Построение энергетических функций для Ω-устойчивых диффеоморфизмов на 2и 3многообразиях

Аннотация

Настоящий обзор посвящен изложению результатов, связанных с вопросами существования энергетической функции у дискретных динамических систем, а также с техникой построения таких функций для некоторых классов Ω-устойчивых и структурно устойчивых диффеоморфизмов на многообразиях размерности 2 и 3.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Пусть M - гладкое компактное ориентируемое n-многообразие. Функцией Ляпунова динамической системы (потока или каскада), заданной на M, называется непрерывная функция ϕ : M → R, которая постоянна на каждой цепной компоненте системы и убывает вдоль ее орбит вне цепно рекуррентного множества. В силу результатов Ч. Конли [19] такая функция существует для любой динамической системы, а сам факт существования носит название «Фундаментальная теорема динамических систем». В разделе 1 изложена идея построения функции Ляпунова для дискретной динамической системы. Следует отметить, что сам Ч. Конли дополнительно требовал, чтобы образ цепно рекуррентного множества в силу ϕ был нигде не плотен на прямой, а значения функции ϕ на различных компонентах цепно рекуррентного множества были различны, и называл такую функцию полной функцией Ляпунова. Числа, принадлежащие образу цепно рекуррентного множества, Ч. Конли назвал критическими значениями функции ϕ. Однако для гладкой функции ее критическим значением принято называть образ критической точки (точки, где градиент функции Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 191 обращается в ноль), которая, вообще говоря, не обязана принадлежать цепно рекуррентному множеству. В связи с этим, наряду с функцией Ляпунова, в гладкой категории используется понятие энергетической функции, т. е. гладкой функции Ляпунова, множество критических точек которой совпадает с цепно рекуррентным множеством системы. Первые результаты по построению энергетической функции принадлежат С. Смейлу [37], который в 1961 году доказал существование энергетической функции Морса у градиентноподобных потоков. K. Мейер [30] в 1968 году обобщил этот результат, построив энергетическую функцию Морса-Ботта для произвольного потока Морса-Смейла (см. раздел 2). Как заметил в 1985 году Дж. Фрэнкс [21], применение результатов В. Вильсона [39] к конструкции К. Конли дает существование энергетической функции у любого гладкого потока с гиперболическим цепно рекуррентным множеством. Тогда с помощью надстройки можно построить гладкую функцию Ляпунова для любого диффеоморфизма с гиперболическим цепно рекуррентным множеством. Но построенная таким образом функция может иметь критические точки, которые не являются цепно рекуррентными, и, следовательно, функция Ляпунова не является энергетической. Встает вопрос о том, какие дискретные динамические системы допускают энергетические функции. Первые результаты в этом направлении были получены Д. Пикстоном в 1977 году, в своей работе [32] он доказал существование энергетической функции Морса у любого диффеоморфизма Морса-Смейла на поверхности. В разделе 3 мы приводим обобщение результата Пикстона на Ω-устойчивые 2-диффеоморфизмы с конечным неблуждающим множеством, энергетическая функция Морса для таких диффеоморфизмов была построена в работе [11]. В той же работе [32] Д. Пикстон построил диффеоморфизм Морса-Смейла на трехмерной сфере, не обладающий энергетической функцией Морса. Также в разделе 3 дается экспозиция результатов работ [23, 24] и книги [26] о необходимых и достаточных условиях существования энергетической функции Морса у трехмерных диффеоморфизмов Морса-Смейла. Кроме того, мы приводим результаты работы [5], в которой доказано, что в примере Пикстона минимальное число критических точек функции Ляпунова, отличных от периодических точек каскада, равно двум. Из результатов выше следует, что не все диффеоморфизмы даже с регулярной динамикой имеют энергетическую функцию. Тем более удивительным является факт наличия энергетической функции у некоторых дискретных динамических систем с хаотическим поведением, доказанный в работах [4, 7, 8]. Технически построение такой функции базируется на процедуре сглаживания непрерывного отображения, приведенной в разделе 4. В части 4 энергетическая функция конструируется для некоторых классов Ω-устойчивых 2и 3-диффеоморфизмов с нетривиальными базисными множествами коразмерности один. 1. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В этом разделе мы даем краткое изложение основной конструкции работы Ч. Конли [19], лежащей в основе построения функции Ляпунова для произвольной динамической системы (потока или каскада), заданной на компактном метрическом пространстве M с метрикой d. Оригинальная конструкция Конли сделана для потоков, при построении функции Ляпунова для каскадов Конли использовал переход к надстройке. Однако идея Конли применима к дискретным динамическим системам непосредственно, без перехода к надстройке, и была изложена Дж. Фрэнксом в [22]. Приведем схему построения функции Ляпунова для каскада, порожденного гомеоморфизмом f : M → M, следуя Фрэнксу. Для ε > 0 набор точек x1, x2,..., xn такой, что d(f (xi), xi+1) < ε для 1 :( i :( n - 1, называется ε-цепью гомеоморфизма f. Точка x ∈ M называется цепно рекуррентной, если для любого ε > 0 существует натуральное число n (зависящее от ε) и ε-цепь x1, x2,..., xn такая, что x1 = xn = x. Множество Rf всех цепно рекуррентных точек называется цепно рекуррентным множеством диффеоморфизма f. Непосредственной проверкой устанавливается, что множество Rf является f -инвариантным и компактным. Введем на цепно рекуррентном множестве Rf отношение эквивалентности ∼ правилом: x ∼ y для x, y ∈ Rf , если для каждого ε > 0 существуют ε-цепи от x к y и от y к x. Класс эквивалентности точек из Rf относительно введенного отношения эквивалентности называется цепной компонентой. Определение 1.1. Функцией Ляпунова для гомеоморфизма f называется непрерывная функция ϕ : M → R со следующими свойствами: 1. если x ∈/ Rf , то ϕ(f (x)) < ϕ(x); 2. если x, y ∈ Rf , то ϕ(x) = ϕ(y) тогда и только тогда, когда x и y лежат в одной цепной компоненте; 3. ϕ(Rf ) - компактное нигде не плотное подмножество прямой R. Компактное множество A ⊂ M называется аттрактором гомеоморфизма f , если существует его открытая окрестность U, называемая захватывающей, такая, что f (cl(U )) ⊂ U и n n)0 fn(cl(U )) = A. Если V = M \ cl(U ) и A∗ = n n)0 f -n(cl(V )), тогда A∗ - аттрактор для f -1 с захватывающей окрестностью V. Множество A∗ называется репеллером, дуальным к аттрактору 1. Из построения ясно, что A∗ не зависит от выбора захватывающей окрестности U аттрактора A и f (A) = A, f (A∗) = A∗. Кроме того, из определения аттрактора (репеллера) следует, что само пространство M является аттрактором (репеллером) гомеоморфизма f, дуальным репеллером (аттрактором) к которому является пустое множество. Предложение 1.1 (см. [22, Lemma 1.2, 1.3]). Пусть f : M → M - гомеоморфизм. Тогда 1. Множество аттракторов гомеоморфизма f не более, чем счетно. n 2. Если {An} - множество всех аттракторов гомеоморфизма f и {A∗ } - множество соответствующих дуальных к ним репеллеров, то Rf = n(An n n ∪ A∗ ). Предложение 1.2 (см. [22, Proposition 1.5]). Пусть f : M → M - гомеоморфизм. Тогда точки x, y ∈ M лежат в одной и той же цепной компоненте множества Rf тогда и только тогда, когда не существует дуальной пары аттрактор, репеллер A, A∗ такой, что x ∈ A, y ∈ A∗ или y ∈ A, x ∈ A∗. Предложение 1.3 (см. [22, Lemma 1.7]). Существует непрерывная функция ϕ : M → [0, 1] такая, что ϕ-1(0) = A, ϕ-1(1) = A∗ и ϕ убывает вдоль орбит множества M \ (A ∪ A∗) (т. е. ϕ(f (x)) < ϕ(x), если x ∈ M \ (A ∪ A∗)). Определим функцию ϕ : M → R посредством сходящегося ряда: ∞ ϕ(x) = 2 \ 3-nϕn(x), n=1 n где ϕn : M → [0, 1] - непрерывная функция из предложения 1.3 для пары An, A∗ . R f. ϕ : M Непосредственно проверяется, что → является функцией Ляпунова для каскада, порожденного гомеоморфизмом Дав определения цепно рекуррентного множества, аттрактора, репеллера и функции Ляпунова для непрерывного потока ft, заданного на M, и проделав конструкцию, аналогичную построению функции ϕ : M → R для гомеоморфизма f, получаем следующий результат. Теорема 1.1 (Фундаментальная теорема динамических систем, [19]). Для любого непрерывного потока ft и любого гомеоморфизма f компактного метрического пространства M существует функция Ляпунова ϕ : M → R. 2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ ПОТОКОВ МОРСА-СМЕЙЛА 1. Существование энергетической функции для гладкого потока на многообразии. В дальнейшем мы будем предполагать, что метрическое пространство M является гладким компактным многообразием. Более того, для простоты изложения мы будем считать, что граница M пуста, т. е. M является гладким замкнутым многообразием. Определение 2.1. Гладкая функция Ляпунова ϕ называется энергетической функцией динамической системы на многообразии M, если множество критических точек ϕ (точек, в которых grad ϕ = 0) совпадает с цепно рекуррентным множеством системы. Таким образом, для энергетической функции понятие критической точки по Конли совпадает с классическим понятием критической точки как точки, в которой все частные производные первого порядка равны нулю. Как уже было отмечено выше, применение результатов В. Вильсона, полученных в [39], приводит к доказательству существования энергетической функции для произвольного гладкого потока на многообразии M. Пусть ft - гладкий поток, индуцированный векторным полем χ, заданным на M, и A - аттрактор этого потока с захватывающей окрестностью U и бассейном притяжения D = J ft(cl(U )). Для гладкой функции ϕ : D → R обозначим через t:(0 χ(ϕ) производную ϕ в направлении векторного поля χ. Предложение 2.1 (см. [39, Theorem 3.2]). Пусть ft : M → M - гладкий поток, индуцированный векторным полем χ на гладком многообразии M и A - аттрактор этого потока с захватывающей окрестностью U и бассейном притяжения D. Тогда существует C∞-функция ϕ : D → R такая, что ϕ(A) = 0 и χ(ϕ)(x) < 0, x ∈ (D \ A). n Непосредственно из этого предложения следует, что для гладкого потока ft, индуцированного векторным полем χ, заданным на гладком многообразии M, предложение 1.3 может быть усилено до результата существования гладкой функции ϕn : M → [0, 1] такой, что ϕ-1(0) = An, ϕ-1 ∗ ∗ ∗ n (1) = An и χ(ϕn)(x) < 0, x ∈ (M \ (An ∪ An)) для каждой пары аттрактор-репеллер An, An. ∞ Тогда функция ϕ : M → R, определяемая рядом ϕ(x) = 2 n=1 3-nϕn(x), является энергетической функцией потока ft. Таким образом, фундаментальная теорема Ч. Конли (Теорема 1.1) в применении к гладким потокам на многообразии может быть переформулирована следующим образом. Теорема 2.1. Для любого гладкого потока ft, заданного на гладком компактном многообразии M, существует энергетическая функция ϕ : M → R. Используя конструкцию надстройки, можно построить гладкую функцию Ляпунова ϕ для любого диффеоморфизма гладкого компактного многообразия на себя. Но эта функция может иметь критические точки вне цепно рекуррентного множества и, следовательно, не являться энергетической. В связи со всем вышесказанным возникают естественные вопросы, для каких классов дискретных динамических систем существует энергетическая функция и как ее строить. Частично ответы на эти вопросы будут даны ниже. Но сначала мы приведем исторически первые результаты о построении энергетической функции для потоков Морса-Смейла, полученные ранее работы Ч. Конли. 