Дискретный аналог функции Ляпунова для гиперболических систем

Аннотация

Мы изучаем разностную схему расщепления для численного нахождения устойчивых решений двумерной линейной системы гиперболических уравнений с диссипативными краевыми условиями в случае постоянных коэффициентов и с младшими членами. Нами был построен дискретный аналог функции Ляпунова, а также получена соответствующая априорная оценка. Полученная априорная оценка позволяет утверждать об экспоненциальной устойчивости численного решения.

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ Рассмотрим задачу Коши для двумерной линейной системы гиперболических уравнений с диссипативными граничными условиями с постоянными коэффициентами и младшими членами [2]. Устойчивость решений одномерных гиперболических систем была изучена в [6]. Основная идея этой работы заключается в изучении устойчивости решения систем гиперболических уравнений посредством построения функции Ляпунова и получения априорных оценок решения в различных функциональных пространствах. В этой работе ставятся задачи построения и исследования разностной схемы расщепления для численного нахождения устойчивых решений двумерной линейной системы гиперболических уравнений с диссипативными граничными условиями с постоянными коэффициентами и младшими членами. Следует отметить, что решению этой задачи было посвящено много работ, см., например, [1, 3-5]. Однако во всех этих работах построение разностных схем и исследование их устойчивости было основано на технике построения диссипативных интегралов энергии. Априорные оценки численных решений начально-краевых задач для гиперболических систем, полученные в этих работах, не позволяют утверждать что-либо об экспоненциальной устойчивости численных решений. В этой же работе исследуется разностная схема расщепления для численного нахождения устойчивых решений двумерной линейной системы гиперболических уравнений с диссипативными граничными условиями с постоянными коэффициентами и младшими членами. Был построен дискретный аналог функции Ляпунова, а также получены соответствующие априорные оценки. Эти оценки уже позволяют говорить об экспоненциальной устойчивости численных решений, что в свою очередь позволяет доказать сходимость этих численных решений. 