Операторный подход к задаче о малых движениях идеальной релаксирующей жидкости

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ В работе изучается задача о малых движениях идеальной релаксирующей жидкости, заполняющей равномерно вращающийся либо неподвижный контейнер. Модель идеальной релаксирующей жидкости является обобщением модели идеальной баротропной жидкости и состоит в учете эффектов памяти в соотношении, связывающем давление и плотность жидкости. Эта модель изучалась в [18, гл. 11, § 6] в случае неподвижного контейнера и при дополнительном условии на динамическую плотность. Во втором разделе приводится постановка начально-краевой задачи, описывающей изучаемую систему. В третьем разделе начально-краевая задача сводится к задаче Коши для системы интегродифференциальных уравнений первого порядка в некоторых гильбертовых пространствах. Доказывается теорема об однозначной сильной разрешимости изучаемой задачи. При этом система интегродифференциальных уравнений и начальных условий специальным образом сводится к задаче Коши для дифференциального уравнения первого порядка в некотором гильбертовом пространстве. Главный оператор этого уравнения есть операторная блок-матрица, а задача о спектре этого оператора ассоциируется с задачей о спектре идеальной релаксирующей жидкости. В случае, если система не вращается, этот оператор генерирует равномерно экспоненциально устойчивую полугруппу. Отсюда находится асимптотическое поведение решения изучаемой задачи при нагрузках, близких к почти периодическим. В четвертом разделе исследуется спектр операторной блок-матрицы. В случае, если система вращается, существенный спектр оператора состоит из отрезка на мнимой оси, обусловленного внутренними инерционными волнами в жидкости, и набора отрезков на действительной оси, обусловленного эффектами памяти в системе. В случае, когда система не вращается, существенный спектр задачи состоит только из отрезков на действительной оси. Если при этом система находится в невесомости, указанные отрезки схлопываются в конечный набор точек. Оставшийся спектр оператора - дискретный, расположен в некоторой вертикальной полосе и сгущается к бесконечности. В связи со спектральной задачей отметим здесь монографию [4] (см. также указанную там литературу), в которой проводится систематическое исследование широкого класса функционально-дифференциальных и интегродифференциальных уравнений методами спектральной теории. В пятом разделе исследуется случай, когда система находится в невесомости и не вращается. В этом случае весь спектр главного оператора может быть найден из счетного набора характеристических уравнений. Доказано, что система корневых элементов главного оператора образует p-базис при p > 3 в основном гильбертовом пространстве. Отсюда находится представление решения исходной задачи в виде ряда по некоторой системе элементов. 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим контейнер, равномерно вращающийся вокруг оси, сонаправленной с действием силы тяжести, и полностью заполненный идеальной неоднородной жидкостью. Будем считать, что жидкость занимает ограниченную область Ω ⊂ R3. Обозначим через n единичный вектор, нормальный к границе ∂Ω и направленный вне области Ω. Введем систему координат Ox1x2x3, жестко связанную с контейнером, таким образом, что ось Ox3 совпадает с осью вращения и направлена против действия силы тяжести, а начало координат находится в области Ω. В этом случае равномерная скорость вращения контейнера запишется в виде ω0e3, где e3 - орт оси вращения Ox3, а ω0 > 0, для определенности. Будем считать, что внешнее стационарное поле сил F0 является гравитационным и действует вдоль оси вращения, т. е. F0 = -ge3, g > 0. Рассмотрим состояние относительного равновесия жидкости. Из уравнения Эйлера движения идеальной жидкости, записанного в подвижной системе координат, найдем формулу для градиента стационарного давления (см. [9, гл. 5, § 1, п. 1]): ∇P0 = ρ0( - ω2e3 × (e3 × r) - ge3) = ρ0∇( 0 2 ω2 \ |e3 × r| - gx3 = ρ0∇ ( ω 2 0 (x2 + x2) - gx3 \, (2.1) 0 2 2 1 2 где r - радиус-вектор текущей точки области Ω, а ρ0 - стационарная плотность жидкости. В состоянии относительного равновесия динамические составляющие давления и плотности, отвечающие за эффекты релаксации в жидкости, отсутствуют. Поэтому будем считать, что в состоянии относительного равновесия жидкость баротропна и удовлетворяет следующему урав- ∞ ∞ нению состояния: P0 = a2 ρ0, где a - скорость звука в жидкости. Из этого уравнения и со- 0 отношения (2.1) заключаем, что ρ и a2 ∞ могут быть в общем случае функциями параметра z := 2-1ω2(x2 + x2) - gx3. Далее будем считать, что в жидкости задана скорость звука a2 = const, 0 1 2 ∞ ∞ тогда стационарная плотность может быть найдена из (2.1) как функция параметра z следующим образом: ρ0(z) = ρ0(0) exp(za-2), где ρ0(0) - плотность жидкости в начале координат. При этом стационарная плотность ρ0 будет постоянной, только если в системе отсутствует вращение и гравитационное поле, т. е. при ω0 = 0 и g = 0. Представим теперь полное давление и плотность жидкости в виде: P�(t, x) = P0(z)+ p(t, x), ρ(t, x) = ρ0(z)+ � t, x), где p(t, x) и � t, x) - это динамическое давление и плотность, соответ- � ρ( ρ( ственно, возникающие при малых движениях жидкости относительно стационарного состояния. Предположим, что динамические составляющие удовлетворяют следующему реологическому соотношению: ( 2 ∂ ∂ ∂ \ ( ( \ Pm ∇p(t, x) = a Pm + ρ0(z)Qm ( \\ 1 ρ(t, x), (2.2) ∂t ∞ ∂t - ∂t ∇� - m где Pm(λ), Qm-1(λ) - полиномы степеней m и m - 1, соответственно. Предположим, что корни полинома Pm(λ) вещественны, различны и отрицательны, обозначим их через -bl (l = 1, m), а дробь Qm 1(λ)P -1(λ) имеет следующее разложение: - '\" Qm 1(λ) m = Pm(λ) l=1 kl bl + λ , (2.3) ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ 461 где kl > 0 (l = 1, m). Из определяющего соотношения (2.2) с помощью преобразования Лапласа и представлений (2.3) можно вывести (см. [7, с. 43-46]) следующее уравнение состояния: m rt ∇p(t, x) = a2 ∇ρ(t, x) - a2 ρ0(z) '\" e-bl(t-s)∇(klρ(s, x)) ds. (2.4) ∞ � ∞ � l=1 0 В (2.4) мы пренебрегли экспоненциально затухающим во времени слагаемым, порождаемым состоянием жидкости в начальный момент времени. Это слагаемое можно считать отнесенным l к полю внешних сил. Числа b-1 имеют смысл времен релаксации в системе, а kl - некоторые структурные постоянные. В качестве математического обобщения будем считать, что kl = kl(x) - непрерывно дифференцируемые положительные и отделенные от нуля функции. В случае, когда система не вращается и находится в невесомости (ω0 = 0, g = 0), функции kl(x) будем считать положительными константами. Осуществим линеаризацию уравнения Эйлера, записанного в подвижной системе координат, относительно состояния относительного равновесия. С использованием уравнения состояния (2.4) получим задачу о малых движениях идеальной релаксирующей жидкости, заполняющей равномерно вращающееся твердое тело: ⎧ ∂u(t, x) ⎪ ( ) ⎨ ⎪ ∂t - 2ω0 u(t, x) × e3 + ∇ ( a2 \ ∞ ρ( ρ ) � t, x) - r m t '\" e-bl(t ∇(a kl(x)ρ(s, x)) ds = f (t, x), -s) 2 ∞ � ⎪ ρ(t, x) 0(z l=1 0 ⎪⎩ ∂ � ∂t + div(ρ0(z)u(t, x)) = 0 (в Ω), u(t, x) · n = 0 (на ∂Ω), где u(t, x) - поле скоростей жидкости в подвижной системе координат, а f (t, x) - малое поле внешних сил, наложенное на гравитационное поле. Осуществим в полученной системе, с целью ее симметризации, следующую замену: 0 a∞ρ- В результате получим основную задачу: 1/2 ρ( (z)� t, x) =: ρ(t, x). ⎧ ∂u(t, x) ⎪ ( ) ⎪ ∂t - 2ω0 ⎪ ⎨⎪ u(t, x) × e3 + 1/2 t m r b (t-s) 1/2 ⎪ ⎪ ⎪ ∂ρ(t, x) 0 +∇(a∞ρ- -1/2 (z)ρ(t, x)) - '\" l=1 0 e- l ∇(a∞ρ0 (z)kl(x)ρ(s, x)) ds = f (t, x), (2.5) ∂t ⎩⎪ + a∞ρ0 (z)div(ρ0(z)u(t, x)) = 0 (в Ω), u(t, x) · n = 0 (на ∂Ω). Для полноты формулировки задачи зададим начальные условия: u(0, x) = u0(x), ρ(0, x) = ρ0(x). (2.6) l Всюду далее будем предполагать, что физические параметры связаны следующим неравенством, характеризующим малость времен релаксации b-1 или структурных функций kl(x): m 2 1 - '\" kl(x)ρ0(z) > 0 ∀ x ∈ Ω (z = ω0 (x2 + x2) - gx ). (2.7) bl l=1 2 1 2 3 3. ТЕОРЕМА О РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ И ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ПРИ НАГРУЗКАХ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА В этом разделе начально-краевая задача (2.5)-(2.6), описывающая малые движения вращающейся идеальной релаксирующей жидкости, с помощью специальных операторов сводится к задаче Коши (3.20) (в векторно-матричной форме (3.21)) для системы дифференциально-операторных уравнений в гильбертовом пространстве. Затем исследуется вопрос разрешимости задачи Коши (3.21) и доказывается теорема 3.1. 462 Д. А. ЗАКОРА В случае, когда система не вращается, т. е. при ω0 = 0, исследуется поведение решения задаn чи (2.5)-(2.6) при нагрузках вида f (t, x) = g(t, x)+ ), e-iσktfk (t, x), где σk ∈ R (k = 0, n). Доказыk=0 вается теорема 3.2 об асимптотическом поведении решения задачи. 