Об асимптотике плотности состояний гипоэллиптических почти-периодических систем

Аннотация

В работе находится асимптотика проинтегрированной плотности состояний с оценкой остаточного члена для гипоэллиптических систем с почти-периодическими (п.-п.) коэффициентами. Применяется метод приближенного спектрального проектора для матричных п.-п. операторов, имеющих непрерывный спектр.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Для линейных эллиптических дифференциальных операторов P(x,D) с п.-п. коэффициентами в работе [10] было доказано существование предела , (1.1) где NΩ(λ) - функция распределения собственных значений задачи Дирихле для этого оператора на ограниченной области - мера Лебега области Ω. Функция N(λ), совпадающая при заданном λ с пределом (1.1), естественным образом интерпретируется как проинтегрированная плотность состояний - функция распределения данного оператора. С другой стороны, в [10] с помощью теории алгебр фон Неймана (см., напр., [12]) доказано, что проинтегрированную плотность состояний N(λ) самосопряженного п.-п. оператора можно интерпретировать так же, как обычную функцию распределения дискретного спектра, но с использованием обобщенной размерности и обобщенного следа. Для этого используется ∗-представление C∗-алгебры п.-п. псевдодифференциальных операторов (п.д.о.), введенное в работе [11]. При этом, если P(x,D) - формально самосопряженный п.-п. оператор, то N(λ) = SpEλ, где Eλ - спектральный проектор оператора P#, построенного с помощью указанного выше ∗-представления в некоторую алгебру A, Sp - относительная размерность (след) фон Неймана на подалгебре алгебры A. Доказано также, что множество точек роста этой функции совпадает с непрерывным спектром исходного оператора P(x,D) в L2(Rn), что позволяет, в частности, оценивать лакуны по асимптотике N(λ). Дифференциальные операторы с п.-п. коэффициентами можно использовать для моделирования квантово-механического движения электронов в средах с определенными отклонениями от периодичности, в частности, в некоторых жидкостях и сплавах. Кроме того, вопросы спектральной c РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 593 теории таких операторов возникают в ряде задач механики, например, при рассмотрении линеаризованных систем с условно периодическими движениями. Асимптотика плотности состояний с оценкой остаточного члена скалярных гипоэллиптических п.-п. дифференциальных операторов (д.о.) была дана в работе [1], в которой был использован метод приближенного спектрального проектора. Этот метод впервые появился в работе [4], а затем интенсивно развивался для операторов с дискретным спектром (см. обзоры в [2, 3], а также [13]). Необходимо еще отметить, что методы, использовавшиеся для исследования асимптотики плотности состояний эллиптических п.-п. операторов (тауберовы теоремы, метод гиперболического уравнения), существенно опираются на специфику эллиптических операторов и на гипоэллиптический случай не переносятся. Применение метода приближенного спектрального проектора для матричных дифференциальных операторов и п.д.о. содержит большие трудности, которые, тем не менее, успешно были преодолены в ряде задач с дискретным спектром [2]. В данной работе метод приближенного спектрального проектора проводится для матричных п.-п. операторов, имеющих непрерывный спектр. 