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим в области G = {(t, x, y) : 0 < t � T, 0 < x < l, -∞ < y < +∞} симметричную гиперболическую систему в специальном каноническом виде [2]: ∂v + K ∂v + C ∂v ∂t ∂x ∂y + Mv = 0 (2.1) Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2018 591 с краевыми условиями при x = 0: и при x = l: а также с начальными условиями при t = 0: vI = svII (2.2) vII = rvI, (2.3) vi(0, x, y)= ϕi(x, y), i = 1,..., n, 0 � x � l, -∞ � y � +∞ (2.4) где vI = (v1, v2,..., vm)T , vII = (vm+1, vm+2,..., vn)T , K - диагональная матрица, C - положительно определенная матрица, M - квадратная матрица с вещественными элементами порядка n, ⎛ k1 0 ··· 0 ⎞ Г vI l ( K+ 0 \ = ⎜ + ⎜ 0 k2 ··· 0 ⎟ v = vII , K = 0 -K- . . . . , K ⎜ . . ⎝ . ⎟ . . . . . ⎟ , ⎠ ⎛ km+1 0 ··· 0 ⎞ 0 ··· 0 km ⎜ K- = ⎜ 0 km+2 ··· 0 ⎟ ⎟ , k > 0, i = 1,..., n, . ⎜ .. ⎝ ... . . . . .. ⎟ i ⎠ 0 ··· 0 kn s - это матрица порядка n - m × m, r - матрица порядка m × n - m. При |y| > функции положены равными нулю. 1 Y исходные 2 2 Пусть начальное условие ϕ = (ϕ1, ϕ2,..., ϕn)T ∈ W 1 ((0, l), (-∞, +∞), Rn) удовлетворяют следующему условию совместности: rϕI = sϕII, x = 0, t = 0, ϕII = rϕI, x = l, t = 0. (2.5) 2 Здесь W 1 ((0, l), (-∞, +∞), Rn) - пространство Соболева. Определение 2.1. Система (2.1) с граничными условиями (2.2)-(2.3) является экспоненциально устойчивой по норме L2, если существуют такие ν > 0 и c > 0, что для любых начальных условий ϕ ∈ L2 ((0, l), (-∞, +∞), Rn) L2-решение исходной задачи (2.1)-(2.4) удовлетворяет неравенствам lv(t, ·)lL2((0,l),(-∞,+∞),Rn) � ce- νt lϕlL2((0,l),(-∞,+∞),Rn), t � 0. (2.6) В качестве функции Ляпунова рассмотрим следующую функцию: +∞ l +∞ l ( m n r L(t)= r r r (μ(x)v, v) dxdy = '\" μie-νx [vi(t, x, y)]2 + '\" μieνx [vi(t, x, y)]2 dxdy, -∞ 0 -∞ 0 i=1 i=m+1 (2.7) где μi > 0, i = 1,..., n, μ+ = (μ1,..., μm)T , μ- = (μm+1,..., μn)T , ( e-νxμ+ 0 \ μ(x)= 0 eνxμ- . Теорема 2.1 (экспоненциальная устойчивость, см. [6]). Система (2.1) с краевыми условиями (2.2)-(2.3) является экспоненциально устойчивой по норме L2, если существуют такие ν > 0 и μi > 0, i = 1,..., n, что матрицы ( K+ 0 0 K- и \( e-νlμ+ 0 0 μ- \ ( 0 r - s 0 \( K+ 0 0 K- \( μ+ 0 0 eνlμ- \( 0 s \ r 0 (2.8) ν |K| μ(x)+ MT μ(x)+ μ(x)M, x ∈ (0, l), (2.9) являются положительно определенными. Доказательство. Продифференцируем функцию Ляпунова: +∞ l +∞ l r L∗(t)= r r ∂t (μ(x)v, v) dxdy = r (μ(x)∂tv, v) dxdy + +∞ l -∞ 0 +∞ l -∞ 0 r r + -∞ 0 r r (μ(x)v, ∂tv) dxdy = -∞ 0 (μ(x) [-K∂xv - C∂y