Исследование интегродифференциальных уравнений методами спектральной теории

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 2. Разрешимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 3. Спектральный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 4. Представление решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 5. Полугруппы, порождаемые вольтерровыми интегродифференциальными уравнениями, и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 1. ВВЕДЕНИЕ В статье приводится обзор результатов, посвященных исследованию интегродифференциальных уравнений с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве, полученных авторами в цикле работ [4-21, 41-44, 72, 82-85], также в монографии [12]. Исследуемые уравнения представляют собой операторные обобщения интегродифференциальных уравнений с частными производными, возникающих в различных приложениях: в теории вязкоупругости, в теории распространения тепла в средах с памятью (уравнения Гуртина-Пипкина), теории усреднения. Отличительной особенностью представленного подхода является использование методов спектральной теории операторов и оператор-функций при исследовании интегродифференциальных уравнений, а также использование методов комплексного анализа и теории полугрупп. Кратко поясним основные этапы этого подхода на идейном уровне. Изучаемые уравнения представляют собой абстрактное волновое уравнение, возмущенное вольтерровыми интегральными операторами, поэтому при их исследовании естественно использовать преобразование Лапласа. С помощью него мы получаем выражение для преобразования Лапласа искомого решения, выраженное через символ уравнения, преобразование Лапласа правой части уравнения и начальные данные задачи. Доказательства результатов о корректной разрешимости опираются на оценки операторфункций, являющихся символами уравнений в пространствах Харди в правой полуплоскости, а Работа выполнена в рамках Программы развития Междисциплинарной научно-образовательной школы Московского университета «Математические методы анализа сложных систем» при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 20-01-00288A). © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 255 256 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН также теорему Пэли-Винера. На этом пути мы получаем результаты о корректной разрешимости начальных задач для интегродифференциальных уравнений в весовых пространствах Соболева на положительной полуоси. Результаты о разрешимости опубликованы в статьях [4-21], а также в главе 3 монографии [12]. Спектральный анализ исследуемых интегродифференциальных уравнений - это прежде всего изучение локализации и структурыспектров оператор-функций, являющихся символами упомянутых уравнений, а также получение их оценок в правой и соответственно в левой полуплоскости. В свою очередь, на этой основе с использованием процедуры контурного интегрирования при обращении преобразования Лапласа получаются результаты о представлении сильных решений в виде суммы рядов по экспонентам, отвечающих точкам спектра оператор-функций. Структура статьи следующая. Первый раздел содержит введение, характеризующее общий подход авторов к исследованию рассматриваемых интегродифференциальных уравнений. Во втором разделе предлагаемой статьи мы приводим формулировки результатов о корректной разрешимости. При этом теоремы 2.1-2.4 посвящены рассмотрению интегродифференциальных уравнений с ядрами, представимыми рядами экспонент с положительными коэффициентами, в теореме 2.5 рассматривается ядро, представимое интегралом Стилтьеса. Корректная разрешимость уравнений с ядрами, имеющих интегрируемую особенность в нуле и представимых в виде суммы функций Работнова с положительными коэффициентами, рассматривается в теоремах 2.6 и 2.7. Интегродифференциальные уравнения, возникающие в теории вязкоупругости, исследуются в теоремах 2.8-2.10. В третьем разделе статьи представлены утверждения о локализации и структуре спектра оператор-функций, являющихся символами изучаемых уравнений (теоремы 3.7-3.13). На наш взгляд это наиболее интересные, глубокие и трудные результаты статьи. Особый интерес представляет случай оператор-функций с двумя некоммутирующими операторами (теоремы 3.8-3.13). В четвертом разделе статьи получено представление сильных решений упомянутых уравнений в виде рядов по экспонентам, отвечающим точкам спектра оператор-функций, являющихся символами рассматриваемых уравнений (теоремы 4.1-4.7). Указанные результаты установлены на основании результатов третьего раздела о локализации спектра и проведении процедурыконтурного интегрирования при обращении преобразования Лапласа. В свою очередь, используя полученные представления сильных решений, мы получаем их оценки (теоремы 4.8-4.10). В пятом разделе статьи представлен полугрупповой подход при исследовании исходных интегродифференциальных уравнений в случае некоммутирующих операторных коэффициентов при наиболее слабых ограничениях на ядра интегральных операторов (теоремы 5.1-5.5). Предлагаемый метод является естественным обобщением и развитием метода, предложенного Н. Д. Копачевским, а также метода, предложенного в монографии [50]. Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство, A - самосопряженный положительный оператор, A∗ = A, действующий в пространстве H, имеющий компактный обратный. Превратим область определения Dom(Aβ ) оператора Aβ, β > 0 в гильбертово пространство Hβ, введя на Dom(Aβ ) норму × · ×β = ×Aβ · ×, эквивалентную норме графика оператора Aβ. 2,γ Через W n (R+, An) обозначим пространство Соболева вектор-функций на полуоси R+ = (0, ∞) (1 12 2 \ 1/2 со значениями в H с нормой ×u×W n n ≡ (Г ∞ e-2γt 1u(n)(t)1 + ×Anu(t)× dt , γ 0. 2,γ (R+ ,A ) 0 H H 2,γ Подробнее о пространствах W n (R+, An) , см. монографию [34, глава 1]. Для n = 0 полагаем W 0 2,γ (R+, A0 = L2,γ (R+,H ) , где через L2,γ (R+,H) обозначено пространство измеримых функций со значениями в пространстве H, снабженное нормой ×f ×L2,γ (R+ ,H) = e- (Г +∞ 0 2γt 2 ×f (t)× H dt 1/2. 2. РАЗРЕШИМОСТЬ 1. Интегродифференциальные уравнения Гуртина-Пипкина с ядрами, представимыми рядами убывающих экспонент и интегралами Стилтьеса. На полуоси R+ = (0, ∞) рассмотрим следующую задачу для интегродифференциального уравнения первого порядка: dv(t) dt r t + K(t - s)A2v(s)ds = q(t), t ∈ R+, (2.1) 0 ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 257 v(+0) = ψ0. (2.2) При этом предполагается, что скалярная функция K(t) допускает представление ∞ K(t) = '\" cj e-γj t, (2.3) γj j=1 где числа cj > 0, γj+1 > γj > 0, j ∈ N, γj → +∞ (j → +∞), и предполагается, что ∞ K(0) = '\" cj γj < ∞. (2.4) j=1 Одновременно рассмотрим следующую задачу для интегродифференциального уравнения второго порядка: d2u(t) 2 r t 2 0 dt2 + K(0)A u(t)+ Kt(t - s)A u(s)ds = f (t), t ∈ R+, (2.5) u(+0) = ϕ0, u(1)(+0) = ϕ1. (2.6) Замечание. Если f (t) = qt(t), ϕ0 = ψ0 и ϕ1 = q(0), то задача (2.5), (2.6) получается из задачи (2.1), (2.2) дифференцированием по переменной t. Условие (2.4) в рассматриваемом случае означает, что ядро Kt(t) ∈ L1(R+). Если к условию (2.4) добавить условие ∞ '\" cj < +∞, (2.7) j=1 1 то ядро Kt(t) принадлежит пространству W 1(R+). На полуоси R+ = (0, ∞) рассмотрим также следующую задачу для интегродифференциального уравнения первого порядка: dv(t) dt r t + αA2v(t)+ 0 K(t - s)A2v(s)ds = q(t), t ∈ R+ (2.8) v(+0) = ψ0, (2.9) где параметр α > 0. Предполагается, что скалярная функция K(t) допускает представление K(t) = Г ∞ e-tτ dμ(τ ), где dμ - положительная мера, которой соответствует возрастающая, непре- 0 τ рывная справа функция распределения μ. Интеграл понимается в смысле Стилтьеса. Мы также предполагаем, что выполнено следующее условие: r ∞ dμ(τ ) τ < ∞ (2.10) 0 и что носитель μ принадлежит интервалу (d0, +∞), d0 > 0. Одновременно рассмотрим следующую задачу для интегродифференциального уравнения второго порядка: d2u(t) 2 du(t) 2 r t 2 dt2 + αA + K(0)A u(t)+ dt 0 Kt(t - s)A u(s)ds = f (t), t ∈ R+, (2.11) u(+0) = ϕ0, u(1)(+0) = ϕ1, (2.12) где параметр α > 0. Слагаемое αA2ut соответствует мгновенному трению Кельвина-Фойгта. 