Ограниченность и устойчивость на конечных интервалах для многозначных дважды нелинейных эволюционных систем, порожденных задачей микроволнового нагрева

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Задача микроволнового нагрева без изменения фазы изучалась в [12, 22] и других работах. Для случая, когда изменение фазы имеет место, пространственно-одномерный микроволновой процесс изучался в [6, 16, 23]. Существование глобального решения (но не единственность) установлено в [16]. Асимптотическое поведение решений задачи микроволнового нагрева исследовалось в [6, 13]. В работе [2] получен ряд результатов, касающихся теории коциклов, порождаемых задачей микроволнового нагрева. Для исследования ограниченности и устойчивости решений общих нелинейных операторных уравнений хорошо разработаны методы частотной области (см. [3, 4, 20]). В рамках этого подхода нелинейности описываются квадратичными формами в гильбертовых пространствах. Используя эти формы и оператор переноса линейной части системы, можно сформулировать достаточные условия существования функционалов Ляпунова, гарантирующих ограниченность или устойчивость решений. Чтобы описать задачу микроволнового нагрева с изменением фазы и граничным контролем, можно использовать оператор энтальпии параболической части системы. Это означает, что, кроме нелинейных членов из правой части уравнения, возникающих в силу закона Джоуля, у нас есть и второй нелинейный член. Полученную в результате задачу можно рассматривать как неавтономное дважды нелинейное уравнение (см. [10, 17, 18]). Особые свойства оператора энтальпии (равенство нулю площади стыка) позволяют использовать результаты [11] о существовании слабых решений; эти результаты основаны не на многозначных операторных уравнениях, а на интегральных тождествах. Единственность решений остается открытым вопросом. Таким образом, из решений системы невозможно построить коциклы процессов (подобно тому, как это сделано в [2, 13]). Вместо этого Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2018 148 ОГРАНИЧЕННОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ДВАЖДЫ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 149 можно использовать понятия локального или глобального многозначного процессов (см. [8, 14, 23]). В случае локального процесса устойчивость или неустойчивость движений невозможно рассматривать на бесконечных интервалах времени. Поэтому приходится использовать некоторые элементы теории устойчивости на конечных интервалах времени (см. [7, 21]). Настоящая работа состоит из двух частей. В первой рассматриваются дважды нелинейные эволюционные уравнения с нелинейностями в правой и левой части. Для таких уравнений находятся достаточные условия ограниченности решений. Кроме того, эти результаты проверяются на одномерной задаче микроволнового нагрева. Во второй части работы вводятся элементы теории