О спектральных и эволюционных задачах, порожденных полуторалинейной формой

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 335 1. Краевые задачи, порожденные полуторалинейной несимметрической формой на основе оператора Лапласа 336 2. Смешанные спектральные задачи сопряжения, порожденные полуторалинейной формой 344 3. Начально-краевые задачи сопряжения 361 Список литературы 367 ВВЕДЕНИЕ В данной работе продолжены исследования краевых, спектральных и начально-краевых задач на основе полуторалинейной формы (см. [20]). В предыдущей статье [20] эти проблемы были исследованы в случае одной области. На этой основе изучаются смешанные краевые, спектральные и начально-краевые задачи, порожденные полуторалинейной формой для двух областей. В первом разделе изучаются краевые задачи, порожденные полуторалинейной несимметрической формой на основе оператора Лапласа. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости этих проблем. Во втором разделе изучаются смешанные спектральные задачи сопряжения, порожденные полуторалинейной формой. Установлено, что исходные проблемы приводятся к исследованию операторного пучка, который зависит от двух комплексных параметров, один из которых считают фиксированным, а другой - спектральным. Изучены свойства решений возмущенных и невозмущенных спектральных задач при первом и втором условиях сопряжения. В третьем разделе изучены смешанные возмущенные начально-краевые задачи математической физики при первом и втором условиях сопряжения. Доказаны теоремы о существовании и единственности сильного решения со значениями в соответствующем гильбертовом пространстве. © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2020 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 335 336 А. Р. ЯКУБОВА Автор благодарит Н. Д. Копачевского за постановку задачи и обсуждение результатов работы. Работа основана на статьях [20, 34]. 1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, ПОРОЖДЕННЫЕ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ НЕСИММЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМОЙ НА ОСНОВЕ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА 1. Формула Грина для невозмущенной задачи. Рассмотрим тройку гильбертовых пространств E = L2(Ω), F = H1(Ω), G = L2(Γ) и обычный оператор следа γu := u |Γ, где Ω ⊂ Rm - область с липшицевой границей Γ := ∂Ω. Тогда, как было установлено ранее, в этом случае имеет место следующая обобщенная формула Грина, порожденная оператором Лапласа: r (η, u)H1 (Ω) := Ω ∂u (ηu¯ + ∇η · ∇u¯) dΩ = (η, u - Δu)L2(Ω) + (γη, ∂n )L2(Γ), ∀ η, u ∈ H 1(Ω), (1.1) ∂n u - Δu ∈ (H1(Ω))∗, γη ∈ H1/2(Γ), ∂u ∈ H-1/2(Γ). (1.2) Здесь слева в (1.1) стоит скалярное произведение в H1(Ω), и оно является симметрической полуторалинейной формой в H1(Ω) : Φ0(η, u) := (η, u)H1 (Ω). На основе этой формулы Грина можно исследовать слабые решения классических краевых задач для оператора Лапласа, т. е. задач Дирихле, Неймана и других, а также соответствующие спектральные и начально-краевые проблемы. Целью дальнейших рассмотрений является исследование подобных задач в несимметрическом случае, когда вместо скалярного произведения (η, u)H1 (Ω) = Φ0(η, u) имеется полуторалинейная несимметрическая форма Φε(η, u), определенная на пространстве H1(Ω), ограниченная на нем и являющаяся равномерно аккретивной. Параметр ε ∈ R будет введен для удобства дальнейших рассмотрений, причем все изучаемые задачи при ε → 0 будут переходить в проблемы, отвечающие соответствующим невозмущенным задачам. Отметим еще, что в (1.1) дифференциальное выражение имеет вид L0u = u - Δu, а производная по внешней нормали ∂0u := (∂u/∂n)Γ. 2. О формуле Грина для возмущенной задачи. Рассмотрим дифференциальное выражение m Lεu := u - Δu + ε , ck k=1 ∂u ∂xk , ck ∈ R, k = 1, m, ε ∈ R, (1.3) а также соответствующую обобщенную формулу Грина для полуторалинейной формы. Как было видно из предыдущих рассмотрений, и дифференциальное выражение, и вид полуторалинейной формы можно выбирать неоднозначно, а краевые, спектральные и начально-краевые задачи затем формулировать на основе этой выбранной формулы Грина. При дальнейшем рассмотрении проблем, основываясь на тождествах r ∂u¯ η ∂xk Ω r dΩ = - Ω ∂η ∂xk r u¯dΩ+ Γ cos(_n---, _ek )ηu¯ dΓ, ∀ η, u ∈ H1(Ω), (1.4) и учитывая вид Lεu из (1.3), приходим к выводу на основе формулы (1.1), что имеет место следующая обобщенная формула Грина для полуторалинейной формы: m Φε(η, u) := (η, u)H1 (Ω) + 2ε , ck η, k=1 ∂u ∂xk L2 (Ω) 1 ∂η - ∂xk l ,u = L2(Ω) (1.5) = (η, Lεu)L2 (Ω) + (γη, ∂εu)L2 (Γ), ∀ η, u ∈ H m (Ω), ∂εu := ∂0u - εσγu, σ := , ck cos(_n---, _ek ), ∂εu ∈ H-1/2(Γ), (1.6) k=1 где Lεu ∈ (H1(Ω))∗ - дифференциальное выражение (1.3), а ∂0u := (∂u/∂n)Γ . Все дальнейшие проблемы будем формулировать на базе этой формулы Грина. Отметим еще, что Lεu = L0u + L1u, где L1u - дифференциальное выражение первого порядка, в то время как L0u = u - Δu - дифференциальное выражение второго порядка. О СПЕКТРАЛЬНЫХ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ, ПОРОЖДЕННЫХ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ ФОРМОЙ 337 Проверим, что полуторалинейная форма Φε(η, u) из (1.5) ограничена в H1(Ω) и равномерно аккретивна. Имеем ∂u ∂η ∂u η, ∂xk - L2 (Ω) ,u ∂xk L2 (Ω) k � η L2 (Ω) · ∂x L2 (Ω)+ (1.7) ∂η k + ∂x L2 (Ω) · u L2 (Ω) � 2 η H1 (Ω) · u H1 (Ω). m Поэтому |Φε(η, u)| � c˜1 η H1 (Ω) · u H1 (Ω), c˜1 = (1+ 4|ε| ), |ck | k=1 , т. е. Φε(η, u) ограничена в H1(Ω). Далее, сопряженная форма имеет вид m ∂u ∂η l Φ∗(η, u) = Φ(u, η) = (η, u)H1 (Ω) - 2ε , ck k=1 1 η, ∂xk - L2 (Ω) ,u ∂xk L2 (Ω) . (1.8) 2 Отсюда и из (1.5) получаем, что Re Φε(u, u) = 2 [Φε(u, u)+ Φ∗(u, u)] = (u, u) 1 = u H1 (Ω), т. е. ε Φε(u, u) равномерно аккретивна в H1(Ω) с константой c2 = 1. H (Ω) Тогда из общей теории таких полуторалинейных форм следует, во-первых, что форме Φε(η, u) однозначно отвечает оператор Aε : H1(Ω) → (H1(Ω))∗, связанный с формой соотношениями Φε(η, u) = (η, Aεu)L2 (Ω), ∀ η, u ∈ H 1(Ω), Aεu ∈ (H 1(Ω))∗, а во-вторых, этот оператор имеет огра- ε ниченный обратный A-1 : (H1(Ω))∗ → H1(Ω) (теорема Лакса-Мильграма). Заметим еще, что пространство L2(Ω) имеет оснащение H1(Ω) c→c→ L2(Ω) c→c→ (H1(Ω))∗ (с компактными вложениями левых пространств в правые). Отметим, наконец, что связь оператора Aε, отвечающего форме Φε(η, u), и оператора A0, отвечающего невозмущенной форме Φ0(η, u) = (η, u)H1 (Ω), будет выяснена ниже. 3. Об абстрактной формуле Грина для смешанных краевых задач. В математической физике часто встречаются такие краевые задачи, когда на одной части границы Γ = ∂Ω области Ω ⊂ Rm задают краевое условие Дирихле, на другой - условие Неймана, а на третьей - условие Ньютона. Подобные задачи называют смешанными. Для таких задач функционал, связанный с Γ = ∂Ω и фигурирующий в формуле Грина (см. [20]), естественно разбить на части, отвечающие тому или иному краевому условию. Переходя к рассмотрению этой проблемы в абстрактной форме, приходим к выводу, что в форk=1 муле (1.1) необходимо выражение (γη, ∂u)G заменить на выражение Σl (γk η, ∂k u)Gk , где γkη - абстрактный аналог следа элемента η ∈ F на части Γk границы Γ, а ∂k u - соответствующий аналог производной по внешней нормали на этой части границы. Будем считать, что для тройки пространств E, F, G и оператора следа γ выполнены условия, обеспечивающие существование формулы Грина, а также следующие условия. l 4◦. Имеет место ортогональное разложение и оснащения: G = k ffi Gk , ∃ (G+)k , (G+)∗ : k (G+)k c→ Gk c→ (G+)∗ , k = 1, l. k=1 5◦. В пространстве G действует ограниченный оператор ρk : G+ → (G+)k - абстрактный оператор сужения на часть границы. Теорема 1.1. Пусть для тройки пространств L2(Ω), H1(Ω), L2(Γ) (Γ = ∂Ω, Ω ∈ Rm) и оператора следа γ липшицева граница Γ неодносвязна и разбита на несколько односвязных частей Γk , k = 1,l (в частности, l = 2), находящихся на положительном расстоянии друг от l друга, т. е. Γ = J Γk, dist(Γk , Γj ) ;;: d > 0, k /= j, j, k = 1, l. Тогда имеет место следующая k=1 обобщенная формула Грина для смешанных краевых задач: l (η, u)H1 (Ω) = (η, u - Δu)L2(Ω) + , k=1 (γk η, ∂k u)L2 (Γk ), ∀ η, u ∈ H 1(Ω), (1.9) γk η := η |Γk ∈ H 1/2 k k ∂n (Γ ), ∂ u = ∂u Γk ∈ H-1/2 (Γk ), k = 1, l, u - Δu ∈ (H 1(Ω))∗. (1.10) 338 А. Р. ЯКУБОВА 4. К постановке задачи. Рассмотрим в области Ω, разбитой на две подобласти Ω1, Ω2 (см. рис. 1) следующую задачу сопряжения: РИС. 1 m u1 - Δu1 + ε , c1k k=1 m u2 - Δu2 + ε , c2k k=1 ∂u1 ∂xk ∂u2 ∂xk = λu1 := f1 (в Ω1); γ11u1 = ϕ1 (на Γ11), = λu2 := f2 (в Ω2); γ22u2 = ϕ2 (на Γ22), (1.11) γ21u1 - γ12u2 = ϕ21 (на Γ12 = Γ21), ∂u1 ∂n12 - εσ12γ21u1 m ∂u2 + ∂n21 - εσ21γ12u2 = ψ21 (на Γ12 = Γ21), m σ12 := , c1k cos(_n-12, _ek ), σ21 := , c2k cos(_n-21, _ek ). k=1 k=1 Будем считать, что задача (1.11) имеет слабое решение u = (u1; u2) ∈ H1(Ω) = H1(Ω1 ⊕ H1(Ω2)), и выведем уравнение, которому удовлетворяет это решение. С этой целью перепишем задачу в виде неоднородной невозмущенной: m u1 - Δu1 = f1 - ε , c1k k=1 m u2 - Δu2 = f2 - ε , c2k k=1 ∂u1 ∂xk ∂u2 ∂xk =: f�1 (в Ω1); γ11u1 = ϕ1 (на Γ11), =: f�2 (в Ω2); γ22u2 = ϕ2 (на Γ22), (1.12) γ21u1 - γ12u2 = ϕ21 (на Γ12 = Γ21), ∂12u1 + ∂21u2 = ε(σ12γ21u1 - σ21γ12u2)+ ψ21 =: ψ-21 (на Γ12 = Γ21), m m σ12 := , c1k cos(_n-12, _ek ), σ21 := , c2k cos(_n-21, _ek ). k=1 k=1 Здесь через Γjj , j = 1, 2 обозначены внешние свободные границы, а через Γij , i /= j - граница стыка областей. При этом очевидно, что Γ12 = Γ21. Полагаем, что области Ωi ⊂ Rm имеют липшицевы границы, разбитые на липшицевы куски Γij . Через ϕ1, ϕ2 обозначены следы функций uj , а через ∂ij uj - соответствующие производные по внешней нормали; fj - заданные функции в Ωj , j = 1, 2, ϕj - заданные функции на внешних границах Γjj , j = 1, 2. Функция ϕ21 задает разрыв следов, а ψ21 - разрыв производных по внешней нормали на границе стыка областей. О СПЕКТРАЛЬНЫХ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ, ПОРОЖДЕННЫХ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ ФОРМОЙ 339 Целью является нахождение функций uj ∈ H1(Ω), j = 1, 2, для которых выполнены уравнения в (1.12), внешние граничные условия, а также условия сопряжения на стыках областей. Исследование будем проводить на основе формулы Грина для полуторалинейной формы следующего вида (напомним, что выбор полуторалинейной формы изначально может быть произвольным): m Φε(η, u) := (η, u)H1 (Ω) + 2ε , c1k k=1 η1, ∂u1 ∂xk L2 (Ω1 ) ∂η1 - ∂xk , u1 l + L2 (Ω1 ) m + 2ε , c2k k=1 η2, ∂u2 ∂xk L2 (Ω2 ) ∂η2 - ∂xk , u2 l = L2(Ω2 ) m = (η1, u1 - Δu1 + ε , c1k ∂u1 m )L (Ω ) + (η2, u2 - Δu2 + ε , c2k ∂u2 )L (Ω )+ (1.13) ∂u1 k=1 ∂xk 2 1 ∂u2 k=1 ∂xk 2 2 ∂n + (γ11η1, 12 + (γ η , ∂u1 21 1 ∂n12 ∂n - εσ12γ11u1)L2 (Γ11 ) + (γ22η2, 21 ∂u1 ∂n - εσ12γ21u1)L2 (Γ12 ) + (γ12η2, 21 - εσ21γ12u2)L2 (Γ22 )+ - εσ21γ12u2)L2 (Γ21 ). Целью дальнейших рассмотрений является получение необходимых и достаточных условий разрешимости задачи (1.13), а также представление этого решения через операторы вспомогательных краевых задач. При этом будет использован принцип суперпозиции, позволяющий представить решение задачи (1.13) в виде суммы решений четырех вспомогательных краевых задач (невозмущенных), содержащих неоднородность лишь в одном месте, т. е. либо в уравнении, либо в одном из краевых условий. 