1. Проектирование уравнений движения. Для перехода к операторной формулировке задачи (2.5)-(2.6) применим метод ортогонального проектирования уравнений движения на специальные подпространства [9]. Введем векторное пространство L2(Ω, ρ0) со скалярным произведением и нормой следующего вида: r (u1, u2)L2(Ω,ρ0) := Ω r L2(Ω,ρ0) ρ0(z)u1(x) · u2(x) dΩ, lul2 = Ω ρ0(z)|u(x)|2 dΩ. (3.1) В силу свойств функции ρ0(z) очевидно, что нормы в пространствах L2(Ω, ρ0) и L2(Ω) эквивалентны, а значит L2(Ω, ρ0) - гильбертово. Можно проверить, что имеет место разложение (аналог разложения Г. Вейля пространства векторных полей L2(Ω) (см. [9, гл. 2, § 1, п. 8])): L2(Ω, ρ0) = J0(Ω, ρ0) ⊕ G(Ω, ρ0), (3.2) 1 J0(Ω, ρ0) := {u ∈ L2(Ω, ρ0)1 div(ρ0(z)u) = 0 (в Ω), un := u · n = 0 (на ∂Ω)�, 1 G(Ω, ρ0) := {u ∈ L2(Ω, ρ0)1 u = ∇ϕ, r ϕ dΩ = 0�. Ω Здесь операции divu и un понимаются в смысле теории обобщенных функций (распределений), см. [9, гл. 2, § 1, п. 6]. Введем ортопроекторы P0 и PG пространства L2(Ω, ρ0) на J0(Ω, ρ0) и G(Ω, ρ0) соответственно. Будем разыскивать поле u в виде: u = v + ∇ϕ, где v ∈ J0(Ω, ρ0), ∇ϕ ∈ G(Ω, ρ0). (3.3) Подставим представление (3.3) в уравнения (2.5) и применим к правой и левой частям первого уравнения ортопроекторы P0 и PG, отвечающие разложению (3.2). Преобразуем также граничное условие в (2.5) и начальные условия (2.6). В результате получим следующую задачу: ( ) ( ) ⎧ ∂v(t, x) ⎪ ⎪ ∂t - 2ω0P0 v(t, x) × e3 - 2ω0P0 ∇ϕ(t, x) × e3 = P0f (t, x), ( ⎪ ∂∇ϕ(t, x) ⎪ ⎪ ∂t - 2ω0PG (v(t, x) × e3) - 2ω0PG ∇ϕ(t, x) × e3)+ ⎨ ⎪ +∇(a ρ-1/2 m rt (z)ρ(t, x)) - '\" e-bl(t-s)∇(a ρ1/2 (z)k (x)ρ(s, x)) ds = P f (t, x), (3.4) ∞ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ∂ρ(t, x) l=1 0 ∞ 0 l G ∂ϕ(t, x) ⎪ -1/2 ∂t ⎩ + a∞ρ0 (z)div(ρ0(z)∇ϕ(t, x)) = 0 (в Ω), = 0 (на ∂Ω), ∂n v(0, x) = P0u0(x), ∇ϕ(0, x) = PGu0(x), ρ(0, x) = ρ0(x). (3.5) 2. Операторная формулировка задачи. Введем операторы S11, S12, S21, S22: S11v := iP0(v×e3), S12∇ϕ := iP0(∇ϕ×e3), S21v := iPG(v×e3), S22∇ϕ := iPG(∇ϕ×e3). (3.6) Обозначим через S операторный блок, составленный из операторов Sjk и действующий в гильбертовом пространстве L2(Ω, ρ0) = J0(Ω, ρ0) ⊕ G(Ω, ρ0). Имеет место лемма, доказательство которой подобно доказательству аналогичной леммы о свойствах кориолисова оператора из [9]. Лемма 3.1 (см. [9, гл. 5, § 1, п. 2]). Оператор S является самосопряженным и ограниченным в L2(Ω, ρ0): S = S∗, S ∈ L(L2(Ω, ρ0)); более того, lSl = 1. Спектр оператора S11 существенный (см. [19]) и заполняет отрезок [-1, 1]: σ(S11) = σess(S11) = [-1, 1] (здесь через σess(S11) обозначен существенный (предельный) спектр оператора S11 - см. определение 4.1). Будем считать далее, что граница ∂Ω области Ω класса C2. ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ 463 Лемма 3.2. Введем пространство ∂ϕ r 1 HA := {∇ϕ ∈ W1(Ω)1 = 0 (на ∂Ω), ϕ dΩ = 0} 2 1 ∂n Ω с нормой, порожденной скалярным произведением следующего вида: r (∇ϕ1, ∇ϕ2)A := Ω ( 0 ∇ 1) ( 0 ∇ 2) a2 ∞ div ρ (z) ϕ div ρ (z) ϕ dΩ. ρ0(z) Пространство HA является гильбертовым, оно компактно вложено в пространство G(Ω, ρ0). Порождающий оператор A гильбертовой пары (HA; G(Ω, ρ0)), являющийся самосопряженным и положительно определенным в G(Ω, ρ0), обладает дискретным спектром. Для каждого поля ∇q ∈ G(Ω, ρ0) существует и единственно обобщенное решение задачи ( a2 \ ∂ϕ r 0 ∇ -∇ ∞ div(ρ (z) ϕ) ρ0(z) = ∇q (в Ω), = 0 (на ∂Ω), ∂n ϕ dΩ = 0, Ω выражаемое формулой ∇ϕ = A-1∇q. Более того, A-1 ∈ Sp(G(Ω, ρ0)) при p > 3/2 и справедлива следующая асимптотическая формула для собственных значений оператора A: λk (A) = ( 1 6π2a6 0 Ω r ρ-3/2(z) d \-2/3 k2/3(1 + o(1)) (k → +∞). ∞ Ω Доказательство. 1. Покажем, что HA - гильбертово пространство. Рассмотрим задачу ∂ϕ Lϕ := -div(ρ0(z)∇ϕ) = f (в Ω), Bϕ := ∂n = g (на ∂Ω). (3.7) Можно проверить, что дифференциальное выражение L правильно эллиптично, а граничное условие B накрывает его (см. [2, гл. 3, § 6, п. 1, с. 222]). Таким образом, задача (3.7) эллиптична, а ее ядро, т. е. решение задачи (3.7) при f ≡ 0, g ≡ 0, как несложно проверить, состоит из констант. Из [2, гл. 3, § 6, п. 2, лемма 6.3] следует, что существует такая константа c > 0, что W 2 c-1lϕl2 lLϕl2 clϕl2 2 2 ∀ ϕ ∈ W 2(Ω, B), (3.8) 2 (Ω) L2(Ω) W2 (Ω) 1 где W 2(Ω, B) := {ϕ ∈ W 2(Ω)1 ∂ϕ = 0 (на ∂Ω), (ϕ, 1) = 0}. 2 2 1 ∂n L2(Ω) Из (3.8) для каждого поля ∇ϕ ∈ HA выведем следующие неравенства: 2 -1 2 -1 2 -1 2 -1 2 ∞ 0 W 2 l∇ϕlA ;; c a min ρ (z)lϕl ∞ 0 W1 ;; c a min ρ (z)l∇ϕl , (3.9) x∈Ω 2 (Ω) 2 x∈Ω 2 -1 2 (Ω) 2 l∇ϕl2 ca2 max ρ-1(z)lϕl 2 cc1a max ρ (z)l∇ϕl 1 , (3.10) ∈ A ∞ x Ω 0 W2 (Ω) 0 ∞ x∈Ω W2 (Ω) где c1 > 0 некоторая константа. Таким образом, HA - гильбертово пространство. 2. Пространство HA является плотным множеством в G(Ω, ρ0). Из неравенства (3.9), с учетом того, что l∇ϕl2 l max ρ0(z)l∇ϕ 2 1 2 для каждого ∇ϕ ∈ W1(Ω) ∩ G(Ω, ρ0), следует, что G(Ω,ρ0) x∈Ω W2 (Ω) HA и G(Ω, ρ0) образуют гильбертову пару (HA; G(Ω, ρ0)). Найдем порождающий оператор A указанной гильбертовой пары; он определяется из тождества (см. [9, гл. 1, § 3, п. 1, формула (3.5)]) (A∇ϕ1, ∇ϕ2)G(Ω,ρ0) = (∇ϕ1, ∇ϕ2)A, ∇ϕ1 ∈ D(A), ∇ϕ2 ∈ HA. (3.11) Для дважды дифференцируемого поля ∇ϕ1 с использованием формулы Грина для оператора Лапласа тождество (3.11) можно преобразовать следующим образом: r (A∇ϕ1, ∇ϕ2)G(Ω,ρ0) = Ω ( 0 ∇ 1) ( 0 ∇ 2) a2 ∞ div ρ (z) ϕ div ρ (z) ϕ dΩ = ρ0(z) r = - ρ0(z)∇ ∞ ( 0 ∇ 1) ( a2 \ div ρ (z) ϕ ρ0(z) r § ∇ϕ2 dΩ+ ∞ a2 div(ρ0(z)∇ϕ1) ∂ϕ2 ∂n dS = Ω ∂Ω 464 Д. А. ЗАКОРА ( a2 \ 0 ∇ 1 = ( -∇ ∞ div(ρ (z) ϕ ) ρ0(z) 0 , ∇ϕ2)G(Ω,ρ ). Отсюда следует, что дважды дифференцируемое решение уравнения A∇ϕ1 = ∇q является решением задачи ( a2 \ ∂ϕ1 r 0 ∇ 1 -∇ ∞ div(ρ (z) ϕ ) ρ0(z) = ∇q (в Ω), = 0 (на ∂Ω), ∂n ϕ1 dΩ = 0. Ω Эта задача имеет единственное обобщенное решение ∇ϕ1 = A-1∇q для каждого поля ∇q ∈ G(Ω, ρ0). 2 Из неравенств (3.9)-(3.10) и компактности вложения пространства W1(Ω) в L2(Ω, ρ0) следует, что пространство HA компактно вложено в G(Ω, ρ0). Это влечет компактность оператора A-1, а значит, оператор A обладает дискретным спектром. Асимптотическая формула для собственных значений оператора A следует из общих формул из работы [3]. 0 0 L2(Ω) Введем скалярное гильбертово пространство L2(Ω) функций суммируемых со своими квадратами по области Ω, а также его подпространство L2,ρ (Ω) := {f ∈ L2(Ω) | (f, ρ1/2) = 0}. Ортопроектор пространства L2(Ω) на подпространство L2,ρ0 (Ω) имеет следующий вид: 1/2 1/2 2 1/2 Определим оператор L2(Ω) Πf := f - (f, ρ0 )L2(Ω)lρ0 l- ρ0 (z). 0 B∇ϕ := a∞ρ- 1/2 (z)div(ρ0(z)∇ϕ), D(B) := HA. (3.12) Тогда B : D(B) ⊂ G(Ω, ρ0) → L2,ρ0 (Ω), KerB = {0}, оператор B замкнут и -∇ 0 B∗ρ = (a∞ρ- 1/2 2 (z)ρ), D(B∗) = W 1 (Ω) ∩ L2,ρ0 (Ω), KerB∗ = {0}. (3.13) По теореме о полярном представлении замкнутого оператора [15, гл. 8, § 1] существует унитар- 1/2 ный оператор U : G(Ω, ρ0) → L2,ρ0 (Ω) такой, что B = UA . Определим операторы Mlρ := Πρ0klΠρ (l = 1, m). (3.14) Эти операторы, очевидно, являются ограниченными, самосопряженными и положительно определенными операторами в L2,ρ0 (Ω). Кроме того, MlD(B∗) ⊂ D(B∗) (l = 1, m). Из (2.7) следует, что m l I - ), b-1Ml » 0. l=1 С помощью введенных операторов задачу (3.4)-(3.5) перепишем в виде основной задачи Коши для следующей системы дифференциально-операторных уравнений в гильбертовых пространствах J0(Ω, ρ0), G(Ω, ρ0) и L2,ρ0 (Ω): ⎧ dv(t) ⎪ = -2ω0i S11v + S12∇ϕ + P0f (t), ⎪ dt ⎪ ⎪ ⎨ d∇ϕ(t) = dt ⎪ ⎪ -2ω0i S21v + S22∇ϕ + B∗ρ(t) - r m t '\" l=1 0 e-bl(t-s)B∗Mlρ(s) ds + PGf (t), (3.15) ⎪ dρ(t) 0 0 0 dt ⎩⎪ = -B∇ϕ(t), v(0) = P0u , ∇ϕ(0) = PGu , ρ(0) = ρ . Определение 3.1. Сильным решением исходной начально-краевой задачи (2.5)-(2.6) назовем такие u и ρ, для которых v, ∇ϕ и ρ являются сильным решением задачи Коши (3.15). В свою очередь сильным решением задачи Коши (3.15) назовем такие v, ∇ϕ и ρ, что ∇ϕ(t) ∈ D(B) = D(A1/2), ρ(t) ∈ D(B∗) для любого t ∈ R+, B∗ρ(t), ∇ϕt(t) ∈ C(R+; G(Ω, ρ0)), B∇ϕ(t), ρt(t) ∈ C(R+; L2,ρ0 (Ω)), выполнены начальные условия и уравнения из (3.15) для любого t ∈ R+ := [0, +∞). ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ 465 3. Теорема о разрешимости. Теорема 3.1. Пусть P0u0 ∈ J0(Ω, ρ0), PGu0 ∈ D(B), ρ0 ∈ D(B∗), f (t) ∈ C1(R+; L2(Ω, ρ0)). Тогда задача Коши (3.15) имеет единственное сильное решение. Доказательство. 