Идентификация в общих вырождающихся задачах гиперболического типа в гильбертовых пространствах

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ В математической литературе рассматривались некоторые частные случаи следующей общей задачи: найти пару функций (y, f ) из C([0,τ ]; D(L)) × C([0,τ ]; C), удовлетворяющую задаче d M ∗ (My(t)) = Ly(t)+ f (t)z, 0 � t � τ, (1.1) dt My(0) = My0, (1.2) Φ[My(t)] = g(t), 0 � t � τ, (1.3) при условии g(0) = Φ[My0], где L - замкнутый линейный оператор в X, M ∈ L(X), т. е., M - линейный ограниченный (не обязательно обратимый) оператор в X, y0 ∈ X, g ∈ C([0,τ ]; C), Φ ∈ X∗, z ∈ X. В [2] рассмотрен случай, в котором z заменено но M ∗z для некоторого z из X; в [3] задача (1.1)-(1.3) решена при некоторых конкретных условиях на My0 и ML-1z. В настоящей работе при предположении о том, что существует ограниченный оператор L-1, указанная задача изучается в очень общей ситуации. В разделе 2 задача (1.1)-(1.3) изучается при помощи многозначных линейных операторов (подобно [4]). В разделе 3 предлагается более прямой подход, учитывающий представление объемлющего пространства X = N (T ) ⊕ R(T ), где Первый автор является членом G.N.A.M.P.A., и данная работа на 60% согласована с исследовательской программой G.N.A.M.P.A.-I.N.D.A.M. Последний автор поддержан средствами RFO Болонского университета и министерством абсорбции Израиля. ∗c РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2018 194 ИДЕНТИФИКАЦИЯ В ОБЩИХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЗАДАЧАХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 195 T = ML-1M ∗, в виде прямой суммы. В разделе 4 изучается эволюционное уравнение второго порядка C1/2 d (C1/2y∗(t)) + By∗(t)+ Ay(t) = f (t)z, 0 � t � τ, dt где C = C∗ ∈ L(X), A и B - подходящие замкнутые линейные операторы в X, z ∈ X. Раздел 5 содержит ряд конкретных приложений указанных абстрактных результатов к обыкновенным дифференциальным уравнениям и дифференциальным уравнениям в частных производных. 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. МЕТОД МНОГОЗНАЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ Прежде всего напомним некоторые результаты работы [4], касающиеся дифференциальных задач в гильбертовом пространстве H. Начнем с задачи ⎧ d ⎨M ∗ dt (My(t)) = Ly(t)+ M ∗f (t), 0 � t � τ, ⎩My(0) = w0, (DE) где M - линейный ограниченный оператор в H, L - замкнутый линейный однозначный оператор в H, w0 - заданный элемент пространства H и f ∈ C([0,τ ]; H). Мы полагаем, что H Re(Lu, u±H � β∓Mu∓2 , ∃β ∈ R, ∀u ∈ D(L), (2.1) R(λ0M ∗M - L) ⊇ R(M ∗) (2.2) и для некоторого λ0, превосходящего β, оператор (λ0M ∗M - L)-1 однозначен на R(M ∗). Следующая лемма - это фактически [4, теорема 2.10, с. 38]. Лемма 2.1. Если условия (2.1)-(2.2) выполнены, то для любой f из C1([0,τ ]; H) и любого w0, удовлетворяющего соотношению w0 = My0, Ly0 ∈ R(M ∗), (2.3) существует такое y0 из D(L), что задача (DE) имеет единственное решение y, для которого My ∈ C1([0,τ ],H), Ly ∈ C([0,τ ]; H). (2.4) Ключевой шаг доказательства заключается в том, что при наложенных условиях A - βI = (M ∗)-1LM -1-βI является максимальным диссипативным оператором в H. Отсюда также следует, что H = N (T ) ⊕ R(T ), где T = A-1 = ML-1M ∗. Чтобы решить общую задачу ⎧ d ⎨M ∗ dt (My(t)) = Ly(t)+ f (t), 0 � t � τ, ⎩My(0) = w0, (DE1) надо наложить следующее условие, более сильное, чем (2.2): существует такое λ0, превосходящее β, что R(λ0M ∗M - L) = H, а оператор (λ0M ∗M - L)-1 однозначен и ограничен. (2.5) Тогда замена y(t) = x(t) - L-1f (t) преобразует задачу (DE1) к виду - 1 - d M ∗ (Mx(t)) M ∗ML- f ∗(t) = Lx(t) f (t)+ f (t) = Lx(t), dt т. е., к виду d M ∗ (Mx(t)) = Lx(t)+ M ∗ML-1f ∗(t), 0 � t � τ, dt Mx(0) = My0 + ML-1f (0). Отсюда получаем следующее утверждение. Лемма 2.2 (см. [4, следствие 2.11, с. 39]). Если выполняются условия (2.1) и (2.5), то для любой f из C2([0,τ ]; H) и для любого w0, удовлетворяющего соотношению w0 = My0, где Ly0 + f (0) ∈ R(M ∗), существует такое y0 из D(L), что задача (DE1) имеет единственное решение y, для которого My ∈ C1([0,τ ]; H) и Ly ∈ C([0,τ ]; H). 