О начально-краевой задаче на полуоси для обобщенного уравнения Кавахары

Аннотация

В статье рассматривается начально-краевая задача на полуоси для обобщенного уравнения Кавахары с нелинейностью высокого порядка. Получен результат о существовании и единственности глобального решения. Также в случае наличия в уравнении абсорбирующего слагаемого, исчезающего на бесконечности, устанавливается затухание решения при больших временах.

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ В статье рассматривается начально-краевая задача для обобщенного уравнения Кавахары ut - uxxxxx + buxxx + aux + (f(u))x + g(x)u = 0, (1.1) где u = u(t,x), a,b - действительные константы, на полуоси R+ = (0,+∞) при t > 0 с начальными и краевыми условиями . (1.2) Функция f удовлетворяет условию ограничения роста , (1.3) для некоторой константы c и любых u ∈ R. Без ограничения общности в дальнейшем всегда предполагается, что f(0) = 0. Изучаются вопросы существования и единственности глобальных по времени решений, а также их убывания при больших временах. Уравнение Кавахары ut - uxxxxx + buxxx + aux + uux = 0 (1.4) было впервые выведено в работе [18] для описания распространения длинных нелинейных волн в средах со слабой дисперсией. Оно является модификацией уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) ut + uxxx + aux + uux = 0 на случай дисперсионного соотношения более высокого порядка. Как показано, например, в статьях [1, 3] в реальных физических моделях коэффициент b может быть положительным, отрицательным или нулевым. Наряду с квадратичной нелинейностью рассматриваются нелинейности более высокого порядка, например, модифицированное уравнение Кавахары [19] ut - uxxxxx + buxxx + aux + u2ux = 0. (1.5) Слагаемое g(x)u моделирует эффект абсорбции. c РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 683 Наиболее изученной задачей для уравнения Кавахары и его обобщений является задача Коши (см., например, библиографию в [12, 15]). В частности, для самого уравнения Кавахары (1.4) глобальная корректность установлена для начальной функции из пространства (см. [13]). В статье [23] для модифицированного уравнения Кавахары (1.5) с b > 0 аналогичный результат получен для начальной функции из H2(R), а в статье [15] как для самого уравнения Кавахары, так и для его модифицированного аналога также с b > 0 при u0 ∈ L2(R), причем при наличии абсорбирующего слагаемого. В случае начально-краевой задачи на R+ с граничными условиями (1.2) глобальная корректность для уравнения Кавахары была установлена в работе [7] в классе бесконечно гладких функций, экспоненциально быстро убывающих при x → +∞. Аналогичные результаты в классах менее гладких функций, также экспоненциально быстро убывающих на +∞, для уравнения (1.4) при b = 1 были получены в [14, 20]. Существование и единственность глобальных решений задачи (1.1), (1.2) c квадратичной нелинейностью (то есть при ) для начальной функции из пространств L2 и H2 со степенными весами на +∞ были доказаны в [8]. Глобальная корректность в случае уравнения Кавахары (1.4) для начальной функции, установлена в [2]. В недавней работе [12] глобальная корректность задачи (1.4), (1.2) при a = b = 0 получена для u0 ∈ L2(R+). Для модифицированного уравнения Кавахары (1.5) при a = b = 1 начально-краевая задача на ограниченном интервале рассматривалась в статье [10]. В случае задачи Коши как для уравнений (1.4), (1.5), так и для уравнения КдФ справедлив закон сохранения (1.6) который исключает возможность убывания решений в пространстве L2(R) при t → +∞. Если в уравнение добавить абсорбирующее слагаемое g(x)u для неотрицательной функции, то такое убывание становится возможным. Подобные результаты об экспоненциальном убывании решений при больших временах в норме пространства L2(R) были установлены в случае, когда функция g строго положительна при больших |x|, для уравнения КдФ в [11, 15], его аналогов с большим´ порядком нелинейности в [15], уравнения