Объемы многогранников в неевклидовых пространствах постоянной кривизны

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Основными объектами настоящего обзора являются объемы многогранников в гиперболическом и сферическом пространствах. Исследование условий существования многогранников в простран- ствах постоянной кривизны и связанных с ними геометрических величин, в частности, объемов, восходит к классическим работам Н. И. Лобачевского [28], Я. Больяи [39]и Л. Шлефли [61]. Ими были получены явные формулы объемов для тетраэдров специального вида (ортосхем) в трехмер- ном гиперболическом и сферическом пространстве. Одна из функций, участвующая в формулах для объемов тетраэдров, была введена Дж. Милнором и получила название функции Лобачевско- го [55]. Современный интерес к получению точных формул для объемов гиперболических многогранни- ков обусловлен не только задачами неевклидовых геометрий, но и исследованием геометрических структур на трехмерных многообразиях и орбифолдах в русле знаменитой гипотезы У. Терсто- на о геометризации [63]. Среди восьми трехмерных геометрий Терстона именно гиперболическая геометрия является наиболее богатой и активно исследуемой. Напомним, что согласно теореме жесткости, объем гиперболического трехмерного многообразия является его топологическим ин- вариантом. Это позволяет использовать объемы для распознавания трехмерных гиперболических многообразий. В частности, объемы дополнений к узлам в трехмерной сфере являются инвари- антами гиперболических узлов. Исследование связи объемов дополнений к узлам с квантовыми инвариантами узлов, известной как гипотеза Р. Кашаева-Х. Мураками-Дж. Мураками об объе- мах (см., например, книгу [60] и библиографию в ней), определяет одно из направлений развития современной геометрии. Приближенные вычисления объемов трехмерных гиперболических многообразий, орбифолдов и многогранников возможны благодаря компьютерным программам SnapPea и Orb, разработанным Дж. Виксом и Д. Хердом. В настоящее время известны приближенные значения объемов для нескольких десятков тысяч таких многообразий. Однако получение формул, выражающих объем неевклидова многогранника через специаль- ные функции типа дилогарифма Эйлера (или функции Лобачевского), упирается в значительные 560 В. А. КРАСНОВ технические трудности. Согласно теореме Е. М. Андреева [8, 9], остроугольный многогранник в трехмерном гиперболическом пространстве полностью определяется комбинаторным типом и дву- гранными углами. Таким образом, естественно возникает задача нахождения объема многогран- ника заданного комбинаторного типа через его двугранные углы. Проблема получения точных формул, выражающих объем неевклидова многогранника через двугранные углы (или длины ребер), является центральной проблемой для настоящего обзора. Рассмотрим кратко содержание работы. Настоящий обзор, помимо введения и раздела обозначений, включает в себя 5 глав. В главе 1 подробно изучаются неевклидовы тетраэдры. Ее начальные разделы содержат ос- новные сведения, необходимые для вычисления их объема. Затем будет изложен обзор основных результатов, относящихся к объемам неевклидовых тетраэдров. Сначала мы приводим формулы объемов тетраэдров специального вида: бипрямоугольных тетраэдров (ортосхем), тетраэдров, име- ющих вершины на абсолюте, симметричных и Z2-симметричных тетраэдров, а также недавние результаты об объеме тетраэдра с группой симметрии S4 [4, 10, 21, 22, 28, 55]. Наконец, завершаю- щие разделы главы 1 посвящены объемам произвольных гиперболических и сферических тетраэд- ров [40, 44, 56-58, 62]. В главе 2 обзора рассматриваются неевклидовы многогранники, имеющие более сложное ком- бинаторное строение, нежели тетраэдр. Глава имеет следующую структуру. Вначале мы приводим результаты об объеме неевклидова куба Ламберта, полученные Р. Келлерхальц для случая H3 (см. [51]) и Д. А. Деревниным и А. Д. Медных для S3 (см. [20]). В последующих разделах изуча- ются некоторые многогранники с нетривиальными симметриями. Мы даем обзор полученных ранее результатов автора и других математиков об объемах неевклидовых многогранников (октаэдров, а в некоторых случаях и двойственных к ним гексаэдров) с mmm-, 2|m-, mm2- и ¯3-симметриями, а также новых результатов автора об объемах гиперболического и сферического октаэдров с 4|m-симметрией, получение которых основано на применении формулы Сфорца [3, 5-7, 24, 25, 27]. В завершение главы 2 мы представим результаты А. Ю. Веснина об объеме многогранников Ле- белля [15], являющихся примерами ограниченных прямоугольных многогранников. Глава 3 посвящена результатам Н. В. Абросимова, касающихся решения исходной и усиленной гипотез Зейделя [1, 2]. Мы приводим формулировку основных теорем, дающих решение проблемы Зейделя, а также основные идеи их доказательств. В главе 4 дается обзор современного метода И. Х. Сабитова [33, 34] вычисления объемов мно- гогранников в гиперболическом пространстве (заданного моделью Пуанкаре в верхнем полупро- странстве) произвольной размерности через координаты вершин, который позволяет найти объем многогранника через некоторый интеграл по его граничной поверхности, являющейся объедине- нием многогранников меньшей размерности. Затем мы, используя метод И. Х. Сабитова, проведем подробное вычисление объема так называемого циклического тетраэдра, а также произвольного гиперболического симплекса в размерности 4. В заключительном разделе главы 4 будет указа- на структура формулы объема гиперболического симплекса в размерности 5 (обзор последних результатов будет основан на недавней работе автора [26]). Заключительная глава 5 настоящего обзора посвящена последним результатам о площадях мно- гоугольников на плоскости Лобачевского. Вначале будут представлены результаты А. Д. Медных и его учеников, дающие гиперболические аналоги формулы Брахмагупты и формулы для площади трапеции (см. обзор [36] и библиографию к нему). Наконец, в заключительном разделе главы 5 мы, используя метод Сабитова (подробно рассмотренный в главе 4), выведем новую формулу для площади циклического многоугольника, заданного в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости. Полученная формула площади может найти применение не только в неевклидовых геометриях, но и задачах элементарной математики (при изучении свойств обратных тригонометрических функ- ций). ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 561 НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ Введем сначала некоторые первичные обозначения, определения и понятия, которые понадобятся нам для обзора основных результатов по теории объемов неевклидовых многогранников. Рассматривается задача вычисления объема многогранника в классических неевклидовых про- странствах. Под неевклидовыми пространствами мы будем понимать преимущественно сфериче- ское пространство S3 и гиперболическое пространство (пространство Лобачевского) H3. Также предполагается, что данные пространства наделены стандартными метриками, в которых они име- ют постоянные кривизны K = 1 и K = -1 соответственно. Определим S3 как множество точек евклидова пространства E4, координаты которых удовлетворяют условию: (_x, _x) = x2 + x2 + x2 + x2 = 1. 1 2 3 4 Аналогично, определим пространство H3 как множество точек псевдоевклидова пространства E3,1, координаты которых удовлетворяют следующей системе условий: ((_x, _x) = -x2 + x2 + x2 + x2 = -1, x1 > 0. 1 2 3 4 Следовательно, гиперболическое пространство H3 может быть реализовано как связная компо- нента двуполостного гиперболоида (_x, _x) = -1 в E4. Обозначим через X3 сферическое пространство S3 или гиперболическое пространство H3. Плоскости, прямые и точки S3 (соответственно, H3) в нашем случае представляют собой пере- сечение линейных подпространств пространства E4 (E3,1) коразмерности один, два и три соответ- ственно, и S3 (соответственно, H3). В частности, всякую плоскость He ⊂ X3 можно представить в виде: He = {x ∈ X3 | (_x, _e) = 0}, где _e - единичный вектор нормали к He, т. е. (_e, _e) = 1, а _x представляет собой радиус-вектор точки x ∈ X3. Точки пространства H3 мы также будем иногда называть собственными точками пространства H3. Мы также скажем, что прямым, являющимся образующими конуса -x2 + x2 + x2 + x2 = 0, 1 2 3 4 соответствуют бесконечно удаленные (идеальные) точки пространства H3. Множество бесконеч- но удаленных точек, представляющих собой компактификацию пространства H3, будем обозначать через H3 . Наконец, назовем множество H¯3 = H3 ∪ H3 замыканием пространства H3. ∞ ∞ Далее, угол между пересекающимися плоскостями He и Hp с нормальными векторами _e и p_ пространства X3 вычисляется по формуле: cos (H---e, Hp) = -(_e, p_). (1) Легко показать, что расстояние ρ(x, y) между двумя точками x и y пространства S3 находится следующим образом: cos ρ(x, y) = (_x, _y), где _x и _y суть радиус-векторы точек x и y соответственно. В случае гиперболического пространства H3 формула для расстояния имеет аналогичный вид: ch ρ(x, y) = -(_x, _y). Далее, назовем конусом будущего C+ множество точек пространства E4 (E3,1), координаты которых удовлетворяют следующей системе условий: ((_x, _x) = 0, x1 � 0. Тетраэдр T ⊂ X3 будет представлять в нашем случае пересечение с пространством X3 некото- рого замкнутого симплициального конуса K ⊂ C+. 