Неравенство Шварца и формула Шварца для A-аналитических функций

Аннотация

В статье исследуются A-аналитические функции. Приводятся основные фундаментальные теоремы теории A-аналитических функций, доказываются аналог неравенства Шварца, формулы Шварца и Пуассона для A-аналитических функций.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Настоящая работа посвящена аналитической теории решения уравнения Бельтрами fz¯ (z)= μ (z) fz (z) , (1.1) имеющего непосредственное отношение к квазиконформным отображениям. Относительно функции μ (z) в общем случае предполагается, что она измерима и |μ (z)| ::: C < 1 почти всюду в рассматриваемой области D ⊂ C. В литературе решение уравнения (1.1) принято называть A-аналитическими функциями. В случае |μ (z)| < 1 п. в. в D гомеоморфные решения не меняют ориентацию, а в случае |μ (z)| > 1 п. в. в D меняют. Эти случаи уравнения Бельтрами различаются лишь формально. Интерес представляет ситуация, когда одновременно существуют подобласти D, в которых п. в. выполнено |μ (z)| < 1 и подобласти D, в которых п. в. |μ (z)| > 1. В этом случае говорится, что уравнений Бельтрами имеет переменный тип. Его решения описывают со складками, сборками и т. п. Задача исследования уравнений Бельтрами переменного типа ставилась Л. И. Волковыским [6]. Изучение уравнения (1.1) в общем случае было связано с изучением классического уравнения Бельтрами с комплексной дилатацией fz¯ (z)= μ∗ (z) fz (z) ⎧ ⎨μ (z) при |μ (z)| ::: 1, μ∗ (z)= 1 ⎩ μ (z) при |μ (z)| > 1. Это уравнение называем в дальнейшем уравнением, ассоциированным с уравнением (1.1). Очевидно, |μ (z)| < 1 п. в. в D, причем в классическом случае уравнение Бельтрами и ассоциированное уравнение совпадает с самим уравнением, так как μ (z)= μ∗ (z) . Связь между уравнениями Бельтрами переменного типа и ассоциированными уравнениями Бельтрами впервые отмечена Э. Х. Якубовым [13]. Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2018 637 В работе Ю. Сребро и Э. Х. Якубова [17] была установлена локальная теорема существования и единственности гомеоморфных решений вырождающихся уравнений Бельтрами, записанная в геометрических терминах. В работе Д. А. Ковтонюка, И. В. Петкова, В. И. Рязанова, Р. Р. Салимова [10] доказано существование регулярных решений задачи Дирихле для вырожденных уравнений Бельтрами в произвольных жордановых областях и псевдорегулярных, а также многозначных решений в произвольных конечносвязных областях, ограниченных попарно непересекающимися жордановыми кривыми. Дальнейшее развитие в этом направлении получено А. Н. Кондрашовым в работе [11], где доказана