2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Пусть P(x,D) - квадратная матрица порядка N скалярных линейных дифференциальных операторов на Rn с коэффициентами из C∞(Rn), p(x,ξ) - ее матричный символ. Тогда оператор P можно представить в виде , где C0∞(Rn) - пространство всех бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций на Rn с компактным носителем. Здесь и дальше символ означает интеграл по всему пространству. Если разложить символ p(x,ξ) в ряд Тейлора в точке и проинтегрировать по частям по ξ в предыдущей формуле, то получим формулу , где функция называется символом Вейля оператора. Последняя сумма конечна, так как p(x,ξ) - многочлен по ξ. Важным свойством символа Вейля, отличающим его от обычного символа, является простота перехода к сопряженному оператору. Если оператор P имеет символ Вейля pˆ(x,ξ), то оператор P∗, формально сопряженный к , задается матричным символом Вейля pˆ∗(x,ξ) - матрицей, получаемой из pˆ(x,ξ) транспонированием матрицы, элементы которой комплексно сопряжены к элементам pˆ(x,ξ). Напомним, что формально сопряженный оператор P∗ к оператору P определяется формулой , где (·,·) - скалярное произведение в . В частности, если символ pˆ(x,ξ) - эрмитова матрица, то соответствующий оператор P = является формально самосопряженным. Будем предполагать далее, что P - матричный дифференциальный оператор с N×N-матричным символом Вейля pˆ(x,ξ), элементы матрицы pˆ(x,ξ) принадлежат C∞(Rnx × Rξn ) и являются п.-п. функциями по x, pˆ(x,ξ) - эрмитова матрица при всех (x,ξ) ∈ Rnx × Rnξ . Напомним определение почти-периодической функции. Определение 2.1. Непрерывная функция h(x) на Rn со значениями в C называется почтипериодической по Бору, или равномерно почти-периодической, если для любого найдется такой компакт K ⊂ Rn, что каждый его сдвиг x + K содержит -почти-период функции h, т. е. такой вектор τ ∈ Rn, что Эквивалентное определение состоит в том, что семейство всех сдвинутых функций {h(· + τ) : τ ∈ Rn} должно быть предкомпактно в топологии равномерной сходимости на Rn. Для определения гипоэллиптичности символа Вейля и соответствующего оператора введем (следуя [7, с. 466]) понятие умеренной нормы на CN, параметризованной точками пространства Rnx × Rnξ . Определение 2.2. Норма , определенная для каждой точки (x,ξ) ∈ Rnx × Rnξ , называется умеренной, если существуют такие положительные постоянные C и M, что , где . Определение 2.3. П.-п. гипоэллиптическим матричным символом будем называть N×N матричную функцию p(x,ξ), элементы которой принадлежат C∞(Rnx×Rnξ ) и являются п.-п. функциями по x, если для нее выполнены условия гипоэллиптичности на Rn (ср. [7, с. 466]): 1. ; 2. , где - две умеренные нормы на CN, параметризованные точками- любые мультииндексы, C0,Cαβ,R - некоторые положительные постоянные, . Поясним смысл условий 1 и 2 в определении 2.3 при N = 1. В этом случае и сформулированные условия принимают вид Поэтому функция эквивалентна |p(x,ξ)| при большом |ξ| и Это неравенство вместе с полиномиальными оценками на p и 1/p при большом |ξ| эквивалентно гипоэллиптичности в определении 2.3. Пусть P - дифференциальный оператор с п.-п. гипоэллиптическим символом Вейля pˆ(x,ξ), принимающим значение в (комплексные матрицы N × N), и пусть pˆ(x,ξ) - положительно определенная эрмитова матрица при всех (x,ξ) ∈ Rxn × Rξn. Обозначим через λi(x,ξ) (i = 1,...,N) собственные числа матрицы pˆ(x,ξ), где при фиксированных . Из непрерывной зависимости собственных чисел от элементов матрицы следует п.-п. по x и непрерывность по ξ ∈ Rn функций λi(x,ξ), а из теоремы Коши о вычетах непосредственно получаем, что функции λi(x,ξ) являются C∞-гладкими по (x,ξ) во всех точках, кроме тех, где . Положим (2.1) где Mx - среднее значение п.-п. функции, (2.2) . (2.3) Будем предполагать, что функция V (λ) конечна для любого λ. Для этого достаточно наложить на собственное значение λ1(x,ξ) матрицы pˆ(x,ξ) условие lim inf λ1(x,ξ) = +∞. |ξ|→∞ x Теорема 2.1. При сделанных предположениях на оператор P для любого ν ∈ (0,(ρ - δ)(3M)-1) существует такая постоянная C, что N(λ) = V (λ)(1 + O(λ-ν)) + O(W(λ,Cλ1-ν)) при λ → +∞, (2.4) где- постоянные в определении умеренных норм , а функции V (λ) и W(λ,τ) определены формулами (2.2) и (2.3). Обозначим через Sρ,δm , где , множество N × N матричных функций c элементами из , удовлетворяющих условиям . Теорема 2.2. Если pˆ(x,ξ) удовлетворяет условиям теоремы 2.1 и, кроме того, pˆ(x,ξ) ∈ Sρ,δm , то формула (2.4) верна для любого ν ∈ (0,(ρ - δ)(3m)-1). Теорема 2.