Кавахары и модифицированного уравнения Кавахары в [15]. В недавней работе [4] для уравнения (1.5) без всяких дополнительных абсорбирующих членов был получен результат о степенном убывании решений при t → +∞ в нормах пространств Lp(R), p > 4, при малых начальных данных из пространства H2 со степенным весом на бесконечности. Для начально-краевой задачи на R+ с граничными условиями (1.2) в случае уравнений (1.4) и (1.5) закон сохранения (1.7) следует заменить равенством (1.7) (аналогичное равенство справедливо и в случае уравнения КдФ с заменой uxx на ux). Оно показывает, что данная задача обладает определенной внутренней диссипацией, но вопрос о том, является ли это достаточным для убывания решений при больших временах, остается открытым. Добавление к уравнению КдФ абсорбирующего слагаемого g(x)u, где неотрицательная функция g строго положительна при больших значениях x, приводит к экспоненциальному убыванию решений в норме L2(R+) при t → +∞ (см. [21, 22]). Аналогичный результат для уравнения Кавахары был установлен в [5, 6]. В статье [11] в случае начально-краевой задачи для уравнения КдФ с абсорбирующим слагаемым был получен результат об убывании решений при больших временах в норме L2(R+) (без оценки скорости убывания) при условии, что функция g положительна на R+, но убывает к нулю при x → +∞ с определенной скоростью (см. неравенство (1.9) далее), а начальные данные малы. В недавней работе [17] этот результат был распространен на случай уравнения Кавахары, причем без предположения малости u0. Настоящая статья является продолжением [17] на случай уравнения (1.1) с более высоким порядком нелинейности. Наконец, в случае задачи на ограниченном интервале экспоненциальное убывание решений в норме L2 может быть получено либо с помощью добавления в уравнение локализованного абсорбирующего слагаемого (см. [24] для уравнения Кавахары и [10] для модифицированного уравнения Кавахары), либо при малых начальных данных без искусственной абсорбции (см. [14, 16] для уравнения Кавахары и [10] для модифицированного уравнения Кавахары). Пусть Π+T = (0,T) × R+ для T > 0. Положим - (здесь и далее индекс b обозначает ограниченность отображения) для p ∈ [1,+∞] и целых. Для α ∈ R определим специальные пространства Лебега со степенными весами . Введем понятие слабого решения рассматриваемой задачи. шениемОпределение 1.1.задачи (1.1), (1.2) в полуполосеПусть g ∈ L∞,+, u0 Π∈+L2для некоторого,+. Функция u T >∈ L2(Π0, +Tесли для любой функции) называется слабым ре- T φ ∈ L2(0,T;H+5 ), такой что , выполнено . (1.8) На самом деле решения будем рассматривать в более регулярном пространстве для , на котором введена естественная норма. Заметим, что в статье [2] была установлена глобальная корректность начально-краевой задачи для уравнения (1.4) с граничными условиями (1.2) при (на самом деле в шкале соответствующих пространств при начальных данных соответствующей гладкости). Заметим также, что если u ∈ X2(Π+T ), то u ∈ Cb(Π+T ) и, следовательно, если, например, f ∈ C1(R), f(0) = 0, то f(u(t,x)) ∈ C([0,T];L2,+) и тогда f(u(t,x))φx ∈ L1(Π+T ) для функции φ из определения 1.1. Также нам потребуется пространство со степенными весами: для α > 0 положим с естественной нормой. В дальнейшем будем опускать пределы интегрирования в интегралах по R+. Обозначим через η(x) гладкую неубывающую функцию такую, что η(x) = 0 для для x 1, . Для функции f положим Приведем основные результаты работы. Теорема 1.1. Пусть и для функции f выполнено условие (1.3). Тогда для любого T > 0 в полуполосе Π+T существует слабое решение задачи (1.1), (1.2) u ∈ X2(Π+T ), которое единственно в более широком пространстве. Теорема 1.2. Если в дополнение к условиям теоремы 1.1 известно, что для некоторого α > 0, то решение. Теорема 1.3. Пусть выполнены условия теорем 1.1 и 1.2, и пусть существуют положительные константы M и c0, такие что для x > 0 (1.9) | | | | . (1.10) Тогда решение u обладает следующим свойством: . (1.11) В дальнейшем будем использовать простое интерполяционное неравенство, (1.12) справедливое для функций и гладких весовых функций ψ при условии, что интегралы в правой части существуют. Нам также понадобится одно более продвинутое неравенство. Лемма 1.1. Пусть положительные функции ψj ∈ W∞1 (0,r) ∀r > 0, j = 0 и 1, причем существует константа такая, что для каждого j . Пусть . Тогда существует константа такая, что для любой функции ϕ ∈ H2(0,r) ∀r > 0 такой, что. Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что ϕ - гладкая, убывающая при x → +∞, функция. Интегрированием по частям и использованием свойств функций ψj находим, что , откуда следует неравенство . (1.14) Далее используя элементарное неравенство находим, что откуда, применяя (1.14), выводим, что (1.15) что совпадает с (1.13) при q = +∞. Если q < +∞, то из (1.15) следует неравенство что завершает доказательство леммы. Замечание 1.1. Если, то неравенство (1.13) в более общем виде было доказано ранее, например, в [8]. Статья организована следующим образом. В разделе 2 рассматривается вспомогательная линейная задача. Доказательство результатов о разрешимости (теоремы 1.1 и 1.2) содержится в разделе 3, а об убывании решений при больших временах (теорема 1.3) - в разделе 4. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 20-01-00536). 2. ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА В полуполосе Π+T рассмотрим вспомогательную начально-краевую задачу vt - vxxxxx + bvxxx + avx = F(t,x), (2.1) . (2.2) Слабое решение этой задачи понимается полностью аналогично определению 1.1. Заметим, что слабое решение задачи (2.1), (2.2) единственно в пространстве L2(Π+T ) (см., например, [2]). Лемма 2.1. Пусть. Тогда существует (единственное) решение задачи (2.1), (2.2) v ∈ X2(Π+T ) и для любого t ∈ (0,T] , (2.3) (2.4) где функция f удовлетворяет условиям теоремы 1.1, f(0) = 0. Доказательство. Существование решения v ∈ X2(Π+T ), удовлетворяющего оценке (2.3), было ранее доказано в статье [2]. Существование решений задачи (2.1)-(2.2) в классе гладких быстро убывающих на +∞ функций (при соответствующих условиях на u0 и F) было ранее установлено в статье [7]. Для таких решений равенства (2.4) и (2.5) получаются умножением уравнения (2.1) соответственно на 2v(t,x) и и последующим интегрированием. Общий случай получается предельным переходом. При этом неравенства , , обеспечивают возможность предельного перехода в соответствующих слагаемых. Замечание 2.1. Если u0 ∈ L2,+, F ∈ L1(0,T;L2,+), то предельным переходом из равенства (2.4) получаем существование (единственного) решения задачи (2.1), (2.2) из пространства L∞(0,T;L2,+), для которого при почти всех t ∈ (0,T) справедливо неравенство (2.6) Лемма 2.2. Пусть для некоторого α > 0. Тогда существует (единственное) решение v(t,x) задачи (2.1), (2.2) такое, что , и для любого t ∈ (0,T] , (2.7) где ρ(x) ≡ (1 + x)2β для β ∈ (0,α]. Доказательство. В гладком случае (см. доказательство предыдущей леммы) неравенство (2.8) получается умножением уравнения (2.1) на 2v(t,x)ρ(x) и последующим интегрированием. При β = α из этого неравенства и неравенства (1.12) следует оценка (2.7), которая позволяет сделать предельный переход и получить утверждение леммы. 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ Доказательство теоремы 1.1. Сначала методом сжимающих отображений построим локальное по времени решение. Для этого для некоторого T > 0 рассмотрим отображение v = Λu, где для произвольной функции u ∈ X2(Π+T ) функция v ∈ X2(Π+T ) в полуполосе Π+T является решением начально-краевой задачи для уравнения (3.1) с граничными условиями (2.2). Имеем: , а тогда , В итоге для некоторой непрерывной и неубывающей по своим аргументам функции Φ имеем . (3.2) Кроме того, очевидно, что . (3.3) В итоге получаем, что для u ∈ X2(Π+T ) и, следовательно, в силу леммы 2.1 отображение Λ определено, и согласно (2.3) (3.4) для некоторой непрерывной и неубывающей по своим аргументам