v - Mv] , v) dxdy + +∞ l r r + -∞ 0 +∞ l (μ(x)v, [-K∂xv - C∂y v - Mv]) dxdy = r r = - [(μ(x)K∂xv, v)+ (μ(x)v, K∂xv)+ (μ(x)C∂y v, v)+ -∞ 0 +∞ l r r + (μ(x)v, C∂y v)] dxdy - -∞ 0 Из [(μ(x)Mv, v)+ (μ(x)v, Mv)] dxdy. (μ(x)K∂xv, v)= (∂x [μ(x)Kv] , v) - (μ∗(x)Kv, v) и μ∗(x)K = -ν |K| μ(x), получаем следующее тождество: +∞ l r L∗(t)= - r [∂x (Kμ(x)v, v)+ ∂y (Cμ(x)v, v)] dxdy - +∞ l -∞ 0 +∞ r r (( - ν |K| μ(x)+ MT μ(x)+ μ(x)Ml v, v) r dxdy = - l (Kμ(x)v, v) dy - 0 -∞ 0 l -∞ +∞ l r +∞ - (Cμ(x)v, v) 0 -∞ r r dx - -∞ 0 ((ν |K| μ(x)+ MT μ(x)+ μ(x)Ml v, v) dxdy = +∞ +∞ l r l r = - (Kμ(x)v, v) dy - 0 r ((ν |K| μ(x)+ MT μ(x)+ μ(x)Ml v, v) dxdy. -∞ -∞ 0 Преобразуем отдельно каждый член полученного тождества: l - (Kμ(x)v, v) 0 = - [(Kμ(l)v(t, l, y), v(t, l, y)) - (Kμ(0)v(t, 0, y), v(t, 0, y))] = (( K+ 0 - = 0 -K- \( e-νlμ+ 0 0 eνlμ- \Г vI(t, l, y) vII(t, l, y) l Г vI(t, l, y) l\ , vII(t, l, y) + (( K+ 0 + 0 -K- \( μ+ 0 0 μ- \Г vI(t, 0, y) vII(t, 0, y) l Г vI(t, 0, y) l\ , vII(t, 0, y) = (( K+ 0 = - 0 K- (( K+ 0 \( e-νlμ+ 0 0 μ- \( μ+ 0 \Г vI(t, l, y) vII(t, 0, y) \Г vI(t, 0, y) l Г vI(t, l, y) l\ , vII(t, 0, y) + l Г vI(t, 0, y) l\ + 0 K- 0 eνlμ- vII(t, l, y) , vII(t, l, y) = (( K+ 0 = - 0 K- \( e-νlμ+ 0 0 μ- \Г vI(t, l, y) vII(t, 0, y) l Г vI(t, l, y) l\ , vII(t, 0, y) + (( K+ 0 + 0 K- \( μ+ 0 0 eνlμ- \( 0 s r 0 \Г vI(t, l, y) vII(t, 0, y) l ( 0 s , r 0 \Г vI(t, l, y) l\ vII(t, 0, y) = (( K+ 0 = - 0 K- \( e-νlμ+ 0 0 μ- \Г vI(t, l, y) vII(t, 0, y) l Г vI(t, l, y) l\ , vII(t, 0, y) + (( 0 r + s 0 \( K+ 0 0 K- \( μ+ 0 0 eνlμ- \( 0 s r 0 \Г vI(t, l, y) vII(t, 0, y) l Г vI(t, l, y) , vII(t, 0, y) l\ < 0. Согласно (2.9), имеем l r - 0 ((ν |K| μ(x)+ MT μ(x)+ μ(x)Ml v, v) dx < 0. Учитывая эти преобразования, получаем +∞ +∞ l r L∗(t)= - l r (Kμ(x)v, v) dy - 0 r ((ν |K| μ(x)+ MT μ(x)+ μ(x)Ml v, v) dxdy < 0. -∞ -∞ 0 Поскольку матрицы (2.9) и ν |K| μ(x) являются положительно определенными, отсюда следует неравенство: ((ν |K| μ(x)+ MT μ(x)+ μ(x)Ml v, v) > ν(|K| μ(x)v, v) > ν(|K| μ(x)v, v) α = ν min ki i=1,...,n Таким образом, получаем +∞ l r L∗(t) < -να r (μ(x)v, v) dxdy = -ηL∗(t), η = να. Следовательно, -∞ 0 L(t) � e-ηtL(0), t > 0. Однако из существования такой константы γ > 0, что 1 2 2 γ lv(t, ·)lL2((0,l),(-∞,+∞),Rn) � L(t) � γ lv(t, ·)lL2((0,l),(-∞,+∞),Rn) , +∞ l имеем r r 2 lv(t, ·)lL2((0,l),(-∞,+∞),Rn) = -∞ 0 νt/2 (v, v) dxdy, lv(t, ·)lL2((0,l),(-∞,+∞),Rn) � γe- Теорема 2.1 доказана. lΦlL2((0,l),(-∞,+∞),Rn) , t ∈ [0, +∞). 