2. Функции Морса и Морса-Ботта. Этот раздел мы начнем с короткого введения в теорию Морса (для детального знакомства см., например, [10]). Пусть f : M → R - Cr -гладкая функция, заданная на многообразии M. Точка p ∈ M называется критической точкой функции f (x), если ( ∂f \ 1 1 ∂f = (p) = ··· = ∂f (p) = 0, а ∂x 1p ∂x1 ∂xn f (p) называется критическим значением функции f (x). В противном случае точка p называется регулярной точкой, а f (p) - регулярным значением функции f (x). Следующее утверждение о регулярном значении доставляет распространенный способ задания многообразий. Если a ∈ R есть регулярное значение Cr -гладкой функции (r ) 1) f : M → R, то f -1(a) есть Cr -подмногообразие многообразия M. Для r ) 2 критическая точка p Cr -функции f называется невырожденной, если матрица вторых производных (матрица Гессе) ( ∂2f \ 1 1 ∂xi∂xj 1p невырождена, в противном случае точка p называется вырожденной. В силу симметричности матрица Гессе имеет только действительные собственные значения и является вырожденной тогда и только тогда, когда имеет нулевые собственные значения. Число нулевых собственных значений матрицы ( ∂2f \ 1 1 ∂xi∂xj 1p называют степенью вырождения критической точки p, а число ее отрицательных собственных значений называют индексом критической точки p и обозначают q(p). Гладкая функция, значение которой в каждой критической точке p равно индексу этой точки (f (p) = q(p)) называется самоиндексирующейся. Определение 2.2. Cr -гладкая (r ) 2) функция f : M → R на гладком n-многообразии X называется функцией Морса, если все ее критические точки невырождены. Определение 2.3. Cr -гладкая (r ) 2) функция f : M → R на гладком n-многообразии X называется функцией Морса-Ботта, если гессиан в каждой критической точке невырожден в направлении нормальном к критическому множеству уровня. Функции Морса имеют важное значение при изучении топологии многообразия в силу следующих фактов. На любом гладком компактном многообразии существуют функции Морса. Функции Морса всюду плотны в пространстве всех гладких функций на многообразии. Каждая функция Морса имеет на компактном многообразии лишь конечное число критических точек, в частности, все они изолированы. На любом компактном многообразии X существуют так называемые правильные функции Морса f : M → R, т. е. такие, что f (x) ) f (y), если x и y - критические точки f и q(x) ) q(y). Отметим, что такие функции уже не образуют плотного подмножества в пространстве всех гладких функций на M. Предложение 2.2 (Лемма Морса). Пусть p - критическая точка функции Морса f : M → R. Тогда существуют локальные координаты x1,..., xn в точке p, называемые координатами Морса, в которых локальное представление f имеет вид fp(x1,..., xn) = f (p) - x2 - ··· - x2 + x2 + ··· + x2 , где q(p) - индекс f в точке p. 1 q(p) q(p)+1 n 3. Энергетическая функция Морса для градиентноподобных потоков. Первые результаты по построению энергетических функций касались систем Морса-Смейла. В 1960 году С. Смейл в работе [36] ввел класс C∞ векторных полей χ на C∞ замкнутом многообразии M со следующими свойствами: 1. Векторное поле χ имеет конечное число особых точек β1,..., βk, и матрица Якоби линеаризации векторного поля в окрестности каждой особой точки не имеет собственных значений с нулевой действительной частью. 2. Векторное поле χ имеет конечное число замкнутых орбит βk+1,..., βm, и отображение Пуанкаре в окрестности каждой такой орбиты не имеет собственных значений, по модулю равных 1. 3. Предельные точки всех орбит χ при t → ±∞ принадлежат βi. 4. Устойчивые и неустойчивые многообразия βi имеют трансверсальное пересечение. 5. Если βi - периодическая орбита, то не существует точка y ∈ M такая, что α(y) = ω(y) = βi. С современной точки зрения условия (1)-(5) означают, что цепно рекуррентное множество потока, индуцированного векторным полем χ, состоит из конечного числа неподвижных гиперболических точек β1,..., βk и конечного числа гиперболических периодических орбит βk+1,..., βm таких, что устойчивые и неустойчивые многообразия орбит βi пересекаются трансверсально. Таким образом, условия (1)-(5) выделяют структурно устойчивые векторные поля с конечным цепно рекуррентным множеством. В своей работе [36] С. Смейл показал, что для векторных полей со свойствами (1)-(5) справедливы неравенства, подобные неравенствам Морса, с тех пор такие векторные поля называют полями Морса-Смейла. Векторные поля Морса-Смейла без периодических орбит называются градиентноподобными, поскольку они имеют динамику, подобную динамике градиентного векторного поля, порожденного функцией Морса. Действительно, если мы рассмотрим градиентное векторное поле grad ϕ, порожденное функцией Морса ϕ, то множество критических точек ϕ совпадает с множеством состояний равновесия градиентного потока (потока, порожденного градиентным векторным полем). Если x не является критической точкой функции ϕ, то grad ϕ(-ϕ) = -| grad ϕ(x)|2 < 0, т. е. -ϕ строго убывает вдоль траекторий Ox. Таким образом, -ϕ является энергетической функцией градиентного потока. Градиентное векторное поле не является структурно устойчивым в общем случае, поскольку инвариантные многообразия седловых точек могут иметь нетрансверсальное пересечение. Однако, С. Смейл в 1961 году в работе [37] доказал, что любое градиентное векторное поле на M может быть C1 аппроксимировано градиентноподобным векторным полем. В связи с вышесказанным естественно искать энергетическую функцию градиентноподобного потока в классе функций Морса. В работе [37] С. Смейл рассмотрел класс C∞ векторных полей χ на компактных C∞ nмногообразиях M (∂M может быть как пустой, так и непустой), которые в случае замкнутого многообразия удовлетворяют следующим условиям: 1. У каждой особой точки β поля χ существует окрестность N и C∞ функция ϕβ на N такие, что χ есть grad ϕβ на N в некоторой римановой структуре на N. Более того, β - невырожденная критическая точка ϕβ. Обозначим через β1,..., βk эти особенности. 2. Если x ∈ M и Ox - орбита потока, порожденного χ, проходящая через x, то предельное множество орбиты Ox при t → ±∞ содержится в объединении βi. 3. Устойчивые и неустойчивые многообразия βi пересекаются трансверсально. Из следующей теоремы вытекает, что векторное поле, удовлетворяющее условиям (i)-(iii), обладает энергетической функцией. Теорема 2.2 (см. [37, Theorem B]). Пусть χ - C∞-векторное поле на замкнутом C∞-многообразии M, удовлетворяющее условиям (1)-(3). Тогда существует C∞-функция ϕ на M со следующими свойствами: 1. Критические точки ϕ совпадают с особыми точками χ и ϕ отличается на константу от функции из условия (i) в некоторой окрестности критической точки. 2. Если χ не обращается в 0 в точке x ∈ M, то поле трансверсально поверхности уровня функции ϕ в точке x. 3. Если β ∈ M - критическая точка ϕ, то ϕ(β) = q(β), где q(β) - индекс точки β. С. Смейл доказал, что предыдущая теорема может быть усилена следующим образом. Замечание 2.1 (см. [37, Remark]). Существует риманова метрика на M такая, что χ = grad ϕ. 4. Энергетическая функция Морса-Ботта для потоков Морса-Смейла. Если векторное поле Морса-Смейла имеет периодическую орбиту, то энергетическая функция для такого поля не может быть функцией Морса. Поэтому K. Мейер в 1968 году в работе [30] предложил рассматривать более общий класс Φ, состоящий из C∞-функций ϕ : M → R на гладком замкнутом многообразии M с римановой метрикой d, обладающих следующими свойствами: 1. Множество Cr(ϕ) критических точек функции ϕ состоит из конечного подмножества Cr0(ϕ) = {δ1,..., δm} невырожденных точек и подмножества Cr1(ϕ), которое является объединением конечного числа попарно не пересекающихся окружностей δm+1,..., δk таких, что индекс ϕ постоянен на каждой окружности; i 2. Для i ∈ {m + 1,..., k} существует окрестность Ni окружности δi и диффеоморфизм ξi такой, что ξi отображает Ni на прямое произведение Dn-1 и S1, если Ni ориентируемо, и на косое произведение Dn-1 и S1, если Ni неориентируемо, при этом ϕ ◦ ξ-1 = ϕ(δi)+ Qi(x), где Qi - - невырожденная квадратичная форма в координатах x1,..., xn 1 на Dn-1 и периодическая функция периода один по координате xn в S1. Более того, в каждой точке окружности S1 квадратичная форма равна индексу функции ϕ на δi. В действительности класс Φ есть класс функций Морса-Ботта, чье множество критических тоk чек совпадает с объединением J δk. Из определения функции Морса-Ботта следует, что гессиан i=1 этой функции невырожден в нормальном к окружности направлении. Теорема 2.3 (см. [30, Theorem 1]). Если χ - векторное поле Морса-Смейла, тогда существует энергетическая функция ϕ ∈ Φ для χ. Предложение 2.3 (см. [30, Proposition]). Пусть для гладкого векторного поля χ на M существует функция ϕ ∈ Φ такая, что: 1. χ(ϕ)(x) < 0 для всех x ∈ (M \ Cr(ϕ)); 2. если p особая точка χ, то p ∈/ Cr1(ϕ); 3. существует константа κ > 0 такая, что для любого x ∈ Ni -χ(ϕ)(x) ) κd(x, δi)2. Тогда χ удовлетворяет всем условиям определения векторного поля Морса-Смейла, за исключением, быть может, условия трансверсальности. Более того, поле χ может быть C1 аппроксимировано системой Морса-Смейла. 3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ КАСКАДОВ С РЕГУЛЯРНОЙ ДИНАМИКОЙ В этом разделе мы будем рассматривать дискретные динамические системы (каскады) с регулярной динамикой. А именно, мы будем строить энергетические функции для диффеоморфизмов f : Mn → Mn с конечным гиперболическим цепно рекуррентным множеством, заданные на замкнутом гладком n-многообразии Mn. Обозначим через G(Mn) класс таких диффеоморфизмов. Подмножество структурно устойчивых диффеоморфизмов в этом классе составляют диффеоморфизмы Морса-Смейла, обозначим через MS(Mn) их класс. 