Оператор типа Кальдерона-Зигмунда и его связь с асимптотическими оценками для обыкновенных дифференциальных операторов

Аннотация

Изучается задача об оценке выражений вида Υ(λ)=supx∈[0,1]∣∣∫x0f(t)eiλtdt∣∣. В частности, для случая f∈Lp[0,1], p∈(1,2], доказана оценка ∥Υ(λ)∥Lq(R)≤C∥f∥Lp для любого q>p′, где 1/p+1/p′=1. Такая же оценка получена для пространства Lq(dμ), где dμ - произвольная мера Карлесона в верхней полуплоскости C+. Кроме того, проведены оценки более сложных выражений типа Υ(λ), возникающих при изучении асимптотики фундаментальной системы решений систем вида y′=By+A(x)y+C(x,λ)y размера n при |λ|→∞ в подходящих секторах комплексной плоскости.

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ Для произвольной суммируемой на отрезке [0, 1] функции f положим x r υ(x, λ) := 0 f (t)eiλt dt, (1.1) где x ∈ [0, 1], а λ - вещественный или комплексный параметр. Дискретный аналог такого преобразования имеет вид f 1→ {vn(x)}n∈Z, где vn := x r f (t)e 0 iλnt dt. (1.2) Нас будет интересовать связь между степенью суммируемости функции f и функции υ(x, λ) при λ → ∞. Наряду с функцией υ(x, λ) рассмотрим более общую ситуацию x r υ(x, λ; ω) := 0 f (t)eiλω(t) dt, (1.3) где фазовая функция ω(t) имеет положительную почти всюду на [0, 1] производную ω∗ = ρ ∈ L1[0, 1] (для сокращения записи мы не будем указывать зависимость от функции ρ, если это ясно из контекста). Нашим основным побудительным мотивом для такой постановки задачи являются вопросы об асимптотическом поведении резольвенты, собственных значений и собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов порядка n ;;; 2 на отрезке x ∈ [0, 1] (см. [2, 13]). При этом Исследования поддержаны грантом РНФ 17-11-00754. Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 689 задача оценки выражений типа (1.1) возникает в теории обыкновенных дифференциальных операторов еще на стадии получения асимптотических формул для фундаментальной системы решений соответствующего дифференциального уравнения вида l(y)= λy или системы дифференциальных уравнений того же вида. Библиография этой тематики весьма обширна и восходит к классическим работам Биркгофа [7] и Тамаркина [14]. Впрочем, выражения типа (1.2) возникают в этой теории вне зависимости от метода вывода асимптотических формул (по поводу сравнения методов, основанных на асимптотике фундаментальной системы решений, и методов, связанных с абстрактной теорией возмущений, см. [6]). Например (см. [3]), для оператора Штурма-Лиувилля, порождаемого выражением l(y)= -y∗∗ + qy и краевыми условиями Дирихле y(0) = y(1) = 0, асимптотическое представление собственных функций имеет вид ⎛ x r yn(x)= sin(πnx)+ sin(πnx) ⎝- 0 1 r u(t) cos(2πnt)dt + 0 ⎞ u(t) (1 - t) cos(2πnt)dt⎠ + ⎛ 1 r + cos(πnx) ⎝-x 0 x x r u(t) sin(2πnt)dt + 0 ⎞ u(t) sin(2πnt)dt⎠ + ψn(x), где u(x) = [ q(t) dt, а слагаемые ψn(x) имеют больший порядок малости, чем первые члены 0 представления. Что касается обобщений вида (1.3), то они естественным образом возникают при рассмотрении весовых задач типа l(y)= λρ(x)y. В случае, когда точка x фиксирована, мы возвращаемся к классическому преобразованию Фурье. Хорошо известно, что если f ∈ Lp[0, 1], p ∈ [1, 2], то υx(λ) ∈ Lp∗ (R), где 1/p + 1/p∗ = 1, а выходя в комплексную плоскость, получаем υx ∈ Hp∗ (C+) - пространство Харди в верхней полуплоскости. При этом преобразование f 1→ υ является ограниченным линейным оператором между соответствующими пространствами. В данной работе мы покажем, в какой мере эти результаты переносятся на случай преобразования (1.1). Более точно, нас будет интересовать вывод перечисленных результатов для функций ⎛ 1 ⎞1/p r Υp(λ) := ⎝ 0 |υ(x, λ)|p dx⎠ ∈ ∞ | | , p [1, ); Υ(λ) := max υ(x, λ) . (1.4) 0:::x:::1 При этом оценки для последовательностей {Υ(λn)} вытекают, в силу известной теоремы Карлесона (см. точные формулировки ниже), из оценок для нормы lυ(x, ·)l в соответствующем пространстве Харди. Сформулированные выше задачи естественным образом ведут к исследованию одномерных операторов типа Кальдерона-Зигмунда. Пусть, например, f ∈ L2[0, 1]. Для каждого λ ∈ R определим функцию ϕ(λ) := inf{x ∈ [0, 1] : |υ(x, λ)| = Υ(λ)}. Несложно проверить, что эта функция измерима (более того, она является борелевской). Тогда r Υ(λ) = |υ(ϕ(λ), λ)| = R f (t)χ[0,ϕ(λ)](t)eiλt dt r = |(fˆ ∗ χˆ)(λ)| = R fˆ(λ - μ) eiμϕ(μ) - 1 μ dμ . Поскольку g = fˆ ∈ L2(R), а оператор Гильберта ограничен в L2(R), то Υ(λ) ∈ L2(R) в точности тогда, когда оператор r T : g 1→ R g(λ - μ) eiμϕ(μ) dμ (1.5) μ ограниченно действует в L2(R). Изучению такого рода операторов посвящена обширная литература. Подробный обзор можно найти в монографиях [8-10]. Тем не менее, найти в литературе подходящий результат нам не удалось. Ограниченность оператора Гильберта и его многомерных аналогов вида [ Rn ω(μ) g(λ - μ) dμ выводится с использованием однородности и «нечетности» функ- |μ| ции ω(μ) (равенства нулю интеграла [ Sn ω(μ) dμ по единичной сфере), см. монографию Стейна [4]. Методы, описанные в [10], позволяют изучать более общие операторы вида [ Rn g(μ)K(λ, μ) dμ с ядром, имеющим особенность порядка |μ - λ|-n на диагонали, но, так или иначе, требуют оценок на производные ∂ K(λ, μ) и ∂ K(λ, μ). Ясно, что в нашем случае такие оценки не выполнены ∂λ ∂μ в силу произвольности функции ϕ(μ). В этой работе мы получим в данном направлении только простые результаты, связанные с оценками модуля интегрального ядра. В результате мы приходим к сингулярному интегральному оператору вида [ k(x - y)f (y) dy. Таким операторам (их часто на- R зывают операторами конволюции) также посвящена обширная литература (см. монографии [8, 9] и библиографию в них). Применив теорему Юнга о свертке, мы докажем ограниченность оператора вида (1.5) T : Lp(R) → Lp+ε(R) для произвольного ε > 0. Продвинуться дальше и доказать окончательный результат (с ε = 0) пока не удалось1. При этом условие ε > 0 нельзя опустить, если речь идет об операторе, полученном после оценки модуля интегрального ядра. 2. СЛУЧАЙ n =2 Задача об оценке функций υ(x, λ), Υ(λ) и Υp(λ) в верхней полуплоскости возникает при асимптотическом анализе системы обыкновенных дифференциальных уравнений размера n = 2 типа системы Дирака. В общем случае ситуация сложнее - мы разберем ее в следующем разделе. Теорема 2.1. Пусть функции f (x) и ρ(x) суммируемы на [0, 1], ρ(x) > 0 почти всюду, а x ω(x) := [ ρ(t) dt. Тогда функция 0 Υ(λ)= sup x r f (t)eiλω(t) dt x∈[0, 1] 0 непрерывна и ограничена в полуплоскости Im λ ;;; 0 и убывает к нулю при λ → ∞ в этой полуплоскости. Доказательство. Поскольку функция υ(x, λ) является непрерывной функцией двух аргументов x и λ, то непрерывна и функция Υ(λ)= sup x∈[0, 1] |υ(x, λ)|. Докажем ограниченность Υ(λ). Функция ω(t) абсолютно непрерывна и монотонно возрастает на [0, 1], а значит, имеет абсолютно непрерывную обратную функцию ω-1. Положим a := ω(1) и сделаем замену ξ = ω(t) ∈ [0, a], откуда y r 1(ξ)) Υ(λ)= sup y∈[0, a] 0 · f (ω-1(ξ))eiλξ dξ . ρ(ω-1(ξ)) Обозначим g(ξ)= f (ω- ρ(ω-1(ξ)) и заметим, что в силу той же замены, a r |g(ξ)| dξ = 0 1 r |f (t)| dt, 0 1В процессе подготовки статьи к печати автору удалось доказать, что результат остается верен и при ε = 0. При n =2 этот факт требует применения известной теоремы Карлесона-Ханта, а при n> 2 дополнительных рассуждений, связанных с определенной технической работой. Кроме того, соответствующие оценки удалось получить и для случая пространств Харди T : Lp → Hp. Полные доказательства этих теорем будут опубликованы в следующих работах