Свойства инъективности и ядерности для вещественных С*-алгебр

Аннотация

В работе изучаются инъективные и ядерные вещественные W*- и C*-алгебры. Рассмотрена связь этих понятий с аналогичными понятиями обертывающих W*- и C*-алгебр. Показана эквивалентность понятий инъективности и ядерности для вещественных C*-алгебр. Как следствие, полностью описаны ядерные вещественные факторы типов II₁, II_∞, III_1, III₀ и III_λ (0< λ<1).

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755 2. Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757 3. Конечномерные и абелевы вещественные ядерные C*-алгебры . . . . . . . . . . . . . . . 758 4. Инъективные и ядерные вещественные С∗-алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763 1. ВВЕДЕНИЕ Решения проблем, возникающих в результате научно-прикладных исследований на мировом уровне, очень часто сводятся к изучению динамических систем математической физики и квантовой механики, в частности, теории операторных алгебр. Наблюдаемой данной физической системе в квантовой механике соответствует линейный самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве, а всякому состоянию рассматриваемой системы соответствует матрица плотности. Так как операторные алгебры, в частности, комплексные и вещественные С∗- и W∗-алгебры, являются математическими моделями квантовой механики и динамических систем, где каждый полученный результат имеет свое применение в квантовой механике, то операторные алгебры очень важны как в теоретическом, так и в практическом смысле и являются одним из актуальных направлений современной математики. В настоящее время в мире процессы в технике и природе моделируются с помощью динамических систем, многие из которых имеют важные практические свойства. Среди них особое значение имеет изучение свойств инъективности, гиперфинитности и ядерности операторных алгебр, которые являются актуальной проблемой для динамических систем. Результаты исследования имеют теоретическое доказательство того, что эти свойства являются эквивалентными для динамических систем, в частности, операторных алгебр. К настоящему времени свойства инъективности и гиперфинитности этих алгебр хорошо изучены. Исследование свойств ядерности динамических систем, классифицирование ядерных комплексных и вещественных C∗- и W∗-алгебр и нахождение отношения между свойствами ядерности, инъективности и гиперфинитности являются одними из целевых исследований динамических систем в квантовой механике. © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 755 Теория алгебр операторов, действующих в гильбертовом пространстве, возникла в 30-е годы прошлого века с появлением серии статей фон Неймана и Мюррея [2, 3, 11]. Ими подробно изучена структура семейства алгебр, которые теперь называют алгебрами фон Неймана, или W∗-алгебрами. Это слабо замкнутые комплексные *-алгебры операторов в гильбертовом пространстве. В настоящее время теория алгебр фон Неймана глубоко развита и имеет многочисленные приложения, которым посвящено много работ (Диксмье [7], Сакаи [13] и Такесаки [16]). В рамках этой теории важное место занимают алгебры фон Неймана с тривиальным центром, которые называют факторами. Построенная фон Нейманом теория разложения позволяет во многих случаях сводить задачи о произвольных алгебрах фон Неймана к соответствующим задачам для факторов. Первоначальная классификация факторов, согласно которой факторы распределяются по типам In (n = 1,2,... ∞), II1, II∞ и III, появилась в основополагающих работах Мюррея и фон Неймана. Факторы типа In