О включении диффеоморфизмов Морса-Смейла в топологический поток

Полный текст

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ИСТОРИЯ ВОПРОСА Динамические системы с непрерывным (потоки) и дискретным (каскады) временем имеют тесную взаимосвязь. Так, если поток на многообразии Mn обладает глобальной секущей, то его свойства во многом определяются свойствами отображения последования Пуанкаре на этой секущей. Численные методы решения дифференциальных уравнений естественным образом приводят к отображениям с дискретным временем. Один из показателей адекватности численного моделирования состоит в том, что полученный в результате каскад топологически сопряжен сдвигу на единицу времени вдоль траекторий исходного потока. В работах [29, 30] показано, что дискретизация методом Рунге-Кутты системы n � 2 дифференциальных уравнений, определяющих поток Морса-Смейла без периодических траекторий (структурно-устойчивый поток с конечным Работа выполнена при поддержке РНФ, проект № 17-11-01041, за исключением разделов 2-3, выполненных при поддержке Лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ, грант Министерства науки и высшего образования РФ (соглашение № 075-15-2019-1931). неблуждающим множеством) на диске, при достаточно малой величине шага дискретизации задает дискретную динамическую систему, топологически сопряженную сдвигу на единицу времени вдоль траекторий исходного потока. Это означает, что полученная дискретная динамическая система включается в топологический поток. Изучение взаимосвязи между каскадами и потоками приводит к классической задаче об отыскании условий включения диффеоморфизмов (или гомеоморфизмов) в поток. Пусть Mn - гладкое связное замкнутое многообразие размерности n. Напомним, что Cm-потоком (m � 0) на многообразии Mn называется непрерывно зависящее от t ∈ R семейство Cm-диффеоморфизмов Xt : Mn → Mn такое, что X0(x) = x и Xt(Xs(x)) = Xt+s(x) для любых s, t ∈ R, x ∈ Mn. C0-поток еще называют топологическим потоком. Говорят, что диффеоморфизм f : Mn → Mn замкнутого многообразия Mn включается в Cmпоток, если f является сдвигом на единицу времени вдоль траекторий некоторого Cm-потока Xt (f = X1), заданного на Mn. Так как поток определяет изотопию, соединяющую сдвиг на единицу времени вдольтраекторий и тождественное отображение, то неизотопные тождественному диффеоморфизмы не включаются ни в какие потоки. Таким образом, множество каскадов значительно богаче, чем множество сдвигов на единицу времени вдоль траекторий потоков. В работе [43] доказано, что множество Cr -диффеоморфизмов (r � 1), включающихся в C1-поток, является подмножеством первой категории в Diff r (Mn). Согласно [3], множество C2-диффеоморфизмов, включающихся в C1-гладкий поток, нигде не плотно в пространстве диффеоморфизмов Морса-Смейла. В то же время, для любого многообразия Mn существует открытое в Diff 1(Mn) множество диффеоморфизмов, включающихся в топологический поток. Этот факт вытекает из следующего рассуждения. В силу [47] на любом многообразии существует функция Морса, градиентный поток которой может быть сколь угодно близко аппроксимирован потоком Xt Морса-Смейла без замкнутых траекторий. Сдвиг на единицу времени X1 вдоль траекторий такого потока является диффеоморфизмом Морса-Смейла, который, в силу [42, 44], являются структурно устойчивыми. Следовательно, существует окрестность U (X1) ⊂ Diff 1(Mn) такая, что любой диффеоморфизм f ∈ U (X1) топологически сопряжен с X1 посредством некоторого гомеоморфизма h, поэтому f включается в топологический поток h-1Xth. Напомним, что диффеоморфизм f, заданный на замкнутом многообразии Mn, называется диффеоморфизмом Морса-Смейла, если его неблуждающее множество Ωf конечно и состоит из гиперболических периодических точек, и для любых двух точек p, q ∈ Ωf пересечение устойчивого многообразия W s точки p и неустойчивого многообразия W u точки q трансверсально. Везде p q далее рассматривается класс G(Mn) сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла на ориентируемых многообразиях. В работе Ж. Палиса [42] сформулированы следующие необходимые условия включения диффеоморфизма Морса-Смейла f : Mn → Mn в топологический поток: 1. неблуждающее множество Ωf совпадает с множеством неподвижных точек; 2. ограничение диффеоморфизма f на каждое инвариантное многообразие любой неподвижной точки p ∈ Ωf сохраняет его ориентацию; 3. если для различных седловых точек p, q ∈ Ωf пересечение W s ∩ W u непусто, то оно не p q содержит компактных компонент связности. В дальнейшем условия (1)-(3) будем называть условиями Палиса. В работе [42] также показано, что при n = 2 эти условия являются достаточными (см. теорему 5.1) и поставлена задача обобщения этого результата на случай большей размерности (отметим, что из [28] следует, что необходимое и достаточное условие включения в поток диффеоморфизма Морса-Смейла окружности совпадает с первым условием Палиса). Проблема Палиса исчерпывающим образом решена в размерности три в работах [6, 13]; для более высокой размерности - лишь частично, для класса диффеоморфизмов Морса-Смейла без гетероклинических пересечений, заданных на сфере, см. [32]. Изложению этих результатов и связанных с ними топологических проблем посвящен настоящий обзор. 162 В. З. ГРИНЕС, E. Я. ГУРЕВИЧ, О. В. ПОЧИНКА 2. СВОЙСТВА ДИФФЕОМОРФИЗМОВ МОРСА-СМЕЙЛА И СВЯЗАННЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Напомним некоторые факты, связанные с динамикой диффеоморфизмов Морса-Смейла, к которым мы будем обращаться многократно в дальнейших разделах. Пусть f : Mn → Mn - диффеоморфизм. Точка x ∈ Mn называется неблуждающей точкой диффеоморфизма f, если для любой ее окрестности U и любого натурального числа N найдется n0 ∈ Z такое, что |n0| � N и fn0 (U )∩U ±= ∅. Очевидно, что периодическая точка является неблуждающей. Согласно определению диффеоморфизма Морса-Смейла его неблуждающее множество совпадает с множеством периодических точек. Периодическая точка p периода m диффеоморфизма f называется гиперболической, если дифференциал Dfm(p) : TpMn → TpMn, рассматриваемый как линейное отображение касательного пространства TpMn в себя, не имеет собственных значений, равных по модулю единице. Согласно теореме Гробмана-Хартмана [8, 9, 34], в некоторой окрестности гиперболической периодической точки p диффеоморфизм fm топологически сопряжен линейному диффеоморфизму, определяемому ∂fm матрицей Якоби . ∂x p Отсюда получаем, что для гиперболической периодической точки p существуют так называемые устойчивое многообразие W s = {x ∈ Mn : lim d(fkm(x), p) = 0} и неустойчивое многообразие W u p = {x ∈ Mn : lim n→+∞ d(f p -kmp n→+∞ (x), p) = 0}, где d - метрика на M n. Неустойчивые и устойчивые многообразия называются инвариантными многообразиями. Число j, равное числу собственных p p значений матрицы Якоби, по модулю больших единицы и, соответственно, совпадающее с размерностью неустойчивого многообразия dim W u, называется индексом Морса гиперболической точки p. Тогда размерность устойчивого многообразия вычисляется по формуле dim W s = n - j. f Везде в дальнейшем мы будем обозначать через Ωj , j ∈ {0,... , n} множество гиперболических периодических точек диффеоморфизма f с индексом Морса j. Точка с индексом Морса 0 < j < n называется седловой, остальные точки называются узловыми, при этом узловая точка с индексом 0 называется стоком, а с индексом n - источником. Напомним, что n-шаром (n-диском) называется многообразие с краем, гомеоморфное стандартному шару Bn = {(x1,... , xn) ∈ Rn | x2 + ... + x2 � 1}. Сферой