теорема о локальном существовании решений ассоциированного уравнения в окрестности дуги вырождения, записанная в геометрических терминах. Одной из фундаментальных работ в теории уравнений Бельтрами является монография В. Гутлянского, В. Рязанова, Ю. Сребро и Э. Якубова [15], в которой рассматривается геометрический подход к исследованию уравнения Бельтрами. Теорема 1.1 (см. [14]). Для любой измеримой на плоскости C функции A (z): ÷A÷∞ < 1 существует единственное гомеоморфное решение χ (z) уравнения (1.1) такое, что χ оставляет неподвижными точки 0, 1, ∞. Отметим, что если функция A (z) (|A (z)| ::: C < 1) определена только в области D ⊂ C, то ее можно продолжать на всю плоскость C, полагая A ≡ 0 вне D, так что теорема 1.1 верна для любой области D ⊂ C. Теорема 1.2 (см. [1, 2]). Множество всех обобщенных решений уравнения (1.1) исчерпывается формулой f (z)= Φ [χ (z)] , где χ (z) - гомеоморфное решение из теоремы 1.1, а Φ (ξ) - голоморфная функция от ξ в χ (D) . Более того, голоморфная функция Φ= f ◦ χ-1 наследует особенности f с сохранением типов. Из теоремы 1.2 вытекает, что A-аналитическая функция f осуществляет внутреннее отображение, т. е. она переводит открытое множество в открытое. Отсюда вытекает справедливость принципа максимума: для любой ограниченной области D ⊂ C максимум модуля достигается только на границе, |f (z)| < max |f (z)| , z ∈ D. z∈∂D Если функция не обращается в нуль, то верен и принцип минимума: |f (z)| > min z∈∂D |f (z)| , z ∈ D. Теорема 1.3 (см. [5]). Если функция A (z) принадлежит классу m раз непрерывно дифференцируемых функций: A (z) ∈ Cm (D) , то всякое решение f уравнения (1.1) тоже принадлежит, как минимум, этому же классу, т. е. f ∈ Cm (D) . Целью данной статьи является исследование A-аналитических функций в одном частном случае, когда функция A (z) является антианалитической функцией в рассматриваемой области. В разделе 3 доказывается аналог неравенства Шварца для A-аналитических функций, в разделе 4 доказываются аналоги формулы Шварца и интегральная формула Пуассона для A-аналитических функций. 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА A-АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Изучение A-аналитических функций инициировано их применениями в задачах томографии. Так, в цикле работ А. Л. Бухгейма и С. Г. Казанцева (см. [4]) задача Радона интерпретируется при помощи краевых задач для бесконечномерного аналога уравнения fz¯ - Afz = 0, где f - функция комплексного аргумента z со значениями в некотором банаховом пространстве X и A - линейно непрерывный оператор: A : X → X, ÷A÷ < 1. A-аналитические