3. РАЗНОСТНАЯ СХЕМА Построим в области G разностную сетку Gh = {(tκ, xj, yq ):0 � tκ � T, 0 � xj � l, -∞ < yq < +∞}, в которой tκ = κΔt, κ = 0,..., N, N Δt = T, ( 1 \ xj = j + 2 Δx; J Δx = l; j = 0,...,J - 1, ( 1 \ yq = q + 2 Δy; q = -∞,..., +∞. Определим значения численного решения в узлах следующим образом: yq+ 1 xj+ 1 2 2 1 r r vn v(tn, x, y)dxdy, j = 0,...,J 1. jq = Δx - yq- 1 xj- 1 2 2 Для получения численного решения исходной задачи (2.1)-(2.4) рассмотрим разностную схему расщепления w ( I)κ jq v ( I)κ jq Δt Г K+ 0 l v ( I)κ jq - (vI)κ j-1,q w ( II)κ jq v = ( II)κ jq - Δx 0 K- jq - v (vII)κ ( II)κ , j+1,q (3.1) j = 0,...,J - 1; κ = 0,...,N - 1; q = -∞,..., +∞; uκ κ Δt κ κ jq = wjq - Δy C (wjq - wjq-1l , j = 0,...,J - 1; κ = 0,...,N - 1; q = -∞,..., +∞; (3.2) vκ+1 κ κ jq = ujq - ΔtMujq, j = 0,...,J - 1; κ = 0,...,N - 1. (3.3) Начальные условия (2.4) могут быть приближены следующим образом: yq+ 1 xj+ 1 2 2 1 1 r r v0 Φ(x, y)dxdy, j = 0,...,J 1; q = ,... + (3.4) j = Δx Δy yq- 1 xj- 1 - -∞ ∞ 2 2 Так, в свою очередь, могут быть приближены краевые условия: (vI)κ+1 ( 0 s \ (vI)κ+1 -1q v ( II)κ+1 Jq = r 0 J -1,q v ( II)κ+1 0q , κ = 0,...,N - 1; q = -∞,... + ∞. (3.5) Положим, что критерий Куранта-Фридрихса-Леви Δt Δx max |ki| � 1, Δt Δy max |λi(C)| � 1 выполняется. Здесь λi(C) - собственные значения матрицы C. Теперь изучим вопрос экспоненциальной устойчивости решения разностной задачи (3.1)-(3.5). Определение 3.1. Разностная схема (3.1)-(3.3) с разностным краевым условием (3.5) является экспоненциально устойчивой, если существуют такие константы η > 0 и c > 0, что для любого начального условия v0 ∈ L2((x 1 ,x 1 ), (y 1 ,y 1 ), Rn) решение разностной краевой jq j- 2 j+ 2 q- 2 q+ 2 задачи (3.1)-(3.5) удовлетворяет неравенству ΔxΔy +∞ '\" J -1 '\" (vκ , vκ ) � e-ηtκ ΔxΔy +∞ '\" J -1 '\" (v0 , v0 ), κ = 1,..., N. q=-∞ j=0 jq jq q=-∞ j=0 jq jq Здесь мы лишь формально выписываем суммы бесконечного числа членов, так как только конечное их число равняется нулю (разностное решение не является нулевым только на конечном количестве точек). Рассмотрим разностную начально-краевую задачу (3.1)-(3.5) со стационарным решением vκ jq = 0, κ = 0,...,N - 1; j = 0,...,J - 1; q = -∞,..., +∞. Чтобы доказать устойчивость разностной начально-краевой задачи (3.1)-(3.5), рассмотрим в