Памяти Николая Дмитриевича Копачевского, математика и человека

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Краткая научная биография Н. Д. Копачевского 193 2. Научно-педагогическая деятельность. Работа с учениками 196 Список литературы 199 1. КРАТКАЯ НАУЧНАЯ БИОГРАФИЯ Н. Д. КОПАЧЕВСКОГО 18 мая 2020 года ушел из жизни Николай Дмитриевич Копачевский - известный отечественный математик, доктор физико-математических наук, профессор, почетный работник сферы образования Российской Федерации, заведующий кафедрой математического анализа Крымского федерального университета имени В. И. Вернадского, организатор и бессменный руководитель Крымской осенней математической школы-симпозиума (КРОМШ). Николай Дмитриевич Копачевский родился 25 марта 1940 года в городе Симферополе. Когда началась война, его отец, Дмитрий Николаевич, ушел на фронт, а Коля с мамой и бабушкой попали в оккупацию. Его мать расстреляли фашисты, и маленький Коля остался на руках его тети, Дины Лазаревны, которая воспитала его, несмотря на трудное военное и послевоенное время. Еще в школьные годы Николай Дмитриевич увлекся математикой, которой в дальнейшем посвятил всю свою жизнь. По окончании школы Николай Дмитриевич поступил в Харьковский авиационный институт (ХАИ), который окончил с отличием в 1963 году, получив одним из первых в СССР новую специальность инженера-конструктора ядерных авиадвигателей. Математическое дарование Николая Дмитриевича проявилось уже в студенческие годы. Куратором потока, на котором он учился, был знаменитый математик Анатолий Дмитриевич Мышкис. Под его руководством Николай Дмитриевич начал работать уже со второго курса (см. [32, 62]). Наряду с учебой в ХАИ Николай Дмитриевич с начальных курсов регулярно посещает лекции известных математиков В. А. Марченко, Н. И. Ахиезера, И. М. Глазмана, Б. Я. Левина в Харьковском государственном университете. Помимо учебы Николай Дмитриевич играл в ведущих волейбольных командах Харькова, тренировался в команде мастеров высшей лиги СССР «Буревестник». © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 193 194 В. И. ВОЙТИЦКИЙ и др. По окончании ХАИ Николай Дмитриевич был принят инженером в Физико-технический институт низких температур (ФТИНТ), в отдел прикладной математики, возглавляемый Анатолием Дмитриевичем Мышкисом. В начале 60-х годов в связи с первым полетом человека в космос и началом космической эры возник ряд прикладных задач, требовавших построения новых математических моделей. Одной из таких задач была проблема поведения жидкого топлива в баке космической ракеты в условиях невесомости. По инициативе первого директора ФТИНТ академика Б. И. Веркина, с согласия академика С. П. Королева, к изучению данной проблематики была привлечена группа молодых исследователей под руководством А. Д. Мышкиса. Перед ними стояла задача определения форм равновесия, условий устойчивости, описания тепловой конвекции, малых движений жидкости в условиях, близких к состоянию невесомости. Подобными задачами чуть позже стали заниматься в Вычислительном центре АН СССР (Москва) в отделе Н. Н. Моисеева и в Институте математики АН УССР (Киев) в отделе И. А. Луковского. Эти группы активно и плодотворно сотрудничали, и в 1976 году по материалам работы сотрудников ФТИНТ вышла первая в мире монография по гидромеханике невесомости [9]. Вскоре эта книга была переиздана во многих странах мира, см. [77]. В 1992 году вышла вторая монография [8], отражающая современное развитие этой тематики. Изучением проблемы малых движений и собственных колебаний в группе А. Д. Мышкиса стал заниматься Николай Дмитриевич. Вдохновленный современными идеями функционального анализа, он решил привлечь к решению поставленной задачи широко применяющиеся в квантовой механике методы теории линейных самосопряжённых операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Этот подход полностью себя оправдал и составил материал кандидатской диссертации Николая Дмитриевича «О малых колебаниях жидкости в сосуде в условиях, близких к невесомости», защищенной им в Харькове в 1966 году. В диссертации было проведено исследование идеальной жидкости, установлена теорема о разрешимости эволюционной задачи, спектральная задача сведена к исследованию линейного операторного пучка в гильбертовом пространстве, на основании свойств операторов потенциальной и кинетической энергии установлены спектральные свойства