Слабые и сильные асимптотики ортогональных многочленов c «переменным» весом

Аннотация

Рассматриваются последовательности ортогональных многочленов с «переменными» (varying), т. е. зависящими от номера многочлена, весами. Получены расширения классов применимости известных асимптотических формул для больших номеров.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение 427 2. Слабые асимптотики многочленов, ортогональных с переменным весом 430 3. Сильные асимптотики многочленов, ортогональных с переменным весом 433 4. Асимптотики при наличии зон сталкивания равновесной меры 435 Список литературы 438 1. ВВЕДЕНИЕ Пусть Pn(x) = xn + ... - последовательность (n ∈ Z+) многочленов, ортогональных по мере σ(x) на отрезке Δ ⊂ R (supp σ = Δ): r Pn(x)xν dσ(x) = 0, ν = 0, 1,... ,n - 1. (1.1) Δ Асимптотическая теория ортогональных многочленов достаточно глубоко изучена и имеет широкое применение. Известен ряд асимптотических формул, которые с разной точностью описывают эти многочлены при больших n. Естественно, что для улучшения точности представления многочлена приходится накладывать более ограничительные условия на меры ортогональности. Так называемые формулы слабой асимптотики справедливы для достаточно общих последовательностей {Pn(x)}. Эти асимптотики выражаются в виде слабой сходимости последовательности мер. Существуют два типа слабых асимптотик. n Дискретную вероятностную меру χPn , равнораспределенную в нулях Pn(x) = ТТ (x - xj,n), j=1 1 n χPn (x) := n j=1 δ(x - xj,n) (1.2) называют мерой, считающей нули ортогонального многочлена Pn (zero counting measure). Эти меры слабо сходятся при n → ∞: χP ∗ n (x) -→ λ(x) (1.3) © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 427 428 А. И. АПТЕКАРЕВ к экстремальной мере λ, минимизирующей энергию Eμ логарифмического потенциала V вероятностных мер μ с носителем на Δ (т. е. носителе меры ортогональности σ): r r ∃! λ : Eμ := Δ Δ dμ(z)dμ(t) ln |z - t| -→ inf μ)0, supp μ=Δ, |μ|=1 . (1.4) Эту меру также называют равновесной мерой, так как r Vλ(x) := Δ λ(t) ln = ω, ∀x ∈ Δ, x - t (1.5) где ω - постоянная Робена. Отметим, что в рассматриваемой ситуации (ортогональность на отрезке) слабая сходимость мер (1.3) влечет равномерную сходимость потенциалов 1 - n ln |Pn(x)| = VχPn (x) ⇒ Vλ(x), x ∈ K cs Ω := C \ Δ, что эквивалентно асимптотике корня n-й степени: 1/n |Pn(x)| ⇒ exp{-Vλ(x)} (1.6) и, в свою очередь, приводит к главному члену асимптотики Pn(z) при n → ∞: Pn(z) = O(exp{-nVλ(z)}), где V = V + iVГ , а VГ - функция, гармонически сопряженная к V. Заметим также, что соотношение равновесия (1.5) позволяет выразить главный член асимптотики: ΦΔ(z) n exp{-nVλ(z)} = α , α = eω > 0, (1.7) где ΦΔ(z) - функция, конформно отображающая внешность отрезка Δ на внешность единичного круга |ΦΔ(z)| = 1, z ∈ Δ; ΦΔ(z)|z→∞ = αz + ... , а α-1 = e-ω - емкость отрезка Δ (= 1 4 его длины). Наконец, отметим, что слабая асимптотика (1.3) имеет место для очень широкого класса мер ортогональности σ ∈ Reg, называемого «регулярные меры» (детали см. в [35]), который даже включает в себя некоторые сингулярные меры. В частности, просто формируемым общим достаточным условием принадлежности меры ортогональности σ ∈ Reg является ее абсолютная непрерывность с положительным почти всюду на Δ весом: dσ(x) = f (x) dx, f (x) > 0, x ∈ Δ п.