О лакунах в нижней части спектра периодического магнитного оператора в полосе

Аннотация

В работе рассматривается периодический магнитный оператор Шредингера в бесконечной плоской прямой полосе. Показано, что при определенных условиях на магнитный потенциал и достаточно малом периоде нижняя часть зонного спектра не содержит внутренних лакун. Длина нижней части зонного спектра, в которой гарантируется отсутствие внутренних лакун, получена в явном виде. Верхняя оценка на величину малого параметра, гарантирующая описанный выше результат, также получена в виде конкретного числа.

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ На сегодняшний день гипотеза Бете-Зоммерфельда, предполагающая конечность числа внутренних спектральных лакун у многих периодических дифференциальных операторов, установлена доказана для ряда операторов в многомерных пространствах. Все они представляют собой оператор с постоянными коэффициентами с возмущением меньшего порядка. Гипотеза Бете-Зоммерфельда была доказана для оператора Шредингера с периодическим потенциалом разных размерностей с различными потенциалами [4, 5, 13, 14, 17, 20]. Случай магнитного оператора Шредингера был разобран в статьях [15, 16]. В работах [7, 18, 19] гипотеза была доказана для полигармонического оператора с различными возмущениями, в том числе, для псевдодифференциального оператора меньшего порядка. Дальнейшие работы по данной теме можно найти в списках литературы цитированных статей. Смысл гипотезы Бете-Зоммерфельда состоит в том, что в верхней части спектра, то есть выше (правее) некоторой точки, отсутствуют внутренние лакуны. Независимо можно рассматривать и другую интересную задачу об отсутствии лакун в нижней части спектра, то есть ниже (левее) некоторой точки. Насколько нам известно, первый подобный результат содержится в [4, гл. 15]. Здесь рассматривался оператор Лапласа в многомерном пространстве размерности три и больше, возмущенный ограниченным самосопряженным периодическим оператором. Было доказано (теоремы 15.2 и 16.2), что при достаточно малой норме возмущающего оператора в спектре рассматриваемого оператора вовсе нет спектральных лакун. В 2017 г. появилась новая работа, где рассматривался более простой вопрос об отсутствии лакун лишь в нижней части спектра, но для более сложного оператора [1]. Здесь вместо возмущения оператором вводилась периодическая смена типа краевого условия. Основной результат этой работы - отсутствие внутренних лакун в нижней части спектра для достаточно малых периодов. При этом верхняя оценка на допустимые значения периодов была получена в максимально явном виде конкретного числа. Длина нижней части спектра, в которой гарантируется отсутствие лакун, также была получена в виде явной несложной функции периода. Исследование периодического дифференциального оператора с малым периодом в [1] мотивировано в определенной степени относительно недавними работами по усреднению операторов с быстро осциллирующими коэффициентами и различными возмущениями из теории граничного усреднения в областях типа полос и бесконечных цилиндров [3, 6, 8-12]. В случае чисто периодических возмущений все рассматриваемые операторы оказывались периодическими с малым периодом. Один из основных полученных результатов - это равномерная резольвентная сходимость возмущенных операторов к усредненным. Отсюда вытекает сходимость спектров возмущенных операторов к спектрам усредненных, в которых могут отсутствовать внутренние лакуны. Однако результаты о сходимости устроены таким образом, что отсутствие внутренних лакун в спектре усредненных операторов не означает отсутствие лакун в спектре возмущенных операторов. Единственное, что здесь можно утверждать - это увеличение длины части спектра, свободной от лакун, для возмущенного оператора. С помощью двучленных асимптотик первых зонных функций, построенных в [8-10] для оператора Лапласа с частой сменой краевых условий, можно получить оценку длины такой зоны - по крайней мере, это есть величина порядка O(ε-2), где ε - период. В работе [1] для длины первой зоны получен существенно лучший результат - по крайней мере, это величина порядка O(ε-6), причем длина выписана явно, без