называется многообразие Sn, 1 n гомеоморфное границе Sn-1 шара Bn. В силу сопряженности с линейным сжатием, в окрестности неподвижной стоковой точки p p существует замкнутый n-шар Up ⊂ W s такой, что f (Up) ⊂ int Up и П fk(Up) = p. Таким образом, k�0 стоковая гиперболическая неподвижная точка является аттрактором диффеоморфизма f в смысле следующего определения. Замкнутое f -инвариантное множество A ⊂ Mn называется аттрактором f, если оно имеет компактную окрестность UA такую, что f (UA) ⊂ int UA и A = П fk(UA). Окрестность UA при k�0 этом называется захватывающей, а объединение J f -k(UA) называется бассейном аттрактора. k�0 Репеллер определяется как аттрактор для f -1. p Для любой периодической гиперболической точки p компонента связности fs p (fu) множества W s u p \ p (Wp \ p) называется сепаратрисой точки p. Для любого подмножества P ⊂ Ωf будем обозначать через W u (W s ) объединение неустойчивых (устойчивых) многообразий всех точек из P P множества P. Тесная связьтопологии несущего многообразия с динамическими свойствами диффеоморфизмов Морса-Смейла во многом объясняется следующим фактом (см. [35, 47]). Предложение 2.1. Пусть f : Mn → Mn - диффеоморфизм Морса-Смейла. Тогда W u и W s p p являются гладкими подмногообразиями многообразия Mn, диффеоморфными Rj и Rn-j, соответственно, для любой периодической точки p ∈ Ωf , и Mn = J p∈Ωf p W u = J p∈Ωf p W s. Хотя инвариантные многообразия седловых периодических точек диффеоморфизма Морса- Смейла f являются подмногообразиями многообразия Mn, их замыкания могут иметь сложную О ВКЛЮЧЕНИИ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ МОРСА-СМЕЙЛА В ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ПОТОК 163 топологическую структуру. Например, такое поведение имеет место, когда сепаратриса седловой точки участвует в гетероклинических пересечениях. Пусть σ1, σ2 ∈ Ωf - различные седловые периодические точки диффеоморфизма Морса- Смейла f. Пересечение инвариантных многообразий W s ∩W u , в случае W s ∩W u ±= ∅, называется σ1 σ2 σ1 σ2 гетероклиническим. Поскольку инвариантные многообразия пересекаются трансверсально и каждое из W s , W u является подмногообразием, то любая компонента связности гетероклинического σ1 σ2 σ1 ∩ W σ2 пересечения W s u σ1 также является подмногообразием. Если dim (W s σ2 ∩ W u ) � 1, то компонента связности такого пересечения называется гетероклиническим многообразием. В частности, σ1 если dim (W s σ2 ∩ W u ) = 1, то гетероклиническое многообразие называется гетероклинической кривой. Асимптотическое поведение неустойчивой сепаратрисы в общем случае описывается следующим предложением. Предложение 2.2. Пусть f : Mn → Mn - диффеоморфизм Морса-Смейла. Тогда cl(fu) \ (fu ∪ p) = 1 W u p p r r∈Ωf :Ru∩W s±=∅ p r для любой неустойчивой сепаратрисы fu периодической точки p ∈ Ωf . В частности, если fu - p седловая сепаратриса, не участвующая в гетероклинических пересечениях, то p (fu )\(fu ∪σ) = cl σ σ ω}, где ω - стоковая периодическая точка. При этом, если j = 1, то cl(fu ) - топологически { σ σ вложенная дуга в Mn, если j � 2, то cl(fu ) - топологически вложенная в Mn сфера Sj. 3. УСЛОВИЯ ПАЛИСА В этом разделе мы приводим доказательство необходимости выполнения условий Палиса для включения диффеоморфизма Морса-Смейла в топологический поток, предложенное Палисом в [42]. Лемма 3.1 (необходимые условия Палиса). Пусть f : Mn → Mn - диффеоморфизм Морса- Смейла, включающийся в топологический поток Xt. Тогда: 1. неблуждающее множество Ωf совпадает с множеством неподвижных точек; 2. ограничение диффеоморфизма f на каждое инвариантное многообразие любой неподвижной точки p ∈ Ωf сохраняет его ориентацию; 3. если для различных седловых точек p, q ∈ Ωf пересечение W s ∩ W u непусто, то оно не p q содержит компактных компонент связности. Доказательство. 4. Предположим, что множество Ωf содержит периодическую точку p периода mp, большего единицы. Тогда точка p принадлежит замкнутой траектории потока Xt, и все точки этой траектории являются периодическими периода mp для потока Xt. Но тогда все эти точки являются периодическими и для диффеоморфизма f, являющегося сдвигом на единицу времени вдоль траекторий потока Xt, что противоречит конечности его неблуждающего множества. p 5. Из гиперболичности множества Ωf следует, что инвариантное многообразие W u произвольной неподвижной точки p ∈ Ωf либо совпадает с точкой p, либо является гладко вложенным в Mn открытым диском размерности dim W u ∈ {1 ... , n}. В случае W u = p по определению f сохраняет p p W u u t u ориентацию p . Пусть dim Wp > 0. Так как f включается в поток X , то Wp является инвариантным относительно потока Xt, следовательно, ограничение Xt|W u потока Xt на множество W u ориентацию отображением. p p f , p поэтому f |W u p является сохраняющим 6. Пусть для различных седловых точек p, q ∈ Ωf пересечение W s ∩ W u непусто и K - комp q пактная компонента связности этого пересечения. Тогда множество K инвариантно относительно потока Xt и, следовательно, инвариантно относительно диффеоморфизма f. Пусть x ∈ K, тогда последовательность {fi(x)}i ∈Z содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке p x∗ ∈ K, следовательно, точка x∗ является неблуждающей, что невозможно, так как x∗ ∈ W s. 164 В. З. ГРИНЕС, E. Я. ГУРЕВИЧ, О. В. ПОЧИНКА РИС. 1. Пересечения инвариантных многообразий седловых точек На рисунке 1 приведены фазовые портреты диффеоморфизмов Морса-Смейла, инвариантные многообразия седловых точек которых: a) пересекаются по некомпактной кривой; b) пересекаются по счетному множеству компактных кривых. 4. ВКЛЮЧЕНИЕ В ПОТОК ДИФФЕОМОРФИЗМОВ ОКРУЖНОСТИ Единственное замкнутое многообразие размерности один - окружность S1. В силу [28] гомеоморфизм h : S1 → S1 включается в топологический поток тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий: 1) h имеет неподвижную точку, 2) h - периодический, 3) h имеет транзитивную орбиту. Из предложения 2.1 следует, что если f - диффеоморфизм Морса-Смейла, то его неблуждающее множество непусто (и конечно, по определению) и состоит из источниковых и стоковых периодических точек. Для включения в поток необходимо, чтобы f являлся сохраняющим ориентацию, тогда из неподвижности одной периодической точки следует неподвижность всех периодических точек диффеоморфизма f. Таким образом, необходимое и достаточное условие включения в топологический поток диффеоморфизма Морса-Смейла окружности состоит в неподвижности хотя бы одной его периодической точки. Приведем независимое доказательство этого факта. Теорема 4.1. Диффеоморфизм Морса-Смейла f : S1 → S1 включается в топологический поток тогда и только тогда, когда его неблуждающее множество Ωf состоит из неподвижных точек. Доказательство. Необходимость следует из условия (1) Палиса. Докажем достаточность. Пусть множество Ωf состоит из неподвижных точек. Построим поток Xt на окружности такой, что f = X1. Множество неподвижных точек диффеоморфизма f делит окружность S1 на конечное число открытых дуг, каждая из которых является f -инвариантной. Пусть l ∈ S1 - одна таких дуг. l Определим поток Xt на l такой, что f является сдвигом на единицу времени вдоль траекторий l потока Xt. Пусть c ⊂ l - компактная дуга, ограниченная точками x ∈ l и f (x), тогда существует диффеоморфизм : [1, 2] → c такой, что ϕ (1) = x, ϕ (2) = f (x). Отметим, что J fi(c) = l, ϕc c c i∈Z c поэтому для каждой точки y ∈ l найдется целое iy такое, что fiy (y) ∈ c. Определим гомеоморфизм ϕl : R+ → l соотношением ϕl (y) = 2-iy ϕ-1(fiy (y)). Гомеоморфизм ϕl