0 Символом уравнения (2.11) является оператор-функция L(λ) = λ2I + λ(α + Г ∞ A . dμ(τ ) 2 τ (λ+τ ) Определение 2.1. Вектор-функцию v назовем сильным решением задачи (2.1), (2.2), если она 2,γ принадлежит пространству W 1 (R+, A2) для некоторого γ 0, удовлетворяет уравнению (2.1) почти всюду на полуоси R+, а также начальному условию (2.2). Определение 2.2. Вектор-функцию u назовем сильным решением задачи (2.5), (2.6), если она 2,γ принадлежит пространству W 2 (R+, A2) для некоторого γ 0, удовлетворяет уравнению (2.5) почти всюду на полуоси R+, а также начальным условиям (2.6). В следующих теоремах приводятся результаты о корректной разрешимости задач (2.1), (2.2) и (2.5), (2.6). Теорема 2.1. Пусть вектор-функция Aqt(t) ∈ L2,γ1 (R+,H ) при некотором γ1 0, q(0) = 0 и выполнено условие (2.4). Тогда: 258 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН 1. если выполнено условие (2.7) и ψ0 ∈ H2, то для любого γ > γ1 задача (2.1), (2.2) одно- 2,γ значно разрешима в пространстве W 1 (R+, A2 и для ее решения справедлива оценка ×v×W 1 2 � d( 1Aqt(t)1 + 1A2ψ01 2,γ (R+,A ) 1 1L2,γ (R+ ,H) 1 1H с постоянной d, не зависящей от вектор-функции q и вектора ψ0; 2. если условие (2.7) не выполнено и ψ0 ∈ H3, то для любого γ > γ1 задача (2.1), (2.2) одно- 2,γ значно разрешима в пространстве W 1 (R+, A2 и для ее решения справедлива оценка ×v×W 1 2 � d( 1Aqt(t)1 + 1A3ψ01 2,γ (R+,A ) 1 1L2,γ (R+ ,H) 1 1H с постоянной d, не зависящей от вектор-функции q и вектора ψ0. Теорема 2.2. Пусть вектор-функция Af (t) ∈ L2,γ2 (R+,H) при некотором γ2 0 и выполнено условие (2.4). Тогда: 3. если выполнено условие (2.7) и ϕ0 ∈ H2, ϕ1 ∈ H1, то для любого γ > γ2 задача (2.5), (2.6) 2,γ однозначно разрешима в пространстве W 2 (R+,A2 и для ее решения справедлива оценка ×u×W 2 2 � d( ×Af × + 1A2ϕ01 + ×Aϕ1× 2,γ (R+ ,A ) L2,γ (R+,H) 1 1H H с постоянной d, не зависящей от вектор-функции f и векторов ϕ0 и ϕ1; 4. если условие (2.7) не выполнено и ϕ0 ∈ H3, ϕ1 ∈ H2, то для любого γ > γ2 зада- 2,γ ча (2.5), (2.6) однозначно разрешима в пространстве W 2 (R+, A2 и для ее решения справедлива оценка ×u×W 2 2 � d( ×Af × + 1A3ϕ01 + 1A2ϕ11 2,γ (R+ ,A ) L2,γ (R+ ,H) 1 1H 1 1H с постоянной d, не зависящей от вектор-функции f и векторов ϕ0 и ϕ1. Перейдем к задаче (2.8), (2.9). Теорема 2.3. Пусть вектор-функция q(t) ∈ L2,γ1 (R+,H) при некотором γ1 0 и выполнено условие (2.10). Тогда для любого γ > γ1 существует единственная вектор-функция 2,γ v(t) ∈ W 1 (R+, A2 , которая удовлетворяет уравнению (2.8) почти всюду на полуоси R+ и начальному условию (2.9). Кроме того, справедлива оценка ×v×W 1 2 � d( ×q(t)× + ×Aψ0× (2.13) 2,γ (R+ ,A ) L2,γ (R+ ,H) H с постоянной d, не зависящей от вектор-функции q и вектора ψ0. В свою очередь, для задачи (2.11), (2.12) справедлива следующая теорема. Теорема 2.4. Пусть вектор-функция f (t) ∈ L2,γ2 (R+,H) при некотором γ2 0 и выполнено условие (2.10). Тогда для любого γ > γ2 существует единственная вектор-функция 2,γ u(t) ∈ W 2 (R+, A2 такая, что A2ut(t) ∈ L2,γ (R+,H ) , которая удовлетворяет уравнению (2.11) почти всюду на полуоси R+ и начальному условию (2.12). Кроме того, справедлива оценка ×u×W 2 2 + 1A2ut(t)1 � d( ×f (t)×L ( ,H) + 1A2ϕ01 + ×Aϕ1×H (2.14) 2,γ (R+ ,A ) 1 1L2,γ (R+ ,H) 2,γ R+ 1 1H с постоянной d, не зависящей от вектор-функции f и векторов ϕ0 и ϕ1. На полуоси R+ = (0, ∞) рассмотрим следующую задачу для интегродифференциального уравнения первого порядка: du(t) dt r t + K(t - s)A2u(s)ds = f (t), t ∈ R+, (2.15) 0 u(+0) = ϕ. (2.16) tτ Предполагается, что скалярная функция K(t) допускает представление K(t) = Г ∞ e- dμ(τ ), где 0 τ dμ - положительная мера, которой соответствует возрастающая, непрерывная справа функция распределения μ. Интеграл понимается в смысле Стилтьеса. Мы предполагаем, что выполнено следующее условие: K(0) = r ∞ dμ(τ ) ∞ < , (2.17) 0 τ где носитель μ принадлежит полуоси (d1, +∞), d1 > 0. В ряде случаев будет также существенно использоваться условие (1) -K (0) = r ∞ 0 dμ(τ ) ≡ Var μ|∞ < +∞. (2.18) 0 ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 259 K Символом уравнения (2.15) является оператор-функция L(λ) = λI + ˆ(λ)A2, где K(ˆλ) = Г ∞ dμ(τ ) 0 τ (λ+τ ) - преобразование Лапласа ядра K(t). Вначале приведем результат о корректной разрешимости задачи (2.15), (2.16). Определение 2.3. Вектор-функцию u назовем сильным решением задачи (2.15), (2.16), если 2,γ она принадлежит пространству W 1 (R+, A2) для некоторого γ 0, удовлетворяет уравнению (2.8) почти всюду на полуоси R+, а также начальному условию (2.16). 1 Теорема 2.5. Пусть вектор-функция Af (1)(t) ∈ L2,γ (R+,H) при некотором γ1 0, f (0) = 0 и выполнено условие (2.10). Тогда: 5. если выполнено условие (2.18) и ϕ ∈ H2, то для любого γ > γ1 задача (2.15), (2.16) одно- 2,γ значно разрешима в пространстве W 1 (R+, A2 и для ее решения справедлива оценка ×u×W 1 2 � d(×Af (1)(t)×L (R ,H) + ×A2ϕ×H 2,γ (R+ ,A ) 2,γ + с постоянной d, не зависящей от вектор-функции f и вектора ϕ; 6. если условие (2.18) не выполнено и ϕ ∈ H3, то для любого γ > γ1 задача (2.15), (2.16) од- 2,γ нозначно разрешима в пространстве W 1 (R+, A2 и для ее решения справедлива оценка ×u×W 1 2 � d(×Af (1)(t)×L (R ,H) + ×A3ϕ×H 2,γ (R+ ,A ) 2,γ + с постоянной d, не зависящей от вектор-функции q и вектора ϕ. Отметим, что доказательства теорем 2.1-2.5 опубликованы в статьях [11, 13, 84], а также в главе 3 монографии [12]. 2. Интегродифференциальные уравнения Гуртина-Пипкина c дробно-экспоненциальными ядрами. Рассмотрим следующую задачу для интегродифференциального уравнения второго порядка на положительной полуоси R+ = (0, ∞): d2u 2 r t 2 dt2 + A u - K (t - s)A u (s) ds = f (t) , t ∈ R+, (2.19) 0 u(+0) = ϕ0, u(1)(+0) = ϕ1, (2.20) где A - самосопряженный положительный оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве H, имеющий компактный обратный. Скалярная функция K (t) имеет представление ∞ K (t) = '\" cj Rj (t) , (2.21) j=1 в котором cj > 0, j ∈ N, функции Rj (t) - дробно-экспоненциальные функции Работнова (см. [39, гл. I]), которые имеют следующий вид: ∞ Rj (t) = tα-1 '\" n=0 (-βj )ntnα Γ[(n + 1)α] , 0 < α � 1, (2.22) где Γ(·) - гамма функция Эйлера. При этом предполагается, что последовательность {βj } удовлетворяет следующим условиям: 0 < βj < βj+1,, j ∈ N, βj → +∞, j → +∞. Кроме того, выполнены условия ∞ '\" cj βj < 1, (2.23) j=1 ∞ '\" cj < +∞. (2.24) j=1 λα+βj Преобразование Лапласа функции Rj (t) имеет вид Rˆj (λ) = 1 (см. [39, гл. I]). При этом под λα (0 < α � 1) понимается главная ветвь многозначной функции f (λ) = λα, λ ∈ C с разрезом по | отрицательной действительной полуоси λα = |λ α eiα arg λ , -π < arg λ < π. Рассматривая преобразование Лапласа уравнения (2.19) при однородных начальных условиях, получаем уравнение L(λ)uˆ(λ) = fˆ(λ), где оператор-функция L (λ) = λ2I + A2 - Kˆ (λ)A2 (2.25) 260 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН является символом этого уравнения, а uˆ(λ) и fˆ(λ) - преобразование Лапласа вектор-функций u(t) и f (t), соответственно, а Kˆ (λ) - преобразование Лапласа ядра K(t), имеющие представление Kˆ (λ) = ),∞ j=1 cj λα+βj , 0 < α � 1. Определение 2.4. Будем называть вектор-функцию u сильным решением задачи (2.19), (2.20), 2,γ если она принадлежит пространству W 2 (R+, A2) для некоторого γ 0, удовлетворяет уравнению (2.19) почти всюду на полуоси R+ и начальному условию (2.20). Определение 2.5. Будем называть вектор-функцию u обобщенным решением задачи (2.19), 2,γ (2.20), если она принадлежит пространству W 1 (R+, A), удовлетворяет начальному условию (2.20) и для некоторого γ 0 удовлетворяет тождеству / r A u(t) - r t K(t - s)u(s)ds 0 l, Av(t) \ L2,γ (R+ ,H) - ut(t), vt(t) L2,γ (R+ ,H)+ + 2γ ut(t), v(t) L2,γ (R+ ,H) = ∓f (t), v(t)⊕L 2,γ (R+ ,H) + (ϕ1, v(0))H (2.26) 2,γ при всех v(t) ∈ W 1 (R+, A), удовлетворяющих условию lim t→+∞ v(t)e-2γt = 0. Следующая теорема дает достаточные условия корректной разрешимости задачи (2.19), (2.20). Теорема 2.6. Предположим, что вектор-функция Af (t) ∈ L2,γ0 (R+,H ) для некоторого γ0 > 0, ядро K (t) представимо в виде (2.21), (2.22) с постоянной α (0 < α < 1) , а также выполняются условия (2.23), (2.24); кроме того, ϕ0 ∈ H3, ϕ1 ∈ H2. Тогда существует такое γ1 > γ0, что для всех γ γ1 задача (2.19), (2.20) имеет единственное решение, принадлежащее 2,γ пространству W 2 (R+, A2 и удовлетворяющее неравенству ×u×W 2 2 � d(×Af × + 1A3ϕ01 + 1A2ϕ11 2,γ (R+ ,A ) L2,γ (R+ ,H) 1 1H 1 1H с постоянной d, не зависящей от вектор-функции f и векторов ϕ0, ϕ1. Теорема 2.7. Предположим, что вектор-функция f (t) ∈ L2,γ0 (R+,H) для некоторого γ0 > 0, ядро K (t) представимо в виде (2.21), (2.22) с постоянной α (0 < α < 1) , а также выполняется условие (2.23); кроме того, ϕ0 ∈ H2, ϕ1 ∈ H. Тогда существует такое γ1 > γ0, что для всех γ γ1 задача (2.19), (2.20) имеет единственное обобщенное решение в пространстве W 1 2,γ (R+, A) , удовлетворяющее неравенству ×u×W 2 2 � d(×f × + 1A2ϕ01 + ×Aϕ1× (2.27) 2,γ (R+ ,A ) L2,γ (R+,H) 1 1H H с постоянной d, не зависящей от вектор-функции f и векторов ϕ0, ϕ1. Отметим, что доказательства теорем 2.6, 2.7 приведены в статьях [14, 15]. На полуоси R+ = (0, +∞) рассмотрим следующую задачу: d2u 2 r t 2 dt2 + A u - K (t - s)A u (s) ds = f (t) , t ∈ R+, (2.28) 0 u (+0) = ϕ0, u(1) (0) = ϕ1. (2.29) Скалярная функция K (t) допускает представление ∞ K (t) = '\" cj Rj (t) , (2.30) j=1 в котором Rj (t) - дробно-экспоненциальные функции, которые имеют вид t-αe-βjt Rj (t) = Γ(1 - α) , 0 � α < 1, (2.31) j=1 где Γ(·) - гамма функция Эйлера. При этом предполагается, что