задачи, а также условия устойчивости равновесных форм жидкости, методом Ритца были вычислены вещественные собственные значения и собственные функции задачи. Частично эти результаты отражены в одной из первых статей Николая Дмитриевича [41] (совместной с А. Д. Мышкисом). Большое влияние на выбор операторной методики исследований оказал Селим Григорьевич Крейн, глава Воронежской школы функционального анализа, который стал старшим товарищем и вторым учителем Николая Дмитриевича. Их знакомство произошло в 1965 году на заседании Харьковского математического общества, где Селим Григорьевич рассказывал о серии работ, посвященных гидродинамике тяжелой вязкой жидкости. В частности, в докладе был упомянут нелинейный операторный пучок, позже названный пучком С. Г. Крейна. Результаты исследования данной (несамосопряженной) задачи, отраженные в работах Н. К. Аскерова и Г. И. Лаптева, а также работы М. Г. Крейна и Х. Лангера по спектральной теории операторных пучков, убедили Николая Дмитриевича в плодотворности и перспективности методов теории линейных операторов, сформировали почву для дальнейших исследований. Под влиянием работ С. Г. Крейна Николай Дмитриевич начал изучение поведения вязкой жидкости, а также систем несмешивающихся жидкостей с учетом сил поверхностного натяжения и вращения. Уже первая статья [42] по этой тематике показала, что учёт сил поверхностного натяжения существенно меняет структуру спектра задачи, а именно, вместо двух ветвей положительных собственных значений с предельными точками в нуле и на бесконечности остается одна ветвь с предельной точкой на бесконечности. Как известно, пучок С. Г. Крейна имеет не более конечного числа невещественных собственных значений. Тот же результат был получен для вязкого самогравитирующего шара. Отметим, что для вязкой капиллярной жидкости в произвольной области вопрос о числе невещественных собственных значений не решен до сих пор. Материалы работ Николая Дмитриевича [19-26, 43, 46, 65], написанных в 70-е годы, стали основой докторской диссертации «Теория малых колебаний жидкостей с учетом сил поверхностного натяжения и вращения», защищенной в Москве в 1980 году в Вычислительном центре АН СССР. ПАМЯТИ НИКОЛАЯ ДМИТРИЕВИЧА КОПАЧЕВСКОГО, МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕКА 195 Официальные оппоненты - выдающиеся математики О. А. Ладыженская и Ф. Л. Черноусько - высоко оценили результаты Николая Дмитриевича. После защиты докторской диссертации по предложению С. Г. Крейна началась их совместная работа над монографией «Операторные методы в линейной гидродинамике: эволюционные и спектральные задачи» [40]. Третьим автором книги стал вьетнамский математик Нго Зуй Кан. В 1981 году Нго Зуй Кан защитил докторскую диссертацию под руководством С. Г. Крейна, вторым научным консультантом выступал Николай Дмитриевич. Монография вышла в 1989 году и по сегодняшний день является одной из немногих книг, в которых в полной мере отражена методика применения теории линейных операторов к задачам гидродинамики, разработанная Селимом Григорьевичем и Николаем Дмитриевичем. В 2001 и 2003 годах в многотомной серии И. Ц. Гохберга «Operator Theory: Advances and Applications» вышла двухтомная монография Н. Д. Копачевского и С. Г. Крейна «Operator approach to linear problems of hydrodynamics» [68, 69], представляющая собой расширенный вариант монографии [40]. В 1981 году Николай Дмитриевич с супругой Валентиной Георгиевной возвращается в родной Крым. С этого момента он является заведующим кафедрой математического анализа Симферопольского государственного университета - Таврического национального университета - Крымского федерального университета имени В. И. Вернадского. Во время работы в Симферополе Николай Дмитриевич продолжает сотрудничество с С. Г. Крейном и другими ведущими специалистами в области функционального анализа, среди которых А. С. Маркус, В. И. Мацаев, М. С. Агранович, Т. Я. Азизов. А. С. Маркуса и В. И. Мацаева Николай Дмитриевич считал своими учителями в области спектральной теории операторов и операторных пучков. На основе известной монографии А. С. Маркуса [61] было написано учебное пособие [31], которое посвящено приложению общих результатов теории оператор-функций к исследованию операторного пучка С. Г. Крейна. В частности, Николаем Дмитриевичем был получен интересный результат о p-базисности системы собственных