Связь между односторонними шаровыми потенциалами

Аннотация

В работе устанавливается связь между односторонними шаровыми потенциалами с помощью радиально-сингулярных операторов в шаровом слое. Кроме того, построены новые односторонние шаровые потенциалы типа Чженя.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ В работах [6, 7, 13, 16, 17] были рассмотрены односторонние шаровые потенциалы (о.ш.п.) Bα и b- - многомерные аналоги операторов дробного интегрирования Римана-Лиувилля. Ряд свойств односторонних шаровых потенциалов можно найти в работах [6, 7] (см. также [12, § 29]). Хорошо известна связь между левосторонними и правосторонними дробными интегралами Римана-Лиувилля: интегралы первого типа выражаются через интегралы второго типа и наоборот с помощью сингулярных интегралов. Такие связи (в случае оси, полуоси и отрезка) рассматривались Л. фон Вольфередорфром [18], С. Г. Самко [9, 10], Х. Кобером [15], А. А. Килбасом [2], Б. Рубином [5] (см. также [12, § 11]). Эти связи применяются при решении обобщенных интегральных уравнений Абеля [9, 10, 18]. Кроме того, в теории вырождающихся дифференциальных уравнений смешанного и параболического типов уравнений в частных производных знаковую роль играют и законы композиции операторов дробного интегрирования и дифференцирования с различными началами [3]. В работе [13] устанавливается связь односторонних шаровых потенциалов с помощью радиально-сингулярного оператора в Lp (Rn) . Мы увидим, что она содержит радиальный сингулярный оператор, ядро которого является однородным степени -n и инвариантным относительно вращений. Показывается, что символ получаемого сингулярного оператора удовлетворяет условиям соответствующей теоремы о Фурье-мультипликаторах, откуда следует ограниченность этого оператора в Lp(Rn), 1 < p < ∞ (см. [13]). В этой работе показано распространение подобных связей в шаровой слой, т. е. устанавливается связь между односторонними шаровыми потенциалами разных типов. Вопрос заключается в следующем: к какому результату приводят композиции (Bα )-1Bα и (Bα )-1Bα ? Естественно a+ b- b- a+ ожидать, что операторы (Bα )-1 · Bα , (Bα )-1 · Bα в каком-то смысле уничтожают действие друг a+ b- b- a+ друга и их композиция является оператором, ограниченным в пространстве Lp (U (a, b)) . Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2018 736 Эта статья структурирована следующим образом. В пункте 2.1 приводятся предварительные сведения о преобразовании Меллина коэффициентов Фурье-Лапласа. Теорема о радиальносферическом мультипликаторе Фурье изучается в пункте 2.2. В пункте 2.3 рассматривается разложение односторонних шаровых потенциалов в ряды Фурье-Лапласа. Связи односторонних шаровых потенциалов друг с другом с помощью радиально-сингулярного оператора приведены в пункте 2.4. В пункте 2.5 показывается ограниченность радиально-сингулярного оператора в LP (Rn). Основные утверждения приведены в пунктах 3.1 и 3.2. Основные обозначения. § Rn - n-мерное евклидово пространство точек x = (x1,..., xn); • (x · y)= x1y1 + ... + xnyn; 1 x • r = |x| = (x, x) 2 ; • x× = ; |x| • f (x)= f (r, x×); § U (a, b)= {x ∈ Rn :0 � a < |x| < b � ∞} - шаровой слой в Rn; § Sn-1 - единичная сфера в Rn; n 1 n § ωn-1 = 2π 2 Γ- ( 2 ) - площадь ее поверхности; § Yk,v (x×)(k = 0, 1, 2,... ; v = 1, 2,..., dn(k)) - полная ортонормированная система сферических гармоник; § dn(k) - размерность подпространства сферических гармоник порядка k; ),∞ dn(k) § всюду ниже ), = k,v ), ; k=0 v=1 0,0 § C∞ (Rn) - класс бесконечно-дифференцируемых финитных функций с носителем вне начала координат. 2. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ 1. Предварительные сведения о преобразовании Меллина коэффициентов Фурье- Лапласа. Пусть r ϕ (x) ≈ )"' ϕk,v (r) Yk,v (x×) , ϕk,v (r)= ϕ (r, σ) Yk,ν (σ) dσ, r = |x| k,v Sn-1 есть разложение функции в ряд Фурье-Лапласа по сферическим гармоникам. Пусть x = (r, x×), r = |x| . Заменим в соответствии функцию ϕ (x) = ϕ (r, x×) последовательноk,v стью /ϕ∗ (z)\ в преобразовании Меллина коэффициентов Фурье-Лапласа: r∞ где ∗ ϕk,v (z)= m {ϕk,v (r); z� = 0 r rz-1 ϕk,v (r)dr, ϕk,v (r)= Sn-1 ϕ(r, σ)Yk,v (σ)dσ. k,v Следуя [8], отображение ϕ(x) → /ϕ∗ (z)\ назовем радиально-сферическим преобразованием Фурье (Р.С.Ф.-преобразованием) функции ϕ(x), а ряд 1 2πi )"' Y k,v k,v r (x×) Re z=ϑ r ϕ -z ∗ k,v (z)dz, (2.1) где ϑ выбирается подходящим образом, радиально-сферическим разложением Фурье (Р.С.Ф.разложением) этой функции. Справедлива следующая лемма (см. [8]). 0,0 Лемма 2.1. Если ϕ(x) ∈ C∞ (Rn), то при любом ϑ ∈ R1 ряд (2.1) сходится к ϕ(x) абсолютно и равномерно в произвольном слое 0 < α � |x| � β < ∞. 2. Теорема о радиально-сферическом мультипликаторе Фурье. Рассмотрим оператор 1 )"' r z ∗ Aϑϕ = 2πi k,v Yk,v (x×) Re z=ϑ r- ak (z)ϕk,v (z)dz, (2.2) 0,0 порожденный последовательностью измеримых функций ak (z) заданных на прямой Re z = ϑ. Можно показать, что для ϕ ∈ C∞ (Rn) ряд в правой части (2.2) сходится, если + где Z0 = {0, 1,.. .