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.1 и пусть, кроме того, функция V (λ) при больших λ непрерывно дифференцируема и при λ → +∞, где κ ∈ [0,ν). Тогда N(λ) = V (λ)(1 + O(λκ-ν)) при λ → +∞. (2.5) Теорема 2.4. Пусть выполнены условия теоремы 2.1, и пусть при некотором κ ∈ [0,ν) имеет место асимптотическая формула (2.5). Предположим еще, что функция V (λ) непрерывно дифференцируема при больших λ и при λ → +∞, (2.6) где μ ∈ [0,κ]. Тогда существует такая положительная постоянная K, что если интервал (a,b) не содержит спектра оператора P, то . (2.7) Отметим здесь, что явную оценку остатка в асимптотике функции N(λ) (типа формулы (2.5) с κ = 0) и оценку длины лакуны вида (2.7) с μ = 0 легко получить непосредственно из формулы (2.3) в случае, когда собственные числа λj(x,ξ) (j = 1,...,N) являются квазиэллиптическими многочленами по ξ. Под квазиэллиптическим здесь понимается многочлен вида , где α · μ = α1μ1 + ... + αnμn, α - мультииндекс, μ = (μ1,...,μn) - фиксированный для данного многочлена набор натуральных чисел, при . Здесь . Доказательство этого факта непосредственно следует из асимптотических формул для Vj(λ), j = 1,...,N, аналогичных соответствующей формуле в скалярном случае (см. [1]). 3. ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ОГРАНИЧЕННЫМИ СИМВОЛАМИ Рассмотрим на Rn матричные п.д.о. с равномерными по x оценками символов. Класс соответствующих символов - это множество Sρ,δm , где , определенное перед теоремой 2.2. Техника использования скалярных п.д.о. с равномерными по x оценками символов была разработана в [14] (см. также [1]). Перенос этой техники на матричный случай не представляет трудностей. По символу Вейля p(x,ξ) ∈ Sρ,δm п.д.о. определяется по формуле (3.1) где, при всех x ∈ Rn}, а интеграл понимается как осциллирующий [6]. Напомним, что один из способов регуляризации осциллирующих интегралов вида (3.1), не являющихся в общем случае абсолютно сходящимися, состоит в следующем. Пусть χ(x,y,ξ) ∈ - гладкая срезающая функция. Тогда формула (3.2) задает непрерывный линейный оператор , не зависящий от выбора срезающей функции χ(x,y,ξ). Кроме того, формула (3.2) корректно определяет линейный непрерывный оператор для любого s ∈ R, где , Hs(Rn) - стандартное пространство Соболева в Rn. Класс операторов P вида (3.1) с символами Вейля p ∈ Sρ,δm обозначается через Lmρ,δ. Для этих классов имеется стандартное исчисление п.д.о. В частности, можно брать композиции любых двух операторов из . При этом в L∞ρ,δ выполняются теоремы о композиции и о сопряженном операторе (доказательства для скалярного случая приведены, например, в [1]). 4. ФУНКЦИЯ N(λ) ДЛЯ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ В АЛГЕБРАХ ФОН НЕЙМАНА Пусть A - подалгебра алгебры ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H, являющаяся фактором типа I∞ или II∞. Предположим, что на A фиксирован некоторый точный нормальный полуконечный след, обозначаемый Sp (см., например, [8, 12]). Пусть, далее, A = A∗ и оператор A присоединен к фактору A, т. е. Eλ ∈ A для любого спектрального проектора Eλ оператора A. В этом случае спектр A называется дискретным относительно фактора A, если SpEλ < +∞ для любого λ ∈ R. В описанной ситуации определена и конечна неубывающая функция N(λ) = SpEλ (λ ∈ R), множество точек роста которой совпадает со спектром оператора A. Следующая теорема (см. [1]), являющаяся обобщением на факторы схемы, приведенной в [5], позволяет