каких-либо оценок с неизвестными константами. Настоящую работу можно рассматривать как продолжение исследований, начатых в статье [1]. Здесь мы рассматриваем магнитный оператор в полосе с краевым условием Дирихле. Магнитный потенциал предполагается периодическим и не слишком большим по модулю. Показано, что при достаточно малом периоде в нижней части спектра отсутствуют внутренние лакуны. Верхняя оценка на период, гарантирующая такой результат, получена явно. Длина нижней части спектра, в которой гарантированно отсутствуют лакуны, также выписана в виде явной функции от периода; вид функции весьма простой. В настоящей работе мы использовали в целом тот же подход, что и в [1]. Однако специфика магнитного поля потребовала определенных изменений. Кроме того, многие оценки в процессе доказательств мы провели более аккуратным образом по сравнению с [1], что несколько усложнило счет, но позволило в итоге расширить интервал значений малого параметра, на котором имеется описанный эффект. Отметим еще, что данную работу можно рассматривать как первый шаг к доказательству усиленной гипотезы Бете-Зоммерфельда, предложенной в работе [1]. Суть этой гипотезы - полное отсутствие внутренних лакун в спектрах многомерных операторов при достаточно малом периоде. Вместе с тем, техники настоящей работы недостаточно для доказательства такой гипотезы и необходимо привлекать дополнительные новые идеи. 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Пусть x = (x1, x2) - декартовы координаты на плоскости, Π - горизонтальная полоса ширины π, а именно, Π := {x : 0 < x2 < π}, ε - положительное число. Через Aε = Aε(x) = (Aε (x), Aε (x)) 1 2 x обозначим магнитный потенциал, где Aε(x) = Aj ( 1 , x2\ , j = 1, 2, и функции Aj (y1, y2) вещеj ε ственны и 2π-периодичны по y1. Также предполагаем, что функции Aj измеримы и выполнена оценка: |A1(y1, y2)|2 + |A2(y1, y2)|2 ::: a2 < 1, a = const, y1 ∈ R, y2 ∈ [0, π]. (2.1) В настоящей работе рассматривается магнитный оператор Шредингера Hε := (i∇ + Aε)2 в полосе Π с краевым условием Дирихле. Строго его определяем как самосопряженный оператор в L2(Π), соответствующий квадратичной форме hε[u] := (i∇ + Aε)u 2 L2(Π) в L2(Π) на области определения W˚ 1(Π), где W˚ 1(Π) - пространство Соболева функций из W 1(Π) 2 2 2 с нулевым следом на ∂Π. Через [·] обозначим целую часть числа, через σ(·) - спектр оператора. Оператор Hε имеет зонный спектр, который вводится как объединение образов зонных функций. Наш основной результат устанавливает отсутствие внутренних лакун в нижней части спектра оператора Hε. Теорема 2.1. Пусть выполнено условие (2.1) и 17567 539772289√509 Обозначим: 0 <ε ::: ε0, ε0 = · 106 , ε1 := 63625 π +1 107√ < ε0. (2.2) ( 3, ε1 ::: ε ::: ε0, где Kε := max {3, 1μ2(ε) + 1 , ε < ε1, μ(ε) := Тогда часть спектра β β2 ε + ε2 - 4γ, β := 539772289√2 15625 · 106(π + 1) , γ := 1018 . 625(π + 1) 1 0, (Kε - εa)2ε-2 ∩ σ(Hε) оператора Hε не содержит внутренних лакун. Обсудим кратко теорему. Основная ее суть - это отсутствие лакун в нижней части спектра при достаточно малом периоде у рассматриваемого оператора. Под нижней частью спектра понимается зона спектра от начала до некоторой точки; в нашем случае это точка (Kε - εa)2ε-2. Теорема гарантирует отсутствие лакун только в данной части спектра. Выше (правее) указанной точки спектр может как иметь, так и не иметь внутренние лакуны, наша теорема по этому поводу ничего не утверждает. Длина указанной нижней части спектра зависит от периода, причем чем меньше период, тем больше данная длина. Как следует из формулы для Kε, при ε → +0 длина данной части спектра растет по крайней мере как O(ε-6). Этот результат существенно лучше оценки, которую можно получить на основе двучленных асимптотик первых зонных функций аналогично работам [8-10] - здесь максимально возможная оценка есть величина O(ε-2). Наша оценка схожа по порядку с аналогичной оценкой работы [1]. Обсудим еще методику настоящей работы. В целом она воспроизводит подход работы [1]. Однако здесь имеется ряд отличий. Первое из них состоит в том, что необходимые оценки считающих функций для магнитного оператора, которые мы приводим в следующем разделе, потребовали