} . + sup {|ak (z)| : k ∈ Z0 , Re z = ϑ� < ∞, (2.3) Определение 2.1. Последовательность измеримых функций, заданных на прямой n Re z = ϑ = λ + p 0,0 и удовлетворяющих условию (2.3), называется радиально-сферическим мультипликатором Фурье в Lp(Rn), если для любой функции ϕ ∈ C∞ (Rn) выполняется оценка ||Aϑϕ||Lp(Rn) � C ||ϕ||Lp(Rn) , где C не зависит от ϕ. Совокупность всех мультипликаторов обозначим через m(Lp(Rn)). 0 Следующая теорема (см. [8, с. 13-14]) содержит достаточное условие принадлежности последовательности {ak (z)} , k ∈ Z+ классу m(Lp(Rn)). p Теорема 2.1. Пусть w ∈ aλ, λ ∈ R1, 1 < p < ∞. Предположим, что для заданной после- 0 довательности {ak (z)} , k ∈ Z+ + найдутся числа N0 ∈ Z0 , c1 > 0, c2 > 0, удовлетворяющие следующим условиям: j 1. ξj ∂ a n (λ + + iξ) < c для всех ξ ∈ R1\ {0} ,k = 0, 1,...,N и j = 0, 1; ∂ξj k p 1 0 2. существует функция m(ξ, r): R1 × [N0, ∞) → C такая, что n m(ξ, k)= ak (λ + p + iξ) для всех k ;;; ϑ, ξjηl ∂ ∂ j l m(ξ, η) � c для всех ξ ∈ R1\ {0} ,η ;;; N , l = 0, 1,..., n + 1 , j = 0, 1. ∂ξj ∂ηl 2 0 2 Тогда {ak (z)}∈ m(Lp(Rn), w). 3. Разложение односторонних шаровых потенциалов в ряды Фурье-Лапласа. Односторонние шаровые потенциалы (шаровые дробные интегралы, ball fractional integrals) порядка α (α > 0) в шаровом слое U (a, b) , 0 � a � b � ∞, определим равенством α (Bα a+ϕ) r (x)= γn,α |x|2 - |y|2 |x - y|n ϕ (y) dy, |x| > a, где b ϕ (Bα ) - a�|y|<|x| r (x)= γn,α |x|<|y|<b α |y|2 - |x|2 |x - y|n ϕ (y) dy, |x| < b, Γ 2 ( n ) 2 √ γn,α = ω n-1 = . Γ (α) πn Γ(α) a+ Потенциалы Bα b- ϕ назовем левосторонними, а Bα ϕ правосторонними. При a = 0, b = ∞ будем писать соответственно Bαϕ, Bαϕ. + - Обратные односторонние шаровые потенциалы порядка α (0 < α < 1) и шаровой слой U (a, b) , 0 � a < b � ∞, определим равенством (Bα α )-1f = f (x) + 2α r y - |x| n-2 f (x) α | | f (y) dy, a+ Γ (1 - α) |x|2 - a2 Γ (1 - α) ωn-1 a<|y|<|x| |x|2 - |y|2 |x - y|n (Bα )-1 f = f (x) + 2α r f (x) - f (y) dy . b- Γ (1 - α) |b|2 x 2 α -| | Γ (1 - α) ωn-1 |x|<|y|<b |y|2 - |x|2 α |x - y|n a+ Известно, что действие операторов Bα b ϕ и Bα ϕ сводится к дробному интегрированию (типа - Эрдейи-Кобера) по радиальной переменной. А именно, r (B a+ α ϕ)k,v (r)= 2r2-n-k r Γ(α) a ρn+k-1ϕk,v (ρ) (r2 - ρ2)1-α dρ, (2.4) b- (Bα ϕ)k,v (r)= b 2rk r Γ(α) r ρ1-kϕk,v (ρ) (ρ2 - r2)1-α dρ. a+ Для обратных односторонних шаровых потенциалов порядка α (0 < α < 1) (Bα b )-1 , (Bα )-1 име- - ем: B ( α a+ )-1 f r r 1-n-k d r (r)= k,ν Γ(1 - α) dr a ρn+k-1fk,ν (ρ) (r2 - ρ2)α dρ, (2.5) b (Bα )-1 f - b r k-1 d r (r)= - k,ν Γ(1 - α) dr r ρ1-kfk,ν (ρ) (ρ2 - r2)α dρ. (2.6) Будем предполагать, что функция fk,ν (r) достаточно «хорошая», тогда (2.5), (2.6) можно привести к другому виду: (Bα )-1 f fk,ν (r) r (r)= + 2α r fk,ν (r) - ( ρ )n+k-2 r fk,ν (ρ) (2.7) a+ k,ν Γ(1 - α)(r2 - a2)α Γ(1 - α) a (r2 2 α+1 ρdρ, § ρ ) k b fk,ν (r) - r fk,ν (ρ) (Bα )-1 f fk,ν (r) 2α r ρ (2.8) (r)= + b 2 2 α - k,ν Γ(1 - α)(b - r ) Γ(1 - α) r (ρ2 - r 2)α+1 ρdρ. Конструкции (2.7), (2.8) будем называть дробными производными типа Маршо. Справедлива следующая лемма (см. [7, 8]). + Лемма 2.2. Пусть 1 < p < ∞, r = |x| . Операторы Bα и Bα - ограничены в следующих пространствах: ± n p 2. Bα : Lp Rn; rλ± → Lq (Rn; rβ ) , где α - < λ+ < +a+ n p , 2α - -b- n < λ- < p n × p + α, β � λ± - α, 1 = 1 + λ± - 2α - β q p n , p � q < ∞; n + p× 3. Bα : Lp (Rn; rλ) → Lp (Rn; rλ-2α) , где λ < ; n a+ - 4. Bα +b- : Lp (U (a, b); ωλ) → Lp (U (a, b); ωλ-α) , где 0 < a < b < ∞, λ < , ω = r2 a2 для p× a+ оператора Bα b- ϕ, ω = b2 - r2 для оператора Bα ϕ. 1. Связь односторонних шаровых потенциалов друг с другом с помощью радиальносингулярного оператора. n ∈ p Теорема 2.2 (см. [13]). Пусть ϕ L (Rn), 1 < p < 2α , 0 < α < 1. Тогда односторонние шаровые потенциалы Bα, Bα и сингулярные операторы S, S˜, связаны между собой соотно- + - шениями Bαϕ = cos απ Bαϕ + sin απ Bα |x|-2α S |y|2α ϕ, - + + +ϕ = cos απ B-ϕ - sin απ B-S˜ϕ, (2.9) Bα α + Bαϕ = cos απ Bα - α + ϕ + sin απ SBαϕ, Bα α 2α ˜ -2α α где +ϕ = cos απ B-ϕ - sin απ |x| S |y| B ϕ, - 2 r (Sϕ) (x)= π Rn |y| G |x| , x× · y× |y|2 - |x|2 ϕ (y) |y|n-2 dy, (2.10) G |x| , x×y× S˜ϕ 2 (x)= π | 1 r x n-2 | Rn |y| |y| 2 - |x|2 ϕ (y) dy, + S - оператор (2.10) с «характеристикой» G(t, w) (t ∈ R1 ,w ∈ [-1, 1]), вычисляемой по формуле 2 ∞ n 1 G(t, w)= k k )"'( n + k - 1)C 2 - (w)Λ (t), где (n - 2)ωn-1 k=0 2 ( Ak (t) при 0 < t < 1, Λk (t)= Bk (t) при t > 1, n n+k-2 n n 2 Ak (t)= αB(α, 2 + k)t n 2F 1(α, 2 + k - 1; 2 + k + α; t ), n Bk (t)=( 2 Cλ n + k - α)B(1 - α, 2 2 + k)t-k 2F 1(-α, n + k - 1; 2 + k - α; t-2), k (w) - многочлены Генебауэра, или ультрасферические многочлены, 2F1(a, b; c; z) - гипергеометрическая функция Гаусса [1, 11]. Возникающий сингулярный оператор (Sϕ) (x) можем интерпретировать в