Спектральный анализ одномерной системы Дирака с суммируемым потенциалом и оператора Штурма-Лиувилля с коэффициентами-распределениями

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 374 Определение оператора Штурма-Лиувилля с коэффициентами-распределениями 381 Определение оператора Дирака с суммируемым потенциалом 391 Невозмущенный оператор Дирака 394 Невозмущенный оператор Штурма-Лиувилля 402 Асимптотические формулы для ФСР 407 Оценки функций Υ±(λ) и Υ0(λ) Асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций операто- ра Штурма-Лиувилля в сильно регулярном случае 419 Асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций операто- ра Дирака в сильно регулярном случае 428 Резольвента оператора Дирака LP,U 437 Резольвента оператора Штурма-Лиувилля Lq,U 445 Полнота и базисность Рисса системы собственных и присоединенных векторов регуляр- ных операторов Lq,U и LP,U 448 Равномерность базисности Рисса для оператора LP,U 456 Равносходимость спектральных разложений операторов LP,U и L0,U 470 Базисность системы корневых функций оператора LP,U в шкалах пространств 484 Приложение А 495 Приложение B 497 Приложение C 511 Список литературы 514 ВВЕДЕНИЕ В этой работе речь пойдет о двух вполне классических объектах: об операторе Штурма- Лиувилля и об одномерной системе Дирака. Мы будем изучать оператор Штурма-Лиувилля L, порождаемый в пространстве L2[0, π] дифференциальным выражением l(y) = -yll + q(x)y (1.1) и подходящими (регулярными по Биркгофу) граничными условиями. Мы рассмотрим и более общие операторы, дифференциальное выражение которых имеет вид f(y) = -(τ1yl)l + i(σy)l + iσyl + τ0y. (1.2) В разделе 2 данной работы мы докажем утверждение о подобии операторов общего вида операторам вида (1.1), которые и будем изучать далее. Одномерную систему Дирака мы записываем в виде -i 0 y1 l p1(x) p2(x) y1 (1.3) 0 i y2 + p3(x) p4(x) y2 и также добавляем два краевых условия, которые предполагаем регулярными по Биркгофу. Всюду в работе мы считаем, что выражения (1.1) и (1.3) определены на конечном отрезке [0, π] × x. W -1 Цель этой работы - провести детальное исследование спектральных свойств операторов (1.1) и (1.3) в случае негладких потенциалов q и P. А именно, мы будем работать с потенциалами q - распределениями первого порядка сингулярности, считая, что q = ul, где u ∈ L2[0, π], а производная понимается в смысле теории распределений. Пространство таких функций мы будем обозначать 2 [0, π]. Легко видеть, что оба оператора - второго дифференцирования и умножения на потенциал q ∈ W -1 1 -1 2 [0, π] - ограничены как операторы из W2 [0, π] в W2 [0, π], то есть в смысле соболевских пространств действуют «в одну силу»1. Таким образом, мы имеем дело с «предельным» случаем. Примеры, показывающие невозможность определить оператор Штурма-Лиувилля вида (1.1) с произвольным более сингулярным потенциалом, можно найти в [67]. Операторы вида (1.1) были впервые определены в работе [65]. Отметим, что частные случаи, 1 когда q(x) = δa(x) или q(x) = v.p. x , были известны и ранее. Литература, посвященная опе- a о раторам с δ-потенциалами, настольк-обширна, что указать ее всю в нашем коротком введении невозможно. Упомянем лишь классические монографии С. Альбеверио, Ф. Гештези, Р. Хоэг-Крона 1 При этом первый оператор является изоморфизмом (с точностью до двумерного подпространства), а второй компактен. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 375 и Х. Хольдена [93] и С. Альбеверио и П. Курасова [94], где можно познакомиться с данной тео- рией и обширной библиографией. Из последних работ в этой области следует упомянуть статьи М. М. Маламуда и А. Костенко [143, 144]. Отдельно следует сказать о возмущениях типа δl, которые, хотя и похожи на δ-возмущения, но приводят к существенно иным моделям. Литература, посвященная такого рода возмущениям, также весьма обширна, и мы сошлемся лишь на недавнюю работу Дж. Экхарда, А. Костенко, М. Маламуда и Г. Тешля [119], где предложен современный взгляд на тематику и приведена большая библиография. Кроме δ-возмущений, рассматривались и другие конкретные потенциалы. Обычно речь шла о точечных сингулярностях степенного характера (с осцилляцией и без) на концах отрезка или в одной внутренней его точке. Так, исследованию потенциала типа 1 x посвящены работы Дж. Гун- сона [127], П. Курасова [145], Ф. Аткинсона, В. Эверитта и А. Зеттла [95]. Работа [65] инициировала сериюстатей, посвященных операторам вида (1.1). Так, в [66] (а позд- нее в [11]) был найден спектральный след первого порядка для операторов вида (1.1) с потенциалом q = ul, u ∈ BV0[0, π]. Р. О. Гринив и Я. В. Микитюк в [131] изучили оператор Хилла: оператор вида (1.1) на всей оси 2,loc с периодическим потенциалом q ∈ W -1 (в частности, было доказано, что спектр имеет лакунар- ную структуру). Эти исследования были продолжены Е. Коротяевым в [142]. Появились работы В. А. Михайлеца и В. М. Молибоги [153-155]. 2 Затем оператор Хилла с потенциалом q ∈ W -1 весьма детально был изучен Б. Митягиным и П. Джаковым в серии работ [107-109]. Эти исследования естественным образом вовлекли в рас- смотрение вопросы базисности, а также привели к изучениюпериодической обратной спектральной задачи (см. по этому поводу [110, 111]). Наконец, в [116] были изучены периодические задачи в полной шкале пространств Соболева 2 q ∈ W θ, θ ;;: -1. Отметим также недавние работы А. Г. Баскакова и Д. М. Полякова [97, 98], где периодическая задача такого вида изучалась методом подобных операторов. В работе [135] Р. О. Гринива и Я. В. Микитюка на случай операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями была перенесена классическая теория операторов преобразования. Это позволило записать для данного типа операторов Штурма-Лиувилля уравнение Гельфанда- Левитана-Марченко (см. [132-134]), что, в своюочередь, повлекло распространение на операторы с потенциалами-распределениями других результатов и методов теории обратных спектральных задач. Здесь в первуюочередь следует отметить работу Дж. Экхарда, Ф. Гештези, Р. Николса и Г. Теш- ля [120], где обсуждаются результаты, связанные с функцией Вейля-Тичмарша (для классиче- ских операторов Штурма-Лиувилля теория обратных спектральных задач по функции Вейля- Тичмарша и связанный с ней метод спектральных моделей наиболее полно изложен в монографии В. А. Юрко [92]). Случай операторов на всей оси впервые был рассмотрен в [65]. Вопросы обратной задачи рассеяния изучались К. Фреером, Р. О. Гринивым, Я. В. Микитюком и П. А. Перри в [124, 136, 137]. Вопросы, связанные с уравнением Картевега-де Фриза, рассматрива- лись Т. Капеллером, К. Мором и П. Топаловым в [138-140], а затем А. Рыбкиным и С. Грудским в [126, 159]. Мы уже говорили, что начиная с работы [14] возник интерес к весовому оператору Штурма- Лиувилля с весом-распределением. Так же, как обычный оператор Штурма-Лиувилля образует пару Лакса для уравнения Картевега-де Фриза, весовой оператор Штурма-Лиувилля образует пару Лакса для уравнения Камасса-Хольма (см. [106]). Последние результаты по этой теме можно найти в работах [15, 16, 118]. В работе Ж. Бена-Амара и А. А. Шкаликова [99] на случай операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями была перенесена классическая теория Штурма об осцилляции. Изучение операторов порядка n > 2 с коэффициентами-распределениями начались с работы А. А. Владимирова [12] и было затем продолжено Ж. Бен-Амара и А. А. Шкаликовым в [99], 376 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ К. А. Мирзоевым и А. А. Шкаликовым в [48, 49]. В этих работах ключевым для определения оператора стало использование квазипроизводных высоких порядков. В нашей статье мы имеем дело только с одномерными операторами. В многомерном случае операторы с коэффициентами-распределениями изучаются не менее активно. Здесь определяющей оказалась работа М. И. Нейман-заде и А. А. Шкаликова [52], в которой был предложен метод мультипликаторов (и, соответственно, метод теории возмущений) для исследования такого рода операторов. Перечислим работы [3, 96, 150-152], где эти идеи получили существенное развитие. В данной работе мы не только суммируем результаты, полученные в статьях авторов [57-64, 68, 72, 73, 161], но и получаем совершенно новые, ранее не публиковавшиеся результаты. 2 Так, мы проводим спецификациюхарактера убывания остатков в асимптотических формулах для собственных значений, собственных функций и двумерных спектральных проекторов (для слабо регулярного случая) в зависимости от характера потенциала. Здесь мы рассматриваем шкалу пространств Соболева W θ-1[0, π], θ ∈ [0, 1/2). При этом мы доказываем равномерность наших 2 оценок по шарам 1q1W θ-1 � R. Отметим, что оценки такого вида оказались чрезвычайно важными при исследовании обратных спектральных задач, предпринятых в работах [69, 70]. Изучение системы (1.3) мы проводим параллельно с исследованием оператора (1.1). Наш метод базируется на асимптотическом представлении для фундаментальной системы решений системы BY l + PY = λY или, соответственно, уравнения -yll + qy = λ2y. Обрисуем подробнее методы, применяемые при исследовании прямых спектральных задач. За более чем сто лет исследований таких методов разработано достаточно много: теория возмуще- ний, вариационная техника, метод подобных операторов, метод операторов преобразования, метод В. А. Ильина среднего значения. Все результаты этой работы базируются на асимптотических ме- тодах. Теория возмущений имеет абсолютно абстрактную основу и потому применима к любым спектральным задачам. Она одинаково успешно позволяет получать результаты и для операторов в Rn, и для функционально-дифференциальных операторов. Однако, несмотря на существенные последние продвижения (см., например, обзорнуюработу А. А. Шкаликова [91]), в случае обыкно- венных дифференциальных операторов асимптотические методы позволяют получать более точные результаты. В разделе 6 данной работы мы покажем, что спектральное уравнение -yll + q(x)y = λ2y можно свести к системе вида BY l + A(x)Y + 1 C(x)Y = λY. (1.4) λ Это позволит нам проводить изучение операторов (1.1) и (1.3) параллельно. Отметим, что изучение систем вида BY l + A(x)Y + C(x, λ)Y = λY размера n × n является одним из возможных методов исследования спектральных свойств операто- ров высокого порядка с коэффициентами-распределениями. Это отдельная тема, исследования по которой только начинаются (см. [71]). q Метод сжимающих отображений, который мы используем в разделе 6 для получения матрицы фундаментальной системы решений уравнений (1.4), без каких-либо изменений переносится на случай систем порядка n. При этом мы используем круг понятий и методов, которые появились еще в работах Г. Д. Биркгофа [104, 105] и Я. Д. Тамаркина [78, 164-166] (разделение плоскости параметра λ на секторы и т. п.). Конечно, в этих работах коэффициенты предполагались непрерыв- ными или даже гладкими. Потом эти требования многократно ослаблялись (см., например, работы И. М. Раппопорта [53], А. И. Вагабова [8, 9], М. А. Наймарка [51]). По-видимому, наиболее общий на текущий момент случай разобран В. С. Рыхловым в работе [160], где, как и в нашей работе, элементы матрицы V предполагаются абсолютно непрерывными, а элементы матриц A0 и C0 - суммируемыми по Лебегу. Отметим, что статья [160] осталась незамеченной специалистами, и в работе [9] ее результаты были передоказаны, причем при более сильных условиях V ∈ W 1[0, 1], , C ∈ L [0, 1], q > 1, и в более слабой норме 1 · 1 !q , 1/q + 1/ql = 1, вместо 1· 1 ∞ . A0 0 q L L СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 377 Результаты об асимптотическом поведении фундаментальной матрицы решений соответствую- щей системы дифференциальных уравнений образуют своего рода технический фундамент для наших построений. Ключом к использованию этих методов и результатов является переход от дифференциальных выражений высокого порядка к системам. Этот переход основан на понятии квазипроизводных. Данные понятия также являются классическими и возникли еще в работах Д. Шина [86-88]. Они активно применяются в монографии [51] для исследования индексов де- фекта обыкновенных дифференциальных операторов. С той же цельюих использовали А. Зеттл [169], затем К. Бенневиц и В. Эверитт (см. [102, 122]), К. А. Мирзоев [48] и другие. Весьма подробное изложение теории квазипроизводных можно найти в книге Дж. Вайдмана [168] 1987 года. Замечательно то, что эта теория нашла свое применение при исследовании операторов с коэффициентами-распределениями (см. [65]). Мы используем технику квазипроизводных и в нашей работе. Отметим, что метод квазипроизводных - не единственный метод, позволяющий работать с по- тенциалами пространства распределений. Задолго до выхода работы [65] активно изучались опе- раторы с δ-образными потенциалами. В одномерной ситуации такие потенциалы, по-видимому, впервые были описаны М. Г. Крейном [37] и И. С. Кацем [28]. Для работы с δ-образными потен- циалами достаточно методов теории расширений симметрических операторов. Кроме того, такие оператора допускают естественную дискретизацию, после которой мы приходим к теории якобие- вых матриц. Здесь за последние 60 лет разработаны свои достаточно эффективные методы. Другой путь для работы с сингулярными потенциалами был предложен М. Г. Крейном [37], И. С. Кацем [28, 29] и, независимо, В. Феллером в [123]. Этот метод довольно подробно описан в классической монографии [1] Т. Аткинсона (см. также приложение М. Г. Крейна и И. С. Каца в ней). Он основан на идее производных по мере и приводит к рассмотрениюдифференциальных вы- ражений с коэффициентами и весами из класса мер. Хороший исторический обзор по данной теме можно найти в монографии А. Б. Мингарелли [156] 1983 года (см. также работы Х. Лангера [146] и К. Бенневитца [101]). Связь между исследованиями М. Г. Крейна, В. Феллера и Ф. Аткинсона проясняется также в работе Х. Фолькмера [167]. С современным состоянием этой теории можно ознакомиться в недав- ней работе Дж. Экхарда и Г. Тешля [121]. Заметим, что современную постановку задачи Крейна в терминах линейных операторных пучков с коэффициентами-распределениями предложили в [14] и развили затем в [13, 15] А. А. Владимиров и И. А. Шейпак. Эта же постановка (хотя и в несколь- ко другом случае, когда вместо линейных пучков возникают квадратичные) была использована Дж. Экхардом и А. Костенко в [118]. W -1 Продолжая проводить параллель между операторами (1.1) и (1.3), видим, что случай q ∈ 2 [0, π] соответствует для системы Дирака случаю 0 p2(x) P (x) = p3(x) 0 , где p2, p3 ∈ L2[0, π]. При этом общий оператор Штурма-Лиувилля вида (1.2) приводит к потенциалу общего вида p1(x) p2(x) , но вновь p L [0, π], j = 1, 2, 3, 4. P (x) = p3(x) p4(x) j ∈ 2 Таким образом, изучая оператор (1.3) с потенциалом P ∈ L1[0, π] мы работаем в «более сингу- лярном» случае. Здесь мы также проводим спецификацию остатков в асимптотических формулах для собственных значений, собственных функций и двумерных спектральных проекторов (в слабо сингулярном случае). При этом мы рассматриваем различные шкалы: случай и общую ситуацию 1,∞ P ∈ Lp[0, π], p ∈ [1, 2], P ∈ Bθ [0, π], θ ∈ [0, 1] P ∈ B θ p,p! [0, π], p ∈ (1, 2], θ ∈ (0, 1/p). Во всех случаях, кроме p = 1, θ = 0, мы доказываем равномерность наших оценок на шарах 1 1 P Bθ p,p! � R. 378 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Далее мы доказываем базисность Рисса (в случае слабой регулярности - базисность Рисса из двумерных подпространств) системы собственных и присоединенных функций оператора (1.3). Этот факт не является сложным в случае оператора (1.1), а также для оператора Дирака (1.3), если потенциал P принадлежит L2[0, π], так как работает теорема Бари о квадратичной близости базисов. Случай же P ∈/ L2[0, π] оказывается совсем не тривиальным - результаты об обычной базисно- сти были получены здесь практически одновременно в работах [43, 161] (полное доказательство см. в [148]). Случай слабой регулярности был позднее разобран в [63]. Для системы (1.3) (по сравнениюс (1.1)) мы получаем дополнительные результаты. В разделе 14 мы рассматриваем задачу равносходимости спектральных разложений, а в разделе 15 - вопросы базисности системы собственных и присоединенных функций оператора Дирака в различных про- странствах, отличных от L2[0, π]. Отметим, что случай суммируемого (лишь суммируемого) по- тенциала P гораздо меньше представлен в литературе. Так, в недавних работах А. П. Хромова, В. В. Корнева, В. П. Курдюмова и М. Ш. Бурлуцкой [6, 7, 34], потенциал предполагается непрерыв- ным. Кроме уже упомянутых статей П. Джакова и Б. Митягина, где P ∈ L2, и В. С. Рыхлова, надо упомянуть работы М. М. Маламуда, Л. Л. Оридороги [149] и А. А. Лунева [147, 148], где для систем достаточно общего вида (1.4) был рассмотрен случай A ∈ L1. Кроме вопросов базисности, мы изучаем в этой работе равносходимость спектральных разложе- ний. В случае конечного отрезка эти разложения имеют вид m Sm(f ) = ,(f, zn)yn(x), где {yn} - система собственных и присоединенных функций оператора, а {zn} - биортогональная к ней система. Если оператор задан на бесконечном интервале, то спектральное разложение имеет вид r Sλ(f ) = R θ(x, y, λ)f (y)dy, где θ(x, y, λ) - спектральная функция оператора. Задачи сходимости спектральных разложений не только аккумулируют вопросы асимптотиче- ского поведения собственных значений, собственных функций, резольвенты и спектральной меры операторов, но также очень важны для построения соответствующих полугрупп и изучения их устойчивости, асимптотического поведения и т. д. В работе В. А. Стеклова [77] 1909 года, по-видимому, впервые было отмечено, что изучение сходимости спектральных разложений для оператора на конечном интервале можно свести к изу- чению сходимости тригонометрических рядов при наличии теорем равносходимости. А именно, в статьях В. А. Стеклова [77, 162], а также в работах его ученика Я. Д. Тамаркина [164, 165] было показано, что m Sm(f, x) - S0 (f, x) → 0 при m → ∞ m поточечно, равномерно на произвольном компакте внутри интервала или равномерно на всем ин- тервале (в зависимости от краевых условий и свойств функции f ), где S0 (f, x) - частичная сумма разложения функции f по подходящей тригонометрической системе. Параллельно те же вопросы изучались в работах А. Хаара [128, 129] и Е. В. Хобсона [130]. Несколькими годами позже, в работах Я. Д. Тамаркина [78, 166] и М. Стоуна [163] эти результаты были перенесены на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокого поряд- ка (таким образом, и на случай обыкновенных дифференциальных уравнений порядка n > 2). При этом авторы рассматривали случай произвольных регулярных по Биркгофу краевых условий. Основным методом исследования были теоремы об асимптотическом поведении фундаментальной системы решений, полученные Г. Д. Биркгофом в работах [104, 105]. Еще раз отметим, что вначале рассматривались вопросы поточечной или равномерной равносхо- димости, а операторы были заданы на конечных интервалах. Случай бесконечного интервала име- ет, конечно же, свою специфику. Для случая всей оси В. А. Ильиным и И. Антониу (см. [24-26]) рассматривались вопросы равносходимости на всей оси (в отличие от работ В. А. Марченко [46, 47] и Б. С. Левитана [38, 39], где равносходимость изучалась на компактных подмножествах оси). СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 379 Новый импульс тематика получила в 1960-х годах в связи с появлением в работах Н. Дан- форда [117], В. П. Михайлова [50] и Г. М. Кесельмана [32] нового понятия - базисности Рисса (или безусловной базисности). Теперь кроме равномерной нормы стали рассматривать норму про- странства L2, а кроме условной сходимости разложений - безусловную. Вообще, начиная с этого времени, количество статей, посвященных теме равносходимости, столь велико, что даже их крат- кий обзор потребовал бы нескольких десятков страниц, а потому ограничимся упоминанием только направлений исследований и отдельных наиболее знаковых работ. Так, довольно подробно изучались различия между равносходимостьюна любом компакте отрез- ка и на всем отрезке. Здесь значительный вклад был сделан Саратовской математической школой, в частности, отметим работы А. П. Хромова [83, 85] 1966 и 1975 годов. Вопросы равносходимости на компактах внутри интервала подробно изучались также школой В. А. Ильина, см., например, его работы [21-23] и работу его ученика И. С. Ломова [42]. Изучались вопросы равносходимости для операторов с более общими, нежели регулярные по Биркгофу, условиями. Так, например, в работах А. П. Хромова [82] и Х. Бенцингера [103] для опе- раторов высокого порядка был введен более широкий класс S-регулярных (регулярных по Стоуну) краевых условий. При отсутствии обычной суммируемости спектральных разложений Б. В. Лид- ским [41] был предложен метод, позволяющий проводить их суммирование методом Абеля подхо- дящего порядка (см. также [35, 84]). В работах А. А. Шкаликова [89, 90] изучались вопросы безусловной базисности, а также без- условной базисности со скобками системы корневых векторов при регулярных, но не сильно ре- гулярных краевых условиях. Этой проблеме - поиску условий на потенциал, гарантирующих ба- зисность Рисса без скобок в случае регулярных, но не сильно регулярных краевых условий (в частности, периодических и антипериодических условий), посвящены многие работы. Отметим здесь недавние статьи А. С. Макина [44], П. Джакова и Б. С. Митягина [111], А. А. Шкаликова и О. А. Велиева [10]. В работах В. С. Рыхлова [55, 56] изучалась связь между классом гладкости потенциала q и классом гладкости раскладываемой функции f, гарантирующая наличие равномерной на компактах равносходимости (кроме того, были даны оценки скорости равносходимости). Вообще, вопросы скорости равносходимости в зависимости от номера частичной суммы изучались в статьях многих авторов. d2 Помимо возмущения потенциалом q(x) оператора - dx2 , изучались более общие функционально- дифференциальные возмущения. Отметим здесь работы А. М. Гомилко и Г. В. Радзиевского [18, 158]. Заметим, что в этих работах, а также в работе А. Г. Баскакова и Т. К. Кацаряна [2], изучается безусловная равносходимость. Отдельной темой стало изучение задач с нелокальными краевыми условиями (см., например, работу [76] и библиографию в ней). Обзор этих и других классических результатов по теме равносходимости можно найти в по- дробной работе А. М. Минкина [157] 1999 года. В работах П. Джакова и Б. Митягина [113, 115] равномерная равносходимость была доказана уже для любых регулярных краевых условий, но только при дополнительном условии Колмогорова- Селиверстова-Плесснера1 на функцию f или на функцию u - первообразную потенциала q. Кратко остановимся на структуре статьи, параллельно отмечая основные элементы новизны этой нашей работы в сравнении с предшествующими. Первые 4 раздела имеют подготовительный характер. В разделе 2 мы даем определение опера- тора вида (1.2) с регулярными краевыми условиями и доказываем теорему о подобии оператору вида (1.1). Хотя вид оператора, осуществляющего подобие, известен, наше утверждение является новым, поскольку мы работаем с коэффициентами-распределениями. В третьем разделе мы вво- дим оператор Дирака с суммируемым потенциалом, и показываем, как можно перейти к случаю внедиагональной матрицы P. Четвертый и пятый разделы посвящены изучению невозмущенных операторов Штурма-Лиувилля и Дирака (когда q ≡ P ≡ 0). Результаты этих двух разделов, в основном, хорошо известны. Тем не менее, нам приходится выводить оценки на норму резольвенты 1 Функция f удовлетворяет условию Колмогорова-Селиверстова-Плесснера, если ее коэффициенты Фурье {fn } 2 суммируемы с логарифмическим весом: ), |fn | ln(|n| + 1) < ∞. n∈Z 380 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ p → 1(LP,U - λI)-11L монографии. Lq , поскольку в случае p, q ⊕= 2 мы затрудняемся дать ссылку на классические Ключевым для дальнейших исследований является шестой раздел работы, где мы находим асимптотическое поведение фундаментальной матрицы решений системы (1.4) при больших зна- чениях комплексного спектрального параметра λ. Уже беглый взгляд на систему (1.4) позволяет сделать вывод, что главными членами асимптотики должны быть функции вида exp{iλx}, асимп- тотическое поведение которых (рост, убывание или осцилляция) определяется знаком величины Re(iλ). Отсюда видим, что асимптотику функции Y(x, λ) надо искать в полуплоскостях Im λ > 0 и Im λ < 0 в комплексной плоскости. При этом в полуплоскости будет наблюдаться либо экс- поненциальный рост, либо экспоненциальное убывание решений. Осцилляция возникает лишь в горизонтальной полосе комплексной плоскости. Ясно, что задачи об асимптотическом поведении собственных значений, собственных функций и т. д. операторов Lq,U и LP,U требуют знания асимптотики Y(x, λ) именно в этих полосах. В силу этих причин мы не можем использовать ре- зультаты недавней работы М. М. Маламуда и Л. Л. Оридороги [149], в которой изучались системы вида (1.4) c C(x, λ) = 0, но асимптотические представления были получены в «суженных» сек- торах | arg λ| ∈ (ε, π - ε), ε > 0. Такие секторы не покрывают всю комплексную плоскость, и получить информацию о поведении решений в критических полуполосах из результатов [149] не удается. Результаты работы [160], в которой найдено асимптотическое поведение функции Y(x, λ) в замкнутых полуплоскостях | arg λ| ∈ [0, π], также оказались недостаточными для наших нужд. Мы работаем в расширенных полуплоскостях Im λ > -r и Im λ < r для произвольного r > 0, что позволяет затем легко перейти к изучению поведения Y(x, λ) в полосах | Im λ| < r. Крайне важными являются и результаты раздела 7. Суть заключается в выборе функций Υ(λ), которые оценивают остаточные члены в асимптотических представлениях для Y(x, λ), и в тех оценках, которые можно получить на Υ(λ) в зависимости от гладкости элементов матрицы A(x). Используя тонкие результаты типа теоремы Карлесона-Ханта об ограниченности максимального оператора Карлесона в пространствах Lp и в весовых пространствах Lp(w) с весом из классов Макенхаупта, нам удается исследовать различные шкалы пространств. Мы рассматриваем случаи 1,∞ aij ∈ Lp, p ∈ [1, 2]; aij ∈ Bθ p,p! , θ ∈ (0, 1]; и aij ∈ Bθ , p ∈ [1, 2], θ ∈ (0, 1/p) (пространства Бесова). Очень важно еще и то, что константы в наших оценках оказываются равномерными на шарах 1aij 1p � R и 1aij 1p,θ � R (за исключением предельного случая p = 1, θ = 0). Оценки раздела 7 являются абсолютно новыми и позволяют нам существенно усилить результа- ты об асимптотике собственных значений и собственных функций (в сильно регулярном случае). Эти результаты мы приводим в разделе 8 (для оператора Штурма-Лиувилля) и разделе 9 (для системы Дирака). Далее мы намечаем следующую цель - теоремы о базисности системы собственных и присо- единенных функций и равносходимости спектральных разложений. Поскольку суть нашего метода заключена в интегрировании резольвенты, нам необходимы оценки ее нормы. Мы получаем эти оценки в разделе 10 (для системы Дирака) и 11 (для оператора Штурма-Лиувилля). Теоремы раздела 10 повторяют работу [73], но с одним важным усилением: нам удается доказать равномер- ность констант и ширины полосы | Im λ| < r от нормы потенциала. В этих же разделах мы вводим результаты об асимптотическом поведении двумерных спектральных проекторов для случая сла- бо регулярных краевых условий. Как и в сильно регулярном случае, нам удается показать, что константы в этих оценках зависят только от краевых условий и нормы потенциала. В разделе 12 мы доказываем базисность Рисса (в сильно регулярном случае) и базисность Рисса из подпространств (в слабо регулярном случае). Эти результаты уже были нами представлены в работах [63, 161]. Раздел 13 посвящен вопросам равномерности константы Рисса базиса из корневых функций оператора Дирака LP,U . Мы рассматриваем два случая и доказываем равномерность по компактам в L1[0, π] и равномерность по шарам в Lκ [0, π] при κ > 1. Эти результаты частично повторяют работы [60, 64]. Вопросы равносходимости спектральных разложений для оператора Дирака мы изучаем в раз- деле 14. Мы ставим вопрос в общем виде, изучая тройки пространств f ∈ Lμ (пространство m раскладываемых функций), P ∈ Lκ (пространство потенциалов) и Sm - S0 → 0 в норме Lν. В изложении мы следуем работе [73]. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 381 Завершает работу раздел, где мы доказываем базисность системы корневых функций оператора Дирака в различных пространствах, отличных от H = (L2[0, π])2. Здесь мы имеем дело со шка- лой пространств Соболева Hθ , θ ∈ (0, 1], шкалой Lp, p ⊕= 2, и шкалой пространств Бесова Bθ , U [1, ∞ p,q ). Для оператора Штурма-Лиувилля в этой работе мы не дока- 2 зываем результаты о равносходимости и, соответственно, о базисности в других пространствах. Частично эти результаты уже получены авторами (см. [74, 75]), но они требуют дополнительных рассуждений и будут представлены в отдельной работе. Отметим лишь, что еще в [72] была дока- зана равномерная равносходимость в случае f ∈ L2[0, π] и q ∈ W -1[0, π], но только для краевых условий Дирихле. В приложения вынесены необходимые нам факты, которые не являются общеизвестными. В основном они связаны с теорией интерполяции. Там же помещены некоторые теоремы о базисах Рисса. В целом работа носит обзорный характер. В том числе, в ней представлены результаты, полу- ченные авторами совместно с А. А. Шкаликовым в работах [68, 70, 71]. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ-РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ Наиболее общим видом линейного дифференциального выражения второго порядка является l(y) = τ02yll + (τ11yl)l + (τ20y)ll + τ01yl + (τ10y)l + τ00y. (2.1) Функции τjk здесь предполагаются регулярными или обобщенными функциями - точные условия на коэффициенты появятся ниже. Сразу же заметим, что, раскрывая надлежащим образом скобки, это дифференциальное выражение можно привести к виду f(y) = -(τ1yl)l + i(σy)l + iσyl + τ0y, (2.2) если положить ⎧ ⎪⎨τ1 = -τ02 - τ11 - τ20, 20 - τ 2iσ = τ l 02 l + τ01 + τ10, 20 ⎪⎩2τ0 = τ ll + τ + τ ll l 02 10 - τ 01 l + 2τ00 (все производные понимаются в смысле распределений). Далее мы будем работать с дифферен- циальными выражениями, записанными именно в таком виде. Причины такого выбора состоят в следующем. Прежде всего, выражение (2.2) однозначно определяется функциями τ1, σ и τ0. Пре- имущество записи (2.2) перед такими, например, как p0yll + p1yl + p2y, в том, что наше выражение является формально симметрическим в L2 при вещественных τ1, σ и τ0. В этой работе мы будем иметь дело только с конечным отрезком [a, b] × x. Что касается условий на коэффициенты, то мы потребуем τ1 ∈ H1[a, b], σ ∈ L2[a, b] = H[a, b], τ0 ∈ H-1[a, b], (2.3) τ1(x) > 0, где H1[a, b] - классическое пространство Соболева функций с квадратично суммируемой произ- водной, а H-1[a, b] - симметричное к H1[a, b] относительно L2[a, b] пространство. Более точно, мы предполагаем, что τ0 = T l, где T ∈ L2[a, b], т. е. что τ0 есть функционал на H1[a, b], определенный равенством b r (τ0, ϕ) = - a T (x)ϕl(x) dx, ϕ ∈ H1[a, b]. Выбор пространств в условиях (2.3) продиктован нашим желанием построить корректно опреде- ленный оператор L из H1 в H-1. Сужая его затем на область D = L-1(H), мы получим корректно определенный неограниченный оператор в H = L2[a, b]. Учитывая, что (τ0f, g) = -(T , (fg)l) и ((σf )l, g) = -(σ, fgl), выбранный нами класс функций для τ0 и σ является «максимально сингулярным», поскольку для f, g ∈ H1 имеем: (fg)l, fgl ∈ H. Условия τ1 ∈ H1, τ1(x) > 0 могут показаться при таком подходе чересчур ограничительными: ∞ для корректной определенности оператора L из H1 в H-1 достаточно потребовать τ1 ∈ L [a, b]. 382 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Оказывается, однако, что отказ от требования τ1 ∈ H1 приводит к оператору, спектральные свой- ства которого весьма далеки от свойств оператора -yll. Поскольку цель настоящей работы - перенести основные спектральные свойства (асимптотика собственных значений, базисность Рисса системы собственных и присоединенных функций, рав- носходимость спектральных разложений и т. д.) на весь класс операторов, то мы ограничимся рассмотрением положительных функций τ1 ∈ H1. Отметим еще, что поскольку H1[a, b] ⊂ C[a, b], то условие τ1 > 0 фактически означает τ1(x) ;;: τmin > 0. Заметим, что для выражений общего вида (2.1) условия на коэффициенты вида τjk ∈ H-1+min{j,k}, τ02 > 0 приводят к тому же классу дифференциальных выражений. Определение 2.1. Определим максимальный оператор LM , порожденный дифференциальным выражением l(z) на области определения 1 D(LM ) = {z | z, z[1] ∈ W 1[a, b], l(z) ∈ L2[a, b]}, где τ 2 l(z) = -(z[1])l + iσ - T z[1] - σ 1 z[1] = τ1zl - (T + iσ)z + T 2 z, τ1 - первая квазипроизводная, T l = τ0. Минимальный оператор Lm определим как сужение опера- тора LM на область 1 D(Lm) = {z | z, z[1] ∈ W 1[a, b], l(z) ∈ L2[a, b], z(a) = z[1](a) = z(b) = z[1](b) = 0}. 1 Замечание 2.1. Поскольку z ∈ W 1[a, b], то функция (T + iσ)z попадает в пространство L2[a, b], 1 а значит, условие z[1] ∈ W1 [a, b] влечет τ1zl ∈ L2[a, b]. Учитывая, что функция 1/τ1 ограничена, 2 получаем zl ∈ L2[a, b], т. е. z ∈ W 1[a, b]. Определение 2.2. Назовем выражение f∗(z) = -(τ 1zl)l + i(σz)l + iσzl + τ 0z формально сопряженным к выражению f. Соответствующие максимальный и минимальный опе- раторы обозначим L∗,M и L∗,m. Утверждение 2.1 (формула Лагранжа). Для любых функций f ∈ D(LM ), g ∈ D(L∗,M ) спра- ведливо тождество где b (LM f, g) = (f, L∗,M g) + [f, g]a, (2.4) [f, g]b = τ1(fgl - f lg) b + 2iσf g b . a a a Доказательство. Равенство (2.4) получается интегрированием по частям b a (f(f ), g) = (-τ1f l + (T + iσ)f )g b + a (f, f∗(g)) = (-τ1gl + (T - iσ)g)f b + Остается вычесть из первого равенства второе. В частности, отсюда следует равенство r (τ1f l - (T + iσ)f )gl + (iσ - T )f lg dx, a b r (τ1gl + (iσ - T )g)f l - (iσ + T )glf dx. a (LM f, g) = (f, L∗,mg), ∀f ∈ D(LM ), g ∈ D(L∗,m). Теперь докажем теорему существования и единственности для системы n × n yl = T(x)y + f (x) СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 383 с начальным условием y(ξ) = y0 и суммируемыми вектор-функцией f (x) и матрицей-функцией T(x). Эта теорема, конечно, хорошо известна (хотя обычно требуют непрерывность f (x) и T(x)). Нам здесь будут нужны, в первуюочередь, оценки на норму решения и норму разности решений при варьировании ξ, f и T. Для удобства будем рассматривать отрезок [0, 1]. Положим r n 1 1y1AC := , r n 1 j |yj (x)| + |yl (x)| dx, 1y1ξ := , |yj (ξ)| + j |yl (x)| dx, j=1 0 j=1 0 ⎛ n 1 ⎞1/p 1�j�n 1y1C = 1y1L∞ := max |yj (x)|, 1y1Lp = ⎝ x∈[0, 1] , r j=1 0 p |yj (x)| dx⎠ и сразу же заметим, что 1y1AC � 21y1ξ для любого ξ ∈ [0, 1] и 1y1C � 1y1AC . Для фиксированного вектора y положим | | | | y := max yj . 1�j�n Введем обозначения | | | | f (x) := max fj (x) 1�j�n для произвольной вектор-функции f (x) и n | | | | T(x) = max , tjk(x) 1�j�n для произвольной матрицы-функции T(x). k=1 Для краткости будем писать f ∈ L1[0, 1] или T ∈ L1[0, 1] в том смысле, что все fj (x) ∈ L1[0, 1] или tjk(x) ∈ L1[0, 1]. Определим также матричные нормы 1 n ⎛ n 1 ⎞ p r p 1 1 1T(x)1Lp = , ⎝, |tjk(x)| dx⎠ , T(x) C = max 1�j, k�n |tjk(x)|, j=1 k=1 0 1T(x)1AC = 1T(x)1L1 + 1Tl(x)1L1 . Теорема 2.I. Пусть матрица T системы zl = T(x)z + f (x), x ∈ [0, 1], z(ξ) = z0, f ∈ L1[0, 1] (2.5) размера n×n лежит в L1[0, 1]. Тогда система (2.5) имеет единственное решение z(x) ∈ AC[0, 1]. При этом где 1z1AC � (1 + 4τ eτ )1g1AC , |z(x)| � eτ (x)1g1C , (2.6) x x r τ (x) = r | | 0 T(t) dt , τ = max τ (x), g(x) = z + f (t) dt. x∈[0, 1] ξ ξ Доказательство. Запишем систему (2.5) в интегральном виде x r z(x) = g(x)+ (Tz)(x), где (Tz)(x) = T(t)z(t) dt и, прежде всего, докажем оценку l |(Tlz)(x)| � τ (x) 1z1 ξ , l ;;: 1. (2.7) Легко видеть, что l! C |(Tz)(x)| � τ (x)1z1C . Далее проведем доказательство по индукции. Пусть оценка уже получена для l - 1, тогда 384 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ x x r |(Tl z)(x)| � r |T(t)| · |(Tl-1z)(t)| dt � 1z1C |T(t)| τ l-1(t) dt = ξ ξ (l - 1)! x и оценка (2.7) доказана. Отсюда следует другая оценка: r = 1z1C ξ τ l-1(t) (l - 1)! ) dτ (t = τ l(x) l! 1z1C , 1 r 1Tl z1AC � 21Tl z1ξ � 2 0 1 r |T(x)| · |(Tl-1z)(x)| dx � 21z1C 0 |T(x)| τ l-1(x) (l - 1)! dx � 4τl (l - 1)! 1z1C . В частности, 1Tl1AC � 4τl (l - 1)! . (2.8) Теперь решение уравнения (2.5) мы можем записать в виде ряда ∞ z(x) = ,(Tlg)(x), (2.9) l=0 причем в силу (2.7) и (2.8) этот ряд сходится и в каждой точке x ∈ [0, 1], и по норме пространства AC[0, 1]. При этом ∞ ∞ τ l(x) l! |z(x)| � , |(Tlg)(x)| � 1g1C , � eτ (x)1g1C , l=0 ∞ l=0 ( ∞ τ l \ 1z1AC � , 1Tlg1AC � 1g1AC 1+4 , (l - 1)! = 1g1AC(1 + 4τ eτ ). l=0 l=1 z Единственность решения доказывается классически: если z и � - два решения системы (2.5), то z) = ··· = Tl(z - z), z = T(z - � � z откуда z - � = 0, поскольку оператор Tl является сжатием в пространстве AC[0, 1] при достаточно большом l. Замечание 2.2. При фиксированных ξ, z0 и f ∈ L1[0, 1] решение уравнения (2.5) непрерывно зависит от матрицы T ∈ L1[0, 1] в следующем смысле. z Если � - решение начальной задачи (2.5) с теми же ξ, z0 и f , но с другой матрицей T�, то τ τ � 1z - z1AC � 21T - T�1L1 (1 + 4τe )e 1g1AC . (2.10) z( Доказательство. Положим u(x) = z(x) - � x). Эта функция абсолютно непрерывна, равна нулю в точке ξ и удовлетворяет уравнению � ul = T(x)u + (T(x) - T�(x))z(x). Согласно (2.6), 1 1 x 1 r 1u1AC � (1 + 4τ eτ ) 1 1 1 1 (T(t) - T�(t))z(t) dt1 � 1 � 1 1 1 1 ξ 1AC 1 1 x 1 1 1 1 � 2(1 + 4τ eτ ) 1r (T(t) 1 T(t))z(t) dt1 r = 2(1 + 4τ eτ ) (T(x) T(x))z(x) dx � 1 - � � 1 1 1 1 ξ 1ξ - � � 0 τ � 2(1 + 4τ eτ )1T - T� 1L 1z1C � 21T - T�1L (1 + 4τ eτ )e 1g1AC. 1 � 1 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 385 Замечание 2.3. Пусть матрица T, функция f и начальное значение z0 зависят от параметра λ, меняющегося в области D ⊂ C. j Предположим, что функции z0(λ) и отображения λ 1→ fj (·, λ), λ 1→ tjk(·, λ) из D в L1[0, 1], 1 � j, k � n, голоморфны по λ. Тогда и решение (2.5), отображение λ 1→ z(·, λ) из D в (AC[0, 1])n , голоморфно по λ ∈ D. Доказательство. Голоморфность функции g(·, λ) в (AC[0, 1])n следует из представления r g(·, λ) = z0(λ)+ f (·, λ). Голоморфность функции (Tg)(·, λ) следует из определения оператора T. Голоморфность функций (Tmg)(·, λ) устанавливается по индукции. Поскольку функция τ (λ) непрерывна по λ ∈ D, то она ограничена на каждом компакте. Тогда оценки (2.8) гарантиру- ют равномерную на этом компакте сходимость ряда (2.9). Теперь голоморфность функции z(·, λ) следует из теоремы Вейерштрасса1. Вернемся к оператору второго порядка. Заметим, что уравнение f(z) - λz = f легко сводится к системе двух уравнений первого порядка ⎛ ⎛z1⎞l ⎜ T + iσ τ1 ⎛ ⎞ 1 ⎞ τ1 ⎟ z1 ⎛ 0 ⎞ = ⎜ ⎝ ⎠ ⎜ z2 σ + T ⎟ ⎝ iσ - T ⎟ z2 ⎠ + ⎝ ⎠ -f ⎝ 2 2 ⎠ τ τ -λ - 1 1 заменой z1 = z, z2 = z[1]. Важно то, что все элементы матрицы суммируемы на [a, b], а значит, к этой системе применима теорема 2.I. Напомним, что оператор F, действующий в гильбертовом (или банаховом) пространстве H, называется фредгольмовым, если его область определения плотна в H, образ замкнут, а дефектные числа {α, β}, равные размерностям ядра и коядра, конечны. Утверждение 2.2. При любом λ ∈ C оба оператора LM - λI и Lm - λI фредгольмовы с дефектными числами {2, 0} и {0, 2} соответственно. Доказательство. Согласно формуле Лагранжа, достаточно провести доказательство для операто- ра LM . Из теоремы 2.I следует, что его образ равен L2[a, b], а ядро двумерно. Для доказательства плотности D(LM ) проведем следующее рассуждение. Возьмем произвольную функцию f ∈ L2[a, b], приблизим ее с точностью ε функцией f1 ∈ W 1 1 [a, b]. Вычислим квазипроизводную g1 = f [1] 1 ∈ L1[a, b], 1 приблизим ее функцией g2 ∈ W 1[a, b] так, что 1g2 - g11L1 < δ. Пользуясь теоремой 2.I, найдем функцию f2 ∈ W 1[a, b] такую, что f [1] = g2 и f2(a) = f1(a). Уменьшая δ, добьемся 1 2 1 1f2 - f11W 1 < ε. Теперь применим к f2 выражение f - λ и обозначим f(f2)λf2 = h2 ∈ L1[a, b]. Приблизим h2 функцией h3 ∈ L2[a, b] так, что 1h2 - h31L1 < δ. 1 Мы даем здесь краткое доказательство, подробности см., например, в [5, глава 12]. 386 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Пользуясь теоремой 2.I, найдем функцию f3 ∈ D(LM ) такую, что (Lm - λI)f3 = h3 и f3(a) = f2(a), f [1] [1] 3 (a) = f2 (a). 1 Уменьшая δ, добьемся 1f3 - f21W 1 < ε. Тогда 1f3 - f 1L2 < 3ε. Из доказанного утверждения следует, что любой оператор L, для которого Lm ⊂ L ⊂ LM , с непустым резольвентным множеством, обязан иметь область определения 1 D(L) = {z | z, z[1] ∈ W 1[a, b], l(z) ∈ L2[a, b], U1(z) = U2(z) = 0}, (2.11) где Uj, j = 1, 2, - пара линейно независимых линейных форм от z(a), z(b), z[1](a) и z[1](b), т. е. Uj (z) = aj1z(a)+ aj2z[1](a)+ bj1z(b)+ bj2z[1](b), j = 1, 2. Рассмотрим матрицу размера 2 × 4 краевых условий a11 a12 b11 b12 . U = (A B) = a21 a22 b21 b22 Следуя классическим работам, выделим класс регулярных по Биркгофу краевых условий. Определение 2.3. Обозначим через Jαβ определитель, составленный из столбцов матрицы U с номерами α и β. Краевые условия U называются регулярными по Биркгофу, если выполнено одно из следующих условий: 1) J24 ⊕= 0; 2) J24 = 0, но !τ1(b)J14 + !τ1(a)J32 ⊕= 0; 3) a12 = b12 = a22 = b22 = 0, а a11b21 - b11a21 ⊕= 0 (условия Дирихле). Естественно, линейные преобразования строк матрицы U не меняют краевых условий. Пользуясь этим, вид матрицы можно упростить - это пригодится нам в дальнейшем. a11 1 b11 a21 0 b21 Утверждение 2.3. В случае 1) матрица краевых условий приводится к виду 0 1 . (2.12) В случае 2) матрица приводится к одному из следующих видов a11 a12 b11 1 или a11 1 b11 b12 , (2.13) 1 0 b21 0 ( τ1(b) a21 0 1 0 ( τ1(a) где в первом варианте a12b21 ⊕= - τ (a) , а во втором a21b12 ⊕= - 1 . τ1(b) В случае 3) матрица приводится к виду 1 0 0 0 0 0 1 0 . (2.14) Доказательство. Рассмотрим матрицу J = a12 b12 . a22 b22 В первом случае ее ранг равен двум, а в третьем нулю. Тогда во втором случае ее ранг равен единице. Если ранг равен двум, то домножая матрицу U на J -1, придем к виду (2.12). В третьем a11 b11 -1 случае домножим U на a21 b21 и получим вид (2.14). Остается разобраться со случаем 2). Так как здесь ранг матрицы J равен одному, то линейным преобразованием можем получить a11 a12 b11 b12 . U = a21 0 b21 0 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 387 Возможны два случая: b12 ⊕= 0 или b12 = 0. В первом случае поделим первую строку на b12. Возможны вновь два подслучая: a21 ⊕= 0 или a21 = 0. В первом подслучае поделим вторую строку на a21 и получим первый вариант в (2.13). При этом J14 + ( τ1(a) 32 - - J = 1 τ1(b) ( τ1(a) τ (b) a12b21 ⊕= 0. 1 Если же a21 = 0, то b21 ⊕= 0. Поделим вторую строку на b21 и получим a11 a12 b11 1 . ( τ1(a) U = 0 0 1 0 Поскольку J14 + τ (b) J32 ⊕= 0, то видим, что a12 ⊕= 0. Тогда деление первой строки на a12 1 приводит матрицу к частному случаю второго вида в (2.13). При этом a21b12 = 0 ⊕= - Неразобранным остался еще случай b12 = 0, т. е. a11 a12 b11 0 . ( τ1(a) . τ1(b) Здесь U = ( τ1(a) a21 0 b21 0 ( τ1(a) J14 + 32 - J = τ1(b) τ (b) a12b21 ⊕= 0, 1 т. е. оба числа a12 и b21 отличны от нуля. Тогда деление первой строки на a12, а второй на b21 приводит матрицу к виду a11 1 b11 a21 0 1 0 U = 0 , что является частным случаем второго варианта в (2.13). При этом a21b12 = 0 ⊕= - Утверждение 2.4. Оператор L порождает на D(L) билинейную форму ( τ1(a) . τ1(b) b r l[f, g] = a b r τ1(x)f lgl dx + i a b r σ(x)(f lg - fgl) dx - a T (x)(fg)l dx + t[f, g], где вид терминальной формы t зависит от краевых условий. А именно, в случае 1) t[f, g] = h1f (b)g(b)+ h2f (a)g(b)+ h3f (b)g(a)+ h4f (a)g(a) для некоторых hj ∈ C, а в случае 3) t[f, g] ≡ 0. В случае 2) возможны два варианта: t[f, g] = h0f [1](a)g(b)+ h1f (b)g(b)+ h2f (a)g(b) или t[f, g] = h0f [1](b)g(a)+ h3f (b)g(a)+ h4f (a)g(a). Доказательство. В выражении (l(f ), g) проведем интегрирование по частям. Получим b r l[f, g] = a a f [1]gl dx - f [1]g b + b b b r r (iσ - T )f lg dx + a a b T 2 + σ2 τ1 b fg dx- b r σ2 + T 2 r fg dx = τ1f lgl dx - f [1]g b + i r r σ(f lg - fgl) dx - T (f lg + fgl) dx. - τ1 a a a a a Вид формы t[f, g] получается непосредственно из вида краевых условий (2.12), (2.13) или (2.14). 