Existence of Weak Solution of the Aggregation Integro-Differential Equation

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this work, we investigate the mixed problem for anisotropic integro-differential equation with variable nonlinearity indices. Using the discretization method with respect to time, we prove the existence of a weak solution in a bounded cylinder. We give an estimate of the lifetime of the solition.

About the authors

V F Vildanova

Bashkir State Pedagogical University

Email: gilvenera@mail.ru
3a Oktyabrskoy Revolyutsii st., 450000 Ufa, Russia

F Kh Mukminov

Institute of Mathematics with Computer Center of the RAS; Ufa State Aviation Technical University

Email: mfkh@rambler.ru
112 Chernyshevskogo st., 450008 Ufa, Russia; 12 Karla Marksa st., 450008 Ufa, Russia

References

  1. Алхутов Ю. А., Жиков В. В. Теоремы существования и единственности решений параболических уравнений с переменным порядком нелинейности// Мат. сб. - 2014. - 205, № 3. - С. 3-14.
  2. Беляков А. О., Давыдов А. А. Оптимизация эффективности циклического использования возобновляемого ресурса// Тр. ИММ УрО РАН. - 2016. - 22, № 2. - С. 38-46.
  3. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. - М.: ИЛ, 1962.
  4. Кружков С. Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными// Мат. сб. - 1970. - 81(123), № 2. - С. 228-255.
  5. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. - М.: Мир, 1971.
  6. Мукминов Ф. Х. Единственность ренормализованного решения эллиптико-параболической задачи в анизотропных пространствах Соболева-Орлича// Мат. сб. - 2017. - 208, № 8. - С. 1187-1206.
  7. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. - М.: Наука, 1988.
  8. Alt H. W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equations// Math. Z. - 1983. - 183.- С. 311-341.
  9. Bertozzi A., Slepcev D. Existence and uniqueness of solutions to an aggregation equation with degenerate diffusion// Commun. Pur. Appl. Anal. - 2010. - 9, № 6. - С. 1617-1637.
  10. Blanchet A., Carrillo J. A., Laurencot P. Critical mass for a Patlak-Keller-Segel model with degenerate diffusion in higher dimensions// Calc. Var. - 2009. - 35. - С. 133-168.
  11. Boi S., Capasso V., Morale D. Modeling the aggregative behavior of ants of the species Polyergus rufescens// Nonlinear Anal. Real World Appl. - 2000. - 1. - С. 163-176.
  12. Burger M., Fetecau R. C., Huang Y. Stationary states and asymptotic behaviour of aggregation models with nonlinear local repulsion// SIAM J. Appl. Dyn. Syst. - 2014. - 13, № 1. - С. 397-424.
  13. Carrillo J. A., Hittmeir S., Volzone B., Yao Y. Nonlinear aggregation-diffusion equations: radial symmetry and long time asymptotics// arxiv:1603.07767v1[math.ap]. - 2016.
  14. Carrillo J., Wittbold P. Uniqueness of renormalized solutions of degenerate elliptic-parabolic problems// J. Differ. Equ. - 1999. - 156. - С. 93-121.
  15. Eftimie R., Vries G., Lewis M. A., Lutscher F. Modeling group formation and activity patterns in selforganizing collectives of individuals// Bull. Math. Biol. - 2007. - 146, № 69. - С. 1537-1565.
  16. Fan X. Anisotropic variable exponent Sobolev spaces and p(x)-Laplacian equations// Complex Var. Elliptic Equ. - 2011. - 56, № 7-9. - С. 623-642.
  17. Milewski P. A., Yang X. A simple model for biological aggregation with asymmetric sensing// Commun. Math. Sci. - 2008. - 6. - С. 397-416.
  18. Morale D., Capasso V., Oelschlager K. An interacting particle system modelling aggregation behavior: from individuals to populations// J. Math. Biol. - 2005. - 50. - С. 49-66.
  19. Otto F. L1-contraction and uniqueness for quasilinear elliptic-parabolic equations// J. Differ. Equ. - 1996. - 131. - С. 20-38.
  20. Topaz C. M., Bertozzi A. L. Swarming patterns in a two-dimensional kinematic model for biological groups// SIAM J. Appl. Math. - 2004. - 65. - С. 152-174.
  21. Topaz C. M., Bertozzi A. L., Lewis M. A. A nonlocal continuum model for biological aggregation// Bull. Math. Biol. - 2006. - 68. - С. 1601-1623.

Copyright (c) 2019 Contemporary Mathematics. Fundamental Directions

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies