Дилатации линейных операторов

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение 209 2. Унитарная дилатация оператора сжатия 210 3. J -унитарная дилатация линейного ограниченного оператора 210 4. Самосопряженная дилатация ограниченного диссипативного оператора 211 5. Самосопряженная дилатация диссипативного оператора 211 6. J -самосопряженная дилатация линейного оператора 213 Список литературы 218 1. ВВЕДЕНИЕ В последнее время изучение неунитарных и несамосопряженных операторов происходит по трем направлениям: теория рассеяния, метод характеристических функций и метод дилатаций. Все эти направления тесно связаны между собой. Построение унитарных и самосопряженных дилатаций операторов общего вида позволяет получить информацию об этих операторах и свести их изучение к классам операторов, которые достаточно хорошо изучены. В данном обзоре нас будут интересовать явные построения различных дилатаций линейных операторов. При этом за строгими доказательствами сформулированных теорем мы будем отсылать к соответствующим статьям. Доказательство, связанное с построением J -самосопряженной дилатации с помощью операторного узла, будет дано в конце обзора, причем все рассмотренные ранее дилатации будут частным случаем последней или ей изоморфны. Определение 1.1. В случае ограниченных операторов, оператор B, действующий в гильбертовом пространстве H, называется дилатацией [14] оператора A, который действует в гильбертовом пространстве H ⊂ H, если Anh = PBnh для всех n ∈ N и h ∈ H, (1.1) где P - оператор ортогонального проектирования в H на H. При этом условие (1.1) эквивалентно любому из следующих условий: 1. (Anh, g)= (Bnh, g) для всех {f, g}⊂ H и n ∈ N; 2. (A - λI)-1h = P (B - λI)-1h для всех h ∈ H и λ ∈ W (λ0, ε) ⊂ ρ (A) ∩ ρ (B) , где W (λ0, ε) - ε-окрестность точки λ0; 3. Rn (A, α) h = PRn (B, α) h для всех h ∈ H, n ∈ N и α ∈ ρ (A) ∩ ρ (B) , где R (T, α) = (T - αI)-1. Последние два условия имеют смысл и в случае неограниченных операторов, и, таким образом, любое из них можно принять в качестве определения дилатации произвольного линейного оператора A, у которого ρ (A) /= ∅. Определение 1.2. Дилатации B1 и B2 оператора A, действующие соответственно в пространствах H1 и H2, называются изоморфными, если существует унитарное отображение U пространства H1 на H2 такое, что: 1) Uh = h (∀h ∈ H) , 2) B2 = UB1U -1. 2. УНИТАРНАЯ ДИЛАТАЦИЯ ОПЕРАТОРА СЖАТИЯ Унитарная дилатация сжатия впервые была построена в работах Б. C. Надя и довольно полно изучена в работах Б. C. Надя, Ч. Фояша [14] и других авторов. Обозначим множество линейных ограниченных операторов, действующих из всего гильбертова пространства H1 в гильбертово пространство H2, через [H1, H2]; если H1 = H2, то [H1] . 