4 4 Решение ищем в виде u = (u1; u2) = ), (uj1, uj2) =: ), u(j), где u(j) - решения вспомогательных задач. j=1 j=1 1. Первая вспомогательная задача (невозмущенная задача Зарембы). u11 - Δu11 = 0 (в Ω1); γ11u11 = ϕ1 (на Γ11), ∂12u11 = 0 (на Γ21); (1.14) u12 - Δu12 = 0 (в Ω2); γ22u12 = ϕ2 (на Γ22), ∂21u12 = 0 (на Γ12 = Γ21). (1.15) Здесь ϕ1, ϕ2 заданы, т. е. условия Дирихле на внешних границах неоднородны, а уравнения и условия Неймана на стыке однородные. Таким образом, для u(1) = (u11; u12) имеем задачу Зарембы, которая распадается на две независимые задачи (1.14), (1.15). H1 Рассматривая первую из них, т. е. задачу (1.14), будем считать, что ее решение u11(x) ∈ h (Ω1) := {u1 ∈ H 1(Ω1) : u1 - Δu1 = 0}. Тогда (по теореме Гальярдо, см. [40]) ее след γ1u11(x) на ∂Ω1 = Γ1 есть функция из H1/2(Γ1), а на Γ11 след является функцией из H1/2(Γ11). Таким образом, необходимым условием разрешимости задачи (1.14) является условие ϕ1 ∈ H1/2(Γ11). (1.16) h Так как между элементами из H1(Ω1) и H1/2(Γ1) имеет место взаимно однозначное соответствие (и даже изометрия при соответствующем выборе эквивалентной нормы в H1/2(Γ1)), то существует единственный элемент γ-1 1 который является решением задачи v11 = �1 ϕ1 ∈ Hh(Ω1), (1.17) v11 - Δv11 = 0 (в Ω1); γ11v11 = ϕ1 (на Γ1 = ∂Ω1). (1.18) Тогда для функции w11 := u11 - v11 из (1.14), (1.18) возникает задача Неймана w11 - Δw11 = 0 (в Ω1); γ11w11 = 0 (на Γ11); ∂21w11 = -∂21v11 (на Γ21). (1.19) 0,Γ Ее слабое решение естественно рассматривать в пространстве H1 11 (Ω1) := {u1 ∈ H1(Ω1) : γ11u1 = 0 (на Γ11)}. 340 А. Р. ЯКУБОВА Из условия на Γ11 в (1.19) следует, что γ21w11 ∈ H1/2(Γ21) (см. [14, п. 3.3.2]), и тогда с помо- 0,Γ11 ,h щью [14, лемма 3.3.4] имеем: w11 ∈ H1 0,Γ11 (Ω1) = H1 h (Ω1) ∩ H1(Ω1). Отсюда получаем, что в задаче (1.19) должно быть выполнено необходимое условие ∂21v11 ∈ H-1/2(Γ21). (1.20) Покажем, что это условие является и достаточным для существования слабого решения задачи (1.19), причем оно действительно имеет место. Воспользуемся формулой (η1, w11)H1 (Ω1 ) = (η1, w11 - Δw11)L2 (Ω1 ) + (γ21η1, ∂21w11)L2 (Γ21 ), (1.21) 0,Γ11 γ21η1 ∈ H1/2(Γ21), ∂21w11 ∈ H-1/2(Γ21), ∀ η1, w11 ∈ H1 (Ω1), (1.22) которая следует из формулы (η, u)H1 (Ω1 ) = (η, u - Δu)L2 (Ω1 ) + 2 , k=1 1 (γk η1, ∂k u)L2 (Γ21 ), ∀ η, u ∈ H0,Γ11,h(Ω1). (1.23) 0,Γ11 На ее основе легко определяется слабое решение w11 ∈ H1 h (Ω1) ∩ H1(Ω1) задачи (1.19) 1 (η1, w11)H1 (Ω1 ) = (γ21η1, (-∂21v11))L2 (Γ21 ), ∀ η ∈ H0,Γ11 (Ω1). (1.24) Здесь в силу (1.19) и теоремы Гальярдо правая часть является линейным ограниченным функ- 0,Γ ционалом в H1 11 h (Ω1). Действительно, из условия v11 ∈ H1(Ω1) (см. (1.17)) имеем γ1v11 ∈ H1/2(Γ1), ∂1v11 ∈ H-1/2(Γ1), а потому ∂21v11 ∈ H-1/2(Γ21). Кроме того, γ21η1 ∈ H1/2(Γ21), и потому правая часть в (1.24) не превышает ∂21v11 H-1/2 (Γ11 ) γ21η1 H1/2 (Γ21 ) � c11 η1 H1 (Ω1 ). Зна- 0,Γ11 чит, при любом ϕ1 ∈ H1/2(Γ11) существует единственное w11 ∈ H1 (Ω). В частности, если η1 ∈ H1(Ω1), тогда в (1.24) получаем, что (η1, w11) 1 = 0, следовательно, w ортогонально 0 H1 1 H (Ω1 ) 11 0 (Ω1) и w11 ∈ Hh (Ω1). При этом w11 является слабым решением задачи (1.19): γ-1 1 w11 := V21(-∂21v11) = -V21∂21�1 ϕ1 ∈ H0,Γ11 ,h(Ω1), (1.25) 0,Γ11 V21 ∈ L(H-1/2(Γ21); H1 h (Ω1) ∩ H1(Ω1)). Отсюда окончательно приходим к выводу, что условие (1.16) является необходимым и достаточным условием существования слабого решения u11 задачи Зарембы (1.14), и это решение выража- γ-1 γ-1 γ-1 γ-1 1/2 1 ется формулой u11 = v11 + w11 = �1 ϕ1 - V21∂21�1 ϕ1 =: �11 ϕ1, �11 ∈ L(H (Γ11); Hh (Ω1)). γ-1 Аналогично рассматривается задача (1.15). Ее решение выражается формулой u12 = �22 ϕ2. Итогом рассмотрения является следующее утверждение. Теорема 1.2. Каждая из задач Зарембы (1.14), (1.15) имеет единственное слабое решение h u1k ∈ H1(Ωk ) тогда и только тогда, когда выполнено условие ϕk ∈ H1/2(Γkk ), k = 1, 2, (1.26) γ-1 γ-1 1/2 1 и это решение выражается формулой u1k = �kk ϕk , �kk ∈ L(H (Γkk ); Hh (Ωk)), k = 1, 2. 2. Вторая вспомогательная задача (невозмущенная задача Стеклова). Перейдем теперь ко второму этапу - рассмотрению задачи Стеклова применительно к проблеме (1.12). Необходимо 2 1 исследовать проблему нахождения набора функций u(2) = (u21; u22) ∈ ⊕k=1H0,Γkk (Ωk ) из следующих уравнений и краевых условий: u21 - Δu21 = 0 (в Ω1); γ11u21 = 0 (на Γ11), u22 - Δu22 = 0 (в Ω2); γ22u22 = 0 (на Γ22), (1.27) � γ21u21 - γ12u22 = ϕ21 - γ21u11 + γ12u12 := ϕ21 ∂12u21 = -∂21u22(=: χ21) (на Γ12 = Γ21). (на Γ12 = Γ21), (1.28) Здесь (u11; u12)τ = u(1) - решение задачи Зарембы (1.14)-(1.15), а ϕ21 - заданная функция. Если функция χ21 известна, то вместо (1.27), (1.28) возникают две распадающиеся задачи Неймана. В частности, для функции u21 имеем задачу u21 - Δu21 = 0 (в Ω1); γ11u21 = 0 (на Γ11); ∂21u21 = χ21 (на Γ12 = Γ21), (1.29) О СПЕКТРАЛЬНЫХ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ, ПОРОЖДЕННЫХ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ ФОРМОЙ 341 слабое решение которой будем разыскивать в пространстве H1 (Ω1) ∩ H1(Ω1) =: H1 (Ω1), а также с помощью формулы Грина 0,Γ11 h 0,Γ11,h (η1, u21)H1 (Ω1 ) = (η1, u21 - Δu21)L2 (Ω1 ) + (γ21η1, χ21)L2 (Γ21 ). (1.30) Эта задача уже рассмотрена выше (см. (1.18), (1.21)). Для ее слабой разрешимости необходимо и достаточно (см. (1.20)), чтобы выполнялось условие χ21 ∈ H-1/2(Γ21). Тогда слабое решение определяется в виде 1 2 21 0,Γ11 (η1, u21)H1 (Ω ) = (γ21η1, χ21)L (Γ ), ∀ η1 ∈ H1 (Ω1) (1.31) и выражается формулой 0,Γ11 ,h u21 = V21χ21, V21 ∈ L(H-1/2(Γ21); H1 (Ω1)). (1.32) Аналогичное рассмотрение другой задачи Неймана, возникающей из проблемы (1.27), (1.28), основанное на обобщенной формуле Грина (η2, u22)H1 (Ω2 ) = (η2, u22 - Δu22)L2 (Ω2 ) + (γ12η2, ∂12u22)L2 (Γ12 ), (1.33) приводит к следующему выводу: 0,Γ22 ,h u22 = -V12χ21, V12 ∈ L(H-1/2(Γ21); H1 (Ω2)). (1.34) Имея представления (1.32), (1.34), из главных граничных условий в (1.28) получаем: � γ21u21 - γ12u22 = (γ21V21 + γ12V12)χ21 := Cχ21 = ϕ21 . (1.35) Здесь C - оператор Стеклова C ∈ L(H-1/2(Γ21); H1/2(Γ21)), он отображает H-1/2(Γ21) на H1/2(Γ21) и является положительным оператором. Для доказательства используем следующее утверждение. Лемма 1.1. Оператор Стеклова C := γ21V21 + γ12V12, C ∈ L(H-1/2(Γ21); H1/2(Γ21)), является положительным: 2 2 (Cχ, χ) = , u2k H1 (Ω ), (1.36) k k=1 где u2k , k = 1, 2 - слабые решения вспомогательных задач (1.27)-(1.28). Доказательство. Оно основано на тождествах (1.31), (1.33), представлениях (1.32), (1.34) и свойствах взаимной сопряженности операторов γjk и Vjk . Имеем (Cχ21, χ21)L2 (Γ21 ) = (γ21V21χ21, χ21)L2 (Γ21 ) + (γ12V12χ21, χ21)L2 (Γ12 ) = 2 2 2 , 2 = V21χ21 H1 (Ω1 ) + V12χ21 H1 (Ω2 ) = k=1 u2k H1 (Ωk ) . Из тождества (1.36) следует, что оператор C положителен и действует из H-1/2(Γ21) на все H1/2(Γ21), и потому существует обратный оператор, который согласно теореме Банаха ограничен. ϕ21 Поэтому задача (1.35) имеет единственное решение χ21 = C-1 � , C-1 ∈ L(H1/2(Γ21 ); H-1/2(Γ21 )). Таким образом, решение задачи (1.35) существует и единственно при � = � ∈ H1/2(Γ ). ϕ ϕ21 21 Теорема 1.3. Пусть в задаче Стеклова (1.27), (1.28) выполнено условие (1.26). Тогда суще- 0,Γ11 ,h ствует единственное слабое решение u(2) = (u21; u22) ∈ H1 0,Γ22 ,h (Ω1)(+˙ )H1 (Ω2), представи- ϕ21 мое в виде u(2) = (V21χ21; -V12χ21), χ21 = C-1 � , где операторы Vjk 1 введены формулами -1/2 (η1, V21χ21)H1 (Ω1 ) := (γ21η1, χ21)L2 (Γ21 ), ∀ η1 ∈ H0,Γ11 (Ω1), ∀ χ21 ∈ H 2 2 21 0,Γ22 (η2, V12χ21)H1 (Ω ) := (γ12η2, χ21)L (Γ ), ∀ η2 ∈ H1 (Ω1), ∀ χ21 ∈ H -1/2 (Γ21); (Γ21). (1.37) Соответственно оператор Стеклова C введен посредством элементов (1.34), а операторы 0,Γkk γjk - операторы следа из H1 (Ωk) на H1/2(Γjk) (j /= k). 342 А. Р. ЯКУБОВА 3. Третья вспомогательная задача (первая возмущенная задача С. Г. Крейна). Следующим этапом является рассмотрение первой вспомогательной задачи С. Г. Крейна, порожденной проблемой (1.12): k=1 u(3) = (u31; u32) ∈ ⊕2 H 1(Ωk ) =: H 1(Ω), (1.38) m u31 - Δu31 = f�1 = f1 - ε , c1k k=1 m u32 - Δu32 = f�2 = f2 - ε , c2k k=1 ∂u1 ∂xk ∂u2 ∂xk (в Ω1), γ11u31 = 0 (на Γ11), (в Ω2), γ22u32 = 0 (на Γ22), (1.39) γ21u31 - γ12u32 = 0 (на Γ12 = Γ21), ∂21u31 + ∂12u32 = 0 (на Γ12 = Γ21). (1.40) H1 Исходя из граничных условий Дирихле на Γ21 (см. (1.40)), введем в H1(Ω) подпространство 0,Γ(Ω) наборов элементов (u1; u2), для которых выполнены главные (с вариационной точки зрения) краевые условия задачи (1.39), (1.40), т. е. H1 ( 1 1 0,Γ(Ω) := (u31; u32) ∈ H0,Γ11 (Ω1) ⊕ H0,Γ22 (Ω2) : γ21u31 - γ12u32 = 0 (на Γ12) . (1.41) k=1 Это пространство плотно вложено в пространство L2(Ω) := ⊕2 0,Γ L2(Ωk ), так как H1 содержит 0 подпространство H1(Ω): ( 0 (Ω) := H1 (u31; u32) : γ21u31 = 0, γ12u32 = 0 (на Γ12), γ11u21 = 0 (на Γ11), γ22u22 = 0 (на Γ22) . 0,Γ Поэтому (H1 (Ω); L2(Ω)) - гильбертова пара пространств, оператор которой обозначим через A0. Опираясь на обобщенную формулу Грина для областей Ωk , k = 1, 2 (см. (1.23), (1.33)), для набора 0,Γ функций η = (η1; η2) и u(3) := (u31; u32) из H1 (Ω) получим следующую формулу Грина: 2 2 (η, u(3) )H1 (Ω) = ,(ηk , u3k )H1 (Ω ) = , k 3k + 3k L (Ω ) k=1 k (η ,u k=1 1 - Δu ) 2 k 1/2 (1.42) +(γ21η1, ∂21u31 + ∂12u32)L2 (Γ12 ), ∀ η, u(3) ∈ H0,Γ(Ω), γ21η1 = γ12η2 ∈ H (Γ12). Отсюда и из (1.39), (1.40) естественно дается определение слабого решения этой задачи: это такой 0,Γ набор u(3) = (u31; u32) ∈ H1 (Ω), для которого выполнено тождество 2 2 (η, u(3))H1 (Ω) = ,(ηk , u3k )H1 (Ω ) = , k 1 k k L (Ω ) Γ k=1 k (η k=1 , f� ) 2 , ∀ η ∈ H0, (Ω). (1.43) Теорема 1.4. Первая вспомогательная задача С. Г. Крейна (1.39), (1.40) имеет единственное 0,Γ слабое решение u(3) ∈ H1 0,Γ (Ω) тогда и только тогда, когда f := (f1; f2) ∈ (H1 (Ω))∗. Это решение выражается формулой ( u(3) = A-1 -1 m , ∂u1 , m ∂u2 0 f� = A0 f�1 - ε k=1 k c1k ∂x ; f�2 - ε k=1 k c2k ∂x , (1.44) 0,Γ где A0 - оператор гильбертовой пары (H1 (Ω); L2(Ω)). k=1 Если, в частности, f := (f1; f2) ∈ L2(Ω) := ⊕2 L2(Ωk ), то исходная задача имеет един- (3) 0 0 0,Γ ственное обобщенное решение u ∈ D(A ) ⊂ D(A1/2) = H1 (Ω), R(A) = L2(Ω), выражаемое той же формулой (1.44). О СПЕКТРАЛЬНЫХ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ, ПОРОЖДЕННЫХ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ ФОРМОЙ 343 4. Четвертая вспомогательная задача (вторая возмущенная задача С. Г. Крейна). Рассмотрим, наконец, четвертый этап исследования задачи сопряжения (1.12). Здесь для набора функ- 0,Γ ций u(4) = (u41; u42) ∈ H1 (Ω) получаем следующую проблему: u41 - Δu41 = 0 (в Ω1); γ11u41 = 0 (на Γ11), u42 - Δu42 = 0 (в Ω2); γ22u42 = 0 (на Γ22), (1.45) γ21u41 - γ12u42 = 0 (на Γ12 = Γ21), ∂21u41 + ∂12u42 = ψ�21 := ψ21 + ε(σ12γ21u1 - σ21γ12u2) (на Γ12 = Γ21). (1.46) 0,Γ Согласно условиям (1.45), здесь снова для решений из H1 (Ω) имеем свойства γ21u41 = γ12u42 ∈ H1/2(Γ21), γ21u41 - γ12u42 = 0 (на Γ12 = Γ21), ∂12u41 + ∂21u42 = ε(σ12γ21u1 - σ21γ12u2)+ ψ21 =: ψ�21 (на Γ12 = Γ21). Поэтому необходимое условие разрешимости задачи (1.45), (1.46) таково: (1.47) ψ21 ∈ H-1/2(Γ21). (1.48) При этом слабое решение определяется тождеством 2 (η, u(4) )H1 (Ω) := ,(ηk , u4k )H1 (Ω ) = (γ21η1, ψ�21)L (Γ ), ∀ η ∈ H1 (Ω), (1.49) k k=1 2 21 0,Γ которое следует из формулировки задачи (1.45), (1.46), а также из формулы Грина (1.42) (с заменой u(3) на u(4)). Теорема 1.5. Вторая вспомогательная задача С. Г. Крейна (1.45), (1.46) имеет единственное 0,Γ,h слабое решение u(4) ∈ H1 (Ω) тогда и только тогда, когда выполнено условие (1.48). Это 1/2 1 1 1 1 решение имеет вид u(4) = W21ψ21, W21 ∈ L(H- (Γ21); H0,Γ,h(Ω)), H0,Γ,h(Ω) := H0,Γ(Ω) ∩ Hh (Ω), H1 2 1 ∗ h (Ω) := ⊕k=1Hh(Ωk ). При этом оператор W21 обладает свойством (W21) = γ21ρ1 = γ12ρ2, где ρk : H1(Ω) → H1(Ωk ), k = 1, 2 - операторы сужения, ρk u = ρk (u1, u2) := uk , k = 1, 2. 0,Γ Доказательство. Свойство γ21ρ1 = γ12ρ2 следует из определения подпространства H1 (Ω) (см. (1.41)), а свойство γ21ρ1 = (W21)∗ - из определения слабого решения (см. (1.49)) задачи (1.45), (1.46), u(4) = W21ψ�21. 