последовательности {cj }∞ и βj }∞ удовлетворяют следующим условиям: 0 < βj < βj+1,, j ∈ N, βj → +∞, j → +∞. Кроме { j=1 того, выполнены условия ∞ '\" cj θ < 1, θ = 1 - α, ∞ '\" cj < +∞. (2.32) j=1 βj j=1 ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 261 (λ+β )1-α Как известно (см. [39]), преобразование Лапласа функции Rj (t) имеет вид Rˆj (λ) = 1 . j При этом под (λ + βj )1-α понимается главная ветвь многозначной функции f (λ) = (λ + βj )1-α, | 0 < α < 1, λ ∈ C с разрезом по полуоси (-∞, -βj ), т. е. (λ + βj )1-α = |λ + βj (1-α) -π < arg λ < π. ei(1-α) arg(λ+βj ), Определение 2.6. Вектор-функцию u (t) назовем сильным решением задачи (2.28), (2.29), ес- 2,γ ли для некоторого γ > 0 она принадлежит пространству W 2 (R+, A2 и удовлетворяет уравнению (2.28) почти всюду на полуоси R+, а также начальному условию (2.29). В следующей теореме приводится результат о корректной разрешимости задачи (2.28), (2.29). Теорема 2.8. Предположим, что вектор-функция Af (t) ∈ L2,γ0 (R+,H) для некоторого γ0 > 0, ядро K (t) представимо в виде (2.30), (2.31) с постоянной α такой, что 0 < α � 1/2, а также выполняются условия (2.32). Тогда существует такое γ1 > γ0, что для всех γ > γ1, 2,γ ϕ0 ∈ H3, ϕ1 ∈ H2 задача (2.28), (2.29) однозначно разрешима в пространстве W 2 (R+, A2 и для ее решения выполнена оценка ×u×W 2 2 � d(×Af × + 1A3ϕ01 + 1A2ϕ11 (2.33) 2,γ (R+ ,A ) L2,γ (R+ ,H) 1 1H 1 1H с постоянной d, не зависящей от вектор-функции f и векторов ϕ0 и ϕ1. Приведем результат о корректной разрешимости задачи (2.28), (2.29) в пространстве Соболева W 2 2,γ ((0,T ), A2 на конечном интервале (0,T ), T > 0, снабженном нормой ×u×W 2 (r T 2 ≡ e-2γt(1u(2)(t)12 + 1A2u(t)12 dt \1/2 , γ 0. 2,γ ((0,T ),A ) 0 1 1H 1 1H Теорема 2.9. Предположим, что вектор-функция Af (t) ∈ L2,γ0 ((0,T ),H ) для некоторого γ0 > 0, ядро K (t) представимо в виде (2.30), (2.31) с постоянной α такой, что 0 < α � 1/2, а также выполняются условия (2.32); кроме того, ϕ0 ∈ H3, ϕ1 ∈ H2. Тогда существует такое γ1 > γ0, что для всех γ γ1 задача (2.28), (2.29) имеет единственное решение, принадлежащее 2,γ пространству W 2 ((0,T ), A2 , удовлетворяющее неравенству ×u×W 2 2 � d(T )(×Af × + 1A3ϕ01 + 1A2ϕ11 (2.34) 2,γ ((0,T ),A ) L2,γ ((0,T ),H ) 1 1H 1 1H с постоянной d(T ), не зависящей от вектор-функции f и векторов ϕ0, ϕ1. По теореме о следах (см. [34, гл. I]) из теоремы 2.9 вытекает следствие. Следствие 2.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.9. Тогда решение u(t) задачи (2.28), (2.29) удовлетворяет неравенству sup 1A3/2u(t)1 + sup 1A1/2u(1)(t)1 � d1(T )(×Af ×L ((0,T ),H) + 1A3ϕ01 + 1A2ϕ11 1 t∈[0,T ] 1H 1 1H t∈[0,T ] 2,γ 1 1H 1 1H с постоянной d1(T ), не зависящей от вектор-функции f и векторов ϕ0, ϕ1. Доказательства теорем 2.8 и 2.9 приведены в статье [85]. Здесь уместно отметить, что разрешимость уравнений типа Гуртина-Пипкина в функциональных пространствах, заданных на конечных конечном интервале (0,T ), изучалась Л. Пандолфи в работе [73] (см. там соответствующую библиографию). Ряд интересных результатов о корректной разрешимости функционально-дифференциальных уравнений в пространствах Соболева установлен А. Л. Скубачевским в работах [47, 48]. 3. Интегродифференциальные уравнения, возникающие в теории вязкоупругости с ядрами, представимыми рядами экспонент и интегралами Стилтьеса. Данный раздел посвящен изучению интегродифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами более общего вида. Рассматриваемые уравнения представляют собой абстрактное гиперболическое уравнение, возмущенное слагаемыми, содержащими вольтерровы интегральные операторы. Эти уравнения могут быть реализованы как интегродифференциальные уравнения в частных производных, возникающие в теории вязкоупругости (см. [50, 63-66]), а также, в частном случае, как интегродифференциальные уравнения Гуртина-Пипкина (см. [35, 61, 69]), которые 262 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН описывают процесс распространения тепла в средах с памятью с конечной скоростью; кроме того, указанные уравнения возникают в задачах усреднения в многофазных средах (закон Дарси) (см. [22, 23, 45, 46, 82]). Пусть A - самосопряженный положительный оператор, A∗ = A κ0I (κ0 > 0), действующий в пространстве H, имеющий компактный обратный. Пусть B - симметрический оператор (Bx, y) = (x, By) , действующий в пространстве H с областью определения Dom (B) (Dom (A) ⊆ Dom (B)), неотрицательный, (Bx, x) 0 для любых x, y ∈ Dom (B) и удовлетворяющий неравенству ×Bx× � κ ×Ax× , 0 < κ < 1 для любого x ∈ Dom (A) , а I - тождественный оператор в пространстве H. Рассмотрим следующую задачу для интегродифференциального уравнения второго порядка на положительной полуоси R+ = (0, ∞): d2u(t) dt2 + Au(t)+ Bu(t) - r t K(t - s)Au(s)ds - 0 r t Q(t - s)Bu(s)ds = f (t), t ∈ R+, (2.35) 0 u(+0) = ϕ0, u(1)(+0) = ϕ1. (2.36) Предположим, что ядра интегральных операторов K(t) и Q(t) имеют следующие представления: K(t) = ),∞ k=1 ake-γkt, Q(t) = ),∞ k=1 bke-γkt, где коэффициенты ak > 0, bk 0, γk+1 > γk > 0, k ∈ N, γk → +∞ (k → +∞). Кроме того, будем считать, что выполнены условия ∞ '\" ak < 1, γk k=1 ∞ '\" bk γk k=1 < 1. (2.37) Условие (2.37) означает, что K(t), Q(t) ∈ L1(R+), ×K×L1 < 1, ×Q×L1 < 1. Если к условиям (2.37) добавить также условия ∞ ∞ K(0) = '\" ak < +∞, Q(0) = '\" bk < +∞, (2.38) k=1 k=1 1 то ядра K(t) и Q(t) будут принадлежать пространству W 1(R+). Интегродифференциальное уравнение (2.35) представляет собой абстрактную форму динамического уравнения вязкоупругости, в котором операторы A и B порождаются дифференциальными выражениями A = -ρ-1μ (Δu + 1 grad(divu) , B = - 1 ρ-1λ · grad(divu), где u = γu(x, t) ∈ R3 - век- 3 3 тор перемещений вязкоупругой наследственной изотропной среды, среда заполняет ограниченную область Ω ⊂ R3 с достаточно гладкой границей ∂Ω, ρ - постоянная плотность, ρ > 0, коэффициенты Ламе λ, μ - положительные постоянные, K(t), Q(t) - функции релаксации, характеризующие наследственные свойства среды. На границе области ∂Ω выполняется краевое условие Дирихле u|∂Ω = 0. (2.39) 2 В качестве пространства H рассматривается пространство трехмерных вектор-функций L2(Ω). Область определения Dom(A) принадлежит векторному пространству Соболева W 2(Ω) и естественно выделяется краевым условием (2.39). Условия (2.37) имеет конкретный физический смысл (подробнее см. [26, 39]). В случае, когда оператор B = 0 и самосопряженный положительный оператор A может быть реализован как Ay = -ytt(x), где x ∈ (0, π), y(0) = y(π) = 0, либо как Ay = -Δy с условиями Дирихле в ограниченной области с достаточно гладкой границей, уравнение (2.35) представляет собой абстрактную форму уравнения Гуртина-Пипкина, описывающего процесс распространения тепла в средах с памятью с конечной скоростью. Другой класс приложений - это задачи усреднения в многофазных средах, где одной из фаз является упругая (или вязкоупругая) среда, а другой - вязкая (сжимаемая или несжимаемая) жидкость (подробнее см. [22, 23, 45, 46, 51, 82]). Задача усреднения состоит в том, чтобы построить эффективную (усредненную) модель такой двухфазной среды, когда отдельные включения той или иной фазы быстро чередуются при изменении пространственных переменных. Предварительные исследования показывают, что одномерная модель распространения колебаний в такой усредненной (гомогенизированной) среде в абстрактной форме может быть записана как операторное уравнение, рассматриваемое в данной работе. Следует также отметить, что уравнения рассматриваемого вида возникают в физических задачах. К уравнениям, близким по форме к рассматриваемым в этой статье, относится ряд уравнений ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 263 и систем уравнений, возникающих в кинетической теории газов. В этих задачах интегральные слагаемые играют роль вязкости. Такое операторное представление вязкости возникает при выводе уравнений газовой динамики непосредственно из законов взаимодействия молекул. Рассматривая преобразование Лапласа уравнения (2.35) при однородных начальных условиях, получаем оператор-функцию L(λ) = λ2I + A + B - Kˆ (λ)A - Qˆ(λ)B, (2.40) которая является символом этого уравнения. Здесь Kˆ (λ) и Qˆ(λ) - преобразования Лапласа ядер K(t) и Q(t), соответственно, имеющие представления ∞ Kˆ (λ) = '\" k=1 ak , (λ + γk ) ∞ Qˆ(λ) = '\" k=1 bk (λ + γk ) . (2.41) Далее устанавливается корректная разрешимость начальной задачи для уравнения (2.35) в весовых пространствах Соболева на положительной полуоси и исследуется вопрос о локализации спектра для оператор-функции L(λ), являющейся символом указанного уравнения. Введем обозначения: a := ),∞ k=1 ak, b := ),∞ k=1 bk, A0 := A + B. Согласно известному результату [27, с. 361], оператор A0 является самосопряженным и положительным. Превратим область определения Dom(Aβ ) оператора Aβ, β > 0 в гильбертово пространство Hβ, введя на Dom(Aβ ) 0 0 0 норму × · ×β = ×Aβ · ×, эквивалентную норме графика оператора Aβ. 0 0 Замечание 2.1. Из свойств операторов A и B следует, что оператор A0 является обратимым, операторы AA-1, BA-1 - ограниченные, а оператор A-1 - компактный. 