были полностью классифицированы с самого начала: это алгебра всех операторов в гильбертовом пространстве размерности n. Первым замечательным результатом в классификации является теорема фон Неймана об изоморфности всех гиперфинитных (т. е. конечномерно аппроксимативных) факторов типа II1. В конце 70-х годов прошлого века доказана единственность гиперфинитного фактора типа II∞ (см. [6]). Затем А. Конн показал [6], что любые два инъективных фактора типа III) изоморфны. Единственность инъективного фактора типа III1 была получена чуть позже, в работах Хаагерупа. В то же время, для W∗-алгебр, наряду с понятиями инъективности и гиперфинитности, изучались такие близкие понятия, как аменабельность и полудискретность. Каждое из приведенных понятий выделяет свой класс алгебр, и несмотря на то, что W∗-алгебры с этими свойствами возникли в связи с различными вопросами функционального анализа и математической физики, с самого начала была выдвинута гипотеза, что все эти понятия совпадают. К настоящему времени благодаря усилиям Конна, Вассермана и Хаагерупа полностью доказана эквивалентность всех этих понятий. В середине 1960-х годов в работах Топпинга и Штермера впервые были рассмотрены йордановы (неассоциативные вещественные) аналоги W∗-алгебр - JW-алгебры, т. е. вещественные линейные пространства самосопряженных операторов из алгебры B(H), которые coдержат 1I, замкнуты относительно йорданова умножения a ◦ b = (ab + ba)/2 и замкнуты в слабой операторной топологии. Структура этих алгебр оказалась близка к структуре W∗-алгебр, и в изучении JW-алгебр оказалось возможным применить идеи, сходные с идеями теории W∗-алгебр. В работе Топпинга была получена начальная классификация JW-алгебр по типам I, II1, II∞, III, а в работах Штермера и Аюпова была решена проблема о связи типа JW-алгебры с типом ее обертывающей W∗-алгебры. Штермер полностью изучил JW-алгебры типа I и доказал, что всякая обратимая JW-алгебра (в частности, типа II или III) изоморфна прямой сумме Ac ⊕ Ar, где JW-алгебра Ac = U(Ac)h является самосопряженной частью W∗-алгебры U(Ac), а JW-алгебра Ar = U(Ar)h является самосопряженной частью вещественной W∗-алгебры U(Ar) (так называемая чисто вещественная JW-алгебра). Напомним, что вещественной W∗-алгеброй называется вещественная *-алгебра R в B(H), содержащая единицу 1I, которая слабо замкнута и удовлетворяет условиям: R ∩ iR = {0}. Таким образом, задача изучения JW-алгебр типа II и III в существенном редуцируется к изучению вещественных W∗-алгебр типа II и III. Поэтому параллельно с теорией JW-алгебр началось исследование теории вещественных W∗-алгебр. В последние годы теория вещественных W∗-алгебр получила значительное развитие. Основные достижения в классификации вещественных факторов принадлежат, в первую очередь, Ш. Аюпову и Э. Штермеру. Ими полностью описаны класс JWфакторов и класс вещественных факторов, у которых обертывающая W∗-алгебра (т. е. наименьшая (комплексная) W∗-алгебра) является инъективной [1, 15]. Для вещественных W∗-алгебр доказана единственность (с точностью до изоморфизма) вещественных инъективных факторов типа II1, II∞ и III1, а для типа IIIλ (0 < λ < 1) - что существуют в точности два вещественных инъективных факторов типа IIIλ. Что касается вещественных инъективных факторов типа III0, то можно построить счетное число попарно неизоморфных вещественных инъективных факторов типа III0, у которых обертывающие W∗-факторы изоморфны. Изучение пространств обычных или обобщенных функций всюду определенными непрерывными дифференциальными