Усреднение параболических уравнений высокого порядка с периодическими коэффициентами

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

В L2(Rd;Cn) рассматривается широкий класс матричных эллиптических операторов Aε порядка 2p (где p≥2) с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами (зависящими от x/ε). Здесь ε > 0 - малый параметр. Изучается поведение операторной экспоненты e-Aετ при τ > 0 и малом ε. Показано, что при ε → 0 оператор e-Aετ сходится по операторной норме в L2(Rd;Cn) к экспоненте e-A0τ от эффективного оператора A0. Получена также аппроксимация операторной экспоненты e-Aετ по норме операторов, действующих из L2(Rd;Cn) в пространство Соболева Hp(Rd; Cn). Установлены оценки погрешностей найденных приближений, зависящие от двух параметров: ε и τ. При фиксированном τ > 0 погрешности имеют точный порядок O(ε). Результаты применяются к вопросу о поведении решения задачи Коши для параболического уравнения ∂τuε(x,τ)= -(Aε uε)(x,τ)+F(x,τ) в Rd.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение 131 Глава 1. Абстрактная теоретико-операторная схема 136 2. Абстрактная схема для полиномиальных операторных пучков 136 3. Аппроксимация операторной экспоненты e-A(t)τ 139 4. Операторное семейство вида A(t) = M ∗A�(t)M. Аппроксимация окаймленной операторной экспоненты 143 Глава 2. Периодические дифференциальные операторы в Rd. Приближение операторной экспоненты 146 5. Периодические дифференциальные операторы в L2(Rd; Cn) 146 6. Разложение оператора A в прямой интеграл. Операторы A(k) 148 7. Эффективные характеристики в случае f = 1n 151 8. Аппроксимация операторной экспоненты e-A�(k)τ 154 9. Аппроксимация оператора f e-A(k)τ f ∗ 158 10. Аппроксимация операторной экспоненты e-A�τ 163 11. Аппроксимация оператора f e-Aτ f ∗ 168 Глава 3. Усреднение параболических уравнений 170 12. Оператор Aε. Масштабное преобразование 170 13. Усреднение операторной экспоненты e-A�ε τ 171 14. Усреднение оператора fεe-Aετ (fε)∗ 175 15. Усреднение параболической задачи Коши 177 16. Приложение. Другой способ получения результатов об усреднении операторной экспоненты 187 Список литературы 188 Работа выполнена при поддержке РНФ, проект 17-11-01069. © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru

×

Об авторах

А. А. Милослова

Санкт-Петербургский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: st010144@student.spbu.ru
Санкт-Петербург, Россия