сопрягает линейное растяжение a+(s) = 2s, s ∈ R+ с ограничением f |l диффеоморфизма f на дугу l. Отображение a+ включается в поток at (s) = 2ts. Положим Xt(y) = ϕl (at (ϕ-1(y))), тогда X1(y) = f |l. + l + l l Аналогично определим поток на всех дугах окружности, заключенных между соседними неподвижными точками и доопределим полученные потоки в неподвижных точках. В результате получим искомый поток Xt на окружности такой, что X1 = f. 5. ВКЛЮЧЕНИЕ В ПОТОК ДИФФЕОМОРФИЗМОВ МОРСА-СМЕЙЛА ПОВЕРХНОСТЕЙ Следующая теорема доказана в [42] (см. теорему 4.2 на с. 402). Теорема 5.1 (теорема Палиса). Если диффеоморфизм f ∈ G(M 2) удовлетворяет условиям Палиса, то он включается в топологический поток. О ВКЛЮЧЕНИИ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ МОРСА-СМЕЙЛА В ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ПОТОК 165 РИС. 2. Модификация диска D Схема доказательства. Отметим, что для n = 2 условие (3) Палиса означает, что инвариантные многообразия различных седловых неподвижных точек диффеоморфизма f : M 2 → M 2 не пересекаются. В [42] для диффеоморфизма f непосредственно строится топологический поток Xt, сдвиг на единицу времени f 1 вдоль траекторий которого совпадает с f. Построение базируется на следующих шагах. 1. Из гиперболичности и условий (1)-(2) Палиса следует, что для любой седловой точки p ∈ Ωf существует окрестность up и гомеоморфизм hp : up → R2 такой, что f |u = h-1bhp|u , где p p p b(x, y) = (1/2x, 2y) o линейный гомеоморфизм плоскости. Отображение b включается в поток bt(x, y) = ((1/2)t x, 2ty), поэтому ограничение диффеоморфизма f на множество up включается в топологический поток gt = h-1bthp|u . Положим v = {(x, y) ∈ R2| x2y2 � 1, |x| � 1, |y| � 2}, p p p p vp = h-1(v), Vp = J fi(vp), поставим в соответствие каждой точке M ∈ Vp число n ∈ Z такое, i∈Z что fn(M ) ⊂ vp и определим поток Gt на множестве Vp соотношением Gt (M ) = f -n(gt (fn(M ))). p p p p Окрестность Vp назовем линеаризующей окрестностью седловой точки p. Очевидно, что линеаризующие окрестности можно выбрать так, чтобы для любых седловых точек p ±= q выполнялось условие Vp ∩Vq = ∅. Обозначим через Gt поток на объединении всех линеаризующих окрестностей, для каждой седловой точки p совпадающий с Gt . 2. Пусть ω - стоковая неподвижная точка диффеоморфизма f. Из гиперболичности точки ω ω следует, что существует гладко вложенный диск D ⊂ W s такой, что ω ⊂ int D, f (D) ⊂ int D. f1 k Обозначим через ω,... , fω множество всех сепаратрис седловых точек, принадлежащих множеству W s, и через V 1,... ,V k компоненты связности линеаризующих окрестностей, принадлежащих ω ω ω W s i i ω такие, что fω ⊂ Vω для любого i ∈ {1,... , k}. Не уменьшая общности, положим, что грани- ω ца диска D трансверсальна всем сепаратрисам седловых точек диффеоморфизма f, лежащим в многообразии W s, (этого всегда можно добиться малыми шевелениями) и, в силу непрерывно- ω сти, траекториям потока Gt ∩ W s. Тогда пересечение ∂D ∩ J Vp состоит из конечного числа f p∈Ω1 ω компактных дуг. Тогда можно выбрать диск D� ⊂ W s со следующими свойствами: 1. ω ⊂ int D� , f (D� ) ⊂ int D� , ω 2. для любого i ∈ {1,... , k} пересечение V i ∩ (D� \ f (int D� ) состоит в точности из одной полосы. На рис. 2 схематично показана процедура модификации диска D в диск D� , граница которого пересекается с каждой сепаратрисой из множества f1 ,... , fk в единственной точке. ω ω Тогда ограничение потока Gt на множество D� \ f (int D� ) ∩ J f p∈Ω1 Vp естественным образом до- ω страивается до потока gt ω на этом множестве, который доопределяется на множестве W s \ ω = ω J fi(D� \ f (int D� )) следующим образом. Каждой точке M ∈ W s \ ω поставим в соответствие целое i∈Z ω число n такое, что fn(M ) ⊂ D� \ f (int D� ), и положим gt (M ) = f -n(Gt(fn(M )). Теперьдля постро- Xt t t ения искомого потока осталось только доопределить поток, составленный из потоков G , Gω , в неподвижных источниковых и стоковых точках. 166 В. З. ГРИНЕС, E. Я. ГУРЕВИЧ, О. В. ПОЧИНКА (a) (b) РИС. 3. Диффеоморфизмы с дико вложенными сепаратрисами 1. ВКЛЮЧЕНИЕ В ПОТОК ДИФФЕОМОРФИЗМОВ МОРСА-СМЕЙЛА ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ 1. Эффекты размерности 3. Как оказалось, в размерности n = 3 дополнительным препятствием для включения диффеоморфизма Морса-Смейла в топологический поток является возможность дикого вложения сепаратрис седловых точек, см. рис. 3. Первые примеры таких диффеоморфизмов построены в работах [16, 45, 46]. Напомним определение диких многообразий. Пусть Mn - топологическое многообразие размерности n � 3 и Nk ⊂ int Mn - компактное топологическое многообразие размерности k < n, вообще говоря, с непустым краем. Согласно [20], многообразие Nk называется локально плоским в точке x ∈ Nk, если существует окрестность U (x) ⊂ Mn точки x и гомеоморфизм ϕ : U (x) → Rn такой, что ϕ(Nk ∩ U (x)) ⊂ Rk, где Rn - евклидово пространство, а Rk ⊂ Rn - гиперплоскость размерности k. Если многообразие Nk является локально плоским в каждой своей точке, то оно называется локально плоским. Заметим, что в последнем случае множество Nk является подмногообразием многообразия Mn. Если многообразие Nk не является локально плоским хотя бы в одной точке x ∈ Nk, то оно называется диким в Mn, а точка x называется точкой дикости. На рисунке 3 справа изображен фазовый портрет диффеоморфизма f ∈ G(S3), у которого замыкание двумерной сепаратрисы и одной из одномерных сепаратрис седловой неподвижной точки σ (содержащей в своем замыкании стоковую точку ω2) являются дикой сферой и дугой соответственно. ω Основное препятствие к обобщению доказательства теоремы 5.1 для размерности n = 3 состоит в том, что в общем случае в окрестности стоковой точки ω не существует шара со свойствами, аналогичными свойствам диска D� . Так, для диффеоморфизма, фазовый портрет которого изображен на рис. 3 слева, граница любого шара, содержащего стоковую точку ω2, пересекается с сепаратрисой седла σ, содержащей точку ω2 в замыкании, минимум в трех точках. Для диффеоморфизма f, фазовый портрет которого изображен на рис. 3 справа, в окрестности точки ω существует шар D, граница которого пересекается с каждой сепаратрисой, принадлежащей W s, в единственной точке. Но не существует расслоения кольца D \ int f (D) на отрезки, которое бы содержало в качестве слоев дуги этих одномерных сепаратрис. Поэтому уже ограничение таких диффеоморфизмов на устойчивые многообразия стоковых точек не включаются в топологические потоки, для которых одномерные сепаратрисы, содержащие эти стоковые точки в своем замыкании, совпадали бы с траекториям потока. При этом, в силу результатов работы К. Куперберг [38], дикая дуга может быть траекторией некоторого топологического потока на 3-многообразии. Для более точного понимания препятствий включения диффеоморфизмов из класса G(M 3) в топологический поток напомним несколько определений. Множество F ⊂ Rn будем называть стандартным одномерным пучком, если оно состоит из конечного числа прямолинейных лучей с началом в точке O(0,... , 0). Подмножество F ⊂ Rn, снабженное индуцированной топологией и гомеоморфное F, будем называть одномерным пучком. При этом пучок F будем называть ручным, если существует гомеоморфизм H : Rn → Rn такой, что H(F ) = F; в противном случае пучок F будем называть диким. Частным случаем одномерного пучка является дуга. Первые примеры диких дуг в R3 были построены Е. Артином и Р. Фоксом в 1948 году (см. [14]). Отметим, что ручность каждого из элементов, входящих в пучок F ⊂ R3, еще не является гарантией того, что