1. Предположим, что задача (3.15) имеет сильное решение, и сведем ее к задаче Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Пусть ∇ϕ(t), ρ(t) - сильное решение системы (3.15) (см. определение 3.1). С использованием леммы 3.2, интегрирования по частям и формул (3.12)-(3.14) можно проверить, что функции v(t), ∇ϕ(t) и ρ(t) удовлетворяют также следующей системе: ⎧ dv(t) ⎪ = -2ω0i S11v + S12∇ϕ + P0f (t), ⎪ dt ∇ ⎪ d ϕ(t) ⎪ ⎪ ⎪ dt ⎨ = -2ω0i S21v + S22∇ϕ + A1/2 r U ∗ I - m '\" 1 bl l=1 m Ml ρ(t)+ '\" l=1 e-blt 1 bl U ∗Mlρ0+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dρ(t) m + '\" l=1 U ∗ 1 bl t M 1/2 r l 0 e-bl(t-s) 1 bl M 1/2 dρ(s) l ds ds + PGf (t), (3.16) ⎩ ⎪ 1/2 - = UA dt ∇ϕ(t). Введем по ρ(t) следующие функции: u0(t) := - I - m '\" 1 M b l 1/2 t r ρ(t), ul(t) := - e-bl(t-s) 1 M b l 1/2 dρ(s) ds (l = 1, m). (3.17) ds l=1 l 0 l Функции u0(t), ul(t) (l = 1, m) непрерывно дифференцируемы на R+. Из (3.16), (3.17) получим, что они удовлетворяют следующей системе уравнений и начальных условий: ⎧ dv(t) ⎪ ⎪ dt = -f 2ω0i S11v + S12A-1/2A1/2∇ϕ r + P0f (t), ∇ ⎪ d ϕ(t) ⎪ = -A1/2 2ω i A-1/2S v + A-1/2S A-1/2A1/2∇ϕ + ⎪ dt ⎪ ⎪ 0 - l m 1 1/2 21 22 m 1 1/2 m 1 ⎪ ⎨ +U ∗ I '\" M bl u0(t)+ '\" U ∗ Ml bl b ul(t) - '\" e-blt U ∗Mlρ0 l + PGf (t), l=1 ⎪ ⎪ f m l=1 1/2 1/2 l=1 (3.18) - ⎪ du0(t) = ⎪ dt - I - '\" 1 M b l UA ∇ϕ(t) , ⎪ ⎪ ⎪ dul(t) l=1 l f 1 1/2 1/2 - ⎩ l ⎪ dt = - b Ml UA ∇ϕ(t)+ blul(t) (l = 1, m), m 1 1/2 0 ∇ G 0 - - l v(0) = P u0, ϕ(0) = P u0, u (0) = I '\" M bl ρ0, ul(0) = 0 (l = 1, m). l=1 Определим операторы T11 := 2ω0iS11, T12 := 2ω0iS12A-1/2, T21 := 2ω0iA-1/2S21, T22 := 2ω0iA-1/2S22A-1/2, 0 - l m 1 1/2 1 1/2 (3.19) Q := I '\" M bl U, Ql := Ml bl U (l = 1, m) l=1 466 Д. А. ЗАКОРА и перепишем систему (3.18) следующим образом: ⎧ dv(t) ⎪ ⎪ dt = - T11v + T12A1/2∇ϕ + P0f (t), m m ∇ ⎪ d ϕ(t) ⎪ 1/2 1/2 ∗ '\" ∗ '\" -blt ∗ ∗ 0 - ⎪⎨ dt = A T21v + T22A ∇ϕ + Q0u0(t)+ l=1 Ql ul(t) - e l=1 Ql QlU ρ + PGf (t), dt 0 ⎪ ⎪ du0(t) = - - Q A1/2∇ϕ(t) , ⎪ ⎪ ⎪⎩ dul(t) = - - Q A1/2∇ϕ(t)+ b u (t) (l = 1, m), dt l l l v(0) = P0u0, ∇ϕ(0) = PGu0, u0(0) = -Q0U ∗ρ0, ul(0) = 0 (l = 1, m). (3.20) m Систему (3.20) запишем в виде задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве Hω0 := J0(Ω, ρ0) ⊕ G(Ω, ρ0) ⊕ ( ⊕l=0 L2,ρ0 (Ω)): dξ dt = -Aω0 (ξ + ξρ0 (t)) + F(t), ξ(0) = ξ 0, (3.21) ξ(t) := (v(t); ∇ϕ(t); w(t))τ := (v(t); ∇ϕ(t); u0(t); u1(t); ... ; um(t))τ , m τ ξρ0 (t) := (0; 0; -(Q∗)-1 '\" e-bltQ∗QlU ∗ρ0; 0; ... ; 0) , (3.22) 0 l l=1 ξ0 := (P0u0; PGu0; -Q0U ∗ρ0; 0; ... ; 0)τ , F(t) := (P0f (t); PGf (t); 0; 0; ... ; 0)τ . Оператор Aω0 определяется по следующим формулам: 1/2 ⎛T11 T12 0 ⎞ Aω0 = diag(I, A , I) ⎝T21 T22 Q∗⎠ diag(I, A 0 -Q G 1/2 , I), (3.23) Q := (Q0, Q1,..., Qm)τ , G := diag(0, b1I,..., bmI), I := diag(I, I,...,I), f τ 1 1/2 ∗ 1/2 D(Aω0 ) = ξ = (v; ∇ϕ; w) ∈ H1 v ∈ J0(Ω, ρ0), ∇ϕ ∈ D(A ), Q w ∈ D(A ) . 1/2 1. Докажем, что оператор -Aω0 является генератором C0-полугруппы. Оператор Aω0 плотно определен, так как множество J0(Ω, ρ0) ⊕ D(A m ) ⊕ ( ⊕l=0 D(B ∗)) содержится в D(Aω0 ) и плотно в H. Оператор Aω0 аккретивен. Действительно, из леммы 3.1, (3.19) и (3.23) следует, что ( Re Aω0 ξ, ξ) H G = ( w, w) m ⊕l=0 L2,ρ0 (Ω) m 2 = '\" bllullL l=1 2,ρ0 (Ω) ;; 0, ∀ ξ ∈ D(Aω0 ). Осталось доказать, что оператор Aω0 замкнут и максимален. Для этого достаточно установить, что оператор Aω0 имеет на отрицательной полуоси регулярные точки. В связи с этим рассмотрим операторный пучок следующего вида: T11 - λ T12 0 ( \ T11 - λ T12 , L(λ) := T21 T22 - λA-1 ∗ + Rλ(G) Q 0, Q = T21 T22 - λA-1 + Q∗Rλ(G)Q (3.24) где Rλ(G) := (G- λ)-1 - резольвента оператора G. Из (3.19) и (3.23) найдем, что при всех λ < 0 ReL(λ) = -λ 0 » 0. 0 -λA-1 + Q∗Rλ(G)Q ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ 467 Отсюда и из факторизации оператора Aω0 - λ в форме Шура-Фробениуса теперь найдем, что при всех λ < 0 оператор Aω0 - λ непрерывно обратим и ⎛T11 - λ T12 0 ⎞-1 Rλ(Aω0 ) = diag(I, A- 1/2 , I) ⎝ T21 T22 - λA-1 Q∗ ⎠ diag(I, A-1/2 , I) = 0 -Q G - λ ⎛I 0 0⎞ ⎛ L-1(λ) L-1(λ) 0 ⎞ ⎛I 0 0 ⎞ ⎝ = ⎝0 A-1/2 0⎠ L-1(λ) 11 21 L-1(λ) 12 22 0 ⎠ ⎝0 A-1/2 -Q∗Rλ(G)⎠ . (3.25) 0 Rλ(G)Q I 0 0 Rλ(G) 0 0 I 2. Осуществим в задаче (3.21) замену искомой функции ζ(t) := ξ(t)+ ξρ0 (t), с учетом (3.22) получим следующую задачу Коши dζ 0 0 0 ∗ -1 ∗ 0 τ ρ0 dt = -Aω0 ζ + ξt (t)+ F(t), ζ(0) = ζ := (P0u ; PGu ; -(Q0) U ρ ; 0; ... ; 0) . (3.26) Оператор -Aω0 является генератором C0-полугруппы U(t). Из условий на начальные данные следует, что v(0) = P0u0 ∈ J0(Ω, ρ0), ∇ϕ(0) = PGu0 ∈ D(B) = D(A1/2), Q∗w(0) = -U ∗ρ0 = 0 -A-1/2(U A1/2)∗ρ0 = -A-1/2B∗ρ0 ∈ D(A1/2), т. е. ζ0 ∈ D(Aω ). Из условия на функцию f (t) ρ0 следует, что ξt (t)+ F(t) ∈ C1(R+ ; Hω0 ). Из теоремы о разрешимости абстрактной задачи Коши 0 (см. [10, гл. 1, § 6, п. 2, теорема 6.5], [17, гл. 2, § 1, теорема 1.3]) следует, что задача Коши (3.26) имеет единственное решение ζ(t) такое, что ζ(t) ∈ D(Aω0 ) при t ∈ R+, Aω0 ζ(t) ∈ C(R+; Hω0 ), ζ(t) ∈ C1(R+; Hω ). Отсюда выводится утверждение о сильной разрешимости. 4. Об асимптотическом поведении решений при отсутствии вращения (ω0 = 0) и при нагрузках специального вида. Предположим, что в системе отсутствует вращение, т. е., что ω0 = 0. В этом случае система (3.15) операторных уравнений и начальных условий распадается, и из нее может быть найдена вихревая составляющая v(t) ∈ J0(Ω, ρ0) поля скоростей релаксирующей жидкости: t r v(t) = P0u0 + 0 P0f (s) ds. Таким образом, система (3.15) преобразуется в задачу Коши для следующей системы из двух дифференциально-операторных уравнений в гильбертовых пространствах G(Ω, ρ0) и L2,ρ0 (Ω): ⎧ ⎪ - ⎪ d∇ϕ(t) = B∗ρ(t) ⎨ dt r m t '\" e-bl(t-s)B ∗Mlρ(s) ds + PGf (t), l=1 0 ⎪ (3.27) ⎪ dρ(t) ⎩ = -B∇ϕ(t), ∇ϕ(0) = P u0, ρ(0) = ρ0. dt G Систему (3.27) можно свести, как и в теореме 3.1, к задаче Коши для дифференциального l=0 уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве H := G(Ω, ρ0) ⊕ ( ⊕m L2,ρ0 (Ω)): ( ) dξ -A dt = ξ + ξρ0 (t) + F(t), ξ(0) = ξ0, (3.28) ∇ ξ(t) := ( ϕ(t); w(t))τ := (∇ϕ(t); u0(t); u1(t); ... ; um(t))τ , m τ ξρ0 (t) := (0; -(Q∗)-1 '\" e-bltQ∗QlU ∗ρ0; 0; ... ; 0) , (3.29) 0 l l=1 ξ0 := (PGu0; -Q0U ∗ρ0; 0; ... ; 0)τ , F(t) := (PGf (t); 0; 0; ... ; 0)τ . Оператор A в (3.28) определяется по следующим формулам: A = diag(A1/2, I) 0 Q∗ -Q G diag(A1/2, I) = 0 A1/2Q∗ -QA1/2 G , (3.30) Q := (Q0, Q1,..., Qm)τ , G := diag(0, b1I,..., bmI), I := diag(I, I,...,I), f D(A) = 1 ξ = (∇ϕ; w)τ ∈ H1 ∇ϕ ∈ D(A1/2), Q∗w ∈ D(A1/2) . 468 Д. А. ЗАКОРА Резольвента Rλ(A) оператора A, как и в (3.25), может быть найдена из факторизации оператора A- λ в форме Шура-Фробениуса: -1 ∗ -1 Rλ(A) = diag(A-1/2, I) -λA Q diag(A-1/2, I) = -Q G - λ A-1/2 0 L-1(λ) 0 = A-1/2 -Q∗Rλ(G) = Rλ(G)Q I 0 Rλ(G) 0 I = A-1/2L-1(λ)A-1/2 -A-1/2L-1(λ)Q∗Rλ(G) , (3.31) Rλ(G)QL-1(λ)A-1/2 Rλ(G) I- QL-1(λ)Q∗Rλ(G) λ ∈/ σ(G) ∪ σ(L(λ)), L(λ) := -λA-1 + Q∗Rλ(G)Q. Оператор -A является генератором равномерно экспоненциально устойчивой C0-полугруппы U(t) (см. [6]), тип которой может быть оценен по специальной формуле. Таким образом, существуют ω > 0 и M ;; 1 такие, что ωt lU (t)lL(H) Me- ∀ t ∈ R+. (3.32) Основным утверждением в данном пункте является следующая теорема. Теорема 3.2. Пусть PGu0 ∈ D(B), ρ0 ∈ D(B∗), f (t) ∈ C1(R+; L2(Ω, ρ0)). Тогда задача Коши (3.27) имеет единственное сильное решение. n Пусть f (t) = g(t)+ ), e-iσktfk (t), где g(t), fk (t) ∈ C1(R+; L2(Ω, ρ0)), σk ∈ R (k = 0, n) (будем k=0 считать далее, что σ0 = 0, σk ∈ R\{0} (k = 1, n)). Тогда существуют константы ω > 0, M1 ;; 1, M2 ;; 1 такие, что при всех t ∈ R+ выполнено неравенство n 1 1 1∇ϕ(t)+ '\" k=1 e-iσkt 12 iσk M(iσk )PGfk (t)1 + 1G(Ω,ρ0) n 1 + 1 1ρ(t)+ B (M(0)PGf0(t)+ '\" k=1 e-iσkt M(iσk )PGfk (t) n \12 1 1L2,ρ0 (Ω) M1e-2ωt lPGu0l + lρ l + '\" lfk (0)l + 2 G(Ω,ρ0) t г r 0 2 L2,ρ0 (Ω) k=0 2 L2(Ω,ρ0) n 2 + M2 e-ω(t-s)(lg(s)lL (Ω,ρ ) + '\" lf t (s)lL (Ω,ρ )\ ds , (3.33) 2 0 k 2 0 0 k=0 M(λ) := A-1/2 m + λ2A-1 - '\" 1 U ∗M U -1 A-1/2. (3.34) I l=1 l bl - λ В частности, если lg(t)lL2(Ω,ρ0), lf t (t)lL (Ω,ρ ) → 0 (k = 0, n) при t → +∞, то k 2 0 1 1 1∇ϕ(t)+ n '\" k=1 e-iσkt 12 iσk M(iσk )PGfk (t)1 + 1G(Ω,ρ0) n 1 + 1 1ρ(t)+ B (M(0)PGf0(t)+ '\" e-iσkt M(iσk )PGfk (t) \12 1 1 → 0 (t → +∞). (3.35) k=1 L2,ρ0 (Ω) Если дополнительно fk (t) = 0 (k = 1, n), f0(t) = ∇p(t), p(t) ∈ D(B∗), l∇pt(t)lG(Ω,ρ0) → 0 при t → +∞, то 1 12 1 m '\" 1 -1( -1 1/2 )12 1 1∇ϕ(t)1G(Ω,ρ0) + 1ρ(t) - b I - Ml l=1 l a∞ ρ0 (z)p(t) 1 1L2,ρ0 (Ω) → 0 (t → +∞). (3.36) ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ 469 Доказательство. Утверждение о разрешимости следует из теоремы 3.1. n 1. Пусть f (t) = g(t)+ ), e-iσktfk (t), где g(t), fk (t) ∈ C1(R+; L2(Ω, ρ0)), σk ∈ R (k = 0, n). Предk=0 ставим функцию F(t) из (3.28) следующим образом: n F(t) = T (t)+'\" e-iσktFk (t), T (t) := (PGg(t); 0; ... ; 0)τ , Fk (t) := (PGfk (t); 0; ... ; 0)τ (k = 0, n). k=0 (3.37) Из формулы для оператора A-1, которая может быть найдена непосредственно, из (3.37) и (3.31) теперь найдем, что 0 R0(A)F0 = A-1F0 = (0; (Q∗)-1A-1/2PGf0; 0; ... ; 0)τ , Rλ(A)Fk (t) = (A-1/2L-1(λ)A-1/2PGfk (t); Rλ(G)QL-1(λ)A-1/2PGfk (t))τ = 1 = (A-1/2L-1(λ)A-1/2PGfk (t); 1 Q0L-1(λ)A-1/2PGfk (t); -λ 1 b1 - λ Q1L-1(λ)A-1/2PGfk (t); ... ; bm - λ QmL-1(λ)A-1/2PGfk (t))τ ∀ λ ∈ iR\{0}, k = 1, n. (3.38) 0 Пусть ∇ϕ(t), ρ(t) - сильное решение задачи Коши (3.27). Используя представление Q∗Q0 = m m I - ), Q∗Ql = I - ), b-1U ∗MlU и формулы (3.34), (3.37), (3.38), (3.17), (3.28) при t ∈ R+ получим l l=1 l l=1 1 1 1∇ϕ(t)+ n '\" k=1 e-iσkt 12 iσk M(iσk )PGfk (t)1 + 1G(Ω,ρ0) n 1 + 1 1ρ(t)+ B n (M(0)PGf0(t)+ '\" k=1 e-iσkt m M(iσk )PGfk (t) \12 1 = 1L2,ρ0 (Ω) = 1 1 '\" iσkt -1/2 2 -1 '\" 1 ∗ -1 1 -1/2 12 1∇ϕ(t)+ e- k=1 iσk A I - σk A - l=1 m bl - U iσk MlU A PGfk (t)1 + G(Ω,ρ0) + 1 1 1/2( -1/2 '\" 1 ∗ -1 -1/2 1ρ(t)+ UA A n b I - U l=1 l m MlU A PGf0(t)+ + '\" e-iσktA-1/2 I - σ2 -1 '\" 1 U ∗M U -1 A-1/2P f (t)\12 k=1 k A - l=1 l bl - iσk G k 1 1L 2,ρ0 . (Ω) Отсюда, из (3.30), (3.31) (см. формулу для пучка L(λ)) получим, что 1 1 1∇ϕ(t)+ n '\" k=1 e-iσkt 12 iσk M(iσk )PGfk (t)1 + 1G(Ω,ρ0) n 1 + 1 1ρ(t)+ B (M(0)PGf0(t)+ '\" k=1 e-iσkt M(iσk )PGfk (t) \12 1 = 1L2,ρ0 (Ω) 1 = 1 1∇ϕ(t) - n '\" k=1 e-iσkt A-1/2 L-1 (iσk )A-1/2 12 PGfk (t)1 + 1G(Ω,ρ0) n iσk t \12 1 ( 1 + 1 0 -1/2 '\" e- -1 -1/2 1 1ρ(t)+ U (Q∗Q0)- A n PGf0(t)+ k=1 L -iσk (iσk )A PGfk (t) 1L2,ρ0 (Ω) 1 1 1∇ϕ(t) - '\" k=1 e-iσkt A-1/2 L-1 (iσk )A-1/2 12 PGfk (t)1 + 1G(Ω,ρ0) 470 Д. А. ЗАКОРА l 1 + lUQ-1 21u0(t) - (Q∗)-1A-1/2PGf0(t) - n '\" e-iσkt 1 2 Q0L-1(iσk )A-1/2PGfk (t)1 + 0 1 0 m 1 + '\" 1 n '\" e-iσkt k=1 -1 -iσk 1 -1/2 12 1L2,ρ0 (Ω) l=1 1ul(t) - k=1 bl - iσk QlL (iσk )A PGfk (t)1L n 2,ρ0 (Ω) 2 max{1, lUQ-1l }· 1ξ(t) - R0(A)F0 - '\" e-iσktRiσ 1 (A)Fk (t) . (3.39) 0 2 1 1 H 1 k 1 k=1 Напомним, что оператор -A - генератор равномерно экспоненциально устойчивой C0-полугруппы U(t), удовлетворяющей неравенству (3.32). Будем искать (единственное) решение задачи (3.28) n n 0 k при F(t) = T (t)+ ), e-iσktFk (t) в виде ξ(t) = -ξρ (t)+ ), e-iσktRiσ (A)Fk (t)+ η(t). Тогда функk=0 ция η(t) будет решением следующей задачи Коши: dη n k=0 ρ0 dt = -Aη + ξt k (t)+ T (t) - '\" e-iσktRiσ k=0 k (A)Ft (t), (3.40) Из (3.40) найдем, что n 0 k η(0) = ξ0 + ξρ (0) - '\" Riσ k=0 (A)Fk (0) ∈ D(A). n ξ(t) = '\" e-iσktRiσ ( '\" n (A)Fk (t) - ξ 0 (t)+ U(t) ξ0 + ξρ (0) - Riσ \ (A)Fk (0) + k k=0 ρ 0 k k=0 t r ( n ξ + U(t - s) 0 ρ0 t (s)+ T (s) - '\" e-iσksR k=0 iσk \ k (A)Ft (s) ds. (3.41) Из (3.41), (3.37) и (3.32) найдем, что 1 1 1ξ(t) - R0(A)F0(t) - n '\" k=1 e-iσkt 12 1 Riσk (A)Fk (t)1 = H n = 1 1 ( 0 1U(t) ξ t + ξρ0 (0) - '\" k=0 \ Riσk (A)Fk (0) - ξρ0 (t)+ r ( + U(t - s) ξt n (s)+ T (s) - '\" e-iσksR \ 12 ( ) (s) A Ft ds1 ρ0 0 k=0 г 1 iσk k H n Me-ωt(lξ0 + ξρ (0)l + sup lR (A)l lfk (0)l '\" \ + 1ξ 0 (t)1 + 0 H λ λ∈iR t r L(H) k=0 L2(Ω,ρ0) n 1 ρ 1H 2 ( e-ω(t-s) lξt + M ρ0 (s)lH + lg(s)lL2(Ω,ρ0) + sup lRλ(A)lL(H) 0 λ∈iR '\" k=0 lf (s)l ds t \ k L2(Ω,ρ0) . (3.42) Используя формулы для ξρ0 (t) и ξ0 (см. (3.29)), из (3.42) найдем n 1 1 1ξ(t) - R0(A)F0 - '\" k=1 г e-iσkt 12 1 Riσk (A)Fk (t)1 H Me-ωt( 0 2 ∗ -1 ∗ 2 0 2 )1/2 lPGu lG(Ω,ρ0) + l(Q0) n 0 (Ω) U l lρ lL2,ρ + L(H) + Me-ωt sup lRλ(A)l λ∈iR '\" f l k k=0 (0)lL2(Ω,ρ0)+ ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ 471 '\" t m r e-(bl-ω)t r + Me-ωtlρ0lL (Ω) l(Q∗)-1Q∗Qll sup + bl e-(bl-ω)s ds + 2,ρ0 t r l 0 l=1 t∈R+ M 0 n 2 '\" + M e-ω(t-s)(lg(s)lL (Ω,ρ ) + sup lRλ(A)l lf t (s)l \ ds 2 0 0 λ∈iR L(H) k k=0 L2(Ω,ρ0) Ne-2ωt 0 2 n 0 2 '\" 2 0 (Ω) lPGu lG(Ω,ρ0) + lρ lL2,ρ t г r + k=0 lfk (0)lL2(Ω,ρ0) + n 2 + (n + 4)M 2 e-ω(t-s)(lg(s)lL (Ω,ρ ) + sup lRλ(A)l '\" lf t (s)l \ ds , (3.43) 2 0 0 λ∈iR L(H) k k=0 L2(Ω,ρ0) r 2 ∗ -1 ∗ 2 N := (n + 4)M 2 max 1, sup lRλ(A)l ( ), l(Q0) U l + λ∈iR L H '\" г m t r e-(bl-ω)t r 2 + l(Q∗)-1Q∗Qll sup + bl e-(bl-ω)s ds . (3.44) l 0 l=1 t∈R+ M 0 Из (3.39), (3.43), (3.44) следует (3.33) с константами 2� M1 = N max {1, lUQ-1l , 0 2 M2 = (n + 4)M 2 max f1, sup lRλ(A)l (H) o max {1, lUQ-1 . 2� 0 l λ∈iR L 2. Докажем формулу (3.35). Пусть lg(t)lL2(Ω,ρ0) → 0, lf t (t)lL (Ω,ρ ) → 0 (k = 0, n) при t → +∞. k 2 0 Очевидно, достаточно доказать, что интегральное слагаемое в (3.33) стремится к нулю при n t → +∞. Обозначим h(t) := lg(t)lL2(Ω,ρ0) + ), lf t (t)lL (Ω,ρ ). Фиксируем ε > 0 и выберем послеk 2 0 k=0 довательно числа tε,1 и tε,2 следующим образом: εω 1 2 tε,1 > 0 : sup h(t) < , tε,2 := ln (eωtε,1 - 1) sup h(t) . t;;tε,1 2 ω εω t;;0 Теперь для любого t ;; t(ε) := max{tε,1, tε,2} найдем, что t r e-ω(t-s)h(s) ds = tε,1 t r r e-ω(t-s)h(s) ds + e-ω(t-s)h(s) ds 0 0 tε,1 ( e-ωt e ω ωtε,1 ) ω 1 · 1 sup h(t)+ sup h(t) < t;;tε,1 o ε + = ε. 2 2 t;;0 3. Пусть fk (t) = 0 (k = 1, n), f0(t) = ∇p(t), p(t) ∈ D(B∗), l∇pt(t)lG(Ω,ρ0) → 0 при t → +∞. Тогда PGf0(t) = ∇p(t) = -B∗(a-1ρ1/2(z)p(t)) и из (3.13)-(3.14), (3.34) найдем, что ∞ 0 m 1 -1 BM(0)PGf0(t) = -(U A1/2)A-1/2 I - '\" U ∗MlU A-1/2B∗(a-1ρ1/2(z)p(t)) = bl ∞ 0 l=1 m m '\" 1 -1 1/2 ∗( -1 1/2 '\" 1 -1 -1 ∗( -1 1/2 = - I - b Ml l=1 l ∞ 0 U A- B m a ρ (z)p(t)) = - b I - Ml l=1 l BA B 0 a ρ (z)p(t)) = ∞ '\" 1 -1 1/2 -1/2 ∗1 ( -1 1/2 = - I - b Ml l=1 l (BA- )(BA ) 1 1D(B∗) 0 a ρ (z)p(t)) = ∞ 472 Д. А. ЗАКОРА m '\" 1 -1 1 ( 1 1/2 m '\" 1 -1( 1 1/2 = - I - b Ml l=1 l (UU ∗)1 1D(B∗) 0 a- ρ ∞ (z)p(t)) = - b I - Ml l=1 l 0 a- ρ ∞ (z)p(t)). Отсюда и из (3.35) следует (3.36). 4. ЗАДАЧА О СПЕКТРЕ ИДЕАЛЬНОЙ РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ В этом разделе исследуются спектры операторов Aω0 (см. (3.23)) и A (см. (3.30)), связанных с задачей о малых движениях идеальной релаксирующей жидкости, заполняющей вращающийся и, соответственно, неподвижный контейнер. Основным утверждением здесь является следующая теорема, доказываемая в леммах 4.1-4.6. Теорема 4.1. Имеют место следующие утверждения. 1. {b1,..., bm} ∈/ σp(Aω0 ), {0, b1,..., bm} ∈/ σp(A), где σp(Aω0 ), σp(A) - точечные спектры операторов Aω0 и A (лемма 4.1). Спектр оператора A расположен симметрично относительно действительной оси (лемма 4.2). 2. Для существенных спектров σess(Aω0 ), σess(A) операторов Aω0 и A справедливы формулы m 0 ) = - 2ω i, 2ω i ∪ σ (A), σ (A) = σess(Aω 0 0 ess ess f 1 λ ∈ C1 1 - '\" l=1 ρ0(z)kl(x) bl - λ Ω = 0, x ∈ . Множество C\σess(Aω0 ) (C\σess(A)) состоит из регулярных точек и изолированных собственных значений конечной кратности оператора Aω0 (оператора A) (лемма 4.3). 3. Имеет место включение σ(Aω0 ) ⊂ Λ := {λ ∈ C| 0 Reλ bm}. Оператор Aω0 имеет две (±i∞) k=1 ветви собственных значений {λk (Aω0 )}∞ , расположенных в области Λ со следующей асимптотикой (лемма 4.4): λ(±i∞) 1/2 k (Aω0 ) = ±iλk (A)(1 + o(1)) (k → +∞). 4. Существует β > 0 такое, что (лемма 4.5) 2 σ(A) ∩ {λ ∈ C| Imλ /= 0}⊂ {λ ∈ C| β Reλ < bm �. 5. Если lA- l 1 L(G(Ω,ρ0)) достаточно мала, то точки из множества σ ess (A) не могут быть предельными для (комплексно сопряженных) ветвей собственных значений из C\R (лемма 4.6). 1. Основные спектральные задачи и операторные пучки. Будем разыскивать решения уравнения (3.21) при F(t) ≡ 0 и ξρ0 (t) ≡ 0 в виде ξ(t) = exp(-λt)ξ, где λ - спектральный параметр, а ξ - амплитудный элемент. В результате придем к следующей основной спектральной задаче: Aω0 ξ = λξ, ξ ∈ D(Aω0 ) ⊂ Hω0 , (4.1) которую будем ассоциировать с задачей о спектре идеальной релаксирующей жидкости, заполняющей равномерно вращающийся контейнер (оператор Aω0 определен в (3.23)). При λ ∈/ {0, b1,..., bm} = σ(G) с задачей (4.1) свяжем также следующую спектральную задачу: L(λ) v = T11 - λ T12 v = 0 , ∇ϕ T21 T22 - λA-1 + Q∗Rλ(G)Q ∇ϕ 0 (4.2) (v; ∇ϕ)τ ∈ J0(Ω, ρ0) ⊕ G(Ω, ρ0). В случае, когда система не вращается, т. е. ω0 = 0, будем разыскивать решения уравнения (3.28) при F(t) ≡ 0 и ξρ0 (t) ≡ 0 в виде ξ(t) = exp(-λt)ξ, где λ - спектральный параметр, а ξ - амплитудный элемент. В результате придем к следующей основной спектральной задаче: Aξ = λξ, ξ ∈ D(A) ⊂ H, (4.3) которую будем ассоциировать с задачей о спектре идеальной релаксирующей жидкости, заполняющей неподвижный контейнер (оператор A определен в (3.30)). При λ ∈/ {0, b1,..., bm} = σ(G) с задачей (4.3) свяжем следующую спектральную задачу: L(λ)∇ϕ = - λA-1 + Q∗Rλ(G)Q ∇ϕ = ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ 473 = - λA-1 - 1 Q∗Q m + '\" 1 Q∗Q ϕ = 0, ∇ϕ ∈ G(Ω,ρ ). (4.4) λ 0 0 l=1 bl - λ l l ∇ 0 Операторы Tjk, Ql определены в (3.19). 2. О существенном и дискретном спектре задачи. Лемма 4.1. {b1,..., bm} ∈/ σp(Aω0 ), {0, b1,..., bm} ∈/ σp(A), где σp(Aω0 ), σp(A) - точечные спектры операторов Aω0 и A. Доказательство. Запишем уравнение (Aω0 - λ)ξ = ξ0 в виде системы (см. (3.20), (3.23), (3.19)): ⎪ ⎧2ω0iS11v + 2ω0iS12∇ϕ - λv = v0, ⎪ 1/2 ∗ ⎨ m '\" ∗ ⎪2ω0iS21v + 2ω0iS22∇ϕ + A Q0u0(t)+ l=1 Ql ul(t) - λ∇ϕ = ∇ϕ0, (4.5) ⎪ 1/2 ⎪-Q0A ⎪ ∇ϕ(t) - λu0 = u00, ⎩-QlA1/2∇ϕ(t)+ blul(t) - λul = ul0 (l = 1, m). Положим в (4.5) λ = bq, ξ0 = (v0; ∇ϕ0; u00; u10; ... ; um0)τ = 0. Из четвертого уравнения при l = q найдем, что ∇ϕ = 0. Теперь из третьего уравнения и четвертого уравнения при l /= q получим, что ul = 0, а из первого уравнения, (3.6) и леммы 3.1, что v = 0. Теперь из второго уравнения системы (4.5) следует, что uq = 0. Таким образом, ξ = 0 и bq ∈/ σp(Aω0 ). Аналогичным образом доказывается утверждение для оператора A. Лемма 4.2. Спектр оператора A, за исключением точек {0, b1,..., bm} = σ(G), совпадает со спектром пучка L(λ) и расположен симметрично относительно действительной оси. Доказательство. Пусть λ ∈ ρ(L(λ)), тогда из (3.31) следует, что λ ∈ ρ(A). Пусть теперь λ ∈ ρ(A)\σ(G). Предположим, что λ ∈/ ρ(L(λ)). Тогда L-1(λ) существует, однако неограничен. По теореме [15, гл. 8, § 1, теоремы 2 и 3] о полярном разложении плотно определенного U замкнутого оператора существует единственный частично изометричный оператор , действующий m из G(Ω, ρ0) в ffi L2,ρ0 (Ω), такой, что l=0 Q = U(Q∗Q)1/2, Q∗ = (Q∗Q)1/2U∗, U∗U = I, R(Q∗) = R((Q∗Q)1/2) = G(Ω, ρ0). m k=1 Отсюда следует, что существует последовательность {wk }∞ ⊂ ⊕l=0 L2,ρ0 (Ω) такая, что lwk l = 1, 0 lL-1(λ)Q∗Rλ(G)wk lG(Ω,ρ ) → +∞ (k → +∞). Тогда 2 -2 -1 ∗ 2 lRλ(G)QL-1(λ)Q∗Rλ(G)wk l l=0 ;; lG - λlL(⊕m L2,ρ0 (Ω)) lQL (λ)Q Rλ(G)wk l ;; l=0 L(⊕m ;; lG - λl-2 L2,ρ0 (Ω)) 2 0 γ(Q∗Q) lL-1(λ)Q∗Rλ(G)wk lG(Ω,ρ ) → +∞ (k → +∞), где γ(Q∗Q) > 0 - нижняя грань оператора Q∗Q. Отсюда и из (3.31) получим противоречие с предположением λ ∈ ρ(A)\σ(G). Таким образом, λ ∈ ρ(L(λ)). Из проведенных рассуждений следует, что σ(A) = σ(L(λ)). Симметричность расположения спектра оператора A относительно действительной оси следует из самосопряженности пучка L(λ): L∗(λ) = L(λ) (см. [11, гл. 4, § 30, п. 1]). Определение 4.1. Существенным спектром оператора Aω0 (спектральной задачи (4.1)) назовем множество σess(Aω0 ) := {λ ∈ C | (Aω0 - λ) - не фредгольмов}. Лемма 4.3. Имеют место следующие формулы: σess(Aω 0 0 ess ess f 0 ) = - 2ω i, 2ω i ∪ σ (A), σ (A) = m 1 λ ∈ C1 1 - '\" l=1 ρ0(z)kl(x) bl - λ Ω = 0, x ∈ . (4.6) Множество C\σess(Aω0 ) (C\σess(A)) состоит из регулярных точек и изолированных собственных значений конечной кратности оператора Aω0 (оператора A). 