функции, когда A - линейно непрерывный оператор в конечномерном или бесконечномерном пространствах, применяются в теории эллиптических уравнений (см. работы [3, 7]). В упомянутых работах A является линейно-непрерывным оператором. В тех случаях, когда пространство X = C, оператор A является константой, A = const. Пусть A(z) - антианалитическая, ∂A = 0, в области D ⊂ C и такая, что |A (z)| ::: C < 1, ∀z ∈ D. Положим ∂ ∂ ∂ ∂ A - DA = ∂z - A¯ (z) ∂ z¯, D¯ = A (z) . ∂ z¯ ∂z Тогда согласно (1.1) класс A-аналитических функций f (z) ∈ OA (D) характеризуется тем, что D¯ Af (z)= 0. Так как антианалитическая функция является бесконечно гладкой, то из теоремы 1.3 вытекает, что OA (D) ⊂ C∞ (D) . Теорема 2.1 (аналог теоремы Коши, см. [8]). Если f (z) ∈ OA (D) ∩ C (D¯ ) , где D ⊂ C - область со спрямляемой границей ∂D, то r f (z) (dz + A (z) d z¯)= 0. ∂D В изучении A-аналитических функций, когда функция A(z) - антианалитическая, большую роль играет ядро 1 K (z, ξ)= 1 · , (2.1) 2πi z - ξ + γ(ξ,z) A¯ (τ ) dτ где γ (ξ, z) - гладкая кривая, соединяющая точки ξ, z ∈ D. Так как область D - односвязная и A¯ (z) - голоморфная функция, то интеграл r I (z)= A¯ (τ ) dτ γ(ξ,z) не зависит от пути интегрирования; он совпадает с первообразной, It (z) = A¯ (z) . Если, кроме того, область D ⊂ C выпуклая, то имеет место Теорема 2.2 (см. [16]). K (z, ξ) является A-аналитической функцией вне точки z = ξ, т. е. K ∈ OA (D \ {ξ}) . Более того, в точке z = ξ функция K (z, ξ) имеет полюс первого порядка. Замечание 2.1. Если область D ⊂ C не является выпуклой, а лишь односвязной, то хотя функция ψ (z, ξ)= z - ξ + r γ(ξ,z) A¯ (τ ) dτ однозначно определена в области D, но априори она может иметь другие изолированные нули ξ : ψ (z, ξ) = 0, z ∈ P = {ξ, ξ1, ξ2,.. .} . Однако ψ ∈ OA (D) , ψ (z, ξ) /= 0 при z ∈/ P, и K (z, ξ) является A-аналитической функцией в D \P с простыми полюсами в точках ξ, ξ1, ξ2,... (см. [16]). В связи с этим ниже мы рассматриваем класс A-аналитических функций только в выпуклых областях D ⊂ C. Теорема 2.3 (формула Коши, см. [9]). Пусть D ⊂ C - выпуклая область и G ⊂ D - произвольная подобласть с кусочно гладкой границей ∂G. Тогда для любой функции f (z) ∈ OA (G) ∩ C (G¯) имеет место формула r f (z)= ∂G K (ξ, z)f (ξ) (dξ + A (ξ) d ξ¯) , z ∈ G. (2.2) При помощи формулы Коши доказывается Теорема 2.4 (аналог теоремы Вейерштрасса, см. [18]). Если ряд из A-аналитических в области D функций ∞ f (z)= '\" fn (z) , fn (z) ∈ OA (D) , (2.3) n=1 сходится равномерно на любом компактном подмножестве этой области, то 1. f (z) ∈ OA (D); 1. ряд (2.3) можно почленно дифференцировать