Краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов, сводящиеся к нелокальным задачам

Аннотация

Рассматриваются краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений, содержащие несоизмеримые сдвиги аргументов в старших членах. Показано, что для случая, когда орбиты точек границы области, сгенерированные множеством сдвигов разностного оператора, конечны, исходная задача может быть сведена к краевой задаче для дифференциального уравнения с нелокальными краевыми условиями.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений с целочисленными сдвигами исследовались в работах А. Л. Скубачевского [1, 4]. В частности, им было показано, что в случае невырожденного разностного оператора краевая задача для дифференциально-разностного уравнения на ограниченной области эквивалентна краевой задаче для дифференциального уравнения на этой области с нелокальными краевыми условиями. Был предложен метод исследования задач для дифференциально-разностных уравнений с помощью нелокальных задач. Для дифференциально-разностных операторов с несоизмеримыми сдвигами этот метод в общем случае неприменим. Однако в случае, когда множество сдвигов разностного оператора порождает конечную орбиту границы заданной области, исходная краевая задача также может быть сведена к нелокальной. Для этого строится специальное разбиение области на непересекающиеся подобласти, основанное не на аддитивной группе сдвигов, как в работах А. Л. Скубачевского, а на графе, ассоциированном с множеством сдвигов. Это разбиение описано в работах [2, 3]; оно применяется для исследования гладкости решений краевых задач для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами [3] и получения условий сильной эллиптичности (выполнения неравенства Гординга) [2]. В данной статье исследуется разрешимость краевых задач для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргумента методом сведения их к нелокальным задачам. Этот метод применим и в случае, когда дифференциально-разностный оператор не является сильно эллиптическим. Сведение к нелокальной задаче позволяет строить аналитические решения краевых задач для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргумента. В данной статье приводятся примеры таких решений. 1. РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ОРБИТЫ ГРАНИЦ Рассмотрим разностный оператор R : L2(R) → L2(R): , (1.1) где ah,h ∈ R, M - конечное множество несоизмеримых между собой сдвигов h, h0 = 0 ∈ M. Будем рассматривать действия операторов R на функциях u ∈ L2(R), для которых u(x) = 0, x /∈ Q = (0,d). (1.2) Для учета однородных краевых условий (1.2) используем операторы IQ, PQ: IQ : L2(Q) → L2(R) - оператор продолжения функции из L2(Q) нулем вне Q, PQ : L2(R) → L2(Q) - оператор сужения функции из L2(R) на Q. Введем также оператор RQ = PQRIQ : L2(Q) → L2(Q). Обозначим. Введем множества В силу построения Sk-1 ⊆ Sk. Введем множество . Аналогичное множество Sd построим для правой границы (точки d). Обозначим S := S0 ∪ Sd. Возможно существование 2-х случаев. Случай 1. На некотором шаге Sk+1 = Sk. Тогда и все , и процесс построения прервется. В этом случае множество S0 состоит из конечного числа точек S0 = Sk = {x0,x1,...,xN}, 0 = x0 < x1 < x2 < ... < xN < d. Назовем S0 орбитой точки 0, S = orb(0), а xi точками орбиты. Аналогичную орбиту Sd построим для точки d, Sd = {y0,y1,...,yN}, 0 < y0 < y1 < y2 < ... < yN = d. В силу симметричности разностного оператора эти орбиты идентичны. Случай 2. Множество S состоит из бесконечного числа точек. В данной работе мы будем рассматривать только случай 1. Замечание 1.1. Для бесконечной орбиты, когда число различных множеств Sk счетно, множество S может быть даже всюду плотным в Q¯ (см. [4, пример 3.10]). Рассмотрим открытое множество G = Q¯\(S0 ∪Sd). Оно состоит из конечного числа непересекающихся связных компонент Qr (r = 1,2...) и . Замечание 1.2. В работе А. Л. Скубачевского [4] для исследования свойств разностных операторов с соизмеримыми сдвигами и гладкости решений соответствующих краевых задач строится разбиение области Q на непересекающиеся подобласти с использованием аддитивной абелевой группы, порожденной множеством сдвигов M. Для множества, содержащего несоизмеримые сдвиги, такое разбиение не существует. Будем использовать разбиение, построенное без использования группы и описанное в [2]. Определение 1.1. Назовем 0 регулярным разбиением области Q на непересекающиеся подобласти Qr(r = 1,2,...), если: 1. ; 2. для любойили найдется Qr2 так, что Qr2 = Qr1 +h, или Qr1 +h ∈ R\Q. Здесь M - множество векторов из формулы (1.1). В силу [2, теорема 2.1] справедлива Лемма 1.1. Совокупность всех непересекающихся связных компонент множества G является регулярным разбиением 0 области Q. Разбиению 0 поставим в соответствие ориентированный граф. Вершины этого графа - подобласти Qr, дуги графа - сдвиги h ∈ M. Если Qr2 = Qr1 +h, то вершины графа, ассоциированные с подобластями Qr2,Qr1 соединяем ориентированной дугой . На дугах задана числовая функция ϕ(h) = ah, где ah - коэффициенты разностного оператора из формулы (1.1). Введем на множестве подобластей (вершин графа) бинарное отношение π: подобласти Qr1, находятся в отношении π, если существует цепь в графе, соединяющая вершины Qr1 и Qr2. В цепи движение может осуществляться как по направлению дуги, так и против. Это отношение является отношением эквивалентности и порождает разбиение множества 0 на классы эквивалентности. Обозначим подобласти Qsl, где s - номер класса эквивалентности и l - номер области в этом классе. Каждый класс s в силу ограниченности области Q состоит из конечного числа N = N(s) подобластей Qsl. Обозначим подпространство функций из L2(Q), обращающихся в нуль вне . Обозначим оператор ортогонального проектирования на. В силу [4, лемма 8.5] является инвариантным подпространством оператора RijQ, при этом. Введем изоморфизм гильбертовых пространств по формуле (Usu)l(x) = u(x + hsl) (x ∈ Qs1), где l = 1,...,N = N(s), hsl такое, что . Аналогично доказательству [4, лемма 8.6] можно показать, что оператор , заданный формулой Rs = UsRQUs-1, есть оператор умножения на матрицу Rs порядка N(s) × N(s), элементы матрицы rkms вычисляются по формуле , (1.3) Если для построения матрицы Rs использовать ассоциированный с разбиением 0 граф, для вершин Qsk,Qsm, связанных дугой , положим rkms = ϕ(h) = ah, в противном случае rkms = 0. В силу [4, лемма 8.7] спектр σ(RQ) оператора RQ совпадает с объединением спектров всех матриц . Отсюда следует Лемма 1.2. Оператор RQ невырожден тогда и только