Конусы Гординга и уравнения Беллмана в теории гессиановских операторов и уравнений

Аннотация

В работе продолжено изучение алгебраических свойств конусов Гординга в пространстве симметричных матриц. На этой базе намечен новый подход к исследованию полностью нелинейных дифференциальных операторов и уравнений в частных производных второго порядка. Найдены теоремы сравнения нового типа для эволюционных гессиановских операторов, а также установлена связь гессиановских уравнений с уравнениями Беллмана.

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ Современная теория полностью нелинейных дифференциальных уравнений с гессиановскими операторами является результатом взаимодействия двух факторов. Первый - классическая теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, обогащенная в начале 80-х результатами из [6, 10, 11, 14]. В публикациях [8, 13, 20] предпринята попытка создания общей теории полностью нелинейных уравнений по аналогии с теорией линейных и квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка. Второй фактор - теория однородных a-гиперболических многочленов многих переменных, представленная в 1959 г. Л. Гордингом в статье [15]. Приведем несколько фрагментов этой теории. Начинается статья с понятия a-гиперболического многочлена Pm(x),m > 0,x ∈ RN [15, с. 957]: Определение 1.1. Пусть a ∈ RN , Pm(a) /= 0, Pm(tx) = tmPm(x), t ∈ R. Многочлен Pm(x) называется a-гиперболическим, если многочлен одной переменной p(t) = Pm(ta + x) имеет m вещественных корней для любого x ∈ RN . Естественными примерами a-гиперболических многочленов с a = (1,..., 1) являются элементарные симметрические функции порядка m. В [15, с. 960] любому a-гиперболическому многочлену, a ∈ RN , сопоставляется конус C(Pm, a)= {x ∈ RN : Pm(ta + x) /= 0, t ;; 0}. (1.1) Наконец, как следствие основной теоремы 1 из [15, с. 961], сформулирована работающая в приложениях теорема 2. Приведем ее укороченную версию. Теорема 1.1. Пусть Pm - a-гиперболический многочлен. Тогда конус Cm(Pm, a) есть выпуклое множество. Более того, если b ∈ Cm(Pm, a), то Pm является b-гиперболическим и Cm(Pm, b)= Cm(Pm, a). Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта РФФИ № 15-01-07650. Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 615 Удивительная алгебраическая теория Л. Гординга проникла в область полностью нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных благодаря авторам статьи [13], где содержится первое упоминание о ней в этом контексте. Независимо от публикаций [13, 15], примеры гиперболических многочленов и конусов (1.1) под именем конусов устойчивости дифференциальных операторов составляют содержание заметки [1] (1983 г.). Причем в [1] эти конструкции рассматриваются для многочленов с аргументами не только из RN , но также из пространства симметричных матриц. Автору [1] не удалось доказать выпуклость конусов устойчивости в общем случае, пока не выяснилось, что они являются матричными аналогами конусов Гординга (1.1). С этого времени алгебраическая теория Л. Гординга является полноправным фундаментом теории полностью нелинейных уравнений. В статьях [4, 12] воспроизводятся основные положения теории Л. Гординга (в том числе для многочленов с матричным аргументом), а также демонстрируется ее роль в теории полностью нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Помимо синтеза