О формуле объема гиперболического четырехмерного симплекса

Аннотация

В настоящей работе получена явная формула объема произвольного гиперболического 4-симплекса через координаты вершин.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Вычисление объемов евклидовых многогранников является очень старой и сложной проблемой, берущей свое начало с трудов Архимеда и Тартальи. В сферическом и гиперболическом случаях ситуация, по словам К.-Ф. Гаусса, напоминает «джунгли». Объемы тетраэдров специального вида (ортосхемы) в неевклидовых пространствах были найдены в разное время в работах Л. Шлефли [12], Н. И. Лобачевского [2], Я. Бойяи [5], Дж. Милнора [8], Э. Б. Винберга [1] и др. Что касается формулы объема произвольного неевклидова тетраэдра, то она долгое время была неизвестна. Лишь сравнительно недавно эта проблема была полностью решена в работах Ю. Чо и Х. Кима [6], Дж. Мураками и У. Яно [11], Дж. Мураками и А. Ушиджимы [10], Д. А. Деревнина и А. Д. Медных [7], а также Дж. Мураками [9]. Заметим, что полученные в вышеназванных работах формулы выражают объем произвольного гиперболического тетраэдра в терминах двугранных углов (или длин ребер). Кроме того, вывод данных формул основан на использовании формулы Шлефли [12] для дифференциала объема. В 2013 году И. Х. Сабитовым [3] был предложен новый метод вычисления объемов гиперболических многогранников произвольной размерности через координаты вершин, который позволяет найти объем многогранника через некоторый интеграл по его граничной поверхности, являющейся объединением многогранников меньшей размерности. Позднее, в работе [4], была получена формула произвольного гиперболического тетраэдра (трехмерного симплекса) через координаты вершин. В настоящей работе мы проведем подобные вычисления для размерности четыре и представим явную интегральную формулу для вычисления объема четырехмерного симплекса. 1. НЕКОТОРЫЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Рассмотрим задачу вычисления объема многогранников в n-мерном гиперболическом пространстве Hn постоянной отрицательной кривизны K. Работа выполнена при поддержке Программы РУДН «5-100». Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 494 Мы будем рассматривать метрики вида: 2 2 ds2 = dx1 + ... + dxn . (1.1) n (-K)x2 Данные метрики задаются моделью гиперболического пространства в верхнем полупространстве xn > 0 постоянной отрицательной кривизны K. Рассмотрим теперь некоторые предварительные результаты, которые понадобятся нам в дальнейшем (подробные доказательства и обоснования данных результатов приведены в работе [3]). Одним из основных инструментов для вычисления объемов тел в модели гиперболического пространства в верхнем полупространстве с метрикой (1.1) является следующая теорема. Теорема 1.1 (И. Х. Сабитов, 2013). Пусть D - компактное тело с кусочно-гладкой границей ∂D, расположенное в верхнем полупространстве xn > 0 пространства Hn. Тогда объем V = V (D) такого тела в метрике (1.1) может быть вычислен по формуле: 1 r V = n dx1 ∧ ...