Динамические системы и топология магнитных полей в проводящей среде

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ Изучение топологической структуры магнитных полей в проводящих движущихся средах является одной из важнейших задач естествознания. Основным и наиболее актуальным примером сильно проводящей и движущейся среды является плазма. Исследование магнитных полей в проводящих средах образует часть раздела физики, которая называется «магнитная гидродинамика» (основные определения и понятия магнитной гидродинамики см. в книгах [1, 15, 16] и обзоре [24]). Ее теоретический фундамент составляют классические уравнения электромагнитного поля и гидродинамические уравнения движения сплошной среды (мы приводим эти уравнения в разделе 2). Имеется много теоретических методов исследования указанной системы уравнений, которые составляют золотой фонд математической физики. В последнее время появляются работы, где изучение свойств решений проводится с помощью методов геометрической (или, иногда говорят, качественной) теории динамических систем, основы которой восходят к классическим работам А. Пуанкаре и А. Ляпунова. Настоящий обзор посвящен изложению некоторых методов геометрической теории динамических систем в применении к исследованию топологической структуры магнитного поля проводящей среды. Движение хорошо проводящей среды воздействует на ее электромагнитное поле, и специфика такой среды состоит в том, что возникновение электрического поля в ней довольно быстро нивелируется возникающими токами. Поэтому основную роль в изучении свойств хорошо проводящих сред играет исследование взаимодействия среды и ее магнитного поля. Большое значение Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 455 для теоретических исследований и приложений имела теорема Альвена [1, 26] о «вмороженности» магнитных силовых линий в движущуюся идеально проводящую среду. Эта теорема утверждает, что силовые линии магнитного поля движутся так, как если бы они были «вморожены» в проводящую среду (плазму). Как следствие, при несложных и малых по времени движениях идеально проводящей среды топологическая структура магнитного поля не меняется. Вмороженность силовых линий приводит по прошествии достаточно длительного промежутка времени к возможности появления областей с конфликтующими частями магнитного поля, то есть областей, границы которых в некоторых точках пространства близки, а магнитные поля областей вблизи этих границ имеют различные направления. Это приводит к образованию новых нулевых точек, то есть точек, где магнитная индукция B_, = 0. Кроме этого, в такой хорошо проводящей среде, как фотосфера и корона Солнца, регулярно возникают локальные области с интенсивным магнитным полем, которые с глобальной точки зрения выглядят как локальные источники или стоки векторного поля. Для качественного изучения топологии такого магнитного поля иногда применяется идеализированная модель с точечными положительными и отрицательными магнитными зарядами, которые являются ретракциями в точки таких областей. РИС. 1. Идеализация магнитного заряда Несмотря на то, что магнитных зарядов в природе не обнаружено, эта точечно-зарядная модель успешно применялась при изучении структуры магнитного поля и его бифуркаций для солнечных вспышек с небольшим числом ретракционных зарядов, см. например [5, 28-30, 33, 35, 46-49, 51, 55, 58]. С точки зрения теории динамических систем данная идеализированная модель может рассматриваться как векторное поле Морса-Смейла, стоковые и источниковые состояния равновесия которого соответствуют идеализированным (ретракционным) зарядам, а седловые состояния равновесия соответствуют нулевым точкам магнитного поля, при этом одномерные сепаратрисы седлового состояния равновесия соответствуют силовым линиям магнитного поля с противоположным направлением, а двумерная сепаратриса принадлежит границе конфликтующих частей магнитного поля. Класс таких динамических систем (векторных полей и потоков Морса-Смейла) является одним из наиболее изученных в современной теории динамических систем (см., например, обзоры [2, 62] и книги [9, 39]). Они появились в связи важнейшим понятием теории динамических систем - понятием грубых систем, введенных в 1937 году А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным для двумерных автономных векторных полей на плоскости. Грубые векторные поля обладают свойством сохранения фазового портрета при их достаточно малых C1-возмущениях. При этом гомеоморфизм, преобразующий траектории исходного векторного поля в траектории возмущенного поля, является близким к тождественному. В 1959 году М. Пейшото обобщил понятие грубости на потоки, заданные на замкнутых поверхностях, и заменил понятие грубости понятием структурной устойчивости, отказавшись от требования, чтобы гомеоморфизм, переводящий траектории C1 близкого векторного поля в траектории исходного поля, был близок к тождественному. Как и в случае векторного поля, заданного в ограниченной части плоскости, векторные поля на поверхностях образуют открытое и всюду плотное множество в пространстве всех векторных полей, снабженных C1-топологией. В 1960 году С. Смейл по аналогии с двумерным случаем ввел класс векторных полей на многообразиях размерности большей двух, неблуждающее множество которых состоит из конечного числа гиперболических состояний равновесия и замкнутых траекторий и таких, что пересечение их устойчивых и неустойчивых многообразий является трансверсальным. Как оказалось, такие векторные поля являются структурно устойчивыми, и они получили название векторных полей Морса-Смейла (однако, как выяснилось, эти поля не образуют всюду плотного множества среди всех полей и не совпадают с множеством всех структурно устойчивых полей). Векторные поля Морса-Смейла