в. (1.8) Другая формула слабой асимптотики связана с вероятностной мерой p2 n(x)dσ(x), (1.9) где {pn} - последовательность ортонормированных на Δ многочленов r pn(x) pm(x) dσ(x) = δn,m, (1.10) Δ которые связаны с (1.1) следующим образом: pn(z) = γnPn(z) = γn(z2 + .. .), 1 r γ := inf n 2 Qn(x)=xn +... Δ 2 |Qn(x)| dσ(x). (1.11) Как доказал Е. А. Рахманов [12, 13, 32, 33], при выполнении условия (1.8) для Δ = [a, b] справедливо 2 1 p -→ dλ(x) = dx , (1.12) n(x) dσ(x) ∗ π 1(x - a)(b - x) где λ - та же самая равновесная мера (1.4), что и в правой части слабой асимптотики (1.3). Заметим, что считающая нули дискретная мера (1.2) и абсолютно непрерывная мера (1.9) - антиподы. Если первая из них вся равно распределена в нулях ортогонального многочлена, то производная СЛАБЫЕ И СИЛЬНЫЕ АСИМПТОТИКИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ C «ПЕРЕМЕННЫМ» ВЕСОМ 429 второй зануляется в этих нулях. Тем не менее, они имеют одинаковый слабый предел. Из слабой сходимости (1.12) выводится более точная, чем асимптотика корня n-й степени (1.6), формула асимптотики отношения ортогональных многочленов (1.1): Pn+1(z) Pn(z) ⇒ 1 α ΦΔ (z), z ∈ K cs Ω, (1.13) а также доказывается существование и явный вид пределов при n → ∞ коэффициентов an, bn рекуррентных соотношений для ортонормированных многочленов (1.10): an+1pn+1(x)+ bnpn(x)+ anpn-1(x) = xpn. (1.14) Как мы уже отмечали выше, уточнение асимптотических формул (1.6), (1.13) обуславливает сужение класса (1.8) мер ортогональности. Следующий по точности тип асимптотик, так называемые сильные асимптотики, или асимптотики типа Сегё, справедливы при выполнении b o ∈ S(Δ) : r dx ln σt(x) 1 > -∞, Δ = [a, b] (1.15) a (x - a)(b - x) § так называемого условия Сегё. Это условие, как и (1.8), накладывает ограничения на нули веса f (x) = σt(x) и не позволяет весу «зануляться», например, экспоненциальным образом, разрешая алгебраические «зануления». При выполнении условия Сегё (1.15) справедливы (см. [14, 36]) следующие формулы (при n → ∞). § Внешняя асимптотика Pn(z) F (z), z ∈ K cs Ω, (1.16) (αΦΔ(z))n ⇒ f˚ где F - нормированная функция Сегё: Df˚(∞) f ⎨ ⎧ Df , D-1 ∈ H(Ω), 2 Ff˚(z) = D , Df : (z) |Df | = f на Δ, (1.17) f˚ ⎩ Df (∞) > 0 для так называемого тригонометрического веса f˚(z) := 1(x - a)(b - x)f, f := σt. (1.18) Решение краевой задачи в (1.17) имеет вид ⎧ b ⎫ 1 r ln f (x) dx Df (z) = exp ⎨1(a - z)(z - b) ⎩ 2π a (z - x)1 ⎬ . (1.19) (x - a)(b - x) ⎭ § Асимптотика старшего коэффициента для (1.10), (1.11) 4n (1.20) f γn = √π(b - a)nD . (∞) § Асимптотика L2,f нормы на отрезке 1 1 Pn(x) J 1 \1 1 Φn (x)F˚(x)+ Φn (x)F˚(x) 1 = o(1). (1.21) f 1 αn - Δ f Δ 1L2,f Дальнейшее уточнение сильных асимптотик требует больше ограничений на веса ортогональности, чем (1.15). Например, потребовав строгую положительность, непрерывность и гладкость типа Дини-Липшица для тригонометрического веса f˚, С. Н. Бернштейн в [6] доказал равномерную асимптотику на отрезке, т. е. стремление к нулю в формуле (1.21) идет не в L2,f (Δ) норме, а в норме C(Δ). Из недавних достижений отметим разработанную П. Дейфтом с соавторами [23] технику получения глобальных асимптотических разложений для многочленов, ортогональных относительно аналитических, не обращающихся в нуль, весов. Также отметим давно известную открытую проблему о справедливости при условии Сегё (1.15) асимптотики (1.21) не только в норме L2,f , но и в смысле сходимости почти всюду на отрезке Δ. Эту гипотезу Т. Тао назвал нелинейной теоремой Карлесона, см. [30]. 