О скорости стабилизации решения задачи Коши для недивергентных параболических уравнений с растущим младшим коэффициентом

Аннотация

В задаче Коши L1u≡Lu+(b,∇u)+cu-ut=0,(x,t)∈D,u(x,0)=u0(x),x∈RN, для недивергентного параболического уравнения с растущим младшим коэффициентом в полупространстве D=RN×[0,∞) при N⩾3 получены достаточные условия экспоненциальной скорости стабилизации решения при t→+∞ равномерно по x на каждом компакте K в RN для любой ограниченной непрерывной в RN начальной функции u0(x).

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ В полупространстве D = RN × [0, ∞) рассмотрим задачу Коши при N � 3 L1u ≡ Lu + (b, ∇u)+ cu - ut = 0, (x, t) ∈ D, (1.1) u(x, 0) = u0(x), x ∈ RN , (1.2) где Lu = N i k \ aik (x, t)ux x i,k=1 N i , (b, ∇u) = \ bi(x, t)ux , c(x, t) � 0. (1.3) i=1 Предполагается, что коэффициенты уравнения (1.1) непрерывны в D = RN ×[0, ∞) и удовлетворяют условию Гельдера равномерно по x, t на каждой ограниченной области G в D. Коэффициенты при старших производных в (1.1) симметричны, aik = aki, i, k = 1,..., N, и удовлетворяют условию N λ2 2 \ 2 2 0|ξ| где λ0 > 0, λ1 > 0 для ∀(x, t) ∈ D, � i,k=1 aik (x, t)ξiξk � λ1|ξ| , (1.4) Будем говорить, что коэффициенты b1(x, t),..., bN (x, t) удовлетворяют условию (B), если существует B > 0 такое, что N sup(1 + r) \ |bi(x, t)| � B, r = / x2 + ... + x2 . (1.5) 1 N D i=1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 15-01-00471). Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 586 Будем говорить, что коэффициенты c(x, t) удовлетворяют условию (C), если для всех (x, t) в D справедливо неравенство где 0 <l � 1. c(x, t) � kα(r) = ( -α2 при r � 1, -α2r2l при r > 1, (1.6) Задача Коши (1.1), (1.2) изучалась во многих работах (см., например, [2, 4-7, 9, 10, 22]). При сделанных здесь предположениях существует и единственно классическое ограниченное решение задачи (1.1), (1.2) (см. [15, с. 78, теорема 4]). Скорость стабилизации решений параболических уравнений изучалась, например, в работах [4- 6, 11-14]. В [15, с. 181] методом барьеров, основанном на принципе максимума, установлено, что для ограниченной начальной функции u0(x) решение задачи Коши (1.1), (1.2) с ограниченными коэффициентами при выполнении условия c(x, t) � C0 < 0 (1.7) удовлетворяет неравенству |u(x, t)| � M exp(-at),a > 0,t > 0. Отметим, что в работах [4-6] получены другие оценки стремления к нулю при t → +∞ решения краевых задач, однако при этом от начальной функции u0(x) требовалось, чтобы эта функция была финитной и достаточно гладкой [4, c. 5] или чтобы u0(x) была ограниченной, непрерывной и существовал в смысле Лебега интеграл r |u0(x)|dx. RN Целью настоящей работы является получение достаточных условий, обеспечивающих