О колебаниях двух сочлененных маятников, содержащих полости, частично заполненные несжимаемой жидкостью

Полный текст

ИСТОРИЯ ВОПРОСА 1. Вклад отечественных ученых. Первой работой, посвященной задаче о малых колебаниях твердого тела с полостью, полностью заполненной идеальной жидкостью, была работа Н. Е. Жуковского [13]. В ней впервые были введены вспомогательные функции, зависящие только от формы полости, которые сейчас называют потенциалами Жуковского. С их помощью удается задачу динамики тела с полостью, целиком заполненной идеальной жидкостью, заменить на задачу о движении эквивалентного твердого тела с видоизмененным тензором инерции. Если жидкость заполняет полость лишь частично, то гидромеханическая система имеет уже бесконечное число степеней свободы. Эта проблема исследовалась в пятидесятые-шестидесятые годы прошлого века весьма интенсивно многими авторами, так как она была связана с началом космических полетов, в частности, с проблемой колебаний жидкого топлива в баке космической ракеты. Среди первых отметим работы Н. Н. Моисеева (1952), затем Г. С. Нариманова, Д. Е. Охоцимского, Б. И. Рабиновича и Л. Н. Сретенского (1956). Начиная с работ Н. Н. Моисеева и совместной работы С. Г. Крейна и Н. Н. Моисеева [22], исследование этих проблем проводится, в частности, методами функционального анализа и теории операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Это позволяет в простой и весьма прозрачной форме представить и изучить проблему, а также установить общие свойства ее решений. Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 627 В шестидесятые и семидесятые годы появилось достаточно много работ и монографий, посвященных задачам динамики тела с полостью, содержащей жидкость: Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. (1965), Моисеев Н. Н., Петров А. А. (1966), Рапопорт И. М. (1967), Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. (1968), Черноусько Ф. Л. (1968), Фещенко С. Ф., Луковский И. А., Рабинович Б. И., Докучаев Л. В. (1969), Луковский И. А. (1975), Нариманов Г. С., Докучаев Л. В., Луковский И. А. (1977), а также другие монографии. Что касается задач динамики твердого тела с полостью, содержащей вязкую жидкость и частично ее заполняющую, то здесь пионерскими работами, использующими методы функционального анализа, являются статьи С. Г. Крейна (1964), а также С. Г. Крейна и его учеников (1968), а затем работы Н. Д. Копачевского (1966-1980), Нго Зуй Кана (1968-1981). Эти исследования отражены в монографии Н. Д. Копачевского, С. Г. Крейна и Нго Зуй Кана [16], а затем в двухтомной монографии Н. Д. Копачевского и С. Г. Крейна [30, 31]. В настоящее время направление исследований методами функционального анализа задач динамики твердого тела с полостью, заполненной идеальной либо вязкой жидкостью, продолжает активно развиваться. Далее, в работах П. В. Харламова (1972) изучался вопрос о совместных движениях сочлененных твердых тел (маятников), соединенных сферическими шарнирами. Затем Ю. Н. Кононов (1997-2006) исследовал движения тела и системы связанных твердых тел с полостями, содержащими жидкость. Наконец в последнее время Э. И. Батыр и Н. Д. Копачевский (cм. [4-8]) изучали проблему малых движений системы сочлененных твердых тел (гиростатов), соединенных сферическими шарнирами и имеющих полости, целиком заполненные идеальной либо вязкой жидкостью. 2. О содержании работы. В данной работе используются как методы функционального анализа, развитые С. Г. Крейном и позже Н. Д. Копачевским (см. монографии [16, 30, 31]), так и новые рассмотрения (см. [10, 15]). В первой части работы изучается задача о малых колебаниях двух сочлененных маятников с полостями, частично заполненными идеальной жидкостью. В разделе 2 дается постановка задачи и на ее основе выводится закон баланса полной энергии для классического решения проблемы. Далее (в разделе 3) применяется операторный подход к ее исследованию, и возникает задача Коши в некотором гильбертовом пространстве, естественно связанном с изучаемой задачей. В разделе 4 доказывается теорема о разрешимости задачи Коши, а на ее основе - теорема о корректной разрешимости исходной задачи на произвольном отрезке времени. Наконец, в разделе 5 исследуется проблема собственных колебаний гидромеханической системы в случае отсутствия трения в шарнирах. Для нахождения статической устойчивости системы доказано обращение теоремы Лагранжа об устойчивости. По такой же схеме в части II исследована проблема малых движений и нормальных колебаний системы в случае, когда жидкости в полостях маятников являются вязкими (разделы 6-9). Здесь также доказана теорема о корректной разрешимости задачи, исследован спектр нормальных колебаний (пучок С. Г. Крейна), доказано обращение теоремы Лагранжа об устойчивости. Отметим, что эта задача изучалась также в статье [10] с использованием другого операторного подхода и неизвестных полей перемещений жидкостей. Также в этой работе приведен подробный вывод уравнений изменения кинетического момента. Данная работа выполнена при финансовой поддержке первого из соавторов грантом Министерства образования и науки РФ (проект 14.Z50.31.0037). ЧАСТЬ 1 СЛУЧАЙ ИДЕАЛЬНЫХ ЖИДКОСТЕЙ В ПОЛОСТЯХ 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 1. Основные уравнения, краевые и начальные условия. Будем считать, что имеется гидромеханическая система, состоящая из двух твердых тел G01 и G02, у которых плотности равны соответственно ρ01 и ρ02. Эти тела (маятники) последовательно соединены сферическими шарнирами: первое тело закреплено в неподвижной точке O1, а второе аналогичным образом соединено с первым телом в точке O2. Предполагаем также, что оба тела имеют полости, частично заполненные идеальными однородными несжимаемыми жидкостями с плотностями ρ1 и ρ2 соответственно. Будем считать, что на данную систему действует однородное гравитационное поле постоянной интенсивности. Тогда в состоянии покоя гидромеханической системы точки подвеса O1 и O2 этих тел находятся на одной вертикальной оси, а центры масс C1 и C2 этих тел - также на этой оси. При этом жидкости в полостях (в состоянии равновесия) занимают области Ω1 и Ω2 соответственно, причем границы этих областей состоят из твердых стенок S1 и S2, а также свободных поверхностей Γ1 и Γ2 соответственно, которые являются горизонтальными, т. е. перпендикулярными действию однородного гравитационного поля. Приведем теперь постановку задачи о малых движениях данной гидромеханической системы, близких к состоянию покоя. Для описания этих движений введем неподвижную систему координат O1x1x2x3 c ортами e j, j = 1, 3, так, чтобы ускорение гравитационного поля g = -g e 3, g > 0. Кроме того, введем подвижные системы координат Okx1 x2 x3 (k = 1, 2), жестко связанные с телами G0k, k k k k с единичными векторами e j, j = 1, 3. Наконец, в состоянии покоя считаем, что подвижная система координат O1x1x2x3 совпадает с неподвижной системой O1x1x2x3, а подвижная система O2x1x2x3 1 1 1 2 2 2 получается переносом по вертикальной оси системы O1x1x2x3 из точки O1 в точку O2. (Напомним, 1 1 1 что в состоянии покоя точки O1, O2, C1 и C2 находятся на одной оси O1x3.) Положение подвижной системы координат Okx1 x2 x3 (k = 1, 2) относительно неподвижной сиk k k стемы O1x1x2x3 в процессе малых движений гидромеханической системы будем задавать малым вектором углового перемещения 3 δk (t) = '\" δj (t) e j, k = 1, 2. k k j=1 Тогда угловая скорость ω k (t) тела G0k будет, очевидно, равна ω k = d δk/dt, а угловое ускорение этого тела равно d2 δk/dt2 = dω k/dt. Приведем теперь для каждого из тел (маятников) линеаризованные уравнения изменения кинетического момента относительно точки Ok,k = 1, 2, а также следствия из этих уравнений. Вид этих уравнений можно найти в [10], см. также [5] и [16, с. 129-132, 145, 136]. Кроме того, в данной постановке учитываются отклонения свободных границ Γ1 и Γ2 в процессе малых движений системы (см. [16, с. 143-145]). Наконец, отметим еще такой факт. Из уравнений изменения кинетических моментов тел следует, что левые и правые части последующего (второго) уравнения целиком входят в левые и правые части предыдущего (первого) уравнения. Тогда, беря соответствующие разности левых и правых частей, а также второе уравнение, приходим к следующим уравнениям изменения кинетических моментов для двух сочлененных маятников. Первое уравнение: r r1 × G1 dω 1 \ dt × r1 r dm1 + ρ1 Ω1 r1 × ∂ u1 dΩ + r ∂t 1 G2 h1 × dω 1 dt × h1 + r dω 2 dt × r2 + ∂ u2 \ ∂t dm2+ + α1ω 1 - α2 (ω 2 - ω 1)+ g (m1l1 + m2h1) P2 δ1 - gρ1 Γ1 r 1 ( e 3 × r1)ζ1 dΓ1 = r = r1 × f 1 dm1 + G1 G2 h1 × f 2 dm2 =: M 1(t). (2.1) Здесь Gk = G0k ∪ Ωk - область, занятая твердым телом и жидкостью для данного маятника, k = 1, 2, rk - радиус-вектор точки в Gk, причем использовано обозначение r (.. .) dmk := ρ0k Gk r G0k r (.. .) dΩk + ρk Ωk (.. .) dΩk. (2.2) Далее, через uk (t, x) обозначено поле относительной скорости жидкости в области Ωk, h1 = -O--O→, α > 0, k = 1, 2, - коэффициенты трения в шарнирах, h = |-O--O→ , x3 = ζ (t, x1 , x2 ), 1 2 k 1 1 2| k k k k (x1 , x2 ) ∈ Γk, - отклонения свободных поверхностей жидкостей в процессе малых движений маk k ятников, mk - масса маятника с жидкостью, lk = |-O--C→ , k k | 2 P2 δk = '\" δj e j (2.3) k k j=1 является проекцией на плоскость Γk вектора углового перемещения δk. Наконец, предполагается, что в процессе малых движений системы на нее действует поле, мало отклоняющееся от гравитационного, т. е. поле -g e 3 + f , |G1 f 1 := f , |G2 f 2 := f . (2.4) Уравнение изменения кинетического момента для второго маятника таково: r r2 × ( G2 dω 2 r dt × r2) dm2 + G2 r2 × ( 1 dω r dt × h1) dm2 + ρ2 Ω2 r r2 × ∂t 2 2 2 1 ∂ u2 dΩ + α (ω - ω )+ r + gm2l2P2 δ2 - gρ2 Γ2 2 ( e 3 × r2)ζ2 dΓ2 = G2 r2 × f 2 dm2 =: M 2(t). (2.5) Здесь обозначения те же, что были введены выше. Приведем теперь линеаризованные уравнения движения жидкостей в полостях, а также граничные условия на твердых стенках Sk и свободных поверхностях Γk, k = 1, 2. Уравнения движения для идеальных жидкостей (уравнения Эйлера) имеют вид ∂ u1 ρ1 + ∂t dω 1 \ dt × r1 + ∇p1 = ρ1f 1, div u1 = 0 ( в Ω1 ), (2.6) ∂ u2 ρ2 + ∂t 1 dω dt × h1 + dω 2 \ dt × r2 + ∇p2 = ρ2f 2, div u2 = 0 ( в Ω2 ), (2.7) где через pk = pk (t, x), x ∈ Ωk, обозначено отклонение давления в области Ωk от равновесного давления в этой области в состоянии покоя. Далее, в процессе движения идеальных жидкостей на твердых стенках Sk полостей Ωk должны выполняться условия непротекания: uk · nk = 0 ( на Sk ) , k = 1, 2, (2.8) где nk - (внешняя) нормаль к ∂Ωk. В исследуемой задаче должны выполняться также кинематические условия следующего вида: d (P δ \ = P ω d , δ 3 = ω 3, dt 2 k ∂ζk = u3 2 k dt k k (2.9) ∂t k = uk · nk ( на Γk ) , k = 1, 2. Здесь для удобства последующих построений связь d δk/dt = ω k расщеплена на две, так как в уравнения движения, а также в граничные условия на Γk входит лишь P2 δk (см. ниже). Эти динамические условия имеют следующий вид: k pk = ρkg(ζk + (P2 δk × rk ) · e 3) ( на Γk ) , k = 1, 2. (2.10) Отметим еще, что из свойства несжимаемости жидкостей следуют условия сохранения объемов жидкостей: r ζk dΓk = 0, k = 1, 2. (2.11) Γk Наконец, для полной постановки начально-краевой задачи к уравнениям (2.1), (2.5)-(2.7) и краевым условиям (2.8)-(2.11) следует добавить начальные условия k uk (0, x) = u 0(x), x ∈ Ωk, ζk (0, x) = ζ0(x), x ∈ Γk, ωk (0) = ω 0, δk (0) = δ 0, k = 1, 2. (2.12) k k 2. Закон баланса полной энергии гидромеханической системы. Будем считать, что задача (2.1), (2.5)-(2.12) имеет классическое решение при t ); 0, и выведем закон баланса полной энергии. С этой целью умножим (скалярно) обе части уравнения (2.6) на u1 и проинтегрируем по Ω1. Будем иметь r ∂ u1 r ρ1 ∂t · u1 dΩ1 + ρ1 Ω1 Ω1 r (ω 1 × r1) · u1 dΩ1 + Ω1 r ∇p1 · u1 dΩ1 = ρ1 Ω1 f 1 · u1 dΩ1. (2.13) Здесь в силу граничных условий (2.9)-(2.11) r r ∇p1 · u1 dΩ1 = Ω1 Ω1 r div (p1 u1) dΩ1 = Γ1 r p1( u1 · n1) dΓ1 = Γ1 1 ρ1g(ζ1 + (P2 δ1 × r1) · e 3) ∂ζ1 ∂t dΓ1 = 1 d r = 2 ρ1g dt Γ1 r |ζ1|2 dΓ1 + ρ1g Γ1 1 ((P2 δ1 × r1) · e 3) ∂ζ1 ∂t dΓ1. (2.14) Умножая теперь обе части (2.7) на u2 и интегрируя по Ω2, получаем соотношение r ∂ u2 r ρ2 ∂t · u2 dΩ2 + ρ2 Ω2 Ω2 1 dω r ( dt × h1) · u2 dΩ2 + ρ2 Ω2 dω 2 r ( dt × r2) · u2 dΩ2 + Ω2 ∇p2 · u2 dΩ2 = r причем r r r = ρ2 Ω2 ∂ζ2 f 2 · u2 dΩ2, (2.15) ∇p2 · u2 dΩ2 = ... = Ω1 Γ2 p2( u2 · n2) dΓ2 = Γ2 2 ∂t ρ2g(ζ2 + (P2 δ2 × r2) · e 3) dΓ2 = 1 d r = 2 ρ2g dt Γ2 r |ζ2|2 dΓ2 + ρ2g Γ2 2 ((P2 δ2 × r2) · e 3) ∂ζ2 ∂t dΓ2. (2.16) Далее, умножение обеих частей (2.1) на ω 1 с учетом обозначения (2.2) дает соотношение r ( dω 1 \ r ( dω 1 \ ρ01 Ω01 r1 × ( dt × r1) · ω 1 dΩ01 + ρ1 Ω1 r1 × ( dt × r1) · ω 1 dΩ1+ r ( ∂ u1 \ r ( dω 1 dω 2 \ + ρ1 Ω1 r1 × ∂t · ω 1 dΩ1 + ρ02 Ω02 h1 × ( ∂t × h1 + ∂t × r2) · ω 1 dΩ02+ r ( dω 1 dω 2 ∂ u2 \ 2 + ρ2 Ω2 h1 × ( ∂t × h1 + ∂t × r2 + ∂t ) · ω 1 dΩ2 + (α1 + α2)|ω 1| - r - α2ω 2 · ω 1 + g(m1l1 + m2h1)P2 δ1 · ω 1 - gρ1 Γ1 1 (( e 3 × r1)ζ1\ · ω 1 dΓ1 = M 1(t) · ω 1. (2.17) Соответственно при умножении обеих частей (2.5) на ω 2 получаем r ( dω 2 \ r ( dω 2 \ ρ02 Ω02 r2 × ( dt × r2) · ω 2 dΩ02 + ρ2 Ω2 r2 × ( dt × r2) · ω 2 dΩ2+ r ( ∂ u2 \ r ( dω 1 \ + ρ2 Ω2 r2 × ∂t · ω 2 dΩ2 + ρ02 Ω02 r2 × ( ∂t × h1) · ω 2 dΩ02+ r ( dω 1 \ 2 + ρ2 Ω2 r2 × ( ∂t × h1) · ω 2 dΩ2 + α2(|ω 2| - ω 1 · ω 2)+ gm2l2P2 δ2 · ω 2- r - gρ2 Γ2 2 (( e 3 × r2)ζ2\ · ω 2 dΓ2 = M 2(t) · ω 2. (2.18) Учитывая свойства сохранения объема (2.11), введем для удобства записи дальнейших формул ортопроекторы θk : L2(Γk ) → L2,Γk := L2(Γk ) 8 {1k }, k = 1, 2, (2.19) на подпространства L2,Γk функций из L2(Γk ), ортогональных к единичной функции 1k ≡ 1, заданной на Γk. Складывая теперь левые и правые части в (2.13), (2.15), (2.17), (2.18) и учитывая (2.14), (2.16), после преобразований (с учетом свойств смешанного произведения векторов) приходим к тождеству 2. d r r ρ01 r |ω 1 × r1|2 dΩ01 + ρ1 r |ω 1 × r1 + u1|2 dΩ1 + ρ02 |ω 1 × h1 + ω 2 × r2|2 dΩ02+ 3. dt Ω01 1 d 2 Ω1 r + ρ2 Ω2 r ( Ω02 |ω 1 × h1 + ω 2 × r2 + u2|2 dΩ2 + \ + g '\" ρk |ζk + θk ((P2 δk × rk ) · e 3)|2 - |θk ((P2 δk × rk ) · e 3)|2 dΓk + 2 dt k=1 k k Γk 1 d r + 2 dt (m1l1 + m2h1)|P2 δ1|2 + m2l2|P2 δ2|2 = 2 2 = -( α1|ω 1|2 + α2|ω 2 - ω 1|2\ + '\" k=1 M k (t) · ω k + ρ '\" r k k=1 Ωk f k · uk dΩk. (2.20) Это соотношение - закон баланса полной энергии системы в дифференциальной форме. Здесь слева в первых фигурных скобках стоит удвоенная кинетическая энергия гидромеханической системы, состоящая из суммы кинетических энергий твердых тел и кинетических энергий жидкостей в полостях маятников. При этом ω 1 × r1 + u1 - поле абсолютной скорости жидкости в первой полости, а ω1 × h1 + ω 2 × r2 + u2 - поле абсолютной скорости во второй полости. Далее, вторая фигурная скобка после умножения на g дает потенциальную энергию системы, отвечающую возмущениям ζk свободной поверхности Γk в процессе малых движений; в частности, если ζk ≡ 0, то это выражение дает нулевой вклад в потенциальную энергию. Наконец, последняя фигурная скобка после умножения на g соответствует изменению потенциальной энергии системы, отвечающему перемещению энергии системы из состояния покоя на углы поворота δ1 и δ2 для тел. Справа в (2.20) стоит мощность сил трения в шарнирах (первое слагаемое), а также мощность внешних сил, отвечающих действию внешнего дополнительного поля f (см. (2.4)) в жидкостях и твердых телах. Таким образом, соотношение (2.20) означает, что изменение со временем полной энергии гидромеханической системы равно мощности внутренних и внешних сил, действующих на систему. При f k ≡ 0, k = 1, 2, с учетом определений M k (t) (см. (2.1), (2.5)), получаем из (2.20) закон сохранения полной энергии изучаемой системы. 3. ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В этом разделе вводятся функциональные пространства, позволяющие применить к задаче (2.1), (2.5)-(2.12) операторный подход, основные идеи которого изложены, например, в [16]. Именно, к этой задаче применяется метод ортогонального проектирования на введенные ниже подпространства, и на этой основе получена задача Коши для дифференциально-операторного уравнения первого порядка в некотором гильбертовом пространстве, равносильная исходной начальнокраевой задаче (2.1), (2.5)-(2.12). В целом примененный здесь подход отличается от подходов, изложенных в [22], [16, с. 143-158], и является развитием подходов из статьи [15]. 1. Выбор функциональных пространств. Так как кинетическая энергия жидкостей в полостях Ωk в любой момент времени должна быть конечной, то из (2.20) следует, что поля относительных скоростей uk (t, x) должны быть функциями переменной t со значениями в гильбертовых пространствах L 2(Ωk ) со скалярными произведениями r ( uk, vk )L-2(Ωk ) := Ω u(x) · vk dΩ. (3.1) Опираясь на свойство соленоидальности uk и граничные условия исследуемой проблемы, воспользуемся ортогональным разложением пространства возникающие в этой задаче (см. [16, с. 106]): L 2(Ωk ) на подпространства, естественно где L 2(Ωk ) = G 0,Γk (Ωk ) ⊕ J 0(Ωk ) ⊕ G h,Sk (Ωk ), k = 1, 2, (3.2) G 0,Γk (Ωk ) := {∇ϕk ∈ L 2(Ωk ) : ϕk = 0 (на Γk )}, (3.3) J 0(Ωk ) := Jw k ∈ L 2(Ωk ) : div w k = 0 (в Ωk ), w k · nk = 0 (на ∂Ω) , (3.4) G h, Sk (Ωk ) := {∇Φk ∈ L 2(Ωk ) : ΔΦk = 0 (в Ωk ), ∂Φk ∂nk r = 0 (на Sk ), Γk ΦkdΓk = 0�. (3.5) Здесь nk - внешняя нормаль к ∂Ωk, а операции вычисления дивергенции и производной по нормали понимаются в смысле теории обобщенных функций (распределений), см. [16, п. 2.1], а также [19]. Отметим еще, что границы ∂Ωk предполагаются липшицевыми, причем Sk и Γk - липшицевы куски этих границ (см. [19, 20]). Так как потенциальная энергия жидкостей (и всей гидромеханической системы) также должна быть конечной в любой момент времени t ); 0, то снова в силу (2.20) следует считать, что ζk (t, x),x ∈ Γk, являются функциями переменной t со значениями в гильбертовом пространстве L2(Γk ) со скалярным произведением (ζk, ηk )L2(Γk ) := r ζkηk dΓk, k = 1, 2. (3.6) Γk Тогда из условий сохранения объемов жидкостей при колебаниях, т. е. из условий (2.11), следует, что в рассматриваемой задаче см. (2.19). ζk ∈ L2,Γk = L2(Γk ) 8 {1k }, (3.7) 2. Применение метода ортогонального проектирования. Опираясь на приведенные выше соображения, применим метод ортогонального проектирования на подпространства (3.3)-(3.5) уравнений движения (2.6), (2.7). Так как div uk = 0 в Ωk и uk · nk = 0 на Sk, то в силу разложения (3.2) имеем uk = w k + ∇Φk, w k ∈ J 0(Ωk ), ∇Φk ∈ G h, Sk (Ωk ), k = 1, 2. (3.8) Далее заметим, что давления pk (t, x), x ∈ Ωk, определены с точностью до произвольной функции t. Поэтому, используя условия (2.11) и вводя ортопроекторы θk (см. (2.19)), r θkζk = ζk - |Γk |-1 Γk перепишем условия (2.10) в виде ζk dΓk, ∀ζk ∈ L2(Γk ), (3.9) r k pk = ρkg(ζk + θk (P2 δk × rk ) · e 3) ( на Γk ) , pk dΓk = 0, (3.10) Γk где теперь pk - нормированные давления, k = 1, 2. Поэтому в силу (3.3)-(3.5) pk ∇pk = ∇ � + ∇ϕk pk , ∇ � ∈ G h, Sk (Ωk ), ∇ϕk ∈ G 0, Γk (Ωk ). (3.11) Пусть P0,Γk , P0,k и Ph,Sk - ортопроекторы на соответствующие подпространства (3.3)-(3.5). Тогда, подставляя представления (3.8) и (3.11) при k = 1 в уравнение (2.6) и действуя этими ортопроекторами на обе части (2.6), приходим к соотношениям ρ1P0,Γ1 dω 1 \ dt × r1 + ∇ϕ1 = ρ1P0,Γ1 f 1, (3.12) ρ dw 1 + ρ P 1 dt 1 0,1 d dω 1 dω 1 \ dt × r1 \ = ρ1P0,1f 1, (3.13) p1 1 h,S1 1 ρ1 dt ∇Φ1 + ρ1Ph,S1 dt × r1 + ∇ � = ρ P f . (3.14) Здесь производные ∂/∂t у векторных полей скоростей заменены на d/dt, так как эти поля и поля градиентов давлений считаем функциями переменной t со значениями в соответствующих гильбертовых пространствах. Аналогичная процедура проектирования для уравнения движения (2.7) приводит к соотношениям ρ2P0,Γ2 dω 1 dt × h1 + dω 2 \ dt × r2 + ∇ϕ2 = ρ2P0,Γ2 f 2, (3.15) ρ dw 2 + ρ P 2 dt 2 0,2 d dω 1 dω 1 dt × h1 + dω 2 dω 2 \ dt × r2 \ = ρ2P0,2f 2, (3.16) ρ2 dt ∇Φ2 + ρ2Ph,S2 dt × h1 + dt × r2 + ∇ � = ρ P f . (3.17) p2 2 h,S2 2 Отметим теперь, что в силу нормировки (3.10) для pk и определения граничные условия (3.10) можно переписать в виде G 0, Γk (Ωk ) (см. (3.2)) pk = ρkg(ζk + θk (P2 δk × rk ) · e 3) ( на Γk ) , k = 1, 2. (3.18) � k Далее, кинематические условия (2.9) для ζk с учетом (3.8) теперь переписываются следующим образом: dζk = γ dt n,k ∇Φk ∂Φk := ∂nk ( на Γk ) , (3.19) где γn,k - операция взятия нормальной компоненты поля на Γk : γn,k uk = ( uk · nk )Γk , k = 1, 2. (3.20) Отметим теперь важное обстоятельство: поле ∇ϕ1 не входит в систему уравнений (3.13), (3.14), а ∇ϕ2 - в систему уравнений (3.16), (3.17). Поэтому эти поля могут быть найдены по известным решениям ωk (t) и заданным k f k из формул (3.12), (3.15). Далее, векторы δ3(t) = δ3 3 3 3 3 k (t) ek , k = 1, 2, также не входят в эти уравнения и находятся по ωk (t) = ωk (t) ek , k = 1, 2, и начальным условиям. Поэтому в дальнейшем достаточно исследовать начально-краевую задачу (3.13), (3.14), (3.16), (3.17), (2.1), (2.5), (2.11), (3.18), (3.19) при соответствующих начальных условиях. 3. Переход к дифференциально-операторному уравнению в гильбертовом пространстве. Рассмотрим сначала две вспомогательные краевые задачи Зарембы, помогающие в дальнейшем k исключить давления p � в областях Ωk k ∂p � , выразив их через ζk и P2 δk . Эти задачи таковы: r � Δpk = 0 ( в Ωk ) , ∂nk pk = 0 ( на Sk ) , � = ψk ( на Γk ) , ψk dΓk Γk = 0. (3.21) Для области Ωk с липшицевой границей ∂Ωk, разбитой на липшицевы куски Sk и Γk, задача (3.21) имеет единственное слабое решение pk ∈ H1 (Ωk ) := Jpk ∈ H1(Ωk ) : Δpk = 0 ( в Ωk ) , k ∂p � = 0 ( на Sk ) , pk = ψk ( на Γk ) � h,Sk � � ∂nk � (3.22) тогда и только тогда, когда выполнено условие Γk ψk ∈ H1/2 := H 1/2 (Γk ) ∩ L2,Γk , (3.23) (см., например, [16, с. 45-46], а также [19, 20]). Поэтому можно считать, что 1/2 � ∇pk = Vkψk, Vk ∈ L(HΓk ; Gh,Sk (Ωk )). (3.24) 1 k (Заметим, что между элементами G h,Sk (Ωk ) из (3.5) и Hh,S (Ωk ) с квадратом нормы pk 2 H1 r (Ωk ) := 2 |∇ � | dΩ , r � dΓ = 0, (3.25) " � h,S k pk k pk k Ωk Γk имеет место изометрический изоморфизм.) С помощью введенных операторов Vk вместо граничных условий (3.18) будем иметь соотношения pk = ρkgVk (ζk + θk (P2 δk × rk ) · e 3) ( на Γk ) , k = 1, 2. (3.26) ∇ � k Опираясь на эти факты, получим дифференциально-операторную связь между искомыми функциями в исследуемой проблеме. С этой целью введем в качестве искомых объектов наборы элементов z := (z1; z2)τ , z1 := (z1,1; z1,2)τ , z1,1 = (w 1; ∇Φ1; ω 1)τ , z1,2 = (w 2; ∇Φ2; ω 2)τ , z2 := (z2,1; z2,2)τ , z2,1 = (ζ1; P2 δ1)τ , z2,2 = (ζ2; P2 δ2)τ , (3.27) и будем считать, что они являются функциями переменной t со значениями в гильбертовом пространстве H = H1 ⊕ H2, H1 = (J 0(Ω1) ⊕ G h,S1 (Ω1) ⊕ C ) ⊕ (J 0(Ω2) ⊕ G h,S (Ω2) ⊕ C ), 3 3 2 2 2 H2 = (L2,Γ1 ⊕ C ) ⊕ (L2,Γ2 ⊕ C ). (3.28) Тогда уравнения (3.13), (3.14), (2.1), (3.16), (3.17), (2.5) с учетом (3.8) и (3.26) можно в векторноматричной форме переписать в терминах (3.27) в следующем виде: dz1 C1 dt + A1z1 + gB12z2 = f1(t). (3.29) Здесь C1, A1 и B12 - операторные матрицы размера 6 × 6, 6 × 6 и 6 × 4, отвечающие ортогональным разложениям (3.28). При этом 1 C1z1 = (ρ1w 1 + ρ1P0,1(ω 1 × r1); ρ1∇Φ1 + ρ1Ph,S (ω 1 × r1); r r ρ1 ( r1 × w 1) dΩ1 + ρ1 Ω1 Ω1 r ( r1 × ∇Φ1) dΩ1 + J 1ω1 + G2 h1 × (ω 1 × h1) dm2+ r r + h1 × w 2 dm2 + r h1 × ∇Φ2 dm2 + h1 × (ω 2 × r2) dm2; G2 G2 G2 ρ2w 2 + ρ2P0,2(ω 1 × h1)+ ρ2P0,2(ω 2 × r2); ρ2∇Φ2 + ρ2Ph,S2 (ω 1 × h1)+ ρ2Ph,S2 (ω 2 × r2); r r ρ2 ( r2 × w 2) dΩ2 + ρ2 Ω2 Ω2 r ( r2 × ∇Φ2) dΩ2 + J 2ω 2 + G2 τ r2 × (ω 1 × h1) dm2\ , (3.30) где J 1 и J 2 - тензоры инерции маятников вместе с жидкостью: J k ω k := ρ0k r Ω0k r rk × (ω k × rk ) dΩ0k + ρk Ωk rk × (ω k × rk ) dΩk, k = 1, 2. (3.31) Далее, операторная матрица A1 из (3.29) имеет ненулевые элементы лишь следующего вида A1,33 = α1 + α2, A1,36 = -α2 = A1,63, A1,66 = α2. (3.32) Наконец, операторная матрица B12 действует по закону r 1 B12z2 = (0; ρ1V1(ζ1 + θ1(P2 δ1 × r1) · e 3); -ρ1 Γ1 1 ( e 3 × r1)ζ1 dΓ1 + (m1l1 + m2h1)P2 δ1; r 2 0; ρ2V2(ζ2 + θ2(P2 δ2 × r2) · e 3); -ρ2 Γ2 2 τ ( e 3 × r2)ζ2 dΓ2 + m2l2P2 δ2\ . (3.33) Лемма 3.1. Операторная матрица C1 из (3.30) является ограниченным самосопряженным и положительно определенным оператором, действующим в H1. Квадратичная форма (C1z1, z1)H1 равна удвоенной кинетической энергии гидромеханической системы (см. (2.20)), т. е. C1 является оператором кинетической энергии. Доказательство. Очевидно, каждый элемент матрицы C1 из (3.30) является ограниченным оператором, действующим из одного пространства в другое (см. (3.28)), так что область определения оператора C1 есть все пространство H1. 1 Покажем, что C1 = C∗. Из (3.30) видим, что диагональные элементы C1 являются самосо- 1 пряженными и положительно определенными операторами, так как J k : C3 → C3 положительно определенные, k = 1, 2, и, кроме того { h1 × (ω 1 × h1) dm2 = m2h2P2ω 1. Поэтому G2 1 C1,0 := diag(ρ1I; ρ1I; J 1 + m2h2P2; ρ2I; ρ2I; J 2) » 0. (3.34) Проверим теперь, что соответствующие внедиагональные элементы в C1 взаимно сопряжены. Этот факт основан на тождествах (P0,1(ω 1 × r1), w 1)L-2(Ω1) = r (ω 1 × r1) · w 1 dΩ1 = ω 1 · Ω1 r r ( r1 × w 1) dΩ1, Ω1 r (Ph,S1 (ω 1 × r1), ∇Φ1)L-2(Ω1) = Ω1 (ω 1 × r1) · ∇Φ1 dΩ1 = ω 1 · Ω1 ( r1 × ∇Φ1) dΩ1, а также на аналогичных формулах с индексом 2. Далее устанавливаем также, что r r ( h1 × w 2) dm2 · ω 1 = ρ2 G2 Ω2 ( h1 × w 2) · ω 1 dΩ2 = ρ2 r r w 2 · (ω 1 × h1) dΩ2 = ρ2 Ω2 Ω2 w 2 · P0,2(ω 1 × h1) dΩ2, r r ( h1 × ∇Φ2) dm2 · ω 1 = ρ2 G2 Ω2 ( h1 × ∇Φ2) · ω 1 dΩ2 = = ρ2 r r ∇Φ2 · (ω 1 × h1) dΩ2 = ρ2 Ω2 Ω2 ∇Φ2 · Ph,S2 (ω 1 × h1) dΩ2, r r ( h1 × (ω 2 × r2)) dm2 · ω 1 = G2 G2 r (ω 1 × h1) · (ω 2 × r2) dm2 = r = (ω 2 × r2) · (ω 1 × h1) dm2 = ω 2 · G2 G2 r2 × (ω 1 × h1) dm2. Из приведенных тождеств и следует свойство самосопряженности операторной матрицы C1. Следствием этих же формул является тождество (C1z1, z1)H1 = r rρ1 |w 1 + ∇Φ1 + ω 1 × r1|2 r dΩ1 + ρ01 |ω 1 × r1|2 dΩ01 + Ω1 Ω01 r + r r , (3.35) ρ2 |ω 1 × h1 + w 2 + ∇Φ2 + ω 2 × r2|2 dΩ2 + ρ02 Ω2 Ω02 |ω 1 × h1 + ω 2 × r2|2 dΩ02 откуда следует, что C1 - положительный оператор, причем правая часть равна удвоенной кинетической энергии системы. Так как C1 равен сумме положительно определенного оператора C1,0 из (3.34) и конечномерного оператора, образованного внедиагональными элементами, то C1 положительно определен в H1. Лемма 3.2. Операторная матрица A1 с элементами (3.32) является ограниченным самосопряженным неотрицательным оператором. Квадратичная форма оператора A1 равна 2 (A1z1, z1)H1 = α1|ω 1| + α2|ω 2 - ω 1|2 ); 0, (3.36) и потому A1 можно назвать оператором диссипации энергии гидромеханической системы. Лемма 3.3. Оператор B12 : H2 → H1, определенный формулой (3.33), является блочнодиагональным неограниченным оператором, заданным на области определения 1/2 2 1/2 2 плотной в H2. D(B12) = (HΓ1 ⊕ C ) ⊕ (HΓ2 ⊕ C ), (3.37) Доказательство. Оно следует из того, что операторы Vk, дающие решения вспомогательных задач 1/2 1/2 1/2 Зарембы (3.21), заданы на D(Vk ) = HΓk и HΓk плотно в L2,Γk , причем Vk ∈ L(HΓk ; Gh,Sk (Ωk )) и область значений R(Vk ) = G h,Sk (Ωk ). Дальнейшее применение операторного подхода в исследуемой задаче основано на том, что кинематические условия на Γk (см. (2.9), (3.19), (3.20)), т. е. условия dζk = ∂Φk = γ d ∇Φ , P δ = P ω , k = 1, 2, (3.38) dt ∂nk n,k k dt 2 k 2 k можно переписать в эквивалентной форме, позволяющей ввести в рассмотрение оператор потенциальной энергии системы. Очевидно, если выполнены условия (3.38), то справедливы также условия dζ1 d 3 3 ρ1g dt + ρ1g dt (θ1((P2 δ1 × r1) · e1 )) - ρ1gγn,1∇Φ1 - ρ1gθ1((P2ω 1 × r1) · e1 ) = 0, r -ρ1g Γ1 r 1 ( e 3 × r1) dζ1 dt dΓ1 + g(m1l1 + m2h1) d P2 δ1+ dt dζ2 +ρ1g Γ1 d 1 ( e 3 × r1)γn,1∇Φ1 dΓ1 - g(m1l1 + m2h1)P2ω 1 = 0, 3 3 ρ2g dt + ρ2g dt (θ2((P2 δ2 × r2) · e2 )) - ρ2gγn,2∇Φ2 - ρ2gθ2((P2ω 2 × r2) · e2 ) = 0, r -ρ2g Γ2 2 ( e 3 × r2) dζ2 dt dΓ2 + gm2l2 d r P2 δ2 + ρ2g dt Γ2 2 ( e 3 × r2)γn,2∇Φ2 dΓ2 - gm2l2P2ω 2 = 0. (3.39) Коротко эти условия можно переписать в виде gC dζ2 + gB z = 0, (3.40) 2 dt 21 1 r 1 C2z2 = (ρ1ζ1 + ρ1θ1((P2 δ1 × r1) · e 3); -ρ1 Γ1 1 ( e 3 × r1)ζ1 dΓ1 + (m1l1 + m2h1)P2 δ1; r 2 ρ2ζ2 + ρ2θ2((P2 δ2 × r2) · e 3); -ρ2 Γ2 2 τ ( e 3 × r2)ζ2 dΓ2 + m2l2P2 δ2\ r , (3.41) 1 B21z1 = ( - ρ1γn,1∇Φ1 - ρ1θ1((P2ω 1 × r1) · e 3); ρ1 Γ1 r 1 ( e 3 × r1)γn,1∇Φ1 dΓ1 - (m1l1 + m2h1)P2ω 1; τ 2 -ρ2γn,2∇Φ2 - ρ2θ2((P2ω 2 × r2) · e 3); ρ2 Γ2 2 ( e 3 × r2)∇Φ2 dΓ2 - m2l2P2ω 2\ . (3.42) 2 2 Здесь оператор C2 : (L2,Γ1 ⊕ C ) ⊕ (L2,Γ2 ⊕ C ) = H2 → H2 - блочно диагональный, а оператор B21 : H1 → H1 - аналогичного вида с размерами матрицы 4 × 6. Лемма 3.4. Оператор C2 : H2 → H2 - ограничен и самосопряжен. Квадратичная форма g(C2z2, z2)H2 равна удвоенной потенциальной энергии гидромеханической системы. Доказательство. Оно основано на непосредственном подсчете квадратичной формы. Выражение для потенциальной энергии системы приведено в (2.20): это умноженное на g выражение во второй фигурной скобке, причем ниже в тексте объяснен физический смысл отдельных слагаемых. Выясним теперь, когда соотношения (3.38) и (3.39) эквивалентны. Введем обозначения, имеющие смысл осевых моментов инерции: β(k) r 1 1 (k) jl := Γk Введем также определители: xj (θkxl ) dΓk = βlj , j, l = 1, 2, k = 1, 2. (3.43) / (1) (1) \ 2 := det Δ(1) m1l1 + m2h1 - ρ1β22 ρ1β21 ρ1β(1) (1) , 12 (m1l1 + m2h1) - ρ1β11 / (2) (1) \ (3.44) 2 := det Δ(2) m2l2 - ρ2β22 ρ2β21 ρ2β(1) (2) . 12 m2l2 - ρ2β11 Лемма 3.5. Если выполнены условия общего положения Δ(1) (2) 2 ◦= 0, Δ2 ◦= 0, (3.45) то соотношения (3.38) и (3.39) эквивалентны. Доказательство. Достаточно проверить, что из (3.39) следуют соотношения (3.38) при выполнении условий (3.45). Перепишем соотношения (3.39) в виде r 1 ϕ1 + θ1((ψ 1 × r1) · e 3) = 0, -ρ1 Γ1 dζ1 1 ( e 3 × r1)ϕ1 dΓ1 + (m1l1 + m2h1)ψ 1 = 0, (3.46) d ϕ1 := dt - γn,1∇Φ1, dt ψ 1 := P2 δ1 - P2ω 1; r 2 ϕ2 + θ2((ψ 2 × r2) · e 3) = 0, -ρ2 Γ2 dζ2 2 ( e 3 × r2)ϕ2 dΓ2 + m2l2ψ 2 = 0, (3.47) d ϕ2 := dt - γn,2∇Φ2, dt ψ 2 := P2 δ2 - P2ω 2, и докажем, что из первого условия (3.45) следует, что задача (3.46) имеет лишь тривиальное решение. Подставляя выражение для ϕ1 из первого уравнения (3.46) во второе, приходим к векторному уравнению в C2: r (m1l1 + m2h1)ψ 1 + ρ1 ( e 3 × r1) · θ1((ψ 1 × r1) · e 3) dΓ1 = 0. (3.48) 1 1 Γ1 2 1 Представим ψ 1 в виде ψ 1 = ), ψ1,j e j. Тогда j=1 3 θ1((ψ 1 × r1) · e 3) = ψ1,1(θ1x2) - ψ1,2(θ1x1), r1 = '\" xj e j, 1 1 1 1 1 j=1 и из (3.48) получаем систему двух скалярных уравнений r 1 x2(ψ1,1(θ1x2) - ψ1,2(θ1x1) 1 1 1 (m1l1 + m2h1)ψ1,1 - ρ Γ1 r ) dΓ1 = 0, (3.49) (m1l1 + m2h1)ψ1,2 + ρ1 x1(ψ1,1(θ1x2) - ψ1,2(θ1x1)) dΓ1 = 0. 