1. Функция Морса-Ляпунова. Пусть f ∈ G(Mn). Поскольку цепно рекуррентное множество диффеоморфизма f конечно, то естественно искать его функцию Ляпунова в классе функций Морса. Факт совпадения неблуждающего множества с цепно рекуррентным приводит к следующему определению. Определение 3.1. Функция Морса ϕ : Mn → R называется функцией Ляпунова для f ∈ G(Mn), если: 1. ϕ(f (x)) < ϕ(x) для любого x /∈ Ωf ; 2. ϕ(f (x)) = ϕ(x) для любого x ∈ Ωf . Предложение 3.1 (см. [26, Proposition 7.1]). Пусть ϕ : Mn → R - функция Ляпунова для диффеоморфизма f ∈ G(Mn). Тогда 1. -ϕ - гладкая функция Ляпунова для f -1; p 2. если p - периодическая точка диффеоморфизма f, то ϕ(x) < ϕ(p) для любого x ∈ Wu \ p p и ϕ(x) > ϕ(p) для любого x ∈ Ws \ p; 3. - периодическая точка диффеоморфизма f, то p - критическая точка функции ϕ; если p p 4. индекс критической точки p равен dim Wu. В силу предложения 4 периодические точки диффеоморфизма f являются критическими точками функции Ляпунова ϕ, а индекс ϕ в точке p ∈ Ωf равен размерности неустойчивого многообразия Wu. При этом любая периодическая точка p является максимумом ограничения ϕ на Wu и p p p минимумом ограничения ϕ на Ws. Предложение 3.2 (см. [26, Proposition 7.2]). Если периодическая точка p является невырожденным максимумом (минимумом) ограничения функции Ляпунова ϕ для диффеоморфизма f ∈ G(Mn) на неустойчивое (устойчивое) инвариантное многообразие точки p, то это многообразие трансверсально ко всем регулярным множествам уровня ϕ в некоторой окрестности точки p. O → Определение 3.2. Пусть Oi - периодическая орбита диффеоморфизма f ∈ G(Mn), Ui - окрестность орбиты i и qi = dim Wu . Функцию Морса ψi : Ui R назовем локальной функцией Oi Морса-Ляпунова, если она обладает следующими свойствами: 5. ψi(f (x)) < ψi(x) для любого x ∈ (f -1(Ui) \ Oi) и ψi(f (x)) = ψi(x) = 0 для x ∈ Oi; 6. множество критических точек функции ψi совпадает с орбитой Oi и каждая критическая точка имеет индекс qi; 7. (Wu ∩ Ui) ⊂ Ox1 ... xq и (Ws ∩ Ui) ⊂ Oxq +1 ... xn для координат Морса x1,..., xn в окрестr ности точки i r i r ∈ Oi. Лемма 3.1 (см. [26, Lemma 2.2]). Для любой периодической орбиты Oi диффеоморфизма f ∈ G(Mn) существует локальная функция Морса-Ляпунова. Локальное свойство, сформулированное в предложении 3.2, полезно для построения (глобальной) функции Ляпунова. Определение 3.3. Функция Ляпунова ϕ : Mn → R для диффеоморфизма f ∈ G(Mn) называется функцией Морса-Ляпунова, если каждая периодическая точка p является невырожденным максимумом (соответственно минимумом) ограничения ϕ на неустойчивое (соответственно устойчивое) многообразие Wu (соответственно Ws). p p Согласно лемме 3.1 функция Морса-Ляпунова существует в окрестности любой периодической орбиты диффеоморфизма f ∈ G(Mn). Справедлив и факт существования глобальной функции Морса-Ляпунова для любого диффеоморфизма f ∈ G(Mn). Такая функция может быть построена, в частности, с помощью перехода к надстройке. Именно, пусть f ∈ G(Mn) и fˆt - поток n на многообразии Mn × R, порожденный векторным полем, состоящим из единичных векторов, параллельных R и направленных в +∞. Определим диффеоморфизм g : Mn × R → Mn × R формулой g(x, τ ) = (f (x),τ - 1). Положим G = {gk,k ∈ Z} и W = (Mn × R)/G. Обозначим через pW : M × R → W естественную проекцию и через ft - поток на многообразии W, заданный W формулой ft(x) = p W (fˆt(p-1(x))). Поток ft называется надстройкой над диффеоморфизмом f . По построению цепно рекуррентное множество потока ft состоит из kf периодических орбит t δi = pW (Oi × R),i ∈ {1,..., kf }, то есть надстройка f является потоком Морса-Смейла без неподвижных точек. Согласно теореме 2.3 существует энергетическая функция Морса-Ботта для потока ft. Ее ограничение на Mn является искомой функцией Морса-Ляпунова для f. Однако в общем случае построенная функция может иметь критические точки, которые не являются периодическими точками f. Теорема 3.1 (см. [26, Theorem 7.1]). Среди гладких функций Ляпунова для диффеоморфизма f ∈ G(Mn) функции Морса-Ляпунова образуют открытое всюду плотное множество в C∞топологии. 2. Порядок на множестве периодических орбит. Гиперболичность цепно рекуррентного множества равносильна Ω-устойчивости диффеоморфизма f ∈ G(Mn) (см., например, [33]). Следовательно, периодические орбиты диффеоморфизма f допускают нумерацию O1,..., Okf , согла- ∩ сующуюся с отношением С. Смейла, т. е. i :( j, если Ws Wu Oi Oj /= ∅. Не уменьшая общности, будем считать, что нумерация орбит выбрана так, что номер любой седловой орбиты больше номера любой стоковой и меньше номера любой источниковой орбиты. Для i = 1,..., kf положим Ws s u u i kf J u J s i = WOi , Wi = WOi , и для i = 1,..., kf - 1 положим Ai = j=1 Wj , Ri = j=i+1 Wj . Для i = 1,..., kf -1 положим Vi = M 2 \(Ai ∪Ri). Обозначим через Vˆi = Vi/f пространство орбит действия диффеоморфизма f на множестве Vi и через pi : Vi → Vˆi - естественную проекцию. Теорема 3.2 (см. [26, Theorem 2.6]). Пусть f ∈ G(Mn). Тогда 1. множество Ai (Ri) является аттрактором (репеллером) диффеоморфизма f и имеет захватывающую окрестность Mi ⊂ i j J Ws (Mi ⊂ j=1 kf J j=i+1 j Wu) такую, что Mi \ int f (Mi) (Mi \ int f -1(Mi)) является фундаментальной областью ограничения диффеоморфизма f на Vi; 2. проекция pi : Vi → Vˆi является накрытием, индуцирующим структуру гладкого замкнутого n-многообразия на пространстве орбит Vˆi; 3. если dim Ai :( (n - 2) (dim Ri :( (n - 2)), то репеллер Ri (аттрактор Ai) является связным, и если dim (Ai ∪ Ri) :( (n - 2), то многообразия Vi, Vˆi связны. 3. Ω-устойчивые 2-диффеоморфизмы с конечным неблуждающим множеством. В этом разделе мы изложим результаты работы [11], а именно, изложим идею доказательства следующей теоремы. Теорема 3.3 (см. [11, Теорема 1]). Для любого диффеоморфизма f ∈ G(M 2) существует энергетическая функция, являющаяся функцией Морса. r Пусть Ωq, q ∈ {0, 1, 2} - подмножество периодических точек r таких, что dim Wu = q, kq - число всех периодических орбит с индексом Морса (индекс Морса периодической точки r равен r размерности dim Wu), меньшим или равным q. Основой доказательства являются динамические свойства диффеоморфизмов множества G(M 2), сформулированные в леммах 3.2, 3.3, 3.4. Доказательство лемм существенно опирается на классические факты двумерной топологии, в частности, на факт отсутствия диких дуг на поверхностях. Лемма 3.2 (см. [26, Lemma 3.4]). В каждой компоненте связности множества Vi, i = k0,..., k1 - 1 существует окружность такая, что объединение этих окружностей пересеi+1 кается с каждой сепаратрисой множества Wu \ Oi+1 в одной точке. Согласно теореме 3.2, Ai обладает захватывающей окрестностью Mi, где Mi - компактное множество такое, что f (Mi) ⊂ int Mi (Mi - f -сжимаема) и n fk (Mi) = Ai. Для i = 1,..., k1 обознаk)0 чим через ci число компонент связности аттрактора Ai, через ri - число седловых точек и через si - число стоковых точек в Ai. Положим gi = ci + ri - si. Определение 3.4. Захватывающую окрестность Mi, i = 1,..., k1 аттрактора Ai назовем тесной, если Mi состоит из ci дисков с дырами, общее число которых равно gi. σ Если при этом для каждой седловой точки σ ∈ Oi пересечение Ws ∩ Mi состоит в точности из одного отрезка, то окрестность Mi будем называть канонической. Лемма 3.3 (см. [11, Лемма 2.5]). Каждый аттрактор Ai, i = 1,..., k1 обладает канонической окрестностью. Лемма 3.4 (см. [26, Lemma 7.1]). Пусть i ∈ {1,..., k1} и Qi - захватывающая окрестность i аттрактора Ai такая, что ∂Qi - линия уровня энергетической функции ϕQ : Qi → R. Тогда i для любой тесной окрестности Pi аттрактора Ai существует энергетическая функция ϕP : Pi → R для f с множеством уровня ∂Pi. Опираясь на факты выше, построим энергетическую функцию Морса для диффеоморфизма f ∈ G(M 2). Разобьем построение энергетической функции для f : M 2 → M 2 на шаги. i Шаг 1. Индукцией по i = 1,..., k1 докажем существование энергетической функции ϕM на канонической окрестности Mi аттрактора Ai с множеством уровня Si = ∂Mi. Для i = 1 аттрактор A1 совпадает со стоковой орбитой O1 диффеоморфизма f. В силу лем- 2 мы 3.1 существует окрестность UO1 ⊂ M орбиты O1, оснащенная энергетической функцией ϕO1 : UO1 → R для f и такая, что ϕO1 (O1) = 1. В силу леммы 3.4 существует энергетическая M функция ϕ 1 на окрестности M1 аттрактора A1 с множеством уровня S1. M Пусть по предположению индукции существует энергетическая функция ϕ i-1 на окрестности Mi-1 аттрактора Ai-1 с множеством уровня Si-1. Построим функцию ϕMi . Рассмотрим две возможности: a) i :( k0; b) i > k0. В случае a) окрестность Mi состоит из ci попарно не пересекающихся двумерных дисков. В силу M предположения индукции и леммы 3.4 существует энергетическая функция ϕ i-1 на канонической окрестности Mi-1, постоянная на ∂Mi-1. Аналогично случаю i = 1 доказывается существование энергетической функции ϕ Oi на UOi с множеством уровня ∂UOi . Тогда функция ϕMi , составленная M из функций ϕ и ϕ i-1 Oi является искомой. 