430 А. И. АПТЕКАРЕВ Настоящая работа посвящена асимптотическому анализу при больших n последовательности многочленов Pn(z) = zn + ... , ортогональных на отрезке Δ = [a, b] относительно так называемых «переменных» (varying) весов, когда вес fn тоже зависит от номера (степени) многочлена {Pn}: r Pn(x)xν fn(x) dx = 0, ν = 0,... ,n - 1, (1.22) Δ т. е. речь идет об обобщении (1.1), где dσ(x) = f (x)dx не зависит от номера n. Последовательности многочленов, удовлетворяющих (1.22), играют большую роль в современном анализе. В частности, к конструкциям типа (1.22) приводят так называемые совместно (multiply) ортогональные многочлены (см., например, [16]). В свою очередь, эти многочлены удовлетворяют рекуррентным соотношениям, обобщающим (1.14), коэффициенты которых служат потенциалами для дискретных операторов Шрёдингера на решетках и графах-деревьях (см. [4, 5, 19-22]). Поэтому основной интерес в данной статье представляет слабая асимптотика (1.12) абсолютно непрерывных мер, порождаемых нормированными многочленами 1 γ pn(x) = n Pn(x) : r n p2 (x)fn(x) dx = 1. (1.23) Δ Целью настоящей работы является расширение известного общего класса переменных весов n {fn}, в котором слабая асимптотика меры p2 fn dx имеет место. В следующем разделе мы введем необходимые понятия, в терминах которых будет сформулирован результат А. А. Гончара и Е. А. Рахманова [9, 26] о слабой сходимости считающей нули многочленов (1.22) меры χPn , см. (1.2). Также здесь мы определим общий класс переменных весов n {fn}, введенный В. Тотиком в [37, 38], для которых им были исследованы асимптотики, обсуждаемые во введении, а также приведем его формулировку теоремы о слабой асимптотике меры p2 fn dx и наше ее расширение. Затем мы посвятим раздел формулировкам теорем Тотика о сильной асимпn тотике и доказательству их переформулировок, с помощью которых мы в заключительном разделе передокажем их, а также докажем слабую асимптотику p2 fn dx, но уже в расширенном классе переменных весов {fn}. 2. СЛАБЫЕ АСИМПТОТИКИ МНОГОЧЛЕНОВ, ОРТОГОНАЛЬНЫХ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕСОМ Среди приложений, мотивировавших исследования слабых асимптотик многочленов, ортогональных с переменным весом, можно выделить подход А. А. Гончара к моделированию наилучших рациональных аппроксимаций посредством многоточечных аппроксимаций Паде [7, 24], а также интерес к гипотезе Фройда о скорости роста коэффициентов рекуррентных соотношений (1.14) для многочленов, ортогональных относительно экспоненциальных весов e-|x|α , α > 0, доказанной в итоге Е. Б. Саффом с соавторами [28]. В результате для описания слабого предела мер χPn многочленов (1.22) были предложены экстремальные задачи для энергии логарифмического потенциала V μ(x) мер μ, supp μ ∈ Δ, во внешнем поле Q(x): r r dμ(x)dμ(t) r EQ μ := ln Δ Δ |x - t| +2 Q(x), (2.1) Δ где поле Q предполагается непрерывным на отрезке Δ ⊆ R. В случае бесконечного Δ поле в окрестности бесконечности должно расти быстрее логарифма: (Q(x) - ln |x|) → ∞, |x| → ∞. Известно (см. [8, 25, 29], а также более поздние детальные монографии [11, 31, 34]): ∃! λQ : EQ -→ inf . (2.2) μ μ)0, ±μ±=1, supp μ=Δ В отличие от экстремальной меры (1.4), минимизирующей энергию (2.1) в отсутствие внешнего поля (Q ≡ 0), носитель меры λQ не обязан совпадать с отрезком Δ, и соотношения (1.5) превращаются в ( = ωn, x ∈ Δ∗ := supp λQ, VλQ (x)+ Q(x) ) ωn (2.3) , x ∈ Δ \ Δ∗. СЛАБЫЕ И СИЛЬНЫЕ АСИМПТОТИКИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ C «ПЕРЕМЕННЫМ» ВЕСОМ 431 Замечание 2.1. Для выпуклых вниз внешних полей Q носитель Δ∗ тоже оказывается отрезком Δ∗ ⊆ Δ, и в соотношениях равновесия на Δ \ Δ∗ нестрогое неравенство ) превращается в строгое. Примером выпуклых вниз полей являются потенциалы мер, сосредоточенных на отрезках, не пересекающихся с Δ. Вернемся к многочленам Pn(x), ортогональным относительно переменного веса fn(x), см. (1.22). Следуя [38], положим n fn(x) =: w2n(x)u2(x), x ∈ Δ := [a, b]. (2.4) Рассмотрим экстремальную задачу (2.2) во внешнем поле n Q := - ln wn, λQ =: μw , (2.5) где через μwn мы обозначим экстремальную меру в поле wn. Из теоремы Гончара-Рахманова (см. [8, с. 121]) следует, что непрерывность wn на отрезке Δ влечет слабую сходимость меры, считающей нули Pn: χP ∗ w n (x) -→ μ n (x). (2.6) Таким образом, для весов, не зависящих от n, слабая сходимость (2.6) превращается в сходимость (1.3) к мере, имеющей постоянный потенциал на отрезке Δ. Также отметим, что ортогональность относительно переменных весов вида (2.4) и влияние внешнего поля на распределение нулей Pn приводят к качественно новым эффектам, когда нули Pn не заполняют весь отрезок Δ - носитель меры ортогональности, а заполняет лишь его часть Δ∗ ⊆ Δ, Δ∗ = supp μwn . Нетрудно доказать, что w2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 1 n(x) = (b - x) ⇒ Δ = (a ,b ), где a = a, b = b - 9 (b - a). Аналогично асимптотике корня n-й степени (1.6), для многочленов Pn(x) (1.22), (2.4) в случае, когда Δ∗ - отрезок, имеем 1/n |Pn(x)| ⇒ x∈C\Δ∗ exp{-Vμwn (x)}. (2.7) Перейдем теперь к слабым асимптотикам типа (1.12) для ортонормированных многочленов {pn} с переменным весом (1.23). Первый результат в этом направлении получил Г. Лопес Лагомасино [10, 27]. Для многочленов pn(x), ортонормированных на Δ = [a, b] относительно переменной меры dσ(x) где dσ удовлетворяет условию dσn(x) = |T2n(x)| , (2.8) n=0 а {T2n(x)}∞ σt > 0 п.в. на Δ, - произвольная последовательность многочленов таких, что k T2n(x) := ТТ (x - xν,2n) , k ::( 2n, {xν,2n} ⊂ ΔГ cs R, ν=1 и ΔГ ∩ Δ = ∅, справедливо p2 1 dx -→ n(x) dσn(x) ∗ n→∞ π 1(x - a)(b - x) = dλ(x). (2.9) Таким образом, переменная мера (2.8) удовлетворяет условию (1.8), и для нее сохраняется слабая асимптотика (1.12), доказанная Е. А. Рахмановым для мер из класса (1.8), не зависящих от параметра n. Однако надо отметить, что этот замечательный результат до сих пор остается единственным, устанавливающим справедливость слабой сходимости (1.12), (2.9) для общего класса переменных мер ортогональности σ, удовлетворяющих условию (1.12): σt n > 0 п.в. на Δ. (2.10) До сих пор наиболее общий класс переменных мер σn, сохраняющий слабую сходимость (2.9), был рассмотрен В. Тотиком в [37, 38]. Меры, составляющие этот класс, удовлетворяют следующим условиям. 