элементов, отвечающей одной из двух ветвей положительных собственных значений пучка С. Г. Крейна (см. [27]). Обобщение этого результата на случай произвольной голоморфной оператор-функции с операторными коэффициентами из классов Шаттена-фон Неймана получено совместно с его учеником В. А. Гринштейном (см. [16]). Позднее Николай Дмитриевич с учениками исследовали свойства полиномиальных пучков, возникающих в теории вращающихся жидкостей, конвективных движений в жидкостях, колебаний гидросистем, систем с диссипацией энергии и пр. Частично эти результаты отражены в статьях [2, 3, 5, 17, 28, 30, 44, 64]. Результаты Михаила Семеновича Аграновича по теории эллиптических уравнений, краевых задач и задач сопряжения в липшицевых областях и приложениям оказали существенное влияние на тематику исследований Николая Дмитриевича, проводимых с начала двухтысячных годов (см. [12, 29, 33, 39, 45, 60]) и послуживших основой монографии «Абстрактная формула Грина и некоторые её приложения» [34], вышедшей в 2016 году. Николай Дмитриевич одним из первых стал использовать методы теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой для решения проблем гидродинамики и активно применял новые результаты в этой области. Этому способствовала многолетняя дружба и научное сотрудничество с Т. Я. Азизовым. В 2014 году в результате их совместных исследований вышли монография «Приложения индефинитной метрики» [7] и серия статей и пособий [1, 6, 63]. С 1990 года Николай Дмитриевич Копачевский - идейный вдохновитель и руководитель международной конференции «Крымская осенняя математическая школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам» (КРОМШ). Школа сохранила традиции Воронежской зимней математической школы, организованной С. Г. Крейном. В течение более чем тридцати лет КРОМШ проходит с большим успехом, собирая замечательных математиков и отличаясь неизменно высоким научным уровнем. Несомненной заслугой Николая Дмитриевича являлась и удивительная душевная атмосфера на этой Школе. Постоянными участниками КРОМШ стали многие известные математики, специалисты в области функционального анализа, дифференциальных уравнений, прикладной математики из России, Украины, Белоруссии, Узбекистана, Казахстана, Израиля, Германии, Польши, Англии, Франции, Швеции, Японии, США и других стран. Кроме прикладных задач, Николай Дмитриевич активно исследовал многие фундаментальные проблемы теории нелинейных оператор-функций, теории интегродифференциальных уравнений 196 В. И. ВОЙТИЦКИЙ и др. Вольтерра, общей теории граничных задач и задач сопряжения. В последние годы Николай Дмитриевич с учениками активно занимался исследованием малых движений сочлененных маятников с жидким наполнением, вязкоупругих жидкостей и систем несмешивающихся жидкостей, многокомпонентными задачами сопряжения в липшицевых областях, обобщениями абстрактной формулы Грина для задач сопряжения и полуторалинейных форм. Достижения Николая Дмитриевича были отмечены наградами и премиями: он являлся заслуженным деятелем науки и техники Украины (1992), лауреатом государственной премии Украины 2013 года (в составе авторского коллектива) за цикл научных работ по гидромеханике «Закономерности волно-вихревых процессов в сплошной среде», лауреатом премии имени В. И. Вернадского (2001), кавалером Ордена «За заслуги» 3-й степени (2008), почетным работником сферы образования Российской Федерации (2020), членом экспертного совета ВАКРоссии. Николай Дмитриевич был членом редколлегий научных журналов «Современная математика. Фундаментальные направления», «Таврический вестник информатики и математики», «Динамические системы». 2. НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ. РАБОТА С УЧЕНИКАМИ В Симферополе помимо научной работы Николай Дмитриевич активно занялся педагогической деятельностью. Он читал лекции по ряду классических математических дисциплин, разработал более десяти новых спецкурсов для студентов и аспирантов математических специальностей, среди которых выделим следующие: § «Операторные методы математической физики», § «Операторные методы линейной гидродинамики», § «Спектральная теория операторных пучков», § «Колебания жидкости в условиях невесомости», § «Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве», § «Абстрактная формула Грина», § «Интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра в гильбертовом пространстве». Материалы