474 Д. А. ЗАКОРА m Доказательство. 1. Запишем оператор Aω0 (см. (3.23)) следующим образом относительно разложения Hω0 := J0(Ω, ρ0) ⊕ G(Ω, ρ0) ⊕ ( ⊕l=0 L2,ρ0 (Ω)) = J0(Ω, ρ0) ⊕ H: 2ω0iS11 S12 ( \ 2ω0iS21 2ω0iS22 0 Aω0 = S21 A + S22 , S12 := 2ω0iS12, 0 , S21 = 0 , S22 = 0 0 , (4.7) где операторы Sjk определены в (3.6) (см. лемму 3.1), а оператор A определен в (3.30). Из теоремы [8, гл. 4, § 5, п. 6, теорема 5.35] об устойчивости существенного спектра при относительно компактных возмущениях, равенств (4.7), формулы для Rλ(A) (см. (3.31)), включения ∞ A-1 ∈ S (G(Ω, ρ0)) (см. лемму 3.2) и соотношений Aω0 = 2ω0iS11 0 + S21 A 0 S12 , 0 S22 0 S12 2ω0iS11 0 = 0 S12 Rλ(2ω0iS11) 0 = 0 S22 Rλ S21 A 0 S22 -Rλ(A)S21Rλ(2ω0iS11) Rλ(A) получим, что = -S12Rλ(A)S21Rλ(2ω0iS11) S12Rλ(A) -S22Rλ(A)S21Rλ(2ω0iS11) S22Rλ(A) ∈ S∞(Hω0 ) σess(Aω0 ) = σess 2ω0iS11 0 . (4.8) S21 A Из [8, гл. 4, § 5, п. 6, задача 5.38], соотношения 2ω0iS11 0 2ω0iS11 0 = 0 0 Rλ S21 A - Rλ 0 A -Rλ(A)S21Rλ(2ω0iS11) 0 ∈ S∞(Hω0 ), формулы (4.8) и леммы 3.1 теперь найдем, что 2ω0iS11 0 = σ (2ω iS ) σ ( ) = 2ω i, 2ω i σ ( ). (4.9) σess(Aω0 ) = σess 0 A ess 0 11 ∪ ess A - 0 0 ∪ ess A 1. Докажем формулу для существенного спектра операторного пучка L(λ) (см. (3.31)): m 1 σess(L(λ)) = fλ ∈ C1 1 - '\" l=1 ρ0(z)k l(x) bl - λ = 0, x ∈ Ω . (4.10) Пусть λ ∈/ σ(G). Из леммы 3.2, теоремы [16, гл. 17, § 4, теорема 4.3] об относительно компактных возмущениях, формулы (3.19) и преобразований m -λL(λ) = λ2A-1 - λQ∗Rλ(G)Q = λ2A-1 + Q∗Q0 + '\" 0 l=1 m m λ - Q∗Ql = bl - λ l U = λ2A-1 + U ∗ I - '\" 1 M bl l l=1 m + '\" l=1 l -λ U ∗M U = bl(bl - λ) m = λ2A-1 + I - '\" 1 l U ∗M U = λ2A-1 + U ∗Π 1 - '\" ρ0kl ΠU получим, что l=1 bl - λ l=1 bl - λ m ρ0kl m ρ0kl Π . σess(L(λ)) = σess(U ∗Π 1 - '\" l=1 bl - λ ΠU \ = σess(Π 1 - '\" l=1 \ bl - λ Отсюда, из одномерности (а значит, и компактности) ортогонального проектора I - Π и теоремы [16, гл. 17, § 4, теорема 4.3] следует (4.10). 2. Докажем вторую формулу в (4.6). Пусть λ ∈/ σ(G) и оператор L(λ) (см. (3.31)) фредгольмов. Из теоремы [16, гл. 17, § 3, теорема 3.1] о произведении фредгольмовых операторов и (3.30) ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ 475 найдем, что оператор A1/2 0 -1 ∗ 1/2 -λA Q A 0 A- λ = 0 I -Q G - λ 0 I = A1/2 0 I Q∗Rλ(G) L(λ) 0 I 0 A1/2 0 , = 0 I 0 I 0 G- λ -Rλ(G)Q I 0 I фредгольмов. Следовательно, для существенного спектра оператора A получаем включение σess(A) ⊂ σess(L(λ)). Из леммы 4.2 следует, что σess(A) = σess(L(λ)). Отсюда и (4.10) следует вторая формула в (4.6). 3. Множество C\σess(Aω0 ) (C\σess(A)) является связным, а оператор Aω0 (A) имеет регулярные точки. Отсюда и из [16, гл. 17, § 2, теорема 2.1] (или [8, гл. 4, § 5, п. 2, теорема 5.17] - теорема об устойчивости индекса и дефекта замкнутого оператора) следует, что множество C\σess(Aω0 ) (C\σess(A)) состоит из регулярных точек и изолированных собственных значений конечной кратности оператора Aω0 (A). Замечание 4.1. Существенный спектр σess(A) оператора A представляет из себя объединение m отрезков, расположенных на интервалах (bl-1, bl) (l = 1, m, b0 := 0). В случае ω0 = 0 и g = 0 отрезки, составляющие множество σess(A), схлопываются и превращается в набор m точек, расположенных на тех же интервалах. 3. О локализации и асимптотике дискретного спектра. Лемма 4.4. Имеет место включение σ(Aω0 ) ⊂ Λ := {λ ∈ C| 0 Reλ bm}. Оператор Aω0 (±i∞) k=1 имеет две ветви собственных значений {λk (Aω0 )}∞ , расположенных в области Λ со следующей асимптотикой (см. лемму 3.2): λ(±i∞) 1/2 k (Aω0 ) = ±iλk (A)(1 + o(1)) (k → +∞). (4.11) Доказательство. Включение σ(Aω0 ) ⊂ Λ следует из [8, гл. 5, § 3, п. 1, теорема 3.2] и того простого факта, что числовая область значений оператора Aω0 содержится в Λ. Из (3.25) следует, что собственные значения оператора Aω0 являются также собственными значениями операторного пучка L(λ) (см. (4.2)). Верно и обратное. Таким образом, в области C\[σess(Aω ) ∪ σ(G)] спектральная задача (4.1) эквивалентна задаче (4.2): r (T11 - λ)v + T12∇ϕ = 0, T21v + (T22 - λA-1 + Q∗Rλ(G)Q)∇ϕ = 0, v ∈ J0(Ω, ρ0), ∇ϕ ∈ G(Ω, ρ0), или, с учетом (3.19), λ2A-1 - λT22 + λT21Rλ(T11)T12 - λQ∗Rλ(G)Q ∇ϕ = m 0 λ2A-1 - λT22 + λT21Rλ(T11)T12 + Q∗Q0 + = '\" -λ l=1 bl - λ l Q∗Ql ∇ϕ = m = I + λ2A-1 - 2ω0iλA-1/2S22A-1/2 + λT21Rλ(T11)T12 - '\" l=1 1 bl - λ U ∗MlU ∇ϕ = =: I + λ2A-1 + G(λ) ∇ϕ = 0. (4.12) С использованием оценок из [14] найдем, что при λ →∞ (λ ∈ Λ\[σess(Aω ) ∪ σ(G)]) L(G(Ω,ρ0)) l(I - λA-1/2)-1G(λ)(I + λA-1/2)-1l L(G(Ω,ρ0)) 2ω0|λ|· l(I - λA-1/2)-1A-1/4(A-1/4S22A-1/4)l o l(I + λA ) A l + -1/2 -1 -1/4 L(G(Ω,ρ0)) L(G(Ω,ρ0)) + l(I - λA-1/2)-1T21l m o lλRλ (T11 )T12 lL(G(Ω,ρ0)) o l(I + λA ) l + -1/2 -1 L(G(Ω,ρ0)) + '\" 1 l(I - λA-1/2)-1U ∗M U (I + λA-1/2)-1l = o(1). l=1 |bl - λ| l L(G(Ω,ρ0)) 476 Д. А. ЗАКОРА Отсюда и из [13] (см. также [1]) следует, что спектральная задача (4.12), а значит и оператор Aω0 , имеет в области Λ две ветви собственных значений, удовлетворяющих асимптотической формуле (4.11). Лемма 4.5. Существует β > 0 такое, что 2 σ(A) ∩ {λ ∈ C| Imλ /= 0}⊂ {λ ∈ C| β Reλ < bm �. Доказательство. Множество σ(A) ∩ {λ ∈ C| Imλ /= 0} в силу леммы 4.3 состоит из изолированных собственных значений конечной кратности. Пусть λ(+i) - собственное значение оператора A из {λ ∈ C| Imλ /= 0}. Тогда λ(+i) является также собственным значением пучка L(λ) (см. (4.4) и лемму 4.2), т. е. существует 0 /= ∇ϕ(+i) ∈ G(Ω, ρ0) такой, что L(λ(+i))∇ϕ(+i) = 0. Умножая последнее равенство скалярно на ∇ϕ(+i), получим уравнение, которому удовлетворяет λ(+i): 1 m q '\" l (4.13) - λp - λ q0 + l=1 = 0, bl - λ p := lA -1/2 ϕ (+i) ∇ 2 2 l lG(Ω,ρ0) , q lQl := ∇ϕ(+i) 2 lL2,ρ0 (Ω) 2 (l = 0, m). 0 l∇ϕ(+i)lG(Ω,ρ ) 0 l∇ϕ(+i)lG(Ω,ρ ) Уравнение (4.13) имеет m действительных положительных корней и еще два корня - пару комплексно сопряженных чисел, либо пару действительных положительных чисел. Рассмотрим ситуацию, когда имеется пара комплексно сопряженных корней λ(+i) и λ(-i) := λ(+i). В этом случае обозначим действительные корни уравнения (4.13) через λ(l) и запишем (4.13) в виде m (-1)mp (λ - λ(+i))(λ - λ(-i)) тт(λ - λ(l)) = l=1 m = λm+2(-1)mp + λm+1(-1)m+1p 2Reλ(±i) + '\" λ(l) + ··· = 0. (4.14) l=1 С другой стороны, уравнение (4.13) можно переписать в следующем виде: m m m m λ2p тт(bl - λ)+ q0 тт(bl - λ) - λ '\" ql тт (bk - λ) = l=1 l=1 l=1 k=1, k/=l m = λm+2(-1)mp + λm+1(-1)m+1p '\" bl + ··· = 0. (4.15) l=1 Приравнивая коэффициенты при λm+1 в уравнениях (4.14) и (4.15), найдем, что m 0 < Reλ(±i) = 1 '\"(b - λ(l)) < bm . (4.16) 2 l 2 l=1 Далее, выделим из (4.13) действительную и мнимую части, получим p Reλ q0 + |λ|2 m + '\" l=1 ql |bl - λ|2 m = '\" l=1 qlbl |bl - λ|2 , Imλ q0 |λ|2 m + '\" l=1 ql |bl - λ|2 - p = 0. (4.17) Допустим, что оператор A имеет в {λ ∈ C| Imλ > 0} последовательность собственных значений (+i) +∞ (+i) (+i) {λk }k=1 такую, что Reλk → 0 при k → +∞. При этом |λk |→ +∞ при k → +∞, так как дискретный спектр оператора A может сгущаться только к ∞ и к σess(A) ⊂ {λ ∈ C| λ > 0} (см. k лемму 4.3). Таким образом, числа λ(+i) удовлетворяют уравнениям (4.13) при A-1/2 ϕ(+i) 2 Q ϕ (+i) 2 l l∇ k G(Ω,ρ0) k lL2,ρ0 (Ω) pk := l ∇ l ϕ(+i) 2 , qlk := (+i) 2 (l = 0, m). (4.18) l∇ k lG(Ω,ρ0) l∇ϕk lG(Ω,ρ0) ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ 477 Можно считать (см. (3.19)), что существуют пределы последовательностей lim k→+∞ pk = p0 ;; 0, lim k→+∞ qlk = ql0 > 0 (l = 0, m), (4.19) иначе мы ограничимся соответствующими сходящимися подпоследовательностями. Теперь из (4.19) и (4.17) найдем, что m (+i) m lim Reλ(+i) = lim '\" qlkbl|λk |2 b λ (+i) 2 l=1 | l - k | '\" = l=1 ql0bl > 0. k→+∞ k k→+∞ m q λ(+i) 2 m 2 q0k + '\" lk | k | (+i) 2 q00 + '\" ql0 l=1 |bl - λk |2 l=1 Полученное противоречие и (4.16) завершают доказательство. L(G(Ω,ρ0)) Лемма 4.6. Если lA-1l достаточно мала, то точки из множества σ ess (A) не могут быть предельными для (комплексно сопряженных) ветвей собственных значений из C\R. k k=1 Доказательство. Предположим, что оператор A имеет ветвь собственных значений {λ(+i)}∞ ⊂ {λ ∈ C| Imλ > 0}, стремящихся к числу γ ∈ σess(A). При этом γ ∈/ {0, b1,..., bm} в силу k лемм 4.1, 4.3. Тогда числа λ(+i) суть корни уравнения (4.13) с коэффициентами, определяемыk ми по формулам (4.18). При этом числа λ(-i) k := λ(+i) также будут собственными значениями k оператора A (см. лемму 4.2) и будут корнями уравнения (4.13) при тех же коэффициентах (4.18). Таким образом, числа λ(±i) будут корнями следующих функций: 1 m q '\" lk fk (λ) := -λpk - λ q0k + l=1 , k ∈ N. bl - λ Можно считать, не ограничивая общности, что для коэффициентов выполнены формулы (4.19). В противном случае мы ограничимся соответствующими подпоследовательностями. По предельным коэффициентам определим следующую функцию: 1 m q '\" l0 f (λ) := -λp0 - λ q00 + l=1 . bl - λ k=1 Таким образом, последовательность функций {fk (λ)}∞ сходится (равномерно) к функции f (λ) в каждой замкнутой ограниченной области, не содержащей точек из σ(G) = {0, b1,..., bm}. По теореме Гурвица (см. [12, гл. 4, § 3, п. 3.6]) функция f (λ) имеет в точке λ = γ кратный нуль, т. е. f t(γ) = 0. Итак, имеем 0 = f t(γ) = lim f t (γ) = lim A ϕ + 1 -1/2 (+i) 2 - l ∇ l k k→+∞ k→+∞ l∇ϕ(+i) 2 k G(Ω,ρ0) k lG(Ω,ρ0) (+i) 2 m (+i) 2 0 lQ0∇ϕk lL2,ρ (Ω) + '\" lQl∇ϕk lL2,ρ0 (Ω) γ2 + 1 l=1 2 (bl - γ)2 ;; (+i) 2 ;; lim k→+∞ l∇ϕ(+i) 2 L - lA-1/2l (G(Ω,ρ0)) · l∇ϕk lG(Ω,ρ0)+ k lG(Ω,ρ0) 478 Д. А. ЗАКОРА + min f 1 , 1 (l = 1, m) ( ∗ ϕ , ϕ ) (+i) (+i) Q∇ ∇ ;; γ2 (bl - γ)2 Q k k G(Ω,ρ0) ;; min f 1 , 1 (l = 1, m) γ(Q∗Q) - lA-1/2l 2 L(G(Ω,ρ )), γ2 (bl - γ)2 0 где γ(Q∗Q) > 0 - нижняя грань оператора Q∗Q (см. (3.19), (3.30)). Таким образом, при достаточно малой lA- 1 2 lL(G(Ω,ρ0)) из последней оценки получим противоречие: 0 = f t(γ) > 0. 