196 А. ФАВИНИ и др. Отметим, что, если A = (M ∗)-1LM -1, то замена Mx(t) = ξ(t) преобразует последнюю начальную задачу в начальную задачу dξ(t) 1 ∗ dt - ML- f (t) ∈ Aξ(t), 0 � t � τ, ξ(0) = ML-1[Ly0 + f (0)]. Напомним некоторые обозначения, определения и результаты, которые нужны, чтобы рассмотреть дифференциальные уравнения второго порядка по времени. Пусть H - (комплексное) гильбертово пространство с внутренним произведением (·, ·±H и нормой ∓·∓H. Пусть V - гильбертово пространство, непрерывно и плотно вложенное H, и пусть имеет место непрерывное вложение V ⊂ H ⊂ V ∗, где V ∗ обозначает пространство, двойственное к V. Скалярное произведение, в котором один сомножитель принадлежит V, а второй принадлежит V ∗, обозначается через (·, ·±. Введем линейные операторы A, B, C следующим образом. Оператор A принадлежит L(V, V ∗) и обладает свойствами 1. (Au, v± = (u, Av± для любых u, v из V ; V 2. (Au, u± � ω0∓u∓2 для любых u ∈ V, где ω0 - положительная постоянная. Введем оператор AH с областью определения D(AH ) = {v ∈ V ; Av ∈ H} такой, что AHv = Av для любого v из D(AH ). Хорошо известно, что такой оператор AH самосопряжен в H. Пусть A1/2 обозначает квадратный корень из AH. Тогда D(A1/2) = V, а соотношение (Au, v± = (A1/2u, A1/2v±H выполняется для всех u, v из V. Наложим на B и C следующие условия: 3. B - замкнутый линейный оператор в H, для которого D(B) ⊇ D(A1/2) = V ; 4. Re(Bu, u±H � 0 для любого u из V ; (v) C = C∗ ∈ L(H), C � 0. В [4, лемма 6.10, с. 211] получен следующий результат. Лемма 2.3. Если условия (i)-(v) выполняются, то задача ⎧ ⎨C1/2 d (C1/2u∗(t)) + Bu∗(t)+ A u(t) = C1/2f (t), 0 � t � τ, dt H (P’) ⎩u(0) = u0, C1/2u∗(0) = C1/2u1 допускает единственное решение при условии, что f ∈ C1([0,τ ]; H), u0 ∈ D(AH ), u1 ∈ D(A1/2) и существует такое w из H, что AHu0 + Bu1 = C1/2w. Чтобы доказать лемму 2.3, заметим, что задача (P’) эквивалентна следующей задаче: I 0 d I 0 u 0 -I u = I 0 0 , 0 C1/2 dt 0 C1/2 u∗ + AH B u∗ 0 C1/2 f (t) I 0 0 C1/2 u(0) u∗(0) = I 0 0 C1/2 u0 . u1 Вводя пространство X = D(A1/2) × H со скалярным произведением, заданным соотношением ((x, y), (x1, y1)±X = (A1/2x, A1/2x1±H + (y, y1±H, где (x, y), (x1, y1) ∈ X, и, определяя операторы M и L соотношениями D(M ) = X, M (x, y) = (x, C1/2y), (x, y) ∈ X, D(L) = D(AH ) × D(A1/2), L(x, y) = (y, -AHx - By), мы видим, что условия (i)-(v) позволяют применить лемму 2.1. Используя многозначные операторы, преобразуем задачу (1.1)-(1.3) в дифференциальное включение (здесь z заменено на M ∗z): d - ∈ (My(t)) f (t)z (M ∗)-1Ly(t), 0 � t � τ. dt ИДЕНТИФИКАЦИЯ В ОБЩИХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЗАДАЧАХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 197 Далее, с помощью замены My(t) = x(t) получаем, что dx(t) 1 -1 dt - f (t)z ∈ (M ∗)- LM x(0) = My0, Φ[x(t)] = g(t). Если (M ∗)-1LM -1 = A, то имеем dx(t) x(t), dt - f (t)z ∈ Ax(t), 0 � t � τ, x(0) = M y0 = w0, Φ[x(t)] = g(t), 0 � t � τ, t где g(0) = Φ[My0]. Тогда, как известно из [4], имеем x(t) = etAw0 + Г e(t-s)Azf (s)ds. Следователь- 0 но, условие Φ[x(t)] = g(t) переходит в интегральное уравнение t r Φ[etAw0]+ 0 Φ[e(t-s)Az]f (s)ds = g(t). (2.6) Такое интегральное уравнение второго рода однозначно разрешимо и его решение f принадлежит C1([0,τ ]; C). Имеем следующий результат об однозначной разрешимости. Теорема 2.1. Пусть операторы M, M ∗,L удовлетворяют условиям (2.1)-(2.2). Тогда задача (1.1)-(1.3), в которой f (t)z заменено на M ∗f (t)z, допускает единственное решение (y, f ), принадлежащее C([0,τ ]; H) × C1([0,τ ]; C), если g ∈ C2([0,τ ]; C), Φ[z] /= 0, My0 = w0 = A-1w1 и существуют такие z1, w2 из H, для которых w1 = A-1w2 и z = A-1z1. Доказательство. Можно продифференцировать обе части уравнения (2.6). Получим уравнение t r Φ[etAw1]+ Φ[z]f (t)+ 0 Φ[e(t-s)Az1]f (s)ds = g∗(t). Это интегральное уравнение допускает единственное решение f из C([0,τ ]; C) (см. [5]). Продифференцировав обе части полученного уравнения и применив представление мы получаем, что t t r r Φ[e(t-s)Az1]f (s)ds = 0 0 Φ[esAz1]f (t - s)ds, t r Φ[etAw2]+ Φ[z]f ∗(t)+ Φ[etAz1]f (0) + 0 t r + Φ[z]f ∗(t)+ Φ[etAz1]f (0) + 0 Φ[esAz1]f ∗(t - s)ds = g∗∗(t) = Φ[etAw2]+ Φ[e(t-s)Az1]f ∗(s)ds. Из [5] известно, что это интегральное уравнение допускает единственное непрерывное решение, а именно, f ∗(t), что и завершает доказательство. Можно предположить, что с помощью леммы 2.2 аналогичным образом решается и общая задача (1.1)-(1.3). Однако