О разрешимости обобщенной задачи Неймана для эллиптического уравнения высокого порядка в бесконечной области

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение 564 2. Задача Римана-Гильберта 567 3. Заключительные замечания 572 Список литературы 573 1. ВВЕДЕНИЕ В области D на плоскости, ограниченной простым гладким контуром Γ, рассмотрим эллиптическое уравнение 2l-го порядка 2l ar r=0 ∂2lu ∂x2l-r∂yr + ∂ku ark (z) ∂xk-r∂yr = f (z), z = x + iy ∈ D, (1.1) 0'(r'(k'(2l-1 с постоянными старшими коэффициентами ar ∈ R. Исходя из набора 1= k1 < ... < kl '( 2l натуральных чисел, задача Неймана для этого уравнения определяется краевыми условиями 1 ∂kj -1u 1 1Γ ∂nkj -1 1 = fj, j = 1,... , l, (1.2) где n = n1 + in2 означает единичную внешнюю нормаль. Здесь и ниже под нормальной производной (∂/∂n)k порядка k понимается граничный оператор ( ∂ ∂ k k (k k-r r ∂k n1 ∂x + n2 ∂y = r=0 r n1 n2 ∂xk-r∂yr , © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 564 О РАЗРЕШИМОСТИ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА 565 и аналогичный смысл имеет граничный оператор (∂/∂e)k по отношению к единичному касательному вектору e = e1 + ie2 = i(n1 + in2). (1.3) Постановка конкретной задачи (1.1), (1.2) при kj+1 - kj ≡ 1 для полигармонического уравнения восходит к А. В. Бицадзе [1], где при k1 ;;; 2 она названа обобщенной задачей Неймана. Это название в дальнейшем сохраняем и для произвольного набора показателей kj, вводя для задачи обозначение N . Символ N0 сохраняем для задачи, когда все младшие коэффициенты ark в (1.1) равны нулю, т. е. для уравнения Lau = f, определяемого дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами. 2l La = ar r=0 ∂2lu ∂x2l-r∂yr (1.4) В конечной односвязной области D задача N подробно исследовалась в работах [4, 5, 10, 11, 13]. В [4, 5] эта задача изучалась задача в классе {u ∈ C2l(D) ∩ C2l-1,μ(D), Lau ∈ Cμ(D)}. В более узком стандартном классе C2l,μ(D), включая случай многосвязной области, эта задача была рассмотрена в [10] (см. также [13]). В обоих классах условия фредгольмовости и формула индекса выглядят одинаково. Другая форма критерия фредгольмовости задачи, удобная для использования, приведена в [11]. Чтобы сформулировать этот критерий, обозначим νk, 1 '( k '( m, все различные корни в верхней полуплоскости характеристического многочлена m m χ(z)= a2l тт(z - νk )lk тт(z - νk )lk k=1 k=1 так, что сумма кратностей l1 + ... + lm этих корней равна l. Условие эллиптичности заключается в том, что a2l /=0 и корни характеристического многочлена χ(z)= a0 + a1z + ... + a2lz2l не лежат на вещественной оси. Введем дробно-линейные по z функции ω(e, ν)= -e2 + e1ν , 1 '( j '( l, (1.5) e1 + e2ν где зависимость от единичного касательного вектора e = e1 + ie2 к контуру Γ, фигурирующему в (1.3), указана явно. Исходя из l-вектор-функции g(ζ) = (g1(ζ),... , gl(ζ)), аналитической в окрестности точек ζ1,... , ζm, введем блочную l × l-матрицу Wg (ζ1,... , ζm)= (Wg (ζ1),... , Wg (ζm)), (1.6) где матрица Wg (ζk ) ∈ Cl×lk составлена из векторов-столбцов g(ζk ), g×(ζk ),... , (l 1 g 1)! (lk -1) (ζk ). k - В этих обозначениях условие det Wg [ω(e, ν1),... , ω(e, νm)] /= 0, e ∈ T, (1.7) где g(ζ) = (ζk1 -1,... ,ζkl-1) и T означает единичную окружность, необходимо и достаточно для фредгольмовости задачи N в классе C2l,μ(D). Как обычно, фредгольмовость и индекс задачи понимаются по отношению к ее оператору, который ограничен l C2l,μ(D) → Cμ(D) × тт C2l-kj +1,μ(Γ). j=1 Как будет показано ниже, этот индекс определяется целым числом 1 1T κ0 = 2π [arg det Wg [ω(e, ν1),... , ω(e, νm)]]1 , (1.8) приращение непрерывной ветви аргумента окружности на T берется против часовой стрелки. 