автора. так что g(ξ) ∈ L1[0, a]. Тогда |Υ(λ)| ::: a r |g(ξ)| dξ 0 при Im λ ;;; 0, а доказательство убывания к нулю функции Υ(λ) при λ → ∞ в полуплоскости Im λ ;;; 0 совпадает с доказательством леммы Римана-Лебега. Действительно, для данного ε > 0 a найдем непрерывно дифференцируемую функцию � ξ) такую, что [ |g(ξ) - � ξ)| dξ < ε/2. Тогда g( g( 0 x x o r iλξ ε 1 iλx r ∗ iλx |Υ(λ)| ::: 2 + sup g( � ξ)e dξ ::: + 2 g( sup � x)e - g - g(0) � � (x)e dx ::: ε x∈[0, a] |λ| x [0, a] 0 ∈ 0 при достаточно большом |λ|. Напомним, что пространство Харди Hp(C+), p ∈ [1, ∞), состоит из аналитических в открытой верхней полуплоскости функций F (λ), с конечной нормой ⎛r lF (λ)lHp = sup ⎝ τ ;;;0 ⎞ |F (σ + iτ )|p dσ⎠ 1/p . R ∞ Теорема Пэли-Винера утверждает, что одностороннее преобразование Фурье fˆ(λ)= [ 0 eiλtf (t) dt любой функции f ∈ Lp(R), p ∈ [1, 2], есть функция пространства Харди Hp∗ с сопряженным индексом p∗ = p/(p - 1) (для краткости дальнейших формулировок договоримся везде далее обозначать штрихом сопряженный индекс). Конечно, функция Υ(λ) не может лежать в пространстве Харди, поскольку она не аналитична по переменной λ ∈ C+, но свойства аналитичности и гладкости функции Υ(λ) нас не интересуют. Напомним, что эта функция нужна нам для оценивания остаточных членов в асимптотических формулах, возникающих в теории обыкновенных дифференциальных операторов (см., например, [3, 12, 13]). Таким образом, нам интересен «характер убывания» функции Υ(λ) при |λ| → ∞ в C+. Оказывается, что в этом отношении свойства функции Υ(λ) полностью повторяют свойства функций пространства Харди Hp∗ (C+). Теорема 2.2. Пусть функция ρ(x) суммируема на [0, 1] и essinf ρ(x) > 0. Тогда для любой x∈[0, 1] f ∈ Lp[0, 1], p ∈ (1, 2], справедлива оценка ⎛ r ⎞1/q sup ⎝ τ ;;;0 R Υq (σ + iτ ) dτ ⎠ ::: Clf lLp (2.1) для произвольного q > p∗, где величина C зависит только от функции ρ(x) и выбора q. f (ω-1(ξ)) Доказательство. Вновь положим ξ = ω(t) ∈ [0, a], g(ξ)= ρ(ω-1(ξ)) и заметим, что a r |g(ξ)|p dξ = 1 | |p dt r f (t) |ρ(t)|p-1 lLp ::: Clf p , поскольку функция 1 0 0 измерима и ограничена. Теперь |ρ(t)|p-1 y r υ(x, λ)= 0 g(ξ)eiλξ dξ = a r χy (ξ)g(ξ)eiλξ dξ, где y := ω(x), 0 а χy (ξ) - характеристическая функция отрезка [0, y]. Пусть λ ∈ R + iτ, где τ ;;; 0 фиксировано. Положим λ = σ + iτ и обозначим h(ξ)= g(ξ)e-τξ, a r hˆ = F [h]= 0 f (ξ)eiσξ dξ = υ(1,σ + iτ ) - преобразование Фурье функции h. Легко видеть, что υ(x, λ)= F [χy · h]= F [χy ] ∗ F [h], где F [χy ](μ)= - eiyμ 1 . iμ Теперь заметим, что |F [χy ](μ)| ::: ϕ(μ), где через ϕ(μ) мы обозначили функцию min{a, 2 |μ|} = a, если |μ| ::: 2/a, 2/|μ|, если |μ| ;;; 2/a. В силу классической теоремы Пэли-Винера функция υ(1, λ) переменной λ ∈ C+ лежит в пространстве Hp∗ . При этом lυ(1, λ)lHp∗ ::: ClglLp ::: Clf lLp , где величина C зависит только от функции ρ. По определению пространства Харди, lυ(1,σ + iτ )lLp∗ ::: Clf lLp (здесь τ ;;; 0 фиксировано), где C не зависит от выбора числа τ ;;; 0. Далее, r |υ(x, σ + iτ )| ::: R ϕ(σ - μ)|υ(1,μ + iτ )| dμ для любого x ∈ [0, 1], и задача сводится к оценке нормы оператора свертки с функцией ϕ. Мы воспользуемся здесь теоремой Юнга о свертке: Теорема (Юнг). Оператор свертки с функцией k, лежащей в Lρ(R), 1 ::: ρ ::: ∞, ограниченно действует из Lr в Lq, если 1 ::: r ::: ρ∗, 1/q = 1/r - 1/ρ∗. В нашем случае r = p∗, q > p∗, 1/ρ = 1/q + 1/p, так что ρ ∈ (1, p), ρ∗ ∈ (p∗, ∞) и все условия теоремы Юнга выполнены. То, что функция ϕ суммируема в любой степени ρ > 1, следует из ее определения. Итак, для любого фиксированного τ ;;; 0 имеем ⎛r ⎞ ⎝ Υq (σ + iτ ) dσ⎠ R 1/q ⎛ r = ⎝ R sup x∈[0, 1] ⎞ |υ(x, σ + iτ )|q dσ⎠ 1/q ::: ⎛ ⎛ r r ::: ⎝ ⎝ ⎞q ϕ(σ - μ)|υ(1,μ + iτ ) dμ⎠ ⎞1/q dσ⎠ ⎛r ::: C(q) ⎝ ⎞1/p∗ |υ(1,μ + iτ )|p∗ dμ⎠ ::: Clf lLp , R bR R где величина C зависит только от функции ρ и выбора q. Переходя к максимуму по τ ;;; 0, получаем утверждение теоремы. Для формулировки дальнейших результатов напомним следующее классическое определение. Определение. Положительная мера μ с носителем в C+ называется мерой Карлесона, если величина конечна. γ := sup x∈R, y>0 μ(Qx,y )y-1, Qx,y = {z : Re z ∈ (x, x + y), Im z ∈ (0, y)}, (2.2) Если μ - мера Карлесона, то (см., например, [1, теорема II.3.9]) r ∀f ∈ Hr (C+): для любого r ∈ [1, ∞). H |f |r dμ ::: Clf lr r , где C = C(γ), (2.3) Теорема 2.3. Пусть функция ρ(x) суммируема на [0, 1] и essinf ρ(x) > 0. Тогда для любой x∈[0, 1] f ∈ Lp[0, 1], p ∈ (1, 2], и для любой меры Карлесона μ справедлива оценка lΥlLq (μ) ::: Clf lLp для произвольного q > p∗, где величина C зависит только от функции ρ(x), выбора q и характеристики γ меры dμ. Доказательство. Мы уже доказали, что функция Υ(λ) интегрируема в степени q > p∗ по каждой горизонтальной прямой, лежащей в замкнутой верхней полуплоскости. Заметим теперь, что Υ(λ) субгармонична в открытой верхней полуплоскости. Действительно, пусть точка λ0 лежит в C+ вместе со своей окрестностью радиуса δ. Зафиксируем x ∈ [0, 1] и запишем формулу среднего значения для голоморфной функции переменной λ: Тогда 1 υ(x, λ)= 2π 2π 2π r υ(x, λ + δeiθ ) dθ. 0 2π 1 r |υ(x, λ)| ::: 2π 0 iθ |υ(x, λ + δe 1 r )| dθ ::: 2π 0 Υ(λ + δeiθ ) dθ, и остается перейти к супремуму по x ∈ [0, 1]. Поскольку функция Υ(t), t ∈ R, суммируема в степени q, то интеграл Пуассона r 1 τ u(λ)= R Pτ (σ - t)Υ(t) dt, λ = σ + iτ, Pτ (ξ)= π ξ2 + τ 2 , корректно определяет гармоническую в C+ функцию u(λ). Эта функция непрерывна в C+ и совпадает с Υ(λ) при λ ∈ R, а значит, является гармонической мажорантой: Υ(λ) ::: |u(λ)| для всех λ ∈ C+. Поскольку Υ(t) ∈ Lq (R), то u(λ) ∈ Hq (см. [1, теорема I.3.5]), откуда u ∈ Lq (dμ) (см. [1, теорема II.3.9]), а значит, и Υ(λ) ∈ Lq (dμ) с соответствующей оценкой на норму lΥ(λ)lLq (dμ) ::: ClΥ(t)lLq (R), где величина C зависит только от характеристики меры - числа γ. Оценка (2.1) завершает доказательство. Для приложений полученного результата рассмотрим следующий частный случай. Определение. Назовем последовательность точек λn, n ∈ N, несгущающейся, если 119. α1 < Im λn < α2 для некоторых α1 и α2, 0 < α1 < α2; 120. найдется число β > 0 такое, что в любом прямоугольнике Re λ ∈ [x, x + 1], Im λ ∈ [α1, α2] заключено не более β элементов последовательности. Следствие 2.1. Пусть {λn} - несгущающаяся последовательность. Тогда для любой функции f ∈ Lp[0, 1], p ∈ (1, 2], справедлива оценка l{Υ(λn)}llq ::: Clf lLp для произвольного q > p∗, где величина C зависит только от функции ρ, выбора q и последовательности {λn}. Доказательство. Достаточно заметить, что мера dμ = ), δ(λ - λn) является мерой Карлесона. Действительно, для каждого прямоугольника Qx,y имеем β(y + 1), если y ;;; α1, μ(Qx,y ) ::: Остается воспользоваться теоремой 2.3. 0, если y ∈ (0, α1). Видно, что функция ϕ, введенная в доказательстве теоремы 2.2, не суммируема на R, чем и продиктован выбор индекса q � p∗. Не помогает здесь и тот факт, что функция ϕ лежит в слабом ∞ пространстве L1(R) - пространстве Лоренца1 L1, (R), поскольку в хорошо известной теореме О’Нейла (см., например, [5, 1.18.9]): оператор свертки с функцией k, лежащей в Lρ,∞(R), 1 < ρ < ∞, ограниченно действует из Lr в Lq, если 1 < r < ρ∗, 1/q = 1/r - 1/ρ∗ - не выполнено условие ρ > 1. Нам не известно, справедливы ли утверждения теорем 2.2 и 2.3 для q = p∗. Тем не менее, выбрать q = p∗ можно, если ослабить норму l· lL∞ , вычисляемую по переменной x ∈ [0, 1]. Теорема 2.4. Пусть функция ρ(x) суммируема на [0, 1] и essinf ρ(x) > 0. Тогда для любой x∈[0, 1] f ∈ Lp[0, 1], p ∈ (1, 2], для функции ⎛ 1 x p∗ ⎞1/p∗ справедлива оценка r Υp∗ (λ)= ⎜ ⎝ 0 r f (t)eiλω(t) dt 0 1/p∗ dx⎟ ⎠ ⎛r sup ⎝ τ ;;;0 p∗ (Υ (σ + iτ ))p∗ ⎞ dτ ⎠ ::: Clf lLp , R где величина C зависит только от функции ρ(x). Далее, пусть dμ - карлесонова мера в C+. Тогда Υp∗ ∈ Lp∗ (dμ) и lΥp∗ lLp∗ (dμ) ::: Clf lLp , где величина C зависит только от функции ρ(x) и характеристики γ меры dμ. 1(ξ)) Доказательство. Пусть ξ = ω(t), g(ξ) = f (ω- ρ(ω-1(ξ)) , λ = σ + iτ, где τ ;;; 0 фиксировано, h(ξ) = g(ξ)e-τξ. В силу теоремы Пэли-Винера при каждом фиксированном x ∈ [0, 1] имеем lυ(x, σ + iτ )lLp∗ (R) ::: Clχy (ξ)h(ξ)lLp ::: Clf lLp , где C зависит только от функции ρ. Применяя теорему Фубини к неотрицательной функции |υ(x, σ)|p∗ , имеем Υ r ( p∗ R 1 r r (σ + iτ ))p∗ dσ = r R 1 r 1 r |υ(x, σ + iτ )|p∗ dx dσ = 0 p∗ = |υ(x, σ + iτ )|p∗ dσ dx = 0 R 0 l l υ(x, σ + iτ ) p∗ Lp∗ (R) dx ::: Clf lLp . p∗ Остается перейти к максимуму по τ ;;; 0, и первое утверждение теоремы доказано. Для доказательства второго утверждения проверим, что функция (Υ (λ))p∗ субгармонична в C+. Пусть точка λ0 лежит в C+ вместе со своей окрестностью радиуса δ. Зафиксируем x ∈ [0, 1] и, применив формулу среднего значения для голоморфной функции переменной λ, получим оценку 1 |υ(x, λ0)| ::: 2π 2π r iθ |υ(x, λ0 + δe 0 )| dθ ::: (2π) 1 p -1 ⎛ 2π r ⎝ 0 iθ |υ(x, λ0 + δe )|p∗ ⎞1/p∗ dθ⎠ . 1Напомним, что пространство Лоренца Lρ, ∞(R) состоит из измеримых функций, норма которых конечна: f Lρ,∞ := sup h (h (mes({x : |f (x)| > h}) 1/ρ' . После возведения в степень p∗ и интегрирования по x ∈ [0, 1], имеем p∗ (Υp∗ (λ0)) 1 r ∗ = |υ(x, λ0)|p dx ::: 0 1 2π 1 r r 2π 0 0 |υ(x, λ0 + δeiθ |p∗ dθ dx = 2π 1 r r 2π 0 Υp∗ (λ0 + δeiθ ) p∗ p∗ dθ. Определим гармоническую в C+, непрерывную в C+ и совпадающую с (Υp∗ (λ)) u(x) интегралом Пуассона на R функцию r p∗ 1 τ u(λ)= R Pτ (σ - t) (Υp∗ (t)) dt, λ = σ + iτ, Pτ (ξ)= π ξ2 + τ 2 . p∗ В силу субгармоничности (Υp∗ (λ)) p∗ имеем (Υp∗ (λ) )p∗ ::: |u(λ)| везде в C+. Поскольку функция (Υp∗ (t)) суммируема на R, то u ∈ H1(C+) (см. [1, теорема I.3.5]). Тогда для любой меры Карлесона dμ в C+ имеем u ∈ L1(dμ) (см. [1, теорема II.3.9]) с оценкой lulL1(dμ) ::: ClulH1 , где величина C зависит только от числа γ - характеристики меры dμ. Отсюда p∗ 1/p∗ 1/p∗ 1/p∗ lΥp∗ lLp∗ (dμ) = l(Υp∗ ) lL1(dμ) ::: lulL1(dμ) ::: ClulH1 ::: ::: C u = C 1/p∗ l lL1(R) l (Υp∗ (t) )p∗ 1/p ∗ lL1(R) = ClΥp∗ lLp∗ (R) ::: Clf lLp , где величина C зависит только от характеристики γ меры dμ и функции ρ(x). 121. СЛУЧАЙ n > 2 Асимптотические оценки для систем размера n × n, n > 2, дифференциальных уравнений вида y∗(x, λ)= λρ(x)By(x, λ)+ A(x)y(x, λ)+ C(x, λ)y(x, λ) (3.1) с постоянной матрицей B, суммируемой матрицей A(x) и «малой по порядку» матрицей C(x, λ) связаны с оценкой остаточных членов более сложного вида. При этом системы вида (3.1) естественным образом возникают при изучении обыкновенных дифференциальных операторов высокого порядка n = 2m с коэффициентами-распределениями (см. [13]) и полиномиальных пучков (см. [11]). В первом случае матрица B диагональна, причем ее диагональные элементы bj, j = 1,...,n - корни порядка n из (-1)m. Мы будем предполагать, что bj, j = 1,...,n - набор попарно различных ненулевых комплексных чисел. Определим семейство секторов Γκ = {λ : arg λ ∈ (ακ-1, ακ)}, κ = 1,..., J, следующим образом. Зафиксируем два произвольных индекса 1 ::: k < l ::: n и рассмотрим уравнение Re(bkλ)= Re(blλ) ⇐⇒ Re((bk - bl)λ)= 0. (3.2) Легко видеть, что решением этого уравнения является некоторая прямая, проходящая через начало координат. Общее число уравнений вида (3.2) равно n(n - 1)/2, так что в результате получаем разбиение комплексной плоскости на 1 ::: J ::: (n2 - n) секторов. При J > 1 каждый сектор ограничен двумя полярными