с алгебраической теорией Л. Гординга, исследование полностью нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка привело к появлению новых направлений в дифференциальной геометрии и функциональном анализе. Такая смесь затрудняет восприятие результатов, полученных непосредственно для уравнений. В надежде сделать современную теорию полностью нелинейных уравнений более прозрачной, в статьях [3, 4, 17, 18] предпринята попытка отделить те новые алгебро-геометрические структуры, которые сопровождают эту теорию, от самих уравнений. В предлагаемой статье продолжено отделение новых направлений в алгебре от их приложений к полностью нелинейным уравнениям. Так, раздел 2 данной работы содержат модернизированный обзор новых алгебраических понятий, возникших в результате развития теории Л. Гординга, и формулировку некоторых нелинейных алгебраических проблем, интересных независимо от каких-либо приложений. Раздел 3 посвящен следствиям этой деятельности для теории полностью нелинейных уравнений. Рассматриваются операторы и уравнения гессиановского типа, т. е. F (uxx)= f. В пункте 3.1 мы демонстрируем принцип построения гессиановских операторов, для которых корректно понятие конуса допустимых функций, т. е. множества, контролируемого только знаком оператора. В публикациях Н. В. Крылова [6-8, 20] показано, что многие полностью нелинейные уравнения допускают эквивалентное представление в форме уравнений Беллмана. На основе дуальных конусов Гординга, построенных в разделе 2, в пункте 3.2 мы устанавливаем новую связь между гессиановскими операторами и операторами Беллмана. В качестве примеров рассмотрим здесь классическое уравнение Монжа-Ампера 1 det uxx = f n, x ∈ Ω¯ ⊂ Rn, (1.2) и его эволюционный аналог 2 -ut det uxx = f n+1, (x, t) ∈ Q¯T = Ω¯ × [0; T ]. (1.3) Как это следует из результатов пункта 3.2 данной статьи, справедливы теоремы: Теорема 1.2. Пусть ω ∈ Sym+(n), det ω = 1, где Sym+(n) - пространство симметричных положительно определенных n × n-матриц. Предположим, что функция u ∈ C2(Ω¯ ) есть решение уравнения Тогда u - выпуклая в Ω¯ inf(ω, uxx)= f1 > 0, f1 ∈ C(Ω¯ ). (1.4) {ω} функция, для которой справедливо равенство (1.2). С другой стороны, для того, чтобы C2-решение u уравнения (1.2) было решением уравнения (1.4), необходимо и достаточно, чтобы u была выпуклой в Ω¯ функцией. В (1.4) и далее символом (S1, S2) обозначено скалярное произведение симметричных матриц. Теорема 1.3. Пусть ω ∈ Sym+(n). Предположим, что u ∈ C2,1(Q¯T ) - решение уравнения inf {ω} ( -ut det ω \ + (ω, uxx) = f2 > 0, f2 ∈ C(Q¯T ). (1.5) Тогда u - монотонно-выпуклое в Q¯T решение уравнения (1.3). С другой стороны, для того, чтобы C2,1-решение u уравнения (1.3) удовлетворяло уравнению (1.5), необходимо и достаточно, чтобы функция u была монотонно-выпуклой в Q¯T . Отметим, что в статье [22] монотонно-выпуклыми названы функции u = u(x, t), отрицательно монотонные по t и выпуклые по x. В теореме 1.3 мы следуем этой терминологии. Если уравнение Монжа-Ампера (1.2) было предметом исследования с давних пор (см. [9]), то его параболический аналог (1.3) впервые появился в книге [7, с. 307, пример 8]. В статье [16] уравнение (1.3) включено в семейство m-гессиановских эволюционных уравнений, m = n. Новым примером является уравнение 3 -utt det uxx = f n+1, (x, t) ∈ Q¯T = Ω¯ × [0; T ], (1.6) По аналогии с