432 А. И. АПТЕКАРЕВ § Мера σn сосредоточена на отрезке Δ, она абсолютно непрерывна с весом (2.4): n dσn(x) = fn(x) dx, fn(x) = w2n(x)u2(x), x ∈ Δ := [a, b], где wn положительна и непрерывна, а u удовлетворяет условию Сегё (1.15) на Δ: wn > 0, wn ∈ C(Δ), u ∈ S(Δ). (2.11) § Экстремальная мера μwn в задаче (2.2), (2.5) абсолютно непрерывна, ее носителем является отрезок Δ∗ := supp μwn , dμwn (x) = vn(x) dx, x ∈ Δ∗ = [a∗, b∗] ⊆ Δ, wn в точках которого справедлива оценка для μt = vn: 1 A (x - a∗)β0 (b∗ - x)β0 ::( vn(x) ::( A(x - a∗)β (b∗ - x)β , x ∈ [a∗, b∗] (2.12) для некоторых констант A, β > -1 и β0. § Носители равновесной меры μwn и меры ортогональности σn должны совпадать: supp μwn := Δ∗ = supp σn := Δ. (2.13) При выполнении этих трех условий слабая сходимость (2.9) доказана в [37, теорема 14.1]. Отметим, что класс переменных весов (2.8) включается в класс Тотика. В настоящей работе мы ссужаем ограничение (2.13) условий Тотика, добавляя требование: § допускается несовпадение носителей σn и μwn : Δ∗ ⊂ Δ. В этом случае внешнее поле задачи (2.2) должно быть выпукло вниз на отрезке Δ: Q := - ln w(x) : Qtt(x) > 0, x ∈ Δ. (2.14) Отметим, что разрешение строгого включения в Δ∗ ⊆ Δ при выполнении условия (2.14) существенно расширяет класс Тотика. Например, условию (2.14) удовлетворяют wn, для которых внешние поля Q = - ln wn являются логарифмическими потенциалами мер μ˜ с компактными носителями ΔГ , не пересекающимися с Δ: Г Q = Vμ, supp μ =: ΔГ cs R : ΔГ ∩ Δ = ∅. В частности, в качестве wn можно взять вес Лопеса-Лагамасино (2.8), но многочлен T переместить из знаменателя в числитель, при этом условие deg T ::( 2n можно заменить на ∃ δ > 0: 1 deg T ::( δ n. Теорема 2.1. Пусть {pn} - последовательность ортонормированных многочленов (1.23) на отрезке Δ := [a, b]: с переменным весом (2.4): r pn(x) pm(x)fn(x) dx = δn,m ∀ m ::( n Δ n fn(x) = w2n(x)u2(x), удовлетворяющим условию (2.11): r ln u(x) dx wn > 0, wn ∈ C(Δ), - 1(x Δ a)(b > -∞. - x) Пусть μwn - экстремальная мера задачи (2.2), (2.5) с носителем supp μwn = Δ∗ ⊆ Δ, удовлетворяющая условию (2.12), причем в случае Δ∗ /= Δ дополнительно выполняется (2.14), т. е. 1 функция ln w(x) выпукла вниз на Δ. Тогда имеет место слабый предел p2 -→ 1 dx n(x) fn(x) dx ∗ n→∞ π Δ∗ 1(x - a∗)(b∗ - x) . (2.15) СЛАБЫЕ И СИЛЬНЫЕ АСИМПТОТИКИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ C «ПЕРЕМЕННЫМ» ВЕСОМ 433 Заметим, что допредельные меры в левой части (2.15) и предельная мера в правой части имеют разные носители при Δ∗ /= Δ. Доказательство теоремы 2.1 мы приведем в конце статьи. Оно существенно будет опираться на формулы сильной асимптотики Тотика, которые мы обсудим в следующем разделе. 3. СИЛЬНЫЕ АСИМПТОТИКИ МНОГОЧЛЕНОВ, ОРТОГОНАЛЬНЫХ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕСОМ Во введении мы сформулировали сильные асимптотики для многочленов, ортогональных относительно не зависящего от n веса f : внешнюю (1.16), старшего коэффициента (1.20) и в L2,f норме на Δ. Приведем аналогичные формулы из [37] для переменного веса fn, удовлетворяющего условиям Тотика (2.11), (2.12), (2.13). Одновременно приводимые формулы Тотика будем преобразовывать к удобному для нас виду. Для внешней асимптотики ортонормированных с переменным весом fn на Δ = [a, b] многочленов имеем (см. [37, теорема 14.3]) 1 n ( \-1 pn(z) = √2π ΦΔ(z) Df˚(z) (1 + o(1)) , z ∈ C \ Δ = Ω. (3.1) Напомним, что Df - функция Сегё, определялась в (1.17) краевой задачей: f ⎧ Df , D-1 ∈ H(Ω), Df : ⎨ | |Df 2 = f на Δ, ⎩ Df (∞) > 0. Тригонометрический вес (см. (1.18)) f˚(x) := 1(x - a)(b - x) f (x), а ΦΔ есть функция, отображающая Ω во внешность единичного круга, которая также определялась в (1.7) через комплексный потенциал Vλ равновесной без внешнего поля меры λ: ΦΔ(z) := αΔ exp{-Vλ(z)}, ΦΔ(∞) = αΔ z + ... , αΔ = eωΔ > 0. Аналогично, с учетом (2.3), определим функцию - ΦΔ,wn (z) := exp { Vμwn (z)+ ωn� , ΦΔ,wn (∞) = αΔ,wn z + ... . (3.2) Модули обеих функций, ввиду соотношений равновесия (1.5) и (2.3), удовлетворяют краевым условиям: |ΦΔ| = 1, |ΦΔ,wn | = wn на Δ, здесь также учли (2.13). Заметим, что функция ΦΔ,wn Dw2 ≡ D := n 1. (3.3) ΦΔ Действительно, она удовлетворяет краевой задаче: ( D, D-1 ∈ H(C \ Δ), D : |D| = 1 на Δ, D(∞) > 0. Отсюда, применяя к D и D-1 принцип максимума модуля, заключаем, что D ≡ 1, и с учетом мультипликативности функции Сегё Df˚n = Dw2n Du2 D√ получаем n (x-a)(b-x) Предложение 3.1. Формула (3.1) из [37, теорема 14.3] при n → ∞ эквивалентна формуле 1 n г D -1 l (3.4) pn(z) = √2π ΦΔ,wn (z) u2 √ (z)+ o(1) . (x-a)(b-x) Теперь обратимся к формуле для асимптотики старшего коэффициента γn для ортонормированного с весом fn многочлена pn. Имеем (см. [37, теорема 13.1]) 2n(1 + o(1)) n γn = √πG(w )nG(u) , (3.5) 434 А. И. АПТЕКАРЕВ где ⎧ 1 ⎫ G(f ) := exp ⎨ 1 r ⎩ π -1 ln f (x) dx ⎬ . 1(x - a)(b - x) ⎭ Сравнив выражение для G(f ) с явным видом (1.19) для функции Сегё Df (z), заключаем, что G(f ) = Df 2 (∞), и, следовательно, с учетом (3.3), n G(wn) = Dw2 (∞) = ΦΔ(∞)/ΦΔ,wn (∞) = 2αΔ,wn , получаем Предложение 3.2. Формула (3.5) из [37, теорема 13.1] при n → ∞ эквивалентна формуле (1 + o(1)) (3.6) α γn = n Δ,wn √πDu2 . (∞) Можем сформулировать следующее следствие предложений 3.1 и 3.2. Следствие 3.1. Для многочленов Pn(z) = zn + ... , ортогональных с весом fn, справедливо 1 γ Pn(z) = n n pn(z) = (αΔ,wn ΦΔ,wn (z)) (FΔ(z)+ o(1)) при n → ∞, (3.7) равномерно на компактах K cs Ω, где FΔ - нормированная функция Сегё (1.17): D˚u2 (∞) 2 1 2 FΔ(z) := D˚u2 , ˚u (x) = (z) (x - a)(b - x) u (x). (3.8) Наконец, рассмотрим асимптотику на отрезке Δ в норме L2[-1, 1]. Справедливо (см. [37, теорема 14.2]) при n → ∞ 1 / 1 1 n 2 cos ((n +1/2) arccos x - π/4+nΓ (x)+Γu(x)) 1 где 1 π 1pn(x)wn (x)u(x) - 1 wn 14 (x - a)(b - x) 1 1 1L2[- 1,1] = o(1), (3.9) 1 r ln f (ξ) - ln f (x) (x - a)(b - x) 1/2 Γf (x) = π Δ ξ - x (ξ - a)(b - ξ) dξ. Запишем эту формулу применительно к многочленам Pn(x) со старшим коэффициентом 1. Имеем на Δ n pnwnu = Pnγnu n Pn 1 ◦ n √ u , откуда при n → ∞ получаем |ΦΔ,wn | |αΔ,wn ΦΔ,wn | π Du2 (∞) 1 n 1 P (x) √ 1 2D 2 (∞) 1 π 1 1 u 1 1 n - 1 cos (n+ ) arccos x - + nΓwn (x)+ Γu(x) 1 = o(1). 1 |αΔ,wn ΦΔ,wn (x)| u 4 (x - a)(b - x) 2 4 2,u2 1L [a,b] Заметим, что из (3.8) следует √ 2 Du2 (∞) u(x)14 (x - a)(b - x) = 2|FΔ (x)|, а из (3.3) имеем arccos x + Γwn (x) = arg 1 (x + - 11 x2\ π n - arg Dw2 = arg ΦΔ,wn (x), Таким образом, справедливо 2 arccos x - 4 + Γu(x) = arg FΔ. СЛАБЫЕ И СИЛЬНЫЕ АСИМПТОТИКИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ C «ПЕРЕМЕННЫМ» ВЕСОМ 435 Предложение 3.3. Для эквивалентных формулам (3.9) на отрезке [a, b] имеем при n → ∞ 1 1 1 Pn(x) 1 где 1 1 |αΔ,wn ΦΔ,wn (x)| n - FΔ,wn (x)1 1L n 2,u2 [a,b] = o(1) (3.10) n FΔ,wn (x) := ΦΔ,wn (x) |ΦΔ,wn (x)| FΔ(x)+ ΦΔ,wn (x) |ΦΔ,wn (x)| FΔ(x). (3.11) 4. АСИМПТОТИКИ ПРИ НАЛИЧИИ ЗОН СТАЛКИВАНИЯ РАВНОВЕСНОЙ МЕРЫ В этом разделе мы сформулируем и докажем асимптотики для многочленов, ортогональных с переменными весами, не удовлетворяющими условию (2.13), которое при этом заменяется на (2.14). Справедлива n Теорема 4.1. Пусть Pn(x) = xn + ... , n ∈ Z+ - последовательность многочленов, ортогональных на отрезке Δ с переменным