экспоненциальную скорость стабилизации решения при t → +∞ равномерно по x на каждом компакте K в RN для любой ограниченной непрерывной в RN начальной функции u0(x). Метод доказательства основан на построении точных по порядку роста на бесконечности антибарьеров [22], учитывающих поведение коэффициентов уравнения (1.1) при больших |x|, и не использует оценок фундаментального решения задачи Коши. Будем говорить, что решение задачи Коши (1.1), (1.2) стабилизируется в точке x ∈ RN (равномерно относительно x на каждом компакте K в RN ), если существует предел lim u(x, t) = 0. t→∞ Стабилизация решения задачи Коши для параболических уравнений второго порядка для различных классов начальных функций изучалась в работах [7, 8, 10]. С обзором работ по стабилизации решений параболических уравнений можно ознакомиться в работе [8]. Интересные результаты по параболическим уравнениям содержатся в работе [2]. 2. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТА Справедливо следующее утверждение. Теорема 2.1. Если коэффициенты bi(x, t), i = 1,..., N, в (1.1) удовлетворяют условию (B), коэффициент c(x, t) удовлетворяет условию (C), функция u0(x) непрерывна и ограничена в RN , то для решения задачи Коши (1.1), (1.2) при справедлива оценка n = n(l), где 1 1 1 < � , 3 n(l) 2 1 |u(x, t)| � M2 exp[-m2t n ],m = m(K) > 0, (2.1) равномерная по x на каждом компакте K в RN . В случае, когда в уравнении (1.1) L = Δ - оператор Лапласа, bi(x, t) = 0, i = 1,..., N, c(x, t) = c(x), теорема 2.1 была установлена в работе [14], т. е. теорема 2.1 уточняет теорему 1 из работы [14]. Замечание 2.1. Утверждение теоремы 2.1 не допускает усиления, т. е. нельзя заменить компакт K в RN на все пространство RN . 3. О РАСТУЩИХ СУПЕРРЕШЕНИЯХ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В RN , N � 3 В области D = RN × (0, ∞) рассмотрим стационарное решение Γα = Γα(r) неравенства L2Γ ≡ LΓα + (b, ∇Γα)+ kα(r)Γα(r) � 0, (3.1) где L - оператор в (1.3), bi(x, t), i = 1,..., N, удовлетворяет условию (B). Функция kα(r) взята из неравенства (1.6). α Будем искать решение Γα(r) неравенства (3.1) такое, что Γα(r) > 0, Γ1 (r) � 0, и для которого имеет место асимптотика при r →∞ s+l-1 α 1+l Γα(r) ∼ C1r- 2 exp ( r (1 + l)λ1 ), (3.2) где C1 > 0, 0 <l < 1, λ1 - постоянная из (1.4). Применяя формулы дифференцирования Γxi = получим равенство xi Γ1, Γ = r xixk xixk Г r2 1 l Γ11 - r Γ1 x2 Г , Γx x = i i i r2 Γ11 - Γ1 l Γ1 + , r r L2Γα = Q ⎧ ⎨ ⎪⎪Г α Γ11 - Γ Γ 1 l 1 α + α N }, aii + bixi i=1 ⎫ ⎬ kα(r)Γα ⎪⎪ + , (3.3) N где Q = Q(x, t) = }, aik (x, t) r r Q Q ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ xixk . i, k=1 r2 Из неравенств (1.4) следует, что N 2 2 λ2 2 1 \ (N - 1)λ1 + λ0 0 � Q(x, t) � λ1, Q i=1 aii � λ 2 . (3.4) 