операторами было начато в 50-х годах прошлого века. Эти пространства обладали резко выраженными особенностями, наиболее существенной из которых оказалась справедливость «теоремы о ядре». Сформулировав эту теорему в абстрактном виде, на языке введенных им «топологических тензорных произведений», А. Гротендик [8, 9], выделил класс локально выпуклых пространств, названных им ядерными. Теория ядерных пространств была развита Гротендиком в рамках его общей теории тензорных произведений локально выпуклых пространств. Ядерные С∗-алгебры были введены, по аналогии с понятием ядерного локально выпуклого пространства, в теории тензорных произведений С∗-алгебр. Их теория быстро развилась и в настоящее время превратилась из предмета в инструмент исследования. Как известно, приложения теории ядерных С∗-алгебр в общей теории С∗-алгебр весьма многообразны. Ядерные С∗-алгебры по отношению к тензорным произведениям ведут себя подобно ядерным пространствам. Ядерные (комплексные) C∗-алгебры достаточно хорошо изучены. Благодаря работам А. Конна, Э. Штермера, У. Хаагерупа, С. Вассермана, Э. Эфросса, С. Попа, С. Ланса и М. Чоя для факторов была доказана эквивалентность таких понятий, как ядерность, инъективность и гиперфинитность. Исключением является B(H) - алгебра всех ограниченных линейных операторов на гильбертовом пространстве H, так как оно не является ядерным и гиперфинитным. Для вещественных факторов понятия инъективности и гиперфинитности достаточно хорошо изучены в работах Ш. Усманова, А. Рахимова и Б. Байкабилова. Однако в вещественном случае понятие ядерности алгебры недостаточно изучено. Настоящая статья посвящена изучению ядерных и инъективных вещественных C∗-алгебр. Как известно, имеются определения инъективности в смысле фон Неймана и в смысле Хакеда- Томиямы. В работе [12] авторы, изучая инъективные вещественные C∗-алгебры, доказали эквивалентность этих определений. В частности, доказано, что вещественная C∗-алгебра R инъективна тогда и только тогда, когда ее обертывающая (комплексная) C∗-алгебра R + iR инъективна. В настоящей статье при изучении отношения между понятиями ядерности и инъективности для вещественных C∗- или W∗-алгебр используется определение инъективности в смысле Хакеда- Томиямы. 2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Пусть A - банахова *-алгебра над полем C. Алгебра A называется C∗-алгеброй, если для любого a ∈ A. С*-алгебра M называется W∗-алгеброй, если существует банахово пространство M∗ такое, что (M∗)∗ = M. При этом пространство M∗ называется предсопряженным пространством для M. Пусть B(H) - алгебра всех ограниченных линейных операторов, действующих в комплексном гильбертовом пространстве H, и пусть (xγ) ⊂ B(H) - сеть. На B(H) рассмотрим следующие локально-выпуклые топологии: 1. топология, определяемая с помощью сходимости: xγ → θ ⇔ (xγξ,η) → 0 (∀ξ,η ∈ H) - называется слабой (операторной) топологией и обозначается как ω-топология; 2. топология, определяемая с помощью сходимости: - называется равномерной (операторной) топологией и обозначается как u-топология. Пусть M ⊂ B(H) - *-подалгебра. Подмножество называется коммутантом алгебры M. Легко видеть, что где . При этом, если называется алгеброй фон Неймана. По теореме о бикоммутанте известно, что для *-подалгебры M ⊂ B(H) следующие условия эквивалентны: 1. , т. е. M - алгебра фон Неймана; 2. M - W∗-алгебра; 3. M слабо замкнута и 1I ∈ M. Поэтому W∗-алгебры получили также название алгебр фон Неймана. Пусть M - W∗-алгебра. Совокупность всех элементов M, коммутирующих со всеми