1 1 1 Γ1 2 Нетрудно видеть, что определитель этой однородной системы уравнений относительно ψ1,1, ψ1,2 равен Δ(1) и потому в силу первого условия (3.45) он ненулевой. Отсюда следует, что ψ 1 = 0, а потому и ϕ1 = 0. Для системы уравнений (3.47) доказательство такое же. Далее будем предполагать, что в исследуемой проблеме выполнены условия общего положения (3.45). Тогда исходная начально-краевая задача о малых колебаниях двух сочлененных маятников с полостями, частично заполненными идеальными жидкостями, будет равносильна совокупности соотношений (3.11), (3.15), тривиальным связям (см. (2.9)) dδ3 k = ω3, k = 1, 2, (3.50) dt k а также задаче Коши для системы уравнений (см. (3.29), (3.40)) dz1 0 C1 dt + A1z1 + gB12z2 = f1(t), z1(0) = z1 , dz2 0 (3.51) gC2 dt + gB21z1 = 0, z2(0) = z2 , ( \ τ τ z1 = (w 1; ∇Φ1; ω 1; w 2; ∇Φ2; ω 2\ ∈ H1, z2 = ζ1; P2 δ1; ζ2; P2 δ2 ∈ H2. Дальнейшее изучение свойств решений исходной задачи основано на изучении свойств решений задачи Коши (3.51). 4. Свойства матричных операторных коэффициентов задачи Коши. Рассмотрим дополнительные свойства оператора потенциальной энергии C2, а также операторов B12 и B21. Для оператора C2 выяснение этих свойств проводится по схеме из [16, с. 151-152]. Воспользуемся ортогональным разложением 2 2 H2 = (L2,Γ1 ⊕ C ) ⊕ (L2,Γ2 ⊕ C ) = H21 ⊕ H22, (3.52) H21 = H21,1 ⊕ H21,2, H21,k := r J(ζk ; 0)τ : Γk J k 2 ζkxj dΓk = 0, j = 1, ,k = 1, 2, (3.53) H22 = H22,1 ⊕ H22,2, H22,k := Lin (0; e 1)τ ; (0; e 2)τ ; (θkx1 ; 0)τ ; (θkx2 ; 0)τ , k k k k где Lin - обозначение линейной оболочки элементов. Лемма 3.6. Если выполнено первое условие (3.45), т. е. условие Δ(1) (1) (1) 2 (1) 1 2 = (m1l1 + m2h1 - ρ1β22 )(m1l1 + m2h1 - ρ1β11 ) - ρ2|β12 | ◦= 0, (3.54) то оператор C21 из блочно-диагонального представления (3.41) C2 = diag(C21; C22) ограниченно обратим и обладает следующими свойствами. 1◦. На подпространстве H21,1 из (3.53) оператор C21 положительно определен: r (C21z2, z2)H21 = ρ1 Γ1 |η1|2 H21 dΓ1 = ρ1 z2 2 , ∀z2 = (η1; 0)τ ∈ H21,1. (3.55) 2◦. Оператор C21 неотрицателен на подпространстве H21,2 тогда и только тогда, когда выполнены условия Δ(1) (1) (1) 1 := m1l1 + m2h1 - ρ1β11 ); 0, Δ2 ); 0, (3.56) и положительно определен, если и только если Δ(1) (1) 1 > 0, Δ2 > 0. (3.57) Аналогичные свойства имеют место для оператора C22 из (3.54). 1◦. На подпространстве H22,1 оператор C22 положительно определен: r (C22z2, z2)H2 = ρ2 Γ2 |η2|2 H22 dΓ2 = ρ2 z2 2 , ∀z2 = (η2; 0)τ ∈ H22,1. (3.58) 2◦. Оператор C22 неотрицателен на подпространстве H22,2 тогда и только тогда, когда выполнены условия Δ(2) (2) (2) 1 := m2l2 - ρ2β11 ); 0, Δ2 ); 0, (3.59) и положительно определен, если и только если Δ(2) (2) 1 > 0, Δ2 > 0. (3.60) Доказательство. То, что оператор C21 обратим, следует из определения (3.41) для оператора C2 (первый блок) и того факта, что система уравнений (3.46) (см. также (3.48), (3.49)) имеет лишь тривиальные решения при первом условии (3.45). Далее, так как оператор C21 равен сумме положительно определенного оператора diag(ρ1I1; (m1l1 + m2h1)P2), (3.61) 1 действующего в L2,Γ ⊕ C2, и конечномерного, то обратный оператор (C21)-1 ограничен. 1◦. На подпространстве H21,1 оператор C21, как легко видеть, действует по закону C21z2 = ρ1z2, откуда следует свойство (3.55). Так как C21 самосопряжен и H21,1 инвариантно для C21, то H21,2 также инвариантно для C21. 2◦. На четырехмерном подпространстве H21,2 оператор C21, очевидно, ограничен снизу. Выясним, когда он будет неотрицательным на H21,2. Представим произвольный элемент z21 = (ζ1; P2 δ1)τ из H21 в виде 1 z21 = z21,1 + z21,2, z21,1 = (ζ11; 0)τ , ζ11 = ζ1 + θ1((P2 δ1 × r1) · e 3), 1 z21,2 = (-θ1((P2ω 1 × r1) · e 3); P2 δ1)τ . (3.62) Тогда (см. (3.41)) r C21z21,1 = (0; (m1l1 + m2h1)P2 δ1 + ρ1 (θ1( e 3 × r1)) · ((P2 δ1 × r1) · e 3) dΓ1)τ , 1 1 Γ1 r Отсюда получаем, что C21z21,2 = (ρ1ζ11; -ρ1 Γ1 1 ( e 3 × r1)ζ11 dΓ1)τ . (3.63) (z21,1, C21z21,2)H21 = (C21z21,1, z21,2)H21 = 0, так как подпространства H21,1 и H21,2 инвариантны для C21, а также свойство r (C21z21, z21)H21 = (C21z21,1, z21,1)H21 + (C21z21,2, z21,2)H21 = ρ1 Γ1 |ζ11|2 dΓ1 + (C21z21,2, z21,2)H21 . Значит, C21 будет неотрицательным на H21,2 тогда и только тогда, когда при некотором c ); 0 будет выполнено неравенство H21 H21 , z ∈ H . (C21z21,2, z21,2) ); c z21,2 2 21,2 21,2 Из (3.41), (3.62), (3.63) имеем, используя определение (3.43), 2 r 1 2 2 (C21z21,2, z21,2)H21 = (m1l1 + m2h1)|P2 δ1| (1) - ρ1 Γ1 |θ1(δ1,2x1 - δ1,1x1)| (1) dΓ1 = (1) = (m1l1 + m2h1 - ρ1β22 )|δ1,1|2 + 2ρ1β12 Re(δ1,1, δ1,2)+ (m1l1 + m2h1 - ρ1β11 )|δ1,2|2, 2 1 P2 δ1 = '\" δ1,j e j. (3.64) j=1 Отсюда, используя критерий Сильвестра, получаем, что для неотрицательности оператора C21 на подпространстве H21,2, а значит и на всем пространстве H21, необходимо и достаточно выполнения условий (3.56). Соответственно для положительной определенности C21 на H21,2 требуется выполнение условий (3.57). Вторая часть доказательства леммы повторяет выкладки и рассуждения из первой части, однако теперь применительно ко второму блоку из (3.41). Поэтому она здесь не приводится. Из доказательства леммы 3.6 следует, что ранг индефинитности квадратичной формы (C2z1, z2)H2 не может превышать κ = 4, т. е. в H2 может быть не более чем четырехмерное подпространство элементов, на котором квадратичная форма принимает отрицательные значения. Определение 3.1. Будем говорить, что рассматриваемая гидромеханическая система статически устойчива по линейному приближению, если оператор C2 потенциальной энергии системы положительно определен, и тогда выполнены условия (3.57), (3.60). Формулы (3.44) и (3.56), (3.59), определяющие Δ(k) и Δ(k), k = 1, 2, показывают, что условия 1 2 статической устойчивости системы выполнены для тел достаточно большой массы с расположенными достаточно далеко от точек подвеса центрами масс этих тел-маятников. Перейдем теперь к изучению свойств операторных матриц B12 из (3.33) и B21 из (3.42). Напомним (лемма 3.3), что оператор B12 задан на области определения (3.37), он неограничен и действует из плотной в H2 области определения D(B12) на пространство H1. При этом в матричном представлении (3.33) оператора B12 все элементы-операторы, кроме V1 и V2, являются ограниченными двумерными операторами и потому D(B12) имеет вид (3.37). Так как операторы Vk : H1/2 Γk → Gh,Sk (Ωk ), k = 1, 2, замкнуты, то оператор B12 также замкнут на D(B12). Что касается матричного оператора B21 из (3.42), то он также неограничен, поскольку неограниченными являются операторы γn,k, k = 1, 2. Поэтому естественно B21 задать на области определения D(B21) = (J 0(Ω1) ⊕ D(γn,1) ⊕ C3) ⊕ (J 0(Ω2) ⊕ D(γn,1) ⊕ C3). (3.65) Здесь под γn,k понимается оператор нормального следа (см. (3.19), (3.20)), суженный на подпространство G h,Sk (Ωk ). Лемма 3.7. Задача Неймана ΔΦk = 0 (в Ωk ), ∂Φk ∂nk = 0 (на Sk ), r (3.66) ∂Φk = γ ∂nk n,k ∇Φk = ψk (на Γk ), Φk dΓk Γk = 0, имеет единственное слабое решение ∇Φk ∈ G h,Sk (Ωk ) тогда и только тогда, когда ϕk ∈ (H1/2 -1/2 Γk )∗ = H�Γk . Если ψk - любой элемент из L2,Γk , то ∇Φk ∈ D(γn,k ), т. е. ∂Φk k D(γn,k ) = {∇Φk ∈ G h,Sk (Ωk ) : γn,k ∇Φk = ∂n |Γk = ψk, ∀ψk ∈ L2,Γk }. (3.67) При этом оператор γn,k, заданный на области определения (3.67), является замкнутым неограниченным оператором, действующим из D(γn,k ) на L2,Γk . Его область определения D(γn,k ) плотна в G h,Sk (Ωk ), а элементы ∇Φk являются обобщенными решениями задачи (3.66). Доказательство. Задача (3.66) достаточно подробно изучена в произвольной области Ω ⊂ Rm с липшицевой границей ∂Ω, разбитой на липшицевы куски S и Γ (см., например, [16, с. 137-138], а также [19, 20]). При ее исследовании используют обобщенную формулу Грина для оператора Лапласа в следующем виде: r H˘ 1 (η, Φ) := Γ(Ω) Ω ∇η · ∇Φ dΩ = η, -ΔΦ≡L2(Ω) + γη, ∂Φ ∂n ≡L2(Γ) + γη, 1 ˘ ∂Φ ∂n ≡L2(S), η, Φ ∈ HΓ(Ω). (3.68) Γ Здесь H˘ 1(Ω) - пространство с квадратом нормы η H˘ 1 2 := r Γ(Ω) Ω |∇η|2 dΩ, 1/2 r η dΓ = 0, Γ 1/2 γη := η|∂Ω, (γη)|Γ ∈ HΓ , (γη)|S ∈ HS , ∂Φ 1/2 ∂Φ -1/2 ∂Φ -1/2 1 ∗ ∂n ∈ H- (∂Ω), ∂n Γ ∈ H�Γ , ∂n S ∈ H�S , -ΔΦ ∈ (H˘Γ(Ω)) , а косыми скобками обозначено значение функционала из сопряженного пространства (второй сомножитель) на элементе из основного пространства (первый сомножитель). В частности, для задачи (3.66) слабое решение определяется посредством тождества ˘ 1 H˘ 1 (η, Φ) Γ(Ω) а обобщенное решение - тождеством H˘ 1 (η, Φ) Γ(Ω) = γη, ψk ≡L2,Γk ∀ηk ∈ HΓk 2,Γk Γ k = (γη, ψk )L ∀ηk ∈ H˘ 1 (Ωk ), (3.69) (Ωk ). (3.70) Отсюда и следуют утверждения леммы. В частности, ∇Φk = (γn,k )-1ψk, и оператор (γn,k )-1 для обобщенных решений ограниченно действует из L2,Γk в G h,Sk (Ωk ). Следующее свойство оказывается весьма важным в исследуемой проблеме. Лемма 3.8. Операторы 1/2 Vk : D(Vk ) = HΓk ⊂ L2,Γk → Gh,Sk (Ωk ) и γn,k : D(γn,k ) ⊂ G h,Sk (Ωk ) → L2,Γk , k = 1, 2, см. (3.24), (3.19), (3.20), взаимно сопряжены: (Vkζk, ∇Φk )L-2(Ωk ) = (ζk, γn,k ∇Φk )L2,Γk ∀ζk ∈ D(Vk ), ∀∇Φk ∈ D(γn,k ), k = 1, 2. H1/2 Доказательство. Для вспомогательной задачи Зарембы (3.22)-(3.24) с заданной функцией ζk ∈ Γk и ∇Φk ∈ D(γn,k ) имеем в силу (3.70), (3.66) r pk · ∇Φk dΩk = (pk, Φk )H˘ 1 (Ωk ) = (ζk, ψk )L2,Γk = (ζk, γn,k ∇Φk )L2,Γk . (Vkζk, ∇Φk )L-2(Ωk ) = ∇� Ωk � Γk Опираясь на лемму 3.8, теперь легко установить следующее основное свойство операторных матриц B12 и B21. Лемма 3.9. Операторы B12 и B21, заданные формулами (3.33), (3.42) на областях опреде- 12 ления (3.37) и (3.65) соответственно, являются кососамосопряженными: B∗ = -B21, т. е. (B12z2, z1)H1 = -(z2, B21z1)H2 ∀z1 ∈ D(B21), ∀z2 ∈ D(B12). (3.71) Доказательство. Напомним, что B12 и B21 имеют блочно-диагональный вид, B12 = diag(B12,1; B12,2), B21 = diag(B21,1; B21,2), (3.72) и проверим свойство (3.71) на соответствующих элементах этих блоков. Пусть z1,1 = (w 1; ∇Φ1; Тогда для ∇Ψ1 = V1ζ1 имеем: ω1)τ ∈ D(B21,1), z2,1 = (ζ1; P2 δ1)τ ∈ D(B12,1). r ρ1 (V1ζ1) · ∇Φ1 dΩ1 = ρ1 Ω1 r ∇Ψ1 · ∇Φ1 dΩ1, Ω1 -ρ1 r r ζ1(γn,1∇Φ1) dΓ1 = -ρ1 Γ1 Γ1 1 ∂n 1 1 Ψ ∂Φ1 dΓ = -ρ r ∇Ψ1 · ∇Φ1 dΩ1, Ω1 т. е. для выбранных операторных элементов из (3.33) и (3.42) свойство кососамосопряженности выполнено. 1 Аналогично для ∇Ψ1 = V1(θ1((P2 δ1 × r1) · e 3)) получаем r -ρ1 Γ1 r 1 ( e 3 × r1)ζ1 dΓ1 · ω 1 = -ρ1 Γ1 1 ( e 3 × r1)ζ1 · ω 1 dΓ1 = = ρ1 r r 1 ( r1 × e 3) · ω 1ζ1 dΓ1 = ρ1 Γ1 r 1 (ω 1 × r1) · e 3ζ1 dΓ1, Γ1 r Далее имеем также -ρ1 Γ1 1 θ1((ω 1 × r1) · e 3)ζ1 dΓ1 = -ρ1 Γ1 1 (ω 1 × r1) · e 3ζ1 dΓ1. r 1 ρ1 (V1((P2 δ1 × r1) · e 3)) · ∇Φ1 dΩ1 = ρ1 Ω1 r ∇Ψ1 · ∇Φ1 dΩ1, Ω1 r r 1 ρ1 ( e 3 × r1)γn,1∇Φ1 dΓ1 · P2 δ1 = ρ1 Γ1 Γ1 1 (( e 3 × r1) · P2 δ1) ∂Φ1 ∂n dΓ1 = = -ρ1 r 1 (θ1(P2 δ1 × r1) · e 3) Γ1 ∂Φ1 ∂n dΓ1 = -ρ1 r ∇Φ1 · ∇Ψ1 dΩ1. Ω1 Из приведенных тождеств следует, что B∗ 12,1 = -B21,1. 12,2 Свойство B∗ = -B21,2 аналогично проверяется на элементах z1,2 = (w 2; ∇Φ2; ω2)τ ∈ D(B21,2), z2,2 = (ζ2; P2 δ2)τ ∈ D(B12,2). Итогом рассмотрения свойств операторных матриц изучаемой задачи является следующее утверждение. k Теорема 3.1. Исходная задача о малых колебаниях двух сочлененных маятников с полостями, частично заполненными идеальными жидкостями, равносильна, после отделения тривиальных соотношений (3.12), (3.15), (2.9) (для δ3), задаче Коши dz C + Az + gBz = f (t), z(0) = z0, f (t) = (f1(t); 0)τ , (3.73) dt в гильбертовом пространстве H = H1 ⊕ H2, где C = diag(C1; gC2) = C∗ ∈ L(H) (3.74) § оператор полной энергии гимдромеханической системы, B = 0 B12\ B21 0 = -B ∗, D(B) = D(B21) ⊕ D(B12), (3.75) § оператор обмена между кинетической и потенциальной энергиями, 0 � A = diag(A1; 0) ∈ L(H) (3.76) § оператор диссипации энергии, учитывающий трение в шарнирах. Если выполнено условие (3.45), то оператор C ограниченно обратим, а если система статически устойчива по линейному приближению (C2 » 0), т. е. выполнены условия (3.60), то оператор C положительно определен. 4. ТЕОРЕМА ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 1. О разрешимости задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения. В этом разделе доказывается теорема об однозначной разрешимости задачи Коши (3.73)-(3.76), а на ее основе - теорема существования и единственности сильного решения исходной начально-краевой гидромеханической задачи. Перейдем к исследованию задачи Коши (3.73) как в случае статической устойчивости по линейному приближению, так и при ее отсутствии. Определение 4.1. Сильным решением задачи Коши (3.73) на отрезке [0; T ] назовем такую функцию z(t) со значениями в H, для которой выполнены следующие условия. 1◦. При любом t ∈ [0; T ] элемент z(t) ∈ D(B) = D(B21) ⊕ D(B12) и функция Bz(t) непрерывна по t, т. е. Bz(t) ∈ C([0; T ]; H). 2◦. Функция dz/dt непрерывна по t, т. е. z(t) ∈ C1([0; T ]; H). 