2 В случае b) орбита Oi имеет окрестность UOi ⊂ M , оснащенную энергетической функцией ϕOi : UOi → R для f с ϕOi (Oi) = i. Более того, для каждой компоненты связности Uσ, σ ∈ Oi 2 2 множества UOi существуют координаты Морса (x1, x2) такие, что ϕOi (x1, x2) = i - x1 + x2, ось Ox1 содержится в неустойчивом многообразии, а ось Ox2 содержится в устойчивом многообразии точки σ. Из свойств канонической окрестности Mi и λ-леммы1 следует существование трубчатой окрест- ⊂ ∩ ности N (Di) Mi дисков Di = Mi Ws Oi такой, что N (Di) ∩ Ai- 1 = ∅, множество Pi-1 = Mi \ int N (Di) является f -сжимаемым и ∂Pi-1 трансверсально пересекает каждую компоненту 1Утверждение λ-леммы состоит в том, что f -n(∂Mi) ∩ Uσ сходится к {x1 = 0}∩ Uσ в C1-топологии, когда n стремится к +∞ (см., например, [31]). РИС. 1. Перестройка линий уровня \ O i i связности множества ϕ-1(i) по двум точкам. Множество P Oi - 1 является тесной окрестностью аттрактора Ai-1. По предположению индукции и лемме 3.4 на окрестности Pi-1 существует энергетическая функция ϕP i-1 с множеством уровня ∂Pi-1. Pi-1 Для εi ∈ (0, 1), t ∈ [-εi, εi] положим Pt = ϕ-1 P ([1, ϕ i-1 (∂Pi- 1. - εi + t]), Ht = {x ∈ UOi : ϕOi (x) :( i + t} и Eεi = (Pεi \ int P-εi ) ∩ (Hεi \ int H-εi ) (см. рис. 1). Заметим, что Pεi = Pi-1 и, следовательно, f (Pεi ) ⊂ int Pεi . Так как ϕOi - функция Ляпунова для f |UOi , то 1 -1 -1 ϕOi (f - (ϕOi (i) \ Oi)) > i и, следовательно, (H0 \ Oi) ⊂ int f (H0 \ Oi). Отсюда и из условий выбора окрестности N (Di) следует существование значения εi со следующими свойствами: 1. f (Pεi ) ⊂ int P-εi ; 2. для любого t ∈ [-εi, εi] ∂Pt трансверсально пересекает каждую компоненту связности множества ∂Ht \ Di по двум точкам; i i 3. f -1(Eε ) ∩ Hε = ∅. Для t ∈ [-εi, εi] положим Qt = Pt ∪ Ht. По построению множество Qt, t /= 0 является f сжимаемым. Более того, Q-εi после сглаживания является тесной окрестностью аттрактора Ai-1, а Qεi после сглаживания является тесной окрестностью аттрактора Ai. В силу предположения индукции и леммы 3.4 на множестве Q-εi существует энергетическая функция ϕQ -εi , постоянная на ∂Q-εi . Поскольку ϕQ -εi (Ai-1) :( i - 1, то можно считать, что ϕQ -εi (Q-εi ) = i - εi. i Определим на множестве Qεi функцию ϕQε : Qεi → R формулой: ϕQε (x) = Q ( ϕ -εi (x), если x ∈ Q-εi ; i i + t, если x ∈ Qt. i Проверим, что ϕQε является энергетической функцией для f, тогда существование искомой M функции ϕ i : Mi → R будет следовать из предложения 3.4. Представим множество Qεi в виде объединения подмножеств с попарно непересекающимися внутренностями: Qεi = A ∪ B ∪ C, где A = Q-εi , B = Pεi \ Q-εi и C = Qεi \ (Pεi ∪ Q-εi ). По построению функция ϕQε |A является энергетической функцией для f, ϕQε (∂A) = i - εi, функция i i ϕQε i |B не имеет критических точек и функция ϕQεi |C совпадает с функцией ϕOi |C. Проверим i свойство убывания функции ϕQε вдоль траекторий. Если x ∈ A, то f (x) ∈ A и ϕQε (f (x)) < ϕQε (x), поскольку ϕQε |A - функция Ляпунова. i i i i Если x ∈ B, то, в силу условия (1) выбора εi, f (x) ∈ A и, следовательно, ϕQε (x) > i - εi, а ϕQε (f (x)) < i - εi, откуда ϕQε (f (x)) < ϕQε (x). Если x ∈ C, то в силу условия (3) выбора εi либо i i i i f (x) ∈ A и убывание доказывается аналогично случаю x ∈ B, либо f (x) ∈ C и убывание следует из того, что ϕQε |C - функция Ляпунова. Шаг 2. Заметим, что множество источников Ω2 является аттрактором для диффеоморфизма f -1 и, следовательно, имеет каноническую окрестность M˜ . Аналогично шагу 1 построим энергетическую функцию ϕ˜M˜ для f -1 на окрестности M˜ с множеством уровня S˜ = ∂M˜ . 2 Шаг 3. По построению множество Pk1 = M \ int M˜ является тесной окрестностью аттрактора Ak1 , откуда следует существование искомой функции ϕ. Действительно, в силу предложения 3.4 из существования энергетической функции ϕM k1 на окрестности Mk1 аттрактора Ak1 следует существование энергетической функции ϕP k1 на Pk1 с множеством уровня ∂Pk1 . Функцию ϕP k1 можно построить так, что ϕP k1 (S˜) = kf +1 - ϕ˜M˜ (S˜). Поскольку ∂Pk1 = S˜, то искомая функция ϕ определяется формулой ϕ(x) = ( ϕ Pk1 (x), если x ∈ Pk1 ; kf +1 - ϕ˜M˜ (x), если x ∈ M˜ . 4. Диффеоморфизмы Морса-Смейла на 3-многообразиях. В этом разделе мы изложим результаты работ [5, 23, 24] (см. также монографию [26]). 1. Условия существования динамически упорядоченной энергетической функции. В пункте 3.2 мы упорядочили периодические орбиты диффеоморфизма f ∈ G(Mn) согласно отношению частичного порядка ≺: Op ∩ Or Op ≺ Or ⇐⇒ Ws Wu /= ∅. В случае, когда инвариантные многообразия периодических точек диффеоморфизма f имеют трансверсальное пересечение, можно ввести порядок, более тесно связанный с динамикой. n Определение 3.5. Нумерацию периодических орбит O1,..., Okf диффеоморфизма f ∈ MS(M ) назовем динамической, если она удовлетворяет следующим условиям: 1. если Oi ≺ Oj, то i :( j; 2. если qi < qj, то i < j. Предложение 3.3 (см. [26, Proposition 2.6]). Для любого диффеоморфизма f ∈ G(Mn) существует динамическая нумерация периодических орбит. На рис. 2 представлен фазовый портрет диффеоморфизма Морса-Смейла f : S3 → S3 с динамическим порядком периодических орбит в предположении, что неблуждающее множество Ωf состоит из неподвижных точек. Заметим, что существуют нумерации периодических орбит диффеоморфизма f ∈ MS(Mn), сохраняющие отношение частичного порядка ≺, отличные от динамической. Везде далее мы будем предполагать, что орбиты диффеоморфизма f ∈ MS(Mn) динамически упорядочены. Пусть Ωq, r q ∈ {0, 1, 2, 3} - подмножество периодических точек r таких, что dim Wu = q, kq - число всех периодических орбит с индексом Морса, меньшим или равным q. Согласно предложению 3.3 существует динамическая нумерация орбит диффеоморфизма f : O1,..., Okf , используя которую, мы дадим следующее определение. Определение 3.6. Пусть орбиты диффеоморфизма f ∈ MS(Mn) имеют динамическую нумерацию: O1,..., Okf . Функцию Морса-Ляпунова ϕ для диффеоморфизма f назовем динамически упорядоченной, если ϕ(Oi) = i для i ∈ {1,..., kf }. Далее мы исследуем условия существования динамически упорядоченной энергетической функции для диффеоморфизмов Морса-Смейла на многообразиях размерности n = 3. Пусть f ∈ MS(M 3). Из теоремы 3.2 следует, что для каждого i = 1,..., k1 множество Ai = i J Wu является аттрактором, т. е. обладает захватывающей окрестностью Mi, где Mi компактное j=1 Oj множество такое, что f (Mi) ⊂ int Mi (Mi - f -сжимаема) и n fk (Mi) = Ai. Обозначим через ci k)0 РИС. 2. Фазовый портрет диффеоморфизма Морса-Смейла f : S3 → S3 с динамически упорядоченным множеством периодических орбит число компонент связности аттрактора Ai, через ri - число седловых точек и через si - число стоковых точек в Ai. Положим gi = ci + ri - si. Напомним, что гладкое компактное ориентируемое трехмерное многообразие с краем называется ручечным телом рода g ) 0, если оно диффеоморфно многообразию, полученному из замкнутого 3-шара отождествлением g пар попарно непересекающихся замкнутых 2-дисков на границе шара посредством меняющего ориентацию диффеоморфизма. Границей ручечного тела является ориентируемая поверхность рода g. Определение 3.7. Захватывающая окрестность Mi аттрактора Ai называется ручечной, если i Mi состоит из ci компонент связности, каждая из которых является ручечным телом. Сумму gM родов компонент связности Mi назовем родом ручечной окрестности. Заметим, что для каждого i = 1,..., k0 число gi равно нулю, аттрактор Ai является нульмерным (так как состоит из ci стоковых точек) и обладает ручечной окрестностью Mi рода gi = 0, состоящей из ci попарно непересекающихся трехмерных шаров (это следует, например, из леммы 3.1). Для каждого i = k0 + 1,..., k1 аттрактор Ai содержит одномерную компоненту связности, в силу чего (допуская некоторую вольность) мы будем далее называть его одномерным. Предложение 3.4 (см. [26, Proposition 7.3]). Каждый одномерный аттрактор Ai диффео- Mi морфизма f ∈ MS(M 3) обладает ручечной окрестностью Mi рода g ) gi. Определение 3.8. Ручечную окрестность Mi одномерного аттрактора Ai назовем тесной, если: M 1. g i = gi; σ 2. для каждой точки σ ∈ Oi пересечение Ws ∩ Mi состоит в точности из одного двумерного диска. Одномерный аттрактор Ai, обладающий тесной окрестностью Mi назовем тесно вложенным. По определению репеллер для диффеоморфизма f есть аттрактор для f -1. Кроме того, динамическая нумерация орбит O1,..., Okf диффеоморфизма f индуцирует динамическую нумерацию орбит ˜ ,..., ˜ диффеоморфизма f -1 следующим образом: ˜ = O . Тогда одномерный ре- O1 Okf Oi kf -i пеллер называется тесно вложенным, если он является тесно вложенным одномерным аттрактором для f -1 относительно индуцированной динамической нумерации орбит. σ Заметим, что свойство одномерного аттрактора (репеллера) быть тесно вложенным несет информацию о вложении неустойчивых многообразий его седловых точек. В примере Пикстона, где O1 = ω1, O2 = ω2, O3 = σ, O4 = α, имеется единственный одномерный аттрактор A3 = cl Wu, для которого = 0. При этом любой 3-шар, окружающий cl Wu, пересекает Ws более, чем по g3 σ σ одному 2-диску (см. рис. 3, где представлен фазовый портрет диффеоморфизма Пикстона и 3-шар). Следовательно, этот одномерный аттрактор не является тесно вложенным. РИС. 3. Одномерный аттрактор в примере Пикстона не является тесно вложенным Теорема 3.4 (см. [26, Theorem 7.2]). Если диффеоморфизм f ∈ MS(M 3) обладает динамически упорядоченной энергетической функцией, то все его одномерные аттракторы и репеллеры являются тесно вложенными. Определение 3.9. Тесная захватывающая окрестность Mi одномерного аттрактора Ai называется строго тесной, если Mi \Ai диффеоморфно ∂Mi ×(0, 1]. Одномерный аттрактор Ai, обладающий строго тесной окрестностью Mi называется строго тесно вложенным. Теорема 3.5 (см. [26, Theorem 7.3]). Если все одномерные аттракторы и репеллеры диффеоморфизма f ∈ MS(M 3) являются строго тесно вложенными, то f обладает динамически упорядоченной энергетической функцией. В следующей теореме устанавливается критерий существования динамически упорядоченной энергетической функции для диффеоморфизма Морса-Смейла без гетероклинических кривых, заданного на сфере S3. Теорема 3.6 (см. [26, Theorem 7.4]). Диффеоморфизм Морса-Смейла f : S3 → S3 без гетероклинических кривых обладает динамически упорядоченной энергетической функцией тогда и только тогда, когда каждый его одномерный аттрактор и репеллер является тесно вложенным. В частности, из теоремы 3.6 следует, что диффеоморфизм f : S3 → S3, фазовый портрет которого изображен на рис. 4, обладает динамически упорядоченной энергетической функцией. При этом пучок одномерных сепаратрис диффеоморфизма f, содержащих сток ω в своем замыкании, не является ручным, а представляет из себя умеренно дикий пучок Дебрунера-Фокса [20]. РИС. 4. Диффеоморфизм с умеренно диким пучком сепаратрис Построение динамически упорядоченной энергетической функции для диффеоморфизма Морса-Смейла f : M 3 → M 3 со строго тесно вложенными одномерными аттракторами и репеллерами идейно повторяет доказательство теоремы 3.3 и опирается на нижеследующие технические леммы. Напомним, что по предположению теоремы 3.5 каждый одномерный аттрактор Ai, i = k0 + 1,..., k1 является строго тесно вложенным и, следовательно, имеет ручечную окрестность Mi рода gi такую, что Mi \ Ai гомеоморфно Si × (0, 1], где Si = ∂Mi и для каждой точки σ ∈ Oi пересечение Ws ∩ Mi состоит в точности из одного двумерного диска. Положим Di = Mi ∩ Ws . В o Oi силу утверждения 3.1 для каждого нульмерного аттрактора Ai, i = 1,..., k0,, существует ручечная окрестность рода gi = 0, являющаяся объединением ci трехмерных шаров, которую мы также будем обозначать через Mi и полагать Si = ∂Mi. Ai∩Ωf Для i = 1,..., k1 положим Ki = Mi \ int f (Mi), Ni = Ws и Vi = Ni \ Ai. Тогда Ki диффеоморфно Si × [0, 1]. Поскольку Vi = J n∈Z fn(Ki), то Vi диффеоморфно Si × R. Определение 3.10. Пусть D - подмножество M 3, диффеоморфное многообразию S × [0, 1] для некоторой (возможно не связной) поверхности S. Тогда D называется (f, S)-сжимаемым произведением, если существует диффеоморфизм g : D → S × [0, 1] такой, что g-1(S × {t}) ограничивает f -сжимаемую область в M 3 для любого t ∈ [0, 1]. Предложение 3.5 (см. [26, Proposition 7.4]). Пусть D - (f, S)-сжимаемое произведение. Тогда для любых значений d0 < d1 существует энергетическая функция ϕD : D → R для f |D D D такая, что ϕ (g-1(S × {0})) = d0 и ϕ (g-1 (S × {1})) = d1. Доказательство. Искомая функция ϕD : D → R определяется формулой ϕD (x) = d0 + t(d1 - d0) для x ∈ g-1(S × {t}), t ∈ [0, 1]. Лемма 3.5 (см. [26, Lemma 7.1]). Пусть i ∈ {1,..., k1} и Pi, Qi - ручечные окрестности рода gi аттрактора Ai. Если существует динамически упорядоченная энергетическая функция Q ϕ i : Qi → R для f с множеством уровня SQi = ∂Qi, то существует динамически упорядочен- P ная энергетическая функция ϕ i : Pi → R для f с множеством уровня SPi = ∂Pi. Лемма 3.6 (см. [26, Lemma 7.2]). Пусть i = k0 + 1,..., k1, Mi - строго тесная окрестность ∩ аттрактора Ai, Di = Mi Ws Oi и N (Di) ⊂ Mi - трубчатая окрестность Di такая, что N (Di) ∩ Ai-1 = ∅ и множество Pi-1 = Mi \ N (Di) является f-сжимаемым. Тогда Pi-1 - ручечная окрестность рода gi-1 аттрактора Ai-1. 