находить асимптотику функции N(λ) при λ → +∞. Обозначим через S1(A) двусторонний идеал в факторе A, состоящий из всех таких операторов B ∈ A, что Sp|B| < +∞. Теорема 4.1. Пусть A - фактор типа I∞ или II∞. Пусть A = A∗, оператор A присоединен к - такое семейство операторов из A, что выполнены следующие условия: 1. Eλ = Eλ∗, Sp |Eλ| < +∞, ImEλ ⊂ DA; 2. - единичный оператор; 3. Sp Eλ = V (λ)(1 + O(λ-ν)) + O(W(λ,C1λ1-ν)) при λ → +∞, где E1λ = Eλ2(3I - 2Eλ), V (λ) - некоторая положительная неубывающая функция, W(t,τ) = V (t + τ) - V (t - τ), C1 > 0, 0 < ν < 1; 4. Sp[E1λ(I - E1λ)] = O(V (λ)λ-ν) + O(W(λ,C2λ1-ν)) при λ → +∞, C2 > 0; 5. 6. 1λ - 1λ - 4 4 > 0 0. Тогда спектр оператора A дискретен относительно фактора A и N(λ) = V (λ) + O(W(λ,C3λ1-ν)) при λ → +∞, где W(λ,τ) = V (λ + τ) - V (λ - τ). Для полноты изложения приведем доказательство этой леммы, основанное на вариационном принципе Глазмана. Доказательство основывается на двух леммах. Первая лемма является обобщением леммы Глазмана и доказана в работе [9]. Лемма 4.1. Пусть A - фактор типа I∞ или II∞, A = A∗ и оператор A присоединен к A. Тогда Будем обозначать через χ<a,b>(x) характеристическую функцию промежутка < a,b > на вещественной оси. Лемма 4.2. Положим N˜(λ) = Sp χ(1/2,3/2)(E1λ). Тогда N˜(λ) = V (λ) + O(V (λ,λ1-ν)) при λ → +∞. Доказательство. Оценим сначала N˜(λ) снизу. Имеем при , так как (в силу условия 2)) при . С другой стороны при имеем , Отсюда при получаем . Теперь оценим N˜(λ) сверху. Имеем N˜(λ) = Spχ(1/2,3/2)(E1λ) = Sp[χ(1/2,3/2)(E1λ)E1λ] + Sp[χ(1/2,3/2)(E1λ)(1 - E1λ)]. Далее, при получаем ; Отсюда следует, что , что и требовалось доказать. Доказательство теоремы 4.1. Оценим N(λ) снизу. Пусть Lλ = χ(1/2,3/2)(E1λ). Тогда Lλ ∈ Proj(A) и при λ → +∞ SpLλ = N˜(λ) = V (λ) + O(V (λ,λ1-ν)). Из условия 5 получаем , или . Так как Im(E1λLλ) = ImLλ, то при u ∈ ImLλ, то есть . По лемме 4.1 при λ → +∞ имеем , следовательно, . Оценим теперь N(λ) сверху. Пусть Mλ = I - Lλ = I - χ(1/2,3/2)(E1λ). Тогда . Из условия 6 вытекает, что . Отсюда следует, что (I - E1λ)Mλ(Aλ)(I - E1λ)Mλ + 4C2λI-ν(I - E1λ)2Mλ. Так как Im[(I - E1λ)Mλ] = ImMλ, то . Положим τ = λ и пусть Eτ - спектральный проектор оператора, так как - . Таким образом, B = LλEτ мономорфно отображает EτH в LλH, а значит, при τ → +∞. 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АЛГЕБРЫ П.-П. П.Д.О. Обозначим через CAP(Rn) множество всех п.-п. по Бору функций на Rn. Поскольку любая п.-п. функция h(x) ограничена на Rn, то множество CAP(Rn) является коммутативной банаховой алгеброй с обычными операциями сложения и умножения функций и нормой . В пространстве CAP(Rn) плотным является множество Trig(Rn) всех тригонометрических многочленов, т. е. конечных сумм вида . Пространство максимальных идеалов банаховой алгебры CAP(Rn) называется компактом Бора и обозначается RnB. Имеется естественное непрерывное вложение Rn ⊂ RnB, при котором Rn становится плотным подмножеством в RnB. Сложение в Rn продолжается по непрерывности до операции, превращающей RnB в компактную топологическую группу. Среднее значение п.-п. функции h определяется формулой При этом предел существует для любой функции h ∈ CAP(Rn). Среднее значение функции h ∈ CAP(Rn) можно также записать в виде , где dμn - мера Хаара на Rn (нормированная так, что мера всей группы RnB равна 1), а hˆ - продолжение функции h с Rn на RnB по непрерывности. Пусть, далее, B2(Rn) - несепарабельное гильбертово пространство Безиковича, т. е. пополнение всех тригонометрических полиномов на Rn по норме, определяемой скалярным произведением (ϕ,ψ) = Mx[ϕ(x)ψ(x)], где ϕ(x) и ψ(x) - тригонометрические полиномы на Rn. Введем гильбертово пространство H = B2(Rn) ⊗ L2(Rn) = L2(RnB × Rn) (тензорное произведение предполагается