монотонно-выпуклыми, назовем вогнуто-выпуклыми функции, вогнутые по t и выпуклые по x. Справедлива Теорема 1.4. Пусть ω ∈ Sym+(n). Предположим, что u ∈ C2,2(Q¯T ) - решение уравнения inf {ω} ( -utt det ω \ + (ω, uxx) = f3 > 0, f2 ∈ C(Q¯T ). (1.7) Тогда функция u - вогнуто-выпуклая в Q¯T и удовлетворяет уравнению (1.6). С другой стороны, для того, чтобы C2,2-решение u уравнения (1.6) удовлетворяло уравнению (1.7), необходимо и достаточно, чтобы u была вогнуто-выпуклой в Q¯T функцией. Мы привели эти однотипные теоремы для того, чтобы подчеркнуть, что в отличие от линейного случая, в теории уравнений с нелинейными гессиановскими операторами главным контролером является знак оператора. Заметим еще, что уравнения (1.4), (1.5) и (1.7) являются уравнениями Беллмана. В пункте 3.3 продемонстрировано применение алгебраических результатов из раздела 2 для получения новых теорем сравнения для гессиановских эволюционных операторов. Хорошо известно, что в современной теории полностью нелинейных дифференциальных уравнений теоремы сравнения являются ключом к построению априорных оценок решений. Мы приводим простейшие примеры такого взаимодействия для допустимых решений гессиановских эволюционных уравнений. 2. КОНУСЫ ГОРДИНГА В ПРОСТРАНСТВЕ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ 1. Конусы m-положительных матриц. В этом параграфе и далее используем следующие обозначения: i,j=1 Sym(n) - пространство симметричных n × n-матриц S = (sij )n ; Sym+(n) ⊂ Sym(n) - подпространство положительно определенных матриц; (S1, S2)= tr(S1S2) - скалярное произведение симметричных матриц, равное следу их произведения; I - единичная матрица; det S - определитель матрицы S; Tm(S) - m-след матрицы S, равный сумме всех главных миноров det S порядка m, 0 <m � n; ( ∂Tm(S)\n ∇Tm(S)= ∂sij i,j=1 - градиент матричной функции Tm. В статьях [1, 2] впервые были рассмотрены операторы, вычисляющие m-след гессиана C2функций, и введены конусы их устойчивости как естественные множества разрешимости задачи Дирихле. Матричными репликами этих конструкций служили функции Tm(S) и конусы Km = {S ∈ Sym(n): Tp(S) > 0, p = 1,..., m}, m = 1,..., n. (2.1) В [1] показано, что корни многочлена p(t)= Tm(S +tI),t ∈ R, вещественны для любой матрицы S ∈ Sym(n), указано представление m n Tm(S + tI)= Cm ) k=0 Ck C k m Tk (S)tm-k , (2.2) n и отмечен очевидный факт, что все коэффициенты многочлена положительны тогда и только тогда, когда все его корни отрицательны. Впоследствии это привело автора [1] к справедливому заключению, что если рассматривать симметричные матрицы S как элементы пространства RN с N = n(n + 1)/2, то, согласно определению 1.1, многочлен Tm(S) является I-гиперболическим в смысле Гординга, а конус (2.1) совпадает с соответствующим конусом Гординга (1.1): Km = C(Tm,I). При этом определение (2.1) позволяет заменить вычисление корней многочлена Tm(S + tI) вычислением m-следов det S и делает очевидной цепочку вложений Sym+(n)= Kn ⊂ Kn -1 ··· ⊂ K1 = {S ∈ Sym(n): trS > 0}. (2.3) Из теоремы 1.1 для конусов Гординга следует, что конус (2.1) есть выпуклое множество в пространстве Sym(n), и если S0 ∈ Km, то Km = C(Tm, S0), т. е. справедлива следующая лемма: Лемма 2.1. Пусть S0 ∈ Km, S ∈ Sym(n). Для того, чтобы S ∈ Km, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты многочлена pm(t)= Tm(S + tS0) были положительны. В