2. Иллюстрация к теоремам 3.4 и 3.5. Заметим, что условие теоремы 3.5 не является необходимым условием существования динамически упорядоченной энергетической функции. В этом разделе мы приведем результат работы [5], а именно, построим диффеоморфизм Морса-Смейла на многообразии S2 × S1, обладающий динамически упорядоченной энергетической функцией, но одномерные аттрактор и репеллер которого не являются строго тесно вложенными. Предложение 3.6 (см. [23, Proposition 5.1]). Существует диффеоморфизм Морса-Смейла f : S2 × S1 → S2 × S1 со следующими свойствами: 1. неблуждающее множество Ωf состоит из четырех неподвижных точек: стока O1 = ω, седел O2 = σ+ и O3 = σ- индексов 1 и 2, источника O4 = α, следовательно, f имеет σ+ единственный одномерный аттрактор A2 = Wu ∪ {ω} и дуальный к нему репеллер σ- R2 = Ws ∪ {α} с числом g2 = 1 (см. обозначения перед предложением 3.4); 2. S2 × S1 \ (A2 ∪ R2) не является прямым произведением T2 × R, где T2 - двумерный тор, но f удовлетворяет условиям теоремы 3.5 и, следовательно, обладает энергетической функцией Морса. Доказательство. Определим диффеоморфизм f + на трехмерном шаре B+ как двукратное сжатие к центру ω. Пусть K+ - замыкание множества B+ \ f +(B+); оно является фундаментальной областью для f +|B+ . Пусть d+, d+ - два непересекающихся 2-диска на ∂B+ с центрами a+, a+. К этим 1 2 1 2 + дискам приклеивается 1-ручка H+ =∼ [-1, +1] × D2, где D2 - 2-диск. Мы должны продолжить f + на заполненный тор P + = B+ ∪ H так, что точка {0}× {0} в H+ - неподвижная гиперболическая точка индекса 1, чье локальное неустойчивое многообразие совпадает с [-1, +1] × {0} в H+ и локальное устойчивое многообразие совпадает с диском Δ+ = {0}× D2 в H+ (например f +|Δ+ - двукратное сжатие). Определим вложение f + : ([-1, -1/2] ∪ [1/2, 1]) × D2 → A+ так, что его образ в K+ есть две непересекающиеся трубочки, соединяющие 1 d+, 1 d+ с f +(d+), f +(d+), соответственно. Опишем середины этих трубочек. 2 1 2 2 1 2 Для этого выберем кривую C+, составленную из дуг (c+, c+) в K+, каждая из которых соеди- 1 2 няет точку a+, i = 1, 2 с ее образом f +(a+), и обладающую свойствами: i i 1. пара (K+, C+) не гомеоморфна прямому произведению (S2 \ {x, y}) × [0, 1]; 2. существует инволюция I+ : (K+, C+) → (K+, C+), которая переставляет границы K+ так, что I+|∂B+ = f +. Пример такой дуги показан на рис. 5, для нее инволюция I+ является отражением относительно серединной сферы K+. По построению f + - сжатие P + с двумя неподвижными гиперболическими точками, стоком ω и седлом σ+ с индексом 1. Неустойчивое многообразие седла σ+ состоит из середины H+ и объединения J (f +)n(C+). Пусть W + - замыкание множества P + \ f +(P +); оно ограничено двумя торами. n∈N Лемма 3.7 (см. [23, Lemma 5.2]). 3. Множество W + не гомеоморфно T2 × [0, 1]. 4. Существует инволюция J + : W + → W +, которая переставляет граничные компоненты так, что J +|∂P + = f +. Доказательство. 5. Заметим, что f +(P +) - трубчатая окрестность замкнутой кривой κ+ в P +, которая пересекает Δ+ (меридианный диск заполненного тора P +) в единственной точке σ+. Разрезая P + вдоль 1 c+ Δ+, мы получим 3-шар Q+ ∼= B+ и узел κ±+ = κ+ ∩ Q+, который состоит из объединения c+, 2 и незаузленных дуг в f +(∂B+ ), соединяющих f 1 +(a+) с f 2 +(a+). Если мы разрежем f +(P +) вдоль Δ+, мы получим трубчатую окрестность дуги κ±+. Нетрудно проверить, что условие i) для построенной кривой C+ эквивалентно следующему условию: i’) в Q+ не существует вложенного диска с границей, состоящей из кривой κ±+ и дуги в ∂Q+. Предположим, что W + является прямым произведением. Тогда существует двумерное кольцо R+ с одной граничной компонентой в ∂P + и другой - состоящей из κ+. Стандартной техникой РИС. 5. Построение диффеоморфизма на заполненном торе пересечение R+ ∩ Δ+ может быть сведено к дуге, соединяющей граничные компоненты R+. Тогда, разрезая R+ вдоль Δ+, получим диск в Q+, противоречащий условию i’). 6. Пусть N + - трубчатая окрестность C+ в K+, которая инвариантна относительно I+. Граничные слои N + состоят из дисков d+, d+ и их образов относительно f +. Другое описание W + 1 2 есть следующее. Мы удаляем внутренность N + (т. е. открытую трубчатую окрестность) и вдоль ∂N + ∼= S1 × [0, 1] × {-1, 1} приклеиваем H±+ := S1 × [0, 1] × [-1, 1]. В таком представлении W + ограничение f + на ∂P + ∩ H+ является «тождественным» на S1 × {0}× [-1, 1] → S1 × {1}× [-1, 1]. С другой стороны, ограничение инволюции I+ на ∂N + сопряжено с Id|S1 × τ, где τ - стандартная инволюция отрезка [0, 1]. Поэтому I+ продолжается на H±+ как инволюция J +, которая является «тождественной» из ∂P + ∩ H±+ ∼= S1 × {0}× [-1, 1] в f +(∂P +) ∩ H±+ ∼= S1 × {1}× [-1, 1]. Наконец, J + = f + на ∂P +. Рассмотрим факторпространство W +/f + и естественную проекцию p+ : W + → W +/f +. Из конструкции выше следует, что T + = p+(Δ+ ∩ W +) - двумерный тор. Пусть V + ∼= T + × [-1, 1] - трубчатая окрестность T + в W +/f + и hˆ : W +/f + → W +/f + - диффеоморфизм такой, что hˆ сохраняет p+, hˆ = id вне int V + и hˆ(T +) ∩ T + = ∅. Тогда поднятие h : W + → W + отображения hˆ сохраняет ∂P +, коммутирует с f + и h(Δ+ ∩ W +) ∩ Δ+ = ∅. Чтобы закончить построение примера, рассмотрим новую копию P - заполненного тора P +. Склеим их в силу отображения h◦J +, используя диффеоморфизм W - → W +, где W - - копия W + в P -. Пусть f - : P - → P - - копия f +. Тогда объемлющее многообразие есть M 3 = P - ∪ P + h◦J + и диффеоморфизм f : M 3 → M 3 определяется формулами: f |P + = f + и f |P - = (f -)-1; нетрудно проверить, что такое определение корректно. Построенное отображение f является диффеоморфизмом Морса-Смейла, у которого неустойчивое многообразие седла σ- не пересекается с устойчивым многообразием седла σ+. Репеллер R2 есть аттрактор для f -, т. е. является копией A2 в P -. Заменим P - на f -1(P -), тогда P + и f -1(P -) имеют только общую границу и предположения теоремы 3.5 выполнены. В построенном примере M 3 \ (A2 ∪ R2) не гомеоморфно прямому произведению T2 × R. Действительно, если бы это было произведение, то W + должно было бы быть также произведением, что противоречит лемме 3.7. 3. Квази энергетическая функция. Из результатов раздела 3.4.1 следует, что не любой диффеоморфизм Морса-Смейла обладает энергетической функцией Морса-Ляпунова, в связи с чем естественно дать следующее определение. Определение 3.11. Назовем функцию Морса-Ляпунова ϕ : Mn → R квази-энергетической для диффеоморфизма Морса-Смейла f : Mn → Mn, если она имеет наименьшее возможное число критических точек среди всех функций Морса-Ляпунова для f. В этом разделе мы рассматриваем класс G4 диффеоморфизмов Морса-Смейла f : S3 → S3, чье неблуждающее множество состоит в точности из четырех неподвижных точек: одного источника α, одного седла σ и двух стоков ω1 и ω2. Замыкание каждой компоненты связности (сепаратрисы) одномерного многообразия Wu(σ) \ σ гомеоморфно отрезку, который состоит из этой сепаратрисы и двух точек: σ и некоторого стока (см., например, [26, Proposition 2.3]). Обозначим через ζ1, ζ2 одномерные сепаратрисы, содержащие стоки ω1, ω2, соответственно, в своих замыканиях. Пусть cl(ζi) - замыкание сепаратрисы ζi, i = 1, 2. Тогда cl(ζi) \ ωi является гладким многообразием многообразия S3 (см., например, [26, Theorem 2.1]). Поэтому топологическое вложение cl(ζi) может быть сложным лишь в окрестности стока ωi. Согласно [17], сепаратриса ζi называется ручной (или ручно вложенной), если существует гомеоморфизм ψi : Ws(ωi) → Rn такой, что ψ(ωi) = O, где O - начало координат в Rn и ψi(cl(ζi) \ σ) - луч c началом в точке O. В противном случае ζi называется дикой. Из критерия в [28] следует, что ручность ζi эквивалентна существованию в любой окрестности ωi гладкого 3-шара Bi, содержащего ωi и такого, что ζi ∩ ∂Bi состоит в точности из одной точки. Используя [26, Lemma 4.2], можно уточнить этот критерий следующим образом: сепаратриса ζi является s ручной, если и только если существует 3-шар Bωi такой, что ωi ∈ f (Bωi ) ⊂ int Bωi ⊂ W ζi ∩ ∂Bωi состоит в точности из одной точки. (ωi) и В работе [18] (см. также [26, Proposition 4.3]) было доказано, что для каждого диффеоморфизма f ∈ G4 по крайней мере одна сепаратриса (скажем, ζ1) является ручной. Там же было показано, что топологическая классификация диффеоморфизмов из класса G4 сводится к классификации вложений сепаратрисы ζ2, следовательно, существует бесконечно много диффеоморфизмов в G4, которые не являются топологически сопряженными. Чтобы охарактеризовать тип вложения ζ2, мы введем некоторое специальное разбиение Хегора для S3. Напомним, что трехмерное ориентируемое многообразие называется ручечным телом рода g ) 0, если оно получено из 3-шара отождествлением g пар попарно непересекающихся 2-дисков, принадлежащих его границе, посредством меняющего ориентацию гомеоморфизма. Граница ручечного тела является ориентируемой поверхностью рода g. Пусть P + ⊂ S3 - ручечное тело рода g такое, что P - = S3 \ int P + - ручечное тело (по необходимости того же рода, что и P +). Тогда пара (P +,P -) называется разбиением Хегора рода g сферы S3 с поверхностью