элементами из M, называется центром алгебры M и обозначается как Z(M). Легко видеть, что. Элементы Z(M) называются центральными. Алгебру, у которой центральными элементами являются только элементы вида λ1I (λ ∈ C), называют фактором. Вещественная банахова *-алгебра R называется вещественной C∗-алгеброй, если норму на R можно продолжить на комплексификацию A = R + iR алгебры R так, чтобы алгебра A являлась (комплексной) C∗-алгеброй (см. [10]). Известен результат [10, теорема 5.2.10] о том, что вещественная банахова *-алгебра R является вещественной C∗-алгеброй тогда и только тогда, когда R - эрмитова алгебра и для любого a ∈ R. Эрмитовость R означает, что σ(a) ⊂ R для любого a ∈ R, где σ(a) - спектр элемента a. С другой стороны, эрмитовость алгебры R эквивалентна обратимости элемента 1I + aa∗ для любого a ∈ R. Пусть Hr - вещественное гильбертово пространство такое, что Hr + iHr = H, и пусть R ⊂ B(Hr) ⊂ B(Hr) + iB(Hr) = B(H) - вещественная *-подалгебра (см. [10]). Коммутант *-алгебры R определяется аналогично комплексному случаю: . Непосредственно проверяется, что . Аналогично комплексному случаю, если , то R называется вещественной алгеброй фон Неймана. Теперь, пусть R - вещественная С∗-алгебра. Тогда, как уже сказано выше, R+iR является (комплексной) С∗-алгеброй. Легко видеть, что эта алгебра есть наименьшая С∗-алгебра, содержащая R. Вещественная С∗-алгебра R называется вещественной W∗-алгеброй, если С∗-алгебра R + iR является (комплексной) W∗-алгеброй. Для вещественных *-алгебр также имеется аналог теоремы о бикоммутанте: для вещественной *-подалгебры R ⊂ B(Hr) следующие условия эквивалентны: 1. , т. е. R - вещественная алгебра фон Неймана; 2. R - вещественная W∗-алгебра; 3. R слабо замкнута и 1I ∈ R. Для удобства в дальнейшем алгебру, удовлетворяющую одному из эквивалентных условий, будем называть вещественной W∗-алгеброй. 3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ И АБЕЛЕВЫ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЯДЕРНЫЕ C*-АЛГЕБРЫ Как уже сказано, ядерные пространства были введены А. Гротендиком [8, 9] в 1950-е годы как пространства, которые содержат так называемые «пространства дифференциального типа». Теория ядерных пространств была развита Гротендиком в рамках его общей теории тензорных произведений локально выпуклых пространств. Ядерные С∗-алгебры были введены, по аналогии с понятием ядерного локально выпуклого пространства, в теории тензорных произведений С∗-алгебр. Норма γ на инволютивной алгебре A ⊗ B называется C∗-нормой, если γ(x∗x) = γ(x)2 для всех x ∈ A ⊗ B. Если γ - C*-норма, то пополнение алгебры A ⊗ B по норме γ является C∗-алгеброй, которую мы обозначим как или просто A⊗B. Любая C∗-норма на A ⊗ B является так называемой кросс-нормой, т. е. удовлетворяет условию, для всех a ∈ A, b ∈ B. В тензорном произведение A⊗B всегда существуют, по крайне мере, следующие две C∗-нормы, называемые минимальной и максимальной, соответственно: , где . Эти нормы иногда называются также инъективной и проективной, соответственно. Нетрудно показать, что для любой С∗-нормы имеет место . В частности, отображение также является C∗-нормой, где S1 = S(A) и S2 = S(B) - пространства состояний алгебр A и B, соответственно. Рассмотрим связь обертывающей W∗-алгебры тензорных произведений вещественных W∗-алгебр с тензорным произведением их обертывающих W∗-алгебр. Предложение 3.1. Пусть R и Q -вещественные W*-алгебры, U(R) = R + iR и U(Q) = Q + iQ -их обертывающие W*-алгебры, соответственно. Тогда U(R⊗Q) = U(R)⊗U(Q), т. е. (R + iR)⊗(Q + iQ) = R⊗Q + i(R⊗Q). Доказательство. Пусть αR и αQ - канонические инволютивные *-антиавтоморфизмы[1] U(R) и U(Q), порождающие R и Q, соответственно (см. [4, теорема 1.5.2]), т. е. R = {x ∈ U(R) : αR(x) = x∗}, Q = {y ∈ U(Q) : αQ(y) = y∗}. Рассмотрим *-антиавтоморфизм αR ⊗ αQ : U(R)⊗U(Q) → U(R)⊗U(Q), определяемый как (αR ⊗ αQ)(x ⊗ y) := αR(x) ⊗ αQ(y). Так как *-автоморфизм (αR⊗αQ)2 - нормальный и α2R = α2Q = id - тождественный, то для любого имеет место: т. е. (αR ⊗ αQ)2 - тождественное отображение на U(R)⊗U(Q). Рассмотрим вещественную W∗алгебру F = {z ∈ U(R)⊗U(Q) : (αR ⊗ αQ)(z) = z∗}. Аналогично доказательству [4, теорема 1.5.2] легко показать, что F ∩ iF = {0} и U(R)⊗U(Q) = F + iF. Если x ∈ R и y ∈ Q, то (αR ⊗ αQ)(a ⊗ y) = αR(x) ⊗ αQ(y) = x∗ ⊗ y∗ = (x ⊗ y)∗, следовательно, R ⊗ Q ⊂ F. Так как F слабо-* замкнуто, то R⊗Q ⊂ F. Отсюда U(R⊗Q) ⊂ U(R)⊗U(Q). Пусть теперь z ∈ U(R) ⊗ U(Q). Тогда . Так как , то z ∈ R⊗Q+i(R⊗Q) = U(R⊗Q). Следовательно, U(R)⊗U(Q) ⊂ U(R⊗Q). Отсюда U(R)⊗U(Q) ⊂ U(R⊗Q). Замечание 3.1. В доказательстве предложение 3.1 используется тот факт, что всякая вещественная W*-алгебра порождается каноническим инволютивным *-антиавтоморфизмом обертывающей W*-алгебры, и наоборот. Поэтому утверждение сформулировано для вещественных W*алгебр. Однако в работах П. Стейси (см., например, [14]) показано, что всякая вещественная C*-алгебра также порождается некоторым инволютивным *-антиавтоморфизмом обертывающей C*-алгебры, и наоборот. Таким образом, предложение 3.1 верно и для вещественных С*-алгебр. Определение 3.1. Комплексная или вещественная C∗-алгебра A называется ядерной, если для любой комплексной (соответственно, вещественной) C∗-алгебры B на A⊗B существует единственная C∗-норма. Ядерность вещественной С∗-алгебры связана с ядерностью обертывающей (комплексной) С∗алгебры следующим образом. Предложение 3.2. Вещественная С*-алгебра R - ядерная, если ее обертывающая C*-алгебра R + iR -ядерная. Доказательство. Пусть B - вещественная С∗-алгебра. Тогда B + iB - С∗-алгебра и по предложению 3.1 (см. также замечание 3.1) имеем: (R + iR)⊗(B + iB) = R⊗B + i(R⊗B). Так как C∗-норма на алгебре (R+iR)⊗(B+iB) единственна, то из последнего равенство получим, что C∗-норма на алгебре R ⊗ B также единственна. Наша цель- доказать и обратное утверждение. Используя понятие инъективности, мы докажем его в следующем разделе. Используя свойства тензорного произведения матричных алгебр, легко показать, что конечномерные вещественные (также комплексные) C∗-алгебры являются ядерными. Сначала покажем, что матричные алгебры является ядерными. Теорема 3.1. Если F -поле вещественных чисел или тело кватернионов (т. е. F = R или F = H), то вещественная C*-алгебра Mn(F) -алгебра n × n-матриц над F (которая также является вещественной C*-алгеброй, относительно обычных операций над матрицами)- является ядерной, т. е. для любой вещественной C*-алгебры R на тензорном произведении Mn(F) ⊗ R существует единственная C*-норма. В этом случае Mn(F) ⊗ R =∼ Mn(R). Доказательство. Рассмотрим комплексификацию A = R + iR алгебры R, которая является (комплексной) C∗-алгеброй. Так как комплексная матричная *-алгебра Mn(C) является ядерной, тогда на Mn(C)⊗A существует единственная C∗-норма ·. По предложению 3.1 (см. также замечание 3.1 и [12, теорема 10]) имеем: Mn(C) ⊗ A = (Mn(F) + iMn(F)) ⊗ (R + iR) = Mn(F) ⊗ R + i(Mn(F) ⊗ R) (F = H может быть только в случае четного n). Тогда легко видеть, что сужение нормы · на Mn(F) ⊗ R также является единственной C∗-нормой. Следовательно, вещественная C∗-алгебра