по z: ∞ ∞ ∞ ∂f (z)= '\" ∂fn (z) , ∂¯f (z)= '\" ∂¯fn (z) , DAf (z)= '\" DAfn (z); (2.4) n=1 n=1 n=1 2. ряды (2.4) сходятся равномерно на любом компактном подмножестве D. Здесь уместно отметить, что от того, что функциональный ряд из произвольных (не обязательно из A-аналитических) функций сходится равномерно, вообще говоря, его нельзя продифференцировать. Для этого требуется еще равномерная сходимость ряда из дифференциалов. Теперь мы вкратце остановимся на степенных рядах в классе A-аналитических функций, когда A(z) - антианалитическая в некоторой выпуклой области D ⊂ C. В этом случае функция ψ (z, ξ) имеет вид ψ (z, ξ)= z - ξ + r γ(ξ,z) A¯ (τ ) dτ ∈ OA (D) , и согласно теореме 1.2 она осуществляет внутреннее отображение. В частности, множество ⎧ ⎫ ⎪ ⎨ r ⎪⎬ L (ξ, r)= z ∈ D : |ψ (z, ξ)| = z - ξ + A¯ (τ ) dτ < r , r > 0, ⎩⎪ γ(ξ,z) ⎪⎭ для достаточно маленьких r компактно принадлежит D и содержит точку ξ. Это множество называется A-лемнискатой с центром в точке ξ и обозначается как L (ξ, r) . Она является односвязной областью (см. [16]). Сначала заметим, что аналогом степенных рядов для A-аналитических функций будут ряды ∞ '\" cjψj (z, a), a ∈ D, cj - константы. (2.5) j=0 Областью сходимости ряда (2.5) будет лемниската L (a, r)= {|ψ (z, a)| < R} , где радиус сходимости R находится по формуле Коши-Адамара: 1 = lim /j R j→∞ |cj |. Покажем, что ряд (2.5) сходится абсолютно и равномерно внутри Пусть r < R. Для |ψ (z, a)| = z - a + r γ(a,z) A¯ (τ ) dτ < R. |ψ (z, a)| = R + r 2 ряд (2.5) сходится и поэтому существует n0, такое что для n � n0 выполняется неравенство /n 2 |cn| ::: r + R. Тогда для таких n � n0 и для |ψ (z, a)| ::: r имеем |cnψ(z, a)n| ::: |cn| |ψ (z, a)|n ::: ( 2r \n . r + R Поэтому ряд (2.5) мажорируется сходящимся числовым рядом и он абсолютно и равномерно сходится в {|ψ (z, a)| ::: r} . Имеет место обратное утверждение. Теорема 2.5 (см. [16]). Если f (z) ∈ OA (L (a, r)) , где L (a, r)= {ξ ∈ D : |ψ (ξ, a)| < r} <S D - лемниската, то в L (a, r) функция f (z) разлагается в ряд Тейлора: ∞ f (z)= '\" ckψk (z, a). (2.6) k=0 Коэффициенты ряда определяются по формулами 1 ∂kf (z) 1 r f (ξ) ck = k! ∂zk z=a = 2πi ∂L(a, ρ) [ψ (ξ, a)]k+1 (dξ + A (ξ) d ξ¯) , 0 < ρ < r, k = 0, 1,... Для полноты изложения приведем разложение A-аналитических функций в ряд Лорана. Теорема 2.6. (см. [16]). Пусть функция f (z) A-аналитична в кольце из лемнискат: f (z) ∈ ∈ OA (L (a, R) \ L (a, r)) , r < R. Тогда в этом кольце f (z) разлагается в ряд Лорана: f (z)= ∞ '\" ckψk (z, a), (2.7) k=-∞ где коэффициенты ряда определяются по формулами 1 ck = 2πi r ∂L(a, ρ) f (ξ) [ψ (ξ, a)]k+1 (dξ + A (ξ) d ξ¯) , r < ρ < R, k = 0, ±1,... Ряд (2.7) сходится равномерно и абсолютно внутри кольца L (a, R) \ L (a, r)= {z ∈ D : r < |ψ (z, a)| < R} . Теорема (неравенства Коши, см. [16]). Для коэффициентов Тейлора-Лорана справедливы неравенства |ck | ::: max {|f (z)| : z ∈ ∂L (a, ρ)} ρk , r < ρ < R, k = 0, ±1, ±2,.... (2.8) 1. АНАЛОГ НЕРАВЕНСТВА ШВАРЦА ДЛЯ A-АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Известно, что неравенство Шварца имеет многочисленные приложения в геометрической теории аналитических функций: в теории конформных изоморфизмов, оценках модулей непрерывности, вариационных задачах, теории аппроксимаций и др. Лемма 3.1. (Аналог леммы Шварца). Пусть f ∈ OA (L(a, R)) , |f (z)| ::: M и f (a) = 0. Тогда для всех z ∈ L(a, R) |f (z)| ::: M R |ψ(z, a)| . (3.1) Доказательство. Так как f (a)= 0, то g(z) := f (z) ψ(z, a) ∈ OA (L(a, R)) . Фиксируем r < R. По принципу максимума функция g(z) достигает своего максимума на ∂L(a, r). Тогда |g(z)| ::: max {|f (z)| : z ∈ L(a, r)} |ψ(z, a)| M M ::: r . M Устремим r → R и в пределе получим, что |g(z)| ::: z ∈ L(a, r) и для всех r < R. Следствие 3.1. Пусть f ∈ OA (L(a, R)) , |f (z)| ::: M и R , т. е. |f (z)| ::: R |ψ(z, a)| для всех ∂f f (a)= ∂z Тогда для всех z ∈ L(a, R) (a)= ∂2f ∂z2 (a)= ... = M ∂n-1f ∂zn-1 n (a)= 0. |f (z)| ::: R |ψ(z, a)| . Доказательство. Следствие доказывается аналогично лемме 3.1. Так как ∂f f (a)= ∂z то (a)= ∂2f ∂z2 (a)= ... = ∂n-1f ∂zn-1 (a)= 0, g(z) := f (z) ψn(z, a) ∈ OA (L(a, R)) , ибо ψ(z, a) имеет единственный простой нуль в точке z = a. Фиксируем r < R. По принципу максимума функция g(z) достигает своего максимума на ∂L(a, r)= {|ψ(z, a)| = r} . Тогда max {|f (z)| : z ∈ L(a, r)} M |g(z)| ::: rn ::: rn . M M Устремим r → R и в пределе получим, что |g(z)| ::: z ∈ L(a, R). Rn , т. е. |f (z)| ::: Rn |ψ(z, a)| для всех Следствие 3.2. Пусть f ∈ OA (L(a, R)) , |f (z)| ::: M и f (b)=0 для b ∈ L(a, R). Тогда для всех z ∈ L(a, R) ψ(z, a) - ψ(b, a) . |f (z)| ::: MR Доказательство. Отображение R2 - ψ¯(b, a)ψ(z, a) w = R2 ψ(z, a) - ψ(b, a) R2 - ψ¯(b, a)ψ(z, a) является изоморфизмом между лемнискатой L(a, R) и кругом U (0, R). Действительно, если z ∈ L(a, R), то 2 2 ¯ ¯ w 2 = R4 |ψ(z, a)| | | + |ψ(b, a)| - ψ(z, a)ψ(b, a) - ψ(z, a)ψ(b, a) R4 + |a¯|2|ψ(z, a)|2 - R2(ψ(z, a)ψ¯(b, a)+ ψ¯(z, a)ψ(b, a)) ::: ::: R2 | R2(|ψ(z, a)|2 + |ψ(b, a)|2 - ψ(z, a)ψ¯(b, a) - ψ¯(z, a)ψ(b, a)\+(|a|2 -R2\( ψ(z, a)|2 -R2\ R4 + |a¯|2|ψ(z, a)|2 - R2(ψ(z, a)ψ¯(b, a)+ ψ¯(z, a)ψ(b, a)) = R2. Отсюда следует, что |w| < R. Рассмотрим 1 g(z) := M f (w-1(ψ(z, a))) ∈ OA (L(a, R)) , где