некоторых ситуациях удобно использовать иные описания конусов Km. Например, такое: { ∈ } Km = S Sym(n): inf Tm(S + tI) > 0 , (2.4) t>0 естественным дополнением которого является t>0 Sym(n)\Km = {S ∈ Sym(n): inf Tm(S + tI) � 0}. Из равенств (2.2) и (2.4) получаем еще одно определение: { ∈ } Km = S Sym(n): inf Tm(S + tI)= Tm(S) . (2.5) t>0 Наконец, большое теоретическое значение имеет следующая простая лемма, доказанная, например, в [5]. Лемма 2.2. Конус Km есть компонента связности множества {S ∈ Sym(n) : Tm(S) > 0}, содержащая I. Причем единичную матрицу можно заменить на любую матрицу S0 ∈ Km. Далее матрицы из конуса Km мы называем m-положительными. Подробное исследование mположительных матриц содержится в публикациях [4, 17], а в работе [5] на них распространен критерий Сильвестра. Именно, справедлива Теорема 2.1. Пусть S ∈ Sym(n), 1 � m � n. Обозначим символом S×i1,i2,...,ik ∗ матрицу, полученную из матрицы S заменой строк и столбцов с номерами i1, i2,..., ik на нулевые. 1. Для произвольного номера 1 � i � n верно следующее: - Km = {S ∈ Sym(n): Tm(S) > 0, S<i> ∈ Km 1}. (2.6) 2. Для произвольного набора различных номеров 1 � i1, i2,..., im-1 � n верно следующее: Km = {S ∈ Sym(n): Tm(S) > 0, Tm-1(S× i1∗ ) > 0,..., T1(S ×i1,i2,...,im-1∗ ) > 0}. В приложениях центральную роль играет пункт (i) теоремы 2.1. 2. Дуальные конусы. Определением Km d = {Sd ∈ Sym(n): (Sd, S) > 0,S ∈ Km}, m = 1,..., n, введем в рассмотрение дуальные конусы Km. Поскольку Kn = K¯n\{0}, то вместе с соотношениd d ями (2.3) приходим к цепочке вложений: d ⊂ Kd ··· ⊂ Kd ⊂ K¯n ⊂ K¯n-1 ··· ⊂ K¯1. K1 2 n Очевидно, что K1 = {λI, λ > 0}, I = ∇T1(S), Kn\∂Kn = {∇Tn(S),S ∈ Kn}. В связи с этим d d можно предложить иную версию дуальных конусов при m> 1: Km = {∇Tm(S),S ∈ Km}, 1 <m � n. Справедлива Лемма 2.3. Для m = 2,...,n выполнены равенства Km = Km\∂Km. d d Заметим, что вложение Km ⊂ Km\∂Km является простым следствием хорошо известных в теории Л. Гординга [15] неравенств d d m-1 1 (∇Tm(S1), S2) ;; mT m (S1)T m (S2), S1, S2 ∈ K , m = 1,..., n. (2.7) m m m Доказательство обратного вложения для 1 <m<n мы оставляем читателю. Введем теперь 1-однородную функцию 1 m Fm(S) := T m (S). Реплика неравенства (2.7) для Fm выглядит особенно просто: (∇Fm(S1), S2) ;; Fm(S2), S1, S2 ∈ Km, (2.8) и означает, что функция Fm вогнута в конусе m-положительных матриц. Замечание 2.1. Неравенства (2.7), (2.8) точные, причем равенство достигается на S1 = S2. Введем обозначение ωm = {∇Fm(S),S ∈ Km}. Множество ωm является нормированным подмножеством Km в том смысле, что состоит из 0однородных матриц-функций ∇Fm. Сформулируем одно простое следствие лемм 2.2, 2.3 и неравенства (2.8). Лемма 2.4. Справедливы соотношения: ω Km = {S ∈ Sym(n): inf(ω, S) > 0}, m = 1,..., n. m При этом для m-положительных матриц выполнено равенство inf(ω, S)= Fm(S). ωm Безусловно существует описание множеств ωm, независимое от ∇Fm(S). Cформулируем гипотезу: n ωm = {S ∈ Kn : Tp(S)= Cp,p = m,..., n}, 1 � m � n. (2.9) Отметим, что при m =1 и m = n равенства (2.9) очевидны. Замечание 2.2. Поскольку следы Tm ортогонально инвариантны, т. е. справедливы тождества Tm(S) = Tm(BSBT ), BBT = I, утверждения этого параграфа автоматически переносятся на любое подпространство Sym(n). В частности, они справедливы для подпространства диагональных матриц, эквивалентного Rn. В приложениях используется также подпространство эволюционных матриц Symev (n + 1) ⊂ Sym(n + 1), у элементов которого в первой строке и столбце отличен от 0 может быть лишь диагональный элемент. 3. Сравнение m-положительных матриц. Аппаратом такого сравнения являются неравенства (2.7), (2.8) и монотонность m-следов в Km. Именно, справедлива Теорема 2.2. Для любых S1 ∈ Km, S2 ∈ K¯m\{0} справедливо неравенство Tm(S1 + tS2) > Tm(S1), t > 0. (2.10) Доказательство. Рассмотрим разложение многочлена Tm(S1 + tS2) по степеням t с коэффициентами αk , зависящими от S1 и S2: m Tm(S1 + tS2)= ) αk tm-k + Tm(S1). k=1 Из условия данной теоремы и леммы 2.1 следует, что αk ;; 0, k = 1,..., m. Если αk =0 для всех k = 1,..., m, то Tm(S1 + tS2) ∈ Km при любом значении t ∈ R, что невозможно. Следовательно, существует хотя бы один положительный коэффициент αk , и неравенство (2.10) доказано. Cформулируем условия, достаточные для того, чтобы разность m-положительной и симметричной матриц не попадала в замкнутый конус K¯m. Заметим, что в приложениях к дифференциальным уравнениям (см. раздел 3) важно лишь, что разность не попадает в более узкий конус K¯n ⊂ K¯m. Следствие 2.1. Пусть S ∈ Km, S /= S1 и для матрицы S1 выполнено хотя бы одно из неравенств 1. inf Tm(S1 + tI) � Tm(S); t>0 2. Tm(S1) � Tm(S); 3. (∇Fm(S2), S1) � Fm(S) с некоторой матрицей S2 ∈ Km. Тогда (S1 - S) ∈/ K¯m. Доказательство. Предположим, что (S1 - S) ∈ K¯m. Тогда S1 = S1 - S + S ∈ Km по теореме 2.2 и Tm(S1) = Tm(S1 - S + S) > Tm(S), что противоречит условию 2. Это предположение также не совместимо ни с одним из условий 1 и 3, так как inf Tm(S1 + tI) = Tm(S1) согласно (2.5) и t>0 (∇Fm(S2), S1) ;; Fm(S1) по неравенству (2.8). В заключение этого параграфа отметим, что множество m-положительных матриц является центральным и для дробей T (S)= Tm m,l Tl 1 m,l (S), Fm,l(S)= T m-l (S), 0 � l< m � n, введенных в статьях [21, 23, 24]. Именно, все вышесказанное, включая определение (1.1), справедливо и для функций Tm,l. Было бы интересно найти аналитическое описание всех функций такого типа. 3. ГЕССИАНОВСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 4. Конусы допустимых функций. В теории дифференциальных уравнений в частных проi,j=1 изводных второго порядка одним из основных объектов является матрица Гессе uxx = (uij )n . Термин «гессиановские уравнения» был введен в публикации [25] (1995 г.) для уравнений вида F (uxx) = f и с тех пор является общепринятым как для уравнений, так и для операторов F [u] := F (uxx). Для того чтобы учесть специфику операторов Tm[u] := Tm(uxx), мы назвали их m-гессиановскими. В статье [13] предпринята попытка описать общий класс гессиановских уравнений, для которых существует функциональный конус корректной постановки задачи Дирихле. Элементы этих конусов были названы допустимыми функциями, [13, с. 263]. Следуя этой терминологии, мы называем функцию m-допустимой, если она принадлежит функциональному аналогу матричного конуса (2.1): Km(Ω¯ ) = {u ∈ C2(Ω¯ ) : Tp[u](x) > 0, p = 1,..., m}. (3.1) Согласно лемме 2.2, для проверки m-допустимости функции u достаточно убедиться, что Tm[u] > 0 для всех x ∈ Ω¯ и uxx(x0) ∈ Km хотя бы в одной точке x0 ∈ Ω¯ . На основе стационарного m-гессиановского оператора Tm[u] в статьях [16, 19] введены понятия m-гессиановского эволюционного оператора и m-допустимых эволюций. В