глобальных процессов и локальных многозначных процессов. Кроме того, для таких процессов вводится понятие устойчивости на конечном интервале времени, а для локальных многозначных процессов - еще и понятие неустойчивости на конечном интервале времени; для последнего свойства находятся достаточные условия наличия. Для одномерной задачи микроволнового нагрева рассматриваются функционалы, используемые для исследования устойчивости на конечном интервале времени. Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке Программы поддержки ведущих научных школ РФ на 2018-2019 гг. (грант № НШ-2858.2018.1) и DAAD. 2. ДВАЖДЫ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В этом разделе рассматриваются эволюционные уравнения системы из [10] с нелинейностями в левой и правой частях. Пусть Y1,j и Y2,j , j = 1, 0, -1, - вещественные гильбертовы пространства, а (·, ·)i,j и ∗· ∗i,j - скалярные произведения и нормы в Yi,j, i = 1, 2, j = 1, 0, -1, соответственно. Плотные непрерывные вложения Y1,1 ⊂ Y1,0 ⊂ Y1,-1 и Y2,1 ⊂ Y2,0 ⊂ Y2,-1 называются оснащенными структурами гильбертовых пространств. Рассмотрим систему d dty1 = A1y1 + B1(g1(z1)+ g2(z1, z2)), z1 = C1y1, (2.1) d dt B2(y2) = A2y2 + B2φ2(z1, z2), z2 = C2y2, (2.2) y1(0) = y01, y2(0) = y02, (2.3) где yi из Yi,1 - переменные фазового пространства, Ai : Yi,1 → Yi,-1, Bi : Ξi → Yi,-1, Ci : Yi,1 → Zi - линейные ограниченные операторы, B2 : Y2,1 → Y2,1 - нелинейный оператор, g1 : Z1 → Ξ1, g2 : Z1 × Z2 → Ξ1, φ2 : Z1 × Z2 → Ξ2 - нелинейные функции, Ξi и Zi, i = 1, 2, - гильбертовы пространства, отличные от исходного, y01 из Y1,1, y02 из Y2,1 - начальные состояния. Такая система называется дважды нелинейной эволюционной системой. Определим гильбертовы пространства Y1 = Y1,1 ×Y2,1, Y0 = Y1,0 ×Y2,0, Y-1 = Y1,-1 ×Y2,-1 со скалярными произведениями ((y1, w1), (y2, w2))j = (y1, y2)1,j +(w1, w2)2,j , j = 1, 0, -1, где y1, y2 ∈ Y1,j , w1, w2 ∈ Y2,j , и соответствующими нормами. Пусть (·, ·)-1,1 - билинейная форма (образование двойственных пар) на Y-1 × Y1, совпадающая с (·, ·)0 на Y0 × Y1 и удовлетворяющая неравенству |(η, y)-1,1| ::: ∗η∗-1∗y∗1 для всех η из Y-1 и всех y из Y1. Пусть A := (A1, A2) : Y1 → Y-1, B := (B1, B2) : Ξ1 × Ξ2 → Y-1 и C := (C1, C2) : Y1 → Z1 × Z2 - линейные ограниченные операторы, B := (I, B2) : Y1 → Y2 - нелинейный оператор, а φ(·, ·) := (g1(·)+ g2(·, ·), φ2(·, ·)) : Z1 × Z2 → Ξ1 × Ξ2 - нелинейная функция. Тогда систему (2.1)-(2.3) можно преобразовать к виду d B (y) = Ay + Bφ(z), z = Cy, (2.4) dt y(0) = y0, (2.5) где y = (y1, y2), z = (z1, z2), y0 = (y01, y02). Пусть T1 и T2 - произвольные элементы расширенной числовой оси, для которых T1 < T2. В T2 1/2 j пространстве L2(T1, T2; Yj ), j = 1, 0, -1, определим норму ∗y∗2,j := ( [ ∗y(t)∗2 dt . T1 150 С. ПОПОВ, Ф. РАЙТМАНН, С. СКОПИНОВ -1 1 2 1 Обозначим через W(T1, T2; Y1, Y ) такое пространство функций y, что