1 ∗ Рассмотрим сжатие T ∈ [H] , т. е. ∓T ∓ :( 1, и его дефектные операторы D = (I - T ∗T ) 2 , D = 1 (I - TT ∗) 2 . Образуем гильбертово пространство H = ∞ ( Hn элементов вида h= ... ,h ,h ,... , h ,h ,h , -2 -1 -∞ 0 1 2 где h0 ∈ H, hn ∈ DH, h-n ∈ D∗H, n ∈ N (рамка означает, что элемент стоит на нулевом месте), H ∓h∓2 = ),∞ -∞ 2 ∓hn∓ < ∞. ... Вложим H в H, приняв, что h0 ≡ ( , 0, 0, h0 , 0, 0,... и ортопроектор P на H действует по формуле P ( ,h ,h , h ,h ,h ,... = h . ... -2 -1 0 1 2 0 Зададим в H оператор U : Uh = ( ,h ,h , Th + D h , -T ∗h + Dh ,h ,h ,... . ... -3 -2 0 ∗ -1 -1 0 1 2 Теорема 2.1. Оператор U является унитарной дилатацией сжатия T, причем минимальной в том смысле, что H = span{Unh|n ∈ Z,h ∈ H}. Эта минимальная дилатация определяется с точностью до изоморфизма. 3. J -УНИТАРНАЯ ДИЛАТАЦИЯ ЛИНЕЙНОГО ОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА J -унитарную дилатацию построили Ч. Дэвис [16], Л. А. Сахнович [13], а затем А. В. Кужель [8], причем способы построения дилатаций у этих авторов были различны. Мы приведем дилатацию, построенную в [8]. Пусть T ∈ [H] , 1 1 D = |I - T ∗T | 2 , D∗ = |I - TT ∗| 2 , (3.1) J = sign (I - T ∗T ) , J∗ = sign (I - TT ∗) . ∞ Как и в разделе 1, образуем гильбертово пространство H = Hn, где H0 = H, Hn = DH, H-n = -∞ D∗H, n ∈ N. Построим в пространстве H оператор J : Jh = ( ... , J∗h-2, J∗h-1, h0 , Jh1, Jh2,... , тогда J ∗ = J = J -1. С помощью оператора J зададим в H новое скалярное произведение [h, h˜]= (J h, h˜)H и будем говорить в обычном смысле о J -метрике и J -унитарности. В пространстве H построим оператор U аналогично тому, как это делалось в п. 1, имея в виду, что оператор D и D∗ определяются соотношениями (3.1). Теорема 3.1. Оператор U является J-унитарной дилатацией оператора T, причем минимальной, т. е. H = span {Unh|h ∈ H,n ∈ Z}. ДИЛАТАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 211 Теперь мы построим J -унитарную дилатацию с помощью понятия операторного узла, введенного в [18], а затем в [2], следующим образом. - + - - + + ± Рассмотрим гильбертовы пространства H, E-, E+ и операторы T ∈ [H] , Φ ∈ [E-, H] , Ψ ∈ [H, E+ ] , K ∈ [E , E ] , J ∈ [E ] , J ∈ [E ] , J = J ∗ = J -1. ± ± Определение 3.1. Совокупность перечисленных выше пространств и операторов называется T ∗T + Ψ∗J+Ψ= I, T ∗Φ+ Ψ∗J+K = 0, Φ∗Φ+ K∗J+K = J-, TT ∗ + ΦJ-Φ∗ = I, T Ψ∗ + ΦJ-K∗ = 0, ΨΨ∗ + KJ-K∗ = J+. операторным узлом, если выполняются равенства С помощью понятия операторного узла в [18], а затем в [2], строится J -унитарная дилатация, а в [1] были проведены полные строгие доказательства. ∞ Рассмотрим пространство H = Hn, где H±n = E±, n ∈ N, H0 = H, ив H зададим оператор U : -∞ Uh = ( ... ,h ,h , Th + Φh , Ψh +Kh ,h ,h ,... где h = ( ,h ,h , h ,h ,h ,... . -3 -2 0 -1 0 -1 1 2 , ... -2 -1 0 1 2 Введем в H индефинитную метрику: Jh = (... ,J h ,J h , h ,J h ,J h ,... . - -2 - -1 0 + 1 + 2 Теорема 3.2. Оператор U является J-унитарной дилатацией оператора T, причем минимальной, т. е. H = span{UnH|n ∈ Z}, если E+ = ΨH, E- = Φ∗H. При этом минимальная дилатация определена с точностью до J-унитарного изоморфизма. Замечание 3.1. Если положить Ψ= D, J- = J∗, Φ= D∗, J+ = J и K = -T ∗, то мы получаем дилатацию, построенную в [8]. 4. САМОСОПРЯЖЕННАЯ ДИЛАТАЦИЯ ОГРАНИЧЕННОГО ДИССИПАТИВНОГО ОПЕРАТОРА Простейшие соображения говорят о том, что для диссипативного оператора должна существовать самосопряженная дилатация. Для этого достаточно воспользоваться преобразованием Кэли. Таким образом, в случае диссипативных операторов задача сводится к явному построению самосопряженной дилатации. Эта задача была решена в работах Б. С. Павлова [10, 11] для оператора Шредингера. Анализ показывает, что этот метод построения самосопряженной дилатации применим к произвольному ограниченному диссипативному оператору. Рассмотрим этот метод. Пусть A ∈ [H] - диссипативный оператор, -i ∈ ρ (A); V = A - A∗ 2i ); 0, E = √ V H. Образуем пространства вектор-функций L2 ([0, ∞) , E)= H+ и L2 ((-∞, 0] , E)= H-. Построим пространство H = H- ⊕ H ⊕ H+ и в нем оператор SV следующим образом: вектор T v = (v- (t) , h0, v+ (t)) ∈ D (SV ) входит в область определения оператора SV тогда и только тогда, ( dv± (t) √ когда 1) v±, dt ⊂ H± , 2) v+ (0) = i 2V h0 + v- (0) . Если v ∈ D (S) , то ⎛ ⎛v- (t)⎞ ⎜ i dv- (t) ⎞ dt ⎟ SV (v)= SV ⎝ h0 ⎠ = ⎜Ah0 + √ Vv (0)⎟ . v+ (t) ⎜ 2 - ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ dv+ (t) ⎟ i dt Теорема 4.1. Оператор SV является самосопряженной дилатацией оператора A. С помощью понятия открытой системы и узла для ограниченного диссипативного оператора такая дилатация была построена в [2]. Заметим, что другими методами самосопряженная дилатация была построена для конкретных дифференциальных выражений в [12, 15, 17]. 5. САМОСОПРЯЖЕННАЯ ДИЛАТАЦИЯ ДИССИПАТИВНОГО ОПЕРАТОРА Пусть A - плотно определенный диссипативный оператор, действующий в гильбертовом пространстве H, и -i ∈ ρ (A) . 212 Ю. Л. КУДРЯШОВ Рассмотрим дефектные операторы B = iR-iR∗ -2R∗R, B˜ = iR-iR∗ -2RR∗, где R = (A + iI)-1: B ); 0, B˜ ); 0, Q = √ Q = B, (5.1) B, ˜ ˜ H1 = QH, H2 = Q˜H. (5.2) Построим пространства вектор-функций H+ = L2 ([0; +∞) , H1) , H- = L2 ((-∞, 0] , H2) , H = T H- ⊕ H ⊕ H+ и определим в H оператор S следующим образом: вектор h = (h-, h0, h+) h± ∈ H±, h0 ∈ H, принадлежит D (S) тогда и только тогда, когда выполняются условия: dh± (t) , где 1) {h±, dt }⊂ H±, 2) ϕ = h0 + Q˜h0 ∈ D (A) , 3) h+ (0) = T ∗h- (0) + iDϕ, где T ∗ = I + 