3◦. При любом t ∈ [0; T ] выполнено уравнение (3.73), а также выполнено начальное условие. Заметим, что необходимыми условиями существования сильного решения задачи (3.73) на отрезке на отрезке [0; T ] являются условия z0 ∈ D(B), f (t) ∈ C([0; T ]; H). (4.1) Теорема 4.1. Пусть для исследуемой гидромеханической системы выполнены условия (3.57), (3.60) статической устойчивости по линейному приближению, а также условия z0 ∈ D(B), f (t) ∈ C1([0; T ]; H). (4.2) Тогда задача (3.73) имеет единственное сильное решение на отрезке [0; T ]. Доказательство. В силу условий теоремы оператор C полной энергии ограничен и положительно определен (леммы 3.1, 3.4, 3.6) и поэтому имеет ограниченный обратный положительно определенный оператор C-1. Поэтому задача (3.73) равносильна задаче Коши dz - - = C-1Az gC-1Bz + C-1f (t), z(0) = z0. (4.3) dt Для ее исследования введем в рассмотрение гильбертово пространство HC со скалярным произведением (u, v)C := (Cu, v)H = (C 1/2 u, C 1/2 v)H, u, v ∈ H, (4.4) и нормой, эквивалентной норме пространства H. В новом скалярном произведении оператор C-1B определен на множестве D(C-1B) = D(B) ⊂ HC = H (4.5) и обладает свойством кососамосопряженности. В самом деле, при любых u и v из D(B) имеем H (C-1Bu, v)C = (Bu, v) = (u, B∗v)H = -(u, Bv)H H = -(Cu, C-1Bv) = -(u, C-1Bv)C . (4.6) Отсюда следует (см. [21, с. 110-112]), что оператор C-1B является консервативным оператором, т. е. Re(C-1Bz, z)C = 0 ∀z ∈ D(B), (4.7) и потому - генератором группы унитарных операторов U (t) := exp(-tC-1B), действующих в HC. Далее, аналогично устанавливаем, что оператор C-1A является (конечномерным) ограниченным неотрицательным оператором, действующим в HC. Отсюда следует, что оператор -C-1(A + gB) является генератором сжимающей полугруппы операторов V (t) = exp(-tC-1(A + gB)), (4.8) действующей в HC. Если выполнены условия (4.2), то z0 ∈ D(C-1(A + gB)), C-1f (t) ∈ C1([0; T ]; HC ), и потому (см. [21, c. 166]) задача Коши (4.3) имеет единственное сильное решение t r z(t) = V (t)z0 + 0 Отсюда и следует утверждение теоремы. V (t - s)z(s) ds. (4.9) Следствием теоремы 4.1 является такой факт: для сильного решения z(t) задачи (3.73) выполнен закон баланса полной энергии (в дифференциальной форме): 1. d 2. dt (Cz(t), z(t))H = -(Az, z)H + Re(f (t), z(t))H. (4.10) Рассмотрим теперь ситуацию, когда гидромеханическая система не является статически устойчивой по линейному приближению, и для нее выполнены лишь условия (3.45). Теорема 4.2. Пусть выполнены условия (3.45) и условия (4.2). Тогда задача (3.73) имеет единственное сильное решение на отрезке [0; T ]. Доказательство. Если выполнены условия (3.45), то согласно леммам 3.1, 3.4, 3.5, 3.6 оператор C = C∗ ограничен, обратим, причем его квадратичная форма может быть индефинитной и иметь не более четырех отрицательных квадратов. Поэтому C допускает представление C = Jκ|C| = |C|1/2Jκ|C|1/2 = |C|Jκ , Jκ = J ∗ = J -1, |C| = (C2)1/2 » 0, (4.11) κ κ где κ - ранг индефинитности оператора канонической симметрии Jκ , причем 1 � κ � 4. Применяя к обеим частям (3.73) оператор C-1 = Jκ|C|-1, приходим к задаче Коши dz dt = -Jκ|C|-1Az - gJκ|C|-1Bz + Jκ|C|-1f (t), z(0) = z0. (4.12) Введем, как и выше, энергетическое пространство H|C| с дефинитным скалярным произведением (u, v)|C| := (|C|u, v)H = (|C| 1/2 u, |C| 1/2 v)H (4.13) и нормой, эквивалентной норме пространства H, а также пространство Л. С. Понтрягина Πκ с индефинитным скалярным произведением [u, v] := (Jκ u, v)|C| = (|C|Jκ u, v)H = (Jκ|C| 1/2 u, |C| 1/2 v)H. (4.14) В скалярном произведении (4.14) оператор Jκ|C|-1B, заданный на области определения D(B), является Jκ-кососамосопряженным, т. е. выполнено свойство [Jκ|C|-1Bu, v] = -[u, Jκ|C|-1Bv] ∀u, v ∈ D(B). (4.15) В самом деле, [Jκ|C|-1Bu, v] = (|C|-1Bu, v) |C| = (Bu, v)H = H |C| κ = -(u, Bv) = -(u, |C|-1Bv) = -[u, J |C|-1 Bv]. Поэтому, как следует из работы [25] (см. также [3]), пространство Πκ допускает Jκ-ортогональное разложение на два подпространства, инвариантные относительно Jκ|C|-1B: Πκ = Π+[⊕]Π-, dim Π+ = ∞, dim Π- = 2κ. (4.16) При этом сужение оператора Jκ|C|-1B на Π+ является кососамосопряженным оператором (и потому удовлетворяет построениям, проведенным в теореме 4.1), а Π- не более чем 2κ-мерно. Учитывая эти факты, будем разыскивать решение задачи (4.12) в виде τ z = (z+; z-) , z+ ∈ D((Jκ|C|-1 B) Π+ ) ⊂ Π+, z- ∈ Π-, и подействуем ортопроекторами P+ и P-, Jκ = P+ - P-, на обе части уравнения (4.12). Тогда возникает задача Коши для системы дифференциальных уравнений dz+ = -P (J |C|-1A) z - P (J |C|-1A) z - dt + κ - + + κ - Π+ Π Π - gP+(Jκ|C|-1B) + + z+ + P+(Jκ|C|-1f (t)), z+(0) = z0 = P+z0, (4.17) dz- = -P (J |C|-1A) z - P (J |C|-1A) z - Π dt - κ - - Π + - κ + 1 1 0 0 Π - gP-(Jκ|C|- B) - z- + P-(Jκ|C|- f (t)), z-(0) = z- = P-z , (4.18) Так как Π- не более чем конечномерно (2κ-мерно), то из (4.18) можно выразить z-(t) через z+(t): 1 0 Π z-(t) = exp(-tP-(Jκ|C|- A) - t )z + - r 1 г 1 1 l Π + exp(-(t - s)P-(Jκ|C|- A) ) - 0 Π -P-(Jκ|C|- A) + z+(s)+ P-(Jκ|C|- f (s)) ds. (4.19) Подставляя это решение в (4.17), придем к задаче Коши для интегро-дифференциального уравнения первого порядка следующего вида: t dz+ = A z r + G(t, s)A z 2. ds + f (t), z (0) = z0 = P z0, (4.20) dt 0 + 0 1 + + + + + Π A0 := -gP+(Jκ|C|-1B) + Π - P+(Jκ|C|-1A) ; + Π G(t, s)A1 := -P+(Jκ|C|-1A) - | | | | exp(-(t - s)(P- (Jκ C -1A) - Π ))(P- (Jκ C -1A) ), Π+ κ Π f+(t) := -P+(J |C|-1A) - t J exp(-tP- (Jκ | |-1 C A) - Π )z0 + - r 1 1 -1 Π + exp(-(t - s)P-(Jκ|C|- A) - 0 )P-(Jκ|C|- f (s))ds + P+(Jκ|C| f (t)). Здесь в силу установленного выше, оператор A0 является генератором сжимающей полугруппы в Π+, а оператор A1 ограничен. Опираясь на эти факты, воспользуемся следующим утверждением о разрешимости задачи Коши для интегродифференциального уравнения первого порядка (см., например, [18, теорема 1.3.2]). Если оператор A0 является генератором C0-полугруппы, D(A0) ⊂ D(A1), оператор-функция G(t, s) непрерывна и непрерывно дифференцируема по t в треугольнике + 0 � s � t � T, то при выполнении условий z0 ∈ D(A0), f+(t) ∈ C1([0; T ]; Π+) уравнение (4.20) имеет сильное решение на отрезке [0; T ]. Нетрудно видеть, что при выполнении условий (4.2) выполнены условия разрешимости задачи (4.20), приведенные выше. Поэтому задача (4.20), а вместе с ней и исходная задача (4.12) имеют сильное решение на отрезке [0; T ]. Отсюда и следует утверждение теоремы. Замечание 4.1. Если трение в шарнирах отсутствует, то оператор A в (4.12) нулевой, и задача (4.17), (4.18) распадается на две независимые задачи Коши, каждая из которых при выполнении условий (4.2) имеет сильное решение. При этом в приведенных выше формулах везде следует положить A = 0. 1. О разрешимости начально-краевой задачи о малых движениях гидромеханической системы. Установленные выше общие теоремы позволяют доказать теорему о существовании и единственности решений исходной начально-краевой задачи (2.1), (2.5)-(2.12). Определение 4.2. Будем говорить, что задача (2.1), (2.5)-(2.12) имеет сильное по переменной t решение на отрезке [0; T ], если выполнены следующие условия. k 1◦. Функции uk (t, x) ∈ C1([0; T ]; J 0,S C1([0; T ]; C3). (Ωk )), функции ∇pk (t, x) ∈ C1([0; T ]; G (Ωk )), а ω(t) ∈ k 2◦. Функции ζk (t, x1, x2) ∈ C1([0; T ]; L2,Γ ), (x1, x2) ∈ Γk, а δk (t) ∈ C2([0; T ]; C3). 3◦. При любом t ∈ [0; T ] выполнены первые уравнения Эйлера (2.6) и (2.7), где слагаемые непрерывны по t со значениями в L 2(Ωk ) соответственно; выполнены соотношения (2.10), 1/2 Γ где слагаемые из C1([0; T ]; H k ); выполнены кинематические условия для ζk из (2.9), где k слагаемые из C1([0; T ]; L2,Γ C1([0; T ]; C3). ), а также кинематические условия для δk, где слагаемые из 4◦. При любом t ∈ [0; T ] выполнены уравнения (2.1), (2.5), где слагаемые-элементы из C([0; T ]; C3). 5◦. Выполнены начальные условия (2.12). Подведем теперь итог изучения исходной начально-краевой задачи. Теорема 4.3. Пусть выполнены условия u0 ∈ J 0,S (Ωk ), Ph,S u0 =: ∇Φ0 ∈ G h,S (Ωk ) : ∂Φ0 k ∈ L2,Γ , k k k k k k ζ0 1/2 0 3 0 3 1 ∂nk Γk k (4.21) k ∈ HΓk , ωk ∈ C , δk ∈ C , fk (t, x) ∈ C ([0; T ]; L2(Ωk )), k = 1, 2. Тогда начально-краевая задача (2.1), (2.5)-(2.12) о малых движениях двух сочлененных маятников с полостями, частично заполненными тяжелой однородной идеальной жидкостью, имеет единственное сильное по t решение на отрезке [0; T ]. Для этого решения выполнен закон баланса полной энергии в форме (2.20), где все слагаемые являются непрерывными функциями переменной t. Доказательство. Если выполнены условия (4.21), то в задаче Коши (3.73)-(3.76) выполнены условия z0 = (z0; z0)τ = (w 0; ∇Φ0; ω 0; w 0; ∇Φ0; ω0)τ ∈ D(B21) ⊕ D(B11) = D(B), 1 2 1 1 1 2 2 2 1 f (t) = (f1(t); 0)τ = (ρ1P0,1f 1; ρ1Ph,S f 1; M 1; 0; 0; ρ2P0,2f 2; ρ2Ph,S2 f 2; M 2; 0; 0)τ ∈ ∈ C1([0; T ]; H1 ⊕ H2) = C1([0; T ]; H), (4.22) см. (3.26), (3.28), (3.33), (3.51), (3.37), (3.65), (3.67), (3.75). Поэтому по теореме 4.1 (либо 4.2) задача Коши (3.73)-(3.76) имеет единственное сильное решение на отрезке [0; T ], т. е. выполнены уравнения системы (3.51), где каждое слагаемое является непрерывной функцией t со значениями в H1 и H2 соответственно. Отсюда следует, что выполнены уравнения (3.39) с теми же свойствами решений. Далее по лемме 3.5 в силу (3.45) приходим к условиям (3.38), где в первом соотношении (при выбранном k) все слагаемые из C([0; T ]; L2,Γk ), а во втором - из pk C([0; T ]; C2). Теперь из (3.26) получаем, что ∇ � ∈ C1([0; T ]; G h,Sk (Ωk )), а также выполнены уравнения (3.13), (3.14), (3.16), (3.17), где все слагаемые - непрерывные функции t со значениями в соответствующих пространствах. Определяя еще ∇ϕk из (3.12), (3.15) и d δ3/dt из (2.9), приходим к выводу, что k ∇ϕk ∈ C1([0; T ]; G h,S Поэтому из (3.11) имеем (Ωk )), δ3(t) ∈ C1([0; T ]; C). � ∇pk = ∇pk + ∇ϕk ∈ C1([0; T ]; G (Ωk )), а из (3.12)-(3.14), (3.15)-(3.17) получаем, что выполнены первые уравнения (2.6), (2.7), где все слагаемые - из C([0; T ]; L 2(Ωk )), а также кинематические соотношения (2.9), причем в соотноше- Γk нии для ζk слагаемые из C1([0; T ]; H1/2), а для P2 δk -в C1([0; T ]; C2). Наконец, выполнены также соотношения (2.1), (2.5), где все слагаемые из C([0; T ]; C3), и начальные условия (2.12). Таким образом, задача (2.1), (2.5)-(2.12) имеет сильное решение на отрезке [0; T ]. Для него выполнен закон баланса полной энергии в виде (2.20). Доказательство этого факта повторяет соответствующие выкладки из пункта 2.2. Замечание 4.2. В качестве следствия из теоремы 4.3 отметим такой факт. Если выполнены условия k k u0 ∈ J 0,S (Ωk ) = J 0(Ωk ) ⊕ G h,Sk k k (Ωk ), ζ0 ∈ L2,Γ , k ω0 ∈ C3, δk ∈ C3, f k (t, x) ∈ C([0; T ]; L 2(Ωk )), (4.23) то задача (2.1), (2.5)-(2.12) имеет обобщенное решение с непрерывной полной энергией: для этого решения выполнен закон баланса полной энергии в форме 1 r r ρ01 r |ω 1 × r1|2 dΩ01 + ρ1 r |ω 1 × r1 + u1|2 dΩ1 + ρ02 |ω 1 × h1 + ω 2 × r2|2 dΩ02+ 2 Ω01 1 2 Ω1 r + ρ2 Ω2 r ( Ω02 |ω 1 × h1 + ω 2 × r2 + u2|2 dΩ2 + \ + g '\" ρk |ζk + θk ((P2 δk × rk ) · e 3)|2 - |θk ((P2 δk × rk ) · e 3)|2 dΓk + 2 k k k=1 Γk 1 r 2 + (m1l1 + m2h1)|P2 δ1|2 + m2l2|P2 δ2|2 = 1 r r = ρ01 r |ω 0 × r1|2 dΩ01 + ρ1 r |ω 0 × r1 + u0|2 dΩ1 + ρ02 |ω 0 × h1 + ω 0 × r2|2 dΩ02+ 2 1 Ω01 1 1 1 2 Ω1 Ω02 r + ρ2 |ω 0 × h1 + ω 0 × r2 + u0|2 dΩ2 + 1 r (m1l1 + m2h1)|P2 δ0|2 + m2l2|P2δ 0|2 + 1 2 2 2 1 2 Ω2 1 2 r ( \ + g '\" ρk |ζ0 + θk ((P2 δ0 × rk ) · e 3)|2 - |θk ((P2 δ0 × rk ) · e 3)|2 dΓk = 2 k k=1 Γk t r ( \ k k 2 rt k k t 2 r ( r = - α1|ω 1|2 + α2|ω 2 - ω 1|2 0 dt + '\" k=1 0 (M k (t) · ω k ) dt + '\" ρk k=1 0 f k · uk dΩk \ dt. (4.24) Ωk В самом деле, для сильных решений соотношение (4.24) есть следствие тождества (2.20), а для обобщенных оно получается предельным переходом в процессе, когда от условий (4.2) по замыканию переходим к условиям (4.23). 1. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В этом разделе рассматривается задача о собственных колебаниях сочлененных маятников с полостями, частично заполненными однородной идеальной жидкостью, в случае, когда отсутствует трение в шарнирах и потому система становится консервативной. Исследуются свойства спектра и системы собственных функций задачи как при условии статической устойчивости по линейному приближению, так и при отсутствии этого условия. 1. Случай нулевого собственного значения. Рассмотрим решения однородной задачи (3.73) при A = 0, зависящие от t по закону z(t) = eiλtz, z ∈ H, (5.1) где λ - частота колебаний гидромеханической системы, а z = (z1; z2)τ - амплитудный элемент. Для элементов z1, z2 с учетом формул (3.74), (3.75) приходим к системе уравнений gB12z2 + iλC1z1 = 0, gB21z1 + iλgC2z2 = 0, (5.2) z1 = (w 1; ∇Φ1; ω 1; w 2; ∇Φ2; ω2)τ , z2 = (ζ1; P2 δ1; ζ2; P2 δ2)τ . Отметим предварительно, что операторные блоки B12, B22 и C2 обладают следующими свойствами: B12 = diag(B12,1; B12,2), B21 = diag(B21,1; B21,2), B12,k = 0 0 \ 0 , B21,k = \ B21,k , k = 1, 2, (5.3) B�12,k 0 � B�12,1 = B�12,2 = 1 / ρ1V1(.. .) ρ1V1(θ1((.. .) × r1) · e 3)\ 1 -ρ1 { ( e 3 × r1)(.. .) dΓ1 (m1l1 + m2h1)P2(.. .) , Γ1 2 / ρ2V2(.. .) ρ2V2(θ2((.. .) × r2) · e 3)\ 2 -ρ2 { ( e 3 × r2)(.. .) dΓ2 m2l2P2 , (5.4) B�21,1 = B�21,2 = Γ2 1 / -ρ1γn,1(.. .) -ρ1θ1(((.. .) × r1) · e 3)\ 1 ρ1 { ( e 3 × r1)γn,1(.. .) dΓ1 -(m1l1 + m2h1)P2(.. .) , Γ1 2 / -ρ2γn,2(.. .) -ρ2θ2(((.. .) × r2) · e 3)\ 2 ρ2 { ( e 3 × r2)γn,2(.. .) dΓ2 -m2l2P2 , (5.5) Γ2 C21 = C22 = C2 = diag(C21; C22), 1 / ρ1I1 ρ1θ1(((.. .) × r1) · e 3)\ 1 -ρ1 { ( e 3 × r1)(.. .) dΓ1 (m1l1 + m2h1)P2 , Γ1 2 / ρ2I2 ρ2θ2(((.. .) × r2) · e 3)\ 2 -ρ2 { ( e 3 × r2)(.. .) dΓ2 m2l2P2 , γ γ B�21,1 = -C21�n,1, B�21,2 = -C22�n,2, (5.6) Γ2 γn,1 n,1 2 γn,2 n,2 2 � := diag(γ ; P ), � := diag(γ ; P ), B�12,1 = V�1C21, B�12,2 = V�2C22, (5.7) V�1 = diag(V1; I1), V�2 = diag(V2; I1). Эти формулы непосредственно следуют из определений (3.33), (3.41), (3.42) операторных матриц B12, B21 и C1. Лемма 5.1. Спектральная задача (5.2) имеет бесконечнократное нулевое собственное значение, которому отвечают решения вида z1 = (w 1; 0; 0; w 2; 0; 0)τ , z2 = (ζ1; P2 δ1; ζ2; P2 δ2)τ = 0 ∀w k ∈ J 0(Ωk ), ∀δ3, δ3 ∈ C. (5.8) 1 2 Доказательство. Напомним сначала, что в исследуемой проблеме имеется еще тривиальная связь (3.50), которая в спектральной задаче дает соотношение w3 3 k = iλδk, k = 1, 2. (5.9) Полагая теперь в (5.2) λ = 0, получаем B12z2 = 0, B21z1 = 0. (5.10) Здесь первое соотношение в силу (5.3) приводит к условию B�12z2 = 0, а поэтому, в силу (5.7) и обратимости операторов V�k и C2 (см. начало пункта 3.3 и лемм 3.5, 3.6), z2 = 0. Второе соотношение (5.10) с использованием свойств (5.5), (5.6) дает уравнения γn,kz1,k z1,k k k τ отсюда заключаем, что -C2k � � = 0, � = (∇Φ ; ω ) , (5.11) ∇Φk = 0, P2ωk = 0, k = 1, 2. k Наконец, из (5.9) при λ = 0 получаем, что ω3 = 0. Отсюда и следуют свойства (5.8) для решений, отвечающих λ = 0. Замечание 5.1. Решениям вида (5.8) отвечают стационарные по времени движения идеальной жидкости в каждой полости маятников без отклонения свободных поверхностей Γk. При этом тела остаются неподвижными, т. е. маятники с полостями не покачиваются. 