смысле главного значения по радиальной переменной 2 (Sϕ) (x)= r lim |y| G |x| , x× · y× ϕ (y) dy. π ε→0 |y| |y|2 - |x|2 |y|n-2 |x| -1 >ε 2. Об ограниченности в Lp(Rn) радиально-сингулярного оператора. Лемма 2.3 (см. [13]). Справедливо равенство m {r2α((Bα )-1Bαϕ)k,v (r); z� = ak (z) · ϕ∗ (z + 2α) + - k,v 0,0 для всех n + k - Re z > 0, k + Re z > 0 и ϕ ∈ C∞ (Rn), где Γ ( z+k ) Γ ( n+k-z ) n ak (z)= Γ ( z+k 2 2 ) ( n+k-z ) , z = + iξ. (2.11) p 2 + α Γ 2 - α Лемма 2.4 (см. [13]). Справедливо равенство m {r2α((Bα )-1Bαϕ)k,v (r); z} = bk (z)ϕ∗ (z + 2α) - + k,v для всех n + k 2 - α - 1 Re z > 0, 2 k + α + 2 1 0,0 ∈ Re z > 0 и ϕ C∞ (Rn), где 2 Γ ( n+k-z α) Γ ( z+k + α) 1 n bk (z)= - 2 2 - Γ ( n+k-z ) 2 Γ ( z+k ) = 2 ak (z) , z = + iξ. (2.12) p Теорема 2.3 (см. [13]). Пусть ϕ ∈ Lp(Rn), 1 < p < ∞. Тогда последовательности (2.11) и (2.12) удовлетворяют условиям теоремы 2.1 при w = 1, так что для операторов S, S˜ справедливы оценки ||Sϕ||Lp(Rn) � c ||ϕ||Lp(Rn) , ˜ Sϕ L (Rn) � c ||ϕ||Lp(Rn) p 0,0 для любой функции ϕ ∈ C∞ (Rn). 3. ОСНОВНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Связь между односторонними шаровыми потенциалами через радиально-сингулярные операторы в шаровом слое. 0,0 Лемма 3.1. Пусть 0 < α < 1 и ϕ (x) ∈ C∞ (U (a, b)) . Справедливы равенства ((Bα )-1Bα ϕ)(x)= cos απ ϕ(x)+ sin απ(Naϕ)(x), (3.1) a+ b- α ((Bα )-1Bα ϕ)(x)= cos απϕ (x) - sin απ(Nb ϕ)(x), (3.2) где b- a+ n-2 α ( 2 2 \α P (x×, a2 y×) (Nαϕ)(x) := 2 ( a r |y| - a |x||y| ϕ(y) dy + a π |x| a<|y|<b |x|2 - a2 |y|2 - |x|2 |y|n-2 (3.3) Здесь 2 r + π a<|y|<b F (|y| , |x| , x×y×) |y|2 - |x|2 ϕ(y)dy. 1 P (x×,ξ y×)= 1 - ξ2 n , 0 < ξ < 1, (3.4) ωn-1 |x× - ξ y×| есть ядро Пуассона для единичного шара, 2 ∞ )"' n 2 n -1 F1(ρ, r, w)= ω n-1 (n - 2) k=0 2 ( + k - 1)Ck (w)Rk (ρ, r), ( Qk (ρ, r) при ρ < r, Rk (ρ, r)= Pk (ρ, r) при ρ > r, (3.5) ρ2-a2 n r ( t α n - Qk (ρ, r)=( 2 + k 1)(ρ r)2-k-n r2 - ρ2 + t 0 r2-a2 (ρ2 - t) 2 +k-2dt, (3.6) n Pk (ρ, r)=( 2 r + k - 1)(ρ r)2-k-n 0 ( ρ2 - r2 + t α t n (r2 - t) 2 +k-2dt. (3.7) (Nαϕ) (x)= 2 r ( b2 - |y|2 \ b2 y× α P x×, |x||y| ϕ(y)dy + b π bn-2 a<|y|<b b2 - |x|2 |y|2 - |x|2 (3.8) 2 r + π a<|y|<b F2(|y| , |x| , x×y×) |y|2 - |x|2 ϕ(y)dy. Здесь ∞ 2 )"' n n 2 -1 ˜ F2(ρ, r, w)= ω n-1 (n - 2) k=0 - + k 1 2 Ck (w)Rk (ρ, r) , ( Q˜k (ρ, r) при ρ < r, R˜k (ρ, r)= P˜k (ρ, r) при ρ > r, b2-r2 n r ( r2 - ρ2 + t α k n Q˜k (ρ, r)= 2 + k - 1 (ρ r)k t 0 b2-ρ2 (r2 + t)- - 2 dt, n r ( t n α ( ) k P˜k (ρ, r)= 2 + k - 1 (ρ r)k 0 ρ2 - r2 + t ρ2 + t - - 2 dt. a+ Доказательство. Вычислим композицию (Bα b )-1Bα . Для этого рассмотрим действие этой ком- - позиции по радиальной переменной (т. е. на коэффициентах Фурье-Лапласа). Согласно (2.4) и (2.5) имеем ((Bα )-1Bα ϕ)k,v (r)= 2r1-k-n r d r ρ2k+n-1 b r ξ1-kϕk,v (ξ) dρ dξ. a+ b- Γ(α)Γ(1 - α) dr a (r2 - ρ2)α (ξ2 - ρ2)1-α ρ Поменяв порядок интегрирования по формуле Дирихле, придем к равенству: 2 sin απ a+ ((Bα b- )-1Bα ϕ)k,v (r)= π r1-k-n× b d r 1-k min(ξ,r) r 2 2k+n-1 (ξ - ρ2)α-1 (3.9) где × dr ξ a ϕk,v (ξ)dξ ρ a dρ = lim Jε(r), (r2 - ρ2)α ε→0 ⎧ r(1-ε) ξ 2 sin απ 1-k-n d ⎪⎨ r 1-k r ρ2k+n-1 2 2 α-1 Jε(r)= π r ξ dr ⎪⎩ a ϕk,v (ξ)dξ a (ξ (r2 - ρ2)α - ρ ) dρ+ b r r r + ξ1-kϕk,v (ξ)dξ ρ2k+n-1 (ξ2 - ρ2)α-1 1 (r2 - ρ2)α dρ. 2 2 2 r(1+ε) a 2 Замены ξ - ρ = s и r - ρ = s дают: r2 - ξ2 ξ2 - r2 ⎧ r(1-ε) ξ2-02 r2-ξ2 sin απ 1-k-n d ⎪⎨ r 1-k r sα-1 2 2 2 n +k-1 Jε(r)= π r b r dr ⎪⎩ a ξ r2-02 ξ2-r2 r ϕk,v (ξ)dξ 0 (1 + s)α (ξ - (r n - ξ )s) 2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ds+ Отсюда + r(1+ε) ξ1-kϕk,v (ξ)dξ 0 s-α(1 + s)α-1(r2 - s(ξ2 - r2)) 2 +k-1ds . ⎪ ⎪ ⎭ ⎧ r(1-ε) b ⎫ Jε(r)= sin απ r π 1-k-n d ⎪⎨ r dr ⎪⎩ a ξ1-k ϕk,v (ξ)K1(ξ, r)dS+ r r(1+ε) ξ1-k ⎪⎬ ϕk,v (ξ)K2(ξ, r)dξ ⎪⎭ , (3.10) где Из (3.10) имеем: K1(ξ, r)= K2(ξ, r)= ⎧ r(1-ε) ξ2-a2 r2-ξ2 r 0 r2-a2 ξ2-r2 r 0 n sα-1(1 + s)-α(ξ2 - (r2 - ξ2)s) 2 +k-1ds, n s-α(1 + s)α-1(r2 - (ξ2 + r2)s) 2 +k-1ds. b ⎫ Jε(r)= sin απ r π ⎨ ⎪ r 1-k-n ⎪⎩ a ξ1-k r ϕk,v (ξ)[K1(ξ, r)]× dξ+ r r(1+ε) ξ1-k ⎪⎬ r ϕk,v (ξ)[K2(ξ, r)]× dξ + ⎪⎭ sin απ + π r2-2k-n /(1 - ε)2-kϕk,v (r(1 - ε))K1(r(1 - ε), r)- (3.11) -(1 - ε)2-kϕk,v (r(1 + ε))K2(r(1 + ε), r)\ = J 1(r)+ J 2(r). o ε Вычисляя предел второго слагаемого, имеем: ⎧ r2(1-ε)2-a2 ⎪ r2((1+ε)2-1) n lim J 2(r)= sin απ ϕ ⎪⎨ r (r) lim sα-1(1 + s)-α((1 ε)2 (1 (1 ε)2)s) 2 +k-1ds ε→0 ε π k,v ε→0 ⎪ ⎪⎩ 0 r2-a2 - - - - - ⎫ ⎪ r2(1-(1-ε)2) ⎪ r n ⎬ - s-α(1 + s)α-1(1 - ((1 + ε)2 - 1)s) 2 +k-1ds . ⎪ ⎪ 0 ⎭ Здесь возможен предельный переход под знаком интеграла на основании мажорантной теоремы Лебега. Получим lim J 2(r)= sin απ ϕ (r) r∞ sα-1 (1 + s) - α-1 ds = cos απϕ (r) (3.12) ε→0 ε π k,v (1 + s)α sα 0 k,v в силу [4, формулы 2.2 и 12.3, с. 317]. Переходим к вычислению предела lim J 1(r). Известна формула ψ(y) d r ε→0 ε ψ(y) r в силу которой dy ϕ(y) f (x, y)dx = ϕ(y) y f t (x, y)dx + ψ×(y)f (ψ(y), y) - ϕ×(y)f (ϕ(y), y), ξ2-a2 [K1(ξ, r)]× 2 - 2r( n + k 1) r = ( y α n (ξ2 - y) 2 +k-2dy + - 2ra2k+n-2 ( ξ2 a2 α , r ξ2 - r2 r2 - ξ2 + y 0 ξ2 - r2 r2 - a2 r2-a2 - [K2(ξ, r)]× 2 2r( n + k 1) r = ( ξ2 - r2 + y α n (r2 - y) 2 +k-2dy + - 2ra2k+n-2 ( ξ2 a2 α . r ξ2 - r2 y 0 ξ2 - r2 r2 - a2 ε Поэтому слагаемое J 1(r) из (3.11) имеет вид ⎧⎛ r(1-ε) b ⎞ 1-k 2k+n-2 2 2 α 1 2sin απ ⎪⎨ r J ⎜ r ξ a ⎟ 2-k-n ( ξ - a o (r)= π r(1-ε) a ⎩⎪⎝ + ⎠ r(1+ε) r ξ2 - r2 b r2 - a2 ϕk,v (ξ)dξ+ ⎫ (3.13) + r Qk (ξ, r) ξ2 - r2 a ϕk,v (ξ)ξn-1dξ + r r(1+ε) Pk (ξ, r) ξ2 - r2 ⎪⎬ ϕk,v (ξ)ξn-1dξ , ⎪⎭ где Qk (ξ, r), Pk (ξ, r) - функции (3.6) и (3.7). Прямые вычисления показывают, что rn+2k-2 - an+2k-2 Qk (r, r)= Pk (r, r)= r2n+2k-4 . Это означает, что при переходе к пределу в (3.13) мы можем интерпретировать интеграл ⎛ r(1-ε) r b ⎞ b r r lim ⎜ ε→0 ⎝ a + ⎟ = ⎠ r(1+ε) a в смысле главного значения и записать, что lim J 1(r)= 2 sin απ a n-2 ε→0 ε π r × b b (3.14) r ( ξ2 - a2 α ϕk,v (ξ) ( a2 k 2sin απ r Rk (ξ, r) n-1 ×× r2 - a2 a ξ2 - r2 ξr ξ dξ + π ϕk,v (ξ)ξ ξ2 - r2 a dξ, где Rk (ξ, r) - функция (3.5). В силу (3.12), (3.14) мы получаем из (3.9) и (3.11): a+ ((Bα b- )-1Bα ϕ)k,v (r)= cos απ ϕk,v (r)+ b + 2sin απ a n-2 r ( ξ2 - a2 α ϕk,v (ξ) ( a2 k ξ dξ + π r b 2sin απ r a Rk (ξ, r) r2 - a2 ξ2 - r2 ξr (3.15) Так как + π ξ2 - r2 a ϕk,v (ξ)ξn-1dξ. ((Bα )-1Bα ϕ)(x) ∼ )"'((Bα )-1Bα ϕ)k,v (r)Yk,v (x×), a+ b- a+ b- k,v то согласно (3.15) получаем (на достаточно хороших функциях ϕ(x)) ((Bα )-1Bα ϕ)(x)= cos απϕ(x)+ 2 sin απ ( a n-2 rb ( ξ2 2 - a α ξ dξ a+ b- r π ( a2 k |x| r2 - a2 a ξ2 - r2 × × ϕ(ξ, y×) )"' ξr Yk,v (x×)Yk,v (y×)dσ(y×)+ Sn-1 k,v b 2 sin απ r + π ξn-1 r dξ ξ2 - r2 ϕ(ξ, y×) )"' Rk (ξ, r)Yk,v (y×)Yk,v (x×)dσ(y×). (3.16) a Sn-1 k,v В силу формулы сложения для сферических гармоник (см., например, [11, с. 38]) и с учетом равенства из [10, с. 165] P (x×, ξz×)= )"' ξk Yk,v (x×)Yk,v (z×), 0 < ξ < 1, k,v где P (x×, ξz×) - функция (3.4), из (3.16) имеем (Bα )-1Bα 2sin απ ( a n-2 rb ( ξ 2 - a2 α 1 ξn -1dξ a+ b-ϕ(x)= cos απϕ(x)+ π r |x| a2 r2 - a2 a ξn-2 ξ2 - r2 × × Sn-1 b ϕ(ξ, y×)P (x×, y× ξr )dσ(y×)+ 2sin απ r + π ξn-1 r dξ ξ2 - r2 ϕ(ξ, y×) 2 ωn-1 (n - 2) ∞ )"' n 2 1 + k - C 1 n k 2 - (x×y×)Rk (ξ, r)dσ(y×), a Sn-1 k=0 откуда и вытекает равенство (3.1). Тождество (3.2) устанавливается точно также, как тождество (3.1). a+ Теорема 3.1. Пусть 0 < α < 1, ϕ ∈ Lp (U (a, b) , ω) , 1 < p < ∞. Тогда о.ш.