y ∈ L2(T , T ; Y ) и y˙ ∈ -1 L2(T1, T2; Y ), а норма в этом пространстве определена следующим образом: ∗y∗ W(T1,T2;Y1,Y-1) := ∗y∗ ( 2 2,1 2,-1 + ∗y˙∗2 )1/2 . Определение 2.1. Решением задачи (2.4)-(2.5) называется функция y из W(T1, T2, Y1, Y-1) ∩ C(T1, T2; Y0), удовлетворяющая системе (2.4)-(2.5) в вариационном смысле, т. е., функция, для которой следующие соотношения выполняются для почти всех t из [T1, T2]: d \ dt B (y(t)) - Ay(t) - Bφ(z(t)),η - y(t) -1,1 = 0 ∀η ∈ Y1, z(t) = Cy(t), y(0) = y0. Наложим следующие требования. (A1) Z1 = Ξ1 = Ξ2 = R. (A2) Существуют такие κ1, κ2, что κ1 < κ2 и функция φ˜1(z1, t) := g1(z1) + g2(z1, z2(t)), где z2(t) = C2y2(t) и y2(t) - произвольные решения задачи (2.1)-(2.3), удовлетворяет следующему условию: κ1z2 ::: φ˜1(z1, t)z1 ::: κ2z2 ∀z1 ∈ R, t ;? 0. 1 1 2 (A3) Существует такое положительное κ3, что (B2(y2), A2y2)2,1 ::: -κ3∗y2∗2,1, ∀y2 ∈ Y2,1. 2 (A4) Существует такое положительное κ4, что (B2(y2), B2φ˜2(t, y2))2,1 ::: κ4∗y2∗2,1 ∀y2 ∈ Y2,1,t ;? 0, если φ˜2(t, z2) = φ2(z1(t), z2). (A5) Система (2.1)-(2.3) имеет слабое глобальное решение при любом y0 из Y1,1 × Y2,1 (для некоторых случаев условия существования таких решений можно найти в [15, 19]). Следующие три требования связаны с теоремой Лихтарникова-Якубовича о частотных областях эволюционных уравнений (см. [4]). Здесь и далее оператор из L(Y-1, Y0), обратный к A, обозначается через A∗, т. е. (Ay, η)-1,1 = (y, A∗η)-1,1 ∀y, η ∈ Y1. (A6) Оператор A1 системы (2.1) регулярен (см. [4]), т. е., для любого положительного T, любого y10 из Y1,1, любого y˜1T из Y1,1 и любого f1 из L2(0,T ; Y1,0) решения прямой задачи d dt и решения обратной задачи d y1 = A1y1 + f1(t), y1(0) = y10 1 dt y˜1 = -A∗y˜1 + f1(t), y˜1(T ) = y˜1T сильно непрерывны в норме пространства Y1,1. (A7) Пара (A1, B1) системы (2.1) L2-управляема (см. [4]), т. е. для любого y10 из Y1,0 существует такое управление ξ1 из L2(0,T ; Z1), что задача d dty1 = A1y1 + B1ξ1, y1(0) = y10 имеет решение y1 при любом положительном T. 1,1 (A8) Передаточная функция χ(s) = C1(A1 -sIY )-1B1, s ∈ ρ(A1), и эрмитова форма F(ξ1, z1) := Re(ξ1 - κ1z1)∗(κ2z1 - ξ1), ξ1 ∈ C, z1 ∈ C, удовлетворяют следующему условию частотной области: Re(κ1χ(iω)+ IΞ1 )∗(κ2χ(iω)+ IΞ1 ) ;? 0 ∀ω ∈ R. При выполнении указанных требований справедлива следующая теорема. Теорема 2.1. Если условия (A1)-(A5) и (A6)-(A8) выполняются при T1 = 0 и при T2 = +∞, то решения системы (2.1)-(2.3) ограничены на полуоси (0, ∞). Доказательство. Если условия (A2) и (A5) выполнены, то первая часть системы (2.1)-(2.3) принимает вид d y1 = A1y1 + B1φ˜1(z1, t), z1 = C1y1, (2.6) dt y1(0) = y01. (2.7) Квадратичная форма F(ξ1, z1) из условия (A8) описывает нелинейность системы (2.6)-(2.7). В пространствах, описанных в условии (A1), эта форма является эрмитовой. ОГРАНИЧЕННОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ДВАЖДЫ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 