562 В. А. КРАСНОВ Так как базис пространства E4 (E3,1) однозначно с точностью до ортогонального (псевдоорто- гонального) преобразования определяется своей матрицей Грама, то из формулы (1) следует, что тетраэдр T ⊂ X3 однозначно с точностью до движения определяется своими двугранными углами. Отметим, что тетраэдр в евклидовом пространстве E3 определяется своими двугранными углами лишь с точностью до подобия. Также отметим, что при n /= 3 пространства Sn и Hn определяются аналогично рассмотренному выше случаю n = 3. ГЛАВА 1 ОБЪЕМЫ НЕЕВКЛИДОВЫХ ТЕТРАЭДРОВ В главе 1 будут подробно изучены неевклидовы тетраэдры. Вначале мы приведем некоторые пред- варительные результаты о них, которые используются для вычисления их объемов. Затем нами будет дан обзор основных результатов, относящихся к данной проблематике. Но начнем изучение объемов тетраэдров мы с привычного для нас евклидова случая. ОБЪЕМЫ ТЕТРАЭДРОВ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Вычисление объема многогранника является старой и трудной проблемой, которая и в настоящее время весьма актуальна. Первый серьезный результат об объеме треугольной пирамиды получен еще Архимедом, а в 16-м веке Тарталья выразил объем евклидова тетраэдра через квадраты длин его ребер. Хотя задачу нахождения объема тетраэдра через длины его ребер впервые решил, по-видимому, Пьеро ди Франческа. Затем эта задача рассматривалась Л. Пачоли. Тарталья же повторил ее решение в работе «General trattato di numeri et misure» [32]. В настоящее время результат Тартальи может быть выражен с помощью детерминантной формулы Кэли-Менгера. Аналогичная формула имеет место и для многомерных симплексов. Заметим, что в общем виде формула объема евклидова тетраэдра в терминах длин ребер была впервые получена Эйлером (см., например, [32]). Теорема 1.1.1 (Тарталья, XVI в.). Пусть T - евклидов тетраэдр с длинами ребер dij , 1 :( i < j :( 4, соединяющими i-ю и j-ю вершины. Тогда объем данного тетраэдра V = V (T ) вычисляется по формуле: 0 1 1 1 1 1 0 d2 d d 2 12 13 2 14 288V 2 = 1 d2 0 d2 d2 . (1.1.1) 12 23 24 1 d2 d2 0 d2 13 23 34 1 d2 d2 d2 0 14 24 34 Доказательство теоремы 1.1.1 можно найти, например, в [32]. В формуле (1.1.1) объем тетраэдра является корнем квадратного уравнения, коэффициенты кото- рого суть многочлены с целыми коэффициентами, зависящими от длин ребер. Удивительно, но этот результат может быть обобщен и на случай произвольного евклидова многогранника. И. Х. Саби- тов доказал соответствующую теорему для произвольного многогранника в R3 (см. [31]). Затем Р. Коннели, И. Х. Сабитов и А. Вальц [41] дали второе доказательство для общего случая дву- мерной полиэдральной поверхности. Теорема 1.1.2 (Сабитов, 1996 г.; Connely, Sabitov, Walz, 1997 г.). Пусть P - многогранник в R3 с треугольными гранями и длинами ребер dij . Тогда его объем V = V (P ) является корнем многочлена четной степени, коэффициенты которого суть многочлены с рациональными ко- ij эффициентами от d2 и зависят только от комбинаторного типа многогранника P. Заметим, что данный результат является чисто теоретическим. Явный вид указанных в теореме многочленов известен лишь в частных случаях, например, для октаэдров с симметриями (см. работу [19]). ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 563 РИС. 1.1.1. Изгибаемый октаэдр Брикара первого типа Теорема 1.1.2 позволяет положительно решить гипотезу о кузнечных мехах, высказанную в 70-х годах прошлого века. Гипотеза о кузнечных мехах (Connely, Kuiper, Sullivan). Объем изгибаемого многогранника остается постоянным в процессе изгибания. По определению, при изгибании двугранные углы многогранника изменяются непрерывным об- разом, в то время как его комбинаторный тип не меняется и грани остаются жесткими. Тогда по теореме 1.1.2 все значения объема многогранника при изгибании суть корни одного и того же многочлена с постоянными коэффициентами. Так как множество корней многочлена конечно, то при малой деформации объем изгибаемого многогранника остается постоянным. Теорема Коши о многогранниках (1813 г.) утверждает, что всякий выпуклый многогранник явля- ется жестким. Но это неверно для невыпуклых многогранников: среди них существуют изгибаемые многогранники. Первые примеры изгибаемых многогранников были найдены Брикаром (1897 г.). Они представляют собой самопересекающиеся октаэдры Брикара 1-го и 2-го типа (см. рис. 1.1.1 и 1.1.2). Пример изгибаемого многогранника без самопересечений впервые был построен Р. Коннелли в 1978 г. (см., например, [32]). Изгибаемый многогранник Коннели без самопересечений представлен на рис. 1.1.3. Еще одним примером изгибаемого многогранника без самопересечений был найден Штеффеном. Изображения многогранника Штеффена, имеющего 14 граней и 9 вершин, а также его развертки представлены на рис. 1.1.4 и 1.1.5. В 2011 г. А. А. Гайфуллиным [47] был доказан аналог теоремы 1.1.2 для полиэдров в R4, а в 2012 г. им же была доказана аналогичная теорема для многогранника произвольной размерности в случае, когда все его двумерные грани жесткие [48]. Что касается неевклидовых многогранников, то для них аналога теоремы 1.1.2 нет. Из результа- тов, приведенных в последующих главах и разделах, будет следовать, что объем многогранника в сферическом или в гиперболическом пространствах в общем случае не выражается через элемен- тарные функции. В свою очередь, особый интерес представляет исследование гипотезы о кузнечных мехах в неевклидовых пространствах. В последние годы был получен ряд фундаментальных результатов 564 В. А. КРАСНОВ РИС. 1.1.2. Изгибаемый октаэдр Брикара второго типа по данной проблематике. В частности, в случае сферического пространства Sn (при n � 3) были по- строены примеры изгибаемых многогранников, не сохраняющих свой объем в процессе изгибания (см. работы [17, 37]). Что касается гиперболического пространства Hn, то А. А. Гайфуллиным [18] была доказана справедливость гипотезы кузнечных мехов в нечетных размерностях n = 2m + 1 (m � 1). Наконец, в недавней работе [49] А. А. Гайфуллин доказал, что данная гипотеза верна для всех изгибаемых многогранников с достаточно малыми длинами ребер как в сферическом, так и в гиперболическом пространствах размерности n � 3. НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ О НЕЕВКЛИДОВЫХ ТЕТРАЭДРАХ Перейдем теперь к изучению неевклидовых многогранников. Сначала рассмотрим некоторые предварительные результаты, касающиеся произвольных неевклидовых тетраэдров. Пусть T - гиперболический (или сферический) тетраэдр, двугранные углы которого суть A, B, C, D, E, F. Кроме того, будем полагать, что A, B, C - двугранные углы при ребрах с об- щей вершиной, а D, E, F - противолежащие им двугранные углы (рис. 1.2.1). Обозначим через ⎛ 1 - cos A - cos B - cos F ⎞ G = ±- cos αij ∓i,j=1,2,3,4 = ⎜- cos A 1 - cos C - cos E ⎟ (1.2.1) ⎜ ⎟ ⎝- cos B - cos C 1 - cos D⎠ - cos F - cos E - cos D 1 матрицу Грама тетраэдра T. Рассмотрим присоединенную матрицу H = ±cij ∓i,j=1,2,3,4, где cij = (-1)i+j Mij , при этом Mij - ij-й минор матрицы G. В следующей теореме приведены некоторые основные соотношения для двугранных углов и длин ребер гиперболического тетраэдра (см., на- пример, [64]). ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 565 РИС. 1.1.3. Изгибаемый многогранник Коннели Теорема 1.2.1. Пусть T - гиперболический (соответственно, сферический) тетраэдр. То- гда: det G < 0 (det G > 0); (ii) cii > 0; (1.2.2) cij cij √c (iii) ch lij = ii cjj √c (cos lij = ii ), cjj где lij - длина ребра, соединяющего вершины Vi и Vj , i, j = 1, 4,i /= j (см. рис. 1.2.1), а G - матрица Грама вида (1.2.1). Основным инструментом при вычислении объемов неевклидовых многогранников является фор- мула Шлефли для дифференциала объема. Заметим, что Л. Шлефли [61] доказал эту формулу для сферического n-мерного пространства, а позднее Х. Кнезер [52] обобщил ее и на гиперболический случай. Однако нас будет интересовать лишь ее частный случай, когда n = 3. Теорема 1.2.2. Пусть P - выпуклый многогранник в пространстве S3 или H3. Если мно- гогранник P непрерывно деформируется в пространстве, не изменяя своего комбинаторно- го строения, а его двугранные углы изменяются дифференцируемым образом, то и объем V = V (P ) также изменяется дифференцируемым образом и его дифференциал выражается 566 В. А. КРАСНОВ РИС. 1.1.4. Изгибаемый многогранник Штеффена по формуле K dV = 1 2 li dαi, (1.2.3) i где K - кривизна пространства, li - длина i-го ребра многогранника, а суммирование ведется по всем ребрам многогранника P. При этом dαi обозначает дифференциал двугранного угла αi при i-м ребре. При доказательстве теоремы 1.2.2 мы будем пользоваться тем, что многогранник P триангули- n рован, т. е. его можно представить в виде объединения конечного числа тетраэдров P = J Ti, i=1 и триангуляция деформируется вместе с многогранником. При этом различные тетраэдры разбие- ния Ti /= Tj либо не пересекаются, либо имеют общую вершину, либо общее ребро, либо общую грань. Кроме того, исключается случай, когда ребро тетраэдра триангуляции является частью ребра многогранника P. Рассмотрим лемму, которая пригодится нам при доказательстве формулы Шлефли (теоре- мы 1.2.2). ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 567 РИС. 1.1.5. Развертка многогранника Штеффена Лемма 1.2.1. Выражения, стоящие в левой и правой части формулы Шлефли, равны суммам аналогичных выражений для тетраэдров разбиения. Доказательство. Действительно, что касается левой части, то в силу свойств аддитивности объ- ема и линейности дифференциала имеем: n K dV = K · d( V (Ti)) = K · dV (T1)+ K · dV (T1)+ ... + K · dV (Tn). i=1 Таким образом, для левой части формулы Шлефли утверждение леммы доказано. Теперь дока- жем ее для правой части. Рассмотрим произвольный тетраэдр разбиения Ti и его ребро a, которое не является ребром исходного многогранника P. Может случиться, что Ti вообще не имеет ни одного ребра, которое бы совпадало с ребром P. Ребро a принадлежит как минимум еще одному тетраэдру разбиения Tj , и сумма двугранных углов тетраэдров разбиения при данном ребре всегда постоянна и равна 2π или π, если ребро принадлежит грани исходного многогранника. Теперь для каждого из тетраэдров разбиения составим выражения, аналогичные выражению в правой части формулы Шлефли, и сложим их. Затем сгруппируем слагаемые, которые содержат объемы всех тетраэдров, имеющих одно заданное общее ребро. После вынесения за скобку длины данного ребра, в скобках получаются суммы следующего ви- да, которые вследствие свойства линейности дифференциала, примененного уже в другую сторону, равны нулю: s dα1 + dα2 + ... + dαs = d( αi) = dc = 0, i=1 где αi - двугранные углы тетраэдров разбиения при соответствующем ребре, а c = 2π (или c = π). Следовательно, сумма всех слагаемых, содержащих ребра тетраэдра разбиения, которые не яв- ляются ребрами исходного многогранника P, равна нулю. В свою очередь, просуммировав осталь- ные слагаемые и выполнив аналогичные преобразования, мы получим в точности правую часть формулы Шлефли. 