∧ dxn = (-1)n r dx1 ∧ ...∧ dxn-1 n . (1.2) x - n ( K) 2 n D - - (n 1)( K) 2 ∂D n xn-1 Доказательство теоремы 1.1 основано на применении формулы Стокса к правому интегралу и формуле, выражающей объем тела в римановой геометрии с метрикой, заданной стандартным образом с помощью коэффициентов gij r ; V = det(gij )dx1 ∧ ... ∧ dxn. (1.3) D Для вычисления объема гиперболического симплекса в дальнейшем мы будем использовать правый интеграл в формуле (1.2): VS = (-1)n r dx1 ∧ ...∧ dxn-1 n . (1.4) S (n - 1)(-K) 2 n xn-1 В формуле (1.4) S - произвольная компактная гиперповерхность в Hn, а VS - алгебраический объем тела, ограниченного этой гиперповерхностью. Если S представляет собой многогранник (не обязательно выпуклый), то интеграл (1.4) определен на гипергранях Si, каждая из которых принадлежит (n - 1)-мерной полусфере S�i : (x1 - ai1)2 + ... + (xn 1 - a )2 + x2 = R2. (1.5) - i,n-1 n i Замечание 1.1. Заметим, что если некоторая гипергрань лежит в гиперплоскости, ортогональной к гиперплоскости xn = 0, тогда интеграл по этой гиперграни равен нулю. Обозначим через Ωi ортогональную проекцию гиперграни Si на плоскость xn = 0. Если гиперсфера S�i ориентирована своей внешней нормалью, то, в силу формул (1.4) и (1.5), получаем r dx1 ∧ ...∧ dxn-1 = r dx1 ∧ ...∧ dxn-1 xn-1 (R2 2 (n-1)/2 , (1.6) Si i где r2 = (x1 - ai1)2 + ... + (xn -1 - a n i,n-1 )2. i - ri ) Ωi Рассмотрим теперь другой класс метрик пространств постоянной кривизны вида ds2 = 1 (dx2 + ... + dx2 ), (1.7) где a = const, а r2 = x2 + ... + x2 . (1 + ar2)2 1 n 1 n Замечание 1.2. Легко видеть, что, если положить в формуле (1.7) a = 0, то мы получим евклидову метрику. Значения a > 0 соответствуют случаю сферической метрики с постоянной положительной кривизной K = 4a. Наконец, при a< 0 имеем метрику n-мерного гиперболического пространства постоянной отрицательной кривизны K = 4a. Если в пространстве постоянной отрицательной кривизны задано некоторое компактное тело D, то формула для вычисления объема задается следующей теоремой. Теорема 1.2 (И. Х. Сабитов, 2013). Пусть в случае метрики (1.7) задано компактное тело D с кусочно-гладкой границей ∂D. Тогда объем V = V (D) такого тела можно вычислить по формуле: где n V = r ∂D i=1 (-1)i-1xiFn(r) rn dx1 ∧ ... d�xi ... ∧ dxn, (1.8) r r F (r) = 0 xn-1 (1 + ax2)n dx, а запись d�xi означает, что соответствующий дифференциал отсутствует. Идея доказательства теоремы 1.2 заключается в применении формулы Стокса к правой части формулы (1.8) и элементарных преобразований с учетом формулы (1.7). Вернемся к правому интегралу в формуле (1.6). Используя формулу (1.3) и схему доказательства теоремы 1.2, нетрудно получить следующее представление: r dx1 ∧ ...∧ dxn-1 = 1 r dx1 ∧ ...∧ dxn-1 = (R2 - r2)(n-1)/2 Rn-1 (1 - ( ri 2 (n-1)/2 Ω i i i i Ωi Ri ) ) r n-1 (-1)j-1(xj - aij )F ( ri ) где = ∂Ωi Ri j=1 r n-1 i ri Ri ri r F = dx1 ∧ ... d�xj ... ∧ dxn xn-2 dx. -1, (1.9) Ri (1 - x2)(n-1)/2 0 А теперь поставим задачу вычислить объем 4-симплекса через координаты вершин. Для этого мы будем использовать последний интеграл в формуле (1.9). 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ОБЪЕМА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО СИМПЛЕКСА ЧЕРЕЗ КООРДИНАТЫ ВЕРШИН Рассмотрим проблему вычисления объемов 4-симплексов в терминах координат вершин (длин ребер). Определение 2.1. Будем говорить, что n-симплекс в модели гиперболического пространства Hn в верхнем полупространстве расположен в стандартной позиции, если его вершины могут быть пронумерованы в таком порядке A0, A1, A2,..., An, чтобы они имели следующие координаты: A0(0, 0, 0,..., 0, 1), A1(0, 0, 0,..., 0, q), A2(x21, 0, 0,..., 0, x2n), x21 > 0, A3(x31, x32, 0,..., 0, x3n), x32 > 0, ..., Ak (xk1,... xk,k-1,, 0,..., 0, xkn), xk,k-1 > 0, ..., An-1(xn-1,1,... xn-1,n-2, 0, xn-1,n), xn-1,n-2 > 0, An(xn1,... xn,n-1, xnn), xn,n-1 > 0. Известно, что любой симплекс можно некоторым движением перевести в симплекс, находящийся в стандартной позиции [3]. Таким образом, мы, не нарушая общности, будем рассматривать симплексы в стандартной позиции. Рассмотрим симплекс A0A1A2A3A4, расположенный в стандартной позиции в пространстве H4 с вершинами A0(0, 0, 0, 1), A1(0, 0, 0, q), A2(x21, 0, 0, x24), A3(x31, x32, 0, x34), A4(x41, x42, x43, x44). РИС. 2.1 Нетрудно видеть, что все гиперграни нашего симплекса, за исключением A1A2A3A4 и A0A2A3A4, расположены в плоскостях, ортогональных плоскости x4 = 0, то есть имеют уравнения a1x1 + a2x2 + a3x3 = b. Таким образом, только два интеграла (по гиперграням A1A2A3A4 и A0A2A3A4) в формуле (1.4) могут быть отличными от нуля. Эти грани являются частью полусфер с уравнениями A0A2A3A4 : (x1 - a10)2 + (x2 - a20)2 + (x3 - a30)2 + x2 = R2, 4 0 A1A2A3A4 : (x1 - a11)2 + (x2 - a21)2 + (x3 - a31)2 + x2 = R2. (2.1) 4 1 Заметим также, что A1A2A3A4 и A0A2A3A4 имеют одну и ту же ортогональную проекцию Ω на плоскость x4 = 0, которая является тетраэдром (рис. 2.1) с вершинами O(0, 0, 0), AI (x21, 0, 0), AI (x31, x32, 0), AI (x41, x42, x43). 