п. Bα b , Bα и - сингулярные операторы Nα, Nb связаны между собой соотношениями: a a Bα α α α b-ϕ = cos απBa+ϕ + sin απBa+Na ϕ, (3.17) Bα α α α a+ϕ = cos απBb-ϕ - sin απBb-Nb ϕ, (3.18) где Nα, Nα - сингулярные операторы (3.3), (3.7). a b 0,0 Доказательство. Пусть вначале ϕ ∈ C∞ (U (a, b)) . Тождество (3.17) вытекает из (3.1), поскольку Bα α -1 но может быть проверено и непосредственной перестановкой порядка интегриa+(Ba+) f = f, рования в правой части в (3.17). Соотношение (3.18) вытекает из (3.2). Подобным же образом обосновывается равенство (3.18). Итак, тождества (3.17) и (3.18) установлены для ϕ ∈ C∞ (U (a, b)). Операторы Nα, Nb ограни- 0,0 a a a+ чены в Lp при 1 < p < ∞ в силу теоремы 2.2. Тогда ввиду ограниченности операторов Bα b , Bα - 0,0 из Lp (U (a, b) , ω) в Lp (U (a, b) , ω) (см. лемму 2.2) можно сделать вывод о справедливости тождеств (3.17) и (3.18) на плотном в Lp множестве ϕ ∈ C∞ . Ввиду теоремы Банаха получаем их справедливость на всех функциях ϕ ∈ Lp (U (a, b) , ω) , 1 < p < ∞. 2. Сведения об односторонних шаровых потенциалах типа Чженя. + Определение 3.1. Зафиксируем произвольную точку c ∈ R1 , и для функции ϕ(x), заданной на Rn , интегралы ⎧ 2 2 α r ⎪ ⎪ γn,α ⎪ |x| -|y| |x - y|n ϕ (y) dy, |x| > c, ⎪⎨ c (Bαϕ)(x) := c<|y|<|x| 2 2 α (3.19) r ⎪ ⎪⎪ γn,α ⎪ ⎩ |y| -|x| n |x - y| ϕ (y) dy, |x| < c |x|<|y|<c будем называть односторонними шаровыми потенциалами порядка α (α > 0) типа Чженя. Введя функции ( ϕ(x), |x| > c, (Pc+ϕ) (x)= ϕc+(x)= 0, |x| < c, ( 0, |x| > c, (Pc-ϕ) (x)= ϕc-(x)= ϕ(x), |x| < c можно записать односторонние шаровые потенциалы порядка α (α > 0) типа Чженя (3.19) в виде (Bαϕ)(x)= (Bαϕc+)(x)+ (Bαϕc )(x) c + - - или в операторной форме Bα α α α α c = B+Pc+ + B-Pc- = Pc+B+Pc+ + Pc-B-Pc-. (3.20) c Из (3.20) нетрудно заключить, что операторы Bα обладают полугрупповым свойством: Bα β α+β c Bc ϕ = Bc ϕ для любой локально интегрируемой функции ϕ(t) и α > 0, β > 0. Теорема 3.2. Пусть f (x) представима в виде f (x) = (Bαϕ) (x)) , где ϕ ∈ Lp (U (a, b)) , 1 < n p < . Тогда 2α + f (x)= (BαψC ) (x), c |y| 2sin απ r G |x| , x×y× ϕ (y) ψc(x)= Ncϕ = νc (x) ϕ (x)+ π |x|<c |y|2 - |x|2 | | y n-2 dy, (3.21) где νc (x)=1 при x > c и νc (x)= cos απ при x < c, а ψc(x)∈ Lp (U (a, b)) . Если ϕ ∈ Lp (Rn) , то и ψc(x) ∈ Lp (Rn) . Доказательство. В равенстве (3.20) заменим Bα по формуле (2.9) с учетом SBαϕ = Bα Sϕ на Bα - + + +. Тогда получим Bα α c ϕ = B+[Pc+ϕ + cos απ Pc-ϕ + sin απ SPc-ϕ], что совпадает с (3.21). Оператор Nc = Pc+ + cos απPc- + sin απ SPc- ограничен в Lp (Rn) согласно теореме 2.2.