этих спецкурсов были изданы в виде учебно-научных пособий. Все годы Николай Дмитриевич был бессменным руководителем еженедельного научного семинара по теории операторов и приложениям кафедры математического анализа. Семинар воспитал многих кандидатов наук, ставших преподавателями университета и других Крымских вузов. Под руководством Николая Дмитриевича сформировалась научная школа «Операторные методы в механике сплошных сред», защищены 22 кандидатские и две докторские диссертации. Основные направления научных исследований школы Николая Дмитриевича Копачевского связаны с проблемами малых движений идеальной, вязкой, вязкоупругой жидкостей, баротропного газа, систем жидкостей с условиями капиллярности, релаксации, стратификации в неподвижном, вращающемся или колеблющемся сосуде. В работах Николая Дмитриевича и его учеников отражена главная методика научной школы - сведение задачи в частных производных к задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения в гильбертовом пространстве. Использование современных достижений функционального анализа и математической физики позволило получить важные для приложений результаты о полноте и базисности собственных функций, о локализации и асимптотике собственных значений, о существовании сильных или слабых решений краевых задач. Николай Дмитриевич всегда уделял большое внимание ученикам, к каждому из которых он относился с большим вниманием и отеческой заботой. Работа с Николаем Дмитриевичем подразумевала регулярные консультации, живое общение, активное участие в семинарах и конференциях, совместное написание тезисов и статей. В конце 70-х годов первым его учеником стал сотрудник ФТИНТ Н. К. Радякин, в диссертации которого были решены некоторые задачи, связанные с малыми колебаниями капиллярной жидкости (см. [47-49], [КД 1]). В начале 80-х годов научные интересы Николая Дмитриевича были обращены на исследование стратифицированной жидкости в ограниченном сосуде. Данная проблематика возникает при изучении волновых процессов в океанах и морях (а также при изучении колебаний криогенных ПАМЯТИ НИКОЛАЯ ДМИТРИЕВИЧА КОПАЧЕВСКОГО, МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕКА 197 жидкостей и нефти), где плотность жидкости в состоянии покоя не является постоянной, а зависит от высоты по закону Вяйсяля-Брендта. Силы плавучести обусловливают наличие внутренних волн и другие интересные физические эффекты, наблюдающиеся в подобных жидкостях. Эта задача вошла в кандидатскую диссертацию второго ученика Николая Дмитриевича - А. Н. Темнова (теперь доцент МГТУ им. Н. Э. Баумана), которая была успешно защищена в 1984 году в Институте механики АН СССР в Москве (см. [51-54], [КД 2]). Дальнейшее развитие эта тематика нашла в период работы Николая Дмитриевича в Крыму. Так, в статье [4] и в диссертации [КД 3] следующего ученика Николая Дмитриевича - А. В. Андронова - рассматривались вопросы, связанные с колебаниями стратифицированной жидкости в контейнере с упругими днищами. В работах [72, 73] и диссертации С. И. Смирновой [КД 5] исследовался случай, когда переменная плотность для идеальной жидкости изменяется не вдоль некоторой оси (как в случае стратифицированной жидкости), а более сложным образом, учитывающим, например, действие неоднородного потенциального поля и поля центробежных сил. При исследовании реальных задач о колебаниях стратифицированной жидкости важным аспектом является учет не только непрерывного изменения плотности жидкости вдоль вертикальной координаты, но и возможных скачков плотности. Такие скачки (быстрые изменения плотности от одного значения к другому) встречаются на некоторых глубинах в морях и океанах. Подобные модели, содержащие системы стратифицированных жидкостей, рассматривались в работах Николая Дмитриевича с Т. П. Темченко и М. Ю. Царьковым [55], с Б. М. Вронским и Т. П. Темченко [13], а также в статьях с Д. О. Цветковым [56, 75]. Полученные в них результаты стали основой диссертаций [КД 4], [КД 12]. В диссертации Ю. С. Пашковой [КД 7] изучались спектральные и эволюционные задачи, связанные с малыми движениями жидкости в сосуде, ограниченной упругой мембраной (см. также [70, 71]). Исследование малых колебаний гидродинамических систем, содержащих в ограниченных областях жидкость и газ, нашли свое отражение в работах с Б. М. Вронским [14] и с Э. Л. Газиевым [15, 66], став материалом их диссертаций [КД 19] и [КД 21]. Системы из идеальных и вязких однородных жидкостей рассматривались в кандидатской диссертации Д. А. Закоры [КД 9]. Далее, в диссертации М. А. Солдатова [КД 10], а также в более поздних работах с Д. О. Цветковым [57-59] рассматривались задачи, в которых на свободной поверхности жидкости (однородной или стратифицированной) имеются как участки чистой воды, так и участки крошёного льда (так называемая задача о флотации), либо упругого льда (упругий лёд моделируется упругой пластиной). Начиная с конца 50-ых годов в Советском Союзе активно изучались проблемы малых движений твердого тела с полостью, целиком или частично заполненной жидкостью. К подобным задачам одним из первых подключился С. Г. Крейн, эта тематика исследований отражена в докторской диссертации Нго Зуй Кана. Проблемы малых движений маятника с жидкостями около оси изучались в кандидатской диссертации [КД 6] сирийского ученика Вадиаа Али. Малые колебания маятников около сферического шарнира, а также систем сочлененных маятников, изучались в совместных статьях с Э. И. Батыром и О. А. Дудик [10, 11]. В последнее время совместно с З. З. Ситшаевой и В. И. Войтицким рассматривались общие задачи для системы сочлененных маятников, полости в которых частично заполнены однородными жидкостями либо системами однородных жидкостей (см. [35-38, 76]). Абстрактные подходы к исследованию краевых задач сопряжения отражены в кандидатских диссертациях П. А. Старкова [КД 11], В. И. Войтицкого [КД 15], О. А. Андроновой [КД 16], К. А. Коваль (Радомирской) [КД 22] (cм. [12, 33, 45]), а также в работе последней аспирантки Николая Дмитриевича - А. Р. Якубовой (см. [60]). В диссертации Е. А. Плохой (Сёмкиной) [КД 20] изучались полные интегродифференциальные уравнения Вольтерра, неразрешенные относительно старшей производной. Задачи для вязкоупругой жидкости рассматривались в диссертациях Л. Д. Орловой [КД 8], а также А. В. Яковлева [КД 13], в последнее время к этой тематике исследований подключились Е. А. Плохая и Д. А. Закора (см. [18, 50, 74]). Мы перечислили лишь основные задачи, которые Николай Дмитриевич исследовал с учениками, защитившими кандидатские диссертации. Многие результаты остались за рамками данной статьи. 198 В. И. ВОЙТИЦКИЙ и др. *** Подводя итог, отметим многогранность научного творчества Николая Дмитриевича. Во всех работах чётко отражена главная методика научной школы Николая Дмитриевича (именуемой «Операторные методы в механике сплошных сред») - сведение задачи в частных производных к задаче Коши для дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве в терминах линейных операторов либо операторных матриц. Используя результаты спектральной теории самосопряжённых или несамосопряженных операторов, функционального анализа, вариационных методов математической физики, спектральной теории оператор-функций, операторных матриц, индефинитной метрики, дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, удалось доказать важные для приложений результаты о полноте и базисности собственных функций, о локализации и асимптотике собственных значений, о существовании сильных или слабых решений краевых задач. Николай Дмитриевич оставил большое научное наследие. За период почти 60-летней насыщенной научной деятельности он c соавторами написал около 300 научных работ, более 15 учебных пособий, издал 8 монографий (полный список трудов доступен на сайте http://nikolay-dkopachevsky.com). Неоценимую поддержку в жизни и работе Николаю Дмитриевичу оказывала его супруга Валентина Георгиевна, с которой он прожил 47 лет в любви и согласии. Валентина Георгиевна прекрасно понимала Николая Дмитриевича и делала всё для его плодотворной научной работы. Интересы и увлечения Николая Дмитриевича были чрезвычайно разнообразными: волейбол, плавание, прыжки в воду с Крымских скал, туризм. Но главной для него всегда оставалась математика. Ученики, коллеги и друзья Николая Дмитриевича знали его как человека, преданного своей профессии, увлеченного, любящего жизнь во всех её проявлениях, никогда не скрывавшего своей гражданской позиции, доброжелательного к окружающим. Все, кому посчастливилось знать Николая Дмитриевича Копачевского, навсегда сохранят память об этом замечательном математике и человеке. СПИСОК КАНДИДАТСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ, ЗАЩИЩЕННЫХ ПОД РУКОВОДСТВОМ Н. Д. КОПАЧЕВСКОГО [КД 1] Радякин Николай