0 0 0 2,γ Через W n (R+, A0) обозначим пространство Соболева вектор-функций на полуоси R+ = (0, ∞) 1 12 1 n/2 2 1/2 H ×u×W n 0 H со значениями в с нормой 2,γ (R+ ,A0 ) ≡ (Г ∞ e-2γt(1u(n)(t)1 + 1A0 1H u(t)1 dt , γ 0. 2,γ Подробнее о пространствах W n (R+, A0) см. в монографии [34, гл. 1]. При n = 0 полагаем W 0 n n 2,γ (R+, A0) ≡ L2,γ (R+,H) , при γ = 0 будем писать W2,0 = W2 . Определение 2.7. Будем называть вектор-функцию u сильным решением задачи (2.35), (2.36), 2,γ если она принадлежит пространству W 2 (R+, A0) для некоторого γ 0 (A0 = A + B), удовлетворяет уравнению (2.35) почти всюду на полуоси R+ и начальному условию (2.36). Следующая теорема дает достаточное условие корректной разрешимости задачи (2.35), (2.36). Теорема 2.10. Пусть выполнено условие (2.38), f t(t) ∈ L2,γ0 (R+,H) для некоторого γ0 0 и f (0) = 0; кроме того, ϕ0 ∈ H1, ϕ1 ∈ H1/2. Тогда существует такое γ1 γ0, что для 2,γ любого γ > γ1 задача (2.35), (2.36) имеет единственное решение в пространстве W 2 (R+, A0) , удовлетворяющее неравенству 1 1/2 1 ×u×W 2 � d( 1f t(t)1 + ×A0ϕ0×H + 1A0 ϕ11 , (2.42) 2,γ (R+ ,A0) 1 1L2,γ (R+ ,H) 1 1H где константа d не зависит от вектор-функции f и векторов ϕ0, ϕ1. Рассмотрим следующую задачу для интегродифференциального уравнения второго порядка на положительной полуоси R+ = (0, ∞): d2u(t) dt2 + Au(t)+ Bu(t) - r t K(t - s)Au(s)ds - 0 r t Q(t - s)Bu(s)ds = f (t), t ∈ R+, (2.43) 0 u(+0) = ϕ0, (2.44) u(1)(+0) = ϕ1. (2.45) Предположим, что ядра интегральных операторов K(t) и Q(t) имеют следующие представления: K(t) = Г ∞ e-tτ dμ(τ ), Q(t) = Г ∞ e-tτ dη(τ ), где dμ и dη - положительные меры, которым со- 0 0 ответствуют возрастающие, непрерывные справа функции распределения μ и η, соответственно. Интеграл понимается в смысле Стилтьеса. Кроме того, будем считать, что выполнены условия r ∞ dμ(τ ) < 1, r ∞ dη(τ ) < 1. (2.46) 0 τ 0 τ 264 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН Условия (2.46) означают, что K(t), Q(t) ∈ L1(R+), ×K×L1 < 1, ×Q×L1 < 1. Если к условиям (2.46) добавить также условия K(0) = r ∞ 0 dμ(τ ) ≡ Var μ|∞ < +∞, Q(0) = 0 r ∞ 0 dη(τ ) ≡ Var η|∞ < +∞, (2.47) 0 1 причем носители μ и η принадлежат полуоси (d0, +∞), d0 > 0, тогда ядра K(t) и Q(t) будут принадлежать пространству W 1(R+). Преобразование Лапласа сильного решения задачи (2.43), (2.44) с начальными условиями u(+0) = 0, u(1)(+0) = 0 имеет представление uˆ(λ) = L-1(λ)fˆ(λ). Здесь оператор-функция L(λ) является символом уравнения (2.43) и имеет следующий вид: L(λ) = λ2I + A + B - Kˆ (λ)A - Qˆ(λ)B, (2.48) где Kˆ (λ) и Qˆ(λ) - преобразования Лапласа ядер K(t) и Q(t), соответственно, имеющие представления Kˆ (λ) = Г ∞ dμ(τ ) , Qˆ(λ) = Г ∞ dη(τ ) , fˆ(λ) - преобразование Лапласа вектор-функции f (t), 0 λ+τ 0 λ+τ I - тождественный оператор в пространстве H. Определение 2.8. Будем называть вектор-функцию u сильным решением задачи (2.43)-(2.45), 2,γ если она принадлежит пространству W 2 (R+, A0) для некоторого γ 0 (A0 = A + B), удовлетворяет уравнению (2.1) почти всюду на полуоси R+ и начальному условию (2.44). 2,γ Определение 2.9. Вектор-функцию u (t) ∈ W 1 0 (R+, A1/2) назовем обобщенным (слабым) решением задачи (2.43) -(2.45), если u (t) удовлетворяет интегральному тождеству -/u(1) (t) , v(1) (t) \ L2,γ / + (A + B)1/2u (t) , (A + B)1/2v (t) \ L2,γ + 2γ ) /u(1) (t) ,v (t \ L2,γ - r t r t - 0 \ K (t - s) (A + B)-1/2Au (s) ds, (A + B)1/2v (t) - L2,γ \ - Q (t - s) (A + B)-1/2Bu (s) ds, (A + B)1/2v (t) 0 L2,γ - ∓f (t) ,v (t)⊕L2,γ - ∓ϕ1,v (0)⊕ = 0 2,γ для любой вектор-функции v (t) ∈ W 1 0 R+ ( , A1/2\ , а также условию (2.2). Отметим, что по определению пространства W 1 (R+, A1/2) вектор функции u(1)(t) и A1/2u(t) 2,γ 0 0 принадлежат пространству L2,γ0 (R+,H), поскольку норма в этом пространстве определяется как ∞ 2γt(1 (1) 2 1/2 2 1/2 ×u×W 1 1/2 ≡ (Г0 e- 1u (t)1 + 1A0 u(t)1 dt , γ 0. 2,γ (R+ ,A0 ) 1H 1 1H Следующие теоремы дают нам достаточное условие корректной разрешимости задачи (2.43)- (2.45). Теорема 2.11. Пусть выполнены условия (2.46), (2.47), f t(t) ∈ L2,γ0 (R+,H) для некоторого γ0 0 и f (0) = 0; кроме того, ϕ0 ∈ H1, ϕ1 ∈ H1/2. Тогда существует такое γ1 γ0, что для 2,γ любого γ > γ1 задача (2.43)-(2.45) имеет единственное решение в пространстве W 2 1/2 (R+, A0) , удовлетворяющее неравенству ×u×W 2 � d( ×f t(t)× + ×A0ϕ0× + 1A ϕ11 , где 2,γ (R+ ,A0) L2,γ (R+ ,H) H 1 0 1H константа d не зависит от вектор-функции f и векторов ϕ0, ϕ1. Теорема 2.12. Пусть выполнены условия (2.46), (2.47), f (t) ∈ L2,γ0 (R+,H) для некоторого γ0 0, а также ϕ0 ∈ H1/2, ϕ1 ∈ H. Тогда существует такое γ1 γ0, что для любого γ > γ1 2,γ задача (2.43)-(2.45) имеет обобщенное решение в пространстве W 1 0 (R+, A1/2), для которого справедлива оценка ×u×W 1 1/2 � d( ×f (t)×L 1/2 (R ,H) + 1A0 ϕ01 + ×ϕ1×H , где константа 2,γ (R+ ,A0 ) 2,γ + 1 1H d не зависит от вектор-функции f и векторов ϕ0, ϕ1. Доказательства теорем 2.10-2.12 опубликованы в статьях [11, 84], а также в главе 3 монографии [12]. Уместно отметить, что в работах [17, 44] получены результаты о корректной разрешимости и получены оценки классических решений задачи вида (2.43)-(2.45), основанные на применении теории полугрупп к исследованию интегродифференциальных уравнений. ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 265 3. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 1. Интегродифференциальные уравнения Гуртина-Пипкина с ядрами, представимыми рядами убывающих экспонент и интегралами Стилтьеса. Рассмотрим оператор-функцию L(λ) := λ2I + λKˆ (λ)A2, где Kˆ (λ) = ),∞ k=1 ck γk (λ+γk ) § преобразование Лапласа функции K(t), I - единичный оператор, действующий в пространстве H. Собственные значения оператора A удовлетворяют строгим неравенствам 0 < a1 < a2 < ... < an ... ; an → +∞ при n → +∞. Заметим, что оператор-функция L(λ) является символом (аналогом характеристического квазиполинома) уравнения (2.5), в то же время оператор-функция λ-1L(λ) является символом уравнения (2.1). n Рассмотрим сужение ln(λ) := (L(λ)en, en) = λ2 +a2 λKˆ (λ) оператор-функции L(λ) на одномерное подпространство, натянутое на вектор en, где Aen = anen, n ∈ N, an → +∞ при n → +∞. Таким образом, получаем счетный набор мероморфных функций ln(λ), n ∈ N. Перейдем к вопросу о структуре спектра оператор-функции L(λ) в случае, когда выполнено условие sup {γk(γk+1 - γk )} = +∞. (3.1) k Отметим, что условие (3.1) использовалось С. А. Ивановым в работе [65] при изучении нулей мероморфных функций вида ln(λ)/λ в случае an = n (n ∈ N). Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (2.4) и (3.1). Тогда нули мероморфной функции ln(λ) представляют собой счетную серию действительных нулей {λk,n|k ∈ N} , удовлетворяющих неравенствам ... - γk+1 < xk+1 < λk+1,n < -γk < ... < -γ1 < λ1,n, k ∈ N, (3.2) где xk - действительные нули функции λKˆ (λ), причем λ1,n = x1 = 0, λk,n = xk + O( 1 \ a 2 , n an → +∞, а также пару комплексно-сопряженных нулей λ±, λ+ = λ-n , асимптотически предn n ставимых в следующем виде: 2. если выполнено условие (2.7), то λ± n = ±i j K(0) · an + O 1 an 1 - 2K(0) ∞ '\" k=1 ck + O 1 a 2 n , an → +∞; (3.3) 3. если условие (2.7) не выполнено, то ± λn = ±iΘ({ck }, {γk })an + Φ(an, ck , γk ), k ∈ N, (3.4) где Θ({ck }, {γk )} - некоторая положительная постоянная, зависящая от последовательk=1 ностей {ck }∞ k=1 , {γk }∞ , Re Φ(an, ck , γk ) = O(an), Im Φ(an, ck , γk ) = o(an) при an → +∞, причем lim an →∞ Re Φ(an, ck , γk ) = -∞. Теорема 3.2. Пусть выполнены условия (2.4) и (3.1). Тогда спектр оператор-функции L(λ) n=1 совпадает с замыканием объединения множества нулей функций {ln(λ)}∞ , т. е. представим в виде σ(L) := {λk,n|k ∈ N,n ∈ N} ∪ нули функции λKˆ (λ). λ±n |n ∈ N , причем lim n→∞ λk,n = xk, где xk - действительные Приведем результат о распределении нулей функции ln(λ) в случае, когда ядро K(t) представимо в виде конечного числа экспонент. Рассмотрим функцию n ln,N (λ) := λ2 + a2 λKˆN (λ), (3.5) где KˆN (λ) = N ), k=1 ck γk (λ+γk ) . Этот результат представляет интерес, так как в случае выполнения условий (2.4) и (2.7) асимптотика нулей функции ln(λ) получается из асимптотики нулей функции ln,N (λ) предельным переходом при N → +∞. Лемма 3.1. Нули мероморфной функции ln,N (λ) представляют собой серию действительных нулей {μk,n|k ∈ N} таких, что ... - γk < μk,n < yk < -γk-1 < ... < -γ1 < μ1,n, k = 2,... , N, где 266 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН yk - действительные нули функции λKˆN (λ), причем μ1,n = y1 = 0, μk,n = yk + O( 1 \ а также a 2 , n пару комплексно-сопряженных нулей μ±, μ+ = μ-n , асимптотически представимых в виде n n μ± n = ±i j KN (0) · an + O 1 a 1 § 2K (0) N '\" ck + O 1 a2 , an → +∞. (3.6) n N k=1 n Следующая теорема представляет асимптотику комплексных нулей функции ln(λ) при an → k=1 +∞ в случае, когда не выполнено условие (2.7), а последовательности {ck }∞ k=1 и {γk }∞ имеют kα асимптотические представления ck = A + O 1 ( \ kα+1 , γk = Bkβ + O (kβ-1 , при k → +∞, где ck > 0, γk+1 > γk > 0, k ∈ N, константы A > 0, B > 0, 0 < α � 1, α + β > 1. Теорема 3.3. Пусть выполнены условия (2.4) и (3.1). Тогда комплексно-сопряженные нули λ± + -n n n , λn = λ функции l (λ) асимптотически представимы в виде DA 1 n = ±ijK(0) · an - j an + O(an ), если 0 < r < , (3.7) λ± βB1-r ( K(0))1+r 1-r 1-2r 2 1 ± λn = ±ijK(0) · an - DA j 1-r an + O(1), если � r < 1, (3.8) βB1-r ( K(0))1+r 2 ± λn = ±ijK(0) · an - 1 A 2K(0) β ln an + O (1) , если r = 1, (3.9) β при n → +∞, где r := α+β-1 , константа D зависит от r и определяется следующим образом: π D := 1 · π e-i(r+1) 2 . 