568 В. А. КРАСНОВ РИС. 1.2.1. Тетраэдр T = T (A, B, C, D, E, F ) в H3 или S3 Данную лемму мы используем для доказательства теоремы 1.2.2 (в силу леммы 1.2.1, нам до- статочно доказать эту теорему для случая тетраэдра). Для вывода формулы Шлефли нам понадобится понятие клина и формула для вычисления объема данного тела (более подробно см., например, [16]). Пусть, как и прежде, X3 - одно изпространств S3 или H3, g(t) - группа сдвигов вдоль некоторой прямой m ⊂ X3 (более подробное описание однопараметрических групп движений X3 содержится также в обзоре Э. Б. Винберга [16]). Рассмотрим произвольный треугольник T ⊥ m с вершиной на прямой m. Назовем клином тол- щины h тело W, заметаемое треугольником T под действием движений g(t), 0 < t < h. В свою очередь, сторону треугольника T, противоположную p, назовем кромкой клина W, а плоскую фигуру (эквидистантный сектор), заметаемую высотой треугольника T, опущенной из p, под дей- ствием движений g(t), 0 < t < h, - его срезом (при этом срез не обязан содержаться в клине). Точку p будем называть вершиной клина (рис. 1.2.2). Имеет место формула (доказательство можно найти, например, в работе [16]), выражающая объем V (W ) клина W ⊂ X3: 1 V (W ) = 2 l · S, где l и S представляют собой длину кромки и площадь среза клина W соответственно. ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 569 РИС. 1.2.2. Клин W Теперь мы готовы дать доказательство теоремы 1.2.2. Замечание 1.2.1. Приведенное ниже доказательство максимально приближено к доказатель- ству формулы Шлефли, предложенному в вышеупомянутом обзоре Э. Б. Винберга [16]. Доказательство теоремы 1.2.2. Докажем справедливость теоремы 1.2.2 для произвольного неев- клидова тетраэдра T. Пусть тетраэдр T ограничен плоскостями H1, H2, H3 и H4. Рассмотрим деформацию такого многогранника, при которой изменяется только один двугранный угол. Такая деформация может быть получена как бесконечно малый сдвиг плоскости H1 вдоль прямой m = H3 ∩ H4. При таком сдвиге изменится лишь двугранный угол α при ребре e = T ∩ H1 ∩ H2. Далее, пусть p - вершина T, которая не принадлежит H2, а ml - проходящая черезнее прямая, перпендикулярная H1. Таким образом, приращение объема исходного тетраэдра T можно рассматривать как бесконечно тонкий клин с ребром, принадлежащим ml (рис. 1.2.3). Площадь среза данного клина равна площади четырехугольника Q с угловым дефектом dα (рис. 1.2.4). Следовательно, площадь четырехугольника Q равна K · dα, поэтому в силу формулы для объема клина мы получим: 1 K · dV (T ) = 2 · e · dα. Таким образом, формула Шлефли доказана. Наконец, нам понадобится также следующее утверждение, доказанное Якоби (см., напри- мер, [36]). 570 В. А. КРАСНОВ РИС. 1.2.3 РИС. 1.2.4. Четырехугольник Q ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 571 РИС. 1.3.1. Ортосхема T = T (α, β, γ) Теорема 1.2.3 (теорема Якоби). Пусть M = ±mij ∓i,j=1,...,n - матрица с определителем Δ = det M. Далее, пусть H = ±cij ∓i,j=1,2,3,4, где cij = (-1)i+j Mij , а Mij - ij-й минор матрицы G. Тогда для любых k, 1 :( k :( n - 1 имеет место равенство det±cij ∓i,j=1,...,k = Δk-1 det±mij ∓i,j=k+1,...,n. (1.2.4) В свою очередь, критерии существования неевклидовых тетраэдров, заданных набором двугран- ных углов, задаются следующими теоремами (см., например, [16]). Теорема 1.2.4. Для существования компактного гиперболического тетраэдра T = T (A, B, C, D, E, F ) необходимо и достаточно, чтобы его матрица Грама G вида (1.1.1) имела сигна- туру (3, 1), а все элементы матрицы H были положительными. Теорема 1.2.5. Для существования сферического тетраэдра T = T (A, B, C, D, E, F ) необхо- димо и достаточно, чтобы его матрица Грама G вида (1.1.1) была положительно определена. ОБЪЕМ ОРТОСХЕМЫ В S3 И H3 Первые шаги к решению задачи вычисления объемов неевклидовых многогранников были сде- ланы еще Н. И. Лобачевским, Я. Больяи и Л. Шлефли [28, 39, 61]. Они (независимо друг от друга) вычислили объемы так называемых неевклидовых ортосхем. Определение 1.3.1. Ортосхемой в Xn называется n-мерный симплекс, имеющий последова- тельность взаимно ортогональных ребер (v0, v1), (v1, v2),... , (vn-1, vn). Трехмерную ортосхему часто называют бипрямоугольным тетраэдром. Из шести двугранных углов ортосхемы T три - прямые. Остальные три обозначим буквами α, β, γ и назовем их существенными двугранными углами (рис. 1.3.1). Замечание 1.3.1. Ортосхемы особенно интересны в связи с тем, что всякий тетраэдр можно разбить на бипрямоугольные, опустив из какой-либо его вершины перпендикуляры на плоскость противоположной грани и на прямые, ограничивающие эту грань (рис. 1.3.2). 572 В. А. КРАСНОВ РИС. 1.3.2. Разбиение произвольного тетраэдра на ортосхемы Теорема 1.3.1 (Schla¨ fli, 1858 г.). Пусть T - сферическая ортосхема с существенными дву- гранными углами α, β, γ. Тогда ее объем V = V (T ) задается формулой: 1 где V = S(α, β, γ), 4 π π ∞ ( D - sin x sin y \m S( 2 - x, y, 2 - z) = Sˆ(x, y, z) = [ m=1 D + sin x sin y × cos 2mx - cos 2my +cos 2mz - 1 2 × m2 ] - x а D ≡ /cos2 x cos2 z - cos2 y. + y2 2 - z , Доказательство теоремы 1.3.1 приведено в работе [61]. Функция S = S(x, y, z), которая фигурирует в теореме 1.3.1, носит название функции Шлефли. В свою очередь, объем ортосхемы в H3 вычислили независимо друг от друга Н. И. Лобачев- ский [28] и Я. Больяи [39]. В следующей теореме результат Н. И. Лобачевского представлен в очень компактном виде. В такой форме его впервые записал Г. С. М. Кокстер [42]. Теорема 1.3.2 (Лобачевский, 1835 г.; Coxeter, 1935 г.). Пусть T - бипрямоугольный тетра- эдр в H3 с существенными двугранными углами α, β, γ. Тогда его объем V = V (T ) задается формулой: где S = S(α, β, γ) - функция Шлефли. i V = S(α, β, γ), 4 ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 573 РИС. 1.3.3 В заключении данного раздела мы приведем результат Я. Больяи [39], который вычислил объем гиперболического бипрямоугольного тетраэдра в терминах его плоских углов и длины ребра. Пусть T = ABCD - бипрямоугольный тетраэдр с прямыми двугранными углами при ребрах AC, BC, BD. Далее, пусть α, β и γ - величины соответствующих плоских углов, а z - длина ребра CD (рис. 1.3.3). Теорема 1.3.3 (Bolyai, 1832 г.). Пусть T - бипрямоугольный тетраэдр с плоскими углами α, β и γ и длиной ребра z (рис. 1.3.3). Тогда его объем V = V (T ) вычисляется по формуле z tg γ r V = 2 tg β ( ch2 u u sh u du \ / ch2 u . 0 cos2 α - 1 cos2 γ - 1 ОБЪЕМ ИДЕАЛЬНОГО ТЕТРАЭДРА В H3 Определение 1.4.1. Идеальным тетраэдром называется гиперболический тетраэдр, все вер- шины которого являются идеальными (т. е. лежат на абсолюте). Сумма двугранных углов при каждой вершине такого тетраэдра равна π. Нетрудно показать, что противоположные двугранные углы идеального тетраэдра попарно равны, т. е. он однозначно с точностью до движения определяется тремя двугранными углами A, B и C. Таким образом, T = T (A, B, C). Объем идеального тетраэдра был впервые вычислен Н. И. Лобачевским [28]. Дж. Милнор [55] же представил результат Лобачевского в более элегантном виде. Теорема 1.4.1 (Лобачевский, 1835 г.; Milnor, 1982 г.). Пусть T - идеальный тетраэдр с дву- гранными углами A, B и C. Тогда его объем выражается формулой: V = Λ(A)+ Λ(B)+ Λ(C), (1.4.1) где есть функция Лобачевского. x r Λ(x) = - 0 ln |2 sin t|dt, x ∈ R, 574 В. А. КРАСНОВ Замечание 1.4.1. Функция Λ(x), фигурирующая в формуле (1.4.1), была введена Д. Милнором в работе [55] и является модифицированным определением специальной функции x r L(x) = - 0 ln | cos t|dt, введенной самим Н. И. Лобачевским в [28]. Функции L(x) и Λ(x) связаны между собой соотно- шением: ( π \ L(x) = Λ x + 2 + x ln 2. В дальнейшем под функцией Лобачевского мы будем понимать именно модифицированную функцию Λ(x). В теореме 1.3.1 объем гиперболической ортосхемы выражается черезфункцию Шлефли. Однако объем такого тетраэдра может быть выражен и через спецфункцию Лобачевского. Справедлива Теорема 1.4.2 (Лобачевский, 1835 г.; Kellerhals, 1989 г.; Винберг, 1993 г.). Пусть T - гипербо- лический бипрямоугольный тетраэдр T = T (α, β, γ) с двугранными углами α, β, γ. Тогда его объем V = V (T ) задается формулой V (T ) = 1 π 4 [Λ(α + δ) - Λ(α - δ)+ Λ(γ + δ) - Λ(γ - δ) - Λ( 2 - β + δ)+ где π + Λ( 2 π - β - δ) - Λ( 2 x r π + δ) - Λ( 2 - δ)], Λ(x) = - 0 а острый угол δ определяется из уравнения ln |2 sin t|dt, tg δ = - /cos2 β sin2 α sin2 β . cos α cos β Доказательство теоремы 1.4.2 основано на применении формулы Шлефли к некоторой непре- рывной деформации T = T (α, β, γ), в процессе которой тетраэдр остается бипрямоугольным. Приведенное ниже доказательство базируется на работах [16, 51]. Доказательство. Если обозначить через a, b и c ребра, двугранные углы при которых равны соответственно α, β и γ, то для гиперболического пространства H3 имеет место соотношение1: √ π -Δ где tg α · th a = tg( 2 - β) · th b = tg γ · th c = tg δ = cos α cos γ , (1.4.2) Δ = sin2 α sin2 γ - cos2 β представляет собой определитель матрицы Грама G тетраэдра T = T (α, β, γ): ⎛ 1 - cos α 0 0 ⎞ G = ⎜- cos α 1 - cos β 0 ⎟ . ⎠ ⎝ ⎜ 0 - cos β 1 - cos γ⎟ 0 0 - cos γ 1 1 данные формулы можно получить прямыми вычислениями, используя пункт (iii) теоремы 1.2.1 ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 575 РИС. 1.4.1. Деформация ортосхемы T = T (α, β, γ) Из приведенных формул, выполнив несложные преобразования, можно выразить длины ребер a, b и c через величины двугранных углов α, β и γ. Окончательно имеем: 1 a = ln sin 2 (α + δ) (α - δ) , b = 1 ln sin 2 2 2 ( π - β + δ) ( π - β - δ) , c = 1 ln sin 2 (γ + δ) (γ - δ) . (1.4.3) Теперь будем стягивать наш тетраэдр к ребру V2V3 так, чтобы величины c и γ, а значит, и δ, не изменялись, а сам тетраэдр оставался при этом бипрямоугольным (рис. 1.4.1). Аналогично, T можно было стянуть и к ребру V0V1 так, чтобы величины a и α, а значит, и δ, оставались неизменными. Таким образом, путем последовательного применения двух вышеописанных деформаций, нашу ортосхему можно стянуть в точку таким образом, чтобы она в процессе деформации оставалась ортосхемой, а величина δ при этом не изменялась. Согласно формуле Шлефли, 1 dV = - 2 (adα + bdβ + cdγ). При этом три других слагаемых в формуле Шлефли в нашем случае равны нулю, так как мы рассматриваем деформацию, при которой тетраэдр все время остается бипрямоугольным. А значит, величины трех других двугранных углов (прямых) в процессе деформации не изменяются, то есть их дифференциалы равны нулю. 576 В. А. КРАСНОВ Осталось теперь выяснить, в каких же пределах будут меняться углы α, β и γ. Согласно фор- муле (1.4.2), tg α = tg δ th a π , tg ( 2 \ - β = tg δ th b , tg γ = tg δ . th c π Теперь, перейдя к пределам в последних равенствах при a, b, c → 0, получаем, что углы α, 2 - β и γ будут стремиться к π . 