566 Б. Д. КОШАНОВ, А. П. СОЛДАТОВ Очевидно, условие (1.7) зависит только от набора k1, k2,... , kl . Следовательно, при фиксированных kj при выполнении этого условия задача N фредгольмова в любой конечной области D с достаточно гладкой границей. C точки зрения общей эллиптической теории [7] задача N фредгольмова в пространстве C2l,μ(D) тогда и только тогда, когда ее краевые условия удовлетворяют так называемому условию дополнительности (или условию Шапиро-Лопатинского). В этом случае говорят также (см. [15]), что краевые условия (1.2) накрывают дифференциальный оператор La, фигурирующий в (1.4). В работе [11] показано, что это условие равносильно (1.7), так что центр тяжести переносится на исследование формулы индекса (1.8). Поэтому в этой статье дано более явное описание формулы индекса при некоторых дополнительных предположениях относительно корней характеристического уравнения. В данной работе рассмотрим случай бесконечной области. В этом случае поведение решения уравнения (1.1) и его коэффициентов на бесконечности необходимо требуют дополнительного описания. Отметим, что для неоднородного эллиптического уравнения с постоянными коэффициентами исследованию характера этого поведения посвящены многочисленные работы (см. например, [2, 3, 6, 14]). λ Пусть область D бесконечна и ограничена контуром Γ ∈ C2l,ν, связные компоненты которого обозначим Γ0,... , Γn. Следуя [9], введем пространство Гельдера Cμ(D, ∞), λ ∈ R, функций со | степенным поведением O(|z λ ) на бесконечности. Более точно, при λ = 0 оно состоит из ограни- μ ченных функций ϕ, для которых ψ(z)= |z| Относительно нормы ϕ(z) удовлетворяет условию Гельдера с показателем μ. |ϕ| = sup |ϕ(z)| + sup |ψ(z1) - ψ(z2)| μ z∈D z1/=z2 |z1 - z2| λ это пространство банахово, причем оно является банаховой алгеброй по умножению. В общем случае произвольного λ банахово пространство Cμ(D, ∞) определим как класс функций ϕ, для которых (1 + |z|)-λϕ(z) ∈ Cμ(D, ∞), снабженный перенесенной нормой. Соответствующие банахо- 0 Cn,μ вы пространства λ (D, ∞) дифференцируемых функций определим индуктивно условиями ϕ ∈ Cn(D) ∩ Cn-1,μ(D, ∞), ∂ϕ, ∂ϕ ∈ Cn-1,μ(D, ∞). λ ∂x ∂y λ-1 Оно является банаховым относительно соответствующей нормы. λ Поскольку в дальнейшем бесконечная область D фиксирована, пространства Cn,μ(D, ∞) всю- λ ду ниже обозначаем кратко Cn,μ. В более общей ситуации конечного множества особых точек они были детально изучены в [9]. В частности, при этом произведение функций ограничено как билинейное отображение Cn,μ × Cn,μ → Cn,μ . λ× λ×× λ× +λ×× λ Задачу N рассмотрим в классе C2l,μ, -1 < λ < 0, функций, исчезающих на бесконечности. Для нее справедлив следующий результат. Теорема 1.1. Пусть бесконечная область D ограничена контуром Γ класса C2l,ν, μ < ν < 1, состоящим из компонент Γ0,... , Γn, младшие коэффициенты уравнения (1.1) удовлетворяют требованию и выполнено условие (1.7). ark ∈ C μ k-2l-0 k-2l-ε (D, ∞)= ∪ε>0Cμ (1.9) λ Тогда задача N фредгольмова в классе C2l,μ, -1 < λ < 0, и в обозначениях (1.8) ее индекс дается формулой ⎡ ⎤ κ = 2(n + 1) ⎣κ0 +2 lilj ⎦ - l(2l - 1). (1.10) i<j Обозначим N0 задачу с коэффициентами ark = 0 в (1.1). Следующая лемма показывает, что с точки зрения фредгольмовой теории можно ограничиться этой задачей. λ Лемма 1.1. Задачи N и N0 в классе C2l,μ, -1 < λ < 0, фредгольмово эквивалентны, и их индексы совпадают. О РАЗРЕШИМОСТИ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА 567 Доказательство. В силу известных свойств фредгольмовых операторов (см. [8, 9]) достаточно убедиться, что оператор компактен C2l,μ → Cμ . Mu = 0'(r'(k'(2l-1 ark(z) ∂ku ∂xk-r∂yr λ λ-2l ν Предполагая для определенности 0 ∈/ D, рассмотрим в D весовую функцию ρν (z) = |z| по- ν рядка ν, которая принадлежит Cn,μ для любого натурального n и ν ∈ R. При этом оператор умножения → ϕ ограничен Cn,μ → Cn,μ . По условию (1.9) существует столь малое ε > 0, что ϕ ρν 1 0 λ λ+ν 0 μ -a- ark = ρk-2l-εa с некоторыми a ∈ C . Соответственно можем записать 2l rk Mu = rk 0 a rk 0 Mrku, Mrku = ρk -2l-ε ∂ku ∂xk-r∂yr . 0'(r'(k'(2l-1 λ Очевидно, оператор Mrk ограничен C2l,μ → C1,μ λ-2l-ε . С другой стороны, как установлено в [9], ν ε вложение C1,μ - M : C2l,μ ν ⊆ Cμ μ компактно. В результате приходим и к компактности исходного оператора λ →→ Cλ-2l. Отметим, что задача N0 для уравнения Lau = 0 в случае конечной области D изучена в [5]. Совершенно аналогично она может быть изучена и в рассматриваемом случае бесконечной области. Это следует из того, что любое решение u(z) этого уравнения, которое при |z| → ∞ стремится λ-1 к нулю и первые производные которого имеют поведение O(|z| ) с некоторым -1 < λ < 0, λ автоматически принадлежит классу C2l(D0, ∞) в области D0 = {|z| ;;; r}⊆ D. Поэтому в случае существования ограниченного оператора L(-1) : Cμ → C2l,μ, который является правым обратным к La в смысле тождества a LaL(-1) λ-2l λ μ a ϕ = ϕ, ϕ ∈ Cλ-2l, задача N0 может быть сведена к случаю Lau = 0. Однако вопрос существования этого оператора открыт даже для простейшего случая La = Δ оператора Лапласа. В самом деле, в этом случае свойством (1.10) обладает оператор свертки с фундаментальным решением, однако неизвестно, C будет ли этот оператор ограничен μ λ-2l λ → C2l,μ. Доказательство теоремы 1.1 осуществляется в следующем разделе 2 по схеме, использованной в [10] для конечной области. Она заключается в эквивалентной редукции задачи N0 к задаче Римана-Гильберта для соответствующей эллиптической системы первого порядка. 2. ЗАДАЧА РИМАНА-ГИЛЬБЕРТА Обозначим для краткости X банахово пространство (C1,μ λ-2l+1 )2l вектор-функций U = (U1,... , U2l ) и его замкнутое подпространство X0, выделяемое условиями Рассмотрим оператор ∂Uj ∂y ∂Uj+1 = ∂x , 1 '( j '( 2l - 1. (2.1) Du = ( ∂2l-1u ∂2l-jx∂j-1y , 1 '( j '( 2l , λ который, очевидно, ограничен C2l λ → X0. Его ядро ker D представляет собой пересечение C2l с классом P2l-2 всех многочленов степени не выше 2l - 2 и, следовательно, нулевое. Образ im D этого оператора обозначим X0. Лемма 2.1. Подпространство X0 ⊆ X0 замкнуто и имеет конечную коразмерность, равную dim(X0/X0)= nl(2l - 1), (2.2) где n +1 есть