пучок в целом будет ручным. Например, в работе [26] построен пример так называемого умеренно дикого одномерного О ВКЛЮЧЕНИИ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ МОРСА-СМЕЙЛА В ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ПОТОК 167 cr 5 cr 1 m5 m cr2 m1 2 cr 1 cr2 m m1 à 2 à m m cr3 m3 m cr3 m3 4 m 4 4 cr cr 4 a ) b) РИС. 4. Фазовые портреты диффеоморфизмов из класса G(S3), не включающихся ни в какие топологические потоки: a) диффеоморфизм, все пучки одномерных сепаратрис которого являются ручными, но пучок Fω не является тривиальным; b) диффеоморфизм, все пучки одномерных сепаратрис которого являются тривиальными. пучка, т. е. такого дикого пучка, что любой содержащийся в нем пучок из меньшего числа дуг является ручным. α Пусть α - источниковая точка диффеоморфизма f ∈ G(M 3). Будем обозначать через Lα объединение всех одномерных устойчивых сепаратрис седловых точек диффеоморфизма f, принадлежащих W u. Положим Fα = Lα ∪ α и назовем Fα пучком одномерных устойчивых сепаратрис. Пучок одномерных устойчивых сепаратрис Fα назовем ручным, если существует гомеоморфизм α hα : W u → R3, отображающий Fα на стандартный ручной пучок. В противном случае будем говорить, что пучок сепаратрис Fα является диким. Если ручной (дикий) пучок Fα содержит только одну сепаратрису, то будем называть эту сепаратрису ручной (дикой). ω Аналогично определяется ручной (дикий) пучок одномерных неустойчивых сепаратрис Fω, состоящий из стоковой точки ω и всех одномерных неустойчивых сепаратрис Lω седловых точек диффеоморфизма f, принадлежащих W s. На рис. 3, a) одномерная сепаратриса, идущая в стоковую точку ω2, является дикой дугой, а пучок сепаратрис, идущих в сток ω на рис. 3, b), является умеренно диким пучком. Как оказалось, необходимое условие включения диффеоморфизма f ∈ G(M 3) в поток заключается даже в более сильном, нежели ручность, требовании, использующем линейное растяжение евклидова пространства R3, определяемое формулой A(x1, x2, x3) = (2x1, 2x2, 2x3). Пучок одномерных сепаратрис Fα называется тривиальным, если существует гомеоморфизм α Hα : W u W → R3 такой, что f | = H-1AHα| и H (F ) - стандартный одномерный пучок. W α u u α α α α Аналогично определяется тривиальный пучок одномерных сепаратрис Fω. Из рассуждений выше ясно, что тривиальность всех пучков одномерных сепаратрис является необходимым условием включения диффеоморфизма f ∈ G(M 3) в топологический поток (строгое доказательство этого факта аналогично доказательству предложения 6.1, которое мы приводим ниже). Сюрпризом оказался тот факт, что добавление к списку Палиса условия тривиальности всех пучков одномерных сепаратрис седловых точек диффеоморфизма f ∈ G(M 3) не приводит к достаточным условиям его включения в топологический поток. Иллюстрирующий этот факт пример построен в работе [13], его фазовый портрет приведен на рисунке 4, b). На рисунке 4, a) изображен фазовый портрет диффеоморфизма из класса G(S3), все пучки одномерных сепаратрис которого являются ручными, но среди них есть пучок, не являющийся тривиальным. 168 В. З. ГРИНЕС, E. Я. ГУРЕВИЧ, О. В. ПОЧИНКА 2. Схема диффеоморфизма. Решение проблемы Палиса в случае n � 3 оказалосьвозможным благодаря существенному продвижению в решении задачи топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла. В цикле работ [1, 2, 16-19, 46] С. Бонатти, В. З. Гринесом, О. В. Починкой, Е. Пеку, В. С. Медведевым и Ф. Лауденбахом для диффеоморфизмов Морса-Смейла на трехмерных многообразиях был введен новый полный топологический инвариант, названный схемой диффеоморфизма, и решена проблема реализации всех классов топологической сопряженности. Благодаря этому удалось сформулировать необходимые и достаточные условия включения диффеоморфизма Морса-Смейла в топологический поток, выражающиеся в весьма компактном и естественном условии, накладываемом на схему диффеоморфизма. Для точной формулировки этого условия приведем вначале определение схемы диффеоморфизма. f Напомним, что через Ωi обозначено множество неподвижных точек диффеоморфизма f : M 3 → M 3 Морса-Смейла, размерность неустойчивых многообразий которых равна i ∈ {0, 1, 2, 3}. Класс таких сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла обозначим через G(M 3). Представим многообразие M 3 в виде объединения трех множеств Af = ( J W u) ∪ Ω0 , o f f σ∈Ω1 Rf = ( J W s) ∪ Ω3 , Vf = Mn \ (Af ∪ Rf ). Из [7] следует, что множества Af , Rf , Vf являются o f f σ∈Ω2 связными, множество Af является аттрактором, Rf - репеллером, а Vf состоит из блуждающих орбит гомеоморфизма f, идущих от Rf к Af . Обозначим через V�f = Vf /f пространство орбит действия f на Vf . Установлено, что V�f является многообразием, а естественная проекция pf : Vf → V�f является накрытием. При этом накрытие pf индуцирует эпиморфизм ηf : π1(V�f ) → Z, ставящий в соответствие гомотопическому классу [c] ∈ π1(Vˆf ) целое число m такое, что поднятие кривой c на Vf соединяет точку x с точкой fm(x). Положим Lˆs = J p (W s \ σ), Lˆu = J p (W u \ σ). f f σ f σ∈Ω1 f f σ f σ∈Ω2 Определение 6.1. Набор Sf = (V�f , Lˆs , Lˆu, ηf ) называется схемой диффеоморфизма f ∈ G(M 3). f f Определение 6.2. Схемы Sf и Sf 1 диффеоморфизмом f, f l ∈ G(M 3) называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм ϕˆ : ηf = ηf 1 ϕˆ∗. В [17, 19] доказан следующий факт. V�f → V�f 1 такой, что f L , f 1 ϕˆ(Lˆs ) = ˆs f L f 1 ϕˆ(Lˆu) = ˆu и Утверждение 6.1. Диффеоморфизмы f, f l ∈ G(M 3) топологически сопряжены тогда и только тогда, когда их схемы эквивалентны. 3. Необходимые и достаточные условия включения в поток диффеоморфизмов Морса- Смейла трехмерных многообразий. Для формулировки условий включения диффеоморфизма f ∈ G(M 3) в топологический поток определим стандартную схему. |Ω1 ∪ Ω2 |- |Ω0 ∪ Ω3 | +2 f f f f Положим gf = 2 , где |P | означает мощность множества P. Обозначим 1 f через Sg f ориентируемую замкнутую поверхностьрода gf и положим Vgf = Sg × R, V� gf = Sgf × S . f g Определим на множестве Vg поток At f g соотношением At f (x, s) = (x, s + t), где x ∈ Sgf ,s ∈ R. g По построению V� gf = Vgf /A1 f . Обозначим через pg f : Vgf = V�gf естественную проекцию. Определение 6.3. Схему Sf диффеоморфизма f ∈ G(M 3) назовем тривиальной, если сущеf ствует гомеоморфизм ψˆ : V�f → V� gf такой, что для каждой компоненты связности λˆ множества s u ˆ ˆ 1 f Lˆf ∪ Lˆf найдется простая замкнутая дуга cλˆ ⊂ Sg В работах [6, 13] доказан следующий факт. такая, что ψf (λ) = cλˆ × S . Теорема 6.1. Диффеоморфизм f ∈ G(M 3) включается в топологический поток тогда и только тогда, когда его схема является тривиальной. Изложим здесь схему доказательства теоремы 6.1, разбив его на два утверждения. О ВКЛЮЧЕНИИ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ МОРСА-СМЕЙЛА В ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ПОТОК 169 Предложение 6.1. Пусть диффеоморфизм f ∈ G(M 3) включается в топологический поток. Тогда его схема Sf является тривиальной. Схема доказательства. Если диффеоморфизм f включается в некоторый топологический поток Xt (f = X1), то неблуждающее множество Ωf диффеоморфизма f совпадает с множеством состояний равновесия потока Xt, при этом устойчивое (неустойчивое) многообразие любой неподвижной точки p ∈ Ωf совпадает с устойчивым (неустойчивым) многообразием соответствующего состояния равновесия потока Xt. f Обозначим через Xt ограничение потока Xt на множество Vf . Из построения множества Vf ∈ t следует, что для любой точки x Vf имеют место включения lim →+∞ ∈ f Xt (x) A и lim f t→-∞ f Xt (x) ∈ Rf . Таким