2 Значит, угол α будет меняться в пределах от π 2 до α, β - от 0 до β, а γ - от π 2 до γ. Таким образом, используя вышеописанную деформацию и формулы (1.4.3), можно проин- тегрировать формулу Шлефли для dV. С учетом свойства симметрии функции Лобачевского Λ(π - x) = -Λ(x), получаем: ⎛ α γ 1 r ( ϕ + δ \ r β ( ϕ + δ \ r ⎞ ( π 2 - ϕ + δ \ ⎝ V = - 4 ⎜ π 2 ln sin 1 ϕ - δ dϕ + π 2 ln sin ϕ - δ dϕ + 0 π ln sin π 2 - ϕ - δ dϕ⎟ = ⎠ = 4 [Λ(α + δ) - Λ(α - δ)+ Λ(γ + δ) - Λ(γ - δ) - Λ( 2 - β + δ)+ π + Λ( 2 π - β - δ) - Λ( 2 π + δ) - Λ( 2 - δ)]. Таким образом, теорема доказана. ОБЪЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ПИРАМИД, ИМЕЮЩИХ БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННЫЕ ВЕРШИНЫ В настоящем разделе будут представлены формулы объемов тетраэдров, имеющих хотя бы одну вершину на бесконечности, найденные Э. Б. Винбергом в работе [16]. Рассмотрим сначала гиперболический тетраэдр, имеющий три бесконечно удаленные вершины. Учитывая, что сумма двугранных углов при бесконечно удаленной вершине постоянна и равна π, можно показать, что такой тетраэдр однозначно с точностью до движения пространства опреде- ляется тремя двугранными углами A, B и C (рис. 1.5.1). При этом двугранные углы A1, B1 и C1, противолежащие A, B и C, связаны между собой соотношениями: 1 1 1 A1 = 2 (π + A - B - C), B1 = 2 (π - A + B - C), B1 = 2 (π - A - B + C). Объем гиперболического тетраэдра T = T (A, B, C) с тремя вершинами на бесконечности зада- ется следующей теоремой. Теорема 1.5.1 (Винберг, 1993 г.). Пусть T = T (A, B, C) - гиперболический тетраэдр с тре- мя бесконечно удаленными вершинами (рис. 1.5.1). Тогда его объем V = V (T ) выражается формулой V (T ) = 1 г 2 Λ(A)+ Λ(B)+ Λ(C)+ Λ(A1)+ Λ(B1)+ Λ(C1) - Λ ( A + B + C - π \ , 2 где A1 = π - A - B - C , B = 2 1 π - A + B - C , C = 2 1 π - A - B + C , 2 а Λ = Λ(x) - функция Лобачевского: x r Λ(x) = - 0 ln |2 sin t|dt, x ∈ R. ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 577 РИС. 1.5.1. Тетраэдр T = T (A, B, C) с тремя бесконечно удаленными вершинами При доказательстве теоремы 1.5.1 используется наглядный геометрический прием «достраива- ния» тетраэдра T = T (A, B, C) до более сложного многогранника (идеального октаэдра) таким образом, чтобы исходный многогранник представлял собой тетраэдр, подходящей для вычисления его объема триангуляции. Таким образом, формула для объема T = T (A, B, C) получается из свойства аддитивности объема с помощью известных ранее формул. Приведем подробное доказательство теоремы 1.5.1, опираясь на работу [16]. Доказательство. Продолжим до бесконечности ребра тетраэдра. Получим 6 бесконечно удален- ных точек, которые служат вершинами некоторого идеального октаэдра (рис. 1.5.2). Из приведенного рисунка нетрудно видеть, что объем идеального октаэдра можно представить в виде суммы объемов 8 тетраэдров, имеющих 3 бесконечно удаленные вершины, а двугранные углы тетраэдров разбиения либо равны A, B или C, либо смежны с ними. 2 Далее, пусть T1 и T2 - тетраэдры разбиения идеального октаэдра, смежные с исходным тетра- эдром T = T (A, B, C) по граням M1M3M4 и M1M2M4 соответственно, а T l - тетраэдр, симмет- ричный T2 относительно точки M1. Тогда, используя свойство аддитивности объема, получаем: 2 2V (T ) = V (T ∪ T1)+ V (T ∪ T2) - V (T1 ∪ T l ). (1.5.1) 2 В свою очередь, тетраэдры T ∪ T1, T ∪ T2 и T1 ∪ T l являются идеальными, и их объемы можно нетрудно вычислить по формуле Милнора V (T ∪ T1) = Λ(A)+ Λ(B1)+ Λ(C1), V (T ∪ T2) = Λ(A1)+ Λ(B)+ Λ(C1), l 1 V (T1 ∪ T2) = Λ(π - C)+ Λ(C1)+ Λ( 2 (A + B + C - π)). (1.5.2) Подставив выражения (1.5.2) в (1.5.1), получим требуемую формулу. Результаты, представленные в теоремах 1.4.1 и 1.5.1, являются частными случаями формулы для объема пирамиды с бесконечно удаленной вершиной. Рассмотрим гиперболическую пирамиду P с бесконечно удаленной вершиной, двугранные уг- лы которой при основании равны A1, A2,... , An, а двугранные углы при боковых ребрах суть 578 В. А. КРАСНОВ РИС. 1.5.2 B1, B2,... , Bn, причем данные углы занумерованы так, как показано на рис. 1.5.3 (для случая n = 4). Имеет место следующая теорема. Теорема 1.5.2 (Винберг, 1993 г.). Пусть P - пирамида в H3 с бесконечно удаленной верши- ной, где A1, A2,... , An - двугранные углы при основании, причем An+1 = A1, а B1, B2,... , Bn - двугранные углы при боковых ребрах, занумерованные как на рис. 1.3.1. Тогда объем пирамиды V = V (P ) может быть вычислен по формуле 1 V (P ) = 2 n i=1 г Λ(Bi)+ Λ ( π + Ai - Ai+1 - Bi \ + 2 +Λ ( π - Ai + Ai+1 - Bi \ 2 ( π - Ai - Ai+1 + Bi \ - Λ 2 ( Ai + Ai+1 + Bi - π \ - Λ 2 . Основная идея доказательства теоремы 1.5.2 заключается в разбиении P на пирамиды, анало- гичные пирамиде P� (рис. 1.5.4). У такой пирамиды вершина C является идеальной, боковое ребро CD перпендикулярно основанию, а стороны основания, выходящие из D, перпендикулярны двум другим сторонам основания. Вычисляя методом «достраивания» (как в доказательстве теоремы 1.5.1) объемы пирамид разби- ения, можно получить формулу объема исходной пирамиды P. В свою очередь, данное разбиение можно получить, опустив перпендикуляр из бесконечно удаленной вершины на противолежащую грань и на прямые, ограничивающие эту грань (см. рис. 1.5.5). Подробное вычисление объема пирамиды с бесконечно удаленной вершиной можно найти в обзоре Э. Б. Винберга [16]. ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 579 РИС. 1.5.3. Гиперболическая пирамида P с бесконечно удаленной вершиной ОБЪЕМЫ СИММЕТРИЧНЫХ И Z2-СИММЕТРИЧНЫХ ТЕТРАЭДРОВ В данном подразделе мы рассмотрим интегральные формулы для вычисления объема сим- метричного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах, а также результат Колпакова-Медных-Пашкевич об объеме сферического тетраэдра, обладающего так называемой Z2-симметрией. Объем симметричного тетраэдра в H3 и S3. Определение 1.6.1. Тетраэдр T называется симметричным, если его двугранные углы при скрещивающихся ребрах попарно равны. Рассмотрим сначала симметричный гиперболический тетраэдр T = T (A, B, C) с двугранными углами A = D, B = E, C = F (рис. 1.6.1). Формула объема данного тетраэдра задается следующей теоремой. Теорема 1.6.1 (Деревнин, Медных, Пашкевич, 2004 г.). Пусть T = T (A, B, C) - симметрич- ный тетраэдр в H3. Тогда его объем V = V (T ) может быть вычислен по формуле V (T ) = 2 π 2 r dt (arcsin(cos A cos t) + arcsin(cos B cos t) + arcsin(cos C cos t) - arcsin(cos t)) sin 2t, θ 580 В. А. КРАСНОВ РИС. 1.5.4. Пирамида P� РИС. 1.5.5. Разбиение пирамиды P на пирамиды типа P� ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 581 РИС. 1.6.1. Симметричный тетраэдр T = T (A, B, C) где острый угол θ определяется из уравнения 2 2 2 tg2 θ = 1 - a - b - c - 2abc , /(1 - a + b + c)(1 + a - b + c)(1 + a + b - c)(-1+ a + b + c) при этом a = cos A, b = cos B, c = cos C. Еще один метод доказательства формул для объемов неевклидовых многогранников заключается в непосредственной проверке того, что предъявленная в формулировке теоремы функция объема удовлетворяет дифференциальной формуле Шлефли и некоторому начальному условию (то есть является единственным решением задачи Коши). Приведем подробное доказательство формулы объема симметричного тетраэдра в H3, основыва- ясь на работе [21]. Пусть T = T (A, B, C) - симметричный тетраэдр, а lA, lB и lC - длины ребер двугранных уг- лов A, B и C соответственно. Согласно формуле Шлефли (см. теорему 1.2.2), объем V должен удовлетворять следующим соотношениям: ∂V ∂A = -lA, 1 ∂V ∂B = -lB , ∂V ∂C = -lC . Кроме того, при A, B, C → arccos 3 (т. е. когда T становится правильным евклидовым тетра- эдром) объем V → 0 (это можно получить из теоремы 1.2.1; в этом случае наш тетраэдр просто стянется в точку). Нам также понадобится вспомогательная лемма, доказательство которой проводится прямыми вычислениями с использованием известных тождеств для обратных тригонометрических функций и формулы синусов для симметричного тетраэдра (подробнее см. [21]). Лемма 1.6.1. Пусть t определяется уравнением t2 = 4(a + bc)(b + ac)(c + ab) . (1 - a + b + c)(1 + a - b + c)(1 + a + b - c)(-1+ a + b + c) 582 В. А. КРАСНОВ Тогда a arcsin t b + arcsin t c + arcsin t = arcsin 1 . (1.6.1) t Теперь мы готовы дать доказательство теоремы 1.6.1. Доказательство теоремы 1.6.1. Положим +∞ где V˜ = r u dν F (ν, A, B, C) , ν a b c 1 F (ν, A, B, C) = arcsin √ν2 +1 + arcsin √ν2 +1 + arcsin √ - arcsin √ . Для доказательства формулы достаточно показать, что V˜ ν2 +1 обладает свойствами: ν2 +1 ∂V˜ ∂A = -lA ∂V˜ , ∂B = -lB 1 ∂V˜ , ∂C = -lC ; при A, B, C → arccos 3 величина V˜ → 0. Проверим свойство (i). Используя формулу Лейбница дифференцирования по параметру, получим: +∞ ∂V˜ F (u, A, B, C) ∂u r = - + ∂F (ν, A, B, C) ∂a ∂ν . ∂A u ∂A u ∂a ∂A ν По формуле (1.6.1) при t2 = u2 +1 имеем a b c 1 F (u, A, B, C) arcsin √ν2 +1 + arcsin √ν2 +1 + arcsin √ - arcsin √ = 0. Значит, F (u, A, B, C) ∂u = 0. ν2 +1 ν2 +1 Далее, u ∂A ∂F (ν, A, B, C) 1 и следовательно ∂V˜ +∞ √ r 1 - a2dν = √ ∂a ν2 +1 - a2 - - ∂a = /1 a2, ∂A √ +∞ 1 - a2 √ 1 - a2 ∂A = - u ν√ν2 +1 - a2 = arsh ν u = - arsh u = -lA. Аналогично проверяются равенства ∂V˜ ∂B = -lB ∂V˜ , ∂C = -lC . 