замена y(t) = x(t) - f (t)L-1z преобразует уравнение (1.1) в уравнение - 1 d M ∗ (Mx(t)) f ∗(t)M ∗ML- z = Lx(t), dt 198 А. ФАВИНИ и др. а значит, функция Mx(t) = ξ(t) удовлетворяет соотношениям dξ(t) 1 dt - f ∗(t)ML- z ∈ Aξ(t), 0 � t � τ, ξ(0) = w0 + f (0)ML-1z, Φ[ξ(t)] = g(t)+ f (t)Φ[ML-1z], 0 � t � τ, где A = (M ∗)-1LM -1, w0 = My0. Следовательно, чтобы получить строгое решение t r ξ(t) = etA[w0 + f (0)ML-1z]+ 0 e(t-s)AML-1zf ∗(s)ds, мы должны предположить, что f ∈ C2([0,τ ]; C). Наконец, интегрирование по частям дает соотношение t r ξ(t) = etAw0 + f (0)etAML-1z - f (0)etAML-1z + ML-1zf (t)+ 0 e(t-s)A(M ∗)-1zf (s)ds = t r = etAw0 + ML-1zf (t)+ 0 e(t-s)A(M ∗)-1zf (s)ds. Им можно воспользоваться только при условии, что z = M ∗z1 для некоторого z1 из X, а именно этого условия мы должны избегать. Рассмотрим теперь задачу d M ∗ (My(t)) = Ly(t)+ f (t)M ∗z, 0 � t � τ, dt My(0) = w0, Φ[My(t)] = g(t), 0 � t � τ, где g(0) = Φ[w0], при условиях (2.1)-(2.2), наложенных на M, M ∗, L. Как и ранее, запишем первое уравнение в следующем виде: - ∈ d (My(t)) f (t)z (M ∗)-1Ly(t). dt Замена (M ∗)-1Ly(t) э x(t), т. е., y(t) = L-1M ∗x(t), дает соотношения d dt (Tx(t)) = x(t)+ f (t)z, 0 � t � τ, (2.7) где T = ML-1M ∗ ∈ L(H). Tx(0) = w0, (2.8) Φ[T x(t)] = g(t), 0 � t � τ, (2.9) Из [2] известно, что пространство H представимо в виде прямой суммы H = N (T ) ⊕ R(T ), где N (T ) - ядро оператора T, а R(T ) - его образ (и то, и другое - в топологии, индуцированной H). Кроме того, если T� обозначает сужение T на R(T ), то оператор T� обратим, и оператор T�-1 : R(T ) → R(T ) генерирует в R(T ) C0-полугруппу. Обозначим через P оператор проектирования на N (T ) вдоль R(T ). Отметим, что включение w0 ∈ R(T ) является необходимым. Тогда задача (2.7)- (2.9) эквивалентна задаче 0 � t � τ, (2.10) (2.11) (2.12) (2.13) d dt (T�(I - P )x(t)) = (I - P )x(t)+ f (t)(I - P )z, T�(I - P )x(0) = w0 = (I - P )w0, Φ[T�(I - P )x(t)] = g(t), 0 � t � τ, 0 = Px(t)+ f (t)Pz, 0 � t � τ. ИДЕНТИФИКАЦИЯ В ОБЩИХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЗАДАЧАХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 199 Хорошо известно (см., например, [6]), что, если f непрерывно дифференцируема на [0,τ ] и w0 ∈ R(T�) = R(T ), то задача (2.10)-(2.11) допускает единственное сильное решение и t r -1 T�(I - P )x(t) = etT� w0 + 0 Из (2.12) вытекает соотношение -1 e(t-s)T� (I - P )zf (s)ds. t Φ[etT�-1 w ]+ 0 r Φ[e(t-s)T�-1 (I 0 - P )z]f (s)ds = g(t). (2.14) Следовательно, если (I-P )z ∈ R(T ), то можно продифференцировать левую и правую части (2.14); выполнив это дифференцирование, получаем, что t Φ[etT�-1 T -1w ]+ Φ[(I r P )z]f (t)+ Φ[e(t-s)T�-1 T -1(I P )z]f (s)ds = g∗(t). (2.15) � 0 - � - 0 Если Φ[(I - P )z] /= 0, то у (2.15) есть единственное решение f из C([0,τ ]; C). Если g ∈ C2([0,τ ]; C) � и w0 ∈ D((T�-1)2) = R(T 2) = R(T t r 2), то, учитывая, что t r Φ[e(t-s)T�-1 0 T�-1 (I - P )z]f (s)ds = 0 Φ[e sT�-1 T�-1 (I - P )z]f (t - s)ds, получаем уравнение Φ[etT�-1 T -2w ]+ Φ[(I P )z]f ∗(t)+ Φ[etT�-1 T -1(I P )z]f (0)+ � 0 - t + r Φ[e(t-s)T�-1 -1 � - ∗ ∗∗ T� (I - P )z]f (s)ds = g 0 (t), допускающее единственное решение f ∗ из C([0,τ ]; C). Функция Px(t) определяется из (2.13) соответственно. Итак, получаем следующее утверждение. d Теорема 2.2. Если операторы M, M ∗,L удовлетворяют условиям (2.1) и (2.5), w0 ∈ R(T 2), g ∈ C2([0,τ ]; C), g(0) = Φ[w0], (I - P )z ∈ R(T ) и Φ[(I - P )z] /= 0, то задача M ∗ (My(t)) = Ly(t)+ f (t)M ∗z, 0 � t � τ, dt My(0) = w0, Φ[My(t)] = g(t), 0 � t � τ, допускает единственное строгое решение (y, f ), для которого y ∈ C([0,τ ]; D(L)) и f ∈ C1([0,τ ]; C). Теорема 2.2 улучшает результаты [2, 3] и является своего рода альтернативной версией теоремы 2.1. 3. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ Рассмотрим задачу (1.1)-(1.3) в предположении, что операторы M, M ∗,L удовлетворяют условиям теоремы 2.2. Замена y(t) = x(t) - f (t)L-1z преобразует задачу (1.1)-(1.3) к виду d M ∗ (Mx(t)) = Lx(t)+ f ∗(t)M ∗ML-1z, 0 � t � τ (3.1) dt Mx(0) = w0 + f (0)ML-1z, (3.2) Φ[M x(t)] = g(t)+ f (t)Φ[ML-1z], 0 � t � τ, (3.3) 200 А. ФАВИНИ и др. где Φ[w0] = g(0), w0 = My0. Другими словами, из (3.1) получаем включение d - ∈ (Mx(t)) f ∗(t)ML-1z (M ∗)-1Lx(t), 0 � t � τ. dt Введем новую переменную ξ(t) соотношением x(t) = L-1M ∗ξ(t). Тогда задача (3.1)-(3.3) принимает вид d (Tξ(t)) = ξ(t)+ f ∗(t)ML-1z, 0 � t � τ, (3.4) dt Tξ(0) = w0 + f (0)ML-1z, (3.5) Φ[T ξ(t)] = g(t)+ f (t)Φ[ML-1z], 0 � t � τ, (3.6) где T = ML-1M ∗ ∈ L(X). Как отмечалось выше, из [2] следует, что N (T ) = R(T )⊥, если L = L∗. Вообще говоря, имеем равенство X = N (T )⊕R(T ). Напомним, что P обозначает оператор проектирования на N (T ) вдоль R(T ), а T� есть сужение T на R(T ), причем T� ∈ L(R(T )), и T�-1 генерирует сильно непрерывную полугруппу в R(T ) (см., например, [2, 3]). Тогда задача (3.4)-(3.6) принимает вид d dt (T�(I - P )ξ(t)) = (I - P )ξ(t)+ f ∗(t)(I - P )ML-1z, 0 � t � τ, (3.7) T�(I - P )ξ(0) = (I - P )w0 + f (0)(I - P )ML-1z, (3.8) Pw0 + f (0)PML-1z = 0, (3.9) 0 = Pξ(t)+ f ∗(t)PML-1z, 0 � t � τ, (3.10) Φ[T�(I - P )ξ(t)] = g(t)+ f (t)Φ[ML-1z], 0 � t � τ. (3.11) Перейдем к формальному доказательству основной теоремы. Мы уже имеем соотношение t r -1 T�(I - P )ξ(t) = etT� [(I - P )w0 + f (0)(I - P )ML-1z]+ 0 Выполнив интегрирование по частям, получаем, что -1 e(t-s)T� (I - P )ML-1zf ∗(s)ds. -1 T�(I - P )ξ(t) = etT� [(I - P )w0 + f (0)(I - P )ML-1z]+ f (t)(I - P )ML-1z- t r -1 - f (0)etT� (I - P )ML-1z + 0 -1 T�-1e(t-s)T� (I - P )ML-1zf (s)ds = t = etT�-1 (I § P )w0 + f (t)(I r § P )ML-1z + 0 � T -1e(t-s)T�-1 (I - P )ML-1zf (s)ds, (3.12) -1 что приводит нас к выводу о том, что sup ∓T�-1etT� (I -P )ML-1z∓ < ∞, т. е., если T�-1 генерирует t>0 аналитическую полугруппу в R(T ), то согласно [1] (I - P )ML-1z принадлежит пространству Фавара F1 для оператора T�-1. Применяя Φ к обеим частям равенства (3.12) и используя соотношение (3.11), получаем соотношение Φ[etT�-1 (I - P )w0]+ f (t)Φ[(I t r - P )ML-1z]+ 0 � Φ[T -1e(t-s)T�-1 (I - P )ML-1z]f (s)ds = = g(t)+ f (t)Φ[ML-1z], ИДЕНТИФИКАЦИЯ В ОБЩИХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЗАДАЧАХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 201 т. е., t r 1 -1 f (t)Φ[PML-1z] = 0 Φ[T�-1e(t-s)T�- (I -P )ML-1z]f (s)ds+Φ[etT� (I -P )w0]-g(t), 0 � t � τ. (3.13) Если Φ[PM L-1z] /= 0, то получаем классическое интегральное уравнение первого рода. Учитывая [5], приходим к выводу, что (3.13) допускает единственное глобальное непрерывное решение f на отрезке [0,τ ]. Однако от f (t) нам требуется бо´льшая регулярность, а именно, принадлежность пространству C2([0,τ ]; C). В интеграле из (3.13) применим замену t - s = r. Получим, что t r 0 а значит, d r t r -1 Φ[T�-1e(t-s)T� (I - P )ML-1z]f (s)ds = 0 t 1 -1 Φ[T�-1erT� (I - P )ML-1z]f (t - r)dr, -1 dt Φ[T�-1e(t-s)T�- (I - P )ML-1z]f (s)ds = Φ[T�-1etT� 0 t r (I - P )ML-1z]f (0)+ 1 + Φ[T�-1e(t-s)T�- (I - P )ML-1z]f ∗(s)ds. 0 Следовательно, продифференцировав обе части равенства (3.13), мы получаем соотношение t r 1 -1 f ∗(t)Φ[PML-1z] = 0 Φ[T�-1e(t-s)T�- (I - P )ML-1z]f ∗(s)ds + Φ[T�-1etT� 1 (I - P )ML-1z]f (0)+ + Φ[T�-1etT�- (I - P )w0] - g∗(t). Действуя таким же образом, мы получаем соотношение t r -1 f ∗∗(t)Φ[PML-1z] = Φ[T�-1etT� (I - P )ML-1z]f ∗(0) + 0 1 -1 Φ[T�-1e(t-s)T� (I - P )ML-1z]f ∗∗(s)ds+ -1 + Φ[T�-2etT�- (I - P )ML-1z]f (0) + Φ[T�-2etT� Отсюда следует, что, если 1 (I - P )w0] - g∗∗(t). -1 sup ∓T�-2etT�- (I - P )ML-1z∓X < ∞, sup ∓T�-2etT� (I - P )w0∓X < ∞, t>0 t>0 то функция f ∗∗ удовлетворяет классическому интегральному уравнению, а значит, непрерывна на [0,τ ]. Остается проверить выполнение соотношения (3.9). Поскольку g(0) = Φ[w0], а из (3.8) и (3.11) следует, что f (0) = Φ[(I - P )w0] - g(0) = - Φ[P w0] , соотношение (3.9) выполняется Φ[PM L-1z] тогда и только тогда, когда Pw = Φ[Pw0] PML 0 Φ[PM L-1z] Φ[PM L-1z] -1z, т. е. тогда и только тогда, когда Φ[PM L-1z]Pw0 = Φ[P w0]PML-1z. (3.14) Отметим, что задача (3.7), (3.8), (3.11), в которой η(t) = T�(I - P )ξ(t), может быть записана в форме dη(t) dt = T�-1η(t)+ f ∗(t)(I - P )ML-1z, 0 � t � τ, (3.15) Φ[Pw0] -1 η(0) = (I - P )w0 - Φ[PM L-1z](I - P )ML z, (3.16) Φ[η(t)] = g(t)+ f (t)Φ[ML-1z], 0 � t � τ. (3.17) 202 А. ФАВИНИ и др. Значит, чтобы строгое решение задачи (3.15)-(3.16) существовало, нужно потребовать, чтобы (I - P )w0 и (I - P )ML-1z принадлежали R(T ). Справедливо следующее утверждение. Теорема 3.1. Пусть X = N (T ) ⊕ R(T ), T = ML-1M ∗, а P - оператор проектирования на N (T ) вдоль R(T ). Пусть z ∈ X, Φ[PM L-1z] /= 0, Φ ∈ X∗, (I - P )w0 ∈ R(T ), (I - P )ML-1z ∈ R(T ), g ∈ C2([0,τ ]; C), g(0) = Φ[w0], 0 ∈ ρ(L), где ρ(L) обозначает резольвентное множество оператора L. Пусть выполняются соотношение (3.14) и неравенства 1 -1 sup ∓T�-1etT�- T�-1(I - P )ML-1z∓X < ∞, sup ∓T�-1etT� T�-1(I - P )w0∓X < ∞. t>0 t>0 Тогда обратная задача (1.1)-(1.3), в которой My0 заменено на w0, допускает единственное решение (y, f ) из C([0,τ ]; D(L)) × C2([0,τ ]; C). Случай, в котором Φ[PM L-1z] = 0, рассмотрен в [3, теорема 1]. Тогда уравнение (3.13) сводится к следующему интегральному уравнению второго рода: t r 1 -1 Φ[T�-1e(t-s)T�- (I - P )ML-1z]f (s)ds + Φ[etT� 0 (I - P )w0] - g(t) = 0, 0 � t � τ. (3.18) Повторяя те же рассуждения, что и выше, мы видим, что необходимо еще раз продифференцировать по времени. Действительно, дифференцируя (3.18), получаем соотношение t r Φ[T�-1(I - P )ML-1z]f (t)+ 0 -1 Φ[T�-1e(t-s)T� T�-1(I - P )ML-1z]f (s)ds+ 1 + Φ[T�-1etT�- (I - P )w0] - g∗(t) = 0, 0 � t � τ. Предположим, что Φ[T�-1(I - P )ML-1z] /= 0. Тогда такое интегральное уравнение допускает единственное глобальное решение f из C([0,τ ]; C). Однако нам требуется, чтобы f принадлежала C2([0,τ ]; C). Рассуждая так же, как и выше, мы получаем, что t � - Φ[T -1(I P )ML-1z]f ∗(t)+ d r dt 0 -1 Φ[T�-1esT� T�-1(I - P )ML-1z]f (t - s)ds+ -1 + Φ[T�-1etT� T�-1(I - P )w0] - g∗∗(t) = 0 = Φ[T�-1(I - P )ML-1z]f ∗(t)+ t r -1 + Φ[T�-1etT� T�-1(I - P )ML-1z]f (0) + 0 1 -1 Φ[T�-1e(t-s)T� T�-1(I - P )ML-1z]f ∗(s)ds+ + Φ[T�etT�- T�-1(I - P )w0] - g∗∗(t), 0 � t � τ, и -1 Φ[T�-1(I - P )ML-1z]f ∗∗(t)+ Φ[T�-1etT� T�-2(I - P )ML-1z]f (0)+ t r -1 + Φ[T�-1etT� T�-1(I - P )ML-1z]f ∗(0) + 0 1 -1 Φ[T�-1e(t-s)T� T�-1(I - P )ML-1z]f ∗∗(s)ds+ + Φ[T�-1etT�- T�-2(I - P )w0] - g∗∗∗(t) = 0, 0 � t � τ. Справедливо следующее утверждение: Теорема 3.2. Пусть X = N (T ) ⊕ R(T ), T = ML-1M ∗, а P - оператор проектирования на N (T ) вдоль R(T ). Предположим, что z ∈ X, w0,ML-1z ∈ R(T ), Φ ∈ X∗, Φ[PM L-1z] = 0, Φ[T�-1M L-1z] /= 0, 0 ∈ ρ(L), g ∈ C3([0,τ ]; C), g(0) = Φ[w0], 1 -1 sup ∓T�-1etT�- T�-2M L-1z∓X < ∞, sup ∓T�-1etT� T�-2w0∓X < ∞. t>0 t>0 ИДЕНТИФИКАЦИЯ В ОБЩИХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЗАДАЧАХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 203 Тогда обратная задача (1.1)-(1.3), в которой My0 заменено на w0, допускает единственное решение (y, f ) из C([0,τ ]; D(L)) × C2([0,τ ]; C). d Замечание 3.1. Можно предположить, что общую задачу M ∗ (My(t)) = Ly(t)+ f (t)z, 0 � t � τ, dt My(0) = w0, Φ[My(t)] = g(t), 0 � t � τ, можно исследовать с помощью многозначных линейных операторов, используя введенную выше замену y(t) = x(t) - f (t)L-1z. Очевидно, что после замены Mx(t) = ξ(t) задача примет вид dξ(t) 1 ∗ -1 -1 dt - f ∗(t)ML- z ∈ (M ) LM ξ(0) = w0 + f (0)ML-1z, ξ(t) := Aξ(t), 0 � t � τ, Ее решение есть Φ[ξ(t)] = g(t)+ f (t)Φ[ML-1z], 0 � t � τ. t r ξ(t) = etA[w0 + f (0)ML-1z]+ 0 e(t-s)AML-1zf ∗(s)ds = = etA[w0 + f (0)ML-1z]+ f (t)ML-1z - etAf (0)ML-1z+ t t r r + e(t-s)AAML-1zf (s)ds = etAw0 + f (t)ML-1z + 0 0 e(t-s)AAML-1zf (s)ds, однако последний интегральный член имеет смысл только в том случае, когда z = M ∗z для некоторого z из X, а в этом случае мы получаем уравнение, ранее рассмотренное в теореме 2.1. Замечание 3.2. Понятно, что N (M ∗) ⊆ N (ML-1M ∗). С другой стороны, если ML-1M ∗z = 0, то 0 = (ML-1M ∗z, z±X = (L-1M ∗z, M ∗z±X и, следовательно, Re(L-1M ∗z, M ∗z±X = 0. Предположим, что Re(Ly, y±X /= 0 для любого ненулевого y. Тогда Re(L-1y, y±X /= 0 для любого ненулевого y. Следовательно, Re(L-1M ∗z, M ∗z±X = 0 тогда и только тогда, когда M ∗z = 0. Отсюда следует, что в этом случае справедливо равенство N (ML-1M ∗) = N (M ∗). Замечание 3.3. Предположим, что L самосопряжен и справедливо соотношение Re(Lx, x±X = (Lx, x±X � 0. Если ML-1M ∗x = 0, то 0 = (ML-1M ∗x, x±X = -(M (-L)1/2(-L)1/2M ∗x, x±X = -((-L)1/2M ∗x, (-L)1/2M ∗x±X. Следовательно, N (ML-1M ∗) совпадает с N (M ∗). Замечание 3.4. Предположим, что N (ML-1M ∗) = N (M ∗). Рассмотрим PML-1z, где P - оператор проектирования на N (ML-1M ∗) = N (M ∗) вдоль R(ML-1M ∗). Тогда M ∗PML-1z = 0, а значит, ∓X 0 = (M ∗PML-1z, L-1z±X = (PML-1z, ML-1z±X = ∓PML-1z 2 + (PML-1 z, (I - P )ML-1 z±X. 2 -1 2 С другой стороны, если L самосопряжен и (Lx, x±X � 0 для любого x из D(L), то, как известно, оператор проектирования P тоже самосопряжен, а значит, (Px, (I - P )x±X = (Px, x±X - (Px, Px±X = (Px, x±X - (P x, x±X = (Px, x±X - (Px, x±X = 0. Следовательно, 0 = ∓PML z∓X, а значит, ML-1z ∈ R(ML-1M ∗). 4. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПО ВРЕМЕНИ В гильбертовом пространстве H со скалярным произведением (·, ·)H рассмотрим следующую задачу: C1/2 d (C1/2y∗(t)) + By∗(t)+ A y(t) = f (t)z, 0 � t � τ, dt H y(0) = y0, C1/2y∗(0) = C1/2y1, 204 А. ФАВИНИ и др. где C - ограниченный самосопряженный оператор в H, C � 0, B - замкнутый линейный оператор в H, A - линейный ограниченный оператор в другом гильбертовом пространстве V, ограниченно и плотно вложенном в H, а оператор AH определен в разделе 2 (см. условия (i)-(v)). Потребуем также, чтобы Φ[C1/2y(t)] = g(t), 0 � t � τ, где g имеет гладкость, по крайней мере, C1([0,τ ]; C). Разумеется, H отождествляется со своим двойственным пространством, а значит, имеют место вложения V ⊂ H ⊂ V ∗. Понятно, что условия согласования Φ[C1/2y0] = g(0), Φ[C1/2y1] = g∗(0) тоже должны выполняться. Тогда сформулированную выше задачу можно записать в следующем виде: I 0 d I 0 y(t) 0 -I y(t) = f (t) 0 , 0 � t � τ, 0 C1/2 dt 0 C1/2 y∗(t) + AH B y∗(t) z I 0 0 C1/2 y(0) y∗(0) = I 0 0 C1/2 y0 , y1 I 0 y(t) 1/2 ∗ ∗ Φ�[ 0 C1/2 y∗(t) ] := Φ[C y (t)] = g (t), 0 � t � τ. Эта задача поставлена в объемлющем пространстве X = D(A1/2)×H со скалярным произведением ((x, y), (x1, y1)±X = (A1/2x, A1/2x1)H + (y, y1)H, (x, y), (x1, y1) ∈ X. Легко видеть, что действующие из X в X операторы M и L, определенные соотношениями D(M ) = X, M (y, x) = (y, C1/2x), (y, x) ∈ X, D(L) = D(AH ) × D(A1/2), L(y, x) = (x, -AHy - Bx), (y, x) ∈ D(L), удовлетворяют всем условиям предыдущих разделов, если AH имеет ограниченный обратный. Если уравнение имеет вид I 0 d I 0 y(t) 0 I y(t) I 0 0 0 C1/2 dt 0 C1/2 y∗(t) = -AH -B y∗(t) + f (t) 0 C1/2 z , 0 � t � τ, где AH имеет ограниченный обратный, то, вводя обозначения I 0 0 C1/2 y(t) y∗(t) = ξ(t) η(t) , d ξ(t) 0 I 0 -1 0 I I 0 -1 ξ(t) ξ(t) dt η(t) - f (t) z ∈ 0 C1/2 -AH -B 0 C1/2 η(t) := A η(t) , ξ(0) η(0) = y0 , C1/2y1 ξ(t) Φ�[ η(t) ] = Φ[η(t)] = g∗(t), мы снова получаем обратную задачу на отрезке [0,τ ]. Поскольку ξ(t) η(t) y0 = etA C1/2y 0 t + Г e(t-s)A f (s)ds, то справедливо соотношение Φ�[etA 1 0 t y0 r C1/2y1 ]+ 0 z Φ�[e(t-s)A 0 z ]f (s)ds = g∗(t), 0 � t � τ. (4.1) Дифференцируя его левую и правую части, получаем, что t y0 r 0 y0 Φ�[etAA 0 C1/2y1 ]+ Φ[z]f (t)+ 0 Φ�[e(t-s)AA z ]f (s)ds = g∗∗(t), где A C1/2y1 и A z легко вычисляются. Если Φ[z] /= 0, то такое решение f принадлежит C([0,τ ]; C). ИДЕНТИФИКАЦИЯ В ОБЩИХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЗАДАЧАХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 205 t 0 t 0 В (4.1) используем соотношение Г Φ�[e(t-s)A 0 � ]f (s)ds = Г Φ[esA z 0 z ]f (t - s)ds. Тогда, продифференцировав (4.1), получим интегральное уравнение для f ∗(t), откуда следует, что f ∈ C1([0,τ ]; C). Возвращаясь к общему случаю, преобразуем пару y(t) y∗(t) в виде x(t) 0 I -1 0 x(t) A-1B -A-1 0 - H H x1(t) - -AH -B f (t) z = x1(t) - x(t) I 0 H A-1z z f (t) = = x1(t) + 0 f (t). Тогда наша система принимает вид I0 d I0 x(t) I0 ∗ I0 H A-1z 0I x(t) т. е. 0C1/2 dt 0C1/2 x1(t) + f (t) 0C1/2 0C1/2 = 0 -AH - B x1(t) , d I 0 x(t) I 0 ∗ H A-1z I 0 -1 0 I x(t) dt 0 C1/2 x1(t) + f (t) 0 C1/2 0 ∈ 0 C1/2 -AH -B x1(t) . Таким образом, все предшествующие рассуждения разделов 2-3 можно повторить снова (оставим это заинтересованному читателю). После применения указанной выше замены переменных y(t) y∗(t) = x(t) x1(t) + f (t) H A-1z 0 (мы H предполагаем, что A-1 ∈ L(H)) рассматривая система принимает вид I 0 d I 0 x(t) I 0 ∗ I 0 H A-1z 0 C1/2 dt 0 C1/2 x1(t) + f (t) 0 C1/2 0 C1/2 0 = 0 I = -AH -B x(t) x1(t) , 0 � t � τ, H x(0) = y0 - f (0)A-1z, C1/2x1(0) = C1/2y1. Следовательно, если 0 � t � τ, то d I 0 x(t) I 0 ∗ H A-1z I 0 -1 0 I x(t) dt 0 C1/2 x1(t) + f (t) 0 C1/2 0 ∈ 0 C1/2 -AH -B x1(t) , а значит, пара (ξ(t), η(t)) = (x(t), C1/2x1(t)) удовлетворяет включению d ξ(t) H A-1z I 0 -1 0 I I 0 -1 ξ(t) ξ(t) dt η(t) + f ∗(t) 0 ∈ 0 C1/2 -AH -B 0 C1/2 η(t) := A η(t) , H ξ(0) = y0 - f (0)A-1z, η(0) = C1/2y1. Если f ∈ C2([0,τ ]; C), то такая задача допускает