описывают процессы с регулярной динамикой, в отличие от структурно устойчивых потоков со счетным множеством седловых периодических траекторий, являющихся моделями процессов с хаотическим поведением. Геометрическая теория динамических систем Морса-Смейла позволила авторам данного обзора получить новые количественные соотношения между числом зарядов разных знаков и числом нулевых точек магнитного поля. Эти соотношения приводятся в разделе 3. Нулевые точки трехмерного магнитного поля разбиваются на два типа следующим образом. С точки зрения теории динамических систем Морса-Смейла, фиксированная нулевая точка представляет собой седловое гиперболическое состояние равновесия (или просто седло), одна сепаратриса которого одномерна, а вторая - двумерна. Нулевая точка имеет тип один (два) если размерность неустойчивой сепаратрисы равна единице (двум). В теории динамических систем эта размерность называется индексом Морса седлового состояния равновесия. Структурно устойчивое трехмерное векторное поле может допускать пересечения двумерных устойчивых и неустойчивых сепаратрис разных седловых состояний равновесия. Траектория, принадлежащая этому пересечению, называются гетероклинической траекторией. Такие траектории соответствуют силовым линиям, которые соединяют две нулевые точки магнитного поля. В астрофизике принято называть такие магнитные линии сепараторами. Ясно, что сепараторы играют большую роль в определении топологической структуры магнитного поля. В настоящий момент накоплен значительный материал, связанный с вопросами существования или отсутствия гетероклинических траекторий у динамических систем Морса-Смейла, который может быть редуцирован к вопросу существования или отсутствия сепараторов в магнитных полях. Одним из общепринятых положений современной астрофизики, касающихся объяснения природы солнечных вспышек, является утверждение о том, что выделение энергии при солнечных вспышках происходит в результате магнитного пересоединения, то есть бифуркаций, связанных с появлением и исчезновением сепараторов магнитного поля. При этом меняется топологическая структура магнитного поля так, что новая топологическая конфигурация обладает меньшей энергией [21, 56, 60]. Высвобождающийся при этой бифуркации избыток энергии расходуется на интенсивное излучение электромагнитных волн в различных диапазонах спектра, нагрев плазмы, ускорение заряженных частиц до высоких энергий и т.п. В связи с этим информация о количестве и расположении нулевых точек и сепараторов магнитного поля является принципиально важной при анализе процессов магнитного пересоединения. Обсуждению этих вопросов посвящены разделы 3, 4. Кроме того, в разделе 4 приводятся необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности специального класса магнитных полей в короне Солнца. Отметим, что в разделах 3, 4 рассматривается топологическая структура магнитного поля в фиксированный момент времени. При таком рассмотрении не учитывается влияние движения проводящей среды (плазмы) на изменение топологии магнитного поля. Однако при объяснении природы важных бифуркаций топологии магнитного поля, связанных с рождением и исчезновением сепараторов, пересоединением и т. п., необходимо учитывать движение среды. В разделе 5 дается изложение следующего, предложенного авторами, подхода. В движущейся плазме выделяется исследуемая область V, и движение этой области доопределяется на трехмерное замкнутое многообразие MV так, чтобы полученное преобразование многообразия MV было диффеоморфизмом Морса-Смейла. Несмотря на то, что при таком подходе теряется информация о поведении магнитного поля вне области V, удается получить условия, гарантирующие существование или отсутствие сепараторов исходного магнитного поля в области V. На самом деле полученные условия являются следствием глубоких результатов о диффеоморфизмах Морса-Смейла, заданных на замкнутых трехмерных многообразиях [7-9, 31, 39]. Известно, что Земля и Солнце обладают собственным магнитным полем. Достаточно давно методами радиоастрономии были обнаружены магнитные поля других планет и звезд. Более того, оказалось, что магнитные поля в планетах и звездах, в галактиках и межгалактическом пространстве нередко играют первостепенную роль в динамике различных астрофизических процессов. Естественный вопрос о происхождении этих магнитных полей лежит в русле теории, которая называется теорией кинематического динамо [4]. Одной из проблем этой теории является решение задачи о поведении магнитного поля при заданном течении проводящей среды [16, 19, 50]. Различные аспекты теории кинематического динамо рассматривались Паркером [52] и Эльзассаром [25, 37] (см. обзоры [22, 34]). При этом теоретические исследования наталкивались на серьезные математические трудности вследствие существенной нелинейности задачи. Важной частью теории кинематического динамо является теория быстрого кинематического динамо, которая исследует существование такого движения среды, которое вызывает экспоненциальный рост так называемого затравочного магнитного поля (или магнитной энергии) при малой магнитной диффузии [3, 13, 18]. Общепринятая точка зрения состоит в том, что эффект быстрого кинематического динамо является причиной существования магнитных полей в космических масштабах. Несмотря на многочисленные попытки, до настоящего времени в лабораторных условиях не удалось получить стабильного эксперимента, дающего ожидаемый эффект, который с полной уверенностью можно было бы считать точным аналогом природного [23]. В связи с большими теоретическими трудностями проблемы быстрого кинематического динамо стали разрабатываться различные геометрические и топологические конструкции движений проводящей среды, которые приводят к многократному усилению затравочного магнитного