О гомотопической классификации эллиптических задач со сжатиями и K-группах соответствующих C∗-алгебр

Аннотация

В работе рассматривается проблема вычисления группы стабильных гомотопических классов псевдодифференциальных эллиптических граничных задач. Указанная проблема исследуется в терминах топологических K-групп некоторых пространств в следующих ситуациях: для краевых задач на многообразии с краем, для задач сопряжения с условиями на замкнутом подмногообразии коразмерности один, а также для нелокальных задач со сжатиями.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Для решения проблемы индекса в эллиптической теории естественным и важным является получение гомотопической классификации эллиптических операторов, т. е. вычисление группы стабильных гомотопических классов эллиптических операторов на многообразии (см. [3, 22]). Гомотопическая классификация на гладком замкнутом многообразии установлена в работе [22]. В этой ситуации группа стабильных гомотопических классов эллиптических операторов оказывается изоморфной топологической K-группе с компактными носителями K0(T ∗M ) кокасательного расслоения многообразия, на котором операторы определены. Позже гомотопическая классификация была установлена для многих других важных классов эллиптических операторов. Так, в [13] показано, что гомотопическая классификация эллиптических классических краевых задач на многообразии с краем получается в терминах группы K0(T ∗(M \ ∂M )), отвечающей внутренности M \ ∂M многообразия с краем (ср. [26]). Получена также гомотопическая классификация эллиптических операторов в алгебре Буте де Монвеля на многообразии с краем (см. [29, 30]). Гомотопическая классификация также известна для многих классов многообразий с особенностями [5, 6, 36] и ряда нелокальных задач [14, 15]. Рассматривались приложения классификации: к вычислению препятствий типа Атьи-Ботта, к существованию эллиптических задач на многообразиях с особенностями, к описанию двойственности Пуанкаре на многообразиях с особенностями и др. (см. [7, 8, 28, 31, 32]). Цель настоящей работы состоит в том, чтобы получить гомотопическую классификацию трех классов эллиптических задач: краевых задач, задач сопряжения и нелокальных задач со сжатиями для общих псевдодифференциальных операторов, т. е. операторов, вообще говоря, не удовлетворяющих условию трансмиссии. Отметим, что теория таких краевых задач и задач сопряжения для общих псевдодифференциальных операторов на многообразии с краем исследована в работах [2, 4, 18]. В данной работе мы используем описание соответствующей C∗-алгебры таких операторов, данное в работе [35]. Более точно, в параграфе 2 мы показываем, что для многообразия M с краем ∂M имеет место изоморфизм абелевых групп Ell(M ) ∗ K0(T ∗(M \ ∂M )) ⊕ K0(∂M ), (1.1) Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2018 164 О ГОМОТОПИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СО СЖАТИЯМИ 165 где Ell(M ) - абелева группа стабильных гомотопических классов эллиптических краевых задач с граничными и кограничными операторами на многообразии M с краем, а K0 - четные топологические K-группы с компактными носителями. Первое слагаемое в (1.1) такое же, как и в классификации классических краевых задач [13]. Нетривиальное второе слагаемое K0(∂M ) является новым и отвечает специальным краевым задачам индекса нуль (см. задачи, определяемые в [26, предложение 20.3.1]), по модулю которых в [13, 20, 26] рассматривались стабильные гомотопии. Далее, для замкнутого многообразия M, в котором выбрано замкнутое подмногообразие X коразмерности один, мы показываем в параграфе 3, что имеет место изоморфизм абелевых групп Ell(M, X) ∗ K0(T ∗M ) ⊕ K0(X), где Ell(M, X) - абелева группа стабильных гомотопических классов эллиптических задач сопряжения с граничными и кограничными операторами, отвечающими подмногообразию X. Наконец, в параграфе 4 исследуется гомотопическая классификация нелокальных эллиптических задач со сжатиями. Такие задачи ассоциированы с полугруппой Z+, порожденной степенями сжатия g : M → M многообразия M с краем внутрь себя. Исследованию таких задач посвящены работы [9-11]. C∗-алгебра таких задач и соответствующее символьное исчисление были построены в работах [16, 17]. В настоящей работе мы устанавливаем гомотопическую классификацию внутренних символов таких задач. При получении этой гомотопической классификации возникает задача о вычислении K-теории скрещенных произведений C∗-алгебры на эндоморфизм этой алгебры (по поводу таких скрещенных произведений см., например, [1, 27] и цитированную в этих работах литературу). Дается явная форма для указанной K-группы в топологических терминах. Для эллиптических задач со сжатиями устанавливается точная последовательность, связывающая группу стабильных гомотопических классов таких задач с некоторыми топологическими K-группами. Работа частично поддержана грантами РФФИ (проекты 15-01-08392 и 16-01-00373), грантом Немецкого научно-исследовательского общества, а также Министерством образования и науки РФ, соглашение N 02.a03.21.0008. 2. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ В этом параграфе мы получим классификацию эллиптических граничных задач для общих псевдодифференциальных операторов на гладком компактном многообразии с краем с точностью до стабильных гомотопий. 1. Псевдодифференциальные задачи на многообразии с краем. Напомним основные сведения об алгебре краевых задач для псевдодифференциальных операторов (вообще говоря, без свойства трансмиссии) на многообразии с краем из работы [35]. Пусть M - гладкое компактное многообразие с краем X = ∂M. Предположим, что выбрана воротниковая окрестность края, т. е. окрестность U края X и диффеоморфизм U ∗ X × [0, 1), (2.1) при котором край X переходит в подмногообразие X × {0}. Далее в качестве локальных координат в окрестности края будем выбирать (y, t), где y - координаты на X, а t ∈ [0, 1). Через Ψ(M ) ⊂ B(L2(M ) ⊕ L2(X)) обозначим C∗-алгебру псевдодифференциальных граничных задач нулевого порядка на M (см. [35]), действующих в прямой сумме пространств L2 на многообразии и его границе. Здесь и ниже через B(H) обозначается алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве H. Алгебру Калкина обозначим через Σ = Ψ(M )/K. Здесь и ниже через K мы обозначаем идеал компактных операторов. Напомним необходимые нам сведения об алгебре Σ, которые установлены в цитированной работе. Имеется символьное отображение σ = (σint, σb) : Σ -→ C(S∗M ) ⊕ C(S∗X, B(L2(R+) ⊕ C)), (2.2) которое является гомоморфизмом C∗-алгебр. Его компоненты называются внутренним и граничным символом соответственно. Здесь C(S∗M ) - алгебра непрерывных функций на косферическом расслоении S∗M = (T ∗M \ 0)/R+ многообразия M, а C(S∗X, B(L2(R+) ⊕ C)) - алгебра 166 А. Ю. САВИН непрерывных функций на S∗X со значениями в алгебре ограниченных операторов, действующих в прямой сумме L2(R+) ⊕ C. При этом C∗-алгебра граничных символов, которую обозначим через Σb = Im σb ⊂ C(S∗X, B(L2(R+) ⊕ C)), имеет следующую дополнительную символьную int структуру: на ней определены отображения внутреннего символа σ∗ : Σb -→ C(S∗M |X ) (здесь S∗M |X - сужение косферического расслоения на границу многообразия) и меллиновского символа σM : Σb -→ C(X × R), где R = R ∪ {-∞} ∪ {+∞} - компактификация вещественной прямой (эта компактификация гомеоморфна отрезку). В локальных координатах (y, t) в окрестности края граничный символ получается из оператора замораживанием его коэффициентов в точке края и применением преобразования Фурье y → η по переменным вдоль края. При этом получается оператор в пространстве с координатами η, t, который представляет собой семейство с параметрами η операторов, действующих в прямой сумме L2(R+) ⊕ C. Это семейство и есть граничный символ. Далее, меллиновский символ σM (a) граничного символа a ∈ Σb определяется следующим образом: граничный символ a является семейством операторов на полуоси R+; при этом нуль 0 ∈ R+ рассматривается как коническая точка и меллиновский символ есть просто конормальный символ рассматриваемого оператора в этой точке (см., например, [33]). Другими словами, у оператора a замораживаются коэффициенты в нуле и делается преобразование Меллина t → p. При этом граничный символ переходит в оператор умножения на функцию от переменной p, которая и есть по определению меллиновский символ оператора. Кроме скалярных операторов можно также рассматривать и соответствующие матричные операторы. Заметим, однако, что гомотопическую классификацию более естественно проводить в терминах более широкого класса операторов, который является аналогом операторов, действующих в сечениях расслоений (см. [22] в классическом случае операторов на гладком замкнутом многообразии). А именно, мы будем рассматривать класс операторов вида D : Im P1 -→ Im P2, Im P1,2 ⊂ L2(M, CN ) ⊕ L2(X, CN ), (2.3) действующих между образами матричных проекторов P1,2 ∈ MatN (C(M )⊕C(X)) (т. е. выполнены соотношения (P1)2 = P1, (P2)2 = P2) с компонентами из алгебры C(M ) ⊕ C(X), причем D ∈ MatN (Ψ(M )) - матричный оператор с компонентами из Ψ(M ). Проекторы P1, P2 и оператор D удовлетворяют соотношению P2DP1 = DP1, которое означает, что оператор D переводит образ проектора P1 в образ проектора P2. Для операторов вида (2.3) естественно вводится понятие символа, определение эллиптичности, устанавливается теорема фредгольмовости (см. абстрактную конструкцию в [12, 36]). Заметим, что имеют место соотношения Im P1,2 = L2(M, E1,2) ⊕ L2(X, G1,2), (2.4) где E1,2 ⊂ M × CN - векторные расслоения на M, а G1,2 ⊂ X × CN - векторные расслоения на X. Поэтому оператор (2.3) будем также представлять как матричный оператор вида ( DM C \ D = B DX : L2(M, E1) ⊕ -→ L2(X, G1) L2(M, E2) ⊕ L2(X, G2) (2.5) который будем называть морфизмом. Здесь DM , DX - псевдодифференциальные операторы на M и X соответственно, B, C - граничный и кограничный операторы. 