388 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Замечание 2.4. При выборе функционального класса τ0 мы ограничились пространством функ- ций из H-1[a, b], которые являются обобщенными производными функций из L2[a, b]. Все простран- ство H-1[a, b] при этом шире: мы можем рассмотреть в качестве τ0 произвольный функционал вида b r (τ0f, g) = - a T (x)(fg)l dx + haf (a)g(a)+ hbf (b)g(b). Оказывается, однако, что такое обобщение не меняет класса операторов. Действительно, добавле- ние в форму l[f, g] двух новых слагаемых приводит просто к изменениюматрицы краевых условий. В случае 1) новая матрица примет вид 1 - ha 1 b11 a21 0 b21 + a1 U = 0 hb 1 . В двух подслучаях в 2), соответственно, a11 + hb + b2 ha a12 b11 1 или a11 + ha + a2 hb 1 b11 b12 U = 1 21 0 b21 0 = 21 U a21 0 1 0 . Наконец, в случае 3) новые добавки вообще не меняют формы t, оставляя ее нулевой. Во всех трех случаях мы не выходим за пределы класса регулярных по Биркгофу операторов. Остается заметить, что связь между оператором L и его билинейной формой взаимно одно- значна. Первая часть этого утверждения (оператор L однозначно порождает форму l) очевидна, а вторая следует из первой теоремы о представлении (см., например, [27]). Необходимо, правда, проверить применимость этой теоремы, т. е. надо доказать, что все регулярные по Биркгофу опе- раторы L вида (2.11) плотно определены, замкнуты и m-секториальны. Это будет проделано далее, что и даст полное оправдание нашего выбора функционального класса для коэффициента τ0. Напомним, что если два оператора A1 и A2 в гильбертовом пространстве с плотными областями определения подобны, т. е. существует такой ограниченный и ограниченно обратимый оператор T, что A2 = T -1A1T, а D(A2) = T -1D(A1), то из замкнутости одного оператора следует замкнутость другого. Подобные операторы имеют одинаковый спектр, в частности, если спектр оператора A1 состоит из собственных значений σ(A1) = {λn}, то и σ(A2) = {λn}, причем кратности этих собственных значений для A1 и A2 совпадают. Если {en} - система собственных и присоединенных векторов оператора A1, то {T -1en} - си- стема собственных и присоединенных векторов оператора A2. Отсюда следует, что эти системы обладают одинаковыми геометрическими свойствами (полнота, минимальность, базисность Рисса, базисность Рисса со скобками и т. д.). Утверждение 2.5. Оператор L, определенный в (2.11) на функциях z(ξ) переменной ξ ∈ [a, b], подобен оператору L�, порожденному в пространстве L2[0, c] дифференциальным выражением �l(y) = -yll(x)+ q(x)y(x) := -(y[1](x))l - u(x)y[1](x) - u2(x)y(x) и краевыми условиями заменой U� = (A�, B�). Здесь x - новая независимая переменная, связанная с ξ ξ r x = ω(ξ) = a 1 τ -1/2(t) dt, c = ω(b), y[1](x) = yl(x) - u(x)y(x), d2 d 2 2 q(x) = ul(x) = dξ2 τ1(ξ) ( dξ τ1(ξ)) o (ξ) + τ (ξ). (2.15) 4 - 16τ1(ξ) - τ1(ξ) 0 Подобие L� = W -1LW осуществляется ограниченным и ограниченно обратимым оператором z = W y, W : L2[0, c] → L2[a, b], СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 389 ξ eis(ξ) r 1 z(ξ) = y(ω(ξ)) · !4 τ (ξ) , s(ξ) = a σ(t) dt. (2.16) τ1(t) При этом условия τ1 ∈ H1[a, b], τ1(ξ) > 0, σ ∈ L2[a, b], τ0 ∈ H-1[a, b] влекут q ∈ H-1[0, c]. Матрица новых краевых условий равна ( \ κ00a11 + κ0κ00a12 κ10a12 , κ01b11 + κ1κ01b12 κ11a12 B = , где U� = A� B� , A� = κ00a21 + κ0κ00a22 κ10a21 � κ01b21 + κ1κ01b22 κ11a21 κ00 = τ 1/4 -1/4 1/4 -1/4 1 (a), κ10 = τ1 (a), κ01 = τ1 (b)e-is(b), κ11 = τ1 (b)e-is(b), а числа κj однозначно определяются функциями τ1 и σ. При этом новые краевые условия U� регулярны тогда и только тогда, когда регулярны условия U. Оператор L� определения имеет область 1 D(L�) = W -1D(L) = {y| y, y[1] ∈ W 1[0, c], �l(y) ∈ L2[0, c], U�1(y) = U�2(y) = 0}. Доказательство. Заметим, что оператор W ограничен и ограниченно обратим. Действительно, b c r 2 r -1 2 e2 Im s(ω (x)) где функции |z(ξ)| a dξ = 0 |y(x)| 1 τ (ω-1(x)) dx, ограничены. Проверка равенства s(ω-1(x)) и 1 τ1(ω-1(x)) W �l(y) = l(z), где z = W y, идейно тривиальна, хотя технически достаточно громоздка. Опишем основные шаги. Действуя в пространстве распределений, выражение f(z) запишем в виде 1 f(z) = -τ1zll - τ l zl + 2iσzl + iσlz + τ0z. Дифференцируя (2.16), получим zl(ξ) = yl(x)τ -3/4(ξ) - 1 y(x)τ l (ξ)τ -5/4(ξ)+ iy(x)σ(ξ)τ -5/4(ξ) eis(ξ). 1 4 1 1 1 Продолжая действовать так же, найдем zll(ξ) и после подстановки и сокращения части слагаемых получим выражение l(y) = -yll(x)+ q(x)y(x). Заметим, что функция q(x), определенная в (2.15), лежит в H-1[a, b]. Действительно, производная τ l ll -1 1 по переменной ξ квадратично суммируема. Тогда τ1 ∈ H и отделена от нуля. Отсюда [a, b]. Сама функция τ1 непрерывна По тем же причинам 1 (τ l )2 τ1 ∈ L1[a, b] ⊂ H-1[a, b]. σ2 Наконец, τ0 ∈ H-1[a, b] в силу (2.3). τ1 ∈ L1[a, b]. Остается сказать, что функция f переменной ξ принадлежит H-1[a, b] в точности тогда, когда f (ω-1(x)) принадлежит H-1[0, c]. Чтобы проверить это, покажем вначале, что для произвольной тестовой g ∈ H1[0, c] композиция g(ω(ξ)) ∈ H1[a, b]. Имеем b r d b 2 r c gl(ω(ξ)) 2 r dx 2 ! dξ a g(ω(ξ)) dξ = a τ1(ξ) dξ = 0 |gl(x)| , !τ1(ω-1(x)) 390 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ а композиция 1 !τ1(ω-1(x)) двух ограниченных функций также ограничена. Для произвольных функций f ∈ H-1[a, b] и g ∈ H1[a, b] где g(ω(ξ)) ∈ H1[a, b], а c r f (ω-1(x))g(x) dx = 0 1 b r dξ 1 f (ξ)g(ω(ξ)) !τ (ξ) , a ! ∈ L∞[a, b]. τ1(ξ) Итак, мы проверили, что q(·) ∈ H-1[0, c]. Покажем теперь, что D(L) = W D(L�). Прежде всего, заметим, что обе функции e is(ξ) и e-is(ξ) !4 τ1(ξ) !4 τ1(ξ) абсолютно непрерывны, так что z(ξ) ∈ H1[a, b] тогда и только тогда, когда y(ω(ξ)) ∈ H1[a, b]. То, что условие y(x) ∈ H1[0, c] влечет y(ω(ξ)) ∈ H1[a, b], мы уже показали выше. Обратное также проверяется легко: c b r 2 r 2 dξ 0 Обратимся к квазипроизводной: |y(x)| dx = a |y(ω(ξ))| 1 !τ (ξ) . z[1](ξ) = τ1(ξ)zl(ξ) - (iσ(ξ)+ T (ξ))z(ξ) = = yl(x)τ 1/4(ξ) - 1 y(x)τ l (ξ)τ -1/4(ξ)+ iy(x)σ(ξ)τ -1/4 (ξ) - (iσ(ξ)+ T (ξ))y(x)τ -1/4(ξ) eis(ξ) = 1 4 1 1 1 1 = yl(x)τ 1/4(ξ) - 1 y(x)τ l (ξ)τ -1/4(ξ) -T (ξ))y(x)τ -1/4 (ξ) eis(ξ). 1 4 1 1 1 Пользуясь тем, что домножение на функцию eis(ξ)τ 1/4(ξ) не меняет условия z[1] ∈ W 1[a, b], полу- чаем 1 1 ( τ l \ 1 z[1](ξ) ∈ W 1[a, b] ⇐⇒ yl(x) - 1(ξ) 4!τ1(ξ) + T (ξ) !τ1(ξ) 1 y(x) ∈ W 1[0, c]. Заметим, что добавление к функции ul(x) суммируемых слагаемых f (x) не меняет условия y[1](x) ∈ 1 [0, c], поскольку y(x) · Г f (x) ∈ W1 [0, c] автоматически, за счет условия y(x) ∈ W1 [0, c]. Это W 1 1 1 означает, что необходимо и достаточно проверить условие x r τ ll yl(x) - y(x) 1 (ξ) + τ (ξ) dx ∈ W 1[0, c]. 4 0 0 1(ξ) 1 T (ξ) С другой стороны, дифференцируя по x выражение τ l 4!τ1(ξ) + !τ1(ξ) , получаем τ ll l 2 l 1 (ξ) + τ (ξ) - (τ1(ξ)) T (ξ)τ1(ξ) . 4 0 8τ1(ξ) - 2τ1(ξ) Видим, что различие состоит в двух слагаемых 1 (τ l (ξ))2 16τ1(ξ) - 1 T (ξ)τ l (ξ) , 2τ1(ξ) каждое из которых суммируемо, и потому может быть отброшено. Мы проверили две эквивалентности z ∈ W 1[a, b] ⇐⇒ y ∈ W 1[0, c], z[1] ∈ W 1[a, b] ⇐⇒ y[1] ∈ W 1[0, c]. 1 1 1 1 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 391 Условия l(z) ∈ L2[a, b] и �l(y) ∈ L2[0, c] эквивалентны, потому что �l(y) = W -1l(z), а оператор W ограничен и ограниченно обратим. Остается найти матрицу U� заметим, что краевых условий. Для этого Аналогично, y(0) 1 z(a) = !4 τ (a) := y(0) κ00 , z(b) = y(c)eis(b) 1 !4 τ (b) y(0) := . κ01 [1] [1] z[1](a) = y (0) - κ0y(0) , z[1](b) = y (c) - κ1y(c) κ10 κ11 для некоторых ненулевых κij и некоторых κj. Теперь вид матрицы U� получается напрямую. Обсудим регулярность новых краевых условий. Если условия U регулярны и выполнен случай 1), то, в силу равенства J�42 = κ10κ11J42, выполнено условие 1) для U� . Обратное, естественно, тоже верно. В случае 2) имеем а тогда J42 = 0 ⇐⇒ J�42 = 0, Видим, что условие J�14 = κ11κ00J14 и J�32 = κ10κ01J32. эквивалентно условию J�14 + J�32 ⊕= 0 ( τ1(a) Третий случай очевиден. 32 ⊕ J14 + J = 0. τ1(b) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА ДИРАКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ Заметим, что существует два альтернативных вида записи системы Дирака. Мы будем рассмат- ривать систему вида fP (y) = Byl + P y, где (3.1) -i 0 ) = p1(x) p2(x) , y(x y1(x) B = в пространстве 0 i , P (x) = p3(x) p4(x) y2(x) H = L2[0, π] ⊕ L2[0, π] × y. Функции pj, j = 1, 2, 3, 4, предполагаются суммируемыми на отрезке [0, π] и комплекснозначными. Краевые условия и область определения оператора будут обсуждаться ниже. Другой формой записи (см., например, [40]) является fQ(u) = Bul + Qu, где (3.2) 0 -1 ) = q1(x) q2(x) , u(x u1(x) . B = 1 0 , Q(x) = q3(x) q4(x) u2(x) Эти формы записи эквивалентны. Так, замена 1 i u1 = 2 (y1 + y2), u2 = 2 (y1 - y2) сводит систему (3.2) к виду (3.1). Далее мы покажем, что достаточно изучить случай, когда p4 = p1 = 0 (для системы, записанной в форме (3.2), это эквивалентно равенствам q1 = -q4, q2 = q3). Через y(x) = (y1(x), y2(x))t будем обозначать вектор-функции на отрезке [0, π], а через π r (f , g) = 0 (f1(x)g1(x)+ f2(x)g2(x)) dx 392 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ - скалярное произведение в пространстве H. Чтобы не усложнять запись, мы будем писать f ∈ Lp, имея в виду, что f ∈ Lp[0, π] × Lp[0, π], или P ∈ Lp, имея в виду, что все компоненты матрицы лежат в Lp. Норму по переменной x ∈ [0, π] в пространстве Lp или в Lp × Lp будем иногда обозначать 1· 1p. Перейдем к определению оператора LP , который мы свяжем с дифференциальным выражением fP . Прежде всего, определим максимальный оператор LP,M y := fP (y), D(LP,M ) = {y ∈ AC[0, π] : fP (y) ∈ H}, и минимальный оператор LP,m, являющийся сужением оператора LP,M на область D(LP,m) = {y ∈ D(LP,M ) : y(0) = y(π) = 0}. 1 Здесь AC[0, π] = W 1[0, π] - пространство абсолютно непрерывных функций. Поскольку элементы матрицы P - суммируемые функции, оба слагаемых дифференциального выражения fP (y) кор- ректно определены как функции из L1[0, π]. При этом в область определения оператора входят только те функции y, для которых сумма этих слагаемых принадлежит H. Через LP ∗,M и LP ∗,m будем обозначать максимальный и минимальный операторы, порожденные сопряженным дифференциальным выражением p1 p3 fP ∗ (y) := Byl + P ∗y, где P ∗ = p2 p4 . Утверждение 3.1 (формула Лагранжа). Для любых функций f ∈ D(LP,M ), g ∈ D(LP ∗,M ) спра- ведливо тождество где 0 (LP,M f , g) = (f , LP ∗,M g) + [f , g]π, (3.3) [f , g]π = -i f1(x)g1(x)|π + i f2(x)g2(x)|π . 0 0 0 Доказательство. Равенство (3.3) получается интегрированием по частям. Из этой формулы, в частности, получаем (LP,M f , g) = (f , LP ∗,mg), f ∈ D(LP,M ), g ∈ D(LP ∗,m). Из теоремы существования и единственности 2.I вытекает сразу, что система fP (y) = λy + f с условием y(c) = ξ имеет единственное решение в пространстве y ∈ (AC[0, π])2. Из утверждения 3.1 сразу следует Утверждение 3.2. При любом λ ∈ C операторы LP,M - λI и LP ∗,m - λI фредгольмовы, явля- ются взаимно сопряженными, а их дефектные числа равны {2, 0} и {0, 2}, соответственно. Перейдем к описанию расширений L оператора LP,m, для которых LP,m ⊂ L ⊂ LP,M . Заметим, что любой такой оператор имеет область определения D(L) = {y ∈ D(LP,M ) : Uj (y) = 0, 1 � j � ν}, где Uj - линейные формы от векторов y(0) и y(π). Эти формы можно считать линейно независи- мыми и тогда их число ν заключено между 0 и 2. Если мы хотим, чтобы оператор L имел непустое резольвентное множество, т. е. для некоторого λ ∈ C индексы оператора L - λI были нулевыми, то, согласно утверждению 3.2, ν = 1. Таким образом, оператор L = LP,U имеет область определения D(LP,U ) = {y ∈ D(LP,M ) : U (y) = 0} , где u11 u12 y1(0) u13 u14 y1(π) U (y) = Cy(0) + Dy(π) = причем строки матрицы u21 u22 y2(0) + u23 u24 y2(π) , (3.4) U := (C, D) = u11 u12 u13 u14 u21 u22 u23 u24 линейно независимы. Обозначим через Jij определитель, составленный из i-го и j-го столбца матрицы U . СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 393 Определение 3.1. Краевое условие, определенное формой U, называется регулярным (по Бирк- гофу), если J14 · J23 ⊕= 0. Оператор Дирака, порожденный регулярным краевым условием U (т. е. оператор LP,U с областью определения (3.4)), будем называть регулярным. Далее в работе мы будем рассматривать только регулярные краевые условия, так как для данной задачи регулярные операторы сохраняют классические асимптотики для собственных значений и собственных функций. Без ограничения общности можно считать функции p1 и p4 нулевыми. Сформулируем соответ- ствующее утверждение. Утверждение 3.3. Пусть P (x) - произвольная матрица размера 2 × 2 с элементами pj ∈ L1[0, π], j = 1, 2, 3, 4, а матрица U задает регулярные краевые условия. Тогда оператор LP,U подобен оператору LP ,U + γI, где P (x 0 � (x) p2 � ) = (x) 0 , 3 p � p2(x) = p2(x)ei(ψ(x)-ϕ(x)) p3 3 i(ϕ(x)-ψ(x)) � , � (x) = p (x)e x x r r , (3.5) ϕ(x) = γx - 0 p1(t)dt, ψ(x) = 0 π p4(t)dt - γx, 1 r γ = 2π (p1(t)+ p4(t))dt, 0 ⎛ π ⎞ i r U� = (C�, D� ), C� = C, D� = exp ⎝ 2 0 (p1(t) - p4(t))dt⎠ D. (3.6) Доказательство. Рассмотрим в пространстве H оператор умножения на матрицу W (x): W : y 1→ eiϕ(x) 0 0 eiψ(x) y1(x) y2(x) . (3.7) Заметим, что этот оператор ограничен, поскольку функции ϕ и ψ абсолютно непрерывны, и огра- ниченно обратим. Тогда W -1fP (W f ) = W -1BW f l + (W -1PW + W -1BW l) f = i(ψ-ϕ) -i 0 f l + p1 p2e ϕl f + 0 f = f (f )+ γf . = 0 i p3ei(ϕ-ψ) p4 0 -ψl P Остается найти область определения оператора W -1LP,U W. Заметим, что P y ∈ AC[0, π] ⇐= W -1y ∈ AC[0, π] и fP (y) ∈ H ⇐= f (W -1y) = W -1fP (y) ∈ H, так что для максимального оператора W -1D(LP,M ) = D(L P ,M ). Легко видеть, что ⎛ π ⎞ i r W (0) = I, а W (π) = exp ⎝ 2 0 1 (p4(t) - p1(t))dt⎠ I. Если z ∈ D(LP ,U ), то z = W - y, где y ∈ D(LP,U ). Тогда краевые условия принимают вид Cy(0) + Dy(π) = 0 ⇐⇒ CW (0)z(0) + DW (π)z(π) = 0 ⇐⇒ ⎛ π ⎞ i r ⇐⇒ Cz(0) + exp ⎝ 2 0 (p1(t) - p4(t))dt⎠ Dz(π) = 0, 394 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ ⎛ π ⎞ i r т. е. U� = (C�, D� ), где C� = C, а D� = exp ⎝ 2 0 (p1(t) - p4(t))dt⎠ D. Всюду далее в этой работе (если не оговорено обратное) мы будем считать, что преобразования уже проведены (при этом спектральный параметр λ мы заменяем на λ + γ). Таким образом, мы будем рассматривать оператор, порожденный дифференциальным выражением (3.1), где матрица P (x) имеет вид 0 p2(x) P (x) = p3(x) 0 , p2(x), p3(x) ∈ L1[0, π], (3.8) и регулярными краевыми условиями (3.4). Мы также выделим сильно регулярные операторы Ди- рака. Определение 3.2. Оператор Дирака LP,U называется сильно регулярным, если он регулярен и к тому же (J12 + J34)2 + 4J14J23 ⊕= 0. Отметим, что давать определение сильно регулярного краевого условия корректно именно в случае p1 ≡ p4 ≡ 0. Иначе при одних и тех же краевых условиях оператор Дирака может удовле- творять или не удовлетворять условию сильной регулярности в зависимости от потенциала. НЕВОЗМУЩЕННЫЙ ОПЕРАТОР ДИРАКА Мы будем сравнивать асимптотическое поведение собственных значений и собственных функ- ций оператора LP,U и оператора L0,U . Рассмотрим оператор L0,U , порожденный дифференциальным выражением f0(y) = Byl и регулярными краевыми условиями U (y) = 0 вида (3.4). Утверждение 4.1. Спектр оператора L0,U состоит из собственных значений, которые мож- i но записать двумя сериями κ0 + 2n и κ1 + 2n, n ∈ Z, где κj = - π ln ζ0, а ζ0 и ζ1 - корни квадратного уравнения J23ζ2 - [J12 + J34]ζ - J14 = 0. (4.1) В случае, если дискриминант квадратного уравнения (4.1) равен нулю, все собственные зна- чения оператора L0,U двукратны. В дальнейшем мы будем нумеровать эти собственные значения одним индексом n ∈ Z, объединяя две серии в одну. Нумерацию проведем следующим образом. Зафиксируем множество M = {0 � Re λ < 2, Im λ > 0} ∪ {0 < Re λ � 2, Im λ � 0}. π 0 Заметим, что в это множество попадает ровно одна точка из серии - i ln z +2n и ровно одна точка i 0 из серии - π ln z1+2n. Обозначим через λ1 ту из этих точек, которая имеет меньшуювещественную часть, и через λ0 вторую из пары точек. Если вещественные части точек совпадают, то через λ0 2 1 обозначим ту точку, которая имеет большую мнимую часть. Наконец, если точки совпали, то получившееся двукратное собственное значение занумеруем λ0 0 0 0 0 λ0 1 = λ2. Затем все точки серии λ1 + 2n занумеруем λ1+2n и, соответственно, λ2 + 2n занумеруем 2+2n. Доказательство. Решениями уравнения f0(y) = λy с начальными условиями ются функции 1 и 0 0 1 явля- e iλx 0 e0 0 1(x, λ) = 0 и e2(x, λ) = e-iλx соответственно, а общее решение имеет вид y = ω0e0 + ω0e0. 1 1 2 2 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 395 Подставляя это выражение в краевые условия, получаем систему ([u11 + u13eiπλ]ω0 + [u12 + u14e-iπλ]ω0 = 0, 1 2 (4.2) [u21 + u23eiπλ]ω0 + [u22 + u24e-iπλ]ω0 = 0. 1 2 Обозначим матрицу этой системы через M0(λ). Число λ ∈ C является собственным значением оператора L0,U тогда и только тогда, когда определитель Δ0(λ) := det M0(λ) обращается в нуль. Непосредственными вычислениями получаем Δ0(λ) = [J12 + J34] - J23eiπλ + J14e-iπλ. (4.3) Остается сделать в этом уравнении подстановку eiπλ = z. n Утверждение 4.2. Нормированные собственные функции y0 , n ∈ Z сильно регулярного опе- ратора L0,U имеют вид y0 n e iλ0 x 0 + ω0 0 n , n ∈ Z, (4.4) n = ω1,j 0 2,j e-iλ0 x i,j где j = 0 при четном n и j = 1 при нечетном n. Числа ω0 , где i = 1, 2, а j = 0, 1, определяются матрицей U . Доказательство. Собственные функции, введенные в доказательстве предыдущего утверждения, имеют вид ω0 0 0 0 0 0 1,n При этом числа ω0 и ω 0 2,n 1,ne1(x, λn)+ ω2,ne2(x, λn). n - решения системы (4.2), в которой λ = λ0 . Поскольку матрица этой системы 2-периодична по параметру λ, а λ0 - λ0 = 2, то числа ω0 n+2 n 1,n и ω 0 2,n 1,j зависят лишь от четности индекса n. Обозначим их ω0 и ω 0 2,j , где j = 0 при четном n и j = 1 при нечетном n. Остается нормировать собственные функции. Так как n eiλ0 x 0 e0 0 0 0 n 1(x, λn) = 0 то и e2(x, λn) = e-iλ0 x , 1 1ω0 0 0 0 0 0 12 H 1 π 0 2 r n iλ0 x 2 π 0 2 r 0 -iλnx 2 1,j e1(x, λn)+ ω2,j e2(x, λn) = |ω1,j | |e 0 | dx + |ω2,j | |e 0 π | dx = π 2 r 0 2 0 2 r -iκ0 x 2 = |ω 0 1,j | 0 |eiκj x| dx + |ω 2,j | |e 0 j | dx. Последнее выражение зависит только от четности n, а значит, после нормировки получим (4.4) с i,j некоторыми новыми ω0 , i = 1, 2, которые по-прежнему зависят только от четности n. Замечание 4.1. Если оператор L0,U сильно регулярен, то дискриминант квадратного уравне- ния (4.1) отличен от нуля, и корни z0, z1 различны. Корневые подпространства регулярного, но не сильно регулярного оператора L0,U , отвечающие каждому собственному значению, двумерны. При этом возможны два случая: либо в каждом подпространстве есть базис из двух собствен- ных функций оператора L0,U , либо каждое подпространство содержит ровно один (с точностьюдо множителя) собственный вектор. n Замечание 4.2. Если краевое условие не является регулярным (например, если коэффициент при eiπλ в (4.3) равен нулю), то в случае неравенства нулю коэффициента при e-iπλ спектр оператора L0,U будет состоять из одной серии простых собственных значений λ0 = κ + 2n, n ∈ Z. Если первый и третий коэффициенты равны нулю оба, то Δ0(λ) = J12 + J34. 396 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Тогда либо собственных значений нет (если J12 + J34 ⊕= 0), либо спектр - вся комплексная плос- кость (если J12 + J34 = 0). Легко видеть, что все три ситуации реализуемы. Например, Δ0(λ) ≡ 0, если 1 1 -1 -1 , 0 = β C. U = β -β β -β ⊕ ∈ Перейдем к изучению резольвенты невозмущенного оператора. Теорема 4.1. Резольвента R0(λ) = (L0,U - λI)-1 регулярного оператора L0,U является ин- тегральным оператором R0(λ)f = π r G0(x, t, λ)f (t)dt. (4.5) 0 Функция G0(x, t, λ) непрерывна на квадрате (x, t) ∈ [0, π]2 за исключением диагонали x = t и имеет вид i eiλ(x-t) J12 + J14e-iπλ -J24eiλ(x+t-π) (4.6) при t < x и 0 G0(t, x, λ) = Δ (λ) -J13 eiλ(π-x-t) eiλ(t-x) -J12 + J23 eiπλ i eiλ(x-t) -J34 + J23eiπλ -J24eiλ(x+t-π) (4.7) при t > x. 0 G0(t, x, λ) = Δ (λ) -J13 eiλ(π-x-t) eiλ(t-x) J34 + J14 e-iπλ n Вне δ-кружков с центрами в нулях λ0 определителя Δ0(λ) (в частности, вне некоторой полосы | Im λ| > r) функция G0(x, t, λ) удовлетворяет оценке |G0(x, t, λ)| � M с некоторой константой M, зависящей от краевых условий и числа δ (или r), но не зависящей от x, t и λ. Доказательство. Уравнение f0(y) = λy + f решается явно: x r y1(x) = γ1eiλx + eiλ(x-t)f1(t)dt, 0 x r (4.8) y2(x) = γ2e-iλx + 0 e-iλ(x-t)f2(t)dt. Подставив это решение в краевые условия, получим систему из двух уравнений для определения чисел γ1 и γ2: γ1 eiπλγ1 ˆ где fˆ1(λ) C γ2 +D e-iπλγ2 π r iλ(π-t) + Df (λ) = 0, π r -iλ(π-t) fˆ(λ) = Таким образом, , fˆ2(λ) fˆ1(λ) = e 0 f1(t)dt, fˆ2(λ) = e 0 f2(t)dt. γ1 = 1 -u22 - u24e- iπλ u12 + u14e-iπλ u13 u14 fˆ(λ), γ2 Δ0(λ) u21 + u23 eiπλ -u11 - u13 eiπλ × u23 u24 откуда следуют (4.5), (4.6) и (4.7) (вычисления мы опускаем). Из представления (4.3), очевидно, следует оценка n вне δ-кружков с центрами в нулях λ0 Δ0(λ) ;;: Ce|π Im λ| с константой C, зависящей только от δ и чисел Jij. Все слагаемые в представлениях (4.6) и (4.7), очевидно, оцениваются сверху такой же величиной (но с другой константой). Это доказывает теорему. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 397 0,U Замечание 4.3. Сопряженный к L0,U оператор L∗ = L0,U ∗ порожден тем же дифференциаль- ным выражением и краевым условием U ∗(y) = Cˆy(0) + Dˆ y(π) = 0, где Cˆ, Dˆ - некоторые матрицы размера 2 × 2. Эти матрицы определяются неоднозначно. Например, можно положить J23 J13 -J12 0 . U∗ = 0 -J34 J24 J23 Утверждение 4.3. Если краевое условие U (y) = 0 является регулярным, то тем же свой- ством обладает сопряженное краевое условие U ∗(y) = 0. Таким образом, сопряженный опера- тор L0,U ∗ регулярен одновременно с L0,U . Доказательство. Собственные значения λn и λn операторов L0,U и L0,U ∗ взаимно сопряжены, причем их кратности совпадают. Если краевое условие U ∗(y) = 0 не является регулярным, то реа- лизуется одна из возможностей, описанных в замечании 4.2. Но это не согласуется с равенствами λn = λn с сохранением кратностей. Заметим, наконец, что резольвента R0,U ∗ (λ) := (L0,U ∗ - λI)-1 совпадает с оператором, сопряженным к R0(λ), а значит, является интегральным оператором с ядром G∗(t, x, λ) = G(x, t, λ). Следствие 4.1. Система собственных функций регулярного оператора L0,U является полной в пространстве H. Доказательство. Если найдется вектор f ∈ H, ортогональный всем собственным функциям опе- ратора L0,U , то вектор-функция 0 F(λ) = R∗(λ)f является целой (условие ортогональности f собственным функциям обеспечивает равенство нулю всех вычетов в полюсах резольвенты сопряженного оператора). Вне δ-кружков с центрами в собственных значениях λn сопряженного оператора функция F(λ) оценивается константой. При достаточно малом δ > 0 эти кружки не пересекаются. Из принципа максимума и теоремы Лиувилля тогда следует, что F(λ) = g - постоянный вектор. Но справедливо равенство (L ∗ 0,U Правая часть от λ не зависит, поэтому f = 0. - λ)f = g. Определение 4.1. Система векторов в гильбертовом пространстве H называется базисом Рисса (или безусловным базисом), если существует ограниченный и обратимый оператор в H, который переводит эту систему в ортонормированный базис. Теорема 4.2. Нормированная система собственных функций сильно регулярного оператора L0,U образует базис Рисса в пространстве H. n Доказательство. Вспомним, что собственные функции y0 оператора L0,U имеют представле- ние (4.4). Так как оператор L0,U ∗ тоже сильно регулярен, то его система собственных функций, согласно утверждению 4.2, имеет аналогичное представление ⎡ z0 0 ( iλ0 x \t ( t \ 0 0 -iλ x n(x, λ) = γ1,0 e n , 0 + γ2,0 0, e n , если n четно, ⎣ z0 0 ( iλ0 x \t ( \ 0 t 0 -iλnx n n(x, λ) = γ1,1 e , 0 + γ2,1 0, e , если n нечетно. Так как все собственные значения оператора L0,U простые, то справедливы соотношения (y0 , z0) = αnδnj, n j 398 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ где числа αn зависят от нормировки систем функций y0 и z0 . Но из вида y0 и z0 и из утвержде- n n n n ния 4.2 сразу следует, что числа αn зависят только от четности n, т. е. α2n = α0, α2n+1 = α1, n ∈ Z. n Домножив векторы системы {z0 } с четными номерами на константу 1 , а векторы с нечетными α0 номерами - на константу 1 , получим, что системы {y0 } и {z0 } взаимно биортогональны. α1 n n Обе они, очевидно, бесселевы, и обе полны в H согласно следствию 4.1. Тогда в силу теоремы Бари-Боаса 18.II обе системы образуют базис Рисса в H. Поясним теперь, что происходит в случае регулярных, но не сильно регулярных краевых усло- вий. Полезно рассмотреть оператор Дирака с нулевым потенциалом и краевыми условиями (y1(0) + y2(0) = α(y1(π)+ y2(π)), y1(0) - y2(0) = y1(π) - y2(π). n При любом α ∈ C \ {-1} спектр этого оператора состоит из собственных значений λ0 = 2n (при α = -1 оператор теряет регулярность, так как J14 = J23 = 0). Каждое такое собственное значение имеет алгебраическую кратность 2. При α = 1 геометрическая кратность каждого собственного значения также равна двум: есть две ортогональные друг другу собственные функции iλ0 x e iλ0 x c0(x, λ0 ) = 1 e n и s0(x, λ0 ) = 1 n . n n n 2 e-iλ0 x n 2i - e-iλ0 x n При α ⊕= 1 геометрическая кратность равна единице: собственной функцией является только s0(x, λ0 ), и к ней имеется присоединенная. Это типичный пример, что следует из следующего предложения. Лемма 4.1. Пусть оператор Дирака L0,U слабо регулярен. Тогда либо все его собственные значения λ0 n = 2n + κ имеют геометрическую кратность 2, и в этом случае им отвечают две линейно независимые собственные функции, либо всем его собственным значениям отвечают жордановы цепочки, т. е. только одна собственная функция вида y0 0 0 0 0 n(x) = γ1e+(x, λn)+ γ2e-(x, λn) и присоединенная к ней функция вида y1 0 0 0 0 0 0 0 0 где n(x) = iγ1xe+(x, λn) - iγ2xe-(x, λn)+ βγ1e+(x, λn)+ βγ2e-(x, λn), (4.9) e0 0 n e 0 iλ0 x 0 0 +(x, λn) = 0 Здесь числа γ1, γ2 от n не зависят. , e-(x, λn) = n e-iλ0 x . n Число β можно подобрать так, что функции y0 n и y1 будут взаимно ортогональными. При этом число β и нормы 1y0 1, 1y1 1 также не зависят от n. n n Доказательство. Согласно определению, в условиях леммы имеем, что собственные значения оператора L0,U имеют вид λ0 n = 2n + κ, n ∈ Z. n Наличие или отсутствие второго собственного вектора, отвечающего собственному значению λ0 , определяется краевыми условиями, а точнее - матрицей M0(λ), введенной в (4.2). СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 399 Эта матрица 2-периодична, поэтому собственные функции являются линейными комбинациями e0 0 0 0 +(x, λn) и e-(x, λn) с постоянными γ1, γ2, не зависящими от n. По определению, присоединенная функция y1(x) должна удовлетворять системе ( 0 -iyl - λ0 y1 = γ1eiλnx, 1 n 0 iyl - λ0 y2 = γ2e-iλnx. 2 n Общим решением этой системы является функция iγ1xe0 (x, λ0 ) - iγ2xe0 (x, λ0 )+ β1e0 (x, λ0 )+ β2e0 (x, λ0 ) + n - n + n - n с произвольными постоянными β1, β2. Подставляя эту функцию в краевое условие, найдем соот- n ношение между β1 и β2. Проверка независимости норм функций y0 n и y1 от n осуществляется элементарным вычислением. Напомним, что система ϕk в H называется бесселевой системой, если для любого вектора f ∈ H ряд ), |(f, ϕk )|2 сходится. Системы {ϕk } и {ψk } называются биортогональными, если (ϕk, ψj ) = δkj, где δkj - символ Кронекера. n Заметим, что если собственным значениям λ0 оператора L0,U отвечают жордановы цепочки 0 1 0 ∗ yn, yn, то собственным значениям λn сопряженного оператора L0,U также отвечают жордановы цепочки z0 , z1 того же вида. Из общих соотношений биортогональности для взаимно сопряженных n n операторов (см., например, [31]) следует (z0 , y0 ) = 0, (z0 , y1 ) = αn = α ⊕= 0, (z1 , y0 ) = αl = αl ⊕= 0. n n n n n n n n Проводя, если надо, перенормировку, можем считать, что α = αl = 1. Заменяя, если нужно, z1 на z1 0 0 n + βzn (такая функция остается присоединенной к zn), можно добиться равенства (y1 , z1 ) = 0. n n Тогда можно считать, что системы {y0 , y1 } и {z0 , z1 } являются взаимно биортогональными. n n n n Но из вида этих систем следует, что они бесселевы. Обе системы полны в H, а потому каждая из них образует базис Рисса. Тем самым доказан следующий факт. Теорема 4.3. Собственные и присоединенные функции слабо регулярного оператора L0,U можно выбрать так, чтобы они образовывали базис Рисса в H. Свойство безусловной базисности легко можно распространить на шкалу пространств Hθ θ 2 (см. определение 17.8). U = (W2,U [0, π]) , 0 � θ � 1 Теорема 4.4. Перенормированная система собственных и присоединенных функций любого регулярного оператора L0,U (n2 + 1)-θ/2y0 J n n∈Z U образует базис Рисса в пространстве Hθ . Доказательство. Зафиксируем произвольную точку λ0, не принадлежащую спектру оператора U L0,U . Тогда оператор R0(λ0) является изоморфизмом из H в H1 . Действительно, оператор L0,U - λ0I ограниченно действует из для любого f ∈ H существует решение уравнения L0,U y - λ0y = f , H1 U в H. Он биективен, поскольку 1 лежащее в W 1[0, π] и удовлетворяющее краевым условиям. Теперь ограниченность обратного опе- ратора следует из теоремы Банаха об обратном операторе. 400 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ По теореме 18.IV базисность Рисса сохраняется при изоморфизме, то есть система {(λ0 - λ0)-1y0 }n Z n n ∈ U образует базис Рисса в H1 . Теперь заметим, что последовательность n (λ0 - λ0)(n2 + 1)-1/2 U отделена от нуля и от бесконечности (теорема 4.1). Это означает, что перенормировка является изоморфизмом в H1 , и утверждение теоремы доказано для случая θ = 1. Для доказательства общего случая остается применить теорему 18.VI. n Утверждение 4.4. Пусть {y0 }n ∈Z - система собственных и присоединенных функций регу- n лярного оператора L0,U , а {z0 }n ∈Z - соответствующая биортогональная система. Для любой абсолютно непрерывной1 функции f , удовлетворяющей краевым условиям U (f ) = 0, ряд ∞ , (f , z0 )y0 n n n=-∞ сходится к f равномерно на отрезке [0, π]. 1,U Доказательство. Из классической теоремы вложения Соболева следует, что W 1 U ⊂ Hθ ⊂ L∞. 1,U Раскладывая теперь произвольную функцию f ∈ W 1 в ряд по системе n ∈ {(n2 + 1)-1/2y0 }n Z U ∞ получаем его сходимость в H1/2, а значит, и в L [0, π]. Условию этого утверждения удовлетворяет, в частности, любая абсолютно непрерывная на [0, π] функция f с носителем, компактно лежащим в интервале (0, π). Поскольку множество таких функций плотно в каждом из пространств Lα[0, π], α ∈ [1, ∞), мы приходим к следующему утверждению. n Утверждение 4.5. Система {y0 }n ∈Z собственных и присоединенных функций любого регу- лярного оператора L0,U полна в любом пространстве Lα[0, π], α ∈ [1, ∞). Наконец докажем важную в дальнейшем оценку резольвенты R0(λ) как оператора, действую- щего в пространствах Lp[0, π]. Теорема 4.5. Пусть R0(λ) - резольвента регулярного оператора L0,U . Положим λ = σ + iτ. Тогда для некоторого числа a0 ;;: 1, зависящего только от краевых условий, при всех λ вне полосы Πa0 и при всех индексах 1 � p � q � ∞ справедлива оценка 1+1/p-1/q 1R0(λ)1Lp →Lq � Cp,q|τ |- с константой Cp,q, зависящей только от p и q, но не от λ. (4.10) Доказательство. Воспользуемся явным видом функции G0(t, x, λ), полученным в теореме 4.1. Докажем, что при надлежащем выборе числа a0 мы можем добиться оценки |Δ0(λ)|-1 � C0e-π| Im λ| (4.11) вне полосы Πa0 с константой C0, зависящей только от краевых условий. Разберем случай Im λ > 0. 1 Подберем a0 ;;: 1 так, что Тогда при Im λ ;;: a0 получим |J12| + |J34| + |J32|e-πa0 � 2 |J14|eπa0 . 1 а значит, |Δ0(λ)| ;;: |J14e-iπλ|- |J12 + J34 + J32eiπλ| ;;: |Δ0(λ)|-1 � 2|J14|-1e-π| Im λ|. 2 |J14e-iπλ|, Случай Im λ < 0 аналогичен, и оценка (4.11) доказана. 1 Требование абсолютной непрерывности можно ослабить, взяв функцию f непрерывной и имеющей ограниченную вариацию на [0, π] (см. [112, теорема 22]). СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 401 Вначале мы разберем случай p = 1, q = ∞. В этом случае 0 1 1 →∞ R0(λ) 1 = max 1�j, k�2 max t, x∈[0,π] |gjk(t, x, λ)|, и оценка 1R0(λ)11→∞ � C0 следует из представления (4.5) резольвенты как интегрального опера- тора и равномерной оценки в норме L∞[0, π] функции Грина (см теорему 4.1). Теперь рассмотрим случай p = q = ∞. Заметим, что ⎧ π π ⎫ 1R0(λ)1∞→∞ = max max ⎨r r 0 |gj1(t, x, λ)| dt + 0 ⎬ ⎭ |gj2(t, x, λ)| dt . Учитывая (4.11), имеем j=1,2 ⎩ x∈[0,π] 0 0 π r 11 |g0 (t, x, λ)| dt = 0 x π r r 11 |g0 (t, x, λ)| dt + 0 x 11 |g0 (t, x, λ)| dt � π Im λ ( \ -π Im λ ( \ � |J12| + |J14|e |λ||Δ0(λ)| 1+ e-x Im λ + |J34| + |J23|e |λ||Δ0(λ)| 1+ e(π-x) Im λ C0 � . |λ| Остальные элементы матрицы G0(t, x, λ) оцениваются аналогично: π r 12 |g0 (t, x, λ)| dt � |J24| (e(π-x) Im λ + e-x Im λ\ � C0 ; |λ||Δ0(λ)| 0 r π |λ| Наконец, 21 |g0 (t, x, λ)| dt � |J13| |λ||Δ0(λ)| 0 ( e(x-π) Im λ + ex Im λ \ � C0 . |λ| π r 22 |g0 (t, x, λ)| dt = 0 x π r r 22 |g0 (t, x, λ)| dt + 0 x 22 |g0 (t, x, λ)| dt � -π Im λ ( � |J12| + |J23|e |λ||Δ0(λ)| 1+ ex Im λ\ π Im λ ( + |J34| + |J14|e |λ||Δ0(λ)| 1+ e(x-π) Im λ \ � C0 , |λ| где C0 зависит только от краевых условий. Итак, мы доказали, что C0 1R0(λ)1∞→∞ � Разберем теперь случай p = q = 1. Здесь . | Im λ| ⎧ π π ⎫ 1R0(λ)11→1 = max max ⎨r r 0 |g1j (t, x, λ)| dx + 0 ⎬ ⎭ |g2j (t, x, λ)| dx , j=1,2 ⎩ t∈[0,π] 0 0 и доказательство полностью аналогично. Теперь мы покажем, что с помощью теоремы об интерполяции наше утверждение переносится на случай произвольных индексов 1 � p � q � ∞. Прежде всего, рассмотрим случай q = ∞, p - произвольное число между 1 и ∞. Для произвольного θ ∈ (0, 1) положим 1 α = 1-θ + θ и β = 1 1-θ θ . + ∞ 1 ∞ ∞ В силу теоремы 16.II об интерполяции, оценки 1 1R0(λ)1∞→∞ � C0| Im λ|- и 1R0(λ)11→∞ � C0 влекут → 0 | 1R0(λ)1α β � C | Im λ θ-1. 402 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Теперь положим θ = 1/p и получим оценку 1R0(λ)1p→∞ � C0| Im λ|- 1+1/p , p ∈ [1, ∞]. (4.12) Далее, рассмотрим случай p = 1, q - произвольное число между 1 и ∞. Тогда для произвольного θ ∈ (0, 1) оценки влекут где 1 1R0(λ)11→∞ � C0 и 1R0(λ)11→1 � C0| Im λ|- -θ 1R0(λ)1α→β � C0| Im λ| , 1 α = 1-θ θ , β = 1 1-θ θ . Положим θ = 1/q, получаем оценку 1 + 1 + ∞ 1 1/q 1R0(λ)11→q � C0| Im λ|- , q ∈ [1, ∞]. (4.13) Рассмотрим теперь случай произвольных индексов 1 < p � q < ∞. Заметим вначале, что 1 1 1 а значит pq r = q - p p - q < p < 1, pq - ∈ (1, ∞] и s = pq + p q ∈ [1, ∞). Тогда с учетом (4.12) и (4.13) из оценок → 0 1R0(λ)11 s � C | Im λ|-1+1/p-1/q вытекает, что →∞ � C | Im λ| и 1R0(λ)1r 0 -1+1/p-1/q 1+1/p-1/q где 1R0(λ)1α→β � C0| Im λ|- , 1 1 α = , β = . 1-θ θ(q-p) (1-θ)(pq+p-q) θ Наконец, выбирая получаем оценку (4.10). 1 + pq θ = pq - q pq + p - q pq + ∞ ∈ (0, 1), НЕВОЗМУЩЕННЫЙ ОПЕРАТОР ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ Так же как и в случае оператора Дирака, приведем основные факты о невозмущенном операторе Штурма-Лиувилля. Практически все факты этого раздела общеизвестны, и мы приводим их здесь, прежде всего, для удобства читателя. Кроме того, здесь мы вводим несколько определений, важных для дальнейшего изложения. Невозмущенным оператором Штурма-Лиувилля назовем оператор 2 L0,U y = -yll, D(L0,U ) = {y ∈ W 2[0, π], U1(y) = U2(y) = 0}, (5.1) где Uj, j = 1, 2, - две линейно независимые формы вида Uj (y) = uj1y(0) + uj2yl(0) + uj3y(π)+ uj4yl(π). При этом мы будем считать краевые условия регулярными по Биркгофу, т. е. будем считать вы- полненным одно из условий 1) J24 ⊕= 0; 2) J24 = 0, но J23 - J14 ⊕= 0; 3) u12 = u14 = u22 = u24 = 0, но J13 ⊕= 0. Здесь через Jij мы, как и ранее, обозначаем определитель матрицы краевых условий U , состав- ленный из соответствующих столбцов. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 403 Определение 5.1. В случае 2), если J12 + J34 = ±(J23 - J14), то краевые условия называются слабо регулярными. Регулярные, но не слабо регулярные условия называют сильно регулярными. Утверждение 5.1. Спектр любого регулярного оператора L0,U состоит из собственных зна- чений z0 0 2 n = (λn) , n ∈ N. Дополним последовательность {λ0 }∞ точками λ0 = -λ0 , n ∈ N. n 1 -n n Тогда последовательность {λ0 }n Z (здесь и далее Z0 = Z \ {0}) с точностью до O(n-1) n ∈ 0 имеет ту же структуру, что и последовательность собственных чисел оператора Дирака. А именно, λ0 00 n = λn + ρn, где ρn = O 1 , |n| → ∞, n n а числа λ00, n ∈ Z0, можно записать двумя сериями κ0 + 2n и κ1 + 2n. При этом λ00 00 -n = -λn , n ∈ N. n Нумерацию чисел λ00, n ∈ Z0, мы проводим так же, как и в случае оператора Дирака. Зафик- сируем множество M = {0 � Re λ < 2, Im λ > 0} ∪ {0 < Re λ � 2, Im λ � 0}. 1 Заметим, что в это множество попадает ровно одна точка из серии κ0 + 2n и ровно одна точка из серии κ1 + 2n. Обозначим через λ00 ту из этих точек, которая имеет меньшую вещественную часть, и через λ00 вторую из пары точек. Если вещественные части точек совпадают, то через λ00 2 1 обозначим ту точку, которая имеет большую мнимую часть. Наконец, если точки совпали, то получившееся двукратное собственное значение занумеруем λ00 00 00 00 00 λ00 1 = λ2 . Затем все точки серии λ1 +2n занумеруем λ1+2n и, соответственно, λ2 +2n занумеруем 2+2n. Числа κ0 и κ1 можно выписать явно. В случае 1) (когда J24 ⊕= 0) имеем κ0 = -1/2, κ1 = 1/2. 0 1 j π j 0 1 0 В случае 3) κ = 1, κ = 2. В случае 2) κ = - i ln ζ , где ζ и ζ = 1/ζ - корни квадратного уравнения (J23 - J14)ζ2 - 2(J12 + J34)ζ + (J23 - J14) = 0. n В случае, когда дискриминант этого уравнения равен нулю, все числа λ0 асимптотически двукрат- ны. Именно в этом случае краевые условия регулярны лишь слабо. Доказательство. Положим λ = √z, причем ветвь корня зафиксируем, выбрав аргумент числа z в диапазоне (-π, π]. От уравнения -yll = λ2y перейдем к системе, сделав замену y1 = λy iyl - 2 , y = 2 2 λy iyl + . (5.2) 2 2 Обратная замена имеет вид y = y1 + y2 при λ ⊕= 0. В случае λ = 0 функцию y можно восстановить как i Г λ (y1 - y2). Уравнение на собственные значения принимает вид ⎛y1(0)⎞ y1 l i 0 y1 ⎜y2(0)⎟ y2 = λ 0 -i y2 , U(λ) ⎜y1(π)⎟ = 0, (5.3) где матрица U(λ) равна ⎝ ⎠ y2(π) 1 u11 + iλu12 u11 - iλu12 u13 + iλu14 u13 - iλu14 . λ u21 + iλu22 u21 - iλu22 u23 + iλu24 u23 - iλu24 404 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Решениями полученной системы с начальными условиями 1 и 0 0 1 являются функции e iλx 0 e0 0 1(x, λ) = 0 и e2(x, λ) = e-iλx соответственно, а общее решение имеет вид y = ω0e0 + ω0e0. 1 1 2 2 Подставляя это выражение в краевые условия, получаем систему ([u11 + iλu12 + (u13 + iλu14)eiπλ]ω0 + [u11 - iλu12 + (u13 - iλu14)e-iπλ]ω0 = 0, 1 iπλ 0 2 -iπλ 0 (5.4) [u21 + iλu22 + (u23 + iλu24)e ]ω1 + [u21 - iλu22 + (u23 - iλu24)e ]ω2 = 0. Непосредственными вычислениями находим определитель Δ0(λ) этой системы: sin(πλ) Δ0(λ) = 2λJ24 cos(πλ) - 2i(J12 + J34) - 2i(J14 - J23) cos(πλ) - 2iJ13 λ . Отсюда видим, прежде всего, что |Δ0(λ)| экспоненциально растет при увеличении | Im λ|, так что все его корни расположены в некоторой полосе Πα = {λ : | Im λ| < α}, α > 0, где α зависит только от краевых условий U. Внутри полосы можем выделить «старшие по порядку» слагаемые. Обозначим Δ0(λ) = Δ00(λ)+ δ0(λ). Здесь ⎧ ⎪⎨2λJ24 cos(πλ) в случае 1), Δ00(λ) = -2i(J12 + J34 + (J14 - J23) cos(πλ)) в случае 2), ⎪⎩-2iJ13 sin(πλ)/λ в случае 3), а функция δ0(λ) имеет в любом из случаев на единицу меньший порядок роста. Отсюда вытекает n (применяем теорему Руше), что корни функций Δ0(λ) и Δ00(λ), которые мы обозначим λ0 n и λ00 соответственно, связаны соотношением λ0 00 1 n - λn = O n . n При этом нумерацию чисел λ00 n мы уже описали выше, а нумерацию чисел λ0 ведем так, чтобы n было выполнено это асимптотическое соотношение. При этом дефект нумерации чисел λ0 равен нулю. Для доказательства достаточно применить теорему Руше на прямоугольнике с вершинами ±β ± iα при достаточно большом β. n Замечание 5.1. Нумерация чисел λ00 зафиксирована нами однозначно. При этом нумерация n чисел λ0 пока неоднозначна. Точнее, она фиксирована, начиная с некоторого номера N = N (U ). n Числа λ0 с номерами n ∈ [-N, N ] мы можем перенумеровывать - это не меняет асимптотического соотношения λ0 00 1 n = λn + O n . n В дальнейшем при доказательстве равномерных оценок в асимптотике собственных значений нам придется эту нумерацию уточнить. Пока же договоримся, что число 0 (оно всегда является соб- ственным значением задачи (5.3)) имеет номер нуль, все числа λ0 , лежащие в полуплоскости arg λ ∈ (-π/2, π/2], имеют номера n ∈ N, а числа с отрицательными индексами занумерованы по n симметрии: λ0 - n = -λ0 . Для корректности последнего заметим, что если точка λ является собственным значением за- y1 дачи (5.3) с собственным вектором y2 y2 , то точка -λ также является собственным значением с вектором y1 . СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 405 n Утверждение 5.2. Собственные значения сильно регулярного оператора Штурма-Лиувилля L0,U однократны, начиная с некоторого номера N = N (U ). Соответствующие нормированные собственные функции y0 имеют вид y0 00 0 00 0 iλ00 x 0 -iλ00 x 0 1 n(x) = yn (x)+ rn(x), где yn (x) = ω1,je n + ω2,je n , 1rn(x)1C[0,π] = O , (5.5) n i,j j = 0 при четном n и j = 1 при нечетном n. Числа ω0 , где i = 1, 2, а j = 0, 1, определяются матрицей U . Доказательство. Собственные функции (до нормировки) имеют вид y0 0 0 n = y1,n + y2,n. nx 0 -iλ0 x 0 j,n 1,n В свою очередь, функции y0 равны ω0 eiλ0 и ω2,ne n . Остается определить числа ω j,n из системы (5.4). При этом нам нужно лишь доказать, что они 2-периодичны по n с точностью до следующих по порядку поправок. Далее следует перебор случаев. Если, например, отличен от нуля определитель J24, то матрицу краевых условий можно привести к виду u11 1 u13 0 . u21 0 u23 1 Тогда из первого уравнения системы имеем iλ(ω0 - ω0)+ O(1) = 0, 1,n т. е. можно взять ω0 2,n = 1, ω0 1 2 = 1 + O(n-1). 1,n Так же легко разбирается третий случай, где получаем ω0 2,n = 1, ω0 = -1+ O(n-1). Второй случай чуть более сложен. Здесь всегда можно привести матрицу U к виду u11 u12 u13 u14 . u21 0 u23 0 Затем можно заметить, что числа u21 и u23 не могут обнуляться одновременно, не могут быть равны и не могут отличаться лишь знаком (условие сильной регулярности). Значит, здесь достаточно разобрать три подслучая: u21 = 0 и u23 = 1, либо наоборот, либо u21 = a ⊕= ±1 и u23 = 1. Для примера разберем третий (он более сложен). Из второго уравнения системы (5.4) имеем (a + eiπλ (1 + O(n-1)))ω0 00 n 1,n + (a + e-iπλ (1 + O(n-1)))ω0 00 n 2,n = 0, откуда и следует 2-периодичность решений с малыми поправками. n Нормировка собственных функций не нарушает утверждения, поскольку нормы функций y0 так- же образуют 2-периодическую последовательность с точностью до поправок на единицу меньшего порядка. Доказательство последнего утверждения показывает, что с точностью до замены y = y1 + y2 λ собственные функции оператора Штурма-Лиувилля совпадают с собственными функциями опе- ратора Дирака с точностью до поправок порядка O (λ-1) . Введем следующие обозначения. Будем писать, что функция a(λ) равна lb(λ)J, если 1 Аналогично, a(λ) = b(λ)+ O . λ 1 a(x, λ) = lb(x, λ)J, если a(x, λ) = b(x, λ)+ r(x, λ), где sup x∈[0,π] |r(x, λ)| = O λ , 1 an(x) = lbn(x)J, если an(x) = bn(x)+ rn(x), где sup x∈[0,π] В таких обозначениях предыдущее утверждение принимает вид |rn(x)| = O n . y0 00 n(x) = lyn (x)J. 406 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Обсудим вид резольвенты невозмущенного оператора Штурма-Лиувилля. В следующем утвер- y ждении мы покажем, как по правой части f ∈ L2[0, π] восстанавливается пара yl . Теорема 5.1. Резольвента R0(λ) = (L0,U - λI)-1 регулярного оператора Штурма-Лиувилля L0,U является интегральным оператором с непрерывным интегральным ядром 1 0 0 0 0 G0(t, x, λ) = 2λ (g11 + g12 + g21 + g22)(t, x, λ), ij где функции g0 (t, x, λ) образуют матрицу G0(t, x, λ), причем y π 1 λ-1 λ-1 r где f = f f . = yl 2 i -i G0(t, x, λ)f (t)dt, (5.6) 0 Функция G0(t, x, λ) непрерывна на квадрате (x, t) ∈ [0, π]2 за исключением диагонали x = t и имеет вид iλj G0(t, x, λ) = Δ (λ) l eiλ(x-t) ( J12J + lJ14 Je-iπλ) -lJ24 Jeiλ(x+t-π) (5.7) при t < x и 0 iλj -lJ13Jeiλ(π-x-t) eiλ(t-x) (-lJ12J + lJ23Jeiπλ) eiλ(x-t) (-lJ34J + lJ23Jeiπλ) -lJ24Jeiλ(x+t-π) (5.8) G0(t, x, λ) = Δ (λ) -lJ Jeiλ(π-x-t) eiλ(t-x) ( -iπλ) 0 13 при t > x. Здесь lJ34J + lJ14Je sin(πλ) Δ0(λ) = 2λJ24 cos(πλ) - 2i(J12 + J34) - 2i(J14 - J23) cos(πλ) - 2iJ13 λ , а степень j равна 1, 0 или -1 в случаях регулярности 1), 2) и 3) соответственно. n Вне δ-кружков с центрами в нулях λ0 определителя Δ0(λ) (в частности, вне некоторой полосы | Im λ| > r) функция G0(t, x, λ) удовлетворяет оценке |G0(t, x, λ)| � M с некоторой константой M, зависящей от краевых условий и числа δ (или r), но не зависящей от x, t и λ. Доказательство. Очевидно, что laJf (λ) · lbJg(λ) = labJf (λ)g(λ). Тогда достаточно повторить доказательство теоремы 4.1, меняя элементы матрицы краевых условий u11λ-1 + iu12 λ-1u11 - iu12 λ-1u13 + iu14 λ-1u13 - iu14 U(λ) = u21λ-1 + iu22 u21λ-1 - iu22 u23λ-1 + iu24 u23λ-1 - iu24 ujk на lujkJ. Действительно, в случае 1) из определения регулярных краевых условий имеем J lu12J -lu12J lu14J -lu14 U(λ) = . lu22J -lu22J lu24J -lu24J При этом условия регулярности главной части краевых условий выполнены, поскольку определи- тели, составленные из первого-четвертого и второго-третьего столбцов, отличны от нуля. В случае 2) всегда можно линейным преобразованием обнулить u22 и u24, умножить вторую строку на λ, так что J lu12J -lu12J lu14J -lu14 U(λ) = u21 u21 u23 u23 . Здесь условие регулярности главной части матрицы U имеет вид u12u23 + u21u14 ⊕= 0 (условие J23 - J14 ⊕= 0). Случай 3) очевиден. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 407 Явный вид резольвенты и ее очевидная связь с резольвентой соответствующего оператора Ди- рака позволяет нам легко перенести результаты, доказанные в предыдущем разделе, на случай оператора L0,U . В частности, получаем классический результат о базисности системы собственных и присоединенных функций оператора L0,U . Мы приводим только схему доказательства, поскольку этот факт хорошо известен (см., например, [20]). Теорема 5.2. Систему собственных и присоединенных функций любого регулярного опера- тора L0,U можно выбрать так, что она образует базис Рисса в пространстве L2[0, π]. λ-1 λ-1 Доказательство. Матрица замены i -i задает невырожденное преобразование в H. По- этому достаточно доказать базисность в H системы {y0 }, где y0 = y 0 1,n . y n n 0 2,n Полнота этой системы выводится повторением доказательства следствия 4.1. Базисность следует n из теоремы 4.3 и теоремы Бари-Боаса в силу квадратичной близости системы {y0 } к системе {y00 n } (последнюю систему мы определяем как систему собственных и присоединенных функций операторы Дирака с матрицей краевых условий - главной частью матрицы U(λ)). АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФСР Здесь мы получим результаты об асимптотическом поведении фундаментальной системы реше- ний уравнения f(y) = λy при больших значениях комплексного параметра λ. При этом мы проведем рассуждения одновременно и для задачи Штурма-Лиувилля, и для уравнения Дирака. Для этого мы запишем обе эти задачи в общем виде, сведя к системе уравнений типа yl = λBy + A(x)y + C(x, λ)y. Результаты этого раздела являются ключевыми в нашем исследовании. Вначале покажем, как свести уравнение -yll + q(x)y = λ2y к системе типа Дирака. Для единообразия мы меняем здесь спектральный параметр на λ2. Кроме того, заметим, что линейным преобразованием отрезок [0, c] переводится в отрезок [0, π], и в дальнейшем будем всюду полагать c = π. Итак, сделаем замену y(x) i [1] y(x) i [1] y1(x) = 2 - 2λy (x), y2(x) = + y 2 2λ (x), где y[1](x) = yl(x) - u(x)y(x), q = ul. Получим систему относительно вектора y(x) = (y1(x), y2(x))t: i 0 0 u(x) i u2(x) u2(x) yl(x) = λ 0 y(x)+ -i u(x) 0 y(x)+ 2λ -u2(x) -u2(x) y(x). Обозначим три матрицы в правой части этой системы через B, A(x) и C(x, λ) соответственно, т. е. запишем систему в виде yl(x) = λBy(x)+ A(x)y(x)+ C(x, λ)y(x). (6.1) Отметим, что элементы матриц A(x) и C(x, λ) суммируемы на x ∈ [0, π], а -1 1C(x, λ)1L1 = O(λ ) при λ → ∞. Для системы Дирака, очевидно, a11(x) a12(x) = - 2 0 ip (x) BP (x) = , а C(x, λ) = 0. A(x) = a21(x) a22(x) - ip3(x) 0 Полученная единая запись позволяет нам далее в этом разделе работать с системой (6.1). На- ша цель - получить асимптотические формулы для фундаментальной матрицы решений системы Y(x, λ), Yl = (λB+ A(x)+ C(x, λ))Y, 408 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ при λ → ∞. Мы проведем рассуждения отдельно для верхней и нижней полуплоскости. Обозначим G+,r = {λ ∈ C : Im λ > -r}, где r > 0. Аналогично, Обозначим еще G-,r = {λ ∈ C : Im λ < r}. Πr = {λ ∈ C : | Im λ| < r}. Для оценки остатков введем функции (везде полагаем интеграл равным нулю, если нижний предел больше верхнего) x r υ+,11(s, x, λ) = π r a21(t)e2iλ(t-s) dt, υ+,12(s, x, λ) = - a21(t)e2iλ(t-x) dt, x r υ+,21(s, x, λ) = s s a12(t)e2iλ(x-t) dt, υ+,22(s, x, λ) = - x max{x,s} min{x,s} r a12(t)e2iλ(s-t) dt, λ ∈ G+,r, 0 π r υ-,11(s, x, λ) = a12(t)e- 2iλ(t-s) r dt, υ-,12(s, x, λ) = - a12(t)e-2iλ(t-x) dt, s x r 2iλ(x-t) max{x,s} min{x,s} r -2iλ(s-t) υ-,21(s, x, λ) = s a21(t)e- dt, υ-,22(s, x, λ) = - 0 a21(t)e dt, λ ∈ G-,r. Для λ ∈ G±,r положим Υ±(λ) = max s,x∈[0,π], j,k=1, 2 |υ±,j,k(s, x, λ)|. (6.2) В полосе Πr × λ для оценок удобно использовать функцию Υ0(λ) = Υ+(λ)+ Υ-(λ). (6.3) Напомним, что Обозначим еще a = 1A(x)1L1 = , j, k∈{1,2} 2 1ajk (x)1L1 . γ(λ) = 1u 1L1 2|λ| для уравнения Штурма-Лиувилля и γ(λ) = 0 для системы Дирака - оценка матрицы C(x, λ). Положим G±,r,0 = {λ ∈ G±,r : |λ| > Λ0}, Πr,0 = {λ ∈ Πr : |λ| > Λ0}, γ = max |γ(λ)|. |λ|>Λ0 В случае системы Дирака возьмем Λ0 = 1, а для оператора Штурма-Лиувилля положим ( u2 ( u2 Λ0 = max 1, 1 1L1 = max 1, 1 1L1 2a 41u1L1 (при u ≡ 0 считаем и здесь Λ0 = 1). Этот выбор числа Λ0 обеспечивает нам оценки |λ| ;;: 1 и γ(λ) � a. В процессе доказательства основной теоремы мы, возможно, увеличим число Λ0 необходимым нам образом. Лемма 6.1. При |λ| → ∞, λ ∈ G±,r,0 выполнено Υ±(λ) → 0. Если |λ| → ∞, λ ∈ Πr,0, то Υ0(λ) → 0. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 409 Доказательство. Проведем рассуждения для верхней полуплоскости. Фактически, наша лемма есть вариант леммы Римана-Лебега. Зафиксируем малое ε и приблизим в L1[0, π] функции alm гладкими функциями plm с точностью до ε. Тогда |Υ+(λ, alm) - Υ+(λ, plm)| � 2εeπr . Подставляя plm в интегралы для υ+,j,k(s, x, λ) вместо alm и проводя в них интегрирование по частям, получим Υ+(λ, plm) � 4eπr |λ| 1 1plm1W 1 . Устремляя |λ| → ∞, получаем оценку Υ+(λ) � Cε. Главным членом асимптотики функции Y(x, λ) окажется матрица eiλx 0 решение системы при A = C = 0. E(x, λ) = 0 e-iλx , (6.4) Теорема 6.1. В области G+,r,0 система (6.1) имеет фундаментальную матрицу решений Y+(x, λ) вида Y+(x, λ) = (I + A+(x, λ)) E(x, λ), A+(x, λ) = (α+,jk(x, λ)), где 1 · 1 max α+,jk( , λ) C[0,π] � C(Υ+(λ)+ γ(λ)), а C = C(a, γ, r). (6.5) j,k Более того, в G+,r,0 матрица A+(x, λ) допускает оценку max 1α+,jk(·, λ)1W 1 � C(a, γ, r)|λ|. (6.6) j,k 1 [0,π] В области G-,r,0 имеет место аналогичное представление с заменой Y+(x, λ) на Y-(x, λ), а Υ+ на Υ-. Доказательство. Проведем рассуждения для области G+,r,0. Будем искать решение в виде Y+ = z11(x) z12(x) ZE, где для элементов матрицы Z = z21(x) z22(x) зафиксируем условия z11(0) = 1, z12(0) = 0, z21(π) = 0, z22(0) = 1. Тогда система (6.1) примет вид Zl = λ(BZ - ZB) + (A + C)Z. (6.7) Обозначим z1 = z11 z21 , z2 = z12 z22 и перейдем к интегральным уравнениям. Получим: где z1 = 1 0 + V1z1, z2 = 0 1 + V2z2, ⎛ z11(x, λ) = ⎜ x Г (c11(t, λ)z11(t)+ (a12(t)+ c12(t, λ))z21(t)) dt 0 ⎞ ⎟ , (6.8) V1 z21(x, λ) ⎜ π ⎟ ⎝- Г ((a21(t)+ c21(t, λ))z11(t)+ c22(t, λ)z21(t)) e2iλ(t-x)dt⎠ x ⎛ x Г (c11(t, λ)z12(t)+ (a12(t)+ c12(t, λ))z22(t)) e2iλ(x-t)dt z12(x, λ) = ⎜0 ⎞ ⎟ . (6.9) V2 z22(x, λ) ⎜ x ⎟ ⎝ Г ((a21(t)+ c21(t, λ))z12(t)+ c22(t, λ)z22(t)) dt ⎠ 0 2 Покажем, что интегральные операторы V1(λ) и V2(λ) ограничены как операторы из (L∞[0, π]) в 2 (L∞[0, π]) величинами, не зависящими от λ ∈ G+,r,0. Действительно, из представлений (6.8)-(6.9) сразу следует, что 2πr 1Vj 1L∞→L∞ � e (a + γ), j = 1, 2, 2 где a = 1A1L1 . Более того, квадраты операторов V1(λ) и V2(λ), действующих из (L∞[0, π]) в 2 (L∞[0, π]) , являются сжимающими при больших значениях |λ|. 410 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Рассмотрим сначала оператор V1. Непосредственными вычислениями убеждаемся в том, что w11(x, λ) где V1(V1(z1(x, λ))) = w1(x, λ) = w21(x, λ) , x ⎧ ⎛ t ⎞ r w11(x, λ) = 0 ⎨ r c11(t, λ) ⎝ ⎩ 0 π r (c11(s, λ)z11(s)+ (a12(s)+ c12(s, λ))z21(s))ds⎠ - ⎫ ⎬ - (a12(t)+ c12(t, λ)) t π r ((a21(s)+ c21(s, λ))z11(s)+ c22(s, λ)z21(s))e2iλ(s-t)ds ⎭ 1 dt = причем = K11(s, x)z11(s)ds + O 0 min{s,x} r λ , G+,r,0 × λ → ∞, K11(s, x) = -a21(s) 0 a12(t)e2iλ(s-t) dt = a21(s)υ+,22(s, x, λ); r π ⎧ ⎛ t ⎞ r w21(x, λ) = - x ⎨(a21(t)+ c11(t, λ))e2iλ(t-x) ⎝ ⎩ 0 π r (c11(s, λ)z11(s)+ (a12(s)+ c12(s, λ))z21(s))ds⎠ - ⎫ ⎬ - c22(t, λ)e2iλ(t-x) t ((a21(s)+ c21(s, λ))z11(s)+ c22(s, λ)z21(s))e2iλ(s-t)ds ⎭ dt = причем π r = K2(s, x)z21(s)ds + O 0 π r 1 λ , G+,r,0 × λ → ∞, Аналогично, K21(s, x) = a12(s) max{s,x} ⎛ x a21(t)e2iλ(t-x)ds = a12(s)υ+,12(s, x, λ). ⎞ Г a21(s)υ+,21(s, x, λ)z12(s)ds z12 = ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ V2 V2 z22 ⎜ x + O . ⎟ λ Теперь заметим, что π r 1 1 ∞ K11 L � max 0�x�π 0 ⎝Г a12(s)υ+,11(s, x, λ)z22(s)ds⎠ 0 s, x |K11(s, x)| ds � 1a211L1 max |υ+,22(s, x, λ)| � aΥ+(λ). Такие же оценки справедливы для других интегральных ядер Kjk. Отсюда и из леммы 6.1 следует, что ∞ 1(Vj (λ))21L � 4(a + γ)e2πr (Υ+(λ)+ γ(λ)) → 0, |λ| → ∞, j = 1, 2. ∞ Значит, операторы (V1(λ))2 и (V2(λ))2 действительно являются сжимающими в L ших значениях |λ|, λ ∈ G+,r,0. [0, π] при боль- СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 411 1 Вернемся к системе (6.7). Обозначим z0 = z1(0) = системы в виде (пока формального) ряда 1 0 2 , z0 = z2(0) = 0 1 . Представим решение ∞ zk = z0 + Vk(λ) ,(Vk (λ))ν z0 , k = 1, 2. k k ν=0 Из этой записи и из ограниченности оператора Vk (λ), действующего из L∞[0, π] в L∞[0, π], видно, что достаточно доказать сходимость ряда по норме L∞[0, π]. Для этого перепишем его в виде ∞ zk = z0 + Vk (λ)z0 + ,(Vk (λ))2ν ((Vk (λ))2z0 + (Vk (λ))3z0 ) . k k k k ν=0 Увеличим, если надо, число Λ0 так, чтобы при всех λ ∈ G+,r,0 было выполнено неравенство ∞ 1(Vk (λ))21L < 1/2. Это гарантирует сходимость ряда в норме L∞[0, π] и дает оценку 1zk - z0 - Vk (λ)z0 1L � 2 1(Vk (λ))2z0 + (Vk (λ))3z0 1 . (6.10) k k ∞ 1 k ∞ k 1L Условимся дальше обозначать zν = (Vk )ν z0 . Из ограниченности 1Vk 1L L следует оценка Введем функции k k k ∞ 1z1 1L � e2πr (a + γ). ∞→ ∞ ⎛ 0 z1 π 1 ⎞ ⎛ x ⎞ Г a12(t)e2iλ(x-t) dt z 0 �1 = ⎝- Г a21(t)e2iλ(t-x) dt⎠ , �2 = ⎝0 ⎠ x - они получаются из функций z1 и z1 отбрасыванием всех слагаемых, содержащих функции cjk. 1 2 Легко видеть, что 1z1 - z11L � (π + 1)e2πr γ(λ). Заметим еще, что k �k ∞ 0 z1 , z1 = υ+,21(0, x, λ) , �1 = z1 υ+,12(0, x, λ) �2 0 так что 1�k 1L∞ � Υ+(λ). Из этих двух неравенств следует, что Далее, k ∞ 1z1 1L � (π + 1)e2πr (Υ+(λ)+ γ(λ)). (6.11) k ∞ 1z2 1L � 1Vk 1L∞→L∞ k ∞ 1z1 1L � (π + 1)(a + γ)e4πr (Υ+(λ)+ γ(λ)), k ∞ 1z3 1L � 1Vk 1L∞→L∞ k ∞ 1z2 1L � (π + 1)(a + γ)2e6πr (Υ+(λ)+ γ(λ)). Итак, согласно (6.10), 1zk - z0 - z11L � 2(π + 1)(a + γ)(a + γ + 1)e6πr (Υ+(λ)+ γ(λ)). k k Учитывая (6.11), получаем ∞ k ∞ 1zk - z01L � C(Υ+(λ)+ γ(λ)), где величина C зависит только от a, γ и r. Мы доказали первое утверждение теоремы. Второе неравенство получается из первого. Заметим, что Υ+(λ)+ γ(λ) � C(a, γ, r), а значит, и 0 1zk 1L∞ � C(a, γ, r). Поскольку zk = zk + Vk zk, то 1zk - z01 1 � 1Vk 1 1 1zk 1L � C(a, γ, r)|λ|. k W1 L∞→W1 ∞ 412 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Замечание 6.1. Из доказательства теоремы видно, что число Λ0 полностью определяется па- раметрами a, γ и r и характером убывания к нулю функции Υ+(λ). А именно, нам требуется выполнение неравенства 1 4(a + γ)e2πr (Υ+(λ)+ γ(λ)) � . 2 Учитывая, что γ � a (мы так ввели число Λ0), достаточно обеспечить неравенство e-2πr Υ+(λ)+ γ(λ) � . 16a В случае системы Дирака слагаемое γ(λ) равно 0, и получаем окончательно ( ( e-2πr Λ0 = max 1, inf μ : Υ+(λ) � 16(1p 1 + 1p 1 ) ∀λ ∈ G+,r, |λ| > μ . 2 L1 3 L1 Для системы, возникающей при исследовании оператора Штурма-Лиувилля, определение числа Λ0 чуть сложнее: Λ0 = max ( 1, 32e2πr 1u1L 1u21L , inf ( μ : Υ+(λ) � e-2πr 1 ∀λ ∈ G+,r, |λ| > μ . (6.12) 1 1 321u1L Дальнейшая конкретизация числа Λ0 в общей ситуации невозможна. Хотя Υ+(λ) → 0 при |λ| → ∞, но убывать к нулю эта величина может «как угодно медленно». Заметим, впрочем, что здесь мы всегда можем пожертвовать явным видом области G0,+,r и считать, что ( e-2πr G0,+,r = λ ∈ G+,r : |λ| > 1, Υ+(λ) < 16(1p 1 + 1p 1 ) в случае оператора Дирака и ( L1 L1 e-2πr G0,+,r = λ ∈ G+,r : |λ| > 1, |λ| > 64e2πr 1u1L 1u21L , Υ+(λ) < в случае оператора Штурма-Лиувилля. 1 1 1 321u1L Отметим, что подходящей для нас асимптотикой в G+,r и G-,r обладают некоторые матри- цы фундаментальных решений Y±(x, λ). В полосе Πr ситуация упрощается, в частности, можно зафиксировать условие Y(0, λ) = I. Следствие 6.1. В области Πr,0 фундаментальная матрица решений системы (6.1) с началь- ным условием Y(0, λ) = I имеет асимптотику Y(x, λ) = (I + A(x, λ))E(x, λ) = E(x, λ)+ R(x, λ), R(x, λ) = (rjk (x, λ)), A(x, λ) = (αjk (x, λ)), 1 · 1 где max rjk( , λ) C[0,π] � C(Υ0(λ)+ γ(λ)), а C = C(a, γ, r). (6.13) j,k Кроме того, в Πr,0 матрица A(x, λ) допускает оценку max 1αjk (·, λ)1W 1 � C(a, γ, r). (6.14) j,k 1 [0,π] Доказательство. Отметим прежде всего, что в полосе Πr элементы матриц E(x, λ) и Y+(x, λ) равномерно по x ∈ [0, π] ограничены величиной C(a, γ, r). Пусть Y+(x, λ) - матрица, построенная в теореме в области G+,r,0 ⊃ Πr,0. Заметим, что Y+(0, λ) = I + A+(0, λ), где элементы матрицы A+(0, λ) допускают оценку величиной C(a, γ, r)(Υ+(λ)+ γ(λ)). Увеличивая при необходимости Λ0, получим представление Y-1 + (0, λ) = I + A�+(λ), где элементы матрицы A�+(λ) допускают такую же оценку в Πr,0. Для доказательства оценки (6.13) достаточно заметить, что откуда + Y(x, λ) = Y-1(0, λ)Y+ (x, λ), R(x, λ) = A+(x, λ)E(x, λ)+ A�(λ)Y+(x, λ). СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 413 Для доказательства (6.14) заметим, что A(x, λ) = A+(x, λ)+ A�(λ)+ A�(λ)A+(x, λ). 1 Все элементы матрицы A+(x, λ) ограничены по норме пространства W 1[0, π] величиной C(a, γ, r), а элементы матрицы I + A�(λ) не зависят от x и допускают аналогичную оценку, откуда вытека- ет (6.14). ОЦЕНКИ ФУНКЦИЙ Υ±(λ) И Υ0(λ) Теперь наша цель - показать, что при дополнительных условиях на потенциал q(x) оператора Штурма-Лиувилля или P (x) оператора Дирака можно прояснять характер убывания к нулю функций Υ±(λ). Мы будем работать с функцией Υ+(λ) в верхней полуплоскости G+,r - рассуждения для нижней полуплоскости G-,r полностью аналогичны (меняется лишь знак в показателях экспонент), а полоса Πr является подмножеством G+,r. Приведем определение пространства Харди, необходимое нам для дальнейших рассуждений. Определение 7.1. Пространством Харди Hs в полуплоскости G+,r = {z = x + iy : y > -r}, r > 0, называется банахово пространство аналитических функций ϕ(z), для которых конечна величина 1ϕ1Hs = ⎧ ⎪⎨sup y>r s Г |ϕ(x + iy)| R 1/s dx , если s ∈ [1, ∞), ⎩ ⎪sup sup |ϕ(x + iy)|, если s = +∞. y>r x∈R Пространством Харди Hs в полосе Πr = {z : | Im z| < r}, r > 0, называется банахово простран- ство голоморфных в Πr функций с конечной нормой ⎛r 1ϕ1Hs = sup ⎝ |y|<r s |ϕ(x + iy)| ⎞ dx⎠ 1/s , 1 < s < ∞ R (при s = ∞ интеграл заменяем на супремум). Мы уже знаем, что Υ+(λ) → 0 при G+,r × λ → ∞. Теорема Пэли-Винера утверждает, что одностороннее преобразование Фурье r∞ fˆ(λ) = 0 eiλtf (t) dt любой функции f ∈ Lp(R), p ∈ [1, 2], есть функция пространства Харди Hp! с сопряженным ин- дексом pl = p p - 1 (для краткости дальнейших формулировок договоримся везде далее обозначать штрихом сопряженный индекс). Оказывается, что функция Υ+(λ) обладает аналогичными свойствами. Конечно, эта функция не может лежать в пространстве Харди, поскольку она не аналитична по переменной λ ∈ G+,r, но свойства аналитичности и гладкости функции Υ0(λ) нас не интересуют, нам интересен ее «характер убывания» при |λ| → ∞. В данном разделе мы покажем, что в этом отношении свойства функции Υ+(λ) полностью повторяют свойства функций пространства Харди Hp! (C+). Прежде всего, мы перепишем функции υ+,jk в следующем виде: 2x-2s 1 r υ+,11(s, x, λ) = 2 0 a21(τ /2+ s)eiλτ dτ, (7.1) 414 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ 1 υ+,12(s, x, λ) = - 2 2π-2x r max{0,2s-2x} 2x-2s a21(τ /2+ x)eiλτ dτ, 1 r υ+,21(s, x, λ) = - 2 0 2s 1 r a12(x - τ /2)eiλτ dτ, iλτ υ+,22(s, x, λ) = 2 max{0,2s-2x} a12(s - τ /2) e dτ, p,q где λ ∈ G+,r, а параметры s, x ∈ [0, π] считаем фиксированными. Мы будем рассматривать шкалы пространств Lp[0, π] и Bθ [0, π] для функций u(x) (перво- образная потенциала q для оператора Штурма-Лиувилля) и p2(x), p3(x) (элементы матрицы- потенциала P (x) для системы Дирака). Определение пространств Бесова см. в приложении B, определение 17.6 и теорема 17.IX. Вернемся к функциям υ+,jk(s, x, λ). Поскольку оператор ли- p,q нейной замены T : f 1→ f (ω(·)) ограничен в пространствах Lp[0, π] и в пространствах Bθ [0, π], достаточно будет рассмотреть функцию 2x r υ(x, λ) = 0 f (t/2)eiλtdt, Υ(λ) = sup x∈[0,π] |υ(x, λ)| . (7.2) Прежде всего заметим, что в верхней полуплоскости ⎛ 2π r ⎞1/p ⎛ 2π p r ⎞1/p! Υ(σ + iτ ) � ⎝ 0 |f (t/2)| dt⎠ ⎝ e-p!τtdt⎠ 0 p � C(p)1f 1L τ -1/p! (7.3) (обычная оценка для преобразования Лапласа функции из Lp). Более точная информация об убывании функции Υ содержится в следующей теореме. Теорема 7.1. Для любой f ∈ Lp[0, π], p ∈ (1, 2] справедлива оценка функции Υ(λ) 1/p! ⎛r sup ⎝ τ ;;:-r ⎞ Υp! (σ + iτ ) dτ ⎠ � C1f 1Lp , (7.4) R где величина C зависит только от r и p. Доказательство. Положим λ = σ + iτ, зафиксируем τ > -r и обозначим h(t) = f (t/2)e-τt (далее считаем функцию h продолженной нулем за пределы отрезка [0, 2π]). Легко видеть, что Υ(σ + iτ ) = C(hˇ) (σ), где C - нелинейный оператор Карлесона x r [C(f )] (σ) := sup f (t)eitσ dt , ˆ x>0 -x а hˇ - обратное преобразование Фурье функции h. Теперь воспользуемся теоремой Карлесона- Ханта (см. теорему 17.V приложения B). В силу этой теоремы и теоремы Хаусдорфа-Юнга ˇ πr 1Υ(· + iτ )1Lp! (R) � C(p)1h1Lp! (R) � C(p)1h1Lp [0,2π] � C(p)e Переходя к супремуму по τ ;;: -r, получаем утверждение теоремы. 1f 1Lp[0,π]. Для формулировки дальнейших результатов нам потребуются некоторые свойства меры Карле- сона (см. приложение B, определение 17.3). СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 415 Теорема 7.2. Для любой f ∈ Lp[0, π], p ∈ [1, 2], и для любой меры Карлесона μ в G+,r спра- ведлива оценка функции Υ(λ), введенной в (7.2): 1Υ1Lp! (μ) � C1f 1Lp , где величина C зависит только от |dμ| и числа r. Доказательство. Мы уже доказали, что функция Υ(λ) интегрируема в степени pl по каждой горизонтальной прямой, лежащей в замкнутой полуплоскости G+,r. Заметим теперь, что Υ(λ) субгармонична в открытой полуплоскости G+,r. Действительно, пусть точка λ лежит в G+,r вместе со своей окрестностью радиуса δ. Зафикси- руем x ∈ [0, π] и запишем формулу среднего значения для голоморфной функции переменной λ: 2π Тогда 1 r υ(x, λ) = 2π 0 2π υ(x, λ + δeiθ ) dθ. 2π 1 r |υ(x, λ)| � 2π 0 iθ |υ(x, λ + δe 1 r )| dθ � 2π 0 Υ(λ + δeiθ ) dθ и остается перейти к супремуму по x ∈ [0, π]. Поскольку функция Υ(t - ir), t ∈ R, суммируема в степени pl, то интеграл Пуассона r 1 a U (λ) = R Pτ +r (σ - t)Υ(t - ir) dt, λ = σ + iτ, Pa(ξ) = π ξ2 + a2 , корректно определяет гармоническую в G+,r функцию U (λ). Эта функция непрерывна в G+,r и совпадает с Υ(λ) при λ ∈ ∂G+,r, а значит, является гармонической мажорантой: Υ(λ) � |U (λ)| ! для всех λ ∈ G+,r. Поскольку Υ(t - ir) ∈ Lp! (R), то U (λ) ∈ Hp (см. [17, теорема I.3.5]), откуда U ∈ Lp! (dμ) (см. [17, теорема II.3.9]), а значит, и Υ(λ) ∈ Lp! (dμ) с соответствующей оценкой на норму 1Υ(λ)1Lp! (dμ) � C1Υ(t - ir)1Lp! (R) � C1Υ(λ)1Hp! (G+,r ), где величина C зависит только от характеристики меры |dμ|. Для приложений полученного результата отметим следующий частный случай. Назовем после- довательность λn, n ∈ N, точек полосы α1 < Im λ < α2 для некоторых α1 и α2, 0 < α1 < α2, несгущающейся, если найдется число β > 0 такое, что в любом прямоугольнике Re λ ∈ [x, x + 1], Im λ ∈ [α1, α2] заключено не более β элементов последовательности. Следствие 7.1. Пусть {λn} - несгущающаяся последовательность точек полосы α1 < Im λ < α2. Тогда для любой функции f ∈ Lp[0, π], p ∈ [1, 2], справедлива оценка 1{Υ(λn)}1lp! � C1f 1Lp , где величина C зависит только от характеристик несгущающейся последовательности {λn}. В случае p = 1 можно добавить, что Υ(λn) → 0 при n → ∞. Доказательство. Достаточно заметить, что мера dμ = ), δ(λ - λn) является мерой Карлесона. Действительно, для каждого прямоугольника Qx,y имеем (β(y + 1), если y ;;: α1, μ(Qx,y ) � 0, если y ∈ (0, α1). Остается воспользоваться теоремой 7.2. Последнее утверждение о стремлении Υ(λn) к нулю было доказано выше. 416 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ 1, Перейдем к шкале пространств Бесова Bθ ∞ [0, π]. Обозначим через Lθ ∞ (G+,r ), θ ∈ [0, 1], про- странство ограниченных измеримых на G+,r функций f (z), для которых конечна норма ∞ 1f 1Lθ = sup z∈G+,r |f (z)|(1 + |z|)θ. Это пространство, как легко видеть, состоит из функций f (z) = O(|z|-θ ) при z → ∞. Подпростран- ство в Lθ (G+,r ), состоящее из функций f (z) = o(|z|-θ ) при z → ∞, обозначим через Lθ (G+,r ). ∞ 1, Теорема 7.3. Если функция f лежит в пространстве Bθ ∞ Lθ ∞,0 [0, π], θ ∈ (0, 1), то Υ(λ) ∈ ∞(G+,r ), причем ∞ 1Υ(λ)1Lθ 1 1 � C f Bθ , 1,∞ где величина C зависит только от r. Если функция f абсолютно непрерывна, то Υ(λ) ∈ ∞ L1 (G+,r ), причем При замене пространства Bθ ∞ 1Υ(λ)1L1 [0, π] на Bθ 1 � C1f 1W 1 . [0, π] получим Υ(λ) ∈ Lθ [0, π] с сохранением оценки на норму. 1,∞ 1,∞,0 ∞,0 Доказательство. Для случая f ∈ L1[0, π] уже доказано в лемме 6.1, что Υ(λ) ∈ L∞,0(G+,r )), причем 1Υ(λ)1L∞ � C1f 1L1 . 1 В случае f ∈ W 1[0, π] утверждение вытекает из леммы 6.1 и интегрирования по частям: ⎛ eiλtf (t/2) 2x 2x 1 r ⎞ f 1 1 1Υ(λ)1L1 � sup ⎜ 0 + f l(t/2)eiλt dt ⎟ � 1 W1 (1+ 2e2πr ) . ∞(G+,r ) 0�x�π ⎝ |λ| ⎠ 2|λ| 0 |λ| 1,∞ Пусть теперь f ∈ Bθ [0, π]. Здесь утверждение доказывается при помощи теоремы об интерполя- ции (см. приложение A, теорема 16.II и приложение B, теорема 17.X). Положим Tx : f (·) 1→ υ(x, ·), 1 1 X0 = L1[0, π], Y0 = L∞(G+,r ), X1 = W1 [0, π], Y1 = L∞(G+,r ), θ θ X = (X0, X1)θ,∞ = B1,∞[0, π], Y = (Y0, Y1)θ,∞ = L∞(G+,r ) (здесь мы пользуемся теоремой Стейна-Вейса, см. приложение B, теорема 17.II). Мы уже доказали, что 1Tx1X0 →Y0 = C0 < ∞, 1Tx1X1 →Y1 = C1 < ∞, с константами, не зависящими от x. Это значит, что 1-θ θ Тогда sup x∈[0,2π] 1Tx1X→Y � C0 C1 . 1Υ(λ)1Lθ = sup (1 + |λ|)θ sup |υ(x, λ)| = sup 1υ(x, ·)1Lθ � ∞ Im λ;;:0 x∈[0,2π] x∈[0,2π] � sup ∞ 1Tx1Bθ θ · 1f 1Bθ � C1f 1Bθ . x∈[0,2π] 1,∞→L∞ 1,∞ 1,∞ 1,∞,0 Случай f ∈ Bθ [0, π] выводится из доказанного стандартным приемом. Вначале заметим, что sup |υ(x, λ; f1) - υ(x, λ; f2)| � sup 1Tx1Bθ θ 1f1 - f21Bθ � C1f1 - f21Bθ . (7.5) x∈[0,2π] x∈[0,2π] 1,∞→L∞ 1,∞ 1,∞ 1,∞ Зафиксируем функцию f ∈ Bθ и подберем абсолютно непрерывную функцию f�, для которой Тогда 1f - f�1Bθ 1,∞,0 [0, 1] < ε. θ-1 ∞ (1 + |λ|)θ |υ(x, λ; f )| = (1 + |λ|)θ |υ(x, λ; f�)| + 1υ(x, λ; f ) - υ(x, λ; f�)1Lθ � C|λ| + Cε, СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 417 где C не зависит от x. Выбирая λ ∈ G+,r достаточно большим по модулю, получим (|λ| + 1)θ |υ(x, λ; f )| � Cε. p,p! Перейдем к случаю f ∈ Bθ [0, π], p ∈ (1, 2], θ < 1/p. Заметим, что при p = 2 эти простран- θ 2 ства совпадают с пространствами бесселевых потенциалов H2 [0, π] (см. определение 17.9) и с пространствами Соболева W θ[0, π]. p,p! Теорема 7.4. Если функция f ∈ Bθ [0, π], p ∈ (1, 2], θ ∈ (0, 1/p), то 1/p! ⎛r sup ⎝ τ ;;:-r R ⎞ ! (Υ(λ))p (1 + |σ|)θp! dσ⎠ 1 1 � C f Bθ p,p! , λ = σ + iτ, (7.6) 1 где величина C зависит только от r. Кроме того, для любой несгущающейся последователь- ности {λn}∞ в G+,r выполнено {nθ Υ(λn)} ∈ lp! , причем p! 1{nθ Υ(λn)}1l � C1f 1Bθ , (7.7) p,p! где величина C зависит только от r и характеристик α1, α2, β последовательности {λn}. Доказательство. Рассмотрим вначале случай p = 2. Пусть F - оператор преобразования Фурье. Согласно лемме 17.1, функция hˆ = F [h](σ) = υ(1,σ + iτ ) 2 (здесь τ ;;: -r фиксировано) лежит в пространстве Lθ (R), причем 1hˆ1Lθ � C1h1Bθ , (7.8) 2 2,2 где C зависит только от функции r. Как и в доказательстве теоремы 7.1 заметим, что Υ(σ + iτ ) = C(hˇ) (σ), 2 где C - нелинейный оператор Карлесона, а hˇ - обратное преобразование Фурье функции h. Легко проверить, что вес w(λ) = (1 + |λ|)2θ принадлежит классу Макенхаупта A2, а L2(w) = Lθ (R). В силу теоремы 17.V и (7.8), 2,2 [0,π] 1Υ(λ)1L2 ((1+|λ|)2θ ) � C1hˇ1L2 ((1+|λ))2θ ) � C(r)1h1Bθ . Переходя к максимуму по τ ;;: -r, получаем ⎛ r ⎞1/2 sup ⎝ (Υ(λ))2 (1 + |σ|)2θ dσ⎠ � C1f 1Bθ , λ = σ + iτ. τ ;;:-r R 2,2 Мы доказали первое утверждение теоремы для случая p = 2. Общий случай получается теперь с помощью интерполяции по индексу p ∈ [1, 2] (случай p = 1 разобран в теореме 7.3). Зафиксируем переменную τ ;;: -r; рассмотрим отображение T : f (x) 1→ Υ(σ + iτ ) = sup 2x r f (t/2)eiλt dt , где λ = σ + iτ. Мы уже проверили, что ∈ x [0,π] 0 T : Bs1 [0, π] → Ls1 (R), 0 < s1 < 1/2, 1Tf 1 � C11f 1 . Кроме того L 2,2 2 B s1 s1 2 2,2 T : Bs2 [0, π] → Ls2 (R), 0 < s2 < 1, 1Tf 1 s2 � C21f 1 s2 . 1,∞ ∞ L∞ B1,∞ При этом константы C1 и C2 зависят от r и индексов s1, s2, но не зависят от τ и f. Мы положим A1 = Bs1 [0, π], A2 = Bs2 [0, π], причем выберем s1 � s2. 2,2 1,∞ 418 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Далее, пусть B1 = Ls1 (R), B2 = Ls2 (R). 2 Согласно теоремам 17.XIV и 17.III, имеем p,p! [A1, A2]θ = Bs ∞ p! [0, π], [B1, B2]θ = Ls (R), где 2 s = (1 - θ)s1 + θs2, p = 1+ θ . Получаем первое утверждение теоремы. Перейдем к доказательству второго утверждения. Так же, как при доказательстве теоремы 7.2, проверяется, что функция Υ(λ) субгармонична в C+. Тогда при любом достаточно малом δ > 0 2π 1 r Υ(λn) � 2π 0 Υ(λn + δeiθ ) dθ. (7.9) Положим R = min{α1, 1/2}, где α1 введено в определении несгущающейся последовательности. Умножим неравенство (7.9) на δ и проинтегрируем по δ ∈ [0, R]: R 2π R2 1 r 2 Υ(λn) � 2π r 1 rr Υ(λn + δeiθ ) dθ dδ = 2π Υ(λ) dσ dτ. Тогда 0 0 θ 1 rr |λ-λn|�R θ Υ(λn)|λn| � πR2 |λ-λn |�R Υ(λ)(1 + |λ|) dσ dτ. Применяя неравенство Гельдера, получим p! θ rr Υp! (λn)|λn| � C |λ-λn|�R Υp! (λ)(1 + |λ|)p!θ dσ dτ. Непосредственно из определения несгущающейся последовательности следует оценка C1n � |λn| � C2n, n ∈ N. Отсюда ∞ ∞ rr , Υp! (λn)np!θ � C , Υp! (λ)(1 + |λ|)p! θ dσ dτ. n=1 n=1 |λ-λn|�R Каждый из кругов Un = {λ : |λ - λn| � R} может пересекаться с не более, чем β другими такими кругами, а значит, сумма интегралов в правой части не превосходит α2 +1 Учитывая (7.6), имеем r r β Υp! (λ)(1 + |λ|)p! θ dσ dτ. 0 R 1/p! p! 1{Υ(λn)nθ }1l ⎛ r � C ⎝sup ⎞ Υp! (λ)(1 + |λ|)p! θ dσ⎠ � C1f 1Bθ . τ ;;:0 R p,p! В заключение этого раздела еще раз отметим, что в силу представлений (7.1) и ограниченности p,q оператора линейной замены T : f 1→ f (ω(·)) в пространствах Lp[0, π] и в пространствах Bθ [0, π] все доказанные выше результаты справедливы для функций Υ± стях и для функции Υ0 в полосе. в соответствующих полуплоско- СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 419 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ В СИЛЬНО РЕГУЛЯРНОМ СЛУЧАЕ Вначале мы получим асимптотические формулы для собственных значений и собственных функ- ций определенного в утверждении 2.5 дифференциального оператора Lq,U , порожденного диффе- ренциальным выражением и регулярными краевыми условиями l(y) = -yll + q(x)y Uj (y) = aj1y(0) + aj2y[1](0) + bj1y(π)+ bj2y[1](π), j = 1, 2. (8.1) Обозначим через Jij определитель, составленный из i-го и j-го столбца матрицы a11 a12 b11 b12 . a21 a22 b21 b22 Напомним, что оператор Lq,U называется регулярным (по Биркгофу), если выполнено одно из следующих условий: 1) J42 ⊕= 0; 2) J42 = 0, J14 + J32 ⊕= 0; 3) J42 = J14 = J32 = 0, J12 + J34 = 0, J13 ⊕= 0. При этом в случаях 1) и 3), а также в случае 2) при дополнительном условии J14 + J32 ⊕= ±(J12 + J34), оператор называется сильно регулярным. В противном случае будем называть его слабо регуляр- ным. Далее мы будем проводить оценки в комплексной z-плоскости внутри областей, ограниченных параболами Pr = {z ∈ C : | Im √z| < r}, а в λ-плоскости (λ = √z) внутри полос Πr = {λ ∈ C : | Im λ| < r}. Из результатов этого раздела будет видно, что на самом деле числа λn = √zn, где zn - собственные значения оператора Lq,U , сосредоточены в полуполосах {λ ∈ Πr : Re λ > R} для некоторого R ∈ R. Таким образом, нас будут интересовать асимптотические оценки именно в таких полуполосах, но для удобства изложения мы будем писать λ ∈ Πr, понимая, что Re λ → +∞. Всюду далее, рас- сматривая функцию λ = √z, подразумеваем выбор ее главной ветви, принимающей положительные значения при z > 0. Определение шкалы W θ и W˚ θ = W θ , где U (y) = (y(0), y(π)), см. в приложении B. Отметим 2 (см. теорему 17.XVII), что 2 2,U 2 = W˚2 при 0 � θ < 1/2. W θ θ p Через lθ обозначим пространства последовательностей (см. определение 17.1). Напомним, что последовательность точек {λn} полосы Πr называется несгущающейся, если найдется такое β > 0, что количество членов последовательности, попадающих в прямоугольник Qa = {Re λ ∈ [a, a + 1], | Im λ| < r}, не превосходит β. Мы будем проводить оценки в полуплоскостях G+,r = {λ : Im λ > -r} и G-,r = {λ : Im λ < r}, где r ;;: 0 - произвольно, а также в полосах Πr. Для оценки остатков мы будем использовать функции Υ± и Υ0, определенные в (6.2) и (6.3). Естественно, первая функция будет использоваться для проведения оценок в полуплоскости G+,r, а вторая - в полуплоскости G-,r. В полосах Πα удобно для оценок использовать функцию Υ0. Через ϕ(x, λ) и ψ(x, λ) далее обозначаем фундаментальную систему решений уравнения -yll + q(x)y = λ2y 420 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ с начальными условиями ϕ(0, λ) = 1, ϕ[1](0, λ) = 0, ψ(0, λ) = 0, ψ[1](0, λ) = 1. (8.2) Напомним, что q = ul, u ∈ L2[0, π]. Утверждение 8.1. Для любого вещественного r найдется такое k0 = k0(r, 1u1L2 ), что для всех точек множества λ ∈ G0,+,r = {λ : Im λ > -r, Υ(λ)+ |λ|-1 < k0}, справедливы представления sin(λx) ψ(x, λ) = λ + r0,0(x, λ), ϕ(x, λ) = cos(λx)+ r1,0(x, λ), (8.3) ψ[1](x, λ) = cos(λx)+ r0,1(x, λ), ϕ[1](x, λ) = -λ sin(λx)+ r1,1(x, λ), где функции rj,k(x, λ) удовлетворяют оценке , j, k∈{0, 1} 1rj,k(·, λ)1C[0,π] � C(Υ+(λ)+ |λ|-1), (8.4) а константа C зависит только от 1u1L2 и r. Для полуплоскости G-,r справедливо то же утверждение (с заменой Υ+ на Υ-). Доказательство. Проведем доказательство для G0,+,r. Согласно теореме 6.1, для всех λ из G0,+,r, где k0 зависит только от 1u1L2 и r, найдется фундаментальная система решений y±(x, λ) = e± iλx ± ± [1 + ζ (x, λ)] , y[1](x, λ) = ±iλe± iλx [1 + ζ±, 1(x, λ)] , где остатки ζ± и ζ±, 1 подчинены оценкам 1ζ(·, λ)1L∞ � C (здесь C вновь зависит только от 1u1L2 и r). (Υ+(λ)+ |λ|-1) Уменьшим, если надо, число k0 так, чтобы правая часть в последних оценках не превосходила 1/2 (при этом число k0 по-прежнему зависит только от 1u1L2 и r). Тогда прямым подсчетом получаем ψ(x, λ) = (y+(x, λ) y-(x, λ)) 1+ ζ+(0, λ) 1 + ζ-(0, λ) 0 sin(λx) = + r0,0(x, λ), -1 - ζ+,1(0, λ) 1 + ζ-,1(0, λ) i/λ λ ) = ψ[1](x, λ ( y[1] [1] \ 1+ ζ+ (0, λ) 1 + ζ- (0, λ) 0 = cos(λx)+ r0,1(x, λ). Аналогично, + (x, λ) y- (x, λ) -1 - ζ+,1(0, λ) 1 + ζ -,1 (0, λ) i/λ ϕ(x, λ) = (y+(x, λ) y-(x, λ)) 1+ ζ+(0, λ) 1 + ζ-(0, λ) 1 = cos(λx)+ r1,0(x, λ), -1 - ζ+,1(0, λ) 1 + ζ-,1(0, λ) 0 ( \ 1+ ζ (0, λ) 1 + ζ (0, λ) 1 ϕ[1](x, λ) = y[1] [1] + - = = -λ sin(λx)+r1,1(x, λ). + (x, λ) y- (x, λ) -1 - ζ+,1(0, λ) 1 + ζ -,1 (0, λ) 0 Здесь остатки будут подчинены оценке (8.4). Следствие 8.1. Для любого вещественного α найдется такое k0 = k0(α, 1u1L2 ), что для всех точек области λ ∈ Π0,α = {λ : | Im λ| < α, Υ0(λ)+ |λ|-1 < k0} справедливы представления (8.3) с оценками (8.4) (с заменой Υ+ на Υ0). Пусть L0,U - оператор с нулевым потенциалом и теми же краевыми условиями (имеется в виду, что матрица краевых условий остается неизменной, а квазипроизводные y[1](0) и y[1](π) меняются на yl(0) и yl(π) соответственно). Теперь мы готовы доказать следующий результат. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 421 Утверждение 8.2. Пусть Δ(λ) - характеристический определитель регулярного оператора Lq,U , а Δ0(λ) - характеристический определитель оператора L0,U . Тогда в произвольной об- ласти Π0,r справедливо представление | Δ(λ) = Δ0(λ)+ δ(λ), |δ(λ)| � M |λ k (Υ0(λ)+ |λ|-1 ), (8.5) где k = 1, 0 или -1 при регулярности краевых условий первого, второго или третьего вида, соответственно, а M зависит только от 1u1L2 и r. Кроме того, найдется такая полоса Πr0 , где r0 определяется только нормой 1u1L2 и крае- выми условиями U, что вне этой полосы справедливо асимптотическое представление Δ(λ) = Δ0(λ)(1 + ρ(λ)), |ρ(λ)| � M (Υ+(λ)+ |λ|-1), (8.6) с константой M, зависящей только от 1u1L2 и краевых условий. Доказательство. Пусть ϕ(x, λ), ψ(x, λ) - решения уравнения l(y) = λ2y, определенные выше. Согласно теореме 2.I, для любой функции f ∈ L2[0, π] существует решение η(x, λ) уравнения l(y) - λ2y = f, подчиненное условию η(0, λ) = η[1](0, λ) = 0. Общее решение этого уравнения имеет вид y = c1ϕ + c2ψ + η, где c1, c2 - постоянные. Условие y ∈ D(L) влечет Uj (y) = 0, j = 1, 2. Поэтому решение y находится однозначно, если не равен нулю характеристический определитель U1(ϕ) U1(ψ) a11 + b11ϕ(π, λ)+ b12ϕ[1](π, λ) a12 + b11ψ(π, λ)+ b12ψ[1](π, λ) Δ(λ) = = . U2(ϕ) U2(ψ) a21 + b21ϕ(π, λ)+ b22ϕ (π, λ) a22 + b21ψ(π, λ)+ b22ψ (π, λ) [1] [1] Прямые вычисления приводят к равенству Δ(λ) = J12 + J34 + J13ψ(π, λ)+ J14ψ[1](π, λ)+ J32ϕ(π, λ)+ J42ϕ[1](π, λ). (8.7) Подставляя асимптотические формулы (8.3), получим в G0,+,r k -1 ( iπλ -iπλ \ |Δ(λ) - Δ0(λ)| � M |λ| (Υ+(λ)+ |λ| ) |e | + |e | , (8.8) где M = M (1u1L2 , r). Поскольку Π0,r ⊂ G0,+,r, то первое утверждение доказано. Докажем второе утверждение. Разберем случай Im λ > 0. Пусть, например, J24 ⊕= 0. Напомним, что в этом случае мы ввели обозначения Δ00(λ) = 2λJ24 cos(πλ) и δ0(λ) = Δ0(λ) - Δ00(λ). 0 2 00 0 Подберем r = r(U ) > 0 так, что |δ (λ)| � 1 |Δ (λ)|. Тогда при Im λ > r а значит 1 |Δ0(λ)| ;;: 2 |Δ00(λ)| ;;: |J24|· |λe- \ , iπλ | Итак, при Im λ > r0 | |λ||Δ0(λ)|-1 ( eiπλ| + |e-iπλ| � C(U ). Δ(λ) = Δ0(λ)+ (Δ(λ) - Δ0(λ)) = Δ0(λ)(1 + ρ(λ)), где ρ(λ) � C(1u1, r,U )(Υ+ (λ)+ |λ|-1). Здесь мы воспользовались оценкой (8.8) в области G0,+,r. Теперь мы подберем число r0 так, чтобы множество {Im λ > r0} помещалось в G0,+,r. Тогда число r0 приобретает зависимость от величины Λ0, определенной в (6.12). Однако в силу оценки (7.3) неравенство e-2πr L1 Υ+(λ) � 321u1 из (6.12) заведомо выполнено при 2πr 2 Im λ > r0 = (Cabs1u1L2 1u1L1 e ) . 422 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Таким образом, r0 зависит только от 1u1L2 и r, а эта величина, в свою очередь, зависит только от краевых условий. Другие случаи регулярности краевых условий и случай Im λ < 0 разбираются аналогично. Замечание 8.1. Поскольку | Δ0(λ) - Δ00(λ) = O(|λ k-1), где k = 1, 0 или -1 при регулярности краевых условий первого, второго или третьего вида, соответственно, то в представлениях (8.5) и (8.6) определитель Δ0(λ) можно заменить на Δ00(λ). Теорема 8.1. Любой регулярный оператор Штурма-Лиувилля с потенциалом q = ul, u ∈ L2[0, π], имеет непустое резольвентное множество, спектр его дискретен и лежит в 2 некоторой полосе Πα в плоскости λ = √z. При этом число α зависит только от 1u1L и краевых условий U. Доказательство. Из представления (8.5) и явного вида функции Δ00(λ) непосредственно следует, что Δ(λ) ⊕≡ 0 внутри любой полосы Πr, если выполнено одно из условий 1)-3). 0 Так как Δ(λ) есть голоморфная функция от λ во всей комплексной плоскости C, то нули Δ(λ) образуют последовательность, не имеющую конечных предельных точек. Если Δ(λ0) ⊕= 0, то в силу оценки (2.6) оператор (Lq,U - λ2I)-1 отображает единичный шар пространства L2[0, π] в ограниченное множество пространства W 1. Следовательно, (Lq,U - λ2I)-1 компактен. Но тогда 1 0 Lq,U имеет дискретный спектр, который совпадает с квадратами нулей определителя Δ(λ). Остается доказать утверждение о локализации спектра в некоторой полосе Πα в λ-плоскости. Согласно замечанию 8.1, запишем представление Δ(λ) = Δ00(λ)(1 + ρ(λ)), |ρ(λ)| � M (Υ+(λ)+ |λ|-1) с константой M = M (1u1L2 ,U ) вне полосы Πr0 , r0 = r0(1u1L2 ,U ). Нули функции Δ00 лежат в некоторой полосе, ширина которой определяется только краевыми условиями. Сомножитель 1+ ρ(λ) также не может обратиться в нуль вне некоторой полосы. При этом оценка (7.3) показывает, что ширина этой полосы зависит только от 1u1L2 и краевых условий. Отсюда следует, что все нули функции Δ(λ) лежат в некоторой полосе Πα, где α = α(1u1L2 ,U ). Перейдем к выводу асимптотических формул для собственных чисел оператора Lq,U . Пусть 2 q = ul, u ∈ W θ [0, π], θ ∈ [0, 1/2). В утверждении 5.2 мы уже провели нумерациючисел λ0 . Собственные значения z0 = (λ0 )2, n ∈ N, n n n оператора L0,U , таким образом, уже определены. При этом z0 0 2 в силу равенств -n n = (-λ ) λ0 0 -n = -λn, n ∈ N. 2,2 Следующее необходимое нам утверждение сразу следует из теоремы 7.4, поскольку Bθ [0, π] = W θ 2 [0, π]. n=1 Лемма 8.1. Если {λn}∞ - несгущающаяся последовательность чисел в полосе Πα, а функ- ция ∈ W θ[0, π] при некотором 0 � θ < 1/2, то последовательность {Υ0(λn)}∞ ∈ lθ. u 2 n=1 2 2 Теорема 8.2. Пусть u ∈ W θ [0, π] при некотором 0 � θ < 1/2, а q = ul в смысле теории рас- пределений. Пусть Lq,U - оператор, порожденный дифференциальным выражением -yll + q(x)y и регулярными краевыми условиями U. Тогда квадратные корни его собственных значений λn, n ∈ N, можно занумеровать так, что λn = λ0 + sn = λ00 + sn, n = 1, 2,... . (8.9) n n � В случае сильной регулярности краевых условий {sn}∞ ∈ lθ и {� }∞ ∈ lθ, а в случае слабой 2 ∞ θ 2 ∞ θ n=1 2 sn 1 2 регулярности {|sn| n=1 ∈ l2 и {|� | }n=1 ∈ l2. } sn СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 423 Доказательство. Для определенности рассмотрим только случай, когда выполнено условие 2) регулярности краевых условий (другие случаи легче). Зафиксируем параболу Pα, содержащую все собственные значения (теорема 8.1). В силу тео- ремы 8.1 и следствия 8.1, собственные значения оператора Lq,U в области Pα определяются из уравнения где z = λ2, Δ(λ) = cos πz1/2 + J0 + ξ(z1/2) = 0, J0 = J12 + J34 , J14 - J23 |ξ(λ)| � M (Υ0(λ)+ |λ|-1), Re λ > Λ0. Перейдем в λ-плоскость и перепишем это уравнение в виде Δ(λ) = cos πλ + J0 + ξ(λ) = 0. Точки {λ0 }∞ n n=1 суть корни уравнения Δ00(λ) = cos πλ + J0 = 0 из правой полуплоскости. Очевидно, z0 = (λ0 )2. n n n Увеличим число α так, чтобы в полосе Πα кроме чисел λn помещались все {λ00} со своими n 1-окрестностями. Если J0 ⊕= ±1 (сильная регулярность), то все нули {λ00} функции Δ00 простые и найдутся числа δ ∈ (0, 1), ε > 0 такие, что круги n Kn = {λ : |λ - λ00| < δ} не пересекаются, причем |Δ00(λ)| > ε при λ ∈ ∂Kn (это утверждение легко следует из периодичности рассматриваемой функции). Так как |ξ(λ)| → 0 при λ → ∞, λ ∈ Πα, то в силу теоремы Руше при всех достаточно больших n=N n ;;: N функция Δ(λ) имеет ровно один нуль λn в круге Kn. Конечно, последовательность {λn}∞ 2 является несгущающейся. Поэтому из леммы 8.1 имеем {ξ(λn)} ∈ lθ, а тогда {cos πλn - cos πλ00}∞ ∈ lθ. n N 2 Число δ можно считать выбранным столь малым, что (cos(πλ))l > ε1 > 0 при z ∈ Kn. Но тогда |λn - λ00| � M | cos πλn - cos πλ00|, (8.10) n n где постоянная M не зависит от n. Тем самым, асимптотические равенства (8.9) доказаны (точнее, доказаны вторые из этих равенств; первые следуют теперь из утверждения 5.1). n В случае J0 = ±1 корни λ00 имеют кратность 2. Тогда можно повторить проведенные рассужде- ния, но вместо неравенства (8.10) воспользоваться неравенством λ λ 00 2 | n - n | n � M | cos πλn - cos πλ00 |, (8.11) s2 ∞ θ из которого получаем {�n}N ∈ l2. Остается доказать, что построенная нами нумерация чисел λn, n ∈ N, имеет нулевой дефект. Для этого применим теорему Руше к прямоугольнику с вершинами ±a ± ib. Число b выберем настолько большим, что, во-первых, b > α, а, во вторых, на прямых Im λ = ±b справедлива оценка |ρ(λ)| < 1, где ρ определено в (8.6). n Число a выберем настолько большим, чтобы все числа λn, λ0 n и λ00 с номерами n ∈ [-N, N ] лежали в нашем прямоугольнике. Сдвинем, если надо, отрезок этом отрезке не обращалась в нуль, и обозначим [a - ib, a + ib] так, чтобы Δ00(λ) на ε = min λ∈[a-ib,a+ib] |Δ00(λ)|. Теперь увеличим, при необходимости, число a до a + 2m, m ∈ N, так, что max λ∈[a-ib,a+ib] |ρ(λ)| < ε. Значения функции Δ00 при этом не поменяются в силу ее 2-периодичности. Остается применить теорему Руше к функциям Δ(λ) и Δ00(λ) на построенном прямоугольнике. 424 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ 2 Обсудим важный вопрос о равномерности полученных асимптотических представлений. Отме- тим, что случай u ∈ W θ [0, π] с показателем θ строго больше нуля существенно проще случая θ = 0, поскольку скорость убывания функций Υ+, Υ- и Υ0 к нулю при |λ| → ∞ можно в случае θ > 0 оценить величиной C|λ|-θ. 2 [0,π] Далее обозначаем 1· 1W θ через 1· 1θ. Теорема 8.3. В условиях теоремы 8.2, при θ ∈ [0, 1/2) в дополнение к асимптотическим соотношениям (8.9) нумерацию собственных значений zn можно провести так, что будут выполнены оценки 2 1{sn}1lθ � C(1u1θ,U ) (8.12) в случае сильной регулярности краевых условий и 1{|s | }1l � C(1u1 ,U ) (8.13) 2 n θ θ 2 в случае слабой регулярности. Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 8.2 рассмотрим только случай 2) в опреде- лении краевых условий. Рассуждения в остальных двух случаях аналогичны. Пусть Πα - полоса, содержащая все точки λn, n ∈ N. Из утверждения 8.1 следует, что α = α(1u1θ,U ). Расширим ее при необходимости так, как это было сделано в доказательстве теоремы 8.2. Случай θ > 0. Поскольку W θ [0, π] ⊂ Bθ [0, π], то Υ0(λ) ∈ Lθ (Πα) (теорема 7.3) и 2 1,∞ ∞ sup Υ0(λ)(1 + |λ|)θ � C1u1θ λ∈Πα с константой C, зависящей только от α, а значит, только от 1u1θ. Тогда для любого k найдется такое число R = R(k, 1u1θ ), что неравенство Υ0(λ)+ |λ|-1 < k выполнено всюду в области Πα,R := {λ ∈ Πα : |λ| > R}. Пусть k0 = k0(α, 1u1θ ) = k0(1u1θ ) - величина из условия утверждения 8.1. Тогда соотноше- ния (8.3) и оценки (8.4) справедливы всюду в Πα,R. Подставляя эти соотношения в характери- стический определитель, получим для него представление в Πα,R Δ(λ) = Δ00(λ)+ ξ(λ), |ξ(λ)| � C(Υ0(λ)+ |λ|-1), где C = C(1u1θ,U ). В нашей ситуации Δ0(λ) = (J14 + J32) cos(πλ)+ J12 + J34. Разберем вначале случай сильно регулярных краевых условий. Здесь все нули функции Δ0 просты и образуют две периодические последовательности λn = n + κj, j = n (mod 2). n Выберем число δ настолько малым, чтобы круги Kn = {λ : |λ - λ0 | � δ} не пересекались и лежали Πα. Число α при этом, возможно, придется увеличить, так что теперь оно зависит не только от 1u1θ, но и от краевых условий: α = α(1u1θ,U ). При этом δ зависит только от краевых условий. Дальнейшие рассуждения повторяют доказательство теоремы 8.2. Надо только отметить, во- первых, что возможность применения теоремы Руше определяется двумя условиями: ⎧ ⎨λ ∈ Πα,R, sup ⎩λ∈∂Kn |ξ(λ)| < inf λ∈∂Kn |Δ0(λ)|. В последнем неравенстве правая часть определяется только краевыми условиями, а левую часть можно оценить величиной C(Υ0(λ)+ |λ|-1), C = C(1u1θ,U ). Тогда это неравенство заведомо выполнено в Πα,R (при этом величину R, возможно, потребуется увеличить, так что теперь она зависит не только от 1u1θ, но и от краевых условий: R = R(1u1θ,U )). Второе, что нужно отметить, это то, что величина M в (8.10) зависит только от δ, а значит, только от краевых условий. В случае слабой регулярности оценки (8.10) меняются на (8.11). СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 425 1 Таким образом, мы доказали (8.12) и (8.13), но не для всей последовательности {sn}∞, а только n=N для {sn}∞ . При этом число N определяется условием Kn ⊂ Πα,R, а значит, N = N (1u1θ,U ). Уве- личим еще один (последний) раз число R (и, соответственно, индекс N ). А именно, зафиксируем величину δ = δ(U ) так, чтобы круги Kn не пересекались. Теперь положим ε = inf{|Δ00(λ) : λ ∈ Πα \ ∪n∈NKn}. Функция Δ00 периодична по λ, так что величина ε зависит только от α и δ, т. е. ε = ε(1u1θ,U ). Теперь увеличим R так, чтобы в Πα,R выполнялось неравенство |ξ(λ)| < ε. Поскольку |ξ(λ)| � C(Υ0(λ)+ |λ|-1), C = C(1u1θ,U ), то по-прежнему имеем R = R(1u1θ,U ). Тогда функция Δ(λ) не может обратиться в нуль на множестве λ ∈ Πα,R \ что все ее корни λn с номерами n ∈ [1,N - 1] лежат в прямоугольнике {| Im λ| < α, 0 < Re λ < R}. ∞ n=1 Kn. Это означает, 2 ∞ Тогда оценки (8.12) и (8.13) переносятся на последовательности {sn}∞ и {|sn| } , соответственно. 1 1 n Случай θ = 0. Вначале разберем сильно регулярный случай. Зафиксируем число ε и рассмотрим непересекающиеся круги Kn с центрами λ00, n ∈ Z0, такие, что |Δ00(λ)| > ε на окружностях ∂Kn и |(cos πλ)l| > ε1 > 0 на Kn. Назовем регулярными те индексы n, для которых max λ∈∂Kn |ξ(λ)| < ε. Остальные индексы n назовем иррегулярными. Пусть μn - точки на ∂Kn, где |ξ(λ)| достигает своего максимального значения. Последователь- ность {μn} несгущающаяся, а значит, θ {Υ0(μn)}n∈Z0 ∈ l2 (теорема 7.4). Более того, характеристики α и β последовательности определяются только крае- выми условиями и шириной полосы α = α(1u1L2 ,U ), т. е. 1{Υ0(μn)}1l2 � C(1u1L2 ,U ). Из этой оценки следует, что число N иррегулярных индексов зависит тоже лишь от 1u1L2 и краевых условий U. Для регулярных индексов n повторим рассуждения из доказательства теоремы 8.2 и получим, что Δ(λ) имеет в круге Kn ровно один корень, который мы обозначаем λn, причем | cos πλn - cos πλ00| = |ξ(λn)| � M (1u1L ,U )(Υ0(λn)+ |λn|-1). n 2 Характеристики несгущающейся последовательности {λn} (n пробегает все регулярные индексы) зависят только от 1u1L2 и краевых условий, а значит, 1{cos πλn - cos πλ00}1l � C(1u1L ,U ). Пользуясь оценкой n 2 2 |λn - λ00| � Mabs| cos πλn - cos πλ00|, n n перенесем полученную оценку нормы на последовательность {sn}, где n по-прежнему пробегает все регулярные индексы: 1{λn - λ00}1l � C(1u1L ,U ). (8.14) n 2 2 00 В случае слабо регулярных краевых условий корни λn имеют кратность 2. Тогда можно повторить проведенные рассуждения с той лишь разницей, что откуда получаем λ λ 00 2 | n - n | n � M | cos πλn - cos πλ00|, λ λ 00 2 1{| n - | }1l � C(1u1L ,U ). n 2 2 Итак, регулярные собственные значения занумерованы. Перейдем к иррегулярным номерам n (напомним, что их число N конечно и зависит только от 1u1L2 и U ). 