поля. Грубо говоря, основная идея сводилась к построению консервативного отображения, которое, с учетом вмороженности силовых линий, приводит к многократному увеличению плотности силовых линий магнитного поля. Наибольшую известность получили конструкции, предложенные в 70-х годах 20-го века Х. Альвеном (расщепление магнитной трубки) и Я. Б. Зельдовичем (так называемая восьмерка Зельдовича). Обе конструкции соответствуют известным конструкциям современной теории динамических систем. Например, конструкция Альвена [27] соответствует так называемому преобразованию пекаря, в то время как конструкция Зельдовича соответствует отображению Смейла построения гиперболического соленоида [2, 14, 43, 62]. В идейном плане конструкция Зельдовича, которую иногда называют веревочным динамо, легла в основу достаточно большого числа конструкций трехмерных моделей быстрого динамо [3, 4]. С точки зрения современной теории динамических систем конструкция Зельдовича представляет собой Ω-устойчивое отображение полнотория в себя, введенное Смейлом [62]. Неблуждающее множество этого отображения является топологическим соленоидом и растягивающимся аттрактором [14, 43, 62]. Как отмечалось в [3] (см. обсуждение в гл. V), с точки зрения теории кинематического динамо указанная конструкция имеет существенный недостаток, состоящий в том, что предложенное отображение не является консервативным. В разделе 6 мы приводим модификацию конструкции Зельдовича, лишенную этого недостатка в окрестности неблуждающего множества. Благодарности. Обзор написан при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 17-11-01041). 2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ Как известно, магнитная гидродинамика (МГД) изучает взаимодействие электромагнитного поля с жидким или газообразным движущимся проводником, рассматриваемым как сплошная среда. Уравнения МГД представляют собой совокупность уравнений Максвелла для электромагнитного поля и обычных гидродинамических уравнений, описывающих движение сплошной среды (плазмы, жидкости или газа). Сперва приведем уравнения Максвелла: _, _, 4π ε0 ∂E_, ∇ × H = 0 0 c · _,j + c · , (2.1) ∂t _, _, 1 ∂H_, c ∇ × E = - · 0 , (2.2) ∂t _, _, ∇ · H = 0, (2.3) _, _, 4π c ∇ · E = · ρe. (2.4) 0 Здесь ρe - плотность электрического заряда, _,j - плотность тока, c0 - электродинамическая постоянная (скорость света в вакууме). Иногда в уравнениях Максвелла участвует магнитная индукция B_, , однако мы для простоты в уравнениях (2.1)-(2.4) не делаем различия между напряженностью магнитного поля H_, и вектором магнитной индукции B_, = μH_, , полагая μ ≈ 1. Если обозначить через _,v гидродинамическое поле скоростей сплошной среды, то плотность тока _,j складывается из так называемого конвекционного тока ρe_,v, тока проводимости σE_, , и индукционного тока, который возникает при движении электропроводящей среды со скоростью _,v в магнитном поле H_, , где σ - проводимость среды. Таким образом, σ _,j = ρe_,v + σE_, + c0 · _,v × H_, . (2.5) Теперь приведем гидродинамические уравнения. Первое из них есть гидродинамическое уравнение Эйлера, а второе - уравнение неразрывности (или непрерывности): ∇ d_,v (! · dt = - _, P + F_,e + η · Δ_,v (2.6) ∂(! ∂t = _, ∇ · ((!_,v) = 0 (2.7) Здесь (! - плотность среды, P - давление, η - вязкость, и F_,e - электромагнитная сила. Отметим, что левая часть уравнения (2.6) чаще пишется в виде d_,v ∂_,v ∂ ∂ ∂ ∂_,v ' (! · dt = (! · ∂t + vx ∂x + vy ∂y + vz ∂z ∇ _,v = (! · ∂t + _,v · _, _,v . _, Классическая МГД разделяется на нерелятивистскую и релятивистскую МГД. В нерелятивистской МГД, в рамках которой мы далее будем находиться, рассматриваются скорости |_,v| « c0. Поэтому в уравнении (2.1) можно пренебречь вторым слагаемым ε0 · ∂E . Исключим из уравнеc0 ∂t ний Максвелла электрическую напряженность E_, уравнение индукции: и плотность тока _,j. Тогда получим следующее ∂H_, = rot r Hl + ν∇2H, (2.8) _,v _, _, ∂t которое является одним из основных уравнений МГД, где ν - магнитная вязкость, обратная магнитному числу Рейнольдса [3, 16]. Теория кинематического динамо в основном основывается на уравнении индукции (2.8), в котором скорость среды _,v предполагается заданной функцией координат и времени. Имеются большой ряд работ, в которых при дополнительных предположениях найдены точные решения уравнений МГД с различными начальными условиями (см. например классическую работу [36]). Кроме того, отсылаем читателя к одной из последних работ [59], где имеется обширная библиография. 3. МОДЕЛЬ ОДНОТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯДОВ В векторных полях Морса-Смейла, моделирующих магнитные поля H_, , порождаемые совокупностью так называемых магнитных (ретракционных) зарядов, состояния равновесия разбиваются на два класса. К первому классу относятся все состояния равновесия векторного поля, соответствующие нулевым точкам магнитного поля. Эти точки отвечают за непрерывность векторного поля, моделирующего магнитное поле с конфликтующими областями. Ко второму классу относятся все стоковые и источниковые состояния равновесия векторного поля. Они соответствуют отрицательным и положительным магнитным ретракционным зарядам. Пусть p0 - состояние равновесия векторного поля, соответствующее нулевой точке магнитного поля H_, , и λ1, λ2, λ3 - собственные числа матрицы Якоби системы уравнений, задающих поле H_, в окрестности точки p0. По предположению вне объединения достаточно малых окрестностей стоков и источников векторного поля H_, имеет место равенство ∇· H_, = 0, см. (2.3). Отсюда следует, что λ1 + λ2 + λ3 = 0. Так как состояния равновесия потоков Морса-Смейла являются гиперболическими, то действительные части всех собственных значений отличны от нуля. Отсюда вытекает, что с точки зрения теории динамических систем