Хегора S = ∂P + = ∂P -. Определение 3.12. Разбиение Хегора (P +,P -) сферы S3 назовем f -адаптированным для f ∈ G4, если: 1. cl(Wu(σ)) ⊂ f (P +) ⊂ int P +; 2. Ws(σ) трансверсально пересекает ∂P + и пересечение Ws(σ) ∩ P + состоит из единственного 2-диска. Мы называем f -адаптированное разбиение Хегора S3 = P + ∪ P - минимальным, если оно имеет минимальный род среди всех f -адаптированных разбиений. Для каждого целого числа k ) 0 обозначим через G4,k множество диффеоморфизмов f ∈ G4, для которых минимальное f -адаптированное разбиение Хегора имеет род k. Легко заметить, что для каждого f ∈ G4,0 сепаратриса ζ2 является ручной, и согласно теореме 3.6, f обладает энергетической функцией, тогда как любой диффеоморфизм из класса G4,k , k > 0, не имеет энергетической функции. На рис. 6 изображен фазовый портрет диффеоморфизма из класса G4,1. Основным результатом этой работы является следующая теорема. Теорема 3.7 (см. [5, Теорема 1]). Каждая квази-энергетическая функция диффеоморфизма f ∈ G4,1 имеет в точности шесть критических точек. Доказательство. Построение квази-энергетической функции мы будем проводить аналогично построению энергетической функции, проведенному в разделе 3.3. При этом мы опустим некоторые детали, ссылаясь на соответствующие места конструкции. РИС. 6. Диффеоморфизм из класса G4,1 1. Следуя лемме 3.1, выберем энергетическую функцию ϕp : Up → R в окрестности каждой неподвижной точки p диффеоморфизма f. 2. Из определения класса G4,1 следует, что для каждого f ∈ G4,1 существует заполненный тор P +, принадлежащий разбиению Хегора (P +,P -) сферы S3 и такой, что: 1. cl(Wu(σ)) ⊂ f (P +) ⊂ int P +; 2. Ws(σ) пересекается трансверсально ∂P + и пересечение Ws(σ)∩P + состоит из единственного 2-диска. Поскольку S3 \cl(Ws(σ)) является несвязным объединением Ws(ω1)∪Ws(ω2), то по свойству b), множество P + \ Ws(σ) состоит из двух компонент связности. Кроме того, существует окрестность 1 двумерного диска P + ∩ Ws(σ) такая, что после ее удаления из P + мы получим 3-шар Pω и со следующими свойствами для каждого i = 1, 2: заполненный тор Pω2 s 3. ωi ∈ f (Pωi ) ⊂ int Pωi ⊂ W (ωi); 4. ∂Pωi - поверхность Хегора и ζi ∩ ∂Pωi состоит в точности из одной точки. Не уменьшая общности, мы можем предполагать, что ∂Pωi трансверсальна к регулярной части σ i критического уровня C := ϕ-1(1) функции ϕσ и пересечение C ∩ ∂Pω λ состоит в точности из n одной окружности (в противном случае мы можем, пользуясь -леммой, заменить Pωi на f - (Pωi ) Е Pω σ + Pω ω + для некоторого n > 0). Для ε ∈ (0, 1/2) определим H+ как замыкание множества {x ∈ Uσ | x ∈/ (Pω1 ∪ 2 ), ϕ (x) :( 1+ε} и положим PЕ = 1 ∪P 2 ∪HЕ . Аналогично доказательству теоремы 3.3 возможно выбрать ε > 0 таким образом, что ∂Pωi трансверсально пересекает по одной окружности ε ε каждое множество уровня функции ϕσ со значением, принадлежащим интервалу [1 - ε, 1 + ε]. Выберем сглаживание Q+ заполненного тора P + так, что f (Q+) ⊂ int Q+ и Σ := ∂Q+ является поверхностью Хегора рода 1 (см. рис. 7). Пусть Q- - замыкание множества S3 \ int Q+. Легко проверить, что Q+, как и P +, являются изотопными P + в S3. Поэтому пара (Q+, Q-) является f -адаптированным разбиением Хегора. 3. Для каждого i = 1, 2 обозначим через P˜ωi ручечное тело рода i - 1 такое, что: а) f (Pωi ) ⊂ P˜ωi ⊂ int Pωi ; б) ∂P˜ωi трансверсально пересекает по одной окружности каждое множество уровня функции ϕσ со значением, принадлежащим интервалу [1 - ε, 1+ ε]; в) Pωi \ int P˜ωi диффеоморфно ∂Pωi × [0, 1]. i Определим di как замыкание множества {x ∈ Uσ | x ∈ (Ws(ωi) \ P˜ω ), ϕσ (x) = 1 - ε}. По построению di является диском, граница которого одновременно ограничивает диск Di в ∂P˜ωi . Положим Si = (∂P˜ωi \ int Di) ∪ di и обозначим через P (Si) ручечное тело рода i - 1, ограниченное РИС. 7. Разбиение Хегора (Q+, Q-) Si и содержащее ωi. Как и в теореме 3.3, устанавливается, что ε можно выбрать таким образом, что f (P (Si)) ⊂ int P (Si). Пусть K - область между ∂Q+ и S1 ∪ S2. Обозначим через T + замыкание множества {x ∈ S3 | + x ∈/ (Pω1 ∪ Pω2 ), 1 - ε :( ϕσ (x) :( 1+ ε}. Заметим, что T ⊂ Uσ. Определим функцию ϕK : K → R со значениями 1+ ε на ∂Q+, 1 - ε на S1 ∪ S2, совпадающую с ϕσ на K ∩ T + и без критических точек вне T +. Это последнее условие легко выполнимо, так как рассматриваемая область является тривиальным кобордизмом. Аналогично теореме 3.3 проверяется, что ϕ+ является функцией Морса-Ляпунова. 4. Поскольку P (S1) - 3-шар такой, что ω1 ∈ f (P (S1)) ⊂ int P (S1) ⊂ Ws(ω1), то согласно лемме 3.5 существует энергетическая функция ϕP (S1) : P (S1) → R диффеоморфизма f, которая принимает значение 1 - ε на множестве S1. 5. Поскольку P (S2) - заполненный тор такой, что ω2 ∈ f (P (S2)) ⊂ int P (S2) ⊂ Ws(ω2), то согласно лемме 3.6 существует 3-шар Bω2 такой, что f (P (S2)) ⊂ Bω2 ⊂ int P (S2). Как в преды- 2 дущем пункте, существует энергетическая функция ϕBω : Bω2 → R диффеоморфизма f, которая принимает значение 1 2 на множестве ∂Bω2 . 6. Известно, что заполненный тор может быть получен из 3-шара отождествлением пары непересекающихся 2-дисков на его границе. Поэтому P (S2) получается приклеиванием к границе некоторого 3-шара элементарного кобордизма индекса 1. Так как с точностью до изотопии существует единственный 3-шар во внутренности заполненного тора, то (Wω2 , ∂Bω2 , S2) есть элементарный 2 кобордизм индекса 1, где Wω2 = P (S2)\ int Bω2 . Тогда Wω2 обладает функцией Морса ϕWω 1 только 2 с одной критической точкой индекса 1 и такой, что ϕWω (∂Bω2 ) = 2 , ϕWω2 (S2) = 1 - ε. 7. Определим гладкую функцию ϕ+ : Q+ → R формулой ∈ ⎧ϕ (x),x K; ⎪ K ⎪⎨ϕ ϕ+(x) = P (S1) (x),x ∈ P (S1); ∈ ω2 ϕ (x),x B ; ⎪ Bω2 ⎪⎩ϕ Wω2 (x),x ∈ Wω2 . Тогда ϕ+ - функция Морса-Ляпунова для f |Q+ с одной дополнительной критической точкой. 8. По построению Q- - заполненный тор такой, что α ∈ f -1(Q-) ⊂ int Q- ⊂ Wu(α). Поскольку α - сток для f -1, тогда, как в пункте 4, существуют 3-шар Bα такой, что f -1(Q-) ⊂ Bα ⊂ int Q-, Bα и энергетическая функция ϕ : Bα → R для f -1, которая принимает значение ∂Bα. 1 на множестве 2 9. Подобно пункту 5, ∂Q- получается из ∂Bα перестройкой индекса 1. Поэтому (Wα = Wα α 2 Wα Q- \ int Bα, ∂Q-, ∂Bα) есть элементарный кобордизм индекса 1, где Wα = Q- \ int Bα, ∂Q-. Следовательно, Wα обладает функцией Морса ϕWα только с одной критической точкой индекса 1 и такой, что ϕ (∂B ) = 1 и ϕ (∂Q-) = 2 - ε. 10. Определим гладкую функцию ϕ- : Q- → R формулой - (3 ϕ ϕ-(x) = Bα (x),x ∈ ϕBα ; 3 - ϕWα (x),x ∈ ϕWα . Тогда ϕ- - функция Морса-Ляпунова для f |Q- с одной дополнительной критической точкой. 11. Функция ϕ : S3 → R такая, что ϕ|Q+ = ϕ+ и ϕ|Q- = ϕ- - функция Морса-Ляпунова для диффеоморфизма f в точности с шестью неподвижными точками. 4. ПОСТРОЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ С ХАОТИЧЕСКИМ ПОВЕДЕНИЕМ В этом разделе мы будем рассматривать Ω-устойчивые диффеоморфизмы f с бесконечным цепно рекуррентным множеством на n-многообразии Mn. Цепно рекуррентное множество таких диффеоморфизмов является гиперболическим, и в нем всюду плотны периодические точки. Динамически гиперболичность выражается в том, что любая точка p ∈ Rf обладает неустойчивым и устойчивым многообразием Wu p = {x ∈ M : d(f k (p),fk (x)) → 0 при k → +∞} и Ws p = {x ∈ M : d(f k (p),fk (x)) → 0 при k → -∞}, которые являются образами Rq,q ∈ {0,..., n} и Rn-q при инъективной иммерсии, d - метрика на многообразии. Условие гиперболичности неблуждающего множества и всюду плотности в нем периодических точек приводит к разложению множества Rf в объединение конечного числа так называемых базисных множеств, каждое из которых является замыканием траектории системы (см., например, [16, 38]). Базисное множество называется нетривиальным, если оно не является периодической орбитой (в частности, не является неподвижной точкой). В силу результатов Р. В. Плыкина [13] базисное множество Λ диффеоморфизма f является W x аттрактором (репеллером) тогда и только тогда, когда Λ = J u x∈Λ (Λ = J x∈Λ x Ws). Кроме того, любое базисное множество топологической размерности n или n - 1 является либо аттрактором, либо репеллером. x Аттрактор Λ диффеоморфизма f называется растягивающимся аттрактором, если топологическая размерность dim Λ равна размерности неустойчивого многообразия Wu,x ∈ Λ. Репеллер диффеоморфизма f называется сжимающимся, если он является растягивающимся аттрактором для f -1. Λ Согласно [6] базисное множество Λ A-диффеоморфизма f : M 3 → M 3 называется поверхностным, если оно принадлежит f -инвариантной замкнутой поверхности M 2 (не обязательно связной), топологически вложенной в многообразие M 3 и называемой носителем множества Λ. В следующих разделах 4.1, 4.2, 4.3 мы конструируем энергетические функции для некоторых классов Ω-устойчивых каскадов на 2и 3-многообразиях. Все построения основаны на техническом факте, касающемся сглаживания непрерывной функции, который доказан в последнем разделе 4.4. 1. Ω-устойчивые 2-диффеоморфизмы с нетривиальными базисными множествами размерности один. В настоящем разделе рассматривается множество S(M 2), состоящее из Ωустойчивых 2-диффеоморфизмов f : M 2 → M 2, каждое нетривиальное базисное множество которого является одномерным. Детальную информацию о динамике таких диффеоморфизмов можно найти, например, в статье [1] или в главе 9 книги [26]. Пусть f ∈ S(M 2) и Λ - нетривиальное базисное множество диффеоморфизма f. Для любой точки p ∈ Λ хотя бы одна из компонент связности множества Ws \ p (Wu \ p) имеет непустое пеp p ресечение с Λ. Точка p ∈ Λ называется s-граничной (u-граничной) точкой аттрактора (репеллера) Λ, если одна из компонент связности множества Ws \ p (Wu \ p) не пересекается с Λ, обозначим p p через ζs∅ (ζu∅) такую компоненту. Любой аттрактор (репеллер) Λ имеет конечное множество PΛ p p s-граничных (u-граничных) точек. p Для каждого аттрактора Λ существует захватывающая окрестность UΛ, которая строится следующим образом: для каждой компоненты связности Sb,b ∈ {1,..., mΛ} множества Λ выбирается простая гладкая замкнутая кривая Lb так, что каждая сепаратриса ζs∅, p ∈ PΛ трансверсально пересекает LΛ = mΛ J Lb в точности в одной точке; f (LΛ) ∩ LΛ = ∅ и кривые множеств LΛ и b=1 Λ f (LΛ) являются границами двумерных попарно не пересекающихся колец K1,..., Km mΛ , состоящих из блуждающих точек. Тогда поверхность UΛ = Λ ∪ J n)1 fn(KΛ), где KΛ = J Kb является b=1 захватывающей окрестностью аттрактора Λ (см. pис. 8). РИС. 8. Построение поверхности UΛ Основным результатом настоящего раздела