151 Из условий (A6)-(A8) следует, что в силу теоремы Лихтарникова-Якубовича (см. [4]) существуют такой оператор P из L(Y1,-1, Y1,0)∩L(Y1,0, Y1,1) и такое положительное число δ, что P = P ∗ и 2((A1 + λI)y1 + B1ξ1,Py1)1,1 + (κ-1ξ1 - C1y1)(κ-1ξ1 - C1y1) ::: 2 1 2 2 ::: -δ(∗y1∗1,1 + |ξ1| ) ∀y1 ∈ Y1,1, ξ1 ∈ R. (2.8) Подставляя ξ1 = 0 в (2.8), получим следующее неравенство: 2((A1 + λI)y1,Py1)1,1 + (C1y1)2 ::: 2 -δ∗y1∗1,1 ∀y1 ∈ Y1,1. Используя общую лемму Ляпунова (см. [9]), получаем, что существует такое разбиение Y1,0 = Y + ⊕ Y - , что dim Y - = 1 и выполняются неравенства P + ;? 0, P - ::: 0. 1,0 1,0 1,0 |Y1,0 |Y1,0 Рассмотрим функцию Ляпунова Φ(y1) = (y1,Py1)1,1. Ее производная в силу системы (2.1)-(2.3) равна Φ˙ (y1(t)) = 2(Py1(t), A1y1(t) + B1φ˜1(y1(t), t))1,1. Тогда из (2.8) и условия (A2) выводим, d что, если y1 - решение системы (2.6)-(2.7), то Φ(y1(t)) удовлетворяет неравенству Φ(y1(t)) ::: 0 dt для п. в. t ;? t0. Отсюда следует, что для п. в. t из полуинтервала [t0, +∞) справедливо двойное неравенство ∗y1(t)∗1,1 ::: c1∗y01(t)∗1,1 + c2 ::: c3, где коэффициенты c1, c2 зависят только от A1, B1, C1, κ1, κ2. Теперь рассмотрим вторую часть системы (2.1)-(2.3), имеющую вид d (B2y2) = A2y2 + B2φ˜2(t, z2), z2 = C2y2, dt y2(0) = y02. Рассмотрим функционал Ляпунова Φ(y2) = (B2y2, B2y2)2,1. Вычислим производную в силу системы от функции y2 = y2(t): d dt Φ(y2) =(B2y2, d B2y2)2,1 = (B2y2, A2y2 + B2φ˜2(t, z2))2,1 = dt = (B2y2, A2y2)2,1 + (B2y2, B2φ˜2(t, z2))2,1 для п. в. t ;? t0. Из условий (A3)-(A4) следует, что d Φ(y (t)) < 0 для п. в. t из полуинтервала [t , +∞), что дает ограниченность ∗y2(t)∗2,1. dt 2 0 Замечание 2.1. При некоторых дополнительных условиях на эволюционное уравнение (2.4)- (2.5) оно генерирует полудинамическую систему {ϕt}t ∈R+ в фазовом пространстве Y0, т. е. семейство отображений {ϕt}t ∈R+ , обладающее следующими свойствами: 0 § ϕ0 = IdY есть тождественный оператор на Y0; § ϕt+s = ϕt ◦ ϕs для всех s и t из R+. Используя ограниченность траекторий этой полудинамической системы, можно показать, что ωпредельное множество непусто. Этот факт можно использовать для построения аттрактора системы (2.4)-(2.5). 3. ДВУХФАЗНАЯ ЗАДАЧА МИКРОВОЛНОВОГО НАГРЕВА В настоящем разделе рассматривается задача микроволнового нагрева с изменением фазы. Пусть Ω - ограниченная область пространства R3, граница которой ∂Ω принадлежит классу C1. Рассмотрим задачу микроволнового нагрева ⎧ ⎨ ε(x)Et(x, t)+ σ(θ)E(x, t) = curl H(x, t), (x, t) ∈ QT , μ(x)Ht(x, t)+ curl E(x, t) = 0, (x, t) ∈ QT , ⎩ b(θ(x, t))t = ∇[k(x)∇θ(x, t)] + σ(θ)|E(x, t)|2, (x, t) ∈ QT , (3.1) где T ∈ R+, QT = Ω × [0,T ), E(x, t) и H(x, t) - электрическое и магнитное поля соответственно, ε(x), μ(x) и σ(θ) - диэлектрическая постоянная, магнитная проницаемость и электрическая 152 С. ПОПОВ, Ф. РАЙТМАНН, С. СКОПИНОВ проводимость, соответственно, k(x) - теплопроводность, σ(θ)∗E(x, t)∗2 - джоулева теплота, температура плавления, θ�- ⎧ ⎪⎨ s - 1, s < θ�, b(s) = [θ� - 1, θ�], s = θ�, ⎪⎩ s, s > θ�, - оператор энтальпии. Положим ST = ∂Ω × [0,T ). Начальные и краевые условия имеют вид ν(x) × E(x, t) = ν(x) × G(x, t), (x, t) ∈ ST , θ(x, t) = 0, (x, t) ∈ ST , E(x, 0) = E0(x),H(x, 0) = H0(x), θ(x, 0) = θ0(x), x ∈ Ω, (3.2) где ν(x) - единичная внешняя нормаль на ∂Ω, G(x, t) - заданная внешняя вектор-функция на ST , E0(x), H0(x) и θ0(x) - заданные функции. Пусть теперь Ω = (0, 1), E(x, t) = (0, e(x, t), 0), H(x, t) = (0, 0, h(x, t)). Получим систему ⎧ ⎨ ε(x)et(x, t)+ σ(θ)e(x, t) = -hx(x, t), (x, t) ∈ (0, 1) × (0,T ), μ(x)ht(x, t)+ ex(x, t) = 0, (x, t) ∈ (0, 1) × (0,T ), ⎩ b(θ(x, t))t = k(x)θxx(x, t)+ σ(θ)e2(x, t), (x, t) ∈ (0, 1) × (0,T ). t (3.3) Введем w(x, t) = [ e(x, τ )dτ и положим ε(x) ≡ μ(x) ≡ k(x) ≡ 1. Тогда (3.3) принимает вид системы 0 ( wtt - wxx + σ(θ)wt = 0, (x, t) ∈ (0, 1) × (0,T ), t b(θ)t - θxx = σ(θ)w2, (x, t) ∈ (0, 1) × (0,T ), (3.4) с краевыми условиями w(0, t) = 0, w(1, t) = 0, θx(0, t) = θx(1, t) = 0, t ∈ (0,T ), и начальными условиями w(x, 0) = 0, wt(x, 0) = w1(x), θ(x, 0) = θ0(x), x ∈ (0, 1). Теперь введем понятие решения системы (3.3), основанное на интегральных тождествах. Определение 3.1. Пара функций (w(x, t), θ(x, t)) называется слабым решением системы (3.3) на интервале [0,T ], T > 0, если w ∈ C1(0,T ; H1(Ω)), θ ∈ L2(0,T ; H1(Ω)) ∩ C(0,T ; L2(Ω)) и 0 0 уравнения T 1 1 r r 1 r [-ε(x)wtψt + μ(x) wxψx + σ(θ)wt]dxdt = 0 0 0 ε(x)w1(x)ψ(x, 0)dx, T 1 r r t [-b(θ)ηt + θxηx - σ(θ)w2η]dxdt = 0 0 1 r b(θ0)η(x, 0), 0 0 обращаются в равенства на любых пробных функциях ψ ∈ L2(0,T ; H1(Ω)) ∩ C(0,T ; L2(Ω)) и η ∈ H1(0,T ; H1(Ω)), для которых ψ(x, T ) = η(x, T ) = 0 при любом x из Ω. Чтобы обеспечить существование решений системы (3.3), сделаем следующие предположения. (A9) Функция w1 принадлежит L2(0, 1), θ0 неотрицательна и θ0 ∈ L2(0, 1). (A10) Существуют такие положительные постоянные σ0, σ1, что σ0 ::: σ(z) ::: σ1, z ∈ [0, ∞). Тогда справедлива следующая теорема. 0 Теорема 3.1 (см. [16]). Предположим, что условия (A9)-(A10) выполнены. Тогда при любом положительном T система (3.4) имеет слабое решение, для которого w ∈ C1(0,T ; H1(0, 1)), 0 θ ∈ L2(0,T ; H1(0, 1)) ∩ C([0,T ]; L2(0, 1)). 4. ОГРАНИЧЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ДВУХФАЗНОЙ ЗАДАЧИ МИКРОВОЛНОВОГО НАГРЕВА В этом разделе мы покажем, что решения системы (3.4) ограничены. Для этого наложим следующие требования. (A11) Решения системы (3.4) w ∈ W(0,T,H1(0, 1),H1(0, 1)), θ ∈ W(0,T,H2(0, 1),H2(0, 1)). 