5. СЛУЧАЙ ОТСУТСТВИЯ ВРАЩЕНИЯ И ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ (ω0 = 0, g = 0) 1. Постановка задачи. Пусть ω0 = 0 и g = 0, т. е. система не вращается и находится в невесомости. В этом случае считаем, что постоянны стационарная плотность ρ0 = const и структурные константы kl > 0 (l = 1, m). Все константы задачи связаны неравенством (2.7). В рассматриваемом случае L2,ρ0 (Ω) = L2,Ω := {f ∈ L2(Ω) | (f, 1)L2(Ω) = 0}. Операторы Ml (см. (3.14)) станут операторами умножения элементов пространства L2,Ω на константы ρ0kl. Будем считать, в соответствии с теоремой 3.2 (или теоремой 3.1), что ρ0 ∈ D(B∗). Тогда в уравнении (3.28) ξρ0 (t) ∈ D(A) (см. (3.30)), и скобки в уравнении (3.28) можно раскрыть. Запишем уравнение из (3.28) в виде системы и применим к обеим частям второго и последующих уравнений оператор U ∗. Полученную систему вместе с соответствующим начальным условием перепишем в виде задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в гильбертовом l=0 пространстве H := G(Ω, ρ0) ⊕ ( ⊕m G(Ω, ρ0)): 0 dζ dt = -Aζ + ζρ0 (t)+ F(t), ζ(0) = ζ , (5.1) ∇ ζ(t) := (∇ϕ(t); w(t))τ := ( ϕ(t); u0(t); u1(t); ... ; um(t))τ , ul(t) := U ∗ul(t) (l = 0, m), m ζρ0 (t) := ( '\" e-blt l=1 ρ0k bl l B∗ρ0; 0; 0; ... ; 0)τ , F(t) := (PGf (t); 0; 0; ... ; 0)τ , 1 ζ0 := (PGu0; - m '\" - l=1 ρ0k bl l 1/2 U ∗ρ0; 0; ... ; 0)τ . Оператор A в (5.1) определяется по следующим формулам: A = diag(A1/2, I) 0 Q∗ -Q G diag(A1/2, I) = 0 A1/2Q∗ -QA1/2 G , (5.2) Q := (β1/2I, β1/2I,..., β1/2I)τ , G := diag(0, b1I,..., bmI), I := diag(I, I,...,I), 0 1 m m ρ0k ρ0k β0 := 1 - '\" l=1 f l , βl := l bl bl 1 (l = 1, m), D(A) = ξ = (∇ϕ; w)τ ∈ H1 ∇ϕ ∈ D(A1/2), Q∗w ∈ D(A1/2) . Замечание 5.1. В рассматриваемом частном случае (в этом разделе) основное гильбертово пространство H и операторный блок A определяются несколько иначе, чем в (3.28)-(3.30). Здесь основная задача Коши (5.1) записана так, что в конструкции операторного блока A, кроме оператора A (см. лемму 3.2), все входящие в него операторы пропорциональны единичным. Оператор (5.2) унитарно эквивалентен оператору (3.30). 2. Спектральная задача и лемма о пересчете корневых элементов. Рассмотрим задачу о спектре оператора A: Aξ = λξ, ξ ∈ D(A) ⊂ H. (5.3) При λ ∈/ {0, b1,..., bm} = σ(G), как и в (4.3)-(4.4), с задачей (5.3) свяжем спектральную задачу для операторного пучка L(λ): L(λ)∇η := - λA-1 + Q∗(G- λ)-1Q ∇η = 0, ∇η ∈ G(Ω, ρ0). (5.4) ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ 479 Определение 5.1 (см. [11, гл. 2, § 11, с 61]). Пусть λ0 - собственное значение (с.з.), а ∇η0 - отвечающий ему собственный элемент (с.э.) оператор-функции L(λ), т. е. L(λ0)∇η0 = 0. Элеменj ты ∇η1, ∇η2,..., ∇ηn-1 называют присоединенными к с.э. ∇η0, если ), (k!)-1L (k) (λ0)∇ηj -k = 0 n-1 k=0 (j = 1, 2,...,n - 1). Число n называют длиной цепочки {∇ηk }k=0 из собственного и присоединенных элементов (с.п.э.). Следующая лемма по аналогии с [11, гл. 2, § 12, следствие 12.4] установлена в [5]. }k=0 Лемма 5.1. Пусть набор элементов {ξk = (∇ϕk ; wk )τ n-1 является цепочкой из с.п.э. задаn-1 1/2 n-1 чи (5.3), отвечающей с.з. λ0, тогда {∇ηk }k=0 := {A отвечающая собственному значению λ0. ∇ϕk }k=0 - цепочка из с.п.э. задачи (5.4), }k=0 Обратно, пусть набор элементов {∇ηk n-1 - цепочка из с.п.э. спектральной задачи (5.4), k }k=0 отвечающая с.з. λ0, тогда набор {ξk = (A-1/2∇ηk ; wk )τ n-1, где wk = ),(G- λ0) l=0 -(k-l+1) Q∇ηl, является цепочкой из с.п.э. спектральной задачи (5.3). Пусть λk = λk (A-1), ∇ηk = ∇ηk (A-1) (k ∈ N) - k-е собственное значение и соответствующий ему нормированный к единице собственный элемент оператора A-1. Тогда ∇ηk - собственный элемент операторного пучка L(λ), и спектр задачи (5.4), а значит, и задачи (5.3), может быть полностью найден из следующей последовательности характеристических уравнений: 1 Q∗(G- λ)-1Q≡- m β β0 + '\" l = λλk, k ∈ N. (5.5) λ l=1 bl - λ Здесь и далее Q, Q∗ и G мы будем понимать также как вектор-столбец, вектор-строку и матрицу соответственно, действующие в Cm+1. Определим характеристические функции 1 gk (λ) := Q∗(G- λ)-1Q- λλk ≡- m β β0 + '\" l - λλk, k ∈ N, λ l=1 m bl - λ m m (5.6) 1 1 '\" βl 1 '\" '\" βlbl g∞(λ) := Q∗(G- λ)- Q≡ - λβ0 + l=1 bl - λ ≡ - λ l=0 βl - l=1 . bl - λ Обозначим через γp (p = 1, m) корни уравнения g∞(λ) = 0. Простые геометрические рассуждения ∞ показывают, что γp ∈ (bp-1, bp)(p = 1, m, b0 := 0), gt (γp) > 0 (p = 1, m). k k Обозначим через λ(p) (p = 1,m + 2) корни уравнения gk (λ) = 0 при каждом k ∈ N. Можно проверить, что это уравнение всегда имеет m действительных корней λ(p) ∈ (γp, bp) (p = 1, m) и еще два корня. Если gt (λ(p)) /= 0 (p = 1, m), то gt (λ(p)) > 0. Оставшиеся два корня λ(m+1) и λ(m+2) k k k k k k являются комплексно сопряженными начиная с некоторого номера k0. В силу конечной кратности собственных значений оператора A-1 легко видеть также, что может быть только конечное количество номеров k ∈ N, при которых характеристическое уравнение gk (λ) = 0 имеет кратные (действительные) корни. Оператор (5.2) подчиняется теореме 4.1, при этом его более простая структура позволяет уточнить информацию о спектре. Применение асимптотических методов к уравнениям (5.6) приводит к следующей теореме. Теорема 5.1. σess(A) = {γ1,..., γm}. Спектр оператора A (или пучка L(λ)) расположен в правой открытой полуплоскости и в C\σess(A) состоит из изолированных конечнократных собственных значений, которые расположены симметрично относительно действительной (p) k=1 полуоси. Все собственные значения можно разбить на (m + 2)-е серии {λk }∞ (p = 1, m), (m+1) {λk } ∞ k=1 := {λ (+i∞) k } ∞ k=1 , {λ (m+2) k } ∞ k=1 := {λ (-i∞) k } ∞ k=1 со следующим асимптотическим поведением: λ(p) γp -1 2 -1 k = γp + gt ∞ λk (A (γp) )+ O(λk (A )) (k → +∞), p = 1, 2,..., m, 480 Д. А. ЗАКОРА λ(±i∞) 1/2 -1/2 m 1 '\" βlbl 1/2 1 m '\" k = ±iα λk (A- )+ l=1 → ∞ + O(λ (A- )) (k + ), α := 2α k l=0 βl = 1. 3. Некоторые леммы о системах векторов в Cm+2. В соответствии с леммой 5.1 собственные элементы оператора A, после группировки по сериям (см. теорему 5.1), могут быть записаны следующим образом: (p) 1/2 (p) 1 τ 1/2 (p) 1 τ ξ�k = (A- ∇ηk ; (G- λk )- Q∇ηk ) = (λk ; (G- λk )- Q) ∇ηk ≡ k ≡ (λ1/2; - β 1/2 0 ; β 1/2 1 ; ... ; β 1/2 m \τ ∇ηk, p = 1,m + 2, k ∈ N. λ (p) k b λ (p) 1 - k bm - λ (p) k В связи с этой формулой докажем ряд вспомогательных утверждений. Лемма 5.2. Пусть J := diag(1, -I) - матрица в Cm+2 = C ⊕ Cm+1, ϕ(p) 1/2 (p) 1 τ k :=Rk,p(λk ; (G- λk )- Q) , p = 1,m + 2, k ∈ N, gt (γp) -1/2, p = 1, m, k ∈ N, (5.7) Rk,p := ∞ 2λk -1/2 , p = m + 1,m + 2, k ∈ N. При всех p, q = 1,m + 2, k ∈ N имеют место следующие формулы: (Jϕ(p) (q) (p) (q) (p) (p) (p) 2 k k , ϕk )Cm+2 = 0 (λk /= λk ), (Jϕk , ϕk )Cm+2 = -gt (λk )Rk,p . (5.8) Доказательство. При λ(p) /= λ(q) из (5.5), (5.6), gk (λ(p)) = 0 и тождества Гильберта найдем, что (Jϕ(p) (q) k k λ - ((G- λ(p) k 1 (q) Q, (G- λ )-1Q) = k , ϕk )Cm+2 = Rk,pRk,q k k )- k Cm+1 = Rk,pRk,q λk - Q∗(G- λ(q))-1(G- λ(p))-1Q = 1 = Rk,pRk,q λk - k k (q) (p) Q∗(G- λ )-1Q- Q∗(G- λ )-1Q = λ(q) (p) k k 1 k - λk = Rk,pRk,q λk - k λ λ(q) k λ λ (p) · k k = 0. λ(q) (p) Далее, из (5.5) имеем (Jϕ(p) (p) k - λk 2 (p) 2 (p) 2 Лемма доказана. k , ϕk )Cm+2 = Rk,p λk - Q∗(G- λk )- Q k = -gt (λk )Rk,p. Лемма 5.3. Пусть Mk := Mk (ϕ(1), ϕ(2),..., ϕ(m+2)) (k ∈ N) - матрица, столбцами которой k k k k являются векторы ϕ(p) (p = 1,m + 2). Имеют место следующие утверждения. 1. Существует C1 > 0 такое, что lMk lL(Cm+2) C1 при всех k ∈ N. 2) Если gt (λ(p)) /= 0 (p = 1,m + 2, k ∈ N), то det Mk /= 0. k k 2. существует C2 > 0 такое, что lM -1l m+2 C при всех k ∈ N. k L(C ) 2 (p) Доказательство. Из теоремы 5.1 несложно вывести, что нормы lϕk lCm+2 равномерно ограничены при p = 1,m + 2, k ∈ N. Отсюда и из оценки lMk lL(Cm+2) следует первое утверждение леммы. m+2 '\" p=1 (p) 2 lϕk lCm+2 1/2 Далее, с помощью формул (5.7), (5.8) из леммы 5.2 найдем, что Mτ t (1) 2 t (2) 2 t (m+2) 2 k JMk = -diag(gk (λk )Rk,1, gk (λk )Rk,2,..., gk (λk )Rk,m+2). ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ 481 Отсюда следует, что m+2 (-1)m+1( det Mk )2 = det Mτ JMk = (-1)m+2 тт gt (λ(p))R2 , k k k p=1 k,p а значит, учитывая (5.7) и gt (λ(p)) /= 0 (p = 1,m + 2, k ∈ N), получим, что k k gt (λ(m+1)) (m+2) g (λ ) - t m gt (λ(p)) ( det Mk )2 = -1 · - k k k k тт k k · · /= 0. 