1 Проверим (ii). Заметим, что u → +∞ при A, B, C → arccos 3 . В силу сходимости соответству- ющего интеграла получаем, что V˜ → 0. Наконец, если мы введем замену переменных ν = tg t, то получим требуемую формулу. Что касается сферического случая, то для симметричного тетраэдра T = T (A, B, C) в S3 спра- ведлива аналогичная ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 583 Теорема 1.6.2 (Деревнин, Медных, Пашкевич, 2004 г.). Пусть T = T (A, B, C) - симметрич- ный тетраэдр в сферическом пространстве. Тогда его объем V = V (T ) выражается формулой где V (T ) = -2 τ r dt (arsh(cos A sh(t)) + arsh(cos B sh(t)) + arsh(cos C sh(t)) - t) sh 2t, 0 2 2 2 cth2 τ = 1 - a - b - c - 2abc , /(1 - a + b + c)(1 + a - b + c)(1 + a + b - c)(1 - a - b - c) a a = cos A, b = cos B, c = cos C. Схема доказательства теоремы 1.6.2 (аналогично теореме 1.6.1) заключается в непосредственной проверке того, что функция объема V = V (A, B, C) является единственным решением задачи Коши ⎧ ∂V ⎪ ⎪ ∂A ⎪ ⎪ ∂V ⎪ = lA, ⎨ ∂B = lB, ⎪ ∂V ⎪ ⎪ ∂C ⎪ = lC, ⎪V (arccos 1 , arccos 1 , arccos 1 ) = 0. ⎩ 3 3 3 Подробное доказательство теоремы 1.6.2 содержится в работе [21]. Объем Z2-симметричного тетраэдра в S3. Определение 1.6.2. Тетраэдр T называется Z2-симметричным, если он инвариантен относи- тельно вращения на угол π вокруг оси, проходящей через середины скрещивающихся ребер. Из определения 1.6.2 следует, что неевклидов Z2-симметричный тетраэдр однозначно с точно- стью до движения пространства определяется четырьмя независимыми параметрами (двугранными углами), то есть T = T (A, B, C, D) (см. рис. 1.6.2). Рассмотрим сферический Z2-симметричный тетраэдр T = T (A, B, C, D). Введем в рассмотрение следующие величины: A+ = A + D - , A = 2 D - A, 2 l+ = lA + lD , l- = A 2 A lA - lD , 2 a+ = cos A+, a- = cos A-, b = cos B, c = cos C, Δ = (a- - a+ - b - c)(a- - a+ + b + c)(a- + a+ - b + c)(a- + a+ + b - c), t2 = u2 - 1 = 4(a+a- + , bc)(a+b + a-c)(a+c + a-b) Δ π 2 1 r V (φ, u) = Im ln 1 - i/u2/ sin2 σ / - 1 dσ, 2 1+ i φ u2/ sin2 σ - 1 Φ = (A+ + B + C - A-) - π, π Ψ = sgn( 2 A π 2 - l+)V (A+, u)+ sgn( π lB )V (B, u)+ sgn( 2 lC )V (C, u) - V (A- , u), 584 В. А. КРАСНОВ РИС. 1.6.2. Z2-симметричный тетраэдр T = T (A, B, C, D) где ln = Ln(z) представляет собой главную ветвь логарифмической функции ln θ = ln |θ|+i arg θ на комплексной плоскости с разрезом вдоль полуоси (-∞; 0), а sgn = sgn(◦) - функция знака числа. Объем Z2-симметричного тетраэдра в сферическом пространстве задается следующей теоремой [22]. Теорема 1.6.3 (Колпаков, Медных, Пашкевич, 2011 г.). Пусть T = T (A, B, C, D) - сфериче- ский Z2-симметричный тетраэдр с двугранными углами A, B, C и D и длинами ребер со- ответствующих двугранных углов lA, lB , lC и lD . Без нарушения общности предположим, что lA � lD (эквивалентно D � A) и lB :( lC . Тогда если тетраэдр T удовлетворяет условию t2 � 0, то его объем V = V (T ) может быть вычислен по формуле πΦ V (T ) = 2 - Ψ. Для доказательства теоремы 1.6.3 достаточно проверить, что функция V (T ) = V (A, B, C, D) является единственным решением следующей задачи Коши (более подробно см. [22]): ⎧ ∂V ⎪ = ⎪ ∂A ⎪ ⎪ 1 2 lA, ∂V ⎪ ⎪ ∂B ⎪ ⎪ ⎨ ∂V ⎪ ∂C ⎪ ⎪ ∂V = lB, = lC, 1 = ⎪ ⎪ ∂D ⎪ 2 lD, 2 ⎪ ( π π π π \ = π ⎪⎩V , , , . 2 2 2 2 8 Определение 1.6.3. Пусть Tn - симплекс в Hn и Sn с радиус-векторами вершин p0, p1,... , pn и единичными векторами нормалей к граням v0, v1,... , vn, направленными наружу (или внутрь) n симплекса. Симплекс T ∗ называется двойственным к Tn, если его радиус-векторы вершин и единичные векторы нормалей суть v0, v1,... , vn и p0, p1,... , pn соответственно. ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 585 РИС. 1.7.1. Неевклидов тетраэдр с группой симметрии S4 Замечание 1.6.1. В работе [22] показано, что если для сферического Z2-симметричного тетра- эдра T = T (A, B, C, D) с двугранными углами A, B, C и D и длинами ребер соответствующих двугранных углов lA, lB , lC и lD выполняются условия lD � lA (эквивалентно A � D), B � C и t2 :( 0, то утверждение теоремы 1.6.3 справедливо для тетраэдра T ∗, двойственного T. ОБЪЕМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТЕТРАЭДРА С ГРУППОЙ СИММЕТРИИ S4 В настоящем разделе будет изучен гиперболический тетраэдр с группой симметрии S4. Определение 1.7.1. Говорят, что тетраэдр T имеет группу симметрии S4, если он остается инвариантным относительно поворота вокруг некоторой оси на угол π и последующего отражения 2 относительно перпендикулярной к ней плоскости. Введем прямоугольную систему координат Oxyz и рассмотрим сначала евклидов тетраэдр T π с группой симметрии S4, который переводится в себя вращением вокруг оси Oz на угол 2 и последующим отражением относительно плоскости Oxy (рис. 1.7.1). В этом случае его вершины имеют координаты ( u V1 √ , u √ , h \ ( , V2 - u √ , u h \ √ , - , 2 2 2 ( u 2 2 u h \ 2 2 2 2 2 ( u u h \ √ , - √ , , V4 √ , - √ , - , при этом V3 - 2 2 2 2 2 13 u2 = l2 2 2 2 2 2 24 = l2 , l2 2 2 2 u2 2 где lij - длина ребра ViVj . 12 = l34 = l14 = l23 = + h , 2 586 В. А. КРАСНОВ Рассмотрим теперь гиперболический тетраэдр, имеющий группу симметрии S4 (см. рис. 1.7.1), гиперболические длины ребер и двугранные углы которого равны (a, c) и (A, C) соответственно. Из определения 1.7.1 следует, что рассматриваемый гиперболический тетраэдр с группой сим- метрии S4 однозначно с точностью до движения определяется двумя независимыми параметрами (двугранными углами) A и C. Однако для вычисления объема такого тетраэдра могут быть использованы длины ребер a и c, связанные с двугранными углами формулами [4]: ch a + ch2 a - 2 ch2 c cos A = cos C = Таким образом, T = T (a, c) (рис. 1.7.1). , 1+ ch a - 2 ch2 c ch c · (1 - ch a) . 1+ ch a - 2 ch2 c Рассмотрим гиперболический тетраэдр T = T (a, c) с группой симметрии S4. Формула объе- ма данного многогранника выражается теоремой, полное доказательство которой содержится в работе [4]. Теорема 1.7.1 (Абросимов, Выонг Хыу, 2017 г.). Объем V = V (T ) гиперболического тетраэд- ра T = T (a, c) с группой симметрии S4, заданного длинами ребер a и c, может быть вычислен по одной из следующих формул: a r V (T ) = a((1 + ch a)2 - 4 ch2 c · ch a)+4c · sh c · ch c · sh a / da, 0 (ch 2c - ch a) c 4 ch2 c - (1 + ch a)2 r 2c(1 - ch a)(1 + ch a +2 ch2 c)+ 4a · sh c · ch c · sh a V (T ) = arch(ch a+1)/2 / (ch 2c - ch a) 4 ch2 c - (1 + ch a)2 dc. Доказательство данной теоремы базируется на подходе, при котором соответствующий евклидов многогранник помещается в проективную модель Кэли-Клейна гиперболического пространства. Заметим, что данный подход весьма эффективен и при вычислении объемов некоторых гипербо- лических многогранников с симметриями - ¯3-октаэдра и ¯3-гексаэдра (см. раздел 2.2.5 настоящего обзора). Напомним теперь основные факты из гиперболической геометрии, относящиеся к проективной модели Кэли-Клейна. 4 Пусть R1 - пространство Минковского, скалярное произведение в котором задано формулой: (-→X, -→Y ) = -x1y1 - x2y2 - x3y3 + x4y4, где -→X = (x1, x2, x3, x4), -→Y = (y1, y2, y3, y4). 4 Определение 1.7.2. Моделью Кэли-Клейна называется множество векторов в R1, концы ко- торых принадлежат единичному шару, лежащему в гиперплоскости x4 = 1: K = {(x1, x2, x3, 1) | x2 + x2 + x2 < 1}. 1 2 3 Прямыми и плоскостями в модели Кэли-Клейна являются пересечения K с евклидовыми пря- мыми и плоскостями, принадлежащими гиперплоскости x4 = 1. Таким образом, плоскость P в модели K можно определить как множество P = {V ∈ K | (-→V , -→N ) = 0}, где -→N = (-→n, 1) - вектор нормали к P. При этом -→n представляет собой трехмерный вектор с положительным евклидовым скалярным квадратом (-→n, -→n )E3 > 0. ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 587 Расстояние ρ(X, Y ) между точками X и Y, а также один из четырех двугранных углов между плоскостями P и Q в модели K можно определить по формулам: (-→X, -→Y ) ch(ρ(X, Y )) = , (-→X, -→X ) · (-→Y , -→Y ) -→ -→ cos (---P, Q) = ± (N1, N2) , (-N→, -N→) · (-N→, -N→) 1 где -N→ и -→N 2 - векторы нормалей к P и Q. 1 1 2 2 Теперь мы готовы дать набросок доказательства теоремы 1.7.1, следуя работе [4]. Схема доказательства теоремы 1.7.1. Поместим евклидов тетраэдр T с группой симметрии S4 в K, добавив к каждой его вершине четвертую единичную координату: ( u V1 √ , u √ , h \ ( , 1 , V2 - u √ , u h \ √ , - , 1 , 2 2 2 2 2 ( u u h \ 2 2 2 2 2 ( u u h \ √ √ , , 1 , V4 √ , - √ , - , 1 . - V3 - 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Используя приведенные выше формулы для вычисления расстояний и углов в модели Кэли- Клейна K, можно получить критерий существования тетраэдр T = T (a, c) с группой симметрии S4 в K, который выражается неравенством 1+ ch a - 2 ch c < 0, а также полезные формулы, связывающие двугранные углы A, C с длинами ребер a, c: ch a + ch2 a - 2 ch2 c cos A = cos C = , 1+ ch a - 2 ch2 c ch c · (1 - ch a) . 1+ ch a - 2 ch2 c Подробный вывод данных соотношений содержится в работе [4, см. теоремы 2 и 3]. Введем в рассмотрение систему координат (ch a, ch b). Используя критерий существования тет- раэдра T = T (a, c) с группой симметрии S4, построим область существования Ω = {(ch a, ch b) | ch a > 1, ch c > 1, 1+ ch a - 2 ch c < 0} тетраэдра T в данной координатной системе (рис. 1.7.2). Нетрудно заметить, что на границе области Ω, состоящей из объединения двух лучей {ch a = 1, ch c � 1} и {ch a � 1, 1+ ch a - 2 ch c = 0}, наш многогранник вырождается либо в отрезок, либо в четырехугольник, то есть на границе Ω объем V тетраэдра T = T (a, c) равен нулю. Дифференцируя объем как сложную функцию от длин ребер, получим: ∂V ∂V ∂A = + ∂a ∂A ∂a ∂V ∂V ∂A = + ∂c ∂A ∂c ∂V ∂C , ∂C ∂a ∂V ∂C . ∂C ∂c В свою очередь, в силу формулы Шлефли для dV dV = -adA - 2cdC, 588 В. А. КРАСНОВ РИС. 1.7.2. Область существования тетраэдра T = T (a, c) с группой симметрии S4 откуда находим ∂V ∂A = -a, ∂V ∂C = -2c. Используя формулы связи между двугранными углами и длинами ребер T = T (a, c), прямыми вычислениями находим: ∂V a((1 + ch a)2 - 4 ch2 c · ch a)+4c · sh c · ch c · sh a = / , ∂a (ch 2c - ch a) 4 ch2 c - (1 + ch a)2 ∂V 2c(1 - ch a)(1 + ch a +2 ch2 c)+ 4a · sh c · ch c · sh a = / . (1.7.1) ∂c (ch 2c - ch a) 4 ch2 c - (1 + ch a)2 Нам осталось заметить лишь, что интеграл от дифференциальной формы dV = ∂V da + ∂a ∂V dc (1.7.2) ∂c не зависит от пути интегрирования, а зависит только от выбора начальной и конечной точек. Так как V = 0 на границе Ω, то по формуле Ньютона-Лейбница объем равен интегралу от данной формы по любой кусочно-гладкой кривой с началом на границе области Ω и концом в точке с координатами (ch a, ch b). Подставляя выражения (1.7.1) в форму (1.7.2) и интегрируя ее по горизонтальному или вертикальному отрезку, соединяющему границу Ω с точкой (ch a, ch b), мы завершаем доказательство теоремы 1.7.1. ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 589 РИС. 1.7.3. Правильный тетраэдр T = T (a) Замечание 1.7.1. При a = c теорема 1.7.1 приводит нас к формуле для объема правильного тетраэдра T = T (a) (рис. 1.7.3): a r V (T ) = 3a sh ada / , (1 + 2 ch a) 0 (ch a + 1)(3 ch a + 1) которая также может быть получена из формулы Шлефли (см. [4, п. 2]). ОБЪЕМ ПРОИЗВОЛЬНОГО НЕЕВКЛИДОВА ТЕТРАЭДРА Как было отмечено во введении к настоящему обзору, проблема получения формул объема компактного гиперболического многогранника заданного комбинаторного типа полностью решена только для тетраэдра. Проблема получения явных формул объема произвольного неевклидова тетраэдра активно ис- следовалась в работах отечественных и зарубежных математиков. В 1999 г. в работе Ю. Чо и Х. Кима [40] была получена формула объема произвольного гиперболического тетраэдра, несим- метричная относительно перестановки аргументов (двугранных углов). Затем, в 2001 г., Дж. Мура- ками и У. Яно, используя квантовую теорию 6j-символов, вывели уже симметричную формулу для объема произвольного неевклидова тетраэдра через линейную комбинацию значений дилогарифма Эйлера [59]. Наконец, в 2005 г. Д. А. Деревнин и А. Д. Медных [20] получили интегральную формулу для объема компактного гиперболического тетраэдра общего вида, выражающую объем одним интегралом по отрезку числовой прямой от вещественнозначной подынтегральной функции. Однако формула, выражающая объем произвольного неевклидова тетраэдра через двугранные углы, впервые была получена еще в 1906 г. итальянским герцогом Г. Сфорца [62]. К сожалению, 590 В. А. КРАСНОВ выдающаяся работа Г. Сфорца [62] долгое время была полностью забыта и приобрела широкую из- вестность лишь после дискуссии А. Д. Медных с Х. М. Монтезиносом на конференции в Испании в августе 2006 г. Ниже будут изложены основные результаты об объемах произвольных неевклидовых тетраэдров в хронологическом порядке. Формула Сфорца объема произвольного неевклидова тетраэдра. В настоящем подраз- деле будет изучена формула Сфорца объема произвольного неевклидова тетраэдра. Справедлива следующая Теорема 1.8.1 (Sforza, 1906 г.). Пусть T - произвольный тетраэдр в H3 (рис. 1.2.1) с матри- цей Грама (1.2.1). Будем рассматривать det G = det G(A) как функцию от двугранного угла A. Тогда объем тетраэдра V = V (T ) задается формулой A 1 r V = ln - c34 - / det G(A)sin A / dA, 4 c34 + A0 - det G(A) sin A где A0 - подходящее решение уравнения det G(A) = 0, а c34 = c34(A) - алгебраическое допол- нение к элементу (3, 4) матрицы G(A). Оригинальное доказательство формулы Сфорца, помимо использования дифференциального тождества Шлефли (1.2.3), основано на уравнении Паскаля для миноров матрицы Грама (см. [62]). В обзоре Н. В. Абросимова и А. Д. Медных [36] было получено более современное доказательство формулы Сфорца. Предложенное доказательство (взятое нами из работы [36]) базируется на применении формулы Шлефли (1.2.3) к деформации, при которой меняется только один двугранный угол тетраэдра, а также вычислении ребра данного двугранного угла с помощью формулы Якоби (1.2.4). Доказательство (Абросимов, Медных, 2014 г.). Обозначим det G через Δ, а длину ребра дву- гранного угла A через lA. К матрице G применим теорему Якоби (теорема 1.2.3). При n = 4 и k = 2 имеем: c33c44 - c2 34 = Δ(1 - cos2 A). c34 c Применяя формулу (iii) теоремы 1.2.1, получим ch lA = √ 33 c44 . Следовательно, sh lA = / ch2 lA - 1 = c 2 34 - c33 c44 = - √ Δ sin A . Так как exp(±lA) = ch lA ± sh lA, то: c33c44 c34 ± √-Δ sin A √c33c44 Таким образом, exp(±lA) = √c33 . c44 exp(lA) c34 +Δsin A A exp(2lA) = exp(-l и = ) c34 - Δ sin A 1 c34 - /- det G(A) sin A 2 c lA = ln 34 . + /- det G(A) sin A Теперь запишем для тетраэдра T формулу Шлефли: 1 -dV = 2 lAdA. ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 591 Учтем тот факт, что Δ → 0 при A → A0. Следовательно, V → 0 при A → A0. Наконец, интегрируя обе части последнего уравнения, получим: A r ( lA \ - A 1 r c34 - / det G(A)sin A V = - 2 A0 dA = 4 A0 ln c34 + /- det G(A) sin A dA. В свою очередь, следующая теорема представляет собой сферический вариант формулы Сфор- ца [62]. Теорема 1.8.2 (Sforza, 1906 г.). Объем произвольного сферического тетраэдра T (рис. 1.2.1) с матрицей Грама (1.2.1) может быть вычислен по формуле A 1 r V = ln c34 - i/ det G(A)sin A / dA, 4i c34 + i A0 det G(A) sin A где A0 - подходящее решение уравнения det G(A) = 0, а c34 = c34(A) - алгебраическое допол- нение к элементу (3, 4) матрицы G(A). Доказательство данной теоремы аналогично доказательству для гиперболического случая. Схема доказательство формулы Сфорца может быть использована для вывода формул, выража- ющих объемы ортосхемы и тетраэдра с группой симметрии S4 через двугранные углы. а) Применение схемы доказательства формулы Сфорца к вычислению объема гиперболической ортосхемы. Поставим задачу получить альтернативные формулы, выражающие объем гиперболи- ческой ортосхемы (бипрямоугольного тетраэдра) T = T (α, β, γ) (см. раздел 1.3). Для этого рассмотрим сначала непрерывную деформацию T, при которой изменяется только один двугранный угол α (в процессе такой деформации тетраэдр всегда остается бипрямоугольным). В этом случае формула Шлефли для объема V тетраэдра T = T (α, β, γ) примет вид 1 dV = - 2 lαdα, (1.8.1) где lα - длина ребра двугранного угла α. Используя формулу (iii) теоремы 1.2.1, выразим lα через двугранные углы тетраэдра. Имеем: cos γ sin α lα = arch /1 Решим теперь относительно α уравнение - cos2 β - cos2 . (1.8.2) α det G = 0, где G - матрица Грама ортосхемы T = T (α, β, γ): ⎛ 1 - cos α 0 0 ⎞ G = ⎜- cos α 1 - cos β 0 ⎟ . ⎠ ⎝ ⎜ 0 - cos β 1 - cos γ⎟ 0 0 - cos γ 1 Заметим, что при фиксированных β и γ тетраэдр T будет оставаться ортосхемой тогда и только тогда, когда острый угол α непрерывно изменяется в промежутке ( cos β \ arcsin (cos β) < α < arcsin sin γ (это следует из критерия существования ортосхемы, приведенного в замечании 1.4.1). 592 В. А. КРАСНОВ Следовательно, в качестве «подходящего» корня уравнения det G = 0 нужно выбрать острый угол α = arcsin ( cos β \ sin γ (1.8.3) (при котором объем гиперболической ортосхемы обращается в нуль). Подставив формулу (1.8.2) в (1.8.1) и проинтегрировав полученную формулу от (1.8.3) до A, мы получим, что объем V гиперболической ортосхемы T = T (α, β, γ) может быть найден по формуле 1 V = - 2 α r arch /1 cos γ sin t cos2 β dt. cos2 t sin γ arcsin ( cos β '\ - - Если рассмотреть деформации ортосхемы T, при которых изменяется только двугранный угол β (или γ), то, проделав аналогичные выкладки, мы получим следующие формулы для вычисления объема V : 1 V = - 2 β r arch /(1 cos2 cos α cos γ cos t 2 2 dt, 2 arccos (sin α sin γ) - γ - cos t)(1 - cos α - cos t) 1 V = - 2 γ r arch /1 cos α sin t cos2 β dt. cos2 t Таким образом, нами доказана sin α arcsin ( cos β ) - - Теорема 1.8.3 (Краснов, 2019 г.). Объем V = V (T ) гиперболической ортосхемы T = T (α, β, γ) может быть вычислен по одной из следующих трех формул: 1 V (T ) = - 2 α r arch /1 cos γ sin t cos2 β dt, (1.8.4) cos2 t sin γ arcsin ( cos β '\ - - 1 V (T ) = - 2 β r arch /(1 cos2 cos α cos γ cos t 2 2 dt, (1.8.5) 2 arccos (sin α sin γ) - γ - cos t)(1 - cos α - cos t) 1 V = - 2 γ r arch /1 cos α sin t cos2 β dt. (1.8.6) cos2 t sin α arcsin ( cos β ) - - Замечание 1.8.1. Таким образом, формулы (1.8.4)-(1.8.6), в отличие от формулы Лобачевско- го (1.8.5), выражают объем гиперболической ортосхемы в виде одного вещественного интеграла от вещественнозначной подынтегральной функции. Пример 1.8.1. Рассмотрим гиперболическую ортосхему T = T (α, β, γ), двугранные углы кото- рой равны: α = γ = π π 6 , β = 1,0001 · 3 . Вычислив объем V = V (T ) данного тетраэдра по формулам (1.8.4)-(1.8.6), а также по формуле из теоремы 1.4.2, мы получим одинаковый результат для V = V (T ): V (T ) = 0,253. ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 593 б) Применение схемы доказательства формулы Сфорца к вычислению объема гиперболического тетраэдра с группой симметрии S4. Вычислим теперь объем гиперболического тетраэдра T = T (A, C) с группой симметрии S4 (заданного в векторной модели гиперболического пространства; см., например, с. 561 настоящего обзора) через двугранные углы. Критерий существования T = T (A, C) в H3 выражается следующей леммой. Лемма 1.8.1. Для существования компактного гиперболического тетраэдра T с группой симметрии S4, заданного набором двугранных углов (A, B), необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая система неравенств: ⎧ π ⎨0 < C < 2 , ⎩1 - 2 cos C < cos A < 1 - 2 cos2 C. Доказательство леммы основано на применении критерия существования произвольного ги- перболического тетраэдра, заданного набором двугранных углов (см. теорему 1.2.4), к тетраэдру T = T (A, C). Замечание 1.8.2. Доказательство леммы 1.8.1 содержится в работе [27]. Однако в данной ра- боте соответствующая система содержит три неравенства вместо двух. Как удалось выяснить после дополнительной проверки, одно из неравенств критерия существования T = T (A, C) в рабо- те [27] является избыточным. Переходим теперь к вычислению объема гиперболического тетраэдра T с группой симметрии S4. Объем такого тетраэдра может быть вычислен с помощью следующей теоремы. Теорема 1.8.4 (Краснов, 2019 г.). Пусть T = T (A, C) - компактный тетраэдр с группой симметрии S4 в H3 (рис. 1.7.1). Тогда его объем V = V (T ) выражается формулой C r V (T ) = -2 (1 + cos A)2 cos t arch dt. 1 - 2 cos A cos2 t - 2 cos2 t - cos2 A (1.8.7) 2 arccos ( 1-cos A ) Приведенное ниже доказательство взято из работы автора [27]. Доказательство. Для доказательства теоремы 1.8.4 воспользуемся схемой доказательства фор- мулы Сфорца (см. теорему 1.8.1 и ее доказательство). Рассмотрим сначала непрерывную деформацию тетраэдра T = T (A, C), при которой изменяется только один двугранный угол C (при этом угол A мы считаем фиксированным). В этом случае формула Шлефли для дифференциала объема V = V (C) тетраэдра T примет вид dV = -2 · l · dC, (1.8.8) где l - длина ребра V2V4 (рис. 1.7.1). Вычислим теперь величину l с помощью формулы (iii) теоремы 1.2.1. Имеем: (1 + cos A)2 cos C l = arch 1 - 2 cos A cos2 C - 2 cos2 C - cos2 C . (1.8.9) Также стоит заметить (см. теорему 1.2.4), что при фиксированном A тетраэдр с группой сим- метрии S4 будет реализуем в H3 тогда и только тогда, когда его второй (острый) двугранный угол C непрерывно меняется в промежутке: ; 1 - cos A 2 < C < 1 - cos A. 2 Таким, решая уравнение Δ = 0 относительно C, мы получаем, что в качестве «подходящего» его решения (см. формулировку теоремы 1.8.1) нам нужно взять правый конец указанного промежутка: ( 1 - cos A \ C = arccos . 