5. Итоговый результат. Складывая решения четырех вспомогательных задач, рассмотренных выше, получаем следующую связь решений возмущенной и невозмущенной задач: u + εA-1 m , c1k k=1 ∂u1 ∂xk m ; , c2k k=1 ∂u2 ∂xk -εW21(σ12γ21u1 - σ21γ12u2) = (1.50) � = (I + C�)ϕ + V ϕ21 + A-1f + W21ψ21 =: u0, ∞ или (I + εS)uε = u0, u0,u = uε ∈ H1(Ω), S ∈ S (H1(Ω)). Окончательно получаем следующее утверждение. Теорема 1.6. Если I + εS обратим, в частности, если |ε|||S|| < 1, то исходная возмущенная краевая задача (1.12) разрешима, т. е. существует единственное слабое решение, которое ∞ выражается формулой uε = (I + εS)-1u0, u0, uε ∈ H1(Ω), S ∈ S (H1(Ω)), где u0 - сумма слагаемых в (1.50). Замечание 1.1. То, что сумма решений четырех вспомогательных краевых задач (Зарембы, Стеклова и двух задач С. Г. Крейна) действительно дает решение исходной задачи (1.12), легко проверяется непосредственно. Можно убедиться, опираясь на формулы Грина (см. (1.23), (1.33)), что однородная задача имеет лишь нулевое решение. Следовательно, представление решения исходной задачи в виде суммы решений четырех вспомогательных задач выражается итоговыми формулами единственно. 344 А. Р. ЯКУБОВА 2. СМЕШАННЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ, ПОРОЖДЕННЫЕ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ ФОРМОЙ 1. Спектральные задачи для случая двух областей при первом условии сопряжения. 1. Невозмущенные смешанные спектральные задачи сопряжения при первом условии сопряжения. Снова в области Ω, разбитой на две подобласти Ω1, Ω2 (см. рис. 1), рассмотрим сначала невозмущенную (ε = 0) спектральную задачу сопряжения для искомых функций uk (x), заданных в областях Ωk, k = 1, 2, с соответствующими граничными условиями. Имеем: в областях Ω1, Ω2 и на внешних границах: u1 - Δu1 = λu1 =: f1 (в Ω1); ∂11u1 = λγ11u1 =: ψ1 (на Γ11), u2 - Δu2 = λu2 =: f2 (в Ω2); ∂12u2 = λ-1γ22u2 =: ψ2 (на Γ22), на границах стыка задается два вариационных условия: 1◦. либо (2.1) 2◦. либо γ11u1 - γ12u2 = 0, ∂21u1 + ∂12u2 = μγ21u1 =: ψ21 (на Γ21), (2.2) ∂21u1 = -∂12u2 = ψ21 := μ(γ21u1 - γ12u2) (на Γ12). (2.3) В этой проблеме имеется два параметра λ и μ, один из которых можно считать спектральным, а второй - фиксированным. В частности, в задачах дифракции спектральным параметром является параметр μ ∈ C. Другой вариант, когда спектральным является λ ∈ C, рассматривается в работах В. И. Горбачук (см. [5]). Задачу будем исследовать с помощью общего подхода, который был сформулирован в предыдущем разделе 1. Γ Из постановки задачи (2.1)-(2.2) видно, что ее слабое решение u = (u1; u2) естественно искать в пространстве H1(Ω) ⊂ H1(Ω1) ⊕ H1(Ω2). Представим решение задачи в виде суммы решений вспомогательных задач, в которых «неоднородности» (т. е. fk и ψk ) содержатся либо в уравнениях, либо в одном из краевых условий. Имеем 5 u = ), u(k) = k=1 5 ), (uk1; uk2): k=1 1) u11 - Δu11 = 0 (в Ω1); ∂11u11 = ψ1 := λγ11u1 (на Γ11), u12 - Δu12 = 0 (в Ω2); ∂22u12 = 0 (на Γ22), γ21u11 - γ12u12 = 0 (на Γ12 = Γ21), ∂21u11 + ∂12u12 = 0 (на Γ12 = Γ21); 2) u21 - Δu21 = 0 (в Ω1); ∂11u21 = 0 (на Γ11), u22 - Δu22 = 0 (в Ω2); ∂22u22 = λ-1γ22u2 := ψ2 (на Γ22), γ21u21 - γ12u22 = 0 (на Γ12 = Γ21), ∂21u21 + ∂12u22 = 0 (на Γ12 = Γ21); 3) u31 - Δu31 = f1 := λu1 (в Ω1); ∂11u31 = 0 (на Γ11), u32 - Δu32 = 0 (в Ω2); ∂22u32 = 0 (на Γ22), γ21u31 - γ12u32 = 0 (на Γ12 = Γ21), ∂21u31 + ∂12u32 = 0 (на Γ12 = Γ21); 4) u41 - Δu41 = 0 (в Ω1); ∂11u41 = 0 (на Γ11), u42 - Δu42 = f2 = λu2 (в Ω2); ∂22u42 = 0 (на Γ22), γ21u41 - γ12u42 = 0 (на Γ12 = Γ21), ∂21u41 + ∂12u42 = 0 (на Γ12 = Γ21); 5) u51 - Δu51 = 0 (в Ω1); ∂11u51 = 0 (на Γ11), u52 - Δu52 = 0 (в Ω2); ∂22u52 = 0 (на Γ22), γ21u51 - γ12u52 = 0 (на Γ12 = Γ21), ∂21u51 + ∂12u52 = μγ21u51 =: ψ21 (на Γ12 = Γ21). (2.4) (2.5) (2.6) (2.7) (2.8) О СПЕКТРАЛЬНЫХ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ, ПОРОЖДЕННЫХ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ ФОРМОЙ 345 Задачи исследуются с помощью следующей обобщенной формулы Грина: 2 2 (η, u)H1 (Ω) := ,(ηk , uk )H1 (Ω ) = , ηk , uk - Δuk)L (Ω )+ 2 k=1 + , k ( 2 k k=1 (2.9) k=1 (γkk ηk, ∂kk uk )L2 (Γkk ) + (γ21η1, ∂21u1 + ∂12u2)L2 (Γ21 )+ 2 21 Γ +(γ21η1 - γ12η2, ∂21u1)L (Γ ), ∀ η, u ∈ H1(Ω), где следы таковы, что γklηl ∈ H1/2(Γkl), а ∂klul ∈ H-1/2(Γkl). H1 1 1 Γ(Ω) := {(u1; u2) ∈ HΓ11(Ω1 ) ⊕ HΓ22 (Ω2 ) : γ21u1 - γ12u2 = 0 (на Γ12 = Γ21)}. Γ Отметим, что H1(Ω) плотно в L2(Ω) := L2(Ω1) ⊕ L2(Ω2), так как оно содержит подпространство H1 1 0 (Ω1) ⊕ H0 (Ω2), плотное в L2(Ω). Для первой вспомогательной задачи (2.4) формула Грина имеет вид 2 2 (η, u)H1 (Ω) := ,(ηk , uk )H1 (Ω ) = , ηk , uk - Δuk)L (Ω )+ 2 k=1 + , k ( k=1 2 k (2.10) 1 k=1 (γkk ηk , ∂kk uk)L2 (Γkk ) + (γ11η1, ∂21u1 + ∂12u2)L2 (Γ12 ), ∀ η, u ∈ HΓ(Ω). Тогда слабое решение задачи (2.4) определяется тождеством 1 (η, u(1) )H1 (Ω) = (γ21η1, ψ1)L2 (Γ12 ) = (γ11η1, λγ11u1)L2 (Γ11 ), ∀ η ∈ HΓ(Ω). (2.11) Это решение задается формулой u(1) = (u11; u12) = V11ψ1 = V11(λγ11u1) = λV11γ11u1 = λV11γ11p1u, (2.12) где pku = pk (u1; u2) := uk , k = 1, 2. Отметим еще, что выполнено Vkk = (γkkpk )∗, k = 1, 2. p1 Затем аналогичным образом определяются слабые решения вспомогательных задач (2.5)-(2.8). Имеем u(2) = (u21; u22) = V22ψ2 = V22(λ-1γ22u2) = λ-1V22γ22p2u. Используя формулу Грина (2.9), получим решение третьей вспомогательной задачи u(3) = A-1(f1; 0) = λA-1(u1; 0) = λA-1(� u), 1 1 p u = (u ; 0), � Далее, Γ где A - оператор гильбертовой пары (H1(Ω); L2(Ω)). � u(4) = A-1(0; f2) = A-1(λ(0; u2)) = λA-1(p2u), (2.13) u(5) = V21ψ21 = V21(μγ21u1) = μV21γ21p1u. (2.14) Итогом проведенных построений является такой вывод: слабое решение u = (u1; u2) задачи (2.1)-(2.8) удовлетворяет уравнению 5 u = , u(k) = λV11γ11p1u + λ-1V22γ22p2u + λA-1p1u + λA-1p2u + μV21γ21p1u. (2.15) � � k=1 Используя теперь свойство u = (u1; u2) = � u + � u = (p1u1; 0) + (0; � u ), получаем p1 p2 � p2 2 u = λ(A-1 + V11γ11p1)u + λ-1V22γ22p2u + μV21γ21p1u, (2.16) где u ∈ H1(Ω), A - оператор гильбертовой пары (H1(Ω); L2(Ω)). Γ Γ Γ Уравнение (2.16) можно привести к более симметрической форме, воспользовавшись тем, что имеет место свойство A1/2Vk = (γk A-1/2)∗ ∈ L(H-1/2(Γk ); L2(Ω)), k = 1, 2. Действительно, представим элемент u ∈ H1(Ω) = D(A1/2), R(A1/2) = L2(Ω), в виде u = A-1/2v, v ∈ L2(Ω), (2.17) и подставим его в (2.16), затем подействуем на обе части полученного соотношения оператором A1/2 Γ (это можно сделать в силу свойства H1(Ω) = D(A1/2)). Тогда взамен (2.16) возникает спектральная задача L(λ, μ)v := (I - λ(A-1 + B11) - λ-1B22 - μK22)v = 0, v ∈ L2(Ω), (2.18) 0 < A-1, 346 А. Р. ЯКУБОВА ∞ 0 � B11 := A1/2V11(V11)∗A-1/2 ∈ S ∞ 0 � B22 := A1/2V22(V22)∗A-1/2 ∈ S 0 � K22 := A1/2V21(V21)∗A-1/2 ∈ S (L2(Ω)), (L2(Ω)), (L (Ω)) (2.19) ∞ 2 для операторного пучка L(λ, μ) с параметрами λ и μ, один из которых можем считать фиксированным, другой - спектральным. 2. Возмущенные смешанные спектральные задачи сопряжения при первом условии сопряжения. Рассмотрим теперь спектральную задачу при ε /= 0. Тогда имеем в областях Ω1, Ω2 для искомых функций uk (x): на внешних границах: m u1 - Δu1 = λu1 =: f1 - ε , c1k k=1 m u2 - Δu2 = λu2 =: f2 - ε , c2k k=1 ∂u1 ∂xk ∂u2 ∂xk =: f�1 (в Ω1), =: f�2 (в Ω2); (2.20) ∂11u1 = λγ11u1 + εσ1γ11u1 =: ψ1 + εσ1γ11u1 =: ψ-1 (на Γ11), ∂12u2 = λ-1γ22u2 + εσ2γ22u2 =: ψ2 + εσ2γ22u2 =: ψ-2 (на Γ22); на границах стыка два вариационных условия: 1◦. либо (2.21) 2◦. либо γ11u1 - γ12u2 = 0, ∂21u1 + ∂12u2 = ϕ21 + ε(σ12γ21u1 - σ12γ12u2) = = μγ12u1 + ε(σ12γ21u1 - σ12γ12u2) =: ψ-21 (на Γ21), ∂21u1 + ∂12u2 = ψ21 + ε(σ12γ21u1 - σ12γ12u2) = μ(γ12u1 - γ12u2)+ + ε(σ12γ21u1 - σ12γ12u2) =: ψ-21 (на Γ21). (2.22) (2.23) Решение задачи (2.20)-(2.22) ищем в виде суммы решений пяти вспомогательных задач: 1) u11 - Δu11 = 0 (в Ω1); ∂11u11 = ψ�1 := ψ1 + εσ1γ11u1 = λγ11u1 + εσ1γ11u1 (на Γ11), u12 - Δu12 = 0 (в Ω2); ∂22u12 = 0 (на Γ22), γ21u11 - γ12u12 = 0 (на Γ12), ∂21u11 + ∂12u12 = 0 (на Γ12); 2) u21 - Δu21 = 0 (в Ω1); ∂11u21 = 0 (на Γ11), u22 - Δu22 = 0 (в Ω2); ∂22u22 = ψ�2 := ψ2 + εσ2γ22u2 = λ-1γ22u2 + εσ2γ22u2 (на Γ22), γ21u21 - γ12u22 = 0 (на Γ12), ∂21u21 + ∂12u22 = 0 (на Γ12); (2.24) (2.25) m 3) u31 - Δu31 = f�1 := f1 - ε , c1k k=1 ∂u1 ∂xk m = λu1 - ε , c1k k=1 ∂u1 ∂xk (в Ω1); ∂11u31 = 0 (на Γ11), (2.26) u32 - Δu32 = 0 (в Ω2); ∂22u32 = 0 (на Γ22), γ21u31 - γ12u32 = 0 (на Γ12), ∂21u31 + ∂12u32 = 0 (на Γ12); 4) u41 - Δu41 = 0 (в Ω1); ∂11u41 = 0 (на Γ11), m u42 - Δu42 = f�2 := f2 - ε , c2k k=1 ∂u2 ∂xk m = λu2 - ε , c2k k=1 ∂u2 ∂xk (в Ω2); ∂22u42 = 0 (на Γ22), (2.27) γ21u41 - γ12u42 = 0 (на Γ12), ∂21u41 + ∂12u42 = 0 (на Γ12); 5) u51 - Δu51 = 0 (в Ω1); ∂11u51 = 0 (на Γ11), u52 - Δu52 = 0 (в Ω2); ∂22u52 = 0 (на Γ22), γ21u51 - γ12u52 = 0 (на Γ12), ∂21u51 + ∂12u52 = ψ�21 := := ψ21 + ε(∂12γ21u1 - ∂21γ12u2) = μγ21u1 + ε(∂12γ21u1 - ∂21γ12u2) (на Γ12). (2.28) О СПЕКТРАЛЬНЫХ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ, ПОРОЖДЕННЫХ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ ФОРМОЙ 347 Аналогично (2.4)-(2.8), задачи исследуем с помощью формулы Грина (2.9). Тогда слабые решения задач (2.24)-(2.28) имеют соответственно вид: u(1),ε = V11ψ�1 = V11(ψ1 + εσ1γ11u1) = V11(λγ11u1 + εσ1γ11u1) = λV11γ11p1u + εV11σ1γ11p1u; (2.29) u(2),ε = V22ψ�2 = V22(λ-1γ22u2 + εσ2γ22u2); (2.30) m ∂u m ∂u u(3),ε = A-1(f�1; 0) = A-1(f1 - ε , c1k k=1 ∂x 1 ; 0) = A-1(λu1 - ε , c1k k k=1 1 ; 0); (2.31) ∂xk m u(4),ε = A-1(0; f�2) = A-1(0; f2 - ε , c2k k=1 ∂u2 ∂xk m ) = A-1(0; λu2 - ε , c2k k=1 ∂u2 ∂xk ); (2.32) m u(3),ε + u(4),ε = λA-1(u1; u2) - εA-1(, c1k k=1 ∂u1 ∂xk m ; , c2k k=1 ∂u2 ∂xk ); (2.33) u(5),ε = V21ψ�21 = V21(μγ21u1 + ε(σ12γ21u1 - σ21γ12u2)). (2.34) Итогом является следующий результат: слабое решение задачи (2.24)-(2.28) удовлетворяет уравнению uε - εV11σ1γ11p1uε - εV22σ2γ22p2uε + εA-1 m , c1k k=1 ∂u1 ∂xk m ; , c2k k=1 ∂u2 ∂xk - (2.35) 11 - εV21(σ12γ21u1 - σ21γ12u2) = λ(A-1 + V11V ∗ )uε + λ-1(V22(V22)∗)uε + μV21(V21)∗uε, где Vkk = (γkkpk )∗. Аналогично (2.17) осуществим замену uε = A-1/2vε, vε ∈ L2(Ω), D(A1/2) = H1 1/2 Γ(Ω). Далее, действуя на обе части полученного соотношения оператором A ющую спектральную задачу: , получаем следу- L(λ, μ)vε := ((I - εS) - λ(A-1 + B11) - λ-1B22 - μK22)vε = 0, vε ∈ L2(Ω), (2.36) где A - оператор гильбертовой пары (H1(Ω); L2(Ω)), S ∈ S (L (Ω)), операторы B ,B ,K описаны в (2.19), Γ ∞ 2 m m ∂u1 11 22 22 ∂u2 S := A1/2V11σ1γ11p1A-1/2 + A1/2V22σ2γ22p2A-1/2 + A-1/2 , c1k k=1 ∂xk ; , c2k k=1 ∂xk A-1/2 - - A1/2V21(σ12γ21p1 - σ21γ12p2). 2. О свойствах решений невозмущенных спектральных проблем при первом условии сопряжения. 1. Свойства решений при спектральном параметре μ. Изучим свойства решений спектральной задачи (2.1) при первых граничных условиях на стыке (2.2). Итак, операторный пучок (2.18) содержит два параметра λ и μ. Это позволяет исследовать два класса задач: при фиксированном μ ∈ C возникают задачи со спектральным параметром λ в уравнении, а при фиксированном λ ∈ C - задачи со спектральным параметром μ в краевом условии на границе сопряжения. Рассмотрим сначала случай, когда в пучке L(λ, μ) параметр λ фиксирован, а μ - спектральный. 1. Отрицательные значения параметра λ. Пусть в задаче (2.18) параметр λ < 0. Обозначим T (λ) := λ(A-1 + B11)+ λ-1B22. (2.37) Так как T (λ) < 0, то I - T (λ) ;;: I равномерно по λ. Значит, существует обратный оператор (I - T (λ))-1 : || (I - T (λ)-1 ||� 1. Оператор K22 := (A1/2V21)((V21)∗A-1/2) ограниченно действует из L2(Ω) в пространство Γ L2,h(Ω) := {v ∈ L2(Ω) : v = A1/2u, u ∈ H1(Ω) ⊂ H1(Ω)}, поэтому ker K22 = L2,0 = L2(Ω) ◦ L2,h(Ω). Более того, оператор K22 неотрицателен и компактен в L2(Ω); T (λ) также неотрицателен и компактен. Это дает возможность перейти от задачи (2.18) к спектральной проблеме на собственные значения компактного положительного оператора и воспользоваться теоремой Гильберта-Шмидта. 