число связных компонент контура Γ. 568 Б. Д. КОШАНОВ, А. П. СОЛДАТОВ Доказательство. Пусть подобласть D0 ⊆ D конечна и односвязна. Тогда уравнение Du = U с правой частью U ∈ [C2l-1(D0)]2l , удовлетворяющей условию (2.1), всегда разрешимо и его решение определяется последовательным интегрированием вдоль дуги, соединяющей произвольную точку z ∈ D0 с фиксированной точкой z0. Например, для l =1 z r u(z)= z0 U1dx + U2dy. Аналогично для l =2 следует положить z r u1,j (z)= z0 z Uj dx + Uj+1dy, 1 '( j '( 3, z и т. д. r u2,j (z)= z0 r u1,j dx + u2,j+1dy, j = 1, 2; (D(-1)U )(z)= z0 u2,1dx + u2,2dy, Согласно [9, теорема 2.10.1] аналогичный факт справедлив и в случае, когда D0 = {|z| > R}⊆ D [C2l-1 представляет собой внешность круга. Более точно, уравнение Du = U с правой частью U ∈ 2l λ-2l+1(D0, ∞)] λ , удовлетворяющей условию (2.1), всегда разрешимо в классе C2l(D0, ∞). Здесь λ роль z0 играет бесконечно удаленная точка, т. е. интегрирование ведется вдоль луча {sz, s ;;; 1}. По отношению к исходной области D решением уравнения Du = U с правой частью U ∈ X0 служит многозначная функция u, принадлежащая классу C2l,μ в конечных односвязных подобластях D0 и классу C2l,μ(D0, ∞) во внешности круга. При обходе связных компонент контура она получает приращение в виде некоторого многочлена p ∈ P2l-2. Этот факт можем выразить следующим образом. Пусть Γ состоит из простых контуров Γ0,... , Γn. Соединим внутри D \ {z0} контуры Γ0 и Γj, 1 '( j '( n, дугой Lj, считая эти дуги попарно непересекающимися. Тогда в области D0 = D \ (L1 ∪ ... ∪ Ln) решение u рассматриваемого уравнения однозначно. Предполагая j дуги Lj ориентируемыми, для односторонних предельных значений u± на Lj функции u будем иметь соотношения j - uj = pj 1L , 1 '( j '( n, 1 u+ - j с некоторыми pj ∈ P2l-2, причем аналогичные соотношения выполняются и для частных производных функций u и pj до порядка k - 1 включительно. Очевидно, отображение U → (p1,... , pn) n переводит пространство X на все (P2l-2) , и класс X0 описывается условиями p1 = ... = pn =0 в этих соотношениях. Поскольку dim P2l-2 = l(2l - 1), отсюда следует равенство (2.2). X0 → C2l,μ Обратимся к уравнению (1.1) с коэффициентами ark = 0. Пользуясь обратным оператором D-1 : λ , это уравнение вместе с соотношениями (2.1), определяющими пространство X0 ⊇ X0, можем записать в форме эллиптической системы первого порядка для вектора U ∈ X0. Она определяется дифференциальным оператором ∂U ∂U ⎛ 0 1 0 ... 0 ⎞ ⎜ 0 0 1 ... 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ · 0 · 0 · 0 ... ... · 1 ⎟ . ⎟ ⎟ ⎠ -a-1 2l a0 -a-1a1 2l -a-1a2 ... - 2l a-1a2l 1 2l - с постоянной 2l × 2l-матрицей A = LAU = ∂y - A ∂x , U ∈ X, (2.3) → Очевидно, этот оператор ограничен X Y, где для краткости положено Y = (Cμ λ-2l )2l. В пространстве Y вектор-функций F = (F1,... , F2l ) выделим подпространство Y0 по условиям F1 = ... = F2l-1 = 0. В частности, подпространство X0 ⊆ X, выделяемое условиями (2.1), можно трактовать как прообраз A X0 = L-1(Y0). (2.4) О РАЗРЕШИМОСТИ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА 569 В принятых обозначениях упомянутая выше эллиптическая система первого порядка для вектора U ∈ X0 запишется в виде с вектором F = (0,... , 0,f ) ∈ Y0. LAU = F (2.5) Отметим следующее важное