весом fn := w2nu2, удовлетворяющим условиям теоремы 2.1, т. е. (2.11), (2.12) выполнены, а вместо (2.13) требуется (2.14): выпуклость вниз поля Q = - ln wn(z) в экстремальной задаче для равновесной меры μwn . Тогда 1 1 1 Pn(x) 1 1 1 |αΔ∗,wn ΦΔ∗,wn (x)| n - FΔ∗,wn (x)1 1L 2,u2 (Δ∗) = o(1). (4.1) Замечание 4.1. В случае невыполнения (2.13) условие (2.14) обеспечивает то, что носитель μwn является отрезком Δ∗ = [a∗, b∗], не совпадающим с отрезком Δ, носителем меры ортогональности dσn(x) = fn(x) dx: Δ \ Δ∗ = ∅. Поэтому, в отличие от (3.10), норма L2,u2 берется на отрезке Δ∗ ⊂ Δ, и все функции, определяющие в (4.1) асимптотику, строятся по ограничению переменного веса на носитель равновесной меры: fn|Δ∗ = χΔn fn. Действительно, выпуклость внешнего поля (2.14) влечет строгое неравенство на Δ \ Δ∗ в соотношениях равновесия (2.3): Vμwn (x) - ln wn(x) ( = ωn, x ∈ Δ∗ := supp μwn , (4.2) > ωn, x ∈ Δ \ Δ∗. Так как соотношения равновесия единственным образом определяют меру μwn и константу равновесия ωn, то мера μwn является экстремальной мерой для задач (4.2), рассмотренных на любом отрезке ΔГ : Δ∗ ⊆ ΔГ ⊆ Δ с внешним полем - ln wn|Δ . Тем самым, для любого многочлена PГn(x) = xn + ... , ортогонального на ΔГ с весом fn| , по теореме Гончара-Рахманова Δ (см. (2.6), (2.7)) имеем 1 1 2 1 1 1 PГn(x) 1 n 1 1 1 1 Pn ◦ 1 1 (x) 12 n 1 ( · O e- 2n(Vμwn +ωn ) w 2n\ n ◦ 1 |αΔ∗,wn ΦΔ∗,wn (x)| 1L2,u2 (Δ\Δ∗ ) 1 |αΔ∗,wn ΦΔ∗,wn (x)| 1L2,u2 (Δ\Δ∗ ) ◦ O(δn), ∃ δ ∈ (0, 1). (4.3) n В том числе (4.3) справедливо и для PГn =: P ∗, ортогонального на Δ∗ с весом fn|Δ∗ . Кроме того, ∗ для этого многочлена Pn ввиду [37, теорема 14.2] и предложения 3.3 имеем P ∗ 1 1 n (x) 1 1 1 n - FΔ∗,wn (x)1 = o(1). (4.4) 1 |αΔ∗,wn ΦΔ∗,wn (x)| 1L2,u2 (Δ∗) Теперь мы можем закончить доказательство теоремы 4.1. 436 А. И. АПТЕКАРЕВ Доказательство теоремы 4.1. Мы будем следовать подходу из [1, 2, 15, 17, 39]. Распишем левую часть (4.1): 1 1 1 Pn(x) 12 1 1 |αΔ∗,wn ΦΔ∗,wn (x)| n - FΔ∗,wn (x)1 1L 2,u2 = (Δ∗) r P 2 2 r 2 2 = n (x) u (x) dx r 2Re Pn(x) n Δ∗,wn (x) u (x)dx + |FΔ∗ ,wn (x)| u2dx = | ∗ ΦΔ∗,w | 2n - αΔ∗,wn ΦΔ∗,wn (x)| F αΔ ,wn Δ∗ n (x) | Δ∗ Δ∗ =: I1(Pn) - 2Re I2(Pn)+ I3. (4.5) Рассмотрим I1(Pn). С учетом соотношений равновесия (2.3), (3.2) на Δ∗ имеем r P 2(x) w2n u2(x) dx n r P 2(x) fn(x) dx r P 2(x) fn(x) dx I1(Pn) = n Δ∗ n α 2n Δ∗,wn α = 2n Δ∗,wn Δ - Δ\Δ∗ n α 2n Δ∗,wn =: I1,1(Pn) - I1,2(Pn). Экстремальное свойство ортогональных многочленов (monic) дает n I1,1(Pn) ::( I1,1(P ∗), при этом ввиду (4.3) существует δ ∈ (0, 1) такое, что n I1,2(Pn) ◦ I1,2(P ∗) = O(δn). Таким образом, Перейдем к I2(Pn). Имеем n I1(Pn) ;S I1(P ∗). (4.6) r Pn(x) ( ΦΔ∗,w (x) n ΦΔ∗,w (x) n I2(Pn) = Δ∗ n |αΔ∗,wn ΦΔ∗,wn (x)| n |ΦΔ∗,wn (x)| FΔ∗ (x)+ n |ΦΔ∗,wn (x)| FΔ∗ (x) u2(x)dx = r Pn(x) r Pn(x) (αΔ∗,w Δ ,w n = n Φ ∗ n (x))(+) Δ∗ (FΔ∗ (x))(+) u2(x)dx + Δ∗ f Pn(ξ) (αΔ∗,w Δ ,w n n Φ ∗ n (x))(-) (FΔ∗ (x))(- ) u2(x)dx = = (αΔ∗,wn ΦΔ∗,wn (ξ)) Δ∗ n (FΔ∗ (ξ)) u2(ξ) |dξ|, где через (Ψ(ξ))(+/-) обозначены верхние/нижние предельные граничные значения функции Ψ(ξ), ξ = x ± iy, y → ∞. Обратимся к воспроизводящему свойству нормированной функции Сегё (3.8), (1.17) (см. [39, с. 165]): 1 f где ∀ H(z) ∈ H2,ρ(C \ Δ∗), H(∞) = ν Δ∗ H(ξ)F (ξ)ρ(ξ)|dξ|, ⎧ D , D-1 ∈ H(C \ Δ∗), ⎨ f 2 D˚ρ(∞) ˚ρ ˚ρ 2 1 ∗ ∗ ∗ ν = |F (ξ)| ρ(ξ)|dξ|, F (z) := , D˚ρ(z) |D˚ρ| = ρ ⎩ (x - a )(b - x) на Δ , Δ∗ D˚ρ(∞) > 0. 