качестве дискретной функции Ляпунова следующую функцию: L(vκ)= Lκ = ΔxΔy +∞ '\" J -1 '\" (vκ , μj vκ ), μj = μ(xj ), j = 1,...,J - 1. (3.6) Здесь jq jq q=-∞ j=0 μj = ( e-νxj μ+ 0 \ 0 eνxj μ- . Теорема 3.1. Пусть T > 0, а дискретная функция Ляпунова определяется неравенствами (3.6). Если выполнен критерий Куранта-Фридрихса-Леви, (Δt/Δx) max |ki| � 1, (Δt/Δy) max |λi(C)| � 1 и существуют вещественные числа ν > 0 и μi > 0, i = 1,..., n, такие, что 0 < α(1 - e-νΔx) < 1, где i α = min |ki| , MT μj + μj M - ΔtMT μj M, j = 0,...,J - 1 - неотрицательно определенные матрицы, а Г μ+e-νxJ K+ 0 0 μ-eνx-1 K- l ( 0 r - s 0 \Г μ+e-νx0 K+ 0 0 μ-eνxJ -1 K- l( 0 s \ r 0 jq является положительно определенной, тогда численное решение vκ разностной начальноjq краевой задачи (3.1)-(3.5) сходится к стационарному решению v∗ =0 по норме L2. Доказательство. Используя дискретную функцию Ляпунова, вычислим производную функции Ляпунова (2.7) следующим образом: где L(vκ+1) - L(vκ) Δt - L(vκ+1) L(uκ) = Δt - L(uκ) L(wκ) + + Δt - L(wκ) L(vκ) , Δt L(vκ)= ΔxΔy +∞ '\" J -1 '\" (vκ , μj vκ ), L(wκ)= ΔxΔy +∞ '\" J -1 '\" (wκ , μj wκ ), q=-∞ j=0 jq jq +∞ J -1 jq jq q=-∞ j=0 L(uκ)= ΔxΔy '\" '\" (uκ , μj uκ ), κ = 0,..., N. jq jq q=-∞ j=0 Мы хотим доказать, что эта квадратичная форма отрицательно определена. Для этого достаточно показать, что все три квадратичные формы в правой части L(vκ+1) - L(uκ) ΔxΔy +∞ J -1 I = '\" '\" (vκ+1 κ+1 κ κ Δt Δt q=-∞ j=0 jq , μj vjq ) - (ujq, μj ujq ) , L(uκ) - L(wκ) ΔxΔy = +∞ '\" J -1 '\" ((uκ , μj uκ ) - (wκ , μj wκ )l, Δt Δt jq jq q=-∞ j=0 jq jq L(wκ) - L(vκ) ΔxΔy = +∞ '\" J -1 '\" ((wκ , μj wκ ) - (vκ , μj vκ )l Δt отрицательно определены. Δt jq jq q=-∞ j=0 jq jq - L(vκ+1) L(uκ) = ΔxΔy +∞ '\" J -1 '\" (((uκ κ l ( κ κ l) κ κ l Δt ΔxΔy +∞ J -1 Δt q=-∞ j=0 jq - ΔtMujq , μj ujq - ΔtMujq - (ujq, μj ujq ) = = '\" '\" ((uκ , μj uκ ) - (uκ , μj uκ )l - Δt q=-∞ j=0 +∞ jq jq J -1 jq jq - ΔxΔy '\" '\" ((Muκ , μj uκ ) + (uκ , μj Muκ ) - Δt(Muκ , μj Muκ )l = q=-∞ j=0 jq jq jq jq jq jq = -ΔxΔy +∞ '\" J -1 '\" ((Muκ , μj uκ ) + (uκ , μj Muκ ) - Δt(Muκ , μj Muκ )l = q=-∞ j=0 jq jq jq jq jq jq = -ΔxΔy +∞ '\" J -1 '\" (uκ , (MT μj + μj M - ΔtMT μj Ml uκ ). jq jq q=-∞ j=0 Обозначим O = Δt C. Тогда Δy L(uκ) - L(wκ) ΔxΔy = +∞ '\" J -1 '\" ((uκ κ κ κ Δt ΔxΔy Δt +∞ J -1 q=-∞ j=0 jq, μj ujq ) - (wjq, μj wjq )l = = '\" '\" (( wκ ( κ κ l , μj wκ ( κ κ l ) - (wκ κ )l = Δt q=-∞ j=0 jq - O wjq - wjq-1 jq - O wjq - wjq-1 jq, μj wjq ΔxΔy = +∞ '\" J -1 '\" (wκ κ κ κ κ κ κ Δt q=-∞ j=0 jq, μj wjq ) - (wjq, μj wjq ) - 2 (μj wjq, O (wjq - wjq-1l) + ΔxΔy + Δt +∞ '\" J -1 jq '\" (μj O (wκ - w κ jq-1 jq l , O (wκ - w κ jq-1 l) = ΔxΔy q=-∞ j=0 +∞ J -1 = '\" '\" (μj O (wκ · wκ l , O (wκ · wκ l) - 2 (μj wκ , O (wκ · wκ l) = Δt q=-∞ j=0 jq jq-1 jq jq-1 jq jq jq-1 ΔxΔy = +∞ '\" J -1 '\" (μj Owκ , Owκ ) - 2 (μj Owκ , Owκ ) + (μj Owκ , Owκ ) + Δt q=-∞ j=0 jq jq jq jq-1 jq-1 jq-1 ΔxΔy + +∞ '\" J -1 '\" -2 (μj wκ , Owκ ) +2 (μj wκ , Owκ ) = Δt q=-∞ j=0 jq jq jq jq-1 ΔxΔy = +∞ '\" J -1 '\" (μj Owκ ) +2 (μj [E - O] wκ , Owκ ) + Δt jq q=-∞ j=0 jq jq-1 + (μj Owκ , Owκ ) - 2 (μj wκ , Owκ ) . jq-1 jq-1 jq jq В силу критерия Куранта-Фридрихса-Леви, матрица (E - O) � 0. Положим матрицу (E - O)μj O положительно определенной. Следовательно, получаем 2 (μj [E - O] wκ , Owκ \ � (μj (E - O)wκ , Owκ \ + (μj (E - O)wκ , Owκ \ = \ jq jq-1 jq jq jq-1 jq-1 = (μj wκ , Owκ \ - (μj Owκ , Owκ ) + ( wκ , Owκ - (μj Owκ , Owκ . jq jq jq jq μj jq-1 jq-1 jq-1 ) jq-1 Принимая во внимание это неравенство, имеем L(uκ) - L(wκ) Δt ΔxΔy = +∞ J -1 ⎧ ( κ κ ) ( κ κ \ ⎫ = '\" '\" ⎨ μj Owjq, Owjq +2 μj [E - O] wjq, Owjq-1 + ⎬ � Δt ⎩ + (μj Owκ , Owκ ) - 2 (μj wκ , Owκ \ ⎭ q=-∞ j=0 jq-1 jq-1 jq jq ΔxΔy +∞ J -1 '\" '\" ((μj Owκ , Owκ + μj wκ , Owκ - μj Owκ , Owκ = � Δt q=-∞ j=0 ) ( ) ( jq jq jq jq )l jq jq ΔxΔy +∞ J -1 ⎧ (μj wκ , Owκ ) - (μj Owκ , Owκ ) + ⎫ = '\" '\" ⎨ jq-1 jq-1 jq-1 jq-1 ⎬ = Δt ⎩ + (μj Owκ , Owκ ) - 2 (μj wκ , Owκ \ ⎭ q=-∞ j=0 jq-1 jq-1 jq jq ΔxΔy = +∞ '\" J -1 '\" ((μj wκ , Owκ ) - (μj wκ , Owκ )l, Δt q=-∞ j=0 jq-1 jq-1 jq jq или L(uκ) - L(wκ) ΔxΔy +∞ '\" J -1 '\" ((μj wκ κ κ κ Δt � Введем обозначения Δt q=-∞ j=0 jq-1, Owjq-1) - (μj wjq, Owjq )l = 0. Wκ (vI)κ Г K+ 0 l Δt j = ( v κ j-1 II) j+1 , |K| = 0 K- , D = Δx |K| . Учитывая эти обозначения, имеем: L(wκ) - L(vκ) ΔxΔy = +∞ '\" J -1 '\" ((wκ , μj wκ ) - (vκ , μj vκ )l = Δt ΔxΔy Δt +∞ J -1 jq jq q=-∞ j=0 jq jq = '\" '\" (( vκ ( κ κ l , μj vκ ( κ κ l ) - (vκ κ l Δt q=-∞ j=0 jq - D vjq - Wjq jq - D vjq - Wjq jq, μj vjq ) = ΔxΔy = +∞ '\" J -1 '\" ((vκ , μj vκ ) - (vκ , μj vκ ) - 2 (μj vκ , D (vκ - Wκ l)l + Δt jq jq q=-∞ j=0 jq jq jq jq jq ΔxΔy + +∞ '\" J -1 '\" ((μj D (vκ · Wκ l , D (vκ · Wκ l)l = Δt q=-∞ j=0 jq jq jq jq ΔxΔy = +∞ '\" J -1 '\" ((μj D (vκ · Wκ l , D (vκ · Wκ l) - 2 (μj