свойство оператора LA. Лемма 2.2. Оператор LA допускает правый обратный, т. е. такой ограниченный линейный оператор L(-1) : Y → X, что LAL(-1)F = F для всех F ∈ Y. В частности, подпространство A A X0 ⊆ X дополняемо, т. е. X = X0 ⊕ X1 для некоторого замкнутого подпространства X1 ⊆ X. Доказательство. Хорошо известно, что собственные значения матрицы A совпадают с корнями характеристического многочлена χ уравнения (1.1). В частности, для любого ненулевого комплексного числа ξ = ξ1 + iξ2 матрица ξA = ξ1 1+ ξ2 A обратима. Исходя из 2l-вектор-функции ϕ ∈ C μ λ-1 (C, ∞), заданной на всей плоскости, рассмотрим интеграл (T ϕ)(z)= 1 r 2πi D± A (t - z)-1ϕ(t)d2t, z ∈ D±, (2.6) где d2t означает элемент площади. В случае скалярной матрицы A = i с точностью до множителя 2i интеграл Tϕ представляет собой классический интеграл Помпейю. Поэтому естественно в общем случае матрицы A этот интеграл называть обобщенным интегралом Помпейю. Также легко проверяется, что при дополнительном условии ϕ1 ∈ C1 функция U = Tϕ также непрерывно дифференцируема и удовлетворяет неоднородной системе LA(T ϕ)= ϕ. (2.7) В действительности этот факт справедлив и для функций ϕ, локально удовлетворяющих условию Гельдера (см., например, [9, лемма 3.4.2]). Более точное поведение этих интегралов вблизи контура Γ изучено в [9] для более общих ядер, однородных степени -1, в терминах пространств Гельдера Cμ и C1,μ. В частности, оператор T ограничен Cμ λ-1 λ (C, ∞) → C1,μ(C, ∞), -1 < λ < 0, и, следовательно, служит правым обратным к LA в указанных пространствах. A Применим его к построению правого обратного L(-1) : C μ λ-2l → C 1,μ λ-2l+1 в области D. Не A 0 ограничивая общности, можно считать, что 0 ∈/ D, так что для любого целого k матрица-функция Hk (z)= zk бесконечно дифференцируема в области D. При k = -1 она уже использовалась в (2.6). Согласно [9], однородная степени нуль функция |z|-k Hk (z) принадлежит Cn,μ, так что оператор умножения F → HkF осуществляет изоморфизм Cn,μ → Cn,μ . Легко видеть, что матрица-функция ν ν+k Hk удовлетворяет однородному уравнению LAHk = 0, т. е. ∂Hk ∂y - A ∂Hk = 0. ∂x Кроме того, ее значения Hk(z) коммутируют с A, так что LA(HkF )= HkLF (2.8) для любой вектор-функции F. A Введем теперь оператор L(-1) по формуле (L(-1) A F )(z)= H-2l+1(z)[T (H2l-1F )∗](z), z ∈ D, C который, очевидно, ограничен μ λ-2l → C 1,μ λ-2l+1 . В силу (2.7), (2.8) он действительно является правым обратным к LA, что осуществляется прямой проверкой: [LA(L(-1) A F )](z)= H-2l+1(z)(H2l-1F )∗(z)= F (z), z ∈ D. Что касается второго утверждения леммы, то запишем Y = Y0 ⊕ Y1, где Y1 состоит из векторов (-1) (-1) A A F = (F1,... , F2l-1, 0), и положим X1 = LA (Y1). В силу равенства LALA =1 подпространство X1 замкнуто. Если U ∈ X0 ∩X1, то по определению U = L(-1)F для некоторого F ∈ Y1 и LAU ∈ Y0. Но тогда F = LAU ∈ Y0 ∩ Y1 и, значит, F = 0 и U = L(-1)F = 0. С другой стороны, для U ∈ X 570 Б. Д. КОШАНОВ, А. П. СОЛДАТОВ (0) (1) (k) k (1) A (1) 1 A (1) (0) запишем LA = F + F с F ∈ Y . Тогда U = L(-1)F ∈ X и L (U - U ) = F , так что U(0) = U - U(1) ∈ X0. Следовательно, X = X0 ⊕ X1. Обратимся к краевому условию (1.2) задачи N0. Аналогично [5], порядки дифференцирования в краевом условии (1.2) можем выровнять с помощью видоизмененного