легко видеть, что w-1 (ψ(z, a)) : L(a, R) → L(a, R) является автоморфизмом. Функция g(z) M удовлетворяет условиями леммы Шварца и, следовательно, |g(z)| ::: что R |ψ(z, a)| . Тогда получаем, M 2 ψ(z, a) - ψ(b, a) ψ(z, a) - ψ(b, a) |g (ψ (w(z), a))| = |f (z)| ::: R R = MR . R2 - ψ¯(b, a)ψ(z, a) R2 - ψ¯(b, a)ψ(z, a) 2. ФОРМУЛЫ ШВАРЦА И ПУАССОНА Начнем со следующей теоремы. Теорема 4.1. Действительная часть A-аналитической функции f (z) ∈ OA(D) удовлетворяет в области D уравнению ∂ г 1 г 2 ∂u ∂u ∂ г 1 г ∂u (1 + A 2 ¯ ∂u = 0. (4.1) ΔAu ≡ ∂z 1 - |A|2 (1 + |A| ) ∂z¯ - 2A∂z + ∂z¯ 1 - |A|2 | | ) ∂z - 2A∂z¯ Доказательство. Пусть f = u + iv. Из бесконечной дифференцируемости A-аналитической функции следует, что функции u и v имеют в каждой точке области D частные производные любых порядков. Запишем условия Коши-Римана для A-аналитических функций ⎧ ∂f ∂f ⎧ ∂u + i ∂v ( ∂u = A + i ∂v \ ⎪⎨ ∂z¯ ∂f¯ = A = A¯ ∂z ∂f¯ ⎪⎨ ∂z¯ ⇔ ∂u ∂z¯ ∂v ∂z ( ∂u = A¯ ∂z ∂v \ ⎪⎩ ∂z z Найдем частные производные vt ∂z¯ z¯ и vt : ⎪⎩ ∂z - i∂z ∂z¯ - i∂z¯ . ∂v i г( ) ∂u |A|2 - ∂u 2A , ∂v i г( ) ∂u |A|2 - ∂u 2A¯ ∂z¯ 1 - |A|2 ∂z¯ ∂z ∂z 1 - |A|2 ∂z ∂z¯ = 1+ = 1+ . (4.2) Продифференцируем первое равенство в (4.2) по z, второе - по z¯ и сложим полученное, приняв во внимание, что Имеем: ∂2v = ∂z∂z¯ ∂2v . ∂z¯∂z ∂2v - 0= ∂z∂z¯ ∂2v ∂z¯∂z ∂ г 1 = i ∂z 1 - |A|2 г (1 + |A|2) ∂u ∂z¯ - 2A ∂u + ∂z ∂ г 1 + i г (1 + |A|2) ∂u - 2A¯ ∂u = -iΔ u. ∂z¯ 1 - |A|2 ∂z ∂z¯ A Отсюда следует, что ΔAu = 0. Аналогично, получаем равенство ΔAv = 0. В связи с теоремой 4.1 естественно дать определение A-гармонической функции следующим образом. Определение 4.1. Дважды дифференцируемая функция u ∈ C2(D), u : D → R называется A-гармонической в области D, если она удовлетворяет в D дифференциальному уравнению (4.1). Класс A-гармонических в области D функций обозначаем как hA (D) . Таким образом, действительная часть, а значит и мнимая часть A-аналитической функции f ∈ OA(D) является A-гармонической функцией в области D. Для односвязных областей верна и обратная теорема. Теорема 4.2. Если функция u (z) ∈ hA (D) , где D - односвязная область, то существует f ∈ OA(D): u = Re f. Доказательство. Рассмотрим следующий дифференциальный оператор: i (г dc (1 + A 2) ∂ ∂ 2A dz¯ г (1 + A 2) ∂ 2A¯ ∂ dz\ . A := 1 - |A|2 | | ∂z¯ - ∂z - | | ∂z - ∂z¯ Он удовлетворяет следующему равенству: ( ∂ г 1 ddc u = - i г (1 + |A|2) ∂u - 2A∂u + A ∂z 1 - |A|2 ∂z¯ ∂z Значит, ∂ + i ∂z¯ г 1 1 - |A|2 г | | (1 + A 2) ∂u ∂z - ¯ ∂u \ 2A ∂z¯ dz ∧ dz¯ = -iΔAudz ∧ dz¯ = 2ΔAudV. Значение интеграла A ddc u = 2ΔAudV. (4.3) z r dc Au a не зависит от выбора пути