0 Учитывая в (3.3) условия (B) и (C), и неравенства (1.5), (1.6) и очевидное неравенство B 1+ r B � r , при t> 0, 0 <r � 1, будем иметь Г /(N - 1)λ2 + λ2 + B \ Γ1 α2 l Обозначим L2Γ � Q α 2 Γ11 + λ 1 0 - 1 0 λ r 2 α - Γα 1 . (3.5) (N - 1)λ2 + λ2 + B α λ 2 s = 1 0 0 и для функции Zα(r) рассмотрим задачу , α = λ1 (3.6) Z11 s - 1 1 2 1 r α(r)+ Zα(r) - α Zα(r) = 0, 0 <r � 1, Zα(0) = 1, Zα(0) = 0. (3.7) Положим в (3.5) Γ = Γα(r) = Zα(r), где Zα(r) - решение задачи (3.7), получим неравенство L2Γα(r) � 0, 0 <r � 1, t > 0. (3.8) Из теории функций Бесселя [3, с. 91] следует, что решение задачи (3.7) существует, единственно и представимо в виде I s-2 (rα) s-2 s Zα(r) = q1(s) 2 s-2 , q1(s) = 2 2 Γ , (3.9) (rα) 2 2 где Γ( s \ - функция Эйлера [16, т. 1, с. 235], I 2 ν 1. - модифицированная функция Бесселя первого рода [3, c. 94]. Из представления (3.9) и формул [3, п. 3.71], следует, что Zα(r) > 0 при r > 0 и 2-s s b0(α) = Zα|r=1 = q1(s)α α 2 I s-2 (α) > 0, b1(α) = Z1 (r)|r=1 = q1(s)α2- 2 I s (α), (3.10) 2 d Iν (r) 2 Iν+1(r) dr rν = α2 rν > 0. При r � 1 имеет место равенство bα(r) = - r2 , поэтому, учитывая в (3.3) неравенство (3.4) и неравенство N \ i=1 bixi � B 1+ r B � r , r � 1, справедливое в силу условия (B), будем иметь: L2Γα(r) � λ2[Γ11 + s - 1 Γ1 α2r2.C - Γα], (3.11) где λ r 1 α α 2 1 (N - 1)λ2 + λ2 + B α λ 2 S = 1 0 0 , α = . λ1 Рассмотрим для функции hα(r), r � 1, задачу 11 hα(r)+ α - s - 1 h (r) r α2r2l λ 2 1 hα(r) = 0, r > 1, (3.12) α hα(1) = b0(α), h1 (1) = b1(α), где использованы обозначения (3.6) и постоянные b0(α) и b1(α), определенные в (3.10). Ясно, что решение задачи (3.12) существует и единственно (см. [18, с. 167]). Положив в (3.11) Γα(r) = hα(r) при r � 1, где hα(r) - решение задачи (3.12), получим неравенство Нами определена функция L2Γα(r) � 0, r � 1, t > 0. (3.13) (Zα(r) при r � 1, Γ = Γα(r) = hα(r) при r � 1, (3.14) где Zα(r), hα(r) - решения задач (3.7) и (3.12) соответственно. Функция (3.14) непрерывна и имеет непрерывные первые и вторые производные. В самом деле, непрерывность функции и указанных производных при r ⊗= 1 очевидна, а при r = 1 справедливы условия «склейки» из (3.12): Zα(1) = hα(1) = b0(α), Z1 (1) = h1 (1) = b α). α α ( Поэтому из непрерывности коэффициентов уравнений (3.6) и (3.12) имеем: lim r→1-0 s - 1 r = lim r→1+0 s - 1 r = s - 1, lim r→1+0 α2r2l = α2 = lim r→1-0 α2. Из этих равенств и условия «склейки» (3.12) следует, что α(1) = hα(1). Z11 11 Из (3.8) и (3.13) вытекают неравенства L2Γα(r) � 0, r � 0, t > 0. (3.15) Изучим некоторые качественные свойства решений задачи (3.12). Лемма 3.1. Решение задачи (3.12) обладает следующими свойствами: 1. hα(r) > 0, r > 1; α 2. h1 (r) > 0, r > 1; ∞ 1. lim hα(r) = + . r→∞ Доказательство. Запишем