2 Отсюда (так как ΦΔ∗,wn (z) имеет непрерывные граничные значения на Δ∗, и полагая ρ := u ) получаем Pn(∞) (α I2(Pn) = Δ∗,wn ΦΔ∗,wn (∞))n ν = ν. n Следовательно, так как P ∗(z) - тоже многочлен, со старшим коэффициентом единица (monic), получаем n I2(Pn) = I2(P ∗). (4.7) В итоге, подставляя (4.7) и (4.6) в (4.5), получаем 1 1 Pn(x) n 1 1 1 1 1 P ∗(x) 1 1 1 |αΔ∗,wn ΦΔ∗,wn (x)| n - FΔ∗,wn (x)1 1L 2,u2 (Δ∗) ;S 1 1 |αΔ∗,wn ΦΔ∗,wn (x)| n - FΔ∗,wn (x)1 1L 2,u2 , (Δ∗) СЛАБЫЕ И СИЛЬНЫЕ АСИМПТОТИКИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ C «ПЕРЕМЕННЫМ» ВЕСОМ 437 что с учетом (4.4) доказывает теорему. Обратимся теперь к асимптотике старшего коэффициента ортонормированного относительно переменного веса многочлена в случае, когда условие (2.13) заменяется условием (2.14). Теорема 4.2. В условиях теоремы 2.1 имеет место следующая асимптотика старшего коэффициента (3.6): 1+o(1) (4.8) α γn = Δ∗,wn √π Du2 . (∞) Доказательство теоремы 4.2. Справедливость теоремы сразу следует из (3.6) и экстремального свойства ортогональных многочленов. Имеем 1 1 r 2 2n 2 1 r ∗ 2 2n 2 α2n = 2 α2n Pn (x) wn u (x) dx ::( α2n (Pn (x)) wn u (x) dx = Δ∗,wn γn Δ∗,wn Δ Δ∗,wn Δ n r (P ∗(x))2 u2(x) dx = 1 r (P ∗(x))2 w2nu2(x) dx. Теорема доказана. α2n Δ Δ∗,wn |ΦΔ∗,wn (x)| 2n ◦ α2n n n Δ∗,wn Δ∗ Перейдем к равномерной асимптотике ортогональных относительно переменного веса многочленов вне носителя равновесной меры Δ∗ в случае замены (2.13) на (2.14). Теорема 4.3. В условиях теоремы 2.1 имеет место внешняя асимптотика Pn(z) n ⇒ FΔ∗ (z) равномерно по z ∈ K cs C \ Δ∗. (4.9) (αΔ∗,wn ΦΔ∗,wn (z)) n Доказательство теоремы 4.3. Так как многочлены Pn и P ∗ имеют одинаковую L 2,u2 -асимптотику на Δ∗ (см. (4.4) и (4.1)), имеем 1 1 1 n 1 Pn(x) - P ∗(x) 1 n 1 = o(1). 1 (αΔ∗,wn ΦΔ∗,wn (x)) 1L2,u2 (Δ∗) Отсюда с помощью интегральной формулы Коши можно получить n 1 1 1 Pn(x) - P ∗(x) 1 1 n 1 = o(1), K cs C \ Δ∗, 1 (αΔ∗,wn ΦΔ∗,wn (x)) 1C(K) что с учетом следствия 3.1 (см. (3.7)) дает (4.9). Теорема доказана. Наконец, приведем доказательство теоремы 2.1. Доказательство теоремы 2.1. Для упрощения обозначений (не ограничивая общности) мы будем считать, что Δ∗ := [-1, 1] ⊂ Δ. Из [37, теорема 14.2], см. (3.9), и предложения 3.3, см. (3.10), вытекает 1 1 1pn 1/2 / 2 1 1 \ ( 1 Δ∗,wn 1 1 (x)fn - 1 π √4 1 - x2 cos n arg Φ (x)+ arg FΔ∗ (x) 1 1L2,u2 (Δ∗ ) = o(1). Отсюда по неравенству треугольника ∀h ∈ C(Δ∗) получаем r 2 r p2 h (x) 2 ( \ n(x)fn(x)h(x) dx - π Δ∗ Δ∗ √ cos 1 - x2 n arg ΦΔ∗,wn (x)+ arg FΔ∗ (x) = o(1). Ввиду (4.3) в полученном выражении первый интеграл можно расширить на все Δ. Во втором интеграле сделаем замену arg ΦΔ∗,wn (x) = θ, d arg ΦΔ∗,wn (x) = dθ, dx x = Ψ(θ), dx = Ψt(θ) dθ. 438 А. И. АПТЕКАРЕВ В результате имеем r π 2 r h(Ψ(θ)) \ ( \ p2 2 ( γ(θ) Ψt(θ) dθ, γ(θ) := arg FΔ (x(θ)) . n(x)fn(x)h(x) dx ◦ π Δ 0 11 - Ψ2(θ) cos nθ + Г Г ∗ Воспользуемся леммой: Лемма 4.1 (см. [3, лемма 2.1]). Пусть g ∈ C(R), g(θ + π) = g(θ), H ∈ L1(0, π), Г const п.в. γ < на [0, π]. Тогда при n → ∞ справедливо π π r 1 r g(nθ + γ)H(θ) dθ → π 0 0 π r g(θ) dθ 0 H(θ) dθ. Таким образом, при n → ∞ r p2 π π 2 r h(Ψ(θ))Ψt(θ) dθ r 2 n(x) fn(x) h(x) dx → π2 Δ 0 11 - Ψ2(θ) cos (θ) dθ. 0 Последний интеграл равен π/2, а в оставшемся интеграле делаем обратную замену. В итоге получаем 1 r 1 r p2 h(x) Δ Теорема 2.1 доказана. n(x) fn(x) h(x) dx → π -1 2 √ dx, n → ∞. 1 - x