2 sin(πr) Замечание 3.1. В случае ck = 1 , γ = kβ, a = n асимптотика комплексных нулей λ± получена С. А. Ивановым [63]. kα k n n Доказательства теорем 3.1-3.3 и леммы 3.1 приведены в главе 3 монографии [12], а также в статье [7]. Исследованием задач для дифференциальных и интегродифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами (со слагаемым, соответствующим мгновенному трению Кельвина-Фойгта) занимались многие авторы. Ограничимся здесь упоминанием работы [36], в которой исследовались указанные задачи (без интегральных слагаемых) для абстрактных дифференциальных уравнений, и работы [38], в которой рассмотрены интегродифференциальные уравнения. tτ Замечание 3.2. Для меры dμ с компактным носителем и ядра вида K(t) = Г d1 e- dμ(τ ), 0 < d0 τ d0 < d1 < +∞ показано А. И. Еременко и С. А. Ивановым, что спектр оператор-функции L(λ) может содержать лишь конечное число комплексных собственных значений. При этом возможна ситуация, когда комплексная часть спектра отсутствует (см. [60]). Кроме того, в работе [60] авторы поставили вопрос о структуре невещественного спектра в случае некомпактного носителя меры. В работе [53] А. В. Давыдов и Ю. А. Тихонов дали полный ответ на поставленный вопрос и привели соответствующие примеры. В следующей лемме приведена оценка оператор-функции L-1(λ) в области Ωα,R, не содержащей спектра оператор-функции L(λ). 2 Лемма 3.2. Для любых α > 0 и θ ∈ (0, π найдется такое R = R(α, θ) > 0, что в области Ωα,R = {λ ∈ C : |λ| > R} ∩ {λ ∈ C : |arg λ - π| > θ} справедлива оценка |λ| 1A2L-1(λ)1 + |λ 2 1 L-1(λ)1 � const . (3.10) | 1 1 1 1 Следствие 3.1. Из оценки (3.10) вытекает оценка для оператор-функции M(λ) = λ-1L(λ), являющейся символом уравнения (2.8): 1 1 1 1 1A2M-1(λ)1 + |λ| 1M-1(λ)1 � const, λ ∈ Ωα,R. (3.11) Отметим, что оценка вида (3.11) известна для функционально-дифференциального уравнения параболического типа (см. [4, гл. 1] и соответствующую библиографию). ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 267 Теорема 3.4. Пусть выполнены условия (2.17), (2.18) и мера dμ имеет компактный носитель. Тогда для достаточно больших an невещественные собственные значения λ± (λ- = λ+) оператор-функции L(λ) имеют следующую асимптотику: n n n ± λn = ±ijK(0)an + K t(0) + O( 1 \ , an → +∞. (3.12) 2K(0) an Приведем результат о локализации спектра оператор-функции L(λ) в случае, когда мера dμ имеет компактный носитель. Теорема 3.5. Пусть выполнены условия теоремы 3.4 и мера dμ имеет компактный носитель, принадлежащий отрезку [d1, d2], 0 < d1 < d2. Тогда найдется такое число y0, 0 < y0 < d1, что спектр оператор-функции L(λ) представим в виде σ(L) := σR ∪ σI, где σR и σI - вещественная и невещественная части спектра оператор-функции L(λ), соответственно, причем J n σR ⊂ [-d2, -d1 + y0], σI = λ±n ∈ C\R, λ-n = λ+|n ∈ N n , где λ± - невещественные собственные значения оператор-функции L(λ), имеющие асимптотическое представление (3.12). Доказательства теорем 3.5-3.5 приведены в статье [10]. 2. Интегродифференциальные уравнения Гуртина-Пипкина c ядрами Работнова. Обозначим через aj собственные значения оператора A (Aej = ajej ), занумерованные в порядке возрастания: 0 < a1 < a2 < ... < an < ... , an → +∞ (n → +∞). Соответствующие собственj=1 ные векторы {ej }∞ образуют ортонормированный базис пространства H. Рассмотрим сужение : (см. (2.25)) на одномерное подпространство, натянутое на вектор en n ln (λ) = (L (λ) en, en) = λ2 + a2 / ∞ 1 - '\" k=1 ck λα + βk \ , 0 < α < 1. Перейдем к изучению структуры спектра оператор-функции L(λ) в случае, когда выполнены условия (2.23), (2.24). Теорема 3.6. Пусть выполнено условие (2.23). Тогда спектр оператор-функции L(λ) лежит в открытой левой полуплоскости. Замечание 3.3. Если выполнено условие ),∞ j=1 cj βj > 1, то в правой полуплоскости имеется бесконечное число вещественных собственных значений оператор-функции L (λ) . Таким образом, условие (2.23) является необходимым условием устойчивости задачи (2.19), (2.20). n Теорема 3.7. Пусть выполнены условия (2.23) и cj = 0 для всех j, больших некоторого N ∈ N. Тогда для каждого достаточно большого n ∈ N существует два невещественных комплексно-сопряженных нуля λn+ = λ¯- функции ln (λ) , имеющих следующую асимптотику: λ± ( πα \ 1-α Q ( ( πα \ α Q \ 1-α n = - sin 2 an N 2 ± ian 1 - cos a - 2 n 2 + o (an , n → +∞, (3.13) где Q = ), cj. j=1 Здесь уместно сделать важное замечание. Замечание 3.4. При α = 1 асимптотическая формула (3.13) переходит в асимптотическую формулу (3.3) при K(0) = 1. Доказательства теорем 3.6-3.7 приведены в статьях [14, 15]. 3. Интегродифференциальные уравнения, возникающие в теории вязкоупругости с ядрами, представимыми рядами экспонент и интегралами Стилтьеса. Перейдем к изучению структуры спектра оператор-функции L(λ) в случае, когда выполнены условия (2.37), (2.38), а также условие k sup γ2(γk+1 - γk) = +∞. (3.14) Существует предел k∈N lim k→∞ γk - γk-1 γk = 0. (3.15) 268 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН Замечание 3.5. Условие (3.15) выполняется в случае степенного поведения последовательноk=1 сти {γk}∞ γk , т. е. когда γk ,.. kα, α > 0. В этом случае γk -γk-1 k ∼ α → 0 (k → ∞). В задачах k=1 усреднения в многофазных средах последовательности {γk}∞ являются последовательностями собственных значений некоторых вспомогательных эллиптических задач и поэтому имеют степенную асимптотику (подробнее см. [22, 23, 82]). В свою очередь, условие (3.15) не выполняется, если k=1 последовательность {γk }∞ ведет себя как геометрическая прогрессия со знаменателем больше единицы, т. е. γk = cqk , q > 1, c > 0. Подобное поведение членов последовательности γk реже встречается в приложениях. Теорема 3.8. Пусть выполнены условия (2.37), (2.38), (3.14), (3.15). Тогда спектр операторфункции L(λ) (2.40) принадлежит объединению интервалов Δk = (-γk, p˜k ) ⊂ (-γk, -γk-1), k ∈ N (γ0 = 0) и полосы {λ ∈ C|α1 � Re λ � α2} , где p˜k = max {pk (τ t), pk (τ tt)} , pk(τ ) - вещественные корни уравнения ∞ ∞ Φτ (p) := τ '\" ak(p + γk)-1 + (1 - τ ) '\" bk (p + γk )-1 = 1 (0 � τ � 1), k=1 k=1 1 1/2 -1/21-1 tt принадлежащие интервалам (-γk, -γk-1), k ∈ N (γ0 = 0), τ t := 1A- A0A 1 , τ := 1 1 1A-1/2 -1/21 0 AA0 , 0 < τ t < τ tt � 1, ∞ 1 '\" ((ak A + bkB)f, f ) ∞ 1 '\" ((ak A + bk B)f, f ) 2 α1 = - sup ∓f ∓=1 k=1 , α2 = - inf ((A + B)f, f ) 2 ∓f ∓=1 k=1 k ((A + B + γ2I)f, f , f ∈ D(A). Замечание 3.6. Согласно лемме 2.1 из работы [49], оператор A-1/2BA-1/2 допускает ограниченное замыкание в пространстве H. Отсюда следует, что оператор A-1/2A0A-1/2 = I + A-1/2BA-1/2 допускает ограниченное замыкание в H. В свою очередь, в силу упомянутой леммы 2.1 из работы [49] и в силу самосопряженности оператора A0 = A + B, оператор A-1/2AA-1/2 0 0 также допускает ограниченное замыкание в пространстве H. Таким образом, величины τ t и τ tt, фигурирующие в формулировке теоремы 3.8, определены корректно. Теорема 3.9. Невещественный спектр оператор-функции L(λ) симметричен относительно вещественной оси и состоит из собственных значений конечной алгебраической кратности, причем для любого ε > 0 в области Ωε := C\ {λ : α1 � Re λ � α2, | Im λ| < ε} собственные значения являются изолированными, т. е. не имеют точек накопления. Отметим, что оператор-функция вида (2.40) в случае конечного числа слагаемых в представлении (2.41) (ak = bk = 0, k > N, N ∈ N) изучалась в [37]. Теоремы 3.8, 3.9 представляют собой естественное развитие результатов работы [37]. Доказательства теорем 3.8-3.9 приведены в статье [11]. Перейдем к изучению структуры спектра оператор-функции L(λ) (см. (2.48)) в случае, когда выполнены условия (2.46), (2.47). Теорема 3.10. Пусть выполнены условия (2.46), (2.47). Тогда спектр оператор-функции L(λ) лежит в открытой левой полуплоскости {λ ∈ C : Re λ < 0} и справедливо неравенство 1 1 1A1/2L-1(λ)A1/21 � const, Re λ > γ > 