426 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Проведем в полосе Πα кривые γn, n ∈ Z0. Для построения кривой γ1(t), t ∈ [-1, 1], проведем вначале отрезок [-iα + Re λ00, iα + Re λ00], ориентированный снизу вверх. Теперь заменим ту его 1 1 часть, которая попала в круг K1, на правую полуокружность. Если полученный путь пересекает круг K2, то заменим ту часть отрезка, которая попала внутрь K2, на левую дугу окружности ∂K2. Если полученный путь пересекает круг K-1, то заменим ту часть отрезка, которая попала внутрь K-1, на правую дугу окружности ∂K-1. В силу оценки |λ00 00 n - λm | ;;: 2(|m - n|- 1) другие круги путь пересечь не может. В результате получим путь γ1, который все круги с номерами n ;;: 2 оставляет справа, а все круги с номерами n � 1 слева. Аналогичным образом проведем путь γ2. Остальные пути получим параллельным переносом γ1+2n = γ1 + 2n, γ2+2n = γ2 + 2n, n ;;: 0, и симметрией γ-n(t) = -γn(-t). Теперь построим замкнутые контуры Cm,n, m < n, дополнив кривые γm(t) и γn(t) отрезками прямых Im λ = α и Im λ = -α. По построению, каждый контур Cm,n содержит внутри ровно n - m точек последовательности {λ00 j }j∈Z0 . Заметим еще (это потребуется в дальнейшем), что diam Cm,n � | Re λ00 - Re λ00| +2+ 2α � n - m +3 + 2α. n m Построенные контуры, по аналогии с числами λn, разобъем на две категории - подходящие (для применения теоремы Руше) и неподходящие. Путь γn назовем подходящим, если max |ξ(λ)| < min |Δ00(λ)|, γn γn и неподходящим в противном случае. Контур Cm,n назовем подходящим, если оба пути γn и γm подходящие (на прямых Im λ = ±α неравенство max |ξ(λ)| < min |Δ00(λ)| выполнено). Повторим рассуждения, которые мы уже применили к окружностям ∂Kn. Пусть νn - точки на γn, где |ξ(λ)| достигает своего максимального значения. Последовательность {νn} несгущающаяся, а значит, θ {Υ0(νn)}n∈Z0 ∈ l2 (теорема 7.4). Более того, характеристики α и β последовательности определяются только крае- выми условиями и шириной полосы α = α(1u1L2 ,U ), т. е. 2 1{Υ0(νn)}1lθ � C(1u1L2 ,U ). Из этой оценки следует, что число N1 неподходящих контуров γn зависит тоже лишь от 1u1L2 и краевых условий U. Теперь разобъем все индексы n ∈ Z0 на «пачки» следующим образом. Для каждого числа k найдем наименьшее n ;;: k такое, что путь γn является подходящим. Аналогично, найдем наибольшее m � k такое что подходящим является путь γm. Естественно, n � k + N1 - 1, а m ;;: k - N1. Применим теорему Руше к контуру Cm,n и получим, что он ограничивает одинаковое число n-m точек наборов {λj } и {λ00}. Множество индексов чисел λ00, попавших в int Cm,n, объединим в j j j одну «пачку». Точкам λ00 ∈ int Cm,n с регулярными номерами уже отвечают точки λj. j Теперь каждому иррегулярному числу λ00 из int Cm,n сопоставим одно (произвольное еще не занумерованное) {λj }, лежащее в int Cm,n. В результате мы получим некоторую нумерацию по- следовательности λj при которой j |λj - λ00| � diam Cm,n � n - m +3+ 2α � 2N1 + 2α + 4. Тогда (индекс n ниже пробегает все иррегулярные индексы) 1/2 1{λn - λ00}1l � (,(2N1 + 2α + 4)2\ = N 1/2(2N1 + 2α + 4). n 2 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 427 Величина в правой части зависит только от 1u1L2 и U, что позволяет перенести оценку (8.14) на все индексы. Отметим, что согласно теореме 8.2 условие сильной регулярности краевых условий влечет асимп- тотическую однократность собственных значений zn (т. е. все собственные числа zn, начиная с некоторого номера, однократны). Далее через yn мы будем обозначать собственные функции, отве- чающие числам zn с номерами n ∈ N\J . При этом мы будем нормировать их условием 1yn1L2 = 1. ∈ \J n n∈N\J ∈ \J n n∈N\J Теорема 8.4. Пусть выполнены условия и сохранены обозначения теоремы 8.2, причем кра- евые условия сильно регулярны. Обозначим через {yn(x)}n N и {y0 (x)} нормированные в пространстве L2[0, π] собственные функции операторов Lq,U и L0,U , отвечающие собствен- ным значениям {zn}n N и {z0 } соответственно. Тогда yn(x) = y0 (x)+ rn(x), y[1](x) = (y0 (x))l + nr1 (x), (8.15) где n n n n ∞ , nθ ( 2 1 2 \ � C, (8.16) n=1 1rn(x)1C[0,π] + 1rn(x)1C[0,π] причем C зависит только от 1u1L2 и краевых условий U. Доказательство. Снова рассмотрим наиболее трудный случай, когда выполнено условие 2) тео- ремы 8.2. В этом случае после нормировки одно из краевых условий (будем считать, что второе) имеет нулевой порядок, т. е. U2(y) = βy(0) + γy(π), |β| + |γ| > 0. Тогда собственные функции определяются равенством yn(x) = y(x, zn), где √ √ √ √ y(x, z) = ϕ(x, z) ψ(x, z) = ϕ(x, z) ψ(x, z) . (8.17) U2(ϕ) U2(ψ) β + γϕ(π, √z) γψ(π, √z) Это так, поскольку y(x, z) - решение уравнения l(y) = zy и Uj (y(x, zn)) = 0, j = 1, 2. Используя обозначения √zn = λn, !z0 = λ0 , получаем n n y0 0 0 0 0 n(x) = γ(sin λnπ) cos λnx + (β + γ cos λnπ) sin λnx. n Нетрудно видеть, что y0 (x) почти нормированы, т. е. существуют такие постоянные M1 и M2, что В силу теоремы 8.2 имеем n 2 M1 � 1y0 1L � M2, Mj = Mj (U ). |λn - λ0 | < M Υ0(λn), M = M (1u1L ,U ). n 2 Воспользовавшись следствием 8.1, из представления (8.17) легко получить оценки |yn(x) - y0 (x)| � M Υ0(λn), M = M (1u1L ,U ). n 2 n Очевидно, такое же неравенство сохраняется после нормировки функций {yn} и {y0 }. Утверждение теоремы теперь следует из леммы 8.1. Замечание 8.2. Нужно оговорить, что в случае слабой регулярности бесконечно много соб- ственных значений могут оказаться двукратными, и им может отвечать пара собственных функций или одна собственная и одна присоединенная функции. В этом случае выбор собственных и при- соединенных функций можно провести специальным образом так, что утверждение теоремы 8.4 сохранится, но вместо величин Υ0(λn) в оценках будут участвовать величины !Υ0(λn). Такой выбор возможен, но подробное доказательство из-за его громоздкости здесь опущено. n В действительности при наличии кратных собственных значений у невозмущенного оператора более важной является не задача об оценках разности собственных или присоединенных функций возмущенного и невозмущенного операторов, а задача об оценке норм разности проекторов Рисса Pn и P0 на соответствующие двумерные подпространства. 428 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРА ДИРАКА В СИЛЬНО РЕГУЛЯРНОМ СЛУЧАЕ Здесь мы получим асимптотические представления для собственных значений и собственных функций сильно регулярного оператора Дирака. Обозначим через e11(x, λ) e12(x, λ) , (9.1) E(x, λ) = e21(x, λ) e22(x, λ) e11(x, λ) e12(x, λ) e1(x, λ) = e21(x, λ) , e2(x, λ) = e22(x, λ) , (9.2) матрицу фундаментальной системы решений уравнения fP (y) = λy с начальными условиями E(0, λ) = I. Легко видеть, что в случае P = 0 e0 0 eiλx 0 E(x, λ) = E0(x, λ) = 11(x, λ) e12(x, λ) = E(x, λ) = . (9.3) e0 0 -iλx 21(x, λ) e22(x, λ) 0 e Утверждение 9.1. Пусть Πr = {λ : | Im λ| < r}, r > 0. Тогда для всех точек λ ∈ Πr справед- ливы представления e11(x, λ) = eiλx(1 + η11(x, λ)), e21(x, λ) = e-iλxη21(x, λ), e12(x, λ) = eiλxη12(x, λ), e22(x, λ) = e-iλx(1 + η22(x, λ)), (9.4) где j,k max 1ηjk (·, λ)1C[0,π] � Υ0(λ)C(1P 1L1 [0,π], r). (9.5) Кроме этого, почти всюду на [0, 1] выполнены оценки x sup (η11(x, λ))l � M |p2(x)|, sup (η12(x, λ))l � M |p2(x)|, λ∈Πr λ∈Πr x sup (η21(x, λ))l � M |p3(x)|, sup (η22(x, λ))l � M |p3(x)|, (9.6) λ∈Πr 1 где M = exp (2r + ae2r ) , a = 1p21L Доказательство. Пусть + 1p31L1 . e11(x, λ) λ∈Πr (1 + η11(x, λ))eiλx e1(x, λ) = e21(x, λ = η21(x, λ)e-iλx . Оценки (9.5) сразу вытекают из представлений (6.13). Далее, 1+ η11 l 0 -ip2(x)e-2iλx 1+ η11 (9.7) η21 = ip3(x)e2iλx 0 η21 . В силу теоремы 2.I последняя система имеет единственное решение, причем оценка (2.6) дает нам max{|1+ η11(x, λ)|, |η21(x, λ)|} � exp (ae2r ) . Подставляя эти оценки в систему (9.7), получаем результат для первого столбца матрицы E(x, λ). Оценки для второго столбца выводятся аналогично. Определение 9.1. Пусть потенциал P ∈ L1[0, π], краевые условия заданы матрицей U , а функ- ции e1(x, λ) и e2(x, λ) определены в (9.1). Характеристическим определителем Δ(λ) оператора LP,U называется детерминант матрицы u11 + u13e11(π, λ)+ u14e21(π, λ) u12 + u13e12(π, λ)+ u14e22(π, λ) . (9.8) M (λ) = u21 + u23e11(π, λ)+ u24e21(π, λ) u22 + u23e12(π, λ)+ u24e22(π, λ) Утверждение 9.2. Пусть потенциал P имеет вид (3.8), а краевые условия U регулярны. Пусть Δ(λ) - характеристический определитель оператора LP,U , а Δ0(λ) - характеристиче- ский определитель оператора L0,U . Тогда в произвольной области Π0,r справедливо представ- ление Δ(λ) = Δ0(λ)+ δ(λ), |δ(λ)| � M Υ0(λ), (9.9) СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 429 где M зависит только от 1P 1L1 и r. Кроме того, найдется такая полоса Πr0 , где r0 опреде- ляется только краевыми условиями U, что вне этой полосы справедливо представление Δ(λ) = Δ0(λ)(1 + ρ(λ)), |ρ(λ)| � M Υ+(λ), (9.10) с константой M, зависящей только от 1P 1L1 и краевых условий. Доказательство. Определитель матрицы M (λ) имеет вид Δ(λ) = J12 + J13e12(π, λ)+ J14e22(π, λ)+ J32e11(π, λ)+ J42e21(π, λ)+ + J34(e11(π, λ)e22 (π, λ) - e12(π, λ)e21(π, λ)). (9.11) Заметим, что выражение e11(x, λ)e22(x, λ)-e12(x, λ)e21(x, λ) является определителем матрицы фун- даментальной системы решений в точке x ∈ [0, π]. Поскольку след матрицы B-1(λI - P (x)) равен нулю, то согласно теореме Лиувилля (см., например, [33, гл. III, § 1]) это выражение не зависит от x, а при x = 0 оно равно единице по определению функций e1(x, λ) и e2(x, λ). Подставляя асимптотические формулы (6.13) в соотношение (9.11), получим |Δ(λ) - Δ0(λ)| � CΥ0(λ) \ (|eiπλ| + |e-iπλ| , и первое утверждение доказано. Докажем второе утверждение. Разберем случай Im λ > 0. Подбе- рем r0 > 0 так, что Тогда при Im λ > r0 |J12| + |J34| + |J32|e-πr0 � |J14| eπr0 . 2 1 а значит |Δ0(λ)| ;;: |J14e-iπλ|- |J12 + J34 + J32eiπλ| ;;: \ 2 |J14e-iπλ|, (9.12) |Δ0(λ)|-1 (|eiπλ| + |e-iπλ| � 2|J14|-1 (1+ e-2πr0 ) � 4|J14|-1. Далее, рассуждая аналогично доказательству утверждения 8.2, получаем оценку (9.10) с констан- той M, зависящей только от 1P 1L1 и краевых условий. Случай Im λ < 0 разбирается аналогич- но. Мы переходим к выполнению нашей основной задачи в данном разделе - выводу асимптотиче- ских формул для собственных значений и собственных функций оператора LP,U . При этом матрицу P мы можем считать внедиагональной (см. утверждение 3.3). Мы начнем с наиболее общей си- туации P ∈ L1[0, π]. В этом случае наш результат заключается в том, что собственные значения оператора LP,U асимптотически сближаются с собственными значениями невозмущенного опера- тора L0,U . Теорема 9.1. Пусть потенциал P ∈ L1[0, π] имеет вид (3.8) и LP,U - регулярный оператор n Дирака. Обозначим через λ0 собственные значения оператора L0,U и через λn - собственные значения оператора LP,U с учетом алгебраической кратности. Тогда при подходящей нумера- ции последовательности {λn}n∈Z (и такая нумерация возможна) n λn = λ0 + o(1) при |n| → ∞. В частности, {λn}n∈Z ⊂ Πr0 для некоторого r0 > 0. 1,∞ Если P ∈ Lp[0, π], p > 1, или P ∈ Bθ [0, π], θ > 0, то ширина r0 полосы зависит только от нормы потенциала 1P 1 в соответствующем пространстве и краевых условий U. Доказательство. Рассмотрим вначале случай P ∈ L1[0, π]. Обозначим f (λ) := Δ(λ) - Δ0(λ). В силу утверждения 9.2 найдется r0 такое, что |f (λ)| |Δ0(λ)| → 0 при λ → ∞, λ ∈/ Πr0 . Выберем число r > r0 так, чтобы на прямых | Im λ| = r было выполнено неравенство |f (λ)| < |Δ0(λ)|. 430 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Далее, зафиксируем произвольное число μ ∈ (0, 2), для которого на прямой Re λ = μ нет нулей функции Δ0(λ) и обозначим m = min{|Δ0(λ)| : Re λ = μ}. Вновь обращаясь к утверждению 9.2, видим, что |f (λ)| → 0 при λ → ∞ внутри полосы Πr. Тогда найдется такое натуральное N1, что при всех λ ∈ Πr, | Re λ| ;;: μ + 2N1, выполнено |f (λ)| < m. Заметим, что функция Δ0(λ) периодична с периодом 2, а значит, на вертикальных отрезках Re λ = μ ± 2n, n > N1, внутри полосы Πr выполнено min |Δ0(λ)| = m > |f (λ)|. Применим теорему Руше к прямоугольнику, ограниченному прямыми Im λ = ±r, Re λ = μ ± 2n, где n > N1, и получим, что функции Δ(λ) и Δ0(λ) имеют одинаковое (с учетом кратности) число нулей в любом таком прямоугольнике. Перейдем к изучению нулей функции Δ(λ) при λ → ∞ внутри полосы Πr. Зафиксируем число o так, чтобы круги Uε(λ0 ) = {λ : |λ - λ0 | � ε}, n ∈ Z, n n не пересекались и лежали в полосе Πr. Обозначим n mn = min{|Δ0(λ)| : |λ - λ0 | = ε}. n Поскольку функция Δ0(λ) периодична, то mn ;;: M для некоторого M > 0. Тогда существует такое натуральное N2, что при | Re λ| > μ + 2N2 на окружностях |λ - λ0 | = ε выполнено: |f (λ)| < |Δ0(λ)|. n По теореме Руше количество нулей функций Δ(λ) и Δ0(λ) в каждом круге Uε(λ0 ), |n| ;;: 2N2 + 2, совпадает. Теперь мы занумеруем нули функции Δ(λ) в каждом таком круге так, чтобы их номера сов- падали с номерами нулей функции Δ0(λ) в этом же круге. Из рассуждений, приведенных выше, следует, что количество нулей функций Δ(λ) и Δ0(λ), не попавших в объединение этих кру- гов, конечно и одинаково. Проведем нумерацию оставшихся нулей функции Δ(λ) в произвольном порядке. Нули функции Δ(λ) - собственные значения оператора LP,U - мы обозначим {λn}n∈Z. Остается заметить, что число ε мы можем уменьшать и выбирать сколь угодно малым. Для любого такого ε найдется номер N (ε) такой, что при всех |n| > N (ε) выполнено n |λn - λ0 | < ε. Иными словами, n λn = λ0 + o(1), |n| → ∞. Остается доказать утверждение об оценке ширины горизонтальной полосы, содержащей числа λn. 1,∞ Если P ∈ Lp[0, π], p > 1, или P ∈ Bθ [0, π], θ > 0, то, согласно оценке (7.3) или теореме 7.3, соответственно, выполнено Υ0(σ + iτ ) � C1P 1|τ |-a (здесь a > 0 и равно 1/pl или θ, а величина C зависит только от p или θ). Это означает, что оценка |ρ(λ)| < 1 функции ρ(λ) из (9.10) выполнена при всех | Im λ| > α, где α зависит только от 1P 1. Поскольку нули функции Δ0(λ) лежат в полосе, ширина которой зависит только от краевых условий, представление (9.10) приводит к оценке полосы r0 = r0(1P 1,U ). Результаты раздела 6 позволяют уточнять оценки остатков в полученных асимптотических фор- мулах при дополнительных предположениях на потенциал P. Эти оценки различаются в случае сильной и слабой регулярности невозмущенного оператора L0,U . n Пусть {λ0 }n ∈Z - спектр оператора L 0,U . Выберем число ε так, что в кругах n Kn = {λ : |λ - λ0 | � 3ε} (9.13) лежит ровно одно (для сильно регулярного случая - однократное, а для слабо регулярного слу- чая - двукратное) собственное значение. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 431 n Заметим, что построенные круги не пересекаются, а число ε > 0 корректно определено, посколь- ку последовательность {λ0 } периодична. Зафиксируем горизонтальную полосу Πα, содержащую все эти круги, и заметим, что α зависит только от краевых условий U. Определим числа sn(r) = max n |λ-λ0 |�r Υ0(λ), 0 � r � ε. (9.14) n n Определитель Δ0(λ) равен нулю при λ = λ0 . Если краевые условия сильно регулярны, то все его нули просты, и тогда в круге |λ - λ0 | < ε, где число ε определено выше, выполнена оценка n |Δ0(λ)| > c1|λ - λ0 |. При этом, поскольку функция Δ0(λ) периодична, число c1 можно выбрать не зависящим от n. Очевидно, что функция sn(r) непрерывна и монотонно возрастает по r ∈ [0, ε]. c Заметим, что sn(ε) → 0 при |n| → ∞ согласно лемме 6.1. Это означает, что неравенства sn(ε) � 1ε M (число M = M (1P 1L1 , α) = M (1P 1L1 ,U ) определено в (9.9)) выполнены для всех n ∈ Z, кроме некоторого конечного набора индексов. Мы обозначим это множество индексов I и, как и в случае оператора Штурма-Лиувилля, назовем n ∈ Z \ I регулярными, а n ∈ I иррегулярными индексами. Естественно, существует такой номер N = N (P, U ), что все n регулярны при |n| ;;: N . Итак, для каждого регулярного n найдется число r = r , являющееся корнем уравнения s (r) = c1r . n n M При некоторых n это уравнение может иметь несколько решений - мы выберем наименьшее из них (оно, возможно, равно нулю). Таким образом max n |λ-λ0 |�rn Υ0(λ) = sn(rn) = c1rn . M Числа sn(rn) мы будем обозначать просто sn. n Если же краевые условия слабо регулярны, то все нули λ0 n двукратны, и в круге |λ - λ0 | < ε выполнена оценка 0 2 |Δ0(λ)| > c2|λ - λn| , где c2 вновь не зависит от n. В этом случае мы также рассмотрим функции sn(r), но число rn c2r2 определим как наименьший корень уравнения sn(r) = M , заведомо существующий на отрезке c2ε2 0 � r � ε, если sn(ε) � индекса n. - зафиксируем это неравенство в качестве определения регулярности M Теорема 9.2. Пусть P ∈ L1[0, π] - потенциал вида (3.8) и LP,U - регулярный оператор Ди- n рака. Обозначим через λ0 собственные значения ассоциированного оператора L0,U , а через λn - собственные значения оператора L P,U , занумерованные так, что λn n - λ0 → 0 при n → ∞. Тогда в случае сильной регулярности оператора LP,U M справедлива асимптотика n |λn - λ0 | � rn � а в случае слабой регулярности c sn(ε), M = M (1P 1L1 ,U ), c1 = c1(U ), (9.15) 1 M n |λn - λ0 | � rn � c sn(ε), c2 = c2(U ), (9.16) 2 где неравенства справедливы для всех n ∈ Z\I и, в частности, начиная с некоторого номера N, зависящего от потенциала P и краевых условий U. Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда корни функции Δ0(λ) просты. На окружно- n стях γn радиуса rn с центрами в нулях λ0 имеем оценки |Δ0(λ)| > c1rn, |δ(λ)| < M Υ0(λ) � c1rn. n Тогда на окружностях γn будем иметь оценку |Δ0(λ)| > |δ(λ)|. Согласно теореме Руше, внутри окружности γn находится ровно один нуль λn функции Δ(λ), т. е. для регулярных n выполняются оценки |λn - λ0 | < rn. В случае двукратных корней на окружностях γn справедливы оценки |Δ0(λ)| > c2r2 , |δ(λ)| < M Υ0(λ) � c2r2 , n n 432 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ и из теоремы Руше следует, что внутри каждой окружности γn лежат ровно два нуля функции Δ(λ). Согласованность нумераций последовательностей {λ0 }n Z и {λ } следует из теоремы 9.1. n ∈ n n∈Z Теорема 9.3. Пусть потенциал P имеет вид (3.8), а оператор Дирака LP,U сильно регуля- рен. Если P ∈ L1[0, π], то λn - λ0 → 0 при |n| → ∞ и max |λn - λ0 | � C1P 1L . (9.17) n Если P ∈ Lp[0, π], p ∈ (1, 2], то 1 1 n∈Z ( , n 1 \1/p! p {λn - λ0 }n Z ∈ l ! , + = 1, и |λn - λ0 | ! � C1P 1L . (9.18) n ∈ p p pl n p n∈Z 1,∞ Если P ∈ Bθ [0, π] (пространство Бесова, см. определение в приложении B), θ ∈ (0, 1), то {nθ (λn - λ0 )}n Z ∈ l и sup nθ |λ - λ0 | � C1P 1 θ , (9.19) n ∈ ∞ n n n∈Z B1,∞ 1 причем это утверждение при θ = 1 справедливо для потенциалов P ∈ W 1[0, π]. ∈ B Если P θ 1,∞,0 [0, π], θ ∈ (0, 1), то nθ (λn - λ0 ) → 0 при |n| → ∞ и sup nθ |λn - λ0 | � C1P 1 θ . (9.20) p,p! Если P ∈ Bθ n [0, π], p ∈ (1, 2], θ ∈ (0, 1/p), то n∈Z n 1/p! B1,∞,0 {nθ (λn - λ0 )}n Z ∈ l ! , 1 1 + = 1, и ( \ , np θ |λn - λ0 p � C1P 1 θ . (9.21) n ∈ p p pl | ! ! n n∈Z B p,p! Если потенциал P имеет вид (3.8), а оператор LP,U слабо регулярен, то все оценки (9.17)- 2 n n (9.21) сохраняются с заменой разности λn - λ0 на |λn - λ0 | . Все константы C в оценках (9.17)-(9.21) зависят только потенциала P, параметров p или θ и краевых условий. При этом везде, кроме оценки (9.17), зависимость от потенциала рав- 1,∞ номерна, т. е. C зависит от 1P 1Lp , 1P 1Bθ 1 1 и P Bθ p,p! соответственно (точнее, нумерацию чисел λn можно провести так, чтобы зависимость констант от потенциала была равномер- на). Если матрица P имеет общий вид (3.1), то все утверждения теоремы сохраняются с той n лишь разницей, что числа λ0 являются собственными значениями оператора L P,U , где крае- вые условия U� определены в (3.6). Доказательство. Согласно теореме 9.2, достаточно доказать оценки (9.17)-(9.21) для чисел sn(ε). Пусть μn - точки, для которых sn(ε) = max n |λ-λ0 |�ε Υ0(λ) = Υ0(μn). Так как |μn - μm| ;;: ε, то последовательность {μn}n∈Z не сгущается. Теперь оценки (9.17)-(9.21) вытекают из следствия 7.1 и теорем 7.3 и 7.4. Все утверждения очевидным образом переносятся на случай потенциала P общего вида при помощи утверждения о подобии 3.3. Остается установить равномерность оценок, т. е. показать, что константы C зависят не от самого потенциала P, а от его нормы в соответствующем пространстве. Характеристики несгущающейся последовательности {μn}n∈Z - число ε и ширина полосы α - определяются только краевыми условиями U. Тогда норма последовательности {Υ0(μn)} в соот- ветствующем пространстве зависит только от соответствующей нормы 1P 1 и краевых условий. Зависимость констант M, c1 и c2 от величин 1P 1L1 и U уже отмечена выше. Таким образом, равномерность всех оценок (9.17)-(9.21) доказана, но не для всей последова- n тельности {λn - λ0 }n ∈Z, а лишь для регулярных n. Дальнейшие наши рассуждения преследуют две цели: доказать, что число иррегулярных собственных значений |I| зависит не от P, а от 1P 1; n оценить разность |λn - λ0 | при n ∈ I. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 433 Как и в доказательстве теоремы 8.3, разберем два случая. p,p! Случай θ > 0. Предположим, что P ∈ Bθ [0, π] для некоторого p ∈ [1, 2] и θ > 0. В силу θ θ вложения Bp,p! [0, π] ⊂ B1,∞[0, π] и теоремы 7.3 имеем p,p! Υ0(λ) < C(1 + |λ|)-θ, λ ∈ Πα, C = C(1P 1Bθ , α), α = α(U ). (9.22) Учитывая, что |λ0 | ;;: c3|n|, c3 = c3(U ), видим, что все n с номерами |n| > N0 = N0(1P 1 θ ,U ) n являются регулярными. Первая цель достигнута. B p,p! n Для оценки величины |λn - λ0 |, n ∈ I, применим теорему Руше к функции Δ(λ) = Δ0(λ)+ δ(λ) на прямоугольнике с вершинами ±iα ± β. Вначале увеличим, при необходимости, определенное нами выше число α так, чтобы на прямых Im λ = ±α была выполнена оценка |Δ(λ)/Δ0(λ) - 1| < 1. В силу (9.10) это неравенство обеспечивается условием |M Υ+(λ)| < 1, M = M (1P 1L1 ,U ). 1 1 Оценка (9.22) теперь показывает, что α = α( P Bθ p,p! ,U ). Теперь выберем число β так, чтобы прямоугольник с вершинами ±iα ± β содержал все собствен- n ные значения λ0 с номерами |n| < N0. Положим m = min λ∈[-iα±β,iα±β] |Δ0(λ)| > 0. Мы хотим добиться выполнения оценки |δ(λ)| < m на этих двух отрезках. В силу (9.9) это неравенство обеспечивается условием 1 1 1 1 M Υ0(λ) < m, где M = M ( P L1 , α), α = α( P Bθ p,p! ,U ), m = m(α, U ). Теперь из (9.22) следует, что увеличением β мы можем добиться желаемой оценки, причем 1 1 β = β( P Bθ p,p! ,U ). Остается заметить, что β мы всегда можем увеличивать, не меняя m, т. к. функция Δ0 периодична с периодом 2. Применяя теорему Руше к построенному прямоугольнику, видим, что все иррегу- лярные λn остаются внутри него. Это означает, что вне зависимости от их нумерации справедлива оценка |λn - λ0 | � 2α + 2β, |n| � N0, α = α(1P 1 θ ,U ), β = β(1P 1 θ ,U ), N0 = N0(1P 1 θ ,U ). n Тогда в (9.19) и (9.20) имеем B p,p! B p,p! B p,p! sup nθ |λn - λ0 | � sup nθ |λn - λ0 | + sup nθ|λn - λ0 | � C(1P 1 θ ,U )+ 2(α + β)Nθ. n∈Z В (9.20) n n∈Z\I n n n∈I B 0 p,p! ( , np!θ |λn - λ0 | \1/p! ⎛ � ⎝ , np θ |λn - λ0 | ⎞1/p! ⎠ ( + , np θ |λn - λ0 | \1/p! � n∈Z p! ! p! n n n∈Z\I ! p! n n∈I � C(1P 1Bθ ,U )+ 2(α + β)Nθ (2N0 + 1)1/p! . Случай θ > 0 полностью разобран. 0 p,p! Случай θ = 0. Пусть P ∈ Lp для некоторого p > 1. Напомним, что sn(ε) = max n |λ-λ0 |�ε Υ0(λ) = Υ0(μn). Поскольку {μn}n∈Z - несгущающаяся последовательность с характеристиками ε = ε(U ) и α = α(U ), то, в силу следствия 7.1 ( ,(Υ0(μn))p! n∈Z \1/p! � C(U )1P 1Lp . 434 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Условие n ∈ Z \ I определяется выполнением неравенства Υ0(μn) < c2ε2 c1ε для сильно регулярных M краевых условий и Υ0(μn) < для слабо регулярных. При этом M ε = ε(U ), c1 = c1(U ), c2 = c2(U ), M = M (1P 1L1 ,U ). Это означает, что в любом случае C(U )1P 1Lp ;;: ( ,(Υ0(μn))p! \1/p! ;;: M1|I|, M1 = M1(p, 1P 1L1 ,U ), n∈I т. е. число N0 иррегулярных индексов оценивается величиной, зависящей только от 1P 1Lp и U. n Πα Остается оценить величину |λn - λ0 | для иррегулярных индексов. Вначале, как и в случае θ > 0, увеличим ширину полосы , чтобы добиться оценки |ρ(λ)| < 1 на прямых Im λ = ±α функции из (9.10). Эта оценка обеспечивается неравенством 1 Υ+(σ + iα) < M , M = M (1P 1L1 ,U ). Напомним, что (неравенство (7.3)). p Υ+(σ + iτ ) � Cτ -1/p! , где C = C(1P 1L ) Итак, число α = α(1P 1Lp ,U ) зафиксировано. Теперь, как и в доказательстве теоремы 8.3, построим семейство контуров γn, n ∈ Z. Для построения кривой γ1(t), t ∈ [-1, 1], проведем вначале отрезок [-iα + Re λ0, iα + Re λ0], 1 1 ориентированный снизу вверх. Теперь заменим ту его часть, которая попала в круг K1, на правую полуокружность. Если полученный путь пересекает круг K2, то заменим ту часть отрезка, которая попала внутрь K2, на левую дугу окружности ∂K2. Если полученный путь пересекает круг K0, то заменим ту часть отрезка, которая попала внутрь K0, на правую дугу окружности ∂K0. В силу оценки |λ0 - λ0 | ;;: 2(|m - n|- 1) n m другие круги путь пересечь не может. В результате получим путь γ1, который все круги с номерами n ;;: 2 оставляет справа, а все круги с номерами n � 1 - слева. Аналогичным образом проведем путь γ2. Остальные пути получим параллельным переносом γ1+2n = γ1 + 2n, γ2+2n = γ2 + 2n, n ∈ Z. Теперь построим замкнутые контуры Cm,n, m < n, дополнив кривые γm(t) и γn(t) отрезками прямых Im λ = α и Im λ = -α. По построению, каждый контур Cm,n содержит внутри ровно n - m точек последовательности j {λ0}j ∈Z. Заметим, что diam Cm,n � | Re λ0 - Re λ0 | +2+ 2α � n - m +3 + 2α. n m Построенные контуры, по аналогии с числами λn, разобъем на две категории - подходящие (для применения теоремы Руше) и неподходящие. Путь γn назовем подходящим, если max |δ(λ)| < min |Δ0(λ)|, γn γn и неподходящим в противном случае. Контур Cm,n назовем подходящим, если оба пути γn и γm подходящие (на прямых Im λ = ±α неравенство max |δ(λ)| < min |Δ0(λ)| выполнено). ∈ p! Повторим рассуждения, которые мы уже применили к окружностям ∂Kn. Пусть νn - точки на γn, где |δ(λ)| достигает своего максимального значения. Последовательность {νn} несгущающаяся, а значит, {Υ0(νn)}n Z ∈ lθ (теорема 7.4). Более того, характеристики α и β последовательности определяются только краевыми условиями и шириной полосы α = α(1P 1Lp ,U ), т. е. p! 1{Υ0(νn)}1lθ � C(1P 1Lp ,U ). СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 435 Из этой оценки следует, что число N1 неподходящих контуров γn зависит тоже лишь от 1P 1Lp и краевых условий U. Применяя теорему Руше к каждому подходящему контуру, получим для каждого иррегулярного n оценку Тогда в (9.18) n |λn - λ0 | � diam Cn -N1,n+N1 � 2N1 +3 + 2α. ( , n∈Z \1/p! |λn - λ0 | p! n ⎛ � ⎝ , n∈Z\I ⎞1/p! |λn - λ0 | p! n ⎠ ( + , n∈I \1/p! |λn - λ0 | � p! n 1/p! � C(1P 1Lp ,U )+ (2N1 +3 + 2α)N0 . Теперь докажем теорему об асимптотике собственных функций сильно регулярного оператора. В слабо регулярном случае собственные значения асимптотически двукратны. В этом случае мы изучим асимптотическое поведение соответствующих двумерных спектральных проекторов (см. теорему 10.3 ниже). n Теорема 9.4. Пусть потенциал P ∈ L1[0, π] имеет вид (3.8), а оператор LP,U сильно регуля- рен. Тогда для всех n ∈ Z, кроме конечного множества индексов1 J , собственные значения λn просты. Обозначим через {yn(x)}n∈\I нормированные собственные функции этого операто- ра, отвечающие собственным значениям {λn}, а через {y0 (x)} - нормированные собственные функции оператора L0,U , n отвечающие собственным значениям {λ0 }. Тогда n yn(x) = y0 (x)+ rn(x), где 1rn1C → 0 при Z \J × n → ∞. (9.23) Более того, справедливо представление y1,n(x) = eiλnxτ1,n(x), y2,n(x) = e-iλnxτ2,n(x), (9.24) причем |τj,n(0)| � C, j = 1, 2, C = C(1P 1L1 ,U ), а производные функций τj,n(x) подчинены оценке |τ l j,n (x)| � C(|p2(x)| + |p3(x)|) (9.25) почти всюду на [0, π] × x, где постоянная C зависит только от 1P 1L1 и U. Если P ∈ Lp[0, π], p ∈ (1, 2], то ⎛ 1 1 , ⎞1/p! p! {1rn1C }n∈Z\J ∈ lp! , + = 1, и p pl ⎝ n∈Z\J 1rn1C ⎠ � C(1P 1Lp ,U ). (9.26) 1,∞ Если P ∈ Bθ [0, π] (пространство Бесова, см. определение в приложении B), θ ∈ (0, 1), то {nθ 1rn1C }n Z ∈ l и sup nθ 1r 1 � C(1P 1Bθ ,U ), (9.27) ∈ \J ∞ n C n∈Z\J 1,∞ 1 причем это утверждение при θ = 1 справедливо для потенциалов P ∈ W 1[0, π]. ∈ B Если P θ 1,∞,0 , θ ∈ (0, 1), то nθ 1rn1C → 0 при |n| → ∞ и sup n∈Z\J 1 1 1 1B nθ rn C � C( P θ 1,∞,0 ,U ). (9.28) p,p! Если P ∈ Bθ [0, π], p ∈ (1, 2], θ ∈ (0, 1/p), то ⎛ ⎞1/p! {nθ 1rn1C }n Z ∈ l ! , 1 1 + = 1, и ⎝ , np!θ 1r p! 1C ⎠ � C(1P 1Bθ ,U ). (9.29) ∈ \J p p pl n n∈Z\J p,p! 1 Напомним, что эти индексы мы выше назвали иррегулярными. 436 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Доказательство. Поскольку оператор L0,U сильно регулярен, то все его собственные значения просты. Проведем непересекающиеся круги Kn, определенные в (9.13). Тогда в силу теоремы 9.1, каждый круг Kn для n ∈ Z \J содержит ровно одно собственное значение λn оператора LP,U . Эти круги поместим в полосу Πα, где α = α(U ). n Из определения собственных значений следует, что Δ0(λ0 ) = 0, где Δ0(λ) = det M0(λ), ⎛M 0 0 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 11 12 M0(λ) = ⎝ 11(λ) M12(λ) u11 u12 ⎠ = ⎝ ⎠ + ⎝ u13 u14 e0 (π, λ) e0 (π, λ) ⎠ ⎝ ⎠ , M 0 0 0 0 Обозначим 21(λ) M22(λ) u21 u22 ⎛ M 0 u23 u24 0 ⎞ e21(π, λ) e22(π, λ) ω0 n = ⎝ 12(λn) ⎠ . -M 0 (λ0 ) Тогда функция y0 0 0 11 n 0 0 0 0 �n(x) = ω1,ne1(x, λn)+ ω2,ne2(x, λn) является собственной (ненормированной) функцией для оператора L0,U . Для n ∈ Z \J аналогично определим вектор ⎛ M12(λn) ⎞ так что функция ωn = ⎝ ⎠ , -M11(λn) � yn(x) = ω1,ne1(x, λn)+ ω2,ne2(x, λn) является собственной для оператора LP,U . Из (9.5) следует, что 1e1(x, λn) - e0(x, λn)1C + 1e2(x, λn) - e0(x, λn)1C � CΥ0(λn), (9.30) 1 2 0 0 здесь C = C(1P 1L1 ,U ). Из явного вида функций e1(x, λ) и e2(x, λ) следует оценка 1e0(x, λn) - e0(x, λ0 )1C + 1e0(x, λn) - e0(x, λ0 )1C � C|λn - λ0 |, (9.31) 1 1 n 2 2 n n где C = C(U ). Подставляя сюда x = π, получим, что 1ωn - ω01 � C(Υ0(λn)+ |λn - λ0 |), C = C(1P 1L ,U ). (9.32) n n 1 Распишем разность yn(x) - yn(x) = ω1,ne1(x, λn)+ ω2,ne2(x, λn) - ω0 e0(x, λ0 )+ ω0 e0(x, λ0 ) = � 1,n 1 n 2,n 2 n 1,n = (ω1,n - ω0 2,n )e1(x, λn)+ (w2,n - ω0 1,n )e2(x, λn)+ ω0 1 (e1(x, λn) - e0(x, λn)) = = ω0 (e2(x, λn) - e0(x, λn)) + ω0 (e0(x, λn) - e0(x, λ0 )) + ω0 (e0(x, λn) - e0(x, λ0 )) . 2,n 2 1,n 1 1 n 2,n 2 2 n В силу (9.30), (9.31) и (9.32) получаем yn(x) - yn(x)1C[0,π] � C(Υ0(λn)+ |λn - λ0 |), C = C(1P 1L ,U ). (9.33) 1� n 1 Поскольку {λn}n∈Z\J - несгущающаяся последовательность, то теперь представление (9.23) и оценки (9.26)-(9.29) немедленно следуют из теоремы 9.3. Однако эти оценки получены на ненор- мированные собственные функции. n Необходимо нормировать функции y � и y0 . Заметим, что n � y yn H 0 H abs yn y0 C 1� 1 y0 - 1�n1 � C 1� - �n1 . Далее, функции �n зависят только от четности номера n, а значит, последовательность норм �n ∈ \J {1y0 1}n Z (и в пространстве C, и в пространстве H) отделена от нуля и от бесконечности yn константами C± = C±(U ). Тогда тем же свойством обладает и последовательность {1� 1}Z\J (только константы зависят еще и от 1P 1L1 ), откуда 1 yn y0 (x) 1 0 1� 1H · 1� + 0 0 - � 1C 1� 1C · 0 � 1H - 1� 1 1 � (x) �n 1 � yn yn yn yn 1yn yn H � C(Υ (λ )+ λ λ0 ), 1 yn H - y0 1H 1 1� 1 · 1�n1H 0 n | n - n| 11� 1 1�n 1C yn H y0 (9.34) n ∈ Z \ J , C = C(1P 1L1 ,U ) и представление (9.23) доказано. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 437 Для доказательства представления (9.24) воспользуемся соотношениями (9.4) и (9.6). Получим � (y1,n (x) = eiλnx (ω 1,n + ω1,n η11 (x, λn )+ ω 2,n η12 (x, λn )) , n| > N. � y2,n (x) = e-iλnx (ω 2,n + ω1,n η21 (x, λn )+ ω 2,n η22 (x, λn )) , | Введем обозначения Тогда � τ1,n � (x) = y1,n (x)e- iλnx � и τ2,n � (x) = y2,n (x)eiλnx. � τj,n (0) = ω j,n j,n = ω0 + ω j,n 0 - ωj,n, j = 1, 2. 1,n и ω Поскольку числа ω0 0 2,n j,n зависят только от четности номера n, а величины |ωj,n - ω0 | уже τ1,n и {� оценены в (9.32), то последовательности {� (0) }n∈Z\J τ2,n (0)}n∈Z\J ограничены. Остается оценить производные: τ l l l а значит, согласно (9.6), τ l �j,n(x) = ω1,nηj1(x, λn)+ ω2,nηj2(x, λn), τ l |�1,n(x)| � M |p2(x)|(|ω1,n| + |ω2,n|), |�2,n(x)| � M |p3(x)|(|ω1,n| + |ω2,n|), где M = M (1P 1L1 ,U ). yn Отсюда сразу следует оценка (9.25) для ненормированных функций � . Так как нормы {1� yn1H }n∈Z\J отделены от нуля, то эта оценка сохранится и после нормировки. РЕЗОЛЬВЕНТА ОПЕРАТОРА ДИРАКА LP,U Мы покажем, что резольвента оператора LP,U компактна, и изучим асимптотическое поведение производящей функции G(t, x, λ) этого компактного оператора (функции Грина) при λ → ∞. Утверждение 10.1. Пусть потенциал P имеет вид (3.8). Резольвента R(λ) = (LP,U - λI)-1 регулярного оператора LP,U определена при всех λ ∈ C \ {λn}n∈Z, где λn - собственные значе- ния оператора LP,U , и является интегральным оператором в H: π r R(λ)f = 0 G(t, x, λ)f (t)dt. (10.1) Функция G(t, x, λ) непрерывна на квадрате (t, x) ∈ [0, π]2 за исключением диагонали x = t. Доказательство. Матрица E(x, λ), определенная в (9.1), удовлетворяет уравнению BEl(x, λ)+ P (x)E(x, λ) = λE(x, λ), причем E(0, λ) = I. Применим метод вариации постоянных к уравнению fP (y) = λy + f . Тогда решение этого уравнения примет вид π r y(x, λ) = ω1e1(x, λ)+ ω2e2(x, λ) - x E(x, λ)E-1(t, λ)B-1f (t) dt, (10.2) где ω1 и ω2 - произвольные числа. Легко видеть, что π r y(0, λ) = ω - 0 E-1(t, λ)B-1f (t) dt, y(π, λ) = E(π, λ)ω, где ω = (ω1, ω2)t. Для определения вектора ω воспользуемся краевыми условиями Cy(0) + Dy(π) = 0, введенными в (3.4). Тогда где π r ω = M -1(λ)CE-1(t, λ)B-1f (t) dt, 0 M (λ) = C + DE(π, λ). 438 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Матрица M -1(λ) определена в точности тогда, когда Δ(λ) = det M (λ) ⊕= 0, т. е. для всех λ ∈ C \ {λn}n∈Z. Функция y(x, λ) теперь принимает вид π r где y(x, λ) = 0 G(t, x, λ)f (t) dt, (E(x, λ)M -1(λ)CE-1(t, λ)B-1 при t < x, G(t, x, λ) = E(x, λ)(M -1(λ)C - I)E-1(t, λ)B-1 при t > x, что доказывает требуемое утверждение. (10.3) Определение 10.1. Функция G(t, x, λ) называется функцией Грина оператора LP,U. Через G0(t, x, λ) будем обозначать функцию Грина невозмущенного оператора L0,U . Отметим, что из доказанного утверждения следует компактность в пространстве H оператора R(λ) при любом λ ∈/ {λn}n∈Z (отсюда, в частности, следует замкнутость оператора LP,U ). Наша ближайшая цель - получить оценки для функции G(t, x, λ). Эти оценки являются клю- чевыми для доказательства полноты системы собственных и присоединенных функций операто- ра LP,U . Для упрощения дальнейших выкладок обозначим E(a, x, λ) = E(x, λ)E-1(a, λ), где 0 � a, x � π, λ ∈ C, и найдем эту функцию в явном виде. Мы уже отмечали в доказательстве утверждения 9.2, что det E(x, λ) ≡ 1. Тогда e22(a, λ) -e12(a, λ) откуда E-1(a, λ) = , -e21(a, λ) e11(a, λ) где E(a, x, λ) = E11(a, x, λ) E12(a, x, λ) , E21(a, x, λ) E22(a, x, λ) Ej1(a, x, λ) = ej1(x, λ)e22(a, λ) - ej2(x, λ)e21(a, λ), (10.4) Ej2(a, x, λ) = ej2(x, λ)e11(a, λ) - ej1(x, λ)e12(a, λ), j = 1, 2. jk В случае P (x) ≡ 0 будем использовать обозначения E 0(a, x, λ) = (E 0 (a, x, λ)), j, k = 1, 2. Лемма 10.1. Матрица E(a, x, λ) удовлетворяет уравнению BEl(x)+ P (x)E(x) = λE(x), x ∈ [0, π] (10.5) и начальному условию E(a, a, λ) = I. Функции Eij (a, x, λ) аналитичны по λ во всей комплексной плоскости, и при λ → ∞ верно представление eiλξ · (1 + o(1)) + e-iλξ · o(1) eiλξ · o(1) + e-iλξ · o(1) E(a, x, λ) = eiλξ · o(1) + e-iλξ · o(1) eiλξ · o(1) + e-iλξ · (1 + o(1)) , (10.6) ξ = x - a, при C × λ → ∞ равномерно по 0 � a, x � π. Доказательство. То, что матрица E(a, x, λ) удовлетворяет уравнению (10.5), сразу следует из (10.4). Равенство E(a, a, λ) = I очевидно. Асимптотическое представление (10.6) следует из (9.5). СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 439 Теорема 10.1. Пусть LP,U регулярен и P ∈ L1[0, π]. Тогда найдется α > 1 такое, что при | Im λ| > α резольвента R(λ) = (LP,U - λI)-1 существует как оператор из Lp в Lq для любых 1 � p � q � ∞, и выполняется оценка p → q � C| Im λ| 1R(λ)1L L -1+1/p-1/q с постоянной C, зависящей от α, но не зависящей от λ вне полосы Πα. Доказательство. (10.7) Шаг 1. Согласно утверждению3.3, можем считать, что P имеет вид (3.8). Действительно, посколь- ку LP,U = W (LP ,U + γI)W -1, то и R(λ) = (LP,U - λI)-1 = W (L P ,U - (λ - γ)I)-1W -1 = W R� (λ - γ)W -1. Здесь краевые условия U� число γ фиксированы. по-прежнему регулярны, матрица P� внедиагональна, а оператор W и 1 Кроме того, мы уже доказали, что резольвента R(λ0) = (LP,U - λ0)-1 существует при некото- ром λ0 ∈ C, а значит, образ R(λ0) совпадает с областью определения оператора LP,U , а потому содержится в пространстве W 1[0, π]. 1 Но вложение W 1[0, π] π→ L2[0, π] компактно, следовательно, оператор R(λ0) компактен, а спектр LP,U дискретен. Шаг 2. Запишем для резольвенты R(λ) = (L0,U + P - λI)-1 формальный ряд R(λ) = R0(λ)+ R0(λ)P R0(λ)+ (R0(λ)P )2R0(λ)) + ... . (10.8) Все члены этого ряда корректно определены, так как оператор R0(λ) : L1[0, π] → L∞[0, π] ограни- чен. Наша цель - показать, что нормы слагаемых в этом ряде убывают со скоростью геометриче- ской прогрессии и ряд сходится в норме H. Фиксируем ε > 0 (которое выберем позже) и найдем ограниченную функцию V (x) такую, что Pε(x) = P (x) - V (x), 1Pε1L1 < ε. Обозначим V = 1V 1L∞ и заметим, что V зависит только от потенциала P и числа ε. Тогда (n + 1)-е слагаемое [R0(λ)(Pε + V )]n R0(λ) в ряде (10.8) запишется в виде Sn(λ)R0(λ), где Sn(λ) - сумма, полученная при раскрытии скобок в выражении [R0(Pε + V )]n . Эта сумма состоит из 2n слагаемых (обозначим их через Tn,j, j = 1,... , 2n), каждое из которых является произведением n множителей вида R0Pε или R0V. Шаг 3. Оценим норму каждого слагаемого 1Tn,j 1L∞→Lq . Для этого воспользуемся теоремой 4.5, согласно которой найдется число α0 такое, что при τ = | Im λ| ;;: α0 справедливы оценки 1/q 1R0(λ)1L1 →L∞ < C, 1R0(λ)1L1 →Lq < Cτ - , 1R0(λ)1L2 →L∞ < Cτ - 1/2 , 1R0(λ)1L2 →Lq < Cτ -1/2-1/q . Здесь величина C является единой для всех четырех оценок и определяется только краевыми условиями и индексом q, т. е. C = C(U, q). Выберем теперь число ε так, чтобы δ = Cε < 1/4, а число α > α0 выберем так, чтобы CV√π √α < δ. (10.9) Всюду далее оценки проводим при фиксированном λ и τ = | Im λ| > α, где α удовлетворяет (10.9). С учетом неравенства 1Pε1L1 < ε получаем 1Pε1L∞→L1 < ε, 1V 1L∞→Lq � π . 1/q V 440 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Из приведенных оценок для резольвенты R0(λ) следуют неравенства 1R0Pε1L∞→L∞ � 1Pε1L∞→L1 1R01L1 →L∞ � Cε � δ, 1R0Pε1L∞→Lq � 1Pε1L∞→L1 1R01L1 →Lq � Cετ -1/q � δτ -1/q , 1R0V 1L∞→L∞ � 1R01L2 →L∞ 1V 1L∞→L2 � Cτ -1/2 π1/2 V � δ, 1R0V 1L∞→Lq � 1R01L2 →Lq 1V 1L∞→L2 � Cτ -1/2-1/q π1/2 V � δτ -1/q . Теперь мы можем оценить 1Tn,j 1L∞→L2 . Это произведение составлено из n множителей Tn,j = P1P2 ... Pn, каждый из которых равен либо R0Pε, либо R0V. Тогда 1Tn,j 1L∞→Lq � 1P11L∞→Lq 1P21L∞→L∞ ... 1Pn1L∞→L∞ � δτ Шаг 4. Сумма Sn составлена из 2n операторов Tn,j, а значит, -1/q δn-1 = δnτ -1/q . n n 1Sn1L∞→Lq � 2 δ τ -1/q < 2-nτ -1/q . Тогда каждое слагаемое ряда (10.8) оценивается следующим образом: nτ -1/q Cτ -1+1/p = 2-nCτ -1+1/p-1/q . 1SnR0(λ)1Lp →Lq � 1Sn1L∞→Lq 1R01Lp →L∞ � 2- Тем самым, ряд (10.8) сходится и оценивается величиной 2Cτ -1+1/p-1/q . Теорема доказана. Утверждение 10.2. Пусть R(λ) - резольвента оператора Дирака LP,U с регулярными крае- выми условиями U и потенциалом P ∈ Lκ [0, π], κ ∈ (1, ∞], вида (3.8). Пусть индексы μ и ν связаны соотношением 1 � μ � ν � ∞. Тогда найдется такое число a > 0, зависящее только от 1P 1κ и краевых условий U, что при всех λ ∈ C \ Πa оператор R(λ) ограниченно действует из Lμ[0, π] в Lν [0, π] и представляется рядом (сходящимся по операторной норме 1 · 1μ→ν ) R(λ) = R0(λ) - R0(λ)P R0(λ)+ ··· + (-R0(λ)P )nR0(λ)+ ... , (10.10) где R0(λ) = (L0,U - λI)-1, а P - оператор умножения на матрицу P (x). При этом для слага- емых ряда справедлива оценка 1(R0(λ)P )nR0(λ)1μ � C P n+1 n ν · 1 1 | ·| Im λ n(-1+1/κ)-1+1/μ-1/ν , n ∈ N ∪ {0}, λ ∈ C \ Πa, (10.11) → μ,ν κ где Cμ,ν - константа из оценки (4.10), зависящая только от краевых условий, а сама резоль- вента R(λ) допускает оценку 1R(λ)1μ→ν � 2Cμ,ν | Im λ|- 1+1/μ-1/ν , λ ∈ C \ Πa. (10.12) Доказательство. Выберем вначале число a равным числу a0 из теоремы 4.5. Сходимость ря- да (10.10), а значит, и само утверждение, следует из оценок (10.11). Действительно, при всех κ | Im λ| ;;: (2Cμ,ν 1P 1κ) κ-1 из (10.11) следует, что → 1(R0(λ)P )nR0(λ)1μ ν � 2-nC μ,ν | Im λ|-1+1/μ-1/ν , n ∈ N. Это неравенство влечет сходимость ряда (10.10) и, с учетом (4.10), оценку (10.12). При этом a := max Ja0, (2Cμ,ν 1P 1κ) -1 κ κ ;;: 1. (10.13) Итак, нам остается проверить справедливость неравенств (10.11). Поскольку матрица P (x) порождает ограниченный оператор P : f (x) 1→ P (x)f (x) из L∞[0, π] в Lκ [0, π] с нормой 1P 1κ , то при всех λ ∈ C \ Πa 1(R0(λ)P )nR0(λ)1μ ν � 1R (λ)1 1P 1 (1R (λ)1 1P 1 )n-1 1R (λ)1 � → 0 κ→ν κ 0 κ→∞ κ 0 μ→∞ � Cn+1 n -1+max{1/κ-1/ν, 0}+(n-1)(-1+1/κ)-1+1/μ μ,ν · 1P 1κ ·| Im λ| � Cn+1 n � n(-1+1/κ)-1+1/μ-1/ν μ,ν · 1P 1κ ·| Im λ| (в последнем неравенстве мы учли, что | Im λ| ;;: a ;;: 1). СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 441 Далее через (LP,U )∗ обозначаем сопряженный оператор. Как уже обсуждалось выше, он порож- ден сопряженным дифференциальным выражением 0 p3(x) fP ∗ (y) = Byl + P ∗(x)y, где P ∗(x) = и сопряженными краевыми условиями p2(x) 0 , J23 J13 -J12 0 . U∗ = 0 -J34 J24 J23 Для любого регулярного (сильно регулярного) оператора LP,U сопряженный оператор (LP,U )∗ = LP ∗,U ∗ также является регулярным (сильно регулярным). Собственные значения оператора LP ∗,U ∗ совпадают (с учетом кратности) с числами λn, где λn, n ∈ Z, - собственные значения оператора LP,U . Для всякого λ ∈/ {λn}n∈Z определена резольвента R∗(λ) = (LP ∗,U ∗ - λI)-1, которая имеет вид R∗(λ)f = π r G∗(t, x, λ)f (t)dt. 0 jk Матрица G∗(t, x, λ) = (g∗ (t, x, λ)) связана с функцией G(t, x, λ) = (gjk (t, x, λ)), введенной в (10.1), соотношениями ∗ gjk(t, x, λ) = gkj (x, t, λ), j, k = 1, 2, x, t ∈ [0, π], λ ∈ C \ {λn}n∈Z. (10.14) Для сокращения записи далее будем обозначать Uδ (λn) = {z ∈ C : |z - λn| < δ}, Ωδ = C \ I Uδ(λn), n∈Z Ωα,δ = Πα ∩ Ωδ, Ωα,δ,R = {z ∈ Ωα,δ : | Re z| > R}. Лемма 10.2. Для любого δ > 0 существует такое число M = M (P, U, δ), что при всех λ ∈ Ωδ, характеристический определитель регулярного оператора LP,U удовлетворяет оценке |Δ(λ)| ;;: M eπ| Im λ|. Доказательство. Согласно теореме 9.1 и утверждению 9.2, найдется такое число α0 > 0, что все круги Uδ(λn) лежат в полосе Πα0 и при λ → ∞ вне Πα0 справедливо равенство Δ(λ) Δ0(λ) = 1 + o(1). Увеличивая, если нужно, число α0, можно считать, что 2 |Δ(λ)| ;;: |Δ0(λ)| для всех λ ∈/ Πα0 . Тогда из неравенства (9.12) следует доказываемое неравенство при Im λ > α0. Случай Im λ < -α0 аналогичен. Для завершения доказательства остается показать, что для всех точек λ ∈ Ωα0 ,δ справедлива оценка |Δ(λ)| ;;: M при некотором M > 0. Согласно теореме 9.1, найдется такое число R, что для всех собственных значений λn, |λn| > R, справедливы неравенства n δ 2 |λn - λ0 | < . В силу периодичности функции Δ0(λ) существует такое m > 0, что |Δ0(λ)| ;;: m 0 в Πα0 вне кругов Uδ/2(λn). 442 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Поскольку Δ(λ) = Δ0(λ)+ o(1) при λ → ∞ в полосе λ ∈ Πα0 (см. утверждение 9.2), то, увеличивая, если необходимо, число R, можно считать, что при | Re λ| > R выполнена оценка |Δ(λ)| ;;: m/2 0 δ/2 n в Πα вне кругов U (λ0 ). n Так как при | Re λ| > R круг Uδ/2(λ0 ) содержится в круге Uδ (λn), то оценка выполнена при всех λ ∈ Ωα0 ,δ,R. Наконец, на компакте |Δ(λ)| ;;: m/2 {λ : | Im λ| � α0, | Re λ| � R, |λ - λn| ;;: δ, n ∈ Z} функция Δ(λ) не обращается в нуль, а значит, отделена от нуля. Теорема 10.2. Пусть LP,U - произвольный оператор Дирака с потенциалом вида (3.8) и ре- гулярными краевыми условиями U. Для любого δ > 0 существует такое число M = M (P, U, δ), что в Ωδ функция G(t, x, λ) = (gjk(t, x, λ)) оператора LP,U удовлетворяет оценке |gjk (t, x, λ)| � M. Кроме того, для любых положительных чисел α и δ найдется такое R > 0, что при всех λ ∈ Ωα,δ,R и всех t, x ∈ [0, π] выполнено jk |gjk (t, x, λ) - g0 (t, x, λ)| < CΥ0(λ), C = C(P, U ), jk где G0(t, x, λ) = (g0 (t, x, λ)) - функция Грина оператора L0,U . Доказательство. Матрицы E(x, λ), M (λ), C и E-1(t, λ) явно выписаны в (9.1), (9.8), (3.4) и (10.4) соответственно. Тогда из (10.3) непосредственными вычислениями получаем, что J12 G(t, x, λ) = i Δ(λ) χt>x(t, x) E11(t, x, λ) -E12(t, x, λ) + E21(t, x, λ) -E22(t, x, λ) + i E11(π, x, λ) -E12(π, x, λ) · J14 J24 e22(t, λ) e12(t, λ) · , (10.15) Δ(λ) E21(π, x, λ) -E22(π, x, λ) J13 J23 -e21(t, λ) -e11(t, λ) где χt>x - характеристическая функция треугольника t > x, а Δ(λ) - определитель, введенный в определении 9.1. Пусть α0 > 0 таково, что полоса Πα0 содержит все круги Uδ (λn). Пусть вначале | Im λ| ;;: α0. Проведем оценку функции G(t, x, λ) на треугольнике 0 � t < x � π. В силу представлений (10.6) функции Ejk(t, x, λ) удовлетворяют оценкам |Ejk(t, x, λ)| � M e|Im λ|(x-t). Аналогично, а |Ejk(π, x, λ)| � M e|Im λ|(π-x), |ejk (t, λ)| � M e|Im λ|t, где M не зависит от t, x и λ. Применяя лемму 10.2, видим, что вне полосы Πα0 |gjk (t, x, λ)| � M ( e|Im λ|(x-t-π) + e|Im λ|(t-x) \ � 2M, поскольку оба числа x - t - π и t - x неположительны. Для оценки функции G(t, x, λ) на треугольнике 0 � x < t � π воспользуемся соотношени- ем (10.14), согласно которому kj |gjk(t, x, λ)| = |g∗ (x, t, λ)|. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 443 Поскольку координаты точки x и t поменялись местами, а λ по-прежнему лежит вне полосы Πα0 , kj то мы можем применить рассуждения, приведенные выше, к функциям g∗ и вне полосы Πα0 . Оценка функции G получена. Согласно асимптотическим представлениям (9.6) и (10.6), функции ejk и Ejk ограничены в произвольной полосе Πα. Отсюда и из леммы 10.2 следует ограниченность функции G(t, x, λ) в Ωα0 ,δ. Докажем второе утверждение теоремы. Зафиксируем числа α и δ. Из (9.5) следует, что jk 1ejk (x, λ) - e0 (x, λ)1C � CΥ0(λ) при достаточно больших по модулю λ ∈ Πα. Далее из (10.6) следует, что и 0 1Ejk(a, x, λ) - Ejk(a, x, λ)1C � CΥ0(λ) при достаточно больших по модулю λ ∈ Πα. Согласно лемме 10.2, найдутся такие положительные числа R и M, что при всех λ ∈ Ωα,δ,R выполнены неравенства |Δ(λ)| ;;: M и |Δ0(λ)| ;;: M. Тогда из утверждения 9.2 следует 0 |Δ-1(λ) - Δ-1(λ)| � CΥ0(λ) при Ωα,δ,R × λ → ∞. Подставляя эти асимптотические представления в равенство (10.15) (записанное для G(t, x, λ) и G0(t, x, λ)) и учитывая равномерную ограниченность функций Δ-1(λ), e0 (x, λ) и E 0 (t, x, λ) на jk jk множестве λ ∈ Ωα,δ,R, x, t ∈ [0, π], получаем необходимую оценку. Полученное в теореме 10.2 асимптотическое представление для функции Грина позволяет нам получить асимптотические формулы для спектральных проекторов в случае слабо регулярных краевых условий. В этом случае все собственные значения оператора L0,U двукратны (см. утвер- ждение 4.1), а именно λ0 0 n Поскольку λn = λ0 + o(1), то 2n = λ2n+1, n ∈ Z. |λ2n - λ2n+1| → 0, n → ±∞. Определение 10.2. Выберем число N0 так, чтобы для всех n, |n| ;;: N0, было выполнено Обозначим 2n 1 8 |λ2n - λ0 | < 2n 1 8 и |λ2n+1 - λ0 | < . 1 r Pn := 2πi R(λ)dλ, n = ±N0, ±(N0 + 1),... , (10.16) где R(λ) = (LP,U - λI)-1. 2n |λ-λ0 |=1/4 Из представления (12.1) следует, что Pn является спектральным проектором на корневое подпро- странство, отвечающее собственным значениям λ2n и λ2n+1, которое мы обозначим Hn. Определим также операторы 0 1 r Pn := 2πi 2n |λ-λ0 |=1/4 R0(λ)dλ, n = ±N0, ±(N0 + 1),... - спектральные проекторы на корневые подпространства оператора L0,U , отвечающие собственным 2n = λ 0 значениям λ0 2n+1. Заметим, что оператор R(λ) : f 1→ π r G(t, x, λ)f (t)dt 0 корректно определен при λ ⊕= λn не только как оператор в пространстве H, но и как оператор из n L1[0, π] в C[0, π]. То же справедливо и для операторов Pn и P0. В следующей теореме мы оценим норму их разности именно как операторов из L1[0, π] в C[0, π]. 444 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Теорема 10.3. Пусть LP,U - слабо регулярный. Положим n 1 → pn = 1Pn - P01L C. Если P ∈ L1[0, π], то pn → 0 при |n| → ∞. Если P ∈ Lp[0, π], p ∈ (1, 2], то ( 1/p! ! 1 1 , p \ 1,∞ Если P ∈ Bθ {pn}n∈Z ∈ lp! , [0, π], θ ∈ (0, 1), то + = 1, и p pl pn n∈Z � C1P 1Lp . {nθpn}n Z ∈ l и sup nθpn � C1P 1Bθ , ∈ ∞ n∈Z 1,∞ 1 причем это утверждение при θ = 1 справедливо для потенциалов P ∈ W 1[0, π]. 1,∞,0 Если P ∈ Bθ [0, π], θ ∈ (0, 1), то nθpn → 0 при |n| → ∞ и sup nθpn � C1P 1Bθ . p,p! Если P ∈ Bθ [0, π], p ∈ (1, 2], θ ∈ (0, 1/p), то n∈Z 1/p! 1,∞,0 {nθpn}n Z ∈ l ! , 1 1 + = 1, и ( \ , np!θpp! � C1P 1 θ . ∈ p p pl n n∈Z B p,p! Доказательство. Легко видеть, что при |n| ;;: N0 0 1 0 pn = 1Pn - Pn1L1 →C � 4 max max sup |gjk (t, x, λ) - gjk(t, x, λ)| � 2n |λ-λ0 |=1/4 j,k∈{1, 2} t,x∈[0,π] � C max Υ0(λ) = CΥ0(μn), 2n |λ-λ0 |=1/4 2n где точки μn лежат на окружностях |λ - λ0 | = 1/4. Тогда последовательность {μn} не сгущается и утверждение теоремы следует из следствия 7.1 и теорем 7.3 и 7.4. Мы завершим изучение свойств резольвенты оператора LP,U утверждением о непрерывной за- висимости оператор-функции RP,U от потенциала P. Утверждение 10.3. Пусть LP,U - регулярный оператор Дирака с суммируемым потенциа- лом P общего вида. Пусть точка λ0 лежит в резольвентном множестве этого оператора, а функции Pε сходятся к P в пространстве L1[0, π] при ε → +0. Тогда найдется число δ такое, что при всех ε < δ точка λ0 лежит в резольвентном мно- жестве оператора Lε := LPε,U и 1 → 1R(λ0) - Rε(λ0)1L C → 0 при ε → 0. (10.17) Доказательство. Пусть E(x, λ) и Eε(x, λ) - фундаментальные матрицы решений для дифферен- циальных выражений fP и fPε с начальными условиями E(0, λ) = Eε(0, λ) = I. Согласно замеча- нию 2.2, 1E(·, λ0) - Eε(·, λ0)1AC → 0 при ε → 0. Отсюда, согласно (9.8), следует сходимость Δ(λ0) - Δε(λ0) → 0 при ε → 0, (10.18) т. е. точка λ0 действительно лежит в резольвентном множестве оператора Lε при достаточно малом ε. Далее, из записи (10.4) матрицы E(a, x, λ) следует сходимость при ε → 0. max a, x∈[0,π] |Ejk(a, x, λ0) - Ejk,ε(a, x, λ0)| → 0 (10.19) Остается воспользоваться представлением 10.15 для функции Грина, согласно которому max t,x∈[0,π] |gjk(t, x, λ0) - gjk,ε(t, x, λ0)| → 0 (10.20) СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 445 при ε → 0. Замечание 10.1. Очевидно, что в утверждении 10.3 норму 1·1L1 →C можно заменить на 1·1Lp →Lq для любых 1 � p � q � ∞. В частности, при p = q = 2 получаем утверждение о непрерывной зависимости оператора RP,U в пространстве H от потенциала P ∈ L1[0, π]. Замечание 10.2. Точку λ0 в утверждении 10.3 можно заменить на произвольный компакт K, лежащий в резольвентном множестве оператора LP,U : sup 1R(λ) - Rε(λ)1L1 →C → 0 λ∈K при ε → 0. Доказательство. Заметим, что оценка (2.10) гарантирует нам равномерную на компакте K схо- димость 1E(·, λ) - Eε(·, λ)1AC → 0. Тогда равномерными по λ ∈ K являются и сходимость (10.18), и (10.19). Поскольку функция Δ(λ) непрерывна на K и не обращается в нуль, то ε Δ-1(λ) - Δ-1(λ) → 0 при ε → 0 также равномерно на K. Теперь непосредственно из (10.15) выводим равномерную по λ ∈ K сходимость в (10.20). Из утверждения 10.3 следует, что собственные значения оператора LP,U непрерывно зависят от потенциала P, в норме пространства L1[0, π]. Доказательство сразу получается с помощью стандартной техники с использованием проекторов Рисса. Следствие 10.1. Пусть LP,U - регулярный оператор Дирака с суммируемым потенциалом P общего вида. Пусть точка λ0 является простым собственным значением этого оператора, а функции Pε сходятся к P в пространстве L1[0, π] при ε → +0. r Обозначим U l (λ0) = {λ : 0 < |λ - λ0| < r} - проколотый круг с произвольным достаточно малым радиусом r, целиком лежащий в резольвентном множестве оператора LP,U . Тогда в круге найдется число δ такое, что при всех ε ∈ (0, δ) Ur (λ0) = {λ : |λ - λ0| < r} лежит ровно одно простое собственное значение λε оператора Lε := LPε,U . РЕЗОЛЬВЕНТА ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ Lq,U Покажем вначале, что резольвента R(z) = (Lq,U - zI)-1 оператора Lq,U является компактным интегральным оператором в L2[0, π]. Утверждение 11.1. Пусть функция u ∈ L2[0, π], а краевые условия U регулярны. Резольвента R(z) = (Lq,U - zI)-1 оператора Lq,U , q = ul, определена при всех z ∈ C \ {zn}n ∈N, где zn - собственные значения оператора Lq,U , и является интегральным оператором в L2[0, π]: π r R(z)f = 0 G(t, x, λ)f (t)dt, z = λ2. (11.1) Функция G(t, x, λ) непрерывна на квадрате ([0, π])2. Доказательство. Как и выше, заменой 1 y1 = 2 (λy - iy перейдем к системе типа Дирака [1] 1 ), y2 = 2 (λy + iy [1]) Byl + P (x, λ)y = λy + f , 446 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ где - ⎛ u2(x) u2(x) ⎞ -i 0 iu(x) ⎜ 2λ - 2λ ⎟ 1 f B = 0 i , P (x, λ) = ⎝ -iu(x) - u2(x) 2λ - u2(x) 2λ ⎠ , f = 2 f . (11.2) Новые краевые условия обозначим через V (z). Пусть теперь точка z = λ2 ⊕= 0 лежит в резольвентном множестве оператора Lq,U . Мы уже знаем, что тогда уравнение -yll + q(x)y = zy + f имеет единственное решение, удовлетворяющее краевым условиям U (y) = 0 при любой правой части f ∈ L2[0, π]. Поскольку переход к системе, описанный выше, был эквивалентным преобразованием, то опе- ратор Дирака LP,V (λ) обратим (для данного λ). Но тогда, согласно утверждению 10.1, решение резольвентного уравнения записывается в виде (10.1): π r g11(t, x, λ) g12(t, x, λ) y(x, λ) = 0 G(t, x, λ)f (t, λ)dt, где G(t, x, λ) = g21(t, x, λ) g22(t, x, λ) . Остается заметить, что π 1 1 r y(x, λ) = λ (y1(x, λ)+ y2(x, λ)) = 2λ 0 (g11 + g12 + g21 + g22)(t, x, λ)f (t) dt. (11.3) Определение 11.1. Функция 1 G(t, x, λ) = 2λ (g11 + g12 + g21 + g22)(t, x, λ) называется функцией Грина оператора Lq,U . Для сокращения записи далее будем обозначать Uδ (zn) = {z ∈ C : |z - zn| < δ}, Ωδ = C \ I Uδ (zn), n∈N Ωα,δ = Pα ∩ Ωδ, Ωα,δ,R = {λ ∈ Ωα,δ : | Re √z| > R}. Теорема 11.1. Пусть Lq,U - произвольный оператор Штурма-Лиувилля с потенциалом q = ul, u ∈ L2[0, π], и регулярными краевыми условиями U. Для любых положительных чисел α и δ найдется такое R > 0, что при всех z ∈ Ωα,δ,R и всех t, x ∈ [0, π] выполнено |G(t, x, λ) - G0(t, x, λ)| < CΥ0(λ), C = C(u, U ), z = λ2. Доказательство. Формула (11.3) позволяет выписать функцию Грина оператора Штурма- Лиувилля Lq,U с помощью функции Грина соответствующего оператора Дирака. Мы не можем напрямую воспользоваться результатом теоремы 10.2, поскольку этот оператор Дирака зависит от параметра λ. Однако эта зависимость является асимптотически слабой - имеет порядок O(λ-1), что позволяет, пользуясь результатами раздела 6, перенести доказательство на данный случай. Пройдем по ключевым моментам доказательства, опуская очевидные детали. Пусть матрица e11(x, λ) e12(x, λ) E(x, λ) = - решение матричного уравнения e21(x, λ) e22(x, λ) BEl(x, λ)+ P (x, λ)E(x, λ) = λE(x, λ) с начальным условием E(0, λ) = I. Здесь P (x, λ) - матрица, определенная в (11.2). Напомним, что ⎛e0 0 ⎞ E0(x, λ) = ⎝ 11(x, λ) e12(x, λ) ⎠ = eiλx 0 . e0 0 0 e-iλx 21(x, λ) e22(x, λ) СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 447 Согласно следствию 6.1, в полосе Πα найдется фундаментальная система решений Y(x, λ) = Y0(x, λ)+ A(x, λ), причем max x∈[0,π] |ajk (x, λ)| � C(Υ0(λ)+ |λ|-1), если |λ| > Λ0. Как и для оператора Дирака, получаем, что в любой полосе Πα при достаточно больших по модулю λ выполнено max x∈[0,π] jk |ejk(x, λ) - e0 (x, λ)| � C(Υ0(λ)+ |λ|-1). (11.4) Разница со случаем оператора Дирака состоит лишь в том, что в правой части оценки появляется добавка |λ|-1. Матрицу M (λ) определим формулой (9.8): v11 + v13e11(π, λ)+ v14e21(π, λ) v12 + v13e12(π, λ)+ v14e22(π, λ) , M (λ) = v21 + v23e11(π, λ)+ v24e21(π, λ) v22 + v23e12(π, λ)+ v24e22(π, λ) где V (z) = (vjk (z)) - новые краевые условия. Характеристический определитель Δ(λ) положим, как и в определении 9.1, равным det M (λ). Через Jjk обозначаем определители, составленные из j-го и k-го столбцов матрицы V (отличие в том, что эти определители теперь зависят от λ). Остается воспользоваться представлением (10.15) и повторить доказательство второго утвер- ждения теоремы 10.2. Полученное в теореме 10.2 асимптотическое представление для функции Грина позволяет нам получить асимптотические формулы для спектральных проекторов в случае слабо регулярных краевых условий. В этом случае все собственные значения оператора L0,U асимптотически двукратны (см. теоре- му 8.2), а именно λ0 0 2n = λ2n+1 + o(1), n ∈ N n (напомним, что λ = √z). Поскольку λn = λ0 + o(1), то |λ2n - λ2n+1| → 0, n → ∞. Определение 11.2. Выберем число N0 так, чтобы для всех n, n ;;: N0, было выполнено Обозначим 2n 1 8 |λ2n - λ0 | < 2n 1 8 и |λ2n+1 - λ0 | < . 1 r Pn := 2πi R(z)dz, n = N0, N0 + 1,... , (11.5) где R(z) = (Lq,U - zI)-1. 2n |λ-λ0 |=1/4 Таким образом, Pn является спектральным проектором на корневое подпространство, отвечаю- щее собственным значениям z2n и z2n+1, которое мы обозначим Hn. Определим также операторы 0 1 r Pn := 2πi 2n |λ-λ0 |=1/4 R0(z)dz, n = N0, N0 + 1,... - спектральные проекторы на корневые подпространства оператора L0,U , отвечающие собственным 2n 0 значениям z0 = z 2n+1. Теорема 11.2. Пусть оператор Lq,U слабо регулярен. Положим n 2 pn = 1Pn - P01L . Если u ∈ L2[0, π], то {pn}n∈N ∈ l2, 448 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ 2 Если u ∈ W θ[0, π], θ ∈ (0, 1/2), то {nθpn}n N ∈ l . ∈ 2 Доказательство. Легко видеть, что при n ;;: N0 0 1 0 pn = 1Pn - Pn1L2 � 4 max sup |G(t, x, λ) - G (t, x, λ)| � 2n |λ-λ0 |=1/4 t,x∈[0,π] � C max 2n |λ-λ0 |=1/4 (Υ0(λ)+ |λ|-1) = C(Υ0(μn)+ |μn|-1), 2n где точки μn = O(n) лежат на окружностях |λ - λ0 | = 1/4. Тогда последовательность {μn} не сгущается и утверждение теоремы следует из следствия 7.1 и теоремы 7.4. ПОЛНОТА И БАЗИСНОСТЬ РИССА СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ВЕКТОРОВ РЕГУЛЯРНЫХ ОПЕРАТОРОВ Lq,U И LP,U Нашей первой задачей в этом разделе будет доказательство полноты и минимальности системы собственных и присоединенных функций регулярного оператора Дирака LP,U . Мы проведем это доказательство классическим способом, причем ключевую роль будет играть оценка, полученная в теореме 10.2. Напомним, что система {xn} векторов банахова пространства H называется полной, если ее ли- нейная оболочка плотна в H. Система называется минимальной, если при удалении произвольного вектора xk из системы свойство полноты теряется. Определение 12.1. Система функций yj,1, yj,2, ... , yj,m называется цепочкой функций, присоединенных к собственной функции yj оператора L = Lq,U или L = LP,U с собственным значением λ0, если все они лежат в области определения соответ- ствующего оператора и удовлетворяют системе уравнений Lyj,q = λ0yj,q + yj,q-1, q = 1, ... , m (здесь и далее yj,0 = yj - собственные функции). Будем говорить, что собственная функция yj имеет кратность m0, если существует цепочка из присоединенных к ней функций длины m0 - 1, но не существует такой цепочки длины m0. Пусть p - размерность собственного подпространства H0, отвечающего собственному значе- нию λ0. Обозначим через y1 ∈ H0 собственную функцию, имеющую максимальную кратность, через y2 ∈ H0 - собственную функцию максимальной кратности, линейно независимую с y1, и т. д. Пусть mj - кратность собственной функции yj, а yj,k, k = 1, ... , mj - 1 - соответствующие присоединенные функции. Система {yj,k }, где 1 � j � p, а 0 � k � mj - 1, называется канонической системой собственных и присоединенных функций оператора L, отве- чающей собственному значению λ0. Легко видеть, что любая каноническая система {yj,k } образуют базис в собственном подпро- странстве, отвечающем собственному значению λ0. Следуя работе [31], обозначим через yz опера- тор в пространстве H, действующий по правилу f 1→ (f , z)y. В той же работе доказан следующий факт. Теорема 12.I. Для любого собственного значения λ0 регулярного оператора Штурма- Лиувилля L = Lq,U или Дирака L = LP,U размерность p собственного подпространства не превосходит 2. Кратность нуля функции Δ(λ) в точке λ0 совпадает с суммой m1 + m2 (в случае p = 1 полагаем m2 = 0). При этом функция Грина G(t, x, λ) имеет полюс порядка m1 в точке λ0. Пусть {yj,k } - произвольная каноническая система собственных и присоединенных функций оператора L, отвечающая собственному значению λ0. Тогда найдется такая каноническая СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 449 система {zj,k} собственных и присоединенных функций сопряженного оператора L∗, отвечаю- щая собственному значению λ0, что главная часть ряда Лорана резольвенты R(λ) = (L-λI)-1 в точке λ0 будет иметь вид y1,0z1,0 (λ - λ0)m1 y1,0z1,1 + y1,1z1,0 + (λ - λ0)m1 -1 + ··· + + y1,0z1,m1 -1 + ··· + y1,m1 -1z1,0 λ - λ0 y2,0z2,0 + (λ - λ0)m2 y2,0z2,1 + y2,1z2,0 + (λ - λ0)m2 -1 + ··· + y2,0z2,m2 -1 + ··· + y2,m2 -1z2,0 λ - λ0 . (12.1) Определение 12.2. Для каждого собственного значения λ0 регулярного оператора Штурма- Лиувилля L = Lq,U или Дирака L = LP,U выберем произвольную каноническую систему {yj,k } собственных и присоединенных функций с тем лишь условием, что собственные функции этой системы имеют единичную норму. В силу теоремы 12.I количество векторов в системе {yj,k } совпадает с порядком нуля λ0 функции Δ(λ). Занумеруем векторы этой системы (в порядке y1, y1,1, ... , y1,m1 -1, y2, y2,1, ... , y2,m2 -1) ин- дексами n ∈ Z в соответствии с нумерацией собственных значений. Системой собственных и присоединенных функций {yn}n∈Z оператора L мы будем называть объединение всех канониче- ских систем. Оператор Pλ0 = y 1,0 z1,m1 -1 + ··· + y 1,m1 -1 z1,0 + y 2,0 z2,m2 -1 + ··· + y 2,m2 -1 z2,0 называется спектральным проектором на корневое подпространство, отвечающее собственному значению λ0. Вернемся к оператору Дирака LP,U . Теорема 12.1. Пусть потенциал P имеет вид (3.8), а краевые условия (3.4) регулярны. То- гда система {yn}n∈Z собственных и присоединенных функций оператора LP,U (см. определе- ние 12.2) полна и минимальна в пространстве H. Доказательство. Вначале докажем полноту системы {yn}n∈Z. Пусть функция f ∈ H ортогональна всем векторам этой системы. Зафиксируем произвольный вектор g ∈ H и рассмотрим функцию Φ(λ) := (R∗(λ)f , g), определенную в области C \ {λn}n∈Z. Согласно (12.1), эта функция имеет устранимые особенности в точках λn, т. е. после доопре- деления в них является целой. В силу теоремы 10.2, для любого δ > 0 в области C \ Uδ(λn) справедлива оценка |Φ(λ)| � M 1f 1H1g1H , n∈Z где M не зависит от λ. Заметим, что для случая сильно регулярных краевых условий inf |λ0 - λ0 | = d > 0 (см. утверждение 4.1). n m n∓=m d В слабо регулярном случае inf |λ0 - λ0 | = d > 0. Выберем число δ равным 4 - тогда круги n m |n-m|;;:2 n Uδ (λ0 ) либо не пересекаются, либо разбиваются на пары, не пересекающиеся между собой. Этим же свойством, очевидно, обладают и круги Uδ (λn) для всех n таких, что d n 4 |λn - λ0 | < . В силу теоремы 9.1 последнее неравенство выполнено при |n| ;;: N для некоторого N. Таким образом, вне некоторого круга {|z| � R} множество точек λ, для которых неравенство |Φ(λ)| � M 1f 1H1g1H еще не доказано, представляет собой счетное объединение ограниченных непересекающихся обла- стей. По принципу максимума, это неравенство будет справедливо в каждой из данных областей, значит, и всюду в области {|z| > R}, а следовательно, и во всей комплексной плоскости. 450 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Из теоремы Лиувилля следует, что функция Φ(λ) является постоянной. Тогда функция Φl(λ) = ((R∗(λ))lf , g) = ((R∗(λ))2f , g) ≡ 0. Поскольку функция g выбиралась произвольной, то (R∗(λ))2f ≡ 0, откуда f = 0. Полнота системы {yn}n∈Z доказана. Для доказательства минимальности системы {yn}n∈Z достаточно доказать существование биор- тогональной системы. Мы построим ее на базе системы {zn}, полученной объединением всех канонических систем {zj,k }, определенных в разложении (12.1) (т. е. системы собственных и при- соединенных функций оператора (LP,U )∗). λ Рассмотрим некоторое фиксированное собственное значение λ оператора LP,U алгебраической кратности p и обозначим соответствующее корневое подпространство через Hλ. Корневое подпро- странство, отвечающее собственному значению λ оператора (LP,U )∗ обозначим H∗ . Прежде всего заметим, что если LP,U y = λy, (LP,U )∗ z = μz μ и μ ⊕= λ, то y ⊥ z, т. е. Hλ ⊥ H∗ при λ ⊕= μ. λ Таким образом, для построения биортогональной системы достаточно в каждом пространстве H∗ построить базис {wj,k}, биортогональный системе {yj,k}. Нам не потребуется явное представление векторов wj,k, так что мы ограничимся доказательством существования такого базиса. Представим этот базис в виде линейных комбинаций системы {zj,k }, определенной в (12.1). Записав условия биортогональности, получим систему линейных уравнений с матрицей Грама ( ) (yj,k, zl,m) . Разрешимость системы равносильна невырожденности данной матрицы. Если же матрица вырождена, то найдется ненулевой вектор ), cj,kzj,k, ортогональный всем функциям yj,k, а значит, и вообще всей системе собственных и присоединенных функций оператора LP,U . Это противоречит полноте данной системы. Минимальность системы {yn}n∈Z доказана. Определение 12.3. Объединение всех систем {wj,k} будем называть биортогональной систе- мой и обозначать {wn}n∈Z. При этом нумерацию мы ведем так, что (yn, wm) = δnm. Мы переходим к доказательству базисности системы {yn}n∈Z собственных и присоединенных функций оператора LP,U . Мы докажем, что для любого сильно регулярного оператора LP,U система {yn}n∈Z является базисом Рисса в H. Отметим, что этот факт не является простым. Так, например, он не следует из асимптотических формул (9.23). Мы проведем здесь доказательство, основываясь на теореме Бари-Боаса 18.II, причем основную роль будут играть представление (9.24) и лемма 12.1, приведенная ниже. Опре- деление пространств Харди см. в приложении B. Лемма 12.1. Пусть {λn}n∈Z - последовательность собственных значений оператора LP,U с потенциалом P (·) ∈ L1[0, π] и регулярными краевыми условиями U. Тогда для всех f ∈ L2[0, π] справедлива оценка π 2 r , 0 n∈Z f (x)eiλnx dx 1L2 � C1f 2 , где C = C(P, U ). Доказательство. Напомним, что все собственные значения оператора LP,U лежат в полосе Πα для некоторого α = α(P, U ) > 0. Рассмотрим целую функцию π r F (z) = 0 f (x)e(iz+α+1)x dx. Из теоремы Пэли-Винера следует, что функция F принадлежит пространству Харди H2(C+) в верхней полуплоскости, причем 1F 1H2 � C1f 1L2 . СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 451 Положим zn = λn + iα + i и заметим, что π r F (zn) = 0 f (x)eiλnx dx. Пусть теперь μ(Qa,h) - количество точек zn (с учетом кратности), лежащих внутри квадрата Qa,h = {z : Re z ∈ (a, a + h), Im z ∈ (0, h)}. Легко видеть, что μ(Qa,h) = 0 при h < 1. Поскольку λn = n + κn + o(1), где κn зависят только от четности номера n, то функция s(h) = sup μ(Qa,h) a∈R конечна для любого h и s(h) ∼ h при h → ∞. Тогда найдется число γ > 0 такое, что s(h) � γh при всех h > 0. Применив теорему 17.VI с мерой σ = ), δzn , получим оценку n∈Z что и влечет утверждение леммы. 1{F (zn)}n∈Z1l2 � C(γ)1F 1H2 , Напомним, что все собственные векторы системы {yn}n∈Z нормированы. Поскольку все соб- ственные значения сильно регулярного оператора LP,U просты, начиная с некоторого номера N, то при всех |n| > N : 1yn1 = 1. Спектр оператора (LP,U )∗ совпадает с множеством {λn}n∈Z с совпадением кратностей, а зна- чит, при |n| > N все векторы wn биортогональной системы также являются собственными для оператора (LP,U )∗. Однако, в отличие от yn, они уже могут иметь неединичную норму. Лемма 12.2. Пусть LP,U - произвольный сильно регулярный оператор Дирака, а {wn}n∈Z - система, биортогональная к {yn}n∈Z (см. определение 12.3). Тогда последовательность {1wn1}n∈Z ограничена. wn Доказательство. Обозначим � = wn 1wn1 и заметим, что wn), а значит, (yn, wn) ⊕= 0, n ∈ Z. 1 = (yn, wn) = 1wn1(yn, � Кроме того, неравенство 1wn1 < C равносильно неравенству 1 � (yn, wn) > C . Пусть y0 - нормированные собственные функции оператора L0,U , а w0 - нормированные соб- n n ственные функции оператора L0,U ∗ . Используя (4.4), получим y0 iλ0 x, ω e-iλ0 x)t, w0 ∗ iλ0 x, ω∗ -iλ0 x)t, n = (ω1,j e n 2,j n n = (ω1,j e n 2,j e n где j = 0 при четном n и j = 1 при нечетном n. Тогда (y0 , w0 ) = π(ω1,jω∗ + ω2,jω∗ ), n n 1,j 2,j т. е. скалярные произведения (y0 , w0 ) зависят только от четности индекса n. n n y0 0 Поскольку по определению ( n, wn) ⊕= 0, то |(y0 , w0 )| ;;: C > 0 n n при всех n ∈ Z. Все векторы yn и wn при достаточно больших |n| являются собственными. Из теоремы 9.4 имеем wn) = (y0 , w0 ) + o(1), (yn, � n n wn т. е. числа |(yn, � )| отделены от нуля при достаточно больших (а значит, и при всех) n. 452 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Нам потребуется еще одно несложное утверждение. Оно, однако, является ключевым для дока- зательства теоремы 12.2. 1 Лемма 12.3. Пусть система {ϕn(x)}∞ является бесселевой в пространстве L2[a, b], а ∞ {τn(x)}1 - абсолютно непрерывные на [a, b] функции, причем n |τn(a)| � T, |τ l (x)| � τ (x) ∈ L1[a, b], n = 1, 2,... , (12.2) 1 где число T и функция τ не зависят от n. Тогда система {ϕn(x)τn(x)}∞ также является бесселевой в пространстве L2[a, b]. Доказательство. Поскольку ϕn(x)τn(x) = ϕn(x)τn(a)+ ϕn(x)(τn(x) - τn(a)), а из оценки |τn(a)| � T следует бесселевость системы {ϕn(x)τn(a)}, то далее, заменив τn(x) на τn(x) - τn(a), можно считать, что τn(a) = 0. Тогда N , n=1 2 |(f, ϕnτn)| = N b x b y r = , r f (x)ϕ r (x) τ l (ξ) dξ dx f (y)ϕ r (y) τ l (ζ) dζ dy = a n n n=1 a ⎛ n n a a ⎞ N b b b b = ⎜ ⎟ , r r r r n n n n=1 a τ l (ξ)τ l (ζ) ⎝ ξ b f (x)ϕ (x) dx ζ f (y)ϕn(y) dy⎠ dξ dζ � r r N � τ (ξ)τ (ζ) , (fχ[ξ,b], ϕn) (ϕn,fχ[ζ,b]) dξ dζ � a a n=1 b b b b r r r r 2 � c2 a τ (ξ)τ (ζ) · 1f χ[ξ,b]1 · 1fχ[ζ,b]1 dξ dζ � c2 a a τ (ξ)τ (ζ) dξ dζ · 1f 1 . a Устремив N → ∞, получаем утверждение леммы. Теорема 12.2. Для любого сильно регулярного оператора LP,U с потенциалом P ∈ L1[0, π] вида (3.8) система {yn}n∈Z собственных и присоединенных функций, введенная в определе- нии 12.2, образует базис Рисса в пространстве H. Доказательство. Воспользуемся теоремой 18.II. Полнота и минимальность системы {yn}n∈Z уже доказаны в теореме 12.1, так что остается проверить бесселевость систем {yn}n∈Z и {wn}n∈Z. Вначале мы докажем бесселевость системы {yn}n∈Z. Поскольку краевые условия сильно регулярны, то все собственные значения λn оператора LP,U просты при |n| > N для некоторого N. Тогда система {yn}|n|>N состоит только из нормированных собственных функций оператора LP,U , и мы можем воспользоваться асимптотическим представле- нием (9.24) y1,n(x) = eiλnxτ1,n(x), y2,n(x) = e-iλnxτ2,n(x). Тогда из леммы 12.1 и леммы 12.3 следует бесселевость систем {y1,n}n∈Z и {y2,n}n∈Z в пространстве L2[0, π], что и означает бесселевость системы {yn}n∈Z в H. Перейдем к биортогональной системе {wn}n∈Z. Поскольку функции wn при |n| > N являются собственными функциями сопряженного оператора LP ∗,U ∗ , то к системе {wn/1wn1}|n|>N приме- нимы те же рассуждения, что и к системе {yn}|n|>N . Для завершения доказательства достаточно вспомнить (лемма 12.2), что 1wn1 < C ∀n ∈ N для некоторой константы C. Следствие 12.1. Для любого сильно регулярного оператора LP,U с потенциалом P ∈ L1[0, π] общего вида система {yn}n∈Z собственных и присоединенных функций, введенная в определе- нии 12.2, образует базис Рисса в пространстве H. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 453 Доказательство. Воспользуемся утверждением 3.3, согласно которому найдется оператор LP ,U с внедиагональным потенциалом и сильно регулярными краевыми условиями, подобный оператору LP,U . Остается заметить, что при переходе к подобному оператору свойство базисности Рисса системы собственных и присоединенных функций сохраняется. В случае слабо регулярных краевых условий система {yn}n∈Z собственных и присоединенных функций оператора LP,U уже не обязана образовывать базис Рисса (см., например, [10, 114]). Мож- но, однако, показать, что в этом случае всегда имеется базисность Рисса из подпространств, причем все подпространства двумерны. Мы докажем этот факт, следуя классическим работам [30, 45] и опираясь на теоремы фон Неймана и Карлесона. Определение базиса Рисса из подпространств см. в приложении C. Начнем с доказательства следующего полезного утверждения. Лемма 12.4. Любой (не обязательно сильно) регулярный оператор Дирака LP,U с потенци- алом вида (3.8) представим в виде суммы LP,U = A + V, ограниченного в H оператора V и неограниченного замкнутого оператора A с плотной обла- стью определения D(A) ⊂ H и компактной резольвентой. При этом спектр σ(A) расположен в некоторой полосе Πα и состоит из собственных значе- ний {λn}n∈Z. Нумерацию этих собственных значений (с учетом их алгебраической кратности) можно провести так, чтобы выполнялись асимптотические равенства λn = n + κj + o(1) при |n| → ∞, где j = 0, если n четно и j = 1, если n нечетно, причем геометрическая и алгебраическая кратности каждого собственного значения совпадают, т. е. оператор A не имеет присоеди- ненных функций. Система нормированных собственных функций оператора A образует базис Рисса в пространстве H. Доказательство. Рассмотрим оператор LP,U + V0, где V0 : (y1, y2) 1→ (ky1, -ky2). Если краевые условия, задаваемые матрицей U = (C, D), сильно регулярны, то положим k = 0. В противном случае подберем k следующим образом. Поскольку LP,U + V0 есть оператор Дирака вида (3.1) с потенциалом k p2(x) , p3(x) -k то к нему применимо утверждение 3.3. Из (3.5) следует, что γ = 0, � = p , � = p , т. е. LP,U + V0 = W LP,U W -1. p2 2 p3 3 При этом краевые условия U� задаются матрицей U� = (C, eiπkD). По определению 3.2, краевые условия U� сильно регулярны, если (J12 + e2iπkJ34)2 + 4e2iπkJ14J23 ⊕= 0. Таким образом, достаточно выбрать k так, чтобы точка μ = e2iπk не являлась нулем функции μ2J 2 2 34 + 2μ(J12J34 + 2J14J23)+ J12, что возможно, поскольку эта функция не равна нулю тождественно (это следует из регулярности краевых условий U ). Итак, мы представили оператор LP,U в виде -1 LP,U = W LP,U W - V0, где краевые условия U� сильно регулярны. Тогда лишь конечное число собственных значений оператора LP,U могут иметь алгебраическую кратность, большую единицы. Пусть λ0 - одно из таких собственных значений, H0 - соответствующее корневое подпростран- ство, {yj,k } - произвольная каноническая система собственных и присоединенных функций в H0, построенная в определении 12.2, а P0 - спектральный проектор на H0 (см. определение 12.2). Определим оператор K0 на подпространстве H0 равенствами K0yj,0 = 0, K0yj,k = -yj,k-1 454 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ для всех k ⊕= 0. Тогда оператор LP,U + K0P0 диагонален на подпространстве H0. Пусть оператор K равен сумме операторов K0P0 по всем корневым подпространствам, отвеча- ющим кратным собственным значениям оператора LP,U (число слагаемых в этой сумме конечно, так что оператор K ограничен). Операторы LP,U + K и LP,U имеют одинаковый спектр и одина- ковую систему собственных и присоединенных функций, причем все эти функции являются для оператора LP,U + K собственными. Остается положить -1 A := W (LP,U + K)W и V := -WKW -1 - V0. Приступим к доказательству базисности Рисса из подпространств. Нам потребуется теорема фон Неймана (см. [54, гл. XI]). Теорема 12.II (Дж. фон Нейман). Пусть T - произвольное сжатие в гильбертовом про- странстве, т. е. 1T 1 � 1, а функция f голоморфна в круге |z| < r, r > 1, и ограничена в круге |z| � 1 константой μ. Тогда 1f (T )1 � μ. Пусть оператор LP,U слабо регулярен. Пусть Hn = Rn Pn, |n| ;;: N0, - корневые подпространства этого оператора, введенные в определении 10.2. Определим дополнительно подпространство H0 = Rn SN0 , где 1 r SN0 := 2πi γ R(λ) dλ, а замкнутый кусочно-гладкий жорданов контур γ охватывает все собственные значения λn опера- тора LP,U с номерами n : |n| < 2N0, и только их. Теорема 12.3. Система {H0, Hn}|n|;;:N0 образует базис Рисса из подпространств в про- странстве H. Доказательство. Применим теорему 18.III. Из теоремы 12.1 следует, что замыкание линейной оболочки системы {H0, Hn}|n|;;:N0 совпадает со всем пространством H, так что остается доказать выполнение свойства (18.1). Пользуясь леммой 12.4, представим оператор LP,U в виде суммы LP,U = A + V. Поскольку система собственных функций оператора A образует базис Рисса в пространстве H, то найдется такое скалярное произведение (·, ·)1, топологически эквивалентное исходному (т. е. c11· 11 � 1·1 � c21 · 11 для некоторых c1 и c2), относительно которого эта система является ортонормированным базисом (см. 18.I). В силу оценки на нормы, свойство базисности системы подпространств {Hn} не изменится при переходе к новому скалярному произведению. В новом скалярном произведении оператор A диагонален в ортонормированном базисе из своих собственных векторов, т. е. нормален. Тогда числовой образ {(Af , f )1 : 1f 11 = 1} оператора A равен замыканию выпуклой оболочки спектра σ(A), а значит, лежит в некоторой горизонтальной полосе. Следовательно, числовой образ оператора LP,U (относительно нового ска- лярного произведения) также лежит в некоторой полосе Πα. Поскольку сдвиг не меняет свойств базисности, то далее можно работать с оператором B = LP,U + i(α + 1), числовой образ и спектр которого лежат в полосе 1 � Im z � 2h, где h = α + 1. Точки {λn + i(α + 1)}n∈Z спектра оператора B удовлетворяют условиям утверждения 17.3. Пусть числа N и μ определены в формулировке этого утверждения (они зависят только от оператора LP,U и, по построению, N ;;: N0), а ν := 1SN0 11 + N -1 , |n|=N0 1Pn11. Пусть J ⊂ {n ∈ Z : |n| ;;: N } - произвольное конечное подмножество, K - произвольный номер такой, что K > max{|n| : n ∈ J }, а fK - рациональная функция, построенная в утверждении. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 455 Из общей теории функционального исчисления операторов (см., например, [54, гл. IX, § 151]) и представления (12.1) следует, что fK (B) = , Pn. n∈J Пусть T := (B - i)(B + i)-1 - преобразование Кэли оператора B. Легко видеть, что 2 2 откуда ∀x ∈ D(B) : 1(B + i)x11 - 1(B - i)x11 = 4 Im(Bx, x)1 > 0, 1(B - i)(B + i)-1x11 � 1x11. Так как подпространство D(B) = D(LP,U ) плотно в H, то оператор T продолжается на все про- странство и 1T 11 � 1. Обозначим gK (z) = fK iz + i . 1 - z Тогда, согласно теореме 12.II, 1gK (T )11 � μ. Далее, ∀x ∈ Hn, |n| > N, выполнено gK (T )x = fK (B)x при K ;;: n. Переходя к пределу при K → ∞, получим, что , на подпространстве |n|;;:N Hn. 1 n∈J Pn11 � μ1x11 Тогда для произвольного x ∈ H: 1 1 , 1 1 1 n∈J 1 1 1 Pnx1 11 1 1 , = 1 1 1 n∈J ( Pn x - ( N -1 , |k|=N0 Pk + SN0 \ \1 1 1 x 1 11 � μ(1 + ν)1x11. Если теперь J ⊂ {n ∈ Z : |n| ;;: N0} ∪ {0} - конечное подмножество, то нормы 1 ), Pn11 ограни- n∈J чены числом μ + ν + μν, не зависящим от J. Перейдем к оператору Штурма-Лиувилля Lq,U . 1 Теорема 12.4. Система {yn}∞ собственных и присоединенных функций любого регулярного оператора Lq,U полна в пространстве L2[0, π]. 1 Доказательство. Пусть функция f ∈ L2[0, π] ортогональна всем векторам системы {yn}∞. За- фиксируем произвольный вектор g ∈ L2[0, π] и рассмотрим функцию Φ(z) := (R∗(√z)f, g), определенную в области C \ {zn}n∈N. Эта функция имеет устранимые особенности в точках zn, т. е. после доопределения в них является целой. В силу теоремы 11.1, для любого δ > 0 в области C \ Uδ (zn) справедлива оценка где M не зависит от z. |Φ(z)| � M 1f 1L2 1g1L2 , n∈N n Выберем число δ так, чтобы круги Uδ (z00) либо не пересекались, либо разбивались на пары, не пересекающиеся между собой (в слабо регулярном случае). Этим же свойством будут обладать и круги Uδ (zn) для всех достаточно больших n. Таким образом, вне некоторого круга {|z| � R} множество точек z, для которых неравенство |Φ(z)| � M 1f 1L2 1g1L2 еще не доказано, представляет собой счетное объединение ограниченных непересекающихся обла- стей. По принципу максимума это неравенство будет справедливо в каждой из данных областей, значит, и всюду в области {|z| > R}, а следовательно, и во всей комплексной плоскости. 456 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Из теоремы Лиувилля следует, что функция Φ(z) является постоянной. Тогда Φl(z) = ((R∗(z))lf, g) = ((R∗(z))2f, g) ≡ 0. Поскольку функция g выбиралась произвольной, то (R∗(z))2f ≡ 0, откуда f = 0. Полнота системы {yn}n∈N доказана. Докажем теперь теорему о базисности Рисса собственных и присоединенных функций. 2 Теорема 12.5. Пусть q(x) ∈ W -1, а оператор Lq,U определен согласно теореме 8.2. Если соответствующие краевые условия U сильно регулярны, то система собственных и присоеди- ненных функций оператора Lq,U образует базис Рисса в пространстве L2[0, π]. Доказательство. В теореме 5.2 мы уже доказали, что система собственных и присоединенных функций (число присоединенных функций конечно) {y0 (x)}∞ оператора L0,U образует базис n n=1 ∞ Рисса в L2[0, π]. Согласно теореме 8.4, собственные функции {yn(x)}n=1 оператора Lq,U образуют асимптотически квадратично близкую систему, т. е. ∞ , 2 n=1 n 1yn(x) - y0 (x)1 < ∞. n=1 В силу теоремы Бари (см. [19, гл. 6]) система {yn}∞ также образует базис Рисса в пространстве L2[0, π]. В определении 11.2 мы ввели подпространства Hn только при достаточно больших n ;;: N0. Обозначим через H0 подпространство, порожденное собственными и присоединенными функциями yn оператора Lq,U при n < N0. 2 ∞ Теорема 12.6. Пусть q ∈ W -1[0, π], а оператор Lq,U определен согласно теореме 8.2 и регу- лярен. Тогда система подпространств {H0, Hn}n=N0 образует базис Рисса в L2[0, π]. Доказательство. Известно (см. [90]), что в любом регулярном случае система собственных функ- ций {y0 }∞ оператора Lq,U есть базис Рисса из подпространств, причем в подпространства нужно n n=1 объединять не более двух функций. n В теореме 11.2 мы доказали квадратичнуюблизость системы проекторов Pn и P0. Теперь базис- n=N0 ность Рисса из подпространств следует из [19, гл. VI, теорема 5.2]. Доказательство полноты и минимальности системы {H0, Hn}∞ проводится так же, как в доказательстве теоремы 12.5. РАВНОМЕРНОСТЬ БАЗИСНОСТИ РИССА ДЛЯ ОПЕРАТОРА LP,U Нам уже известно, что для каждого сильно регулярного оператора LP,U с внедиагональным по- тенциалом P система {yn}n∈Z образует базис Рисса, т. е. существует ограниченный и обратимый оператор T, переводящий векторы ортонормированного базиса {en}n∈Z в векторы {yn}n∈Z, а кон- станта Рисса κ (см. определение 18.2) конечна. Можно ли выбрать число κ единым для данного семейства потенциалов? Ниже будет показано, в каких случаях на этот вопрос можно дать положительный ответ. Вна- чале мы изучим случай, когда P пробегает некоторый компакт X в пространстве L1[0, π]. К этому случаю, например, относятся такие семейства потенциалов, как замкнутый шар пространства Бе- s,r сова Bθ [0, π] при любых θ > 0, s, r ∈ [1, ∞]. Утверждение 13.1. Пусть P ∈ X , где X - произвольный компакт в L1[0, π], матрица P име- ет вид (3.8), а краевые условия U фиксированы и регулярны. Тогда в теореме 10.1 константы α и C в оценке (10.7) можно выбрать едиными на X , т. е. α = α(X , U, p, q), C = C(X , U, p, q). Доказательство. Анализируя доказательство теоремы 10.1, видим, что числа α и C полностью определяются величинами C(U, p, q), ε(U, p, q) и Cε = Cε(P, U, p, q), так что зависимость от потен- циала заключена только в величине Cε. Пусть P0 - некоторый фиксированный потенциал, а Vε приближает его с точностьюдо ε/2, т. е. ε 1P0 - Vε1L1 < 2 . СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 457 Тогда Vε приближает любой потенциал из шара 1P - P01 < ε/4 с точностью ε. Это означает, что числа α и C в оценке (10.7) можно выбрать едиными на данном шаре. Остается покрыть компакт X конечным числом таких шаров и выбрать α и C максимальными по конечному набору. Для краткости обозначим Начнем со следующей леммы. Πα,β = {λ : | Im λ| < α, | Re λ| > β}. Лемма 13.1. Пусть потенциал P имеет вид (3.8) и принадлежит некоторому компакту X ⊂ L1[0, π]. Для любых α > 0 и ε > 0 найдется число β = β(X , α, ε) такое, что неравенство Υ0(P ; λ) � ε выполнено для всех λ ∈ Πα,β . Доказательство. Зафиксируем произвольный потенциал P ∈ X . Согласно лемме 6.1, Υ0(λ) → 0 при Πα × λ → ∞. Найдем такое число βP , что Υ0(P, λ) < ε/2 при всех λ ∈ Πα,βP . Поскольку |Υ0(P1, λ) - Υ0(P2, λ)| � 41P1 - P21L1 , неравенство Υ0(λ) < ε сохранится для всех потенциалов из шара BL1 (P, ε/8). Остается покрыть компакт X конечным числом таких шаров и положить β = max βP , где максимум берется по всем центрам этих шаров. Утверждение 13.2. Пусть P ∈ X , где X - произвольный компакт в L1[0, π], матрица P имеет вид (3.8), а краевые условия U фиксированы и регулярны. Тогда для каждого оператора LP,U и для всякого ε > 0 найдется номер N = N (X , U, ε) такой, что при всех n, |n| ;;: N, выполнено n |λn - λ0 | < ε, ∈ n ∈ P,U 0,U где {λn}n Z и {λ0 }n Z - собственные значения операторов L и L соответственно. Доказательство. Из утверждения 13.1 мы уже знаем, что все собственные значения любого из операторов LP,U , P ∈ X лежат в полосе Πα, где α = α(X ,U ). Согласно теореме 9.1 для каждого оператора LP,U выполнено n λn - λ0 → 0 при |n| → ∞. Очевидно, что доказательство достаточно проводить лишь для малых ε ∈ (0, ε0]. Мы выберем число ε0 � 1 так, чтобы круги n Un = {λ : |λ - λ0 | � ε0} не пересекались (для слабо регулярных краевых условий U2n = U2n+1 не пересекались с U2m = U2m+1 при n ⊕= m) и лежали в полосе Πα. Итак, зафиксируем число ε ∈ (0, ε0] и положим mn = min n |λ-λ0 |=ε |Δ0(λ)|. В силу периодичности функции Δ0(λ) имеем min mn = μ > 0, причем μ = μ(U, ε). Из утвержде- n∈Z ния 9.2 аналогично следствию 8.1 получаем, что найдется число k0 = k0(α, 1P 1L1 ) такое, что для всех точек области справедлива оценка λ ∈ Π0,α = {λ : | Im λ| < α, Υ0(λ) < k0}, |Δ(λ) - Δ0(λ)| � M Υ0(λ), (13.1) где M = M (α, 1P 1L1 ). Таким образом, для всех индексов n, для которых оба неравенства Υ0(λ) < k0, Υ0(λ) < μ/M n выполнены всюду на ∂Un, из теоремы Руше имеем |λn - λ0 | < ε. 458 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Положим число h минимумом правых частей этих неравенств. Тогда h = h(α, 1P 1L1 , μ,M ) = h(X , U, 1P 1L1 , ε) = h(X , U, ε). Пользуясь леммой 13.1, найдем такое число β = β(X , α, h) = β(X , U, ε), что Υ(λ) < h в Πα,β . Остается вспомнить, что n n - 2 � Re λ0 � n + 1, т. е. круги Un содержатся в Πα,β при всех |n| ;;: [β]+ 3. Теперь N = N (X , U, ε) = [β]+ 3. Утверждение 13.3. Пусть P ∈ X , где X - произвольный компакт в L1[0, π], матрица P имеет вид (3.8), а краевые условия U фиксированы и регулярны. Тогда для каждого оператора LP,U и для всякого ε > 0 найдется номер N = N (X , U, ε) такой, что при всех n, |n| ;;: N, выполнено n 1yn - y0 1C < ε, n λn где yn и y0 - нормированные собственные функции операторов LP,U и L0,U , отвечающие собственным значениям и λ0 n соответственно. Более того, справедливо представление (9.24) с оценками |τj,n(0)| + max x∈[0,π] |τ l j,n (x)| � C(|p2(x)| + |p3(x)|), (13.2) где C = C(1P 1L1 , α) = C(X ,U ) (здесь Πα - полоса, содержащая спектр оператора LP,U ). Доказательство. Проанализируем доказательство теоремы 9.4. Далее пользуемся обозначениями, введенными в этом доказательстве. Прежде всего заметим, что все точки λn лежат в некоторой горизонтальной полосе, ширина которой зависит только от краевых условий U и компакта X (утверждение 13.1). Число δ, введенное в начале доказательства теоремы 9.4, заведомо не превосходит 1, так что расширяя полосу так, чтобы точки λn лежали в ней вместе со своими δ-окрестностями, мы все равно можем считать, что ширина полосы зависит только от U и X . Номер N1, начиная с которого выполнена оценка n |λn - λ0 | < δ, зависит, согласно утверждению 13.2, только от U и X . Номер N2, начиная с которого справедливо неравенство (9.30), определяется условием Υ0(λ) < k0. Поскольку выбор константы k0 зависит только от a = 1P 1L1 и ширины полосы α = α(U, X ), то (согласно лемме 13.1) неравенство Υ0(λ) < k0 выполнено при всех λ ∈ Πr,β , где β = β(U, X ). n Учитывая теперь, что Re λ0 ∈ [n - 2,n + 1], видим, что номер N2 можно положить равным max{N1, [β] + 3}. Наконец, константа C, фигурирующая в правой части (9.30), определяется только величинами a = 1P 1L1 и α = α(U, X ). Итак, мы доказали, что оценка (9.30) с константой C = C(U, X ) выполнена при всех n, |n| > N, n N = N (U, X ). Тогда то же самое верно и для оценок (9.32), (9.33) и (9.34). Таким образом, остается оценить величины Υ(λn) и |λn - λ0 |. Оценка первой из них проведена в лемме 13.1, а второй - в утверждении 13.2. Докажем вторую часть утверждения. Из представления (9.4) с оценками (9.6) для ненормиро- ванных собственных функций имеем � (y1,n (x) = eiλnx (ω 1,n + ω1,n η11 (x, λn )+ ω 2,n η12 (x, λn )) , � y2,n (x) = e-iλnx (ω 2,n + ω1,n η21 (x, λn )+ ω 2,n η22 (x, λn )) , для всех n. Введем обозначения τ1,n y1,n iλnx τ2,n y2,n iλnx Тогда � (x) = � (x)e- и � (x) = � (x)e . � τ1,n (0) = ω 1,n = u12 + u13 e12 (π, λn )+ u14 e22 (π, λn), � τ2,n (0) = ω 2,n = -u11 - u13 e11 (π, λn ) - u14 e21 (π, λn) СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 459 - последовательности, ограниченные величиной, зависящей только от 1P 1L1 и ширины полосы | Im λ| < α (см. доказательство утверждения 9.1). Из этого же утверждения следует оценка про- изводных �j,n(x) = ω1,nηj1(x, λn)+ ω2,nηj2(x, λn), τ l l l а значит, согласно (9.6), τ l τ l |�1,n(x)| � M |p2(x)|(|ω1,n| + |ω2,n|), |�2,n(x)| � M |p3(x)|(|ω1,n| + |ω2,n|), yn M = M (1P 1L1 , α). Отсюда сразу следует оценка (9.25) для ненормированных функций � . Так yn как нормы {1� 1H}|n|>N отделены от нуля, то эта оценка сохранится и после нормировки. Переходим к основной цели этого раздела - изучить зависимость свойства базисности систе- мы {yn}n∈Z от потенциала P при фиксированных сильно регулярных граничных условиях U. В качестве характеристики базиса {yn}n∈Z мы выбираем константу Рисса этого базиса (см. опреде- ление 18.2). Сразу же ясно, что получить равномерные оценки на величину κ невозможно даже при варьи- ровании потенциала вида tP (x), t ∈ [0, 1]. Конечно, согласно следствию10.1, собственные значения являются непрерывными функциями потенциала. Однако собственные значения могут сталкивать- ся, образуя жордановы клетки. В этом случае константа Рисса неограниченно растет, меняясь при столкновении собственных чисел скачком к конечному значению. Тем не менее, сильная регулярность краевых условий гарантирует асимптотическую простоту спектра оператора LP,U . Тогда, подправляя систему {yn}n∈Z на конечномерном подпространстве (размерность которого равномерно ограничена по X ), мы получим следующий результат. Теорема 13.1. Пусть LP,U - сильно регулярный оператор Дирака с потенциалом P ∈ X ви- да (3.8), где X - компакт в L1[0, π]. Пусть EN = Lin{en}|n|>N , E0 = Lin{en}|n|�N , HN = Lin{yn}|n|>N , H0 = Lin{yn}|n|�N . Тогда найдeтся номер N = N (X ,U ) ∈ N и постоянная C = C(X ,U ) > 0 такие, что N 1TN 1· 1T -11 � C, где оператор TN определен как сужение оператора T на подпространство EN . Нам потребуется доказать несколько вспомогательных утверждений. Лемма 13.2. Пусть {yn}n∈Z - система собственных и присоединенных функций сильно регу- лярного оператора LP,U , P ∈ X имеет вид (3.8), X - компакт в L1[0, π] (собственные функции нормированы). Тогда найдется номер N = N (X ,U ) и постоянная γ1 = γ1(X ,U ) > 0 такие, что при всех n, |n| > N, для любой функции f ∈ (L2[0, π])2 выполнено: , |n|>N 2 2 |(f , yn)| � γ11f 1L2 . (13.3) Доказательство. Согласно утверждениям 13.2 и 13.3, существует такое натуральное N = N (X ,U ), что при |n| > N все собственные значения просты, а собственные функции имеют асимптотику y1,n(x) = eiλnxτ1,n(x), y2,n(x) = e-iλnxτ2,n(x), причем |τj,n(0)| � C = C(X ,U ), j = 1, 2, а производные функций τj,n(x) подчинены оценке |τ l j,n (x)| � C(R, U )(|p2(x)| + |p3(x)|) почти всюду на [0, π] × x. Из этого представления и леммы 12.3 сразу вытекает требуемое утвер- ждение. 