образом, для любых точек p, q ∈ Vf существуют окрестности Up, Uq ⊂ Vf и константа T > 0 такие, что Xt (Up) ∩ Uq = ∅ для любого |t| > T. Тогда из [27, теорема 3] следует, что поток Xt f f является параллелизуемым, т. е. существует множество Σf ⊂ Vf и гомеоморфизм ξf : Vf → Σf × R такие, что J Xt (Σf ) = Vf и ξf (Xt (z)) = (z, t) для любых z ∈ Σf ,t ∈ R. Отсюда следует, что f f t∈R множество Σf является деформационным ретрактом многообразия Vf . Из [10, теоремы III.4, IV.3; с. 56, 69] следует, что топологическая размерность Σf равна двум. Тогда в силу [49, теорема 2] Σf является многообразием без края. Таким образом, Σf - замкнутая ориентируемая поверхность. Обозначим через ρf род этой поверхности. Покажем теперь, что ρf = gf . По построению поверхность Σf делит многообразие на две части, замыкания которых обозначим через PAf , PRf , полагая, что Af ⊂ int PAf , Rf ⊂ int PRf . Более того, аттрактор Af является деформационным ретрактом PAf и, следовательно, они имеют одинаковый гомотопический тип, а значит, и эйлерову характеристику. При этом χ(PAf ) = 1 - ρf , поскольку PAf - 3-многообразие с краем Σf и χ(Af ) = |Ω0 |- |Ω1 |, поскольку Af - клеточный комплекс, состоящий из |Ω0 | нульмерf f f ных и |Ω1 | одномерных клеток. Таким образом, |Ω0 |- |Ω1 | = 1 - ρ . Из аналогичных рассуждений f f f f для аттрактора получаем, что |Ω3 |- |Ω1 | = 1 - ρ . Складывая два последних равенства, получаем, f f f Ω1 Ω2 Ω0 Ω3 +2 что |Ω0 |- |Ω1 | + |Ω3 |- |Ω2 | = 2 - 2ρ , откуда ρ = | f ∪ f |-| f ∪ f | и, следовательно, f f f f f f 2 ρf = gf . Поскольку каждая двумерная сепаратриса λ диффеоморфизма f является объединением траекf λ торий потока Xt , гомеоморфных S1 × R, то существует простая замкнутая кривая γ ⊂ Σf такая, что ξf (λ) = γλ × R. Тогда существует гомеоморфизм hf : Σf → Sgf такой, что cλ = hf (γλ ) - простая гладкая замкнутая кривая для любой двумерной сепаратрисы λ. Определим гомеоморфизм t t f ψf : Vf → Vgf соотношением ψf (Xf (z)) = Ag (hf (z)). По построению гомеоморфизм ψf сопрягает f потоки Xt g и At f , а значит, и их сдвиги на единицу времени. При этом ψf (λ) = cλ × R. По поf строению Vˆ g f = Vg g /A1 f f . Тогда гомеоморфизм ψˆ = pg f f f f ψ p-1 : Vˆf → Vˆ g удовлетворяет условию определения 6.3. Таким образом, схема Sf является тривиальной и утверждение доказано. Предложение 6.2. Пусть схема Sf диффеоморфизма f ∈ G(M 3) тривиальна. Тогда f включается в топологический поток. Схема доказательства. Построим топологический поток X˜ t на многообразии M 3, сдвиг на единицу времени которого топологически сопряжен c диффеоморфизмом f посредством некоторого гомеоморфизма h : M 3 → M 3. Отсюда будет следовать, что диффеоморфизм f включается в топологический поток Xt = hX˜ th-1. Построение искомого потока проводится аналогично предложенному в работе [18] (см. также в [1] более детально) решению задачи реализации классов топологической сопряженности диффеоморфизмов. Перечислим принципиальные шаги в построении. Шаг 1. Из определения тривиальной схемы следует, что существует гомеоморфизм ψf : Vf → Vgf такой, что: 1 1 1 t f g f 1. f |Vf = ψ- Ag f ψf , где Ag § сдвиг на единицу времени потока A ; f 2. для любой двумерной сепаратрисы λ диффеоморфизма f существует простая гладкая замкнуf тая кривая cλ на поверхности Sg такая, что ψf (λ) = cλ × R. 170 В. З. ГРИНЕС, E. Я. ГУРЕВИЧ, О. В. ПОЧИНКА Напомним, что Ls , Lu - объединение всех устойчивых, неустойчивых, соответственно, двуf f мерных сепаратрис диффеоморфизма f. Положим Ls = ψ (Ls ) и Lu = ψ (Lu). Для множества f f f f цилиндров Lδ = λδ ∪ ··· ∪ λδ , δ ∈ {s, u} обозначим через N (Lδ ) = N (λδ ) ∪ ··· ∪ N (λδ ) множество 1 lδ 1 lδ их попарно непересекающихся гладких трубчатых окрестностей таких, что N (λδ ) = Kδ × R, где i i Kδ δ i ⊂ Sgf - гладкое двумерное кольцо для каждого i = 1,... ,l . В пространстве R3 рассмотрим подмножество N = {(x1, x2, x3) : (x2 + x2)x2 < 1} и зададим 1 2 3 на нем поток Bt формулой Bt(x1, x2, x3) = (2-tx1, 2-tx2, 2tx3). ˆ Положим Nˆ s = (N \ Ox3)/B1. По построению многообразие Ns диффеоморфно K × R, где K стандартное двумерное кольцо. Тогда существует диффеоморфизм μs : N (λs) → (N \ Ox3), сопрягающий потоки At |N (λs и Bt| . i i gf i ) N \Ox3 Обозначим через μs : N (Ls) → (N \Ox3)×Zls диффеоморфизм, составленный из диффеоморфизмов 1,... , μls . Положим Q = Vg J(N ×Zls ). Тогда топологическое пространство Q является гладким f μs s s s μs связным ориентируемым 3-многообразием без края. Положим f Q¯s = (Vg ) ∪ (N × Zls ) и обозначим через ps : Q¯s → Qs естественную проекцию. Положим ps,1 = ps |Vg t , ps,2 = ps |N ×Zls . Тогда поток Y˜ на многообразии Qs определяется формулой f Y˜ t p ( s,1 g (At f s s,1 (p-1(x))), x ∈ p s,1 f (Vg ); s (x) = t -1 ps,2 (B (ps,2 (x))), x ∈ ps,2 (N × {i}), i ∈ Zls . s По построению неблуждающее множество потока Y˜ t состоит из ls седловых неподвижных гиперболических точек с индексом Морса, равным единице. s Шаг 2. Снова обозначим через Lu, N (Lu) образы этих множеств относительно проекции p . Положим Nˆ u = (N \ Ox3)/(B1)-1. Тогда существует диффеоморфизм μu : N (λu) → (N \ Ox3), i i сопрягающий потоки Y˜ t| u и B-t| для любого i = 1,... , lu. Обозначим через μu : N (Lu) → s N (λi ) N \Ox3 (N \ Ox3) × Zlu диффеоморфизм, составленный из диффеоморфизмов μu,... , μu . Положим Qu = 1 lu Qs J(N × Zlu ). Тогда топологическое пространство Qu является гладким связным ориентируемым μu 3-многообразием без края. u Положим Q¯u = Qs∪(N ×Zlu ) и обозначим через p : Q¯u → Qu естественную проекцию. Положим t = p |Qs , p = p |N ×Z u . Тогда поток Y˜ на многообразии Qu определяется формулой pu,1 u u,2 u l u (p (Y˜ t(p-1(x))), x ∈ p (Qs); Y˜ t u,1 s u,1 u,1 u (x) = p (B-t(p-1(x))), x p (N i ), i Z . u,2 u,2 ∈ u,2 ×{ } ∈ lu u По построению неблуждающее множество потока Y˜ t состоит из ls седловых неподвижных гиперболических точек с индексом Морса, равным единице, и lu седловых неподвижных гиперболических точек с индексом Морса, равным двум. Шаг 3. Положим Rs = Qu \ W s и обозначим через ρs,... , ρs s компоненты связности множе- Y Ω ˜ t 1 n u ства Rs. Определим на многообразии R3 топологический поток Dt формулой Dt(x1, x2, x3) = (2-tx1, 2-tx2, 2-tx3). Тогда каждая компонента ρs диффеоморфна S2 × R и поток Y˜ t|ρs гладi u i νs \O ко сопряжен с потоком Dt|R3 посредством некоторого диффеоморфизма i . Обозначим через νs : Rs → (R3 \ Ox3) × Zns диффеоморфизм, составленный из диффеоморфизмов νs,... , νss . По- 1 n ложим Ms = Qu J(R3 × Zns ). Тогда топологическое пространство Ms является гладким связным νs ориентируемым 3-многообразием без края. Положим s M¯ s = Qu ∪ (R3 × Zns ) и обозначим через q : M¯ s → Ms естественную проекцию. t s Положим qs,1 = qs |Qu , qs,2 = qs |R3 ×Zns . Тогда поток X˜s на многообразии M определяется формулой (q (Y˜ t(q-1(x))), x ∈ q (Qu); X˜ t s,1 u s,1 s,1 s(x) = q (B-t(q-1(x))), x q (R3 i ), i Z . s,2 s,2 ∈ s,2 ×{ } ∈ ns s По построению неблуждающее множество потока X˜ t состоит из ls седловых неподвижных гиперболических точек с индексом Морса, равным единице, lu седловых неподвижных гиперболических точек с индексом Морса, равным двум, и ns стоковых неподвижных гиперболических точек. О ВКЛЮЧЕНИИ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ МОРСА-СМЕЙЛА В ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ПОТОК 171 Шаг 4. Положим Ru = Ms \ W u и обозначим через ρu,... , ρuu компоненты связности X Ω ˜ t 1 n s множества Ru. Тогда каждая компонента ρu диффеоморфна S2 × R и поток X˜ t|ρu гладко соi s i νu \O пряжен с потоком D-t|R3 