0. Условия (2.46) являются существенными для устойчивости задачи (2.43)-(2.45). Замечание 3.7. При нарушении условия (2.46), т. е. при выполнении неравенства r +∞ dμ (τ ) > 1, (3.16) 0 τ в правой полуплоскости может оказаться бесконечное число вещественных собственных значений оператор-функции L (λ) . Поясним это замечание, рассмотрев следующий частный случай: функция η (τ ) = 0, оператор ),∞ B = 0, а функция μ (τ ) - ступенчатая функция, имеющая представление μ (τ ) = j=1 cjχ [γj, γj+1) , где χ [γj, γj+1) - характеристические функции полуинтервалов [γj, γj+1) , 0 < γj < γj+1, γj → +∞ ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 269 (j → +∞). В этом случае условие (3.16) примет вид ),∞ j=1 cj γj > 1. При этом оператор-функция L (λ) ),∞ cj будет иметь вид L (λ) = λ2I + A - K (λ) , где K (λ) = j=1 λ+γj . В силу сделанных предположений j=1 относительно оператора A, собственные векторы {ej }∞ , отвечающие собственным значениям aj (Aej = ajej ), образуют ортонормированный базис пространства H. При этом aj → +∞ (j → +∞). Рассмотрим скалярные функции ln (λ) = (L (λ) en, en) = λ2 + an - an ),∞ j=1 cj λ+γj , являющиеся сужениями оператор-функции L (λ) на одномерные подпространства, натянутые на собственные векторы en. Тогда уравнение ln (x) = 0, x ∈ R, может быть записано в виде ϕn (x) = ψ (x) , где 2 ϕn (x) = x + 1, ψ (x) = ),∞ cj . Заметим, что функция ψ (x) на полуоси [0, +∞) является моan j=1 x+γj нотонно убывающей и достигающей своего максимума на полуоси [0, +∞) при x = 0, равного ),∞ j=1 cj γj > 1. Поэтому график функции ψ (x) пересекается с графиками парабол ϕn (x) при положительных значениях xn, являющихся собственными значениями оператор-функции L (λ) . При этом с ростом n нули xn будут стремиться к точке x∗, являющейся решением уравнения ψ (x) = 1 при положительных x, поскольку an → +∞ (n → +∞) . В случае ),∞ j=1 cj γj = 1 точка λ = 0 является собственным значением оператор-функции L (λ) бесконечной кратности. Теорема 3.11. Пусть выполнены условия (2.46), (2.47) и носители мер μ(τ ), ν(τ ) принадлежат отрезку [d1, d2], где 0 < d1 < d2 < +∞. Тогда для любого сколь угодно малого θ0 > 0 существует такое число R0 > 0, что спектр оператор-функции L(λ) принадлежит множеству Ω = {λ ∈ C : Re λ < 0, |λ| < R0} ∪ {λ ∈ C : α1 � Re λ � α2} , где α1 = α0 - θ0, R0 max(d2, -α0 + θ0), 1 ((K(0)A + Q(0)B)f, f ) 1 ((K(0)A + Q(0)B)f, f ) 2 α0 = - sup ∓f ∓=1 2 - , α = inf ((A + B)f, f ) 2 ∓f ∓=1 2 ((A + B + d2I)f, f , f ∈ D(A). При этом существует такое γ0 > 0, что для оператор-функции L-1(λ) на множестве {λ : Re λ < -R0}∪ {λ : Re λ > γ0} справедлива оценка 1L-1(λ)1 � const . 1 1 |λ|| Re λ| Утверждение 3.1. Величина α0 допускает оценку α0 - 1 1A-1/2 (K(0)A + Q(0)B) A-1/21. 2 1 0 0 1 Теорема 3.12. Пусть выполнены условия теоремы 3.11. Тогда невещественная часть спектра оператор-функции L(λ) симметрична относительно вещественной оси и состоит из собственных значений конечной алгебраической кратности, причем для любого ε > 0 в области Ωε := Ω\ {λ : | Im λ| < ε} собственные значения являются изолированными, т. е. не имеют точек накопления. Доказательства теорем 3.11 и 3.12 приведены в статье [84]. Отметим также, что оператор-функция вида (2.25) в случае, когда ядра интегральных операторов являются суммами дробно-экспоненциальных функций (функций Работнова) с положительными коэффициентами, изучалась в [12, 13]. Обозначим через N (μ; L (λ)) кратность характеристического числа λ = μ оператор-функции L (λ) . Введем ν (r; Ω; L (λ)) - функцию распределения характеристических чисел операторфункции L (λ) . Предполагая L (λ) аналитической оператор-функцией в области Ω, положим ν (r; Ω; L (λ)) = ), μ∈Ω,|μ|<r N (μ; L (λ)). Причем, если в области Ω ∩ {λ : |λ| < r} лежит бесконечное число характеристических чисел L (λ) либо N (μ; L (λ)) = ∞ хотя бы в одной точке μ ∈ Ω с |μ| < r, то ν (r; Ω; L (λ)) = ∞. Обозначим область Ψθ,η = {λ : |λ| > η, |arg λ| < θ} , π/2 < θ < π, ν2(t) причем здесь -π < arg λ � π. В дальнейшем соотношение ν1 (t) ∼ ν2 (t) означает, что ν1(t) → 1 при t → ∞. 270 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН Следуя [40], через Re обозначим множество таких неубывающих функций ν (r) , определенных при достаточно больших вещественных r, что для каждой функции ν (r) ∈ Re существует постоянная a > 1, для которой ν (ar) 2ν (r) при достаточно больших r. Пусть Im - множество неубывающих функций ν (r) , обладающих свойством: для каждого ε > 0 найдется такое δ > 0, что ν (r + δr) � (1 + ε) ν (r) . Обозначим через P (λ) оператор-функцию вида P (λ) = λ2I + A + B. Используя [40, теорема 2.1] и теорему 3.11, получаем следующий результат. Теорема 3.13. Пусть выполнены условия теоремы 3.11, ν (r; Ψθ,η; P (λ)) ∈ Re ∩ Im . Тогда спектр оператор-функции L (λ) в области Ψθ,η состоит из дискретных точек спектра и справедливо соотношение ν (r; Ψθ,η; P (λ)) ∼ ν (r; Ψθ,η ; L (λ)) . Обозначим через N (r, A1/2 ) число собственных чисел оператора A1/2 (посчитанных с учетом 0 0 кратности), меньших, чем r. 0 Следствие 3.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.13. Тогда ν (r, Ψθ,η, L(λ)) ∼ 2N (r, A1/2). Утверждение следствия немедленно вытекает из теоремы 3.13 и соотношения P (λ) = λ2I + A0 = 1/2 1/2 (λI - iA0 )(λI + iA0 ). Доказательство теоремы 3.13 приведено в недавней статье [18]. 4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ 1. Интегродифференциальные уравнения Гуртина-Пипкина с ядрами, представимыми рядами убывающих экспонент и интегралами Стилтьеса. Далее приводятся результатыо представлении решения задачи (2.5), (2.6) в виде суммы ряда по экспонентам, отвечающим точкам спектра оператор-функции L(λ). 2,γ Теорема 4.1. Пусть f (t) = 0 при t ∈ R+, вектор-функция u(t) ∈ W 2 (R+, A2 , γ > 0 является сильным решением задачи (2.5), (2.6) и выполнены условия (2.4), (3.1). Тогда для любого t ∈ R+ решение u(t) задачи (2.5), (2.6) представимо в виде суммы ряда ∞ + λ+ t ∞ - λ-t n u(t) = '\" (ϕ1n + λn ϕ0n) e +) + en + '\" (ϕ1n + λn ϕ0n) e n en lnt (λ-n ) n=1 lnt (λn n=1 ∞ / ∞ λk,nt \ + '\" '\" (ϕ1n + λk,nϕ0n) e lnt (λk,n) en, (4.1) n=1 k=1 сходящегося по норме пространства H, где λk,n - действительные нули мероморфной функции ln(λ), удовлетворяющие неравенствам (3.2), λ± - пара комплексно-сопряженных нулей, λ+ = n n λ-n , асимптотически представимых в виде (3.3), если выполнено условие (2.7), или в виде (3.4), если условие (2.7) не выполнено. Теорема 4.2. Пусть выполнены условия теоремы 4.1 и ϕ0 ∈ H2, ϕ1 ∈ H1. Тогда ряд, полученный из (4.1) p-кратным почленным дифференцированием по t при p = 0, 1, 2, сходится в пространстве H2-p равномерно по t на любом отрезке [t0,T ], где 0 < t0 < T < +∞. При этом ),∞ 1 2 2 2 для всех t ∈ [t0,T ] справедливы оценки 1 u(p)(t)e 12 � d(×Aϕ1× + ×A ϕ0× ), p = 0, 1, 2, c 1 n n=1 n H2-p константой d, не зависящей от вектор-функций ϕ1 и ϕ0. Кроме того, в случае конечного числа слагаемых в (2.3) (т. е. cj = 0 для j > N, N ∈ N), можно положить t0 = 0. Теорема 4.3. Пусть вектор-функция f (t) ∈ C ([0,T ],H ) для любого T > 0, вектор-функция 2,γ u(t) ∈ W 2 (R+, A2 при некотором γ > 0 является сильным решением задачи (2.5), (2.6) и (2.4), (3.1), ϕ0 = ϕ1 = 0. Тогда для любого t ∈ R+ решение u(t) задавыполнены условия чи (2.5), (2.6) представимо в виде суммы ряда ∞ ∞ ∞ / ∞ \ u(t) = '\" ωn(t, λ+)en + '\" ωn(t, λ-)en + '\" '\" ωn(t, λkn) en, (4.2) n=1 n n=1 n n=1 k=1 Г t fn(τ )eλ(t-τ )dτ сходящегося по норме пространства H, где ωn(t, λ) = 0 ln× (λ) . ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 271 2,γ∗ Теорема 4.4. Пусть вектор-функция f (t) ∈ W 2 (R+, A) при некотором γ∗ 0, вектор- 2,γ функция u(t) ∈ W 2 (R+, A2 , γ > γ∗ является сильным решением задачи (2.5), (2.6) и выпол- ),∞ j нены условия (2.4), (3.1), ϕ0 = ϕ1 = 0, j=1 γ-3/2 < ∞. Тогда ряд, полученный из (4.2) p-кратным почленным дифференцированием по t при p = 0, 1, 2, сходится в пространстве H2-p равномерно по t на любом отрезке [t0,T ], где t0 < T < +∞ (t0 = 0 при p = 1, 2 и t0 > 0 при p = 0), причем ω(p)(t, λ) = lt (λ)-1r((p - 1)f t (0) + λ(p-1)fn(0) eλt + Г t f (p)(τ )eλ(t-τ )dτ l и для всех t ∈ [t ,T ] n n n 0 n 0 справедливы следующие оценки: 1 ∞ 1'\" 1 1 12 12 1 ∞ 1'\" 12 (1 1 1n=1 un(t)en1 1H2 12 � d 1A2f (t)1 1 L2,γ (R+ ,H) , 1 1 1 1 1 u(p) 1 1 2-p (p) 1 1 2-p 12 2 1 t 1 1n=1 n (t)en � d A 1H2-p f (t) L2,γ (R+ ,H) + A f (0) H + (p - 1) f (0) H , p = 1, 2. На основе теоремы 3.5 о структуре спектра оператор-функции L(λ) получим представление решения задачи (2.15), (2.16). Отметим, что в случае, когда ядро K(t) представимо в виде суммыряда убывающих экспонент с положительными коэффициентами, результаты о представлении решений получены в работах [9, 43, 83] и подытожены в третьей главе монографии [12]. На комплексной плоскости рассмотрим контур Γ = C1 ∪ Γ+ ∪ C2 ∪ Γ-, где = π C1 J 2 π λ ∈ C : λ= - d1 + y0eiϕ, - � ϕ � + { ∈ |- 2 - 1 0 0 } π , Γ = x+iy C d � x � d , y = y , y > 0 , 2 λ C2=J 2 ∈ C : λ= - d2 + y0eiϕ, � ϕ � 3π , 2 Γ-= {x+iy ∈ C |- d2 � x � -d1, y = -y0, y0 > 0} , обходимый по часовой стрелке. Теорема 4.5. Пусть в уравнении (2.15) f (t) ≡ 0 и выполнены условия теоремы 3.5. Тогда сильное решение задачи (2.15), (2.16) представимо в виде u(t) = uI (t)+ uR(t), (4.3) где uI (t) = ),∞ n exp(λ+ t) Re (1) ϕnen , uR(t) = 1 Г n L-1(λ)ϕeλtdλ, λ+ - невещественные собственn n=1 ln (λ+) 2πi Γ (3.12). ные значения оператор-функции L(λ), имеющие асимптотическое представление Теорема 4.6. Пусть выполнены условия теоремы 4.5. Тогда существует такое y0 > 0, 0 < y0 < d1, что для вектор-функций uI (t) и uR(t) справедливы оценки ×uI (t)×H � C1eκt×ϕ×H, ×uR(t)×H � C2η(t)1A-2ϕ1 , где κ = sup Re λ+, Cj > 0 - некоторые положительные констан- ты, j = 1, 2, 1 1H 1 2r2(y0) n n∈N 1/2 η(t) = 2π 0 y02 ξ2(t)+ 2π2μ2(y0) (e-2(d1 -y0)t + e-2(d2 -y0 )t\ , 1 ed2 t - ed1 t r d2 dμ(τ ) -1 /r d2 dμ(τ ) \- ξ(t) = t , r0(y0) = 0 1 d τ (τ 2 + y2) , μ(y0) = 1 d τ ((d2 - d1 + y0)2 . 