2λk 2λk gt p=1 ∞ (γp) Далее, с использованием (5.5), (5.6) и теоремы 5.1 вычислим m gt (λ(p)) (m+1) g (λ ) · t (m+2) g (λ ) · t lim ( det Mk )2 = - тт lim k k · lim k k o lim k k = -1. k→+∞ → ∞ k + gt p=1 ∞ (γp) k→+∞ 2λk m+1 k→+∞ 2λk Отсюда, из 1) и оценки lM -1l m+2 | det M |-1lM l (см. [8, гл. 1, § 4, п. 2, формуk L(C ) k k L(Cm+2) ла (4.12)]) следует третье утверждение в лемме. Лемма 5.4. Система векторов ϕ(p) := gt (γp) -1/2(0; (G- γp)-1Q)τ , p = 1, m, ∞ ϕ(m+1) ∞ (+i∞) -1/2( -1/2 τ ∞ ≡ ϕ∞ := 2 1; +iα Q) , m (5.9) ϕ(m+2) (-i∞) -1/2( -1/2 τ '\" ∞ ≡ ϕ∞ := 2 1; -iα Q) , α = l=0 βl = 1, является ортонормированным базисом в Cm+2 = C ⊕ Cm+1. Доказательство проводится, как и в лемме 5.2, прямой проверкой с учетом соотношений (5.5), (5.6), g∞(γp) = 0 и тождества Гильберта. (1) (2) (m+2) Лемма 5.5. Пусть M∞ := M∞(ϕ∞ , ϕ∞ ,..., ϕ∞ ) - матрица, столбцами которой являются векторы ϕ(p) (p = 1,m + 2). Тогда M ∗ = M -1. ∞ ∞ ∞ Доказательство проводится прямой проверкой с использованием леммы 5.4. Замечание 5.2. Система (5.9) является предельной для системы (5.7) при k → +∞. Далее из системы (5.9) и собственных элементов оператора A будет сконструирован ортонормированный базис пространства H. Дальнейшая идея состоит в том, чтобы оценить уклонение системы собственных (а в вырожденном случае - системы корневых) элементов оператора A от построенного ортонормированного базиса пространства H. В связи с этим замечанием докажем следующую вспомогательную лемму. Лемма 5.6. Существует C > 0 такое, что при всех k ∈ N -1 lMk - M∞lL(Cm+2) C λk (A ) Доказательство. Как и в лемме 5.3, воспользуемся формулой m+2 1/2. '\" (p) (p) 2 1/2 lMk - M∞lL(Cm+2) p=1 lϕk - ϕ∞ lCm+2 . (5.10) Из (5.7), (5.9), теоремы 5.1 при p = 1,m и тождества Гильберта имеем ϕ(p) (p) t -1/2( 1/2 (p) 1 -1 \τ k - ϕ∞ = g∞(γp) λk ; (G- λk )- - (G- γp) Q = τ = gt (γp) -1/2(λ1/2 (p) (p) 1 -1 \ ∞ k ; λk - γp (G- λk )- (G- γp) Q = = λ1/2 -1/2( 1/2 γp (p) 1 -1 \τ ∞ k · gt (γp) 1; λk p gt (γ ) ∞ + O(λk ) (G- λk )- (G- γp) Q 482 Д. А. ЗАКОРА при k → +∞. Отсюда следует, что (p) (p) -1 1/2 ∃ Cp > 0 : lϕk - ϕ∞ lCm+2 Cp λk (A ) , p = 1, m, k ∈ N. (5.11) Из (5.7), (5.9), теоремы 5.1 при p = m +1 и тождества Гильберта имеем ϕ(m+1) (m+1) 1 ( 1 ( λ -1 (m+1) G- -1/2 \τ k -ϕ∞ = 21/2 λ 0; 1/2 k k ) - iα I Q = = 1 (0; I - iα-1/2λ1/2(G- λ(m+1)) (λ1/2G- λ1/2λ(m+1) 1 \τ Q = 21/2 k k 3/2 m k k k )- \τ = λ1/2 1 (0; iα- '\" k I iα-1/2 + O(λ1/2) (λ1/2 λ1/2λ(m+1) 1 k · 21/2 2 l - G l=1 k k G- k k )- Q при k → +∞. Аналогичные вычисления справедливы и при p = m + 2. Таким образом, имеют место неравенства (5.11) при p = m +1 и p = m + 2. Теперь из (5.10) и (5.11) следует утверждение леммы. 1. О p-базисности системы корневых элементов оператора A. Следствием лемм 5.4 и 5.5 является следующее утверждение. (p) (p) Лемма 5.7. Система элементов {ξk,∞ := ϕ∞ ∇ηk }p=1,m+2, k∈N является ортонормированным базисом пространства H. Доказательство. Ортонормированность введенной системы следует из леммы 5.4 и ортонормиk=1 рованности системы {∇ηk }∞ . Покажем, что введенная система полна в H. Пусть существует ξ = (∇ϕ; u0; u1; ... ; um)τ ∈H такой, что (ξ(p) , ξ) = 0 при всех p = 1,m + 2, k ∈ N. Последнее означает, что k,∞ H ∞ Mτ ((∇ηk, ∇ϕ)H; (∇ηk, u0)H; (∇ηk, u1)H; ... ; (∇ηk, um)H)τ = 0 (H = G(Ω, ρ0)) k=1 при k ∈ N. Отсюда, из леммы 5.5 и из полноты системы {∇ηk }∞ в пространстве G(Ω, ρ0) тогда получим, что ∇ϕ = u0 = u1 = ··· = um = 0. т. е., ξ = 0. С помощью набора матриц Sk (k ∈ N), действующих в Cm+2, определим оператор ⎛ (ξ, ξ(1) ) ⎞ ⎡ ⎤ +∞ Sξ := '\" (ξ(1) ; ... ; ξ(m+2)\ ⎜ k,∞ . H +∞ ⎟ := '\" m+2 '\" ξ(p) m+2 '\" Spq (ξ, ξ(q) ) k,∞ k,∞ Sk ⎜ . ⎟ ⎣ k,∞ k k,∞ H⎦ k=1 ⎝(ξ, ξ(m+2)) ⎠ k=1 p=1 q=1 и будем писать при этом S ←→ Sk. k,∞ H Лемма 5.8. Имеют место следующие утверждения. 1. lSlL(H) sup lSk lL(Cm+2). k∈N k 2. Пусть S ∈ L(H). Если S ←→ Sk, то S∗ ←→ S∗. 3. Пу k сть S, T ∈ L(H), тогда ST ←→ Sk Tk. В частности, S-1 ←→ S-1. {ξ } . Доказательство. Лемма доказывается непосредственной проверкой с использованием ортонормированности системы (p) k,∞ p=1,m+2, k∈N Основываясь на доказанных фактах, установим две теоремы: о p-базисности специальным образом нормированной системы собственных элементов оператора A в невырожденном случае, а также о p-базисности системы корневых элементов оператора A в вырожденном случае. Теорема 5.2. Пусть gt (λ(p)) /= 0 (p = 1,m + 2, k ∈ N). Тогда система собственных элеменk k (p) (p) тов {ξk := ϕk ∇ηk }p=1,m+2, k∈N оператора A образует p-базис пространства H при p > 3 (напомним, что A-1 ∈ Sp(H) при p > 3/2 - см. лемму 3.2). ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ 483 (q) (q) ∞ Доказательство. Положим S←→ Sk := M ∗ Mk и покажем, что Sξl,∞ = ξl при q = 1,m + 2, l ∈ N. Учитывая, что Spq = (ϕ(p), ϕ(q)) и (ξ(q), ξ(p) ) = 0 при l /= k, вычислим k ∞ k Cm+2 l k,∞ H (q) ( (1) (m+2)\ ∗ ( \τ Sξl,∞ = l ξl,∞; ... ; ξl,∞ M∞M 0; ... ; 0; 1q ; 0; ... ;0 = = (ξ(1) (m+2)\(( (1) (q)) ( (m+2) (q)) \τ l,∞; ... ; ξl,∞ ϕ∞ , ϕl Cm+2 ; ... ; ϕ∞ , ϕl Cm+2 = m+2 m+2 = '\" (ϕ(p) (q) (p) ∞ l = '\" (ϕ(q) (p)) (p) p=1 ∞ , ϕl )Cm+2 ξl, p=1 ∞ ,ϕ Cm+2 ξl,∞ = m+2 = '\" (ξ(q) (p) ) (p) +∞ m+2 '\" '\" ( (q) 4. ) (p) (q) p=1 l , ξl,∞ H ξl,∞ = k=1 p=1 ξl , ξk,∞ H ξk,∞ = ξl . Из леммы 5.8, условия gt (λ(p)) /= 0 (p = 1,m + 2, k ∈ N), лемм 5.3 и 5.5 следует, что оператор k k (p) S непрерывно обратим: S-1 ∈ L(H). Отсюда и из леммы 5.7 тогда следует, что система элементов {ξk }p=1,m+2, k∈N - базис Рисса пространства H. Для доказательства теоремы остается показать, что S = I + T , где T ∈ Sp(H) при p > 3. Положим Tk := Mk - M∞, тогда с учетом лемм 5.5 и 5.8 получим, что S ←→ M ∗ Mk = M ∗ (M∞ + Tk ) = I + M ∗ Tk ←→ I + T , T ∗T ←→ (T ∗M∞)(M ∗ Tk ) = T ∗Tk. ∞ ∞ ∞ k ∞ k Обозначим через λk ((T ∗T )1/2) и λk ((T ∗T )1/2) собственные значения оператора (T ∗T )1/2 и матрицы (T ∗T )1/2 соответственно, занумерованные в порядке убывания и с учетом кратности. Тогда из последних соотношений и леммы 5.7 получим, что +∞ +∞ m+2 +∞ m+2 '\" λp((T ∗T )1/2) = '\" '\" λp((T ∗Tk )1/2) = '\" '\" λl(T ∗Tk ) p/2 r r=1 l k k=1 l=1 +∞ k k=1 l=1 +∞ p/2 (m + 2) '\" λmax(T ∗Tk ) p/2 = (m + 2) '\" lT ∗Tk l k k=1 (m + 2) '\" lTk l +∞ k k=1 +∞ L(Cm+2) p L(Cm+2) k=1 (m + 2)Cp '\" λk (A-1) p/2 < +∞ k=1 при p/2 > 3/2, так как A-1 ∈ Sp(H) при p > 3/2. Следовательно, T ∈ Sp(H) при p > 3. Рассмотрим теперь ситуацию, когда при некотором k ∈ N уравнение gk (λ) = 0 имеет кратный корень. В этом случае может быть один или два двукратных корня, либо один трехкратный корень. Разберем случай двукратного корня. В этом случае при некоторых k ∈ N (таких номеров конечное количество) будет либо λ(m+1) = λ(m+2) ∈ R, либо λ(p1) = λ(m+1), λ(p2) = λ(m+2) при некотоk k k k k k рых p1, p2 ∈ {1,..., m}. Не ограничивая общности, предположим первую ситуацию. Пусть ∇η - k это первый присоединенный элемент к собственному элементу ∇ηk пучка L(λ) в точке λ(m+2) (см. определение 5.1). Тогда Lt(λ(m+2))∇ηk = gt (λ(m+2))∇ηk = 0 и Lt(λ(m+2) k (m+2) k k (m+2) (m+2) (m+2) k k )∇ηk + L(λk )∇η = gt (λk )∇ηk + L(λk )∇η = L(λk )∇η = 0. Таким образом, в качестве первого присоединенного к ∇ηk элемента можно взять элемент ∇ηk. Пусть ξ(m+2) = (λ1/2 (m+2) τ k0 k ∇ηk ; (G- λk )-1Q∇ηk ) - собственный элемент оператора A, отвечаюk щий с.з. λ(m+2) (см. лемму 5.1). Вычислим в соответствии с леммой 5.1 присоединенный элемент η1 оператора A. Поскольку присоединенный элемент определяется с точностью до собственного элемента, то можно считать, что ξ(m+2) = η1 - ξ(m+2) = (0; (G- λ(m+2))-2Q∇ηk )τ . Следовательно, k1 k0 k оператор A имеет следующую цепочку из собственного и присоединенного к нему элемента: ξ(m+2) 1/2 (m+2) 1 τ (m+2) k0 = (λk ; (G- λk )- Q) ∇ηk =: ϕk0 ∇ηk, (5.12) ξ(m+2) (m+2) 2 τ (m+2) k1 = ( 0; (G- λk )- Q) ∇ηk =: ϕk1 ∇ηk. 484 Д. А. ЗАКОРА Разберем теперь ситуацию, когда при некотором k ∈ N уравнение gk (λ) = 0 имеет трехкратный (p) (m+1) (m+2) корень. В этом случае при некотором p ∈ {1,..., m} будет λk = λk = λk ∈ R. Пусть ∇η - k Ltt(λ(p) это второй присоединенный элемент к собственному элементу ∇ηk пучка L(λ) в точке λ(p). Тогда k k )∇ηk = gtt(λ (p) k ∞ )∇ηk = gtt (λ (p) k )∇ηk = 0, Lt(λ (p) k k )∇ηk = gt (λ (p) k )∇ηk = 0 и 2-1Ltt(λ(p) t (p) (p) k )∇ηk + L (λk )∇ηk + L(λk )∇η = = 2-1gtt (λ(p))∇ηk + gt (λ(p))∇ηk + L(λ(p))u = L(λ(p))∇η = 0. ∞ k k k k k Таким образом, в качестве второго присоединенного к ∇ηk элемента можно взять элемент ∇ηk. Вычислим в соответствии с леммой 5.1 первый η1 и второй η2 присоединенные элементы оператора A. Легко проверить, что цепочкой из собственного и присоединенных к нему элементов будет также ξ(p), ξ(p) := η1 - ξ(p), ξ(p) := η2 - η1. Таким образом, имеем k0 k1 k0 ξ(p) k2 1/2 (p) 1 τ (p) k0 = (λk ; (G- λk )- Q) ∇ηk =: ϕk0 ∇ηk, ξ(p) (p) 2 τ (p) k1 = ( 0; (G- λk )- Q) ∇ηk =: ϕk1 ∇ηk, (5.13) ξ(p) (p) 3 τ (p) k2 = ( 0; (G- λk )- Q) ∇ηk =: ϕk2 ∇ηk. Далее будем считать, что система корневых элементов оператора A нормируется следующим образом. Если собственный элемент не имеет присоединенного, то он выбирается по формуле из леммы 5.1. Если собственный элемент имеет один или два присоединенных элемента, то соответствующая