2. Гомотопическая классификация. Через Ell(M ) обозначим абелеву группу стабильных гомотопических классов эллиптических операторов вида (2.3). Напомним (подробнее см. [36]), что два оператора такого типа называются стабильно гомотопными, если существует непрерывная гомотопия эллиптических операторов (Dt, P1,t, P2,t), соединяющая прямые суммы этих операторов с некоторыми тривиальными операторами. При этом тривиальным оператором называется оператор вида (2.3), в котором оператор D имеет компоненты в подалгебре C(M ) ⊕ C(X) ⊂ Ψ(M ). Стандартным образом проверяется, что стабильная гомотопность является отношением эквивалентности на множестве эллиптических операторов вида (2.3). Тогда множество эллиптических операторов (D, P1, P2), рассматриваемых по модулю стабильных гомотопий, обозначается через Ell(M ). Это множество является абелевой группой по отношению к прямой сумме операторов. При этом класс эквивалентности операторов (D, P1, P2), где D - матричный оператор над алгеброй C(M ) ⊕ C(X), определяет нулевой элемент группы. О ГОМОТОПИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СО СЖАТИЯМИ 167 Цель настоящего параграфа состоит в том, чтобы получить стабильную гомотопическую классификацию, т. е. вычислить группу Ell(M ) в терминах топологических инвариантов многообразия. Теорема 2.1 (о гомотопической классификации). Имеет место короткая точная последовательность 0 -→ K0(T ∗M ◦) -→ Ell(M ) -→ K0(X) -→ 0, (2.6) которая расщепляется. Здесь § M ◦ = M \X - внутренность многообразия; K0(T ∗M ◦) и K0(X) - четные топологические K-группы пространств T ∗M ◦ и X соответственно (отметим, что всюду в этой работе мы используем топологическую K-теорию с компактными носителями); § при отображении K0(T ∗M ◦) -→ Ell(M ) элементы группы K0(T ∗M ◦) реализуются в терминах эллиптических символов на T ∗M, которые в окрестности границы не зависят от копеременных, и таким символам сопоставляются соответствующие эллиптические операторы на M, т. е. элементы группы Ell(M ); § при отображении Ell(M ) -→ K0(X) классу эллиптического морфизма (2.5) сопоставляется элемент [G1] - [G2]. Доказательство теоремы 2.1. 1. Сначала выразим группу Ell(M ) в терминах K-группы некоторой C∗-алгебры, ассоциированной с алгеброй символов. А именно, в силу результатов работы [36] имеем изоморфизм абелевых групп Ell(M ) ∗ K0 ( Con(C(M ) ⊕ C(X) → Σ) , (2.7) где для гомоморфизма f : A → B некоторых C∗-алгебр A и B через 1 Con(A → B) = /(a, b(t)) ∈ A ⊕ C([0, 1), B) 1 f (a) = b(0)� обозначен его конус. При этом отображение C(M ) ⊕ C(X) → Σ является мономорфизмом, который паре функций на f, g сопоставляет диагональный символ diag(f, g). Далее C∗-алгебру Con(C(M ) ⊕ C(X) → Σ) будем обозначать для краткости через A. 2. Через Σ0 ⊂ Σ обозначим идеал, состоящий из символов с нулевым внутренним символом. Рассмотрим коммутативную диаграмму 0 -→ Σ0 -→ Σ int σ -→ C(S∗M ) -→ 0 ↑ ↑ ↑ 0 -→ C(X) -→ C(M ) ⊕ C(X) -→ C(M ) -→ 0 и соответствующую короткую точную последовательность (2.8) 0 → Con(C(X) → Σ0) -→ A -→ Con(C(M ) → C(S∗M )) → 0 (2.9) конусов вертикальных отображений в (2.8). Последняя короткая точная последовательность дает периодическую точную последовательность K-групп ... → K0 Con(C(X) → Σ0) -→ K0(A) -→ K0(Con(C(M ) → C(S∗M ))) -→ -→ K1 Con(C(X) → Σ0) → ... (2.10) 3. Теперь проанализируем компоненты последовательности (2.10). Имеем Con(C(M ) → C(S∗M )) ∗ C0(T ∗M ). Теперь вычислим группу K0 Con(C(X) → Σ0) . С этой целью рассмотрим диаграмму 0 -→ C(S∗X, K) -→ Σ0 M σ -→ C0(X × R) -→ 0 ↑ ↑ ↑ id (2.11) 0 -→ C(X) -→ C(X) -→ 0 -→ 0, где C(S∗X, K) ⊂ Σ0 - идеал граничных символов с нулевыми меллиновским и внутренним символом. Так как K0(Con(C(X) → C(S∗X, K)) ∗ K0(T ∗X), то точная последовательность в K-теории, отвечающая короткой точной последовательности конусов вертикальных отображений в (2.11), имеет вид ... → K0(T ∗X) -→ K0 Con(C(X) → Σ0) -→ K1(X × R) = K0(X) -→ K1(T ∗X) → ... (2.12) 168 А. Ю. САВИН Построим расщепление этой последовательности, т. е. отображение K0(X) → K0 Con(C(X) → Σ0) . (2.13) Расщепление определяется следующим образом. Пусть [E] ∈ K0(X) - элемент, определяемый векторным расслоением E, которое реализовано как образ E = Im Q матричного N × N проектора Q над C(X). Рассмотрим обратимый меллиновский символ (p - i)-1(p Id +i(2Q - Id)). По этому меллиновскому символу строится обратимый граничный символ p→t (Id +ϕ(t)M-1 r(p - i)-1(p Id +i(2Q - Id)) - IdlMt j →pϕ(t)\ : L2(R+, CN ) -→ L2(R+, CN ) ⊕ Ex (2.14) из алгебры Σ0 с добавленной единицей, где: 0 o функция ϕ ∈ C∞(R+) тождественно равна единице при малых t; o Mt→p - преобразование Меллина; o j : L2(R+, CN ) -→ Ex - отображение ранга dim Ex, которое осуществляет изоморp→t физм линейных пространств ker Id +ϕ(t)M-1 r(p - i)-1(p Id +i(2Q - Id)) - IdlMt →pϕ(t) и Im Q(x) = Ex. Обратимость граничного символа (2.14) следует из построения. Тогда расщепление (2.13) сопоставляет элементу [E] класс эллиптического морфизма с внутренним символом, равным Id и граничным символом (2.14). Из расщепления последовательности (2.12) мы получаем изоморфизм ( K ∗ Con(C(X) → Σ0) ∗ K∗(T ∗X) ⊕ K∗(X). (2.15) 4. С учетом изоморфизма (2.15) мы можем переписать последовательность (2.10) в виде -→ ... → K1(T ∗M ) ∂ -→ K0(T ∗X) ⊕ K0(X) -→ K0(A) -→ K0(T ∗M ) ∂ K1(T ∗X) ⊕ K1(X) -→ ... (2.16) Здесь граничные отображения ∂ являются композициями K∗(T ∗M ) -→ K∗+1(T ∗X) -→ K∗+1(T ∗X) ⊕ K∗+1(X) сужения на границу T ∗M |X ∗ T ∗X × R и вложения K∗+1(T ∗X) -→ K∗+1(T ∗X) ⊕ K∗+1(X) в качестве первого слагаемого. 