посредством некоторого диффеоморфизма i . Обозначим через νu : Ru → (R3 \ Ox3) × Znu диффеоморфизм, составленный из диффеоморфизмов νu,... , νu . По- 1 nu ложим Mu = Ms J(R3 × Znu ). Тогда топологическое пространство Mu является гладким связным νu замкнутым ориентируемым 3-многообразием. u Положим M¯ u = Ms ∪ (R3 × Znu ) и обозначим через q : M¯ u → Mu естественную проекцию. Поt u ложим qu,1 = qu |Ms , qu,2 = qu |R3 ×Znu . Тогда поток X˜u на многообразии M определяется формулой (q (X˜ t(q-1(x))), x ∈ q (Ms); X˜ t u,1 s u,1 u,1 u(x) = q (B-t(q-1(x))), x q (R3 i ), i Z . u,2 u,2 ∈ u,2 ×{ } ∈ nu X u По построению неблуждающее множество потока ˜ t состоит из ls седловых неподвижных гиперболических точек с индексом Морса, равным единице, lu седловых неподвижных гиперболических точек с индексом Морса, равным двум, ns стоковых неподвижных гиперболических точек и nu источниковых неподвижных гиперболических точек. Шаг 5. Положим f˜ = u X˜ 1. По построению диффеоморфизм f˜ является диффеоморфизмом Морса-Смейла на многообразии Mu и его ограничение f ˜ |Vf˜ топологически сопряжено с диффеоморфизмом f |Vf посредством гомеоморфизма, переводящего двумерные сепаратрисы диффеоморфизма f˜ в двумерные сепаратрисы диффеоморфизма f с сохранением устойчивости. Таким образом, схемы диффеоморфизмов f˜ и f эквивалентны, а сами диффеоморфизмы f˜, f в силу u утверждения 6.1 топологически сопряжены. Следовательно, Mu = M 3 и X˜ t = X˜ t - искомый поток. 4. Связь условия тривиальности схемы и условий Палиса. Пусть схема диффеоморфизма f ∈ G(M 3) тривиальна. Покажем, что отсюда следуют все условия Палиса. 1. Покажем, что все седловые периодические точки диффеоморфизма f имеют период, равный единице. Предположим, что σ ∈ Ω2 - седловая точка периода mσ такая, что диффеоморфизм f |W u f σ является сохраняющим ориентацию. Тогда существует гомеоморфизм h : W u σ → R2 такой, что σ hf mσ |W u = a+h, где a+ : R2 → R2 - линейное отображение плоскости, задаваемое формулой (x ,x ) = (2x , 2x ). Положим K = {(x ,x )| 1 � x2 + x2 � 4}. Кольцо K (h-1(K)) является a+ 1 2 1 2 1 2 1 2 mσ -1 W фундаментальной областью действия a+ (f ) на множестве R2 \ {O} ( J i=0 u fi(σ) \ fi(σ)). Проmσ -1 mσ -1 + странство орбит R2 \ {O}/a σ (λˆu = ( J i=0 W W u fi(σ) \ fi(σ))/f = pf ( J i=0 u fi(σ) \ fi(σ)) этого действия получается склейкой компонент края кольца K (h-1(K)) по диффеоморфизму a+ (f ). Так как a+ + является сохраняющим ориентацию отображением, то многообразие R2 \ {O}/a и, следовательно, u -1 ˜ многообразие λˆσ диффеоморфно тору. Выберем на множестве h (K) дугу l, соединяющую точки x и fmσ (x), принадлежащие разным компонентам связности края кольца h-1(K). Тогда замкнутая σ дуга l = pf (˜l) является негомотопной нулю петлей на торе λˆu и ηf ([pf (l)]) = mσ. Тогда из условия существования гомеоморфизма ψˆ : Vˆf → V� g такого, что ψˆ (λˆu ) = cλˆu × S1 следует, что mσ = 1. f f f σ σ 2. Покажем, что ограничение диффеоморфизма f на инвариантное многообразие произвольной седловой точки является сохраняющим ориентацию. Из этого условия будет следовать инвариантностькаждой сепаратрисы произвольной седловой точки, что приводит к неподвижности стоковых и источниковых точек, каждая из которых, в силу предложений 2.1, 2.2, лежит в замыкании некоторой сепаратрисы седловой точки. Пусть σ ∈ Ω2 - седловая неподвижная точка такая, что диффеоморфизм f |W u меняет ориf ентацию W u. Тогда существует гомеоморфизм h : W u σ → R2 такой, что hf |W u = a h, где o σ σ - 2 2 a- : R → R - линейное отображение плоскости, задаваемое формулой a-(x1, x2) = (-2x1, 2x2). Тогда пространство орбит R2 \ {O}/a (λˆu = (W u \ σ)/f = pf (W u \ σ)) диффеоморфно бутылке - σ σ σ Клейна, что противоречит тривиальности схемы. 172 В. З. ГРИНЕС, E. Я. ГУРЕВИЧ, О. В. ПОЧИНКА f Пусть σl ∈ Ω1 | и f W u σ1 является меняющим ориентацию. Так как f в целом является сохраняю- | щим ориентацию, то f W s σ1 σ1 меняет ориентацию на W s . Применим к точке σl те же рассуждения, что и для точки σ. В результате получим, что все седловые точки диффеоморфизма f ∈ G(M 3) с тривиальной схемой являются неподвижными, а ограничение диффеоморфизма f на инвариантное многообразие произвольной седловой точки является сохраняющим ориентацию. 3. Пусть p, q - такие седловые неподвижные точки диффеоморфизма f, что W u ∩ W s ±= ∅. p q W u s Покажем, что пересечение p ∩ Wq не содержит компактных компонент связности. Положим λˆu = pf (W u \ p), λˆs = pf (W s \ q). Если p ∈ Ω1 ,q ∈ Ω2 , то W u ⊂ Af , следовательно, p p q q f f p проекция многообразия W s\q не содержит точек, принадлежащих многообразию W s∩W u. Поэтому q q p ˆs множество λp некомпактно, что противоречит тому факту, что это множество (в тривиальной схеме) гомеоморфно тору. Если p ∈ Ω2 , q ∈ Ω2 , то по условию существуют замкнутые дуги ˆ ˆu f f 1 ˆ ˆs 1 cp, cq ⊂ Sgf такие, что ψf (λp ) = cp × S , ψf (λq ) = cq × S , следовательно, проекция каждой компоненты связности пересечения W u ∩ W s является множеством вида {x}× S1, где x ∈ cp ∩ cq - p q f точка. Из конструкции следует, что p-1({x}× S1) гомеоморфно вложенной в Vf вещественной прямой, следовательно, пересечение W u ∩ W s не содержит компактных компонент. p q 2. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ В ПОТОК ДИФФЕОМОРФИЗМОВ МОРСА-СМЕЙЛА НА СФЕРЕ РАЗМЕРНОСТИ ЧЕТЫРЕ И ВЫШЕ Обозначим через G∗(S n) класс сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла ∗ сферы Sn размерности n � 4 таких, что для любого f ∈ G (Sn) инвариантные многообразия различных седловых точек p, q ∈ Ωf не пересекаются. Из отсутствия пересечения инвариантных многообразий различных седловых периодических точек следует, что множество седловых n периодических точек диффеоморфизма f ∈ G∗(S ) состоит из точек, размерность инвариантных многообразий которых принимает значения только 1 и (n - 1) (см. [31, теорема 1.3], [32, предложение 4.2], а также [12, лемма 2.2]). Поскольку нас интересует вопрос включения диффеоморфизма f в топологический поток, далее будем предполагать, что все точки из Ωf являются неподвижными (что влечет за собой выполнение n всех условий Палиса для f ∈ G∗(S )). σ В силу предложения 2.1 инвариантные многообразия седловых периодических точек любого диффеоморфизма f : Mn → Mn Морса-Смейла являются гладкими подмногообразиями. Кроме того, в силу предложения 2.2, если неустойчивая сепаратриса fu седловой точки σ не пересекается σ ни с какими устойчивыми многообразиями седловых точек, отличных от σ, то замыкание cl fu этой сепаратрисы состоит из нее самой, точки σ, и некоторой стоковой точки ω. Поэтому справедливо следующее утверждение. Предложение 7.1. Пусть f ∈ G∗(S n), σ - его седловая периодическая точка. Тогда множество cl fu является сферой размерности n - 1, если σ ∈ Ωn-1, и компактной дугой, если σ ∈ Ω1 . o f f n В отличие от размерности 3, замыкания сепаратрис седловых точек диффеоморфизма f ∈ G∗(S ) являются топологическими подмногообразиями сферы Sn. Этот факт непосредственно вытекает из следующего утверждения. Предложение 7.2. 1. Пусть Nn-1 ⊂ int Mn - дикое многообразие, n � 4, и B - множество точек такое, что Nn-1 локально плоское в каждой точке Nn-1 \ B. Тогда B несчетно. 2. Пусть l ∈ Rn - дикая дуга, n � 4. Тогда множество ее точек дикости более чем счетно. 3. Пучок F ⊂ Rn, n � 4, ручных дуг является ручным1. Первое утверждение предложения 7.2 является следствием результатов Дж. Кантрелла, А. В. Чернавского и Р. Кирби2 (см. [21], [25, утверждение 3A.6]). Второе и третье утверждения 1 To есть в евклидовом пространстве Rn размерности n � 4 нет умеренно диких пучков. 