2iR∗, D = Q (A + iI) . Если h ∈ D (S) , то ⎛ ⎛h-⎞ ⎜ i dh- (t) ⎞ dt ⎟ ⎜- Sh = S ⎝ h0 ⎠ = ⎜ ⎟ ih0 + (A + iI) ϕ⎟ . h+ В [3] доказана следующая теорема. ⎝ ⎠ ⎜ dh+ (t) ⎟ i dt Теорема 5.1. Оператор S является самосопряженной дилатацией оператора A. Теорема 5.2. Дилатация S является минимальной в том смысле, что H = span{Rn (S) h, Rn (S) h|h ∈ H,n ∈ {0}∪ N}. i -i Эта теорема доказана в [7]. Построенная дилатация S называется спектральным представлением самосопряженной дилатации диссипативного оператора. В [8, 9] построено трансляционное представление такой дилатации, которое мы сейчас рассмотрим. Пусть A - плотно заданный диссипативный оператор, действующий в гильбертовом пространстве H, -i ∈ ρ (A) . Рассмотрим операторы (5.1) и пространства (5.2). -1 ∞ Образуем гильбертово пространство H = H- ⊕ H ⊕ H+, где H- H2, H+ = -∞ 1 H1. Элементами H являются векторы f = ( ,f ,f , f ,f ,f ,... , где f ∈ H , при k ); 1, f ∈ H при ),∞ ... -2 -1 0 1 2 k 1 k 2 k :( -1, f0 ∈ H и fk 2 < ∞. -∞ В пространстве H рассмотрим неограниченные операторы S+ и S-, действующие по формулам S+f = ),∞ k=1 fk, S-f = ),∞ k=1 f-k. Построим в пространстве H оператор ST . Пусть f ∈ D (ST ) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: 1) f ∈ D (S+) ∩ D (S-) , ),∞ n=1 2 ∓Snf ∓ < ∞ и ),∞ n=1 2 ∓S-nf ∓ 1 < ∞, где Snf = - 2 fn - ),∞ k=n+1 fk и 1 S-nf = 2 f-n + ),∞ k=n+1 f-k; 2) ϕ = f0 + Q˜S-f ∈ D (A); 1 3) S+f = T ∗S-f + iDϕ, где D = Q (A + iI) , T = I - 2iR, R = (A + iI)- . Если f ∈ D (ST ) , то ST f = (... ,g , g ,g ,... , где g = -if + (A + iI) ϕ, g = iS f (∀n ∈ Z \ {0}) . -1 0 1 0 0 n n В [8] доказана теорема. Теорема 5.3. Оператор ST является самосопряженной дилатацией диссипативного оператора A. В [4] получена следующая теорема. ДИЛАТАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 213 Теорема 5.4. Если пространство H1 = QH и H2 = QˆH сепарабельны, то самосопряженные дилатации S и ST диссипативного оператора A изоморфны. Теорема 5.5. Если A - ограниченный диссипативный оператор и -i ∈ ρ (A) , то самосопряженные дилатации S и SV оператора A изоморфны. Эта теорема доказана в [4, 6]. 6. J -САМОСОПРЯЖЕННАЯ ДИЛАТАЦИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА Пусть A - линейный, плотно заданный оператор, действующий в гильбертовом пространстве H, -i ∈ ρ (A) . Рассмотрим операторы Пусть R = (A + iI)-1, B = iR - iR∗ - 2R∗R, B˜ = iR - iR∗ - 2RR∗. (6.1) Q = |B|, Q˜ = / ˜ |B|, (6.2) J J = sign B, ˜ = sign B˜. Пространство H = H- ⊕ H ⊕ H+ определяется как и в разделе 4. Операторы Q и Q˜ теперь определяются по формулам (6.2). Затем в пространстве H определяем оператор S аналогично тому, как это делается в разделе 4. J Введем в пространстве H J -метрику следующим образом: пусть h± (t) ∈ H±, J1h- = ˜h- (t) , J J2h+ = J h+ (t) (J и ˜ действуют при каждом фиксированном t), ⎛h-⎞ ⎛J1h-⎞ J ⎝ h0 ⎠ = ⎝ h0 ⎠ . h+ В [5] доказана следующая теорема. J2h+ Теорема 6.1. Оператор S является J-самосопряженной дилатацией оператора A. Построенный оператор S является спектральным представлением J -самосопряженной дилатации оператора A. В [8] аналогичным образом было построено трансляционное представление такой дилатации. Теперь, используя понятие операторного узла, введенное в п. 2, определим это понятие для неограниченного оператора. Пусть A - линейный, плотно заданный оператор, действующий в пространстве H, -i ∈ ρ (A) и операторы B и B˜ определяются по формулам (6.1). 1 Определение 6.1. Совокупность гильбертовых пространств H, E- и E+ и операторов Φ ∈ [E-, H] , Ψ ∈ [H, E+ ] , K ∈ [E-, E+] , J- ∈ [E-, E-] , J+ ∈ [E+, E+] , A : H → H, где J± = J - = J ∗ , ± ± которые удовлетворяют соотношениям: B = Ψ∗J+Ψ, (6.3) T ∗Φ+ Ψ∗J+K = 0, (6.4) 2Φ∗Φ+ K∗J+K = J-, (6.5) называется операторным узлом для оператора A. Из (6.4) получаем B˜ = ΦJ-Φ∗, (6.6) T Ψ∗ + ΦJ-K∗ = 0, (6.7) 2ΨΨ∗ + KJ-K∗ = J+, (6.8) Из (6.7) получаем Φ∗T + K∗J+Ψ= 0. (6.9) ΨT ∗ + KJ-Φ∗ = 0. (6.10) Используя введенное понятие операторного узла построим J -самосопряженную дилатацию S линейного оператора A следующим образом. Пусть H- = L2 ((-∞; 0] , E-) , H+ = L2 ([0; ∞) , E+) , H = H- ⊕ H ⊕ H+. Введем в H индефинитную метрику: ⎛h-⎞ ⎛J-h- (t)⎞ Jh = J ⎝ h0 ⎠ = ⎝ h0 ⎠ . h+ J+h+ (t) 214 Ю. Л. КУДРЯШОВ - Вектор h = (h+, h0, h )T dh± (t) ∈ D (S) тогда и только тогда, когда выполняются условия: 1) {h±, dt }⊂ H±, 2) h˜ = h0 + Φh- (0) ∈ D (A) , 3) h+ (0) = -Kh- (0) + iΨ (A + iI) h˜; ⎛ ⎛h-⎞ ⎜ i dh- (t) ⎞ dt ⎟ ⎜- S ⎝ h0 ⎠ = ⎜ ⎟ ih0 + (A + iI) h˜⎟ . ⎜ ⎟ h + ⎝ i dh+ (t) ⎠ dt Теорема 6.2. Оператор S является J-самосопряженной дилатацией оператора A. dh±(t) Доказательство. Найдем сопряженный оператор S∗. Обозначим Γ±h±(t) = i свойства оператора дифференцирования, получим . Используя dt ± (Γ±f, ϕ)H ± - (f, Γ±ϕ)H = ∓i(f (0), ϕ(0))H, - (Sh, g)H = (h-, Γ-g-)H + (h+, Γ+g+)H+ - i(h+(0), g+ (0))E+ + - + i(h-(0), g- (0))E где hˆ = h0 + Φh-(0) ∈ D(A). - i(h0, g0)H + ((A + iI)hˆ, g0)H, - Введем обозначение C = (h0, ig0)H - i(h+(0), g+ (0))E+ + i(h-(0), g- (0))E Используем условие 3) на D(S): + ((A + iI)hˆ, g0)H. - C = (h0, ig0)H - i(-Kh-(0) + iΨ(A + iI)hˆ, g+(0))E+ + i(h-(0), g- (0))E Положим h-(0) = 0, тогда hˆ = h0 и + ((A + iI)hˆ, g0)H. C = (h0, ig0)H + (Ψ(A + iI)h0, g+(0))E+ + ((A + iI)h0, g0)H = + = (h0, ig0)H + ((A + iI)h0, Ψ∗g+(0))E + ((A + iI)h0, g0)H = (h0, ig0)H + ((A + iI)h0, g0 + Ψ∗g+(0))H . Если gt = g0 + Ψ∗g+(0) ∈ D(A∗), то C = (h0, ig0)H + (h0, (A ∗ -iI)gt)H = (h0, ig0 + (A ∗ -iI)gt )H. Теперь - C = (h0, ig0)H + i(h-(0),K∗g+(0))E - + ((A + iI)hˆ, g0 + Ψ∗J+g+(0))H + i(h- (0), g-(0))E = - = (h0, ig0)H + i(h-(0),K∗g+(0))E - + (h0 + Φh-(0), (A∗ - iI)gt )H + i(h-(0), g- (0))E = - = (h0, ig0)H +(h-(0), -iK∗g+(0))E - +(h0, (A∗ -iI)gt )H +(Φh-(0), (A∗ -iI)gt )H +i (h-(0), g- (0))E = тогда т. е. - = (h0, ig0 + (A∗ - iI)gt )H + (h-(0), -iK∗g+(0) + Φ∗(A∗ - iI)gt - ig-(0))E , -iK∗g+(0) + Φ∗(A∗ - iI)gt - ig-(0) = 0, g-(0) = -K∗g+(0) - iΦ∗(A∗ - iI)gt. Таким образом, оператор S∗ определяется следующим образом. - 0 + Вектор h = (h , h , h )T 1) {h±, Γ±h±}⊂ H±, ∈ D(S∗) тогда и только тогда, когда выполняются условия 2) ht = h0 + Ψ∗h+(0) ∈ D(A∗), 3) h-(0) = -K∗h+(0) - iΦ∗(A∗ - iI)ht; ДИЛАТАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 215 ⎛h-⎞ ⎛ Γ-h-(t) ⎞ S∗ ⎝ h0 ⎠ = ⎝ih0 + (A∗ - iI)ht⎠ . Докажем равенство S = J S∗J, где h+ ⎛h-⎞ Γ+h+(t) ⎛J-h-(t)⎞ J ⎝ h0 ⎠ = ⎝ h0 ⎠ . h+ J+h+(t) Для его доказательства нам понадобятся следующие утверждения. Если выполнены условия 2) и 3) на D(S), то вектор hˆ = h0 + Ψ∗J+h+(0) ∈ D(A∗) и имеет место равенство где h = h0 + Φh-(0), hˆ (A + iI) h - (A∗ - iI)hˆ = 2ih0, (6.11) = h0 + Ψ∗J+h+(0). Действительно, h+(0) = -Kh-(0) + iΨ(A + iI) h. Подействуем на это равенство оператором Ψ∗J+: Ψ∗J+h+(0) = -Ψ∗J+Kh-(0) + iΨ∗J+Ψ(A + iI) h. Используем соотношение (6.3): Ψ∗J+h+(0) = -Ψ∗J+Kh-(0) + (-R + R∗ - 2iR∗R)(A + iI) h, Ψ∗J+h+(0) = -Ψ∗J+Kh-(0) - h + R∗(A + iI) h - 2iR∗ h, или Ψ∗J+h+(0) + Ψ∗J+Kh-(0) + h = R∗(A + iI) h - 2iR∗ h. (6.12) Преобразуем левую часть равенства, используя (6.4): Ψ∗J+h+(0) - T ∗Φh-(0) + h0 + Φh-(0) = Ψ∗J+h+(0) + h0 - 2iR∗Φh-(0) = hˆ - 2iR∗Φh-(0). Подставляя в (6.12), получим Ψ∗J+h+(0) + h0 = 2iR∗Φh-(0) + R∗(A + iI)hˆ - 2iR∗ h. (6.13) Следовательно, вектор hˆ = Ψ∗J+h+(0) + h0 ∈ D(A∗). Подействуем на равенство (6.13) оператором (A∗ - iI): (A∗ - iI)hˆ = 2iΦh-(0) + (A + iI) h - 2i h, (A∗ - iI)hˆ = 2iΦh-(0) + (A + iI)hˆ - 2ih0 - 2iΦh-(0), и получаем (6.11). Теперь докажем, что если выполняются условия 2) и 3) на D(S∗), то вектор ht = h0 +ΦJ-h-(0) ∈ D(A) и имеет место равенство (A + iI)ht - (A∗ - iI)hˆ = 2ih0, (6.14) где ht = h0 + ΦJ-h-(0), hˆ = h0 + Ψ∗h+(0). Действительно, запишем условие 3) на D(S∗): h-(0) = -K∗h+(0) - iΦ∗(A∗ - iI)hˆ и подействуем на это равенство оператором ΦJ-: ΦJ-h-(0) = -ΦJ-K∗h+(0) - iΦJ-Φ∗(A∗ - iI)hˆ. Используя равенства (6.6) и (6.7), получаем ΦJ-h-(0) = T Ψ∗h+(0) - i(iR - iR∗ - 2RR∗)(A - iI)hˆ, ΦJ-h-(0) = Ψ∗h+(0) - 2iRΨ∗h+(0) + R(A∗ - iI)hˆ - hˆ + 2iRhˆ. (6.15) Тогда ht = h0 + ΦJ-h-(0) ∈ D(A). Подействуем на равенство (6.15) оператором (A + iI): (A + iI)ht = -2iΨ∗h+(0) + (A∗ - iI)hˆ + 2i(h0 + Ψ∗h+(0)). Таким образом, (A + iI)ht - (A∗ - iI)hˆ = 2ih0 и (6.14) доказано. 