Об одной задаче успокоения нестационарной системы управления с последействием

Аннотация

Рассматривается система управления, описываемая системой дифференциальных уравнений нейтрального типа с переменными матричными коэффициентами и несколькими запаздываниями. Показана связь между вариационной задачей для нелокального функционала, описывающей многомерную систему управления с запаздываниями, и соответствующей краевой задачей для системы дифференциально-разностных уравнений. Доказаны существование и единственность обобщенного решения краевой задачи.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Теория управляемых систем с последействием изучалась многими авторами [2, 3, 5, 8-10]. Широко известно, что обратная связь в системе управления может привести к задержке сигнала, см. рис. 2. РИС. 1 Обычно предполагалось, что функционально-дифференциальные уравнения, описывающие систему, имеют запаздывающий или нейтральный тип, при этом в случае нейтрального типа старшие члены с запаздыванием имели достаточно малые коэффициенты. Задача об успокоении системы управления с последействием, описываемая системой дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа с постоянными коэффициентами и постоянным запаздыванием, рассматривалась Н. Н. Красовским [2]. Предполагалось, что имеется одно постоянное запаздывание, а коэффициенты системы - также постоянные. В работах [1, 6, 11] эта задача обобщалась на случай, когда уравнение, описывающее управляемую систему, содержит также старшие члены с запаздыванием, т. е. имеет нейтральный тип. Многомерная система управления с постоянными матричными коэффициентами исследовалась в [4, 7]. В данной работе рассматривается задача об успокоении многомерной системы управления, описываемой системой дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа с переменными матричными коэффициентами и несколькими запаздываниями. Установлена связь между вариационной задачей для нелокального функционала, описывающей многомерную систему управления с запаздываниями, и соответствующей краевой задачей для системы дифференциально-разностных уравнений. Доказаны существование и единственность обобщенного решения этой задачи. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ В данной работе мы рассмотрим линейную нестационарную систему управления, описываемую системой дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа (1.1) где y(t) = (y1(t),...,yn(t))T - вектор-функция, описывающая состояние системы, u(t) = (u1(t),...,un(t))T - вектор-функция управления, Am(t) = {amij (t)}i,j=1...,n, Bm(t) = {bmij (t)}i,j=1...,n - матрицы порядка n × n с элементами , которые являются непрерывно дифференцируемыми функциями на R, τ = const > 0 - запаздывание. Предыстория системы определяется начальным условием y(t) = ϕ(t), t ∈ [-Mτ,0], (1.2) где ϕ(t) = (ϕ1(t),...,ϕn(t))T - заданная вектор-функция. Рассмотрим задачу о приведении системы (1.1), (1.2) в положение равновесия при t T. Для этого мы найдем такое управление u(t), 0 < t < T, что: y(t) = 0, t ∈ [T - Mτ,T], (1.3) где T > (M + 1)τ. Из всевозможных управлений мы будем искать управление, доставляющее минимум функционалу энергии , где | · | - евклидова норма в Rn. Таким образом, мы получим вариационную задачу о минимуме функционала . (1.4) 2. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВАРИАЦИОННОЙ И КРАЕВОЙ ЗАДАЧАМИ Введем некоторые вещественные функциональные пространства. Обозначим через C(R) пространство непрерывных и ограниченных на R функций с нормой: ||x(t)||C(R) = supR |x(t)|. t∈ Пусть Ck(R),k ∈ N - пространство непрерывных и k раз непрерывно дифференцируемых функций на R, ограниченных на R вместе со всеми производными вплоть до k-го порядка, с нормой . Обозначим через пространство абсолютно непрерывных на [a,b] функций, имеющих производную k-го порядка из L2(a,b), со скалярным произведением Пусть . Введем пространства вектор-функций , со скалярными произведениями , где Покажем, что вариационная задача (1.2)-(1.4) эквивалента краевой задаче для системы дифференциально-разностных уравнений второго порядка. Пусть- решение вариационной задачи (1.2)-(1.4), где. Введем пространства . Часто мы будем отождествлять пространство а пространство Mτ), не оговаривая этого специально. Пусть v ∈ W - произвольная фиксированная функция. Тогда функция y + sv принадлежит и удовлетворяет краевым условиям (1.2), (1.3) для каждого s ∈ R. Обозначим J(y + sv) = F(s). Поскольку , мы имеем . (2.1) Положим (2.2) Из (2.1) следует, что (2.3) Проведем преобразования одного из слагаемых, полученных при раскрытии скобок. Обозначим В слагаемых, содержащих сделаем замену переменной ξ = t - lτ. Получим Вернемся к старой переменной Mτ,T), будем иметь (2.4) Подставляя (2.4) в (2.2), получим: (2.5) Из (2.5) и определения обобщенной производной следует, что . (2.6) В силу (2.6), подставляя (2.5) в (2.3), мы можем произвести интегрирование по частям. Тогда мы получим (2.7) . Вектор-функцияудовлетворяет системе дифференциально-разностных уравнений (2.7) почти всюду на интервале (0,T - Mτ). Определение 2.1. Вектор-функцияназывается обобщенным решением задачи (2.7), (1.2), (1.3), если выполняется условие (2.6), y(t) почти всюду на (0,T - Mτ) удовлетворяет системе уравнений (2.7), а также краевым условиям (1.2), (1.3). Очевидно, следующее определение обобщенного решения эквивалентно определению 2.1. Определение 2.2. Вектор-функцияназывается обобщенным решением задачи (2.7), (1.2), (1.3), если она удовлетворяет интегральному тождеству (2.8) для всех и краевым условиям (1.2), (1.3). Таким образом, мы доказали, что, если вектор-функцияявляется решением вариационной задачи (1.2)-(1.4), то она будет обобщенным решением краевой задачи (2.7), (1.2), (1.3). Докажем обратное утверждение. Пусть - обобщенное решение краевой задачи (2.7), (1.2), (1.3). Тогда для всех v ∈ W мы получаем J(y + v) = J(y) + J(v) + 2B(y,v), где J(v) - неотрицательный квадратичный функционал. Поскольку y - обобщенное решение задачи (2.7), (1.2), (1.3), то B(y,v) = 0. Следовательно, для всех Таким образом, мы доказали следующее утверждение. Теорема 2.1. Пусть (Mτ,T) доставляет минимум функционалу (1.4) с краевыми условиями (1.2), (1.3) тогда и только тогда, когда она является обобщенным решением краевой задачи (2.7), (1.2), (1.3). 3. РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В этом разделе мы докажем однозначную разрешимость краевой задачи (2.7), (1.2), (1.3). Введем оператор по формуле . (3.1) Рассмотрим функционал: (3.2) Лемма 3.1. Пусть . Тогда для всех , (3.3) - где c0 > 0 - постоянная, не зависящая от w. Доказательство. 1. Предположим противное: для любого k ∈ N существует такое, что . (3.4) Не ограничивая общности, мы будем считать, что . Тогда в силу компактности вложения существует подпоследовательность сходящаяся в Mτ при m → ∞ к некоторой вектор-функции w0 ∈ - ). 2. Пусть 0 < t < τ. Тогда выражениеимеет вид . Следовательно, в силу невырожденности матрицы A0(t) и неравенства (3.4) имеем в при m → ∞. 3. Пусть теперь τ < t < 2τ. Тогда . Отсюда в силу неравенства (3.4) и п. 2 доказательства имеем при m → ∞. Следовательно, поскольку матрица A0(t) - невырождена, то при m → 0. 4. Аналогично за конечное число шагов мы докажем, что в для любого l ∈ N такого, что где L = min{(l + 1)τ,T - Mτ}. Таким образом, = const = 0 . Мы получили противоречие, которое доказывает лемму 3.1. Лемма 3.2. Пусть . Тогда для всех , (3.5) - где c1 > 0 - постоянная, не зависящая от w. Доказательство. Предположим противное: неравенство (3.5) не выполняется. Тогда для любого k ∈ N существует такое, что . Не ограничивая общности, мы будем считать, что . Тогда мы имеем . (3.6) Введем оператор по формуле . (3.7) Из неравенства , леммы 3.1 и ограниченности оператора для любого мы получим (3.8) , где c0,k1 > 0 - постоянные, не зависящие от v. В силу компактности оператора вложения существует подпоследовательность {wkm}, которая сходится к некоторой вектор-функции в пространстве . Таким образом, из (3.6), (3.8) следует, что при l,m → ∞. Следовательно, и . Поэтому в силу (3.6) мы имеем , т. е. . (3.9) Поскольку вектор-функция w0 удовлетворяет начальному условию w0(t) = 0, t ∈ [-Mτ,0]. (3.10) Тогда, если система уравнений (3.9) примет вид , (3.11) при этом в силу (3.10) w0(0) = 0. Следовательно, w0(t) = 0, t ∈ [0,τ]. (3.12) В силу (3.10), (3.12) для τ < t 2τ система уравнений (3.9) примет вид (3.11), при этом в силу (3.12) w0(τ) = 0. Решая полученную задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений на полуинтервале (τ,2τ], имеем w0(t) = 0, t ∈ (τ,2τ], и т. д. Таким образом, w0(t) ≡ 0 при t ∈ [0,T - Mτ]. Это противоречит равенству . Теорема 3.1. Пусть . Тогда для любой вектор-функции существует единственное обобщенное решение краевой задачи (2.7), (1.2), (1.3) y ∈ , при этом , (3.13) где c > 0 - постоянная, не зависящая от ϕ. Доказательство. Обозначим ⎧ ϕ(t), если0; Φ(t) = ⎨ 0, если T; ⎩ ϕ(0) - ϕ(0)t/(T - Mτ), если 0 < t < T - Mτ. Очевидно, что . Кроме того, в силу непрерывности оператора вложения W21(-Mτ,T) в C[-Mτ,0] имеем , (3.14) где k1 > 0 - постоянная, не зависящая от ϕ. Пусть x = y - Φ, тогда Интегральное тождество (2.3) примет вид (3.15) Поскольку по лемме 3.2 в пространстве W˚21(0,T -Mτ) мы можем ввести эквивалентное скалярное произведение по формуле . (3.16) Следовательно, тождество (3.15) может быть записано в виде . (3.17) Для фиксированного функционал B(Φ,v) линеен по Используя неравенство Коши-Буняковского и неравенства (3.14), (3.5) мы получаем (3.18) , где k2,k3,k4 > 0 - постоянные, не зависящие от ϕ и v. Таким образом, при фиксированном Φ функционал B(Φ,v) ограничен по v на W. В силу неравенства (3.18) норма функционала не превышает . Согласно теореме Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве, существует функция такая, что и . (3.19) Эта функция единственна. Таким образом, тождество (3.17) можно записать в виде . Следовательно, задача (2.7), (1.2), (1.3) имеет единственное обобщенное решение y = Φ - F, при этом в силу (3.14) и (3.19) выполняется неравенство (3.13). Это доказывает теорему.