определенных усилий и их вывод отличается от простого применения принципа минимакса в работе [1]. Следующее отличие состоит в том, что ключевой параметр τmax, который вводится в четвертом разделе, здесь выбирается ближе к значениям, подсказанным предварительным численным счетом. Кроме того, многочисленные технические оценки в четвертом разделе проведены аккуратнее, нежели в [1], что в итоге привело к увеличению константы ε0 по сравнению с аналогичной константой из цитированной работы. Условие (2.1) является существенным и используется в доказательстве одной из ключевых лемм, леммы 3.2, в следующем разделе. В случае нарушения условия (2.1) утверждение леммы 3.2, видимо, также будет нарушаться, что делает неприменимыми дальнейшие рассуждения доказательства теоремы 2.1. 3. СЧИТАЮЩИЕ ФУНКЦИИ В настоящем разделе приводится первая часть доказательства теорем 2.1. Eε Через Оε обозначим ячейку периодичности Оε := {x : |x1| < επ, 0 < x2 < π}. Зонные функции оператора Hε - это упорядоченные по возрастанию с учетом кратностей собственные значения k (τ, A), k ?: 1, оператора ( ∂ ε ε τ 2 ( ∂ 2 Hε(τ, A) := i ∂x1 + A1 + ε + i ∂x2 + A2 на Оε с краевым условием Дирихле на ∂Оε ∩ ∂Π и периодическими краевыми условиями на боковых сторонах Оε. Строго оператор Hε(τ ) вводим как самосопряженный оператор в L2(Оε), соответствующий квадратичной форме ( ∂ τ 2 ( ∂ 2 1 1 hε(τ, A)[u] := i ∂x1 1 u + Aε + ε + u L2(Оε) i ∂x2 2 + Aε L2(Оε) , τ ∈ - 2 , 2 (3.1) 2,per в L2(О) на области определения W˚ 1 (О), где последнее пространство вводится как множество 2 функций из W 1(Оε), удовлетворяющих периодическому краевому условию на боковых сторонах Оε и имеющих нулевой след на ∂Π ∩ ∂Оε. k В силу положительности формы hε(τ, A) собственные значения Eε(τ, A) неотрицательны для всех значений ε, τ, k. Для произвольного L> 0 через Nε(L2, τ, A) обозначим масштабированную считающую функцию L2 k Hε оператора (τ, A), а именно, число собственных значений Eε(τ, A), не превосходящих : ε2 Nε(L2, τ, A) := max ( k k : Eε(τ, A) ::: L2 1 ε2 . 2 Отметим, что при A = 0 считающая функция Nε(L2, τ, 0) соответствует оператору Лапласа. Для всех L > 0 число зонных функций Eε(τ, A), чьи минимумы не превосходят L , совk ε2 падает с sup Nε(L2, τ, A). Аналогично, число зонных функций, чьи максимумы не превосхо- 2 τ дят L , дается числом inf N (L2, τ, A). Поэтому условие перекрытия соседних зон спектра, ε2 τ ε 1 min Eε(τ, A), max Eε(τ, A) и 1 min Eε (τ, A), max Eε (τ, A) , эквивалентно неравенству τ k τ k τ k+1 τ k+1 sup Nε(L2, τ, A) - inf Nε(L2, τ, A) ?: 1 (3.2) τ τ для всех L, удовлетворяющих неравенству 2 min Eε(τ, A) ::: L ::: max Eε (τ, A). τ k ε2 τ k+1 Следовательно, отсутствие лакун в части спектра [λ-, λ+] оператора Hε эквивалентно выполнению - неравенства (3.2) для L2 ∈ [ε2λ , ε2, λ+]. Отметим, что при A = 0 собственные значения и собственные функции оператора Hε(τ, 0) легко находятся разделением переменных ε 2 ε (n + τ )2 E inx1 k (τ, 0) = ε2 + m , Ψk (x) = e o sin mx2, n ∈ Z, m ∈ N, (3.3) 2 где индекс k следует выбирать из условия упорядочения собственных значений (n + τ ) ε2 + m2. Далее нам понадобятся две вспомогательные леммы. Лемма 3.1. Для всех ε, L, k, τ выполнено неравенство Nε(L2, τ, 0) ::: Nε((L + εa)2, τ, A), где a - из (2.1). k Доказательство. Выберем L > 0, и пусть Eε(τ, 0) - собственные значения Лапласиана Hε(τ, 0), удовлетворяющие условию L 2 Eε 2 k (τ, 0) ::: ε2 , k = 1,..., Nε(L , τ, 0). k Через u обозначим произвольную линейную комбинацию собственных функций Ψε , соответствуk ющих Eε(τ, 0). Тогда в силу (2.1), (3.1), (3.3) получаем: hε(τ, A)[u] 1 hε(τ, 0)[u]+ 2a(hε(τ, 0)[u]) 2 ⊕u⊕L (О ) + a2⊕u⊕2 ⊕u⊕ 2 L2(Оε) ::: 2 ε ⊕u⊕ 2 L2(Оε) 1 ( L 2 L2(Оε) ::: (3.4) ::: Eε(τ, 0) + 2a(Eε(τ, 0)) 2 + a2 ::: + a . k k ε Таким образом, в области определения формы hε(τ, A) найдено подпространство размерности Nε(L2, τ, A) такое, что для всех u /= 0 из этого подпространства выполнено неравенство (3.4). Отсюда в силу принципа минимакса уже вытекает требуемая оценка. Лемма 3.2. Для всех k, ε, τ справедливы неравенства и при L ?: εa Eε k (τ, A) ?: k 2 (/Eε(τ, 0) - a\ (3.5) Nε(L2, τ, 0) ?: Nε((L - εa)2, τ, A). (3.6) Доказательство. Ясно, что оценка (3.6) есть прямое следствие неравенств (3.5), поэтому достаточно доказать только последние неравенства. 