О разрешимости линейной параболической задачи с нелокальными краевыми условиями

Аннотация

Рассматривается линейное параболическое уравнение с краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского. Доказана теорема существования и единственности обобщенного решения, получены оценки.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Изоморфизм пространств 350 2. Постановка задачи 353 3. Свойства операторов 354 4. Существование и единственность решения 357 5. Пример 360 Список литературы 361 ВВЕДЕНИЕ Нелокальные эллиптические краевые задачи рассматривались начиная с 30-х годов XX века, см. [12]. Абстрактные нелокальные эллиптические краевые задачи изучались в работах [2, 13] и др. В 1969 г. А. В. Бицадзе и А. А. Самарский сформулировали новую нелокальную краевую задачу, возникающую в теории плазмы, см. [1]. В частности, в [1] была изучена следующая задача: -Δw(x) = f (x) (x = (x1, x2) ∈ Q = (0, 2) × (0, 1)), (0.1) w(x1, 0) = w(x1, 1) = 0 (0 � x1 � 2), w(0, x2) = γ1w(1, x2), w(2, x2) = γ2w(1, x2) (0 � x2 � 1) ) (0.2) при γ1 = 0 и γ2 = 1. Разрешимость задачи в общей постановке была сформулирована как нерешенная задача, см. [6]. В конце 80-х годов была построена общая теория линейных нелокальных эллиптических краевых задач, в рамках которой была решена указанная проблема, см. [7-9, 16]. В данной работе исследование нелокальных краевых задач продолжено для линейных параболических уравнений. Отметим, что основным методом исследования в данной работе является сведение параболической задачи с нелокальными краевыми условиями к эволюционному дифференциально-разностному уравнению с краевыми условиями Дирихле. Ранее этот метод использовался лишь для эллиптических задач, см. [10, 16]. Обобщение его на параболический случай связано с использованием техники монотонных операторов, см., например, [5]. С другой стороны, независимо от параболических задач с нелокальными краевыми условиями несколько десятилетий широко рассматривались параболические функционально-дифференциальные уравнения, см., например, [3, 11, 15] и библиографию. В этих исследованиях большую роль играли полугрупповые свойства операторов, что не использовалось в представленной работе. Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания (номер темы FSSF-2020-0018). © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 349 350 О. В. СОЛОНУХА В первом разделе сформулированы свойства разбиения области и границы, а также доказана теорема об изоморфизме функциональных пространств, позволяющая поставить в соответствие нелокальной параболической задаче некое эквивалентное (с точки зрения множества решений) параболическое функционально-дифференциальное уравнение. Во втором разделе построено эволюционное дифференциально-разностное уравнение, соответствующее исходной задаче. Свойства дифференциально-разностных операторов, входящих в это уравнение, изучены в разделе 3. В разделе 4 сформулированы и доказаны достаточные условия существования и единственности решения линейной нелокальной задачи параболического типа. В качестве модельного примера рассмотрена параболическая задача с Лапласианом в прямоугольном параллелепипеде ΩT = (0,T ) × (0, 2) × (0, 1): ∂tw(t, x) - Δw(t, x) = f (t, x) ((t, x) ∈ ΩT ), (0.3) u(0, x) = ψ(x) (x = (x1, x2) ∈ Q = (0, 2) × (0, 1)) (0.4) c нелокальными краевыми условиями w(t, x1, 0) = w(t, x1, 1) = 0 (t ∈ (0,T ), 0 � x1 � 2), w(t, 0, x2) = γ1w(t, 1, x2), w(t, 2, x2) = γ2w(t, 1, x2) (t ∈ (0,T ), 0 � x2 � 1) Здесь f ∈ L2(ΩT ), ϕ ∈ L2(Q). ) . (0.5) В работах [4, 14] исследовались линейные эллиптические уравнения со смешанными нелокальными краевыми условиями, т. е. на части границы задавались нелокальные краевые условия, а на оставшейся части - производные по нормали от неизвестной функции. Используя методы настоящей работы и статей [4, 14], можно исследовать разрешимость нелокальных смешанных задач для параболических уравнений. 1. ИЗОМОРФИЗМ ПРОСТРАНСТВ Пусть Q ⊂ Rn - ограниченная область с границей ∂Q класса C∞ или Q = (0, d) × G, где G ⊂ Rn-1 - ограниченная область (с границей ∂G класса C∞, если n ;? 