лучами, которые мы занумеруем по возрастанию аргумента α0 ::: 0 < α1 < α2 < ··· < αJ -1 < αJ = α0 + 2π. Именно при λ ∈ Γκ система (3.1) имеет матрицу фундаментальных решений Y(x, λ) с подходящим асимптотическим поведением при |λ|→ ∞. При этом наибольший интерес для дальнейшего изучения представляют критические полуполосы, сосредоточенные вдоль лучей, ограничивающих сектор Γκ. Именно в этих полуполосах лежат (в случае регулярности по Биркгофу краевых условий) собственные значения соответствующего дифференциального оператора. Поэтому разумно искать асимптотические формулы для матрицыфункции Y(x, λ) в «расширенных» секторах. Определим сектор Γ�κ как результат параллельного переноса сектора Γκ вдоль его биссектрисы (точнее, вдоль продолжения этой биссектрисы за пределы Γκ): где r > 0 фиксировано. i Γ�κ = Γ�κ(r) := {λ ∈ C : λ + re 2 (ακ-1+ακ) ∈ Γκ}, Заметим, что для любой пары индексов 1 ::: k, l ::: n в секторе Γκ выполнено следующее свойство: либо Re(bkλ) > Re(blλ) для всех λ ∈ Γκ, либо Re(bkλ) < Re(blλ) для всех λ ∈ Γκ. Пусть ν - число различных чисел bj. Перенумеруем числа bj так, что Re(b1λ) > Re(b2λ) > ··· > Re(bnλ) ∀λ ∈ Γκ. (3.3) В секторе Γ�κ неравенства (3.3), естественно, не выполнены. Лемма 3.1. Найдутся такие числа h > 0 и λ0 > 0 (они зависят от величины сдвига r), что в области Domκ,λ0 := {λ ∈ Γ�κ, |λ| > λ0} справедливы неравенства Re((bk - bl)λ) > -h, 1 ::: k < l ::: n. (3.4) Доказательство. Прежде всего, заметим, что сектор i Γ�κ ограничен лучом µ1 вида λ = - i -re 2 (ακ-1+ακ) + teiακ-1 , t > 0, параллельным лучу arg λ = ακ 1, и лучом µ2 вида λ = -re 2 (ακ-1+ακ) + te iακ , t > 0, параллельным лучу arg λ = ακ. Очевидно, что луч µ вида λ = a + teiϕ, t > 0, начиная с некоторого t, не попадает в сектор Γ = {λ : arg λ ∈ (ϕ0, ϕ1)}, если ϕ ∈/ [ϕ0, ϕ1]. Таким образом, луч µ1 лежит, начиная с некоторого t = t1, либо в секторе Γκ, либо в соседнем секторе Γκ-1 (мы считаем, что Γ0 := ΓJ , а ΓJ +1 := Γ1). Первое невозможно, поскольку по определению Γ�κ ⊃ Γκ. Аналогично, луч µ2 лежит, начиная с некоторого t = t2, в секторе Γκ+1. Выбрав число λ0 равным максимуму из |µ1(t1)| и |µ2(t2)|, получим, что область Dκ,λ0 вложена в объединение секторов Γκ-1 ∪ Γκ ∪ Γκ+1. Зафиксируем теперь произвольную пару индексов 1 ::: k < l ::: n и найдем такое число hkl, что неравенство Re((bk - bl)λ) > -hkl выполнено всюду в Dκ,λ0 . Для этого рассмотрим R-линейную функцию wkl(λ) = Re((bk - bl)λ). Будем считать, что bk ◦= bl, иначе мы положим hkl = 0. В силу (3.3) эта функция положительна при λ ∈ Γκ. Возможны четыре случая: эта функция может оказаться положительной и в Γκ-1, и в Γκ+1. В этом случае мы положим hkl = 0 и придем к неравенству wkl(λ) > -hkl при λ ∈ Dκ,λ0 . Функция wkl может оказаться положительной в Γκ-1 и в Γκ, но равной нулю на луче arg λ = ακ. Тогда wkl отрицательна в Γκ+1, а так как луч µ2 параллелен лучу arg λ = ακ, то wkl постоянна на µ2. В этом случае мы положим hkl = -wkl|δ2 . Тогда на каждом параллельном µ2 луче, лежащем в полосе между лучами µ2 и arg λ = ακ, функция wkl также постоянна и принимает значения в промежутке (-hkl, 0). Отсюда следует неравенство wkl(λ) > -hkl в Dκ,λ0 . Функция wkl может оказаться положительной в Γκ и в Γκ+1, но отрицательной в Γκ-1 - эта ситуация аналогична предыдущей, мы положим hkl = -wkl|δ1 и вновь придем к неравенству wkl(λ) > -hkl всюду в Dκ,λ0 . Наконец, возможен случай, когда wkl положительна только в секторе Γκ, а в секторах Γκ-1 и Γκ+1 отрицательна. Тогда wkl =0 и на луче arg λ = ακ, и на луче arg λ = ακ-1. В силу линейности wkl это возможно только тогда, когда эти лучи параллельны. Поскольку ακ ◦= ακ-1, то ακ = ακ-1 +π. В этом случае сектор Γκ превращается в полуплоскость, а значит лучи µ1 и µ2 составляют одну прямую. Положим hkl = -wkl|δ1 = -wkl|δ2 - 0 и вновь получим wkl(λ) > hkl в Dκ,λ . Остается обозначить h = max 1:::k<l:::n hkl. Далее будем считать сектор Γ�κ фиксированным. При асимптотическом анализе поведения фундаментальной матрицы решений системы дифференциальных уравнений в секторе Γ�κ возникает задача оценивания следующих выражений: r υjkl(s, x, λ)= (±)jk (±)lk qjl(t)e(bl-bk )λ(ω(t)-ω(s))+(bj -bk )λ(ω(x)-ω(t)) dt, (3.5) где пределы интегрирования равны (мы считаем, что интеграл равен нулю, если нижний предел больше верхнего) ⎪⎪ ⎧от x до s при j, l < k; ⎨от max{x, s} до 1 при j < k ::: l; ⎪ от 0 до min{x, s} при l < k ::: j; ⎪ ⎩от s до x при k ::: j, l. (3.6) Здесь qjl - элементы матрицы Q(x) = M-1(x)(A(x) - D(x))M(x), D(x) = diag{a11(x),..., ann(x)} - диагональная часть матрицы A, а M(x) также диагональна и равна ⎧ ⎧ x ⎫ ⎧ x ⎫⎫ M(x)= diag ⎨exp ⎨r a1,1 ⎬ 3. dt ,..., exp ⎨r an,n ⎬⎬ 1. dt . ⎩ ⎩0 ⎭ ⎩0 ⎭⎭ Для нас сейчас главное то, что функции qjl суммируемы на отрезке x ∈ [0, 1]. Для оценки остатков в асимптотических формулах для функции Y(x, λ) будем использовать функции ∞ Υ(λ)= Υ (λ)= max j, k, l, s, x j, k |υjkl(s, x, λ)|, Υ(x, λ)= max |υjkk(0, x, λ)|, ⎛ 1 1 ⎞1/μ ⎛ 1 ⎞1/μ r ⎝ Υμ(λ)= max j, k, l 0 r |υjkl(s, x, λ)|μ ds dx⎠ 0 r ⎝ + max j, k 0 |υjkk(0, x, λ)|μdx⎠ , (3.7) где μ ∈ [1, ∞). Легко видеть, что Υμ(λ) ::: Υ(λ) и Υ(x, λ) ::: Υ(λ) для любого x ∈ [0, 1]. Условимся называть меру dμ с носителем в Γ�κ допустимой, если она является мерой Карлесона в каждой полуплоскости {z : Re((βk - βl)z) > -h}, k < l. По определению, среди пар индексов k < l найдутся две пары, для которых Re((βk - βl)z) = 0 на левой и правой границе сектора Γκ соответственно. Это означает, что мера dμ является допустимой в Γ�κ в точности тогда, когда величина y-1dμ(Qx,y ) ограничена сверху величиной, не зависящей от x, в то время как квадрат Qx,y со стороной y скользит по сторонам сектора. n=1 Приведем важный для нас пример допустимой меры. Пусть {zn}∞ - последовательность точек сектора Γ�κ. Эта последовательность называется несгущающейся, если конечна величина ω = sup(n(t + 1) - n(t)). Здесь n(t) - количество точек последовательности, лежащих в пеt>0 ресечении сектора Положим dμ = ),∞ Γ�κ и круга |z| ::: t (т. е. n(·) - считающая функция последовательности). δzn , где δa - мера Дирака, сосредоточенная в точке a. Тогда dμ - допуn=1 стимая мера. Действительно, легко видеть, что sup(n(t + r) - n(t)) ::: ω(r + 1). Теперь, поt>0 скольку любой квадрат Qx,y в комплексной плоскости вкладывается в кольцо ширины y√2, то dμ(Qx,y ) ::: n(t + y√2) - n(t) ::: √2ω(r + 1). Теорема 3.1. Пусть все функции qjl лежат в пространстве Lp[0, 1] для некоторого p ∈ [1, 2]. Зафиксируем некоторую допустимую меру dμ в секторе Γ�κ с носителем в области Domκ,λ0 = {λ ∈ Γ� : |λ| > λ0}. Тогда при любых 1 ::: j, k, l ::: n и 0 ::: s, x ::: 1 функция υjkl(s, x; λ) переменной λ, определенная выше, принадлежит пространству Lp∗ (dμ), 1/p + 1/p∗ = 1. При этом lυjkl(s, x; λ)lLp∗ (dμ) ::: ClqjllLp[0, 1], (3.8) где величина C не зависит от q, j, k, l, x и s (при этом функцию ρ, меру dμ и числа h, λ0, введенные в лемме 3.1, мы считаем фиксированными). Похожая оценка справедлива для функции Y(λ): j,l lΥ(λ)lLq (dμ) ::: C max lqjllLp[0, 1] (3.9) для любого q > p∗, где C зависит только от функции ρ, меры dμ, чисел h и λ0, а также от выбора индекса q > p∗. Доказательство. Рассмотрим несколько случаев. 