является доказательство следующей теоремы. Теорема 4.1. Для любого диффеоморфизма f ∈ S(M 2) существует энергетическая функция, являющаяся функцией Морса вне нетривиальных базисных множеств. Доказательство. Обозначим через A1,..., AkA (R1,..., RkR ) нетривиальные одномерные ат- A тракторы (репеллеры) диффеоморфизма f. Пусть UA1 ,..., UAk R (UR1 ,..., URk ) - захватываю- A щие окрестности аттракторов (репеллеров), построенные выше с помощью колец KA1 ,..., KAk R (KR1 ,..., KRk ). Положим A = A1 ∪ ··· ∪ AkA , R = R1 ∪ ··· ∪ RkR , UA = UA1 ∪ ··· ∪ UAkA , UR = UR1 ∪ ··· ∪ URkR , KA = KA1 ∪ ··· ∪ KAkA , KR = KR1 ∪ ··· ∪ KRkR и U = UA ∪ UR. Обозначим через D дизъюнктное объединение 2-дисков в числе, равном числу компонент связности множества ∂U. Положим Mˇ = M 2 \ U и N = Mˇ ∪q D, где q : ∂U → ∂D - диффеоморфизм. Обозначим через π : Mˇ ∪ D → N естественную проекцию. По построению N - гладкая поверхность без края, допускающая диффеоморфизм Морса- Смейла fN : N → N, совпадающий с диффеоморфизмом πfπ-1 на множестве π(Mˇ ) и имеющий по одной периодической точке (стоковой или источниковой) на каждой компоненте связности множества π(D), обозначим через P множество этих точек. В силу результатов раздела 3.3 для диффеоморфизма fN существует энергетическая функция Морса ϕN : N → [0, 2] такая, что f ϕ(Ω0 N f ) = 0, ϕ(Ω2 N ) = 2 и π(∂UA), π(∂UR) - множества уровня функции ϕN со значениями 1/2, 3/2 соответственно. По построению диффеоморфизмы f |M 2\(A∪R) и fN |N \P гладко сопряжены посредством диффеоморфизма h : M 2 \ (A ∪ R) → N \ P, совпадающего с π на Mˇ . Тогда ϕ = ϕN h является гладкой функцией на M 2 \ (A ∪ R), которая непрерывно продолжается на A ∪ R так, что ϕ(A) = 0, ϕ(R) = 1. A A A A R R R R По построению функция ϕ : M 2 → [0, 2] является непрерывной функцией Ляпунова для диффеоморфизма f, которая является энергетической функцией Морса для f на M 2 \(A∪R). Положим ϕ = ϕ|U . По построению ϕ (UA) = [0, 1/2] и ϕ-1(0) = A. Из леммы 4.1 следует, что существует функция gA : [0, 1/2] → [0, 1/2] такая, что функция ψA = gA ◦ ϕA является энергетической функцией на UA для f. Положим ϕ = 2 - ϕ|U . По построению ϕ (UR) = [0, 1/2] и ϕ-1(0) = R. Из леммы 4.1 следует, что существует функция gR : [0, 1/2] → [0, 1/2] такая, что функция ψR = gR ◦ϕR A является энергетической функцией на UR для f -1. Так как функции g ственными на отрезке [1/4, 1/2], то функция и gR являются тожде- ⎧ 2 ⎨ ϕ(z), если z ∈ (M \ (UA ∪ UR)); ψ(z) = ψA (z), если z ∈ UA; ⎩ 2 - ψR (z), если z ∈ UR является искомой энергетической функцией на M 2 для диффеоморфизма f. 2. Структурно устойчивые 3-диффеоморфизмы с двумерным растягивающимся аттрактором (сжимающимся репеллером). В настоящей работе рассматривается класс T (M 3) структурно устойчивых диффеоморфизмов на 3-многообразии f : M 3 → M 3, неблуждающее множество которых содержит двумерный растягивающийся аттрактор A (случай растягивающегося репеллера полностью аналогичен). В этом случае (см. Предложение 4.1) многообразие M 3 диффеоморфно трехмерному тору и A - единственное нетривиальное базисное множество диффеоморфизма f. Изложим необходимую для построения энергетической функции информацию о динамике диффеоморфизма f ∈ T (M 3), следуя работе [2]. Заметим, что все результаты работы [2] сформулированы для многообразия размерности n ) 3 и случая, когда A является ориентируемым базисным множеством1. Однако, в работе [9] доказано, что в случае нечетного n базисное множество A является ориентируемым. Поэтому везде ниже, формулируя выжимку результатов работы [2] для случая n = 3, мы не требуем от A дополнительно быть ориентируемым. Пусть f ∈ T (M 3) и A - двумерный растягивающийся аттрактор диффеоморфизма f. Тогда x dim Ws = 1 для любой точки x ∈ A, что позволяет ввести обозначение (z, y)s ([z, y]s) для Ws s открытой (замкнутой) дуги устойчивого многообразия x , ограниченной точками y, z ∈ Wx . x Множество Ws \ x состоит из двух компонент связности. Хотя бы одна из этих компонент имеет непустое пересечение с множеством A. Ws Точка x ∈ A называется s-граничной, если одна из компонент связности множества x \ x не пересекается с A, будем обозначать такую компоненту x через Ws∅. Множество ΓA граничных точек множества A непусто и состоит из конечного числа периодических точек, которые разбиваются на ассоциированные пары (p, q) точек одинакового 1Базисное множество Λ называется ориентируемым, если для любой точки x ∈ Λ и любых фиксированных чисел α> 0, β > 0 индекс пересечения W s (x) ∩ W u(x) во всех точках пересечения один и тот же (+1, либо -1). В противном α β случае базисное множество Λ называется неориентируемым (см., например, [27, с. 622]). периода так, что 2-связка Bpq = Wu ∪ Wu является достижимой изнутри границей1 компоненты p q связности множества M 3 \ A. Для каждой пары (p, q) ассоциированных граничных точек множества A построим так называемую характеристическую сферу. Пусть Bpq - 2-связка аттрактора A, состоящая из двух неустойчивых многообразий Wu и Wu p q ассоциированных граничных точек p и q соответственно, и mpq - период точек p, q. Тогда для любой точки x ∈ Wu \ p существует единственная точка y ∈ (Wu ∩ Ws) такая, что дуга (x, y)s не p пересекается с множеством q x Ω. Определим отображение ξpq : Bpq \ {p, q}→ Bpq \ {p, q}, положив ξpq (x) = y и ξpq (y) = x. Тогда ξpq (Wu \ p) = Wu \ q и ξpq (Wu \ q) = Wu \ p, т. е. отобp q q p ражение ξpq переводит проколотые неустойчивые многообразия 2-связки друг в друга и является pq инволюцией (ξ2 = id). В силу теоремы о непрерывной зависимости инвариантных многообразий на компактных множествах отображение ξpq является гомеоморфизмом. p Ограничение fmpq |W u имеет ровно одну гиперболическую отталкивающую неподвижную точку поэтому существует гладкий замкнутый 2-диск Dp ⊂ Wu такой, что p ∈ Dp ⊂ int(fmpq (Dp)). Тоp, гда множество Cpq = J x∈∂Dp p (x, ξpq (x))s гомеоморфно замкнутому двумерному цилиндру S1 × [0, 1]. q Множество Cpq называют связывающим цилиндром. Окружность ξpq (∂Dp) ограничивает в Wu двумерный 2-диск Dq такой, что q ∈ Dq ⊂ int(fmpq (Dq )). Множество Spq = Dp ∪ Cpq ∪ Dq гомеоморфно двумерной сфере, которую называют характеристической сферой, соответствующей связке Bpq (см. рис. 9). РИС. 9. Характеристическая сфера Положим T (f ) = Rf \ A и основные динамические свойства диффеоморфизма f ∈ T (M 3) сформулируем в виде предложения (см. рис. 10 для лучшего понимания). Предложение 4.1. Пусть f : M 3 → M 3 - диффеоморфизм из класса T (M 3). Тогда имеют место следующие факты: 1. объемлющее многообразие M 3 гомеоморфно трехмерному тору T3 (см. [2, теорема 5.1]); 2. каждая характеристическая сфера Spq ограничивает 3-шар Qpq такой, что (Rf \ A) ⊂ J (p,q)⊂ΓA Qpq (см. [2, теорема 5.1]); 1Пусть G ⊂ M - открытое множество с границей ∂G (∂G = cl(G) \ int(G)). Подмножество δG ⊂ ∂G называется достижимой изнутри границей области G, если для любой точки x ∈ δG найдется открытая дуга, полностью лежащая в G и такая, что x является одной из ее концевых точек. 3. для каждой ассоциированной пары (p, q) граничных точек существует натуральное число kpq такое, что (Rf \ A) ∩ Qpq состоит из kpq периодических источников α1,..., αkpq и kpq - 1 седловых периодических точек σ1,..., σkpq -1, чередующихся на простой дуге lpq = Ws∅ kpq -1 k J s J s s∅ p ∪ i=1 Wσi ∪ i=1 Wαi ∪ Wq (см. [2, следствие 5.2]); σi 4. пересечение Wu ∩ Qpq,i = 1,..., kpq - 1 состоит в точности из одного двумерного диска (см. [2, теорема 4.1]). s 1 s k РИС. 10. Дуга lpq Теорема 4.2. Для любого диффеоморфизма f ∈ T (M 3) существует энергетическая функция, являющаяся функцией Морса вне базисного множества Ω. Доказательство. Доказательство теоремы базируется на предложении 4.1, теореме 3.6 и лемме 4.1. Пусть (p, q) - пара ассоциированных граничных точек периода mpq базисного множества A. Положим A- mpq -1 = J fj ( kpq -1 J Ws ∪ kpq -1 J Ws ). По построению множество A- является репеллером pq j=0 i=1 σi αi pq i=1 диффеоморфизма f. Покажем, что он является тесно вложенным. Для этого достаточно показать, что существует 3-шар P - такой, что f -mpq (P -) ⊂ int P - и пересечение P - ∩ Wu состоит в pq pq pq pq σj точности из одного двумерного диска для каждого седла σj,j ∈ {1,..., kpq - 1}. В силу предложения 4.1, 3-шар Qpq пересекает двумерное неустойчивое многообразие седла pq σj,j ∈ {1,..., kpq - 1} в точности по одному двумерному диску. Искомый 3-шар P - получатся из Qpq вдавливанием внутрь дисков Dp, Dq и сглаживанием углов (см. рис. 11). Обозначим через D дизъюнктное объединение 3-шаров в числе, равном числу пар ассоциированных точек аттрактора Ω. Положим Mˇ P = J - pq (p,q)⊂ΓA и N = Mˇ ∪q D, где q : ∂Mˇ → ∂D - диффеоморфизм. Обозначим через π : Mˇ ∪ D → N естественную проекцию. По построению N - гладкое 3-многообразие, каждая компонента связности которого диффеоморфна S3, допускающее диффеоморфизм Морса-Смейла fN : N → N, совпадающий с диффеоморфизмом πfπ-1 на множестве π(Mˇ ) и имеющий по одной стоковой точке на каждой компоненте связности множества π(D), обозначим через P множество этих точек. Кроме того, все одномерные репеллеры диффеоморфизма f тесно вложены. В силу теоремы 3.6 для диффеоморфизма fN fN существует энергетическая функция Морса ϕN : N → [0, 3] такая, что ϕ(Ω0 f ) = 0, ϕ(Ω3 N ) = 3 и π(∂Mˇ ) - множество уровня функции ϕN со значением 1. По построению диффеоморфизмы f |M 3\A 3 и fN |N \P гладко сопряжены посредством диффеоморфизма h : M \ A → N \ P, совпадающего с π на Mˇ . Тогда ϕ = ϕN h является гладкой функцией на M 3 \ A, которая непрерывно продолжается на A так, что ϕ(A) = 0. По построению функция ϕ : M 3 → [0, 3] является непрерывной функцией Ляпунова для диффеоморфизма f, которая является энергетической функцией Морса для f на M 3 \ A. Положим s 1 s k pq РИС. 11. Окрестность P - UA = M 3 \ Mˇ и ϕA = ϕ|UA . По построению ϕA A (UA) = [0, 1] и ϕ-1(0) = A. Из леммы 4.1 следует, что существует функция gA : [0, 1] → [0, 1], такая что функция ψA = gA ◦ ϕA является энергетической функцией на UA для f. Тогда функция ( ϕ(z), если z ∈ (M 3 \ UA); ψ(z) = ψA (z), если z ∈ UA является искомой энергетической функцией на M 3 для диффеоморфизма f. 3. Ω-устойчивые 3-диффеоморфизмы с двумерным неблуждающим множеством. В этом разделе рассматривается множество Q(M 3), состоящее из Ω-устойчивых диффеоморфизмов на замкнутом ориентируемом 3-многообразии, все базисные множества которых имеют топологическую размерность два. Опишем динамику таких диффеоморфизмов, следуя работам [4, 6, 25]. В