3). В случае n = 1 мы полагаем Q = (0, d). Определим цилиндр ΩT := (0,T ) × Q с границей ΓT := (0,T ) × ∂Q. Рассматриваемая в статье задача является нелокальной, поскольку краевые условия в некоторых точках (t, x) ∈ ΓT заданы непосредственно, а в некоторых точках определены значениями искомой функции u(t, x) внутри области, при (t, x) ∈ ΩT . Для точной формулировки данных условий (см. ниже (1.2)) необходимы дополнительные построения. Для изучения параболической краевой задачи нам потребуются некоторые вспомогательные построения, разработанные для эллиптических нелокальных задач. Заметим, что нелокальные условия связывают значения искомой функции в точках, смещенных только по пространственным координатам. Данные сдвиги можно задать неким разностным оператором. Поскольку мы не рассматриваем временные сдвиги, то можно рассматривать разностный оператор сдвигов как дей- 2 ствующий в Rn или в n-мерных областях. Свойства таких разностных операторов в пространствах L2(Q) и W 1(Q) были изучены ранее, см. [7, 10, 16]. В данном разделе мы используем упомянутые результаты, чтобы сформулировать свойства разностных операторов RQ : L2(ΩT ) → L2(ΩT ) и RQ : L2(0,T ; W˚ 1(Q)) → L2(0,T ; W 1(Q)), необходимых для установки связи между нелокаль- 2 2 ной задачей и неким дифференциально-разностным уравнением. Ниже будет подробно изложено построение и действие данных разностных операторов. 1. Разбиение области. Пусть M ⊂ Rn - конечное множество векторов h с целочисленными (или соизмеримыми) координатами. Через M обозначим аддитивную группу, порожденную множеством M, а через Qr - открытые связные компоненты множества Q \ ( J h∈M (∂Q + h)). Определение 1.1. Множество Qr называется подобластью. Семейство R всех подобластей Qr (r = 1, 2,.. .) называется разбиением области Q. Легко видеть, что множество R не более чем счетно, при этом J ∂Qr = ( J (∂Q + h)) ∩ Q и r h∈M J Qr = Q. Известно, что для любой подобласти Qr1 и произвольного вектора h ∈ M либо найдетn r ся подобласть Qr2 такая, что Qr2 = Qr1 + h, либо Qr1 + h ⊂ R \ Q, см. [16, лемма 7.1]. Таким О РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ 351 образом, семейство R можно разбить на непересекающиеся классы следующим образом: подобласти Qr1 , Qr2 ∈ R принадлежат одному классу, если Qr2 = Qr1 + h для некоторого h ∈ M. Будем обозначать подобласти Qr через Qsl, где s - номер класса, а l - номер подобласти в s-м классе. Очевидно, каждый класс состоит из конечного числа N = N (s) подобластей Qsl. Множество классов может быть конечным или счетным, см. примеры в [16, гл. II, §7]. 2. Разбиение границы. Кроме разбиения области, необходимо рассмотреть свойства разбиения границы ∂Q, определяемое тем же множеством сдвигов M ⊂ Rn, см. выше. По-прежнему, M - аддитивная группа, порожденная M. Условие 1. Пусть множество K, заданное формулой K = 1 h1 ,h2∈M f 'l Q ∩ (∂Q + h1) ∩ [(∂Q + h2) \ (∂Q + h1)] , (1.1) удовлетворяет условию mesn-1(K ∩ ∂Q) = 0. Обозначим через Γρ открытые, связные в топологии ∂Q компонентымножества ∂Q\K. В [16, §7] получен следующий результат: Лемма 1.1. Если (Γρ + h) ∩ Q ±= ∅ для некоторого h ∈ M, то или Γρ + h ⊂ Q, или существует Γr ⊂ ∂Q \K такое, что Γρ + h = Γr. Согласно этому свойству множества {Γρ + h : Γρ + h ⊂ Q, ρ = 1, 2,... , h ∈ M 1 могут быть разбиты на классы. Множества Γρ1 + h1 и Γρ2 + h2 принадлежат одному классу, если 1. существует вектор h ∈ M такой, что Γρ1 + h1 = Γρ2 + h2 + h; 2. для любых Γρ1 + h1, Γρ2 + h2 ⊂ ∂Q нормали к ∂Q в точках x ∈ Γρ1 + h1 и x - h ∈ Γρ2 + h2 однонаправлены. Обозначим множество Γρ + h через Γrj, где r - номер класса, j - номер элемента в классе (1 � j � J = J (r)). Не нарушая общности, будем считать, что Γr1,... , ΓrJ0 ⊂ Q, ΓrJ0 ,... , ΓrJ ⊂ ∂Q (0 � J0 = J0(r) < J (r)). Как известно, см. [16, §7], данное разбиение обладает следующими свойствами: Лемма 1.2. Для любого Γrj ⊂ ∂Q существует подобласть Qsl такая, что Γrj ⊂ ∂Qsl. Более того, если Γrj ⊂ ∂Qsl, то Γrj ∩ ∂Qs1l1 = ∅ для любых пар (s1, l1) ±= (s, l). Лемма 1.3. Для каждого r = 1, 2,... существует единственный номер s = s(r) такой, что N (s) = J (r) и Γrl ⊂ ∂Qsl (l = 1,... ,N (s)) (с точностью до перенумеровки). rl Обозначим теперь ΓT := (0,T ) × Γrl. Проиллюстрируем разбиение области на простом примере. x2 ✻ ✁ ΓT ✁✕t ✁ ✁ ✁ T ✁ ✁ 41 1 ✁ ✁ ΓT ✁ Γ42 ✁ T ✁ ΓT ✁ 11 = Γ21 T 12 Γ22 ✁. T T ✁ ✁T Γ31 Γ32 ✁ ✲ 0 1 2 x1 РИС. 1 Пример 1.1. Рассмотрим нелокальные краевые условия задачи Бицадзе-Самарского (0.5). Согласно этим краевым условиям мы имеем множество сдвигов M = {(0, 0); (1, 0); (-1, 0)}, которые разбивают область Q = (0, 2) × (0, 1) на две подобласти Q11 = (0, 1) × (0, 1) и Q12 = (1, 2) × (0, 1), принадлежащих одному классу. Множество K состоит из 6 точек: K = {(i, j) : i = 0, 1, 2; j = 0, 1}. rj Множество {ΓT } состоит из 8 элементов, которые принадлежат 4-м классам, см. рис. 1: 11 3. ΓT 12 = (0,T ) × {1} × (0, 1), ΓT = (0,T ) × {0} × (0, 1); 352 О. В. СОЛОНУХА 21 4. ΓT 31 5. ΓT ΓT 22 = (0,T ) × {1} × (0, 1), ΓT 32 = (0,T ) × (0, 1) × {0}, ΓT T = (0,T ) × {2} × (0, 1); = (0,T ) × (1, 2) × {0}; 4) 41 = (0,T ) × (0, 1) × {1}, Γ42 = (0,T ) × (1, 2) × {1}. ij Заметим, что в полученном прямоугольном параллелепипеде есть еще 4 части граней, не входящих в множество {ΓT } (i = 1,... , 4; j = 1, 2). В частности, на гранях {0} × Q11 и {0} × Q12 заданы начальные условия, на гранях {T }× Q11 и {T }× Q12 мы получим терминальные значения искомой функции. 