0 0 0 0 (A12) (A13) Существует такое положительное a1, что |b(z)| ::: a1|z| ∀z ∈ R, z ◦= θˆ. Существует такое положительное a2, что |σ(z)| ::: a2|z| ∀z ∈ R. ОГРАНИЧЕННОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ДВАЖДЫ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 153 Покажем, что в этом случае все условия теоремы 2.1 выполнены, а значит, все решения системы (3.4) ограничены. wtt - wxx + σ(θ)wt = 0, (x, t) ∈ QT , (4.1) w(0, t) = w(1, t) = 0, t ∈ [0,T ]. (4.2) Рассмотрим первую подсистему нашей системы: Будем использовать обозначения y11 \ w(x, t) \ 0 \ 0 \ y1(x, t) = y12 = wt(x, t) , y0(x) = 0 , ξ1(x, t) = σ¯(θ(x))wt(x, t) , где положительная на положительной полуоси функция σ¯ находится из разбиения σ(θ) = σ0 +σ¯(θ), а σ0 - положительная постоянная. Пусть Λ - самосопряженный положительный оператор, порождаемый на L2(0, 1) дифференциальным оператором Λv = -vxx с однородными краевыми условиями Дирихле. 0 i=1,2 Рассмотрим пространства Y1,0 = L2(0, 1) × H1(0, 1) и Ξ1 = L2(0, 1) × L2(0, 1). Предположим, что норма в Y1,0 определена равенством ∗(v1, v2)∗1,0 = max ∗vi∗L2(Ω), а (·, ·)0 - соответствующее скалярное произведение. Норму и скалярное произведение в Ξ1 введем аналогично. Используя оператор Λ, можно определить оснащенную структуру гильбертова пространства Y1,1 ⊂ Y1,0 ⊂ 1 2 Y1,-1 следующим образом: Y1,1 = D(Λ) = H0 (0, 1) × H0 (0, 1); при этом используется норма ∗· ∗1,1, порожденная скалярным произведением (η1, η2)1,1 = (Λ-1η1, Λ-1η2)1,0 для произвольных η1, η2 из D(Λ). Спаривание (·, ·)-1,1 вводится на Y-1 × Y1 как непрерывное сюръективное продолжение функционала (·, η)0 на Y-1. Теперь определим линейные операторы A1 : Y1,1 → Y1,-1 и B1 : Ξ1 → Y1,-1 следующим образом: A1 = 0 I -Λ -σ0I \ , B1 = 0 0 \ . 0 -I Докажем, что пара (A1, B1) L2-управляема. Для этого покажем, что спектр A1 лежит в левой половине комплексной плоскости. Рассмотрим следующую задачу на собственные значения: A1v = αv, (4.3) где v = (v1, v2)T - собственный вектор, а α - соответствующее собственное значение. Уравнение (4.3) можно записать в следующем виде: ( v2 = αv1, -Λv1 - σ0v2 = αv2. (4.4) i Рассмотрим представление vi = ), ckek, i = 1, 2, где αk - собственные значения оператора Λ, ek - k i соответствующие собственные векторы, а ck - некоторые коэффициенты. Тогда уравнение (4.4) эквивалентно системе ck 2 ek = α k k c1 ek, (4.5) k 1 - αkckek - σ0α k 2 ckek = α k 2 ckek. (4.6) k Из (4.5)-(4.6) следует, что при любом k справедливо равенство α2 + σ0α + αk = 0. (4.7) Очевидно, что любое α, удовлетворяющее уравнению (4.7), имеет отрицательную вещественную часть. Следовательно, пара (A1, B1) L2-управляема. 1 2 Рассмотрим квадратичную форму F(y1, ξ1) = (y1, ξ1)Ξ1 = [ y1ξ1dx = [ σ¯(θ)wt dx. Теперь, со- Ω 0 гласно частотной теореме Лихтарникова-Якубовича для сингулярного случая (см. [4]), нужно 154 С. ПОПОВ, Ф. РАЙТМАНН, С. СКОПИНОВ проверить выполнение условия частотных областей. Предположим, что {αk } - собственные значения оператора Λ, а {ek } - соответственные собственные функции, образующие базис в L2(0, 1). Тогда w1(x, t) = ), wk (t)ek, ξ1(x, t) = ), ξk (t)ek, где wk (t) и ξk (t) - соответствующие коэффициен- 1 k ты Фурье. 