348 А. Р. ЯКУБОВА С этой целью введем взаимно дополнительные ортопроекторы P0, P1, отвечающие разложению: H = H0 ⊕ H1, H0 = ker K22 = L2,0(Ω), H1 = R(K22) = L2,h(Ω), и I0, I1 - единичные операторы в H0, H1 соответственно. Представим элемент v в виде v = v0 + v1, тогда (I - T (λ))(v0 + v1) = μK22(v0 + v1) = μK22v0 + μK�22v1 = μK�22v1, (2.38) где K�22 = P1K22P1, K22v0 = 0, v0 = P0v0, v1 = P1v1. Применим к обеим частям уравнения (2.38) ортопроекторы P0, P1, получим P0(I - T (λ))P0v0 + P0(I - T (λ))P1v1 = μP0K�22v1 = 0, (2.39) P1(I - T (λ))P0v0 + P1(I - T (λ))P1v1 = μP1K�22v1 = μK�22v1. (2.40) Оператор P0(I - T (λ))P0 = I0 - P0T (λ))P0 ;;: I0 в H0, и потому существует его обратный, причем (P0(I - T (λ))P0)-1 � 1 равномерно по λ < 0. Тогда из (2.39) имеем v0 = -(P0(I - T (λ))P0)-1(P0(I - T (λ))P1v1). (2.41) Подставим (2.41) в (2.40), получим уравнение для v1: (I1 - T1(λ))v1 = μK�22v1, v1 ∈ H1, (2.42) T1(λ) = P1T (λ)P1 + P1T (λ)P0(I0 - P0T (λ)P0)-1P0T (λ)P1. (2.43) Лемма 2.1. Имеет место свойство ker(I1 - T1(λ)) = {0}. Доказательство. Рассмотрим уравнение (I1 - T1(λ))v1 = 0, (2.44) где T1(λ) определен в (2.43). По формуле (2.41) введем v0 и подставим в (2.44). Тогда получим формулу (2.40) с μ = 0: а из (2.44) получаем (2.39). P1(I - T (λ))P0v0 + P1(I - T (λ))P1v1 = 0, (2.45) Уравнение (2.45) с μ = 0 равносильно следующему: (I - T (λ))v = 0, v = v0 + v1, которое имеет тривиальное решение v = 0, так как I - T (λ) ;;: I ;;: 0. Следовательно, v0 = v1 = 0. Отметим, что при λ < 0 оператор I - T (λ) из (2.43) самосопряжен и положительно определен. В самом деле, если имеется связь (2.41), то 2 2 2 ((I - T (λ))(v0 + v1), v0 + v1)L2 (Ω) = ((I1 - T1(λ))v0, v1)L2 (Ω) ;;: ( v0 L2 (Ω) + v1 L2 (Ω)) ;;: v1 L2 (Ω). (2.46) Основываясь на оценке (2.46), сделаем в (2.42) замену (I1 - T1(λ))1/2v1 = ψ1. (2.47) Далее, действуя слева ограниченным оператором (I1 - T1(λ))-1/2 , получаем следующую задачу: ψ1 = μK�22ψ1, ψ1 ∈ L2,h(Ω), (2.48) 22 K�22 := (I1 - T1(λ))-1/2P1K22P1(I1 - T1(λ))-1/2 = K� ∗ > 0, K�22 ∈ S∞ (L2(Ω)). (2.49) j=1 Определение 2.1. Базис {ψj }∞ j=1 ⊂ H, получаемый из ортонормированного базиса {ϕj }∞ ⊂ H по закону ψj = Aϕj , j = 1, 2,... , где A - некоторый линейный ограниченный и ограниченно обратимый оператор (A, A-1 ∈ L(H)), называется базисом, эквивалентным ортонормированному, или базисом Рисса. j=1 Определение 2.2. Базис Рисса {ψj }∞ ⊂ H будем называть p-базисом, 0 < p � ∞, если ψj = j=1 (I + T )ϕj , j = 1, 2,... , T ∈ Sp(H), где {ϕj }∞ - ортонормированный базис в H. Теорема 2.1. При λ < 0 задача (2.18) имеет дискретный спектр, состоящий из положительk=1 ных конечнократных собственных значений {μk }∞ с предельной точкой +∞. Собственные элементы {vk }k=1 = {(v1k , v2k )}k=1, т. е. элементы {v1k }k=1, v1k = P1vk, образуют базис Рисса ∞ ∞ ∞ О СПЕКТРАЛЬНЫХ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ, ПОРОЖДЕННЫХ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ ФОРМОЙ 349 k=1 в H1, причем v1k = (I1 - T1(λ))-1/2ψ1k , где {ψ1k }∞ - ортонормированный базис, отвечающий оператору K�22 из (2.48). Более того, элементы v1k для Ω ⊂ Rm образуют p-базис в H1 при p > p0 = m - 1. (2.50) Доказательство. Утверждение о дискретности и положительности спектра и базисности Рисса следует из теоремы Гильберта-Шмидта, примененной к проблеме (2.48), а также свойства (I1 - ∞ T1(λ))-1/2 ∈ L(H ). Перейдем к доказательству свойства (2.50). Из формулы (2.37) вытекает принадлежность T (λ) классу компактных операторов Sp(L2(Ω)), где p > p0 = max(pA-1 ; pB11 ; pB22 ). (2.51) Можно убедиться, что собственные значения λk (A-1) положительного самосопряженного компактного оператора A-1 суть последовательные максимумы вариационного отношения 2 2 2 2 -1/2 1 A-1/2v L (Ω) / v L (Ω) = u L (Ω) / u , u = A v ∈ H0,Γ (Ω). (2.52) 2 2 2 H1 0,Γ1 (Ω) 1 Поэтому их асимптотика при k →∞ дается классической формулой Вейля (см. [31]) k m → ∞ m 3 2 λ (A-1) = (a (Ω))2/mk-2/m[1 + o(1)] (k ), a (Ω) > 0, a (Ω) = |Ω| 6π , (2.53) и потому pA-1 > m/2. Аналогично для оператора B11 получаем, что его положительные собственные значения суть последовательные максимумы вариационного отношения -1/2 2 γ11A v L (Γ) / v r 2 = |u| dΓ11 / r | (|u 2 | + |∇u 2)dΩ, u ∈ H1 (Ω). (2.54) 2 L2 (Ω) Γ11 Ω 0,Γ11 Отсюда и из [4] получаем, что асимптотическое поведение собственных значений λk (B11) таково: λk (B11) = (dm,11(Γ11))1/(m-1) k-1/(m-1)[1 + o(1)] (k → ∞), d (Γ ) > 0, d (Γ ) = |Γ11| . m,11 11 3,1 11 4π (2.55) Следовательно, pB11 > m - 1. Проводя аналогичные рассуждения, получаем следующую формулу для оператора B22: λk (B22) = (dm,22(Γ22))1/(m-1) k-1/(m-1)[1 + o(1)] (k → ∞), Γ22 (2.56) dm,22(Γ22) > 0, d3,22(Γ22) = | | , 4π и потому pB22 > m - 1. Из формул (2.51), (2.53), (2.55), (2.56) приходим к выводу, что T (λ) из (2.37) принадлежит классу Sp при p > p0 = m - 1. Отметим, наконец, что (I - T1(λ))-1/2 = I1 + T�1(λ); T�1(λ) ∈ Sp, p > p0 = m - 1. k=1 Отсюда и из (2.47) вытекает свойство p-базисности элементов {v1k }∞ при p > m - 1. 2. Положительные значения параметра λ. Будем теперь считать, что в задаче (2.18) параметр λ > 0, но λ ∈/ σ(I - T (λ)) ∩ σ(I0 - P0T (λ)P0). (2.57) Тогда аналогично предыдущему случаю можно перейти от проблемы (2.18) к уравнению (2.42) c T1(λ) из (2.43) путем проектирования на подпространство H0 = L2,0(Ω) и H1 = L2,h(Ω) и исключения v0 (см. (2.39), (2.41)). Здесь снова справедливы утверждения леммы 2.1, причем T1(λ) - компактный самосопряженный оператор, действующий в H1. Отсюда следует, что оператор (I1 - T1(λ)) может иметь не более конечного числа (с учетом их кратностей) отрицательных собственных значений, а остальные положительны и имеют предельную точку +1. Обозначая количество отрицательных собственных значений через κ1, приходим к заключению, что квадратичная форма (I1 - T1(λ)) индефинитна, 350 А. Р. ЯКУБОВА а пространство H1 разбивается на ортогональную сумму κ1-мерного отрицательного подпространства H- и бесконечномерного положительного подпространства H+. Тогда возникает индефинитная метрика Понтрягина H1 = Пκ1 = П- ⊕ П+, П- = H-, П+ = H+, dim П- = κ1, dim П+ = ∞. (2.58) Теорема 2.2. Пусть λ > 0 и выполнено условие (2.57), а также имеет место разложение (2.58). Тогда спектр задачи (2.18) вещественный, дискретный и состоит из κ1 штук отрицательных собственных значений, остальные положительны и имеют предельную точку μ = +∞: μ1 � μ2 � ··· � μκ1 < 0 < μκ1+1 � ··· < μκ ... , lim k→∞ μκ = +∞. (2.59) Собственные значения (присоединенных нет) задачи (2.42) образуют ортонормированный по форме I1 - T1(λ) базис и базис Рисса в H1 = L2,h(Ω). Элементы базиса можно выбрать удовлетворяющими соотношениям: (I1 - T1(λ)v1k , v1j )H1 = ⎧ ⎪⎨-δkj , 1 � k, j � κ1, δkj , k, j ;;: κ1 + 1, ⎪⎩0, k � κ1, j ;;: κ1 + 1, (2.60) k 1 = |μ- |δ . (K�22v1k , v1j )H 1 kj Доказательство. С учетом (2.57), (2.58) представим оператор I1 - T1(λ) в виде | (I1 - T1(λ)) = |I1 - T1(λ) 1/2 1 Jκ 1 1 1/2 1 |I - T (λ)| , (2.61) κ1 κ1 где Jκ1 - каноническая симметрия: Jκ1 = J ∗ = J - . Тогда с учетом (2.61) задача (2.42) преобразуется к виду где ϕ1 = μJκ1 K�22(λ)ϕ1, (2.62) 1/2 -1/2 � -1/2 ϕ1 = |I1 - T1(λ)| v1, K�22(λ) := |I1 - T1(λ)| K22|I1 - T1(λ)| . (2.63) Из компактности и положительности оператора K�22(λ) следует компактность Jκ1 K�22(λ) и его положительность, т. е. [JκK�22(λ)ϕ1, ϕ1] := (Jκ(JκK�22(λ)ϕ1, ϕ1)) = (K�22(λ)ϕ1, ϕ1) > 0, ϕ1 /= 0. Тогда по теореме Л. С. Понтрягина (см. [33]) получаем, что задача (2.62), (2.63) имеет дисk=1 кретный вещественный спектр {μk }∞ k=1 со свойствами (2.59), а собственные элементы {ϕ1k }∞ , k=1 отвечающие собственным значениям {μk }∞ , образуют базис Рисса в H1. Отсюда и из замеk=1 ны (2.63) приходим к заключению, что собственные элементы {v1k }∞ , v1k = |I1 - T1(λ)|-1/2ϕ1k образуют базис Рисса в H1. Далее, из условий ортонормировки [ϕ1k , ϕ1j ] = (Jκ1 v1k , v1,j )H1 = ±δkj , k (K�22v1k , v1j )H 1 kj 1 = |μ- |δ приходим к выводу, что имеют место формулы (2.60). 3. Случай общего положения. Перейдем теперь к рассмотрению более общего случая: Im λ /= 0, λ ∈/ σ(I - T (λ)) ∩ σ(I0 - P0T (λ)P0). (2.64) Как известно (см. [10]), операторный пучок типа С. Г. Крейна ∞ I - T (λ) := I - λ(A-1 + B11) - λ-1B22, A-1, B11, B22 ∈ S (L2(Ω)) (2.65) (с самосопряженными операторными коэффициентами) может иметь вне вещественной оси не более конечного числа невещественных собственных значений, расположенных симметрично относительно вещественной оси в правой комплексной полуплоскости. Если, в частности, Re λ � 0, то из неравенства 2 (I - T (λ))v H · v H ;;: |(I - T (λ)v, v)|H ;;: Re(I - T (λ)v, v)|H ;;: v H (2.66) при Re λ � 0, Im λ /= 0 получаем оценку (I - T (λ))-1 � 1 равномерно по λ. Также получаем (I0 - P0T (λ)P0)-1 � 1, так как в силу (2.66) 2 ((I0 - P0T (λ)P0)v0, v0)H = ((I - T (λ))v0, v0)H ;;: v0 H , v0 ∈ H0. О СПЕКТРАЛЬНЫХ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ, ПОРОЖДЕННЫХ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ ФОРМОЙ 351 Снова, как и ранее, от исходной проблемы (2.18) можно перейти к уравнению (2.42) с T1(λ) из (2.43), при этом для связи (2.41) оператор (I1 - T1(λ)) снова ограниченно обратим. Следовательно, задачу (2.42) можно переписать в виде v1 = μ(I1 - T1(λ))-1K�22v1, v1 ∈ H1 = L2,h, K�22 = P1K22P1. (2.67) Прежде чем сформулировать итоговый результат для данного случая, вспомним определение базисности по Абелю-Лидскому. Это понятие относится к системе корневых элементов оператора L с дискретным спектром или обратного к нему компактного (несамосопряженного) оператора A = L-1 (см. [10]). Допустим, что все собственные значения μj оператора L (характеристические числа оператора A = L-1), кроме, быть может, конечного их числа, содержатся в угле Λθ := {μ : |arg μ| < θ}, (2.68) | и пусть α - положительное число, αθ < π/2. Положим μα := |μ α eiαarg μ в этом угле, так что j=1 |exp(-μαt)| → 0 при t = const > 0, μ ∈ Λθ , μ → ∞. Пусть в системе {ϕj }∞ корневых элементов оператора L имеются и собственные, и присоединенные элементы, отвечающие собственным значениям μj ∈ Λθ . Пусть ϕp, ··· , ϕq - базис в корневом подпространстве Lμ0 оператора L, отвечающий собственj=1 ному значению μ0 ∈ Λθ . Тогда будем говорить, что {ϕ∞ } - базис Абеля-Лидского порядка α, если существует такая последовательность номеров 0 = m0 < m1 < ··· < ml < ··· , что для любого ϕ ∈H при t > 0 сходится интеграл 1 - 2πi 1 |μ-μ0 |=ε exp(-μα t)(L - μI)-1 ϕdμ, (2.69) где контур интегрирования лежит в Λθ и окружает только одно собственное значение μ0 с обходом против часовой стрелки. Этот интеграл при t = 0 становится равным проекции элемента ϕ на корневое подпространство Lμ0 оператора L, т. е. величине cpϕp + ··· + cq ϕq . Если вместо L рассматривается обратный ему оператор A = L-1, то в (2.68) резольвенту (L - μI)-1 следует заменить на модифицированную резольвенту A(I - μA)-1. Опираясь на определение базисности по Абелю-Лидскому, сформулируем следующие результаты, относящиеся к операторам L с дискретным спектром либо к операторам A = L-1. Рассмотрим оператор A = L-1, который допускает представление A = A0(I + T1), где T1 ∈ S∞(H), а оператор A0 самосопряжен и компактен, причем все его собственные значения, кроме, быть может, конечного их числа, отрицательны или положительны. Тогда: 1. Если выполнено условие sj (A0) = |λj (A0)| � cj-p, j = 1, 2,... , то система корневых элементов оператора A образует базис Абеля-Лидского порядка α = p-1 + ε ∀, ε > 0. 