3. Построение разностного оператора. Сформулируем следующее необходимое условие. Условие 2. Для каждой подобласти Qsl (s = 1, 2,... , l = 1,... ,N (s)) и для любого ε > 0 существует открытое множество Gsl ⊂ Qsl с границей ∂Gsl ∈ C1 такое, что mesn(Qsl \ Gsl) < ε, mesn-1(∂GslΔ∂Qsl) < ε. 2 Множество всех распределений u ∈ Dt(Q), являющихся вместе со всеми своими частными производными 1-го порядка функциями из L2(Q), обозначим через W 1(Q). Пространство Соболева W 1(Q) - гильбертово относительно нормы ∓u∓ 1 = { ), Г 2 12 1 Q |∂iu| pdx , здесь и далее 2 W2 (Q) 0�i�n 2 ∂0u := u. Через W˚ 1(Q) обозначим замыкание множества C˙ ∞(Q) финитных бесконечно дифференцируемых функций в W 1(Q). Как известно, эквивалентной нормой пространства W˚ 1(Q) явля- 2 2 Г 2 12 1 2 (Q) ется ∓u∓W˚ 1 = { ), 1�i�n Q |∂iu| pdx . Также будут рассматриваться сопряженные пространства W -1 1 T 2 2 (Q) = (W˚2 (Q))∗. Линейное пространство L2(0,T ; X) := {u : (0,T ) → X : Г0 ∓u∓X dt < ∞1 с T нормой ∓u∓L2 (0,T ;X) = (Г 2 ∓u∓ dt) 1/2 также гильбертово, если X - гильбертово. Таким образом, 0 X пространства L2(0,T ; W˚ 1(Q)) и L2(0,T ; W 1(Q)) гильбертовы. 2 Обозначим через L2(0,T ; W 1 2 (Q)) (γ = {γr }) подпространство функций из L2(0,T ; W 1(Q)), 2,γ ij 2 удовлетворяющих нелокальным краевым условиям J0 ⎫ w|ΓT = ), γr w| T (r ∈ B, l = J0 + 1,... ,J ), ⎪⎬ rl j=1 lj Γrj (1.2) |Γ ∈ ⎭ w T = 0 (r / B, l = 1,... ,J ), ⎪ rl lj где J0 = J0(r), J = J (r), γr - вещественные числа, B = {r : J0 > 0}. Рассмотрим набор вещественных постоянных коэффициентов {ah : h ∈ M}. Определим разностный оператор Λ = R : L2(0,T ; Rn) → L2(0,T ; Rn): Ru(t, x) = '\" ahu(t, x + h), (1.3) h∈M ij а также оператор RQ = PQRIQ : Lp(ΩT ) → L2(ΩT ). Здесь IQ : L2(ΩT ) → L2((0,T )×Rn) - оператор продолжения функций из L2(ΩT ) нулем в (0,T ) × (Rn \ Q), а PQ : L2((0,T ) × Rn) → L2(ΩT ) - оператор сужения функций из L2((0,T ) × Rn) на ΩT . Для исследования свойств оператора RQ введем матрицы Rs = {rs }1�i,j�N (s) такие, что rs ( ah (h = hsj - hsi ∈ M), ij = (1.4) 0 (hsj - hsi ±∈ M), ΓT где hsi определяется условием Qsi = Qs1 + hsi. Из ограниченности области Q и формулы (1.4) следует, что множество различных матриц Rs конечно. Обозначим эти матрицы Rsν (ν = 1,... , n1). Согласно лемме 1.3, для каждого r = 1, 2,... найдется единственный номер s = s(r) такой, что N (s) = J (r) и Γrl ⊂ (0,T )× ∂Qsl (l = 1,... ,N ) после перенумерации подобластей s-го класса, т. е. rl ⊂ (0,T ) × ∂Qsl (l = 1,... ,N ). Обозначим через Rs(r) матрицы, полученные из Rs (s = s(r)) j путем перенумерования соответствующих столбцов и строк. Пусть er (j = 1,... ,J (r)) - j-ая строка матрицы размерности J × J0, полученной путем вычеркивания последних J - J0 столбцов из матрицы Rs(r). Определение 1.2. Будем говорить, что матрицы Rs соответствуют граничным условиям (1.2), если выполнено следующее условие: О РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ 353 Условие 3. Существует набор Λ такой, что для любого s = 1, 2,... матрицы Rs невырождены, а также для всех r ∈ B и s = s(r) справедливо: er = ), γr er (l = J0 + 1,... ,J ). l 1�j�J0 lj j Кроме того, обозначим через Rs0 матрицу порядка J0 × J0, полученную из матрицы Rs вычеркиванием последних N (s) - J0 строк и столбцов. Пример 1.1 (продолжение). Согласно краевым условиям (0.5), мы имеем множество сдвигов M = {(0, 0); (1, 0); (-1, 0)}. В соответствии с множеством сдвигов разностный оператор должен иметь вид Ru(t, x) = u(t, x)+a1u(t, x1 +1, x2)+a-1u(t, x1 -1, x2). Данному оператору соответствует , матрица R1 = ( 1 a1 � a-1 1 невырожденная при a1a- 1 ±= 1. В то же время, для любого u ∈ 2 L2(0,T ; W˚ 1(Q)) и w = RQu получаем: w(t, x1, 0) = w(t, x1, 1) = 0, a1u(t, 1, x2) = w(t, 0, x2) = γ1w(t, 1, x2) = γ1u(t, 1, x2), a-1u(t, 1, x2) = w(t, 2, x2) = γ2w(t, 1, x2 ) = γ2u(t, 1, x2). В последних двух формулах первое и третье равенства получены из определения разностного оператора, а второе - из краевых условий (0.5). Таким образом, если a1 = γ1, a-1 = γ2 и u ∈ L2(0,T ; W˚ 1(Q)), то функция w = RQu принадлежит L2(0,T ; W 1(Q)) и удовлетворяет нелокальным 2 2 краевым условиям (0.5), т. е. RQ(L2(0,T ; W˚ 1(Q))) ⊂ L2(0,T ; W 1 (Q)), где γ = {γ1, γ2}. При этом R10 = 1. 