2,per Для всех u ∈ W˚ 1 (Оε) очевидным образом имеем: 1 hε(τ, A)[u] ?: hε(τ, 0)[u] - 2a(hε(τ, 0)[u]) 2 ⊕u⊕L (О ) + a2⊕u⊕2 = = ((h (τ, 0)[u]) a u 1 ε 2 - ⊕ ⊕L 2(Оε) 2 ε \2. L2(Оε) (3.7) И так как функция u обращается в нуль на ∂Оε ∩ ∂Π, то ∂u 2 L2(Оε) ?: ⊕u⊕ > a ⊕u⊕ hε(τ, 0)[u] = ⊕∇u⊕2 ?: 2 L2(Оε) 2 2 L2(Оε) . (3.8) ∂x2 L2(Оε) Поэтому в силу принципа минимакса и соотношений (2.1), (3.7) выполнены следующие неравенства: Eε k (τ, A) = sup u1,...,uk-1∈L2(Оε) 1 inf u∈W˚2,per (Dε) hε(τ, A)[u] 2 ?: ⊕u⊕L (О ) 2 ε (u,uj )L2(Dε)=0,j=1,...,k-1 1 2 ?: sup u1,...,uk-1∈L2(Оε) 1 inf u∈W˚2,per (Dε) (u,uj )L2(Dε)=0,j=1,...,k-1 ((hε(τ, 0)[u]) 2 - a⊕u⊕L 2 ⊕u⊕L2(Оε) 2 \ 2(Оε) = = sup u1,...,uk-1∈L2(Оε) 1 inf u∈W˚2,per (Dε) (u,uj )L2(Dε)=0,j=1,...,k-1 ( ⊕∇u⊕L2(Оε) - a = ⊕u⊕L2(Оε) 1 2 ⎛⎛ ⎞ 2 ⎞ 2 = ⎜⎜ a⎟ ⊕∇u⊕L2(Оε) ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ sup ⎜ - inf ˚ 1 2 ⎟ ⎟ = ⎝⎝u1,...,uk-1∈L2(Оε) 2 u∈W2,per (Dε) (u,uj )L2(Dε)=0,j=1,...,k-1 ⊕uε⊕L2(Оε) ⎠ ⎠ (/ \ Eε = k (τ, 0) - a , что завершает доказательство леммы. Из доказанных лемм выводим двустороннюю оценку считающей функции Nε(L2, τ, A): Nε((L - εa)2, τ, 0) ::: Nε(L2, τ, A) ::: Nε((L + εa)2, τ, 0). Из этой оценки следует, что sup Nε(L2, τ, A) ?: sup Nε((L - εa)2, τ, 0), τ τ inf Nε(L2, τ, A) ::: inf Nε((L + εa)2, τ, 0). (3.9) τ τ Тогда для выполнения неравенства (3.2) достаточно потребовать выполнения условия sup Nε((L - εa)2, τ, 0) - inf Nε((L + εa)2, τ, 0) ?: 1. τ τ 1 1 В свою очередь, для проверки этого неравенства достаточно подобрать точки τmin, τmax ∈ - , l такие, что 2 2 Nε((L - εa)2, τmax, 0) - Nε((L + εa)2, τmin, 0) ?: 1. (3.10) Для упрощения обозначений положим Mε(L2,τ ) := Nε(L2, τ, 0). Тогда неравенство (3.10) перепишется в виде Mε((L - εa)2, τmax) - Mε((L + εa)2, τmin) ?: 1. Так как величины Mε((L - εa)2, τmax) и Mε((L + εa)2, τmin) целочисленные, то для проверки последнего неравенства достаточно проверить, что Mε((L - εa)2, τmax) - Mε((L + εa)2, τmin) > 0. (3.11) Именно это неравенство мы и будем проверять далее в доказательстве теоремы 2.1. Отметим еще, что если при некотором L и некотором τmin ∈ - 1 , 1 l выполнено 2 2 Mε((L + εa)2, τmin) = 0, (3.12) L2 то это означает, что в спектре оператора Hε ниже (левее) точки лакуны. Действительно, в этом случае в силу (3.9) inf Nε(L2, τ, A) = 0 τ отсутствуют внутренние ε2 2 и это означает, что ниже (левее) точки L отсутствуют максимумы зонных функций Eε(τ, A). ε2 k k При A = 0 функции Eε(τ, 0) даются формулами (3.3), а потому Mε(L2,τ ) есть число точек (n, m), n ∈ Z, m ∈ N, удовлетворяющих неравенству (n + τ )2 2 L2 Поэтому ε2 + m ::: ε2 . Mε(L2,τ ) =#{(n, m) : (n + τ )2 + ε2m2 ::: L2, n ∈ Z, m ∈ N = Г/ 2 2 [L-τ ] Г/ 2 2 = n∈Z: |n+τ |:::L L - (n + τ ) ε = n=-[L+τ ] L - (n + τ ) ε (3.13) . 4. ОТСУТСТВИЕ ЛАКУН В настоящем разделе мы заканчиваем доказательство теоремы 2.1, начатое в выше. Здесь нашей целью будет проверка неравенства (3.11) с подходящими τmin, τmax для максимально возможных значений L. Ключевым моментом станет достаточно нетривиальный выбор чисел τmin, τmax. 2 Вначале выясним положение нижней границы спектра оператора Hε. Согласно диамагнитному неравенству, см., например, [2, гл. 7, § 7.21], для всех u ∈ W˚ 1(Π) верно неравенство 2 2 ⊕(∇ + iAε)u⊕L (Π) ?: ⊕∇|u|⊕L (Π). 2 2 Отсюда в силу принципа минимакса выводим оценку для нижнего края спектра оператора Hε: inf σ(Hε) = inf 2 u∈W˚ 1(Π) u/=0 o 2 ⊕(∇ + iA )u⊕L2(Π) ⊕u⊕ 2 L2(Π) ?: inf 2 u∈W˚ 1(Π) u/=0 2 ⊕∇|u|⊕L2(Π) ⊕u⊕ 2 L2(Π) = inf 2 u∈W˚ 1(Π) u/=0 2 ⊕∇u⊕L2(Π) ⊕u⊕ 2 L2(Π) ?: 1, где в последнем неравенстве мы воспользовались оценкой (3.8). Таким образом, достаточно рассмотреть значения L ?: ε. 1 1 Рассмотрим значения ε ::: L< 2 -εa. Положим τmin := 2 . Тогда на основе формул (3.13) неслож- 2 но проверить, что выполнено равенство (3.12) и, следовательно, ниже (левее) точки 1 ε2 ( 1 - εa 2 в спектре оператора Hε отсутствуют внутренние лакуны. Переходим к случаю 1 L ?: 2 - εa. (4.1) Обозначим: K := [L + εa], α := L + εa - K - дробная часть числа L + εa, так что L + εa = K + α. (4.2) Величины τmin, τmax будем выбирать по следующим правилам: ⎧ 1 τmin := ⎪⎨ α при 0 ::: α < 2 , 1 ⎪⎩ 1 - α при ⎧ 1 2 ::: α < 1, 13 39267 (4.3) ⎪⎨ 2 при 0 ::: α ::: 100 или 62500 ::: α ::: 1, τmax := 13 39267 ⎪⎩ 0 при < α < . 