0 2. Если характеристические числа νj (A0) оператора A0 (т. е. собственные значение оператора L0 = A-1) имеют асимптотическое поведение νj (A0) = cjp + o(jp), j → ∞, c /= 0, то та же формула имеет место для характеристических чисел оператора A = L-1 : νj (A) = cjp + o(jp), j → ∞, c /= 0. Теорема 2.3. Пусть в задаче (2.18) выполнены условия (2.64). Тогда спектр этой задачи k=1 дискретен, состоит из конечнократных собственных значений {μk }∞ с предельной точкой μ = ∞. Сколь бы ни было мало ε > 0, все собственные значения, кроме, быть может, конечного их числа, расположены в угле Λε := {μ ∈ C : |arg μ| < ε, sign Im μ = -sign Im λ}. k=1 Система собственных и присоединенных элементов {v1k }∞ , v1k = P1vk , т. е. система собственных и присоединенных элементов задачи (2.18), после их проектирования на H1 = L2,h(Ω) является полной в H1, более того, она образует базис Абеля-Лидского порядка α > m - 1 в L2,h. Далее, собственные значения μk = μk(λ) имеют асимптотическое поведение μk(λ) = λ-1(K22)[1 + o(1)], k → ∞, k (2.70) λk(K22) = (dm,22(Γ22))1/(m-1) k-1/(m-1)[1 + o(1)], k → ∞, dm,22(Γ22) > 0. (2.71) 352 А. Р. ЯКУБОВА Доказательство. Отметим, что асимптотическая формула (2.71), так же как и асимптотические формулы (2.53), (2.55), вытекает из работы [4]. Далее, из условий (2.57) получаем, что от задачи (2.18) можно перейти к задаче (2.42) и затем к (2.67). Отсюда следует, что к проблеме (2.67) можно применить теоремы М. В. Келдыша (см. [6]), так как в силу (2.71) оператор K�22 = P1K22P1 имеет те же ненулевые собственные значения, что и оператор K22. Поэтому K�22 - полный положительный компактный оператор класса Sp при ∞ p > m - 1. Кроме того, оператор (I1 - T1(λ))-1 = I1 + T2(λ), T2(λ) ∈ S (H1) и, очевидно, обратим. Отсюда вытекают первые утверждения исходной теоремы. Например, свойство, определяющее связь знаков Im μ и Im λ, вытекает из соотношения (I - T (λ)v, v)H = μ(K22v, v)H с учетом формулы (2.65) для T (λ) и свойства операторов A-1, B11, B22, K22. Свойство базисности по Абелю-Лидскому порядка α > m - 1 вытекает также из (2.71) и утверждения из [38, c. 292]. Далее, асимптотическая формула (2.70) следует из результатов А. С. Маркуса и В. И. Мацаева (см. [29]), примененных к уравнению (I1 - T1(λ))v1 = μK�22v1, в силу компактности и вида оператора T1(λ), а числа λk(K�22) = λk (K22) и имеют асимптотику (2.71). 1. Свойства решений при спектральном параметре λ. Рассмотрим теперь случай, когда в задаче L(λ, μ)v := (I - λ(A-1 + B11) - λ-1B22 - μK22)v = 0, v ∈ L2(Ω) (2.72) параметр μ ∈ C фиксирован, а λ - спектральный (см. (2.18)). 1. Неположительные значения фиксированного параметра. Если μ � 0, то (I - μK22) ;;: I » 0 и (I - μK22)-1 � 1. Осуществим в (2.72) замену (I - μK22)1/2v = ψ. Тогда получим следующую задачу: ψ = λ(I - μK22)-1/2(A-1 + B11)(I - μK22)-1/2ψ + λ-1(I - μK22)-1/2B22(I - μK22)-1/2ψ, (2.73) т. е. задачу на собственные значения для операторного пучка С. Г. Крейна. Именно, здесь оператор (I - μK22)-1/2(A-1 + B11)(I - μK22)-1/2 - компактный и положительный, а (I - μK22)-1/2B22(I - μK22)-1/2 - компактный и неотрицательный. Далее будем полагать, что выполнено условие 4 A-1 + B11 B22 < 1. (2.74) Тогда будем иметь следующее неравенство: 4 (I - μK22)-1/2(A-1 + B11)(I - μK22)-1/2 · (I - μK22)-1/2B22(I - μK22)-1/2 � 2 -1 -1 (2.75) � 4 (I - μK22)-1 A + B11 B22 � 4 A + B11 B22 < 1, достаточное для факторизации операторного пучка (I - λ(I - μK22)-1/2(A-1 + B11)(I - μK22)-1/2 - λ-1(I - μK22)-1/2B22(I - μK22)-1/2, (2.76) отвечающего задаче (2.73) (см., например, [10, c. 82-86]). Теорема 2.4. Пусть в задаче (2.72) выполнено условие (2.74). Тогда имеют место следующие утверждения. 1◦. Задача (2.72) при μ � 0 имеет дискретный вещественный спектр с предельными точками 0, +∞. 2◦. Предельной точке λ = 0 отвечает ветвь {λ◦}∞ изолированных конечнократных собk k=1 ственных значений, расположенных на отрезке 1 ± /1 - 4 A-1 + B11 B22 (0, r-), r± := . 2 A-1 + B11 Отвечающая ей система собственных элементов (присоединенных нет) после проектирования на подпространство H1 = L2(Ω) ◦ H0, H0 := ker(I - μK22)-1/2 · B22(I - μK22)-1/2, образует базис Рисса в H1. Далее, эта система элементов образует в H1 также p-базис при p > p0 = (m - 2)/2. О СПЕКТРАЛЬНЫХ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ, ПОРОЖДЕННЫХ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ ФОРМОЙ 353 3◦. Предельной точке λ = +∞ отвечает ветвь изолированных конечнократных собственных значений {λ◦}∞ , расположенных на промежутке (r+, +∞), а отвечающая этой ветви k k=1 система собственных элементов задачи (2.72) образует базис Рисса в H = L2(Ω) и даже p-базис при тех же p > p0 = (m - 2)/2. 4◦. Собственные значения имеют асимптотическое поведение λ0 -1/(m-1) k = λk(B22)[1 + o(1)] = (dm,22(Γ22)) k1/(m-1)[1 + o(1)], k → ∞, (2.77) λ∞ -1 -1 -1 k = λk (A + B11)[1 + o(1)] = λk (B11)[1 + o(1)] = (2.78) = (dm,11(Γ11))-1/(m-1) k1/(m-1) [1 + o(1)], k → ∞. Доказательство. Оно почти дословно повторяет доказательство теорем 3.1.2 и 3.2.1 из [10, c. 83- 92], но с учетом того, что при условии (2.74) пучок (2.76) допускает каноническую факторизацию, является самосопряженным, а для собственных значений λk(A-1 + B11) и λk(B22) имеют место асимптотические формулы (2.53), (2.56) λk (A-1 +B11) = λk (B11)[1+o(1)], k → ∞. Отметим также, что асимптотические формулы (2.77), (2.78) следуют из теорем А. С. Маркуса и В. И. Мацаева (см. [26]). 2. Вещественная часть μ неположительна. Пусть Re μ � 0, Im μ /= 0. (2.79) 2 Тогда в силу неравенств (I - μK22)v · v ;;: |(I - μK22)v, v| ;;: Re ((I - μK22)v, v) ;;: v при условиях (2.79) имеет место оценка (I - μK22)-1 � 1. Далее, применяя слева в (2.72) оператор (I - μK22)-1, получаем следующую задачу: v = λ(I - μK22)-1(A-1 + B11)v + λ-1(I - μK22)-1B22v. (2.80) Таким образом, снова возникает спектральная задача для пучка С. Г. Крейна, но пучок уже не является самосопряженным. Теорема 2.5. Пусть в задаче (2.80) выполнены условия (2.79), (2.74). Тогда имеют место следующие утверждения. 1◦. Задача (2.80) имеет дискретный спектр, состоящий из двух ветвей конечнократных собственных значений с предельными точками λ = 0, λ = ∞, соответственно. 2◦. Предельной точке λ = 0 отвечает ветвь {λ◦}∞ конечнократных собственных значений, расположенных в области k k=1 1 ± /1 - 4 A-1 + B11 B22 (2.81) |λ| � r-, r± := , 2 A-1 + B11 k при этом для ∀ε > 0 все собственные значения λ0 , кроме, быть может, конечного их числа, расположены в секторе |arg λ| < ε. (2.82) Система собственных и присоединенных элементов {v0}∞ , отвечающая собственным k k=1 значениям {λ0 }∞ , после ее проектирования на подпространство H1 = L2(Ω) ◦ H0, H0 := k k=1 ker B22, является полной в H1 и образует в H1 базис Абеля-Лидского порядка α > m - 1. 3◦. Предельной точке λ = ∞ отвечает ветвь изолированных конечнократных собственных значений {λ∞}∞ , расположенных в области |λ| ;;: r+, при этом для ∀ε > 0 все собственk k=1 ∞ ные значения λk , кроме, быть может, конечного их числа, расположены в секторе (2.82). Система собственных и присоединенных элементов { k }k=1, отвечающая собственным v∞ ∞ значениям { k }k=1, является полной в H = L2(Ω) и образует в H базис Абеля-Лидского λ∞ ∞ порядка α > m - 1. Доказательство. Оно проводится аналогично схеме, изложенной в [10, с. 82-86]. Поэтому здесь приведем лишь некоторые построения, связанные с утверждением 2◦. Если выполнено условие (2.74), то пучок L(λ), отвечающий уравнению (2.80), допускает факторизацию λL(λ) := λI - (I - μK22)-1B22 - λ2(I - μK22)-1(A-1 + B11) = = Y -1(I - λY (I - μK22)-1(A-1 + B11))(λI - Y (I - μK22)-1B22), (2.83) 354 А. Р. ЯКУБОВА 1 -1 причем при |λ| � t ∈ (r-, r+) оператор-функция I - λY (I - μK22)- (A оператор Y также обратим и является решением операторного уравнения + B11) обратима, а Y = I + (I - μK22)-1(A-1 + B11)Y (I - μK22)-1B22Y. (2.84) - Более того, спектр σ(Z) := σ(Y (I - μK22)-1B22) ⊂ {λ : |λ| � r }. Основываясь на этих фактах, рассмотрим задачу на собственные значения Zv = Y (I - μK22)-1B22v = = (I + (I - μK22)-1(A-1 + B11)Y (I - μK22)-1Y )(I - μK22)-1B22v =: =: (I + Φ)B22v = λv, v ∈ L2(Ω) = H, |λ| � r-. (2.85) 22 Здесь Φ ∈ S∞(H), и оператор I +Φ обратим, а B22 = B∗ ∈ S∞(H) имеет бесконечномерное ядро H0 = ker B22. Спроектируем теперь обе части (2.85) на H0 и H1, соответственно. С этой целью представим элемент v в виде v = v0 + v1, v0 ∈ H0, v1 ∈ H1 = H ◦ H0, и введем ортопроекторы P0 и P1. Учитывая соотношения P0B22 = 0, P1B22P1 =: B�22 > 0 (в H1), имеем P0(I + Φ)P1B�22v1 = λv0, (I1 + P1ΦP1)B�22v1 = λv1. (2.86) По постановке задачи λ /= 0, значит, из первого соотношения (2.86) можно выразить v0 через v1, а второе уравнение не содержит v0. Более того, можно доказать (см., например, [10, c. 85]), что оператор I1 + P1ΦP1 обратим в H1. Далее, из асимптотической формулы (2.56) следует, что B�22 ∈ Sp(H1) при p > m - 1. Из этих свойств следует, что ко второму уравнению (2.86) применима теорема М. В. Келдыша о свойствах спектра слабо возмущенного самосопряженного оператора класса Sp(H) (см. [6, c. 313- 320]). Отсюда вытекают утверждения из 2◦ о локализации спектра в исходной задаче (2.80) при |λ| � r-, а также о полноте проекций корневых элементов в пространстве H1. Утверждение о базисности по Абелю-Лидскому этих корневых элементов следует из [38, c. 292], а также из асимптотической формулы (2.56). Аналогично доказывается утверждение 3◦, но без проектирования на H1, так как A-1 + B11 полный, т. е. имеет тривиальное ядро ker(A-1 +B11) = {0}. Также при этом используется тот факт, что λk (A-1 + B11) = λk (B11)[1 + o(1)], k → ∞, и асимптотическая формула (2.56). Далее, в пучке L(λ) нужно сделать замену λ ≡→ λ�-1 и вместо (2.83) использовать аналогичную факторизацию для пучка λ�L(λ�-1) (см. [10, с. 86]). Следствие 2.1. В задаче (2.72) при любом фиксированном μ ∈ C имеются две ветви конечнократных собственных значений {λ0 }∞ и {λ∞}∞ с предельными точками λ = 0, λ = ∞. Эти k k=1 k k=1 ветви имеют асимптотическое поведение (2.77), (2.78), соответственно. Данный результат следует из теоремы А. С. Маркуса и В. И. Мацаева (см. [29]). 2. О свойствах решений возмущенных спектральных проблем при первом условии сопряжения. 1. Свойства решений при спектральном параметре μ. Рассмотрим операторный пучок L(λ, μ)vε := ((I - εS) - λ(A-1 + B11) - λ-1B22 - μK22)vε = 0, vε ∈ L2(Ω), (2.87) где A - оператор гильбертовой пары (H1(Ω); L2(Ω)), S ∈ S (L (Ω)), а операторы B ,B ,K Γ ∞ 2 11 22 22 описаны в (2.19). Изучим свойства решений спектральной проблемы (2.1) при первых граничных условиях на стыке (2.2). Снова задача (2.87) содержит два параметра λ и μ. Это позволяет исследовать два класса задач: при фиксированном μ ∈ C возникают задачи со спектральным параметром λ в уравнении, а при фиксированном λ ∈ C - задачи со спектральным параметром μ в краевом условии на границе сопряжения. Рассмотрим сначала случай, когда в пучке L(λ, μ) параметр λ фиксирован, а μ - спектральный. Полагаем, что в задаче (2.87) λ /= 0, λ ∈/ σ(I - εS - T (λ)) ∩ σ(I0 - εP0SP0 - P0T (λ)P0), (2.88) где через T (λ) обозначен оператор T (λ) := λ(A-1 + B11)+ λ-1B22. О СПЕКТРАЛЬНЫХ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ, ПОРОЖДЕННЫХ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ ФОРМОЙ 355 21 Заметим, что оператор K22 := (A1/2V21)(V ∗ )A-1/2 ограниченно действует из L2(Ω) в L2,h(Ω), значит, ker K22 = L2,0 = L2(Ω) ◦ L2,h(Ω). Кроме того, этот оператор неотрицателен и компактен в L2(Ω). Далее, T (λ) также является компактным. Это позволяет преобразовать проблему (2.87) к спектральной задаче на собственные значения для слабо возмущенного оператора и воспользоваться теоремой Келдыша. Так же, как и в предыдущем разделе, спроектируем обе части полученного уравнения на H0 и H1, соответственно, с помощью ортопроекторов P0, P1. С этой целью представим элемент vε в виде vε = vε,0 + vε,1, vε,0 ∈ H0, vε,1 ∈ H1 = H ◦ H0. При этом vε,0 = P0vε,0, vε,1 = P1vε,1, K22 = P1K22P1, K22vε,0 = 0. Подставим сначала vε,0, vε,1 в уравнение. Имеем 0 (I - εS - T (λ))(P0vε,0 + P1vε,1) = μK22(P0vε,0 + P1vε,1) = μK22P1vε,1vε,1, P 2 = P0. (2.89) Применим теперь к обеим частям последнего уравнения ортопроектор P0 и получим (I0 - εP0SP0 - P0T (λ)P0)vε,0 = (P0T (λ)P1 + εP0SP1)vε,1. (2.90) Если λ ∈/ σ(I0 - εP0SP0 - P0T (λ)P0), то существует обратный оператор (I0 - εP0SP0 - P0T (λ)P0)-1. Далее, применив ортопроектор P1 к (2.89), имеем (I1P1vε,1 - εP1SP0vε,0 - εP1SP1vε,1 - P1T (λ)P0vε,0 - P1T (λ)P1vε,1 = μP1K22P1vε,1. (2.91) Тогда из (2.90) вытекает vε,0 = (I0 -εP0SP0 -P0T (λ)P0)-1(P0T (λ)P1 +εP0SP1)vε,1. Запишем (2.91) в виде (I1 - εP1SP1 - P1T (λ)P1)vε,1 = (εP1SP0 + P1T (λ)P0)vε,0 + μP1K22P1vε,1 и подставим в последнее выражение vε,0: [(I1 - εP1SP1 - P1T (λ)P1) - (εP1SP0 + P1T (λ)P0)(I0 - - εP0SP0 - P0T (λ)P0)-1(P0T (λ)P1 + εP0SP1)]vε,1 = μP1K22P1vε,1. (2.92) Получилось уравнение для vε,1: (I1 + S1(ε, λ))vε,1 = μK�22vε,1, K�22 = P1K22P1, vε,1 ∈ H1, S1(ε, λ) ∈ S∞(L2(Ω)). В силу условия (2.88) оператор, стоящий слева в выражении (2.92), обратим. Поэтому vε,1 = μ(I1 +S1(ε, λ))-1K�22vε,1, vε,1 = μ(I1 +S2(ε, λ)K�22vε,1, S2(ε, λ) ∈ S (H ), v ∈ H = L (Ω). ∞ 1 ε,1 1 2,h Таким образом, получено уравнение для слабого возмущения оператора K�22, который является положительным и компактным в L2,h(Ω) класса Sp при p > m - 1. Теорема 2.6. Пусть в задаче (2.87) выполнены условия (2.88). Тогда спектр этой задачи k=1 дискретен, состоит из конечнократных собственных значений {μk }∞ с предельной точкой μ = ∞. Сколь бы ни было мало ε > 0, все собственные значения, кроме, быть может, конечного их числа, расположены в угле Λε := {μ ∈ C : |arg μ| < ε}. k=1 Система собственных и присоединенных элементов {vε,1k }∞ , vε,1k = P1vε,k, т. е. система собственных и присоединенных элементов задачи (2.87), после их проектирования на H1 = L2,h(Ω) является полной в H1, более того, она образует базис Абеля-Лидского порядка α > m - 1 в L2,h. Далее, собственные значения μk = μk(λ) имеют асимптотическое поведение k μk(λ) = λ-1(K22)[1 + o(1)], k → ∞, (2.93) λk(K22) = (dm,22(Γ22))1/(m-1) k-1/(m-1)[1 + o(1)], k → ∞, dm,22(Γ22) > 0. (2.94) Доказательство. Оно проводится аналогично доказательству теоремы 2.3. Разница заключается лишь в том, что это уже возмущенный случай (ε /= 0), и здесь возникает несамосопряженный компактный оператор S2(ε, λ). 2. Свойства решений при спектральном параметре λ. В возмущенном случае (ε /= 0) был получен операторный пучок (см. (2.87)) L(λ, μ)vε := ((I - εS + μK22) - λ(A-1 + B11) - λ-1B22)vε = 0, vε ∈ H = L2(Ω). (2.95) Если выполнено условие μ ∈/ σ(I - εS + μK22), (2.96) то существует единственный обратный (I - εS + μK22)-1. Тогда возникает спектральная задача для пучка С. Г. Крейна, но этот пучок не является самосопряженным. Применяя слева в (2.95) оператор (I - εS + μK22)-1, получаем следующую задачу: vε = λ(I - εS + μK22)-1(A-1 + B11)vε + λ-1(I - εS + μK22)-1B22vε. (2.97) 356 А. Р. ЯКУБОВА Теорема 2.7. Пусть в задаче (2.97) выполнено условие (2.96), а также условие 2 -1 4 (I - εS + μK22)-1 A Тогда имеют место следующие утверждения. + B11 B22 < 1. (2.98) 1◦. Задача (2.97) имеет дискретный спектр, состоящий из двух ветвей конечнократных собственных значений с предельными точками λ = 0, λ = ∞, соответственно. 2◦. Предельной точке λ = 0 отвечает ветвь {λ◦}∞ конечнократных собственных значений, расположенных в области k k=1 2 1 ± /1 - 4 (I - εS + μK22)-1 A-1 + B11 B22 (2.99) |λ| � r-, r± := 2 (I - εS + μK22 2 )-1 , B22 k при этом для ∀ε > 0 все собственные значения λ0 , кроме, быть может, конечного их числа, расположены в секторе |arg λ| < ε. (2.100) ε,k Система собственных и присоединенных элементов {v0 } ∞ k=1 , отвечающая собственным значениям {λ0 }∞ , после ее проектирования на подпространство H1 = L2(Ω) ◦ H0, H0 := k k=1 ker B22, является полной в H1 и образует в H1 базис Абеля-Лидского порядка α > m - 1. 3◦. Предельной точке λ = ∞ отвечает ветвь изолированных конечнократных собственных значений {λ∞}∞ , расположенных в области |λ| ;;: r+, при этом для ∀ε > 0 все k k=1 ∞ собственные значения λk , кроме, быть может, конечного их числа, расположены в секторе (2.100). Система собственных и присоединенных элементов {v∞ }∞ , отвечающая собствен- ε,k k=1 ным значениям {λ∞}∞ , является полной в H = L2(Ω) и образует в H базис Абеля- k Лидского порядка k=1 m - 1. α > Доказательство. Оно проводится аналогично схеме, изложенной в [10, с. 82-86]. Утверждение 1◦ будет доказано в процессе доказательства утверждений 2◦ и 3◦. Докажем утверждение 2◦. Введем пучок M (λ) := Y -1(I - λY (I - εS + μK22)-1(A-1 + B11))(λI - Y (I - εS + μK22)-1B22), (2.101) - причем оператор-функция (I - λY (I - εS + μK22)-1(A-1 + B11)) при |λ| � t ∈ (r , r+ ) обратима, а оператор Y также обратим и является решением операторного уравнения Y = I + (I - εS + μK22)-1(A-1 + B11)Y (I - εS + μK22)-1B22Y. (2.102) - Более того, спектр σ(Z) := σ(Y (I - εS + μK22)-1B22) ⊂ {λ : |λ| � r }. Основываясь на этих фактах, рассмотрим задачу на собственные значения Zvε = Y (I - εS + μK22)-1B22vε = = (I + (I - εS + μK22)-1(A-1 + B11)Y (I - εS + μK22)-1Y )(I - εS + μK22)-1B22vε =: =: (I + Φ)B22vε = λvε, vε ∈ L2(Ω) = H, |λ| � r-, (2.103) 22 где Φ ∈ S∞(H) и I +Φ обратим, а B22 = B∗ ∈ S∞(H) имеет бесконечномерное ядро H0 = ker B22. Спроектируем теперь обе части (2.103) на H0 и H1, соответственно. С этой целью представим элемент vε в виде vε = vε,0 + vε,1, vε,0 ∈ H0, vε,1 ∈ H1 = H ◦ H0 и введем ортопроекторы P0 и P1. Учитывая соотношения P0B22 = 0, P1B22P1 =: B�22 > 0 (в H1), имеем P0(I + Φ)P1B�22vε,1 = λvε,0, (I1 + P1ΦP1)B�22vε,1 = λvε,1. (2.104) Так как по условию задачи λ /= 0, то из первого соотношения (2.104) можно выразить vε,0 через vε,1, а второе уравнение не содержит vε,0. Здесь уже B22P1 = P1B22P1 =: B�22 = B� 22 ∗ - полный оператор в H1 (ker B�22 = {0}), являющийся также самосопряженным и положительным. Перепишем второе соотношение из (2.104) в виде P1(I + Φ)B22P1vε,1 = λvε,1, а затем в виде Z1vε,1 := P1(I + Φ)P1B�22vε,1 = λvε,1, vε,1 ∈ H1. Далее, рассуждая так же как и в [10, теорема 3.1.2, c. 85], мы доказываем утверждение о полноте системы корневых элементов в пространстве L2,h. Учитывая еще, что собственные значения оператора K22 имеют степенную асимптотику, приходим также к выводу, что эта совокупность О СПЕКТРАЛЬНЫХ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ, ПОРОЖДЕННЫХ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ ФОРМОЙ 357 корневых элементов образует базис Абеля-Лидского порядка α > m - 1. Аналогичным образом, только проще, без проектирования на подпространство H1, так как H0 = ker B�22 = {0}, доказывается утверждение 3◦. 3. Спектральные задачи для случая двух областей при втором условии сопряжения. 1. Невозмущенные смешанные спектральные задачи при втором условии сопряжения. Исследуем теперь невозмущенную спектральную проблему (2.1) с граничным условием на стыке (2.3), т. е. v1 - Δv1 = λv1 := f1 (в Ω1); ∂11v1 = λγ11v1 =: ψ1 (на Γ11), v2 - Δv2 = λv2 := f2 (в Ω2); ∂22v2 = λ-1γ22v2 =: ψ2 (на Γ22), (2.105) ∂21v1 = -∂12v2 = μ(γ21v1 - γ12v2) =: ψ21 (на Γ12). (2.106) Представим решение задачи (2.105), (2.106) в виде суммы решений вспомогательных задач, в которых неоднородности содержатся либо в уравнениях, либо в одном из краевых условий. 1◦. v11 - Δv11 = 0 (в Ω1); ∂11v11 = ψ1 := λγ11v1 (на Γ11), ∂21v11 = 0 (на Γ12), (2.107) v22 - Δv22 = 0 (в Ω2); ∂22v22 = ψ12 := λ-1γ22v2 (на Γ22), ∂12v22 = 0 (на Γ12). (2.108) h Таким образом, возникают две разные задачи Неймана. Здесь vkk ∈ H1(Ωk ), k = 1, 2. Для задачи (2.107) формула Грина имеет вид (η1, v11)H1 (Ω1 ) = (η1, v11 - Δv11)L2 (Ω1 ) + (γ11η1, ∂11v11)L2 (Γ11 ) + (γ21η1, ∂21v11)L2 (Γ21 ). (2.109) Тогда слабое решение задачи (2.107) определяется тождеством (η1, v11)H1 (Ω1 ) = (γ11η1, ψ1)L2 (Γ11 ) h ∀η1 ∈ H1(Ω1), и решение дается формулой v11 = V11ψ1 = λV11γ11v1, v11 ∈ H1(Ω1), где V11 ∈ h L(H1/2(Γ11); H1(Ω1)). Аналогично для задачи (2.108) формула Грина принимает вид (η2, v22)H1 (Ω2 ) = (η2, v22 - Δv22)L2 (Ω2 ) + (γ22η2, ∂22v22)L2 (Γ22 ) + (γ12η2, ∂12v22)L2 (Γ12 ). (2.110) 1 Тогда слабое решение определяется тождеством (η2, v22)H1 (Ω2 ) = (γ22η2, ψ2)L2 (Γ22 ), ∀ η2 ∈ H (Ω2). h Это решение задается формулой v22 = V22ψ2 = λ-1V22γ22v2, v22 ∈ H1(Ω2), где V22 ∈ h L(H-1/2(Γ22); H1(Ω2)). 2◦. v21 - Δv21 = λv1 =: f1 (в Ω1); ∂11v21 = 0 (на Γ11), ∂21v21 = 0 (на Γ12), (2.111) v22 - Δv22 = λv2 = f2 (в Ω2); ∂22v22 = 0 (на Γ22), ∂12v22 = 0 (на Γ12). (2.112) Здесь снова имеем две задачи (2.111), (2.112). Используя формулу Грина (2.9), получим решение 1 вспомогательной задачи (2.111) (η1, v21)H1 (Ω1 ) = (η1, f1)L2 (Ω1 ), ∀ η1 ∈ H (Ω1). Это слабое решение дается формулой v21 = A-1f1 = λA-1v1, v21 ∈ H1(Ω1), где A1 - оператор гильбертовой пары 1 1 (H1(Ω1); L2(Ω1). Аналогично для задачи (2.112), используя соответствующую формулу Грина, получаем слабое решение вида v22 = A-1f2 = λA-1v2, v22 ∈ H1(Ω2), где A2 - оператор гильбертовой пары 2 2 (H1(Ω2); L2(Ω2). 3◦. v31 - Δv31 = 0 (в Ω1); ∂11v11 = 0 (на Γ11), ∂21v11 = ψ21 = μ(γ21v1 - γ12v2) (на Γ12), (2.113) v32 - Δv32 = 0 (в Ω2); ∂22v32 = 0 (на Γ22), ∂12v32 = -ψ21 = -μ(γ21v1-γ12v2) (на Γ12). (2.114) Как и в предыдущих случаях, опираясь на формулу Грина (2.9), получаем решение задачи (2.113). 1 1 Имеем (η3, v31)H1 (Ω1 ) = (γ21η3, ψ21)L2 (Γ21 ), v31 ∈ Hh(Ω1). В частности, если η3 ∈ H0 (Ω), тогда 1 h (η3, v31)H1 (Ω ) = 0 и v31 ∈ H1(Ω1). Далее, слабое решение дается формулой v31 = V21ψ21 = μV21(γ21v1 - γ12v2). Аналогично для задачи (2.114) получаем v32 = -V12ψ21 = -μV12(γ21v1 - γ12v2), где V21 ∈ L(H-1/2(Γ12); H1(Ω1)), V12 ∈ L(H-1/2(Γ12); H1(Ω2)). h h 358 А. Р. ЯКУБОВА Складывая решения вспомогательных задач 1◦, 2◦, 3◦, получим систему уравнений относительно v1, v2: 1 (v1 = λV11γ11v1 + λA-1v1 + μV21(γ21v1 - γ12v2), (2.115) 1 -1 v2 = λ- V22γ22v2 + λA2 v2 - μV12(γ21v1 - γ12v2). Здесь возникает матрица, которая обладает свойством неотрицательности. Применяя формулы взаимной сопряженности V21 = γ∗ , V12 = γ∗ , получим 21 12 (V21(γ21v1 - γ12v2), v1)H1 (Ω1 ) + (-V12(γ21v1 - γ12v2), v2)H1 (Ω2 ) = 2 = (γ21v1 - γ12v2, γ21v1)L2 (Γ21 ) + (γ21v1 - γ12v2, -γ12v2)L2 (Γ21 ) = γ21v1 - γ12v2 L2 (Γ21 ) ;;: 0. k Сделаем замену в (2.115): vk = A-1/2wk , wk ∈ L2(Ωk), где Ak - оператор гильбертовой пары (H1(Ωk ); L2(Ωk )). Действуя на обе части полученных уравнений операторами A1/2, A1/2, соответственно, получим следующую задачу: /(A1/2 -1/2 1 2 1 1 w w1 = λ 1 V11)(γ11A1 )+ A- 0 1 + (2.116) 2 w2 0 A-1 w2 0 0 w / (A1/2 -1/2 1/2 -1/2 + λ-1 0 (A1/2 -1/2 1 + μ w 1/2 -1/2 1/2 -1/2 1 V21)(γ21A1 ) -(A1 V21)(γ12A2 ) w1 , w2 2 V22)(γ22A2 ) 2 -(A V12)(γ21A ) (A V12)(γ12A ) где (A1/2 -1/2 2 1/2 1 2 2 -1/2 1 V11) = (γ11A1 )∗, (A2 V22) = (γ22A2 )∗, (A1/2 -1/2 1/2 -1/2 1 V21) = (γ21A1 )∗, (A1 V21) = (γ12A2 )∗, (A1/2 -1/2 1/2 -1/2 Далее, вводим операторы 2 V12) = (γ21A1 )∗, (A2 V12) = (γ12A2 )∗. 0 � B11 := (A1/2V11)(γ11A-1/2) ∈ S (L (Ω )), 0 � B := (A1/2V )(γ A-1/2) ∈ S (L (Ω )), 1 1 ∞ 2 1 22 2 22 22 2 ∞ 2 2 0 � F11 := (A1/2V21)(γ21A-1/2) ∈ S (L (Ω )), 0 � F := (A1/2V )(γ A-1/2) ∈ S (L (Ω )), 1 1 ∞ 2 1 22 2 12 12 2 ∞ 2 2 F12 := (A1/2V21)(γ12A-1/2) ∈ S (L (Ω ); L (Ω )), 1 2 ∞ 2 2 2 1 F21 := (A1/2V12)(γ21A-1/2) ∈ S (L (Ω ); L (Ω )). 2 F ∗ 1/2 1 1/2 ∞ 2 1 2 2 12 := (A2 V12)(γ21A1 ) ∈ S∞(L2(Ω1); L2(Ω2)). Окончательно получаем спектральную задачу (2.117) 1 1 w1 = λ B11 + A- 0 w1 + λ-1 0 0 w1 + μ F11 -F12 w1 (2.118) 2 w2 0 A-1 w2 0 B22 w2 -F 12 ∗ F22 w2 в пространстве L2(Ω1) ⊕ L2(Ω2). 