силу [6], каждая компонента связности каждого базисного множества диффеоморфизма f ∈ Q(M 3) является двумерным тором, ручно вложенным1 в M 3, и все компоненты связности имеют один и тот же период kf ) 1, а отображение fkf |B топологически сопряжено с гиперболическим автоморфизмом тора. Напомним, что алгебраическим автоморфизмом тора T2 = R2/Z2 называется диффеоморфизм C�, задаваемый матрицей C = ( a b c d \ из множества GL(2, Z) целочисленных матриц с определителем ±1, то есть C�(x, y) = (ax + by, cx + dy) (mod 1). Алгебраический автоморфизм C� называется гиперболическим, если собственные значения λ1, λ2 матрицы C удовлетворяют условиям |λ1| < 1 < |λ2|. При этом матрица C также называется гиперболической. Обозначим через A (R) объединение всех гиперболических аттракторов (репеллеров) диффеоморфизма f. Множества A, R непусты, и граница каждой компоненты связности V множества M 3 \(A∪R) состоит в точности из одной периодической компоненты A ⊂A и одной периодической компоненты R ⊂ R. При этом замыкание cl V гомеоморфно многообразию T2 × [0, 1]. Таким образом, объемлющее многообразие M 3, допускающее диффеоморфизмы рассматриваемого класса, является объединением конечного числа копий T2 × [0, 1] таким, что каждое базисное множество является тором, по которому пересекаются в точности две копии. Однако, базисное множество диффеоморфизма f, будучи ручным тором, тем не менее может не быть гладким ни в одной точке (см., например, [29]). Однако, в следующей теореме утверждается факт существования энергетической функции у любого такого диффеоморфизма. 1Двумерный тор B называется ручно вложенным в многообразие M, если существует гомеоморфизм на образ g : T2 × [-1, 1] → M 3 такой, что g(T2 × {0})= B. Теорема 4.3. Любой диффеоморфизм f ∈ Q(M 3) обладает энергетической функцией. Доказательство. Пусть V - компонента связности множества M 3 \(A∪R) такая, что ∂V = A∪R, где A ∈ A, R ∈ R. Для доказательства теоремы достаточно построить энергетическую функцию ϕ : cl V → [0, 1] для fkf . ⎧ Согласно работе [25] существует диффеоморфизм χ : T2 × (0, 2) → V такой, что расслоение на двумерные торы {Tt = χ(T2 × {t}),t ∈ (0, 2)} является fkf -инвариантным. Определим функцию ϕ : cl V → [0, 2] следующим образом: ⎨ t, если z ∈ Tt; ϕ(z) = 0, если z ∈ A; ⎩ 2, если z ∈ R. По построению функция ϕ является гладкой на V, непрерывной на cl V, убывающей вдоль траекторий системы, а также не имеет критических точек на множестве M. Положим UA = A χ(T2 × (0, 1]) ∪ A и ϕA = ϕ|U . Из леммы 4.1 следует, что существует функция gA : [0, 1] → [0, 1] kf такая, что функция ψA = gA ◦ ϕA является энергетической функцией на UA для f . Положим R UR = χ(T2 × (1, 2]) ∪ R и ϕR = 2 - ϕ|U . Из леммы 4.1 следует, что существует функция gR : [0, 1] → [0, 1] такая, что функция ψR = gR ◦ ϕR является энергетической функцией на UA для f - kf . Так как функции gA и gR являются тождественными на отрезке [1/2, 1], то функция ( ϕ ψ(z) = A (z), если z ∈ UA; 2 - ϕR (z), если z ∈ UR; является искомой энергетической функцией на cl V для диффеоморфизма fkf . 4. Процедура сглаживания непрерывной функции. Докажем основной технический момент построения энергетических функций для диффеоморфизмов с хаотическим поведением. Лемма 4.1 (см. [7, Лемма 2.1]). Пусть M - гладкое компактное n-многообразие, K ⊂ M - замкнутое подмножество M и U - некоторая замкнутая окрестность множества K такая, что K ⊂ int U. Пусть задана непрерывная функция ϕ : U → [0; 1], гладкая на U \ K и ϕ-1(0) = K. Тогда существует C2-гладкая функция g : [0; 1] → [0; 1] такая, что суперпозиция ψ = g ◦ ϕ гладкая на всем множестве U, причем функция g удовлетворяет следующим свойствам: § g - монотонно возрастающая на [0; 1]; • g±(0) = 0 и g±(c) /= 0 ∀c ∈ (0; 1]; • g(c) = c, ∀c ∈ [1/2; 1]. Доказательство. Пусть d - метрика на многообразии M. Для любого компактного подмножества C ⊂ (U \ K) под максимумом модуля градиента функции ϕ в точке x ∈ C будем понимать наибольший из модулей градиентов этой функции, посчитанных в картах конечного покрытия множества C. Для c ∈ (0, 1] положим α(c) = min{1, d2(ϕ-1(c), K)} и β(c) = max{1, max x∈ϕ-1([c,1]) | grad ϕ(x)|}. По построению функции α(c) и β(c) являются непрерывными, причем α(c) - неубывающая на (0; 1] и существует значение c∗ ∈ (0; 1] такое, что α(c) - монотонно возрастает на (0; c∗], а β(c) - невозрастающая. Тогда функция γ(c) = α(c) β(c) является непрерывной неубывающей на полуинтервале (0; 1] функцией и lim α(c) = 0. c→0 β(c) Построим C2-гладкую функцию g : [0; 1] → [0; 1] такую, что 1. g±(c) > 0 для любого c ∈ (0; 1); 2. g(c) :( γ(c) для любого c ∈ (0; 1/8); 3. g±(c) :( γ(c) для любого c ∈ (0; 1/8); 4. g(c) = c для любого c ∈ [1/2; 1]. Для построения такой функции будем использовать разбиение единицы. Напомним, что для данного открытого покрытия топологического пространства M открытыми множествами Uα с индексами α из множества A разбиением единицы, подчиненным покрытию {Uα,α ∈ A}, называется набор гладких функций σj : M → R, где j принадлежит некоторому множеству индексов J, обладающих следующими свойствами: § для каждого j ∈ J существует α ∈ A такое, что Supp(σj ) ⊂ Uα, где Supp(σj ) - замыкание множества, на котором функция σj отлична от нуля; § 0 :( σj (x) :( 1 для любого x ∈ M, j ∈ J ; § σj (x) = 1 для любого x ∈ M. j∈J Если для любой точки x ∈ M существует окрестность Wx такая, что пересечение Wx ∩Supp(σj ) непусто не более чем для конечного числа индексов j, то такое разбиение единицы называется локально конечным. Возьмем открытое покрытие полуинтервала (0; 1] множествами 1 } U1 = {x ∈ R : U2 = {x ∈ R : < x :( 1 , 2 1 } < x :( 1 , 4 1 1 Ui = {x ∈ R : 2i < x < 2i-2 }, i = 3, 4,..., и следующее локально конечное разбиение единицы, подчиненное этому покрытию: 1 ⎧ ( \4 x- ⎪ 2i-1 ( ⎪ x 1 \( 1 \ ( 1 1 \ ∀i = 2, 4,..., σi(x) = ⎪⎨ e - 2i x- 2i-2 , если x ∈ 2i , 2i-2 ; ⎪ ( 1 1 \ ⎪ ⎪⎩ 0, если x ∈/ ⎧ 2i , 2i-2 ; 1 ⎪⎨ 1 - σ2(x), если x ∈ ( ;1 ; σ1(x) = ( 1 2 ⎪⎩ 0, если x ∈/ ⎧ ;1 ; 2 г 1 1 \ ⎪ 1 - σ ⎪ ⎪ i-1 (x), если x ∈ 2i-1 , 2i-2 ; ⎪⎨ ∀i = 3, 5,..., σi(x) = ⎪ 1 - σi+1(x), если x ∈ ( 1 2i , 1 \ 2i-1 ; ⎪ ( 1 1 \ ⎪ ( 1 \ ⎪⎩ 0, если x ∈/ 2i , 2i-2 . Положим εi = γ 2i для всех i = 4, 5,.... Поскольку каждая точка x ∈ (0, 1] принадлежит носителям не более чем трех отображений из построенного выше разбиения единицы, то сумма ∞ σ0(x) = i=4 εiσi(x) является гладкой на интервале (0, 1/2] функцией, которая по непрерывности доопределяется в нуле нулем, как и все функции σi,i ∈ N. Также по непрерывности доопределяется ∞ в нуле нулем гладкая функция S(x) = i=1 εiσi(x). Положим ε1 = ε2 = 1 и ε3 = 1 1 2 2 2 1 - г σ0(x)dx - г 0 0 1 2 σ2(x)dx . г σ3(x)dx 0 Определим функцию g формулой ⎧ c ⎨ г S(x)dx, если c ∈ (0; 1]; g(c) = 0 ⎩ 0, если c = 0. Заметим, что она является C2-гладкой, так как ее производная - сумма гладких функций. Покажем, что она является искомой, проверив условия a)-d). ∞ 1. Поскольку g±(c) = S(c) = i=1 εiσi(c), то g±(c) > 0 для любого c ∈ (0; 1). 2. Для i = 4, 5,... последовательность {εi} - убывающая. Заметим, что для любого c ∈ (0; 1] существует единственный номер i∗ такой, что c ∈ ( 1 1 2i∗ ; 2 l . Тогда σi∗ (c) /= 0 и σi(c) = 0 для -1 i∗-2 всех i ∈/ {i∗, i∗ + 1}. Из выбора параметров εi для c ∈ (0, 1/8) получаем цепочку неравенств g(c) = S(c) = г ∞ c ( ∞ \ εiσi(x) dx = г c ( ∞ \ εiσi(x) dx < г c ( ∞ \ εi∗ σi(x) c ( dx = εi∗ г \ σi(x) dx < 0 c ( ∞ i=1 \ 0 i=i∗ c 0 ( 1 \ i=i∗ 0 i=i∗ εi∗ г 0 i=1 σi(x) dx = εi∗ г 1dx = εi∗ c < εi∗ = γ 0 2i∗ < γ(c). ∞ ∞ 3. Для g±(c), c ∈ (0, 1/4) справедлива следующая оценка: g±(c) = i=i∗ εiσi(c) < εi∗ i=i∗ σi(c) = εi∗ < γ(c). 4. При c ∈ [1/2; 1] верна цепочка равенств g(c) = г c ( ∞ \ εiσi(x) dx = 1 г 2 ( ∞ \ εiσi(x) dx + 1 1 1 0 i=1 0 i=4 1 1 2 2 c 2 ( ∞ \ 2 2 г ε3σ3(x)dx+г ε2σ2(x)dx+г (ε1σ1(x)+ε2σ2(x))dx = г εiσi(x) dx+ε3 г σ3(x)dx+ε2 г σ2(x)dx+ 0 0 1 2 0 i=4 0 0 1 1 1 1 2( ∞ \ 2 1 1 c ε2 г (σ1(x) + σ2(x))dx = г 2 ( ∞ \ εiσi(x) Г 2 - dx + 0 ), εiσi(x) i=4 2 1 dx-Г σ2(x)dx 0 2 г σ3(x)dx + 2 г σ2(x)dx + 1 0 i=4 2 Г σ3dx 0 0 0 2 (c - 1 \ = c. Таким образом, g(c) = c для c ∈ [1/2; 1]. Покажем, что суперпозиция ψ = g ◦ ϕ является гладкой функцией на U. Для начала заметим, что grad ψ = g± · grad ϕ, это нам пригодится для дальнейших рассуждений. Так как на множестве U \ K функция ψ является гладкой как суперпозиция гладких функций, то нам осталось показать, что функция ψ - гладкая на множестве K. a Рассмотрим любую точку a ∈ K и локальную карту (Ua, ha), где окрестность выбрана таким образом, что ϕ(w) < 1/8 для всех w ∈ Ua и ha : Ua → Rn - диффеоморфизм, отображающий некоторую окрестность Ua ∈ U точки a в Rn, причем точка a переходит в начало координат O. Сначала покажем дифференцируемость. Если функция ψa = ψ(h-1(x)) дифференцируема в точке O, то функция ψ дифференцируема в точке a. При этом функция ψa дифференцируема в точке O и имеет частные производные, равные нулю в этой точке, тогда и только тогда, когда lim ψa(s) 1 n = 0, где s(x ,...,x ) ∈ Rn и ρ - евклидова метрика в Rn, определенная s→O ρ(s, O) n формулой ρ(s1, s2) = (x1 - x2)2 для s1(x1,..., x1 ), s2(x2,..., x2 ) ∈ Rn. Проверка равенства ψa(s) i i i=1 1 n 1 n lim s→O ρ(s, O) = 0 и завершит доказательство дифференцируемости. Введем на Rn метрику da формулой da(s1, s2) = d(h-1(s1), h-1(s2)) для s1, s2 ∈ Rn. В силу [15, a a лекция 15] метрики ρ и da эквивалентны в некоторой компактной окрестности U (O) точки O, т. е. существуют константы 0 < c1 :( c2 такие, что ∀s1, s2 ∈ U (O) c1da(s1s2) :( ρ(s1, s2) :( c2da(s1, s2). Для s ∈ U (O) положим w = h-1(s) и c = ϕ(h-1(s)) = ϕ(w). Тогда lim ψa(s) = lim a a ψ(h-1(s)) a = lim ψ(w) = lim g(ϕ(w)) = lim g(c) < s→O ρ(s, O) s→O c1d(h-a 1(s), a) α(c) < lim w→a c1d(w, a) d2(w, a) :( lim w→a c1d(w, a) d(w, a) = lim w→a c1d(w, a) = 0. w→a β(c)c1d(w, a) w→a c1d(w, a) w→a c1 xi Теперь покажем, что частные производные (ψa)± ,i ∈ {1,..., n} непрерывны в точке O, т. е. xi lim (ψa)± s→O (s) = 0, что эквивалентно lim | grad ψa(s)| = 0. Обозначим через Jh-1 s→O a якобиан отображения h-1, через ||Jh-1 || - его норму, подчиненную евклидовой норме вектора в Rn, и через a a a B константу такую, что ||Jh-1 (s)|| :( B для всех точек s в некоторой окрестности точки O. Тогда lim | grad ψa(s)| = lim |Jh-1 (s) · g±(c) · grad ϕ(w)| :( lim ||Jh-1 (s)||· |g±(c)|· | grad ϕ(w)| :( s→O α(c) s→O a d2(w, a) s→O a lim B · s→O β(c) w a ·| grad ϕ(w)| :( lim B · → | grad ϕ(w)| w a ·| grad ϕ(w)| :( lim B · d2(w, a) = 0. → Таким образом, функция ψ - гладкая на U.