Mn(F) является ядерной. Пусть теперь R - конечномерная вещественная C∗-алгебра. Тогда известно, что, где F = R или F = H. Тогда для любой вещественной C∗-алгебры Q легко показать, что . Следовательно, на R ⊗ Q существует естественная C∗-норма, а значит, по теореме 3.1 эта норма единственна. Таким образом, для конечномерных вещественных C∗-алгебр также имеем: Следствие 3.1. Всякая конечномерная вещественная C*-алгебра является ядерной. Теперь, докажем вещественный аналог известной теоремы Такесаки, т. е. покажем, что абелевы (т. е. коммутативные) вещественные C∗-алгебры также являются ядерными Теорема 3.2. Всякая абелева вещественная C*-алгебра является ядерной. Доказательство. Пусть A - абелева вещественная С∗-алгебра и пусть Ω- ее спектральное пространство, т. е. множество всех ненулевых вещественно-значных мультипликативных (вещественно) линейных функционалов на A. Элементы Ω называются характерами алгебры A. Известно, что множество Ω есть локально-компактное хаусдорфово пространство относительно топологии поточечной сходимости на A, и абелева вещественная С∗-алгебра A *-изоморфна алгебре C0(Ω) всех непрерывных вещественных функций на пространстве Ω, стремящихся к нулю в бесконечности (см. [5, п. 4.1.3]). Поэтому пусть A =∼ C0(Ω1) - вещественная абелева C∗-алгебра, где Ω1 - локально-компактное хаусдорфово пространство. Пусть B - вещественная C∗-алгебра. Не ограничивая общности, можно полагать, что A и B - алгебры с единицей. Пусть - произвольная C∗-норма на A ⊗ B. Сначала пусть B также абелева, т. е. B =∼ C0(Ω2), где Ω2 - некоторое компактное хаусдорфово пространство. Тогда вещественная C∗-алгебра A⊗γB с единицей также является абелевой: - компактное хаусдорфово пространство. Если ϕ ∈ Ω, то для ϕ1 = ϕ(·⊗1IB) и ϕ2 = ϕ(1IA ⊗ ·) можно непосредственно показать, что ϕ1 ∈ Ω1, ϕ2 ∈ Ω2, ϕ(a ⊗ b) = ϕ1(a) ⊗ ϕ2(b) для ∀a ⊗ b ∈ A ⊗ B. Следовательно, Ω - замкнутое подпространство Ω1 × Ω2. Если , то существуют непустые открытые подмножества U1 ⊂ Ω1 и U2 ⊂ Ω2 такие, что Ω∩(U1 ×U2) = ∅. Выберем элементы a ∈ A и b ∈ B так, чтобы supp(a)(·) ⊂ U1 и supp(b)(·) ⊂ U2. Тогда ϕ(a ⊗ b) = 0 для ∀ϕ ∈ Ω. Это противоречие, так как a ⊗ 1 2, γ = C0(Ω1 × Ω2). Тогда для любого a ⊗ b ∈ A ⊗ B мы имеем : ,g , т. е. на алгебре существует единственная C∗-норма. Теперь рассмотрим общий случай, т. е. пусть B - произвольная (не обязательно абелева) вещественная C*-алгебра. Пусть ϕ1 ∈ Ω1 (т. е. ϕ1 - чистое состояние на A), и пусть E - подмножество состояний ϕ2 на B такое, что функционал ϕ1 ⊗ ϕ2 непрерывен относительно нормы . Легко показать, что E является σ(B∗,B)-компактным выпуклым подмножеством S(B) пространства состояний алгебры B. Пусть h∗ = h ∈ B, и пусть B1 - абелева C∗-подалгебра B, порожденная элементами 1IB и h. Выберем состояние ψ на B1 такое, что ψ(h) = max{λ : λ ∈ σ(h)}. Так как B1 - абелева, то, как показано выше, на A ⊗ B1 существует единственная C∗-норма. Тогда функционал ϕ1⊗ψ является-непрерывным. Следовательно, по теореме Хана-Банаха функционал ϕ1 ⊗ψ можно непрерывно продолжить до состояния. Очевидно, ϕ(· ⊗1IB1) = ϕ1 и ϕ = ϕ1 ⊗ ϕ2, где ϕ2 - продолжение ψ на B. В частности, ϕ2 ∈ E и E = S(B). Так как для ϕ1 ∈ S(A) и ϕ2 ∈ S(B) функционал ϕ1 ⊗ ϕ2 является -непрерывным, то . С другой стороны, если ϕ - чистое состояние на A ⊗ B, то можно показать, что существуют чистые состояния ϕ1 ∈ S(A) и ϕ2 ∈ S(B), удовлетворяющие ϕ = ϕ1 ⊗ ϕ2 и такие, что для любого x = a ⊗ b ∈ A ⊗ B мы получим . Таким образом, на алгебре A ⊗ B существует единственная C∗-норма. Замечание 3.2. Как сказано выше, в комплексном случае эта теорема доказана в работе М. Такесаки. Из этого случая нельзя непосредственно получить утверждение теоремы 3.2, потому что спектральное пространство абелевой вещественной С∗-алгебры шире, чем спектральное пространство обертывающей абелевой (комплексной) С∗-алгебры. 