уравнение (3.12) в виде / d rs-1 dhα(r) dr dr \ = α2rs-1+2lhα (r), α hα(1) = b0(α), h1 (1) = b1(α). Дважды проинтегрируем последнее уравнение от 1 и r и получим r dhα(r) = b1(α) α 2 r s-1+2l dr rs-1 + rs-1 τ 1 r hα(τ )dτ, (3.16) r hα(r) = b0(α)+ b1(α) r r τ 1-sdτ + α2 1 1 hα(ξ)ξs-1+2ldξ. (3.17) В силу положительности b0(α) и b1(α), вытекающей из непрерывности функции hα(r), правая часть (3.17) будет положительна в достаточно малой окрестности r = 1, т. е. при достаточно малом r - 1 > 0. Докажем, что она остается положительной и при всех r > 1. Предположим противное, тогда при некотором r = r1 > 1 функция hα(r) обратится в нуль (первый нуль hα(r) при r > 1). Тогда из (3.17) при r = 1 получим hα(r1) = 0 = b0(α)+ b1(α) r r r r τ 1-sdτ + α-2 1 1 τ r τ 1-sdτ 1 hα(ξ)ξs-1+2ldξ. (3.18) Так как при 1 � ξ � r1, s > 1 имеем hα(ξ) > 0, то очевидно, что правая часть (3.18) является положительной. Полученное противоречие доказывает, что hα(r) > 0 при всех r > 1. Утверждение 1 леммы 3.1 доказано. Из (3.16) тогда следует, что dhα(r) > 0, r � 1. (3.19) dr Утверждение 2 леммы 3.1 доказано. Из (3.17) тогда вытекает, что hα(r) � b0(α) > 0 при r � 1. Поэтому из (3.17) и (3.19)получим r r dhα(τ ) r 2 r 1-s τ r s-1+2l hα(r) - b0(α) = 1 dτ > α b0(α) τ dτ 1 dτ σ 1 dσ = ⎡ r α2b0(α) r = ⎣ ⎤ α2b0(α) Г r2+2l τ 1-s(τ s+2l - 1)dτ ⎦ = r2-s - 1 l - →∞ s + 2l 1 (N - 1)λ2 + λ2 + B s + 2l 2+ 2l 2 - s 2 при r → ∞, поскольку s = доказана. λ 1 0 > N > 2. Утверждение 3 доказано. Лемма 3.1 0 Лемма 3.2. Функция (3.14) обладает следующими свойствами: 1. L2Γα(r) � 0, при r � 0, t > 0; 2. Γα(r1) > Γα(r2), r1 > r2; 3. Γα1 (r) > Γα2 (r), α1 > α2, r > 0; \ s+l-1 α 2. Γα(r) = C1r- 2 exp ( r1+l [1+ε(r)], где lim ε(r) = 0, C1 > 0, 0 <l � 1,s из (3.6). λ1(1 + l) r→∞ Доказательство. Из неравенств (3.8) и (3.13) следует, что функция удовлетворяет свойству 1. Свойство 2 при r � 1 непосредственно следует из (3.9) и (3.10), а при r � 1 из утверждения 2 леммы 3.1. Докажем свойство 3. Пусть α1 > α2, r > 0, тогда, определяя Γα(r) по формуле (3.14) и вводя соответствующую функцию W (r) по формуле W (r) = rs-1[Γ1 (r)Γα (r) - Γα (r)Γ1 (r)], α1 2 1 α2 после дифференцирования W (r) по r получим неравенство s - 1 W 1(r) = W (r)+ rs-1[Γ11 (r)Γα (r) - Γα (r)Γ11 (r)] = s - 1 r s - 1 α1 2 rs-1 1 α2 = r W (r) - λ r 2 W (r)+ 1 Γα1 (r)Γα2 (r)(kα1 (r) - kα2 (r)) > 0. Так как W (0) = 0, то из неравенства W 1(r) > 0 вытекает, что W (r) > 0, r > 0. Следовательно, / Γα1 (r)\1 = W (r) > 0, r > 0, α1 > α2. Γα2 (r) α2 rs-1Γ2 (r) Интегрируя последнее неравенство и учитывая, что Γα1 (0) = 1, получим Γα2 (0) Γα1 (r) r r W (τ )dτ 1 = > 0. Свойство 3 доказано. Γα2 (r) - α2 τ s-1Γ2 0 (τ ) Докажем асимптотическую формулу в свойстве 4. В уравнении (3.12) сделаем замену hα(r) = H(r)r является решением задачи - 1 s 2 , при этом получим, что функция H(r) H11 - H / \ α2r2l + (s - 1)(s - 3) 4r2 = 0, r > 1, (3.20) H|r=1 = b0(α), H1|r=1 = b1(α)+ где b0(α) и b1(α) определены в (3.10). Пусть s - 1 b (α) = b (α), 2 0 2 2 , r � 1. (3.21) q(r) = α2r2l + (s - 1)(s - 3) 4r Тогда задачу (3.20) можно записать в виде H11 - q(r)H = 0, r > 1, (3.22) H(1) = b0(α), H1(1) = b2(α). Ясно, что q(r) > 0 при r > 1, q11(r) - непрерывная функция при r > 1 и, кроме того, как легко видеть, сходится интеграл r∞ 1 q11(r) 5 (q1(r))2 и существует предел |d(r)|dr, где d(r) = 8 q3/2(r) - 32 q5/2(r) 1 q1(r) lim r→∞ q3/2(r) = 0. Поэтому для решений уравнения (3.22) выполнены все условия известной теоремы об асимптотике Грина-Лиувилля [18, т. 3, с. 394] (см. также [21, с. 300] и монографию [20]). По этой теореме существует фундаментальная система решений x1(r), x2(r) уравнения (3.22) такая, что x1, 2(r) = q-1/4(r) exp (±S(r)) [1 + ε1, 2(r)], (3.23) r где S(r) = [ -.q(τ )dτ → +∞, ε1, 2(r) → 0 при r → +∞, и эту асимптотику можно дифференциро- 1 вать: ε3, 4(r) → 0, r → +∞. x1 1, 2(r) = ±q 1/4 exp (±S(r)) [1 + ε3, 4(r)], (3.24) Применяя формулу Остроградского-Лиувилля [17, с. 50] и формулы (3.23), (3.24), вычислим определитель Вронского: x1(r)x1 (r) - x1 (r)x2(r) = -2. (3.25) 2 1 Поэтому решения x1(r), x2(r) линейно независимы. Так как lim r [ -.q(τ )dτ → +∞, то решение x1(r) монотонно возрастает и существует lim r→+∞ r→+∞ 1 x1(r) = +∞, (3.26) а решение x2(r) - монотонно убывает, lim r→+∞ x2(r) = 0. (3.27) Решение задачи (3.22) с заданными условиями при r = 1 будем искать в виде H(r) = C1x1(r)+ C2x2(r), (3.28) где постоянные C1 и C2 однозначно определяются из системы C1x1(1) + C2x2(1) = b0(α), C1x1 (1) + C2x1 (1) = b2(α) 1 с ненулевым определителем (3.25). Докажем, что в (3.28) постоянная 2 C1 > 0. (3.29) Если предположить, что это не так, то из леммы 3.2 при C1 < 0 следует, что 1-s lim r→+∞ hα(r) = lim r→+∞ Γα(r) = lim r→+∞ H(r)r 2 = -∞, что противоречит утверждению 3 леммы 3.2, согласно которому 1-s lim r→+∞ hα(r) = lim r→+∞ H(r)r 2 = +∞, поэтому lim r→+∞ H(r) = +∞. Таким образом, из (3.28), (3.29), (3.27), (3.26) следует, что H(r) ∼ C1x1(r),r → +∞. Подставляя (3.21) в (3.22), (3.23), мы получим для Γα(r) искомую асимптотику. Лемма 3.2 доказана. Рассмотрим функцию r2 v(r) = (1 - 4h2 ), r � 2h. (3.30) Лемма 3.3. Функция (3.30) обладает свойствами: 1. 0 � v(r) � 1 для 0 � r � 2h; 2. 3/4 � v(r) � 1 для 0 � r � h; 3. выполнено где N i L2v ≡ Lv(r)+ \ bi(x, t)vx i=1 + kα(r)v + βv(r) � 0,r � h, (3.31) 0N - B λ2 β = 2h2 > 0. (3.32) Доказательство. Свойства 1, 2 легко проверяются прямым вычислением. Докажем (3.31). Из неравенств (1.4) и того, что aα(r)v � 0, λv(r) � λ, получим N N 0 \ aii(x, t) � λ2N, -B � \ bi(x, t)xi � B. Поэтому i=1 N }, aii L2v = - i=1 N }, bixi i=1 - i=1 0 B - λ2N 2h2 2h2 + kα(r)v + βv � - 2h2 + β = 0, так как v � 1 и kα(r)v(r) � 0. Лемма 3.3 доказана. 