2 В работе [25] отмечается, что утверждение 7.2 является следствием результатов А. В. Чернавского и Р. Кирби, полученных независимо в 1968 году. Ранее, в 1963 году, Дж. Кантреллом получено менее общее утверждение, которое может быть сформулировано следующим образом: если сфера Sn-1 ⊂ Sn , n � 4, является дикой и B - множество О ВКЛЮЧЕНИИ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ МОРСА-СМЕЙЛА В ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ПОТОК 173 РИС. 5. а) нетривиальная дуга; b) нетривиальное зацепление. предложения 7.2 следуют из работ [22, 23]. Отметим, что в работе [15] доказано существование диких дуг в евклидовом пространстве Rn размерности n � 4 (но тогда эти дуги, как следует из [22, 23], имеют более чем счетное число точек дикости). n Из предложений 7.2, 7.1 следует, что сепаратрисы седловых точек диффеоморфизма f ∈ G∗(S ) размерности (n - 1) являются ручными сферами, а одномерные сепаратрисы образуют ручные пучки. Методами работы [22] можно доказать и более сильный факт тривиальности пучков одномерных сепаратрис (см. [4, следствие 4.1]). Однако отсюда еще не следует, что пучки сепаратрис n размерности (n - 1) являются ручными и все диффеоморфизмы из класса G∗(S ) при n � 4 включаются в топологические потоки. Тем не менее, в работе [32] удалось увидеть определенную двойственность между вложениями сепаратрис размерности 1 и (n - 1) и доказать следующую теорему. Теорема 7.1. Любой диффеоморфизм f ∈ G∗(S ток. n), n � 4, включается в топологический по- Инструментом доказательства теоремы 7.1 вновь является схема диффеоморфизма, которая вводится ниже аналогично тому, как это сделано в размерности 3. Мы вводим понятие тривиальности схемы и приводим основные идеи доказательства того факта, что схема любого диффеоморфизма n f ∈ G∗(S ) является тривиальной. После доказательства тривиальности схемы доказательство включения диффеоморфизма f в топологический поток проводится полностью аналогично доказательству теоремы 6.1. Представим сферу Sn в виде объединения множеств Af = ( J W u)∪Ω0 , Rf = ( J W s)∪Ωn, Vf = Mn \ (Af ∪ Rf ). o f f σ∈Ω1 o f f σ∈Ωn-1 Обозначим через V�f = Vf /f пространство орбит действия f на Vf и через pf : Vf → V�f f естественную проекцию, положим Lˆs = J f σ∈Ω1 σ f p (W s \ σ), f Lˆu = J f σ∈Ωn-1 σ f p (W u \ σ). Определение 7.1. Набор Sf = (V�f , Lˆs , Lˆu) называется схемой диффеоморфизма f ∈ G (Sn). f f ∗ n Определение 7.2. Схемы Sf и Sf 1 диффеоморфизмом f, f l ∈ G∗(S ) называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм ϕˆ : V�f → V�f 1 такой, что ϕˆ(Lˆs ) = Lˆs и ϕˆ(Lˆu) = Lˆu . В [31], в частности, доказано следующее утверждение. n f f 1 f f 1 Утверждение 7.1. Диффеоморфизмы f, f l ∈ G∗(S ко тогда, когда их схемы эквивалентны. ) топологически сопряжены тогда и толь- n Определение 7.3. Схему Sf диффеоморфизма f ∈ G∗(S ) назовем тривиальной, если сущеf ствует гомеоморфизм ψˆ : V�f → Sn-1 × S1 такой, что для каждой компоненты связности λˆ мно- ˆ ˆ жества Ls ∪ Lu найдется гладко вложенная сфера Sn-2 ⊂ Sn-1 размерности (n - 2) такая, что f f λˆ ψˆ (λˆ) = Sn-2 × S1. f λˆ 1. Вспомогательные результаты. Следующее утверждение, доказанное в [32] (см. также уточнения в [33]), резюмирует результаты, полученные в работах [24, 36, 41, 48] относительно точек такое, что Sn-1 - локально-плоская в каждой точке множества Sn-1 \ B, то множество B состоит более чем из одной точки (см. [21]). 174 В. З. ГРИНЕС, E. Я. ГУРЕВИЧ, О. В. ПОЧИНКА вложений тривиальной коразмерности (большей трех). В частности, из этих результатов следует, что все локально плоско вложенные замкнутые дуги и зацепления (объединения замкнутых дуг) в пространстве Rn размерности n � 4, являются тривиальными, т. е. переводятся гомеоморфизмом пространства на дуги (объединения дуг), лежащие в координатной плоскости. Примеры нетривиальной замкнутой дуги и нетривиального зацепления в R3 приведены на рис. 5. Простую замкнутую дугу β ∈ Mn будем называть узлом, а образ топологического вложения e : S1 × Bn-1 → Mn такого, что e(S1 × {O}) = β, - трубчатой окрестностью узла β. Предложение 7.3. Пусть Mn - топологическое многообразие, возможно, с непустым краk l k ем ∂Mn, а {βi}i=1, {βi}i=1 - семейства попарно непересекающихся простых замкнутых дуг, i локально плоско вложенных в int Mn такие, что для каждого i ∈ {1,... , k} дуги βi, βl гомотопны. Пусть { k , {N 1 k - попарно непересекающиеся трубчатые окрестности этих дуг в int Mn. } } Nβi i=1 βi i=1 Тогда существует гомеоморфизм h : Mn → Mn такой, что h(βi) = βl, h(Nβ ) = N 1 , i ∈ {1,... , k}, и h|∂ Mn = id. i i βi Основным инструментом доказательства тривиальности схемы диффеоморфизмов рассматриваемого класса является хирургия вдоль узлов, которая, как доказывается в предложении 7.4, в размерности 4 и выше не меняет топологии многообразия (что, как хорошо известно, неверно в трехмерном случае). Пусть Mn - топологическое многообразие, возможно, с непустым краем, β ∈ int Mn - узел и Nβ ⊂ int Mn - его трубчатая окрестность. Склеим многообразия Mn \ int Nβ и Bn-1 × S1 при помощи произвольного обращающего ориентацию гомеоморфизма ϕ : ∂Nβ → Sn-2 ×S1 и обозначим полученное многообразие через Qn. Будем говорить, что Qn получено из Mn хирургией вдоль узла β. Предложение 7.4. Qn гомеоморфно Mn. Доказательство. Положим N l = Mn \ int Nβ, тогда Qn = N l J Bn-1 × S1 и для любого X ⊂ ϕ N l ∪ Bn-1 × S1 определена естественная проекция π : X → Qn. Пусть ψ = ϕ-1π-1|π(Sn-2 ×S1 ). В силу [39] гомеоморфизм ψ продолжается до гомеоморфизма Ψ : π(Bn-1 × S1) → Nβ. Тогда отображение H : Qn → Mn, определенное соотношениями ∈ (π-1(x) = x, x π(int N l), H(x) = является искомым гомеоморфизмом. Ψ(x),x ∈ π(Bn-1 × S1), Пусть фундаментальная группа π1(Mn) многообразия Mn изоморфна Z. Будем называть узел β ∈ Mn тривиальным, если гомоморфизм e : π (β) → π (Mn), индуцированный включением, является изоморфизмом. ∗ 1 1 Из предложения 7.3 непосредственно вытекает следующее утверждение. Следствие 7.1. Пусть β ∈ Sn-1 ×S1 - тривиальный узел и Nβ - его трубчатая окрестность. Тогда (Sn-1 × S1) \ int Nβ гомеоморфно Bn-1 × S1. Последнее следствие в сочетании с предложением 7.4 приводит к следующему утверждению. Следствие 7.2. Пусть Qn,... , Qn , k � 0, - попарно-непересекающиеся многообразия, го- 1 k+1 k+1 меоморфные Sn-1 × S1; β1,... , β2k ⊂ J Qi - локально-плоские тривиальные узлы такие, что: i=1 i 1. каждое многообразие Qn содержит по крайней мере один узел из множества β1,... , β2k ; 2. для любого j ∈ {1,... , k} узлы β2j-1, β2j принадлежат различным многообразиям из множества Qn,... , Qn . 1 Пусть ψj : ∂Nβ2j k+1 -1 → ∂Nβ2j - обращающий естественную ориентацию гомеоморфизм, j ∈ k+1 2k {1,... ,k+1}, и Qn - многообразие, полученное из множества ( J Qn)\( J int Nβ ) склеиванием компонент края по гомеоморфизмам ψ1,... , ψk+1. j j=1 i i=1 О ВКЛЮЧЕНИИ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ МОРСА-СМЕЙЛА В ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ПОТОК 175 Тогда Qn гомеоморфно Sn-1 × S1, и проекция каждого многообразия ∂ Nβ делит Qn на две компоненты связности, замыкание каждой из которых гомеоморфно Bn-1 × S1. 