216 Ю. Л. КУДРЯШОВ Итак, докажем что Sh = J S∗J h, (6.16) ⎛h-⎞ ⎛J+h+⎞ h = ⎝ h0 ⎠ , Jh = ⎝ h0 ⎠ . Пусть h ∈ D(S) и Jh ∈ D(S∗), тогда h+ ⎛J+h+⎞ J-h- ⎛ i J+dh+(t) ⎞ ⎜ dt ⎟ S∗Jh = S∗ ⎝ h0 ⎠ = ⎜ih0 + (A∗ - iI)h⎟ , J-h- ⎜ ˆ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ i J-dh-(t) ⎠ dt где hˆ = h0 + ΨJ+h+(0) ∈ D(A∗). Используя (6.11), получаем ⎛ iJ+ ⎜ dh+(t) ⎞ dt ⎟ ⎛ J+dh+(t) ⎞ i ⎜ dt ⎟ S∗Jh = ⎜ ih0 + (A + iI)h⎟ , J S∗Jh = ⎜-ih0 + (A + iI)h⎟ = Sh. Надо доказать, что ⎜- ⎜ ⎝ iJ- ⎟ ⎟ J-dh-(t) ⎠ dt ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ i dh-(t) ⎠ dt D(S∗)= J D(S). (6.17) Равенство (6.16) было доказано в предположении (6.17). Пусть h ∈ D(S), докажем что Jh ∈ D(S∗). h+(0) = -Kh-(0) + iΨ(A + iI) h, (6.18) где h = h0 + Φh-(0) ∈ D(A). Надо доказать, что J-h-(0) = -K∗J+h+(0) - iΦ∗(A∗ - iI)hˆ, где hˆ = h0 + Ψ∗J+h+(0) ∈ D(A∗). Из (6.11) получим (A + iI) h = 2ih0 + (A∗ - iI)hˆ. Подействуем на равенство (6.18) оператором K∗J+ и применим равенства (6.5) и (6.9). Получаем: K∗J+h+(0) = -K∗J+Kh-(0) + iK∗J+Ψ(2ih0 + (A∗ - iI)hˆ), K∗J+h+(0) = (2Φ∗Φ - J-)h-(0) - iΦ∗T (2ih0 + (A∗ - iI)hˆ), K∗J+h+(0) + J-h-(0) = 2Φ∗Φh-(0) - iT (2ih0 + (A∗ - iI)hˆ). Преобразуем правую часть равенства: 2Φ∗Φh-(0)-iΦ∗(I -2iR)(2ih0 +(A∗ -iI)hˆ)= 2Φ∗Φh-(0)+2Φ∗T h0 -iΦ∗(A∗ -iI)hˆ -2Φ∗R(A∗ -iI)hˆ. Вычислим 2Φ∗Φh-(0) + 2Φ∗T h0 - 2Φ∗R(A∗ - iI)hˆ, используя (6.11). Получаем: 2Φ∗Φh-(0) + 2Φ∗T h0 - 2Φ∗R(A∗ - iI)hˆ = 2Φ∗Φh-(0) + 2Φ∗(I - 2iR)h0 - 2Φ∗R((A + iI)hˆ - 2ih0)= = Φ∗(2Φh-(0) + 2h0 - 4iRh0 - 2h0 - 2Φh-(0) + 4iRh0)= 0, таким образом, J-h-(0) = K∗J+h+(0) - iΦ∗(A∗ - iI)hˆ. Пусть Jh ∈ D(S∗). Докажем, что h ∈ D(S), ⎛h-⎞ ⎛J-h-⎞ h = ⎝ h0 ⎠ , Jh = ⎝ h0 ⎠ , Jh ∈ D(S∗). h+ J+h+ Это означает, что hˆ = h0 + Ψ∗J+h+(0) ∈ D(A∗) и J-h-(0) = -K∗J+h+(0) - iΦ∗(A∗ - iI)hˆ. (6.19) Из равенства (6.11), если Jh ∈ D(S∗), получаем (A + iI) h - (A∗ - iI)hˆ = 2ih0, (6.20) hˆ ∈ D(A∗), h ∈ D(A), hˆ = h0 + Ψ∗J+h+(0), h˜ = h0 + Φh-(0) ∈ D(A), т. е. условие 2) на D(S) выполняется. ДИЛАТАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 217 Проверим выполнение условия 3) на D(S) для вектора h. Надо доказать равенство h+(0) = -Kh-(0) + iΨ(A + iI) h, где h˜ = h0 + Φh-(0) ∈ D(A). Подействуем на равенство (6.19) оператором KJ- и получим Kh-(0) = -KJ-K∗J+h+(0) - iKJ-Φ∗(A∗ - iI)hˆ. Используя (6.8) и (6.10), получаем Kh-(0) = (2ΨΨ∗ - J+)J+h+(0) + iΨ(I + 2iR∗)(A∗ - iI)hˆ, Kh-(0) + h+(0) = 2ΨΨ∗J+h+(0) + iΨ(I + 2iR∗)(A∗ - iI)hˆ. Преобразуем правую часть равенства: 2ΨΨ∗J+h+(0) + iΨ(A∗ - iI)hˆ - 2Ψ(h0 + Ψ∗J+h+(0)) = = 2ΨΨ∗J+h+(0) + iΨ((A + iI) h - 2ih0) - 2Ψh0 - 2ΨΨ∗J+h+(0) = iΨ(A + iI) h, h+(0) = -Kh-(0) + iΨ(A + iI) h, где h = h0 + Φh-(0). Докажем, что S - дилатация оператора A. Обозначим Γ-h-(t) = i Γ0 = Γ+|M , где M = {h+ (t) ∈ D (Γ+)|h+ (0) = 0}. Рассмотрим в пространстве H = H- ⊕ g ⊕ H оператор R: dh-(t) , Γ h (t) = i dt + + dh+(t) , dt ⎛h-⎞ ⎛ (Γ- - λI)-1h- ⎞ ⎛v-⎞ Rh = R ⎝ h0 ⎠ = ⎝ h+ Rλh0 - (I + μRλ)Φv-(0) (Γ0 - λI)-1h+ + e-iλtv+(0) ⎠ = ⎝ v0 ⎠ , v+ где λ ∈ ρ(Γ-) ∩ ρ(Γ0) ∩ ρ(A)= ρ(λ). Так как -i ∈ ρ(λ), то λ принадлежит некоторой окрестности точки -i, которая содержится в ρ(λ). x 1 r i (Γ0 - λI)-1h+(x)= 0 При этом 1 - e-iλ(x-t)h+(t)dt, (Γ - - λI)-1h ∗ x 1 r (t)= i -∞ - e-iλ(x-t)h (t)dt. v-(0) = [(Γ- - λI)- h-(t)]t=0, v+(0) = -Kv-(0) + iΨ (I + μRλ)(h0 - μΦv-(0)), μ = λ + i, Rλ = (A - λI)-1. Пусть h ∈ D(S), тогда ⎛h-⎞ ⎛ (Γ- - λI)h- ⎞ (S - λI) ⎝ h0 ⎠ = ⎝-μh0 + (A + iI) h⎠ . h+ Докажем, что R = (S - λI)-1: ⎛h-⎞ ⎛ (Γ+ - λI)h+ (Γ- - λI)h- ⎞ ⎛h-⎞ R(S - λI) ⎝ h0 ⎠ = R ⎝(A - λI) h + μΦh-(0)⎠ = ⎝ y0 ⎠ . h+ Докажем, что y0 = h0, y+ = h+. (Γ+ - λI)h+ y+ y0 = Rλ((A - λI) h + μΦh-(0)) - (I + μRλ)Φv-(0) = h + μRλΦh-(0) - Φh-(0) - μRλΦv-(0) = h0, т. к. v-(0) = h-(0). v+(0) = -Kv-(0) + iΨ∗(I + μRλ)((A - λI) h - μΦh-(0) - μΦv-(0)) = = -Kh-(0) + iΨ∗(I + μRλ)(A - λI) h = -Kh-(0) + iΨ∗(A - λI) h + iμΨ∗ h = = -Kh-(0) + iΨ∗(A + iI) h = h+(0), таким образом, y+ = h+. Теперь докажем, что ∀h ∈ H, Rh ∈ D(S). Действительно: 1. очевидно, что v∓ ∈ H∓. 2) h = v0 + Φv-(0) = Rλh0 - (I + μRλ)Φv-(0) + Φv-(0) = Rλ(h0 - μΦv-(0)) ∈ D(A). 3) Проверим равенство 218 Ю. Л. КУДРЯШОВ v+(0) = -Kv-(0) + iΨ∗(A + iI)(v0 + Φv-(0)) = = -Kv-(0) + iΨ∗(A + iI)(Rλh0 - (I + μRλ)Ψ∗v-(0) + Ψ∗v-(0)) = = -Kv-(0) + Ψ∗(I + μRλ)(h0 - μΦv-(0)) = v+(0). Таким образом, Rh ∈ D(S)(∀h ∈ H). Теперь докажем, что (S - λI)Rh = h, ∀h ∈ H. ⎛v-⎞ ⎛ (Γ- - λI)v- ⎞ ⎛Θ-⎞ (S - λI)Rh = (S - λI) ⎝ v0 ⎠ = ⎝(A - λI)(v0 + Φv-(0)) + μΦv-(0)⎠ = ⎝Θ0 ⎠ = Θ. v+ Докажем, что Θ= h: (Γ+ - λI)v+ Θ+ 1 где Θ- = (Γ- - λI)(Γ- - λI)- h- = h-, Θ0 = (A - λI)(v0 + Φv-(0)) + μΦv-(0) = = (A - λI)(Rλh0 - (I + μRλ)Φv-(0) - Φv-(0)) + μΦv-(0) = h0, Θ+ = (Γ+ - λI)[(Γ0 - λI)-1h0 + e-iλtv+(0)], v+(0) = -Kv-(0) + iΨ∗(I + μRλ)(h0 - μΦv-(0)). - Поскольку (Γ+ - λI)e-iλtv (0) = 0, то Θ+ = h+. Как легко видеть оператор R ограничен и определен на всем пространстве H. Замечание 6.1. При доказательстве равенства R = (S-λI)-1 не использовались свойства узла, - поэтому R = (S - λI)-1 для любых операторов Ψ∗ ∈ [E+, H] и Φ ∈ [E , H]. Замечание 6.2. Если положить E- = Q H, E+ = QH, Ψ = Q, Φ = Q и J = I, где Q и Q определены равенством (5.1), то мы получаем спектральное представление самосопряженной дилатации диссипативного оператора A. Замечание 6.3. Если Q и Q определить равенством (6.2) и J = sign B, J = sign B , то получаем спектральное представление J -самосопряженной дилатации линейного оператора.

Об авторах

Ю. Л. Кудряшов

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского

Автор, ответственный за переписку.
Email: kudryashov_2889@mail.ru
Симферополь, Россия

Список литературы