оператора касательного дифференцирования на контуре Γ. Напомним, что он состоит из связных компонент Γ0, Γ1,... , Γn. Для функции ϕ ∈ C1(Γ) положим 1Γ dϕ = ϕ× + d0ϕ, (d0ϕ)1 i 1 r = |Γi| Γi ϕ(t)d1t, где штрих означает дифференцирование по параметру длины дуги, |Γi| - длина контура Γi и d1t означает элемент длины дуги. Смысл этого определения в том, что оператор d обратим C1(Γ) → C(Γ). Действуя на j-ое уравнение краевого условия (1.2), его можем записать в виде г( ∂ 2l-kj ( ∂ kj -1 l1 где ∂e ∂n j u + c0u 1 1 = dk-kj fj, 1Γ c0 j u = c 0 rsj ∂ su 0 ( ∂ kj -1u 0'(r'(s'(2l-2 ∂s-rx∂ry + d ∂nkj -1 rsj с некоторыми c0 ∈ C1,ν (Γ). По отношению к l × 2l-матрице-функции C = (Cjk) ∈ C1,ν (Γ), элементы которой определяются из соотношений 2l Cjk(t)zk-1 = [e1(t)+ e2(t)z]2l-kj [-e2(t)+ e1(t)z]kj -1, 1 '( j '( l, (2.9) k=1 аналогично предыдущему, эти краевые условия можем представить в виде CU + + C0U = f 0, (2.10) где знак + указывает на граничное значение функций, оператор C0 = c0D-1 ограничен X0 → [C1,μ(Γ)]l и положено f 0 = dk-kj fj. Поскольку операторы c0 ограничены C2l,μ → C2,μ(Γ), в дейj j λ ствительности оператор C0 компактен X0 → [C1,μ(Γ)]l . В результате получаем задачу (2.5), (2.10) в классе X0, которая эквивалентна задаче N0 и которую обозначим символом R0. Целесообразно ее распространить на более широкий класс X, на котором оператор C0 не определен. Это препятствие можно обойти следующим образом. В силу лемм 2.1, 2.2 существует проектор P банахова пространства X на его замкнутое подпространство X0. С помощью него можем рассмотреть обобщенную задачу Римана-Гильберта 1Γ LAU = f 1, (CU + + C0PU )1 = f 0 (2.11) в классе X, где для единообразия положено f 1 = F. Эту задачу в классах X и X0 обозначим, соответственно, R и R0, а в классе X0 она переходит в задачу R0. Следующая лемма устанавливает связь между индексами этих задач. Лемма 2.3. Если задача R фредгольмова, то фредгольмовы и задачи R0, R0, причем индексы этих задач связаны соотношениями ind R0 - ind R0 = nl(2l - 1), ind R = ind R0. (2.12) Доказательство. Пусть для краткости Z = [C1,μ(Γ)]l . Тогда операторы задач R, R0 и R0, которые обозначим теми же символами, действуют, соответственно, X → Y ×Z, X0 → Y0 ×Z и X0 → Y0 ×Z. Предположим, что задача R фредгольмова. Тогда по определению ядро ker R, т. е. класс решений U ∈ X однородной задачи, конечномерно и существуют такие линейно независимые функционалы (y∗, z∗) ∈ Y ∗ × Z∗, 1 '( i '( s, что в обозначениях (2.11) условия «ортогональности» i i y∗ i (f i 1)+ z∗(f 0)= 0, 1 '( i '( s, (2.13) необходимы и достаточны для разрешимости неоднородной задачи R. При этом разность между размерностью dim (ker R) и s определяет индекс ind R задачи. О РАЗРЕШИМОСТИ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА 571 В силу (2.4) ядро ker R0 задачи R0 совпадает с ker R, а функционалы (y∗, z∗) непрерывны и i i 0 на Y0 × Z, поэтому с учетом (2.4) условия (2.13) достаточны и для разрешимости задачи R0 с правыми частями (f 1,f 0) ∈ Y0 × Z. Однако, вообще говоря, эти функционалы, рассматриваемые как элементы Y ∗ × Z∗, не являются линейно независимыми. Однако в рассматриваемой ситуации их линейная независимость обеспечивается леммой 2.2. В самом деле, на основании этой леммы функционалы y∗ и