5. С другой стороны, рассмотрим точную последовательность -→ → K1(T ∗M ) ∂ -→ K0(T ∗X)⊕K0(X) → K0(T ∗M ◦)⊕K0(X) → K0(T ∗M ) ∂ K1(T ∗X)⊕K1(X) →, (2.17) которая представляет собой прямую сумму точной последовательности пары T ∗M |X ⊂ T ∗M и → последовательности 0 → K∗(X) id K∗(X) → 0. Имеет место коммутативная диаграмма -→ K1(T ∗M ) ∂ -→ K0(T ∗X) ⊕ K0(X) -→ K0(T ∗M ◦) ⊕ K0(X)-→ K0(T ∗M ) ∂ K1(T ∗X) ⊕ K1(X) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ -→ K1(T ∗M ) ∂ -→ K0(T ∗X) ⊕ K0(X) -→ K0(A) -→ K0(T ∗M ) ∂ K1(T ∗X) ⊕ K1(X) (2.18) Вертикальные отображения в этой диаграмме (кроме среднего) являются тождественными. Поэтому, применяя 5-лемму, из диаграммы получаем, что среднее отображение тоже является изоморфизмом: K0(A) ∗ K0(T ∗M ◦) ⊕ K0(X). Отсюда в силу изоморфизма (2.7) получаем утверждение теоремы. Теорема 2.1 доказана. О ГОМОТОПИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СО СЖАТИЯМИ 169 3. ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ В этом разделе мы получим гомотопическую классификацию эллиптических задач на многообразиях без края с условиями сопряжения на подмногообразиях коразмерности один. 1. Псевдодифференциальные задачи сопряжения. Напомним основные сведения об алгебре задач сопряжения для псевдодифференциальных операторов без свойства трансмиссии из работы [35]. Пусть M - гладкое замкнутое многообразие, а X ⊂ M - гладкое подмногообразие коразмерности один с тривиальным нормальным расслоением. Далее, пусть выбрана трубчатая окрестность подмногообразия X, т. е. окрестность U подмногообразия X и диффеоморфизм U ∗ X × (-1, 1), (3.1) при котором X переходит в подмногообразие X × {0}. Далее в качестве локальных координат в окрестности U будем выбирать (y, t), где y - координаты на X, а t ∈ (-1, 1). В дальнейшем подмногообразие X играет роль разреза, вдоль которого разрезается многообразие M. А именно, через M обозначим гладкое многообразие с краем - компактификацию дополнения M \ X до многообразия с краем, диффеоморфным дизъюнктному объединению X U X. Непрерывные функции на этой компактификации суть функции на M, непрерывные на M \ X и имеющие разрыв первого рода на X. Через Ψ(M, X) ⊂ B(L2(M ) ⊕ L2(X)) обозначим C∗-алгебру псевдодифференциальных задач сопряжения нулевого порядка на M из работы [35], действующих в прямой сумме пространств L2 на M и X. Алгебру Калкина обозначим через Σ = Ψ(M, X)/K. Свойства указанных алгебр аналогичны описанным выше свойствам алгебр краевых задач, поэтому ниже мы укажем только отличия символьных отображений в этих двух ситуациях, которые проистекают из того факта, что в случае задач сопряжения объемлющее многообразие в окрестности подмногообразия X диффеоморфно произведению X ×(-1, 1), а для краевых задач - произведению X ×[0, 1). В случае задач сопряжения символьное отображение является гомоморфизмом алгебр σ = (σint, σb) : Σ -→ C(S∗M ) ⊕ C(S∗X, B(L2(R) ⊕ C)). (3.2) При этом C∗-алгебра граничных символов Σb = Im σb имеет следующую дополнительную символьint ную структуру: на ней определены отображения внутреннего символа σ∗ : Σb -→ C(S∗M |X ) ⊕ C(S∗M |X ) (здесь два слагаемых отвечают значениям внутреннего символа с двух сторон разреза X) и меллиновского символа σM : Σb -→ C(X × R, Mat2(C)). (3.3) Отметим, что меллиновский символ σM (a) граничного символа a ∈ Σb определяется следующим образом: граничный символ a является семейством операторов на прямой R; при этом нуль 0 ∈ R рассматривается как коническая точка, и меллиновский символ есть просто конормальный символ рассматриваемого оператора в этой точке. Конормальный символ принимает значения в операторах, действующих на функциях на базе конуса. В нашем случае база конуса состоит из двух точек, т. е. символ принимает значения в 2 × 2-матрицах. 