единственное решение ξ(t) tA y0 - f (0)A- z 1 r 1 t A- H e(t-s)A H z ∗ f (s)ds η(t) = e C1/2y1 - 0 0 206 А. ФАВИНИ и др. и ξ(t) tA y0 - f (0)A- z t r 1 H (t s) A z -1 H Φ[ η(t) ] = Φ1[ξ(t)]+ Φ2[η(t)] = Φ[e C1/2y1 ] - Φ[e - A 0 0 ]f ∗(s)ds = y0 - f (0)A-1z A-1z A-1z = Φ[etA t H C1/2y1 - ] Φ[ H 0 ]f (t)+ Φ[etA H 0 f (0)]- r - Φ[e(t-s)AA 0 H z A-1 0 ]f (s)ds = Φ[etA y0 C1/2y1 ]- - Φ[ H z A-1 0 t r ]f (t) - 0 Φ[e(t-s)AA H z A-1 0 ]f (s)ds = g(t). H Чтобы получить интегральное уравнение первого рода для f (t), нужно наложить условие Φ1[A-1z] /= 0. Значит, нужно потребовать, чтобы f (t) была дважды дифференцируемой, а это вынуждает нас накладывать на z условия, которых мы хотим избежать (см. замечание 3.1). 5. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ Пример 5.1. Рассмотрим задачу (относительно неизвестной функции v = v(x, t)) ⎧ ∂(m(x)v) ⎨ ∂t ∂v - = ∂x + f (t)z(x), -∞ <x< ∞, 0 � t � τ, (P) ⎩m(x)v(x, 0) = u0(x), -∞ <x< ∞. Здесь m(x) - характеристическая функция некоторого измеримого множества J на вещественной оси, z(x) - заданная функция, u0 - начальные данные. Эта задача рассматривается в пространстве X = L2(R). Если M - это действующий в пространстве X оператор умножения на функцию m(x), то M ограничен в X и M ∗ = M. Следовательно, задача (P) формулируется в виде ∂(Mv(t)) M ∗ = Lv(t)+ f (t)z, 0 � t � τ, ∂t Mv(0) = u0, - где L = d и D(L) = H dx 1(R), а значит, L - замкнутый линейный оператор в X. Понятно, что лемма 2.1 или 2.2 выполняется. Исследуем некоторые частные случаи этой задачи (см. подробности в [4, с. 41]). (1) J = (-∞, a) ∪ (b, ∞), a < b. В этом случае существует такое λ0, что λ0 > β, R(λ0M ∗M - L) = X и оператор (λ0M ∗M - L)-1 однозначен. Таким образом, выполняется лемма 2.2. (2) J = (a, ∞). Легко видеть, что в этом случае рассуждения, приведенные выше, неприменимы, однако существует такое λ0, что λ0 > β, R(λ0M ∗M - L) ⊃ R(M ∗) и оператор (λ0M ∗M - L)-1 однозначен в R(M ∗). Следовательно, лемма 2.1 применима при условии, что z = M ∗z1, z1 ∈ H. Следовательно, используя теорему 2.1, получаем, что обратная задача, заключающаяся в восстановлении пары (v, f ) из C([0,τ ]; D(L)) × C1([0,τ ]; C), одновременно удовлетворяющей задаче (P) и уравнению Φ[Mv(t)] = Г η(x)m(x)v(x, t)dx = g(t), t ∈ [0,τ ], η ∈ L2(R), допускает единственное R решение при некоторых условиях регулярности, наложенных на коэффициенты. С другой стороны, хорошо известно (см. [2, 3]), что X = N (T ) ⊕ R(T ), где T = ML-1M ∗ = ML-1M. Значит, можно применить и теорему 3.1, и теорему 3.2. Пример 5.2 (уравнения Максвелла). Предположим, что среда, заполняющая пространство R3, линейна, но может быть анизотропной и неоднородной. Тогда уравнения Максвелла могут быть ИДЕНТИФИКАЦИЯ В ОБЩИХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЗАДАЧАХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 207 записаны в виде ∂ ε(x) 0 E 0 rot E G(x) 0 E J ∗(x, t) ∂t 0 μ(x) = H - rot 0 H - 0 0 H - 0 , где ε(x), μ(x) и G(x), x ∈ R3, есть матрицы размерности 3 × 3, а J ∗ есть заданная плотность принужденного тока. Наложим следующие условия: 1. функция ε(x) симметрична и неотрицательна для всех x из R3; 2. функция μ(x) симметрична и существует такое положительное δ, что μ(x) � δ для всех x из R3; 3. существуют такое положительное δ и неотрицательное γ, что неравенство ((γε(x) + G(x))ξ, ξ)R3 � δ|ξ|2, ξ ∈ R3, выполняется для всех x из R3. Если J ∗(x, t) = f (t)z(x), z(x) ∈ R3, f : [0,τ ] → C, то указанная задача записывается в виде d(Mv(t)) M ∗ dt = Lv(t)+ f (t) z 0 , Mv(0) = u0 и ставится в пространстве X = (L2(R3))6, где M - оператор умножения на /C(x), C(x) = ε(x) 0 0 μ(x) , действующий в пространстве X (M = M ∗), а замкнутый линейный оператор L определяется соотношениями 3 ∂v 3 ∂v D(L) = {v ∈ X; \ ai i=1 G(x) 0 ∂xi ∈ X}, Lv = \ ai i=1 ∂xi + b(x)v, где ai, i = 1, 2, 3, b(x) = - 0 0 - симметричные матрицы размерности 6 × 6. Тогда исходное уравнение принимает вид ∂(C(x)v) ∂t 3 = ), ai i=1 ∂v ∂xi z + b(x)v + f (t) 0 . Мы видим, что лемма 2.2 полностью применима (см. [4, с. 43]). Следовательно, можно рассмотреть соответствующую обратную задачу отыскания такой пары (v, f ), для которой Φ[Mv(t)] = g(t), Φ ∈ [(L2(R3))6]∗, g ∈ C3([0,τ ]; C). Для этого можно использовать либо теорему 3.1, либо теорему 3.2, поскольку X = N (T ) ⊕ R(T ), где T = ML-1M ∗ = ML-1M. Пример 5.3. Рассмотрим следующую задачу относительно неизвестной пары (v, f ): ∂ ∈ × (m(x) )2v(x, t) = Δv(x, t)+ f (t)z(x), (x, t) Ω [0,τ ], ∂t v(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ω × [0,τ ], ∂v v(x, 0) = v0(x), m(x) ∂t (x, 0) = v1(x), x ∈ Ω, r r ν1(x)v(x, t)dx + Ω Ω ∂v ν2(x) ∂t (x, t)m(x)dx = g(t), где z(x), ν1(x), ν2(x) ∈ L2(Ω), g ∈ C([0,τ ]; C). Наши предыдущие результаты (см. [4, с. 44]) применимы к этому волновому уравнению Пуассона, если (ограниченная или неограниченная) область Ω пространства Rn имеет гладкую границу ∂Ω, m ∈ L∞(Ω), m(x) � 0 и m может обращаться в ноль в ограниченном подмножестве области Ω. Перепишем это уравнение в виде системы I 0 ∂ I 0 v 0 I v 0 т. е. в виде 0 m(x) ∂t 0 m(x) vt d(Mv(t)) = Δ 0 vt + f (t) z , M ∗ = Lv(t)+ f (t)z∗, dt Mv(0) = u0, 208 А. ФАВИНИ и др. где z∗ = 0 z . Тогда применима лемма 2.2 (см. [4, с. 45]), а к соответствующей обратной задаче применимы теоремы 3.1-3.2. Пример 5.4. Пусть Ω - ограниченное открытое множество пространства Rn с гладкой границей Γ. Если T > 0, то обозначим Ω × (0,T ) через Q, а Γ × (0,T ) -через Σ. Гиперболическопараболическая задача ∂2u ∂u m1(x) ∂t2 (x, t)+ m2(x) ∂t (x, t) - Δu(x, t) = f (t)z(x), (x, t) ∈ Q, u(x, t) = 0, (x, t) ∈ Σ, ∂u 1 ∈ u(x, 0) = u0(x), ∂u (x, 0) = u (x), x Ω, ∂t Φ[m1(x)1/2 (x, t)] = g∗(t) ∂t 0 Ω 0 имеет решение (u, f ) из C([0,T ]; H2(Ω) ∩ H1(Ω)) × C3([0,τ ]; C) (см. [4, с. 214] и теоремы 3.13.2), если существуют такие неотрицательные непрерывные в функции m1(x), m2(x), что для любых функций u0, u1 из D(AH ) существуют такие функции u2 из V = H1(Ω) и u3 из H, что выполняются соотношения f (0)z + Δu0 - m2(x)u1 = m1(x)u2, f ∗(0)z + Δu1 - m2(x)u2 = m1(x)1/2u3. Отметим, что в данном случае равенство A = -Δ выполняется в вариационном смысле, а значит, 0 D(AH ) = H2(Ω) ∩ H1(Ω). ⎛1 0 1⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎛1 0 0⎞ Пример 5.5. Положим M = ⎝0 1 0⎠ , L = ⎝0 1 0⎠ . Тогда M ∗ = ⎝0 1 0⎠ , а значит, ⎛2 0 0⎞ 0 0 0 ⎛1 0 1⎞ 0 0 1 1 0 0 MM ∗ = ⎝0 1 0⎠ , M ∗M = ⎝0 1 0⎠ . Рассмотрим задачу 0 0 0 1 0 1 d(Mξ(t)) M ∗ = Lξ(t)+ f (t)z, 0 � t � τ, dt Mξ(0) = ξ0, Φ[Mξ(t)] = g(t), где ξ0 = (y0 + w0, x0, 0), Φ = (1 1 0) . Поскольку T = ML-1M ∗ = MM ∗, справедливы равенства ⎛0 0 0⎞ N (T ) = {(0, 0, w), w ∈ C}, R(T ) = R(T ) = {(y, x, 0), y, x ∈ C}, P = ⎛1 0 0⎞ ⎝0 1 0⎠ . 0 0 0 Непосредственно решая систему уравнений, получаем: ⎝0 0 0⎠ , I - P = 0 0 1 d ⎛1 0 1⎞ ⎛ y(t) ⎞ ⎛ y(t) ⎞ ⎛z1⎞ dt ⎝0 1 0⎠ ⎝x(t)⎠ = ⎝x(t)⎠ + f (t) ⎝z2⎠ , 1 0 1 w(t) w(t) z3 y(t)+ x(t)+ w(t) = g(t) и y(0) + w(0) = y0 + w0, x(0) = x0. Значит, (y(t)+ w(t))∗ = y(t)+ f (t)z1, x∗(t) = x(t)+ f (t)z2, (5.1) (y(t)+ w(t))∗ = w(t)+ f (t)z3, ИДЕНТИФИКАЦИЯ В ОБЩИХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЗАДАЧАХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 209 т. е. 2(y(t)+ w(t))∗ = y(t)+ w(t)+ f (t)(z1 + z3), x∗(t) = x(t)+ f (t)z2. t Следовательно, x(t) = etx0 + z2 Г et-sf (s)ds и 0 t 1 r y(t)+ w(t) = et/2(y0 + w0)+ 2 e(t-s)/2f (s)(z1 + z3)ds. (5.2) Получаем, что t 1 r y(t)+ x(t)+ w(t) = etx0 + et/2(y0 + w0)+ 2 0 t r e(t-s)/2f (s)(z1 + z3)ds + z2 et-sf (s)ds = g(t). Тогда g∗(t) = etx0+et/2 y0+w0 2 0 t 1 1 r + 2 (z1+z3)f (t)+z2f (t)+ 4 0 t r e(t-s)/2(z1+z3)f (s)ds+z2 et-sf (s)ds. Если z1 + z3 + z 2 2 0 0 /= 0, то такое уравнение имеет единственное решение f (t). Из (5.1) получаем, что 0 = y(t) - w(t)+ f (t)(z1 - z3). Тогда из (5.2), получаем соотношения t 1 y(t) = 2 1 f (t)(z3 - z1)+ 2 1 r et/2(y0 + w0)+ 4 e(t-s)/2(z1 + z3)f (s)ds, w(t) = 1 2 f (t)(z1 - z3)+ 0 t 1 1 r et/2(y0 + w0)+ 2 4 e(t-s)/2(z1 + z3)f (s)ds. 0 Если применить теорему 3.2, то получим, что T�-1M ⎛z1⎞ ⎛1/2 0 0⎞ ⎛1 0 1⎞ ⎛z1⎞ ⎛1/2 0 0⎞ ⎛z1 + z3⎞ ⎛ z1+z3 ⎞ 2 ⎝z2⎠ = ⎝ 0 1 0⎠ ⎝0 1 0⎠ ⎝z2⎠ = ⎝ 0 1 0⎠ ⎝ z2 ⎠ = ⎝ z2 z3 0 0 0 0 0 0 z3 0 0 0 0 0 ⎠ , а значит, ⎛z1⎞ Φ[T�-1M ⎝z2⎠] = z3 z1 + z 2 3 + z2 и, как и ранее, условие z1 + 2z2 + z3 /= 0 выполняется.

Об авторах

А Фавини

Universita` di Bologna

Email: angelo.favini@unibo.it

Г Мариночи

Institute of Statistical Mathematics and Applied Mathematics

Email: gabimarinoschi@yahoo.com

Х Танабе

Hirai Sanso

Email: h7tanabe@jttk.zaq.ne.jp

Я Якубов

Tel-Aviv University

Email: yakubov@post.tau.ac.il

Список литературы