нулевая точка магнитного поля является седловым состоянием равновесия с двумя одномерными и одной двумерной сепаратрисами. В физической литературе одномерную сепаратрису называют шипом (spine), а двумерную - веерной поверхностью (fan) [21, 54, 56], см. рис. 3 (a). Если силовая магнитная линия одномерной сепаратрисы направлена из нулевой точки, то все магнитные линии на сепаратрисной поверхности направлены к нулевой точке, и наоборот. Таким образом, первый класс состояний равновесия векторного поля H_, состоит из седловых состояний равновесия. Напомним, что индексом Морса состояния равновесия p называется число, равное размерности dim Wu(p) неустойчивого многообразия Wu(p) состояния равновесия p, а u топологическим индексом - число, равное (-1)dim W (p). Для седлового состояния равновесия p0 возможны (с точностью до переобозначений собственных чисел) лишь следующие варианты: 1) λ1 > 0, Re λ2, Re λ3 < 0; 2) λ1 < 0, Re λ2, Re λ3 > 0. В первом случае нулевая точка p0 называется положительной, поскольку λ1 · λ2 · λ3 > 0. С точки зрения теории динамических систем положительная нулевая точка является седловым состоянием равновесия с индексом Морса, равным 1, и топологическим индексом, равным -1. Это состояние равновесия имеет две одномерные неустойчивые сепаратрисы и одну двумерную устойчивую сепаратрису, см. рис. 2 (a). Во втором случае точка p0 называется отрицательной, поскольку λ1 · λ2 · λ3 < 0. Она является седловым состоянием равновесия с индексом Морса, равным 2, и топологическим индексом, равным 1, и имеет две одномерные устойчивые сепаратрисы и одну двумерную неустойчивую сепаратрису см. рис. 2 (b). 1 2 3 (a) >0 (b) <0 1 2 3 РИС. 2. Положительные и отрицательные нулевые точки. Для формулировки основных результатов этого раздела уточним понятия отрицательных и положительных зарядов магнитного поля H_, (согласно точечно-зарядной модели). Заряд H_, поля называется положительным, если его можно заключить в сколь угодно малый шар, на границе которого магнитное поле направлено наружу. Аналогично определяется отрицательный заряд. С точки зрения теории динамических систем Морса-Смейла положительный заряд является источниковым, а отрицательный - стоковым состоянием равновесия векторного поля. Во всех известных авторам работах, в которых применялась точечно-зарядная модель, рассматривалось конечное и достаточно малое число зарядов. Например, в работах [55, 57] рассматривались группы из двух и трех зарядов. В работах [5, 17, 28, 48, 63] рассматривались группы из четырех зарядов. Наконец, в работе [47] рассматривалась группа из шести зарядов. Во всех работах конкретизировались координаты зарядов. Также предполагалась потенциальность поля магнитной индукции B_, , для определения которой применялась конкретная формула. С помощью непосредственных вычислений находились нуль-точки поля B_, и сепараторы, которые играют существенную роль в описании топологической структуры магнитного поля. Формула Эйлера-Пуанкаре применялась для проверки наличия нуль-точек. Отметим, что основной упор в указанных работах был направлен на исследование перестроек магнитного поля при изменении положения зарядов. Магнитное поле будем называть квазитипичным, если все его нуль-точки и заряды (рассматриваемые как состояния равновесия векторного поля) являются гиперболическими, двумерные сепаратрисы нуль-точек пересекаются трансверсально (если пересекаются), любая одномерная сепаратриса не имеет пересечений с двумерными сепаратрисами, и нет одномерных сепаратрис, соединяющих нулевые точки (включая одну и ту же нулевую точку). Отметим, что одномерные сепаратрисы в общем случае либо не пересекаются, либо совпадают. Далее, мы будем рассматривать только квазитипичные магнитные поля. Поскольку Солнце излучает энергию, то большое практическое значение имеет изучение так называемых положительно несбалансированных групп зарядов. Группа зарядов C называется положительно несбалансированной, если ее можно заключить в шар B, на границе которого магнитное поле направлено наружу, а внутри шара магнитное поле квазитипично и нет замкнутых магнитных линий. Указанный шар B = B(C) будем называть источниковой областью группы C. Более того, мы будем предполагать, что внутри источниковой области любая силовая линия, не образующая одномерную сепаратрису и не принадлежащая двумерной сепаратрисе нуль-точки, либо стремится к особенности магнитного поля, либо покидает источниковую область. Аналогично определяется отрицательно несбалансированная группа зарядов, и в этом случае говорят о стоковой области группы зарядов. Изучение отрицательно несбалансированных групп также важно, поскольку внутри положительно несбалансированной группы могут быть семейства отрицательно несбалансированных групп, бифуркации которых могут быть причиной вспышки [54]. Введем для области, содержащей несбалансированную группу зарядов, следующие обозначения: S+ - число положительных нуль-точек, S- - число отрицательных нуль-точек, N + - число положительных зарядов, N - - число отрицательных зарядов. Из формулы Эйлера-Пуанкаре вытекает равенство 1+ N - - S+ + S- - N + = 0. Однако, как показывает следующий результат, не все неотрицательные числа S+, S-, N +, N -, удовлетворяющие этой формуле, могут быть реализованы. Напомним, что следуя [21, 54, 56], мы будем называть магнитную линию, соединяющую две нулевые точки, сепаратором (separator). С точки зрения теории динамических систем сепаратор является гетероклинической траекторией, принадлежащей пересечению сепаратрисных поверхностей разных седловых состояний равновесия, см. рис. 3 (b). шип (spine) (a) сепаратрисная поверхность (fan) сепаратор (separator) (b) РИС. 3. Структура нулевой точки (a), и гетероклинический сепаратор (b). Сформулированные ниже результаты данного