Т. А. Суслина

Санкт-Петербургский государственный университет

Email: t.suslina@spbu.ru
Санкт-Петербург, Россия

Список литературы

  1. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. - М.: Наука, 1984.
  2. Бирман М. Ш., Суслина Т. А. Периодические дифференциальные операторы второго порядка. Пороговые свойства и усреднения// Алгебра и анализ. - 2003. - 15, № 5. - С. 1-108.
  3. Бирман М. Ш., Суслина Т. А. Пороговые аппроксимации резольвенты факторизованного самосопряженного операторного семейства с учетом корректора// Алгебра и анализ. - 2005. - 17, № 5. - С. 69-90.
  4. Бирман М. Ш., Суслина Т. А. Усреднение периодических эллиптических дифференциальных операторов с учетом корректора// Алгебра и анализ. - 2005. - 17, № 6. - С. 1-104.
  5. Бирман М. Ш., Суслина Т. А. Усреднение периодических дифференциальных операторов с учетом корректора. Приближение решений в классе Соболева H1(Rd)// Алгебра и анализ. - 2006. - 18, № 6. - С. 1-130.
  6. Василевская Е. С. Усреднение параболической задачи Коши с периодическими коэффициентами при учете корректора// Алгебра и анализ. - 2009. - 21, № 1. - С. 3-60.
  7. Вениаминов Н. А. Усреднение периодических дифференциальных операторов высокого порядка// Алгебра и анализ. - 2010. - 22, № 5. - С. 69-103.
  8. Жиков В. В. Об операторных оценках в теории усреднения// Докл. РАН. - 2005. - 403, № 3. - С. 305-308.
  9. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. - М.: Наука, 1993.
  10. Жиков В. В., Пастухова С. Е. Об операторных оценках в теории усреднения// Усп. мат. наук. - 2016. - 71, № 3. - С. 27-122.
  11. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М.: Мир, 1972.
  12. Кукушкин А. А., Суслина Т. А. Усреднение эллиптических операторов высокого порядка с периодическими коэффициентами// Алгебра и анализ. - 2016. - 28, № 1. - С. 89-149.
  13. Пастухова С. Е. Операторные оценки усреднения для эллиптических уравнений четвертого порядка// Алгебра и анализ. - 2016. - 28, № 2. - С. 204-226.
  14. Пастухова С. Е. L2-аппроксимации резольвенты в усреднении эллиптических операторов высокого порядка// Пробл. мат. анализа. - 2020. - 107. - С. 113-132.
  15. Пастухова С. Е. L2-аппроксимации резольвенты в усреднении эллиптических операторов четвертого порядка// Мат. сб. - 2021. - 212, № 1. - С. 119-142.
  16. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. - М.: Мир, 1984.
  17. Слоущ В. А., Суслина Т. А. Усреднение эллиптического оператора четвертого порядка с периодическими коэффициентами при учете корректоров// Функц. анализ и его прилож. - 2020. - 54, № 3. - С. 94-99.
  18. Слоущ В. А., Суслина Т. А. Усреднение эллиптического оператора четвертого порядка с периодическими коэффициентами// В сб.: «Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2020». - Симферополь: «Полипринт», 2020. - С. 186-188.
  19. Слоущ В. А., Суслина Т. А. Пороговые аппроксимации резольвенты полиномиального неотрицательного операторного пучка// Алгебра и анализ. - 2021. - 33, № 2. - С. 233-274.
  20. Суслина Т. А. Об усреднении периодических параболических систем// Функц. анализ и его прилож. - 2004. - 38, № 4. - С. 86-90.
  21. Суслина Т. А. Усреднение эллиптических операторов с периодическими коэффициентами в зависимости от спектрального параметра// Алгебра и анализ. - 2015. - 27, № 4. - С. 87-166.
  22. Bensoussan A., Lions J. L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures. - Amsterdam- New York: North Holland Publishing Co., 1978.
  23. Meshkova Yu. M. Note on quantitative homogenization results for parabolic systems in Rd// J. Evol. Equ. - 2020. - doi: 10.1007/s00028-020-00600-2.
  24. Pastukhova S. E. Estimates in homogenization of higher-order elliptic operators// Appl. Anal. - 2016. - 95, № 7. - С. 1449-1466.
  25. Suslina T. A. Homogenization of a periodic parabolic Cauchy problem// В сб.: «Nonlinear Equations and Spectral Theory». - Providence: Amer. Math. Soc., 2007. - С. 201-233.
  26. Suslina T. A. Homogenization of a periodic parabolic Cauchy problem in the Sobolev space H1(Rd)// Math. Model. Nat. Phenom.- 2010.- 5, № 4. - С. 390-447.
  27. Suslina T. A. Homogenization of the higher-order Schro¨ dinger-type equations with periodic coefficients// В сб.: «Partial Differential Equations, Spectral Theory, and Mathematical Physics. The Ari Laptev Anniversary Volume». - EMS Publishing House, 2021 (to appear). - arXiv: 2011.13382.
  28. Zhikov V. V., Pastukhova S. E. On operator estimates for some problems in homogenization theory// Russ. J. Math. Phys. - 2005. - 12, № 4. - С. 515-524.
  29. Zhikov V. V., Pastukhova S. E. Estimates of homogenization for a parabolic equation with periodic coefficients// Russ. J. Math. Phys. - 2006. - 13, № 2. - С. 224-237.

© Современная математика. Фундаментальные направления, 2021

Ссылка на описание лицензии: https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.en

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах