Отсутствие решений для некоторых неоднородных эллиптических неравенств

Аннотация

С помощью модифицированного метода пробных функций получены достаточные условия отсутствия нетривиальных решений ряда классов полулинейных эллиптических неравенств высокого порядка и квазилинейных эллиптических неравенств, содержащих неоднородные слагаемые (не зависящие от искомой функции).

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ В последние десятилетия многими математиками рассматриваются достаточные условия отсутствия нетривиальных (отличных от тождественного нуля или другой константы п.в.) решений нелинейных неравенств в соответствующих функциональных классах. Метод исследования этой проблемы, основанный на использовании пробных функций специального вида, был предложен С. И. Похожаевым [2] и развит в его совместных работах с Э. Митидиери, В. Галактионовым и другими авторами (см., в частности, монографии [1, 3]), а также в статьях авторов настоящей работы (см. [4, 5] и библиографию там). При этом до сих пор, как правило, рассматривались неравенства, не содержащие неоднородных (не зависящих от искомой функции) слагаемых. Здесь мы модифицируем метод пробных функций для получения достаточных условий отсутствия нетривиальных решений ряда классов полулинейных эллиптических неравенств высокого порядка и квазилинейных эллиптических неравенств, содержащих такие слагаемые. Основные результаты статьи сформулированы в разделе 1. В разделе 2 доказано отсутствие нетривиальных решений для некоторых полулинейных эллиптических неравенств высокого порядка, в которых нелинейные слагаемые зависят от значений искомой функции, а в разделе 3 - для их квазилинейных аналогов с нелинейным слагаемым, зависящим от модуля градиента. В разделах 4 и 5 аналогичные результаты получены для неравенств, содержащих оператор p-Лапласа, определенный по формуле Δpu = div(|Du|p-2Du), и нелинейные слагаемые того же вида, как в разделах 2 и 3 соответственно. 1. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ Будем рассматривать полулинейное эллиптическое неравенство высокого порядка q + b(x) (x ∈ Rn), (1.1) |α| c РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 605 где с некоторыми константами c > 0, β ∈ R при всех loc . Определение 1.1. Будем называть функцию слабым решением неравенства (1.1), если для любой неотрицательной пробной функции выполняется неравенство (1.2) Теорема 1.1. Пусть q > 0 и Aα : Rn × R → R - функции Каратеодори, причем для всех существуют функции , такие, что для п. в. (x,t) ∈ Rn × R+, p ∈ (0,q) и . (1.3) Пусть, кроме того, . (1.4) Тогда неравенство (1.1) не имеет слабых (в смысле определения 1.1) решений, отличных от тождественного нуля п.в. Далее рассмотрим квазилинейное эллиптическое неравенство , (1.5) где с некоторыми константами c > 0, β ∈ R при всех loc . Определение 1.2. Будем называть функцию слабым решением неравенства (1.5), если для любой неотрицательной пробной функции выполняется неравенство q + b(x))ϕdx. (1.6) Теорема 1.2. Пусть q > 1, Aα : Rn × R → R - функции Каратеодори, причем для всех существуют функции , такие, что для п. в. (x,t) ∈ Rn × R+) и , (1.7) а b(x) удовлетворяет условию Тогда неравенство (1.5) не имеет слабых решений , отличных от константы п.в. В качестве примера квазилинейных неравенств с противоположным знаком в главной части рассмотрим , (1.8) где с некоторыми константами c > 0, β ∈ R при всех loc . ОТСУТСТВИЕ РЕШЕНИЙ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ Определение 1.3. Будем говорить, что функция удовлетворяет неравенству (1.8) в слабом смысле (распределений), если для любой неотрицательной пробной функции ϕ ∈ C01(Rn) выполняется следующее неравенство: (1.9) Теорема 1.3. Пусть q > p - 1 и , (1.10) . (1.11) Тогда неравенство (1.9) не имеет неотрицательных слабых решений, отличных от тождественного нуля п.в. В заключение рассмотрим неравенство . (1.12) Определение 1.4. Будем говорить, что функция удовлетворяет неравенству (1.12) в слабом смысле (распределений), если для любой неотрицательной пробной функции ϕ ∈ C01(Rn) выполняется следующее неравенство: (1.13) Теорема 1.4. Пусть q > p - 1 и , (1.14) а b удовлетворяет условию (1.4). Тогда неравенство (1.12) не имеет слабых решений u ∈ Wloc1,max(p,q)(Rn), отличных от константы п.в. 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1.1 Введем семейство пробных функций вида ϕR(x) = ψRκ(x) с такими, что (2.1) , причем существует константа c > 0 такая, что (2.2) для всех мультииндексов Теперь предположим, что решение u неравенства (1.1) существует. Подставляя ϕ = ϕR в (1.2), получаем откуда В силу выбора ϕR мы можем изменить области интегрирования в обеих частях неравенства следующим образом: Заметим, что ϕR ≡ 1 во всей области интегрирования в левой части неравенства. Используя условия (1.4)-(2.2), получим , что приводит к противоречию при R → ∞, если показатель степени в правой части неравенства отрицателен, т. е. при строгом неравенстве в (1.3). В случае показателя, равного нулю, имеем , откуда при R → ∞. Но из (2.3) вследствие неравенства Гельдера имеем , где при R → ∞ первый множитель стремится к 0 по доказанному, а второй ограничен, что вновь приводит к противоречию, завершающему доказательство теоремы. 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1.2 Для доказательства этой теоремы возьмем вида ϕR(x) = ψRκ(x) ОТСУТСТВИЕ РЕШЕНИЙ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ с , удовлетворяющими условиям (2.1) и (2.2). Достаточно, чтобы условия (2.2) выполнялись при . Как и выше, предположим, что решение u задачи (1.5) существует. Подставляя ϕ = ϕR в (1.6), получаем откуда В силу выбора ϕR мы можем изменить области интегрирования в обеих частях неравенства следующим образом: Заметим, что ϕR ≡ 1 во всей области интегрирования в левой части неравенства. Используя условия (1.4)-(2.2), получим , что приводит к противоречию при R → ∞, если показатель степени в правой части неравенства отрицателен, т. е. при строгом неравенстве в (1.7). Случай показателя, равного нулю, рассматривается аналогично предыдущей теореме. 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1.3 Предположим, что искомое решение существует. Обозначим uε = u + ε, где ε > 0. Подставляя - функции из предыдущего раздела с k = 1, получаем и в силу неравенства Юнга т. е. (4.1) Переходя к пределу при ε → 0+ и повторно применяя неравенство Юнга, приходим к Cужая область интегрирования, получим в левой части этого неравенства а в правой части будем иметь Аналогично предыдущему разделу, получим , что приводит к противоречию при R → ∞, если в (1.10) выполнено строгое неравенство. Если же в (1.10) имеет место равенство, получаем , откуда при R → ∞. Но из (4.1) с учетом знака λ < 0 и неравенства Гельдера имеем где при R → ∞ первый множитель ограничен, а второй стремится к 0 по доказанному, что вновь приводит к противоречию, завершающему доказательство теоремы. 5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1.4 Подставляя ϕ(x) = ϕR(x) в (1.9), получаем Contemporary Mathematics. Fundamental Directions, 2019, Vol. 65, No. 4, 605-612 откуда В силу выбора ϕR мы можем изменить области интегрирования в обеих частях неравенства аналогично предыдущему разделу: Заметим, что ϕR ≡ 1 во всей области интегрирования в левой части неравенства. Аналогично доказательствам предыдущих теорем, получим , что приводит к противоречию при R → ∞, если показатель степени в правой части неравенства отрицателен. Случай показателя, равного нулю, рассматривается аналогично предыдущей теореме.