2. Собственные колебания при условиях статической устойчивости. Рассмотрим теперь в задаче (5.2) случай λ ◦= 0 в предположении, что выполнены условия (3.57), (3.60) статической устойчивости по линейному приближению. Первое уравнение (5.2) с учетом (5.7) и формулы (3.30) приводит к соотношению w k = -P0,k (ω k × rk ), k = 1, 2, (5.12) а также связи z1,k gV�k C2kz2,k + iλC�1k � = 0, k = 1, 2, (5.13) k ⎛ ρk ∇Φk + ρk Ph,S (ωk × rk ) ⎞ z = , (5.14) C�1k �1,k ⎝ρk { ( rk × ∇Φk ) dΩk + (Jt,k + Jpr,k )ω k ⎠ Ωk где уже учтены соотношения (5.12) и определения присоединенных элементов инерции (см., например, [16, с. 141-143]): r J k ω k - ρk Ωk r ( rk × P0,k (ω k × rk )) dΩk = (J t,k + J pr,k )ω k - ρk Ωk ( rk × P0,k (ω k × rk )) dΩk = r = J t,k ω k + ρk Ωk r ( rk × (ω k × rk )) dΩk - ρk Ωk r ( rk × P0,k (ω k × rk )) dΩk = = J t,k ω k + ρk Ωk ( rk × (Ik - P0,k )(ω k × rk )) dΩk = (J t,k + J pr,k )ω k. (5.15) Здесь J t,k - момент инерции для k-го тела, а J pr,k - присоединенный момент инерции для k-й жидкости. Второе уравнение (5.2) с учетом (5.5), (5.6) приводит к уравнению � � = iλz , k = 1, 2, (5.16) γn,kz1,k 2k так как C2 = diag(C21; C22) обратим. Таким образом, при λ ◦= 0 следует рассматривать систему уравнений (5.13), (5.16). Лемма 5.2. Операторная матрица C�1 = diag(C�1,1; C�1,2) (см. (5.14)) является ограниченным положительно определенным оператором, действующим в пространстве H�1 := (G h,S1 (Ω1) ⊕ C ) ⊕ (G h,S (Ω2) ⊕ C ) =: H�1,1 ⊕ H�1,2. (5.17) 3 3 2 Доказательство. Напомним, что операторная матрица C1 согласно лемме 3.1 является положительно определенным оператором, действующим в H1 = (J 0(Ω1) ⊕ H�1,1) ⊕ (J 0(Ω2) ⊕ H�1,2). Однако можно непосредственно проверить, что � z1, z1) H�1 , z1 = (w 1; ∇Φ1; ω 1; w 2; ∇Φ2; ω2)τ , (5.18) если w k и ω k связаны соотношениями (5.12). Поэтому 2 2 2 z1 2 2 H�1 1 H1 � (C�1 � z1) ); c z ); c � H1 , c > 0. Замечание 5.2. Для проверки тождества (5.18) воспользуемся формулой (3.35) при связи (5.12). Тогда ⎡ r (C1z1, z1)H1 = ⎣ρ1 |∇Φ1 + (I1 - P0,1)(ω 1 × r1)|2 r dΩ1 + ρ01 |ω 1 × r1|2 ⎤ dΩ01⎦ + Ω1 ⎡ r r Ω01 ⎤ ⎣ρ2 Ω2 |ω 1 × h1 + ∇Φ2 + (I2 - P0,2)(ω 2 × r2)|2 dΩ1 + ρ02 Ω02 |ω 1 × h1 + ω 2 × r2|2 dΩ02⎦ . (5.19) Далее, из (5.14) при k = 1 имеем, используя также свойство (5.15), (C�1,1 �1,1 r z1,1) = ρ1 H�1,1 Ω1 |∇Φ1|2 r dΩ1 + ρ1 Ω1 (Ph,S1 (ω 1 × r1)) · ∇Φ1 dΩ1+ r +ρ1 r ( r1 × ∇Φ1) · ω 1 dΩ1 + ((J t,1 + J pr,1)ω 1) · ω 1 = ρ01 |ω 1 × r1|2 dΩ01+ Ω1 Ω01 r +ρ1 Ω1 1 l|∇Φ1|2 + 2Re(∇Φ1 · (Ph,S (ω 1 × r1))) + ((I1 - P0,1)(ω 1 × r1)) · (ω 1 × r1)|2l dΩ1 = r = ρ01 r |ω 1 × r1|2 dΩ01 + ρ1 |∇Φ1 + (I1 - P0,1)(ω 1 × r1)|2 dΩ1, Ω01 Ω1 т. е. первую группу слагаемых в (5.19). Аналогично проверяем (C�1,2 �1,2 r z1,2) = ρ2 H�1,2 |ω 1 × h1 + ∇Φ2 + (I2 - P0,2)(ω 2 × r2)|2 r dΩ2 + ρ02 |ω 1 × h1 + ω 2 × r2|2 dΩ02, Ω2 и потому тождество (5.18) имеет место. Ω02 Возвращаясь к системе уравнений (5.13), (5.16), исключим в них переменную z2 = (z2,1; z2,2)τ (при λ ◦= 0). Это дает уравнение V� C2� � z1 = μC�1z1, μ := λ2/g, (5.20) γn V� := diag(V�1; V�2), � γn,1 := diag(� ; � γn,2 ). (5.21) Здесь V� и � γn, в силу леммы 3.8, - это неограниченные взаимно сопряженные операторы, а C2 и C�1, согласно леммам 3.7 и 5.2, - ограниченные положительно определенные операторы, так как выполнены условия (3.57), (3.60). z1 Из (5.20) следует, что по решению � число μ можно найти по формуле � γnz1)H2 μ = � z1, z1) H�1 , (5.22) где знаменатель вычисляется по формуле (5.19), а числитель - по формуле (2.20), т. е. (C2� r r � z1, z1)H2 = ρ1 Γ1 ∂Φ1 | ∂n1 1 + θ1((P2ω 1 × r1) · e 3)|2 r dΓ1 - Γ1 3 |θ1((P2ω 1 × r1) · e1 )|2 + dΓ1 ⎡r +ρ2 ⎣ Γ2 ∂Φ2 | ∂n2 2 + θ2((P2ω 2 × r2) · e 3)|2 r dΓ2 - Γ2 3 |θ2((P2ω 2 × r2) · e2 )|2 ⎤ dΓ2⎦ + +(m1ll + m2h1)|P2ω 1|2 + m2l2|P2ω 2|2. (5.23) Введем еще в рассмотрение потенциальные поля и соответствующие потенциалы Н. Е. Жуковского ψk,j, j = 1, 2, 3, k = 1, 2 (см. [13]). Так как div(ω k × rk ) = 0, то поле ∇ψk = (Ik -P0,k )(ω k × rk ) находится с помощью решения задачи Тогда Δψk = 0 (в Ωk ), ∂ψk ∂nk = (ω k × rk ) · nk (на ∂Ωk ). (5.24) 3 P0,k (ω k × rk ) = ω k × rk - ∇ψk, ∇ψk = '\" ωk,j ∇ψk,j, (5.25) j=1 Δψk,j = 0 (в Ωk ), ∂ψk,j ∂nk k = ( ej × rk ) · nk (на ∂Ωk ), j = 1, 2, 3, k = 1, 2. (5.26) Решение каждой из задач (5.26) зависит лишь от формы области Ωk, заполненной жидкостью. С помощью потенциалов Жуковского квадратичная форма оператора C�1 представляется в виде (см. (5.19)) (C�1 � r 1 1 z1) = ρ H� |∇Φ1 + 3 '\" ω1,j ∇ψ1,j |2 r dΩ1 + ρ01 |ω 1 × r1|2 dΩ01+ Ω1 j=1 r 3 Ω01 r +ρ2 |ω 1 × h1 + ∇Φ2 + '\" ω2,j ∇ψ2,j |2 dΩ2 + ρ02 |ω 1 × h1 + ω 2 × r2|2 dΩ02, (5.27) Ω2 j=1 Ω02 поэтому соотношение (5.22) принимает форму ⎡r μ = Jρ1 ⎣ 1 2 1 1 1 r | ∂Φ1 + θ ((P ω × r ) · e 3)|2 dΓ - ⎤ |θ1((P2ω 1 × r1) · e 3)|2 dΓ1⎦ + ∂n1 1 1 Γ1 Γ1 ⎡r +ρ2 ⎣ Γ2 ∂Φ2 | ∂n2 2 + θ2((P2ω 2 × r2) · e 3)|2 r dΓ2 - Γ2 r 3 |θ2((P2ω 2 × r2) · e2 )|2 3 ⎤ dΓ2⎦ + +(m1ll + m2h1)|P2ω 1|2 + m2l2|P2ω 2|2 / Jρ1 Ω1 |∇Φ1 + '\" ω1,j ∇ψ1,j |2 dΩ1+ j=1 r +ρ01 r |ω 1 × r1|2 dΩ01 + ρ2 3 |ω 1 × h1 + ∇Φ2 + '\" ω2,j ∇ψ2,j |2 dΩ2+ Ω01 Ω2 r j=1 +ρ02 Ω02 |ω 1 × h1 + ω 2 × r2|2 dΩ02 . (5.28) j=1 Теорема 5.1. Задача (5.20), (5.21) имеет дискретный спектр {μj }∞ , состоящий из конечнократных положительных собственных значений μj τ с предельной точкой μ = +∞. Соответz1,j ствующая им система собственных элементов {� } , � ) ∞ j=1 z1,j = (∇Φ1,j ; ω 1,j ; ∇Φ2,j ; ω 2,j j=1, = � � 3 3 образует базис в пространстве H�1 нальный по формам (5.23), (5.27). H1,1 ⊕ H1,2 = (Gh,S1 (Ω1) ⊕ C ) ⊕ (Gh,S2 (Ω2) ⊕ C ), ортого- Собственные значения и собственные элементы задачи (5.20), (5.21) можно найти, рассматривая последовательные минимумы вариационного отношения (5.28) или последовательные минимумы функционала (5.23) при дополнительном условии, что функционал (5.27) равен единице. При этом для функций сравнения Φk должны иметь место соотношения ΔΦk = 0 (в Ωk ), ∂Φk ∂nk = 0 (на Sk ), r Φk dΓk = 0, k = 1, 2. (5.29) Γk Для нахождения приближенных решений задачи (5.20), (5.21) можно применить метод Ритца к функционалу z1) := (C2� � , � � ) - μ(C�1 � , � ) , (5.30) и этот метод сходится. F (� γnz1 γnz1 H2 z1 z1 H�1 Наконец, асимптотическое поведение собственных значений μj при j →∞ таково: μj = 1 4π (|Γ1| + |Γ2|)- 1/2\ j1/2 [1 + o(1)]. (5.31) z1 Доказательство. Заметим сначала, что совокупность элементов � , для которых при условиях (5.29) конечна квадратичная форма (5.27), компактна в H�1, а так как норма, задаваемая формой (5.27), эквивалентна стандартной норме пространства H�1, то указанная совокупность элементов компактна и по форме (5.27). Поэтому по теореме С. Г. Михлина (см., например, [24]) j=1 задача (5.20), (5.21) имеет дискретный положительный спектр {μj }∞ , μj → +∞ (j → ∞), а система собственных элементов {� }∞ , отвечающая собственным значениям {μ }∞ , образует z1,j j=1 j j=1 ортогональный базис как по форме (5.27), так и по форме (5.23). В частности, при соответствующей нормировке выполнены свойства (C�1 � � , ) = δ H�1 , (C � � , � � ) = μ δ . (5.32) z1,j z1,l jl 2γnz1,j γnz1,l H2 j jl Остальные утверждения теоремы также следуют из [24]. Наконец, последнее утверждение (асимптотика спектра) следует из такого рассуждения. Квадратичная форма (5.23) отличается от «невозмущенной» квадратичной формы 2 r '\" ρk k=1 Γk ∂Φk 2 k | ∂n | dΓk (5.33) тем, что (5.23) является расширением невозмущенной формы (5.33) на дополнительное конечномерное (шестимерное) пространство. Далее, аналогично, квадратичная форма (5.27) является расширением формы 2 r '\" ρk k=1 Ωk |∇Φk |2 dΩk (5.34) на это же дополнительное пространство. Отсюда и из общих результатов М. Ш. Бирмана и М. З. Соломяка (cм., например, [9]) следует, что асимптотическое поведение чисел μj такое же, как для вариационного отношения 2 r '\" ρk k=1 Γk ∂Φk 2 k | ∂n | dΓk / 2 r '\" ρk k=1 Ωk |∇Φk |2 dΩk (5.35) при дополнительных условиях (5.29). Однако этому отношению отвечают две независимые спектральные задачи для отношений r ∂Φk 2 dΓ / r Φ 2 dΩ , k = 1, 2, | ∂nk | Γk k |∇ k | k Ωk или, что равносильно, для отношений r r |∇Φk |2 dΩk / Ωk Γk |Φk |2 dΓk, k = 1, 2, при условиях (5.29). Отсюда, а также из результатов И. Л. Вулис и М. З. Соломяка (см. [11, 12]) получаем, что для задачи (5.20), (5.21) имеет место асимптотическая формула (5.31). Замечание 5.3. Вариационная задача (5.28), (5.29) обобщает задачу (5.35), (5.29), которая соответствует проблеме собственных колебаний идеальных жидкостей в двух неподвижных сосудах, т. е. в полостях без маятников. При ω 1 = 0, ω 2 = 0 первая проблема переходит во вторую. 3. Обращение теоремы Лагранжа об устойчивости. Будем теперь считать, что условия (3.57), (3.60) статической устойчивости по линейному приближению не выполнены, и снова рассмотрим спектральную задачу (5.20), (5.21): z1, μ := λ2/g, z1 ∈ H�1, V� = diag(V�1; V�2), γn = diag(γn,1; γn,2). (5.36) V� C2� z1 = μC�1 � � � � � Здесь все операторы, кроме C2, имеют прежние свойства, а оператор C2, согласно лемме 3.6, при выполнении условий (3.45), а также из замечаний после ее доказательства, ограниченно обратим, причем ранг индефинитности квадратичной формы (C2z2, z2)H2 равен κ, 1 � κ � 4. Отсюда следует, что при доказательстве теоремы 4.2 C2 = Jκ|C2| = |C2|1/2Jκ|C2|1/2, Jκ = J -1 = J ∗ , 0 « |C2|∈ L(H2), (5.37) κ κ где Jκ -каноническая симметрия. γn Отметим еще, что в (5.36) операторы � и V� взаимно сопряжены и имеют ограниченные (и даже компактные) обратные. Учитывая эти свойства, выполним в (5.36) замену по формуле |C2|1/2γnz1 =: v ∈ H2. (5.38) � � Тогда вместо (5.36) придем к задаче �n v = μJκ Cv, C := |C2|-1/2V� -1C�1γ-1|C2|-1/2, (5.39) 1 где C- компактный положительный оператор, действующий в пространстве H2 = (L2,Γ ⊕ C2) ⊕ (L2,Γ 2 2 ⊕ C ). Свойство положительности оператора C проверяется непосредственно с учетом того, γn что C�1 » 0 (лемма 5.2) и (V� )∗ = � . Теорема 5.2. Задача (5.36) имеет дискретный спектр, состоящий из конечнократных собственных значений μj ∈ R с предельной точкой μ = +∞. При этом первые κ собственных z1,j значений отрицательны, а остальные положительны. Собственные элементы {� } ∞ j=1 задачи (5.36) образуют базис, ортогональный по форме (C�1 � , � )H� . При этом выполнены формулы z1 z1 ортогональности (5.32), где теперь μj < 0 при j � κ, μj > 0, j ); κ + 1. Асимптотическое поведение собственных значений μj при j → ∞ по-прежнему имеет вид (5.31). Доказательство. Так как в (5.39) оператор Jκ C является Jκ- самосопряженным компактным положительным оператором, т. е. [Jκ Cv, v] = (Jκ(Jκ C)v, v)H2 = (Cv, v)H2 > 0, v ◦= 0, (5.40) то по теореме Л. С. Понтрягина из [25], а также из [3], получаем, что задача (5.39) имеет ровно κ отрицательных собственных значений, а остальные положительны и (в силу компактности оператора C) образуют счетное множество конечнократных собственных значений с предельной точкой μ = +∞. Кроме того, собственные элементы задачи (5.39) образуют базис Рисса в пространстве H2, и этот базис является Jκ- ортогональным: (Cvj, vl)H2 = δjl, (Jκ vj, vl)H2 = μjδjl. (5.41) Осуществляя здесь обратную замену (5.38), приходим к выводу, что справедливы последние утверждения теоремы и выполнены формулы ортогональности (5.32) с новыми свойствами для собственных значений μj. Следствием установленных фактов является утверждение, которое называют обращением теоремы Лагранжа об устойчивости. Теорема 5.3. Пусть выполнены условия (3.45) и не выполнены условия (3.57), (3.60), т. е. изучаемая гидромеханическая система не является статически устойчивой по линейному приближению. Тогда она является и динамически неустойчивой, т. е. имеются решения однородной начально-краевой задачи (2.1), (2.5)-(2.12), экспоненциально возрастающие по t при t → +∞. Доказательство. Оно очевидно, так как в этом случае спектральная задача (5.36) при κ ); 1 имеет отрицательные собственные значения μ = λ2/g (не более четырех), и тогда числа λ являются чисто мнимыми, что с учетом (5.1) приводит к экспоненциальной неустойчивости гидромеханической системы. ЧАСТЬ 2 СЛУЧАЙ ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ В ПОЛОСТЯХ 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, ЗАКОН БАЛАНСА ПОЛНОЙ ЭНЕРГИИ 1. К постановке задачи. Будем теперь считать, что жидкости в полостях тел-маятников являются не идеальными, а вязкими с коэффициентом динамической вязкости μk, k = 1, 2. В этом случае уравнения движения маятников не изменяются и по-прежнему имеют вид (2.1), (2.5). Поэтому ниже будут приведены лишь линеаризованные уравнения движения вязких жидкостей в полостях, а также краевые и начальные условия. Прежде всего, вместо (2.6), (2.7) теперь имеем уравнения движения в Ω1 и Ω2 в подвижных системах координат Okx1 x2 x3 , k = 1, 2, в следующей форме: ∂ u1 k k k dω 1 \ ρ1 + ∂t dt × r1 + ∇p1 - μ1Δ u1 = ρ1f 1, div u1 = 0 (в Ω1), (6.1) ∂ u2 ρ2 + ∂t 1 dω dt × h1 + dω 2 \ dt × r2 + ∇p2 - μ2Δ u2 = ρ2f 2, div u2 = 0 (в Ω2), учитывающей действие вязких сил в исследуемой системе. Здесь, как и ранее в части 1, ρk > 0 - плотности жидкостей, uk (t, x) - поля относительных скоростей в каждой полости, pk (t, x) - динамические добавки к стационарным давлениям в полостях, f k (t, x) - малые добавки к основному гравитационному полю сил, действующему «сверху вниз» с ускорением g > 0. Далее, ω k - угловые скорости тел, Δ - векторный оператор Лапласа, rk - радиус-векторы, идущие в подвижных системах координат от Ok в заданную точку. В процессе движения вязких жидкостей на твердых стенках Sk полостей теперь должны выполняться условия прилипания: uk = 0 (на Sk ), k = 1, 2. (6.2) Кинематические условия (2.9) по-прежнему сохраняют свой вид, а динамические условия преобразуются следующим образом. После линеаризации они записываются на Γk и состоят в том, что касательные напряжения на Γk равны нулю, а нормальное напряжение компенсируется скачком гравитационных сил, возникших при линеаризации задачи. Поэтому динамические условия принимают следующий вид: μkτj3( u3) := μk ∂u3 / ∂u3 k + k ∂xj k ∂uj \ k ∂x3 = 0, j = 1, 2, (6.3) - pk + 2μk k = -ρkg(ζk + (P2 δk × rk ) · e 3), k = 1, 2 (на Γk ), где k ∂x3 τjl( uk ) := ∂ul k + k ∂xj k ∂uj k , j, l = 1, 3, k = 1, 2, (6.4) k ∂xl - элементы тензора деформаций в вязкой жидкости, P2 δk - проекция вектора углового перемещения δk на равновесную поверхность Γk, а ζk - отклонения от Γk границы подвижной жидкости перпендикулярно к Γk. Эти функции, как и ранее, удовлетворяют условиям сохранения объема каждой жидкости в процессе малых колебаний системы, т. е. условиям (2.11). Наконец, начальные условия по-прежнему имеют вид (2.12). Таким образом, в случае вязких жидкостей в полостях маятников следует изучать начальнокраевую задачу (2.1), (2.5), (6.1)-(6.4), (2.9), (2.11), (2.12). 2. Закон баланса полной энергии. Как и в пункте 2.2, будем считать, что поставленная задача имеет классическое решение при t ); 0, и выведем закон баланса полной энергии, учитывающий не только действие сил трения в шарнирах, но и действие диссипативных сил в жидкостях. С этой целью проделаем в задаче те же преобразования, которые для случая идеальных жидкостей были осуществлены в пункте 2.2 (см. (2.13)-(2.18)). Что касается нового слагаемого в уравнениях движения (6.1), а также условий прилипания (6.2) и динамических условий (6.3), то здесь следует воспользоваться формулой Грина для векторного оператора Лапласа, которая имеет место в задачах о движении вязкой жидкости в сосуде при наличии свободной поверхности (см. [16, c. 115]). Именно, если поля vk и uk соленоидальные и удовлетворяют условию прилипания на твердой стенке Sk, то имеет место тождество r r vk · (-μk Δ uk + ∇pk )dΩk = μk Ek ( vk, uk ) - 3 k '\" vj (μkτj3( uk ) - pkδj3)dΓk, (6.5) Ωk 3 1 r r '\" Γk j=1 μk Ek ( vk, uk ) = 2 μk Ωk При этом квадратичный функционал j,l=1 τjl( vk )τjl( uk ) dΩk. (6.6) μk Ek ( uk, uk ) (6.7) равен скорости диссипации энергии в вязкой жидкости, находящейся в области Ωk. Учитывая (6.5), получаем, что вместо (2.14), (2.16) теперь будем иметь соотношения r 1 d r 2 r 3 ∂ζk uk · (-μk Δ uk + ∇pk )dΩk = μk Ek ( uk, uk )+ 2 ρkg dt Ωk Γk |ζk | dΓk + ρkg Γk ((P2 δk × rk ) · ek )) ∂t dΓk. (6.8) Поэтому закон баланса полной энергии системы при наличии вязких жидкостей в полостях маятников выглядит следующим образом: 1. d rrρ 2. dt r 0,1 r 2 |ω 1 × r1| dΩ0,1 + ρ1 2 |ω 1 × r1 + u1| dΩ1 + Ω0,1 r r + ρ0,2 Ω1 r |ω 1 × h1 + ω 2 × r2|2dΩ0,2 + ρ2 |ω 1 × h1 + ω 2 × r2 + u2|2dΩ2 + Ω0,2 2 g d r + '\" ρk r Ω2 r |ζk + θk ((P2 δk × rk ) · e 3)|2dΓk - |θk ((P2 δk × rk ) · e 3)|2 dΓk 2 dt k=1 Γk k k + Γk + (m1l1 + m2h1)|P2 δ1|2 + m2l2|P2 δ2|2 = 2 = - '\" μk Ek ( uk, uk )+ α1|ω 1|2 + α2|ω 2 - ω 1|2 k=1 2 r + '\" ρk k=1 Ωk 2 f k · uk dΩk + '\" M k · ω k. (6.9) k=1 Здесь справа по отношению к закону баланса полной энергии (2.20) для идеальных жидкостей в сосудах добавлены слагаемые, дающие скорости диссипации энергии в вязких жидкостях. 3. ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД 1. Выбор функциональных пространств. В процессе движения вязкой жидкости в области Ωk не только ее кинетическая и потенциальная энергии должны быть конечны, как следует из (2.20) и (6.9), но также и скорость диссипации энергии, т. е. поле скорости u(t, x) должно быть функцией переменной t с конечной Ek ( uk, uk ) (см. (6.7), (6.6)). Учитывая этот факт, введем в рассмотрение функциональные пространства, следующие из (3.2)- (3.5): J 0,Sk (Ωk ) := J uk ∈ L 2(Ωk ) : div uk = 0 (в Ωk ), uk · nk = 0 (на Sk ) , k = 1, 2, (7.1) a также пространства с конечной скоростью диссипации энергии J 1 0,Sk (Ωk ) := J uk ∈ H 1(Ωk ) : div uk = 0 (в Ωk ), uk = 0 (на Sk ) , k = 1, 2. (7.2) 0,S Как отмечено в [16, c. 114-115], подпространство J 1 k (Ωk ) пространства H 1(Ωk ) является плотным множеством в подпространстве форме: J 0,Sk (Ωk ) и имеет место неравенство Корна в следующей 2 1 r 3 ( '\" 2\ c u 2 k J-1 u 0,Sk (Ωk ) := Ek ( uk, uk ) = 2 Ωk j,l=1 |τjl( uk )| dΩk ); �k 2 k H-1(Ωk ) ); r 2 ); ck uk J--0,S k (Ωk ) = ck Ωk | uk | dΩk, ck > 0. (7.3) 0,S Поскольку неравенство противоположного смысла очевидно, то норма (7.3) в J 1 k (Ωk ) эквивалентна стандартной норме H 1(Ωk ), и потому в силу теорем вложения всякое множество, ограниченное в J 1 0,Sk (Ωk ), компактно в J 0,Sk (Ωk ). Из этих рассуждений следует, что пространства J 1 0,Sk (Ωk ) и J 0,Sk (Ωk ) образуют гильбертову 0,S пару пространств (J 1 k (Ωk ); J 0,Sk (Ωk )), причем оператор этой пары, рассматриваемой на области 0,S определения из J 1 k (Ωk ) ⊂ J 0,Sk (Ωk ) с областью значений J 0,Sk (Ωk ), является самосопряженным положительно определенным оператором, имеющим компактный обратный оператор, действующий в J 0,Sk (Ωk ). Для удобства дальнейших преобразований обозначим этот оператор символом Akk и будем считать далее, что он действует в оснащенном гильбертовом пространстве 1 1 J0,Sk (Ωk ) ⊂ J 0,Sk (Ωk ) ⊂ (J (Ωk ))∗ (7.4) 0,Sk и имеет область определения D(Akk ) = J 1 0,Sk 0,Sk (Ωk ), а область значений R(Akk ) = (J 1 (Ωk ))∗. Тогда kk : J A1/2 1 (Ωk ) → J 0,S (Ωk ), A1/2 : J 0,S (Ωk ) → (J 1 (Ωk ))∗ (7.5) 0,Sk k - ограниченные операторы, причем kk k 0,Sk ( vk, uk )J-1 0,Sk (Ωk ) = Ek ( vk, uk ) = (A1/2 kk vk, A1/2 kk uk )J--0,S k k (Ω ) = vk, Akk uk ≡J--0,S k k (Ω ) ∀ vk, uk ∈ J 1 0,Sk (Ωk ). (7.6) Здесь символом ·, ·≡H0 обозначено значение функционала, представленного элементом на втором месте, действующим на элемент, стоящий на первом месте, если имеется оснащение H+ θ→ H0 θ→ H- = (H+)∗. В этой части работы будем по-прежнему считать, что границы ∂Ωk областей Ωk ⊂ R3 разбиты на липшицевы куски Sk и Γk, имеющие, в свою очередь, липшицевы границы ∂Sk и ∂Γk. В этом случае, как доказано в [19, 20], имеет место следующая обобщенная формула Грина для векторного оператора Лапласа: μk Ek ( vk, uk ) = vk, -μk Δ uk + ∇pk ≡L-2(Ωk ) + 3 3 '\" j=1 j γkvk, μkτj3( uk ) - pkδj3≡L2(Γk ), (7.7) vk = '\" vj e j, vk, uk ∈ J 1 (Ωk ), ∇pk ∈ G (Ωk ) = G 0,Γ (Ωk ) ⊕ G h,S (Ωk ), k k j=1 0,Sk k k где γkϕ := ϕ|Γk ∀ϕ ∈ H k 1(Ωk ), а подпространства G 0,Γ (Ωk ) и G h,Sk (Ωk ) определены в (3.3), (3.5). 2. Переход к дифференциально-операторным уравнениям в гильбертовом пространстве. Опираясь на закон баланса полной энергии (6.9) и формулу Грина (7.7), будем далее считать, что 0,Sk искомые поля скоростей uk (t, x) являются функциями переменной t со значениями в J 1 (Ωk ) ⊂ J 0,Sk (Ωk ), а ∇pk - функциями t со значениями в G 0,Γk (Ωk ) ⊕ G h,Sk (Ωk ). Далее, введем ортопроекторы P0,Γk : L 2(Ωk ) → G 0,Γk (Ωk ), а также P0,Sk : L 2(Ωk ) → J 0,Sk (Ωk ), P0,Γk + P0,Sk = Ik, k = 1, 2, и применим к уравнениям движения (6.1) процедуру проектирования на взаимно ортогональные подпространства G 0,Γk (Ωk ) и J 0,Sk (Ωk ), считая, что uk ∈ J 0,Sk (Ωk ), а � pk + ∇ϕk, ∇pk ∈ G h,Sk Тогда возникает система соотношений (Ωk ) ⊂ J 0,Sk (Ωk ), ∇ϕk ∈ G 0,Γk (Ωk ). (7.8) d u1 ( dω 1 \\ p1 - μ1P0,S1 1 1 0,S1 1 ρ1 + P0,S1 dt d u2 dt × r1 ( dω 1 + ∇� dω 2 \\ Δ u = ρ P f , (7.9) ρ2 + P0,S2 dt dt × h1 + dt × r2 + ∇� - μ P Δ u = ρ P f , p2 2 0,S2 2 2 0,S2 2 ρ1P0,Γ1 ( dω 1 \ dt × r1 + ∇ϕ1 - μ1P0,Γ1 Δ u1 = ρ1P0,Γ1 f 1, (7.10) ρ2P0,Γ2 1 ( dω dt × h1 + dω 2 \ dt × r2 + ∇ϕ2 - μ2P0,Γ2 Δ u2 = ρ2P0,Γ2 f 2, pk из которой видно, что поля ∇ϕ1 и ∇ϕ2 находятся из (7.10), если известны поля uk и ∇� , а также угловые скорости ω k, k = 1, 2. Поэтому в дальнейшем будем принимать во внимание лишь уравнения (7.9), а также законы изменения кинетических моментов, видоизмененные краевые и начальные условия. pk В частности, поскольку ϕk = 0 на Γk, то pk = � на Γk . Кроме того, как показано, например, в [16, c. 115], в задаче о движении вязких несжимаемых жидкостей выполнены условия r ∂u3 k dΓk = 0, k = 1, 2. (7.11) k ∂x3 Γk Эти факты позволяют переписать последние условия в (6.3) в виде ∂u3 pk + 2μk k = -ρkg(ζk + θk ((P2 δk × rk ) · e 3)), k = 1, 2, (7.12) k -� ∂x3 k где θk : L2(Γk ) → L2,Γk - ортопроекторы на подпространство L2,Γk = L2(Γk ) 8 {1Γk } (см. (3.9)). Заметим еще, что кинематические соотношения на Γk (см. (3.19), (3.20)) теперь переписываются в виде dζk = γ dt n,k uk := ( uk § n k )Γk , k = 1, 2. (7.13) Введем далее в качестве искомых объектов наборы элементов z = (z1; z2)τ , z1 = ( u1; ω 1; u2; ω 2)τ , z2 = (ζ1; P2 δ1; ζ2; P2 δ2)τ , (7.14) и будем считать, что они являются функциями переменной t со значениями в пространстве H = H1 ⊕ H2, H1 = (J 0,S1 (Ω1) ⊕ C ) ⊕ (J 0,S2 (Ω2) ⊕ C ), 3 3 (7.15) 2 2 H2 = (L2,Γ1 ⊕ C ) ⊕ (L2,Γ2 ⊕ C ). Здесь, в отличие от построений пункта 3.3 (см. (3.28)), сумма подпространств J 0(Ωk ) ⊕ G h,Sk (Ωk ) объединена в одно: J 0,Sk (Ωk ) = { uk ∈ L 2(Ωk ) : div uk = 0 (в Ωk ), uk · nk = 0 (на ∂Ωk )}, k = 1, 2. (7.16) Поэтому дальнейшие построения несколько отличаются от схемы преобразований, примененной для идеальных жидкостей в пункте 3.3, однако проводятся по тому же плану. Наша цель - получить видоизмененные уравнения движений вязких жидкостей и уравнения изменения кинетических моментов в виде дифференциального уравнения вида (3.29) с учетом тех особенностей, которые возникают в исследуемой задаче ввиду наличия вязких жидкостей в полостях. Реализуя эту схему, рассмотрим так называемую первую вспомогательную краевую задачу, которая систематически использовалась С. Г. Крейном при изучении малых движений вязкой жидкости в открытом неподвижном сосуде (см. [16, c. 277-279]). Это задача вида pk1 - μk P0,Sk Δ uk + ∇� = f k, div uk = 0 (в Ωk ), uk = 0 (на Sk ), μkτj3( uk ) = 0, j = 1, 2, ∂u3 (7.17) � - pk1 + 2μk k k ∂x3 = 0 (на Γk ). 0,Sk Определение 7.1. Назовем обобщенным решением задачи (7.17) такую функцию uk ∈ J 1 (Ωk ), 0,Sk для которой при любом vk ∈ J 1 (Ωk ) выполнено тождество μk Ek ( vk, uk ) = ( vk, f k )L-и слабым решением этой задачи, если 2(Ωk ), (7.18) μk Ek ( vk, uk ) = vk, f k ≡L-- 1 (Ω ) ∀ vk ∈ J (Ωk ). (7.19) 2 k 0,Sk (Заметим, что в определении обобщенного и слабого решений используется формула Грина (7.7), причем в первом слагаемом справа стоит дополнительный множитель P0,Sk , который переброшен слева от сомножителя vk = P0,Sk vk.) Обе задачи (7.18) и (7.19) равносильны операторному уравнению μk Akk uk = f k, (7.20) 0,Sk где Akk - оператор гильбертовой пары пространств (J 1 (Ωk ); J 0,Sk (Ωk )). При этом для f k ∈ J 0,Sk (Ωk ) задача (7.17) имеет единственное обобщенное решение uk = (μk Akk )-1f k ∈ D(Akk ) ⊂ D(A1/2) = J 1 (Ωk ), (7.21) kk 0,Sk 0,Sk а при f k ∈ (J 1 (Ωk ))∗ - слабое решение, выражаемое той же формулой, однако здесь D(Akk ) = J 1 1 ∗ 0,Sk (Ωk ), а R(Akk ) = (J0,Sk (Ωk )) . Опираясь на приведенные факты, будем разыскивать решения краевых задач (7.9), (7.12), (6.3) (первые два условия), (6.2) в виде суммы решений двух вспомогательных задач, первая из которых имеет вид (7.17) с заменой f k на f �k = ρk P0,Sk f k - ρk ( d uk + P dt 0,Sk ( dω k \\ dt × rk � - ∇pk2, (7.22) pk = ∇� + ∇� , ∇� ∈ G (Ω ), i = 1, 2, ∇� pk1 pk2 pki h,Sk k pk2 а для потенциалов � возникает скалярная задача � ∂pk2 Δ� pk2 = 0 (в Ωk ), ∂nk = 0 (на Sk ), (7.23) � pk2 = ρk g(ζk + θk (((P2 δk ) × rk k ) · e 3)) =: ψk (на Γk ). Тогда решение задачи (7.22) имеет вид (см. (7.21)) uk = (μk Akk )-1f �k , (7.24) a для задачи (7.23) получаем (см. (3.21)-(3.24)) pk2 k k k 1/2 h,S k ∇� = V ψ , V ∈ L(HΓk ; G k (Ω )). (7.25) Из (7.24), (7.25) и обозначений для f �k и ψk приходим к следующим дифференциальным уравнениям первого порядка: ρk ( d uk dt ( + P0,Sk dω k \\ dt × rk + μk Akk uk + ρk gVk (ζk + θk (((P2 δk ) × rk k ) · e 3)) = ρk P0,S k f k (7.26) в пространствах J 0,Sk (Ωk ), k = 1, 2. Заметим теперь, что уравнения изменения кинетических моментов (уравнения движения маятников), как уже упоминалось, для случая вязких жидкостей в полостях имеют тот же вид, что и для идеальных, т. е. имеют место соотношения (2.1), (2.5). Таким образом, возникает задача Коши на базе уравнений (7.26), (2.1), (2.5), которую в векторно-матричной форме можно переписать в виде одного дифференциального уравнения первого порядка, близкого к (3.29): dz1 0 C1 dt + A1z1 + gB12z2 = f1(t), z1(0) = z1 , (7.27) в пространстве H1 (см. (7.15)). Здесь, в отличие от (3.30), операторная матрица C1 имеет размер 4 × 4 и действует по закону ⎛ ρ1 u1 + ρ1P0,S1 (ω 1 × r1) ⎞ ⎜ ρ1 { ( r1 × u1) dΩ1 + J 1ω 1 + { ( h1 × (ω 1 × h1 + ω 2 × r2 + u2)) dm1 C1z1 = ⎜ ⎟ ⎟ , (7.28) ⎜ Ω1 G1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ρ2 u2 + ρ2P0,S2 (ω 1 × h1 + ω 2 × r2) ⎟ ⎝ ρ2 { ( r2 × u2) dΩ2 + J 2ω 2 + { ( r2 × (ω 1 × h1)) dm2 ⎠ Ω2 G2 где J k - момент инерции k-го тела с жидкостью. Далее, оператор A1 (оператор диссипации системы) теперь имеет вид ⎛ A11 0 0 0 ⎞ ⎜ A1 = ⎜ ⎝ 0 α1 + α2 0 -α2 0 0 A22 0 0 -α2 0 α2 ⎟ ⎟ , D(A1) = (D(A11) ⊕ C3) ⊕ (D(A22) ⊕ C3), (7.29) ⎠ а оператор B12 действует по закону (сравните с (5.4), (3.33)) 1 ⎛ ρ1V1ζ1 + ρ1V1(θ1(((P2 δ1) × r1) · e 3)) ⎞ 1 ⎜ -ρ1 { ( e 3 × r1)ζ1 dΓ1 + (m1l1 + m2h1)P2 δ1 ⎟ ⎟ ⎜ B12z2 = ⎜ Γ1 ⎜ ⎟ 3 ⎟ , D(B12 ) = (H 1/2 Γ1 ) ⊕ C2) ⊕ (H 1/2 Γ2 ) ⊕ C2). ⎜ ρ2V2ζ2 + ρ2V2(θ2((P2δ2) × r2) · e2 ) ⎟ ⎝ -ρ2 { Γ2 2 ( e 3 × r2)ζ2 dΓ2 + m2l2P2 δ2 ⎠ (7.30) Проведем теперь преобразование кинематических условий (2.9) по той же схеме, которая соответствовала переходу от (3.38) к (3.39): достаточно в (3.39) заменить γn,k ∇Φk на γn,k uk. Тогда возникнет соотношение вида (3.40), а именно: dz2 0 где C2 определено в (3.41): gC2 dt + gB21z1 = 0, z2(0) = z2 , (7.31) 1 ⎛ ρ1ζ1 + ρ1θ1(((P2 δ1) × r1) · e 3) ⎞ 1 ⎜ -ρ1 { ( e 3 × r1)ζ1 dΓ1 + (m1l1 + m2h1)P2 δ1 ⎟ ⎟ ⎜ C2z2 = ⎜ ⎜ ⎜ Γ1 2 ρ2ζ2 + ρ2θ2(((P2 δ2) × r2) · e 3) ⎟ , (7.32) ⎟ ⎟ ⎝ -ρ2 { e 3 × r2)ζ2 dΓ2 + m2l2P2 δ2 ⎠ ( 2 Γ2 1 ⎛ -ρ1γn,1 u1 - ρ1θ1(((P2ω 1) × r1) · e 3) ⎞ 1 ⎜ ρ1 { ( e 3 × r1)γn,1 u1 dΓ1 - (m1l1 + m2h1)P2ω 1 ⎟ ⎜ . B21z1 = ⎜ ⎜ ⎝ Γ1 ⎟ 2 ⎟ -ρ2γn,2 u2 - ρ2θ2(((P2ω 2) × r2) · e 3) ⎟ 2 ρ2 { ( e 3 × r2)γn,2 u2 dΓ2 - m2l2P2ω 2 ⎠ (7.33) Γ2 Итогом проведенных построений является следующее утверждение. k Теорема 7.1. Исходная задача о малых движениях двух сочлененных маятников с полостями, частично заполненными вязкими жидкостями, равносильна, после отделения тривиальных соотношений (7.10), (2.9) (для δ3), задаче Коши dz C + Az + gBz = f (t), z(0) = z0, f (t) := (f1(t); 0)τ , (7.34) dt в гильбертовом пространстве H = H1 ⊕ H2 (см. (7.15)), где C = diag(C1; gC2), A = diag(A1; 0), B = 0 B12 B21 0 \ , D(B) = D(B21) ⊕ D(B12), (7.35) а операторные матрицы C1, C2, A1, B12 и B21 определены в (7.28), (7.32), (7.29), (7.30) и (7.33) соответственно. 3. О свойствах матричных операторных коэффициентов. Приведем теперь свойства и физический смысл операторных коэффициентов (7.35), опираясь на соответствующие построения и леммы из пунктов 3.3-3.4. Лемма 7.1. Операторная матрица C1 из (7.28) является ограниченным и положительно определенным оператором, действующим в H1. Квадратичная форма (C1z1, z1)H1 равна удвоенной кинетической энергии гидромеханической системы, т. е. C1 является оператором кинетической энергии. Доказательство. Оно проводится по схеме, изложенной в лемме 3.1. В частности, устанавливается, что (C1z1, z1)H1 = r rρ1 r 2 |ω 1 × r1 + u1| dΩ1 + ρ01 2 |ω 1 × r1| dΩ01 + Ω1 r + rρ2 Ω01 r |ω 1 × h1 + ω 2 × r2 + u2|2dΩ2 + ρ02 |ω 1 × h1 + ω 2 × r2|2dΩ02 , Ω2 Ω02 т. е. правая часть равна удвоенной кинетической энергии системы (см. (2.20)). Отсюда и следует утверждение леммы. Лемма 7.2. Оператор C2 : H2 → H2 есть оператор потенциальной энергии системы, он ограничен и самосопряжен. Eсли выполнены условия (3.45), то соотношения (2.9) и (7.31) эквивалентны. Eсли выполнены условия (3.56), (3.59), то оператор C2 неотрицателен, а если выполнены условия (3.57), (3.60), то C2 положительно определен. Доказательство. Оно непосредственно следует из лемм 3.4-3.6. Лемма 7.3. Оператор A1, заданный на области определения D(A1) = (D(A11) ⊕ C3) ⊕ (D(A22) ⊕ C3), (7.36) плотной в H1, является неограниченным положительно определенным оператором с положи- 1 тельным компактным обратным оператором A-1. Его квадратичная форма равна мощности диссипативных сил (трение в шарнирах и в слоях вязкой жидкости), т. е. A1 является оператором диссипации в системе. Доказательство. Используя непосредственный подсчет и тождество (3.36) из леммы 3.2 (там A1 учитывает лишь трение в шарнирах), убеждаемся, что для A1 из (7.29) 2 (A1z1, z1)H1 = '\" k=1 μk Ek ( uk, uk )+ α1|ω 1|2 + α2|ω 2 - ω 1|2, (7.37) т. е. правая часть есть мощность диссипативных сил (см. (6.9)). Отсюда непосредственно получаем, что A1 положительно определен. Кроме того, отсюда следует также, что всякое множество, ограниченное в энергетическом пространстве этого оператора, т. е. в пространстве 1/2 3 3 D(A1 ) = (J 0,S1 (Ω1) ⊕ C ) ⊕ (J 0,S2 (Ω2) ⊕ C ), (7.38) 0,S1 компактно в H1 = (J 1 0,S2 (Ω1) ⊕ C3) ⊕ (J 1 1 (Ω2) ⊕ C3), и потому A-1 - компактный оператор. Для уточнения связи операторов B12 и B21 из (7.30), (7.33) предварительно докажем одно вспомогательное утверждение, связанное с расширением оператора нормального следа γn,k на границах Γk, k = 1, 2. Будем считать, что γn,k задан не на плотном подмножестве (3.67) пространства G h,Sk (Ωk ), а на всем пространстве J 0,Sk (Ωk ) = G h,Sk (Ωk ) ⊕ J 0(Ωk ). (7.39) Именно, на J 0(Ωk ), по определению этого подпространства (см. (3.2)-(3.5)), для любого w k ∈ J 0(Ωk ) нормальный след, т. е. w k · nk на Γk, равен нулю. Далее, так как любой uk представим в виде uk = w k + ∇Φk, то тогда γn,k uk = γn,k ∇Φk, и потому по лемме 3.7 этот след принадлежит пространству H� -1/2, сопряженному к H1/2. Γk Γk Напомним теперь, что оператор Vk, дающий решение вспомогательной задачи Зарембы (3.21), Γ согласно (3.24), ограниченно действует из H1/2 k на G h,Sk (Ωk ) ⊂ J 0,Sk (Ωk ). Поэтому можно формально считать, что область его значений есть J 0,Sk (Ωk ). Эти рассуждения показывают, что справедливо следующее утверждение. Лемма 7.4. Операторы 1/2 Vk : D(Vk ) = HΓk ⊂ L2,Γk → J0,Sk (Ωk ) (7.40) и 1/2 Γk γn,k : J 0,Sk (Ωk ) → H� - взаимно сопряжены, т. е. имеет место тождество ⊃ L2,Γ 1/2 k (7.41) Если (Vkζk, uk )L-2(Ωk ) = ζk, γn,k uk ≡L2(Γk ) ∀ζk ∈ HΓk , ∀ uk ∈ J0,Sk (Ωk ). (7.42) ∂Φk uk = w k + ∇Φk, то вместо (7.42) имеем k w k ∈ J 0(Ωk ), ∇Φk ∈ G h,Sk (Ωk ), γn,k ∇Φk = ∂n ∈ L2,Γk , (7.43) (Vkζk, uk )L-2(Ωk ) = (ζk, γn,k uk )L2(Γk ). (7.44) Доказательство. Утверждения леммы следуют из проведенных выше рассуждений и тождеств (3.69), (3.70), если заметить, что в этих тождествах r k k H˘ 1 (n , Φ ) = Γk (Ωk ) Ωk ∇ηk · ∇Φk dΩk = (∇ηk, ∇Φk )L-2(Ωk ). Следствием леммы 7.4 является такое утверждение. Лемма 7.5. Операторы B12 и B21, заданные формулами (7.30) и (7.33) на областях определения 1/2 2 1/2 2 D(B12) = (HΓ1 ⊕ C ) ⊕ (HΓ2 ⊕ C ), (7.45) D(B21) = (D(γn,1) ⊕ C2) ⊕ (D(γn,2) ⊕ C2), (7.46) являются кососамосопряженными: (B12z2, z1)H1 = -(z2, B21z1)H2 ∀z1 ∈ D(B21), ∀z2 ∈ D(B12). (7.47) Доказательство. Оно проводится по тому же плану, что и в лемме 3.9, однако на основе формул (7.30), (7.33) и с учетом утверждений леммы 7.4. 