460 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Лемма 13.3. Пусть {yn}n∈Z - система собственных и присоединенных функций сильно ре- гулярного оператора LP,U с внедиагональным потенциалом P ∈ X , соответствующих соб- ственным значениям λn (собственные функции нормированы). Пусть, далее, {wn}n∈Z - система собственных и присоединенных функций оператора (LP,U )∗ = LP ∗,U ∗ , соответствующих собственным значениям λn, причем все собственные функции также нормированы на единицу. Тогда найдутся такой номер N = N (X ,U ) и по- стоянная C = C(X ,U ) > 0, что при |n|, |m| > N : (0, n ⊕= m, причем sup {1/|an|} < C. |n|>N (wn, ym) = an, n = m, Доказательство. Согласно утверждению 13.2, начиная с некоторого номера N = N (X ,U ), все собственные значения оператора LP,U (а значит, и (LP,U )∗) просты, а функции {yn}|n|>N и {zn}|n|>N являются соответственно нормированными собственными функциями данных операто- ров. Пусть сначала n ⊕= m. Тогда λn(zn, ym) = (L∗zn, ym) = (zn, Lym) = λm(zn, ym). Поскольку λn ⊕= λm, то (zn, ym) = 0. Рассмотрим случай n = m. Пусть {y0 } и {z0 } - нормированные системы собственных функций n n операторов L0,U и (L0,U )∗ соответственно. Положим ν0 = inf |(z0 , y0 )| > 0. n n n∈Z Увеличивая при необходимости номер N (X ,U ), из утверждения 13.3 получаем, что при |n| > N : 1yn - y0 1 < ν0/3 и, аналогично, 1zn - z0 1 < ν0/3. n n Тогда |(zn , yn)| = |((z0 + (zn - z0 ), y0 + (yn - y0 ))| ;;: |(z0 , y0 )| -|(zn - z0 , y0 )| -|(zn, yn - y0 )| ;;: ν0/3. n n n n n n n n n Доказательство теоремы 13.1. Пусть число N = N (X ,U ) выбрано в лемме 13.3. Зафиксируем некоторый ортонормированный базис {en}n∈Z в пространстве H. Пусть x ∈ EN . Тогда следовательно, x = , (x, en)en, |n|>N TN x = , (x, en)yn. |n|>N Отсюда в силу леммы 13.2 для любого y ∈ HN справедливо |(TN x, y)| = , (x, en)(yn, y) � √γ11x1 · 1y1, |n|>N где γ1 = γ1(X ,U ). Отсюда 1TN 1EN →HN � √γ1. Пусть теперь y ∈ HN , {zn}n∈Z - система собственных и присоединенных функций оператора (LP,U )∗, введенная в лемме 13.3. Поскольку система {yn} является базисом Рисса, а система {wn}, где wn = гональная к ней, то zn (zn, yn) , - биорто- y = ,(y, wn)yn = , (y, wn)yn = , (y, zn ) zn, yn) yn. n∈Z |n|>N |n|>N ( СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 461 Значит, T -1 N y = , |n|>N (y, zn ) an en, следовательно, в силу леммы 13.2, примененной к системе {zn} и леммы 13.3, найдутся такие постоянные γ2 = γ2(X ,U ) и C = C(X ,U ), что 2 a 1T -1 2 y, zn )| 2 N y1 = , |( 2 |n|>N n � C2 , |n|>N |(y, zn )|2 � C2γ21y1 . В силу произвольности выбора y ∈ HN , отсюда следует утверждение теоремы. Теорема 13.2. Пусть LP,U - сильно регулярный оператор Дирака с потенциалом P ∈ X вида (3.8), где X - компакт в L1[0, π]. Пусть EN , E0, HN , H0 - подпространства, введенные в теореме 13.1. Выберем в простран- стве H0 произвольный ортонормированный базис {ϕn}|n|�N и определим оператор S в про- странстве H ⎧T f , f ∈ EN , Sf = ⎨ ), (f , en )ϕn, f ∈ E0. Тогда оценка ⎩|n|�N 1S1 · 1S-11 � C по-прежнему выполнена с некоторой новой константой C = C(X ,U ). Лемма 13.4. Пусть R(λ) = (LP,U - λI)-1 - резольвента сильно регулярного оператора Ди- рака LP,U с потенциалом P ∈ X вида (3.8), X - компакт в L1[0, π]. Пусть номер N = N (X ,U ) зафиксирован в лемме 13.3. Тогда найдутся такие α = α(X ,U ), β = β(X ,U ), что все собственные значения λn оператора LP,U при |n| � N лежат внутри контура γ, составленного из отрезков Im λ = ±α, -β � Re λ � β и Re λ = ±β, -α � Im λ � α, а при |n| > N - вне этого контура. Более того, если обозначить то имеем оценку 1P1 � C = C(X ,U ). 1 r P = 2πi γ R(λ)dλ, Доказательство. Пусть постоянная α = α(X ,U ) выбрана в утверждении 13.1. Обозначим d0 = inf |λ0 - λ0 |. n m n∓=m 0 Возьмем число βU ∈ (0, 2) так, чтобы | Re λ0 - βU | ;;: d0 . j 0 2 0 Тогда найдется натуральное m = m(U ) такое, что постоянная β = βU +2m удовлетворяет условиям n следствия из утверждения 13.2, и все собственные значения λ0 оператора L0,U при |n| � N лежат внутри контура γ, а при |n| > N - вне контура. В силу утверждения 13.2 об асимптотике собственных значений λn d0 оператора L P,U имеем: | Re λn - β| ;;: 6 (положили в утверждении ε = d0/3). Значит, резольвента R(λ) определена на контуре γ. Пусть теперь λ ∈ γ - фиксированная точка. Из утверждения 13.1 следует равномерная ограни- ченность резольвенты на отрезках Im λ = ±α. Тогда в силу равномерной отделенности собствен- ных значений от отрезков Re λ = ±β, непрерывной зависимости от потенциала в пространстве L1 (следствие 10.1) и компактности X имеем оценку 1R(λ)1 � C = C(X ,U ). 462 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Действительно, пусть для некоторой последовательности Pn потенциалов из X выполнено: n sup 1(LP ,U - λI)-11 → +∞ при n → +∞. λ∈γ В силу компактности X существует подпоследовательность Pkn такая, что 1Pkn - P 1L1 → 0, P ∈ X . Но тогда 1 sup 1(LPn,U - λI)- λ∈γ - (LP,U - λI)-1 1 → 0, что противоречит нашему предположению. Отсюда вытекает утверждение леммы. Доказательство теоремы 13.2. По определению оператора S имеем: S = T0P0 + TN (I - P0), где P0 - ортопроектор на E0 вдоль EN , T0en = ϕn, |n| � N. Тогда 1S1 � 1TN 1 + 1. Далее, S-1 = T -1 -1 следовательно, в силу предыдущей леммы, 0 P + TN (I - P), N 1S-11 � 1P1 + 1T -11(1 + 1P1). Отсюда и из теоремы 13.1 получаем требуемое утверждение. n Теперь изучим случай 1P 1Lκ � R, κ > 1. Потенциал P вновь будем считать внедиагональным. Ясно, что ситуация здесь сложнее - например, утверждения вида 13.3 не могут иметь место, поскольку разности λn - λ0 , нестрого говоря, ведут себя как коэффициенты Фурье потенциала P, а значит, не могут иметь равномерных по шару утверждение 13.1 сохраняется. Bκ (0, R) оценок на убывание к нулю. Тем не менее, Утверждение 13.4. Пусть P ∈ Bκ (0, R), т. е. 1P 1Lκ [0,π] � R, где κ > 1, матрица P имеет вид (3.8), а краевые условия U фиксированы и регулярны. Тогда в теореме 10.1 константы α и C в оценке (10.7) можно выбрать едиными на шаре Bκ (0, R), т. е. α = α(R, U, p, q, κ), C = C(R, U, p, q, κ). Доказательство. В силу вложения Lκ [0, π] ⊂ L2[0, π] при κ > 2 можно считать, что κ � 2. Запишем резольвенту RP,U (λ) виде формального ряда RP,U (λ) = R0,U (λ)+ R0,U (λ)P R0,U (λ)+ R0,U (λ)P R0,U (λ)P R0,U (λ)+ ... . (13.4) Теперь оценим норму 1 · 1Lp→Lq каждого слагаемого. При этом мы будем пользоваться оцен- кой (4.10). Прежде всего, 1R0,U (λ)1Lp →Lq � C(U, p, q)| Im λ|- 1+1/p-1/q , 1+1/p 1R0,U (λ)1Lp →L∞ � C(U, p)| Im λ|- 1R0,U (λ)1Lκ →L∞ � C(U, κ)| Im λ|- , 1+1/κ , 1R0,U (λ)1Lκ →Lq � C(U, κ, q)| Im λ|- 1+1/κ-1/q (напомним, что у нас 1 < κ � 2, 1 � p � 2, 2 � q � ∞). Обозначим максимум этих четырех констант через M = M (U, κ, p, q). Тогда 1R0,U P R0,U 1Lp→Lq � 1R0,U 1Lκ →Lq 1P 1Lκ 1R0,U 1Lp →L∞ � M 2R| Im λ|-2+1/p+1/κ-1/q , p → 1R0,U (P R0,U )21L Lq � 1R0,U 1Lκ → Lq 1P 1L κ 1R0,U 1Lκ → L∞ 1P 1L κ 1R0,U � 1Lp →L∞ � M 3R2| Im λ|-3+1/p+2/κ-1/q ,... Продолжая, увидим, что норма n-го слагаемого ряда (13.4) оценивается величиной MnRn-1| Im λ|-n+(n-1)/κ+1/p-1/q . Тогда ряд сходится, если | Im λ| > α = (2M R)κ/(κ-1) СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 463 и его сумма допускает оценку 1RP,U (λ)1Lp →Lq � 2M | Im λ|- 1+1/p-1/q , M = M (U, κ, p, q). (13.5) Начиная с этого момента, мы зафиксируем ширину полосы α так, чтобы она удовлетворяла условиям утверждения 13.4. Более того, увеличивая при необходимости число α, можно считать, что полоса Πα содержит все точки {λ0 }n Z с их d/4-окрестностями (напомним, что d = inf |λ0 - ∈ n n n∓=m λ0 m|). Важно отметить, что величина α зависит только от R и U. Определение меры Карлесона см. в приложении B, определение 17.3. Для дальнейших рассуж- дений нам потребуется зафиксировать меру Карлесона следующим образом. Мы уже определяли семейство контуров γn и разделяли собственные значения на регулярные и иррегулярные. Сейчас нам будет удобно внести в эти определения небольшие коррективы, так что мы повторим процесс построения. Итак, построим семейство контуров γn, n ∈ Z. Вначале определим контур γn как объединение окружности и двух отрезков n Cn = {|λ - λ0 | = d/4} I+ 0 0 - 0 0 n = [λn + id/4, Re λn + iα0] и In = [Re λn - iα0, λn - id/4]. n Может случится так, что отрезок I+ пересекает окружность Cn+1. В этом случае мы заменим n n часть отрезка I+, лежащую внутри Cn+1, на левую дугу окружности Cn+1. Аналогично, если отрезок I- пересекает окружность Cn-1, то заменим его часть, попавшую внутрь окружности, на λ0 правую дугу. Отметим, что в силу построения (и распределения собственных значений n) отрезок I+ - n не может пересечься ни с какой окружностью, кроме Cn+1, и, аналогично, In может пересечь только Cn-1. Заметим, что для любой точки λ ∈ γn выполнены ограничения Re λ0 - d/4 � Re λ � Re λ0 + d/4. n n n+2 Поскольку Re(λ0 n λ0 ) = 2, а d � 1, то расстояние между контурами γn и γn+2 не меньше, чем 2 - d/2 ;;: 3/2. Определение 13.1. Положим n 0 γ˘n = γn ∪ int Cn ∪ int C∗, где int Cn = {λ : |λ - λ0 | < d/4}, а int C∗ = {λ : |λ - λ | < d/4}. Теперь определим множества Kn n n n как замкнутые d/4 окрестности множеств γ˘n. n Отметим, что λ0 ∈ Kn, а площадь множества Kn не превосходит 2rd + πd2/2. Обозначим далее K = n∈Z Kn и определим меру μ как обычную плоскую меру Лебега с носителем K. Лемма 13.5. Мера μ является карлесоновой, причем число γμ зависит только от R и U. При этом для любой функции f ∈ Lν (K) имеет место оценка ν , ν ν для любого ν ∈ [1, ∞). 1f 1Lν (K) � n∈Z 1f 1Lν (Kn) � 21f 1Lν (K) (13.6) Доказательство. Первое утверждение леммы следует непосредственно из определения и постро- ения множества K. Заметим теперь, что возможны три ситуации: множества Kn попарно не пересекаются; каждое множество K2n имеет непустое пересечение с множеством K2n+1, но других попарных пересечений нет; каждое множество K2n имеет непустое пересечение с множеством K2n-1, а других попарных пересечений нет. В любом случае расстояние между Kn и Kn+2 равно, по меньшей мере, 2 - d ;;: 1, откуда вытекает неравенство (13.6). Следующее утверждение уже использовалось нами в разделе 9, но для удобства читателя мы оформим его здесь отдельной леммой. 464 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Лемма 13.6. Пусть P ∈ Lκ [0, π], κ ∈ (1, 2], 1P 1Lκ � R, а число h > 0 произвольно. Тогда неравенство sup Υ(λ) � h λ∈γ˘n выполнено для всех множеств γ˘n за исключением конечного числа N, причем N � C(R, U )h-κ! . Согласно теореме 9.2, нумерация точек спектра оператора LP,U проводится так, что n λn = λ0 + o(1) при |n| → ∞. (13.7) Ясно, что последнее условие задает индексацию точек спектра неоднозначно, а лишь с точностью до перестановки конечного числа номеров. Здесь нам потребуется эту нумерацию уточнить. Для этого обозначим μ = μ(U ) := inf λ∈γ0 ∪γ1 |Δ0(λ)| > 0, где Δ0(λ) - характеристический определитель задачи с нулевым потенциалом. В силу 2-пери- одичности функции Δ0(λ) неравенство |Δ0(λ)| ;;: μ выполнено для всех точек λ ∈ n∈Z γn. Строки матрицы U всегда можно домножить на ненулевые коэффициенты так, чтобы неравенство |Jαβ | � 1 выполнялось для всех индексов α и β. Напомним, что число k0 e-2πα k0 = 16(1p 1 + 1p 1 ) 2 L1 3 L1 и величина M - константа в неравенстве (13.1), зависят только от α и 1P 1L1 . В свою очередь, α зависит только от R и U. Определение 13.2. Назовем контур γn регулярным, если μ sup Υ0(λ) � k0 и sup Υ0(λ) � . λ∈γ˘n В противном случае γn назовем иррегулярным. λ∈γn 2M В силу леммы 13.6, количество иррегулярных контуров оценивается величиной N = N (R, U ). Для регулярных контуров μ |Δ(λ) - Δ0(λ)| � M Υ0(λ) � 2 для всех λ ∈ γn, откуда |Δ(λ)| ;;: μ/2. Из теоремы Руше для голоморфных функций Δ0(λ), Δ(λ) - Δ0(λ) и контура n Cn = {|λ - λ0 | = d/4} следует, что внутри окружности Cn, отвечающей регулярному контуру γn, лежит ровно одно собственное значение оператора LP,U . Это собственное значение мы индексируем номером n и назовем регулярным собственным значением. Далее, существует такое натуральное число n0, что все контуры γn при |n| ;;: n0 регулярны, так что введенная здесь нумерация согласована с соотношением (13.7), т. е. является уточнением предыдущей нумерации. Оставшиеся собственные значения занумеруем оставшимися в нашем распоряжении целыми индексами произвольным образом и назовем иррегулярными собственными значениями. Дефекта нумерации при этом не возникает (множество иррегулярных собственных значений конечно и равномощно множеству оставшихся индексов), поскольку он отсутствовал в предыдущей нумерации. Множество целых индексов, отвечающих регулярным и иррегулярным собственным значения обозначим через ZR и ZI соответственно. Из леммы 13.6 вытекает следующее важное утверждение. Следствие 13.1. Число иррегулярных собственных значений mes ZI не только конечно для каждого фиксированного потенциала P, но и равномерно ограничено по любому шару 1P 1Lκ � R, если κ > 1. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 465 Подчеркнем, что число n0 = n0(P, U ) := max{|n| : n ∈ ZI} также конечно, но величина sup lP lLκ �R n0(P, U ) может быть бесконечной (более того, это действительно так для достаточно больших R). Лемма 13.7. Пусть LP,U - сильно регулярный оператор Дирака с потенциалом P ∈ Lκ ви- да (3.8), причем 1P 1Lκ � R, а κ > 1. Тогда на любом регулярном контуре γn резольвента R(λ) = (LP,U - λI)-1 допускает оценку sup 1R(λ)1 � C(R, U ). (13.8) λ∈γn Доказательство. Согласно утверждению 9.1, для любого λ ∈ γn справедливо представление jk ejk (x, λ) = e0 (x, λ)+ ηjk(x, λ). Учитывая оценку max x∈[0,π] |ηjk(x, λ)| � C(R, U )Υ0(λ) jk и явный вид функций e0 (x, λ), приходим к неравенству sup x∈[0,π], λ∈γn |ejk (x, λ)| � C1(R, U ), j, k = 1, 2. Тогда, с учетом равенств (10.4) и оценки inf λ∈γn |Δ(λ)| ;;: μ/2, где μ = μ(U ), из (10.15) получаем sup λ∈γn, 0�ξ, x�π |gjk(ξ, x, λ)| � C(R, U ), j, k = 1, 2, где мы обозначили G(ξ, x, λ) = (gjk (ξ, x, λ))j, k=1, 2. Доказанная оценка влечет утверждение леммы. n Обозначим через γ+ контур, полученный из γn удалением левой половины окружности Cn и добавлением двух вертикальных лучей (Re λ0 - i∞, Re λ0 - ir] и [Re λ0 + ir, Re λ0 + i∞). Ори- n n n n γ+ - ентируем n по убыванию Im λ. Аналогично, через γn будем обозначать контур, полученный из γn добавлением тех же лучей, удалением правой половины окружности Cn и ориентированный по возрастанию Im λ. Лемма 13.8. Пусть LP,U - сильно регулярный оператор Дирака с потенциалом P ∈ Lκ ви- да (3.8), причем 1P 1Lκ � R, а κ > 1. Тогда для любого n ∈ ZR 1 1 1r 1 1 1 n 1γ± 1 1 1 R(λ) dλ1 � C(R, U ). 1 1 1 Доказательство. Воспользуемся представлением (13.4) для резольвенты в виде операторного ря- да. Все слагаемые этого ряда, кроме первого, оцениваются одинаково. По определению, длина контура γn не превосходит πd + 2α0. Тогда, в силу неравенства (13.8), остается провести оценку только двух несобственных интегралов по лучам (Re λ0 - i∞, Re λ0 - ir] n n и λ0 + ir, Re λ0 + i∞). Оценим интеграл по верхнему лучу (рассуждения для другого интеграла [Re n n полностью аналогичны): 1 σ+i∞ 1 ∞ 1 r 1 r 1 1 1 (-R0(λ)P )k R0(λ) dλ1 � 1 1 Ck+1(U )Rkτ -k/κ! dτ τ κlCk+1(U )Rk � krk/κ! , 1σ+ir 1 α0 где k ;;: 1, а λ = σ+iτ. Полученный ряд сходится в силу выбора числа r, и его сумма не превосходит 2κlC(U ). Таким образом, остается оценить слагаемое ряда (13.4) с номером k = 0, т. е. доказать, что ве- 1 1 личина 1 Г 1 n 1γ± 1 1 R0(λ) dλ1 конечна. Воспользуемся представлением резольвенты невозмущенного опе- 1 1 ратора в виде ряда (·, z0)y0 R0(λ) = , j j . j∈Z j λ - λ0 466 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ j Здесь {y0}j ∈Z - система собственных функций оператора L 0,U с нулевым потенциалом (напом- j ним, что краевые условия сильно регулярны, а значит, все собственные значения λ0 однократны), j {z0}j ∈Z - биортогональная к ней. Каждая из этих систем образует базис Рисса в пространстве H, следовательно, для любой функции f ∈ H справедлива оценка 2 , (f , z0)| 2 � C1f 1 . (13.9) k∈Z| j Непосредственным интегрированием получаем, что r R0(λ) dλ = , iπ(·, z0)y0 - , iπ(·, z0)y0. γ - j�n n j j j j j>n 1 1 1 Отсюда и из (13.9) вытекает ограниченность величины 1 Г 1 n 1γ- 1 R0(λ) dλ1 . Оценка для интеграла по 1 1 γ+ n получается аналогично. Для любого n ∈ ZR собственное значение λn однократно. Обозначим через yn соответствующую собственную функцию, нормированную условием 1yn1 = 1, а также HR := Lin{yn}n∈ZR . Наша ближайшая цель - построить спектральный проектор на подпространство HR. Для этого необходимо построить контур, охватывающий все регулярные собственные значения и не содер- жащий ни одного иррегулярного собственного значения. Мы построим такой контур следующим образом. Будем говорить, что два регулярных индекса n < nl лежат в одной компоненте, если все целые числа k ∈ (n, nl) также регулярны. Легко видеть, что множество ZR состоит из ν � N +1 компо- нент, где N := mes ZI = N (R, U ). Занумеруем эти компоненты по возрастанию и обозначим через n1 < n2 < ··· < n2(ν-1) их крайние точки. Таким образом, множество ZR теперь записано в виде ZR = (-∞, n1] U [n2, n3] U ··· U [n2(ν-1), +∞). n,b Выберем произвольное число b > r и для каждого n ∈ Z обозначим через γ± n часть контура γ±, расположенную в полосе {| Im λ| � b}. Теперь рассмотрим контур ν-1 Γb = I Γj,b, j=1 где Γj,b = γ+ 0 0 - 0 0 n2j-1 ,b ∪ [Re λn2j-1 - ib, Re λn2j - ib] ∪ γn2j ,b ∪ [Re λn2j + ib, Re λn2j-1 + ib]. Лемма 13.9. Контур Γb охватывает все иррегулярные собственные значения оператора LP,U и не содержит ни одного регулярного собственного значения. Таким образом, оператор PR := I - PI, где 1 r PI := 2πi Γb R(λ) dλ, является спектральным проектором на подпространство HR. Доказательство. По построению, контур Γb действительно не охватывает ни одного регулярного собственного значения оператора LP,U , так что нам остается проследить за иррегулярными λn. Для этого мы рассмотрим семейство потенциалов Pt(x) = tP (x), t ∈ [0, 1], и обозначим 1 Lt = LPt,U , Rt(λ) = (Lt - λI)- Непосредственно из определения имеем: и P = 1 r I,t 2πi Γb Rt(λ) dλ. Υ(tP ; λ) = tΥ(P ; λ), СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 467 а значит, любой регулярный для потенциала P контур γn остается регулярным и для потенциала tP. Таким образом, проектор PI,t корректно определен для любого t ∈ [0, 1]. Теперь воспользуемся утверждением 10.3 и замечаниями 10.1 и 10.2 о непрерывной зависимости резольвенты от потенциала. А именно, для любой фиксированной точки t ∈ [0, 1], для любого ε > 0, найдется такая δ-окрестность точки t, что для любого s из этой окрестности выполнено sup 1Rt(λ) - Rs(λ)1 < ε. λ∈Γb Тогда семейство операторов PI,t непрерывно по t ∈ [0, 1] в операторной норме. Остается заметить, n что контур Γb содержит все точки λ0 спектра оператора L0 с номерами n ∈ ZI и не содержит ни одной точки с номером Таким образом, n ∈ ZR. dim PI,0 = mes ZI. В силу непрерывной зависимости (см. [27, гл. 1, лемма 4.10]), ту же размерность имеет и проек- тор PI. Оценка (13.5) позволяет осуществить предельный переход PI := lim 1 r r R(λ) dλ = R(λ) dλ, ν-1 b→+∞ 2πi Γb Γ где Γ = I j=1 n2j 1 Γj, а Γj = γ+ - ∪ γ - n2j . Следующее утверждение о равномерной ограниченности нормы проекторов PI и PR является ключевым для доказательства теоремы 13.3. Утверждение 13.5. Пусть LP,U - сильно регулярный оператор Дирака с внедиагональным потенциалом P ∈ Lκ [0, π], κ > 1, 1P 1Lκ � R. Тогда 1PI1 + 1PR1 � C(R, U ). Доказательство. В силу леммы 13.8, 1 1 r 2ν-2 1 1 , 1 1 1 ν - 1 1PI1 � 2π 1 1 1γ± j=1 1 1 nj 1 R(λ) dλ1 � 1 1 1 C(R, U ). π Остается заметить, что ν � N + 1, где N = mes ZI = N (R, U ) согласно следствию 13.1. Для каждого n ∈ ZR функция yn является собственной. В случае n ∈ ZI могут появиться присоединенные функции (см. определение 12.2). Как доказано в теореме 12.2, система {yn}n∈Z является базисом Рисса для любого сильно регулярного оператора LP,U с потенциалом P ∈ L1[0, π]. Однако утверждение о равномерной ба- зисности такой системы в общей ситуации неверно. Поэтому в подпространстве HI := Rn PI yn мы (произвольным образом) выберем ортонормированный базис {� }n∈ZI . Полученную систему yn {yn }n∈ZR ∪ {� }n∈ZI будем называть системой корневых функций оператора L P,U . Конечно, замена линейного базиса на конечномерном подпространстве HI не нарушает свойства базисности Рисса системы. Наша цель сейчас - описать систему, биортогональную к системе yn}n∈ZI {yn}n∈ZR ∪ {� . Утверждение 13.6. Множества ZR, построенные по операторам LP,U и (LP,U )∗ , совпадают. Спектральные проекторы, построенные по множеству регулярных (иррегулярных) собствен- ных значений оператора (LP,U )∗ равны PR∗ и PI∗ соответственно. Доказательство. Действительно, для любого регулярного (сильно регулярного) оператора LP,U сопряженный оператор (LP,U )∗ = LP ∗,U ∗ также является регулярным (сильно регулярным). 468 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Собственные значения оператора L0,U ∗ совпадают с числами λ0 , где λ0 - собственные значения n n оператора L0,U . Таким образом, хотя контуры γn, отвечающие операторам L0,U и L0,U ∗ , в общей ситуации отличны, но множества γ˘n совпадают (см. определение 13.1). Поскольку υ2,±(P ∗; x, λ) = υ3,∓(P ; x, λ) и υ3,±(P ∗; x, λ) = υ2,∓(P ; x, λ), то Υ(P ∗; λ) = Υ(P ; λ). Тогда, согласно определению13.2, множества ZR, построенные по операторам LP,U и (LP,U )∗ , сов- падают. Поскольку резольвента RP ∗,U ∗ (λ) сопряженного оператора равна (RP,U (λ))∗ , то проектор Рисса 1 PI,P ∗,U ∗ = 2πi r ∗ RP,U (λ) dλ, Γb построенный по множеству иррегулярных собственных значений оператора (LP,U )∗ равен ⎛ ⎞∗ 1 r ⎜ ⎝ 2πi Γb RP,U (μ) dμ⎟ ⎠ = (PI,P,U )∗ . Зафиксируем теперь произвольный индекс n ∈ ZR и рассмотрим спектральный проектор 1 r Pn := 2πi Cn R(λ) dλ n (окружность Cn = {λ : |λ-λ0 | = d/4} мы ориентируем против часовой стрелки). Поскольку внутри контура лежит ровно одно собственное значение λn оператора L P,U , то Pn - одномерный проектор вида Pn = (·, zn )yn . Очевидно, что (L P,U )∗ zn = λn zn. При этом норма 1zn 1 может не равняться 1, хотя d 4 1 � 1zn1 = 1Pn1 � sup 1R(λ)1 � C(R, U ). λ∈Cn Известно, что (zn, ym) = δnm (здесь n ∈ ZR, а m ∈ Z), так что мы в результате предъявили часть yn биортогональной системы к системе {yn}n∈ZR ∪ {� }n∈ZI . Утверждение 13.7. Пусть {λn}n∈ZR - последовательность регулярных собственных значе- ний оператора LP,U с внедиагональным потенциалом P ∈ Lκ [0, π], κ > 1, 1P 1Lκ � R и сильно регулярными краевыми условиями U. Тогда найдется константа β = β(R, U ) такая, что π 2 r , 0 n∈ZR f (x)eiλnxdx 1L 2 � β1f 2 для произвольной функции f ∈ L2. Доказательство. Рассмотрим преобразование Фурье F (λ) = π Г f (x)eiλxdx. Согласно теореме 0 2 Пэли-Винера, F ∈ H2(Πα) и 1F 1H2 � Cabs1f 1L . Рассмотрим точечную меру dμ = ), n∈ZR δλn . Поскольку для любых двух регулярных собственных значений d d d |λn - λm| ;;: |λ0 - λ0 | - |λn - λ0 |- |λm - λ0 | ;;: d - - = , n m n m 4 4 2 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 469 то последовательность {λn}n∈ZR - несгущающаяся. Тогда dμ является карлесоновой мерой (более 16r2 того, легко видеть, что γμ � πd2 , т. е. зависит только от R и U ). Отсюда π 2 r , 2 2 f (x)eiλnxdx = 1F 1L (dμ) � β(R, U )1f 1L . 2 2 0 n∈ZR Мы готовы определить оператор T смены базиса, оценку на норму которого вместе с оценкой нормы 1T -11 намереваемся доказать. Выберем произвольный ортонормированный базис {en}n∈Z в пространстве H и положим EI = Lin{en}n∈ZI и ER = Lin{en}n∈ZR . Операторы ортогонального проектирования на EI и ER обозначим QI и QR соответственно. Опре- делим операторы TR : en 1→ yn для всех n ∈ ZR и � TI : en 1→ yn для n ∈ ZI. Система {yn}n∈ZR составляет базис Рисса в замыкании своей линейной оболочки, а система {� yn}n∈ZI конечна, так что оба оператора TR и TI по непрерывности продолжаются на подпро- странства ER и EI соответственно. Положим T := TRQR + TIQI. Легко видеть, что T -1 = T -1 -1 R PR + TI PI. Теорема 13.3. Пусть LP,U - сильно регулярный оператор Дирака с внедиагональным потен- циалом P ∈ Lκ [0, π], κ ∈ (1, 2], 1P 1Lκ � R. Пусть краевые условия U фиксированы. Тогда для каждого P, 1P 1Lκ � R, оператор T смены базиса, построенный выше, допускает оценку 1T 1 · 1T -11 � C, где величина C зависит только от радиуса шара R и краевых условий U. Отметим, что число N иррегулярных собственных значений зависит только от R и U. Таким образом, оператор T отличается от оператора en 1→ yn лишь на подпространстве конечной размер- ности N = N (R, U ). Доказательство. Поскольку yn T : x = , (x, en)en + , (x, en)en 1→ , (x, en)yn + , (x, en)� , n∈ZR то n∈ZI n∈ZR n∈ZI yn T ∗y = , (y, yn)en + , (y, � )en. Тогда n∈ZR n∈ZI 2 1T ∗y1 � , |(y, yn)| 2 + 1y1 , n∈ZR так что оценка нормы 1T 1 сводится к оценке константы Бесселя системы {yn}n∈ZR . Далее, в силу утверждения 13.5 1T -11 � 1T -111PR 1 + 1PI1 � C(R, U )1T -11. R R Так как T -1 : HR → ER, T -1yn = en, n ∈ ZR, то R R R x1 = , |(x, zn)1 . 1T -1 2 2 n∈ZR 470 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Перейдем к нормированным векторам zn/1zn 1 и учтем, что 1zn1 � C(R, U ). Теперь заметим, что векторы zn/1zn 1 суть нормированные собственные векторы оператора LP ∗,U ∗ , отвечающие регулярным его собственным значениям, а значит, оценка для этой системы повторяет оценку для системы {yn}n∈ZR . Таким образом, для завершения доказательства теоремы 13.3 нам остается получить оценку вида для произвольного вектора x ∈ H. , n∈ZR 2 |(x, yn)1 1 � β(R, U )1x 2 (13.10) n Вспомним, что для любого n ∈ ZR неравенство Υ(λ) � κ выполнено не только на γn, но и для всех точек круга |λ - λ0 | � d/4, в частности, для точек λn. Заметим, что в утверждении 13.3 мы доказали представления (9.24) с оценками (13.2). Важно то, что константы в этих оценках зависят только от 1P 1L1 и ширины полосы r, которая, в свою очередь, согласно утверждению 13.4 зависит только от R и U. Соединяя вместе эти оценки, утверждение 13.7 и лемму 12.3, выводим оценку (13.10). Теоре- ма 13.3 доказана. РАВНОСХОДИМОСТЬ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ОПЕРАТОРОВ LP,U И L0,U В этом разделе мы обсудим вопросы равносходимости спектральных разложений по системе соб- ственных и присоединенных функций регулярного оператора Дирака LP,U . Начнем с необходимых обозначений. Определение 14.1. Пусть нам даны потенциал P ∈ L1[0, π] и регулярные краевые условия U. Положим d = min |λ0 - λ0 |/4 j k j∓=k в сильно регулярном случае и d = 1/8 в слабо регулярном случае. Выберем число N0 минимальным среди всех натуральных индексов N, для которых выполнены следующие два условия: 2n для всех n, |n| ;;: N, выполнены неравенства |λ2n - λ0 2n+1 | < d и |λ2n+1 - λ0 | < d; для всех целых чисел n ∈ [-2N + 2, 2N - 1] выполнены неравенства Re λ 0 -2N +2 2N -1 - d < Re λn < Re λ0 + d. n Поскольку λn = λ0 + o(1), |n| → ∞, то номер N0 корректно определен. В разделе 10 мы уже давали определение спектральных проекторов Pn для случая слабо регу- лярных краевых условий. Перенесем это определение и на сильно регулярный случай. Определение 14.2. Пусть число N0 определено выше, а |n| > N0. В сильно регулярном слу- 2n чае определим контур γn как объединение двух окружностей |λ - λ0 2n+1 | = d и |λ - λ0 | = d, ориентированных против часовой стрелки. В слабо регулярном случае все собственные значения оператора L0,U двукратны, а именно λ0 0 0 2n = λ2n+1, n ∈ Z, ив качестве γn мы выберем одну окружность |λ-λ2n| = 1/8, ориентированную так же. Обозначим 1 r Pn := 2πi γn R(λ)dλ, n = ±(N0 + 1), ±(N0 + 2),... , R(λ) = (LP,U - λI)-1. Теперь мы построим семейство контуров Γm,b в комплексной плоскости. Пусть LP,U - регулярный оператор Дирака, N0 и d - числа из определения 14.1, а полоса Πa = n {λ : | Im λ| < a} содержит все собственные значения λn оператора LP,U и λ0 оператора L0,U . Зафиксируем произвольное положительное число b ;;: a + 2d. Теперь для каждого натурального m, m ;;: N0, определим контур Γm,b вначале как прямоугольник с вершинами Re λ 0 2m+1 -2m ± ib и Re λ0 ± ib, ориентированный против часовой стрелки. Легко видеть, что контур Γm,b пересекает круг U (λ 0 2m+1 2m+1 , 2d) := {λ : |λ - λ0 | < 2d} СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 471 по диаметру. Мы деформируем контур Γm,b, заменим этот диаметр на правую полуокружность 2m+1 {λ : |λ - λ0 2m+1 | = 2d, Re λ ;;: Re λ0 }. 2m+1 Заметим, что круги U (λ0 , 2d) и U (λ2m, 2d) не пересекаются по определению числа d, но контур 2m Γm,b может пересечь и круг U (λ0 , 2d) (по вертикальной хорде). Тогда мы заменим эту хорду на соответствующую правую дугу окружности 2m {λ : |λ - λ0 2m+1 | = 2d, Re λ ;;: Re λ0 }. 2m+2 Наконец, контур Γm,b может пересечь круг U (λ0 , 2d) по вертикальной хорде. Тогда мы за- меним эту хорду на левую дугу 2m+2 {λ : |λ - λ0 2m+1 | = 2d, Re λ � Re λ0 }. 2m Аналогично поступим для собственных значений λ0 - , λ 0 -2m+1 и λ 0 -2m-1 , заменив хорды на левую, левую и правую дуги соответственно. n Заметим еще, что контур Γm,b не может пересекать никакие другие круги U (λ0 , 2d) в силу опре- деления числа d. Полученный в результате контур (именно его мы, начиная с этого места, будем n обозначать Γm,b) охватывает в точности собственные значения λ0 с номерами n ∈ [-2m, 2m + 1]. Кроме того, по построению, имеем n dist(λ0 , Γm,b) ;;: 2d ∀n ∈ Z. (14.1) Далее, заметим, что все собственные значения λn с номерами n ∈ [-2m + 2, 2m - 1] удовлетворяют неравенству Re λ 0 -2m+2 2m-1 - d � Re λn � Re λ0 + d. Действительно, для всех n ∈ [-2N0 + 2, 2N0 - 1] это следует из условия (2) определения 14.1, а для других n ∈ [-2m + 2, 2m - 1] - из условия (1) того же определения. По построению, для всех точек λ ∈ Γm,b ∩ Πa выполнено: 2m Re λ0 - Поскольку по определению числа d 2m+1 - 2d � Re λ � Re λ0 + 2d. |λ 0 2m-1 - λ 0 2m+1 -2m+2 | ;;: 4d и |λ0 - λ 0 -2m | ;;: 4d, то отсюда следует, что все собственные значения λn с номерами n ∈ [-2m + 2, 2m - 1] лежат внутри контура Γm,b и удалены от него как минимум на d. Поскольку при всех остальных целых n выполнено |λn - λ0 | < d, а dist(λ0 , Γm,b) ;;: 2d, то n n dist(λn, Γm,b) ;;: d ∀n ∈ Z. (14.2) Кроме того, по построению контура, числа λ2m, λ2m+1, λ-2m и λ-2m+1 лежат внутри Γm,b, а все числа λn с номерами n ;;: 2m +2 и n � -2m - 1 лежат вне Γm,b, так что контур Γm,b охватывает в точности собственные значения λn с номерами n ∈ [-2m, 2m + 1]. Определение 14.3. Положим 1 Sm := 2πi Из определения следует, что r Γm,b R(λ) dλ, m = N0, N0 + 1,... . m Sm = SN0 + , |n|=N0+1 Pn, m > N0. Пусть Hn = Rn Pn, |n| > N0, - корневые подпространства оператора LP,U , введенные в опреде- лении 14.2. Определим дополнительно подпространство H0 := Rn SN0 . Пусть N0 - натуральное число, введенное в определении 14.1, а Pn и Sm - операторы, введенные в определениях 10.2 и 14.3. Заметим, что операторы Sm можно задать в виде Sm(f ) = , |n|�m r l (f , z2n)y2n + (f , z2n+1)y2n+1 , (14.3) 472 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ где {yn}n∈Z - система собственных и присоединенных функций оператора LP,U , построенная в определении 12.2, а {zn}n∈Z - биортогональная к ней система. Для удобства мы определим с помощью последнего равенства операторы Sm для всех 0 � m � N0 - 1. Положим также S0 m(f ) = , |n|�m 2n )y 2n r(f , z0 0 2n+1 + (f , z0 )y 0 2n+1 l , m = 0, 1,... , (14.4) n где {y0 }n ∈Z - система собственных и присоединенных функций оператора L 0,U с нулевым потен- n циалом, а {z0 }n ∈Z - биортогональная к ней система. m Легко видеть, что Sm(f ) и S0 (f ) представляют собой частичные суммы разложений функции ∈ n ∈ f по системам {yn}n Z и {y0 }n Z соответственно. Под равносходимостью этих разложений мы будем понимать утверждения вида m 1Sm(f ) - S0 (f )1 → 0 при m → ∞. Такое определение равносходимости позволит нам вести рассуждения одновременно и в случае сильной, и в случае слабой регулярности. Основным результатом этого раздела является следую- щая Теорема 14.1. Пусть LP,U - регулярный оператор Дирака с потенциалом вида (3.8) P ∈ Lκ [0, π], κ ∈ (1, ∞]. Пусть f ∈ Lμ[0, π], где μ ∈ [1, ∞]. Тогда 1Sm(f ) - S0 (f )1 -→ 0 при m → +∞, (14.5) m Lν [0,π] если индекс ν ∈ [1, ∞] удовлетворяет неравенству 1 1 1 - + κ μ ν за исключением случая κ = ν = ∞, μ = 1. � 1, (14.6) Замечание 14.1. Сразу же отметим, что здесь мы не разбираем предельный случай κ = 1 - он более сложен. Заметим, однако, что из теорем о базисности Рисса собственных и присоединенных функций сразу следует равносходимость (14.5) для случая κ = 1, μ = ν = 2. m Замечание 14.2. Поскольку все слагаемые в суммах Sm(f ) и S0 (f ) абсолютно непрерывны, то при ν = ∞ мы получаем равномерную на всем отрезке [0, π] равносходимость. В частности, она имеет место для случая κ = μ = 2. Утверждение 14.1. Пусть LP,U - регулярный оператор Дирака с потенциалом вида (3.8) P ∈ Lκ [0, π], κ > 1. Для любой непрерывной на [0, π] функции f , имеющей ограниченную вариацию на [0, π] и удовлетворяющей краевым условиям U (f ) = 0, имеет место равномерная на [0, π] сходимость Sm(f ) → f при m → ∞. Доказательство. Это утверждение следует из основной теоремы (случай μ = ν = ∞) и утвер- ждения 4.4. Замечание 14.3. При доказательстве основной теоремы можно ограничиться случаем μ � ν. Действительно, зафиксируем индексы κ и ν и заметим, что при μ > ν 1 κ Тогда мы можем взять μl = ν, неравенство 1 κ 1 1 + μ - ν 1 l 1 + μ - ν < 1. � 1 будет выполнено, и из основной теоремы будет следовать равносходимость для любой функции f ∈ Lμ! [0, π] ⊃ Lμ[0, π]. Замечание 14.4. При доказательстве основной теоремы можно не рассматривать случай μ = ν = ∞. Действительно, выбрав μl = κ κ - 1 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 473 (напомним, что κ > 1), получим 1 1 l 1 - + κ μ ν = 1, и из основной теоремы будет следовать равносходимость для любой функции f ∈ Lμ! [0, π] ⊃ L∞[0, π]. Замечание 14.5. Аналогично, можно не рассматривать случай μ = ν = 1. Действительно, вы- брав νl = κ > 1, получим 1 1 κ + μ - 1 l = 1, ν и из основной теоремы будет следовать равносходимость для любой функции f ∈ L1[0, π] по норме 1 · 1ν! , а значит, и по норме 1 · 11 ≺ 1 · 1ν! . Замечание 14.6. Наконец, можно не рассматривать случай κ = ∞. Действительно, если по- тенциал лежит в L∞, то он лежит в любом Lκ , 1 < κ < ∞, и из основной теоремы следует равносходимость для любой функции f ∈ Lμ[0, π] по норме 1· 1ν при всех μ ∈ [1, ∞), 1 1 μ - ν < 1. Равенство же в последнем соотношении может достигаться лишь при μ = 1, ν = ∞, что исключено. Итак, всюду далее будем считать, что (i) κ ∈ (1, ∞); (ii) ν ∈ (1, ∞]; (iii) μ ∈ [1, ∞) и μ � ν; (iv) 1 + 1 - 1 � 1; κ μ ν ( (v) случай κ = ν = ∞, μ = 1 исключен. Следствие 14.1. В случае оператора Дирака с потенциалом P общего вида и регулярными условиями U = (C, D) утверждение основной теоремы сохраняется, с той лишь разницей, что в определении (14.4) последовательности {S0 } в качестве системы {y0 } следует взять m n систему собственных и присоединенных функций оператора LP0,U с потенциалом p1(x) 0 и краевыми условиями P0(x) = 0 p4(x) ⎛ π ⎞ i r U� = (C�, D� ), C� = C, D� = exp ⎝ 2 0 (p4(t) - p1(t))dt⎠ D. n При этом мы, как и ранее, считаем, что собственные функции системы {y0 } имеют единичную в пространстве H норму, а система {z0 } биортогональна к {y0 }. Доказательство. Пусть x n n eiϕ(x) 0 W = 0 eiψ(x) , x π r ϕ(x) = γx - 0 r p1(t)dt, ψ(x) = 0 1 r p4(t)dt - γx, γ = 2π 0 (p1(t)+ p4(t))dt 1 - оператор, введенный в доказательстве утверждения 3.3. Тогда LP,U = W LP ,U W - + γI, где p2 0 � (x) p (x) = p (x)ei(ψ(x)-ϕ(x)) p (x) = p (x)ei(ϕ(x)-ψ(x)) P�(x) = 3 p (x) 0 � , �2 2 , �3 3 . 474 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ yn Легко видеть, что векторы � функций для оператора LP ,U . = W -1yn , n ∈ Z, образуют систему собственных и присоединенных zn Через {� }n∈Z обозначим биортогональную систему. Заметим, что W -1fP 0 (W f ) = W -1BW f l + (W -1P0W + W -1BW l) f = -i 0 f l + p1 0 f + ϕl 0 f = l (f )+ γf . 1 Таким образом, LP0,U = W L0,U W - y0 = 0 i + γI. 0 p4 0 -ψl 0 Обозначим через {�n}n∈Z систему собственных и присоединенных функций оператора L0,U , а Тогд �n е ∈ оры через {z0 }n Z - биортогональную к ней систему. а в кт {y0 = W y0 }n Z n �n ∈ образуют систему собственных и присоединенных функций оператора LP0,U , а система {z0 = W z0 }n Z будет ей биортогональна. В силу основной теоремы, 1 1 n �n ∈ 1 1 1 , r z2n y2n z2n+1 y2n+1l r z0 y0 z0 y0 l1 1 1 1|n|�m (f , � )� + (f , � )� , - |n|�m (f , �2n )�2n + (f , �2n+1)�2n+1 1 → 0 1 1Lν при m → ∞ для любой функции f ∈ Lμ. Подставляя в это соотношение выражения для функций yn, � , �n z0 , получаем � zn 1 1 y0 и �n 1 , 1 1 1|n|�m W -1r(W f , z2n)y2n + (W f , z2n+1)y2n+1l- 1 , 1 2n )y 2n+1 )y 2n - |n|�m W -1r(W f , z0 0 + (W f , z0 0 2n+1 l1 1 1 1Lν → 0, m → ∞. Поскольку оператор W является изоморфизмом как в пространстве Lμ, так и в пространстве Lν, то отсюда вытекает утверждение следствия. n Функции y0 можно выписать явно: ⎧ x ⎛ y0 0 1,n(x) ⎞ y0 ⎪⎨ y1,n �1,n (x) = y0 (x) · exp{-i Г 0 p1(t)dt}, n = ⎝ ⎠ , y0 2,n(x) 0 ⎪⎩ y2,n (x) = y0 �2,n x (x) · exp{i Г 0 p4(t)dt}. n Такие же представления справедливы и для функций z0 . m Доказательство основной теоремы мы проведем по классической схеме. Нам необходимо до- казать сильную сходимость к нулю последовательности операторов Sm - S0 , действующих из пространства Lμ[0, π] в Lν [0, π]. Для этого достаточно проверить ограниченность норм этих операторов величиной, не зависящей от m, и сходимость m ν 1Sm(f ) - S0 (f )1L → 0 на всюду плотном в Lμ[0, π] множестве функций f . В качестве этого множества мы выберем линейную оболочку системы {yn}n∈Z собственных и присоединенных функций оператора LP,U - здесь мы воспользуемся утверждением 4.4 и утвер- ждением 14.2, доказанным ниже. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 475 m Наибольшие сложности вызовет доказательство равномерной ограниченности семейства опера- торов Sm - S0 , m ∈ N. Здесь мы воспользуемся представлением и разложением m Sm - S0 := 1 2πi r Γm,b (R(λ) - R0(λ)) dλ, m = 0, N0, N0 + 1,... R(λ) - R0(λ) = -R0P R0 + R0P R0P R0 + ... . В этом разложении, в свою очередь, наибольшие трудности нам доставит оценка первого слагае- мого (остальные слагаемые мы оценим единым образом). Здесь ключевую роль будет играть явный вид функции Грина невозмущенного оператора (4.6)-(4.7) и оценки операторов типа Харди. При этом мы будем пользоваться теоремой 17.I об интерполяции линейных операторов. Теперь докажем утверждение о полноте системы {yn}n∈Z в пространстве (Lα[0, π])2, α ∈ [1, ∞). Этот результат для случая невозмущенного регулярного оператора L0,U уже сформулирован в утверждении 4.5. Здесь мы перенесем его на случай регулярного оператора LP,U с произвольным суммируемым потенциалом. Утверждение 14.2. Пусть LP,U - регулярный оператор Дирака с суммируемым потенциалом вида (3.8). Система {yn}n∈Z его собственных и присоединенных функций полна в пространстве (Lα[0, π])2 для любого α ∈ [1, ∞). ∈ α Доказательство. Предположим противное: система {yn}n Z не полна в (L [0, π])2 . Тогда, со- гласно теореме Рисса об общем виде линейного функционала, найдется функция f ∈ (Lα! [0, π])2, 1/αl + 1/α = 1, для которой (f , yn) = 0 для всех n ∈ Z. Зафиксируем произвольный вектор g ∈ (Lα[0, π])2 и рассмотрим функцию Φ(λ) := (R∗(λ)f , g), 2 α определенную в области C \ {λn}n∈Z (здесь оператор R∗(λ) действует в пространстве (Ll [0, π]) ). Согласно построению биортогональной системы, эта функция имеет устранимые особенности в точках λn, т. е. после доопределения в них является целой. Обозначим через Uδ (λ) открытый круг с центром λ радиуса δ. В силу теоремы 10.1 для любого δ > 0 в области C \ n∈Z где M не зависит от λ. Uδ (λn) справедлива оценка |Φ(λ)| � M 1f 1α! 1g1α, n Пусть d - число, введенное в определении 14.1. Тогда круги Ud(λ0 ) в сильно регулярном случае не пересекаются, а в слабо регулярном случае разбиваются на пары, не пересекающиеся между собой. Этим же свойством, очевидно, обладают и круги Ud(λn) для всех n таких, что d n 4 |λn - λ0 | < . В силу теоремы об асимптотике собственных значений, последнее неравенство выполнено при |n| ;;: N для некоторого N. Таким образом, вне некоторого круга {|z| � R} множество точек λ, для которых неравенство |Φ(λ)| � M 1f 1α! 1g1α еще не доказано, представляет собой счетное объединение ограниченных непересекающихся обла- стей. По принципу максимума, это неравенство будет справедливо в каждой из данных областей, значит, и всюду в области {|z| > R}, а следовательно, и во всей комплексной плоскости. Из теоремы Лиувилля следует, что функция Φ(λ) является постоянной. Тогда Φl(λ) = ((R∗(λ))lf , g) = ((R∗(λ))2f , g) ≡ 0. Поскольку функция g ∈ Lα выбиралась произвольной, то (R∗(λ))2f ≡ 0, откуда f = 0. Полнота системы {yn}n∈Z доказана. 476 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Доказательство теоремы 14.1. Шаг 1. Центральной частью доказательства является оценка нормы 1Sm - S0 1μ ν . m → В силу определения 14.3, 1 r m Sm - S0 = 2πi Γm,b (R(λ) - R0(λ)) dλ, (14.7) где m ;;: N0, а N0 введено в определении 14.1. Параметр b контура Γm,b мы выберем следующим образом. Пусть a - число, введенное в утвер- ждении 10.2, а d введено в определении 14.1. Обозначим для сокращения записи 2m+1 c = a + 2d, c+ = Re λ0 и c- 2m = Re λ0 . - 1 1 Заметим теперь, что -1+ μ - ν < 0 за исключением случая μ = 1, ν = ∞, который невозможен в силу условий (iv) и (v) основной теоремы. Кроме того, из условия (iii) следует, что 1 1 Положим -1+ μ - ν ;;: -1. 1 b := max{c; |c+ - c-| 1-1/μ+1/ν }. (14.8) Контур Γm,b мы разобьем на части Γm,b = [c+ - ib, c+ - ic] ∪ [c+ - ic -v- c+ + ic] ∪ [c+ + ic, c+ + ib] ∪ [c+ + ib, c- + ib]∪ ∪ [c- + ib, c- + ic] ∪ [c- + ic -v- c- - ic] ∪ [c- - ic, c- - ib] ∪ [c- - ib, c+ - ib], (14.9) обозначив через [c+ - ic -v- c+ + ic] деформированный (так, как это описано в определении Γm,b) отрезок [c+ - ic, c+ + ic] и, соответственно, через [c- + ic -v- c- - ic] деформированный отрезок [c- + ic, c- - ic]. Теперь мы проведем оценку нормы 1 · 1μ→ν интеграла (14.7) на каждом участке контура по отдельности (напомним, что нам достаточно оценить эту норму величиной, не зависящей от ин- декса m). Оценки для второго и шестого участка (здесь и далее мы нумеруем части контура Γm,b в том порядке, в котором они входят в разбиение (14.9)) получить легко. В силу неравенств (14.1) и (14.2) и последнего утверждения теоремы 10.1 найдется такое число C, зависящее от потенциала и краевых условий, но не зависящее от m, что |G(t, x, λ)| � C и |G0(t, x, λ)| � C ∀t, x ∈ [0, π], λ ∈ Γm,b. Тогда на контуре Γm,b. 1R(λ)1μ→ν � 2πC и 1R0(λ)1μ→ν � 2πC Поскольку длины кривых [c+ - ic -v- c+ + ic] и [c- + ic -v- c- - ic] не превосходят 2(a + 2d)+ 6πd, то 1 ⎛ ⎞ 1 1 1 1 r r 1 1 1 ⎝ + ⎠ (R(λ) - R0(λ)) dλ1 � 8C(a + (3π + 2)d). (14.10) 1 12πi 1 ⎜ [c+-ic-v-c++ic] ⎟ [c-+ic-v-c--ic] 1 1 1μ→ν Теперь проведем оценки для четвертого и восьмого отрезка из разбиения (14.9). Здесь мы восполь- зуемся оценками (4.10) и (10.12) при α = μ и β = ν. В силу определения (14.8) числа b имеем 1 ⎛ ⎞ 1 1 1 1 r r 1 1 ⎜ ⎟ 1 1 12πi 1 1 ⎝ [c++ib,c-+ib] + [c--ib,c+-ib] ⎠ (R(λ) - R0(λ)) dλ1 � 1 1μ→ν СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 477 - (C0b-1+1/μ-1/ν + 2C0b-1+1/μ-1/ν ) · 2|c+ - c | 3C0 � 2π � . (14.11) π Оценка нормы интеграла (14.7) для оставшихся частей контура Γm,b существенно сложнее. Здесь мы воспользуемся разложением (10.10), из которого следует, что ∞ R(λ) - R0(λ) = ,(-R0(λ)P )nR0(λ), | Im λ| ;;: a. (14.12) n=1 Выделим отдельно первое слагаемое этой суммы - его мы оценим позже. Для остальных слагае- мых с учетом оценок (10.11) имеем 1 ⎛ ⎞ 1 1 1 1 r r r r ∞ 1 1 + 1 ⎜ + + 1 ⎝ ⎠ ⎟,(-R0(λ)P )n R0(λ) dλ1 � 1 12πi 1 [c++ic,c++ib] [c-+ib,c-+ic] [c--ic,c--ib] b [c+-ib,c+-ic] n=2 1 1μ→ν 2 ∞ r , n+1 n -2+1/κ+1/μ-1/ν+(n-1)(-1+1/κ) � π n=2 C0 · 1P 1κ · τ dτ c (здесь и далее мы будем обозначать λ = σ + iτ ). В силу условия (iv) основной теоремы и опреде- ления (10.13) числа a, последняя сумма не превосходит 0 2C21P 1κ π b r ∞ ,(C01P 1κ)n-1 n=2 a τ -1+(n-1)(-1+1/κ) dτ � (14.13) 0 2C21P 1κ � π ∞ , n=2 (C01P 1κ a-1+1/κ )n-1 (n - 1)(1 - 1/κ) 0 � 2C21P 1κ π(1 - 1/κ) ∞ , n=2 21-n n - 1 0 = . 