Константинович (совместное руководство с А. Д. Мышкисом), год защиты 1979. Тема диссертации: «Малые колебания капиллярной жидкости, вращающейся в частично заполненном сосуде». [КД 2] Темнов Александр Николаевич, год защиты 1984. Тема диссертации: «Колебания стратифицированной жидкости в ограниченном объеме». [КД 3] Андронов Андрей Валентинович, год защиты 1987. Тема диссертации: «Малые колебания идеальной жидкости в контейнере с упругими днищами». [КД 4] Темченко Татьяна Петровна, год защиты 1989. Тема диссертации: «Спектральные и эволюционные задачи колебаний многослойных стратифицированных жидкостей». [КД 5] Смирнова Светлана Ивановна, год защиты 1994. Тема диссертации: «Малые движения и собственные колебания идеальной неоднородной несжимаемой жидкости». [КД 6] Вадиаа Али (Сирия), год защиты 1994. Тема диссертации: «Применение методов спектрального анализа оператор-функций в задаче о колебаниях маятника с полостью, заполненной жидкостью». [КД 7] Пашкова Юлия Сергеевна, год защиты 1996. Тема диссертации: «Колебания жидкости в сосуде, ограниченной упругой мембраной, и общие вопросы эволюции гидродинамических систем». [КД 8] Орлова Лариса Дмитриевна (совместное руководство с Т. Я. Азизовым), год защиты 1996. Тема диссертации: «Математические вопросы теории колебаний вязкоупругой и релаксирующей жидкости». [КД 9] Закора Дмитрий Александрович, год защиты 2001. Тема диссертации: «Операторный подход к проблеме малых движений частично диссипативных гидросистем». [КД 10] Солдатов Максим Александрович, год защиты 2003. Тема диссертации: «Математические аспекты теории колебаний жидкости в бассейне, частично покрытом льдом». ПАМЯТИ НИКОЛАЯ ДМИТРИЕВИЧА КОПАЧЕВСКОГО, МАТЕМАТИКА И ЧЕЛОВЕКА 199 [КД 11] Старков Павел Александрович, год защиты 2004. Тема диссертации: «Операторный подход к задачам сопряжения». [КД 12] Цветков Денис Олегович, год защиты 2005. Тема диссертации: «Математические проблемы теории колебаний стратифицированной жидкости». [КД 13] Яковлев Алексей Викторович, год защиты 2005. Тема диссертации: «Операторный подход к проблеме малых движений вязкоупругих сред». [КД 14] Тышкевич Дмитрий Леонидович, год защиты 2008. Тема диссертации: «Об ортогонализации систем векторов и разложении типа Вольда в линейных пространствах с внутренним произведением». [КД 15] Войтицкий Виктор Иванович, год защиты 2010. Тема диссертации: «Краевые задачи со спектральным параметром в уравнениях и краевых условиях». [КД 16] Андронова Ольга Андреевна, год защиты 2010. Тема диссертации: «Начально-краевые и спектральные задачи с поверхностной и внутренней диссипацией энергии». [КД 17] Дудик Ольга Александровна, год защиты 2011. Тема диссертации: «Малые движения маятника с полостью, частично заполненной капиллярной вязкой жидкостью». [КД 18] Батыр Эльдар Ибраимович, год защиты 2011. Тема диссертации: «Малые колебания сочлененных гиростатов». [КД 19] Вронский Борис Михайлович, год защиты 2014. Тема диссертации: «Малые движения и собственные колебания системы “жидкость-газ”». [КД 20] Сёмкина Екатерина Владимировна, год защиты 2014. Тема диссертации: «О некоторых классах интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра в гильбертовом пространстве». [КД 21] Газиев Эскендер Линурович, год защиты 2014. Тема диссертации: «Задачи статики, устойчивости и малых колебаний гидросистемы “жидкость-баротропный газ” в условиях, близких к невесомости». [КД 22] Радомирская Карина Александровна, год защиты 2018. Тема диссертации: «Операторный подход к краевым, спектральным и начально-краевым задачам сопряжения».

Об авторах

В. И. Войтицкий

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского

Автор, ответственный за переписку.
Email: victor.voytitsky@gmail.com
Симферополь, Россия

М. А. Муратов

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского

Email: mustafa_muratov@mail.ru
Симферополь, Россия

Ю. С. Пашкова

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского

Email: victor.voytitsky@gmail.com
Симферополь, Россия

П. А. Старков

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского

Email: pastarwork@gmail.com
Симферополь, Россия

Т. А. Суслина

Санкт-Петербургский государственный университет

Email: t.suslina@spbu.ru
Санкт-Петербург, Россия

Д. О. Цветков

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского

Email: tsvetdo@gmail.com
Симферополь, Россия

Список литературы