0 Лемма 3.4. Пусть B < Nλ2, тогда G1(x, t) = v(r)e-βt, (3.33) где v(r) - функция (3.30), удовлетворяет соотношениям N 0N - B λ2 β = 2h2 > 0, (3.34) ∂G1 i LG1 + \ bi(x, t)G1x i=1 + kα(r)G1 � ∂t , r � h, t > 0, (3.35) G1(x, 0) = v(r), r < h, (3.36) равномерно по x ∈ r � h. lim t→+∞ G1(x, t) = 0, (3.37) Доказательство. Используя свойства 1-3 леммы 3.3 и функцию (3.30), получим L1v � e-βt[Lv + (b, ∇v1)+ kα(r)v + βv] � 0,r � h, t > 0. Лемма 3.4 доказана. Так как функция u0(x) ограничена и c(x, t) � 0, то решение задачи (1.1), (1.2) является ограниченным в D. Следовательно, и решение задачи Lu1 + (b, ∇u1)+ cu1 - u1t = 0 в D, (3.38) u1(x, 0) = u1(x), где тоже является ограниченным в D. 0 � u1(x) � B1, 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.1 Достаточно доказать утверждения теоремы 2.1 для решения задачи Коши Lv + (b, ∇v)+ kα(r)v - vt = 0 в D, (4.1) v(x, 0) = B1 > 0, x ∈ RN , (4.2) Ясно, что v(x, t) > 0 (см. [15, п. 4]). Фиксируем произвольный компакт K в RN , выберем m > 1 так, чтобы замкнутый шар Bm = {r � m} содержал внутри компакт K. По теореме Вейерштрасса [16, с. 90] функция Γα(r) достигает максимума Γα(m) в шаре Bm. Так как Γα(r) > 0, то нормируем эту функцию, полагая: Γα(r) Γ Γα(r) = α . (4.3) (m) Ясно, что Γα(r) Γα(m) Тогда очевидно, что при r � m. ε � 1 при r � m. Для произвольного фиксированного ε > 0 положим δ = 2 . ε δΓα � 2 (4.4) Рассмотрим задачу Коши (4.1), (4.2). Из принципа максимума [15, с. 28] и однородности линейных уравнений (1.1) и (4.1) вытекает, что для доказательства теоремы 2.1 достаточно установить оценку вида (2.1), т. е. для решения задачи (4.1), (4.2) где 1 v(x, t) � M1 exp (-at n ), t � t1, a = a(λ0, λ1, l, K, α) > 0, M = M (K),n = n(l) и 1 1+ l = n 3+ l , т. е. 1 1 3 < n � 1 2 , 0 <l � 1, равномерно по x на каждом компакте K в RN . Кроме того, по тем же свойствам можно, не ограничивая общности, считать, что v(x, 0) = u1 = 1, x ∈ RN , т. е. B1 = 1. Рассмотрим функцию W (x, t) = δΓα(r) - v(x, t), (4.5) где Γα(r) функция (4.3), v(x, t) - решение задачи Коши (4.1), (4.2), в которой v(x, 0) = 1. Из свойства 4 леммы 3.2 очевидно следует, что найдется r1 >m> 1 такое, что s+l-1 r- 2 exp ( α 2(1 + l)λ1 r1+l) � 1 при r � r1. (4.6) Поэтому при r � r1 справедлива оценка снизу α δΓ (r) � δ C1 exp (arS1 2 Γ(m) ), (4.7) где α a = 2(1 + l)λ1 , S1 = 1 + l, 0 <l � 1. Для ∀ε> 0 выберем h> 0 настолько большим, чтобы r � h>m и W (x, t)||x|=h � 0 для всех t> 0. (4.8) Такой выбор h > 0 возможен, так как функция v(x, t) является ограниченной: 0 < v(x, t) � 1, а функция δ C1 2Γ(m) exp (arS1 ), S1 = 1 + l, a = α , 2(1 + l)λ1 является экспоненциально растущей при r → ∞. В силу (4.7) достаточно выбрать h из условия Из (4.9) следует C1ε 4Γ(m) exp (ahS1 ) = 1. (4.9) где ahS1 = ln B2 , (4.10) ε Из (4.10) получаем B2 = 4Γ(m) C1 α2 > 0, a = . 