vκ , D (vκ · Wκ l)l = Δt q=-∞ j=0 jq jq jq jq jq jq jq ΔxΔy = +∞ '\" J -1 '\" ((μj Dvκ , Dvκ ) - 2 (μj Dvκ , DWκ ) + (μj DWκ , DWκ )l + Δt q=-∞ j=0 jq jq jq jq jq jq ΔxΔy + +∞ '\" J -1 '\" (-2 (μj vκ , Dvκ ) +2 (μj vκ , DWκ )l = Δt q=-∞ j=0 jq jq jq jq ΔxΔy = +∞ '\" J -1 '\" ((μj Dvκ , Dvκ ) +2 (μj (E - D)vκ , DWκ ) + Δt q=-∞ j=0 jq jq jq jq + (μj DWκ , DWκ ) - 2 (μj vκ , Dvκ )l . jq jq jq jq В силу критерия Куранта-Фридрихса-Леви, матрицы (E - D) � 0 и (E - D)μj D являются положительно определенными диагональными матрицами. Поэтому 2 (μj (E - D)vκ , DWκ \ � (μj (E - D)vκ , Dvκ \ + (μj (E - D)Wκ, DWκ\ = jq jq ( \ jq jq j j ( \ = μj vκ , Dvκ - (μj Dvκ , Dvκ ) + μj Wκ , DWκ - (μj DWκ , DWκ ) . jq j jq jq jq jq jq jq Учитывая это неравенство, получаем L(wκ) - L(vκ) ΔxΔy = +∞ '\" J -1 '\" ((μj Dvκ , Dvκ ) +2 (μj (E - D)vκ , DWκ ) + Δt Δt q=-∞ j=0 jq jq jq jq + (μj DWκ , DWκ ) - 2 (μj vκ , Dvκ )l � ΔxΔy jq jq +∞ J -1 jq jq '\" '\" ((μj Dvκ , Dvκ + μj vκ , Dvκ - μj Dvκ , Dvκ + � Δt q=-∞ j=0 ) ( ) ( jq jq jq jq )l jq jq ΔxΔy + +∞ '\" J -1 '\" ((μj Wκ , DWκ ) - (μj DWκ , DWκ ) + Δt q=-∞ j=0 jq jq jq jq + (μj DWκ , DWκ ) - 2 (μj vκ , Dvκ )l = jq jq jq jq ΔxΔy = +∞ '\" J -1 '\" ((μj Wκ , DWκ ) - (μj vκ , Dvκ )l, или Δt q=-∞ j=0 jq jq jq jq L(wκ) - L(vκ) ΔxΔy +∞ '\" J -1 '\" ((μj Wκ κ κ κ Δt � Δt q=-∞ j=0 jq, DWjq ) - (μj vjq, Dvjq )l. Отдельно преобразуем первую квадратичную форму в правой части этого неравенства: ΔxΔy +∞ '\" J -1 '\" (μj Wκ κ +∞ '\" ( J -1 '\" κ Г μ+e-νxj K+ 0 l κ \ Δt q=-∞ j=0 jq, DWjq ) = Δy q=-∞ j=0 Wjq, 0 μ-eνxj K- Wjq = +∞ J -1 ( Г μ+e-νxj-1 K+ 0 l \ Wκ = e-νΔxΔy '\" '\" W = jq, κ 0 μ-eνxj+1 K- jq q=-∞ j=0 = e-νΔxΔy +∞ '\" J -1 '\" (((vI)κ + -νxj-1 + ( I)κ \ + q=-∞ j=0 j-1,q ,μ e K v j-1,q + (vII) ( κ j+1,q , μ-e νxj+1 K- (v II)κ j+1,q \\ = = e-νΔxΔy +∞ '\" J -1 '\" ((vI)κ + -νxj + ( I)κ \ q=-∞ j=0 +∞ jq ,μ e K v jq + + e-νΔxΔy '\" e-νΔx (((vI)κ + -νx-1 + ( I)κ \ - q=-∞ -1,q ,μ e K v -1,q - e-νΔx ((vI)κ + -νxJ -1 + ( I)κ \\ + J -1,q ,μ e K v J -1,q + e-νΔxΔy +∞ '\" J -1 '\" ((vII)κ - νxj · ( II)κ \ q=-∞ j=0 +∞ jq ,μ e K v jq + + e-νΔxΔy '\" -e-νΔx ((vII)κ - νx0 · ( II)κ \ -νΔx (( II)κ o νxJ · ( II)κ \ q=-∞ +∞ J -1 0q ,μ e K v 0q + e v Jq ,μ e K v Jq = = e-νΔxΔy '\" '\" (vκ , μj |K| vκ ) + jq jq q=-∞ j=0 +∞ vI + e-νΔxΔy '\" ((vI)κ + -νx0 + ( I)κ \ (( )κ - + -νxJ + ( I)κ \ - q=-∞ +∞ -1,q ,μ e K v -1,q J -1,q ,μ e K v J -1,q - e-νΔxΔy '\" ((vII)κ - νx-1 · ( II)κ \ (( II)κ o νxJ -1 · ( II)κ \ q=-∞ +∞ J -1 0q ,μ e K v 0q + v Jq ,μ e K v Jq = = e-νΔxΔy '\" '\" (vκ , μj |K| vκ ) + q=-∞ j=0 +∞ jq (vI)κ jq Г μ+e-νx0 K+ 0 l (vI)κ + e-νΔxΔy '\" q=-∞ ( -) 1,q , v II κ Jq 0 μ-eνxJ -1 K- v ( -) 1,q - II κ Jq +∞ (vI)κ Г μ+e-νxJ K+ 0 l (vI)κ - e-νΔxΔy '\" q=-∞ ( J -1,q , v II)κ 0q 0 μ-eνx-1 K- ( J -1,q . v II)κ 0q С учетом краевых условий (vI)κ+1 ( 0 s \ (vI)κ+1 имеем -1,q v ( II)κ+1 Jq = r 0 J -1,q v ( II)κ+1 0q ΔxΔy +∞ J -1 +∞ J -1 '\" '\" (μj Wκ κ -νΔx '\" '\" κ κ Δt q=-∞ j=0 jq, DWjq ) = e Δy q=-∞ j=0 (vjq, μj |K| vjq )+ +∞ ( 0 s \ (vI)κ+1 Г μ+e-νx0 K+ 0 l( 0 s \ (vI)κ+1 + Δy '\" r 0 q=-∞ , J -1,q v ( II)κ+1 0q 0 μ-eνxJ -1 K- r 0 ( J -1,q v II)κ+1 - 0q +∞ (vI)κ Г μ+e-νxJ K+ 0 l (vI)κ - Δy '\" q=-∞ ( J -1,q , v II)κ 0q 0 μ-eνx-1 K- ( J -1,q . v II)κ 0q Предположим, что условие диссипативности Г μ+e-νxJ K+ 0 0 μ-eνx-1 K- выполняется. Тогда имеем l ( 0 r - s 0 \Г μ+e-νx0 K+ 0 0 μ-eνxJ -1 K- l( 0 s \ r 0 > 0 ΔxΔy +∞ J -1 +∞ J -1 '\" '\" (μj Wκ κ -νΔx '\" '\" κ κ Δt и, следовательно, q=-∞ j=0 jq, DWjq ) � e Δy q=-∞ j=0 (vjq, μj |K| vjq ) L(wκ) - L(vκ) νΔx +∞ '\" J -1 '\" ( κ +∞ κ '\" J -1 '\" ( κ κ Δt � e- +∞ Δy J -1 q=-∞ j=0 vjq, μj |K| vjq ) - Δy q=-∞ j=0 +∞ vjq, μj |K| vjq ) = J -1 = (e-νΔx - 1)Δy '\" '\" (vκ , μj |K| vκ ) � -α(1 - e-νΔx)Δy '\" '\" (vκ , μj vκ ). jq jq q=-∞ j=0 jq jq q=-∞ j=0 Здесь Так как i α = min |ki| . MT μj + μj M - ΔtMT μj M, j = 0,...,J - 1 являются неотрицательно определенными матрицами, и существуют константы i ν, α = min |ki| , такие, что получаем 0 < α(1 - e-νΔx) < 1, Здесь L(vκ+1) - L(uκ) Δt � 0, L(uκ) - L(wκ) Δt � 0, η = α(1 - e-νΔx). - L(wκ) L(vκ) - < ηL(vκ). Δt Таким образом, либо L(vκ+1) - L(vκ) Δt Lκ+1 - Lκ < -ηL(vκ) - < ηLκ. Δt Применяя данное неравенство рекуррентным образом, получаем Lκ+1 < (1 - Δtη)κ+1 L0 � e-ηΔt(κ+1)L0 = e-ηtκ+1 L0, κ = 0,...,N - 1. Обозначим C1 = min 1�i�n 0�j�J -1 �i�n {wij : |μj - wij E| = 0} , C2 = 1 max 0�j�J -1 {wij : |μj - wij E| = 0} . Тогда C1E � μj � C2E, j = 0,...,J - 1. Отсюда следует, что J -1 J -1 C1Δx '\" (vκ, vκ) � Lκ � C2e-ηtκ Δx '\" (v0, v0), κ = 0,..., N, j j j=0 j j j=0 J -1 J -1 Δx '\" (vκ, vκ) � Ce-ηtκ Δx '\" (v0, v0), κ = 0,...,N ; C = C2/C1. j j j=0 j j j=0 j Следовательно, численное решение vn исходной задачи является экспоненциально устойчивым по норме L2. Теорема 3.1 доказана.