2 3 4 Грани ортогональной проекции Ω имеют уравнения: OAI AI : x3 = 0, 2 3 OAI AI : x43x2 - x42x3 = 0, 2 4 OAI AI : (x33x42 - x43x32)x1 + (x31x43 - x33x41)x2 + (x32x41 - x31x42)x3 = 0, 3 4 AI I I 2A3A4 : x32x43(x1 - x41)+ x43(x21 - x31)(x2 - x41)+ (x32(x21 - x41) - x42(x21 - x31))(x3 - x31) = 0. Отметим также, что в случае пространства H4 функция F = F ( ri \ имеет вид Ri ri Ri ri r F = 3 dx = ; x2 ri ri - arcsin . Ri (1 - x2) 2 R2 2 Ri Таким образом, 0 ri ri i - ri ri F = ; - arcsin . (2.2) Ri R2 2 Ri i - ri Вычислим теперь координаты центров и квадраты радиусов гиперсфер (2.1). Решая соответствующие системы, получаем: a10 = x + x 2 2 21 24 1 - , a20 = x + x 2 2 32 34 - x + x - x 2 2 2 24 31 21 - 2a10(x21 - x31) , 2x21 2x32 a30 = x + x + x 2 2 2 43 41 44 + x - x 2 2 42 31 - x - x 2 2 34 32 2x43 + 2a10(x31 - x41)+ 2a20(x32 - x42) , R2 2 2 2 0 = 1 + a10 + a20 + a30, a11 = x + x 2 2 21 24 · q2 , a21 = x + x 2 2 32 34 - x + x 2 2 24 31 - x 21 , 2 - 2a11(x21 - x31) 2x21 2x32 a31 = x + x + x 2 2 2 43 41 44 + x - x 2 2 42 31 - x - x 2 2 34 32 2x43 + 2a11(x31 - x41)+ 2a21(x32 - x42) , R2 2 2 2 1 = 1 + a11 + a21 + a31. (2.3) Переходим непосредственно к вычислению объема симплекса T4 = A0A1A2A3A4. Согласно формуле (1.6), объем данного многогранника можно свести к вычислению разности следующих интегралов по ортогональной проекции Ω = OAI AI AI гиперграней A1A2A3A4 и A0A2A3A4 на плоскость x4 = 0: 2 3 4 ⎛ ⎞ 1 r dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 r dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 V (T4) = - 3 ⎝ 0 - r0 )3/2 - 2 2 3/2 ⎠ , (2.4) где 3(-K) 2 r2 (R2 2 Ω 2 (R1 - r1 ) Ω 2 2 0 = (x1 - a10) r2 1 = (x1 - a11)2 + (x2 - a20) + (x2 - a21)2 + (x3 - a30) , + (x3 - a31)2, а величины a10, a20, a30, a11, a21, a31, R0 и R1 вычисляются по формулам (2.3). Замечание 2.1. Уменьшаемое и вычитаемое в формуле (2.4) выбираются в соответствие с ориентацией симплекса. Каждый из интегралов в формуле (2.4) в силу (1.9) можно свести к алгебраической сумме интегралов по граням тетраэдра Ω = OAI AI AI . Имеем: 2 3 4 r dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 = r (R2 - r2)3/2 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 = (1 - ( r0 )2)3/2 Ω 0 0 Ω R0 R0 r (x1 - a01)F ( r0 ) r = 3 0 ∂Ω dx2 ∧ dx3 - R0 (x2 - a02)F ( r0 ) r 3 0 dx1 ∧ dx3 + R0 (x3 - a03)F ( r0 ) r 3 0 dx1 ∧ dx2, (2.5) r dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 = r (R2 - r2)3/2 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 = (1 - ( r1 )2)3/2 Ω 1 1 Ω R1 R1 r (x1 - a11)F ( r1 ) r = 3 1 ∂Ω dx2 ∧ dx3 - R1 (x2 - a12)F ( r1 ) r 3 1 dx1 ∧ dx3 + R1 (x3 - a13)F ( r1 ) r 3 1 dx1 ∧ dx2. (2.6) Таким образом, вычисление правых интегралов в формулах (2.5) и (2.6) сводится к вычислению двойных интегралов на гранях OAI AI , OAI AI , OAI AI и AI AI AI тетраэдра Ω = OAI AI AI . Пред- 2 3 2 4 3 4 2 3 4 2 3 4 положим, не нарушая общности. что тетраэдр Ω расположен в первом октанте системы координат Ox1x2x3 (рис. 2.1). Вычислим для начала интеграл по первой грани OAI AI . Заметим, что для данной грани x3 = 0. 