100 62500 Поясним указанный выбор чисел τmin, τmax. Ясно, что наиболее оптимальный выбор этих чисел - это точка глобального минимума функции Mε(L + εa, τ ) по τ в качестве τmin и точка глобального максимума Mε(L - εa, τ ) в качестве τmax. Отыскать аналитически подобные точки экстремума - крайне нетривиальная задача. Вместе с тем, предварительные численные эксперименты показали, что при указанном выборе τmin и τmax соответствующие значения функций Mε(L + εa, τmin) и Mε(L - εa, τmax) близки к экстремальным. Окончательный вид числовых констант в определении τmax уточнялся из условия максимальности константы ε0 в рамках аналитических вычислений, которые мы приводим ниже. Ввиду указанного выбора чисел τmin и τmax далее мы будем рассматривать отдельно четыре случая: 13 13 1 1 39267 39267 100 , 100 < α < 2 , 2 ::: α < 62500 , 62500 0 ::: α ::: Напомним также, что всюду далее считаем выполненным условие (4.1). ::: α < 1. Для рассмотрения указанных случаев нам понадобятся предварительные вспомогательные оценки. 1. Вспомогательные оценки. Положим: F0(L, ξ, t) := 2F1(L, ξ, 0) - F1(L, ξ, t) - F1(L, ξ, -t), F1(L, ξ, t) := /L2 - (ξ + t)2. Несложно проверить, что / 1 F0(L, ξ, t) = t2 + F2(L, ξ, 0, t) 1 \ + F2(L, ξ, 0, -t) 8t2ξ2 , F2(L, ξ, 0, t)F2(L, ξ, 0, -t)F2(L, ξ, t, -t) F2(L, ξ, t, s) :=F1(L, ξ, t)+ F1(L, ξ, s). Следовательно, функция F0(L, ξ, A) положительна при положительных подкоренных выражениях в ее определении. Кроме того, при A ?: 0, ξ ?: A, ξ + A ::: L монотонно возрастает по ξ и выполнено неравенство: F0(L, ξ, t) ?: t2 ( 1 ξ2 + ?: t2 L2 + 2t(ξ - t) . (4.4) F1(L, ξ, -t) F 3(L, ξ, -t) 2 2 3 1 Непосредственными вычислениями легко проверить, что (L - (ξ - t) ) 2 4sL F3(L, s, ξ) := F1(L + s, ξ, 0) - F1(L - s, ξ, 0) = F (L + s, ξ, 0) + F (L - s, ξ, 0) . 1 1 √ И так как в силу выпуклости функции z ⊗→ z2 - 1 верна оценка то имеем: F1(L + s, ξ, 0) + F1(L - s, ξ, 0) ::: 2F1(L, ξ, 0), 2sL F3(L, s, ξ) ::: /L2 13 . (4.5) § ξ2 2. Случай 0 ::: α ::: 100 . В данном случае из (4.1) следует, что K ?: 1. Из (3.13), (2.2), (4.3) выводим: ( 1 Mε(L - εa, τmax) - Mε(L + εa, τmin) = Mε L - εa, 2 - Mε(L + εa, α) = K-1 ⎡/ (L - εa) (n + 1 2 )2 ⎤ - K Г/(L + εa)2 - (n + α)2 = ⎣ n=-K 2 o ⎦ - = ε n=-K K-1 ⎡/ (L - εa) (n + 1 2 )2 ⎤ - K-1 Г/(L + εa)2 - (n + α)2 = ⎣ n=-K 2 o ⎦ - = ε n=-K K-1 / Г/ 2 ( 1 )2 = 2 n=0 (L - εa) - ε n + 2 - Г/(L + εa)2 - (n + α)2 - ε - . Г/(L + εa)2 - (n +1 - α)2 \ ε И так как z - 1 ::: [z] ::: z, имеем: Mε(L - εa, τmax) - Mε(L + εa, τmin) ?: S1(L, ε) ε - 2K, (4.6) где K-1 S1(L, ε) := F4(L, n, ε), (4.7) n=0 / / ( 1 2 F4(L, ξ, ε) := 2 2 (L - εa)2 - ξ + - (L + εa)2 - (ξ + α)2 - (L + εa)2 - (ξ +1 - α)2. Рассмотрим отдельно случаи K = 1, 2. Здесь функция S1 имеет вид: / / 1 S1(L, ε) = 2 при K = 1 и (1 + α - 2εa)2 - 4 - (1 + α)2 - α2 - (1 + α)2 - (1 - α)2 / / 1 S1(L, ε) = 2 +2 (2 + α - 2εa)2 - (2 + α - 2εa)2 - 4 - (2 + α)2 - α2 - (2 + α)2 - (1 - α)2 + / / 9 4 - (2 + α)2 - (1 + α)2 - (2 + α)2 - (2 - α)2 при K = 2. В обоих случаях минимум правых частей достигается при α = 13 , εa = ε . Здесь и 100 0 всюду далее подобные утверждения проверяются вычислением соответствующих производных. В работе мы не приводим данных вычислений, чтобы не перегружать текст громоздкими техническими вычислениями. В результате имеем: 1 α= 13 1 S1(L, ε) ?: S1(L, ε)1 εa 100 =ε0 1 α= 13 1 S1(L, ε) ?: S1(L, ε)1 εa 100 =ε0 29 > 5 ε0 11 > 2 ε0 при K = 1, при K = 2. Отсюда и из (4.6) вытекает, что 3 при K = 1, 2. Mε(L - εa, τmax) - Mε(L + εa, τmin) > 2 (4.8) Далее рассматриваем случай K ?: 3. Функцию F4 представим в виде: ( 1 1 ( 1 F4(L, ξ, ε) = F0 - L + εa, ξ + , α 2 2 - 2F3 L, εa, ξ + 2 . (4.9) Из свойств функции F0, описанных в пункте 4.2, следует положительность величины F0(L+εa, 1 1 \ 2 , 2 - α и оценка K-1 K-1 F0 n=0 ( L + εa, n + 1 1 2 , 2 - α ?: F0 ( 1 1 r - L + εa, , α + 2 2 0 ( F0 L + εa, ξ + 1 1 2 , 2 - α dξ. (4.10) Оценим снизу интеграл в последнем неравенстве. В силу (4.4) имеем: K-1 r ( 1 1 ( 1 2 K-1 