2 2,γ 4. Изоморфизм пространств. Следующая теорема устанавливает связь между эллиптическими дифференциальными уравнениями с нелокальными условиями вида (1.2) и эллиптическими дифференциально-разностными уравнениями с однородными условиями Дирихле. Это позволяет применять результаты, полученные для одной из этих задач, к исследованию другой задачи. Теорема 1.1. Предположим, что выполнены условия 1, 2 и 3, а соответствующие матрицы lj Rs и Rs0 (s = s(r),r ∈ B) невырождены. Тогда существует множество γ = {γr } такое, что оператор RQ : L2(0,T ; W˚ 1(Q)) → L2(0,T ; W 1 (Q)) - изоморфизм. 2 2,γ Доказательство. Заметим, что оператор RQ не зависит от t. В силу невырожденности матриц Rs и Rs0 оператор RQ(t, ·) : W˚ 1(Q) → W 1 (Q) отображает W˚ 1(Q) на W 1 (Q) непрерывно и 2 2,γ 2 2,γ взаимнооднозначно, см. [16, теорема 8.1] или [10, теорема 2.1]. Следовательно, RQ отображает L2(0,T ; W˚ 1(Q)) на L2(0,T ; W 1 (Q)) непрерывно и взаимнооднозначно. 2 2,γ 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть выполнены условия 1 и 2. В цилиндре ΩT рассмотрим дифференциальное уравнение ∂tw(t, x) - '\" 1�i,j�n с начальными условиями ∂i (Aij (t, x)∂jw(t, x)) + A00(t, x)u = f (t, x) ((x, t) ∈ ΩT ) (2.1) w(0, x) = ψ(x) (x ∈ Q) (2.2) и граничными условиями (1.2). Здесь f ∈ L2(ΩT ), ϕ ∈ L2(Q), a функции Aij ∈ C∞(Rn+1) (i, j = 0, 1,... , n), причем Aij (t, x) = Aij (t, x) при i, j = 1,... , n, эти функции M-периодичны (т. е. Aij (t, x) = Aij (t, x + h) для всех (t, x), (t, x + h) ∈ ΩT и h ∈ M). Кроме того, существует c1 > 0 такое, что '\" 1�i,j�n Aij (t, x)ξiξ j ;? c1 '\" 1�i�n 2 |ξi| . (2.3) 2 Мы рассматриваем оператор ∂t как неограниченный оператор ∂t : D(∂t) ⊂ L2(0,T ; W 1(Q)) → L2(ΩT ). То есть любой элемент w ∈ D(∂t) после, быть может, изменения на множестве меры нуль из отрезка (0,T ) будет непрерывным отображением [0,T ] → L2(Q), см. [5, гл. 1, лемма 1.2]. Поскольку D(∂t) ⊂ C(0,T ; L2(Q)), то начальные условия определены корректно. Введем пространство 2,γ Wγ := {u ∈ L2(0,T ; W 1 (Q)) : ∂tu ∈ L2(ΩT )}. Тогда задача (2.1), (2.2), (1.2) может быть рассмотрена как операторное уравнение ∂tw + Aw = f, w ∈ Wγ (2.4) c начальными условиями (2.2). 354 О. В. СОЛОНУХА Определение 2.1. Будем называть функцию w ∈ Wγ обобщенным решением задачи (2.1), (2.2), (1.2), если она удовлетворяет операторному уравнению (2.4) и начальным условием (2.2). Пусть, кроме условий 1 и 2, выполнено также условие 3. Тогда существует разностный оператор RQ, являющийся изоморфизмом пространств L2(0,T ; W˚ 1(Q)) и L2(0,T ; W 1 (Q)). Таким образом, 2 2,γ 2,γ для каждого w ∈ Wγ ⊂ L2(0,T ; W 1 2 (Q)) существует единственный элемент u ∈ L2(0,T ; W˚ 1(Q)) такой, что w = RQu, u = R-1w. Введем пространство W := {u ∈ L2(0,T ; W˚ 1(Q)) : ∂tu ∈ L2(ΩT )}. Q 2 Q По построению RQ(L2(Q)) ⊂ L2(Q) и R-1(L2(Q)) ⊂ L2(Q); RQ(L2(ΩT )) ⊂ L2(ΩT ) и R-1 Q (L2(ΩT )) ⊂ L2(ΩT ); кроме того, ∂tRQu = RQ∂tu. Таким образом, если w ∈ Wγ, то u ∈ W, причем ϕ(x) := u(0, x) = R-1w(0, x) = R-1ψ ∈ L2(Q). В соответствии с [5, гл. 1, лемма 1.2], Q Q u ∈ C(0,T ; L2(Q)). То есть корректно определено значение функции u при t = 0. Можно рассмотреть следующее операторное уравнение: ∂tRQu + ARQu = f, u ∈ W (2.5) c начальными условиями Q u(0, x) = ϕ(x) = R-1ψ. (2.6) Исходя из изложенного выше, справедлива следующая теорема. Теорема 2.1. Пусть выполнены условия 1, 2 и 3. Тогда если существует и единственно решение операторного уравнения (2.5), (2.6), то существует и единственно обобщенное решение задачи (2.1), (2.2), (1.2). Пример 2.1. Продолжим рассмотрение задачи (0.3)-(0.5). Как было доказано в примере 1.1, краевым условиям (0.5) соответствует разностный оператор RQ, определяемый матрицей R1 = ( 1 a1 a-1 1 � , невырожденной при a1a-1 ±= 1; при этом матрица R10 = 1 также невырождена. Следовательно, задаче (0.3)-(0.5) соответствует задача Дирихле: ∂tRQu(t, x)+ ΔRQu(t, x) = f (t, x) ((t, x) ∈ ΩT ), (2.7) u(0, x) = ϕ(x) = R-1ψ(x) Q ((t, x) ∈ Q), (2.8) u(t, x) = 0 ((t, x) ∈ ΓT ). (2.9) 3. СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ 1. Свойства разностного оператора. Рассмотрим разностный оператор R, определенный формулой (1.3). Лемма 3.1. Оператор R : L2((0,T ) × Rn) → L2((0,T ) × Rn) ограничен и Доказательство очевидно. R∗u(t, x) = ), h∈M ahu(t, x - h). Лемма 3.2 (cр. с [10, лемма 2.3]). Операторы IQ : L2(ΩT ) → L2((0,T ) × Rn), PQ : L2((0,T ) × Q Rn) → L2(ΩT ) и RQ = PQRIQ : Lp(ΩT ) → L2(ΩT ) ограниченные, при этом I∗ Q = PQ и R∗ = PQR∗ IQ. Обозначим через L2 (Ωs) подпространство функций из L2(ΩT ) таких, что x ∈/ J Qsl (l = l 1,... ,N (s)), где Ωs = (0,T ) × J Qsl. Введем ограниченный оператор Ps : L2(ΩT ) → L2 (Ωs) по l формуле Psu(t, x) = u(t, x) (t ∈ (0,T ), x ∈ J Qsl), Psu(t, x) = 0 (t ∈ (0,T ), x ∈ Q \ J Qsl). Очевидl l но, что Ps является проектором на L2 (Ωs) . Поскольку mesn(∂Qsl) = 0, то L2(ΩT ) = +s L2 (Ωs) . Пусть Ωs1 = (0,T ) × Qs1. Построим изоморфизм гильбертовых