раздела доказаны в работах [12]. Теорема 3.1. Пусть положительно несбалансированная группа C содержит N + � 1 положительных зарядов и N - � 0 отрицательных зарядов. Тогда в источниковой области B(C) этой группы имеется по крайней мере N + - 1 отрицательных нулевых точек и N - положительных нулевых точек, S- � N + - 1, S+ � N -. Если группа C состоит из N + � 2 положительных зарядов и в B(C) содержится ровно N + - 1 нулевых точек, то все нулевые точки являются отрицательными нулевыми точками, и сепараторы в B(C) отсутствуют. Более того, магнитное поле в области B(C) имеет единственную с точностью до топологической эквивалентности структуру. Следствие 3.1. Пусть имеется отрицательно несбалансированная группа C, содержащая N - � 2 отрицательных зарядов. Тогда в стоковой области B(C) этой группы имеется по крайней мере N - - 1 положительных нулевых точек. Если группа C состоит из N - � 2 отрицательных зарядов и в B(C) содержится ровно N - - 1 нулевых точек, то все эти точки являются положительными нулевыми точками, и сепараторы в B(C) отсутствуют. При минимально возможных количествах как положительных, так и отрицательных нулевых точек (эти минимальные числа определяются в силу теоремы 3.1) сепараторов может не быть. Однако, как показывает следующая теорема, как только появляется хотя бы одна «лишняя» нулевая очка, то необходимо появляется хотя бы один сепаратор. Тип лишней нулевой точки роли не играет (она может быть как положительной, так и отрицательной). Мы для определенности формулируем утверждение, когда лишняя нулевая точка является отрицательной. Теорема 3.2. Пусть положительно несбалансированная группа C содержит N + � 2 положительных и N - � 0 отрицательных зарядов. Если B(C) содержит ровно N + отрицательных нулевых точек, то в B(C) существует хотя бы один сепаратор. Доказательства приведенных теорем 3.1, 3.2 основано на том, что квазитипичное магнитное поле положительно несбалансированных групп зарядов можно продолжить на трехмерную сферу до векторного поля Морса-Смейла, и к таким векторным полям применить технику, развитую в работах, посвященных классификации динамических систем Морса-Смейла на многообразиях (см. обзоры и книги [8-10, 39, 41]). 4. ТОПОЛОГИЯ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ Одна из современных точек зрения состоит в том, что магнитное поле в короне Солнца порождается большим числом диполей, расположенных внутри Солнца (см., например, [21, 56]). Эти диполи порождают потоковые трубки магнитного поля, пересекающие фотосферу Солнца и выходящие в ее корону. Места, где потоковые трубки прорываются сквозь фотосферу и возвращаются на нее, моделируются (согласно точечно-зарядной модели) как точечные источники и стоки (положительные и отрицательные заряды) на фотосфере (см. рис. 4). Следуя [29] для модели магнитного поля B с точечными источниками, двумерная сфера P = {(x, y, z, w) ∈ S3 | w = 0} в трехмерной сфере S3 = {(x, y, z, w) ∈ R4 | x2 + y2 + z2 + w2 = 1} используется как фотосфера и область {(x, y, z, w) ∈ S3 | w > 0} как солнечная корона. Более того, мы предполагаем, что B симметрично распространяется на область {(x, y, z, w) ∈ S3 | w < 0}, называемую зеркалом k короны, и, следовательно, оно определено на M = S3 \ J qi, где q1,..., qk - точки на фотосфере, i=1 в которых расположены заряды. Фотосфера корона диполи +- +- солнце РИС. 4. Диполи внутри солнца. Корональное магнитное поле часто считается безвихревым. Для простоты (поскольку мы изучаем лишь топологию поля) в этом разделе предполагается, что поле B потенциально, то есть B = -∇Φ, где Φ - скалярный потенциал. Естественно предположить, что потенциал Φ является функцией Морса. Напомним, что C2-функция φ, заданная на n-многообразии, называется функцией Морса, если для каждой ее критической точки p существует открытая окрестность Vp с системой координат X = (x1,..., xn) и целое число λp ∈ [0, n] - индекс p такие, что λp 2 φ(x)|Vp = φ(p) - ), xi + i=1 n ), i=λp+1 2 xi . Из-за того, что ∇· B = 0, три собственных значения λ1, λ2, λ3 нуля магнитного поля удовлетворяют равенству λ1 + λ2 + λ3 = 0. Так как B является потенциалом, то все собственные значения являются вещественными числами. Так как Φ - функция Морса, то каждое собственное значение отличается от 0. Нуль называется положительным (отрицательным), если λ1 ·λ2 ·λ3 > 0 (λ1 ·λ2 ·λ3 < 0). Нуль, принадлежащий фотосфере, называется фотосферическим. Фотосферический нуль, чье одномерное инвариантное многообразие лежит в фотосфере, называется горизонтальным, тогда как фотосферический нуль с одномерным инвариантным многообразием, направленным вертикально, называется вертикальным. Корональный нуль - это нуль, лежащий в короне солнца [30]. Когда двумерные инвариантные многообразия нулевых точек имеют пересечение, они образуют сепаратор, который соединяет два противоположных по знаку нуля. Двумерные многообразия делят корону на разные области, которые называются куполами. Появление и исчезновение сепараторов изменяет топологию разбиения на купола. Такая ситуация называется сепараторным пересоединением и является одним из основных механизмов перераспределения энергии в короне солнца [58]. Простейшее пересоединение известно как пересекающееся состояние [29] (см. рис. 5). фотосфера сепаратор сепаратор купол РИС. 5. Пересекающееся состояние. Большое количество статей [35, 46, 48, 49] было посвящено классификации конфигураций куполов магнитного поля, возникающих из таких точечных источников. Естественно ввести следующее определение, которое восходит к классической работе [53], см. также [62]. Определение 4.1. Говорят, что два корональных магнитных поля B, B× являются топологически эквивалентными, если существует гомеоморфизм H : M → M ×, переводящий магнитные линии B в магнитные линии