r (K + α)2 + (1 - 2α)(ξ + α) - F0 L + εa, ξ + , α, 0 2 2 0 K-1+α dx ?: 2 - α 0 3 ((K + α)2 - (ξ + α)2) 2 dξ = ( 1 2 r (K + α)2 + (1 - 2α)ξ ( 1 2 ξ +1- 2α 1K-1+α = (4.11) = 2 - α α 3 ((K + α)2 - ξ2) 2 dξ = 2 - α 1 1 /(K + α)2 - ξ2 1α ( 1 = 2 - α 2 / K - α /2(K + α) - 1 1 - α \ - √K2 + 2αK . Применяя оценку (4.5) с s = εa, ξ = n + α и ξ = n +1 - α, немедленно получаем: K-1 -2 F3 ( L, εa, ξ + 1 K-1 2 ?: - / 4εaL ?: 2 n=0 n=0 2 L2 - (n + 1 ) ⎛ 1 2 K- 1 ⎞ r dξ ?: -4εaL ⎜/ + / ⎟ = 4 - ⎝ L2 - 1 ⎛ 1 L2 ξ2 ⎠ 1 2 / K - 1 \ ( 1 ⎞ (4.12) = -4εaL ⎝/ + arcsin 4 L2 - 1 - 2 arcsin L 2L ⎠ ?: 105697 ( 1 L 2 / K - 1 \ ?: - 5 · 104 εa - 4εa K - 2 1 arcsin . K - 2 L Воспользуемся теперь тем, что функция z ⊗→ ∈ arcsin z монотонно растет при z [0, 1] и ограничена z сверху константой π . Тогда окончательно выводим: 2 K-1 -2 F3 n=0 ( L, εa, ξ + 1 2 ?: - 105697 5 · 104 ( εa - 2πεa K - 1 . (4.13) 2 Из последней оценки, (4.7), (4.9), (4.10), (4.11) получаем оценку для S1 в случае K ?: 3: ( 105697 · S1(L, ε) ?: F5(K, α) - εa 2πK + π -- 5 104 , / / 1 F5(K, α) := 2 (K + α)2 - 4 - (K + α)2 - α2 - (K + α)2 - (1 - α)2 + ( 1 + 2 - α 2 / K - α /2(K + α) - 1 13 1 - α \ - √K2 + 2αK . Минимум функции F5 достигается при α = 100 . Кроме того, функция F5 (K, 13 ) монотонно убывает по K ?: 2 и потому K ⊗→ 100 √K F5 (K, 13 ) F5 (K, 13 ) 1 1369√2 100 100 1 Следовательно, √K ?: √ 1 > K 1K=+∞ . 2 · 104 1369√2 √ ( 105697 S1(L, ε) ?: 2 · 104 K - εa 2πK + π - . 5 · 104 Таким образом, из (4.6) окончательно выводим: Mε(L - εa, τmax) - Mε(L + εa, τmin) ?: Q1(K, a, ε), (4.14) 1369√2 √K ( 105697 при K ?: 3. Q1(K, a, ε) := 2 · 104 o - a 2πK + π - 5 · 104 3. Случай 13 100 1 < α < . Как и в предыдущем случае, здесь условие (4.1) вновь означает, что 2 K ?: 1. Согласно (3.13), (2.2), (4.3) имеем: Mε(L - εa, τmax) - Mε(L + εa, τmin) = Mε(L - εa, 0) - Mε(L + εa, α) = K Г/ 2 2 K-1 Г/ 2 2 = n=-K (L - εa) - n ε - n=-K (L + εa) - (n + α) = ε K-1 / Г/ 2 2 Г/ 2 2 Г/ 2 2 \ = n=1 2 (L - εa) - n ε (L + εa) - (n + α) § ε (L + εa) - (n - α) § ε + + L - εa ε Г/(L + εa)2 - α2 § ε - - Г/(L εa)2 K2 - +2 ε , Г/(L + εa)2 - (K - α)2 ε откуда следует: Mε(L - εa, τmax) - Mε(L + εa, τmin) ?: S2(L, ε) ε - 2K - 1, (4.15) где K-1 S2(L, ε) := F6(L, n, ε)+ F7(L, ε), (4.16) n=1 F6(L, ξ, ε) := 2/(L - εa)2 - ξ2 - /(L + εa)2 - (ξ + α)2 - /(L + εa)2 - (ξ - α)2, F7(L, ε) := L - εa - /(L + εa)2 - α2 + 2/(L - εa)2 - K2 - /(L + εa)2 - (K - α)2. Вновь случаи K = 1, 2 рассматриваем отдельно. Имеем: S2(L, ε) = 1 + α - 2εa - /(1 + α)2 - α2 + 2/(1 + α - 2εa)2 - 1 - /(1 + α)2 - (1 - α)2 при K = 1 и S2(L, ε) =2/(2 + α - 2εa)2 - 1 - /(2 + α)2 - (1 + α)2 - /(2 + α)2 - (1 - α)2 + +2+ α - 2εa - /(2 + α)2 - α2 + 2/(2 + α - 2εa)2 - 4 - /(2 + α)2 - (2 - α)2 при K = 2. Минимумы этих функций достигаются при α = 13 , εa = ε , то есть, 1 α= 13 1 S2(L, ε) ?: S2(L, ε)1 εa 100 =ε0 1 α= 13 1 S2(L, ε) ?: S2(L, ε)1 εa 100 =ε0 > 8ε0 > 7ε0 100 0 при K = 1, при K = 2. Тогда при K = 1, 2 в силу (4.15) Mε(L - εa, τmax) - Mε(L + εa, τmin) > 2. (4.17) Далее рассматриваем случай K ?: 3. Функцию F6 представим в виде F6(L, ξ, ε) = F0(L + εa, ξ, α) - 2F3(L, εa, ξ). (4.18) Аналогично (4.10) имеем: K-1 F0(L + εa, n, α) ?: F0(L + εa, 1, α)+ n=1 Используя оценку (4.4), аналогично (4.11) получаем: K-1 r F0(L + εa, ξ, α) dξ. 1 K-1 r F0(L + εa, ξ, α) dξ ?: α2 1 K-1 r 1 (K + α)2 + 2α(ξ - α) 3 ((K + α)2 - (ξ - α)2) 2 dξ = α2 K-1-α r 1-α (K + α)2 + 2αξ 3 ((K + α)2 - ξ2) 2 dξ = 1 = α2 ξ +2α 1 K-1-α = α2 / K + α - 1 1+α \ . 1 - /(K + α)2 - ξ2 11 α /(2K - 1)(2α + 1) - /(K + α)2 - (1 - α)2 Следовательно, K-1 F0(L + εa, n, α) ?:2/(K + α)2 - 1 - /(K + α)2 - (1 + α)2 - /(K + α)2 - (1 - α)2 + n=1 + α2 / K + α - 1 /(2K - 1)(2α + 1) 1+α \ . - /(K + α)2 - (1 - α)2 Аналогично (4.12), (4.13) выводим: K-1 ⎛ 1 K-1 ⎞ r dξ -2 F3(L, εa, ξ) ?: - 4εaL ⎝√ + / ⎠ ?: n=1 ?: - 4εaL L2 - 1 ( 1 √L2 - 1 1 + arcsin L2 - ξ2 ( K - 1 L § arcsin ( 1 L ?: 3841 ?: - 25000 εa - 2πεa(K - 1). Складывая последние две оценки и учитывая (4.18), (4.16), приходим к следующему неравенству: 53841 S2(L, ε) ?: F8(K, α, ε) - 2πεa(K - 1) - 25 · 103 εa, F8(K, α, ε) := K + α - /(K + α)2 - α2 + 2/(K + α - 2εa)2 - K2 - (4.19) / / / - (K + α)2 - (K - α)2 +2 (K + α)2 - 1 - (K + α)2 - (1 + α)2 - - /(K + α)2 - (1 - α)2 + α2 / K + α - 1 /(2K - 1)(2α + 1) 1+α \ . - /(K + α)2 - (1 - α)2 Для функции F8 верна оценка F8(K, α, ε) 1 F8(K , α, ε) 1 1607 √K ?: 100 √ 1 > K 1K=+∞, α= 13 , ε=ε0 104 . Следовательно, в силу (4.19), (4.15) выполнено: Mε(L - εa, τmax) - Mε(L + εa, τmin) ?: Q2(K, a, ε), (4.20) 1607 √K ( 53841 при K ?: 3. Q2(K, a, ε) := 104 ε - 2K(πa + 1)+ a 2π - 25 · 103 - 1 4. Случай 1 ::: α < 39267 . В данном случае условие (4.1) не накладывает никаких дополни- 2 62500 тельных ограничений на K, поэтому считаем, что K ?: 0. В силу (3.13), (2.2), (4.3) получаем: Mε(L - εa, τmax) - Mε(L + εa, τmin) = Mε(L - εa, 0) - Mε(L + εa, 1 - α) = K Г/ 2 2 K Г/ 2 2 = n=-K (L - εa) - n ε - n=-K-1 (L + εa) - (n +1- α) = ε K Г/ 2 2 K Г/ 2 2 = n=-K (L - εa) - n ε - n=-K (L + εa) - (n +1- α) = ε K / Г/ 2 2 Г/ 2 2 Г/ 2 2 \ = n=1 2 (L - εa) - n ε (L + εa) - (n +1- α) § ε (L + εa) - (n - 1+α) § ε + + L - εa ε Г/(L + εa)2 - (1 - α)2 § ε . Отсюда выводим: где Mε(L - εa, τmax) - Mε(L + εa, τmin) ?: S3(L, ε) ε - 2K - 1, (4.21) K S3(L, ε) = F9(L, n, ε)+ F10(L, ε), (4.22) n=1 F9(L, ξ, ε) := 2/(L - εa)2 - ξ2 - /(L + εa)2 - (ξ +1 - α)2 - /(L + εa)2 - (ξ - 1+ α)2, F10(L, ε) := L - εa - /(L + εa)2 - (1 - α)2. Рассмотрим отдельно случаи K = 0, 1, 2. Здесь функция S3 имеет вид: S3(L, ε) = α - 2εa - √2α - 1 при K = 0, S3(L, ε) = 2/(1 + α - 2εa)2 - 1 - /(1 + α)2 - (2 - α)2 - /(1 + α)2 - α2 + +1+ α - 2εa - /(1 + α)2 - (1 - α)2 при K = 1, S3(L, ε) = 2/(2 + α - 2εa)2 - 1 - /(2 + α)2 - (2 - α)2 - /(2 + α)2 - α2 + + 2/(2 + α - 2εa)2 - 1 - /(2 + α)2 - (3 - α)2 - /(2 + α)2 - (1 + α)2 + +2+ α - 2εa - /(2 + α)2 - (1 - α)2 при K = 2. Минимумы этих функций достигается при εa = ε , α = 39267 и 0 62500 S3(L, ε) > 4ε0 при K = 0, S3(L, ε) > 6ε0 при K = 1, ( 1 S3(L, ε) > 5+ 2000 ε0 при K = 2. Таким образом, в силу последних неравенств и (4.21) имеем: 1 при K = 0, 1, 2. Mε(L - εa, τmax) - Mε(L + εa, τmin) ?: 2000 (4.23) Переходим к случаю K ?: 3. Функцию F9 представляем в виде: F9(L, ξ, α) = F0(L + εa, ξ, 1 - α) - 2F3(L, εa, ξ). Аналогично (4.10) получаем оценку: K K r F0(L + εa, n, 1 - α) ?: F0(L + εa, 1, 1 - α)+ n=1 1 Используя (4.4), оценим интеграл в последнем неравенстве: F0(L + εa, ξ, 1 - α) dξ. (4.24) K K r r F0(L + εa, ξ, 1 - α) dξ ?: (1 - α)2 1 1 (K + α)2 + 2(1 - α)(ξ - 1+ α) 3 ((K + α)2 - (ξ - 1+ α)2) 2 dξ = = (1 - α)2 K-1+α r (K + α)2 + 2(1 - α)ξ 3 dξ = α2 ξ + 2(1 - α) 1 1K-1+α 1 1 = (4.25) α ((K + α)2 - ξ2) 2 ((K + α)2 - ξ2) 2 1α = (1 - α)2 / K +1- α /2(K + α) - 1 2 - α \ - √K2 + 2αK . Для функций F3(L, εa, ξ) на основе (4.5) выпишем оценки, аналогичные (4.12), (4.13): K ⎛ 1 K ⎞ r dξ -2 F3(L, εa, n) ?: - 4εaL ⎝√ + / ⎠ = n=1 - L2 1 1 ( 1 L2 - ξ2 ( K ( 1 161 = - 4εaL √L2 - 1 + arcsin L - arcsin L ?: - 625 εa - 2πεaK. Из последней оценки, (4.22), (4.24), (4.25) выводим оценку для S3: 1411 - S3(L, ε) ?: F11(K, α) - εa 2πεaK, 625 F11(K, α) := K + α - /(K + α)2 - (1 - α)2 + 2/(K + α)2 - 1 - /(K + α)2 - α2 - - /(K + α)2 - (2 - α)2 + α2 / K +1- α /2(K + α) - 1 2 - α \ - √K2 + 2αK . Для функции F11(K, α) верна оценка F11(K, α) 1 F11(K , α) 1 539772289√2 √K ?: 1 α= 39267 √ 1 = K 62500 K=+∞ . 78125 · 105 Отсюда, из предыдущей оценки и (4.21) выводим: Mε(L - εa, τmax) - Mε(L + εa, τmin) ?: Q3(K, a, ε), (4.26) 539772289√2 √K 1411 при K ?: 3. Q3(K, a, ε) := 78125 · 105 ε - 2K(πa + 1) - 1 - a 625 5. Случай 39267 62500 ::: α < 1. Как и в предыдущем случае, здесь считаем, что K ?: 0. Согласно (3.13), (2.2), (4.3) имеем: ( 1 Mε(L - εa, τmax) - Mε(L + εa, τmin) = Mε L - εa, 2 - Mε(L + εa, 1 - α) = K ⎡/ ⎤ K = ⎣ n=-K-1 2 (L - εa)2 - (n + 1 )2 o ⎦ - n=-K-1 Г/(L + εa)2 - (n +1 - ε α)2 = K ⎡/ ⎤ K = ⎣ n=-K-1 2 (L - εa)2 - (n + 1 )2 § ⎦ - n=-K Г/(L + εa)2 - (n +1 - ε α)2 = K-1 / ⎡/(L εa)2 (n + 1 )2 ⎤ Г/(L + εa)2 (n +1 α)2 ⎣ ε = 2 - - 2 ⎦ - n=0 ⎡/ - - o - 2 ⎤ Г/(L + εa)2 - (n + α)2 \ - ε +2 ⎣ 2 (L - εa)2 - (K + 1 ) § ⎦ - Г/(L + εa)2 - (K +1 - α)2 - ε , откуда вытекает где Mε(L - εa, τmax) - Mε(L + εa, τmin) ?: S4(L, ε) ε - 2K - 2, (4.27) K-1 S4(L, ε) = F12(L, n, ε)+ F13(L, ε), (4.28) n=0 / / ( 1 2 F12(L, n, ε) := 2 2 (L - εa)2 - ξ + - (L + εa)2 - (ξ +1 - α)2 - (L + εa)2 - (ξ + α)2, / ( 1 2 