2. Возмущенные смешанные спектральные задачи при втором условии сопряжения. Рассмотрим теперь спектральную проблему (2.20), (2.21) с граничным условием на стыке (2.23). Решение этой задачи ищем в виде суммы решений вспомогательных задач: 1◦. v11 - Δv11 = 0 (в Ω1); ∂11v11 = ψ�1 := ψ1 + εσ1γ11v1 = λγ11v1 + εσ1γ11v1 (на Γ11), (2.119) v22 - Δv22 = 0 (в Ω2); ∂22v22 = ψ�2 := ψ2 + εσ2γ22v2 = λ-1γ22v2 + εσ2γ22v2 (на Γ22). (2.120) Снова, как и в невозмущенном случае, основываясь на формуле Грина (2.9), получаем соответственно решения задач (2.119), (2.120): vε,11 = V11ψ�1 = V11(ψ1 + εσ1γ11v1) = V11(λγ11v1 + εσ1γ11v1), (2.121) vε,12 = V22ψ�2 = V22(λ-1γ22v2 + εσ2γ22v2). (2.122) О СПЕКТРАЛЬНЫХ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ, ПОРОЖДЕННЫХ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ ФОРМОЙ 359 Далее возникает полная задача Неймана для уравнения Пуассона: 2◦. m v21 - Δv21 = f�1 := f1 - ε , c1k k=1 ∂v1 ∂xk m = λv1 - ε , c1k k=1 ∂v1 ∂xk (в Ω1); (2.123) ∂11v21 = 0 (на Γ11), ∂21v21 = 0 (на Γ12), m v22 - Δv22 = f�2 := f2 - ε , c2k k=1 ∂v2 ∂xk m = λv2 - ε , c2k k=1 ∂v2 ∂xk (в Ω2); (2.124) ∂22v22 = 0 (на Γ22), ∂22v22 = 0 (на Γ12). Здесь снова имеем две разные задачи (2.123), (2.124), решения которых принимают вид vε,21 = A-1 1 m , 1 1 1k ∂v1 m , 1 1 1k ∂v1 1 f� = A-1(f - ε c k=1 ∂xk ) = A-1(λv - ε c k=1 ∂xk ), (2.125) где A1 - оператор гильбертовой пары (H1(Ω1); L2(Ω1)), vε,22 = A-1 2 m , 2 1 2k ∂v2 m , 2 1 2k ∂v2 2 f� = A-1(f - ε c k=1 ∂xk ) = A-1(λv - ε c k=1 ∂xk ), (2.126) где A2 - оператор гильбертовой пары (H1(Ω2); L2(Ω2)). Наконец, имеем также следующие две вспомогательные задачи 3◦. v - Δv = 0 (в Ω ); ∂ v = 0 (на Γ ), 31 31 1 11 31 11 ∂21v31 = ψ�21 := ψ21 + ε(σ12γ21v1 - σ21γ12v2) = = μ(γ21v1 - γ12v2)+ ε(σ12γ21v1 - σ21γ12v2) (на Γ12), v32 - Δv32 = 0 (в Ω2); ∂22v32 = 0 (на Γ11), (2.127) ∂12v32 = -ψ�21 := -(ψ21 + ε(σ12γ21v1 - σ21γ12v2)) = = -μ(γ21v1 - γ12v2)+ ε(σ12γ21v1 - σ21γ12v2) (на Γ12). (2.128) Проводя аналогичные преобразования, как и в предыдущих случаях, получаем решения задач (2.127), (2.128) vε,31 = V21(μ(γ21v1 - γ12v2)+ ε(σ12γ21v1 - σ21γ12v2)), (2.129) vε,32 = -V12(μ(γ21v1 - γ12v2)+ ε(σ12γ21v1 - σ21γ12v2)), (2.130) где V12 ∈ L(H-1/2(Γ12); H1(Ω2)), V21 ∈ L(H-1/2(Γ12); H1(Ω1)). h h k Складывая решения вспомогательных задач (2.119), (2.120), (2.123), (2.124), (2.127), (2.128), осуществляя замену vε,k = A-1/2wε,k, wε,k ∈ L2(Ωk ), где Ak - оператор гильбертовой пары (H1(Ωk ); L2(Ωk )), и действуя на обе части полученных уравнений операторами A1/2, A1/2 соот- 1 2 ветственно, окончательно получаем следующую спектральную задачу: I 0 1 S1 S2 wε,1 = λ B11 + A- 0 I - ε S3 S4 wε,2 1 0 2 0 A-1 wε,1 + wε,2 +λ-1 0 0 wε,1 + μ F11 -F12 wε,1 . (2.131) 12 F w 0 B22 wε,2 -F ∗ 22 ε,2 12 Операторные коэффициенты B11, B22, F11, F22, F12, F21, F ∗ описаны в (2.117), а остальные таковы: m ∂ S1 := A1/2V11σ1γ11A-1/2 - A1/2 , c1k (A-1/2 ... )+ A1/2∂12γ21A-1/2 ∈ S (L (Ω )), 1 1 1 k=1 ∂xk 1 1 1 ∞ 2 1 S2 := A1/2∂21γ12A-1/2 1 2 ∈ S∞(L2(Ω2); L2(Ω1)), (2.132) S3 := A1/2∂12γ21A-1/2 2 1 ∈ S∞(L2(Ω1); L2(Ω2)), m S4 := A1/2V22σ2γ22A-1/2 - A1/2 , c2k ∂ (A-1/2 ... ) - A1/2∂21γ12A-1/2 ∈ S (L (Ω )). 2 2 2 k=1 ∂xk 2 2 2 ∞ 2 2 360 А. Р. ЯКУБОВА 3. О свойствах решений невозмущенныхспектральныхпроблем при втором условии сопряжения. В пункте 2.4.1 было получено уравнение (2.118). Для удобства обозначим в нем матрицы следующим образом: 1 B11 + A-1 0 =: N, 0 0 =: M, F11 -F12 =: F. (2.133) 2 0 A-1 0 B2 -F 12 ∗ F22 Тогда (2.118) можно переписать в виде w = λNw + λ-1Mw + μFw. Отсюда получаем следующую спектральную задачу: L(λ, μ)w := (I - λN - λ-1M - μF )w = 0, w ∈ L2(Ω). (2.134) 1 Проверим, какими свойствами обладают операторные коэффициенты в (2.118). Операторы B11+A-1 и A2 являются положительными и компактными. Следовательно, оператор N также является положительным и компактным, ker N = {0}. Далее, оператор B22 - неотрицателен и компактен, ker B22 /= {0}. Более того, {0} /= ker B22 = L2,0(Ω2) ◦ L2,h(Ω2), так как B22 ограниченно действует из пространства L2(Ω) в L2,h(Ω). Нетрудно доказать,что оператор F является самосопряженным и неотрицательным. Действительно, F = F ∗, если (F z1, z2) = (z1,Fz2). Проверим это: 1 2) = -F (F z , z F11 -F12 u1 u2 , = = F11u1 - F12v1 u2 12 ∗ F22 v1 v2 12 -F ∗ u1 + F22v1 v2 12 = (F1u1 - F12v1, u2)+ (-F ∗ u1 + F22v1, v2) = (F11u1, u2)+ (-F12v1, u2)+ +(-F ∗ u1, v2)+ (F22v1, v2) = (u1, F11u2)+ (v1, -F ∗ u2)+ (u1, -F12v2)+ (v1, F22v2) = 12 12 12 = (u1, F11u2 - F12v2)+ (v1, -F ∗ u2 + F22v2) = u1 F11u2 - F12v2 u1 , F11 -F12 u2 = v1 -F , = 12 -F ∗ u2 + F22v2 v1 12 ∗ F22 v2 = (z1,F z2). Докажем неотрицательность оператора F. Для этого рассмотрим квадратичную форму Fw = -F F11 -F12 w1 = F11w1 - F12w2 , 12 ∗ F22 w2 12 -F ∗ w1 + F22w2 2 2 ∗ 2 Fw = F11w1 - F12w2 + - F12w1 + F22w2 ;;: 0. Найдем теперь ядро оператора F. Для этого рассмотрим уравнение Fw = 0. В исходном уравнении оператор F стоит перед параметром μ, поэтому μ(V21(γ21A-1/2w1 - γ12A-1/2w2); -V12(γ21A-1/2w1 - γ22A-1/2w2)) = 0. 1 2 1 2 В силу того, что операторы V21 и V12 обратимы, из системы уравнений (V21(γ21A-1/2 -1/2 1 w1 - γ12A2 w2) = 0, -V12(γ21A-1/2w1 - γ22A-1/2w2) = 0 1 2 следует, что γ21A-1/2w1 - γ12A-1/2w2 = 0. А это и есть главные граничные условия, такие что 1 2 H1(Ω) := H1(Ω1) ⊕ H1(Ω2) = H1(Ω) ⊕ H1(Ω), следовательно, ker F = H1(Ω). Γ h Γ Лемма 2.2. Если выполнено условие γ21u1 - γ12u2 = 0, то формула Грина принимает вид 2 , r ( u v + u v )dΩ 2 = , r u (v Δu )dΩ 2 +, r u ∂vk dΓ r ∂v1 ∂v2 + u + dΓ . k=1Ωk ∇ k ∇ k k k k k=1Ωk k k - k k k=1Γkk k ∂nk kk Γ12 1 ∂n1 ∂n2 12 (2.135) Из нее следует, что ортогональным дополнением в H1(Ω) к H1, где H1(Ω) = {(u1; u2)τ : Γ Γ γ21u1 - γ12u2 = 0 (на Γ12)}, является подпространство H1 τ ∂v1 h (Ω) = {(v1; v2) : v1 - Δv1 = 0 (в Ω1), ∂n1 = 0 (на Γ11), (2.136) v2 - Δv2 = 0 (в Ω2), ∂v2 ∂n2 = 0 (на Γ22), ∂v1 ∂n1 - = ∂v2 ∂n2 := ψ ∈ H- 1/2 (Γ12)}. Тогда приходим к ортогональному разложению следующего вида: H1(Ω) = H1(Ω) ⊕ H1(Ω). Γ h О СПЕКТРАЛЬНЫХ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ, ПОРОЖДЕННЫХ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ ФОРМОЙ 361 Таким образом, общие свойства операторов в (2.134) такие же, как в задаче (2.18), (2.19). Очевидно, что решение проблемы (2.134) обладает теми же общими свойствами, что и (2.18), с учетом замены операторных коэффициентов из (2.18) на операторные матрицы из (2.134). Здесь снова пучок (2.134) содержит два параметра λ и μ, что дает возможность исследовать два класса задач: при фиксированном μ ∈ C, λ - спектральный, и наоборот. 4. О свойствах решений возмущенных спектральных проблем при втором условии сопряжения. В возмущенном случае было получено уравнение (2.131) с операторными коэффициентами (2.117), (2.132). Для простоты перепишем задачу (2.131) в виде L(λ, μ)wε := ((I - εS�) - λN - λ-1M - μF )wε = 0, wε ∈ L2(Ω), (2.137) где операторы N, M, F обозначены в (2.133) и имеют такие же свойства, как и в предыдущем S11 -S12 разделе. Оператор S� имеет вид S� := S21 S22 . Таким образом, снова имеем операторный пучок, аналогичный (2.87), но в матричной форме. Здесь также можно исследовать свойства решений спектральных проблем при втором условии сопряжения. В случае, когда μ является спектральным параметром, а λ - фиксированным, учитывая условие λ /= 0, λ ∈/ σ(I - εS� - T (λ)) ∩ σ(I0 - εP0S�P0 - P0T (λ)P0) и обозначая через T (λ) оператор вида T (λ) := λN + λ-1M, проводя выкладки, аналогичные пункту (2.3.1), приходим к заключению, что и в этом случае имеет место аналог теоремы 2.6. Далее, при спектральном параметре λ полагаем, что выполнено условие μ ∈/ Тогда задача (2.137) сводится к проблеме σ(I - εS� + μF ). vε = λ(I - εS� + μK22)-1(A-1 + B11)vε + λ-1(I - εS� + μK22)-1B22vε. (2.138) Для нее имеют место результаты типа теоремы 2.7. 3. НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ 1. Возмущенные начально-краевые задачи при первом условии сопряжения. 1. Возмущенная начально-краевая задача при спектральном параметре λ. Рассмотрим в области Ω ⊂ Rm, разбитой на две подобласти Ω1 и Ω2 с липшицевыми границами Γ11, Γ22 и границами стыка Γ12 = Γ21, начально-краевую задачу, которая порождает соответствующую спектральную, где один из параметров (λ либо μ) является искомым спектральным, а другой - фиксированным. Здесь удобно, как в задаче гидродинамики (проблема С. Г. Крейна), вместо поля скоростей u(t, x) ввести поле перемещений сплошной среды wε(t, x), uε(t, x) = ∂wε/∂t. Тогда начально-краевая задача, отвечающая спектральной проблеме (2.35), имеет вид ∂2wε,1 ∂ , m ∂wε,1 ∂t2 + ∂t wε,1 - Δwε,1 + ε k=1 ∂xk = f�1 (в Ω1), (3.1) ∂2wε,2 ∂ , m ∂wε,2 на внешних границах: ∂wε,1 ∂t2 + ∂t ∂2wε,1 wε,2 - Δwε,2 + ε ∂wε,1 k=1 ∂xk = f�2 (в Ω2); ∂wε,1 ∂11 + γ11 ∂t ∂t2 + εσ1γ11 =: ψ1 + εσ1γ11 ∂t ∂t := ψ�1 (на Γ11), (3.2) ∂12 ∂wε,2 + γ w + εσ γ ∂t 22 ε,2 2 22 ∂wε,2 =: ψ + εσ γ ∂t 2 2 22 ε,2 := ψ� ∂w ∂t 2 (на Γ22); на границах стыка: 1◦. либо γ21 ∂21 ∂wε,1 ∂t - γ12 ∂wε,1 + ∂ ∂t 12 ∂wε,1 ∂wε,2 = 0; ∂t ∂wε,2 = ψ + ε(σ γ ∂t 21 12 21 ∂wε,1 ∂wε,1 ∂t - σ21γ12 ∂wε,2 ∂wε,2 ) = ∂t (3.3) = μγ21 + ε(σ12γ21 ∂t ∂t - σ21γ12 ∂t ) := ψ�21 (на Γ21); 362 А. Р. ЯКУБОВА 2◦. либо ∂21 ∂wε,1 + ∂ ∂t 12 ∂wε,1 ∂wε,2 = ψ + ε(σ γ ∂t 21 12 21 ∂wε,2 ∂wε,1 ∂t - σ21γ12 ∂wε,1 ∂wε,2 ) = ∂t ∂wε,2 (3.4) = μ(γ21 ∂t - γ12 )+ ε(σ12γ21 ∂t ∂t - σ21γ12 ∂t ) := ψ�21 (на Γ12), ε,k wε,k(0) = w◦ , ∂wε,k ∂t ε,k (0) = w1 = u ◦ ε,k . (3.5) Опираясь на построения и методы разделов 1-2, можно исследовать задачу (3.1)-(3.3), (3.5) и доказать теорему о ее сильной разрешимости на произвольном конечном промежутке времени. Представим, как и ранее, решение wε(t, x) задачи (3.1)-(3.3), (3.5) в виде суммы решений пяти вспомогательных задач, в каждой из которых неоднородности входят в уравнение либо в одно из краевых условий лишь в одном месте. Не выписывая формулировки этих задач, можно представить решение в виде, аналогичном (2.35). Имеем: dwε d2wε = A-1(f�- )+ V (ψ� - μγ dwε p - ε(σ dwε γ p - σ γ p dwε ))+ dt dt2 21 21 21 1 dt 12 21 1. dt 21 12 2. dt (3.6) + V11(ψ�1 - γ11p1 d2wε dt - εσ1γ11p1 dwε )+ V (ψ - γ p w - εσ γ p dt 22 �2 22 2 ε 2 22 2 dwε )+ (I + εS) dt dwε . dt Здесь p1(u1; 0) := u1, p2(0; u2) := u2 - ортопроекторы, где wε = (wε,1; wε,2), f� = (f�1; f�2), A - оператор гильбертовой пары (H1(Ω1) ⊕ H1(Ω2); L2(Ω)), A = diag (A1; A2), A1 - оператор гильбертовой пары (H1(Ω1); L2(Ω1)), A2 - оператор гильбертовой пары (H1(Ω2); L2(Ω2)), H1(Ω) = H1(Ω1) ⊕ H1(Ω2). Тогда возникает задача Коши (A-1 + V11γ11p1) d2wε dt2 + (I + εS) - μV21(γ21p1 + ε(σ12γ21p1 - σ21γ12p2)) - l dwε 1 (3.7) - εV11σ1γ11p1 + εV22σ2γ22p2 ∂wε + V22γ22p2wε = A- f + V21ψ21 + V11ψ1 + V22ψ2, dt wε(0) = w◦, (0) = w1 = u◦. o ∂t ε ε Кратко (3.7) можно записать в виде (A-1+V11γ11p1) d2wε dt2 + (I+εS�)-μV21γ21p1 l dwε dt +V22γ22p2wε = A-1f +V21ψ21+V11ψ1+V22ψ2, wε(0) = w◦, ∂wε (0) = w1 = u◦. o ∂t ε ε В последнем уравнении осуществим замену wε = A-1/2ηε. Это можно сделать в силу того, что A1/2H1(Ω) = L2(Ω). Тогда получаем (A-1 + B1p1) d2ηε dt2 + (I + εS�) - μB21p1 l dηε dt + B2p2ηε = = A-1/2f + A1/2V21ψ21 + A1/2V11ψ1 + A1/2V22ψ2 := f1(t), ∂ηε (3.8) ηε(0) = A1/2w◦, (0) = A1/2w1 = A1/2u◦, o ∂t ε ε где B1 := V11γ11, B21 := V21γ21, B2 := V22γ22. Оператор A-1 + B1p1 обратим, так как он является полным, т. е. ker(A-1 + B1p1) = {0}. Тогда можно сделать еще одну замену dηε = (A-1 + B p )-1ϕ , (3.9) dt 1 1 ε О СПЕКТРАЛЬНЫХ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ, ПОРОЖДЕННЫХ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ ФОРМОЙ 363 и отсюда получаем задачу Коши для интегродифференциального уравнения первого порядка dηε + ((I + εS� ) - μB p )(A-1 + B p )-1ϕ t r + B p (A-1 + B p )-1ϕ (s)ds = dt 1 21 1 1 1 ε 2 2 0 1 1 ε (3.10) ε = -B2p2A1/2w0 + A-1/2f + A1/2V21ψ21 + A1/2V22ψ2 + A1/2V11ψ1, ε ϕε(0) = (A-1 + B1p1)A1/2w1. Для исследования проблемы разрешимости задачи (3.10) воспользуемся утверждением, доказательство которого можно найти в [12, теоремы 1.3.2, 1.3.4, с. 