие, что и для всех многочленов вида p(λ) = 1+ 1λ+...+cnλn существуют диски в диске |ξ| < 1 такие, что вне всех этих дисков выполняется неравенство Предположим, что представляется в виде , где коэффициенты , - целые функции переменной z = (z1,z2,...,zn-1) ∈ Cn-1. Из (4.12) имеем . Мы показали, что эта оценка противоречит нашему предположению. Зафиксируем положительное большое число L ∈ N и положим . Так как F не является многочленом (по z), для каждого фиксированного L множество - достаточно большое. Но для (заметим, что мы предположили) имеем . Если мы положим 0, тогда по следствию из леммы Картана существуют диски, зависящие от z и такие, что и выполняется Следовательно, для - образ шара {|ζ| < 1} при отображении . Если мы выбереми, таким образом, . Это противоречит нашему предположению при . Таким образом, не зависит от zn и по оценкам является многочленом по z степени d, т. е. . Аналогично, мы можем показать, что так же не зависит от zn и является многочленом по z степени d, т. е. . Таким образом, . (4.14) Завершим доказательство теоремы 4.1, уточнив степени многочленов. Итак, имеет место разложение (4.14) и, поскольку в левой части равенства стоит ρ-многочлен f степени d, то степень каждого слагаемого в левой части должна быть меньше или равна d (поскольку при фиксированном z функции линейно независимы). Следовательно, мы получаем неравенства deg deg. В противном случае по лемме 4.2 в правой части равенства стоит ρ-многочлен высшей степени. Теорема 4.1 доказана. Пример 4.2. Для многообразие X = C2\A не регулярно. Функция F (z) = z2 разделяет точки (0,+2), (0,-2). Но многочлены не разделяют их. Пример 4.3. Если является графом, то многообразие X = Cn\A регулярно, потому что в этом случае f(z) = zn можно аппроксимировать полиномами на X = Cn\A. В самом деле, если мы обозначим через Tk : Cn-1 → C многочлен Тейлора степени k для , то легко убедиться, что - полином на X и Pk(z) аппроксимирует zn на компактных подмножествах Пример 4.4. Если A = {P (z) = 0} ⊂ Cn является алгебраическим, то многообразие X = C2\A регулярно. Рассмотрим правильное погружение X в пространство Cn+1 = Cnz × Cw по формуле . Тогда X реализуется как алгебраическое множество X = {w · P(z) = 1}. Теперь мы можем использовать технику примера 4.3: после соответствующего унитарного преобразования будем иметь |ξn|2)k)}, где C,k - константы. Тогда, если мы положим , то сужение ρ|A - специальная сюръективная функция для X. Ясно, что многочлены на A являются сужениями многочленов. Следовательно, плотно в O(X).