2 ln 2 · C21P 1κ π(1 - 1/κ) Шаг 2. Рассмотрим теперь первое слагаемое в сумме (14.12). Согласно неравенству (10.11), норму 1R0(λ)P R0(λ)1μ→ν можно оценить величиной C2 -2+1/κ+1/μ-1/ν 0 1P 1κ| Im λ| . Видно, что если условие (iv) основной теоремы заменить на строгое неравенство, то интеграл по вертикальному лучу от получившейся функции сходится, и мы можем провести оценки так же, как в (14.13). Однако если неравенство (14.6) обращается в равенство, мы приходим к расходящемуся инте- гралу. Наша цель - получить для оператора r R0(λ)P R0(λ) dλ более тонкие оценки. Прежде всего докажем, что достаточно рассмотреть случай верхней полуплоскости b r R0(σ + iτ )P R0(σ + iτ ) dτ. c Действительно, учитывая, что μ � ν, μ ∈ [1, ∞), ν ∈ (1, ∞], в силу утверждения 17.1 получим 1 1 1 1 r 1 1 1 R0(λ)P R0(λ) dλ1 1 1 1 1 1⎛ 1 1 r = 1⎜ 1⎝ 1 ⎞∗1 1 1 R0(λ)P R0(λ) dλ⎠ 1 ⎟ 1 = 1 1[σ-ib,σ-ic] 1⎛ b 1Lμ →Lν 1 [σ-ib,σ-ic] ⎞∗1 1Lν! →Lμ! 1 r 1 = 1 (L0,U - (σ - iτ )I)-1P (L0,U - (σ - iτ )I)-1 dτ 1 = (14.14) 1⎝ ⎠ 1 1 1 1 c 1Lν! →Lμ! 478 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ 1 b 1 1r 1 = 1 1 1 (L0,U ∗ - (σ + iτ )I)-1P ∗(L0,U ∗ - (σ + iτ )I)-1 dτ 1 . 1 1 1 c 1Lν! →Lμ! Заметим, что μl ∈ (1, ∞], νl ∈ [1, ∞), νl � μl, и исключен случай 1 1 + κ νl 1 - μl 1 1 1 = κ + μ - ν � 1, (κ = μl = ∞, νl = 1 ⇐⇒ κ ( = ν = ∞, μ = 1. Заметим еще, что краевые условия U ∗ по-прежнему регулярны, а потенциал P ∗ ∈ Lκ по-прежнему имеет вид (3.8). Таким образом, получив в условиях теоремы оценку для интеграла b r R0(σ + iτ )P R0(σ + iτ ) dτ c в верхней полуплоскости величиной, не зависящей от b и σ, мы в силу (14.14) получим оценку и для случая нижней полуплоскости. Отсюда будет следовать ограниченность нормы интеграла (14.7) сразу на первом, третьем, пятом и седьмом участках контура Γm,b. Покажем теперь, что дальнейшие рассуждения можно проводить с упрощенной функцией Грина ⎧ i ⎪ G�0(t, x, λ ⎨ ⎪⎪ J14 ) = ( J14eiλ(x-t) -J13eiλ(2π-x-t) ( J e iλ(x+t) \ - 24 -J12eiλ(π+t-x) \ , t < x, (14.15) ⎪ i -J34eiλ(x-t+π) -J24eiλ(x+t) ⎪ , t > x. Для этого обозначим через ⎪⎩ J14 -J13eiλ(2π-x-t) J14eiλ(t-x) π r R� 0(λ) : f 1→ 0 G�0(t, x, λ)f (t) dt интегральный оператор, который мы будем называть упрощенной резольвентой, и оценим 0 g0 1 - � 1 →∞ R0(λ) R0(λ) 1 = max 1�j, k�2 max t, x∈[0,π] |gjk (t, x, λ) - �jk (t, x, λ)|, Im λ = τ ;;: a + 2d. С учетом представлений (4.5) и (4.6), определения (14.15), равенства (4.3) и оценки (4.11) имеем 0 0 eiλ(x-t) r |g (t, x, λ) - g (t, x, λ)| = J eiπλ - J l � Ce-πτ , t < x; 11 �11 23 34 Δ0(λ) 0 0 eiλ(x-t+π) r |g (t, x, λ) - g (t, x, λ)| = J J + J J + J 2 - J J eiπλ l � Ce-πτ , t > x; 11 �11 J14Δ0(λ) 23 14 12 34 34 34 23 0 0 24 J eiλ(x+t) r |g (t, x, λ) - g (t, x, λ)| = J + J J eiπλ l � Ce-πτ ; 12 �12 12 J14Δ0(λ) 34 23 0 0 13 J eiλ(2π-x-t) r |g (t, x, λ) - g (t, x, λ)| = J + J - J eiπλ l � Ce-πτ ; 21 �21 iλ(π+t-x) r J14Δ0(λ) 12 34 23 l |g0 (t, x, λ) - g0 (t, x, λ)| = e J J + J 2 + J J J J eiπλ � Ce-πτ , t < x; 22 �22 J14Δ0(λ) 23 14 12 12 34 12 23 0 0 eiλ(t-x) r |g (t, x, λ) - g (t, x, λ)| = -J + J eiπλ l � Ce-πτ , t > x, 22 �22 Δ0(λ) 12 23 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 479 где константа C зависит только от краевых условий. Воспользовавшись теоремой 4.5, получим Тогда πτ 1R0(λ) - R� 0(λ)11→∞ � Ce- , 1R0(λ)11→∞ � C, 1R� 0(λ)11→∞ � C. 1 b 1 1 b 1 1 1 R0(σ + iτ )P R0(σ + iτ ) dτ 1 - 1 R0(σ + iτ )P R0(σ + iτ ) dτ 1 1 � � 1 1 1 c 1 1 1μ→ν 1 c 1 1 1r 1 1r 1 b b 1 1 � μ→ν 1 1r r � 1 R0(σ + iτ )P R0(σ + iτ ) dτ - 1 R0(σ + iτ )P R0(σ + iτ ) dτ 1 � 1 � � 1 1 c c 1 b 1r 1 1 1μ→ν � 1 1 (R0(σ + iτ ) - R� 0(σ + iτ ))P R0(σ + iτ ) dτ - 1 1 c b 1 r 1 1 - R� 0(σ + iτ )P (R0(σ + iτ ) - R� 0(σ + iτ )) dτ 1 � 1 c 1μ→ν b r � (2π)2 1R0(σ + iτ ) - R� 0(σ + iτ )11 · 1P 1 · 1R (σ + iτ )1 dτ + →∞ κ 0 c b 1→∞ r +(2π)2 c 1R� 0(σ + iτ )11→∞ 1P 1κ b · 1R0(σ + iτ ) - R� 0(σ + iτ )11→∞ dτ � r � 8π2C21P 1κ c e-πτ dτ � 8πC21P 1κ . Шаг 3. Итак, нам необходимо доказать ограниченность выражения π π π b r r r r 0 0 0 c G�0(t, x, σ + iτ )P (t)G�0(s, t, σ + iτ )dτ f (s)ds dt g(x)dx, f ∈ Lμ[0, π], g ∈ Lν! [0, π], (14.16) где μ ∈ [1, ∞), ν ∈ (1, ∞], μ � ν, 1/ν + 1/νl = 1, величиной, не зависящей от b и σ. Возможны четыре случая: a) 0 � s < t < x � π; b) 0 � t < s � π, 0 � t < x � π; c) π ;;: s > t > x ;;: 0; d) π ;;: t > s ;;: 0, π ;;: t > x ;;: 0. Рассмотрим сначала подробно случай a). После перемножения матриц выражение, стоящее во внутреннем интеграле, примет вид где 1 G�11(x, t, s, λ) J 14 - 2 G�21(x, t, s, λ) G�12(x, t, s, λ) , G�22(x, t, s, λ) 24 13 G�11(x, t, s, λ) = -J14J24eiλ(x+2t-s)p3(t) - J13J14eiλ(2π+x-2t-s)p2(t), G�12(x, t, s, λ) = J 2 eiλ(x+2t+s)p3(t) - J14J12eiλ(π+x-2t+s)p2(t), G�21(x, t, s, λ) = -J12J14eiλ(π-x+2t-s)p3(t)+ J 2 eiλ(4π-x-2t-s)p2(t), G�22(x, t, s, λ) = J12J24eiλ(π-x+2t+s)p3(t)+ J12J13eiλ(3π-x-2t+s)p2(t). 480 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Проинтегрируем функцию G�11(x, t, s, σ + iτ ) по переменной τ от c до b, получим выражение J14J24 - e(-c+iσ)(x+2t-s) e(-b+iσ)(x+2t-s) p3(t)+ J13J14 x + 2t - s - e(-c+iσ)(2π+x-2t-s) e(-b+iσ)(2π+x-2t-s) p2(t). 2π + x - 2t - s Заметим, что первое слагаемое в нем можно оценить следующим образом: c(x+2t-s) -b(x+2t-s) iσ(x+2t-s) e- - e p (t) C |p 3(t)| C 2|p 3(t)| , J14J24e x + 2t - s 3 � � x + 2t - s x + t + s поскольку 0 � s < t < x � π; постоянная C зависит только от краевых условий. Аналогично второе слагаемое не превосходит величины C |p2(t)| 2π + x - 2t - s 2|p2(t)| � C ξ + η + ζ , ξ = π - x ;;: 0, η = π - t > 0, ζ = π - s > 0. При интегрировании остальных элементов матрицы будут получаться выражения, которые можно оценить соответственно: C |p3(t)| |p3(t)| x + 2t + s � C x + t + s, x > t > s ;;: 0, C |p2(t)| π + x - 2t + s 2|p2(t)| � C ξ + η + s , ξ = π - x ;;: 0, η = π - t > 0, s > 0, C |p3(t)| π - x + 2t - s 2|p3(t)| � C ξ + t + s, ξ = π - x ;;: 0, t > 0, s ;;: 0, C |p2(t)| 4π - x - 2t - s � C |p2(t)| ξ + η + ζ , ξ = π - x ;;: 0, η = π - t > 0, ζ = π - s > 0, C |p3(t)| π - x + 2t + s � C |p3(t)| ξ + t + s , ξ = π - x ;;: 0, t > 0, s ;;: 0, C |p2(t)| 3π - x - 2t + s � C |p2(t)| ξ + η + s , ξ = π - x ;;: 0, η = π - t > 0, s ;;: 0. Таким образом, все элементы матрицы π b r r G�0(t, x, σ + iτ )P (t)G�0(s, t, σ + iτ )dτ dt 0 c при 0 � s < t < x � π представляют собой сумму двух слагаемых, каждое из которых по модулю не превосходит выражения π C r |p(η)| ξ + η + ζ 0 dη, p(η) ∈ Lκ [0, π], ξ, ζ ∈ [0, π]. (14.17) В случае 0 � t < s � π, 0 � t < x � π выражения, полученные после интегрирования по τ, оцениваются так: C |p3(t)| π + x + 2t - s � C |p3(t)| x + t + ζ , x > 0, t ;;: 0, ζ = π - s ;;: 0, C |p2(t)| 2π + x - 2t - s 2|p2(t)| � C ξ + η + ζ , ξ = π - x ;;: 0, η = π - t > 0, ζ = π - s ;;: 0, C |p3(t)| |p3(t)| x + 2t + s � C x + t + s, x > 0, t ;;: 0, s > 0, C |p2(t)| x - 2t + s , x > 0, t ;;: 0, s > 0; t � min{x, s}, C |p3(t)| 2π - x + 2t - s � C |p3(t)| ξ + t + ζ , ξ = π - x ;;: 0, t ;;: 0, ζ = π - s ;;: 0, C |p2(t)| 4π - x - 2t - s � C |p2(t)| ξ + η + ζ , ξ = π - x ;;: 0, η = π - t > 0, ζ = π - s ;;: 0, СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 481 C |p3(t)| π - x + 2t + s � C |p3(t)| ξ + t + s , ξ = π - x ;;: 0, t ;;: 0, s > 0, C |p2(t)| 2π - x - 2t + s 2|p2(t)| � C ξ + η + ζ , ξ = π - x ;;: 0, η = π - t > 0, ζ = π - s ;;: 0. Значит, в случае 0 � t < s � π, 0 � t < x � π все элементы матрицы π b r r G�0(t, x, σ + iτ )P (t)G�0(s, t, σ + iτ )dτ dt, 0 c кроме одного, также можно оценить с помощью выражений вида (14.17). Единственное исключение - слагаемое, содержащее множитель |p2(t)| , 0 � t < min{x, s}. Его мы будем рассматривать отдельно. x - 2t + s Случай π ;;: s > t > x ;;: 0 аналогичен первому случаю. Здесь все элементы матрицы оценива- ются следующими выражениями: C |p3(t)| π + x + 2t - s � C |p3(t)| x + t + ζ , x ;;: 0, t > 0, ζ = π - s ;;: 0, C |p2(t)| 3π + x - 2t - s � C |p2(t)| x + η + ζ , x ;;: 0, η = π - t > 0, ζ = π - s ;;: 0, C |p3(t)| |p3(t)| x + 2t + s � C x + t + s, x ;;: 0, t > 0, s > 0, C |p2(t)| π + x - 2t + s 2|p3(t)| � C x + η + ζ , x ;;: 0, η = π - t > 0, ζ = π - s ;;: 0, C |p3(t)| π - x + 2t - s 2|p3(t)| � C x + t + ζ , x ;;: 0, t > 0, ζ = π - s ;;: 0, C |p2(t)| 4π - x - 2t - s � C |p2(t)| ξ + η + ζ , ξ = π - x > 0, η = π - t > 0, ζ = π - s ;;: 0, C |p3(t)| -x + 2t + s 2|p3(t)| � C x + t + s , x ;;: 0, t > 0, s > 0, C |p2(t)| 2π - x - 2t + s 2|p2(t)| � C ξ + η + ζ , ξ = π - x > 0, η = π - t > 0, ζ = π - s ;;: 0. Наконец, при π ;;: t > x ;;: 0, π ;;: t > s ;;: 0 имеем оценки вида: C |p3(t)| x + 2t - s 2|p3(t)| � C x + t + s , x ;;: 0, t > 0, s ;;: 0, C |p2(t)| 3π + x - 2t - s � C |p2(t)| x + η + ζ , x ;;: 0, η = π - t ;;: 0, ζ = π - s > 0, C |p3(t)| |p3(t)| x + 2t + s � C x + t + s, x ;;: 0, t > 0, s ;;: 0, C |p2(t)| 2π + x - 2t + s � C |p2(t)| x + η + s , x ;;: 0, η = π - t ;;: 0, s ;;: 0, C |p3(t)| -x + 2t - s , x ;;: 0, t > 0, s ;;: 0, C |p2(t)| 4π - x - 2t - s � C |p2(t)| ξ + η + ζ , ξ = π - x > 0, η = π - t ;;: 0, ζ = π - s > 0, C |p3(t)| -x + 2t + s � C |p3(t)| x + t + s , x ;;: 0, t > 0, s ;;: 0, C |p2(t)| 3π - x - 2t + s � C |p2(t)| ξ + η + ζ , ξ = π - x > 0, η = π - t ;;: 0, ζ = π - s > 0. Здесь исключение составляет слагаемое, содержащее выражение |p3(t)| -x + 2t - s , max{x, s} < t � π. 482 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Таким образом, мы показали, что все ядра в интеграле (14.16) оцениваются выражением одного из трех типов. Теперь мы сможем применить теорему об интерполяции для получения оценки всего интеграла. Докажем сначала вспомогательное утверждение. Утверждение 14.3. Для любых функций h1 ∈ L1[0, π], h2 ∈ Lq [0, π], h3 ∈ Lq! [0, π], q ∈ (1, ∞), 1/q + 1/ql = 1, продолженных нулем за отрезок [0, π], справедливы следующие оценки: π π π r r r 0 0 0 h1(x)h2(t)h3(s) x + t + s dtdsdx � C1h11L1 1h21Lq 1h31L q! , (14.18) π π min{x,s} r r r h (x)h (t)h (s) 1 2 3 dtdsdx � C1h11L1 1h21Lq 1h31Lq! , (14.19) 0 0 0 x - 2t + s π π π r r r h (x)h (t)h (s) 1 2 3 dtdsdx � C1h11L1 1h21Lq 1h31Lq! , (14.20) 0 0 max{x,s} -x + 2t - s с некоторой абсолютной постоянной C. Доказательство. Рассмотрим первое из выражений. Имеем r r r h1(x)h2(t)h3(s) dtdsdx � sup r r h2(t)h3(s) r dtds · |h1(x)|dx � 0 0 0 x + t + s 0�x�π 0 0 x + t + s 0 π π r r � 1h11L1 0 0 |h2(t)| ·|h3(s)| t + s dtds � C1h11L1 1h21Lq 1h31Lq! . В последнем неравенстве использовалось известное утверждение об ограниченности оператора типа Харди (см., например, [81, п. 9.3]). Для доказательства второго неравенства сделаем в интеграле замену переменных: π π min{x,s} r r r h (x)h (t)h (s) 1 2 3 dtdsdx � 0 0 0 x - 2t + s π ⎛ x s r r r |h1(x)h2(t)h3(s)| π x ⎞ r r |h1(x)h2(t)h3(s)| � ⎝ 0 0 0 ⎠ dtds + x - 2t + s x 0 dtds dx � x - 2t + s ⎛ � 1h11L1 · ⎜ sup x x r r |h2(x - η)| ·|h3(x - ζ)| dηdζ + ⎝0�x�π 0 ζ π-x x 2η - ζ ⎞ + sup r r |h2(x - η)| · |h3(x + ζ)| dηdζ � C1h 1 1h 1 1h 1 (14.21) 0�x�π 0 0 ζ + 2η ⎠ 1 L1 Lq Lq! в силу элементарного неравенства 1 2η - ζ 2 � η + ζ при ζ � η и ограниченности оператора типа Харди. Третье из неравенств проверяется совершенно аналогично. Шаг 4. Воспользуемся теоремой 17.I и утверждением 14.3 для получения окончательной оценки выражения (14.16). СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 483 Зафиксируем произвольную функцию h2 ∈ Lq [0, π], q ∈ (1, ∞). Введем вспомогательные опера- торы Bj, j = 1, 2, 3, следующим образом: π π r r (B1h3)(x) = 0 0 h2(t)h3(s) dtds, x + t + s π min{x,s} r r (B2h3)(x) = 0 0 π π r r (B3h3)(x) = h2(t)h3(s) dtds, x - 2t + s h2(t)h3(s) dtds. -x + 2t - s 0 max{x,s} Из утверждения 14.3 следует, что для любой функции h1 ∈ L1[0, π] π r (Bjh3)(x)h1(x)dx � C1h11L1 1h21Lq 1h31L! , j = 1, 2, 3, q 0 следовательно, каждый из операторов Bj ограниченно действует из пространства Lq! [0, π] в L∞[0, π]. Заметим теперь, что переменные s и x входят в оценки (14.18)-(14.20) симметрично. Следова- тельно, поменяв ролями функции h1 и h3, получаем, что любой из операторов Bj также ограни- ченно действует из L1[0, π] в Lq [0, π]. Отсюда и из теоремы 17.I следует, что любой из операторов Bj ограниченно действует из пространства Lαθ [0, π] в Lβθ [0, π], где q q Положим αθ = q - θ , βθ = 1 - θ , 0 < θ < 1. q = κ, μ = κ ; κ - θ получим, что Bj ограниченно действуют из Lμ[0, π] в Lν [0, π] при μκ а значит, и при ν = , μ + κ - μκ μκ то есть при 1 + 1 - 1 � 1. 1 < ν � μ + κ - μκ , κ μ ν Следовательно, нормы 1Bj 1μ→ν, j = 1, 2, 3, ограничены при всех κ ∈ (1, ∞), μ ∈ [1, ∞), ν ∈ (1, ∞], 1 1 1 κ + μ - ν � 1. Отсюда и из оценок для элементов матрицы, проведенных в шаге 3, получаем ограниченность выражения (14.16) при P ∈ Lκ , 1 < κ < ∞, f ∈ Lμ, g ∈ Lν! , μ ∈ [1, ∞), ν ∈ (1, ∞], 1 1 1 κ + μ - ν � 1. Таким образом, мы получили оценку выражения 1 b 1 а значит, и 1r 1 1 1 1 R� 0(σ + iτ )P R� 0(σ + iτ ) dτ 1 , 1 1 1 c 1Lμ →Lν 1 b 1 не зависящую от σ и b. 1r 1 1 1 1 R0(σ + iτ )P R0(σ + iτ ) dτ 1 , 1 1 1 c 1Lμ→Lν 484 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Из (14.14) следует, что аналогичные оценки справедливы и для нижней полуплоскости. Значит, оценка нормы 1Sm - S0 1μ ν � M, где m ;;: N , m → 0 где постоянная M зависит от нормы потенциала и краевых условий, но не зависит от m, полностью доказана. Шаг 5. Теперь доказательство завершается стандартным приемом. Нам достаточно доказать схо- димость m 1Sm(f ) - S0 (f )1ν → 0, m → ∞, (14.22) для некоторого всюду плотного в Lμ[0, π] множества функций f . В качестве этого множества мы выберем линейную оболочку системы {yn}n∈Z собственных и присоединенных функций оператора LP,U . Напомним, что μ ∈ [1, ∞) согласно условию (iii), а полнота системы {yn}n∈Z в этом случае доказана в утверждении 14.2. Остается доказать соотношение (14.22) для случая f = yn, n ∈ Z. Из представления (14.3) следует, что Sm(yn) = yn при всех m > |n|/2, т. е. 1Sm(f ) - S0 (f )1ν = 1S0 (yn) - yn1ν, при m > |n|/2. m m m Применяя утверждение 4.4 к функции yn (она абсолютно непрерывна и удовлетворяет краевым условиям U ), получим что S0 (yn) стремится к yn при m → ∞ равномерно на отрезке [0, π], а значит, и по норме 1 · 1ν. Теорема доказана. БАЗИСНОСТЬ СИСТЕМЫ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРА LP,U В ШКАЛАХ ПРОСТРАНСТВ Целью данного раздела является доказательство базисности Рисса или Шаудера системы соб- ственных и присоединенных функций регулярного оператора LP,U (в слабо регулярном случае - базисности со скобками) в различных шкалах пространств. Мы будем отталкиваться от теорем 12.2 (с учетом следствия 12.1) и 12.3: для любого суммируемого потенциала P (x) общего вида си- стема {yn}n∈Z является в сильно регулярном случае базисом Рисса в пространстве H. В слабо регулярном случае базис Рисса в H из двумерных подпространств образует система {Hn}n∈Z, где Hn = Lin{y2n, y2n+1}. Конечно, задачу о базисности системы собственных и присоединенных функций дифференци- ального оператора L можно ставить в абстрактной форме. Здесь хорошо известно следующее утверждение (см. [36, теорема 22.1] и [90, лемма 3]): если оператор L равномерно положителен, а его резольвента компактна, то он порождает шкалу пространств Hθ, θ ∈ [0, 1], ассоци- ированных со степенями Lθ, а система корневых функций оператора L (после надлежащей нормировки) образует базис Рисса в каждом из пространств Hθ. Это наблюдение неприменимо в нашей ситуации, поскольку оператор Дирака не положителен1. Мы, однако, покажем (и это совсем не сложно), что при условии P ∈ L2[0, π] система {yn}n∈Z действительно образует базис Рисса во всей шкале пространств Hθ, θ ∈ [0, 1]. В общей ситуации, когда P ∈ L1[0, π], имеет место базисность Рисса при θ ∈ [0, 1/2) (доказа- тельство этого факта уже нетривиально). Помимо шкалы пространств Соболева с дробным пока- зателем гладкости мы будем изучать базисность системы {yn}n∈Z в шкале пространств Бесова. Эти результаты не имеют абстрактных аналогов. Начнем со свойств базисности системы {yn}n∈Z в пространствах Лебега Lμ[0, π], μ ∈ (1, ∞). Хорошо известно, что тригонометрическая система является базисом Шаудера в пространстве Lμ[0, π] для любого μ ∈ (1, ∞) (не являясь при этом при μ ⊕= 2 безусловным базисом). Мы покажем, что то же выполнено и для системы {yn}n∈Z. Вначале, в теоремах 15.1-15.4, мы будем считать матрицу P внедиагональной. Теорема 15.1. Пусть оператор LP,U с потенциалом P ∈ Lκ [0, π] вида (3.8), κ > 1, сильно ре- гулярен. Тогда при любом μ ∈ (1, ∞) система {yn}n∈Z образует базис Шаудера в пространстве Lμ[0, π]. Если оператор LP,U слабо регулярен, то система {Hn}n∈Z, Hn = Lin{y2n, y2n+1} образует в Lμ[0, π] базис Шаудера из подпространств. 1 Можно заметить, что после умножения на i и подходящего сдвига оператор Дирака является равномерно позитив- ным (см. определение в [36, глава 4]), но обобщения абстрактных результатов на этот случай нам неизвестны. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 485 Доказательство. Свойство базисности системы сохраняется при непрерывном изоморфизме про- странства (теорема 18.IV), а значит, в силу теоремы 12.2 система {yn}n∈Z является базисом Ша- удера в любом пространстве (Lμ[0, π])2 , μ ∈ (1, ∞). Если оператор LP,U сильно регулярен, то в силу теоремы 14.1 каждый вектор f ∈ Lμ[0, π] представляется в виде ряда ∞ f = , n=-∞ (f , zn)yn. Единственность такого разложения следует из минимальности системы {yn}n∈Z (см. теорему 14.2), и первое утверждение теоремы доказано. В слабо регулярном случае также воспользуемся теоремой 14.1: m f = lim , r l (f , z2n )y2n + (f , z2n+1)y2n+1 . - m→+∞ n= m Единственность разложения вновь следует из минимальности системы {yn}n∈Z, и мы доказали второе утверждение теоремы. Утверждение 15.1. Пусть P ∈ Lκ [0, π], κ ∈ [1, ∞], LP,U - регулярный оператор Дирака, а λ0 ∈/ σ(LP,U ) (здесь σ - спектр оператора). Тогда (LP,U - λ0I)-1 является ограниченным и ограниченно обратимым оператором из μ,U Lμ[0, π] в W 1 [0, π] при любом μ ∈ [1, κ]. Доказательство. Операторы дифференцирования f 1→ f l и умножения на функцию f 1→ P f , μ,U P ∈ Lκ , ограничены из W 1 [0, π] в Lμ[0, π], а значит, ограничен и оператор LP,U - λ0I. С другой стороны, для любой правой части f ∈ Lμ[0, π] определена абсолютно непрерывная функция g, для которой fP (g) - λ0g = f , удовлетворяющая краевым условиям U (g) = 0 (см. [63, утверждение 3.1]). Тогда gl = B-1(f + λ0g - P g) и, поскольку правая часть является элементом пространства Lκ [0, π] ⊂ Lμ[0, π], функция g при- μ,U надлежит W 1 [0, π]. μ,U Теперь ограниченность оператора (LP,U - λ0I)-1 : Lμ[0, π] → W 1 [0, π] следует из теоремы Банаха об обратном операторе. Утверждение 15.2. Пусть LP,U - произвольный регулярный оператор Дирака с потенциалом P ∈ Lκ [0, π], κ ∈ (1, ∞), а λ0 ∈/ σ(LP,U ) ∪ σ(L0,U ) произвольно1. μ, q, U B1/μ-1/κ Тогда оператор LP,U - λ0I является изоморфизмом пространства B1+1/μ-1/κ [0, π] на μ, q [0, π] при любых μ ∈ (κ, ∞), q ∈ (1, ∞). Доказательство. Зафиксируем индексы μ и q из условия и рассмотрим оператор L0,U - λ0I с μ, U нулевым потенциалом и теми же краевыми условиями. Он является изоморфизмом из W 1 [0, π] в Lμ[0, π]. Рассмотрим сопряженный оператор L0,U ∗ - λ0I (здесь U ∗ - сопряженные к U краевые усло- μ!,U ∗ вия), являющийся изоморфизмом из W 1 [0, π] в Lμ! [0, π], 1/μ + 1/μl = 1. Переходя к дуальным 0 -1 пространствам, видим, что оператор L0,U - λ I - изоморфизм Lμ[0, π] на Wμ, U [0, π]. Проводя интерполяцию Bs 1 s-1 -1 μ, q, U [0, π] = (Lμ[0, π], Wμ, U [0, π])s,q , Bμ, q, U [0, π] = (Wμ, U [0, π], Lμ[0, π])s,q , μ, q, U получаем: оператор L0,U - λ0I есть изоморфизм Bs μ, q, U [0, π] на Bs-1 [0, π] для любых s ∈ (0, 1), (1, ∞). 1 Условие λ0 ∈/ σ(L0,U ) можно опустить, мы вводим его только для упрощения доказательства. 486 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Положим s = 1+ 1 - 1 (заметим, что в этом случае Bs-1 [0, π] = Bs-1[0, π])и обратимся к опе- μ κ μ, q, U μ, q μ, q, U ратору умножения y 1→ P y. Поскольку B1+1/μ-1/κ [0, π] ⊂ C[0, π] (утверждение 4 теоремы 17.XIX), 1+1/μ- 1/κ то этот оператор ограниченно действует из Bμ, q, U [0, π] в Lκ [0, π]. μ, q В силу компактного вложения Lκ [0, π] ⊂ B1/μ-1/κ [0, π] (утверждение 3 теоремы 17.XV) оператор 1+1/μ-1/κ 1/μ-1/κ y 1→ P y компактно действует из Bμ, q, U [0, π] в Bμ, q [0, π]. Итак, оператор μ, q [0, π] LP,U - λ0I : B1+1/μ-1/κ μ, q, U [0, π] → B1/μ-1/κ ограничен. Для завершения доказательства остается проверить его биективность. В силу альтер- нативы Фредгольма (мы представили оператор LP,U -λ0I в виде суммы изоморфизма и компактной добавки) достаточно проверить инъективность. ν, U ∗ Оператор LP ∗,U ∗ - λ0I является изоморфизмом пространств W 1 [0, π] и Lν [0, π] при любом ν ∈ (1, κ] (см. утверждение 15.1). Переходя к дуальным пространствам, получаем, что оператор LP,U - λ0I является изоморфизмом пространств Lν! [0, π] и W -1 [0, π]. Зафиксируем произвольное число ν ∈ (1, κ] так, что νl > μ, и отметим вложение ν! ,U B1+1/μ-1/κ 1+1/ν! -1/κ μ, q, U [0, π] ⊂ Bν! , q,U [0, π] ⊂ Lν! [0, π] (см. утверждение 3 теоремы 17.XIX). Поскольку оператор LP,U - λ0I имеет тривиальное ядро в пространстве Lν! [0, π], то отсюда следует его инъективность как оператора μ, q [0, π]. LP,U - λ0I : B1+1/μ-1/κ μ, q, U [0, π] → B1/μ-1/κ Теорема 15.2. Пусть LP,U - регулярный оператор Дирака с потенциалом P ∈ Lκ [0, π], κ ∈ (1, ∞), вида (3.8). При μ ∈ (1, κ] в сильно регулярном случае имеет место базисность Шаудера систе- мы {yn}n∈Z, а в слабо регулярном случае - базисность Шаудера системы подпространств 1 θ {Hn}n∈Z в пространствах Соболева Wμ, U [0, π] и в пространствах Бесова Bμ, q, U [0, π] для лю- бых 0 < θ < 1, 1 < q < ∞. 1 1 При μ ∈ (κ, ∞) утверждение остается справедливым при любых 0 < θ < 1+ μ - κ , 1 < q < ∞ и при θ = 1 + 1 1 μ - κ , q = μ. Доказательство. Пусть вначале μ ∈ (1, κ]. В сильно регулярном случае в силу теоремы 15.1 система {yn}n∈Z образует базис Шаудера в Lμ[0, π]. Оператор μ,U (LP,U - λ0I)-1 : Lμ[0, π] → W 1 [0, π] ∈ ограничен и ограниченно обратим (утверждение 15.1), а значит, система {(LP,U - λ0I)-1yn}n Z μ,U является базисом Шаудера в W 1 [0, π]. Поскольку (LP,U - λ0I)-1yn = (λn - λ0)-1yn при |n| > N |n|�N и (LP,U - λ0I)-1 является линейным изоморфизмом на подпространстве Lin{yn} , то и си- ∈ μ, U стема {yn}n Z, является базисом Шаудера в W 1 [0, π]. Остается воспользоваться теоремой 18.V, согласно которой {yn}n∈Z - базис Шаудера в любом пространстве Бесова Bθ 1 μ, q, U [0, π] = (Lμ[0, π], Wμ, U [0, π])θ,q , θ ∈ (0, 1), q ∈ (1, ∞). В слабо регулярном случае система {Hn}n∈Z образует базис Шаудера из подпространств в Lμ[0, π]. Поскольку (LP,U - λ0I)-1Hn = Hn (вновь с точностьюдо конечномерного подпространства), то {Hn}n∈Z - базис Шаудера из подпро- μ,U странств в W 1 [0, π]. Остается вновь воспользоваться теоремой 18.V. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 487 Теперь рассмотрим случай μ > κ. Зафиксируем произвольное число ν > max{μ, κl}. Bθ По доказанному, биортогональная к {yn}n∈Z система {zn}n∈Z является базисом Шаудера (в слабо регулярном случае - базисом Шаудера из двумерных подпространств) в пространстве ν! ,ν! ,U ∗ [0, π], где θ ∈ (0, 1) произвольно. Тогда (см. утверждение 2 теоремы 18.IV) система θ ν, ν, U {yn}n∈Z - базис Шаудера в дуальном пространстве B- [0, π]. Положим θ = 1 - 1 и воспользуемся утверждением 15.2, согласно которому оператор (L - P,U ν κ λ0I)-1 является изоморфизмом между B1/ν-1/κ [0, π] и B1+1/ν-1/κ [0, π]. ν, ν ν, ν, U 1+1/ν-1/κ Таким образом, система {yn}n∈Z образует базис Шаудера в пространстве Bν, ν, U [0, π]. Те- перь интерполяция (см. пп. 1 и 3 теоремы 17.XVIII) (B1+1/ν-1/κ ν, ν, U [0, π],W 1 [0, π])τ,μ = B 1+1/μ-1/κ [0, π], где 1 = 1 - τ + τ , κ,U (Lμ[0, π], B1+1/μ-1/κ μ, μ, U s(1+1/μ-1/κ) μ ν κ μ, μ, U [0, π])s,q = Bμ, q, U [0, π], 0 < s < 1, 1 < q < ∞ завершает доказательство теоремы. Перейдем к изучению базисности Рисса. Хорошо известно, что тригонометрическая система где k, π {π-1/2(k2 + 1))-θ/2e1 -1/2 (k2 + 1))-θ/2 k ∈ e2 }k 2Z, e1 eikx k = 0 k , e2 = 0 eikx , (15.1) является ортонормированным базисом в пространстве Hθ при любом θ ∈ [0, 1/2). ∈ При θ ∈ [1/2, 1] система имеет в пространстве Hθ дефект 2. Мы покажем, что система {yn}n Z обладает аналогичными свойствами. Теорема 15.3. Пусть P ∈ L2[0, π], а оператор LP,U сильно регулярен. Тогда при любом θ ∈ [0, 1] система ∈ {(n2 + 1)-θ/2yn(x)}n Z U образует базис Рисса в пространстве Hθ . В случае слабой регулярности система {Hn}n∈Z, где U образует в Hθ Hn = Lin{y2n, y2n+1}, базис Рисса из подпространств. Подобные теоремы хорошо известны для случая шкалы пространств, построенных по положи- тельному самосопряженному оператору (см., например, [90, лемма 3.3]). В нашем случае оператор LP,U не полуограничен, так что мы приведем доказательство этого утверждения. Как и в [90], оно U основано на том, что оператор LP,U является изоморфизмом между H1 и H. Доказательство. Вначале рассмотрим сильно регулярный случай. В силу теоремы 12.2 система {yn}n∈Z образует базис Рисса в пространстве H. U Зафиксируем произвольное число λ0 ∈/ σ(LP,U ) и рассмотрим оператор (LP,U - λ0I)-1, действу- ющий из H в H1 . В силу утверждения 15.1 этот оператор является изоморфизмом. Так как краевые условия сильно регулярны, то найдется номер N такой, что при всех |n| > N функции yn являются собственными. Для этих функций (LP,U - λ0I)-1yn = (λn - λ0)-1yn, а так как λn = n + O(1) (см. теорему 9.3 и утверждение 4.1), то последовательность |λn - λ0|(n2 + 1)-1/2 отделена и от нуля, и от бесконечности. Это означает, что система |n|>N {(n2 + 1)-1/2yn} 488 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ является базисом Рисса в замыкании своей линейной оболочки. Подпространство Lin{yn}|n|�N инвариантно относительно оператора (LP,U - λ0I)-1, который является здесь линейным изомор- физмом. Таким образом, система ∈ {(n2 + 1)-1/2yn}n Z U является базисом Рисса в H1 . Теперь из теоремы 18.VI следует первое утверждение. Перейдем к слабо регулярному случаю. В силу теоремы 12.3 система {Hn}n∈Z образует базис Рисса из подпространств в H. Оператор U (LP,U - λ0I)-1 : H → H1 ограничен и ограниченно обратим, причем (LP,U - λ0I)-1Hn = Hn, U так что {Hn}n∈Z - базис Рисса из подпространств в H1 . Остается воспользоваться утверждением теоремы 18.V. ∈ U 2 Теорема 15.3 не дает нам никакой информации о свойствах системы {yn}n∈Z (в слабо регулярном случае, соответственно, {Hn}n Z) в пространствах Hθ , если P ∈/ L [0, π]. ∈ n n∈Z U С одной стороны, базисность Рисса системы {yn}n Z (соответственно, {H } ) в H = H0 U имеет место для любого P ∈ L1[0, π]. С другой стороны, базисность в H1 не может иметь место для произвольного P ∈ L1[0, π]. Утверждение 15.3. Пусть LP,U - регулярный оператор Дирака с потенциалом P ∈ L1[0, π] U вида (3.8), причем все его собственные и присоединенные функции yn(x) лежат в H1 . Тогда P ∈ L2[α, β] для любых 0 < α < β < π. Доказательство. Пусть ω1(x) ω(x) = ω2(x) , где ωj (x), j = 1, 2, - бесконечно гладкие функции, равные тождественной единице на [α, β] и нулю в точках 0 и π. Поскольку система {yn}n∈Z полна в пространстве L1[0, π] (теорема 14.2), а оператор (LP,U - λ0I)-1 при λ0 ∈/ 1,U σ(LP,U ) является изоморфизмом пространства L1[0, π] на W 1 [0, π] (утвержде- ∈ 1,U ние 15.1), то {yn}n Z полна в W 1 [0, π]. ω Пользуясь этим, рассмотрим конечную линейную комбинацию �(x) = ), cnyn такую, что 1 ω1W 1 � . 1ω - � 1 2 1 1 j 1 ωj 1 Тогда функции � (x) ;;: 2 , j = 1, 2, на отрезке [α, β], а значит, функции Далее, ω(x) = , λncnyn(x) - B , cnyl (x). лежат в W [α, β]. ω (x) � P (x)� n U Если теперь, согласно условию, все функции yn лежат в H1 [0, π], то функция p2(x)� (x) принадлежит пространству H[α, β]. P (x)ω(x) = � ω2 � p3(x)ω1(x) Рассматривая каждую компоненту этого вектора отдельно и учитывая, что функции 1 ωj (x) при- надлежат пространству L [α, β], приходим к выводу, что p (x) ∈ L [α, β], j = 2, 3. � ∞ j 2 Нашей целью теперь будет доказательство следующего утверждения. Теорема 15.4. Пусть оператор LP,U с потенциалом P ∈ Lκ [0, π] вида (3.8), κ ∈ [1, 2), сильно регулярен. Тогда для любого θ ∈ [0, 3/2 - 1/κ) система {(n2 + 1)-θ/2yn}n U пространстве Hθ . ∈Z является базисом Рисса в СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 489 Для доказательства нам потребуется несколько вспомогательных фактов. Лемма 15.1. Пусть LP,U - сильно регулярный оператор Дирака с потенциалом P ∈ L1[0, π], {yn}n∈Z - система его собственных и присоединенных функций, а {zn}n∈Z - биортогональная в H система. Тогда последовательности {1yn1H}n∈Z и {1zn1H}n∈Z отделены от нуля и от бесконечности: найдутся такие положительные числа c1 и c2, что inf 1yn1H ;;: c1, inf 1zn1H ;;: c1, sup 1yn1H � c2 и sup 1zn1H � c2. n∈Z n∈Z n∈Z n∈Z Доказательство. В силу теоремы 12.2, система {yn}n∈Z является базисом Рисса в H. Тогда тем же свойством обладает и биортогональная система {zn}n∈Z, а значит, обе эти системы почти нормированы. Лемма 15.2. Пусть LP,U - сильно регулярный оператор Дирака с потенциалом P ∈ L1[0, π], {yn}n∈Z - система его собственных и присоединенных функций, а {zn}n∈Z - биортогональная в H система. Тогда справедливы представления z1,n(x) ( eiλnxσ1,n(x) \ zn(x) = z2,n(x) = e-iλnxσ 2,n (x) , n ∈ Z. (15.2) При этом найдется постоянная C = C(P, U ) такая, что 1,n |σ1,n(0)| + |σ2,n(0)| � C, |σl 2,n (x)| + |σl (x)| � C(|p2(x)| + |p3(x)|), x ∈ [0, π]. (15.3) Доказательство. Векторы биортогональной системы zn(x) при |n| ;;: N являются собственны- ми для сопряженного оператора LP ∗,U ∗ (теорема 9.4). Тогда после нормировки они допускают представление (9.24) с оценками (9.25). Остается заметить (лемма 15.1), что последовательность {1zn 1H}n∈Z ограничена. Утверждение 15.4. Пусть LP,U - регулярный оператор Дирака с потенциалом P ∈ Lκ[0, π], κ ∈ [1, 2). Тогда система {yn}n∈Z его собственных и присоединенных функций полна и минимальна в U пространстве Hθ при любом θ ∈ [0, 3/2 - 1/κ). Доказательство. Зафиксируем индекс θ ∈ [0, 3/2-1/κ). В силу п. 3 теоремы 17.XIX пространство W 1 θ θ κ,U непрерывно и плотно вложено в HU . Таким образом, полнота системы {yn}n∈Z в HU следует из полноты этой системы в W 1 [0, π] (теорема 15.2). U С другой стороны, Hθ κ,U непрерывно и плотно вложено в пространство H. Тогда минимальность θ системы {yn}n∈Z в пространстве HU следует из минимальности этой системы в H (теорема 12.1). Лемма 15.3. Пусть LP,U - регулярный оператор Дирака с потенциалом P ∈ L1[0, π], а θ {λn}n∈Z - его спектр. Тогда для любой функции f ∈ W2 [0, π], θ ∈ [0, 1/2), выполнено π 2 π 2 , n2θ r f (x)eiλnx dx , 2θ r n + f (x)e-iλnx dx � C1f 2 1W θ , 0 n∈Z где C = C(P, U, θ). 2 0 n∈Z Доказательство. Очевидно, что достаточно доказать оценку для одной из сумм. Случай θ = 0 разобран в лемме 12.1. Иными словами, оператор T : f 1→ {fn}n∈Z, где fn := π r f (x)eiλnx 0 dx, ограниченно действует из пространства L2[0, π] в пространство l2(Z). Обозначим W 1 1 2, 0[0, π] = {f ∈ W2 [0, π]| f (0) = f (π) = 0}. 490 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ 2, 0 Для случая f ∈ W 1 [0, π] имеем 1 n fn = - iλ π r f l(x)eiλnx 0 dx. Учитывая, что λn = n + O(1) при |n| → ∞, а f l ∈ L2[0, π], выводим ограниченность оператора T 2, 0 из пространства W 1 2 [0, π] в весовое пространство l1 := l2((n2 + 1)1/2). 2, 0 Интерполируя, получим ограниченность оператора T из [L2[0, π],W 1 2 [0, π]]θ в lθ = l2((n2+1)θ/2). 2, 0 В силу теоремы 17.XVII имеем [L2[0, π],W 1 2 [0, π]]θ = W θ[0, π] при любом θ ∈ [0, 1/2), что и доказывает утверждение. Лемма 15.4. Пусть LP,U - регулярный оператор Дирака с потенциалом P ∈ L1[0, π], а -θ {λn}n∈Z - его спектр. Тогда для любой функции f ∈ W2 [0, π], θ ∈ [0, 1/2), выполнено , n-2θ iλnx , 2 2θ iλnx 2 2 n∈Z (e ,f ) + n- n∈Z (e- ,f ) 2 � C1f 1W -θ , C = C(P, U, θ), где под (ϕ, f ) понимается действие функционала f на тестовую функцию ϕ относительно скалярного произведения L2[0, π]. Доказательство. Вновь будем работать только с первой суммой и вновь рассмотрим оператор iλnx T : f 1→ {fn}n∈Z, fn := (e ,f ), ограниченность которого из L2[0, π] в l2 мы уже отмечали. Докажем его ограниченность из про- странства W -1[0, π] в весовое пространство l2((n2 + 1)-1/2) =: l-1. 2 Пусть вначале f ∈ L2[0, π]. Обозначим x r F (x) = 0 π r f (t) dt, [f ] = 0 2 f (t) dt и проведем интегрирование по частям: π π r r fn = 0 eiλnx dF (x) = [f ]eiπλn - iλn 0 F (x)eiλnx dx. Учитывая, что λn = n + O(1), имеем 1{fn}1l-1 � |[f ]| ( , n- |e \1/2 | ( + , n |λn| |Fn| \1/2 � C(|[f ]| + 1F 1L2 ) � C1f 1W -1 , 2 iπλn 2 2 n -2 2 2 2 n 1 2 так как выражение C(|[f ]| + 1F 1L2 ) задает на W - [0, π] эквивалентную норму. Итак, мы доказали ограниченность оператора T : W -1[0, π] → l-1 2 2 на плотном множестве L2[0, π] ⊂ W -1[0, π], а значит, и на всем W -1[0, π]. 2 2 Интерполируя, получаем ограниченность оператора T : [L2[0, π],W -1[0, π]]θ = W -θ [0, π] → l-θ := l2((n2 + 1)-θ/2). 2 2 2 Доказательство теоремы 15.4. Случай κ = 1. Пусть f ∈ Hθ с некоторым θ ∈ [0, 1/2), а {e1 , e2 }k 2Z - тригонометрическая система, k k ∈ введенная в (15.1) (для удобства будем ее далее нумеровать одним целочисленным индексом k в порядке ek = e1 для четных k и ek = e2 для нечетных k). k k-1 Прежде всего, заметим, что оператор V0 : f 1→ {(f , ek )H}k∈Z СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 491 2 является изоморфизмом пространств Hθ и lθ при любом θ ∈ [0, 1/2). На линейном пространстве θ Lin{yn}n∈Z ⊂ H зададим оператор V : f 1→ {(f , zn )H}n∈Z (напомним, что {zn}n∈Z - биортогональная к {yn}n∈Z в смысле скалярного произведения (·, ·)H система). Тогда в силу представления (15.2) π 2 π 2 ∞ 2 , 2 r θ ∞ r θ , 2 2 1V f 1lθ � 2 (k + 1) f1(x)z1,k(x) +2 (k + 1) f2(x)z2,k(x) . k=-∞ 0 k=-∞ 0 Проведем оценку для первой суммы (вторая сумма аналогична). π 2 π 2 ∞ r r , (k2 + 1)θ f1(x)z1,k (x) � 2 ,(k2 + 1)θ σ1,k(0) f1(x)e-iλkx dx + 0 k=-∞ k 0 π π 2 +2 ,(k2 + 1)θ r σl r (t) f (x)e-iλkx dx dt . k 0 1,k 1 t 2 2 Здесь первый ряд в правой части сходится и оценивается величиной C1f11W θ в силу (15.3) и леммы 15.3. Продолжим оценку второго ряда. Перепишем его в виде π π π π ,(k2 + 1)θ r r σl (t)σl r (s) r f (x)e-iλkx dx f (y)eiλky dy dsdt � k 0 0 1,k 1,k 1 1 t s π π � C2 ,(k2 + 1)θr r ( p (s) + p (s) )( p (t) + p (t) ) (15.4) | 2 k 0 0 π | | 3 π | | 2 | | 3 | × r r × f1(x)e-iλkx dx t s f1(y)eiλky dy dsdt. Пользуясь теоремой Леви, переставим суммирование и интегрирование по переменным s и t. Обозначим через χt индикатор отрезка [t, π] и оценим внутреннюю сумму. π π ,(k2 + 1)θ r r f (x)χ (x)e-iλkx dx f (y)χ (y)eiλky dy � 1 t 1 s k 0 0 ⎛ π 2 π 1 2⎞ 2 , r r � ⎝,(k2 + 1)θ f1(x)χt(x)e-iλkxdx · (k2 + 1)θ ⎠ f1(y)χs(y)eiλky dy . k 0 k 0 В силу леммы 15.3 первый множитель здесь не превосходит C1f1χt1W θ , а второй C1f1χs1W θ . 2 2 2 Оператор умножения на характеристическую функцию ограничен в пространстве W θ [0, π] при 1W2 любом θ ∈ [0, 1/2), причем его норма не превосходит единицы (п. 2 теоремы 17.XVI). Таким образом, получаем единую оценку величиной C1f1 2 θ . Итак, сумма (15.4) не превосходит ⎛ π ⎞2 r 1f 1W . 2 C ⎝ |p2(t)| + |p3(t)| dt⎠ 1 2 θ 0 2 Тем самым мы показали, что оператор V, действующий в пространство lθ, ограничен на подпро- странстве ∈ Lin{yn}n Z ⊂ Hθ, θ ∈ [0, 1/2). 492 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Продолжая его на все пространство Hθ (система {yn}n ∈ Z плотна в Hθ в силу утверждения 15.4) и 0 вычисляя композицию V -1V, получим ограниченный в Hθ оператор, переводящий yn 1→ en, n ∈ Z. Для оценки обратного оператора V -1V0 необходимо оценить норму оператора V -1 : lθ θ 2 → H . Он определен на линейном подпространстве финитных последовательностей равенством V -1{fk }k ∈Z = , fkyk. k Далее, для любого функционала (·, g)H , порожденного на пространстве Hθ функцией g ∈ H, имеем |(V -1{fk}, g)H| � ,(k2 + 1)-θ/2ck |(yk , g)| � k ( \1/2 c , 2 k k ( · ,(k2 + 1)-θ |(yk , g)|2 k \1/2 , где 2 ck := |fk |(k2 + 1)θ/2, а , c2 = 1{fk }1 . l k θ 2 k Повторяя оценки, проведенные выше, с заменой θ на -θ, f (x) на g(x), zk (x) на yk (x) и пользуясь леммой 15.4, получим |(V -1{fk }, g)H| � C ( \1/2 c , 2 k 1g1W - θ � C1{fk}1lθ 1g1W -θ . 2 2 2 k Таким образом, V -1 продолжается до ограниченного оператора V -1 : lθ θ 2 → H , что и доказывает эквивалентность системы {yn}n∈Z системе {en}n∈Z. Вспоминая, что система ∈ {π-1/2(n2 + 1)-θ/2en}n Z является ортонормированным базисом в пространстве Hθ, θ ∈ [0, 1/2), выводим базисность Рисса в Hθ системы {(n2 + 1)-θ/2yn}n ∈Z. Случай κ ∈ (1, 2). Пусть теперь P ∈ Lκ [0, π] для некоторого κ ∈ (1, 2). Прежде всего, заметим, что биортогональная к {yn}n∈Z в смысле скалярного произведения (·, ·)H система {zn}n∈Z является системой собственных и присоединенных функций оператора LP ∗,U ∗ . Поскольку краевые условия U ∗ по-прежнему сильно регулярны, то к системе H ∈ {1zn1-1(n2 + 1)-τ/2zn}n Z применимы все приведенные выше рассуждения. Таким образом, эти функции образуют базис Рисса в Hτ , τ ∈ [0, 1/2). Поскольку последовательность {1zn 1H}n∈Z ограничена, то базисом Рисса является и система {(n2 + 1)-τ/2zn}n ∈Z. Тогда базисом Рисса в Hτ является и биортогональная к ней (в смысле скалярного произведения (·, ·)Hτ ) система {wn}n∈Z. Однако, между пространствами (Hτ )∗ ⊃ Hτ и H-τ существует канонический изоморфизм J : (ϕ, Jf ) = (ϕ, f )Hτ , переводящий векторы wn в (n2 + 1)τ/2yn, n ∈ Z. Таким образом, система ∈ {(n2 + 1)τ/2yn}n Z является базисом Рисса в пространстве H-τ , τ ∈ [0, 1/2). Зафиксируем теперь τ ∈ (1/κ - 1/2, 1/2), выберем произвольную точку λ0 ∈/ σ(LP,U ) ∪ σ(L0,U ) СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 493 U и применим к этой системе оператор (LP,U - λ0I)-1, являющийся изоморфизмом H-τ на H1-τ (утверждение 15.2). В результате мы приходим к системе |n|�N {(LP,U - λ0I)-1yn} ∪ {(n2 + 1)τ/2(λn - λ0)-1yn }|n|>N , U которая, таким образом, является базисом Рисса в H1-τ . Обозначим и заметим, что θ = 1 - τ ∈ (1/2, 3/2 - 1/κ) (n2 + 1)τ/2|λn - λ0|-1 ∼ (n2 + 1)-θ/2. Перенормировав векторы системы и переходя к новому линейному базису в подпространстве |n|�N U Lin{yn} , получаем базисность Рисса в пространстве Hθ , θ ∈ (1/2, 3/2 - 1/κ), системы Базисность системы {(n2 + 1)-θ/2yn}n ∈Z. ∈ {(n2 + 1)-1/4yn}n Z U в пространстве H1/2 следует из теоремы 18.VI при интерполяции [H, H ] θ U 1/(2θ) U = H1/2 (число θ здесь берем произвольным из интервала (1/2, 3/2 - 1/κ)). Мы уже говорили о том, что случай потенциала общего вида можно свести к изученному нами виду (3.8). Сформулируем точное утверждение, доказательство которого основано на утвержде- нии 3.3. Утверждение 15.5. Пусть LP,U - регулярный оператор Дирака с потенциалом общего ви- да P ∈ Lκ [0, π], κ ∈ [1, ∞). Определим функцию P� равенствами (3.6). равенствами (3.5), а краевые условия U� yn Если система {� }n∈Z собственных и присоединенных функций оператора L P ,U является U базисом Рисса (базисом Рисса со скобками) в пространстве Hθ для некоторого θ ∈ [0, 3/2 - 1/κ) (при κ ;;: 2 - для произвольного θ ∈ [0, 1]), то тем же свойством обладает система {yn}n∈Z оператора LP,U . yn Далее, пусть система {� }n∈Z образует базис Шаудера (базис Шаудера со скобками) в μ, U пространстве Lμ[0, π], μ ∈ (1, ∞), W 1 μ, q, U [0, π], μ ∈ (1, κ] или Bθ [0, π], где либо либо q ∈ (1, ∞), μ ∈ (1, κ], а θ ∈ (0, 1), q ∈ (1, ∞), μ ∈ (κ, ∞), а θ ∈ (0, 1 - 1/κ + 1/μ]. Тогда тем же свойством обладает и система {yn}n∈Z. κ Доказательство. Пусть W - оператор умножения на матрицу W (x) ∈ W 1[0, π], определенный в (3.7). Легко видеть, что этот оператор ограничен в любом пространстве Lμ[0, π], μ ∈ (1, ∞), и W 1 μ [0, π] при μ ∈ (1, κ]. Поскольку W -1 = e-iϕ(x) 0 0 e-iψ(x) , то W ограниченно обратим в каждом из перечисленных пространств. В силу п. 3 теоремы 17.XVI оператор W ограничен и ограниченно обратим и в каждом про- странстве B1+1/μ-1/κ μ, q [0, π], μ ∈ (κ, ∞), q ∈ (1, ∞). Ограничим этот оператор на подпространство B1+1/μ-1/κ [0, π] = {f ∈ B1+1/μ-1/κ [0, π]|U� (f ) = 0} μ, q, U μ, q 494 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ (см. теорему 17.XVII). Поскольку W (0) = I, а W (π) = κI, то функция W f удовлетворяет условиям U (W f ) = 0, т. е. W действует ограниченно из B1+1/μ-1/κ [0, π] в B1+1/μ-1/κ [0, π]. μ, q, U μ, q, U Аналогично проверяем, что W -1 действует из B1+1/μ-1/κ [0, π] в B1+1/μ-1/κ [0, π]. μ, q, U В случае пространств Соболева точно так же проверяем, что μ, q, U W : W 1 μ, U μ, U [0, π] → W 1 μ, U [0, π], а W -1 : W 1 → [0, π] W 1 μ, U [0, π]. yn Легко видеть, что функции � = W yn образуют систему собственных и присоединенных функций оператора LP ,U . Остается провести интерполяцию (см. пп. 2 и 3) теоремы 17.XVIII) (Lμ[0, π], B1+1/μ-1/κ μ, q, U θ = B [0, π]) 1+1/μ-1/κ ,q θ μ, q, U [0, π], μ ∈ (κ, ∞), θ ∈ (0, 1+ 1/μ - 1/κ), μ, U (Lμ[0, π],W 1 μ, q, U [0, π])θ,q = Bθ [0, π], μ ∈ (1, κ], θ ∈ (0, 1), и воспользоваться теоремой 18.IV. U Теперь мы готовы перенести результат о базисности в пространствах Hθ на случай слабо регу- лярного оператора Дирака. Теорема 15.5. Пусть оператор LP,U с потенциалом P ∈ Lκ [0, π], κ ∈ [1, 2), слабо регулярен. Тогда для любого θ ∈ [0, 3/2 - 1/κ) система подпространств {Hn}n∈Z, где Hn = Lin{y2n, y2n+1}, U является базисом Рисса в Hθ . Доказательство. Случай θ = 0 уже разобран в теореме 12.3. В силу утверждения 15.5 достаточно провести доказательство для случая внедиагонального по- тенциала P. Применим теорему 18.III. Из теоремы 12.3 следует, что замыкание в Lκ [0, π] линейной оболочки системы {H0, Hn}|n|;;:N0 совпадает со всем пространством Lκ [0, π]. Учитывая утверждение 15.1, выводим полноту этой κ,U системы подпространств в W 1 [0, π]. κ,U Теперь из плотности вложения W 1 U [0, π] ⊂ Hθ следует, что замыкание линейной оболочки U нашей системы по норме 1 · 1Hθ совпадает со всем пространством Hθ , так что остается дока- зать выполнение свойства (18.1). Дальнейшее доказательство дословно повторяет доказательство теоремы 12.3 (с заменой, естественно, 1· 1H на 1· 1Hθ ), и мы его здесь опускаем. Отметим лишь, что к утверждениюлеммы 12.4 надо добавить тот факт, что система нормирован- U ных собственных функций оператора A образует базис Рисса в Hθ при всех θ ∈ [0, 3/2 - 1/κ). Подведем итоги этого раздела. Теорема 15.6. Пусть оператор LP,U , заданный (3.1) и (3.4), с потенциалом P ∈ Lκ[0, π], κ ∈ [1, 2), сильно регулярен. Тогда для любого θ ∈ [0, 3/2 - 1/κ) система ∈ {(n2 + 1)-θ/2yn}n Z U является базисом Рисса в пространстве Hθ . U При κ ;;: 2 имеет место базисность Рисса в Hθ для любого θ ∈ [0, 1]. В случае слабой регу- U лярности оператора базисом Рисса в соответствующем пространстве Hθ является система двумерных подпространств Hn = Lin{y2n, y2n+1}. Теорема 15.7. Пусть оператор LP,U с потенциалом P ∈ Lκ [0, π], κ ∈ (1, ∞), сильно регу- лярен. Тогда система {yn}n∈Z образует базис Шаудера в пространствах Lμ[0, π] при любом μ,U μ ∈ (1, ∞), в пространствах W 1 μ, q, U [0, π] при любом μ ∈ (1, κ] и в пространствах Bθ [0, π], где либо μ ∈ (1, κ], q ∈ (1, ∞), θ ∈ (0, 1), СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 495 либо либо μ ∈ (κ, ∞), q ∈ (1, ∞), θ ∈ (0, 1+ 1/μ - 1/κ), 1 1 μ ∈ (κ, ∞), q = μ, θ = 1 + μ - κ . Если оператор LP,U слабо регулярен, то система {Hn}n∈Z образует в соответствующем пространстве базис Шаудера из двумерных подпространств. Доказательство. Теорема 15.6 получается объединением теорем 15.3, 15.4 и 15.5. Теорема 15.7 есть объединение теорем 15.1, 15.2 и утверждения 15.5. Замечание 15.1. Мы сознательно не рассматриваем в теореме 15.7 случаи μ = 1, μ = ∞ и q = ∞, поскольку в соответствующих пространствах система {yn}n∈Z заведомо не образует базиса. В случае бесконечных индексов это следует из несепарабельности соответствующего простран- ства, а при μ = 1 - из теоремы 14.1 и хорошо известного факта о том, что тригонометрическая система не является базисом в пространстве L1[0, π] (см., например, [141, гл. 4, § 1]). В случае κ = 1, μ ∈ [1, ∞), μ ⊕= 2, вопрос о базисности системы {yn}n∈Z пока остается открытым. Если q = 1, а индексы θ и μ удовлетворяют ограничениям из условия теоремы 15.7, а также в случае θ = 1 + 1 - 1 , μ > κ, q ∈ [1, ∞) утверждения теоремы сохраняются. Эти случаи мы μ κ исключаем из соображений компактности доказательств. 3 1 θ θ При κ ∈ (1, 2), μ = q = 2, θ = 2 - κ (в этом случае Bμ, q, U [0, π] = HU ) из теоремы 15.7 следует базисность Шаудера системы {yn}n∈Z. ПРИЛОЖЕНИЕ А Вначале напомним некоторые обозначения и определения из теории интерполяции банаховых пространств. Определение 16.1. Два комплексных банаховых пространства X0 и X1 образуют комплексную банахову пару {X0, X1}, если оба эти пространства линейно и непрерывно вложены в некоторое линейное комплексное хаусдорфово топологическое пространство X, т. е. X0 ⊂ X и X1 ⊂ X. Про пространства, образующие банахову пару, часто говорят, что они совместимы. Для крат- кости далее обозначаем нормы в этих пространствах 1 · 10 и 1· 11 соответственно. Определение 16.2. Пространство X∩ = X0 ∩ X1, снабженное нормой 1x1∩ := J (1, x), J (t, x) := max{1x10, t1x11}, x ∈ X∩, называется пересечением пространств X0 и X1. При этом нелинейный однородный функционал J (t, x) называется J-функционалом. Пространство X+ = X0 + X1 = {x ∈ X : x = x0 + x1, x0 ∈ X0, x1 ∈ X1}, снабженное нормой 1x1+ := K(1, x), K(t, x) := inf{1x010 + t1x111 : x = x0 + x1, x0 ∈ X0, x1 ∈ X1}, называется суммой пространств X0 и X1. При этом нелинейный однородный функционал K(t, x) называется K-функционалом. Легко проверить (см., например, [4]), что пространства X∩ и X+ банаховы. Без потери общности далее будем считать, что X = X+. Определение 16.3. Банахова пара {X0, X1} называется регулярной, если X1 ⊂ X0 (X1 непре- рывно вложено в X0), т. е. существует константа c > 0 такая, что 1x01 � c1x11 ∀x ∈ X1. 