2. Гомотопическая классификация. Мы рассматриваем морфизмы вида D : Im P1 -→ Im P2, Im P1,2 ⊂ L2(M, CN ) ⊕ L2(X, CN ), (3.4) действующие между образами матричных проекторов P1,2 ∈ MatN (C(M ) ⊕ C(X)) с компонентами из алгебры C(M ) ⊕ C(X), причем D ∈ MatN (Ψ(M, X)) - матричный оператор с компонентами из Ψ(M, X). Заметим, что имеют место соотношения Im P1,2 = L2(M, E1,2) ⊕ L2(X, G1,2), где E1,2 ⊂ M × CN - векторные расслоения на M, а G1,2 ⊂ X × CN - векторные расслоения на X. Поэтому оператор (3.4) будем также представлять как матричный оператор вида ( DM C \ D = B DX : L2(M, E1) ⊕ -→ L2(X, G1) L2(M, E2) ⊕ L2(X, G2) (3.5) 170 А. Ю. САВИН В этой ситуации рассматривается гомотопическая классификация, отвечающая паре алгебр C(M ) ⊕ C(X) ⊂ Σ. Соответствующую группу стабильных гомотопических классов эллиптических морфизмов (3.5) обозначим через Ell(M, X). Следующая теорема описывает эту группу. Теорема 3.1. Имеет место короткая точная последовательность 0 -→ K0(T ∗M ) -→ Ell(M, X) -→ K0(X) -→ 0, (3.6) которая расщепляется. Здесь: · отображение K0(T ∗M ) -→ Ell(M, X) сопоставляет классу эллиптического псевдодифференциального оператора на M тот же самый оператор, рассматриваемый как задача сопряжения; · при отображении Ell(M, X) -→ K0(X) классу эллиптического морфизма (3.5) сопоставляется элемент [G1] - [G2]. Доказательство. Доказательство в целом аналогично доказательству теоремы 2.1. Поэтому мы сократим повторяющиеся части, обращая внимание на новые моменты. 1. Сначала группа Ell(M, X) выражается Ell(M, X) ∗ K0 M (Con(C( ) ⊕ C(X) → Σ) (3.7) в терминах K-группы C∗-алгебры Con(C(M ) ⊕ C(X) → Σ), которую будем обозначать для краткости через A. 2. Рассмотрим коммутативную диаграмму 0 -→ Σ0 -→ Σ int σ -→ C(S∗M ) -→ 0 ↑ ↑ ↑ 0 -→ C(X) -→ C(M ) ⊕ C(X) -→ C(M ) -→ 0 (3.8) Конусы вертикальных отображений этой диаграммы образуют короткую точную последовательность, которой отвечает точная периодическая последовательность в K-теории ... → K0 Con(C(X) → Σ0) -→ K0(A) -→ K0(Con(C(M ) → C(S∗M ))) -→ -→ K1 Con(C(X) → Σ0) → ... (3.9) Также как и ранее, получаем изоморфизм (ср. (2.15)) K∗(Con(C(X) → Σ0)) ∗ K∗(T ∗X) ⊕ K∗(X) и изоморфизм K∗(Con(C(M ) → C(S∗M ))) ∗ K∗(T ∗M ). Следовательно, последовательность (3.9) принимает вид: → K1(T ∗M ) -→ K0(T ∗X) ⊕ K0(X) -→ K0(A) -→ K0(T ∗M ) -→ K1(T ∗X) ⊕ K1(X) → (3.10) С другой стороны, возьмем прямую сумму точной последовательности пары X ⊂ M в Kгомологиях (далее мы используем реализацию K-гомологий в терминах обобщенных эллиптических операторов в смысле Атьи, см., например, [25]) ... → K1(M \ X) → K0(X) → K0(M ) → K0(M \ X) → K1(X) → K1(M ) → ... (3.11) и точной последовательности и определим диаграмму 0 → K∗(X) → K∗(X) → 0 (3.12) -→ K1(T ∗M ) -→ K0(T ∗X) ⊕ K0(X) -→ K0(A) -→ K0(T ∗M ) ∂ K1(T ∗X) ⊕ K1(X) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ K1(M \ X) -→ K0(X) ⊕ K0(X) -→ K0(M ) ⊕ K0(X) -→ K0(M \ X) -→ K1(X) ⊕ K1(X) (3.13) Верхняя строка этой диаграммы - последовательность (3.10), а нижняя - прямая сумма последовательностей (3.11), (3.12). Вертикальные отображения этой диаграммы K∗(T ∗M ) -→ K∗(M \ X), K∗(T ∗X) -→ K∗(X), K∗(A) -→ K∗(M ) сопоставляют классам эллиптических символов соответствующие эллиптические операторы, рассматриваемые как абстрактные эллиптические операторы в смысле Атьи [19]. О ГОМОТОПИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СО СЖАТИЯМИ 171 Диаграмма (3.13) является коммутативной в силу согласованности граничных отображений в K-теории и K-гомологиях (ср. [5]). При этом, в силу двойственности Пуанкаре на многообразиях M и X (см., например, [23]) все вертикальные отображения, кроме среднего, являются изоморфизмами. Поэтому в силу 5-леммы и среднее отображение является изоморфизмом. Теорема доказана. 4. ЗАДАЧИ СО СЖАТИЯМИ В этом параграфе рассматривается проблема гомотопической классификации нелокальных задач, ассоциированных со сжатиями (см. [9-11, 16, 17]). Ниже мы опираемся на результаты работ [16, 17], в которых, в частности, были построены C∗-алгебры соответствующих задач и установлена теорема конечности. 1. Сжатия многообразий и отвечающая им геометрия. Пусть M - компактное многообразие с краем X = ∂M, а g : M → M - гладкое отображение, которое является диффеоморфизмом на свой образ g(M ), который лежит строго внутри многообразия: g(M ) ∩ X = ∅. Такое отображение будем называть сжатием многообразия M. Пример 4.1. Пусть M - это замкнутый шар с центром в начале координат, а отображение g : M → M - умножение на скаляр x ◦→ qx, где |q| < 1. Это отображение является сжатием. Более общим образом, можно рассматривать сжатия x ◦→ Ax, отвечающие невырожденной вещественной матрице A. Такое отображение будет сжатием, если модули собственных значений матрицы A строго меньше единицы. При рассмотрении сжатий важную роль играют следующие два подмножества в M : § Притягивающее множество M∞ = n n)0 gn(M ). Это множество является замкнутым. Оно примечательно тем, что является инвариантным относительно g и, следовательно, сужение отображения g на него определяет гомеоморфизм g : M∞ → M∞. § Фундаментальная область U = M \ g(M ) для сжатия g в окрестности края многообразия. Очевидно, это множество является открытой окрестностью края. Отметим, что окрестность U, вообще говоря, не гомеоморфна произведению X × [0, 1). В дальнейшем также используется специальное компактное топологическое пространство (не многообразие!), обозначаемое через M, которое получается из M следующим образом: 1. сначала M разрезается вдоль каждого подмногообразия gn(X), n ) 1, и получаются про- ∞ странства gn(U ), n ) 0 и множество M ; 2. затем пространства gn(U ) замыкаются до многообразий gn(U ) с краем gn(X) ∪ gn+1(X); 3. наконец, дизъюнктное