0,Sk Замечание 7.1. Если uk ∈ J 1 1/2 (Ωk ), то γn,k uk ∈ HΓk = D(Vk ) и потому для неположительного самосопряженного оператора B12B21 = -(B21)∗B21 имеем D(B∗ B21) = (J 1 (Ω1) ⊕ C2) ⊕ (J 1 (Ω2) ⊕ C2). (7.48) 12 0,S1 0,S2 4. О РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННЫМИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ 1. О разрешимости задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения. Опираясь на установленные факты, исследуем задачу Коши (7.34)-(7.35) и докажем теорему о ее разрешимости на произвольном отрезке времени [0,T ] сразу как для случая статической устойчивости системы по линейному приближению (определение 3.1), так и при отсутствии такой устойчивости. Определение 8.1. Будем говорить, что задача (7.34)-(7.35) имеет сильное решение z(t) на отрезке [0,T ], если выполнены следующие условия. 1◦. Функция z(t) ∈ C([0,T ]); D(A) ∩ D(B)) ∩ C1([0,T ]; H), D(A) = D(A1) ⊕ H2, D(B) = D(B21) ⊕ D(B12). (8.1) 2◦. При любом t ∈ [0,T ] выполнено уравнение (7.34), где все слагаемые являются элементами из C([0,T ]; H). 3◦. Выполнено начальное условие (7.34). Замечание 8.1. Из этого определения следует, что необходимыми условиями сильной разрешимости задачи (7.34)-(7.35) являются условия f (t) ∈ C([0,T ]; H), z0 ∈ D(A). (8.2) Теорема 8.1. Пусть в задаче (7.34)-(7.35) выполнены условия f (t) = (f1(t); 0)τ ∈ Cβ ([0,T ]; H) (0 < β < 1), z0 = (z0; z0), z0 ∈ D(A1), z0 ∈ D(B12). (8.3) 1 2 1 2 Тогда эта задача имеет единственное сильное (в смысле определения 8.1) решение на отрезке [0,T ]. Доказательство. Перепишем задачу (7.34)-(7.35) снова в виде системы двух уравнений (7.27) и (7.31): dz1 0 C1 dt + A1z1 + gB12z2 = f1(t), z1(0) = z1 , (8.4) dz2 0 gC2 dt + gB21z1 = 0, z2(0) = z2 . (8.5) Так как выполнены условия (3.45), то согласно лемме 3.5 уравнение (8.5) равносильно соотношению dz2 = γ z := (γ u ; P ω ; γ u ; P ω )τ , (8.6) dt �n 1 n,1 1 2 1 n,2 2 2 2 D(� γn) := (D(γn,1) ⊕ C2) ⊕ (D(γn,2) ⊕ C2) = D(B21). (8.7) Отсюда получаем, что 2 z2(t) = z0 + t r � (γnz1)(s) ds. (8.8) 0 Подставляя это соотношение в (8.4), приходим к следующему интегро-дифференциальному уравнению Вольтерра первого порядка в пространстве H1: t dz1 r 0 0 C1 dt + A1z1 + g (B12� )z (s) ds = f (t) - gB z2 , z (0) = z1 . (8.9) γn 1 0 1 12 1 Эта задача, в свою очередь, равносильна задаче t dz1 + C-1 -1 r γ )z (s) ds = C-1(f (t) gB z0), z (0) = z0, (8.10) dt 1 A1z1 + gC1 (B12�n 1 0 1 1 - 12 2 1 1 поскольку C1 - ограниченный положительно определенный оператор, действующий в H1 (лемма 3.1). Введем в H1 новое скалярное произведение [z1, η1] := (C1z1, η1)H1 , (8.11) 1 1 порождающее эквивалентную норму, и рассмотрим задачу (8.10) в этом пространстве, которое обозначим через HC . Тогда C-1A1 - самосопряженный положительно определенный оператор, действующий в HC1 и заданный на области определения 1 D(C-1A1) = D(A1). (8.12) 1 Отсюда приходим к выводу, что оператор -C-1A1 является генератором аналитической сжимающей полугруппы операторов, действующей в HC1 . Отметим теперь еще одно важное обстоятельство: в задаче (8.10) имеет место соотношение � D(A1) ⊂ D(B12γn). (8.13) В самом деле, в силу (8.7), (7.48) и (7.41) получаем, что � 1 D(B12γn) = D(B12B21) = D(A1/2) ⊃ D(A1). (8.14) 2 Далее, если согласно условиям (8.3) z0 2 ∈ D(B12), то справа в (8.10) B12z0 ∈ H1 = HC1 , а 1 также f1(t) ∈ Cβ ([0,T ]; H1), и тогда правая часть в (8.10) принадлежит Cβ ([0,T ]; HC ). Поэтому из данного факта и (8.14) по теореме о разрешимости задачи (8.10) в пространстве HC1 (см., например, [18, теорема 1.3.4, а также теорема 1.3.2]) получаем, что задача (8.10) имеет сильное решение z1(t) на отрезке [0,T ]. Для этого решения выполнено также уравнение (8.9), где все слагаемые являются непрерывными функциями t ∈ [0,T ] со значениями в H1. Если теперь ввести функцию z2(t) по формуле (8.8), то получаем, что выполнены соотношения (8.6), (8.7), а потому и (8.5). Значит, задача (7.34)-(7.35) имеет единственное сильное решение на отрезке [0,T ]. 2. О разрешимости начально-краевой задачи о малых движениях гидромеханической системы с вязкой жидкостью. Опираясь на теорему 8.1, докажем утверждение о корректной разрешимости исходной начально-краевой задачи (см. (2.1), (2.5), (6.1)-(6.4), (2.9), (2.11), (2.12)). Теорема 8.2. Пусть выполнены условия 8.1, т. е. τ f1(t) := (ρ1P0,S1 f 1; M 1(t); ρ2P0,S2 f 2; M 2(t)) β ∈ C ([0,T ]; H1), 0 < β � 1, (8.15) z0 0 0 0 0 τ 3 3 1/2 1 = ( u1; ω 1 ; u2; ω 2 ) ∈ D(A1) = (D(A11) ⊕ C ) ⊕ (D(A22) ⊕ C ) ⊂ D(A1 ) = = (J 1 0,S1 0,S2 (Ω1) ⊕ C3) ⊕ (J 1 (Ω2) ⊕ C3), (8.16) z0 0 0 0 0 τ 1/2 2 1/2 2 2 = (ζ1 ; P2 δ1 ; ζ2 ; P2 δ2 ) ∈ D(B12) = (HΓ1 ⊕ C ) ⊕ (HΓ2 ⊕ C ). (8.17) Тогда исходная начально-краевая задача (с вязкой жидкостью) имеет единственное решение на отрезке [0,T ], которое обладает следующими свойствами. 1◦. Функции z1(t) = ( u1(t, x); ω 1(t); u2(t, x); ω 2(t))τ ∈ C1([0,T ]; (J 0,S (Ω1) ⊕ C3) ⊕ (J 0,S (Ω2) ⊕ C3)) ∩ C([0,T ]; (D(A11) ⊕ C3) ⊕ (D(A22) ⊕ C3)), (8.18) 1 2 z2(t) = (ζ1(t, x); P2 δ1(t); ζ2(t, x); P2 δ2(t))τ ∈ C1([0,T ]; (L2,Γ ⊕ C2) ⊕ (L2,Γ ⊕ C2)) ∩ C([0,T ]; (H1/2 ⊕ C2) ⊕ (H1/2 ⊕ C2)). (8.19) 1 2 Γ1 Γ2 2◦. При любом t ∈ [0,T ] выполнены уравнения (7.26) движения двух жидкостей в полостях, где все слагаемые являются элементами C([0,T ]; J 0,Sk (Ωk )), k = 1, 2. 3◦. При любом t ∈ [0,T ] выполнены уравнения (2.1) и (2.5) движения маятников, где все слагаемые являются элементами из C([0,T ]; C3). Γ 4◦. Выполнены при любом t ∈ [0,T ] кинематические условия (7.13), где слагаемые - элементы из C([0,T ]; H1/2), k = 1, 2, а также кинематические условия (2.9) для угловых k скоростей и угловых перемещений, где все слагаемые - элементы из C([0,T ]; C3). 5◦. Выполнены начальные условия исходной задачи (см. (2.12)). Доказательство. Так как выполнены условия теоремы 8.1, то задача (7.34)-(7.35), согласно этой теореме, имеет единственное сильное решение на отрезке [0,T ]. Это означает, что существуют единственные функции z1(t), z2(t), t ∈ [0,T ], обладающие свойствами (8.18) и (8.19), для которых выполнены уравнения (8.4) и (8.5), где все слагаемые - элементы из C([0,T ]; Hk ), k = 1, 2. В частности, из (8.4) следует, что выполнены уравнения (7.26), где все слагаемые - элементы из C([0,T ]; J 0,Sk (Ωk )). Другая группа уравнений (8.4) дает соотношения (2.1) и (2.5), где все слагаемые - элементы из C([0,T ]; C3). Γk Далее, в силу условий (3.45) уравнение (8.5) равносильно соотношению (8.6), откуда следуют свойства (8.19). В частности, dζk/dt = γn,k uk ∈ C([0,T ]; H1/2), k = 1, 2, поскольку 1/2 0,Sk uk ∈ C([0,T ]; D(Akk )) ⊂ C([0,T ]; D(Akk )) = C([0,T ]; J 1 (Ωk )). Из (8.6), (8.7) следует также, что d(P2 δk )/dt = P2ω k ∈ C1([0,T ]; C2), а из тривиальной связи (см. (2.9)) dδ3/dt = ω3 ∈ C1([0,T ]; C). k k Наконец, для сильного решения (7.34)-(7.35) выполнены начальные условия, если в (7.34) начальные данные принадлежат D(A) ∩ D(B), т. е. справедливы соотношения (8.16), (8.17). Замечание 8.2. Из доказанных свойств решений задачи следует также, что существуют поля pk,2 давлений � , являющиеся решениями вспомогательной задачи (7.23) и обладающие свойствами ∇� pk,2 ∈ C([0,T ]; G 1/2 h,Sk (Ωk )), k = 1, 2, (8.20) поскольку функция ψk ∈ C([0,T ]; HΓk ). Установленные в теореме 8.2 свойства решений исходной задачи характерны для обобщенных решений задач подобного рода, рассматриваемых в областях с липшицевой границей ∂Ωk. Замечание 8.3. Если ∂Ωk почти гладкая (см. [2]), т. е. состоит из гладких кусков с гладкими ∂Γk и ненулевыми внутренними и внешними углами между Γk и Sk, то решение может обладать свойствами 0,Sk uk ∈ C([0,T ]; J 1 (Ωk ) ∩ H 2(Ωk )), k = 1, 2. (8.21) pk,1 В этом случае в первой вспомогательной задаче (7.17) ∇� ∈ G h,Sk (Ωk ), так как ∇� pk,1 = 0 (в Ωk ), ∂ � pk,1 = 0 (на Sk ∂n ), � pk,1 = 2μk k ∂u3 k ∂x3 H 1/2 ∈ Γk . (8.22) При этом из (7.26) следует, что справедливы уравнения движения жидкостей в форме (7.8)- pk (7.10) с ∇� = ∇� pk,1 + ∇� pk,2 , а потому и в искомой форме (6.1), где все слагаемые - элементы из C([0,T ]; L 2(Ωk )). Тогда касательные напряжения на Γk (см. (6.3)) являются элементами из Γk C([0,T ]; H1/2(Γk )), а нормальные напряжения - из C([0,T ]; H1/2). 5. ПРОБЛЕМА НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ 2. Постановка задачи. Случай нулевого собственного значения. Рассмотрим решения однородной задачи (7.34)-(7.35), т. е. задачи (8.4), (8.5), зависящие от t по закону zk (t) = exp(-λt)zk, λ ∈ C, k = 1, 2, (9.1) где λ - комплексный декремент затухания, а zk ∈ Hk - амплитудный элемент. Движения гидромеханической системы вида (9.1) называют нормальными свободными колебаниями. Из (8.4), (8.5) для амплитудных элементов zk приходим к спектральной проблеме A1z1 + gB12z2 = λC1z1, B21z1 = λC2z2. (9.2) Рассмотрим сначала вопрос о том, имеет ли задача (9.2) нулевое собственное значение. Полагая в (9.2) λ = 0, будем иметь систему уравнений A1z1 + gB12z2 = 0, B21z1 = 0. (9.3) Отсюда получаем, что 1/2 2 1/2 2 (A1z1, z1)H1 + (B12z2, z1)H1 = A1 z1 H1 - g(z2, B21z1)H2 = A1 z1 H1 = 0, 12 поскольку B∗ = -B21 (см. (7.47)). Значит, z1 = 0. Далее, так как B12 = diag(B12,1; B12,2), C2 = diag(C2,1; C2,2), (9.4) B12,k = V�k C2,k , V�k := diag(Vk ; Ik ), см. (7.30), (7.32), и операторы C2,k и V�k обратимы (см. (3.21)-(3.25)) и лемму 3.5), то оператор B12 обратим, и из первого условия (9.3), которое теперь имеет вид B12z2 = 0, следует, что z2 = 0. Таким образом, при λ = 0 задача (9.2) имеет лишь тривиальное решение z = (z1; z2)τ = 0. Заметим теперь, что второе соотношение (2.9) для нормальных движений системы приводит к связи -λδ3 = ω3, k = 1, 2. (9.5) k k откуда при λ = 0 следует ввиду свойства ω3 k k = 0, что δ3 = 0 - произвольный элемент из C, k = 1, 2. Итогом проведенных рассуждений является следующее утверждение. Лемма 9.1. Собственному значению λ = 0 отвечает новое состояние покоя гидромеханической системы, которое получается из исходного состояния покоя поворотом маятников на произвольные углы δ3 e 3 и δ3 e 3 соответственно. 1 1 2 2 2 3. Нормальные движения, отличные от состояния покоя. Переход к операторному пучку С. Г. Крейна. Рассмотрим теперь в задаче (9.2) вариант, когда λ ◦= 0. Так как оператор C2 обратим, то из второго уравнения (9.2) получаем, что z2 = λ-1C-1B21z1. Подставляя z2 в первое уравнение (9.2), имеем спектральную задачу A1z1 = λC1z1 + gλ-1B∗ C-1B21z1, (9.6) 21 где уже учтено, что B12 = -B∗ . Осуществляя еще в (9.6) замену A1/2 21 2 1 z1 = ϕ1 (9.7) 1 и действуя слева оператором A-1/2, получаем спектральную задачу L1(λ)ϕ1 = (I1 - λA-1/2C1A-1/2 - gλ-1A-1/2B∗ C-1B21A-1/2)ϕ1 = 0, (9.8) 1 1 1 21 2 1 где спектральный параметр λ входит в первой и минус первой степенях. Лемма 9.2. В задаче (9.8) операторы A�1 := A-1/2 -1/2 -1/2 -1/2 1 C1A1 , B�1 := A1 B∗ C-1B21A (9.9) обладают следующими свойствами. 21 2 1 1◦. Оператор A�1 : H1 → H1 является компактным положительным оператором. 2◦. Если C2 » 0 (система статически устойчива по линейному приближению), то оператор B�1 : H1 → H1 является компактным неотрицательным оператором. Доказательство. 1◦. Свойство неотрицательности A�1 проверяется непосредственно. Так как C1 ограничен и положительно определен (лемма 3.1), то A-1/2 A�1 - положительный оператор, а так как 1 : H1 → H1 компактен, то A�1 - компактный оператор. 2◦. Учитывая, что � B21 = -C2γn (9.10) (см. (7.32), (7.33), (8.6), (9.10)), перепишем B�1 в виде B�1 := -A-1/2B12C-1B21A-1/2 = A-1/2 γn -1/2 1 γn 1/2 2 1 1 (B12� )A1 (9.11) -1/2 1 и заметим, что (B12� )A- : H1 → H1 - ограниченный оператор (см. (8.14)), а A1 : H1 → H1 - компактен. Отсюда следует, что B�1 : H1 → H1 - компактный оператор. Его свойство неотрицательности проверяются непосредственно: H1 21 (B�1ϕ1, ϕ1) = (C-1B A- 1/2 ϕ1, B21A-1/2 ϕ1)H ); 0, (9.12) 2 так как C-1 » 0. 2 1 1 1 Замечание 9.1. Если выполнено условие 2◦ леммы 9.2, то операторный пучок L1(λ) из (9.8) есть вариант хорошо изученного пучка С. Г. Крейна (см., например, [16, гл. 7, п. 1-3]). 4. Дальнейшие свойства операторных коэффициентов пучка С. Г. Крейна. Основываясь на формуле Метивье асимптотического поведения Ωk |\-2/3 λj (Akk ) = ρkμ-1(| j2/3[1 + o(1)], j → ∞, k = 1, 2, (9.13) k 3π2 собственных значений операторов Akk, отвечающих вариационному отношению r μk Ek ( uk, uk )/(ρk Ωk 0,Sk | uk |2dΩk ), uk ∈ J 1 (Ωk ) (9.14) (см. [32], а также [16, c. 279]), получим асимптотическую формулу для собственных значений оператора A�1 из (9.9). Лемма 9.3. Имеет место асимптотическая формула 2 ( 1 '\" 3/2 \2/3 2/3 λj (A�1) = 3π2 k=1 (ρk /μk ) |Ωk | j- [1 + o(1)], j → ∞. (9.15) Доказательство. Рассмотрим задачу на собственные значения для оператора A�1: -1/2 -1/2 A�1ϕ1 := A�1 C1A�1 ϕ1 = λϕ1, ϕ1 ∈ H1. (9.16) Эта задача равносильна задаче C1z1 = λA1z1, z1 ∈ D(A1) ⊂ H1. (9.17) Отсюда и из свойств операторов A�1 и C1 получаем, что собственные значения λj этих задач суть последовательные максимумы вариационного отношения (C1z1, z1)H1 /(A1z1, z1)H1 , которое с учетом определений этих операторов (см. (7.28), (7.29)) принимает вид r Jρ01 r |ω 1 × r1|2dΩ01 + ρ02 r |ω 1 × h1 + ω 2 × r2|2dΩ02 + ρ1 |ω 1 × r1 + u1|2dΩ1+ Ω01 r Ω02 Ω1 2 + ρ2 Ω2 |ω 1 × h1 + ω 2 × r2 + u2|2dΩ02 J '\" μk Ek ( uk, uk )+ α1|ω 1|2 + α2|ω 2 - ω 1|2 . (9.18) k=1 Здесь, как и при доказательстве теоремы 5.1, убеждаемся, что в силу конечномерности подпространств C3, входящих в H1, и опираясь снова на работу [9], что асимптотическое поведение собственных значений λj для вариационного отношения (9.18) такое же, как и для вариационного отношения 2 r '\" ρk k=1 Ωk 2 | uk |2dΩk '\" μk Ek ( uk, uk ). (9.19) k=1 Этому отношению, в свою очередь, отвечают две независимые спектральные задачи λμk Akk uk = ρk uk, k = 1, 2, (9.20) соответствующие колебаниям вязкой жидкости в неподвижных сосудах Ωk. Поэтому для совокупности этих задач, опираясь на (9.13), приходим к выводу, что имеет место формула (9.15) (соответствующие выкладки см., например, в [17, с. 104-105]). Рассмотрим теперь более подробно спектральные свойства оператора B�1 из (9.9). Лемма 9.4. Пусть исследуемая гидромеханическая система не является статически устойчивой по линейному приближению (выполнены лишь условия (3.45)) и квадратичная форма оператора потенциальной энергии C2 индефинитна и имеет κ отрицательных квадратов, 1 � κ � 4 (см. леммы 3.5, 3.6). Тогда оператор B�1 имеет бесконечномерное ядро элементов вида 1/2 1/2 γn 1 ker B�1 = {ϕ1 = A1 z1 : z1 ∈ D(A1 ) ⊂ H1, � z = 0}, (9.21) а квадратичная форма оператора B�1 также индефинитна и имеет ровно κ отрицательных квадратов, т. е. B�1 имеет κ (с учетом кратностей) отрицательных собственных значений, бесконечномерное нулевое собственное значение и счетное множество положительных собственных значений с предельной точкой λ = 0. Доказательство. Заметим сначала, что при условиях данной леммы оператор B�1 является компактным самосопряженным оператором, действующим в H1. Этот факт доказывается точно также, как свойство 2◦ в лемме 9.2. Отсюда следует, что его положительные собственные значения находятся как последовательные максимумы вариационного отношения (B�1ϕ1, ϕ1)H1 /(ϕ1, ϕ1)H1 , (9.22) а отрицательные - как последовательные минимумы этого отношения. Учитывая связь (9.10) и представление (9.9), получим из (9.22) вариационное отношение (C2� γnz1)H2 , z = A-1/2 1/2 1/2 2 1 1 ϕ1 ∈ D(A1 ) ⊂ H1. (9.23) A1 z1 H1 1/2 γn 1 Оно, очевидно, обращается в нуль на тех элементах из D(A1 ), для которых � z = 0. Совокуп- γn ность таких элементов образует ядро оператора B�1. Действительно, если B�1ϕ1 = 0, то B12� z1 = 0, = A-1/2 γn 1 z1 1 ϕ1, и так как оператор B12 обратим (см. (9.4)), то � z = 0, и потому имеет место (9.21). γn Далее, на элементах, для которых � z1 ◦= 0, квадратичная форма в числителе (9.23) принимает отрицательные значения на подпространстве размерности κ и потому, на основе вариационного принципа для отрицательных собственных значений оператора B�1, получаем, что этот оператор имеет ровно κ отрицательных собственных значений (с учетом их кратностей). Остальные собственные значения, кроме нулевого, положительны, и так как B�1 компактен, то они образуют счетное множество конечнократных собственных значений с предельной точкой λ = 0. γn Замечание 9.2. Из определения (8.6), (8.7) оператора � следует, что γn = {z1 ∈ D(� ) : γ u = 0, P ω = 0, k = 1, 2}, (9.24) ker � причем здесь считаем, что 1/2 γn n,k k 2 k 1/2 3 3 � D(γn) = D(A1 ) ⊂ H1, D(A1 ) = (J 0,S1 (Ω1) ⊕ C ) ⊕ (J 0,S2 (Ω2) ⊕ C ). (9.25) Лемма 9.5. Для ненулевых собственных значений оператора B�1 имеет место асимптотическая формула 2 ( 1 '\" ( ρk \2 \1/2 1/2 λj (B�1) = 16π μk k=1 |Γk | j- [1 + o(1)] (j → ∞). (9.26) Доказательство. Вариационное отношение (9.23) в силу определений (7.32) и (7.29) операторов C2 и A1 имеет вид 2 r J '\" ρk r r |γn,k uk + θk ((P2ω k × rk ) · e 3)|2dΓk - |θk ((P2ω k × rk ) · e 3)|2dΓk k=1 Γk k k + Γk 2 + (m1l1 + m2h1)|P2ω 1|2 + m2l2|P2ω 2|2 J '\" μk Ek ( uk, uk )+ α1|ω 1|2 + α2|ω 2 - ω 1|2 , (9.27) k=1 и оно лишь конечномерными слагаемыми отличается от вариационного отношения 2 r '\" ρk k=1 Γk 2 |γn,k uk |2dΓk '\" μk Ek ( uk, uk ). (9.28) k=1 Это отношение, в свою очередь, отвечает двум независимым спектральным задачам � - P0,Sk Δ uk + ∇pk = 0, div uk = 0 (в Ωk ), uk = 0 (на Sk ), τj3( uk ) := μk ( ∂uj k + k ∂x3 \ ∂u3 k = 0, j = 1, 2, k = 1, 2, k ∂xj (9.29) � λ( - pk + 2μk ∂u3 \ k = ρkγn,k uk, k = 1, 2, k ∂x3 соответствующим вариационным отношениям r ρk |γn,k uk |2dΓk (μk Ek ( uk, uk )\, k = 1, 2. (9.30) Γk j=1 Отношения (9.30) порождают положительный дискретный спектр {λj,k }∞ с предельной точкой λ = 0 и асимптотическим поведением ρk (|Γk |\1/2j-1/2[1 + o(1)] (j ), k = 1, 2, (9.31) μ λj,k = k см. [14], а также [27-29]. 16π →∞ Отсюда и из предыдущих рассуждений следует утверждение леммы. Замечание 9.3. Как показано в [16, с. 118], имеет место ортогональное разложение J 1 0,Sk (Ωk ) = N 1(Ωk ) ⊕ M 1(Ωk ), (9.32) 0,Sk где N 1(Ωk ) - ядро оператора γn,k в пространстве J 1 (Ωk ): 0,Sk N 1(Ωk ) = { uk ∈ J 1 (Ωk ) : γn,k uk = 0}, (9.33) 0,Sk γn,k : J 1 k 1/2 (Ωk ) → H�Γ . Ортогональным дополнением к нему является подпространство M 1(Ωk ), состоящее из обобщенных решений задачи Γk - μk P0,Sk Δ uk + ∇pk = 0, div uk = 0 (в Ωk ), uk = 0 (на Sk ), τj3( uk ) = 0, j = 1, 2, γn,k uk = ϕk ∈ H� 1/2, k = 1, 2. (9.34) 5. Нормальные колебания в случае статической устойчивости. Как уже отмечалось, спектральная задача для пучка С. Г. Крейна вида (9.8) достаточно хорошо изучена (см. [16, гл. 7, п. 2, 3]). Поэтому далее приведем без доказательств свойства решений этой задачи, основанные на общих построениях из [16] и установленных выше свойствах операторов A�1 и B�1. Сначала будем считать, что оператор B�1 неотрицателен (выполнено свойство статической устойчивости системы). 1◦. Спектр задачи (9.8) состоит из не более чем счетного множества собственных значений конечной алгебраической кратности, расположенных в правой конечной полуплоскости. Точками сгущения спектра являются точки λ = 0 и λ = ∞. Невещественные собственные значения расположены симметрично относительно вещественной оси. Невещественные собственные значения, а также те вещественные собственные значения, которым отвечают не только собственные, но и присоединенные элементы, расположены в сегменте Re λ ); (2 A�1 )-1, |λ| � 2 B�1 , (9.35) причем их конечное число. Если выполнено грубое условие сильной демпфированности системы, т. е. условие 4g A�1 · B�1 < 1, (9.36) то все собственные значения вещественные (и положительные), и присоединенных элементов задача (9.8) не имеет. 2◦. Если выполнено условие (9.36), то оператор-функция M (λ) := λL1(λ) = λI1 - gB�1 - λ2A�1 (9.37) (см. (9.8)) допускает спектральную факторизацию M (λ) = M+(λ)(λI1 - Z), σ(Z) ⊂ [-r, r], Z = Y B�1, Y, Y -1 ∈ L(H1), (9.38) / r ∈ (r-, r+), r± = (1 ± 1 - 4g A�1 · B�1 /(2 A�1 ), (9.39) а M+(λ) - голоморфная и голоморфно обратимая оператор-функция в окрестности отрезка [-r, r] (и даже в круге любого радиуса r ∈ (r-, r+)). Далее, для оператора Z существует ограниченный положительно определенный правый симметризатор F, поэтому Z подобен самосопряженному оператору. При этом ker Z = ker B�1 ◦= {0}. (9.40) Пусть P0 : H1 → H10 := ker Z - ортопроектор, а P1 := I1 - P0 - дополнительный ортопроектор. Тогда спектральная задача (см. (9.38)) Zϕ1 = λϕ1, λ ∈ (0, r), r ∈ (r-, r+), (9.41) после применения ортопроекторов P0 и P1, переходит в задачу P1ZP1ϕ11 = λϕ11, ϕ10 = λP0ZP1ϕ11, ϕ10 = P0ϕ1, ϕ11 = P1ϕ1. (9.42) Далее, из условия ZF = (ZF )∗ следует, что P1ZP1 = K1F -1, F1 := P1F P1 » 0, K1 = K∗, (9.43) 1 1 и первое уравнение (9.42) преобразуется к виду K1F -1 1 ϕ11 = λϕ11, ϕ11 ∈ H11. (9.44) После замены F -1/2 1 ϕ11 =: ψ11 ∈ H11 (9.45) из (9.44) приходим к спектральной задаче для компактного положительного оператора: F -1/2 -1/2 1 K1F1 ψ11 = λψ11. (9.46) Используя теорему Гильберта-Шмидта, из (9.46) приходим к выводу, что эта задача имеет дискретный положительный спектр с предельной точкой λ = 0, а система собственных элементов задачи (9.46) образует ортонормированный базис в H11. Итогом проведенных кратких пояснений является следующее утверждение. Если выполнено условие (9.36), то задача (9.8) имеет на промежутке (0, r), r ∈ (r-, r+), счетное множество конечнократных собственных значений {λ-}∞ с предельной точкой λ = 0. Этим собственным значениj j=1 ям отвечает система собственных элементов {ϕ- }∞ задачи (9.8), которая после проектирования 1j j=1 на H11 = H1 8 ker B�1 образует базис Рисса в H11. 3◦. Осуществляя в (9.8) замену λ на λ-1 и пользуясь тем, что ker A�1 = {0}, получаем аналогично рассуждениям из 2◦ такой вывод. Если выполнено условие (9.36), то задача (9.8) имеет на промежутке [r+, +∞) счетное множество конечнократных собственных значений {λ+}∞ с преj j=1 дельной точкой λ = +∞. Этим собственным значениям отвечают собственные элементы {ϕ+ }∞ , образующие базис Рисса в H1. 1j j=1 j 4◦. Для собственных значений λ- имеют место вариационные принципы λ- j = min max p-(ϕ1), dim N ⊥=j-1 0/=ϕ1∈N (9.47) - λj = max min p-(ϕ1), dim M =j 0/=ϕ1∈M где M - произвольное j-мерное подпространство из H1, N - произвольное подпространство из H1 коразмерности j - 1, а / 2 p±(ϕ1) := (ϕ1, ϕ1)H1 ± H1 (ϕ1, ϕ1) - 4g(A�1ϕ1, ϕ1)H1 · (B�1ϕ1, ϕ1)H1 2(A ϕ ,ϕ ) . (9.48) �1 1 1 H1 j Для собственных значений λ+ аналогичные утверждения (вариационные принципы) также имеют место; они получаются из (9.47) формальной заменой λ- на 1/λ+, A�1 на gB�1, gB�1 на A�1. j j Из приведенных вариационных принципов получаем следующие двусторонние оценки: j gλj (B�1) � λ- � gλj (B�1)/(1 - 2λj (B�1) A�1) ), j = 1, 2,..., j 1/λj (A�1) - 2g B�1) � λ+ � 1/λj (A�1), j = 1, 2,.... Из них, в свою очередь, имеем асимптотические формулы λ- j = gλj (B�1)[1 + o(1)], j → ∞, (9.49) (9.50) λ+ -1 j = (λj (A�1)) [1 + o(1)], j → ∞. 5◦. Сначала напомним известные определения (см. [23], [17, с. 76]). Определение 9.1. Будем говорить, что оператор A ∈ S∞(H) имеет конечный порядок, если A принадлежит классу Sp(H) (0 < p < ∞), т. е. его s-числа (собственные значения оператора (A∗A)1/2) суммируемы со степенью p: ∞ '\"(sj (A))p < ∞. (9.51) j=1 Нижнюю грань значений p для оператора A называют порядком оператора A и обозначают p(A). j=1 Определение 9.2. Базис Рисса {ψj }∞ гильбертова пространства H, получаемый из ортонорj=1 мированного базиса {ϕj }∞ по закону ψj = (I + T )ϕj, T ∈ Sp(H), ∃ (I + T )-1 ∈ L(H), (9.52) называют p-базисом (см. [26]). При p = 2 говорят о базисе Бари. j Для задачи (9.8) в приведенных терминах имеем следующее утверждение. Система собственных элементов, отвечающее собственным значениям λ- операторного пучка (9.8), расположенным на отрезке [-r, r], r ∈ (r-, r+), после проектирования на подпространство H11 = P1H1, образует p-базис в H11 при 0 p ); p0, p-1 = (p A�1 )-1 + (p B�1 )-1 = 2 1 7 + = 3 2 6 , p0 = 6 . (9.53) 7 j Соответственно, система собственных элементов, отвечающая собственным элементам λ+ из промежутка [r+, +∞), образует p-базис во всем пространстве H1 при тех же p. Доказательство сформулированных фактов можно найти в [17], если заметить, что в силу асимптотических формул (9.15), (9.26) A�1 ∈ S3/2(H1), и воспользоваться теоремой 3.2.1 из [17, с. 89]. B�1 ∈ S2(H1), (9.54) j 6◦. Если условие (9.36) сильной демпфированности не выполнено, то задача (9.8) по-прежнему имеет дискретный спектр с предельными точками λ = 0 и λ = +∞. При этом ветвь собственных значений λ- с предельной точкой λ = 0 расположена на положительной полуоси и по-прежнему j имеет асимптотическое поведение (9.50), а проекции собственных элементов образуют в H11 базис Рисса с точностью конечного дефекта. Соответственно ветвь собственных значений λ+ с предельной точкой λ = +∞ также расположена на положительной полуоси и по-прежнему имеет асимптотическое поведение (9.50) (вторая формула), а собственные элементы, отвечающие этой ветви, образуют базис Рисса в H1 с точностью конечного дефекта. Кроме того, как уже упоминалось, в секторе (9.35) может быть не более конечного числа невещественных собственных значений, а также тех вещественных, у которых имеются не только собственные, но и присоединенные элементы. 6. Обращение теоремы Лагранжа об устойчивости. Будем теперь считать, что квадратичная форма оператора B�1 в задаче (9.8) индефинитна и имеет κ отрицательных квадратов, 1 � κ � 4 (лемма 3.6), т. е. гидромеханическая система не является статически устойчивой по линейному приближению. Покажем, что в этом случае система и динамически неустойчива. Теорема 9.1. Пусть выполнено условие (9.36), а также условия общего положения (3.45), причем квадратичная форма оператора потенциальной энергии C2 имеет κ отрицательных квадратов. Тогда задача (9.8) имеет ровно κ отрицательных собственных значений, расположенных на промежутке [-r-, 0). Доказательство. Введем, как и выше, функцию H1 1 1 H1 1 1 1 H1 1 1 1 H1 f (λ) := (λL1(λ)ϕ1, ϕ1) = λ(ϕ , ϕ ) - (B� ϕ , ϕ ) - λ2(A� ϕ , ϕ ) (9.55) и корни квадратного трехчлена f (λ), т. е. функционалы p±(ϕ1) из (9.48). Так как A�1 > 0, а квадратичная форма оператора B�1 имеет κ отрицательных квадратов (лемма 9.4), то собственные значения λ в левой полуплоскости могут существовать лишь для функционала p-(ϕ1) и при условии (B�1ϕ1, ϕ1)H1 < 0, т. е. на подпространстве размерности κ. При условии факторизации (9.36) эти собственные значения могут располагаться на промежутке [-r-, 0). Здесь снова возникает спектральная задача (9.41), однако теперь на промежутке (-r, r), r ∈ (r-, r+). Она затем переходит в задачу (9.42), а после в (9.46), где теперь оператор K1 имеет ровно κ отрицательных собственных значений. Отсюда получаем, что и исходная задача (9.8) имеет на промежутке [-r-, 0) ровно κ отрицательных собственных значений (с учетом их кратностей). Для обоснования сформулированных выводов заметим, что для задачи (9.8) на промежутке (-r, r), r ∈ (r-, r+), выполнены следующие свойства. 1◦. Для любого ϕ1 ∈ H1 функция f (λ) имеет на этом промежутке ровно один корень p-(ϕ1). 2◦. Функция f (λ) возрастает в точке p-(ϕ1): f 1(λ) / = ϕ ,ϕ ) 4g(A ϕ ,ϕ ) (B ϕ ,ϕ ) > 0, ϕ = 0. - λ=p (ϕ1) ( 1 1 H1 - �1 1 1 H1 �1 1 1 H1 1 ◦ 3◦. Функционал p-(ϕ1) при ϕ1 ◦= 0 непрерывен. 4◦. Имеют место неравенства sup p-(ϕ1) � r- < r, r ∈ (r-, r+), inf p-(ϕ1) ); -r- > -r. 5◦. Операторный пучок M (λ) = λL1(λ) имеет на промежутке (-r, r) последовательность конечнократных собственных значений с предельной точкой λ = 0. Этот факт доказывается так же, как соответствующие преобразования из (9.37)-(9.46) с учетом того, что Z1 подобен самосопряженному оператору. 6◦. Система собственных элементов задачи (9.41), отвечающая собственным значениям из (-r, r), полна в H1 с учетом того, что бесконечнократному собственному значению λ = 0 отвечает ортонормированный базис из подпространства H10 = ker Z = ker B�1. j При выполнении свойств 1◦-6◦ для отрицательных собственных значений λ-,- задачи (9.8) справедлив следующий вариационный принцип Пуанкаре-Ритца (см. [1]): λ-,- j = min max p-(ϕ1), dim M =j 0/=ϕ1∈M где M - произвольное j-мерное подпространство в H1. Так как p-(ϕ1) принимает отрицательные значения на подпространстве максимальной размерности κ, то задача (9.8) имеет ровно κ отрицательных собственных значений. В качестве следствия из теоремы 9.1 получаем такое утверждение. Теорема 9.2 (обращение теоремы Лагранжа об устойчивости). Пусть выполнены условия теоремы 9.1, т. е. исследуемая система является статически неустойчивой и индекс неустойчивости (количество отрицательных квадратов квадратичной формы оператора потенциальной энергии C2) - число κ ); 1. Тогда данная гидромеханическая система является и динамически неустойчивой, причем неустойчивость системы теряется на экспоненциально возрастающих по времени нормальных движениях (см. (9.1) при λ < 0), т. е. неколебательным образом (Im λ = 0).

Об авторах

Н Д Копачевский

Таврическая академия Крымского федерального университета им. В. И. Вернадского

Email: kopachevsky@crimea.edu
295007, г. Симферополь, пр-т Академика Вернадского, д. 4

В И Войтицкий

Таврическая академия Крымского федерального университета им. В. И. Вернадского

Email: victor.voytitsky@gmail.com
295007, г. Симферополь, пр-т Академика Вернадского, д. 4

З З Ситшаева

Крымский инженерно-педагогический университет

Email: szz2008@mail.ru
295015, г. Симферополь, пер. Учебный, д. 8

Список литературы