пространств Us : L2 (Ωs) → LN 2 (Ωs1) по формуле (Usu)l(t, x) = u(t, x + hsl) ((t, x) ∈ Ωs1), где l = 1,... ,N = N (s) и вектор hsl 2 таков, что Qs1 + hsl = Qsl (hs1 = 0), LN (Ωs1) = П L2(Ωs1). l Чтобы сформулировать леммы ниже, сделаем некоторые пояснения. О РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ 355 2 Пусть G ⊂ Q ⊂ Rn - некоторая область, GT := (0,T ) × G. Обозначим через W 1,0(GT ) анизотропное пространство Соболева, содержащее функции u ∈ L2(GT ), имеющие обобщен- 2 (GT ) ные производные ∂iu ∈ L2(GT ). Норма данного пространства задана формулой ∓u∓W 1,0 = { ), Г 2 11/2 1,0 1 0�i�n GT |∂iu| dt dx . Пространство W2 (GT ) можно отождествить с L2(0,T ; W2 (G)). Также очевидно, что L2(0,T ; W˚ 1(Q)) = {u ∈ W 1,0(ΩT ) : u|(0,T ) ∂Q = 01. 2 2 × Тогда из [16, лемма 8.6] (или [10, лемма 2.6]) следует, что оператор RQs : LN (Ωs1) → LN (Ωs1) , 2 2 определяемый соотношением s RQs = UsRQU -1, (3.1) Qs является оператором умножения на матрицу Rs. В то же время, оператор R∗ 2 : LN (Ωs1) → LN ∗ ∗ -1 s 2 (Ωs1) , определяемый соотношением RQs = UsRQUs , является оператором умножения на сопряженную матрицу R∗. Q Определение 3.1. Оператор RQ + R∗ положительно определен, если существует c2 > 0 такое, 2 что ((RQ + R∗ )u, u)L (Ω ) ;? c2∓u∓L (Ω ) ∀u ∈ L2(ΩT ). Q 2 T 2 T Q Лемма 3.3 (cм. [10, лемма 2.8]). Оператор RQ+R∗ положительно определен тогда и только sν тогда, когда все матрицы Rsν + R∗ (ν = 1,... , n1) положительно определены. Лемма 3.4 (cм. [10, лемма 2.14]). Оператор RQ : L2(0,T ; W˚ 1(Q)) → L2 (0,T ; W 1(Q)) непре- 2 2 рывен; более того, ∂i(RQu) = RQ∂iu. Из [16, лемма 8.15] получаем следующее утверждение. Лемма 3.5. RQu ∈ L2 (0,T ; W 1(Qsl)) для всех u ∈ L2 (0,T ; W 1(Q)) , и 2 2 ∓RQu∓L2 (0,T ;W 1(Qsl)) � c3 N (s) '\" j=1 2 2 ∓u∓L2 (0,T ;W 1(Qsj )) (s = 1, 2,... ; l = 1,... ,N (s)) . (3.2) 1 Q Если det Rsν ±= 0 (ν = 1,... , n1), то существует обратный оператор R- : L2(ΩT ) → L2(ΩT ) такой, что R-1w ∈ L2 (0,T ; W 1(Qsl)) для всех w ∈ L2 (0,T ; W 1(Q)) ; причем R-1 = ), U -1R-1UsPs, Q 2 2 Q s Qs s где R-1 - оператор умножения на матрицу R-1, и Qs ∓R-1 s N (s) '\" w ∓ ∓ (s = 1, 2,... ; l = 1,... ,N (s)) . (3.3) 2 2 Q w∓L2 (0,T ;W 1(Qsl)) � c4 j=1 L2 (0,T ;W 1(Qsj )) Константы c3, c4 > 0 не зависят от s, u и w. 2. Свойства оператора ARQ. Обозначим через ⊗·, ·) : L2(0,T ; W˚ 1(Q)) × L2(0,T ; W -1(Q)) → R 2 2 спаривание, т. е. r ⊗ARu, v) = '\" 0�i,j�n 2 Aij (t, x) ∂j RQu ∂iv dx dt ∀u, v ∈ L2(0,T ; W˚ 1(Q)). (3.4) ΩT Напомним, что в уравнении (2.1) Ai0 = A0j = 0 для i, j ±= 0; более общий случай рассматривается аналогично. Как известно, в эллиптической теории оператор A : W˚ 1(Q) → W -1(Q) называется сильно 2 2 эллиптичным, если (Au, u)L2 (Q) ;? c5∓u∓W˚ 1 - c6∓u∓L (Q) для любых u ∈ W˚1 (Q) при некоторых 2 2 2 2 (Q) 2 фиксированных c5 > 0 и c6 ;? 0. Введем аналогичное определение. Определение 3.2. Линейный оператор AR : L2(0,T ; W˚ 1(Q)) → L2(0,T ; W -1(Q)) назовем силь- 2 2 1 2 но эллиптичным, если существуют c5 > 0 и c6 ;? 0 такие, что для любых u ∈ L2(0,T ; W˚ 2(Q)) ∓L2 (0,T ;W 1(Q)) выполнено ⊗ARu, u) ;? c5∓u 2 ˚ 2 - c6 ∓u∓L2 (ΩT ). Теорема 3.1. Пусть Aij ∈ C∞(Rn+1), Aij (t, x) = Aij (t, x) (i, j = 0, 1,... , n), причем Aij M-периодичны для i, j = 1,... , n, и справедлива оценка (2.3). Кроме того, пусть оператор Q RQ + R∗ 2 положительно определен. Тогда линейный оператор AR := ARQ : L2(0,T ; W˚ 1(Q)) → 2 L2(0,T ; W -1(Q)) ограничен и сильно эллиптичен. 356 О. В. СОЛОНУХА Доказательство. Ограниченность оператора AR следует из того, что Aij ∈ C∞(Rn), а оператор RQ ограничен, см. лемму 3.1. Заметим, что это означает также деминепрерывность оператора AR (непрерывность из сильной топологии L2(0,T ; W˚ 1(Q)) в слабую топологию L2(0,T ; W -1(Q))). 2 Сильная эллиптичность оператора AR(t, ·) : 2 W˚ 1(Q) → W -1(Q) доказана в [10, 16]. Для 2 2 2 удобства читателей покажем справедливость этого утверждения для AR : L2(0,T ; W˚ 1(Q)) → 2 L2(0,T ; W -1(Q)). Поскольку RQ = ), RQs, число различных матриц Rs конечно, а функции Aij M-периодичны s для i, j = 1,... , n, воспользуемся формулами (3.1) и (3.3): '\" r A (t, x) ∂ R u∂ u dx dt = '\" '\" (A (t, x) R ∂ (U P u),∂ (U P u)) = I . ij 1�i,j�n ΩT Так как j Q i LN ij s 0�i,j�n s j s s i s s 2 (Ωs1 ) 1 '\" s '\" 1�i,j�n 2 (Ωs1 ) (Aij (t, x) Rs∂j (UsPsu), ∂i(UsPsu))LN = = '\" '\" (∂j (UsPsu), Aij (t, x) R∗∂i(UsPsu))LN = s 1�i,j�n s 2 (Ωs1 ) = '\" '\" (∂j (UsPsu), Aji(t, x) R∗∂i(UsPsu))LN = s 1�i,j�n 1 '\" s '\" 2 (Ωs1 ) = (Aij (t, x) (Rs + R∗)∂j (UsPsu), ∂i(UsPsu))LN , 2 s s 1�i,j�n 2 (Ωs1 ) Q воспользуемся положительной определенностью оператора RQ + R∗ , т. е. положительной опредеs ленностью матриц Rs + R∗, а также оценкой (2.3): I = 1 '\" 1 2 '\" (Aij (t, x) (Rs + R∗)∂j (UsPsu), ∂i(UsPsu))LN = s 1�i,j�n 1 '\" s '\" ( / 2 (Ωs1 ) / � = 2 s 1�i,j�n Aij (t, x) Rs + Rs∗∂j (UsPsu), Rs + Rs∗∂i(UsPsu) ;? 