пополненным по естественной гильбертовой норме). Далее, рассмотрим алгебру фон Неймана AB, порожденную двумя семействами операторов на H: {eξ ⊗ eξ, ξ ∈ Rn}, {I ⊗ Tξ, ξ ∈ Rn}, где eξ - оператор умножения на eiξ·x в B2(Rn) или в L2(Rn), а Tξ - оператор сдвига на вектор ξ в L2(Rn), т. е. Tξu(x) = u(x - ξ). Пространство H можно интерпретировать как пространство функций двух n-мерных переменных z и x, где z ∈ RnB, x ∈ Rn. Алгебра AB является II∞-фактором (см. [8]) и пусть Sp - относительный след на факторе AB. Обозначим через APSρ,δm пространство всех функций p(x,ξ) из Sρ,δm , для которых p(x,ξ) является п.-п. по x функцией (со значениями в. Пусть теперь (см. формулу (3.1)). Положим где B˜ : HN → HN, H = B2(Rn) ⊗ L2(Rn) (тензорное произведение подразумевается пополненным по естественной гильбертовой норме),, Bu˜ (x,y) = [Bxu(x,·)](y), Bx = T-xBTx. В качестве области определения оператора B˜ берется пространство , где . Отображение ρ˜ : B → B˜ является ∗-представлением алгебры операторов вида , где . Областью определения оператора B является пространство . Через B# обозначается замыкание оператора B˜ в HN. Определим теперь в алгебре L(HN,HN) ограниченных операторов в HN подалгебру ANB , которая будет фактором типаопределен точный нормальный полуконечный след. АлгебраII∞, т. е. на этой подалгебре однозначно (с точностью до множителя)ANB порождается семейством матричных операторов, где Aij = ezij ⊗ ezij : H → H, zij ∈ Rn, или Aij = I ⊗ Tzij : H → H, zij ∈ Rn, I - единичный оператор на L2(Rn). На факторе ANB фиксируется некоторый след, обозначаемый Sp, нормированный условием, которое будет указано ниже. Таким образом, Sp - функция из ANB в [0,+∞). Пусть теперь тогда: 1. если Q# самосопряжен, то его спектральные проекторы Eλ ∈ ANB ; 2. если m = 0, то Q# ∈ ANB ; 3. если m < -n, то Sp|Q#| < +∞ и (5.1) В утверждении 3 через |Q#| обозначен оператор - след матрицы из L(CN,CN). Кроме того, формула (5.1) определяет нормировочный множитель следа на ANB . Утверждения 1-3 доказаны при N = 1 в [8]; доказательство этих утверждений переносится на случай N > 1 непосредственно. Таким образом, оператор P#, построенный по исходному п.-п. гипоэллиптическому формально самосопряженному п.д.о. P, присоединен к фактору ANB (т. е. его проекторы Eλ принадлежат ANB ) и определена функция N(λ) = SpEλ, λ ∈ R. Так же, как и в [1], используя существование параметрикса у оператора P, нетрудно доказать конечность функции N(λ) при всех λ и совпадение спектров оператора P# и оператора , а значит, и совпадение этих спектров со множеством точек роста функции N(λ). 6. ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРОЕКТОР И АСИМПТОТИКА ФУНКЦИИ N(λ) Для доказательства основной теоремы достаточно теперь построить приближенный спектральный проектор Eλ оператора P#, удовлетворяющий теореме 4.1 при некотором ν ∈ (0,1). Положим Eλ = ρ˜(Eλ0), где , а X(Y ;λ,τ) - специальная гладкая срезающая функция с параметрами λ и τ, отображающая матрицу в матрицу X. Для этой функции, в частности, выполнены условия X(Y ;λ,τ) = , где ON и IN - нулевая и единичная матрицы N × N. Более точно, функция eλ(x,ξ) определяется по формуле , где - некоторое специальное (для оператора P) разбиение единицы для соответствующего покрытия {Uk} пространства , а Γkλ - специально построенные простые контуры в комплексной плоскости, в частности, содержащие внутри себя все собственные числа матрицы pˆ(x,ξ) при (x,ξ) ∈ Uk, меньшие λ. Такого типа конструкция для матричных операторов с дискретным спектром впервые была дана в работе [5]. Построенный по указанной схеме символ eλ(x,ξ) будет принадлежать пространству APSρ,δ0 при фиксированном λ, а соответствующий ему оператор Eλ будет удовлетворять всем условиям теоремы 4.1 при ν ∈ (0,(ρ - δ)(3M)-1).