1 1 1 k 1,1 Пусть F c - эрмитово сюръективное расширение квадратичной формы F на Y c 1 ×Ξc. Рассмотрим c c c c F (y1, ξ1) при iωy1 = A1y1 + B1ξ1, ω ∈ R, ξ1 ∈ Ξ1, т. е. рассмотрим форму c F (y1, ξ1) = (Π0(iω)ξ1, ξ1). (4.8) Пусть w˜k и ξ˜k - преобразования Фурье от wk и ξk, соответственно. Тогда из (4.8) следует, что 1 1 1 1 (Π0(iω)ξ˜1, ξ˜1) = (Πk (iω)ξ˜k , ξ˜k ). (4.9) 0 1 1 k Чтобы вычислить Π0(iω) при ω ∈ R, формально применим преобразование Фурье к (4.1). Получим уравнения -ω2w˜k (iω)+ iωσ0w˜k (iω) - αk w˜k (iω)+ ξ˜k (iω) = 0, k = 1, 2,... (4.10) 1 1 1 1 Из (4.10), выводим, что w˜k (iω) = χ(iω, αk )ξ˜k (iω), где χ(iω, αk ) = (ω2 - iωσ0 + αk )-1. Из этой 1 1 формулы и из (4.9) следует, что 0 1 1 1 1 ˜ ) = 1 ξ˜k (iω)|2. Таким образом, 0 имеем представление Πk (iω) = Re(iωχ) и нам надо показать, что Re(iωχ) ::: 0, ω ∈ R. (4.11) Неравенство (4.11) означает, что Re iω \ ω2 - iωσ0 + αk = Re (αkω + ω3)i - ω2σ0 \ 0 (αk + ω2)2 + ω2σ2 ::: 0, т. е. -ω2σ0 ::: 0 для любого вещественного ω. Последнее неравенство выполнено, поскольку σ0 > 0. 1 Теперь проверим выполнение условия (A3). В нашем случае оно принимает вид [ b(θ)θxxdx ::: 0 1 1 1 1 1 -κ3([ θ2dx + [ θ2 dx). В силу (A12) имеем соотношение [ b(θ)θxxdx ::: a1 [ θθxxdx = -a1 [ θ2 dx. x x 0 0 0 0 0 Отсюда очевидным образом следует, что условие (A3) выполнено. 1 1 1 x Аналогично, условие (A4) для нашей системы принимает вид [ b(θ)σ(θ)dx ::: κ4([ θ2dx+[ θ2 dx). 0 0 0 1 1 В силу (A12) и (A13) имеем неравенство [ b(θ)σ(θ)dx ::: a1a2 [ θ2dx. Значит, условие (A4) выпол- 0 0 нено. Итак, мы показали, что предположения (A11)-(A13) выполнены и все условия теоремы 2.1 выполнены. Значит, можно сделать вывод, что решения нашей системы ограничены. 5. УСТОЙЧИВОСТЬ НА КОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ ВРЕМЕНИ ДЛЯ ГЛОБАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ Введем семейство отображений следующим образом: ψ(·)(·, ·) : R+ × R+ ×N → N , ψt(t0, p) = y(t + t0, t0, p), где t ∈ R+, t0 ∈ R+,p ∈ N , a N - полное метрическое пространство. Определение 5.1. Отображение ψ : D →N называется процессом (глобальным процессом) на N , где D = {(t, s, u)|(t, s, u) ∈ R × R+ ×N }, если выполняются следующие условия: N 1. для любого вещественного s отображение ψ0(s, ·) = I на N ; есть тождественное отображение 2. для любых (s, u) из R ×N и любых t, tl,s из R+ справедливо соотношение ψt+t∗ (s, u) = ψt(tl + s, ψt∗ (s, u)). Определение 5.1 основано на определении процесса, данном в [8]. Например, процессами являются динамические системы, для которых ψt(s, ·) = ϕt(·) при положительных s и вещественных t. Определение 5.2. Пусть (ψ, (N , ρN )) - процесс, а (s, us) - фиксированная точка в R × N . Отображение D(s, us) := {t ∈ R+ → u(t) ∈ N } называется движением процесса ψ через точку (s, us), если u(t) = ψt(s, u(s)) для любой (t, s) из R × R+ и u(s) = us. ОГРАНИЧЕННОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ДВАЖДЫ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 155 Введем понятие устойчивости процесса на конечном промежутке времени, основанное на определении из [21]. Определение 5.3. Процесс (ψ, (N , ρN )) называется (α, β, t0,T l, ρN , v)-устойчивым, где 0 < 0 α ::: β, t0 > 0, T l ;? 