496 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Опишем вещественный метод интерполяции. Этот метод соединяет в себе несколько раз- личных подходов (K-метод, J -метод, L-метод, метод средних, метод следов, см., например, [79]), которые ведут к одному и тому же результату. А именно, интерполяционные пространства, построенные различными методами, совпадают (при этом различные методы определяют в этом пространстве различные, но эквивалентные нормы). Мы дадим определение, основываясь на K-методе. Определение 16.4. Зафиксируем числа p ∈ [1, ∞) и θ ∈ (0, 1) и определим пространство Xθ,p := (X0, X1)θ,p следующим образом: ⎧ ⎛ ∞ ⎨⎪ r ⎞1/p ⎫ dt ⎪⎬ Xθ,p := При p = ∞ положим x ∈ X+ : 1x1θ,p = ⎝ ⎩⎪ 0 ( ⎠ (t-θ K(t, x))p t θ < ∞ . ⎭⎪ Xθ,∞ := x ∈ X+ : 1x1θ,∞ = sup 0<t<∞ t- K(t, x) < ∞ . Теперь обратимся к комплексному методу интерполяции. Обозначим через S вертикальную полосу в комплексной плоскости S = {z ∈ C : 0 < Re z < 1}, S = {z ∈ C : 0 � Re z � 1}. Для любой банаховой пары {X0,X1} введем комплексное векторное пространство H(X0, X1), со- ставленное из отображений f : S → X+ со следующими свойствами: (H0) f : S → X+ непрерывно и ограничено; (H1) f : S → X+ аналитично; (H2) для любого t ∈ R выполнено f (it) ∈ X0, f (1 + it) ∈ X1, причем отображения t 1→ f (it) и t 1→ f (1 + it) непрерывны и ограничены. Снабдим пространство H(X0, X1) нормой 1f 1H := max  sup 1f (it)10, sup 1f (1 + it)11. t∈R t∈R Определение 16.5. Зафиксируем число θ ∈ (0, 1). Интерполяционным пространством, по- строенным с помощью комплексного метода интерполяции, называют пространство Xθ := [X0, X1]θ = {x ∈ X+ : ∃f ∈ H(X0, X1), f (θ) = x}. Это пространство снабжается нормой 1x1θ := inf{1f 1H : f ∈ H, f (θ) = x}. Результат комплексной интерполяции Xθ в общем случае отличен от вещественной интерполя- ции Xθ,p. Отметим, однако следующий факт. Теорема 16.I (см., например, [79]). Если пространства X0 и X1 гильбертовы, то при любом θ ∈ (0, 1) пространства Xθ и Xθ,2 совпадают и также являются гильбертовыми. Хорошо известно, что интерполяционные пространства Xθ,p и Xθ обладают интерполяционным свойством. Теорема 16.II (см., например, [79]). Пусть {X0, X1} и {Y0, Y1} - две произвольные банаховы пары. Пусть T : X+ → Y+ - ограниченный линейный оператор, причем 1Tx1Y0 � M01x1X0 ∀x ∈ X0 и 1Tx1Y1 � M11x1X1 ∀x ∈ X1. Тогда, во-первых, для любых θ ∈ (0, 1) и p ∈ [1, ∞] оператор T является ограниченным линей- ным оператором Во-вторых, T : Xθ,p → Yθ,p и T : Xθ → Yθ. 1-θ θ 1-θ θ 1Tx1Yθ � M0 M1 1x1Xθ , 1Tx1Yθ,p � M0 M1 1x1Xθ,p . СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 497 Пространства X и Y называют интерполяционными относительно пар {X0, X1} и {Y0, Y1}, если выполнено первое свойство из заключения предыдущей теоремы. При добавлении второго свойства говорят о точных интерполяционных пространствах типа θ. Любой метод интерполяции, обладающий первым свойством, называют интерполяционным функтором. При добавлении второго свойства говорят о точном интерполяционном функто- ре типа θ. Таким образом, интерполяционное свойство можно сформулировать коротко: и вещественный, и комплексный метод интерполяции являются точными интерполяционными функторами на категории банаховых пространств. Промежуточное положение занимают равномерные интерполяционные пространства. Интер- поляционное пространство X, построенное по паре банаховых пространств {X0, X1}, называется равномерным интерполяционным пространством, если для любого оператора T, ограниченного и в X0, и в X1, выполнено: T ограничен в X и 1T 1X � C max{1T 1X0 , 1T 1X1 }. Приведем теперь несколько важных свойств из общей теории интерполяции. Теорема 16.III (о ретракции, см. [79, теорема 1.2.4]). Пусть {X0, X1}, {Y0, Y1} - две произ- вольные банаховы пары, а F - произвольный интерполяционный функтор. Обозначим F ({X0, X1}) = X, F ({Y0, Y1}) = Y. Пусть оператор S ограниченно действует из X+ в Y+, из X0 в Y0 и из X1 в Y1. Пусть S : Xj → Yj, j = 0, 1, является коретракцией, т. е. обладает ограниченным левым обратным оператором R : Yj → Xj, j = 0, 1. Тогда оператор S осуществляет изоморфизм пространства X на подпространство SR(Y ) в Y. Теорема 16.IV (о двойственности, см. [4, следствие 4.5.2]). Пусть {X0, X1} - банахова пара, причем хотя бы одно из пространств Xj, j = 0, 1, рефлексивно, а пространство X∩ плотно и в X0, и в X1. Тогда ([X0, X1]θ )∗ = [X∗,X∗]θ 0 1 (символом ∗ обозначен переход к сопряженному пространству). Теорема 16.V. Для любой банаховой пары {X0, X1} выполнены свойства: 1) [X0, X1]θ = [X1, X0]1-θ ; 2) если X1 ⊂ X0, то [X0, X1]θ ⊂ [X0, X1]τ при θ > τ ; 3) [X0, X0]θ = X0; 4) если X1 ⊂ X, то и [X0, X1]θ ⊂ [X0,X]θ для любого θ ∈ (0, 1) (имеется в виду, что пространства {X0,X} также образуют банахову пару, а оба вложения непрерывны). ПРИЛОЖЕНИЕ B Мы регулярно используем классические пространства измеримых функций Lp(R) := ⎧ ⎛ ⎨⎪ r f измерима и 1f 1Lp (R) := ⎝ ⎩⎪ R p |f (x)| ⎞1/p dx⎠ ⎫ ⎬⎪ < ∞ , p ∈ [1, ∞). ⎭⎪ Часто в качестве f фигурирует вектор-функция f (x) = (f1(x),... , fn(x)). Тогда мы подразумеваем fj ∈ Lp(R) для всех 1 � j � n, причем ⎛ n ⎞1/p p p 1f 1Lp := ⎝, 1f 1L ⎠ . j=1 498 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ j, k=1 Иногда нам придется иметь дело с матрицами T(x) = (tjk(x))n . В этом случае запись T ∈ Lp(R) означает, что tj, k ∈ Lp(R) для всех 1 � j, k � n, причем 1 n ⎛ n ⎞ p , , r 1T(x)1Lp = ⎝ p |tjk(x)| dx⎠ . При p = ∞ j=1 k=1 R L∞(R) = {f измерима и 1f 1L∞(R) := sup |f (x)| < ∞}. x∈R Для случая вектор-функций f (x) и матриц-функций T(x) считаем 1f 1L∞ = max 1fj 1L∞ , 1T1L∞ = max 1tjk 1L∞ . 1�j�n 1�j, k�n Подпространство непрерывных функций в L∞(R) обозначаем C(R). Для пространств Lp[0, π] меняем в определениях R на [0, π]. Для пространств Lp(μ), где dμ - некоторая u-аддитивная мера в C с носителем supp μ, меняем в определении все интегралы на Г supp μ dμ. В частности, отдельно рассмотрим случай dμ(λ) = w(λ) dλ, supp μ = R, w(λ) - вес, интегриру- емая неотрицательная функция. Получаем весовые пространства Lp(w), 1 < p < ∞, снабженные нормой ⎛ ⎞1/p r p Если p = ∞, то 1f 1Lp(w) = ⎝ R |f (λ)| w(λ) dλ⎠ . Выбирая 1f 1L∞(w) = sup |f (λ)|w(λ). R w(λ) = (1 + |λ|)pθ, 1 < p < ∞, и w(λ) = (1 + |λ|)θ при p = ∞, p введем весовые пространства Lθ (R), 1 � p < ∞, θ ∈ R, снабженные нормой ⎛ r p pθ ⎞1/p При p = ∞, естественно, p 1f 1Lθ = ⎝ R |f (λ)| (1 + |λ|) dλ⎠ . ∞ 1f 1Lθ = sup |f (λ)|(1 + |λ|)θ. R Рассмотрим также случай дискретных мер μ. Пусть μ сосредоточена на некоторой последова- тельности точек, т. е. μ = ), wjδ(z -zj ). Тогда интеграл в определении пространств Lp(μ) меняется на сумму. Такие пространства мы будем записывать в координатном виде, положив xj := f (zj ), ⎧ ⎛ ⎨⎪ , ⎞1/p ⎫ ⎬ ⎪ p lp(w) := x = (xj ) : 1x1lp (w) = ⎝ ⎩⎪ j ( wj |xj | ⎠ < ∞ , 1 < p < ∞, ⎭⎪  l∞(w) := x = (xj ) : 1x1l∞(w) = sup wj |xj | < ∞ . j Мы намеренно не указываем здесь множество суммирования для индекса j, поскольку нам потре- буется и случай j ∈ N, и случай j ∈ Z. В частности, при wj = (1 + |j|)pθ, 1 < p < ∞, θ ∈ R, p получаем весовое пространство lθ. В случае j ∈ N, θ ;;: 0 удобно изменить вес на wj = jpθ (это меняет норму на эквивалентную). Все введенные выше пространства укладываются в следующее общее определение. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 499 Определение 17.1. Пусть (X, u, dμ) - измеримое пространство, а ω(x) - интегрируемая неотри- цательная функция на нем. Положим Lp(ω), 1 � p < ∞, - пространство измеримых функций f, интегрируемых в степени p на X с весом ω(x), ⎛ ⎞1/p r p 1f 1Lp(ω) = ⎝ X |f (x)| ω(x) dμ⎠ . При p = ∞ положим L∞(ω) - пространство измеримых ограниченных с весом ω(x) функций на X с нормой 1f 1L∞(ω) = sup |f (x)|ω(x). x∈X Прежде всего, сформулируем теоремы об интерполяции введенных пространств. Теорема 17.I (см. [4, теорема 5.5.3 и следствие 5.5.4]). Пусть 1 � p1, p2 < ∞. Тогда [Lp1 (ω1), Lp2 (ω2)]θ = Lp(ω), 0 < θ < 1, где 1 = 1 - θ p p1 θ + , ω(x) = ω1(x)p(1-θ)/p1 ω2(x)pθ/p2 . p2 Пусть 1 � q1, q2 < ∞, и линейный оператор ω1) ограничен с нормой M1, а T : Lp1 (ω1) → Lq1 (� � T : Lp2 (ω2) → Lq2 (ω2) ограничен с нормой M2. Тогда ограничен оператор � T : Lp(ω) → Lq(ω), где 1 1 - θ θ ω(x) = ω (x)q(1-θ)/q1 ω (x)qθ/q2 , = q q1 2 + q , � �1 �2 причем его норма не превосходит M 1-θ Mθ. 1 2 В этой теореме индексы p1 и p2 могут совпадать, но могут и различаться. Для p1 = p2 сформу- лируем теорему Стейна-Вейса. Теорема 17.II (см. [4, теорема 5.4.1]). Пусть 1 � p � ∞. Тогда [Lp(ω1), Lp(ω2)]θ = Lp(ω), 0 < θ < 1, где ω(x) = ω1(x)1-θω2(x)θ. Пусть 1 � q � ∞ и линейный оператор � T : Lp(ω1) → Lq (ω1) ограничен с нормой M1, а ограничен с нормой M2. Тогда � T : Lp(ω2) → Lq (ω2) 1-θ θ ω), где �(x) = � (x) � (x) , T : Lp(ω) → Lq (� причем его норма не превосходит M 1-θ Mθ. ω ω1 ω2 1 2 Теорема 17.III. При любых 0 < s1 < 1/2, s1 < s2 < 1 [Ls1 (R), Ls2 (R)]θ = Ls (R), θ ∈ (0, 1), s = (1 - θ)s1 + θs2, p = 2 . (17.1) 2 ∞ p! 1+ θ 500 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Доказательство. Мы не можем применить ни одну из предыдущих теорем теорему напрямую. Недостающее звено доказательства - теорема двойственности для комплексного метода интерпо- ляции (см. 16.IV). Мы положим X0 = L2((1 + |x|)-2s1 ; R), X1 = L1((1 + |x|)-s2 ; R), где 0 < s1 < 1/2, s1 < s2 < 1. Легко видеть, что X∗ = Ls1 (R), X∗ = Ls2 (R) (относительно стандартного действия Г fg). 0 2 1 ∞ R Ясно также, что X0 рефлексивно, а X0 ∩ X1 плотно в каждом пространстве, поскольку включает пространство Шварца. Далее, [X0, X1]θ = [L2(ω1), L1(ω2)]θ = L2/(1+θ)(ω), 2(1-θ) 2θ Легко видеть, что ω(x) = (1 + |x|)-s1 1+θ -s2 1+θ = (1 + |x|)-ps. ! ([X0, X1]θ )∗ = Lp(ω) = Lp! (ω-p /p) = Ls (R), s = (1 - θ)s1 + θs2, где p = 2/(1 + θ), pl = 2/(1 - θ). Таким образом, 2/(1-θ) [Ls1 (R), Ls2 (R)]θ = [X∗,X∗]θ = ([X0, X1]θ )∗ = Ls (R). 2 ∞ 0 1 p! Докажем теперь необходимое нам простое утверждение. Утверждение 17.1. Пусть линейный оператор T ограниченно действует из пространства (Lα[0, π])2 в пространство (Lβ [0, π])2 для любых индексов α � β, α ∈ [1, ∞), β ∈ (1, ∞]. Пусть T ∗ - эрмитов сопряженный оператор к оператору T, действующему в пространстве (L2[0, π])2. Тогда T ∗ продолжается до ограниченного оператора, действующего из простран- ства (Lγ [0, π])2 в пространство (Lδ [0, π])2 для любых индексов γ � δ, γ ∈ [1, ∞), δ ∈ (1, ∞], причем 1 1 1 1 1T ∗1γ→δ = 1T 1δ! →γ! , где + γ γl = + δ δl = 1. 2 2 Доказательство. Пусть f ∈ (Lmax{2,γ}[0, π]) , а g ∈ (Lmax{2,δ!}[0, π]) . Тогда модуль билинейной формы (T ∗f , g) допускает оценку |(T ∗f , g)| = |(f ,T g)| � 1T 1L! ! 1f 1 1g1 ! . (17.2) δ →Lγ Lγ Lδ Это означает, что вектор T ∗f порождает непрерывный по норме 1 · 1δ! функционал, определенный либо на всем (Lδ! [0, π])2 (при δl ;;: 2), либо на всюду плотном в (Lδ! [0, π])2 подпространстве. В последнем случае продолжим этот функционал по непрерывности на все (Lδ! [0, π])2 . Поскольку δl < ∞, то, в силу теорему Рисса об общем виде линейного функционала на (Lδ! [0, π])2, имеем T ∗f ∈ (Lδ [0, π])2. Далее, из (17.2) следует оценка 1T ∗f 1Lδ � 1T 1L! ! 1f 1 , δ →Lγ Lγ δ →L т. е. 1T ∗1Lγ →Lδ � 1T 1L! !γ . Применяя эту оценку второй раз, с учетом γ < ∞, имеем δ →L 1T ∗∗1L! !γ � 1T ∗1Lγ →Lδ . Сформулируем классический результат о преобразовании Фурье функций f ∈ Lp(R), но вначале напомним определение пространств Харди. Определение 17.2. Пространство Харди Hp(C+), p ∈ [1, ∞), состоит из аналитических в от- крытой верхней полуплоскости функций F (λ) с конечной нормой ⎛r 1F (λ)1Hp = sup ⎝ τ>0 p |F (u + iτ )| ⎞ du⎠ 1/p . R СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 501 Пространством Харди H∞(C+) в верхней полуплоскости C+ = {z : Im z > 0} называется про- странство голоморфных и ограниченных в C+ функций с нормой 1f 1∞ = sup |f (z)|. z∈C+ Пространством Харди Hp в полосе Πα = {z : | Im z| < α} называется банахово пространство голоморфных в Πα функций с конечной нормой ⎛ r∞ 1f 1Hp = sup ⎝ |y|<α p |f (x + iy)| ⎞ dx⎠ 1/p , 1 < p < ∞. -∞ Теорема 17.IV (Пэли-Винер, Хаусдорф-Юнг). Одностороннее преобразование Фурье r∞ fˆ(λ) = 0 eiλtf (t) dt любой функции f ∈ Lp(R), p ∈ [1, 2], есть функция пространства Харди Hp! (C+) с сопряженным p индексом pl = Кроме того, p - 1 . При этом 1f ˆ 1Hp ! (C+) � C1f 1Lp(R+ ), C = C(p). 1f ˆ 1Lp! (R) � C1f 1Lp(R+) , C = C(p). Обобщением последнего результата является следующая чрезвычайно тонкая теорема, которую мы неоднократно используем в наших доказательства. Теорема 17.V (см. [125, теорема 11.2.1]). Нелинейный оператор Карлесона N r C(f ) := sup f (ξ)e2πixξ dξ , (17.3) ˆ N>0 -N где fˆ- классическое преобразование Фурье функции f, ограниченно действует в Lp(R) для любого p ∈ (1, ∞). Более того, оператор Карлесона ограниченно действует в пространстве Lr (w) для любого r ∈ (1, ∞), если вес w принадлежит классу Макенхаупта Ar, а именно, r-1 ⎛ b ⎞ ⎛ b r 1 r 1 ⎞ -1/(r-1) sup -∞<a<b<∞ ⎝ b - a a w(x) dx⎠ ⎝ b - a a w(x) dx⎠ < ∞. Еще один красивый и важный результат из теории пространств Харди, который нам потребуется, связан с карлесоновыми мерами. Определение 17.3. Положительная мера μ с носителем в полуплоскости G+,r := {λ : Im λ > r}, r ∈ R, называется мерой Карлесона, если величина конечна. γ := sup x∈R, y>0 μ(Qx,y )y-1, Qx,y = {z : Re z ∈ (x, x + y), Im z ∈ (r, r + y)}, (17.4) Мерой Карлесона в полосе Πα называется любая мера μ, для которой конечна величина γμ := sup μ(Qu), u∈R где Qu - квадрат с вершинами u ± α ± iα. Отметим важный для нас частный случай меры Карлесона. Назовем последовательность λn, n ∈ N, точек полосы α1 < Im λ < α2 для некоторых α1 и α2, 0 < α1 < α2, несгущающейся, если найдется число β > 0 такое, что в любом прямоугольнике Re λ ∈ [x, x + 1], Im λ ∈ [α1, α2] заключено не более β элементов последовательности. 502 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Утверждение 17.2. Любая несгущающаяся последовательность {λn} полосы {λ : 0 < α1 < Im λ < α2} индуцирует меру Карлесона μ = ), δ(λ - λn) в верхней полуплоскости. n Теорема 17.VI (Л. Карлесон, см., например, [17, теорема I.5.6, теорема II.3.9]). Пусть u - ме- ра Карлесона в верхней полуплоскости. Тогда ∀f ∈ Hs(C+) : для любого s ∈ [1, ∞). r s |f | 1H dμ � C1f s s , где C = C(γ). (17.5) Для любой функции f ∈ Hp(Πα) и любой меры Карлесона μ в полосе Πα выполнено f ∈ Lp(dμ) и 1f 1Lp(dμ) � C1f 1Hp с константой C, зависящей только от α и γ. μ Перейдем к шкалам пространств Соболева и Бесова. Через W 1[0, π], μ ∈ [1, ∞), мы обозначаем классическое пространство Соболева на отрезке [0, π], составленное из функций f (x), для которых f l ∈ Lμ[0, π], и наделенное нормой 1f 1W 1 = π Г |f (x)| + |f (x)| 1/μ dx . Положим также W˚ 1 μ l μ μ 0 1 2 [0, π] = {y ∈ W2 [0, π] : y(0) = y(π) = 0}. Определение 17.4. Пусть U - линейная форма на пространстве вектор-функций y(x) вида U (y) = uj1y1(0) + uj2y2(0) + uj3y1(π)+ uj4y2(π) Положим W 1 1 μ,U [0, π] := {y ∈ Wμ [0, π]| U (y) = 0}, μ ∈ [1, ∞). В случае когда f ∈ Lμ[0, π], g ∈ Lμ! [0, π], 1/μ + 1/μl = 1, обозначим π r (f , g) := 0 f1(x)g1(x)+ f2(x)g2(x) dx. Нам также потребуется работать в пространствах с отрицательным индексом гладкости. Мы определим пространство W -1[0, π], μ ∈ (1, ∞), как дуальное пространство к W 1 [0, π] относительно μ μ! действия (·, ·). Определим также пространство W -1 [0, π] как дуальное пространство к W 1 [0, π]. Непосред- μ,U μ! ,U μ,U ственно из определения видно, что W -1 [0, π] является подпространством коразмерности 2 в про- μ странстве W -1[0, π]. При этом его дополняющее подпространство порождается функционалами uj1y1(0) + uj2y2(0) + uj3y1(π)+ uj4y2(π), j = 1, 2. Дадим определение пространств Бесова. Заметим (см. [4, гл. 6], [79, гл. 2, 4] или [100, § 5.4]), что эти пространства могут быть определены множеством различных эквивалентных способов. Мы начнем с «внутреннего» описания. f ∈ B Определение 17.5. θ 1,∞ (R), если θ где 1 1B f θ 1,∞ := 1f 1L1 + sup y- ω1(f ; y) < ∞, y∈R r ω1(f ; y) := sup z∈[0,y] R |f (x + z) - f (x)| dx p,q - интегральный модуль непрерывности функции f. Пространство Bθ (R) состоит из Lp-функций с конечной нормой ⎛ 1 ⎞1/q r ( θ \q dy 1 1B f θ p,q := 1f 1Lp + ⎝ 0 y- ωp(f ; y) y ⎠ < ∞, СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 503 где ⎛ r ωp(f ; y) := sup ⎝ z∈[0,y] R p |f (x + z) - f (x)| ⎞1/p dx⎠ - интегральный модуль непрерывности функции f ∈ Lp(R). Здесь θ ∈ (0, 1), p ∈ (1, ∞), q ∈ [1, ∞). При q = ∞ 1 1B f θ p,∞ p := 1f 1L + sup y-θωp(f ; y) < ∞. y∈R 1, Отметим, что пространства Bθ ∞ 1,∞,0 (R) несепарабельны. Обозначим через Bθ (R) подпростран- 1, ство в Bθ ∞ (R), полученное замыканием линеала абсолютно непрерывных функций по норме 1, 1 · 1Bθ . ∞ Меняя разность первого порядка в определении модуля непрерывности на вторую, третью и т. д., можно определить пространства Бесова с индексом θ > 1, но нам эта шкала пространств не понадобится. Не понадобятся нам и пространства Бесова с индексом p = ∞. Приведем важный результат об интерполяции. Теорема 17.VII (см. [100, следствие 4.13]). При интерполяции вещественным методом име- ем Bθ 1 p, q (R) = (Lp(R), Wp (R))θ,q при всех p ∈ [1, ∞), q ∈ [1, ∞], θ ∈ (0, 1). p,q Мы определили пространства Бесова Bθ (R). Рассмотрим теперь случай конечного отрезка. p,q Определение 17.6. Функция f ∈ Bθ p,q [0, π], если найдется такая функция g ∈ Bθ (R), что f (x) = g(x)|x∈[0,π]. При этом 1f 1Bθ := inf{1g1 θ : f (x) = g(x)| }. (17.6) p,q [0,π] Bp,q (R) x∈[0,π] Теорема 17.VIII (см. [79, п. 2.8.7]). Оператор умножения на характеристическую функцию p,q отрезка T : f → χ[a,b]f ограничен в пространстве Bθ (R), если θ ∈ (0, 1/p). p,q Таким образом, пространства Бесова Bθ [0, π] при θ ∈ (0, 1/p) допускают эквивалентное описа- ние. p,q Теорема 17.IX. Пусть θ ∈ (0, 1/p). Пространство Bθ [0, π] состоит из Lp-функций с конеч- ной нормой ⎛ π ⎞1/q r ( \q dy где p,q [0,π] 1f 1Bθ := 1f 1Lp[0,π] + ⎝ 0 y-θωp(f ; y) y ⎠ < ∞, (17.7) ⎛ π ⎞1/p r ωp(f ; y) := sup ⎝ z∈[0,y] 0 p |f (x + z) - f (x)| dx⎠ - интегральный модуль непрерывности функции f ∈ Lp[0, π] (мы продолжаем ее за пределы отрезка [0, π] нулем). При q = ∞ 1 1B f θ p,∞ p := 1f 1L + sup y-θωp(f ; y) < ∞. y∈R При этом введенные здесь нормы 1 · 1θ,p,q эквивалентны стандартной норме пространства Bθ p,q [0, π] из определения 17.6. p,q Доказательство. Будем обозначать 1 · 1θ,p,q норму (17.7), а через 1 · 1Bθ норму (17.6). Через T обозначаем оператор умножения на характеристическую функция отрезка [0, π]. Пусть f ∈ B θ p,q p,q [0, π] в смысле определения 17.6. Тогда найдется функция g ∈ Bθ (R) такая, что g(x) = f (x) на [0, π]. Поскольку p,q 1f 1θ,p,q = 1Tg1Bθ p,q � C1g1Bθ < ∞, 504 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ p,q то f ∈ Bθ [0, π] в смысле определения из формулировки теоремы. Обратно, если норма 1f 1θ,p,q конечна, то функция f�, равная f (x) на [0, π] и тождественно p,q равная нулю вне [0, π], попадает в Bθ . Очевидно, что ее ограничение на [0, π] совпадает с f, так 1 1B что f θ p,q p,q � 1f 1θ,p,q. Мы доказали первое утверждение теоремы и подчинение 1· 1Bθ � 1· 1θ,p,q. Обратная оценка следует из теоремы Банаха об обратном операторе. p,q Для нас важно то, что шкала пространств Bθ [0, π] также замкнута относительно вещественной интерполяции. Теорема 17.X (см. [79, п. 2.10.1]). При интерполяции вещественным методом имеем Bθ 1 p, q [0, π] = (Lp[0, π], Wp [0, π])θ,q при всех p ∈ [1, ∞), q ∈ [1, ∞], θ ∈ (0, 1). В гильбертовом случае, когда μ = 2, обозначим Bθ через W θ, а W θ [0, π])2 через Hθ, θ ∈ [0, 1]. 2, 2 2 2 Поскольку при интерполяции гильбертовых пространств вещественный (·, ·)θ,2 и комплексный [·, ·]θ методы совпадают, то Hθ = [H, H1]θ. Определение 17.7. Положим B-θ = (Lμ,W -1)θ,q, μ, q ∈ (1, ∞), θ ∈ (0, 1). Обозначим Bθ θ θ 2 μ, q μ θ 2, 2 через W2 , а (W2 [0, π]) через H , θ ∈ [-1, 0). Данное определение относится и к пространствам на R, и к пространствам на [0, π]. Обращаем μ, q внимание на то, что введенная нами шкала пространств Bθ 1 [0, π] совпадает с классическими 1 пространствами Бесова при -1 + μ < θ < 0 и отличается от них при -1 � θ � -1 + μ (см. [79, п. 4.8.2]) в силу граничных эффектов, возникающих в концах отрезка. μ Поскольку Lμ = (Lμ! )l и W -1 1 ( \l W = μ! (сопряженные пространства здесь следует понимать в смысле действия (·, ·)), где 1/μ + 1/μl = 1, то из теоремы двойственности для вещественного метода интерполяции (см. [79, п. 1.11.2]) следует теорема. Теорема 17.XI. И в случае всей оси, и в случае отрезка B-θ ( θ \l , где θ (0, 1), μ, q (1, 1 1 l 1 1 l ), + = + = 1. (17.8) Положим μ, q = Bμ!, q! ∈ ∈ B0 -ε ε ∞ μ μ q q μ, q = (Bμ, q, Bμ, q )1/2,q (здесь число ε из интервала 0 < ε < min(1/μ, 1/μl ) произвольно - то, что определение не зависит от выбора ε, вытекает из следующей теоремы). μ, q Отметим, что пространства B0 не совпадают с пространствами Lμ (за исключением равенства B0 2, 2 = L2), хотя B0 0 μ, μ ⊂ Lμ ⊂ Bμ, 2 при μ ∈ (1, 2] и B0 0 μ, μ ⊃ Lμ ⊃ Bμ, 2 при μ ∈ [2, ∞). Теорема 17.XII (см. [79, п. 4.3.1]). 1 1 - θ θ Пусть 1 < μ, κ < ∞, 0 < s < 1, θ ∈ (0, 1). Определим число p равенством p = μ + κ . Тогда (Bs ,W 1)θ,p = B(1-θ)s+θ μ, μ κ 1 p, p . 2) Пусть 1 < μ < ∞, 1 < q1, q2, q < ∞, -1+ μ < s1, s2 < 1, θ ∈ (0, 1). Тогда (B s1 μ, q1 , B s2 μ, q2 μ, q )θ, q = Bs , где s = (1 - θ)s1 + θs2. 3) Если 1 < μ < ∞, s ∈ (0, 1), 1 < p, q < ∞, а θ ∈ (0, 1), то μ, q (Lμ, Bs μ, p )θ,p = Bθs . СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 505 Теорема 17.XIII (см. [4, теорема 6.4.5]). Пусть s1 ⊕= s2, а p1, p2, q1, q2 ∈ [1, ∞]. Тогда [B s1 p1,q1 (R), B s2 p2 ,q2 p,q (R)]θ = Bs (R), (17.9) где s = (1 - θ)s1 + θs2, 1 = 1 - θ + θ , p p1 p2 1 = 1 - θ + θ . q q1 q2 Теорема 17.XIV. При любых 0 < s1 < 1/2, s1 < s2 < 1 2 [Bs1 [0, π], Bs2 [0, π]]θ = Bs [0, π], θ ∈ (0, 1), s = (1 - θ)s1 + θs2, p = . (17.10) 2,2 1,∞ p,p! 1+ θ 2 Доказательство. Выбирая 0 < s1 < s2 < 1, p1 = q1 = 2, p2 = 1, q2 = ∞, получим p = 2 , 1+ θ q = 1 - θ = pl. Переход к пространствам Бесова на отрезке [0, π] осуществляется стандартным образом с помо- щью теоремы о ретракции (см. 16.III). В нашем случае мы выбираем X0 = Bs1 (R), X1 = Bs2 (R), Y0 = Bs1 [0, π], Y1 = Bs2 [0, π], 2,2 1,∞ 2,2 1,∞ R : f (x) → f (x)χ[0,π](x) - оператор умножения на характеристическую функцию отрезка, S : f (x) → f�(x) - оператор, продолжающий функцию f (x) за пределы отрезка [0, π] тождественным нулем. Поскольку s1 < 1/2, s2 < 1, то оба эти оператора ограничены (из Xj в Yj для оператора S; из Yj в Xj для оператора R, j = 0, 1). В качестве интерполяционного функтора F выберем комплексный метод интерполяции [·, ·]θ, θ ∈ (0, 1). p,p! Согласно (17.9), Y = Bs (R), где s = (1 - θ)s1 + θs2, p = 2 . 1+ θ Остается заметить, что SR(Y ) есть подпространство функций f в Y, равных нулю вне отрезка p,p! [0, π], т. е. может быть отождествлено с Bs [0, π] (условие s ∈ (0, 1/p), как легко проверить, выполнено). Тогда, согласно теореме о ретракции, пространство X = [Bs1 [0, π], Bs2 [0, π]]θ p,p! изоморфно Bs [0, π]. 2,2 1,∞ Теорема 17.XV (см. [79, п. 4.6.1]). При фиксированном μ ∈ (1, ∞) и любых 1 < q1, q2 < ∞ справедливы непрерывные плотные компактные вложения Bs1 s2 1 μ, q1 ⊃ Bμ, q2 ⊃ Wμ, если - 1 < s1 < s2 < 1. Пусть 1 < μ1 < μ2 < ∞. При любом s из интервала (-1, 1) и любом q ∈ (0, ∞) справедливы непрерывные и плотные вложения Bs s μ1 ,q ⊃ Bμ2 ,q. Пусть 1 < q1 < q2 < ∞. Тогда при любом μ ∈ (1, ∞), при любом s ∈ (-1, 1) справедливы непрерывные и плотные вложения Bs s μ,q2 ⊃ Bμ, q1 . 1 1 μ 3) Пусть 1 < μ2 < μ1 < ∞, -1 < s1 < s2 < 1, причем s1 - 1 μ = s2 - 2 > -1, а индексы 1 < q1, q2 < ∞ произвольны. Тогда справедливы непрерывные плотные компактные вложения Bs1 s2 μ1 , q1 ⊃ Bμ2 , q2 . 1 1 Если s ∈ (0, 1), 1 < μ, q < ∞ и s - μ = 1 - ν для некоторого 1 � ν < ∞, то Bs 1 μ, q ⊃ Wν . 506 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ 1 1 Если 1 < μ, q < ∞ и s - μ = - ν для некоторого 1 < ν < ∞, то Bs s μ, q ⊂ Lν при s > 0 и Bμ, q ⊃ Lν при s < 0. μ, q 4) Пусть μ ∈ (1, ∞), q ∈ (1, ∞), а s ∈ (1/μ, 1). Тогда пространство Bs и компактно вложено в пространство C[0, π] непрерывных функций. непрерывно плотно Следующие факты относятся к теории мультипликаторов в пространствах Бесова. Теорема 17.XVI. При s > 1 , где μ ∈ (1, ∞), и q ∈ (1, ∞), пространство Bs является банаховой алгеб- μ μ, q μ рой относительно операции поточечного умножения. Банаховыми алгебрами являются также все пространства W 1 при μ ∈ [1, ∞). 1 1 При -1 + μ < s < μ, где μ ∈ (1, ∞), и q ∈ (1, ∞) оператор умножения на характери- μ, q стическую функцию произвольного отрезка ограничен в пространстве Bs , причем его норма не превосходит единицы. p,r Оператор умножения в пространстве Бесова Bθ 1/p (R) ограничен, если m ∈ Bp,∞ ∩ L∞. κ Пусть функция m(x) принадлежит пространству W 1[0, π], κ ∈ (1, ∞). Тогда оператор умножения Tm : f 1→ mf ограничен в пространстве Лебега Lμ[0, π] для любого μ ∈ [1, ∞], в пространствах Собо- лева W 1 для любого μ ∈ [1, κ] и в пространствах Бесова Bs [0, π], где либо q ∈ (1, ∞), μ ∈ (1, μ μ, q κ], а s ∈ (0, 1), либо q ∈ (1, ∞), μ ∈ (κ, ∞), а s ∈ (0, 1 - 1/κ + 1/μ]. Доказательство. Первые три утверждения хорошо известны (см. [80, пп. 2.8.3, 2.8.5 и 2.8.7]). 4) Утверждение о пространствах Lμ очевидно, поскольку m(x) ограничена. Поскольку W 1 ⊃ W 1 μ при μ � κ, а W 1 μ κ - алгебра, то для пространств Соболева утверждение также очевидно. Сосредоточимся на шкале пространств Бесова. Интерполируя, получаем ограниченность Tm в μ, q пространствах Bs μ = (Lμ,W 1)s,q, μ ∈ (1, κ], q ∈ (1, ∞), s ∈ (0, 1). 1 1 В случае μ ∈ (κ, ∞) воспользуемся теоремой вложения W 1 ⊂ Bs , где s = 1- + , q ∈ (1, ∞). κ μ, q κ μ μ, q Поскольку пространства Bs являются банаховыми алгебрами относительно операции умноже- ния при s > 1 μ (что в нашем случае выполнено) и любом q ∈ (1, ∞), то оператор Tm ограничен в 1 1 Bs μ, q при s = 1 - κ + μ, q ∈ (1, ∞), μ ∈ (κ, ∞). Проводя теперь интерполяцию(см. п. 3 теоремы 17.XII) Bθ = (Lμ, Bs ) 1 1 , где s = 1- + , а θ ∈ (0, s), приходим к окончательному утверждению. μ, q μ, q θ/s, q κ μ Кроме классических пространств Бесова, нам потребуются пространства, учитывающие краевые условия. Определение 17.8. Положим Bθ 1 μ,U (напомним, что W 1 μ, q, U := (Lμ, Wμ, U )θ,q, 1 < μ, q < ∞, 0 < θ < 1 μ := {y ∈ W 1 : U (y) = 0}). В частности, при μ = q = 2 имеем W θ 1 1 2,U = (L2, W2,U )θ,2 = [L2, W2,U ]θ, θ ∈ (0, 1). μ, q, U Сразу же отметим важное для нас соотношение между пространствами Bθ и B θ μ, q. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 507 Теорема 17.XVII (см. [79, § 4.3.3]). Зафиксируем пару индексов μ ∈ (1, ∞), q ∈ (1, ∞). При μ, q, U и B θ ∈ (0, 1/μ) пространства Bθ θ μ, q совпадают. При θ ∈ (1/μ, 1) оба пространства вложе- ны в пространство непрерывных функций, нормы в них совпадают и Bθ θ 2,U В частности, W θ μ, q, U = {y ∈ Bμ, q | U (y) = 0}. 2 = W θ при θ ∈ (0, 1/2). μ, q, U Пространства B-θ мы вновь определим интерполяцией B-θ -1 μ, q, U = (Lμ, Wμ, U )θ,q, μ, q ∈ (1, ∞), θ ∈ (0, 1). Отметим, что как и выше B-θ θ l μ, q, U = (Bμ! , q! ,U ∗ ) , где U ∗ - сопряженные к U краевые условия, θ ∈ (0, 1), μ ∈ (1, ∞) и q ∈ (1, ∞). Наконец, положим B0 -ε ε μ, q, U = (Bμ, q,U , Bμ, q,U )1/2,q, где число ε из интервала 0 < ε < min(1/μ, 1/μl ) произвольно. Из теоремы 17.XVII следует, что при θ ∈ (-1+ 1/μ, 0], μ ∈ (1, ∞) и q ∈ (1, ∞) Bθ θ Теорема 17.XVIII. 1 μ, q, U = Bμ, q. 1 1 - θ θ 1) Пусть 1 < μ, κ < ∞, Тогда ∈ < s < 1, θ (0, 1). Определим число p равенством = + . μ p μ κ (Bs ,W 1 )θ,p = B(1-θ)s+θ μ, μ, U κ,U p, p, U . 2) Пусть 1 < μ < ∞, 1 < q1, q2, q < ∞, θ ∈ (0, 1) и, либо 0 < s1, s2 < 1, либо -1 < s1, s2 < 0. Тогда (Bs1 , Bs2 )θ, q = Bs , где s = (1 - θ)s1 + θs2. μ, q1,U μ, q2,U μ, q, U 3) Если 1 < μ < ∞, s ∈ (0, 1), 1 < p, q < ∞, а θ ∈ (0, 1), то Доказательство. 1) Положим (Lμ, B s μ, q, U μ, p, U )θ,p = Bθs . μ∗ = max{μ, κ} и s∗ = min ( 1 1 1 ∗ s - μ, 1 - κ + μ . Тогда, согласно утверждениям 1)-3) теоремы 17.XV, имеют место непрерывные и плотные вложе- ния Bs ⊂ Bs∗ и W 1 ⊂ Bs∗ . μ, μ μ∗, μ∗ κ μ∗, μ∗ Кроме того, s∗ > 1 ∗. Тогда, учитывая теорему 17.XVII, подпространство μ μ∗, μ∗ B = {y ∈ Bs∗ | U (y) = 0} μ, μ является дополняемым, а оператор проектирования на него ограничен в Bs κ и в W 1. Остается воспользоваться п. 1) теоремы 17.XII и теоремой об интерполяции подпространств (см., напри- мер, [79, п. 1.17.1]). Утверждения 2) и 3) суть теоремы о реитерации (см., например, [79, п. 1.10.2]), сформулиро- μ, q, U ванные для пространств Bs . Теорема 17.XIX. При фиксированном μ ∈ (1, ∞) и любых 1 < q1, q2 < ∞ справедливы непрерывные плотные компактные вложения Bs1 s2 1 если -1 < s1 < s2 < 1. μ, q1,U ⊃ Bμ, q2,U ⊃ Wμ, U , 508 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Пусть 1 < μ2 < μ1 < ∞. При любом s ∈ (-1, 1) и любом 1 < q < ∞ справедливы непрерывные и плотные вложения Bs s μ1 , q, U ⊃ Bμ2 , q, U . Пусть 1 < q1 < q2 < ∞. Тогда при любом μ ∈ (1, ∞), при любом s ∈ (-1, 1) справедливы непрерывные и плотные вложения Bs s μ, q2 ,U ⊃ Bμ, q1 U . 1 μ 3) Пусть 1 < μ2 < μ1 < ∞, -1 < s1 < s2 < 1, причем1 s1 - 1 1 μ = s2 - 2 ∈ (-1, 0) ∪ (0, 1), а индексы 1 < q1, q2 < ∞ произвольны. Тогда справедливы непрерывные плотные компактные вложения Bs1 s2 μ1 , q1,U ⊃ Bμ2 , q2,U . 1 1 Если s ∈ (0, 1), 1 < μ, q < ∞ и s - μ = 1 - ν для некоторого 1 < ν < ∞, то Bs 1 μ, q, U ⊃ Wν, U . 1 1 Если 1 < μ, q < ∞ и s - μ = - ν для некоторого 1 < ν < ∞, то Bs s μ, q, U ⊂ Lν при s > 0 и Bμ, q, U ⊃ Lν при s < 0. μ, q,U 4) Пусть μ ∈ (1, ∞), q ∈ (1, ∞), а s ∈ (1/μ, 1). Тогда пространство Bs непрерывно и компактно вложено в пространство Доказательство. C[0, π] непрерывных функций. 1 1 1) Если -1+ μ < s1, s2 < μ, то утверждение следует из п. 1) теоремы 17.XV и теоремы 17.XVII. μ, U При s2 > s1 > 0 оно вытекает из непрерывного вложения W 1 ⊂ Lμ (см., например, [79, пп. 1.6.2 и 1.16.4]). Аналогично утверждение доказывается при 0 > s2 > s1. Остальные случаи следуют из уже доказанных. μ, q, U Утверждение 2) следует из определения пространств Bs и непрерывных плотных вложений 1 1 -1 -1 Lμ1 ⊂ Lμ2 , Wμ1 ,U ⊂ Wμ2 ,U и Wμ1 ,U ⊂ Wμ2,U . Утверждения 3) и 4) следует из пп. 3) и 4) теоремы 17.XV и теоремы 17.XVII. Напомним также о пространствах бесселевых потенциалов. ( p p > 2 f Lp Определение 17.9 (см. [4]). Пространства бесселевых потенциалов Hθ (R), p ∈ (1, 2] (случай нам не потребуется) состоят из функций ∈ R), для которых конечна норма 2 θ/2 1f 1Hθ = 1Jθf 1L (R), где Jθf := F -1{(1 + | · | ) )F [f ](·)} (17.11) p p (здесь F - классическое преобразование Фурье). p При этом, вновь учитывая ограниченность в Hθ (R), 0 < θ < 1/p, оператора умножения на харак- теристическую функцию отрезка, норму (17.11) можно использовать для определения пространств Hθ p , 0 < θ < 1/p, на отрезке. p Лемма 17.1. Преобразование Фурье является ограниченным линейным оператором из Hθ (R) p! в Lθ (R), p ∈ (1, 2]. p Доказательство. В силу теоремы Хаусдорфа-Юнга, для любой функции f ∈ Hθ 1F [f ]1Lθ | · | � 2θ/21(1 + 2)θ/2 F [f ]1L = 2 θ/2 (R) 1F [J θf ]1L (R) � Cabs1J θf 1L (R) = Cabs1f 1 θ . p! p! p! p! Hp 1 В формулировке мы исключили случай s1 - 1/μ1 = s2 - 1/μ2 = 0, хотя утверждение остается справедливым и μ, q, U здесь. Его доказательство, однако, требует описания пространств B1/μ . СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 509 Следующее утверждение известно в теории пространств Харди. Мы, однако, затрудняемся дать точную ссылку и потому приведем его с полным доказательством. Утверждение 17.3. Пусть последовательность {zn}n∈Z лежит в полосе 1 � Im z � 2h для некоторого h > 1/2, причем z2n = 2n + κ + o(1) и z2n+1 = 2n + κ + o(1) при |n| → ∞. Тогда существует такой номер N ∈ N и такое число μ, что для всякого конечного подмножества J ⊂ {n ∈ Z : |n| ;;: N } и всякого номера K ;;: max{|n| : n ∈ J } найдется рациональная функция fK ∈ H∞, 1fK 1∞ � μ, такая, что при всех n, N � |n| � K, (1, если n ∈ J, K fK (z2n) = fK (z2n+1) = 0, если n ∈/ J, а если z2n = z2n+1, то f l (z2n) = 0. (17.12) Определение 17.10 (см. [17, гл. VII]). Последовательность точек {zj }j∈N из C+ называется ин- терполяционной, если sup ТТ |zk - zn| ;;: δ > 0. (17.13) n∈N k∓=n |zk - zn| Теорема 17.XX (Л. Карлесон, см., например, [17, гл. VII]). Пусть {zj }j∈N является интерпо- ляционной последовательностью точек верхней полуплоскости. Тогда для любого K ∈ N су- ществуют рациональные функции fj,K ∈ H∞, 1 � j � K, такие, что fj,K (zl ) = δj l, 1 � j, l � K, причем K sup , |fj,K (z)| � M, где M = 9(3 - δ2)2 4 . z∈C+ j=1 4δ Лемма 17.2. Пусть точки z1 и z2, z2 ⊕= z1, лежат в полосе {z : 1 � Im z � 2h}, а числа w1 и w2 произвольны. Тогда существует такая рациональная функция ϕ ∈ H∞, что ϕ(z1) = w1, ϕ(z2) = w2, причем w2 - w1 1ϕ1∞ � 8h + 2|w1| + 2|w2|. (17.14) z2 - z1 Пусть точка z0 лежит в той же полосе, а w0 ∈ C произвольно. Тогда существует такая рациональная функция ϕ ∈ H∞, что ϕ(z0) = 1, ϕl(z0) = w0, причем 1ϕ1∞ � 1+ 4h|w0|. (17.15) Доказательство. В первом случае возьмем ϕ(z) = k z - z0 , где числа z z - z0 0 ∈ C+ z и k ∈ C находятся z из условий f (z1) = w1, f (z2) = w2. Во втором случае положим ϕ(z) = 1 + k 0 , где число k находится из условия ϕl(z0) = w0. z - z0 Легко видеть, что в первом случае 1ϕ1∞ = |k|, а во втором случае 1ϕ1∞ = |k|+1. Оценки (17.14) и (17.15) получаются теперь прямыми вычислениями, которые мы здесь опускаем. Лемма 17.3. Если точки {zn}n∈N лежат в полосе {z : 1 � Im z � 2h} и inf |zn - zk | ;;: 1, то из условия 2 � m < ∞ sup , Im zn · Im zk n∓=k следует (17.13) с δ = e-32mh. n∈N k∓=n |zn - zk | zk - zn| Доказательство. Зафиксируем номер n и обозначим pk = | |zk - zn| 1 . Заметим, что 2 1+ 4h � pk � 1, откуда - ln pk � 8h(1 - pk ). 510 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Тогда ln ТТ |zk - zn| � 8h ,(1 - p2 ) = 32h , Im zk · Im zn � 32mh. Отсюда | k∓=n |zk - zn| k k∓=n k∓=n |zk - zn 2 sup ТТ pk ;;: e-32mh. n∈N k∓=n 1 Доказательство утверждения 17.3. Найдем номер N0 такой, что |z2n - (2n + κ)| < 8 и |z2n+1 - 1 (2n + κ)| < 8 при всех |n| > N0. Отсюда следует, что |z2n - z2k | ;;: 2|k - n|- 1, |n| > N0, |k| > N0, а значит, , Im zn · Im zk 2 , 1 , 2 ∞ 1 2 2 n∓=k, |n|;;:N0 2 � 4h |zn - zk| n∓=k, |n|;;:N0 (2|n - k|- 1) 2 � 8h - (2l 1)2 = π h . l=1 Та же оценка справедлива и для последовательности {z2n+1}|n|>N0 . Положим m = π2h2. Из леммы 17.3 следует, что обе последовательности являются ин- терполяционными, причем число δ из оценки (17.13) можно взять равным e-32π2 h3 . Положим M = 9(3e64π2 h3 - 1)2/4 (см. теорему 17.XX) и найдем номер N ;;: N0 такой, что M |z2n - z2n+1| < 1/4 для всех |n| > N. Пусть J - произвольное конечное подмножество {n : |n| ;;: N }, а K ;;: max{|n| : n ∈ J } - произ- вольный номер. Обозначим через K K {gj,K }|j|=N и {hj,K }|j|=N K рациональные функции из теоремы 17.XX, построенные по последовательностям {z2j }|j|=N и K {z2j+1}|j|=N соответственно, т. е. gj,K (z2l ) = hj,K (z2l+1) = δjl. Далее, для каждого j, N � |j| � K, построим, пользуясь леммой 17.2, функцию ϕj,K следующим образом. Если z2j ⊕= z2j+1, то потребуем, чтобы ϕj,K (z2j ) = w1 = h 1 1 , ϕj,K (z2j+1) = w2 = . (z ) g (z ) j,K 2j j,K 2j+1 Заметим, что для любой функции f ∈ H∞ из интегральной формулы Коши следует оценка Поскольку sup Im z;;:1 |f l(z)| � 1f 1∞. |h 1 |hj,K (z2j ) - 1| = |hj,K (z2j ) - hj,K (z2j+1)| � sup Im z;;:1 l j,K (z)||z2j - z2j+1| � M |z2j - z2j+1| � 4 , то числа |1 - w1| и |1 - w2| не превосходят min{4/3M |z2j - z2j+1|, 1/3}. Тогда из (17.14) следует, что Если z2j = z2j+1, то потребуем j,K ϕj,K (z2j ) = 1, ϕl 1ϕj,K 1∞ � 24hM + 6. j,K (z2j ) = -(gj,Khj,K )l(z2j ) = -gl j,K (z2j ) - hl (z2j ). Тогда из (17.15) следует, что 1ϕj,K 1∞ � 8hM + 1. Таким образом, для каждого j, N � |j| � K, определена рациональная функция fj,K (z) := gj,K (z)hj,K (z)ϕj,K (z) ∈ H∞, СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 511 для которой причем l fj,K (z2l ) = fj,K (z2l+1) = δj l, l ⊕= j, N � |j|, l| � K, fj,K (z2l ) = 0, если z2l = z2l+1. Искомую функцию fK (z) определим суммой fK (z) = ), fj,K (z). Тогда равенства (17.12) выполне- j∈J ны, и для любого z ∈ C+ |fK (z)| � , |fj,K (z)| � (24hM + 6) j∈J K , |j|=N |gj,K (z)||hj,K (z)| � (24hM + 6)M 2 = μ. ПРИЛОЖЕНИЕ C Приведем необходимые нам результаты об условных и безусловных базисах. 1 Определение 18.1. Система {ϕk }∞ называется базисом Шаудера (или условным базисом) в банаховом пространстве X, если любой вектор x ∈ X единственным образом раскладывается в ),∞ ряд x = ckϕk, ck ∈ C, сходящийся по норме пространства. 1 Система векторов в гильбертовом пространстве H называется базисом Рисса (или безусловным базисом), если существует ограниченный и обратимый оператор в H, который переводит эту систему в ортонормированный базис. Система ϕk в H называется бесселевой системой, если для любого вектора f ∈ H ряд ), |(f, ϕk )|2 сходится. Системы {ϕk } и {ψk } называются биортогональными, если (ϕk, ψj ) = δkj, где δkj - символ Кронекера. Систему {ϕk } называют почти нормированной, если числа 1ϕk 1 равномерно ограничены и равномерно отделены от нуля. Теорема 18.I (см. [19, гл. VI, § 2]). Следующие условия эквивалентны: система {ϕk }k∈N является базисом Рисса; любой вектор x ∈ H единственным образом раскладывается в ряд x = ),∞ 1 xkϕk, причем c1x1H � ( ∞ x , 2 | k | \1/2 � C1x1H 1 для некоторых положительных c и C; найдется такое скалярное произведение (·, ·)1, топологически эквивалентное исходному (т. е. c11· 11 � 1·1 � c21· 11 для некоторых c1 и c2), относительно которого эта система является ортонормированным базисом. Мы неоднократно используем известную теорему Бари-Боаса (см. [19, гл. 6]). Теорема 18.II. Пусть система {yn} гильбертова пространства H полна и минимальна, равно как и биортогональная к ней система {zn}. Если обе эти системы обладают свойством бесселевости, то они являются базисами Рисса в H. 1 Определение 18.2. Пусть T - оператор перехода от фиксированного ортонормированного бази- са {en}n∈Z к базису {ϕn}n∈Z, (T en = ϕn, n ∈ Z) конечна. Величина κ = 1T 1 · 1T - 1 называется константой Рисса этого базиса. Очевидно, что определение константы Рисса не зависит от выбора базиса {en}n∈Z. 512 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ 1 Определение 18.3. Система подпространств {Hn}∞ называется базисом в гильбертовом про- ),∞ странстве H, если любой вектор x ∈ H разлагается единственным образом в виде ряда x = где xn ∈ Hn. 1 Базис {Hn}∞ из подпространств является ортогональным, если Hn ⊥ Hm при n ⊕= m. n=1 xn, 1 Система {Hn}∞ называется базисом Рисса из подпространств, если существует ограничен- ∞ ный и ограниченно обратимый оператор A такой, что система {A(Hn)}1 является ортогональным базисом из подпространств в H. Сформулируем теорему Гельфанда (см. [19, гл. VI, § 5]). Теорема 18.III (И. М. Гельфанд). Следующие три условия эквивалентны. 1 система {Hn}∞ является базисом Рисса из подпространств в гильбертовом простран- стве H; каждый вектор x ∈ H единственным образом раскладывается в ряд ∞ x = , xk, xk ∈ Hk, 1 1 сходящийся по норме 1 · 1H при любой перестановке (т. е. система {Hn}∞ является безусловным базисом Шаудера из подпространств); H = Lin{Hn}∞, и для системы проекторов {Pn}, Pn = δnk, выполнено 1 Hk sup 1 , Pn1 < ∞, (18.1) J n∈J где супремум берется по всем конечным подмножествам индексов. 1 Отметим, что базисность Шаудера системы {ϕk }∞ эквивалентна базисности Шаудера системы 1 одномерных подпространств {Lin(ϕk )}∞ (для базисов Рисса это неверно - требуется еще почти 1 нормированность системы {ϕk }∞). Мы будем часто пользоваться следующими простыми сообра- жением. Теорема 18.IV. При изоморфизме пространств (ограниченном и ограниченно обратимом линейном отоб- ражении) базис Шаудера (Рисса) преобразуется в базис Шаудера (соответственно, Рисса), базис Шаудера из подпространств (базис Рисса из подпространств) преобра- зуется в базис Шаудера из подпространств (соответственно, базис Рисса из подпро- странств). 1 В частности, если система {ϕn}∞ образует базис Шаудера (Рисса), а последователь- ность {αn}1 отделена от нуля и от бесконечности: 0 < c � αn � C < ∞, то {αnϕn}1 - ∞ также базис Шаудера ∞ (Рисса)1. 1 Аналогично, если система {ϕn}∞ образует базис Шаудера (Рисса), N ψn = ϕn при n > N, ψn = , αk,nϕk при n ∈ [1,N ], k=1 N ∞ причем система {ψn}1 линейно независима, то {ψn}1 - базис Шаудера (Рисса). 1 Базисность Шаудера (Шаудера из подпространств) системы {ϕn}∞ в рефлексивном ба- 1 наховом пространстве X влечет соответствующую базисность биортогональной си- стемы {ψn}∞ в сопряженном пространстве X∗. 1 Базисность Рисса (Рисса из подпространств) системы {ϕn}∞ в гильбертовом про- 1 странстве H влечет соответствующую базисность биортогональной системы {ψn}∞. 1 Непосредственно из определения базиса Шаудера видно, что в этом случае условия на последовательность {αn } можно ослабить. Достаточно потребовать 0 < αn < ∞. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИРАКА И ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 513 1 Теорема 18.V. Пусть банахово пространство X1 непрерывно и плотно вложено в банахово пространство X0. Пусть система подпространств {Hk }∞ образует базис Шаудера (обычный или безусловный) из подпространств и в X0, и в X1. Тогда эта система является базисом Шаудера из подпространств (обычным или, соответ- ственно, безусловным) в любом равномерном интерполяционном для пары (X0, X1) простран- стве X (см. определение в приложении A) при условии, что X1 плотно в X. 1 В частности, если X0, X1 и X - гильбертовы пространства, то {Hk }∞ - базис Рисса из подпространств в X. Доказательство. По определению, каждый вектор x ∈ X1 допускает разложение ∞ x = , xk, xk ∈ Hk. 1 m Рассмотрим операторы Tm : x 1→ ), xk, действующие в X1. 1 Хорошо известно (см., например, [19, гл. VI, § 5]), что они непрерывны, sup 1Tm1X1 = C1 < ∞, m а по определению базиса 1Tmx - x1X1 → 0 для любого x ∈ X1. Аналогично, каждый вектор x ∈ X0 допускает разложение ∞ x = , xk, � ∈ H , � xk k 1 m и на X0 определены ограниченные операторы T�m : x 1→ ), � , sup 1T� 1 = C < ∞, xk m X0 0 1 m 1T�mx - x1X0 → 0 ∀x ∈ X0. В силу непрерывности вложения X1 ⊂ X0 из сходимости ряда x = ),∞ 1 xk в норме X1 следует его сходимость по норме X0 (здесь x ∈ X1). Тогда единственность разложения вектора x ∈ X1 по базису подпространств {Hk }∞ в X0 влечет � = x , k ∈ N. 1 xk k Таким образом, T�m = Tm на подпространстве X1 пространства X0, а из плотности вложения X1 ⊂ X0 и ограниченности операторов следует равенство T�m = Tm на всем X0. Так как X является интерполяционным пространством для пары (X0, X1), то 1Tm1X � C max{1Tm1X1 , 1Tm1X0 } < ∞. Далее, из непрерывности и плотности вложения X1 ⊂ X0 следует непрерывность и плотность вложения X1 ⊂ X. Таким образом, Tmx → x в X для любого x ∈ X1 (т. е. для плотного в X подпространства). Критерий сильной сходимости операторов теперь влечет сходимость Tmx → x на всем X. Един- ),∞ ственность разложения x = сти разложения в X0. xk в X следует из непрерывного вложения X ⊂ X0 и единственно- 1 1 Если теперь дополнительно известно, что система {Hk }∞ является безусловным базисом и в X0, ив X1, то рассмотрим произвольнуюперестановку (ik ), k ∈ m N, натурального ряда и операторы k Sm : x 1→ , xi . k=1 По определению, операторы Sm сильно сходятся к тождественному оператору и в X0, и в X1. Повторяя предыдущие рассуждения (о равномерной ограниченности и сходимости на плотном множестве), выводим их сильную сходимость к тождественному оператору в X. 514 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Теорема 18.VI. Пусть гильбертово пространство H1 непрерывно вложено в гильбертово пространство H0. 1 Пусть система {ϕk }∞ образует базис Рисса в гильбертовом пространстве H0, а система ∞ {αkϕk }1 , где αk > 0 - некоторая последовательность чисел, образует базис Рисса в H1. Тогда система {αθ ϕk }∞ является базисом Рисса в пространстве Hθ = [H0, H1]θ для любого θ ∈ [0, 1]. k 1 Доказательство. По определению базиса Рисса каждый вектор x ∈ H0 единственным образом ),∞ раскладывается в ряд x = для некоторых c0 и C0. Рассмотрим оператор xkϕk, причем 1 ( ∞ 0 c01x1H � , 1 2 |xk | \1/2 � C01x1H0 T : x 1→ (x1, x2,... ), T : H0 → l2, - он ограничен и ограниченно обратим. С другой стороны, любой вектор x ∈ H1 раскладывается в ряд ∞ � x = , xkαkϕk. 1 1 Поскольку H1 непрерывно вложено в H0, последний ряд сходится и по норме H0, а тогда, в силу единственности разложения x по базису {ϕk }∞ в H0, имеем Так как � xkαk = xk. c11x1H1 � ( ∞ � | , |xk 2 1 \1/2 � C11x1H1 k с некоторыми постоянными c1 и C1, то оператор T, суженный на H1, является ограниченным и ограниченно обратимым оператором из H1 в весовое пространство l2({α-1}). Интерполируя, получим, что T ограничен и ограниченно обратим как оператор из Hθ в весовое пространство l2({α-θ }). Это и означает, что {αθ ϕk }∞ - базис Рисса в Hθ.

Об авторах

А. М. Савчук

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Автор, ответственный за переписку.
Email: artem_savchuk@mail.ru
119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1

И. В. Садовничая

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Email: ivsad@yandex.ru
119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1

Список литературы