4. ИНЪЕКТИВНЫЕ И ЯДЕРНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ С∗-АЛГЕБРЫ Как уже сказано, что инъективные комплексные и вещественные W∗-алгебры достаточно хорошо изучены. Напомним некоторые определения. (в смысле Хакеда-Томияма) W∗-алгебры R означает существование проекции : ( ) → с = 1 (1I) = 1I. Пусть A - комплексная или вещественная C∗-алгебра. Элемент a ∈ A называется положительным (пишут a 0), если существует самосопряженный элемент b такой, что a = b2. Обозначим через A+ множество всех положительных элементов в A. Положительное отображение ϕ между C∗-алгебрами A и B - это отображение ϕ : A → B, при котором ϕ(a) ∈ B+ для всех a ∈ A+. Положительное линейное отображение ϕ называется вполне положительным, если отображение ϕn : Mn(A) → Mn(B), определяемое как ϕn((aij)ni,j=1) = (ϕ(aij))ni,j=1, является положительным для всех n. Алгебра A называется инъективной, если для любой комплексной (или вещественной) C∗-алгебры B с 1I и для каждого самосопряженного подпространства S ⊂ B, содержащего 1I, всякое вполне положительное линейное отображение ϕ : S → A можно продолжить до вполне положительного линейного отображения ϕ : B → A. В работе [12, следствие 2] показано следующее. Предложение 4.1. Вещественная C∗-алгебра инъективна тогда и только тогда, когда она инъективна в смысле Хакеда-Томияма. Таким образом, оба определения эквивалентны. Кроме того, в работе [12, теоремы 7 и 8] доказано, что вещественная W∗-алгебра R инъективна тогда и только тогда, когда обертывающая W∗-алгебра R+iR инъективна. На самом деле этот результат верен и для вещественных C∗-алгебр. При изучении инъективных факторов удобно использовать определение в смысле Хакеда- Томияма. Однако в вещественном случае имеются две основные алгебры B(H) и B(Hr) - всех ограниченных линейных операторов на комплексном и вещественном гильбертовом пространстве, соответственно. Поэтому здесь можно рассматривать инъективность (в смысле Хакеда-Томияма) относительно B(H) и относительно B(Hr). В связи с этим докажем следующий результат. Предложение 4.2. Вещественная W∗-алгебра R ⊂ B(Hr) ⊂ B(H) инъективна относительно B(H) тогда и только тогда, когда она инъективна относительно B(Hr). Доказательство. Пусть вещественная W∗-алгебра R инъективна относительно B(Hr), т. е. существует проекция P : B(Hr) → R такая, что . Так как B(Hr) инъективна (см. [12, теорема 3]), то существует проекция P1 : B(H) → B(Hr) такая, что . Положим P2 = P ◦P1. Легко видеть, что P2 является проекцией из B(H) на R такой, что и P2(1I) = 1I. Теперь, пусть вещественная W∗-алгебра R инъективна относительно B(H), т. е. существует проекция P : B(H) → R такая, что. Тогда сужение P на B(Hr): P1 = P|B(Hr) также является проекцией из B(Hr) на R такой, что . Ниже рассмотрим коммутант R алгебры R и второе сопряженное пространство R∗∗. Наша цель - с помощью них показать эквивалентность понятий инъективности и ядерности для вещественных C∗-алгебр. Теорема 4.1. Если R ⊂ B(Hr) - ядерная вещественная C∗-алгебра, то коммутант R алгебры R является инъективным. Доказательство. Поскольку R - ядерная, то отображение , определяемое как , продолжается до представления алгебры . Так как алгебру можно изоморфно вложить в R⊗B(Hr), то существуют вещественное