z∗ связаны соотношением y∗ i (f i 1)= -z∗[(C+ + C0 i A P )(L(-1)f i 0)], 1 '( i '( s. (2.14) Поэтому пусть для некоторой линейной комбинации линейный функционалов (y∗, z∗) выполняется тождество i i s λi[y∗(f 1)+ z∗(f 0)] = 0, (f 1,f 0) ∈ Y 0 × Z, i i 1 i так что, в частности, линейные функционалы z∗ линейно зависимы. Но тогда в силу (2.14) этим свойством обладают и (y∗, z∗), что невозможно. i i Таким образом, задача R0 фредгольмова и ее индекс совпадает с индексом задачи R. Согласно лемме 2.1 оператор R0 получен расширением R0 на nl(2l - 1) измерений, поэтому на основании известных свойств фредгольмовых операторов (см. [8, 9]) отсюда следует фредгольмовость оператора R0 и первое равенство в (2.12). Совместно с леммами 1.1, 2.3 следующая теорема о фредгольмовой разрешимости задачи R приводит к справедливости теоремы 1.1. Теорема 2.1. В предположении (1.7) задача R фредгольмова в классе X и в обозначениях (1.8) ее индекс дается формулой m ind R = 2(n + 1)κ0 + 2(n + 1) lj (2l - lj ) - 2l(2l - 1) - (n + 1)l. (2.15) j=1 Доказательство. Аналогично (1.6) введем 2l × l-матрицу B = Wh(ν1,... , νm) по отношению к 2lвектору h(z)= (1, z,... , z2l-1). Вместе с комплексно сопряженной B она образует 2l × 2l-матрицу B� = (B B). Как показано в [5], эта матрица обратима и приводит матрицу A в (2.3) к жордановой блочно-диагональной форме: B�-1AB� = diag (J, J ), J = diag (J1,... , Jm), (2.16) где Jk ∈ Cl×lk является клеткой Жордана, отвечающей корню νk характеристического многочлена. Исходя из l × 2l-матрицы C(t), фигурирующей в (2.9), (2.10), составим l × l-матрицу-функцию C(t)B на Γ. A Как и при доказательстве леммы 2.2, без ограничения общности можно считать, что точка z =0 лежит вне замкнутой области D. Рассмотрим матрицу-функцию H(z)= z1-2l, уже встречающуюся в этой лемме. Оператор умножения V → HV на эту функцию осуществляет изоморфизм пространства C1,μ на X = C1,μ . Поэтому подстановка U = HU� сводит задачу (2.11) к эквивалентной λ задаче λ-2l+1 LAU� = F�, (CH+)U� + + C0(HU� )= f 0 (2.17) в классе C1,μ с соответствующей правой частью F� = H-1F ∈ Cμ . Согласно [12, теорема 4] в λ предположении λ-1 det[C�(t)B] /= 0, t ∈ Γ, (2.18) λ задача (2.17) фредгольмова в классе C1,μ и ее индекс дается формулой 1 + ind R� = - π [arg det(CH 1Γ B)]1 - (n + 1)l, где приращение непрерывной ветви аргумента на контуре Γ осуществляется в направлении, оставляющем область D слева. J В силу (2.16) имеем равенство zAB = BzJ с матрицей (x + iy)J = x1+ yJ, так что HB = Bz1-2l. Поэтому (2.18) равносильно det[C(t)B] /= 0, t ∈ Γ, (2.19) 572 Б. Д. КОШАНОВ, А. П. СОЛДАТОВ и предыдущая формула переходит в 1 1 1-2l Очевидно, 1Γ ind R� = - π [arg det(CB)]1 m 1Γ - π [arg det(tJ )]1 - (n + 1)l. (2.20) det zJ = тт(x + νjy)(1-2l)lj . j=1 По условию, точка z =0 лежит внутри одного из n +1 простых контуров, составляющих Γ (пусть она лежит внутри Γ0). Тогда 1 [arg det(t1-2l )]Γ = (2l - 1)l, 1 [arg det(t1-2l )]Γ = 0, 1 '( j '( n, (2.21) 2π J 0 2π J j где учтено, что положительное по отношению к D направление на Γ осуществляется по часовой стрелке. Матрицу C(t)B можно записать в форме C(t)B = Wp(ν1,... , νm), где в обозначениях (1.5) вектор p(z) = p(e, z) определяется компонентами pj (e, z) = (e1 + e2z)2l-1[ω(e, z)]kj -1. Как показано