объединение этих многообразий с краем подклеивается к M∞ и мы получаем пространство n M = M∞ ∪ I g (U ). (4.1) n)0 1 Топология на этом пространстве определяется так: множество V ⊂ M открыто, если выполнены два условия: a) V ∩ gn(U ) открыто в gn(U ) при всех n ) 0 и б) для любой точки x ∈ V ∩ M∞ существует окрестность W ⊂ M точки x, что π- (W ) ⊂ V. Здесь π : M → M - естественная проекция. Пример 4.2. Рассмотрим сжатие единичного шара: x → qx, где |q| < 1. Тогда пространство M гомеоморфно объединению M ∗ {0} ∪ J {x | 2-n � |x| � 2-n+2} нуля и непересекающихся n)1 концентрических шаровых слоев, которые стягиваются к нулю. 2. C∗-алгебры, ассоциированные со сжатиями. Со сжатием многообразия мы ассоциируем некоторую некоммутативную C∗-алгебру. Приводимая ниже конструкция этой алгебры является аналогом скрещенного произведения алгебры функций на многообразии и группы Z, действующей на многообразии степенями фиксированного диффеоморфизма. Отличие рассматриваемой ситуации состоит в том, что у нас имеется только полугруппа {gn}, n ) 0 отображений многообразия внутрь себя. 172 А. Ю. САВИН На M фиксируем форму объема, которую будем обозначать через vol. Определим оператор сжатия T0 : L2(M ) -→ L2(M ), ( J 1/2(x)u(g-1(x)), если x ∈ g(M ), T0(u)(x) = 0, если x ∈ M \ g(M ), где J = (g-1)∗ vol vol . (4.2) 0 Положительный гладкий коэффициент J выбран таким образом, что оператор T0 сохраняет норму в L2(M ). Сопряженный оператор T ∗ : L2(M ) → L2(M ) называется оператором растяжения и имеет вид T ∗(u)(x) = J 1/2u(g(x)), где J = g∗ vol . 0 vol Указанные операторы являются частичными изометриями и удовлетворяют соотношениям 0 T0 = id, T0T0 = χ, где χ - характеристическая функция множества U ⊂ M. Для дальней- T ∗ ∗ обозначать через T -1. Названия этих операторов отвечают тому, что 0 шего удобно оператор T ∗ 0 оператор сжатия сжимает носители функций, на которые он действует, а оператор растяжения - растягивает. 0 Рассмотрим C∗-алгебру операторов, действующих в пространстве L2(M ), которая порождена операторами T0,T -1 и операторами умножения на функции f ∈ C(M ). Эту C∗-алгебру обозначим через C(M ) >< +. Пример 4.3. Рассмотрим множество M = {-2-n | n ∈ Z+} ∪ {0} ⊂ R и отображение сжатия g(x) = x/2. В этом случае имеем M = M, M∞ = {0}. При этом в данном примере имеется изоморфизм C∗-алгебр C(M ) >< + ∗ T , (4.3) где T - алгебра операторов Теплица (см., например, [24]). В самом деле, отображение -2-n ◦→ n является биекцией между M \{0} и Z+. В терминах этой биекции алгебра C(M ) = C(M ) изоморфна алгебре функций на Z+, имеющих предел на бесконечности, а алгебра C(M ) >< + получается, если к этой алгебре добавить операторы сдвига последовательности налево и направо. Ясно, что получаемая C∗-алгебра изоморфна алгебре Теплица T . 3. K-группы алгебр, ассоциированных со сжатиями. Цель данного пункта состоит в том, чтобы вычислить K-группы алгебр C(M ) >< + в топологических терминах (более точно, в терминах топологических K-групп некоторых пространств). Приводимая ниже формула (см. предложение 4.1) является обобщением известной формулы (см., например, [24, 34]) для K-групп скрещенных произведений, отвечающих действию группы Z, в терминах тора отображения. По паре (M, g), где g : M → M - сжатие, определим топологическое пространство Mg = rM × [0, 1]/{(m, 0) ∼ (g(m), 1)}l \ {(m, 1) | m ∈ U }, которое получается из произведения M × [0, 1] отождествлением точек (m, 0) и (g(m), 1) при всех m ∈ M и удалением точек вида {(m, 1) | m ∈ U }. Отметим, что если g : M → M диффеоморфизм (а не сжатие), то мы имеем U = ∅ и M = M = M∞ и пространство Mg есть просто тор диффеоморфизма g. Пример 4.4. Построим в явном виде пространство Mg, отвечающее сжатию из примера 4.3. Как множество это пространство является объединением Mg = (0, ∞) ∪ S1 открытой полупрямой и окружности, при этом топология на объединении задана так, что полупрямая (0, ∞) накручивается на окружность. В явном виде это пространство можно вложить в R3 следующим образом: окружность определяется уравнениями x2 + y2 = 1,z = 0, а кривая, которая наматывается на эту окружность, определяется в параметрическом виде x = cos(2πt), y = sin(2πt), z = (t + 1)-1, t ∈ (0, ∞). Теперь определим отображение K∗(Mg ) -→ K∗+1(C(M ) >< +) (4.4) из топологической K-группы пространства Mg в K-группу рассматриваемой C∗-алгебры. Опеределим отображение (4.4) в случае четной топологической K-группы, т. е. при ∗ = 0 (нечетный случай получается при помощи взятия надстройки). Утверждается, что произвольный элемент a ∈ K0(Mg ) можно получить следующей конструкцией: О ГОМОТОПИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СО СЖАТИЯМИ 173 § выбирается векторное расслоение E ∈ Vect(M ) и его тривиализация над областью U ⊂ M ; также фиксируется изоморфизм векторных расслоений над g(M ) -→ U : g-1∗E ∓ E, т. е. U (x) : Eg-1(x) → Ex при всех x ∈ g(M ); (4.5) § рассматривается сжатие g : E → E, которое накрывает сжатие пространства M и определяется формулой