интегрирования, потому что для любых гомотопных кривых γ1(a, z) и γ2(a, z) имеет место следующее равенство: r γ1(a,z) dc Au - r γ2(z,a) f A dc u = γ rr A dc u = DI rr A ddc u = -2 DI ΔAudV = 0, где Dt ⊂ D - область, ограниченная кривыми γ1(a, z) и γ2(a, z), ∂Dt = γ = γ1(a, z) ∪ γ2(a, z). z r v(z)= a z ( 1 г( 1 - |A|2 1+ |A|2 \ ∂u ∂z¯ - 2A ∂u + ∂z 1 г( 1 - |A|2 1+ |A|2 \ ∂u ∂z - 2A¯ ∂u \ ∂z¯ dx+ +ir ( 1 г( a 1 - |A|2 z 1+ |A|2 \ ∂u ∂z¯ - 2A ∂u ∂z - 1 г( 1 - |A|2 1+ |A|2 \ ∂u ∂z - 2A¯ ∂u \ ∂z¯ dy = r ! 1 г( = a 1 - |A|2 z 1+ |A|2 \ ∂u ∂z¯ - 2A ∂u + ∂z 1 г( 1 - |A|2 1+ |A|2 \ ∂u ∂z¯ - 2A ∂u ∂z dx+ r ! 1 г( +i a 1 - |A|2 z 1+ |A|2 \ ∂u ∂z¯ - 2A ∂u ∂z - 1 г( 1 - |A|2 z 1+ |A|2 \ ∂u ∂z¯ - 2A ∂u ∂z dy = r =2 Re a ( 1 1 - |A|2 ( г 1+ |A|2 \ ∂u ∂z¯ - 2A ∂u \ ∂z r dx +2 a ( 1 Im 1 - |A|2 ( г 1+ |A|2 \ ∂u ∂z¯ - 2A ∂u \ ∂z dy. Это означает, что v является действительнозначной функцией и она удовлетворяет следующим равенствам: ∂v ∂z = - и i г( 1 - |A|2 1+ |A|2 \ ∂u ∂z - 2A¯ ∂u , ∂z¯ ∂v = ∂z¯ 2 i г( 2 1+ |A| 1 - |A| \ ∂u ∂z¯ - 2A ∂u . ∂z Теперь покажем, что f (z) = u(z)+ iv(z) является A-аналитической функцией в области D, f ∈ OA(D): ∂f ∂f ∂u ∂v ( ∂u ∂v \ DAf = ∂z¯ - A ∂z = ∂z¯ + i∂z¯ - A Это означает, что f ∈ OA(D). + i ∂z ∂z = 0. Замечание 4.1. Как и в теории аналитических функций, для многосвязных областей теорема 4.2 может не иметь место в связи возникновением многозначности функции f. В теории A-аналитических и A-гармонических функций естественно рассматривается следующая задача. Задача Дирихле. Задана ограниченная область G ⊂ D, и на границе ∂G задана непрерывная функция ϕ (ξ) . Требуется найти A-гармоническую в области G, непрерывную на замыкании G¯ функцию u(z) ∈ hA(G) ∩ C(G¯): u|∂D = ϕ. В случае, когда область G является лемнискатой, G = L(a, R), имеет место следующая теорема. Теорема 4.3 (аналог формулы Пуассона для A-гармонических функций). Если функция ϕ(ξ) непрерывна на границе лемнискаты L(a, R) ⊂ D, то функция u(z)= 1 f ϕ(ξ) r2 - |ψ(z, a)|2 dξ + A(ξ)dξ¯ (4.4) 2πr |ψ(ξ,a)|=R |ψ(ξ, z)|2 является решением задачи Дирихле в L(a, r). Доказательство. Функция f (ξ, z)= ψ(a, ξ)+ ψ(a, z) ψ(z, ξ) является A-аналитической функцией по z ∈ L(a, R), где ξ ∈ ∂L(a, R). Тогда 1 Π (ξ, z)= 2π Re f (ξ, z) ∈ hA(L(a, R)), 1 Π (ξ, z)= 2π (f (ξ, z)+ f¯(z, ξ)) = 1 г ψ (a, ξ)+ ψ (a, z) + 2π ψ (a, ξ) - ψ (a, z) = ψ¯ (a, ξ)+ ψ¯ (a, z) ψ¯ (a, ξ) - ψ¯ (a, z) = = 1 |ψ (a, ξ)|2 - |ψ (a, z)|2 2π |ψ (ξ, z)|2 . 1 R2 - |ψ (a, z)|2 2π |ψ (ξ, z)|2 Следовательно, функция u ∈ hA(L(a, R)). Покажем, что она непрерывна в u|∂L(a,R) = ϕ. Воспользуемся следующими двумя очевидными фактами: L¯(a, R), причем 1. 