1. Re(bjλ) > Re(bkλ) ;;; Re(blλ) в Γκ и 0 ::: s ::: x ::: 1. В этом случае индексы располагаются в порядке j < k ::: l. Сделаем замену ξ = ω(t) - ω(x). Тогда 1 r υjkl(s, x; λ)= x qjl(t)e(bl-bk )λ(ω(t)-ω(s))+(bj -bk )λ(ω(x)-ω(t)) dt = ω(1)-ω(x) r = - f (ξ)eλ(bl-bj )ξ dξ · eλ(bl-bk )(ω(x)-ω(s)), 0 где f (ξ) = qjl(t(ξ))/ρ(ω-1(ξ)) (через ω-1 обозначено обратное к ω отображение). Заметим сразу же, что функция eλ(bl-bk )(ω(x)-ω(s)) ограничена в секторе Γ�κ величиной ehp, поскольку Re(λ(bl - bk ))) ::: h (см. лемму 3.1). Далее, по условию, 1 r p lf (ξ)lLp = 0 p |qjl(t)| |ρ(t)| 1-p dt < ∞. В силу теоремы Пэли-Винера, функция ω(1)-ω(x) [ 0 f (ξ)eλ(bl-bj )ξ dξ лежит в пространстве Харди Hp∗ в полуплоскости {λ : Re(λ(bl - bj )) ::: h}. Из леммы 3.1 следует, что сектор Γ�κ вложен в эту полуплоскость, а значит dμ - мера Карлесона в ней. Учитывая (2.3), приходим к (3.8). В случае функции Υ(λ) воспользуемся теоремой 2.3, согласно которой 1 1 1 ω(1)-ω(x) 1 1 1 1 r λ(bl-bj )ξ 1 1sup f (ξ)e dξ 1 ::: Clf lLp , 1 x 1 0 1 1Lq (dμ) поскольку dμ - мера Карлесона в полуплоскости {λ : Re(λ(bl - bj )) ::: h}. Остальные случаи разбираются аналогично - кратко перечислим их. 2. Re(bjλ) > Re(bkλ) ;;; Re(blλ) в Γκ и 0 ::: x ::: s ::: 1. В этом случае вновь j < k ::: l, но замена иная: ξ = ω(t) - ω(s), откуда υjkl(s, x; λ)= - Дальнейшие рассуждение те же. ω(1)-ω(s) r f (ξ)eλ(bl-bj )ξ dξ · eλ(bk -bj )(ω(s)-ω(x)). 0 3. Re(bjλ) > Re(blλ) > Re(bkλ) в Γκ. Здесь j < l < k, функция υjkl отлична от нуля только при x < s, ξ := ω(t) - ω(x), откуда υjkl(s, x; λ)= ω(s)-ω(x) r f (ξ)eλ(bl-bj )ξ dξ · eλ(bk -bl)(ω(s)-ω(x)). 0 4. Re(bkλ) ;;; Re(bjλ) > Re(blλ) в Γκ. Здесь k ::: j < l, функция υjkl отлична от нуля только при x > s, ξ := ω(t) - ω(s), откуда υjkl(s, x; λ)= ω(x)-ω(s) r f (ξ)eλ(bl-bj )ξ dξ · eλ(bj -bk )(ω(x)-ω(s)). 0 5. Re(bk λ) ;;; Re(blλ) > Re(bjλ) в Γκ. Здесь k ::: l ::: j, функция υjkl отлична от нуля только при x > s, ξ := ω(x) - ω(t), откуда υjkl(s, x; λ)= ω(x)-ω(s) r f (ξ)eλ(bj -bl)ξ dξ · eλ(bl-bk )(ω(x)-ω(s)). 0 6. Re(blλ) > Re(bjλ) > Re(bkλ) в Γκ. Здесь l ::: j < k, функция υjkl отлична от нуля только при x < s, ξ := ω(s) - ω(t), откуда υjkl(s, x; λ)= ω(x)-ω(s) r f (ξ)eλ(bj -bl)ξ dξ · eλ(bk -bj )(ω(s)-ω(x)). 0 7. Re(blλ) > Re(bkλ) ;;; Re(bjλ) в Γκ, 0 ::: s ::: x ::: 1. Здесь l < k ::: j, ξ := ω(s) - ω(t), откуда ω(s) r υjkl(s, x; λ)= 0 f (ξ)eλ(bj -bl)ξ dξ · eλ(bj -bk )(ω(x)-ω(s)). 8. Re(blλ) > Re(bkλ) ;;; Re(bjλ) в Γκ, 0 ::: x ::: s ::: 1. Здесь снова l < k ::: j, ξ := ω(x) - ω(t), откуда υjkl(s, x; λ)= ω(x) r f (ξ)eλ(bj -bl)ξ dξ · eλ(bk -bl)(ω(s)-ω(x)). 0 Легко проверить, что здесь разобраны все возможные ситуации. Следствие 3.1. В условиях теоремы 3.1 при любых 1 ::: j, k, l ::: n 1 1/p∗ 1 1 1⎛ r υ 1 sup 1 ⎞ 1 1 (s, x; λ) p∗ ds 1 ::: C f , 1 0:::x:::1 1⎝ 1 0 1 | jkl | ⎠ 1 1 1Lp∗ 1/p∗ 1 (dμ) l jllLp[0, a] 1⎛ 1 ⎞ 1 1 sup 1 r υ 1 (s, x; λ) p∗ dx 1 ::: C f , (3.10) 1 0:::s:::1 1⎝ 1 0 1 | jkl | ⎠ 1 1 1Lp∗ 1/p∗ 1 (dμ) l jllLp[0, a] 1⎛ 1 1 ⎞ 1 1 r r 1 1 p∗ 1 1⎝ |υjkl(s, x; λ)| 1 0 0 1 ds dx⎠ 1 1 1Lp∗ (dμ) ::: ClfjllLp[0, a] с константами, не зависящими от j, k и l. Из последнего неравенства следует, что l l p∗ Υp∗ (λ) L (dμ) ::: C max 1:::j, l:::n lfjllLp[0, a]. Доказательство. Достаточно воспользоваться теоремой Тонелли (вариант теоремы Фубини). Теорема (Тонелли). Пусть f - неотрицательная μ ⊗ ν-измеримая функция на X × Y, где μ и ν - σ-конечные неотрицательные меры. Тогда из условия r ⎛r ⎝ Y X ⎞ f (x, y)μ(dx)⎠ ν(dy) < ∞ следует, что f ∈ L1(μ ⊗ ν), причем r r f (x, y)d(μ ⊗ ν) ::: X×Y Y ⎛r ⎞ ⎝ f (x, y)μ(dx)⎠ ν(dy). X Действительно, докажем, например, первое неравенство в (3.10). Из определения легко видеть, что функция υjkl непрерывна по переменным s, x и λ. Обозначив через K носитель меры dμ, а через μL меру Лебега на [0, 1] ≡ s, имеем 1 ⎛ r r r |υjkl(s, x; λ)|p∗ d(μL ⊗ dμ) ::: ⎝ ⎞ |υjkl(s, x; λ)|p∗ dμ⎠ ds ::: C, [0, 1]×K 0 K где C не зависит от x, j, k и l. Применяя теперь классическую теорему Фубини, получим 1 1 1p∗ 1r 1 1 1 1 |υjkl(s, x; λ)|p∗ ds1 1 1 10 1Lp∗ (dμ) r = [0, 1]×K |υjkl(s, x; λ)|p∗ d(μL ⊗ dμ) ::: C.