тогда, когда все матрицы Rs невырождены. Присвоим первый номер классу интервалов, левой границей которых являются точки xi орбиты нуля: 0 = x0 < x1 < x2 < ... < xN < d. Оператор, заданный формулой RQ1 = U1RQU1-1, есть оператор умножения на матрицу R1 порядка N × N. Пример 1.1. Пусть разностный оператор R имеет вид (Ru)(x) = a0u(x) + a1(u(x + 1 + τ) + u(x - 1 - τ)) + a2(u(x + 1 + 2τ) + u(x - 1 - 2τ)), (1.4) где - иррациональное. Рассмотрим оператор RQ : L2(Q) → L2(Q), RQ = PQRIQ, где Q = (0,2). Орбиты границы: S0 = orb(0) = {0,τ,1 + τ,1 + 2τ}, Sd = orb(d) = {1 - 2τ,1 - τ,2 - τ,2}. Разбиение области Q состоит из трех классов подобластей. Первый класс содержит 4 подобласти: Q11 = (0,1 - 2τ), Q12 = (τ,1 - τ), Q13 = (1 + τ,2 - τ), Q14 = (1 + τ,2); второй класс состоит из подобластей Q21 = (1 - 2τ,τ), Q22 = (2 - τ,1 + 2τ). Третий класс состоит из одной области Q13 = (1 - τ,1 + τ). Для первого класса s = 1 подобластей оператор R1 : L42(Q11) → L42(Q11), где R1 = U1RQU1-1, RQ : L2(Q) → L2(Q). Действию оператора R1 в силу формулы (1.3) соответствует умножение на матрицу . (1.5) Для второго класса s = 2 подобластей оператор R2 : L22(Q21) → L22(Q21), где R2 = U2RQU2-1. Действию этого оператора соответствует умножение на матрицу . (1.6) На третьем классе действию оператора RQ соответствует умножение на a0. 2. ДЕЙСТВИЕ РАЗНОСТНОГО ОПЕРАТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ H˚1(Q) Введем в рассмотрение H 1(Q) (Q = (0,d)) - пространство Соболева функций, у которых существует и принадлежит пространству L2(Q) обобщенная производная: . Эквивалентная норма ||u||H˚1(Q) в H˚1(Q) определяется формулой Введем в рассмотрение также пространство Hγ1(0,d) функций v ∈ H1(0,d), для которых (2.1) . (2.2) Пусть R1 - матрица первого класса подобластей разбиения области Q, определенная формулой (1.3). Обозначим через R11 матрицу, полученную из матрицы R1 вычеркиванием первого столбца. Обозначим ei i-ю строку матрицы R11, R12 - матрицу, полученную из R1 вычеркиванием первого столбца и строки. Предположим, что . Тогда первая строка матрицы R1 есть линейная комбинация остальных ее строк: . (2.3) Доказательство теоремы 2.1 следует схеме доказательства работы [4, теорема 2.1]. Теорема 2.1. Пусть RQ - невырожденный оператор и . Тогда существуют γi (i = 1,...,N) такие, что оператор RQ отображает H˚1(Q) на Hγ1(0,d) непрерывно и взаимно однозначно. Доказательство. 1. Покажем, что существуют такие γi (i = 1,...,N), что RQ(H˚1(0,d)) ⊂ Hγ1(0,d). В силу [4, лемма 2.10] RQ(H˚1(0,d)) ⊂ H1(0,d). Для v ∈ H˚1(Q) Аналогично доказывается, что . Следовательно, 2. Докажем, что . Пусть u ∈ Hγ1(0,d). В силу [4, лемма 2.7] оператор RQ имеет ограниченный обратный RQ-1 : L2(0,d) → L2(0,d). Покажем, что v = RQ-1u ∈ H˚1(0,d)). В силу [4, лемма 2.12] v ∈ H1(Qsi) для всех подобластей Qsi разбиения 0. Достаточно показать, что для точек xi орбиты нуля v|t=xi+0 = v|t=xi-0, xi = 1,...,N, v(0) = 0, где , Аналогичные равенства должны быть также выполнены и для точек орбиты d. Обозначим ϕi = v|t=xi+0, i = 0,...,N, ψj = v|t=xj-0, j = 1,...,N, ψ0 = 0. Все значения ϕi в силу построения определяются значениями функции v на областях Q1,i+1 первого класса разбиения. Функции ψi могут определяться на областях различных классов, в том числе и на первом (см. примеры 1.1, 2.1). При этом действию оператора RQ на первом классе соответствует умножение на матрицу R1, действию оператора RQ на других классах соответствует умножение на различные матрицы. Для того, чтобы унифицировать действие оператора RQ, введем в рассмотрение область Qδ = (-δ,d) и окрестности Gi точек орбиты xi: Gi = (xi - δ,xi + δ) (i = 0,...,N). Выберем δ достаточно малым, так, чтобы интервалы G-i = (xi - δ,xi) (i = 1,...,N), G+i = (xi,xi + δ) (i = 0,...,N) содержались целиком в соответствующих подобластях разбиения. Действию оператора соответствует умножение на матрицу R1. Эта же матрица соответствует действию оператора. При этом будем рассматривать только функции v(x) = 0, x ∈ G-0 . Из этого следует, что ψ0 = 0. Тогда (RQδv)(x) = (RQv)(x), x ∈ Q. Поскольку . (2.4) В силу условия (2.3) . Тогда левая часть равенства (2.4) примет вид . Подставив это выражение в (2.4), получим . Отсюда , или . Выражение в скобках не может быть равным нулю, иначе вся первая строка матрицы R1 была бы линейной комбинацией остальных ее строк, что противоречит условию невырожденности матрицы R1. Следовательно, ϕ0 = 0. Поскольку RQv ∈ H1(0,d), (R v)| = (R v) , i = 1,...,N. (2.5) Отсюда (2.6) В силу того, что ψ0 = 0 по построению и ϕ0 = 0 в силу доказанного выше, из (2.6) следует Отсюда Поскольку , отсюда следует, что ϕp = ψp, p = 1,...,N и Hγ1(0,d) ⊂ RQ(H˚1(0,d)). Пример 2.1. Пусть разностный оператор R имеет вид (Ru)(x) = a0u(x) + a1(u(x + 1) + u(x - 1)) + a2(u(x + 1 + τ) + u(x - 1 - τ)), (2.7) где 0,25 < τ < 0,5, τ - иррациональное. Рассмотрим оператор RQ = PQRIQ, где Q = (0,2). Орбиты границы: S0 = orb(0) = {0,τ,1,1 + τ}, Sd = orb(d) = {1 - τ,1,2 - τ,2}. Разбиение области Q состоит из двух классов подобластей. Первый класс содержит 4 подобласти: Q11 = (0,1 - τ), Q12 = (τ,1), Q13 = (1,2 - τ), Q14 = (1 + τ,2); второй класс состоит из подобластей Q21 = (1 - τ,τ), Q22 = (2 - τ,1 + τ). На первом классе подобластей действию оператора RQ соответствует умножение на матрицу R1, определенную формулой (1.5). Ее определитель detR1 = (a02 - a12 - a0a2)(a02 - a12 + a0a2). На втором классе действию оператора RQ соответствует умножение на матрицу R2, определенную формулой (1.6). Ее определитель detR2 = (a02-a12). В силу леммы 1.2 необходимое и достаточное условие невырожденности оператора RQ: (2.8) Матрицы R11,R12 : . Условие невырожденности . (2.9) Пусть выполнены условия (2.8), (2.9). Тогда в силу теоремы 2.1 существуют γi (i = 1,...,3) такие, что оператор RQ отображает H˚1(0,d)) на Hγ1(0,d) непрерывно и взаимно однозначно, где Hγ1(0,d) - подпространство функций u ∈ H1(0,2), удовлетворяющих условиям u(0) = γ1u(τ) + γ2u(1) + γ3u(1 + τ), (2.10) u(2) = γ1u(2 - τ) + γ2u(1) + γ3u(1 - τ), (2.11) где γ1,γ2,γ3 в силу формулы (2.3) и симметричности матрицы R1 находятся из системы: , где (R11)t - транспонированная матрица R11. Решение этой системы существует и единственно: . (2.12) 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ СВЯЗЬ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ ЗАДАЧАМИ Рассмотрим дифференциально-разностное уравнение (3.1) с однородными краевыми условиями v(x) = 0 ( x /∈ Q). (3.2) Здесь R - разностный оператор с несоизмеримыми сдвигами, определенный формулой (1.1), A1 : H˚1(Q) → L2(Q) - линейный ограниченный оператор, f ∈ L2(Q), λ ∈ C, λ - спектральный параметр. Пусть AR : L2(Q) → L2(Q) - неограниченный оператор, заданный следующим образом: (3.3) . Задача (3.1), (3.2) для целочисленных сдвигов разностного оператора R исследована в работе [4]. А. Л. Скубачевским предложен метод сведения этой задачи к краевой задаче с нелокальными краевыми условиями. Разбиение, описанное в разделе 1, позволяет обобщить этот метод на случай несоизмеримых сдвигов (если орбита границы конечна). Краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений вида (3.1), (3.2), вообще говоря, не имеют гладких классических решений и естественно определить решение в обобщенном смысле (см. [4]). Определение 3.1. Функцию v ∈ D(AR) назовем обобщенным решением задачи (3.1), (3.2), если ARv - λv = f. (3.4) Это определение эквивалентно следующему. Определение 3.2. Функцию v ∈ H˚1(Q) назовем обобщенным решением задачи (3.1), (3.2), если для любой функции w ∈ H˚1(Q) выполнено тождество , (3.5) где (v,w)L2(Q) - скалярное произведение в L2(Q). Теорема 3.1. Пусть оператор RQ невырожден и . Тогда неограниченный оператор AR : L2(Q) → L2(Q) фредгольмов и indAR = 0. Доказательство. В силу теоремы 2.1 существуют γi (i = 1,...,N) такие, что оператор RQ отображает H˚1(0,d) на Hγ1(0,d) непрерывно и взаимно однозначно. Обозначим u = RQv. Здесь Hγ1(0,d) - подпространство функций из H1(0,d), удовлетворяющих условиям: (3.6) . (3.7) Оператор AR = AγRQ, где u ∈ H2(0,d) ∩ Hγ1(0,d). Задача (3.1), (3.2) эквивалентна уравнению (3.8) с нелокальными краевыми условиями (3.6), (3.7). В силу [4, теорема 1.2] оператор Aγ фредгольмов и indAγ = 0. Следовательно, из [4, теорема 1.A] следует, что оператор AR фредгольмов и indAR = 0. Пример 3.1. Рассмотрим краевую задачу для дифференциально-разностного уравнения (3.9) где Q = (0,2), RQ = PQRIQ, R - разностный оператор, определенный формулой (2.7) (см. пример 2.1). Предположим, что оператор RQ является невырожденным (условие (2.8)) и выполнено условие (2.9). Обозначим u = RQv. В силу теоремы 2.1 существуют γi (i = 1,...,3) такие, что оператор RQ отображает H˚1(0,2) на Hγ1(0,2) непрерывно и взаимно однозначно, где Hγ1(0,2) - подпространство функций u ∈ H1(0,2), удовлетворяющих условиям (2.10), (2.11). Краевая задача (3.9) эквивалентна уравнению (3.10) с нелокальными краевыми условиями (2.10), (2.11). Решаем задачу с помощью программы Maple для значений параметров a0 = 3, a1 = 1,a2 = 2, τ = √3 - 1, f = 2. По формуле (2.12) находим значения . Решение u задачи (3.10), (2.10), (2.11) существует и единственно: u(x) = x2 - 4x - 6,17. Поскольку оператор RQ имеет ограниченный обратный, мы можем найти обобщенное решение v задачи (3.9) по формуле v(x) = RQ-1u(x). Находим решение задачи (3.9) на первом классе подобластей разбиения, используя обратную матрицу R1-1: ⎛ 0,14x2 - 2,77x, ⎞ (U1v)(x) = ⎜⎜⎜⎜⎝00,,29290xx,2214+ 0-x21,,-08922xx,77--x01,,9623,,⎟⎟⎟⎟⎠, x ∈ Q11 = (0,1 - τ). Находим решение на втором классе подобластей разбиения, используя обратную матрицу R2-1: . Далее находим Производная функции v терпит разрывы в точках орбит границы, но гладкость решения внутри подобластей разбиения сохраняется. Автор выражает благодарность А. Л. Скубачевскому за внимание и интерес к работе.