21-25]. В упрощенной форме оно имеет следующий вид. Лемма 3.1. Пусть в задаче Коши для интегродифференциального уравнения первого порядка, рассматриваемого в гильбертовом пространстве H, т. е. в задаче t du r dt = A0u + 0 G(t, s)A1u(s)ds + f (t), u(0) = u◦, (3.11) выполнены следующие условия: 1◦. A0 является генератором аналитической полугруппы; 2◦. D(A1) ⊃ D(A0); 3◦. G(t, s), ∂G(t, s)/dt ∈ C(⊇t; H), ⊇t := {(t, s) : 0 � s � t ∈ T }; 4◦. f (t) ∈ Cβ ([0,T ]; H), 0 < β � 1; 5◦. u0 ∈ D(A0). Тогда задача (3.10) имеет единственное сильное решение u(t) ∈ C([0,T ]; D(A0)) ∩ C1([0,T ]; H), для которого все слагаемые в (3.10) являются элементами из C([0,T ]; H), и выполнены начальные условия. Воспользуемся леммой 3.1. В задаче (3.10) оператор -((I + εS�) - μB21p1)(A-1 + B1p1)-1является генератором аналитической полугруппы, при этом области определения этого генератора и оператора, стоящего под знаком интеграла, совпадают. Далее, можно считать, что в (3.10) G(t, s) ≡ I, поэтому выполнено условие 3◦ леммы 3.1. Отсюда вытекает следующее утверждение. Лемма 3.2. Если в задаче (3.10) выполнены условия w0 1 1 ε , wε ∈ HΓ(Ω), (3.12) Γ f (t) ∈ Cβ ([0,T ]; (H1 (Ω))∗), ψk ∈ Cβ ([0,T ]; H-1/2 (Γjk)), j, k = 1, 2, 0 < β � 1, (3.13) то существует единственное сильное решение ϕε(t) задачи (3.10) на отрезке [0,T ], и для этого решения все слагаемые в уравнении (3.10) являются непрерывными функциями t ∈ [0,T ] со значениями в L2(Ω). Из этой леммы следует такой факт. Теорема 3.1. Пусть в задаче (3.1)-(3.3), (3.5) выполнены условия (3.12), (3.13) и условие μ ∈/ σ((I + εS�1) - μB21p1). (3.14) Тогда эта задача имеет сильное решение w ∈ C2([0,T ]; (H1 (Ω))∗) ∩ C1([0,T ]; H1 (Ω)), (3.15) Γ Γ Γ для которого выполнены уравнения (3.1), где все слагаемые являются элементами из C([0,T ]; (H1 (Ω))∗), граничные условия (3.2)-(3.3), где все слагаемые на Γjk являются элементами из C([0,T ]; H-1/2 (Γjk)), j, k = 1, 2, а также начальные условия (3.5). 364 А. Р. ЯКУБОВА Доказательство. Если выполнены условия (3.12), (3.13), тогда задача (3.10), а значит, и задача (3.9), имеют решения, для которых все слагаемые в этих уравнениях являются элементами из C([0,T ]; L2(Ω)). Тогда в силу (3.13) имеем dηε/dt ∈ C([0,T ]; L2(Ω)). Далее, в зада- Γ че (3.7), а потому и в (3.6), dwε/dt ∈ C([0,T ]; H1 (Ω)). Отсюда получаем, что Lε(dwε/dt) ∈ Γ C([0,T ]; (H1 (Ω))∗), ∂ε,k (dwε/dt) ∈ C([0,T ]; H -1/2 (Γjk )). Основываясь на (3.6), аналогично рассуждениям, проведенным выше, устанавливаем, что Γ для wε(t, x) выполнены уравнения и краевые условия задачи (3.1)-(3.3), (3.5); поэтому, в силу доказанных свойств для уравнения (3.6), в уравнении (3.1) все слагаемые - элементы из C([0,T ]; (H1 (Ω))∗), а в граничных условиях - элементы из C([0,T ]; H-1/2(Γjk )), j, k = 1, 2. Отсюда получаем, что имеют место свойства (3.15), γ11p1wε ∈ C2([0,T ]; H-1/2 (Γ11)), а также выполнены начальные условия (3.12) 2. Возмущенная начально-краевая задача при спектральном параметре μ. Считаем теперь, что μ - спектральный, а λ - фиксированный параметр в задаче (2.20)-(2.22). Приведем формулировку начально-краевой проблемы, отвечающей этому случаю. Имеем следующие уравнения и краевые условия: на внешних границах: m wε,1 - Δwε,1 + ε , k=1 m wε,2 - Δwε,2 + ε , k=1 ∂wε,1 ∂xk ∂wε,2 ∂xk wε,1 = λwε,1 + f�1 (в Ω1), wε,2 = λwε,2 + f�2 (в Ω2); (3.16) на границах стыка: ∂11wε,1 = λγ11wε,1 + εσ1γ11wε,1 =: ψ�1 (на Γ11), ∂12wε,2 = λ-1γ22wε,2 + εσ2γ22wε,2 =: ψ�2 (на Γ22); (3.17) γ21wε,1 - γ12wε,2 = 0, ∂ (3.18) ∂21wε,1 + ∂12wε,2 = - ∂t (γ21p1wε)+ ε(σ21γ21p1wε - σ21γ12p2wε) := ψ�21 (на Γ21), ε,i wε(0, x) = w◦ (x), x ∈ Ωi, i = 1, 2. (3.19) Γ Снова считаем, что wε ∈ H1(Ω) есть сумма решений пяти вспомогательных задач. Тогда для искомой функции wε = wε(t, x) приходим к уравнению d wε = A-1(λwε + f )+ V21(ψ21 + dt (γ21p1wε) - ε(σ12γ21p1wε - σ21γ12p2wε))+ (3.20) + V11(ψ1 + λγ11p1wε + εσ1γ11p1wε)+ V22(ψ2 + λ-1γ22p2wε + εσ2γ22p2wε)+ (I + εS)wε и соответствующей задаче Коши dwε 1 V21γ21p1 dt + (I + εS) - λA- + ε(σ12γ21p1 - σ21γ12p2) - l (3.21) - λV11γ11p1 + εσ1γ11p1 + V22(λ-1γ22p2 + εσ2γ22p2) ε = A-1f + V21ψ21 + V11ψ1 + V22ψ2, wε(0) = w◦. wε = Кратко (3.21) можно записать в виде V21γ21p1 dwε + dt (I + εS�) - λ(A-1 + V11γ11p1) - λ-1 V22γ22p2 l wε = (3.22) ε = A-1f + V21ψ21 + V11ψ1 + V22ψ2, wε(0) = w◦. О СПЕКТРАЛЬНЫХ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ, ПОРОЖДЕННЫХ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ ФОРМОЙ 365 В силу того, что A1/2H1(Ω) = L2(Ω), в (3.22) можно сделать замену wε = A-1/2ηε, ηε ∈ L2(Ω). Тогда получаем следующую задачу Коши: B p dηε + 21 1 dt (I + εS�) - λ(A-1 + B1p1) - λ-1 B2p2 l ηε = = A-1/2f + A1/2V21ψ21 + A1/2V11ψ1 + A1/2V22ψ2 =: f1(t), ηε(0) = η◦ = A1/2w0, (3.23) o ε B21 := (A1/2V21)(γ21p1A-1/2) = (γ21p1A-1/2)∗(γ21p1A-1/2). (3.24) Особенностью этой задачи является тот факт, что оператор B21 лишь неотрицательный и имеет бесконечномерное ядро. С учетом этого рассмотрим проблему (3.23) в абстрактной форме. Полагаем, что исследуется задача Коши в произвольном гильбертовом пространстве H dηε ε dt B + ((I + εS�) - Φ)ηε = f1(t), ηε(0) = η0, (3.25) где B является неотрицательным компактным оператором, ker B /= {0}, ker B =: H0, Φ ∈ S∞(H). (3.26) Используем разложение H = H0 ⊕ H1, H1 = R(B). Преобразуем задачу (3.25) к задаче Коши для дифференциального уравнения в подпространстве H1. Для этого представим элемент ηε = ηε,0 + ηε,1, ηε,0 = P0ηε = P0ηε,0 ∈ H0, ηε,1 = P1ηε = P1ηε,1 ∈ H1, где P0, P1 - ортопроекторы на H0 и H1, соответственно. Будем предполагать, что выполнены условия ker((I + εS�) - Φ) = {0}, ker((I0 + εP0S�P0) - P0ΦP0) = {0}. (3.27) Тогда в силу второго условия оператор ((I0 + εP0S�P0) - P0ΦP0) обратим. Отсюда получаем задачу Коши dηε 0 0 B�1 dt + ((I1 + εP1S�P1) - Φ1)ηε,1 = f2(t), ηε,1(0) = ηε,1 = P1ηε , (3.28) B�1 := P1BP1, Φ1 = P1ΦP1 + (P1ΦP0)((I0 + εP0S�P0) - P0ΦP0)-1(P0ΦP1), f2 := P1f + (P1ΦP0)((I0 + εP0S�P0) - P0ΦP0)-1P0f, ηε,0 = ((I0 + εP0S�P0) - P0ΦP0)-1((P0ΦP1)ηε,1 + P0f ). Здесь оператор B�1 : H1 → H1 - положительный и компактный, Φ1 ∈ S∞(H1). Снова осуществляя замену в (3.28) получаем задачу Коши B�1ηε,1 = ξε,1, (3.29) dξε,1 + ((I + εS� ) - Φ )B�-1ξ = f (t), ξ (0) = B� η (0) = B P η0. (3.30) dt 1 1 1 1 ε,1 2 ε,1 1 ε,1 1 1 ε Лемма 3.3. Пусть в задаче (3.25), (3.26) выполнены условия (3.27), а также условия ε f1(t) ∈ Cβ ([0,T ]; H), η0 ∈ H, 0 < β � 1. (3.31) Тогда эта задача имеет единственное решение ηε(t) ∈ C1([0,T ]; H), для которого все слагаемые в уравнении (3.25) являются непрерывными функциями t со значениями в H, и выполнены начальные условия (3.25). Доказательство. Если выполнены условия (3.31), то в задаче (3.30) f�2(t) ∈ Cβ ([0,T ]; H1), ξε,1(0) ∈ D((B�1)-1). Далее, уравнение (3.30) является абстрактным параболическим, так как B�-1 1 - положительно определенный самосопряженный неограниченный оператор, а Φ1 ∈ S∞(H1). Следовательно, задача (3.29) имеет единственное сильное решение на промежутке [0,T ], т. е. ξε,1(t) ∈ C1([0,T ]; H1) ∩ C([0,T ]; D((B�1)-1)). Отсюда следует, что существует единственное решение ηε(t) задачи (3.28), для которого все слагаемые в уравнении - элементы из C([0,T ]; H1). Так как (I1 +εS�1)-Φ1 обратим в силу условий (3.27), получаем, что ηε,1(t) ∈ C([0,T ]; H1). Возвращаясь от (3.28) к исходной задаче (3.25), получаем утверждение леммы. 366 А. Р. ЯКУБОВА Теорема 3.2. Пусть в задаче (3.16)-(3.18) выполнены условия Γ f1(t) ∈ Cβ ([0,T ]; (H1 (Ω))∗), ψk ∈ Cβ ([0,T ]; H-1/2 (Γjk)), 0 < β � 1, j, k = 1, 2, wε(0) = w0 ∈ H1(Ω), (3.32) o Γ λ ∈/ σ((I + εS�1) - λ(A-1 + B1p1) - λ-1B2p2) ∩ σ((I0 + εP0S�1P0) - - λP0(A-1 + B1p1)P0 - λ-1P0B2p2P0), P0H := ker B2. (3.33) Γ Тогда эта задача имеет единственное решение wε ∈ C([0,T ]; H1 (Ω)), для которого каждое слагаемое является элементо м из C из C([0,T ]; H-1/2 (Γjk)), j, k = 1, 2. Γ ([0,T ]; (H1 (Ω))∗), а в граничных условиях - элементами Доказательство. Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 3.1 с учетом утверждения леммы 3.1. При выполнении условий (3.32), (3.33) из леммы 3.1 следует, что задача (3.28) имеет единственное решение ηε,1(t) ∈ C([0,T ]; H1), H1 := L2(Ω) ◦ ker B21. Возвращаясь от (3.28) к (3.20), (3.21) и рассуждая, как при доказательстве теоремы 3.1, получаем утверждения исходной теоремы. Следствие 3.1. Выясним теперь, как выглядят в явной форме условия (3.33). Очевидно, это те собственные значения, для которых два приведенных в (3.33) пучка Крейна имеют нетривиальные решения. Значит, нужно рассматривать две спектральные задачи ((I + εS�1) - λ(A-1 + B1p1) - λ-1B2p2)ξε = 0; (I0 + εP0S�1P0) - λP0(A-1 + B1p1)P0 - λ-1P0B2p2P0)ξε,0 = 0. (3.34) Тогда обычным образом можно показать (см. [10]), что первый из этих пучков имеет дискретный спектр с двумя предельными точками λ = 0, λ = ∞, причем ветви имеют асимптотическое поведение λ(∞) 1 -1 -1 k k = λ- (A + B1p1)[1 + o(1)] = λk (B1p1)[1 + o(1)] (k → ∞), λ(0) (3.35) k = λk (B2p2)[1 + o(1)] (k → ∞). Аналогичным образом рассматривая второе из уравнений (3.34) в пространстве H0, приходим к выводу, что это уравнение также имеет дискретный спектр, состоящий из двух ветвей собственных значений с предельными точками λ(∞) = ∞, λ(0) = 0. k,0 k,0 1. Возмущенные начально-краевые задачи при втором условии сопряжения. 1. Возмущенная начально-краевая задача при спектральном параметре λ. Рассмотрим теперь задачу (3.1)-(3.2) при втором условии сопряжения (3.3) с начальными данными (3.5). Имеем: 2 dwε = A-1(f - d wε )+ V (ψ - μ(γ dwε p - γ p dwε )) + dt dt2 d2wε 21 21 21 1 dt 12 2 dt dwε (3.36) + V11(ψ1 - γ11p1 dt2 )+ V22(ψ2 - γ22p2wε)+ (I + εS) dt , где wε = (wε,1; wε,2), f = (f1; f2), A - оператор гильбертовой пары (H1(Ω1) ⊕ H1(Ω2); L2(Ω)), A = diag (A1; A2), A1 - оператор гильбертовой пары (H1(Ω1); L2(Ω1)), A2 - оператор гильбертовой пары (H1(Ω2); L2(Ω2)), H1(Ω) = H1(Ω1) ⊕ H1(Ω2). Далее, проводя те же преобразования, что и в пункте 3.1.2, получаем задачу Коши для интегродифференциального уравнения первого порядка dηε + ((I + εS�) - μ(B p - B p ))(A-1 + B p )-1ϕ t r + B p (A-1 + B p )-1ϕ (s)ds = dt 21 1 12 2 1 1 ε 2 2 0 1 1 ε (3.37) ε = -B2p2A1/2w0 + A-1/2f + A1/2V21ψ21 + A1/2V22ψ2 + A1/2V11ψ1, ε ϕε(0) = (A-1 + B1p1)A1/2w1. Для нее также можно доказать теорему о единственности слабого решения, аналогичную теореме 3.1, с учетом замены условия (3.14) на μ ∈/ σ((I + εS�) - μ(B21p1 - B12p2). О СПЕКТРАЛЬНЫХ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ, ПОРОЖДЕННЫХ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ ФОРМОЙ 367 2. Возмущенная начально-краевая задача при спектральном параметре μ. Рассмотрим, наконец, начально-краевую задачу при втором условии сопряжения, где μ - спектральный, а λ - фиксированный параметр: на внешних границах: m wε,1 - Δwε,1 + ε , k=1 m wε,2 - Δwε,2 + ε , k=1 ∂wε,1 ∂xk ∂wε,2 ∂xk wε,1 = λwε,1 + f�1 (в Ω1), wε,2 = λwε,2 + f�2 (в Ω2); (3.38) на границах стыка: ∂11wε,1 = λγ11wε,1 + εσ1γ11wε,1 + ψ�1 (на Γ11), ∂12wε,2 = λ-1γ22wε,2 + εσ2γ22wε,2 + ψ�2 (на Γ22); ∂ (3.39) ∂21wε,1+∂12wε,2 = - ∂t (γ21p1wε-γ12p2wε)+ε(σ12γ21p1wε-σ21γ12p2wε) := ψ�21 (на Γ12); (3.40) ε,i wε(0, x) = w◦ (x), x ∈ Ωi, i = 1, 2. (3.41) Здесь снова получаем аналогичное уравнение, как и в случае с первым условием сопряжения (см. пункт 3.1.2): wε = A-1(λwε + f )+ V21(ψ21 + d dt (γ21p1 - γ12p2)wε)+ (3.42) + V11(ψ1 + λγ11p1wε)+ V22(ψ2 + λ-1γ22p2wε)+ (I + εS)wε. Далее, проводя те же преобразования, замены и проектируя на подпространства H0, H1, в итоге приходим к тем же выводам, что и в пункте 3.1.2.

Об авторах

А. Р. Якубова

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского

Автор, ответственный за переписку.
Email: alika.yakubova.1993@mail.ru
Симферополь, Россия

Список литературы