2 LN (Ωs1 ) c1 '\" '\" (/ / � ;? 2 s 1�i�n Rs + Rs∗∂i(UsPsu), Rs + Rs∗∂i(UsPsu) = 2 LN (Ωs1 ) = c1 2 Q ((RQ + R∗ )u, u) ;? ∓u∓L2 (0,T ;W (Q)) c1c2 2 2 ˚ 1 2 = c7∓u ˚ 2 2 ∓L2 (0,T ;W 1(Q)) . (3.5) Оценим оставшееся слагаемое оператора. При этом мыучтем, что по определению |Aij (t, x)| � c8 2 T (Aij ∈ C∞(Rn+1)), a ∓RQu∓L (Ω ) � c9∓u∓L2 (ΩT ) (cм. лемму 3.5): r 2 2 I2 = A00(t, x) RQuu dx dt � c8c9∓u∓L (Ω ) = c10∓u∓L (Ω ). (3.6) ΩT Таким образом, 2 T 2 T 2 2 Теорема доказана. 2 (Q)) ⊗ARu, u) ;? I1 - I2 ;? c7∓u∓L2 (0,T ;W˚ 1 - c10∓u∓L2 (ΩT ). (3.7) Замечание 3.1. Заметим, что утверждение теоремы 3.1 справедливо также, если дифференциально-разностный оператор AR задан формулой (3.4) и Ai0 ±= 0 и (или) A0j ±= 0 для всех или некоторых i, j ±= 0. Для доказательства этого факта достаточно оценить интегралы r 2 -1 2 I3i = Ai0(t, x) RQu ∂iu dx dt � c8c9∓u∓L2 (ΩT )∓∂iu∓L2 (ΩT ) � c10ε∓∂iu∓L (Ω ) + c10ε ∓u∓L (Ω ), ΩT r 2 T 2 T 2 -1 2 I4j = A0j (t, x) RQ∂juu dx dt � c8c9∓∂ju∓L2 (ΩT )∓u∓L2 (ΩT ) � c10ε∓∂j u∓L (Ω ) + c10ε ∓u∓L (Ω ). ΩT Тогда 2 T 2 T ⊗ARu, u) ;? I1 - I2 - '\" (I3i + I4i) ;? 1�i�n О РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ 357 2 2 -1 2 ;? c7∓u∓L2 (0,T ;W˚ 1(Q)) - 2c10ε∓u∓L2 (0,T ;W˚ 1(Q)) - c10(2nε + 1)∓u∓L2 (ΩT ). 2 Всегда можно подобрать ε > 0 такое, что � := c - 2c 2 ε > 0. Сильная эллиптичность доказана. c7 7 10 3. Свойства оператора ∂tRQ при ϕ = 0. 2 Определение 3.3. Линейный оператор ∂tRQ : L2(0,T ; W˚ 1(Q)) → L2(ΩT ) называется монотонным, если ⊗∂tRQu, u) ;? 0 ∀u ∈ D(∂tRQ). Монотонный оператор ∂tRQ максимально монотонен, если из справедливого для любого u ∈ D(∂tRQ) неравенства ⊗∂tRQu - g, u - y) ;? 0 следует, что y ∈ D(∂tRQ) и g = ∂tRQy. Таким образом, монотонный оператор с замкнутым графиком максимально монотонен. Q Теорема 3.2. Пусть ϕ ≡ 0, a оператор RQ + R∗ положительно определен. Тогда ∂tRQ : 2 L2(0,T ; W˚ 1(Q)) → L2(ΩT ) - максимально монотонный оператор. 2 Доказательство. Максимальная монотонность оператора ∂t : L2(0,T ; W˚ 1(Q)) → L2(ΩT ) при ϕ ≡ 0 хорошо известна, см., например, [5, гл. 3, §2]. Проверим эти свойства у оператора ∂tRQ. Проинтегрируем по частям: r T ⊗∂tRQu, u) = (∂tRQu(τ ), u(τ ))L2(Q) dτ = 0 1 = 2 (RQu(T ), u(T ))L2 (Q) - 1 2 (RQu(τ ), u(τ ))L2 (Q) = 1 2 (RQu(T ), u(T ))L2(Q) . (3.8) Воспользуемся формулой (3.1): '\" 2 (Qs1 ) (RQu(T ), u(T ))L2 (Q) = (Rs(UsPsu(T )), (UsPsu(T )))LN = 1 s s = '\" ((UsPsu(T )), R∗(UsPsu(T ))) s 2 LN (Qs1 ) = s '\" ((Rs + R∗)(UsPsu(T )), (UsPsu(T ))) 1 2 s 2 LN (Qs1 ) = = ((RQ + R∗ )u(T ), u(T ))L (Q) ;? 0 (3.9) 2 Q 2 Q в силу положительной определенности оператора RQ + R∗ . Оценка (3.9), подставленная в (3.8), Q доказывает монотонность оператора ∂tRQ. Кроме того, график RQ +R∗ замкнут, т. е. этот оператор Q максимально монотонен. Максимальная монотонность оператора ∂t(RQ + R∗ ) следует из того, что Q этот оператор монотонен, а операторы ∂t и RQ + R∗ максимально монотонны. Следствие 3.1. Пусть u ∈ W. Тогда, согласно доказательству предыдущей теоремы, из фор- Q мулы (3.9) и положительной определенности RQ + R∗ следует, что существуют константы c11 > 0 и c12 > 0, не зависящие от u, такие, что 2 ⊗RQu, u) ;? c11∓u∓L2 (ΩT ), (3.10) L2(Q) ∓L2 (Q) (RQu(t), u(t)) ;? c12∓u(t) 2 ∀t ∈ (0,T ]. (3.11) 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ Определение 4.1. Оператор A : Lp(0,T ; W˚ 1(Q)) → Lq (0,T ; W -1(Q)) называется коэрцитивp q ным, если на положительной полуоси существует некоторая непрерывная функция c : R+ → R такая, что ⊗Au, p (Q)) u) ;? c(∓u∓Lp (0,T ;W˚ 1 p )∓u∓Lp (0,T ;W˚ 1 (Q)) и c(s) → ∞ при s → ∞. Q Теорема 4.1. Пусть Aij ∈ C∞(Rn+1), Aij (t, x) = Aij (t, x) (i, j = 0, 1,... , n), причем Aij Mпериодичны для i, j = 1,... ,n и справедлива оценка (2.3). Кроме того, пусть оператор RQ + R∗ 2 положительно определен. Тогда для любых f ∈ L2(ΩT ) и ϕ ∈ L2(Q) существует единственное решение задачи (2.5), (2.6). Более того, соответствие ϕ 1→ u как отображение из L2(Q) в C(0,T ; L2(Q)) и соответствие f 1→ u как отображение из L2(ΩT ) в Lp(0,T ; W˚ 1(Q)) непрерывны, и для некоторых c13, c14, c15, c16 > 0, не зависящих от ui, fi и ϕ2 (i = 1, 2), справедливы оценки ∓u1 - u2∓C(0,T ;L2 (Q)) � c13∓ϕ1 - ϕ2∓L2 (Q) + c14∓f1 - f2∓L2 (ΩT ), (4.1) 2 ∓u1 - u2∓L2 (0,T ;W˚ 1(Q)) � c15∓ϕ1 - ϕ2∓L2 (Q) + c16∓f1 - f2∓L2 (ΩT ), (4.2) 358 О. В. СОЛОНУХА где u1 и u2 - решения задачи (2.5), (2.6) при правых частях f1 и f2 и начальных условиях ϕ1 и ϕ2, соответственно. Доказательство. Сначала