функции Φ. Кроме того, аналогично (3.4) нетрудно показать, что (3.5) для некоторой непрерывной и неубывающей по своим аргументам функции . Из неравенств (3.4) и (3.5) стандартным способом получаем результат о существовании единственного решения задачи (1.1), (1.2) из пространства X2(Π+T ) при достаточно малых T (зависящих от Чтобы продолжить это решение на любой отрезок времени, установим соответствующие априорные оценки. Пусть u ∈ X2(Π+T ) является решением рассматриваемой задачи для некоторого T > 0. Применим равенство (2.4) для тогда для любого t ∈ (0,T] (3.6) Это равенство, разумеется, является полным аналогом равенства (1.7)), откуда следует, что, поскольку . (3.7) Далее в аналогичной ситуации применим равенство (2.5). Тогда, поскольку , получаем, что Воспользовавшись неравенством (1.13) для q = p + 2 < 10 (тогда sq < 1) и ψ0 = ψ1 ≡ 1, находим, что с учетом уже установленной оценки (3.7) , (3.9) где ε > 0 может быть выбрано сколь угодно малым. Тогда из неравенства (3.8) (с использованием также (1.12) для ψ ≡ 1) следует, что поскольку g ∈ W∞2 ,+, справедлива оценка , (3.10) которая и обеспечивает существование решения u ∈ X2(Π+T ) для любого T > 0. Для доказательства единственности решения в более широком классе прежде всего заметим, что если u ∈ L∞(0,T;H+2 ), то очевидно, что . Рассмотрим два решения u и u из пространства. Запишем для неравенство (2.6), тогда 2 sup v2 dxdτ, Πt что в силу леммы Гронуолла и устанавливает единственность в пространстве. Доказательство теоремы 1.2. Повторим схему доказательства предыдущей теоремы, только отображение Λ будем строить в пространстве. Заметим, что (3.11) и аналогично (3.12) для некоторой непрерывной и неубывающей по своим аргументам функции Φ. Кроме того очевидно, что . (3.13) В итоге из оценок (3.4), (3.5), (3.11)-(3.13) следует существование единственного решения задачи (1.1), (1.2) из пространства при достаточно малых T (зависящих от Далее получим в дополнение к (3.10) оценку решения в весовом пространстве. Для этого применим неравенство (2.8) для и β ∈ (0,α]. Тогда при t ∈ (0,T] Здесь (3.15) и тогда с учетом уже полученной оценки (3.10) Применим неравенство (1.12) для оценки второго интеграла в левой части (3.14), тогда из (3.14), (3.15) следует, что (3.17) Выбирая β = α, выводим из (3.17), что . (3.18) Оценки (3.10) и (3.18) позволяют продолжить локальное по времени решение до решения в пространстве для любого T > 0. 4. УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЙ ПРИ БОЛЬШИХ ВРЕМЕНАХ Установленные в разделе 3 оценки (3.10), (3.18) не являются равномерными при T → +∞. В следующих двух леммах будут установлены аналоги этих оценок, уже не зависящие от T. Лемма 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 1.1 и пусть дополнительно известно, что g(x) > 0 для любого , и для функции g справедливы неравенства (1.10). Тогда для решения u задачи (1.1), (1.2), принадлежащего пространству X2(Π+T ) ∀T > 0, справедливо неравенство . (4.1) Доказательство. Воспользуемся равенством (3.6), тогда в силу неотрицательности функции g получаем, что . (4.2) Из (3.6) и (3.8) следует, что для любой положительной константы Из неравенств (1.10) и (1.12) находим, что для любого ε > 0 (4.4) Далее, положим q = p + 2, s = (q - 2)/(8q), ψ0 ≡ g, ψ1 ≡ g(10-q)/(3q+2) (очевидно, что эти функции удовлетворяют условиям леммы 1.1). Нетрудно видеть, что . Тогда, применяя неравенство (1.13), находим, что Здесь . Тогда . Кроме того, , , и, таким образом, поскольку , находим, что . В итоге с учетом уже полученной оценки (4.2) выводим, что, так как (q - 2)/8 < 1, (4.6) Таким образом, если выбрать c достаточно большим (зависящим от ), то из неравенства (4.3) следует, что равномерно по t (4.7) Заметим, что, применяя вместо (3.7) оценку (4.2), полностью аналогично (3.9) находим, что равномерно по t . (4.8) Тогда из неравенств (4.7), (4.8) следует утверждение леммы. Лемма 4.