цепочка выбирается по формуле (5.12) или (5.13) соответственно. Отметим, что собственных элементов оператора A, имеющих один или два присоединенных элемента может быть лишь конечное количество. Теорема 5.3. Система корневых элементов оператора A, нормированных специальным образом, образует p-базис пространства H при p > 3. Доказательство. Покажем сначала, что система корневых элементов оператора A полна в H. s Рассмотрим для простоты ситуацию, когда у оператора A есть одно собственное значение λ(p), которому отвечает цепочка из собственного и одного или двух присоединенных элементов. Проведем доказательство в несколько этапов. s 1. Пусть собственному значению λ(m+2) оператора A отвечает цепочка из собственного и присоединенного к нему элемента, определяемых по формулам (5.12). Предположим, что рассматриваемая система не полна в H и существует ξ = (∇ϕ; u0; u1; ... ; um)τ ∈H такой, что (ξ(p) k , ξ) H = 0, p = 1 ,m + 2, k = 1, 2,...,s - 1,s + 1,..., (5.14) s , ξ) (ξ(p) H s0 = 0, p = 1, m, (ξ(m+2), ξ) H s1 = 0, (ξ(m+2), ξ) H = 0. Первая строчка в (5.14) означает, что Mτ ((∇ηk, ∇ϕ)H; (∇ηk, u0)H; ( ηk, u1)H; ... ; (∇ηk, um)H)τ = 0 (H = G(Ω, ρ0)) k ∇ при k = 1, 2,...,s - 1,s + 1,... (см. лемму 5.3). Отсюда следует, что (∇ηk, ∇ϕ)H = (∇ηk, u0)H = ··· = (∇ηk, um)H = 0, k ∈ N\{s}. (5.15) Вторая строчка в (5.14) означает, что M τ s,1 ∇ ((∇ηs, ∇ϕ)H; (∇ηs, u0)H; ( ηs, u1)H; ... ; (∇ηs, um)H)τ = 0 (H = G(Ω, ρ0)), где Ms,1 = Ms,1(ϕ(1), ϕ(2),..., ϕ(m), ϕ(m+2), ϕ(m+2)) - матрица, столбцами которой являются соотs s s s0 s1 ветствующие векторы. Покажем, что det Ms,1 /= 0, тогда из последней системы, соотношений (5.15) k=1 и полноты в G(Ω, ρ0) системы {∇ηk }∞ получим, что ∇ϕ = u0 = u1 = ··· = um = 0, т. е., ξ = 0. Пусть, как и в лемме 5.2, J = diag(1, -I). Несложно проверить, что s0 , ϕs0 ) (Jϕ(m+2) (m+2) (m+2) ,ϕ (m+2) 1 (m+2) Cm+2 = 0, (Jϕs0 tt ) - s1 Cm+2 = 2 gs (λs ) /= 0, (5.16) (Jϕ(m+2) (m+2) 1 s1 , ϕs1 ) s (λ(m+2) Cm+2 = - 3! gttt s ). ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ 485 Для дальнейших вычислений понадобится формула, которая может быть получена последовательным дифференцированием тождества Гильберта: G- G- ( λ)-n( μ)-1 = 1 (μ - λ)n n-1 (G- μ)-1 - '\" k=0 1 (μ - λ)k+1 (G- λ)-(n-k), (5.17) μ, λ ∈ ρ(G), n ∈ N. С использованием соотношений gs(λ(p)) = 0 (p = 1, m) (см. (5.6)), g (λ(m+2)) = gt (λ(m+2)) = 0, s s s s s формулы (5.17) при n = 2, можно найти, что при всех p = 1,m (Jϕ(p) (m+2) (p) -1 (m+2) -2 s , ϕs1 )Cm+2 = -Rs,p((G- λs ) Q ) Q, (G- λs ) Cm+1 = = -Rs,pQ∗(G- λ(m+2))-2(G- λ(p))-1Q = s (p) s (m+2) (m+2) = -Rs,pQ∗ (G- λs )-1 (G- λs )-2 - - (G- λs )-1 Q = (λ(p) (m+2) (p) (m+2) (p) (m+2) s - λs )2 λs - λs (λs - λs )2 = -Rs,p s λk λ(p) λk - s λk λ(m+2) - = 0. (5.18) (λ(p) (m+2) (p) (m+2) (p) (m+2) s - λs )2 Из (5.16) и (5.18) найдем, что λs - λs (λs - λs )2 ⎛ (1) ⎞ -gt (λs )R2 0 ··· 0 0 s s,1 (2) ⎜ 0 -gt (λ )R2 ··· 0 0 ⎟ ⎜ ⎜ Mτ ⎜ . s s s,2 . ⎟ ⎟ . . . . . ⎟ ⎜ s,1JMs,1 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ , s s - ⎟ 0 0 ··· 0 0 ··· 0 1 gtt(λ(m+2))⎟ ⎟ 2! ⎟ ⎝ 1 (m+2) 1 (m+2) ⎠ - gtt(λ ) - gttt(λ ) 2! s s 1 3! s s 2 m (-1)m+1( det Ms,1)2 = det Mτ JMs,1 = (-1)m+1 gtt(λ(m+2)) тт gt (λ(p))R2 /= 0. Следовательно, det Ms,1 /= 0. s,1 2! s s s s p=1 s,p s 2. Пусть теперь собственному значению λ(p) оператора A отвечает цепочка из собственного и двух присоединенных элементов, определяемых по формулам (5.13). Не ограничивая общности, можно считать, что p = m. Предположим, что система корневых элементов оператора A не полна в H и существует ξ = (∇ϕ; u0; u1; ... ; um)τ ∈H такой, что k , ξ) = 0, p = 1,m + 2, k = 1, 2,...,s - 1,s + 1,..., H (ξ(p) (m) (m) (m) (5.19) s , ξ) H H = 0, p = 1,m - 1, (ξs0 , ξ) H = 0, (ξs1 , ξ) H = 0, (ξs2 , ξ) = 0. Первая строчка в (5.19), как и выше, влечет (5.15). Вторая строчка в (5.19) означает, что M τ s,2 ∇ ((∇ηs, ∇ϕ)H; (∇ηs, u0)H; ( ηs, u1)H; ... ; (∇ηs, um)H)τ = 0 (H = G(Ω, ρ0)), где Ms,2 = Ms,2(ϕ(1),..., ϕ(m-1), ϕ(m), ϕ(m), ϕ(m)) - матрица, столбцами которой являются соотs s s0 s1 s2 ветствующие векторы. Покажем, что det Ms,2 /= 0, тогда из последней системы, соотношений (5.15) k=1 и полноты в G(Ω, ρ0) системы {∇ηk }∞ получим, как и выше, что ∇ϕ = u0 = u1 = ··· = um = 0 и, значит, ξ = 0. Несложно проверить, что (Jϕ(m) (m) (m) (m) s0 , ϕs0 ) ( ) s0 s1 Cm+2 = 0, Jϕ ,ϕ Cm+2 = 0, (Jϕ(m) (m) (m) (m) 1 (m) s0 , ϕs2 ) ( ) s1 s1 s s Cm+2 = Jϕ ,ϕ Cm+2 = - 3! gttt(λ ) /= 0, (5.20) (Jϕ(m) (m) 1 (4) (m) (m) (m) 1 (5) (m) s1 , ϕs2 ) ) s s s2 s2 s s Cm+2 = - 4! g (λ ), (Jϕ ,ϕ Cm+2 = - 5! g (λ ), (Jϕ(p) (m) s , ϕs1 )Cm+2 = 0, p = 1, 2,...,m - 1. 486 Д. А. ЗАКОРА Здесь последнее соотношение выводится также как в (5.18). Далее, с использованием соотношений gs(λ(p) (m) (m) (m) s ) = 0 (p = 1,m - 1) (см. (5.6)), gs(λs ) = gt (λs ) = gtt(λs ) = 0, формулы (5.17) при n = 3 можно найти, что при всех s s p = 1,m - 1 (Jϕ(p) (m) (p) -1 (m) -3 s ,ϕs2 )Cm+2 = -Rs,p((G- λs ) Q ) Q, (G- λs ) Cm+1 = = -Rs,pQ∗(G- λ(m))-3(G- λ(p))-1Q = s (p) s (m) (m) (m) = -Rs,pQ∗ (G- λs )-1 (G- λs )-3 - - (G- λs )-2 (G- λs )-1 - Q = (λ(p) (m) (p) (m) (p) (m) (p) (m) = -Rs,p s - λs )3 s λk λ(p) - λs - λs λk - (λs - λs )2 s λk λ(m) (λs - λs )3 = 0. (5.21) (λ(p) (m) (p) (m) (p) (m+2) s - λs )3 Из (5.20) и (5.21) найдем, что Mτ s,2JMs,2 = (λs - λs )2 (λs - λs )3 ⎛ (1) ⎞ -gt (λs )R2 0 ··· 0 0 0 s s,1 (2) ⎜ 0 -gt (λ )R2 ··· 0 0 0 ⎟ ⎜ s s ⎜ . . ⎜ ⎜ ⎜ = ⎜ s,2 . . . . ⎟ ⎟ . . ⎟ ⎟ 1 (m) ⎟ ⎟ ⎜ 0 0 ··· 0 0 - gttt(λs ) ⎟ , ⎜ 1 ⎜ (m) 3! s 1 (4) ⎟ (m) ⎟ g (λ ⎜ s ⎜ 0 0 ··· 0 - ⎜ ttt 3! s - ) 4! gs (λs )⎟ ⎟ ⎟ ⎝ 1 (m) 1 (4) (m) 1 (5) (m) ⎠ 0 0 ··· - gttt(λ ) - g (λ ) - g (λ ) 3! s s 1 4! s s 3 m-1 5! s s (-1)m+1( det Ms,2)2 = det Mτ JMs,2 = (-1)m-1 gttt(λ(m)) тт gt (λ(p))R2 /= 0. s,2 3! s s s s p=1 s,p Таким образом, det Ms,2 /= 0, и система корневых элементов оператора A полна в H. ∞ {Sξ } p 3. Построим теперь, как и в теореме 5.2, оператор S ←→ Sk := M ∗ Mk с заменой вырожденных матриц Ms на какие-либо невырожденные. При этом оператор S будет непрерывно обратим и попрежнему представим в виде S = I + T , где T ∈ Sp(H) (p > 3), так как вырожденных матриц Ms может быть лишь конечное количество. Таким образом, система (p) есть -базис k,∞ p=1,m+2, k∈N (p > 3) пространства H, который отличается от системы специальным образом нормированных корневых элементов оператора A лишь на конечное количество элементов. Отсюда следует, что система корневых элементов оператора A, учитывая ее полноту, есть также p-базис (p > 3) пространства H. 2. Построение биортогональной системы в невырожденном случае и представление решения исходной задачи. В качестве следствия из леммы 5.2 и теоремы 5.2 сформулируем следующее утверждение. Теорема 5.4. Пусть gt (λ(p)) /= 0 (p = 1,m + 2, k ∈ N). Тогда система ξ(p) k k 1/2 (p) 1 τ k :=Rk,p(λk ; (G- λk )- Q) ∇ηk, p = 1,m + 2, k ∈ N, gt (γp) -1/2, p = 1, m, k ∈ N, Rk,p := ∞ 2λk -1/2 , p = m + 1,m + 2, k ∈ N собственных элементов оператора A образует p-базис пространства H при p > 3, согласно теореме 5.2, и имеет следующую биортогональную систему: k ζ(p) k := - gt (λ (p) k )Rk,p -1 λ ( 1/2 k ; -(G- λ (p) k )-1Q)τ ∇ηk, p = 1,m + 2, k ∈ N. Доказательство. Теорема доказывается непосредственной проверкой. ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ 487 Будем разыскивать решение задачи (5.1) в виде разложения по базису, составленному из собственных элементов оператора A: +∞ m+2 ζ(t) = '\" '\" C(p)(t)ξ(p), C(p)(0) = (ζ0, ζ(p)) . Отсюда и из (5.1) найдем, что +∞ m+2 г k k k k H k=1 p=1 t (p) (ζ (p) r ζ(t) = '\" '\" e-λk t 0, ζ(p)) + e-λk (t-s)(ζ (s)+ (s), ζ(p)) ds ξ(p). (5.22) k H k=1 p=1 0 ρ0 F k H k Учитывая явный вид ζ0, ζρ0 (t), F(t) (см. (5.1)), (5.2) и теорему 5.4, найдем 1/2 1 (ζ0, ζ(p)) -λk (A- ) г(P u0, η ) β0 (B∗ρ0, η ) , (5.23) (λ(p) = g k H t k k )Rk,p G ∇ k λ G(Ω,ρ0) - (p) k ∇ k G(Ω,ρ0) (p) λ1/2(A-1) г m ρ , ∇ηk H (ζρ0 (t)+ F(t), ζk ) = - gt k (p) '\" e- blt βl(B ∗ 0 ) G(Ω,ρ0) G(Ω,ρ0) + (PGf (t), ∇ηk ) . (5.24) k (λk )Rk,p l=1 Подставим (5.23), (5.24) в (5.22). После простых вычислений получим представление для решения задачи Коши (5.1): +∞ m+2 1/2 1. г (p) (P ζ(t) = '\" '\" -λk (A- (p) e-λk t G u0, ∇ηk (A)) G(Ω,ρ0)+ t k=1 p=1 gk (λk )Rk,p r (p) λ(p)t m '\" βle-blt 0 + g∞(λk )e- k t b λ - (p) l=1 l - k 0 (B∗ρ , ∇ηk (A))G(Ω,ρ )+ (p) r + e-λk (t-s) 0 (PG f (s), ∇ηk (A)) G(Ω,ρ0) ds k ξ(p). k Отсюда, учитывая вид ζ(t), ξ(p), связь (3.17) функций u0(t) и ρ(t), найдем представление для решения ∇ϕ(t), ρ(t) задачи (3.27) (в случае, когда g = 0): +∞ m+2 ( 1/2 \ ∇ϕ(t) ρ(t) -1/2 k (t) λ = '\" '\" T (p) k=1 p=1 - k k (λ(p) (A)∇ηk (A) , )-1U ∇ηk (A) T (p) λk (A) г λ(p)t( 0 ) k (t) := - gt (p) e- k u , ∇ηk (A) G(Ω,ρ0)+ k (λk ) r (p) λ(p)t m '\" ρ0kle-blt 0 + g∞(λk )e- k (p) - l=1 bl(bl - λk ) t 0 (B∗ρ , ∇ηk (A))G(Ω,ρ )+ где gk (λ) и g∞(λ) определены в (5.6). (p) r + e-λk (t-s) 0 (f (s), ∇ηk (A)) G(Ω,ρ0) ds , Автор приносит благодарность проф. Н. Д. Копачевскому за обсуждение работы.

Об авторах

Д А Закора

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского; Воронежский государственный университет

Email: dmitry.zkr@gmail.com
295007, Симферополь, проспект Вернадского, 4; 394006, Воронеж, Университетская площадь, 1

Список литературы