данной работе вводим новое понятие m-гессиановских гиперэволюций. Следующие определения сформулированы с учетом того, что Tn+1(S) ≡ 0. Определение 3.1. Пусть Ω - ограниченная область в Rn, QT =Ω × (0; T ). Операторы Em[u] := -utTm-1(uxx)+ Tm(uxx), m = 1,...,n + 1, (3.2) называем m-гессиановскими эволюционными, а функции из конуса ev Km (Q¯T )= {u ∈ C - m-допустимыми эволюциями. Определение 3.2. Операторы 2,1 (Q¯T ): Ep[u](x, t) > 0, p = 1,..., m} (3.3) Hm[u] := -uttTm-1(uxx)+ Tm(uxx), m = 1,...,n + 1, (3.4) назовем m-гессиановскими гиперэволюционными, а функции из конуса he Km (Q¯T )= {u ∈ C 2,2 (Q¯T ): Hp[u](x, t) > 0, p = 1,..., m} (3.5) - m-допустимыми гиперэволюциями. Определения 3.1, 3.2 следует рассматривать как иллюстрации к замечанию 2.2. Введем подпространство Symev (n + 1) ⊂ Sym(n + 1), состоящее из матриц вида i,j=0 Sˆ = (sij )n i,j=1 , s00 = s ∈ R, s0i = si0 = 0, (sij )n = S ∈ Sym(n). Будем называть такие матрицы эволюционными и обозначать их для краткости парой (s; S): Symev (n + 1) = {Sˆ = (s; S),s ∈ R,S ∈ Sym(n)}. Тогда Em[u]= Tm(Sˆ[u]), Hm[u]= Tm(Sˆ[u]), Sˆ[u]= (-ut; uxx), (3.6) Sˆ[u]= (-utt; uxx). Следовательно, согласно замечанию 2.2, все утверждения раздела 2 можно применить как к оператору Tm, так и к Em, Hm. Например, сочетание леммы 2.2 и теоремы 2.1 (критерий Сильвестра) дает достаточные условия того, чтобы знак операторов Em, Hm контролировал m-допустимость эволюций. Теорема 3.1. Пусть D ⊂ QT - связная область, u ∈ C2,2(D¯ ), 1 � m � n. Предположим, что имеется точка (x0, t0) ∈ D¯ , для которой uxx(x0, t0) ∈ Km-1. Тогда 1. если для всех (x, t) ∈ D¯ 2. если для всех (x, t) ∈ D¯ m выполнено неравенство Em[u] > 0, то u ∈ Kev (D¯ ); m выполнено неравенство Hm[u] > 0, то u ∈ Khe(D¯ ). Доказательство. Чтобы доказать утверждение (i), рассмотрим эволюционные матрицы (-ut; uxx). Из (3.6), (2.1) следует, что Sˆ[u] = m u ∈ Kev (D¯ ) ⇔ Sˆ[u](x, t) ∈ Km ⊂ Sym(n + 1), (x, t) ∈ D¯ . (3.7) Множество эволюционных матриц {Sˆ[u](x, t), (x, t) ∈ D¯ } связно в пространстве Sym(n + 1) и, по условию (i) теоремы, Tm(Sˆ[u]) = Em[u] > 0 для всех (x, t) ∈ D¯ . Тогда по лемме 2.2 для справедливости (3.7) достаточно, чтобы матрица Sˆ[u] была m-положительна хотя бы в одной точке области доказано. D¯ . Такая точка имеется по условию теоремы и равенству (2.6). Утверждение (i) m Чтобы доказать утверждение (ii), надо повторить это рассуждение для Khe(D¯ ), положив Sˆ[u]= (-utt; uxx). 5. Связь с операторами Беллмана. Покажем, что для m-гессиановских операторов Tm[u], Em[u], Hm[u] в конусах допустимых функций существует иное представление. Теорема 3.2. Справедливы утверждения: 1. для любого 1 � m � n уравнение Tm[u]= f m равносильно в конусе (3.1) равенству Bm[u] := inf(ω, uxx)= f > 0, ωm = {ω ∈ Sym+(n): Tp(ω)= Cp,p = m,..., n}; (3.8) ωm n 2. для любого 1 � m � n +1 уравнение Em[u]= f m равносильно в конусе (3.3) равенству ωe Be m[u] := inf m (-utω0 + (ω, uxx)) = f, (3.9) ωe m = {(ω0 ; ω) ∈ Symev (n + 1) ∩ Sym+ (n + 1) : Tm(ω0 n+1 ; ω)= Cp ,p = m,...,n + 1}; 3. для любого 1 � m � n +1 уравнение Hm[u]= f m равносильно в конусе (3.5) равенству ωe Bh m[u] := inf m (-uttω0 + (ω, uxx)) = f. (3.10) Доказательство. Заметим, что в случае m =1 утверждения теоремы очевидны, а соответствующие операторы приобретают классический вид: T1[u]= B1[u]= Δu, E1[u]= Be[u]= -ut + Δu, H1[u]= Bh[u]= -utt + Δu. 1 1 Докажем утверждения (i)-(iii) для общего случая. Начнем с утверждения (i). Вследствие леммы 2.4 и представления (2.9) справедливо равенство 1 T m ¯ ∈ m [u]= inf(ω, uxx), u Km(Ω), (3.11) ωm и поэтому m-допустимые решения уравнения Tm[u] = f m удовлетворяют уравнению (3.8), и наоборот. В соответствии с замечанием 2.2 справедливы эволюционные аналоги (3.11). Именно, для всех m = 1,...,n +1 справедливы равенства 1 E m 0 ev ¯ ωe m [u]= inf(-utω m + (ω, uxx)), u ∈ Km (QT ), 1 H m 0 he ¯ ωe m [u]= inf(-uttω m что и доказывает утверждения (ii), (iii). + (ω, uxx)), u ∈ Km (QT ), Уравнения (3.8), (3.9), (3.10) называются уравнениями Беллмана, и мы переносим эту терминологию на соответствующие операторы. Покажем, что знак операторов Беллмана контролирует принадлежность возможных решений уравнений Беллмана соответствующим функциональным конусам. Лемма 3.1. Пусть функция f > 0 непрерывна. Тогда любое C2-решение уравнения (3.8) является m-допустимой функцией, C2,1-решение уравнения (3.9) - m-допустимой эволюцией, а C2,2-решение уравнения (3.10) - m-допустимой гиперэволюцией. m Действительно, множества ωm в (3.8), ωe в (3.9), (3.10) являются полномочными представителями дуальных к Km, Kev , Khe конусов, и утверждение леммы есть следствие леммы 2.4 и m m равенства (2.9). Заметим, что теорема 3.2 и лемма 3.1 доказаны нами при условии справедливости гипотезы (2.9). Утверждения теорем 1.2-1.4, сформулированных во введении, являются следствиями теоремы 3.2 и леммы 3.1. 6. Сравнение m-допустимых эволюций. В теории дифференциальных уравнений одной из основных является проблема корректной постановки задач. Очевидно, с этого момента пути исследования свойств допустимых функций (3.1), эволюций (3.3) и гиперэволюций (3.5) расходятся. Условиям разрешимости задачи Дирихле для гессиановских уравнений посвящено достаточно работ, начиная с [13] и кончая [18], где проводится алгебро-геометрический анализ таких условий для m-гессиановских уравнений. Эволюционные m-гессиановские уравнения впервые были представлены в работе [16], где обсуждается разрешимость первой-начально краевой задачи в цилиндре. О разрешимости гиперэволюционных m-гессиановских уравнениях мы ничего сказать не можем. В этом разделе статьи мы выясняем, что дают алгебраические результаты раздела 2 для mгессиановских эволюционных уравнений. Итак, имеется функция u ∈ C2,1(Q¯T ), эволюционная матрица Sˆ[u]= (-ut; uxx) ∈ Symev (n + 1), m-гессиановские эволюционные операторы Em[u] = Tm(Sˆ[u]), явно выписанные в (3.2). Сформулируем функциональную транскрипцию следствия 2.1 при справедливости его условия 1. Теорема 3.3. Предположим, что для функции v ∈ C2,1(Q¯T ) и m-допустимой эволюции u выполнено неравенство - ∈ × inf Em( vt + τ ; vxx + τI) � Em[u], (x, t) QT =Ω (0; T ). (3.12) τ>0 Тогда u - v � sup (u - v), ∂tQT = (Ω × {0}) ∪ (∂Ω × [0,T ]) . (3.13) ∂∗QT Доказательство. Неравенство (3.12) означает, что в любой точке (x, t) ∈ Q¯T \∂tQT выполнено условие 1 следствия 2.1 для эволюционных матриц Sˆ = (-ut; uxx)(x, t), Sˆ1 = (-vt; vxx)(x, t). n+1 Поэтому либо Sˆ = Sˆ1, либо (Sˆ1 - Sˆ) ∈/ K¯m ⊃ K¯n+1, а следовательно (v - u) ∈/ K¯ ev (QT ). Но тогда на множестве Q¯T \∂tQT функция (v - u) не имеет точек минимума, что и доказывает (3.13). Результаты типа теоремы 3.3 называют теоремами сравнения. Одним из ее следствий является