в [4], отсюда m det[C(t)B]= тт(e1 + e2νj )lj (2l-lj ) det Wg [ω(e, ν1),... , ω(e, νm)], j=1 где в правой части равенства под e ∈ T понимается единичный касательный к Γ вектор e(t). В частности, условие (2.19) равносильно (1.7). Поскольку при движении на Γ в положительном направлении (т. е. по часовой стрелке) вектор e(t) меняется на T по часовой стрелке, можем написать 1 1Γ - π [arg det Wg [ω(e, ν1),... , ω(e, νm)]]1 = 2(n + 1)κ0, 1 n 1 arg (e1 + νje2)1 = arg (e1 + νje2)1 = -n - 1. 2π Следовательно, 1 1Γ 2π j=0 1Γj m 1Γ - π [arg det(CB)]1 = 2(n + 1)κ0 + 2(n + 1) j=1 lj (2l - lj ). Подстановка этого равенства вместе с (2.21) в (2.20) приводит к справедливости формулы (2.16). 3. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Результат, аналогичный теореме 1.1, справедлив и для случая конечной области с той разницей, что для индекса имеем выражение ⎡ ⎤ κ = 2(n - 1) ⎣κ0 +2 lilj ⎦ , (3.1) i<j которое в случае n =0 односвязной области D полностью совпадает с формулой, приведенной в [4]. Отметим в этой связи, что в формуле индекса, указанной в работе [11], допущена ошибка вместе с соответствующим пробелом в ее доказательстве. Этот пробел легко восполнить с помощью приведенных выше рассуждений. Итак, пусть область D конечна и ограничена контуром Γ ∈ C2l,ν, составленным из простых контуров Γ0,... , Γm. При этом предполагается, что контур Γ0 является внешним и охватывает остальные компоненты. Рассмотрим задачу N в классе C2l,μ(D) для уравнения (1.1) с коэффициентами ar,k ∈ Cμ(D). Как и выше, с ней свяжем задачу R в классе X = C1,μ(D) для системы (2.3), О РАЗРЕШИМОСТИ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА 573 определяемой краевым условием (2.11). Тогда аналогом леммы 2.3 здесь является следующая связь между индексами κ и ind R этих задач: κ = (1 - n)l(2l - 1) + ind R. (3.2) Согласно [12, теорема 1] в предположении (2.19) задача R фредгольмова и ее индекс дается формулой ind R = - π [arg det(CB)]1 1 1Γ - (n - 1)l. (3.3) Поскольку контур Γ0 ориентирован против часовой стрелки, а контуры Γj, 1 '( j '( n, - по часовой стрелке, предыдущие рассуждения дают равенство - π [arg det(CB)]1 1 1Γ = 2(n - 1)κ0 + 2(n - 1) m j=1 lj (2l - lj ), которое совместно с (3.2) и (3.3) приводит к формуле (3.1). Как показано в [4], для следующих частных случаев корней характеристического уравнения и набора порядков k1,... , kl величина κ0 в (1.8) вычисляется явно: ( -2 ), lilj, kj+1 - kj ≡ 1, κ0 = i<j 0, m = 1. Отметим еще, что теорему 2 работы [11] можно переформулировать следующим образом. Теорема 3.1. Условие (1.7) равносильно тому, что рациональная функция νk - ζ k R(ζ)= (det Wg )[γ1(ζ),... , γm(ζ)], γk(ζ)= 1+ ν ζ , не имеет вещественных нулей на расширенной действительной прямой R = R ∪ {∞}, и при выполнении этого условия величина -2κ0 совпадает с числом нулей этой функции в нижней полуплоскости, взятое с учетом их кратности.

Об авторах

Б. Д. Кошанов

Институт математики и математического моделирования Министерства образования и науки Республики Казахстан

Автор, ответственный за переписку.
Email: koshanov@list.ru
Алматы, Казахстан

А. П. Солдатов

Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской академии наук

Email: soldatov48@gmail.com
Москва, Россия

Список литературы