гильбертово пространство K, содержащее Hr, и представление ϕ алгебры R ⊗ B(Hr) на K такие, что . Пусть p : K → Hr - проекция, и пусть π(x) = pϕ(1I⊗x)|Hr, x ∈ Hr. Непосредственно проверяется, что элемент π(x) коммутирует с алгеброй R и отображение π действует тождественно на R. Таким образом, π - проекция из такая, что . Сформулируем один вспомогательный результат. Предложение 4.3 (см. [10, 5.5.4]). Пусть R -вещественная C∗-алгебра и {π,Hr} -*-представление алгебры R. Тогда {π,Hr} единственном образом может быть продолжено до *-представления {π,Hr} алгебры R∗∗ такого, что π является σ(R∗∗,R∗)-непрерывным и . Здесь R∗∗ - второе сопряженное пространство. Eсли R ⊂ B(Hr) - ядерная вещественная C∗-алгебра, то по теореме 4.1 коммутант R алгебры R является инъективным. Известно, что коммутант инъективной (комплексной или вещественной) W∗-алгебры также инъективен. Отсюда следует, что слабое замыкание инъективно. Так как это выполняется для любого точного *-представления R, в частности, универсального *представления, то по предложению 4.3 алгебра R∗∗ является инъективной. Таким образом, получим следующий результат. Теорема 4.2. Если вещественная C∗-алгебра R -ядерная, то вещественная W∗-алгебра R∗∗ - инъективная. Верно и обратное утверждение. Теорема 4.3. Пусть R - вещественная C∗-алгебра. Если вещественная W∗-алгебра R∗∗ является инъективной, то алгебра R -ядерная. Доказательство. Положим A = R + iR. Так как A∗∗ = R∗∗ + iR∗∗ (см. [10]) и алгебра R∗∗ инъективна, то в силу [12, теоремы 7 и 8] алгебра A∗∗ также инъективна. Поскольку, в комплексном случае, понятия инъективности и ядерности эквивалентны, то алгебра A - ядерная. По предложению 3.2 алгебра R также является ядерной. Следствие 4.1. Вещественная C∗-алгебра R - ядерная тогда и только тогда, когда вещественная W∗-алгебра R∗∗ - инъективная. Отсюда, получим один из основных результатов статьи. Теорема 4.4. Вещественная C∗-алгебра R - ядерная тогда и только тогда, когда обертывающая C∗-алгебра R + iR - ядерная. Доказательство. По следствию 4.1 ядерность R эквивалентна инъективности алгебры R∗∗. В силу [12, теоремы 7 и 8], инъективность R∗∗ эквивалентна инъективности алгебры R∗∗ + iR∗∗ = (R + iR)∗∗, следовательно, ядерности C∗-алгебры R + iR. Теорема доказана. Из следствия 4.1 и теоремы 4.4 следует один из основных результатов работы. Следствие 4.2. Для вещественной W∗-алгебры понятия ядерности и инъективности совпадают. Итак, подведя итог и учитывая все, сказанное во введении, получим главный результат работы. Теорема 4.5. Имеют место следующие утверждения: 1. существует единственный (с точностью до изоморфизма) ядерный вещественный фактор типа II1; 2. существует единственный ядерный вещественный фактор типа II∞; 3. существует единственный ядерный вещественный фактор типа III1; 4. существуют в точности два ядерных вещественных фактора типа IIIλ(0 < λ < 1); 5. для любого натурального числа n существуют n попарно неизоморфных вещественных ядерных факторов типа III0, у которых обертывающие W∗-факторы изоморфны. Доказательство. В [4, теорема 1.7.3] получен следующий результат: • существует единственный класс изоморфности инъективных вещественных факторов типа II1, II∞ и III1, соответственно; • существуют в точности два класса изоморфности инъективных вещественных факторов типа IIIλ (0 < λ < 1); • для любого натурального числа n существуют n попарно неизоморфных вещественных инъективных факторов типа III0, у которых обертывающие W∗-факторы изоморфны. Тогда из следствия 4.2 получим утверждение данной теоремы.