2 594 В. А. КРАСНОВ РИС. 1.8.1. Правильный тетраэдр T = T (A) При таком C набор двугранных углов (A, C) соответствует евклидову тетраэдру с группой симметрии S4, гиперболический объем которого равен нулю. Таким образом, формула (1.8.7) получается после интегрирования выражения (1.8.8) (после ( 1 - cos A \ подстановки в него формулы (1.8.9) в пределах от arccos 2 до C. Очевидно, что правильный тетраэдр T = T (A) (т. е. тетраэдр, у которого все двугранные углы равны; см. рис. 1.8.1) является частным случаем тетраэдра с группой симметрии S4 (при A = B). Формула объема гиперболического правильного тетраэдра, ранее полученная в работе [4], задается следующей теоремой. Теорема 1.8.5 (Абросимов, Выонг Хыу, 2017 г.). Объем V = V (T ) правильного гиперболиче- ского тетраэдра T = T (A) находится по формуле V = -3 A r arch ( cos t \ 1 - 2 cos t dt. (1.8.10) 3 arccos 1 ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 595 В свою очередь, критерий существования гиперболического правильного тетраэдра выражает- ся следующей теоремой (которая получается непосредственным применением утверждения теоре- мы 1.2.4 к компактному гиперболическому тетраэдру T = T (A, A, A, A, A, A). Теорема 1.8.6 (Краснов, 2019 г.). Для существования компактного правильного гиперболи- ческого тетраэдра T = T (A) необходимо и достаточно, чтобы его двугранный угол A удовле- творял следующему двойному неравенству: 1 < cos A < 3 1 . (1.8.11) 2 Для численной проверки результата теоремы 1.8.4 вычислим сначала по формуле (1.8.7) объем правильного гиперболического тетраэдра (при A = C), а затем сравним полученный результат с формулой (1.8.10). Пример 1.8.2. Рассмотрим правильный гиперболический тетраэдр с двугранным углом A = 8 arccos . Вычислив его объем V в среде MathCad по формуле (1.8.10), получим, что V = 0,012. 21 В свою очередь, при вычислении объема гиперболического тетраэдра с группой симметрии S4 по формуле (1.8.7) (если A = C = arccos 8 ), мы получим тот же самый результат. 21 Формула Чо-Кима объема произвольного гиперболического тетраэдра. Рассмотрим теперь полученную в 1999 г. Ю. Чо и Х. Кимом формулу объема произвольного гиперболического тетраэдра [40]. Рассмотрим произвольный гиперболический тетраэдр T с двугранными углами A, B, C, D, E, F (рис. 1.2.1). Формула Чо-Кима объема произвольного гиперболического тетраэдра задается сле- дующей теоремой. Теорема 1.8.7 (Cho, Kim, 1999 г.). Объем V = V (T ) произвольного гиперболического тетра- эдра T = T (A, B, C, D, E, F ) (см. рис. 1.2.1) может быть выражен следующей формулой: ( B - C - A + π \ ( D - B - F + π \ 2V (T ) = Λ(a)+ Λ(b)+ Λ(c) - Λ(d) - Λ 2 - b +Λ + b + 2 ( E - C - D + π \ ( A - D - F + π \ l l l l +Λ 2 - c - Λ 2 + c - Λ(a )+ Λ(b ) - Λ(c )+ Λ(d )+ - - ( B C A + π +Λ 2 \ l - b - Λ ( D - B - F + π 2 \ + bl - \ ( E - C - D + π l \ ( A - E - F + π l - Λ 2 - c +Λ + c , 2 где Λ = Λ(x) - функция Лобачевского x r Λ(x) = - 0 ln |2 sin t|dt, а величины a, b, c, d, al , bl , cl , dl находятся из уравнений: a + b = B, al + bl = B, c + d = E, cl + dl = E, b + c + e = F, bl + cl + el = F, a + d + e = C, al + dl + el = C, 1 - cos D - cos a cos B cos C - cos D 1 cos (c + e) cos F cos E - cos a cos (c + e) 1 - cos b cos (d + e) cos B cos F - cos b 1 - cos A cos C cos E cos (d + e) - cos A 1 = 0, 596 В. А. КРАСНОВ l 1 - cos D - cos a cos B cos C l l - cos D 1 cos (c + e ) cos F cos E l l l l l l - cos a cos (c + e ) 1 - cos b l cos (d + e ) = 0. cos B cos F - cos b 1 - cos A cos C cos E cos (dl + el ) - cos A 1 Идея доказательства теоремы 1.8.7 заключается в представлении объема гиперболического тет- раэдра алгебраической суммой объемов идеальных тетраэдров и вычислении последних по форму- ле (1.4.1) (более подробно см. работу [40]). Формулы Мураками-Яно и Мураками-Ушиджимы. В настоящем подразделе будут представлены формулы Мураками-Яно и Мураками-Ушиджимы, выражающие объем произволь- ного неевклидова тетраэдра через его двугранные углы и длины ребер соответственно, симмет- ричные относительно перестановки аргументов. Введем некоторые вспомогательные обозначения, которые понадобятся нам для формулировки основных теорем. Пусть, как и прежде, T - гиперболический тетраэдр, двугранные углы которого суть A, B, C, D, E, F. Кроме того, будем полагать, что A, B, C - двугранные углы при ребрах с общей вершиной, а D, E, F - противолежащие им двугранные углы (рис. 1.2.1). Далее, пусть a = exp(iA), b = exp(iB), c = exp(iC), d = exp(iD), e = exp(iE), f = exp(iF ), а U (z, T ) - эмпирическая функция Мураками-Яно: 1 U (z, T ) = 2 {Li2(z)+ Li2(z abd e)+ Li2(z a cdf )+ Li2(z b cef ) - - Li2(-z ab c) - Li2(-za e f ) - Li2(-zb d f ) - Li2(-z cd e)}, (1.8.12) где Li2(z) - ветвь дилогарифма Эйлера z r Li2(z) = - 0 ∈ \ ∞ ln(1 - t) dt (z C [1; + )), t отвечающая ветви логарифмической функции ln θ = ln |θ| + i arg θ (-π < arg θ < π). Исследуем уравнение dU/dz = 0. Вычислим dU/dz: dU (z, T ) dz 1 - = 2z (ln (1 - z)+ ln (1 - abde z)+ ln (1 - acdf z)+ ln (1 - bcef z) - - ln (1 + abc z) - ln (1 + aef z) - ln (1 + bdf z) - ln (1 + cde z)). Следовательно, уравнение dU/dz = 0 эквивалентно следующему: (1 - z)(1 - abde z)(1 - acdf z)(1 - bcef z) - - (1 + abc z)(1 + aef z)(1 + bdf z)(1 + cde z) = 0. (1.8.13) Как нетрудно видеть, свободный член уравнения (1.8.13) равен нулю. Следовательно, исходное уравнение dU/dz = 0 эквивалентно квадратному уравнению: αz2 + βz + γ = 0, (1.8.14) где α = abcdef (abcdef + ad + be + cf + abf + ace + bcd + def ), ( 1 \( 1 \ ( 1 \( 1 \ ( 1 \( 1 \ β = -abcdef a - a d - d + b - b e - e + c - c f - f , γ = 1 + abde + acdf + bcef + abc + aef + bdf + cde. ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 597 Легко видеть, что число β = β является вещественным, а также имеет место соотношение: 1 abcdef α = (abcdef )2γ¯, где γ¯ - есть комплексное число, сопряженное числу γ. Обозначим через z1 и z2 решения (1.8.14). Сформулируем теперь лемму, которая понадобится нам для более глубокого понимания основного результата подраздела. Лемма 1.8.2 (J. Murakami, M. Yano, 2001 г.). Пусть T - гиперболический тетраэдр c дву- гранными углами A, B, C, D, E, F (рис. 1.2.1). Далее, пусть z1 и z2 - решения уравнения (1.8.14). Тогда |z1| = |z2| = 1. Далее, пусть V = V (T ) - объем гиперболического тетраэдра T. Справедлива следующая фор- мула Мураками-Яно, доказанная в работе [59]. Теорема 1.8.8 (J. Murakami, M. Yano, 2001 г.). Объем гиперболического тетраэдра T = T (A, B, C, D, E, F ) (см. рис. 1.2.1) может быть вычислен по формуле U (z1,T) - U (z2,T) V (T ) = Im 2 где функция U = U (z, T ) имеет вид (1.8.12). , (1.8.15) Замечание 1.8.3. В работе [59] вводятся в рассмотрение следующие величины: V1(T ) = U (z1,T )+ Δ(T ), V2(T ) = U (z2,T )+ Δ(T ), где Δ˜ (a, b, c) = - 1 (Li (-abc-1)+ Li (-ab-1c)+ Li (-a-1bc)+ 4 2 2 2 + Li2(-a-1b-1c-1)+ (ln a)2 + (ln b)2 + (ln c)2), Δ(T ) = Δ˜ (a, b, c)+ Δ˜ (a, e, f )+ Δ˜ (b, d, f )+ Δ˜ (c, d, e)+ 1 (ln a ln d + ln b ln e + ln c ln f ). 2 Можно показать (см. [59]), что мнимые части V1(T ) и V2(T ) равны по абсолютной величине, а отличаются лишь знаком. Поэтому под z1 понимается такое решение, что соответствующая величина Im V1(T ) > 0. Вывод формулы (1.8.15) можно найти в работе [59]. Он основан на теории квантовых 6j- символов [59] и, кроме того, опирается на полученную ранее формулу Чо-Кима [40]. Замечание 1.8.4. Используя метод аналитического продолжения для объемов неевклидовых тетраэдров (см., например, [16]), из формулы (1.8.15) можно получить формулу объема произволь- ного тетраэдра в сферическом пространстве. В этом случае формула для объема примет вид U (z1,T) - U (z2,T) (более подробно см. в работе [59]). V (T ) = 2 Также отметим, что в работе [57] была предложена еще одна альтернативная формула для вы- числения объема сферического тетраэдра через двугранные углы, а также формула, выражающая объем тетраэдра в сферическом пространстве через длины его ребер. В заключение данного раздела мы представим формулу Мураками-Ушиджимы объема произ- вольного гиперболического тетраэдра в терминах длин ребер. 598 В. А. КРАСНОВ Теорема 1.8.9 (Мураками, Ушиджима, 2004 г.). Пусть T = T (l1, l2, l3, l4, l5, l6) - компактный гиперболический тетраэдр с длинами ребер l1, l2, l3, l4, l5 и l6 (рис. 1.8.2). Тогда его объем V (T ) может быть выражен формулой: где 6 V (T ) = Vl - li i=1 ∂Vl , ∂li Vl = V (- exp l4, - exp l5, - exp l6, - exp l1, - exp l2, - exp l3), ; V (a1, a2, a3, a4, a5, a6) = -1 г( ∂U U (a1, a2, a3, a4, a5, a6, z-) - z- \ (z = z-) ln z- - 4 ∂z ( ∂U \ - U (a1, a2, a3, a4, a5, a6, z+) - z+ ∂z (z = z+) ln z+ , 1 U (a, b, c, d, e, f, z) = 2 {Li2(z)+ Li2(z abd e)+ Li2(z a cdf )+ Li2(z b cef ) - - Li2(-z ab c) - Li2(-za e f ) - Li2(-zb d f ) - Li2(-z cd e)} при этом Li2(z) - по-прежнему ветвь дилогарифма Эйлера z r Li2(z) = - 0 ∈ \ ∞ ln(1 - t) dt (z C [1; + )), t отвечающая ветви логарифмической функции ln θ = ln |θ| + i arg θ (-π < arg θ < π), z = 2 ( - ql z = 2 ( + ql sh l1 sh l4 + sh l2 sh l5 + sh l3 sh l6 - sh l1 sh l4 + sh l2 sh l5 + sh l3 sh l6 + /Gl\ , /Gl\ , ql = exp (l1 + l4)+ exp (l2 + l5)+ exp (l3 + l6) - - exp (l1 + l2 + l3) - exp (l1 + l5 + l6) - exp (l2 + l4 + l6) - - exp (l3 + l4 + l5)+ exp (l1 + l2 + l3 + l4 + l5 + l6), ⎛ -1 - ch l4 - ch l5 - ch l3⎞ Gl = ⎜- ch l4 -1 - ch l6 - ch l2⎟ . ⎜ ⎟ ⎝- ch l5 - ch l6 -1 - ch l1⎠ - ch l3 - ch l2 - ch l1 -1 Доказательство формулы Мураками-Ушиджимы основано на полученной ранее формуле Мураками-Яно и свойствах функции U = U (z, T ). Подробное оригинальное доказательство теоремы 1.8.9 можно найти в работе [58]. Замечание 1.8.5. Приведенные выше формулы Мураками-Яно и Мураками-Ушиджимы явля- ются довольно громоздкими по своей записи и, кроме того, выражают объем через многозначные комплекснозначные функции. Поэтому возникла потребность в получении формулы, выражающей объем неевклидова тетраэдра вещественными функциями (или их линейными комбинациями). Формула Деревнина-Медных объема гиперболического тетраэдра общего вида. В 2005 г. Д. А. Деревнин и А. Д. Медных в работе [20] получили формулу для объема компактного гиперболического тетраэдра общего вида, с помощью которой объем выражается интегралом по отрезку вещественной прямой от вещественнозначной подынтегральной функции. ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 599 РИС. 1.8.2. Гиперболический тетраэдр T = T (l1, l2, l3, l4, l5, l6) Формула Деревнина-Медных объема произвольного гиперболического тетраэдра выражается следующей теоремой. Теорема 1.8.10 (D. A. Derevnin, A. D. Mednykh, 2004 г.). Пусть T = T (A, B, C, D, E, F ) - ги- перболический тетраэдр, двугранные углы которого A, B, C лежат при одной вершине, а D, E, F - противолежащие им двугранные углы. Далее, пусть z1 и z2 - решения уравне- ния (1.8.14) и Z1 = arg z1, Z2 = arg z2. Тогда объем V = V (T ) гиперболического тетраэдра выражается формулой Z1 1 r sin ξ sin ξ+A+B+D+E ξ+A+C+D+F ξ+B+C+E+F 2 2 sin 2 sin 2 dξ, (1.8.16) V(T ) = - 4 ln cos ξ+A+B+C cos ξ+A+E+F cos ξ+B+D+F cos ξ+C+D+E где Z2 2 2 2 2 k2 k4 k Z1 = arctg 1 Z = arctg k2 2 k1 k - arctg , 3 + arctg k4 , k3 k1 = -(cos (A + B + C + D + E + F )+ cos (A + D)+ cos (B + E)+ cos (C + F )+ + cos (D + E + F )+ cos (D + B + C)+ cos (A + E + C)+ cos (A + B + F )), k2 = sin (A + B + C + D + E + F )+ sin (A + D)+ sin (B + E)+ sin (C + F )+ + sin (D + E + F )+ sin (D + B + C)+ sin (A + E + C)+ sin (A + B + F )), k3 = 2(sin A sin D + sin B sin E + sin C sin F ), 600 В. А. КРАСНОВ k4 = / k2 + k2 - k2. 1 2 3 Оригинальное доказательство формулы (1.8.16) основано на проверке того, что функции объема V = V (A, B, C, D, E, F ) удовлетворяет дифференциальному тождеству Шлефли (1.2.3) и началь- ному условию V ( π , π , π , π , π , π \ = 0, то есть являются единственным решением задачи Коши 3 3 3 3 3 3 (подробное доказательство см. в работе [44]): ⎧ ∂V ⎪ ⎪ ∂A ⎪ 1 - = 2 lA, ⎪ - B ∂V 1 ⎪ = l , ⎪ ∂B 2 ⎪ ⎪ ∂V 1 ⎪ ⎪ - ⎪ ∂C ⎪⎨ ∂V ⎪ ∂D ⎪ ⎪ ∂V ⎪ ⎪ ∂E ⎪ ⎪ ∂V ⎪ ⎪ ⎪ ∂F ⎪ = 2 lC , 1 - = 2 lD , 1 - = 2 lE , 1 - = 2 lF , ⎩ ⎪V ( π π π π π π \ = 0, , , , , , 3 3 3 3 3 3 где lA, lB , lC , lD , lE , lF - длины ребер двугранных углов A, B, C, D, E и F соответственно. Приведем оригинальное доказательство формулы Деревнина-Медных, следуя работе [44]. Доказательство (Деревнин, Медных, 2005 г.). Сначала покажем, что если T - гиперболический тетраэдр с двугранными углами A, B, C, D, E, F, то числа и где Z = arctg k2 1 k1 Z = arctg k2 2 k1 k4 k - arctg 3 + arctg k4 , k3 k1 = -(cos (A + B + C + D + E + F )+ cos (A + D)+ cos (B + E)+ cos (C + F )+ + cos (D + E + F )+ cos (D + B + C)+ cos (A + E + C)+ cos (A + B + F )), k2 = sin (A + B + C + D + E + F )+ sin (A + D)+ sin (B + E)+ sin (C + F )+ + sin (D + E + F )+ sin (D + B + C)+ sin (A + E + C)+ sin (A + B + F )), k3 = 2(sin A sin D + sin B sin E + sin C sin F ), / k4 = k2 + k2 - k2. являются корнями уравнения 1 2 3 2 cos cos ξ+A+B+C cos ξ+A+E+F 2 cos ξ+B+D+F 2 ξ+C+D+E 2 = 0. sin ξ sin ξ+A+B+D+E ξ+A+C+D+F ξ+B+C+E+F 2 2 sin 2 sin 2 Прямые вычислениями можно показать, что наше уравнение эквивалентно следующему: k1 cos z + k2 sin z = k3. (1.8.17) ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 601 Двугранные углы гиперболического тетраэдра меньше π и, следовательно, k3 > 0. Заметим также, что имеет место тождество k2 2 2 1 + k2 - k3 = -4 det G, (1.8.18) где G - матрица Грама тетраэдра T = T (A, B, C, D, E, F ). Так как для компактного гиперболического тетраэдра выполнено det G < 0, то мы получаем следующие оценки на k1, k2, k3, k4: k2 2 1 + k2 > 0, (1.8.19) / 0 < k3, k4 < k2 + k2. (1.8.20) 1 2 Следовательно, уравнение (1.8.17) эквивалентно где sin (z + x) = sin α, (1.8.21) sin x = k1 , cos x = k2 , (1.8.22) k2 2 2 2 1 + k2 а sin α = k3 k1 + k2 > 0. (1.8.23) k2 2 Наконец, нам осталось заметить, что 1 + k2 k2 k4 k Z1 = arctg 1 и Z = arctg k2 2 k1 k - arctg 3 + arctg k4 k3 (1.8.24) (1.8.25) являются решениями (1.8.21), а значит, и (1.8.17). Теперь введем в рассмотрение функцию 2 2 2 2 1 cos V1+z cos V2 +z cos V3 +z cos V4 +z Φ(z) = - 4 ln sin H1+z H2+z H3+z z , где 2 sin 2 sin 2 sin 2 V1 = A + B + C, V2 = A + E + F, V3 = B + D + F, V4 = C + D + E, H1 = A + B + D + E, V2 = A + C + D + F, V3 = B + C + E + F. Покажем, что Z2 r ∂Φ ∂A Z1 a dz = - 2 , Z2 r ∂Φ ∂B Z1 b dz = - 2 , Z2 r ∂Φ ∂C Z1 c dz = - 2 , Z2 r ∂Φ ∂D Z1 d dz = - 2 , Z2 r ∂Φ ∂E Z1 e dz = - 2 , Z2 r ∂Φ ∂F Z1 f dz = - 2 , при этом a, b, c, d, e, f - длины ребер двугранных углов A, B, C, D, E, F соответственно. Так как ∂Φ 1 ( ∂A = - 8 tg V1 + Z 2 + tg V2 + Z 2 + ctg H1 + Z 2 + ctg H2 + Z \ , 2 602 В. А. КРАСНОВ то Z2 r ∂Φ 1 cos V1+Z2 cos V2+Z2 sin H1 +Z1 sin H2 +Z1 dz = - ln 2 2 2 2 . ∂A 4 cos V1+Z1 cos V2+Z1 sin H1 +Z2 sin H2 +Z2 Z1 2 2 2 2 Рассмотрим теперь отдельно числитель Q1 дроби Q1 = cos cos V1+z2 2 sin V2+z2 2 sin H1 +z1 2 H2 +z1 2 . Q2 cos V1+z1 cos V2+z1 sin H1 +z2 sin H2 +z2 2 2 2 2 Используя формулы для произведения тригонометрических функций, прямыми вычислениями получается следующее выражение для Q1: 1 ( 2 Z1 + Z2 2 Z1 + Z2 2 Z1 - Z2 2 Z1 - Z2 Q1 = 4 q11 cos + q22 sin 2 + q33 cos 2 + q44 sin + 2 2 + q12 cos Z1 + Z2 sin 2 Z1 + Z2 Z1 + Z2 + q cos 2 13 Z1 - Z2 Z1 + Z2 cos 2 Z1 + Z2 Z1 - Z2 + q cos 2 14 Z1 - Z2 Z1 + Z2 sin 2 Z1 - Z2 Z1 - Z2 + 2 Z1 - Z2 \ где + q23 cos cos 2 + q24 sin 2 sin 2 + q34 cos 2 sin , 2 2 qii = fi(H1, V1)fi(H2, V2), qij = fi(H1, V1)fj (H2, V2)+ fj (H1, V1)fi(H2, V2), i /= j, f1 = cos x + y , f2 = sin 2 x + y , f3 = cos 2 x - y , f = sin 2 4 x - y . 2 Используя формулы (1.8.22)-(1.8.25) и заменяя k1, k2 и k3 их выражениями через двугранные углы, окончательно получаем 2 Q1 = - k2 2 (cos D + cos (C - E))(cos D + cos (B - F ))(2c34 + k4 sin A). 1 + k2 Применяя аналогичные рассуждения, можно получить следующую формулу для Q2: 2 Q2 = - k2 2 (cos D + cos (C - E))(cos D + cos (B - F ))(2c34 - k4 sin A). Таким образом, 1 + k2 Z2 r Z1 ∂Φ 1 ∂A dz = - 4 ln Q1 Q2 1 - = arctg 2 √ - det G sin A. c34 Наконец, применяя формулу (iii) теоремы 1.2.1, прямыми вычислениями нетрудно установить соотношение 2 tg2 a = - det(G) sin A, которое и доказывает формулу Остальные формулы Z2 r ∂Φ ∂A Z1 c 2 34 a dz = - 2 . Z2 r ∂Φ ∂B Z1 b dz = - 2 , Z2 r ∂Φ ∂C Z1 c dz = - 2 , Z2 r ∂Φ ∂D Z1 d dz = - 2 , Z2 r ∂Φ ∂E Z1 e dz = - 2 , Z2 r ∂Φ ∂F Z1 f dz = - 2 ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 603 выводятся аналогично. Пусть функция V задается формулой Z2 r где V (A, B, C, D, E, F ) = Z1 Φ(A, B, C, D, E, F, z)dz, 2 2 2 2 1 cos V1+z cos V2+z cos V3 +z cos V4 +z Φ(A, B, C, D, E, F, z) = - 4 ln sin H1+z H2+z H3+z z . 2 sin 2 sin 2 sin 2 Покажем, что данная функция V задает объем тетраэдра T = T (A, B, C, D, E, F ), то есть является единственным решением задачи Коши ⎧ ∂V 1 ⎪ - = a, ⎪ ∂A 2 ⎪ ⎪ ⎪ ∂V 1 ⎪ - = b, ⎪ ∂B 2 ⎪ ⎪ ⎪ ∂V 1 ⎪ - = c, ⎪ ∂C 2 ⎪ ⎪⎨ ∂V ⎪ ∂D ⎪ ⎪ ∂V 1 - = d, 2 1 ⎪ ⎪ ⎪ ∂E ⎪ ⎪ ⎪ ∂V ⎪ ⎪ ∂F ⎪ - = e, 2 1 - = f, 2 ⎪ ( π π π π π π \ = 0. ⎪⎩V , , , , , 3 3 3 3 3 3 Применяя правило Лейбница дифференцирования по параметру, получаем: ∂V = Φ(A, B, C, D, E, F, Z ∂Z2 ) - Φ(A, B, C, D, E, F, Z ∂Z1 ) + Z2 r ∂Φ dz. ∂A 2 ∂A 1 ∂A ∂A Z1 Так как Z1 и Z2 являются решениями уравнения Φ = 0, то, в силу результата пункта 2 настоя- щего доказательства, получаем ∂V ∂A 1 = - 2 a. ∂V = 1 - b, ∂V = 1 - c, ∂V = 1 - d, ∂V = 1 - e, ∂V = 1 - f ∂B 2 ∂C 2 ∂D 2 ∂E 2 ∂F 2 Аналогично устанавливаются остальные равенства . Наконец, при A, B, C, D, E, F → 0 функция Φ → 0, а значит V → 0. Теорема доказана. Однако эта же формула может быть выведена из формулы Мураками-Яно и формулы связи между дилогарифмом Эйлера и функции Лобачевского (см., например, [16]): π2 Li2(exp 2iz) = 6 - z(π - z)+ 2iΛ(z). Приведем теперь доказательство теоремы Деревнина-Медных из формулы Мураками-Яно, основанное на работе автора [23]. 604 В. А. КРАСНОВ Доказательство (Краснов, 2013 г.). Для вывода формулы Деревнина-Медных мы сначала, ис- пользуя формулу Мураками-Яно и указанное выше свойство функции Лобачевского, выразим объем произвольного гиперболического тетраэдра в терминах специальной функции Лобачевского. Таким образом, согласно формуле (1.8.15): Vol(T ) = Im{U (z1,T) - U (z2,T)} 2 1 ( ( Z1 \ = Λ 2 2 ( Z2 \ - Λ 2 + ( Z1 + A + B + D + E \ +Λ 2 ( Z1 + A + C + D + F \ +Λ 2 ( Z1 + B + C + E + F \ +Λ 2 ( Z2 + π + A + B + C \ ( Z2 + A + B + D + E \ - Λ 2 + ( Z2 + A + C + D + F \ - Λ 2 + ( Z2 + B + C + E + F \ - Λ 2 + ( Z1 + π + A + B + C \ +Λ 2 - Λ 2 + ( Z2 + π + A + E + F \ +Λ 2 ( Z2 + π + B + D + F \ +Λ 2 ( Z1 + π + A + E + F \ - Λ 2 + ( Z1 + π + B + D + F \ - Λ 2 + где Z1 = arg z1, Z2 = arg z2. ( Z2 + π + C + D + E \ +Λ 2 ( Z1 + π + C + D + E \\ - Λ 2 , (1.8.26) Следовательно, объем гиперболического тетраэдра представляется в виде алгебраической суммы шестнадцати значений функции Лобачевского. С помощью определения функции Лобачевского формулу (1.8.26) перепишем в виде Z1 2 1 r Vol(T ) = - 2 { ln | sin t|dt + Z1+A+B+D+E 2 r ln | sin t|dt + Z1+A+C+D+F 2 r ln | sin t|dt + Z2 Z2+A+B+D+E 2 2 Z2+A+C+D+F 2 Z1+B+C+E+F 2 r + Z2+B+C+E+F 2 ln | sin t|dt + Z2 +π+A+B+C 2 r Z1+π+A+B+C 2 ln | sin t|dt + Z2+π+A+E+F 2 r Z1+π+A+E+F 2 ln | sin t|dt + Z2+π+B+D+F 2 r + Z1+π+B+D+F 2 ln | sin t|dt + Z2 +π+C+D+E 2 r Z1+π+C+D+E 2 ln | sin t|dt}. Наконец, добьемся того, чтобы нижний и верхний пределы интегрирования в каждом интеграле были равны Z2 и Z1 соответственно. Для этого выполним подходящие замены переменных в каждом из 8 получившихся интегральных слагаемых, а именно: t → ξ 1) t → 2 ; ξ + A + B + C + D ; 2 ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 605 Окончательно получаем t → t → t → t → t → t → ξ + A + C + D + F ; 2 ξ + B + C + E + F ; 2 ξ + π + A + B + C ; 2 ξ + π + A + E + F ; 2 ξ + π + B + D + F ; 2 ξ + π + C + D + E . 2 Z1 1 1 r Z1 ξ 1 r ξ + A + B + D + E Vol(T ) = - 2 ( 2 ln sin dξ + 2 2 ln sin dξ + 2 Z2 Z2 Z1 Z1 1 r r - + ln sin ξ + A + C + D + F dξ + 1 ln sin ξ + B + C + E + F dξ 2 2 2 2 Z2 Z2 Z1 Z1 1 r ξ + A + B + C 1 r ξ + A + E + F dξ - 2 - ln cos 2 Z2 - ln cos 2 Z2 dξ 2 Z1 Z1 1 r ξ + B + D + F 1 r ξ + C + D + E dξ - 2 - ln cos 2 Z2 ln cos 2 Z2 dξ) = 2 Z1 1 r sin ξ sin ξ+A+B+D+E ξ+A+C+D+F ξ+B+C+E+F 2 2 sin 2 sin 2 = - 4 ln cos ξ+A+B+C cos ξ+A+E+F cos ξ+B+D+F cos ξ+C+D+E Z2 2 2 2 dξ. 2 А теперь покажем, что Z1 и Z2 в теореме совпадают с выражениями для пределов интегрирова- ния, полученными Д. А. Деревниным и А. Д. Медных в [20]. В их работе пределы интегрирования выражаются следующим образом: Z = arctg k2 1 k1 Z = arctg k2 2 k1 k4 k - arctg , 3 + arctg k4 , k3 где вещественные числа k1, k2, k3 и k4 имеют вид: k1 = -(cos (A + B + C + D + E + F )+ cos (A + D)+ cos (B + E)+ cos (C + F )+ + cos (D + E + F )+ cos (D + B + C)+ cos (A + E + C)+ cos (A + B + F )), k2 = sin (A + B + C + D + E + F )+ sin (A + D)+ sin (B + E)+ sin (C + F )+ + sin (D + E + F )+ sin (D + B + C)+ sin (A + E + C)+ sin (A + B + F )), k3 = 2(sin A sin D + sin B sin E + sin C sin F ), 606 В. А. КРАСНОВ k4 = /

Об авторах

В. А. Краснов

Автор, ответственный за переписку.
Email: krasnov_va@rudn.university
117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6

Список литературы