2 3 Следовательно, первые два слагаемых в правых интегралах (2.5) и (2.6) равны нулю. Значит, нам требуется вычислить лишь интегралы r OAI AI R0 (-a03)F ( r0 ) r 3 0 dx1 ∧ dx2 и r OAI AI R1 (-a13)F ( r1 ) r 3 1 dx1 ∧ dx2. 2 3 2 3 Очевидно, что пределы интегрирования в указанных интегралах имеют следующий вид: Таким образом, 2 32 0 � x � x , x31 x32 x2 � x1 � (x31 - x21) x32 x2 + x21. I10 = r OAI AI R0 (-a03)F ( r0 ) r 3 0 dx1 ∧ dx2 = 2 3 x32 x +x (x31-x21) x32 2 21 r r 1 = -a03 dx2 r(x a )2 + (x a )2 + a2 l /R2 a2 (x a )2 + (x a )2 - x 0 x31 x32 2 1 - 01 2 - 02 03 0 - 03 - 1 - 01 2 - 02 arcsin ((x a ) +(x a ) +a ) 2 2 2 1- 01 2- 02 03 - R0 dx1 = x32 (a 3 03 2 + (x1 - a01)2 + (x2 - a02)2) 2 r 1 x1 - a01 = -a03 dx2 a2 2 03 + (x2 - a02) arcsin /R2 2 2 - 0 0 - a03 - (x2 - a02) x1 - a01 (a 03 03 - 2 + (x2 - a02)2)/a2 + (x2 - a02)2 + (x1 - a01)2 × /a2 (x31-x21) × arcsin 03 + (x2 - a02)2 R0 + (x1 - a01) 2 x 31 x32 x2+x21 = x32 x32 x2 r 1 = -a13 a2 x + x a (x31-x21) - arcsin x32 2 21 - 01 / 2 03 + (x2 - a02)2 R2 2 0 (x31-x21) 0 - a03 - (x2 - a02) x32 x2 + x21 - a01 × - ; (a a 03 2 + (x2 - a02)2) ;a2 x32 03 2 + (x2 - a02)2 + ((x31-x21) x2 + x21 - a01)2 (x31-x21) × arcsin 03 + (x2 - a02)2 +( R0 1 x32 x31 x2 + x21 - a01)2 - - a2 arcsin x32 x2 - a01 + / 03 + (x2 - a02)2 R2 2 x31 0 - a03 - (x2 - a02)2 + x32 x2 - a01 · (a 03 03 2 + (x2 - a02)2);a2 x32 + (x2 - a02)2 + ( x31 x2 - a01)2 ; 2 a03 + (x2 - a02)2 x + ( x31 32 x2 - a01)2 × arcsin I11 = r OAI AI R0 R1 (-a13)F ( r1 ) r 3 1 dx1 ∧ dx2 = dx2, (2.7) x32 2 3 x +x (x31-x21) x32 2 21 r r 1 = -a13 dx2 r(x a )2 + (x a )2 + a2 l /R2 a2 (x a )2 + (x a )2 - x 0 x31 x32 2 1 - 11 2 - 12 13 0 - 13 - 1 - 11 2 - 12 arcsin ((x a ) +(x a ) +a ) 2 2 2 1- 11 2- 12 13 - R1 dx1 = x32 (a 13 3 2 + (x1 - a11)2 + (x2 - a12)2) 2 r 1 x1 - a11 = -a13 dx2 a2 2 13 + (x2 - a12) arcsin /R2 2 2 - 0 1 - a13 - (x2 - a12) x1 - a11 (a 13 13 - 2 + (x2 - a12)2)/a2 + (x2 - a12)2 + (x1 - a11)2 × /a2 (x31-x21) × arcsin 13 + (x2 - a12)2 R1 + (x1 - a11) 2 x 31 x32 x2+x21 = x32 x2 x32 x + x a r 1 = -a13 a2 (x31-x21) - arcsin x32 2 21 - 11 / 2 13 + (x2 - a12)2 R2 2 0 (x31-x21) 1 - a13 - (x2 - a12) x32 x2 + x21 - a11 × - ; (a a 13 2 + (x2 - a12)2) ;a2 x32 13 2 + (x2 - a12)2 + ((x31-x21) x2 + x21 - a11)2 (x31-x21) × arcsin 13 + (x2 - a12)2 +( R1 1 x32 x31 x2 + x21 - a11)2 - - a2 arcsin x32 x2 - a11 + / 13 + (x2 - a12)2 R2 2 x31 1 - a13 - (x2 - a12)2 + x32 x2 - a11 × (a 13 13 2 + (x2 - a12)2);a2 ;a2 x32 + (x2 - a12)2 + ( x31 x2 - a11)2 × arcsin x32 13 + (x2 - a12)2 + ( x31 x2 - a11)2 R1 dx2. (2.8) Для вычисления объема 4-симплекса T4 = A0A1A2A3A4 нам необходимо теперь проинтегрировать выражения Ri (x1 - ai1)F ( ri ) r 3 i dx2 ∧ dx3 - Ri (x2 - ai2)F ( ri ) r 3 i dx1 ∧ dx3 + Ri (x3 - ai3)F ( ri ) r 3 i dx1 ∧ dx2, i = 0, 1 (2.9) по трем остальным граням OAI AI , OAI AI и AI AI AI . 2 4 3 4 2 3 4 Для начала найдем пределы интегрирования для проекций этих граней тетраэдра Ω = OAI AI AI на координатные плоскости dxk ∧ dxs. Имеем (OAI AI ) : 1) dx1 ∧ dx2 : 0 � x2 � x42, x41 x2 � x1 � (x41 - x21) x2 + x21x42; 2 3 4 2 4 x41 x42 x42 (x41 - x21) 2) dx1 ∧ dx3 : 0 � x3 � x43, x43 x3 � x1 � x43 x3 + x21x43; (OAI AI ) : 1) dx1 ∧ dx2 : 0 � x2 � x31(x31 > x41), x41 x2 � x1 � x41 - x31 x2 - x32(x41 - x31) ; 3 4 x41 x42 x42 - x32 (x41 - x31) x42 - x32 2) dx1 ∧ dx3 : 0 � x3 � x43, x43 x3 � x1 � x43 x3 + x31; 3) dx2 ∧ dx3 : 0 � x3 � x43, x42 x43 x3 � x2 � (x42 - x31) x43 x3 + x31; (AI AI AI ) : 1) dx1 ∧ dx2 : 0 � x2 � x32, x41 - x21 x2 + x21 � x1 � x31 - x21 x2 + x21∨ 2 3 4 x41 - x21 x42 x41 - x31 x32 x31(x42 - x32) - x32(x41 - x31) ∨x32 � x2 � x42, x42 x x2 + x21 � x1 � 42 - x32 x2 + x42 ; - x32 x - x 2) dx1 ∧ dx3 : 0 � x3 � x43, x31 x43 x1 + x31 � x1 � 41 x41 21 x1 + x21; 3) dx2 ∧ dx3 : 0 � x3 � x43, x42 x43 x3 � x2 � (x42 - x32) x43 x3 + x32. Переходим к вычислению интегралов от выражений (2.9) по граням OAI AI , OAI AI и AI AI AI . Получаем: 2 4 3 4 2 3 4 Ii2 = r OAI AI Ri (x1 - ai1)F ( ri ) r 3 i dx2 ∧ dx3 - Ri (x2 - ai2)F ( ri ) r 3 i dx1 ∧ dx3 + Ri (x3 - ai3)F ( ri ) r 3 i dx1 ∧ dx2 = 2 4 x42 x +x x (x41-x21) x42 2 21 42 /(x1-a01)2+(x2-a02)2+( x43x2 -a03)2 r r = dx2 x43x2 x42 - ( ai3)F ( ) x42 Ri 3 dx1- x 0 x41 x42 2 x42 ((x1 - a01)2 + (x2 - a02)2 + ( x43x2 - a03)2) 2 x43 r x +x x (x41-x21) x43 3 21 43 r ( x42x3 /(x1-ai1)2+( x42x3 x43 -ai2)2+(x3-ai3)2 · dx3 x43 - ai2)F ( Ri ) 3 dx1, (2.10) x 0 x41 x43 3 x43 ((x1 - ai1)2 + ( x42x3 - ai2)2 + (x3 - ai3)2) 2 Ii3 = r OAI AI Ri (x1 - ai1)F ( ri ) r 3 i dx2 ∧ dx3 - Ri (x2 - ai2)F ( ri ) r 3 i dx1 ∧ dx3 + Ri (x3 - ai3)F ( ri ) r 3 i dx1 ∧ dx2 = 3 4 x31 x (x41-x31) x42-x32 2- x32(x41-x31) x42-x32 √(x1-a01 )2+(x2-a02 )2+(x˜3-a03)2 r = dx2 0 r x x41 x42 2 (x41-x31) i (x˜3 - ai3)F ( R ) 3 ((x1 - a01)2 + (x2 - a02)2 + (x˜3 - a03)2) 2 dx1- x43 x43 x3+x31 √(x1-ai1 )2+(x˜2-ai2 )2+(x3-ai3)2 r r o dx3 (x˜2 - ai2)F ( Ri ) 3 dx1+, x 0 x41 x43 3 (x42-x31) ((x1 - ai1)2 + (x˜2 - ai2)2 + (x3 - ai3)2) 2 x43 x43 x3+x31 √(x˜1-ai1 )2+(x2-ai2 )2+(x3-ai3)2 r + dx3 0 r x x42 x43 3 i (x˜1 - ai1)F ( R ) 3 ((x˜1 - ai1)2 + (x2 - ai2)2 + (x3 - ai3)2) 2 dx2, (2.11) r Ii4 = AI I Ri (x1 - ai1)F ( ri ) r 3 i I dx2 ∧ dx3 - Ri (x2 - ai2)F ( ri ) r 3 i dx1 ∧ dx3 + Ri (x3 - ai3)F ( ri ) r 3 i dx1 ∧ dx2 = 2A3A4 x31-x21 √ x32 x32 x2+x21 (x1-ai1 )2+(x2-ai2 )2+(xˆ3-ai3)2 r = dx2 0 r x +x x41-x21 x42 2 21 i (xˆ3 - ai3)F ( R ) 3 ((x1 - ai1)2 + (x2 - ai2)2 + (xˆ3 - ai3)2) 2 dx1+ x41-x31 x32(x41-x31) √ x32 x42-x32 x2- x42-x32 +x31 (x1-ai1 )2+(x2-ai2 )2+(xˆ3-ai3)2 r = dx2 0 r x +x x31-x21 x32 2 21 (x41-x21) i (xˆ3 - ai3)F ( R ) 3 ((x1 - ai1)2 + (x2 - ai2)2 + (xˆ3 - ai3)2) 2 dx1- x43 x43 x3+x21 √(x1-ai1 )2+(xˆ2-ai2 )2+(x3-ai3)2 r r o dx3 (xˆ2 - ai2)F ( Ri ) 3 dx1+ x +x 0 (x41-x31) x43 3 31 (x42-x32) ((x1 - ai1)2 + (xˆ2 - ai2)2 + (x3 - ai3)2) 2 x43 x43 x3+x32 √(xˆ1-ai1 )2+(x2-ai2 )2+(x3-ai3)2 r r + dx3 (xˆ1 - ai1)F ( Ri ) 3 dx2, (2.12) где x 0 x42 x43 3 ((xˆ1 - ai1)2 + (x2 - ai2)2 t + (x3 - ai3)2) 2 1 i ∈ {0, 1},F (t) = √ - t2 - arcsin t, а x˜1(xˆ1), x˜2(xˆ2), x˜3(xˆ3) выражаются соответственно через x2, x3; x1, x3; x1, x2 с помощью уравнений (x33x42 - x43x32)x˜1 + (x31x43 - x33x41)x2 + (x32x41 - x31x42)x3 = 0, (x32x43(xˆ1 - x41)+ x43(x21 - x31)(x2 - x41)+ (x32(x21 - x41) - x42(x21 - x31))(x3 - x31) = 0, (x33x42 - x43x32)x1 + (x31x43 - x33x41)x˜2 + (x32x41 - x31x42)x3 = 0, x32x43(x1 - x41)+ x43(x21 - x31)(xˆ2 - x41)+ (x32(x21 - x41) - x42(x21 - x31))(x3 - x31) = 0, (x33x42 - x43x32)x1 + (x31x43 - x33x41)x2 + (x32x41 - x31x42)x˜3 = 0, x32x43(x1 - x41)+ x43(x21 - x31)(x2 - x41)+ (x32(x21 - x41) - x42(x21 - x31))(xˆ3 - x31) = 0. Таким образом, нами доказана следующая Теорема 2.1. Пусть в гиперболическом пространстве H4 с метрикой (1.7) задан ограниченный тетраэдр T4 = A0A1A2A3A4 в стандартной позиции, вершины которого имеют координаты A0(0, 0, 0, 1), A1(0, 0, 0, q), A2(x21, 0, 0, x24), A3(x31, x32, 0, x34), A4(x41, x42, x43, x44). Тогда его алгебраический объем V = V (T4) может быть вычислен по формуле: 1 V (T4) = - 3 (I11 - I10 + I21 - I20 + I31 - I30 + I41 - I40) , (2.13) 3(-K) 2 где величины I10, I11, I20, I21, I30, I31, I40 и I41 имеют интегральные представления (2.7), (2.8), (2.10), (2.11) и (2.12). Замечание 2.2. В работах [3] и [4] приводится лемма, утверждающая, что координаты вершин гиперболического симплекса можно выразить элементарными функциями от длин его ребер. В статье [4] приводится схема доказательства этой леммы для трехмерного случая. Заметим, что формулы, выражающие координаты вершин через длины ребер, являются очень громоздкими даже для случая n = 3. Таким образом, при желании с помощью теоремы 2.1 и вышеупомянутой леммы можно получить обобщение формулы Мураками-Ушиджимы [10] объема трехмерного гиперболического тетраэдра через длины ребер на четырехмерный случай. Автор выражает признательность В. П. Лексину за полезные обсуждения и внимание к работе.