B× с сохранением ориентации на линиях. Известно (см., например, книгу [38]), что градиентное векторное поле ξ, порожденное функцией Морса φ, обладает так называемой самоиндексирующейся энергетической функцией ϕ, то есть функцией Морса со следующими свойствами: 1. множества критических точек φ и ϕ совпадают; 2. для каждой критической точки p имеет место равенство ϕ(x) = φ(x) + const для x ∈ Vp и ϕ(p) = λp; 3. ξ(ϕ) < 0 вне критических точек. Обозначим через B множество магнитных полей B, обладающих энергетической функцией ϕ. В настоящем разделе мы решаем задачу о существовании сепараторов в зависимости от типа нулей магнитного поля B ∈B и находим взаимосвязь между числом нулей и числом зарядов. Также мы получаем классификацию магнитных полей из B с точностью до топологической эквивалентности. Для нуля p магнитного поля B обозначим через Fp его двумерное инвариантное многообразие и через Sp - одномерное. Положим Tp = Fp ∩ P, то есть Tp - след пересечения Fp с фотосферой P. Сформулированные ниже результаты данного раздела доказаны в работе [42]. Теорема 4.1. Для любого магнитного поля B верны следующие утверждения: 1. если p - нуль магнитного поля B и lp является компонентой связности множества Sp \p, то множество cl lp \ (lp ∪ p) состоит в точности из одного заряда qi для некоторого i ∈ {1,..., k}; 2. если p - нуль магнитного поля B, то двумерное многообразие Fp не содержит сепаратора тогда и только тогда, когда cl Fp \Fp является ровно одним зарядом qi для некоторого i ∈ {1,..., k}; 3. если существуют нули p1,..., pn магнитного поля B такие, что n J cl Spi - простая заi=1 мкнутая кривая, тогда Fpi содержит хотя бы один сепаратор для каждого i ∈ {1,..., n}. Теорема 4.2. Для произвольного коронального магнитного поля B ∈B выполняются следующие утверждения: 1. двумерное многообразие Fp каждой корональной или вертикальной нулевой точки p содержит хотя бы один сепаратор; 2. двумерное многообразие Fp горизонтальной нулевой точки p не содержит сепараторов тогда и только тогда, когда cl Tp \ Tp является ровно одним зарядом qi для некоторого i ∈ {1,..., k}. Обозначим через m число нулей поля B ∈ B. Положим m - k +2 g = . 2 Теорема 4.3. Для произвольного коронального магнитного поля B ∈ B справедливы следующие утверждения: 1. g -целое число и g � 0; 2. векторное поле B имеет не менее 2g нулей, чьи двумерные инвариантные многообразия содержат по крайней мере один сепаратор; 3. множество уровня Σ = ϕ-1 3 ' является ориентируемой поверхностью рода g. 2 Обозначим через N+ (N-) множество положительных (отрицательных) нулей магнитного поля 1. Положим F+ = J p∈N+ Fp (F- = J p∈N- Fp). Определение 4.2. Говорят, что самоиндексирующиеся энергетические функции ϕ, ϕ× магнитных полей B, B× согласованно эквивалентны, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм H : M → M × такой, что: 1. ϕ×H = ϕ; 2. H(Σ ∩ F+) = Σ× ∩ F × , H(Σ ∩ F-) = Σ× ∩ F × . + - Теорема 4.4. Магнитные поля B, B× топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда их самоиндексирующиеся энергетические функции ϕ, ϕ× согласованно эквивалентны. 1. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СЕПАРАТОРОВ В ДВИЖУЩЕЙСЯ ПЛАЗМЕ В разделах 3, 4 были приведены некоторые условия существования сепараторов. Однако в них не учитывалось движение плазмы. В этом разделе приводятся ряд условий, учитывающих это движение. В работе [40] был предложен подход к решению данной проблемы, состоящий в том, что в плазме выделяется трехмерное тело специального вида и рассматривается движение, при котором все граничные компоненты тела сдвигаются внутрь или наружу так, что после окончания движения все граничные компоненты параллельны исходным граничным компонентам (см. ниже точные определения). Поскольку в процессе движения топологическая структура магнитного поля не меняется, то для простоты предполагается, что внутри выделенного тела скелет магнитного поля инвариантен относительно движения плазмы. Отметим, что не требуется, чтобы все точки скелета были неподвижны, но движение внутри тела оставляет точки скелета на скелете. Предполагается (и это единственное содержательное ограничение), что нулевые точки являются гиперболическими точками не только поля, но и движения плазмы, которое будет моделироваться диффеоморфизмом с гиперболическими неподвижными точками. Важно заметить, что согласно теореме Купки-Смейла из теории динамических систем у любого типичного диффеоморфизма все периодические точки, включая неподвижные, являются гиперболическими [20]. Таким образом, можно считать, предложенная модель описывает класс типичных движений плазмы. Перейдем к точным определениям. p Пусть M 2 - гладко вложенная в евклидово пространство R3 ориентируемая замкнутая поверхp ность рода p � 0. В силу ориентируемости, M 2 разбивает R3 на ограниченную область (внутp ренность) и неограниченную область (внешность). Объединение внутренности с границей M 2 p обозначается через M 3 и называется телом рода p � 0. Простейшим примером является замкну- 0 тый трехмерный шар M 3 d=ef 1 D3, ограниченный двумерной сферой S2. Тело M 3 d=ef P 3 является полноторием, то есть множеством D2 × S1, гомеоморфным произведению двумерного замкнутого диска D2 на окружность S1. p1 Две гладко вложенные поверхности M 2 и M p2 2 называются параллельными, если p1 = p2 = p p и эти поверхности ограничивают в пространстве R3 область, гомеоморфную M 2 × (0; 1). Как p1 ∩ M p2 следствие, M 2 2 = ∅. Пусть тело M 3 содержит внутри себя попарно непересекающиеся тела M 3 , ..., M 3 . Положим p M 3 3 3 def 3 p1 pk p \ (int Mp1 ∪ ... ∪ int Mpk ) = Mp(p ,...,p ). 