2(1 + l)λ1 2 2 h2(ε) = a- S1 ( ln B2 \ S1 . (4.11) ε Очевидно, что при этом функция (4.5) удовлетворяет соотношениям L2W (x, t) � 0, |x| < h, t > 0, (4.12) W (x, t)||x|=h � 0, t > 0, (4.13) W (x, 0) = δΓα(r) - 1, |r| < 1. (4.14) Введем функцию G2(x, t) = AG1(x, t), |x| � h, t > 0, (4.15) где G1(x, t) - функция (3.33), а число A< 0 выберем ниже. Докажем, что если выбрать достаточно большое отрицательное A< 0, то получим W (x, t) � G2(x, t), |x| � h, t > 0. (4.16) Введем функцию g(x, t) = W (x, t) - G2(x, t). (4.17) Ясно, что в силу (4.12), (4.8) (3.35) получим L2g(x, t) � 0, |x| � h, t > 0. (4.18) При |x| <h из (4.8), (4.15), и того, что A< 0, следует неравенство g(x, t)||x|=h � 0, |x| < h, t > 0. (4.19) При t = 0 имеем g(x, 0) = δΓα(r) - 1 - Av(r). (4.20) Выберем A < 0 из условия: g(x, 0) > 0. Так как 3 4 - � v(r) � 1, r � h, то Av(r) � -3 A при 4 A< 0. Отсюда ( ε \ 3 δΓ(r) - Av(r) > 4Γ(m) - 1 - 4 A = 0. (4.21) - поэтому при A = 4 ( 3 o \ 1 - 4Γ(m) < 0 мы получим неравенство (4.16). Тогда из (4.21), (4.20) и (4.19) и из принципа максимума [15, с. 15] следует, что неравенство (4.16) доказано. Запишем неравенство (4.16) в виде: v(x, t) � δΓ(r) - G2(x, t), |x| < h, t > 0. (4.22) Пусть в (4.22) |x| � m, тогда первое слагаемое в (4.22) в силу (4.4) удовлетворяет неравенству ε δΓ(r) � 2 , r � m. (4.23) Для оценки второго слагаемого в (4.22) используем неравенство 4 ( - - A = + 1 3 ε \ < 4Γ(m) 4 3 , v(r) � 1. Для фиксированного ε> 0 найдем t1 = t1(ε) > 0 из условия 4 4 exp (-βt1) = ε , (4.24) 3 3 B2 2 где β = λ0N - B > 0, B > 0 - постоянная из (4.10). 2h2 2 Тогда при любом t> t1 тем более выполняется неравенство 4 4 2 -G2 < 3 exp (-βt) < 3B где β из формулы (3.32) в лемме 3.3. Решая уравнение (4.24) относительно t1, получим ε, (4.25) t1 = λ2 2h2 ln B2 . (4.26) Учитывая (4.11) в (4.26), получим 0N - B ε где 2 1 λ2 t = 0N - B α2 B2 ln ( ε 1+ 2 ) S1 2 a- S1 , (4.27) 1 S1 = 1 + l, a = 2(1 + l)λ Вводя обозначения , B2 - постоянная из (4.10). запишем (4.27) в виде: 2 S m1 = 1 + 1 , B3 = 0 a - λ2N B 2 S1 , 2 1 B m1 1 m1 B2 1 1+l 3 t1 = ln ε , = . m1 3+ l 1 1 Отсюда из тождества ln I exp (B m1 t m1 ) B2 = ln получим 3 3 ε 1 1 ε = B2 exp I - B m1 t m1 . (4.28) 3 1 Из (4.23), (4.25), (4.22) получим ( 4 \ 2 |v(x, t)| <ε 1+ 3B Из (4.28) и последнего неравенства следует, что I , t > t1. 1+l где |v(x, t)| � M3 exp - bt 3+l 4 , t > t1, 1 Теорема 2.1 доказана. M2 = B2(1+ 3B2 3 \, b = B m1 .