0 + y2) Теорема 4.7. Пусть в задаче (2.15), (2.16) ϕ = 0 и выполнены условия теорем 2.5 и 3.5. Тогда сильное решение задачи (2.15), (2.16) представимо в виде u(t) = wI (t)+ wR(t), (4.4) где ∞ wI (t) = '\" n /r t r exp(λ+(t - τ )) (1) n + exp(λ-(t - τ )) l (1) \ fn(τ )dτ en, n n=1 0 ln (λ+) ln (λ-n ) 1 r t r 1 λ(t-τ ) 0 wR(t) = 2πi L- (λ)e Γ dλ f (τ )dτ, λ± n - невещественные собственные значения оператор-функции L(λ), имеющие асимптотическое представление (3.12). 272 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН Отметим, что в представлении решений (4.3), (4.4) ряды uI (t), wI (t), соответствующие невещественной части спектра оператор-функции L(λ), по своей структуре и характеру поведения близки к представлению в виде ряда Фурье решения волнового уравнения и в этом смысле имеют волновой характер поведения. В свою очередь, члены uR(t), wR(t), соответствующие вещественной части спектра оператор-функции L(λ), в указанном смысле близки к решению уравнения теплопроводности. Уместно отметить, что функция uR(t) является бесконечно дифференцируемой. Таким образом, решения задачи (2.15), (2.16) по своим свойствам занимают промежуточное положение между решениями волнового уравнения и уравнения теплопроводности. Отметим, что доказательства теорем 4.5-4.7 приведены в статье [10]. 2. Интегродифференциальные уравнения Гуртина-Пипкина c ядрами Работнова. Сформулируем результат о представлении сильного решения задачи (2.19)-(2.20). Введем следующие обозначения: Kn(τ ) = n - a2 (Kˆ (-τ ) - Kˆ+ (-τ ) , Kˆ n ± (-τ ) = '\" ck . (τ 2 + a2 (1 - Kˆ+ (-τ ) (τ 2 + a2 (1 - Kˆ- (-τ ) ταe±iπα + βk n n k=1 2 Теорема 4.8. Пусть выполнены условия теоремы 3.2, α ∈ (0, 1 , f (t) ≡ 0. Тогда сильное решение задачи (2.19)-(2.20) представимо в виде u(t) = uI (t)+ uR(t), t > 0, где вектор-функция uI (t) представима в виде ∞ uI (t) = '\" (ωn(t, λ+)+ ωn(t, λ-) en, ωn(t, λ) = (ϕ1n + λϕ0n) eλt , (4.5) n n n=1 n l(1)(λ) а вектор-функция uR (t) представима в виде r ∞ ∞ uR(t) = '\" uRn (t)en, uRn (t) = n=1 0 e-tτ Kn(τ ) (-τ ϕ0n + ϕ1n)dτ, (4.6) n при этом ряды (4.5), (4.6) сходятся по норме пространства H, а λ± - невещественные собственные значения оператор-функции L(λ), ϕkn = (ϕk , en), n ∈ N, k = 1, 2. n В нижеследующих теоремах 4.8 и 4.9 приведены оценки вектор-функций uI (t) и uR (t) . Отметим, что компонента uI (t) соответствует невещественным собственным значениям λ± и отвечает за волновой характер поведения решений. Компонента uR (t) отвечает за поведение оператор-функции L-1 (λ) на разрезе отрицательной полуоси. }j=1 Обозначим через Pn ортопроектор на подпространство, являющееся линейной оболочкой векторов {ej n , а через Qn ортопроектор на подпространство, ортогональное подпространству PnH, т. е. Qn = I - Pn, а пространство H представимо в виде ортогональной суммы H = PnH ⊕ QnH. Приведем результаты об оценке проекций вектор-функции uI (t) на подпространства QnH и PnH. Теорема 4.9. Пусть выполнены условия теоремы 4.8. Тогда для любого ε > 0 существуют такое натуральное число n0, что для вектор-функции uI (t) , определенной соотношением (4.5), выполнены оценки ×Qn0 uI (t)× � θ11Qn0 e- kA1-αt 01 21 n0 ϕ + θ Q e-kA1-αt A-1 ϕ11, t > 0, (4.7) 1 1 1 1 1 πα N 0 < k = sin ( 2 2 \ '\" cj - ε, j=1 δt 1 -1 1 ×Pn0 uI (t)× � θ3e- ×Pn0 ϕ0× + 1Pn0 A ϕ11 , t > 0, (4.8) с некоторыми положительными постоянными δ, θ1, θ2, θ3, не зависящими от векторов ϕ0, ϕ1. n Следствие 4.1. Пусть вектор-функция uI (t) определена соотношением (4.5), где λ± для каждого достаточно большого n ∈ N имеют асимптотику (3.13), векторы ϕ0 ∈ Hp, ϕ1 ∈ Hp-1, p ∈ N. Тогда для любого ε > 0 существует такое число n0 ∈ N, что выполнены следующие оценки 1-α ×ApQn uI (t)× � θ41Qn e-kA tApϕ 1 + θ 1Q e-kA1-α tAp-1ϕ11, t > 0, (4.9) 0 1 0 0 5 n 1 1 0 1 1 πα N 0 < k = sin ( 2 2 \ '\" cj - ε, j=1 ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 273 ×ApPn uI (t)× � θ6e-δt Pn Apϕ0× + 1Pn Ap-1ϕ11 , t > 0, (4.10) 0 × 0 1 0 1 с некоторыми положительными постоянными δ, θ4, θ5, θ6, не зависящими от векторов ϕ0, ϕ1. Заметим, что в формулировке следствия 4.1 не предполагается, что вектор-функция u является решением задачи (2.19)-(2.20), т. е. разложение (4.5) носит абстрактный характер. Тем не менее, при выполнении условий теоремы 4.8 оценки (4.9), (4.10) можно применить к решению задачи (2.19)-(2.20), причем случаю сильного решения соответствует p = 3, а случаю обобщенного решения соответствует p = 2. Кроме того, в случае реализации оператора A как самосопряженного дифференциального оператора в частных производных по пространственным переменным, оценки (4.9), (4.10) можно рассматривать как оценки компоненты uI решения u соответствующей начально-краевой задачи для интегродифференциального уравнения в частных производных, отвечающей за волновой характер поведения. Оценки (4.7), (4.8) показывают, что компонента решения uI (t), отвечающая невещественной части спектра, экспоненциально убывает. Теорема 4.10. Пусть выполнены условия теоремы 4.8. Тогда для любого ε > 0 векторфункция uR (t) , определяемая соотношением (4.6), допускает оценку 2 2 2 ×uR (t)×2 � e-2εt k11A-αϕ012 + k21A-1-αϕ11 + k3 ε2(2+α)1A-2ϕ01 + ε2(1+α)1 -2 1 1 1 1 1 1 1 1A ϕ11 , t > 0, с постоянными k1, k2, k3, не зависящими от векторов ϕ0, ϕ1. Отметим, что доказательства теорем 4.8-4.10 приведены в статье [16]. 5. ПОЛУГРУППЫ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ВОЛЬТЕРРОВЫМИ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ, И ИХ СВОЙСТВА Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство, A - самосопряженный положительный оператор, A∗ = A κ0I (κ0 > 0), действующий в пространстве H, имеющий ограниченный обратный. Путь B - симметрический оператор, (Bx, y) = (x, By) , действующий в пространстве H с областью определения Dom (B) (Dom (A) ⊆ Dom (B)) , неотрицательный: (Bx, x) 0 для любых x, y ∈ Dom (B) , и удовлетворяющий неравенству ×Bx× � κ ×Ax× , 0 < κ < 1 для любого x ∈ Dom (A) , а I - тождественный оператор в пространстве H. Рассмотрим следующую задачу для интегродифференциального уравнения второго порядка на положительной полуоси R+ = (0, ∞): d2u(t) dt2 + (A + B) u(t) - m '\" r t k=1 0 Rk (t - s) (ak A + bk B) u(s)ds = f (t), t ∈ R+, (5.1) u(+0) = ϕ0, u(1)(+0) = ϕ1. (5.2) Предположим, что функции Rk : R+ → R+ удовлетворяют следующим условиям: Rk (t) - положительные невозрастающие функции, (5.3) ∈ t Rk (t) L1(R+), lim →+∞ Rk (t) = 0, k = 1,... , m. m Кроме того, будем предполагать, что выполнены следующие условия: ak Г +∞ ), ( 0 Rk (s)ds\ < 1, m ), (bk Г +∞ \ +∞ +∞ k=1 k=1 0 Rk(s)ds < 1. Положим Mk (t) = Гt Rk (s)ds = Г0 Rk(t + s)ds, k = 1,... , m. Пусть A0 = / m 1 - '\" k=1 r +∞ ak 0 \ Rk (s)ds A + / m 1 - '\" k=1 r +∞ bk 0 \ Rk(s)ds B, Ak = akA + bkB. Из известного результата (см. [27, с. 361]) вытекает, что операторы A0, Ak являются самосопряженными и положительными для всех k = 1,... , m. Отметим, что задачи вида (5.1), (5.2) являются операторными моделями задач, возникающих в теории вязкоупругости (см. [50, 63-66]) и теплофизике (см. [35, 61, 69]). Спектральный анализ уравнения (5.1) в случае, когда ядра Rk(t) представляют собой убывающие экспоненты или функции Работнова (см. [39]), проводился в работах [4-21, 82-85]. 