e ∈ Ex ◦-→ U (g(x))e ∈ Egx. (4.6) Пространство Eg, определяемое сжатием (4.6), будет искомым векторным расслоением над Mg тривиальным вне компакта. Теперь, чтобы определить отображение (4.4), реализуем расслоение E как образ матричного проектора E = Im P ⊂ M × CN , P ∈ MatN (C(M )) (4.7) При этом предполагается, что в окрестности U проектор тривиален: P |U ≡ 1k ⊕ 0N -k, где k = rk E. Здесь 1k - единичная матрица k × k, а 0N -k - соответствующая нулевая матрица. Рассмотрим элемент UT0P + (1N - P ) ∈ MatN (C(M ) >< +). (4.8) Этот элемент не является обратимым. А именно, соответствующий элементу (4.8) оператор в L2(M, CN ) имеет тривиальное ядро, а коядро состоит из подпространства L2(U, Ck ) ⊂ L2(M, Ck ⊕ CN -k ). (4.9) Теперь отображение (4.4) определяется формулой a ∈ K0(Mg ) ◦→ [A] ∈ K1(C(M ) >< +), где / UT0P + (1N - P ) C A = 0 0 T -1 \ ∈ MatN +k (C(M ) >< +). (4.10) Здесь оператор C : L2(M, Ck ) ⊂ L2(M, CN ) является композицией вложения L2(M, Ck ) -→ L2(M, Ck ⊕ CN -k ) u(x) ◦-→ (u(x), 0) и проекции на подпространство (4.9). Прямая проверка показывает, что элемент A является обратимым, а обратный элемент равен 0 U / PT -1 A = -1P + (1N - P ) 0 \ . C∗ T0 Далее, проверка показывает, что отображение (4.10) корректно определено (т. е. не зависит от выбора проектора P и изоморфизма U для данного элемента a) и определяет гомоморфизм групп. Предложение 4.1. Отображение (4.4) является изоморфизмом групп. Доказательство. Доказательство этого предложения аналогично доказательству в случае скрещенных произведений с действиями группы Z (см., напр., [34]). Рассмотрим диаграмму: K1((M ∞ g ) ) → K0(U × (0, ∞)) → K0(M g ) → K0((M ∞ g ) ) → K1(U × (0, ∞)) ↓∗ ↓∗ ↓ ↓∗ ↓ K0(C(M∞) >< ) → K1(C(U, K)) → K1(C(M ) >< +) → K1(C(M∞) >< ) → K0(C(U, K)) (4.11) Верхняя строка этой диаграммы представляет собой точную последовательность в топологической K-теории для пары (M∞)g ⊂ Mg (здесь (M∞)g - тор гомеоморфизма g : M∞ → M∞). Для дополнения имеем Mg \(M∞)g ∗ U ×(0, ∞). Нижняя строка диаграммы (4.11) - точная последовательность в K-теории для точной последовательности C∗-алгебр 0 -→ C(U, K) -→ C(M )>< + -→ C(M∞) >< -→ 0. Вертикальные отображения диаграммы (4.11) являются изоморфизмами все, кроме среднего. Диаграмма является коммутативной. Поэтому в силу 5-леммы получаем, что и среднее отображение является изоморфизмом. Предложение 4.1 доказано. 174 А. Ю. САВИН Пример 4.5. Хорошо известны K-группы алгебры Теплица T : K0(T ) = Z, K1(T ) = 0, (4.12) при этом образующая группы K0 дается классом единицы 1 ∈ T . С другой стороны, вычислим эти K-группы, пользуясь предложением 4.1 и изоморфизмом C∗-алгебр (4.3)). Пространство Mg было явно построено выше. Несложное вычисление с помощью точной последовательностью пары M∞ ⊂ Mg показывает, что для этого пространства топологические K-группы равны K0(Mg ) = 0, K1(Mg ) = Z (4.13) (последняя группа имеет образующую - класс эквивалентности обратимой функции e2πit). Из соотношений (4.12) и (4.13) следует, что предложение 4.1 дает в этом случае как раз выражения (4.12). 4. C∗-алгебра задач со сжатиями. Напомним определение псевдодифференциальных задач со сжатиями, см. [16, 17]. Сначала определим C∗-алгебру псевдодифференциальных задач на M с граничными условиями J∞ на крае X и условиями сопряжения на (бесконечном) объединении подмногообразий j=1 gj (X). Фиксируем число N ) 1. Через ΨN (M ) ⊂ B(L2(M ) ⊕ L2(X)) обозначим C∗-алгебру граничных задач на многообразии M с краевыми условиями на подмногообразии X и условиями сопряжения N на конечном объединении J gj (X) образов края под действием сжатия g. Отметим, что здесь j=1 мы для краткости не рассматриваем граничные и кограничные операторы на подмногообразиях gj (X) ⊂ M при j ) 1. По построению указанные алгебры образуют возрастающую последовательность Ψ1(M ) ⊂ J∞ Ψ2(M ) ⊂ Ψ3(M ) ⊂ ... в B(L2(M ) ⊕ L2(X)). Замыкание объединения ной норме будем обозначать через Ψ(M ). j=1 Ψj (M ) по оператор- Теперь определим C∗-алгебру операторов из B(L2(M ) ⊕ L2(X)), которая порождена алгеброй 0 Ψ(M ) и операторами растяжения и сжатия T0,T -1. Эту алгебру обозначим через Ψ(M, g). Можно показать, что эта алгебра является замыканием по норме линейного пространства операторов вида ⎛ ), Dj Tj + ), Tj Dj ), Cj Tj ⎞ ⎜ ), Tj D = ⎜ j)0 0 0 j<0 j)0 0 L2(M ) ⎟ : ⊕ ⎟ -→ L2(M ) ⊕ (4.14) ⎝ 0 Bj DX ⎠ L2(X) L2(X) j�0 где DX - псевдодифференциальный оператор на X, коэффициенты Dj, Bj, Cj отличны от нуля только для конечного числа показателей j и имеют вид: Dj ∈ Ψ(M ); граничные и кограничные операторы действуют в пространствах Bj : L2(M ) -→ L2(g|j|(X)), Cj : L2(g|j|(X)) -→ L2(M ) и ассоциированы с подмногообразием g|j|(X) ⊂ M. В цитированных работах показано, что имеется отображение внутреннего символа σint : Ψ(M, g) -→ C(S∗M ) >< +. Здесь C∗-алгебра C(S∗M ) >< + определяется, как в предыдущем пункте в терминах кодифференциала ∂g : S∗M → S∗M, который является сжатием косферического расслоения S∗M. Теперь внутренний символ оператора D вида (4.14) есть оператор σint(D) = σint(Dj )T˜j + T˜j σint(Dj ) : L2(S∗M ) -→ L2(S∗M ), j)0 0 0 j<0 где через T˜0 обозначена частичная изометрия пространства L2(S∗M ), отвечающая сжатию ∂g (ср. с оператором T0 в (4.2)). Алгебру символов обозначим через Σg = Ψ(M, g)/K. Кроме этого, имеет место точная последовательность C∗-алгебр σint 0 -→ Σg,0 -→ Σg -→ C(S∗M ) >< +, (4.15) где через Σg,0 обозначен идеал символов с нулевым внутренним символом. О ГОМОТОПИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СО СЖАТИЯМИ 175 5. Проблема гомотопической классификации. Рассмотрим задачу о нахождении гомотопической классификации задач со сжатиями, отвечающую паре C∗-алгебр C(M ) >< + ⊕ C(X) ⊂ Σg. (4.16) Другими словами, рассматриваются эллиптические операторы, получающиеся сужением матричных операторов над алгеброй Ψ(M, g) на образы матричных проекторов над подалгеброй C(M ) >< + ⊕ C(X). Из структуры элементов алгебры Ψ(M, g) (см. (4.14)) следует, что соответствующие эллиптические операторы являются операторами вида ⎛ ), Dj Tj + ), Tj Dj ), Cj Tj ⎞ ⎜ ), Tj D = ⎜ j)0 0 0 j<0 j)0 0 P1L2(M, CN ) ⎟ : ⊕ ⎟ -→ P2L2(M, CN ) ⊕ (4.17) ⎝ 0 Bj DX ⎠ L2(X, G1) L2(X, G2) j�0 где D - матричный оператор над алгеброй Ψ(M, g), P1, P2 - некоторые N × N -проекторы с компонентами из алгебры C(M ) >< + (эта алгебра - первое слагаемое в (4.16)), через P1,2L2(M, CN ) обозначены образы этих проекторов, а G1, G2 - векторные расслоения над X (сечения этих расслоений определяются как образы матричных проекторов с компонентами из алгебры C(X) - второго слагаемого в (4.16)). Группу стабильных гомотопических классов эллиптических задач вида (4.17) обозначим через Ell(M, g). Рассмотрим сжатие кокасательного расслоения T ∗M -→ T ∗M, (x, ξ) ◦-→ ∂g(x, ξ) |∂g(x, ξ)| . (4.18) По отношению к этому сжатию определим пространства T ∗M и T ∗Mg. Теорема 4.1. Группа стабильных гомотопических классов эллиптических внутренних символов задач вида (4.17) изоморфна группе K1(T ∗Mg ) и имеет место точная последовательность -→ K0(T ∗X) ⊕ K0(X) -→ Ell(M, g) σint K1(T ∗M ) ind K1(T ∗X). (4.19) Здесь: K0(T ∗Mg ) ind ⊕0 -→ g -→ § отображение σint сопоставляет классу эллиптической задачи класс ее внутреннего символа; § отображение ind : K1(T ∗Mg ) → K1(T ∗X) определяется так: эллиптическому внутреннему символу σint(D) сопоставляется индекс ind σ∂ (D) ∈ K0(S∗X)/K0(X) соответствующего граничного символа и используется изоморфизм K0(S∗X)/K0(X) ∗ K1(T ∗X) (см. [21]); отображение ind для четных K-групп определяется при помощи надстройки; § отображение K0(T ∗X) → Ell(M, g) индуцировано сопоставлением эллиптическому оператору DX на X оператора вида (4.17), в котором присутствует только правый нижний угол, а остальные операторы нулевые; наконец, отображение K0(X) → Ell(M, g) определяется так же, как отображение (2.13) выше. Доказательство. 1. Сначала группа Ell(M, g) выражается в силу результатов работы [36] ( Ell(M, g) ∗ K0 Con C(M ) >< + ⊕ C(X) → Σg (4.20) в терминах K-группы C∗-алгебры Con(C(M ) >< + ⊕ C(X) → Σg ). Эту алгебру будем обозначать для краткости через A. 2. Рассмотрим коммутативную диаграмму ↑ ↑ -→ ↑ (4.21) 0 -→ C(X) -→ C(M ) >< + ⊕ C(X) -→ C(M ) >< + -→ 0 0 -→ Σg,0 -→ Σg σint C(S∗M ) >< + -→ 0 Здесь верхняя строка - это точная последовательность (4.15), а отображения в нижней строке имеют вид f ◦→ (0,f ), (f1, f2) ◦→ f1. При этом вертикальные отображения диаграммы (4.21) 176 А. Ю. САВИН являются вложениями подалгебр. Диаграмма является коммутативной по построению. Следовательно, определена короткая точная последовательность конусов вертикальных отображений этой диаграммы. Рассмотрим соответствующую точную периодическую последовательность в K-теории ... → K0 Con(C(X) → Σg,0) -→ K0(A) -→ K0(Con(C(M ) >< + → C(S∗M ) >< +)) -→ -→ K1 Con(C(X) → Σg,0) → ... (4.22) Вычислим в топологических терминах группы K∗ Con(C(X) → Σg,0) и K∗(Con(C(M ) >< + → C(S∗M ) >< +)) (4.23) в этой последовательности. Для первой из этих групп имеет место изоморфизм K∗(Con(C(X) → Σg,0)) ∗ K∗(T ∗X) ⊕ K∗(X) (ср. c аналогичным изоморфизмом (2.15) в случае псевдодифференциальных краевых задач). Конструкция этого изоморфизма следует аналогичной конструкции изоморфизма (2.15) и не содержит принципиально новых моментов. Поэтому мы ее детально здесь не повторяем. Исследуем вторую группу в (4.23). Во-первых, имеем изоморфизмы C∗-алгебр Con C(M ) >< + → C(S∗M ) >< + ∗ rCon(C(M ) → C(S∗M ))l >< + ∗ C0(T ∗M ) >< +. Здесь первый изоморфизм очевиден, а второй индуцирован гомеоморфизмом пространства T ∗M и конуса проекции S∗M → M, при этом на пространстве T ∗M рассматривается сжатие (4.18). Вовторых, K-группа C∗-алгебры C0(T ∗M ) >< + вычисляется в топологических терминах с помощью предложения 4.1. Применение этого предложения дает изоморфизм групп K∗(C0(T ∗M ) >< +) ∗ K∗+1(T ∗Mg ). Итак, последовательность (4.22) принимает вид → K1(T ∗Mg ) -→ K0(T ∗X) ⊕ K0(X) -→ K0(A) -→ K0(T ∗Mg ) -→ K1(T ∗X) ⊕ K1(X) → (4.24) Теорема доказана.