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.3. Тогда для решения u задачи (1.1), (1.2), принадлежащего пространству, существует β ∈ (0,α] такое, что . (4.9) Доказательство. Воспользуемся неравенством (3.14) и равенством (3.15). Применяя вместо оценки (3.10) оценку (4.1), находим аналогично (3.16), что для любого t > 0 (4.10) Далее будем считать без ограничения общности, что β ∈ (0,1/2]. Тогда, в частности, (напомним, что ρ(x) = (1 + x)2β). Применяя неравенство (1.12), находим, что (4.11) Поскольку в силу (1.9) , из неравенств (3.14), (4.10), (4.11) следует, что при достаточно малых β > 0 приходим к неравенству (4.9). Дальнейшие рассуждения во многом аналогичны статье [11]. Для любых положительных β, L и ε через F+β,L,ε обозначим множеством функций таких, что Лемма 4.3. Пусть g ∈ W∞2 ,+ - неотрицательная функция такая, что для x ∈ I, где I - непустой интервал на R+, а для функции f выполнены условия теоремы 1.1. Тогда для любого T > 0 и любого класса F+β,L,ε существует константа c = c(T,β,L,ε) такая, что если , то для соответствующего решения u задачи (1.1), (1.2) из пространства справедливо неравенство (4.12) Доказательство. Предположим, что неравенство (4.12) не выполнено. Пусть является такой последовательностью начальных функций, что для соответствующих решений справедливо свойство . В частности, из ограниченности {uk}k∈N в пространстве L∞(0,T;L2,+) (см. оценку (3.7)) следует, что . (4.13) Следовательно, в силу условий на функцию g(x) . (4.14) Так как последовательность {u0k}k∈N ограничена в пространстве , из теоремы 1.2 следует, что равномерно по k (4.15) Тогда используя само уравнение (1.1), находим, что для любого r > 0 равномерно по k . (4.16) Переходя к подпоследовательности (с сохранением обозначений), стандартным рассуждением получаем, что слабо в, -слабо в, слабо в L2(0,T;H4(0,r)) ∀r > 0, uk → u сильно в L2(0,T;H3(0,r)) ∀r > 0. Из последнего свойства в сочетании с (4.14) следует, что u(t,x) = 0 для t ∈ (0,T), x ∈ I. (4.17) Пусть φ(t,x) - произвольная функция такая, что φ ∈ L2(0,T;H+5 ), φt ∈ L2(Π+T ), . Положим φr(t,x) ≡ φ(t,x)η(r - x) для r > 0. Тогда для любого k в силу равенства (1.8) Заметим, что при k → +∞ Π+T . Поэтому переходя к пределу сначала при k → +∞ (и принимая во внимание (4.13)), а потом при r → +∞, получаем равенство , (4.19) а это означает, что функция u(t,x) является слабым решением в смысле определения 1.1 задачи (1.1), (1.2) при g ≡ 0. Заметим, что так как лежит в классе единственности, поэтому u ∈ X2β(Π+T ) согласно теореме 1.2. В частности, u,ux ∈ L∞(Π+T ), u ∈ L2(0,T;H4(0,r)) для любого r > 0. Следовательно, можно применить результаты [9, теорема 1] о единственности продолжения слабых решений уравнения (1.1). Согласно этим результатам из свойства (4.17) следует, что u(t,x) = 0 ∀ (t,x) ∈ Π+T . (4.20) В частности, . (4.21) Теперь покажем, что (4.22) Действительно, где равномерно по k в соответствии с (4.15) . (4.23) Очевидно, что свойство (4.22) следует из (4.21) и (4.23). С другой стороны, поскольку согласно (3.6) , (4.24) то где . (4.26) Далее, в соответствии с (4.16) Из неравенств (4.25)-(4.27) следует, что . (4.28) Выберем r так, чтобы так, чтобы. Тогда из неравенства (4.28) находим, что для t ∈ [0,t0] справедливо неравенство и, следовательно, , что противоречит (4.22). Теперь можно перейти к доказательству основного результата этого раздела. Доказательство теоремы 1.3. Предположим, что свойство (1.11) не справедливо. Это означает, что для некоторого ε > 0. Из лемм 4.1 и 4.2 следует, что (4.29) для некоторых Зафиксируем произвольные T > 0 и r > 0. Пусть I = (0,r), тогда для любого x ∈ I. Из равенства (3.6) следует, что и, следовательно, Применяя (4.12), выводим из последнего неравенства, что Опять применим равенство (3.6) (из которого, в частности, следует невозрастание функции ), тогда . В итоге получаем неравенство которое эквивалентно неравенству для некоторого γ = γ(T,r,L,β,ε) ∈ (0,1). Тогда для любого натурального n в силу (4.29) , что противоречит (4.29).