предложение, которое принятое называть «принцип максимума». Следствие 3.1. Любое m-допустимое в QT решение неравенства Em[u] > 0 принимает наибольшее значение на параболической границе цилиндра QT . Для доказательства достаточно положить v ≡ 0 в теореме 3.3. Для того чтобы сформулировать еще одно следствие классического типа, поставим в цилиндре QT первую начально-краевую задачу: Em[u]= f > 0, u|∂∗QT =Φ (3.14) и, следуя линейной терминологии, назовем m-допустимую эволюцию u субрешением уравнения (3.14), если Em[u] ;; f, а эволюцию u¯ ∈ C2,1 назовем суперрешением, если - inf Em( u¯t + τ, u¯xx + τI) � f. Решением назовем функцию, которая одновременно является суб- τ>0 и суперрешением. Очевидным следствием теоремы 3.3 является Следствие 3.2. Предположим, что на параболической границе цилиндра QT выполнено равенство u = u¯. Тогда u � u¯ в QT . В частности, задача (3.14) может иметь не более одного m-допустимого решения. На самом деле справедливо более информативное предложение: Теорема 3.4. Предположим, что функция Φ(x, 0) является (m-1)-допустимой в области Ω. Тогда задача (3.14) может иметь не более одного C2,1-решения, и если такое решение существует, то оно является m-допустимой эволюцией. Для доказательства априорной ограниченности производных решения задачи (3.14) удобно использовать функциональную адаптацию следствия 2.1 при справедливости его условия 2. А именно, если ввести обозначение F ev 1 m ˆ ˆ m [u] := Tm (S[u]), S[u]= (-ut; uxx), то следствие 2.1 приводит к еще одной теореме сравнения: m Теорема 3.5. Пусть v ∈ C2,1(QT ), u, w ∈ Kev (Q¯T ). Предположим, что выполнено неравенство ev ( ∇Fm (Sˆ[u]), Sˆ[v] ev � Fm [w], (x, t) ∈ QT . (3.15) Тогда (w - v) � sup (w - v). ∂∗QT Основной проблемой в доказательстве разрешимости краевых задач для полностью нелинейных уравнений является построение априорных оценок вторых производных решения. Используя теорему 3.5, сделаем первый шаг в этом направлении для m-гессиановских эволюционных уравнений. Теорема 3.6. Пусть f > 0, f ∈ C2,1(QT ). Предположим, что функция u ∈ C4,2(Q¯T ) является m-допустимым решением уравнения F ev m [u]= f, (x, t) ∈ QT . (3.16) Тогда найдется постоянная c = c (n, m, lf lC2,0(QT ), diam(Ω)) такая, что |uii(x, t)| � sup |uii(x, t)| + c, i = 1,..., n. (3.17) ∂∗QT m Доказательство. Согласно (2.8) и замечанию 2.2, функция F ev (Sˆ), Sˆ ∈ Symev (n + 1), является вогнутой в конусе Km неравенство ⊂ Sym(n + 1). Дифференцируя дважды по xi уравнение (3.16), выводим ev ( ∇Fm [u], Sˆ[uii] ;; fii, Sˆ[uii]= (-uiit, (uii)xx) . (3.18) Положим v = -uii. Тогда из (3.18) следует, что m (∇F ev [u], Sˆ[v]) � lf lC 2,0 (QT ) , (x, t) ∈ QT . (3.19) Функция w = lf lC2,0(QT ) n 2Cm |x|2 m несомненно является m-допустимой эволюцией, и для нее выполнено равенство F ev [w] = lf lC2,0(QT ). Этот факт вместе с (3.19) приводит к неравенству (3.15) теоремы 3.5, и поэтому f lC2,0(QT ) uii(x, t) � sup (w + uii(x, t)) � sup uii(x, t)+ l diam2(Ω). (3.20) ∂∗QT ∂∗QT n 2Cm Неравенство (3.20) содержательно лишь для положительных uii. Однако Δu > 0 для mдопустимой эволюции u, что вместе (3.20) гарантирует существование постоянной c в (3.17). Исследование поведения решения уравнения (3.16) и его производных вплоть до второго порядка на границе области является актуальной и трудоемкой задачей теории m-гессиановских эволюционных уравнений.