2. Доказательство тривиальности схемы диффеоморфизма f ∈ G∗(S n ). Пусть f ∈ G∗(S n). Докажем, что схема Sf тривиальна. Ввиду предложения 7.3 для этого достаточно доказать, что многообразие V�f гомеоморфно Sn-1 × S1 и каждая компонента связности множества Lˆu ∪ Lˆs делит f f V�f на две компоненты связности, замыкание каждой из которых гомеоморфно Bn-1 × S1. Изложим основную идею доказательства. f Положим ki = |Ωi |, i ∈ {0, 1,n - 1, n}. Так как замыкания всех устойчивых (неустойчивых) сепаратрис размерности (n - 1) делят несущую сферу Sn на непересекающиеся множества, каждое из которых содержит в точности одну стоковую (источниковую) точку, то k0 = k1 +1, kn = kn-1 +1. ω Положим V�ω = (W s \ω)/f , V� = J V�ω . Из гиперболичности стоковых точек следует, что многоf ω∈Ω0 1 образие V�ω гомеоморфно Sn-1 × S1. Обозначим через β1,... , β2k проекции одномерных сепаратрис в многообразие V� . Так как все сепаратрисы неподвижны, то их проекции являются существенным узлами. Без потери общности предположим, что нумерация на множестве узлов выбрана таким образом, что узлы β2j-1, β2j являются проекциями одномерных сепаратрис одной и той же седловой f точки σj ∈ Ω1 , j ∈ {1,... , k1}. ω Из [47, теорема 2.3, c. 753] следует, что каждое многообразие V� s содержит по крайней мере один узел из множества ,... ,β . Покажем, что для любого j ∈ {1,... ,k } узлы β ,β при- β1 2k1 1 2j-1 2j s надлежат различным компонентам связности множества V� . Действительно, если β2j-1, β2j ⊂ V�ω для некоторого j, ω, то множество cl W u = W u ∪ω гомеоморфно окружности. Так как cl W s делит σj σj σj σj сферу Sn на две компоненты связности и пересекает окружность cl W u в точке σj, то найдется по крайней мере одна точка в cl W s ∩ cl W u , отличная от σj, что приводит к бесконечному множеству σj σj неблуждающих точек, и, следовательно, противоречит определению диффеоморфизма f. Положим U = {(x1,... , xn)| x2(x2 + ··· + x2 ) � 1} и определим диффеоморфизм b : Rn → Rn 1 2 n 1 1 формулой b(x1, x2,... , xn) = (2x1, 2 x2,... , 2 xn). f Из гиперболичности точек σ ∈ Ω1 следует, что существуют попарно-непересекающиеся окрест- 1 f ности {Nσ }σ∈Ω1 σ этих точек и гомеоморфизмы χσ : Nσ → U такие, что f |Nσ = χ- bχσ. Нетрудно увидеть, что множество N� u = Nσ \ W s)/f состоит из двух компонент связности, каждая из котоo σ n-1 1 s u рых гомеоморфна B × S , а множество N�σ = Nσ \ Wσ )/f гомеоморфно прямому произведению Sn-2 × S1 ×[-1, 1], при этом проекция устойчивой сепаратрисы точки σ совпадает со средним слоем Sn-2 × S1 × {0}. Обозначим через πu : Nσ \ W s → N� u, πs : Nσ \ W u → N� s естественные проекции. o σ σ σ σ σ Обозначим через N2j-1, N2j σj компоненты связности множества N� u , содержащие узлы β2j -1, β2j , соответственно, положим Kj = N� s , Tj = V� s , определим гомеоморфизм ψj : ∂N2j 1 ∪ ∂N → ∂K σj σj k1 - 2j j k1 формулой ψj = πs (πu)-1 и обозначим через Ψ : J ∂N2j 1 ∪ ∂N → J ∂K гомеоморфизм такой, o σ - j=1 2j j j=1 что Ψ|∂N2j-1 ∪∂N2j = ψj |∂N2j-1 ∪∂N2j . Так как Vf = то 1 f ω∈Ω0 ω V s \ 1 f σ∈Ω1 V V u 1 1 s σ σ f σ∈Ω1 = Vf \ 1 f σ∈Ω1 N N , u 1 1 s σ σ f σ∈Ω1 V�f = V�f \ 1 f σ∈Ω1 σ N� u 1 ∪Ψ f σ∈Ω1 σ N� s = V�f \ 2k1 1 Nj j=1 k1 Ψ ∪ 1 Kj . j=1 Таким образом, многообразие V�f получено из J V� s хирургией вдольузлов β1,... , β2k . В силу ω 1 f ω∈Ω0 следствия 7.2 V�f гомеоморфно прямому произведению Sn-1 × S1, и проекция каждой компоненты связности множества ∂Kj делит V�f на две компоненты связности, замыкание каждой из которых 176 В. З. ГРИНЕС, E. Я. ГУРЕВИЧ, О. В. ПОЧИНКА гомеоморфно Bn-1 × S1. Так как проекция устойчивой сепаратрисы точки σj в ∂Kj и любая компонента связности края Kj ограничивают в Kj прямое произведение Sn-2 × S1 × [0, 1], то проекция устойчивой сепаратрисы точки σj в V�f также делит V�f на две компоненты связности, замыкание каждой из которых гомеоморфно Bn-1 × S1. С другой стороны, Vf = 1 f α∈Ωn α V u \ 1 f σ∈Ωn-1 V V s 1 1 u o σ f σ∈Ωn-1 = Vf \ 1 f σ∈Ωn-1 N N . s 1 1 u o σ f σ∈Ωn-1 Аналогично предыдущим рассуждениям получаем, что множество V�f получено из J f α∈Ωn α V� u хирурf гией вдоль проекций устойчивых одномерных сепаратрис седловых точек диффеоморфизма f, и каждая компонента множества Lˆu делит V�f на две компоненты связности, замыкание каждой из которых гомеоморфно Bn-1 × S1. 3. Обсуждение условий теоремы 7.1. Нарушение любого из условий теоремы 7.1 позволяет построить контрпример к утверждению теоремы. Необходимость условий i), ii) в теореме 7.1 показана в лемме 3.1. Условие, что несущее многообразие является сферой, не является необходимым, однако в работе [50] построен пример диффеоморфизма Морса-Смейла f0 : M 4 → M 4 на многообразии M 4, отличном от сферы S4, удовлетворяющий условиям i)-iii), но не включающийся в топологический 0 поток. Неблуждающее множество диффеоморфизма f0 состоит в точности из трех неподвижных точек: источника, стока и седла, инвариантные многообразия которого имеют размерность два, и замыкание каждого из них является дикой сферой (см. [50, теорема 4, п. 2]). Если предположить, что диффеоморфизм f0 включается в топологический поток Xt, тогда неблуждающее множество этого потока состоит из трех состояний равновесия, совпадающими с неподвижными точками 0 диффеоморфизма f0, каждое из которых имеет окрестность, в которой поток Xt локально топологически эквивалентен линейному потоку с собственными числами, вещественная часть которых отлична от нуля. 0 В [11, теорема 3] показано, что все такие потоки топологически эквивалентны, а в работе [50] построен пример потока Морса-Смейла из рассматриваемого класса, замыкания инвариантных многообразий седлового состояния равновесия которого являются ручными сферами. Таким образом, замыкания инвариантных многообразий состояния равновесия потока Xt, являющегося седлом диффеоморфизма f0, являются ручными сферами. Получаем противоречие с конструкцией диффеоморфизма f0. Из [31, теорема 1.3] следует, что если инвариантные многообразия различных седловых точек диффеоморфизма Морса-Смейла f : Sn → Sn не пересекаются, то его неблуждающее множество Ωf состоит из точек, размерностьнеустойчивого многообразия каждой из которых принадлежит множеству {0, 1,n - 1, n}. Это обстоятельство поясняет, в частности, почему многообразие M 4 не гомеоморфно сфере. p РИС. 6. Диск Dp ⊂ W s В работе [40] описывается пример диффеоморфизма Морса-Смейла f1 : S4 → S4, удовлетворяющего условиям i)-ii) теоремы, но не включающегося в топологический поток. Неблуждающее множество диффеоморфизма f1 состоит из двух источников, двух стоков и двух седел p, q таких, О ВКЛЮЧЕНИИ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ МОРСА-СМЕЙЛА В ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ПОТОК 177 что dim W s = dim W u = 3. При этом пересечение W s ∩ W u не пусто и его замыкание в W s явp q p q p p p p ляется дико вложенным открытым диском Dp с точкой дикости p. Более точно, для любого шара B3 ⊂ W s, для которого точка p является внутренней, пересечение границы этого шара с диском Dp состоит не менее чем из трех компонент связности (см. рис. 6). Диффеоморфизм f1 удовлетворяет всем условиям теоремы 7.1, кроме условия iii). Аналогично доказательству предложения 6.1 доказывается, что не существует топологического потока в W s, для которого диск Dp является инвариантным, а ограничение диффеоморфизма f1 на множество W s является сдвигом на единицу времени. Отсюда следует, что f1 не включается в топологический поток.

Об авторах

В. З. Гринес

Национальный исследовательский ун-т «Высшая школа экономики»

Автор, ответственный за переписку.
Email: vgrines@yandex.ru
Нижний Новгород, Россия

Е. Я. Гуревич

Национальный исследовательский ун-т «Высшая школа экономики»

Email: egurevich@hse.ru
Нижний Новгород, Россия

О. В. Починка

Национальный исследовательский ун-т «Высшая школа экономики»

Email: opochinka@yandex.ru
Нижний Новгород, Россия

Список литературы