1 f R2 - |ψ(z, a)|2 dξ + A(ξ)dξ¯ = 1; 2πR |ψ(ξ,a)|=R |ψ(ξ, z)|2 2. При z → ξ0 ∈ ∂L(a, r) и ξ /= ξ0 функция Π (ξ, z) → 0 равномерно на любой дуге γδ = ∂L(a, R) \ U (ξ, δ). Положим ψ(ξ, a)= Reit. Тогда ∂ψ |dz + Adz¯| = dz + ∂ψ dz¯ = |dψ(ξ, a)| = dReit = Rieitdt = Rdt, ∂z и ∂z¯ 2π 1 f ϕ(ξ) R2 - |ψ(z, a)|2 dξ + A(ξ)dξ¯ = 1 r ϕ(ξ) R2 - |ψ(z, a)|2 dt. 2πr |ψ(ξ,a)|=r |ψ(ξ, z)|2 0 2π |ψ(ξ, z)|2 Оценим разность: 2π 1 r R2 - |ψ(z, a)|2 2π 1 r R2 - |ψ(z, a)|2 σ = u(z) - 2π 0 ϕ(ξ) |ψ(ξ, z)| 2 dt = 2π 0 (u(z) - ϕ(ξ)) |ψ(ξ, z)| 2 dt. Из непрерывности ϕ(ξ) в точке ξ0 : ψ(a, ξ0) = Reit0 следует, что ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ξ ∈ ∂L(a, R) \ U (a, δ) ⇒ |ϕ(ξ) - ϕ(ξ0)| < ε. Пусть I1 = {t ∈ [0; 2π]: Reit ∈ ∂L(a, R) \ U (a, δ)} и I2 = {t ∈ [0; 2π]: Reit ∈ ∂L(a, R) ∩ U (a, δ)}. Тогда I1 ∪ I2 = [0; 2π] и 1 r σ = 2π I1 (u(z) - ϕ(ξ)) R2 - |ψ(z, a)|2 |ψ(ξ, z)|2 dt + 1 r 2π I2 (u(z) - ϕ(ξ)) R2 - |ψ(z, a)|2 |ψ(ξ, z)|2 dt = J1 + J2. Оценим J2: 1 r R2 - |ψ(z, a)|2 2π 1 r R2 - |ψ(z, a)|2 |J2| ::: 2π I2 |u(z) - ϕ(ξ)| | | ψ(ξ, z) 2 dt ::: 2π ε 0 δ | | ψ(ξ, z) 2 dt < ε. Пусть ψ(z, a) = reiθ. Теперь предложим, что |θ - t0| < 2 . Тогда для всех t ∈ I1 в силу условия 2 из леммы 3.1 найдется ρ ∈ (R - r; R) и выполняется неравенство Π (ξ, z) < ε. Тогда для всех δ z : |ψ(a, z)| = r > R - ρ, |θ - t0| < 2 получаем 1 r R2 - |ψ(z, a)|2 ε 2π r R2 - |ψ(z, a)|2 |J1| ::: 2π I1 |u(z) - ϕ(ξ)| | | ψ(ξ, z) 2 dt ::: 2π 2 max{ϕ(ξ)} 0 | | ψ(ξ, z) 2 dt < 2ε max{ϕ(ξ)}. Отсюда следует, что |σ| < ε(1 + 2 max{ϕ(ξ)}) и lim u(z)= ϕ(ξ0). z→ξ0 Формула (4.4) называется аналогом формулы Пуассона для A-гармонических функций. Следствие 4.1. (аналог формула Шварца для A-аналитических функций). Пусть L(a, R) <S D и f (z) = u (z)+ iv (z) ∈ OA (L (a, R)) ∩ C (L¯ (a, R)) . Тогда имеет место следующий аналог формулы Шварца: 1 f (z)= f u(ξ) ψ(a, ξ)+ ψ(a, z) dξ + A(ξ)dξ¯ + i Im f (a). (4.5) 2πR |ψ(ξ,a)|=R ψ(z, ξ) Теорема 4.4. Если функция u является A-гармонической в лемнискате L(z, R) <S D, то для любого r < R значение u в центре лемнискаты равно среднему ее значению на лемнискате L(z, r): u(z)= 1 rr 2πir2 u(ξ)dμ(ξ)= 1 rr 2πir2 u(ξ) (1 - |A(ξ)|2\dξ ∧ dξ¯, |ψ(z,ξ)|:::r |ψ(z,ξ)|:::r где dμ = (1 - |A(ξ)|2\ dξ ∧ dξ¯- мера на лемнискате. Доказательство. Рассмотрим меру dμ: dμ = (1 - |A(ξ)|2\ dξ ∧ dξ¯ = (dξ + A(ξ)dξ¯) ∧ (dξ¯ + A¯(ξ)dξ) = = dψ(ξ, z) ∧ dψ¯(ξ, z)= 2idt ⊗ |dψ(ξ, z)| . Из равенства dμ = 2idt ⊗ dξ + A(ξ)dξ , из теорем о среднем и Фубини, мы получаем, что 1 rr ¯ r r 1 r r 1 r 2πir2 u(ξ)dμ(ξ)= dt πr2 u(ξ) dξ + A(ξ)dξ = πr2 2πtu(z)dt = u(z). |ψ(z,ξ)|:::r ¯ 0 |ψ(z,ξ)|=t 0