рассмотрим задачу при ϕ = 0. Тогда согласно теореме 3.2 оператор ∂tRQ максимально монотонен, а согласно теореме 3.1 оператор AR радиально непрерывен и сильно эллиптичен. Пусть в оценке сильной эллиптичности c6 = 0. Следовательно, AR монотонен и коэрцитивен. Таким образом, выполнены условия теоремы 1.1 из [5, гл. III, §1]. Решение задачи (2.5), (2.6) существует. Единственность данного решения следует из монотонности операторов. Если c6 > 0, то заменой функции u(t, x) = eλtv(t, x) получим эквивалентное уравнение ∂tRQv + (AR + λRQ)v = e-λtf, 0 < t < T, (4.3) v(0) = 0. (4.4) В силу оценки (3.10), если c11λ > c6, то оператор AR +λRQ монотонен и коэрцитивен, т. е. решение задачи (4.3), (4.4) существует и единственно, см. выше. Следовательно, существует и единственно решение задачи (2.5), (2.6). Осталось рассмотреть задачу при ϕ ±= 0. Воспользуемся линейностью операторов. Для любого ϕ ∈ L2(Q) существует функция y ∈ W ⊂ C(0,T ; L2(Q)) такая, что y(0, x) = ϕ(x) (x ∈ Q). Тогда заменой функции u(t, x) = v(t, x)+ y(t, x) можно получить эквивалентное уравнение ∂tRQv + ARv = f - ∂ty - ARy := f�, 0 < t < T, (4.5) v(0) = 0. (4.6) Как доказано выше, задача (4.5), (4.6) имеет единственное решение. Следовательно, существует и единственно решение задачи (2.5), (2.6). Покажем зависимость решения от начальных условий и правой части. Используем сильную эллиптичность оператора AR. Для упрощения формул будем пока считать, что AR - монотонный (т. е. c10 = 0 в оценке (3.7)). Пусть u1 ∈ W и u2 ∈ W - решения задачи (2.5), (2.6) при начальных условиях ϕ1 ∈ L2(Q) и ϕ2 ∈ L2(Q), а также при правых частях f1 ∈ L2(ΩT ) и f2 ∈ L2(ΩT ), соответственно. t Пусть Ωt := (0, t) × Q и ⊗f, u)t := ГΩ r t f u dx dτ. Аналогично формулам (3.8), (3.9) ⊗∂tRQu, u)t = (∂tRQu(τ ), u(τ ))L2 (Q) dτ = 0 1 ( 1 � 1 ( 1 � Q = 2 2 (RQ + R∗ )u(t), u(t) L2(Q) - 2 Q 2 (RQ + R∗ )u(0), u(0) L2 (Q) . (4.7) Обозначим для сокращения записей Rc := 1 (RQ + R∗ ). Очевидно, что этому оператору соответ- Q 2 Q ствуют матрицы Rc := 1 (Rs + R∗). Воспользуемся положительной определенностью оператора Rc , s 2 s Q s т. е. положительной определенностью матриц Rc: (Rc ) '\" ( c ) LN Qu(t), u(t) L2 (Q) = s RsUsPsu(t), UsPsu(t) 2 (Qs1 ) = = '\" (/Rc / s ) 1/ c 12 sUsPsu(t), s RcUsPsu(t) LN 2 (Qs1) = 1 RQu(t)1 L2 (Q) . (4.8) Из формул (4.7) и (4.8) следует, что ⊗∂tRQ(u1 - u2), (u1 - u2))t = 1 1/Rc (u1 - u2)(t)12 - 1 1/ 2 Q(ϕ1 - ϕ2)1L (Q). Тогда для любого t ∈ (0,T ] 2 1 Q 1L2 (Q) 2 2 1 Rc 1 1 1/ 12 c 1 1 1 2 1 RQ(u1(t) - u2(t)) + ⊗ARu1 - ARu2, u1 - u2)t = L2 (Q) 1 1/ c 12 = ⊗f1 - f2, u1 - u2)t + 2 1 RQ(ϕ1 - ϕ2)1 . (4.9) L (Q) t Здесь ⊗ARu, u)t := ), ГΩ 0�i,j�n Aij (τ, x) ∂j RQu ∂iu dx dτ. 1 1 2 Рассмотрим также функцию u3 ∈ W, являющуюся решением задачи (2.5), (2.6) при начальных условиях ϕ1 и правой части f2. Тогда для любого t ∈ (0,T ] 1 1/ c 12 1 1 2 1 RQ(u1(t) - u3(t))1 + ⊗ARu1 - ARu3, u1 - u3)t = ⊗f1 - f2, u1 - u3)t, (4.10) L2 (Q) О РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ 359 1 1/ c 12 1 1/ c 12 1 1 2 1 RQ(u3(t) - u2(t))1 + ⊗ARu3 - ARu2, u3 - u2)t = 1 1 L2(Q) 2 1 RQ(ϕ1 - ϕ2)1 . (4.11) L2(Q) В силу аддитивности интеграла Лебега, аналогично оценке (3.7), 2 2 (Q)) ⊗ARu, u)t ;? c7∓u∓L2 (0,t;W˚ 1 . (4.12) Используя оценку (4.12) и неотрицательность первого слагаемого левой части (4.10), имеем, что 2 ∓L2 (0,t;W 1(Q)) c7∓u1 - u3 2 ˚ � ⊗ARu1 - ARu3, u1 - u3)t = ⊗f1 - f2, u1 - u3)t - 1/ 12 1 Rc (u1(t) - u3(t)) � ⊗f1 - f2, u1 - u3)t � ∓f1 - f2∓L (Ω )∓u1 - u3∓L (Ω ). (4.13) - 1 Q 1 1L2 (Q) 2 t 2 t 2 (Q)) Воспользовавшись неравенством Фридрихса ∓u∓L2 (Ωt ) � c17∓u1 - u3∓L2 (0,t;W˚ 1 , из неравенства (4.13) получаем, что 2 c7∓u1 - u3∓L2 (0,t;W˚ 1(Q)) � c17∓f1 - f2∓L2 (Ωt)∓u∓L2 (0,t;W˚ 1 , 2 2 (Q)) 2 ∓u1 - u3∓L2 (0,T ;W˚ 1(Q)) � c18∓f1 - f2∓L2 (Ωt). (4.14) С другой стороны, второе слагаемое левой части (4.10) также неотрицательно, т. е. 1 1/ 12 c 1 1 1 2 1 RQ(u1(t) - u3(t)) � ∓f1 - f2∓L2 (Ωt)∓u1 - u3∓L2 (Ωt ). L2 (Q) Используя опять неравенство Фридрихса, а также оценку (4.14), имеем 1/ 12 c 2 1 1 1 1 RQ(u1(t) - u3(t)) � c19∓f1 - f2∓L2 (Ωt ). L2(Q) Q По построению оценка (3.11) справедлива не только для RQ, но и для Rc , т. е. 2 1/ c 12 2 1 c12∓u1(t) - u3(t)∓L2 (Q) � 1 1 RQ(u1(t) - u3(t))1 L2(Q) � c18∓f1 - f2∓L2 (Ωt), ∓u1(t) - u3(t)∓L2 (Q) � c20∓f1 - f2∓L2 (Ωt ). (4.15) Аналогично, из (4.11) следует, что 1/Rc (u3(t) - u2(t))12 � 1/Rc (ϕ1 - ϕ2)12 , т. е. благо- 1 Q 1L2(Q) 1 Q 2 2 1L2(Q) Q даря невырожденности Rc имеем, что ∓u3(t) - u2(t)∓L2 (Q) � c21∓ϕ1 - ϕ2∓L2 (Q) . А также 2 ∓L2 (0,T ;W 1(Q)) c7∓u3 - u2 2 ˚ � ⊗ARu3 - ARu2, u3 - u2) � 1 1/ c 1 R 12 1 - 2) � c22∓ϕ1 - ϕ2 2 . (4.16) (ϕ ϕ � 2 1 Q 1 L (Q) ∓ L2 (Q) 1 2 Здесь мывоспользовались оценкой 1/Rc ϕ12 � c23 ∓ϕ∓2 , следующей из аналогичной оцен- 1 Q 1L2(Q) L2(Q) ки для оператора RQ, см. [16, лемма 8.15]. Используем неравенство треугольника для норм. Тогда из (4.14)-(4.16) следует, что ∓u1(t) - u2(t)∓L2 (Q) � ∓u1(t) - u3(t)∓L2 (Q) + ∓u3(t) - u2(t)∓L2 (Q) � � c23∓ϕ1 - ϕ2∓L2 (Q) + c20∓f1 - f2∓L2 (ΩT ), (4.17) ∓u1 - u2∓L2 (0,T ;W˚ 1(Q)) � ∓u1 - u3∓L2 (0,T ;W˚ 1(Q)) + ∓u3 - u2∓L2 (0,T ;W˚ 1(Q)) � 2 2 2 � c24∓ϕ1 - ϕ2∓L2 (Q) + c18∓f1 - f2∓L2 (ΩT ). (4.18) Если оператор AR сильно эллиптичен, но не монотонен, т. е. c6 = c10 > 0, рассмотрим эквивалентное уравнение для вспомогательной функции v такой, что u(t, x) = eλtv(t, x): ∂tRQv + (AR + λRQ)v = e-λtf, 0 < t < T, (4.19) v(0) = ϕ, (4.20) где c11λ > c6, т. е. оператор AR + λRQ монотонен. Пусть v1 ∈ W и v2 ∈ W - решения задачи (4.19), (4.20) при начальных условиях ϕ1 ∈ L2(Q) и ϕ2 ∈ L2(Q), а также при правых частях f1 ∈ L2(ΩT ) и f2 ∈ L2(ΩT ), соответственно. Аналогично оценкам (4.17), (4.18) получаем оценки для v1 - v2: λt ∓v1(t) - v2(t)∓L2 (Q) � c23∓ϕ1 - ϕ2∓L2 (Q) + c20∓e- (f1 - f2)∓L2 (Ωt), Таким образом, 2 L2 (0,t;W 1(Q)) 2 ∓v1 - v2∓ ˚ � c24∓ϕ1 - ϕ2∓L (Q) + c18∓e-λt (f1 - f2)∓L2 (Ωt). λt ∓u1(t) - u2(t)∓L2 (Q) = ∓e- (v1(t) - v2(t))∓L2 (Q) � ∓v1(t) - v2(t)∓L2 (Q) � 360 О. В. СОЛОНУХА λt � c23∓ϕ1 - ϕ2∓L2 (Q) + c20∓e- -λt (f1 - f2)∓L2 (Ωt) � c23∓ϕ1 - ϕ2∓L2 (Q) + c20∓(f1 - f2)∓L2 (Ωt ), (4.21) ∓v1 - v2∓L2 (0,t;W˚ 1(Q)) = ∓e (v1 - v2)∓L2 (0,t;W˚ 1(Q)) � ∓v1 - v2∓L2 (0,t;W˚ 1(Q)) � 2 2 2 λt � c24∓ϕ1 - ϕ2∓L2 (Q) + c18∓e- (f1 - f2)∓L2 (Ωt) � c24∓ϕ1 - ϕ2∓L2 (Q) + c18∓(f1 - f2)∓L2 (Ωt ). (4.22) Доказана непрерывная зависимость от начальных условий и правой части и оценки (4.1), (4.2). Следующая теорема является следствием теорем 4.1 и 2.1. s Теорема 4.2. Пусть выполнены условия 1, 2 и 3. Пусть матрицы Rs и Rs0, заданные в условии 3, невырождены, причем Rs + R∗ > 0. Пусть также Aij ∈ C∞(Rn+1), Aij (t, x) = Aij (t, x) i, -периодичны для j = 1,... ,n и справедлива оценка (2.3). (i, j = 0, 1,... , n), причем Aij M Тогда для любых f ∈ L2(ΩT ) и ψ ∈ L2(Q) существует единственное обобщенное решение задачи (2.1), (2.2), (1.2). Более того, соответствие ψ 1→ w как отображение из L2(Q) в 2,γ C(0,T ; L2(Q)) и соответствие f 1→ w как отображение из L2(ΩT ) в L2(0,T ; W 1 (Q)) непрерывны, и для некоторых c25, c26, c27, c28 > 0, не зависящих от wi, fi и ψi (i = 1, 2), справедливы оценки ∓w1 - w2∓C(0,T ;L2(Q)) � c25∓ψ1 - ψ2∓L2 (Q) + c26∓f1 - f2∓L2 (ΩT ), (4.23) 2 ∓w1 - w2∓L2 (0,T ;W 1(Q)) � c27∓ψ1 - ψ2∓L2 (Q) + c28∓f1 - f2∓L2 (ΩT ), (4.24) где w1 и w2 - обобщенные решения задачи (2.1), (2.2), (1.2) при правых частях f1 и f2 и начальных условиях ψ1 и ψ2, соответственно. Осталось проверить согласованность начальных и краевых условий. Для произвольного ψ ∈ L2(Q) однозначно определен ϕ = R-1ψ ∈ L2(Q). Пространство W˚ 1(Q) ⊂ L2(Q) плотно. Т.е. суще- Q 2 2 ствует последовательность W˚ 1(Q) ◦ ϕk → ϕ, сходящаяся в L2(Q). Тогда ψk = RQϕk → ψ в L2(Q) 2,γ и ψk ∈ W 1 (Q). Пусть wk - обобщенное решение задачи (2.1), (2.2), (1.2) при правых частях f и начальных условиях ψk. Очевидно, что краевые и начальные условия в этом случае согласованы, 2 (Q)) при этом ∓wk - wm∓C(0,T ;L2 (Q)) � c25∓ψk - ψm∓L2 (Q), ∓wk - wm∓L2 (0,T ;W 1 � c27∓ψk - ψm∓L2 (Q). Таким образом, последовательность {wk } фундаментальна в пространстве C(0,T ; L2(Q)) ∩ L2(0,T ; W 1(Q)) и имеет единственный предел w ∈ C(0,T ; L2(Q)) ∩ L2(0,T ; W 1(Q)). Этот пре- 2 2 дел является обобщенным решением задачи (2.1), (2.2), (1.2) при правых частях f и начальных условиях ψ в силу замкнутости графиков операторов ∂tRQ и AR. Согласованность начальных и краевых условий доказана. 5. ПРИМЕР Рассмотрим параболическую задачу с Лапласианом ∂tw(t, x) - Δw(t, x) = f (t, x) ((t, x) ∈ ΩT = (0,T ) × (0, 2) × (0, 1)), (5.1) с начальными условиями u(0, x) = ψ(x) (x = (x1, x2) ∈ Q = (0, 2) × (0, 1)) (5.2) и c краевыми условиями w(t, x1, 0) = w(t, x1, 1) = 0 (t ∈ (0,T ), 0 � x1 � 2), w(t, 0, x2 ) = γ1w(t, 1, x2), w(t, 2, x2) = γ2w(t, 1, x2 ) (t ∈ (0,T ), 0 � x2 � 1). ) (5.3) В примере 1.1 показано, что для данной задачи выполнены условия 1 и 2, а краевым условиям (5.3) соответствует разностный оператор Ru(t, x) = u(t, x)+ γ1u(t, x1 + 1, x2)+ γ2u(t, x1 - 1, x2). Данному оператору соответствует матрица R1 = ( 1 γ1 γ2 1 , � невырожденная при γ1γ2 ±= 1. При этом R10 = 1 > 0. То есть для выполнения условий теоремы 4.2 осталось определить, при каких условиях симметризация матрицы R1 положительно определена. Очевидно, что это выполнено при |γ1 + γ2| < 2. Теорема 5.1. Пусть |γ1 + γ2| < 2. Тогда задача (5.1)-(5.3) имеет единственное обобщенное решение.