1 k 0(0) В частности, M 3 = S есть замкнутый шаровой слой, то есть множество S = S2 ×[-1; +1], гомеоморфное произведению сферы S2 на замкнутый промежуток [-1; +1]. Ясно, что топологический тип тела M 3 зависит от вложения M 3 , ..., M 3 в M 3. Одним из вариантов M 3 является p(p1···pk ) p1 pk p p(p) так называемая толстая поверхность, то есть тело, гомеоморфное произведению двумерной поверхности M 2 рода p � 1 на отрезок [0; 1]. Обозначим через M3 тело типа M 3 , являющееся p толстой поверхностью с двумя дырами. p(p,0,0) p(p ,...,p ) Рассмотрим тело M 3 1 k p(p1,...,p ) , гладко вложенное в пространство R3. Тело M 3 k представляет собой часть плазмы некоторого астрофизического объекта с магнитным полем B_, . Обозначим через B_, 0 ограничение поля B_, на M 3 p(p1,...,pk ) | , то есть B_, 0 = B_, M 3 p(p1,...,pk ) , и будем считать, что поле B_, 0 p(p ,...,p ) является квазитипичным (см. раздел 3). Как следствие получаем, что M 3 1 k содержит только конечное число нулевых точек. Мы будем предполагать далее, что 1) сепаратрисы нулевых точек пересекаются (если пересекаются) трансверсально; 2) сепаратрисы пересекают (если пересекают) трансверсально компоненты M 2 , ..., M 2 тела M 3 . Отображение p1 f0 : M 3 pk p(p1,...,pk ) → f0 M 3 ' ⊂ R3 p(p1,...,pk ) p(p1,...,pk ) называется (a-d)-движением, если оно удовлетворяет следующим условиям: 1. f0 является сохраняющим ориентацию диффеоморфизмом на свой образ, причем неблуждающее множество диффеоморфизма f0 состоит из неподвижных гиперболических точек, которые совпадают с нулями магнитного поля B_, 0; p(p1,...,p ) 2. граничные компоненты тела f0 M 3 k ' попарно не пересекаются с граничными компоp(p ,...,p ) нентами тела M 3 ; 1 k 3. имеется хотя бы одна граничная компонента M 2 , которая отображается внутрь M 3 , и pi p(p1,...,pk ) имеется хотя бы одна граничная компонента M 2 , которая отображается наружу M 3 , то есть f0(M 2 ) ⊂ M 3 pj , f0(M 2 ) ∩ M 3 = ∅; p(p1,...,pk ) pi p(p1,...,pk ) pj p(p1,...,pk ) 4. веерные поверхности и шипы инвариантны относительно f0, а неподвижные точки диффеоморфизма f0 имеют одинаковый тип с нулями поля B_, 0. Отметим, что здесь не требуется трансверсального пересечения силовых линий магнитного поля B_, 0 с граничными компонентами. Поэтому веерные поверхности и шипы могут, вообще говоря, пересекать граничные компоненты тела M 3 p(p1···pk ) по нескольким компонентам связности. Предложенная математическая модель с физической точки зрения означает, что рассматривается движение плазмы за промежуток времени, в течение которого сохраняются особые точки с веерными поверхностями и шипами. Из приведенных свойств вытекает, что сепараторы (если они существуют) инвариантны относительно f0 и их число (включая нуль) не меняется в течение наблюдаемого промежутка времени. Для замкнутого шарового слоя S условия a)-d) означают следующее. Договоримся, что сфера S2 × {-1} = Sint, которая называется внутренней, ограничивает в R3 шар B3, не содержащий шаровой слой. Сферу S2 × {+1} = Sext назовем внешней. Тогда компоненты пересечения шипов и веерных поверхностей со сферами Sint, Sext суть точки и кривые (замкнутые или незамкнутые). Не уменьшая общности, можно считать, что условие d) принимает вид: f0(Sint) ⊂S и f0(Sext) ⊂ R3 \ (S∪ B3) так, что f0(Sint) разбивает S на два шаровых кольца, см. рис. 6. Сформулируем первые два результаты статьи [40] для (a-d)-движений шарового слоя плазмы. Sint f Sext f(Sint) f(Sext) РИС. 6. Движение шарового слоя S. Доказательства следующих утверждений основаны на применении результатов о топологической взаимосвязи динамики диффеоморфизмов Морса-Смейла и топологии объемлющих многообразий (см, например, монографию [9]). Это применение основано на том, что введенные выше движения можно продолжить до диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на замкнутых трехмерных многообразиях с известной топологической структурой. Теорема 5.1. Пусть f0 : S → f0(S) ⊂ R3 есть (a-d)-движение шарового слоя S плазмы с магнитным полем B_, 0. Предположим, что B_, 0 в S имеет нулевые точки. Тогда их число четное (следовательно, нулевых точек не менее двух). Более того, их сепаратрисные поверхности пересекаются и имеется конечное ненулевое число гетероклинических сепараторов. Теорема 5.2. Пусть выполнены условия теоремы 5.1, и предположим, что шипы и веерные поверхности нулевых точек магнитного поля B_, 0 в S не пересекаются. Тогда сепаратрисная поверхность каждой нулевой точки в S содержит хотя бы один гетероклинический сепаратор. Толстая поверхность с двумя дырами M3 имеет четыре граничных компоненты: две 2-сферы S1, S2 и две двумерные поверхности T1, T2 рода p � 1. Для движения тела M3 конкретизируем условие d) следующим образом: d) одна сфера, скажем S1, отображается внутрь тела M3, а другая S2 - наружу; одна поверхность, скажем T1, отображается внутрь M3, а другая T2 - наружу. Более того, ограничение f0|Ti : Ti → f0(Ti) гомотопически тривиально для каждого i = 1, 2. Поясним понятие гомотопической тривиальности. В отличие от сферы, для которой с гомотопической точки зрения существует только один класс сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов, для поверхностей ненулевого рода существует счетное семейство таких классов. Поверхности Ti, f0(Ti) для каждого i = 1, 2 параллельны. Поэтому образующие их фундаментальных групп можно считать естественным образом изоморфными. Гомотопическая тривиальность означает, что огра- 3 ничения f0|Ti гомотопически тождественны. Для (a-d)-движений тела M утверждения. имеют место следующие Теорема 5.3. Пусть f0 : M3 → f0(M3) ⊂ R3 есть (a-d)-движение тела M3, принадлежащего некоторой области плазмы с магнитным полем B_, 0. Тогда поле B_, 0 в M3 имеет не менее двух нулевых точек таких, что их сепаратрисные поверхности пересекаются и имеется конечное ненулевое число гетероклинических сепараторов. Теорема 5.4. Пусть выполнены условия теоремы 5.3, и предположим, что шипы и веерные поверхности нулевых точек магнитного поля B_, 0 в M3 не пересекаются. Тогда сепаратрисная поверхность каждой нулевой точки в M3 содержит хотя бы один гетероклинический сепаратор. Отметим работу [6], в которой приводится близкое по духу теоремы 5.4 условие существования сепаратора. 