274 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН Представленные в данной работе результаты являются продолжением и развитием исследований, опубликованных в работах [4-21]. Превратим область определения Dom(Aβ ) оператора Aβ, β > 0 в гильбертово пространство Hβ, 0 0 введя на Dom(Aβ ) норму, эквивалентную норме графика оператора Aβ. 0 0 Замечание 5.1. Из свойств операторов A и B, согласно [27-52, 54-67], следует, что операторы A0, Ak являются обратимыми для всех k = 1,... , m, операторы Qk := A1/2A-1/2 - допускают k 0 0 ограниченное замыкание в H для всех k = 1,... , m, а A-1 - ограниченный оператор. Определение 5.1. Будем называть вектор-функцию u(t) классическим решением задачи (5.1), (5.2), если u(t) ∈ C2(R+,H), Au(t), Bu(t) ∈ C(R+,H), u(t) удовлетворяет уравнению (5.1) для каждого значения t ∈ R+ и начальному условию (5.2). rk 1. Полугруппа в расширенном функциональном пространстве. Через Ωk обозначим весовое пространство L2 (R+,H) вектор-функций на полуоси R+ = (0, ∞) со значениями в H, +∞ 2 1/2 1 снабженное нормой ||u||Ωk = (Г0 rk (s)||u(s)||H ds k , rk(τ ) := R- (τ ) : R+ → R+, k = 1,... , m. Рассмотрим сильно непрерывную полугруппу Lk(t) левых сдвигов в пространстве Ωk (см. [59, с. 33], [74]): Lk(t)ξ(τ ) = ξ(t + τ ), t > 0. Известно, что линейный оператор Tkξ(τ ) = ∂ξ(τ )/∂τ в пространстве Ωk с областью определения D(Tk ) = {ξ ∈ Ωk : ∂ξ(τ )/∂τ ∈ Ωk} является генератором полугруппы Lk (t) (см. [59, c. 66]). m 2 H Введем гильбертово пространство H = H ⊕ H ⊕ ( ffi Ωk\ с нормой ×(v, ξ0, ξ1(τ ),... , ξm(τ ))× = 2 ||v||2 +||ξ0|| m 2 + ), ||ξk || k=1 , τ > 0, которое будем называть расширенным гильбертовым простран- H ством. H Ωk k=1 Введем линейный оператор A в пространстве H с областью определения D(A) = J(v, ξ0, m ξ1(τ ),... , ξm(τ )) ∈ H : v ∈ H1/2, ξ0 + ), Q∗ Г +∞ ξk(τ )dτ ∈ H1/2, ξk(τ ) ∈ D(Tk ), k = 1,... ,m , действующий следующим образом: k 0 k=1 m +∞ r \ A(v, ξ0, ξ1(τ ),... , ξm(τ ))=(- A1/2rξ0+ '\" Q∗ ξk (τ )dτ l, A1/2v, Rk (τ )Qk A1/2v+Tkξk (τ ), k=1,m . 0 k 0 0 k=1 0 Введем два (2 + m)-компонентных вектора вида Z(t) = (v(t), ξ0(t), ξ1(t, τ ),... , ξm(t, τ )) ∈ H и z = (v0, ξ00, ξ10(τ ),... , ξm0(τ )) ∈ H. Рассмотрим следующую задачу Коши в пространстве H: d dt Z(t) = AZ(t), (5.4) Z(0) = z. (5.5) Определение 5.2. Вектор Z(t) = (v(t), ξ0(t), ξ1(t, τ ),... , ξm(t, τ )) ∈ H называется классическим решением задачи (5.4), (5.5), если v(t), ξ0(t) ∈ C1([0, +∞),H), ξk(t, τ ) ∈ C1([0, +∞),H) для любого τ > 0, k = 1,... , m, Z(t) ∈ C([0, +∞), D(A)), вектор Z(t) удовлетворяет уравнению (5.4) для любого t ∈ R+и начальному условию (5.5). Теорема 5.1. Оператор A в пространстве H с плотной областью определения D(A) является максимально диссипативным, т. е. (AZ, Z) � 0 для всех Z ∈ D(A) и оператор A не имеет нетривиальных диссипативных расширений. Теорема 5.2. Линейный оператор A является генератором сжимающей C0-полугруппы S(t) = etA в пространстве H, при этом решение задачи (5.4), (5.5) представимо в виде Z(t) = S(t)z, t > 0, и для любого z ∈ D(A) справедливо энергетическое равенство: m d 2 '\" 2 r +∞ 2 dt ||S(t)z||H = - k=1 lim τ →0+ rk(τ )||ξk (t, τ )||H + 0 rtk (τ )||ξk (t, τ )||H dτ . ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 275 t 2. Экспоненциальная устойчивость. Предположим, что определенные выше функции Rk(τ ) дифференцируемы при τ ∈ (0, +∞), а также для некоторого γ > 0 и для любого τ > 0 удовлетворяют условиям Rk (τ )+ γRk (τ ) � 0. (5.6) Условие (5.6) хорошо известно в литературе (см., например, [50]). Можно показать, что ядра Rk(t), заданные в виде убывающих экспонент Rk (t) = e-βkt, 0 < βk < βk+1, k = 1,... ,m или функций Работнова Rk (t) = Эα-1(-βk, t) := t ∞ α-1 '\" n=0 - k ( β )n tnα , 0 < α < 1, 0 < βk < βk+1, k = 1,... , m, Γ[(n + 1)α] где Γ(·) - гамма-функция Эйлера, удовлетворяют условию (5.6). Теорема 5.3. Пусть функции Rk(τ ) : R+ → R+ удовлетворяют условиям (5.3), (5.6) для некоторого γ > 0 и любого τ > 0 для всех k = 1,... , m. Тогда существуют такие постоянные θ > 1 и ω > 0, что для любого z ∈ H справедливо неравенство ×S(t)z×H � θ×z×He-ωt. Отметим, что доказательства теорем 5.1 и 5.2 приведены в статье [44]. 3. Корректная разрешимость. Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения d dt Z(t) = AZ(t)+ F (t), (5.7) Z(0) = z. (5.8) Будем предполагать, что вектор-функция F (t) имеет вид F (t) := (f1(t), 0,... , 0), f1(t) = f (t) - m 0 ), Mk (t)Akϕ0, вектор имеет вид z = (ϕ1, A1/2ϕ0, 0,... , 0). "" m..+,.1 .. k=1 "" ..m,. .. Теорема 5.4. Пусть функции Rk (τ ) : R+ → R+ удовлетворяют условиям (5.3) и выполнены следующие условия: 0 1. вектор-функция A1/2f (t) ∈ C (R+,H ) , функция Mk (t) ∈ C (R+) , вектор ϕ0 ∈ H 3/2 , ϕ1 ∈ H1/2; или 2. вектор-функция f (t) ∈ C1 (R+,H) , функция Mk (t) ∈ C1 (R+) ,k = 1,... , m, вектор ϕ0 ∈ H1, ϕ1 ∈ H1/2. 0 Тогда задача (5.7)-(5.8) имеет единственное классическое решение Z(t) = (v(t), ξ0(t), ξ1(t, τ ),... , ξm(t, τ )), где v(t) := ut(t), ξ0(t) := A1/2u(t), u(t) - классическое решение задачи (5.1), (5.2) ( t \ и справедлива оценка ×Z(t)×H � d ×z×H + Г0 ×F (s)×Hds с постоянной d, не зависящей от вектор-функции F и векторов ϕ0, ϕ1. \ Если, кроме того, функции Rk (τ ) удовлетворяют также и условию (5.6), тогда справедлива H d оценка ×Z(t)× � ( t ×z×He-ωt + Г0 e-ω(t-s)×F (s)×Hds с постоянной d, не зависящей от векторфункции F, векторов ϕ0, ϕ1 и постоянной ω, определенной в формулировке теоремы 5.3. Теорема 5.5. Пусть функции Rk (τ ) : R+ → R+ удовлетворяют условиям (5.3) и выполнены следующие условия: 0 1. вектор-функция A1/2f (t) ∈ C (R+,H ) , функция Mk (t) ∈ C (R+) , вектор ϕ0 ∈ H3/2, ϕ1 ∈ H1/2; или 2. вектор-функция f (t) ∈ C1 (R+,H ) , функция Mk (t) ∈ C1 (R+) , k = 1,... , m, вектор ϕ0 ∈ H1, ϕ1 ∈ H1/2. Тогда задача (5.1), (5.2) имеет единственное классическое решение u(t) и справедлива оценка 1 (1 12 1 1/2 2 \ E1(t) := 2 г 1 1ut(t)1H + 1A0 u(t)1H m � r t r +∞ 2 r t 2 � d ( 2 ϕ1× + 1A1/2 ϕ012 \ '\" ds ×A ϕ ×2 || || × H 1 0 1H + k=1 0 Rk(p)dp s k 0 H + f (s) ds . 0 с постоянной d, не зависящей от вектор-функции f и векторов ϕ0, ϕ1. Более того, если функции Rk (τ ) удовлетворяют также и условию (5.6), тогда справедлива следующая оценка: 276 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН 1 (1 12 1 1/2 2 \ ( 2 1/2 2 \ -2ωt E1(t) := 2 1ut(t)1H + 1A0 u(t)1H � d ×ϕ1×H + 1A0 ϕ01 e + m + '\" k=1 r t 0 1 e-ω(t-s) r +∞ s Rk(p)dp 1 1H 2 H ds ×Akϕ0×2 r t + 0 e-ω(t-s)||f (s)||ds 2 с постоянной d, не зависящей от вектор-функции f, векторов ϕ0, ϕ1 и постоянной ω, определенной в формулировке теоремы 5.3. Отметим, что доказательства теорем 5.4 и 5.5 приведены в статье [44]. Замечание 5.2. Вследствие ограничений объема статьи мы не можем привести здесь формулировки результатов, посвященных исследованию интегродифференциальных уравнений вида d2u 2 r t θ с параметром θ ∈ (0, 1) . dt2 + A u (t) - K (t - s)A u (s) ds = f (t) 0 К уравнениям такого вида могут быть сведены задачи, возникающие в ряде приложений. Мы отсылаем читателя к статьям [5, 6, 75], в которых приведено доказательство корректной разрешимости начальных задач для указанных уравнений, а также проведен подробный спектральный анализ оператор-функций, являющихся их символами. Библиографический комментарий. Следует отметить, что проблемой разрешимости и спектрального анализа вольтерровых интегродифференциальных уравнений на протяжении многих лет занималось большое число исследователей. В рамках одной статьи невозможно охватить все многообразие задач для вольтерровых интегродифференциальных уравнений. Мы ставим перед собой существенно более скромную задачу. Мы постараемся указать наиболее близкие к предмету нашего исследования задачи, а именно, мы остановимся на абстрактных интегродифференциальных уравнениях, т. е. на интегродифференциальных уравнениях с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве, к которым сводятся интегродифференциальные уравнения в частных производных, возникающих в задачах вязкоупругости и задачах теплофизики. Однако и при этом значительном сужении тематики количество работ в этом направлении очень велико. Ограничимся здесь указанием монографий [12, 50, 66] (см. также приведенную в них библиографию), циклом работ Н. Д. Копачевского и его учеников Д. А. Закорыи Е. В. Семкиной [24-32, 67], а также циклом работ авторов [4-21, 41-44, 75-79, 82-85]. Кроме того, мы приводим ряд ссылок на работы С. А. Иванова [60, 63-65], M. C. Dafermos [52], P. Devis [55, 56], Di Blasio [57, 58], 1. Desch, R. Miller [54], R. Miller [68-70], J. Munoz Rivera [71], L. Pandolfi [73], J. Pru¨ ss [76-78], 1. V. Vlasov и J. Wu [86], близкие к предмету рассмотрения настоящей статьи. Здесь уместно также упомянуть монографии по тематике функционально-дифференциальных уравнений А. Л. Скубачевского [47, 48] и J. Wu [87], идейно близких к теории интегродифференциальных уравнений, поскольку изучаемые интегродифференциальные уравнения описывают процессы в средах с памятью. Ряд интересных примеров неустойчивых функционально-дифференциальных уравнений приведен в работе [62].

Об авторах

В. В. Власов

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Автор, ответственный за переписку.
Email: victor.vlasov@math.msu.ru
Москва, Россия

Н. А. Раутиан

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Email: nadezhda.rautian@math.msu.ru
Москва, Россия

Список литературы