F13(L, ε) := 2 2 (L - εa)2 - K + - (L + εa)2 - (K +1 - α)2. (4.29) Случаи K = 0, 1, 2 вновь рассматриваем отдельно: S4(L, ε) = 2 (α - 2εa)2 - / 1 4 - α2 - (1 - α)2 при K = 0, / / 1 S4(L, ε) = 2 4 (1 + α - 2εa)2 - / 9 - (1 + α)2 - (1 - α)2 - (1 + α)2 - α2 + +2 (1 + α - 2εa)2 - 4 - (1 + α)2 - (2 - α)2 при K = 1, S4(L, ε) = 2 (2 + α - 2εa)2 - / / 1 4 - (2 + α)2 - (1 - α)2 - (2 + α)2 - α2 + / / 9 +2 (2 + α - 2εa)2 - 4 - (2 + α)2 - (2 - α)2 - (2 + α)2 - (1 + α)2 + / 25 +2 (2 + α - 2εa)2 - 4 - (2 + α)2 - (3 - α)2 при K = 2. Минимумы этих функций достигаются при α = 39267 , εa = ε : 62500 0 S4(L, ε) > 7ε0 при K = 0, 1, ( 1 S4(L, ε) > 6+ 103 ε0 при K = 2. Таким образом, с учетом (4.27) при K = 0, 1, 2 справедливо неравенство 1 Mε(L - εa, τmax) - Mε(L + εa, τmin) > 103 . (4.30) Переходим к случаю K ?: 3. Функцию F12(L, ξ, ε) переписываем в виде ( 1 1 ( 1 F12(L, ξ, ε) = F0 - L + εa, ξ + , α 2 2 - 2F3 L, εa, ξ + . 2 Аналогично (4.10), (4.11) оцениваем: K-1 K-1 F0 n=0 ( L + εa, n + 1 2 ,α - 1 2 ?: F0 ( L + εa, 1 1 r 2 ,α - 2 + 0 ( F0 L + εa, ξ + 1 1 2 ,α - 2 dξ (4.31) и K-1 r ( 1 1 ( 1 2 K-1 r (K + α)2 + (2α - 1)(ξ +1 - α) - F0 L + εa, ξ + , α 2 2 0 K-α dξ = α - 2 0 = 3 ((K + α)2 - (ξ +1 - α)2) 2 ( 1 2 r (K + α)2 + (2α - 1)ξ ( 1 1 2 ξ +2α - 1 1K-α (4.32) 3 = α - 2 ( ) = α - 2 / 1 = 1-α (K + α)2 - ξ2 2 (K + α)2 - ξ2 11-α ( 1 2 / K + α - 1 √ α \ . = α - 2 2 αK - /(K + α)2 - (1 - α)2 В силу (4.12), (4.13) получаем: K-1 ( 1 ⎛ 1 / K 1 \ ( 1 ⎞ -2 F3 n=0 L, εa, ξ + 2 ?: - 4εaL ⎝/ 1 + arcsin L2 - 4 - - 2 arcsin L 2L ⎠ > ( > - 2πεaK + π - Отсюда и из (4.31), (4.32), (4.28) выводим: 20639 104 εa. ( S4(L, ε) ?: F14(K, α, ε) - 2πεaK + π - 20639 104 εa, (4.33) F14(K, εa) := 2 ( (K + α - 2εa)2 - K + / 1 2 2 - (K + α)2 - (K +1 - α)2 + ( 1 2 / K + α - 1 √ α \ + + α - 2 2 αK - /(K + α)2 / / 1 - (1 - α)2 - +2 (K + α)2 4 - (K + α)2 - α2 - (K + α)2 - (1 - α)2. Для функции F14 верна оценка F14(K, α, εa) 1 F14(K , εa) 1 157271 √K ?: 62500 √ 1 > K 1K=2, α= 39267 , εa=ε0 106 Из этой оценки, (4.33) и (4.25) окончательно получаем: Mε(L - εa, τmax) - Mε(L + εa, τmin) ?: Q4(K, a, ε), (4.34) 157271 √K ( 20639 Q4(K, a, ε) := 106 ε - 2(πa + 1)K + π - 104 a - 2. 6. Завершение доказательства. Как следует из оценок (4.8), (4.17), (4.23), (4.30), неравенство (3.11) выполнено для K = 0, 1, 2 и α ∈ [0, 1), где K и α связаны с L формулой (4.2), и всех ε ∈ (0, ε0]. В терминах L это означает, что L< 3 - εa. (4.35) Выясним, при каких иных K выполнено неравенство (3.11). Для этого мы используем оценки (4.14), (4.20), (4.26), (4.34) и выясним, в каком случае правые части Qj (K, a, ε) всех этих оценок положительны. Минимальные значения правых частей достигаются при a = 1, поэтому далее мы будем рассматривать их именно при таком значении a. Непосредственными вычислениями несложно проверить, что Q4(K, 1, ε) > Q3(K, 1, ε), Q2(K, 1, ε) > Q3(K, 1, ε). Поэтому далее мы рассматриваем лишь функции Q1 и Q3. Решая неравенства Q1 > 0 и Q3 > 0 как квадратные относительно √K, заключаем, что величина K должна удовлетворять неравенству: √K < μ1(ε) , √K < μ2(ε) , o ε где / 1369√2 μi(ε) := βi + 1 105697 i β2 - 4γiε2, 539772289√2 1018 β1 := 4 · 104π , γ1 := 2 - 105π , β2 := 15625 · 106(π + 1) , γ2 := 625(π + 1) . Функция μ2(ε) вещественна лишь для ε ::: β2 2√γ2 = ε1 < ε0. Это означает, что только при таких ε функция Q3(K, 1, ε) принимает положительные значения. Поэтому далее рассматриваем только такие значения ε. Непосредственными вычислениями легко проверяем, что μ1(ε1) > μ2(ε1), ε2 ε2 > , (μ/ 2 2 откуда уже следует, что 2 1(ε)) (μ/ (ε)) μ1(ε) > μ2(ε), ε ::: ε1. Следовательно, функции Q1, Q3 будут положительны при μ2 и неравенство (3.11) будет выполнено для L< K < μ2 2(ε) ε2 2(ε) ε2 . +1 - εa. 2 Так как спектр оператора - замкнутое множество и положительность функции Q3 может нарушаться лишь при K = μ2(ε) , ε = ε , можно считать, что ε2 1 L ::: μ2 2(ε) ε2 +1 - εa. Если целая часть в последнем неравенстве меньше двух, то с учетом сказанного в начале данного раздела (см. (4.35)), ее всегда можно заменить на два. Поэтому неравенство (3.11) будет гарантированно выполнено при ( L ::: max 3, μ2(ε)2 ε2 1 +1 - εa, откуда уже вытекает утверждение теоремы.