2. МОДЕЛЬ КИНЕМАТИЧЕСКОГО ДИНАМО ВЕРЕВОЧНОГО ТИПА В этом разделе дается модификация конструкции Зельдовича, состоящая в построении диффеоморфизма и векторного поля, которое имеет экспоненциальный рост под действием итераций этого диффеоморфизма. Рассмотрим на декартовой плоскости R2 круг D2 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 � 1} и отображение w : D2 → R2, образующее подкову Смейла [61, 62]. Именно, отображение w есть композиция сжатия вдоль оси Ox, растяжения вдоль оси Oy, сгибания (непринципиально, в какую сторону) полученного эллипса и сдвига так, чтобы пересечение D2 ∩w(D2) представляло собой объединение двух непересекающихся полос, симметричных относительно оси Oy. Известно [2, 61], что w можно продолжить до отображения всей плоскости R2 так, чтобы это продолжение было тождественным вне некоторой окрестности круга D2. Ясно, что за счет сжатия и растяжения можно добиться того, чтобы якобиан J (w) отображения w на D2 равнялся 1 . Далее 2 мы будем предполагать эти условия выполненными. Обозначим через sh0 : R2 → R2 сдвиг (x; y) -→ x+ 1 2 ; y' вдоль оси Ox, и через S0 : R2 → R2 - центральную симметрию относительно начала координат (0; 0), S0(x; y) = (-x; -y). Снова за счет сжатия-растяжения и сгиба можно добиться выполнения следующих условий: 1. пересечение D2 ∩ sh0 ◦ w(D2) состоит из двух непересекающихся полос; 2. w(D2) ∩ (S0 ◦ w(D2)) = ∅. Первое условие означает, что отображение sh0 ◦ w = w0 образует подкову Смейла. Второе условие означает, что подкова w(D2) не пересекается со своим образом относительно центральной симметрии S0. Отметим, что S0 ◦ w(D2) также образует конфигурацию подковы. Обозначим через Rt : R2 → R2 вращение ( x¯ y¯ = x cos πt - y sin πt = x sin πt + y cos πt плоскости R2 на угол πt против часовой стрелки. Положим 2 2 wt = R2t ◦ w0 ◦ R-t : D → R . Это отображение можно интерпретировать как образование подковы в направлении, перпендикулярном прямой y = tg πt · x, с последующим поворотом Rt на угол πt против часовой стрелки. Пусть S1 = [0; 1]/(0 ∼ 1) - окружность, наделенная естественной параметризацией [0; 1] → [0; 1]/(0 ∼ 1) = S1. Отображение E2 : S1 → S1 вида t → 2t mod 1 является растягивающимся эндоморфизмом окружности степени два. Рассмотрим в пространстве R3 вложенный полноторий S1 × D2 ⊂ R3 и отображение F : S1 × D2 → R3 вида (t; (x; y)) 1-→ (E2(t); wt(x; y)) , t ∈ S1, (x; y) ∈ D2. t Положим Dt = {t}× D2 ⊂ S1 × D2, R2 = {t}× R2. В силу определения отображения F E2(t) F (Dt) ⊂ R2 = R 2 2t mod 1. Отображение F : S1 × D2 → F (S1 × D2) является диффеоморфизмом на свой образ. Отметим, что поскольку якобиан J (w) отображениям w на D2 равен 1 , то якобиан отображения 2 1 F равен J (F ) = J (w)· DE2 = 2 · 2 = 1. Поэтому F является консервативным диффеоморфизмом на свой образ. Стандартным образом пополним пространство R3 бесконечно удаленной точкой {∞} так, что объединение R3 ∪ {∞} отождествляется с 3-мерной сферой S3. Из техники, развитой в работах [11, 32], вытекает, что f продолжается до диффеоморфизма сферы f : S3 → S3, причем можно продолжение осуществить так, чтобы сохранялось свойство консервативности в некоторой окрестности полнотория S1 × D2. Полноторий S1 × D2, вложенный в S3, будем называть базовым, и обозначим через B. Положим ∞ Ω = n n=-∞ f (B). Множество Ω инвариантно относительно f [2] и не пусто, поскольку содержит в D0 = {0}× D2 ⊂B инвариантное нетривиальное (нульмерное) множество Ω0 подковы Смейла [2, 61, 62]. Обозначим через Diff 1(S3) пространство диффеоморфизмов 3-сферы S3, наделенное C1 топологией. Множество Ω гиперболическое, и ограничение f |Ω диффеоморфизма f на Ω имеет положительную (топологическую) энтропию. Более того, в пространстве Diff 1(S3) имеется окрестность U (f ) диффеоморфизма f такая, что любой диффеоморфизм g ∈ U (f ) имеет гиперболическое инвариантное множество Ωg ⊂ B, причем диффеоморфизмы f |Ω, g|Ωg сопряжены и ограничение g|Ωg имеет положительную энтропию. Рассмотрим теперь на S1 × D2 магнитное поле B_, , образованное единичными векторами, которые являются касательными векторами к кривым S1 × {z}, z ∈ D2. Кривые S1 × {z} считаются ориентированными в направлении возрастания параметра. Ясно, что B_, можно продолжить на всю сферу S3 до единичного (и, следовательно, бездивергентного) векторного поля. Мы предполагаем, что B_, имеет нулевую диффузию (то есть рассеивания магнитной энергии не происходит). Так как эти кривые S1 × {z} под действием f растягиваются в два раза, то под действием f поле B_, переходит в поле f∗(B_, ) со следующим свойством: существует постоянная λ > 1 такая, что векторы поля f∗(B_, ) имеют длину, не менее чем в λ раз большую, нежели длина векторов поля B_, . Аналогичное свойство имеет место для длин векторов поля fn+1(B_, ) относительно поля fn(B_, ). ∗ ∗ ∗ Если не учитывать диссипацию энергии, то отсюда следует, что энергия векторного поля fn(B_, ) растет экспоненциально с показателем ln λ > 0. Таким образом, диффеоморфизм f : S3 → S3 является быстрым недиссипативным кинематическим динамо относительно магнитного поля B_, .

Об авторах

В З Гринес

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Email: vgrines@yandex.ru
603155, Н. Новгород, Б. Печерская, 25/12

Е В Жужома

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Email: ezhuzhoma@hse.ru
603155, Н. Новгород, Б. Печерская, 25/12

О В Починка

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Email: olga-pochinka@yandex.ru
603155, Н. Новгород, Б. Печерская, 25/12

Список литературы