0, а v ∈ N , если из неравенства ρN (v, ψ (r, ur )) < α следует справедлиt l вость неравенства ρN (v, ψ (r, ur )) < β для всех t из [t0, t0 + T ) и любой (s, us) из R ×N . Пусть ({ψt(s, ·)} t R , (N ,ρ )) - процесс. Отображение Φ : R ×N → R называется функциона- ∈ N s ∈R+ лом Ляпунова для этого процесса, если выполнены следующие условия: 3. семейство отображений Φ(t, ·) : N → R непрерывно; 4. для каждого вещественного t и каждой u из N существует предел Φ˙ (t, u) := lim s→0+ s - 1 sup [Φ(t + s, ψ (t, u)) Φ(t, u)]. (5.1) s Теорема 5.1. Пусть ({ψt(s, ·)} t R - процесс, I := [t0, t0 + T l] - промежуток времени, 0 < ∈ s ∈R+ α ::: β, s > 0, uτ ∈ N ,p ∈ N и существуют функционал Ляпунова Φ : I ×N → R для этого процесса и интегрируемая функция g : I → R, удовлетворяющие следующим условиям: (i) Φ˙ (t, u(t)) < g(t) для произвольного t из I и произвольной функции u(·) из C(t0, t0 + T l, N ), удовлетворяющей двойному неравенству α ::: ρN (u(t), p) ::: β при всех t из I; t (ii) [ g(τ )dτ ::: min Φ(t, u) - max Φ(s, u) если s, t ∈ I, s < t. s u∈N :ρN (u,p)=β u∈N :ρN (u,p)=α Тогда процесс ({ψt(s, ·)} t R , (N ,ρ )) является (α, β, t0,T l,ρ , p)-устойчивым. ∈ N N s ∈R+ Доказательство. Пусть u(·) := D(s, us) = {t ∈ J (s, us) → u(t) ∈ N }, s ∈ R, us ∈ N , есть произвольное движение процесса (ψ, (N , ρN )). Предположим, что существует минимальное значение t2 из J, для которого справедливо равенство ρN (p, u(t2)) = β. Тогда существует такое t1, что t0 < t1 < t2, ρN (p, u(t1)) = α и ρN (p, u(s)) > α для любого s, удовлетворяющего двойному неравенству t1 < s ::: t2. Используя определение производной (5.1), получаем следующие соотношения: Φ(t2, u(t2)) - Φ(t1, u(t1)) = Из (5.2) выводим неравенство t2 r Φ˙ (t, u(t))dτ < t1 t2 r t2 r g(τ )dτ. (5.2) t1 Φ(t2, u(t2)) < max u∈N :ρN (p,u)=α Соотношения (5.2)-(5.3) показывают, что Φ(t1, u)+ t1 g(τ )dτ. (5.3) Φ(t2, u(t2)) < max u∈N :ρN (p,u)=α Φ(t1, u)+ min u∈N :ρN (p,u)=β Φ(t2, u) - - max u∈N :ρN (p,u)=α Полученное противоречие (5.4) доказывает теорему. Φ(t1, u) = min u∈N :ρN (p,u)=β Φ(t2, u). (5.4) Рассмотрим следующую систему, состоящую из параболического и гиперболического уравнений, представляющих собой уравнения Максвелла и уравнение теплопроводности для одномерного случая (см. [16]): wtt - wxx + σ(θ)wt = 0, x ∈ (0, 1),t ∈ (0,T ), (5.5) θt - θxx = σ(θ)wt2, x ∈ (0, 1),t ∈ (0,T ), (5.6) w(0, t) = 0, w(1, t) = 0, t ∈ (0,T ), (5.7) θ(0, t) = θ(1, t) = 0, t ∈ (0,T ), (5.8) θ(x, 0) = θ0(x), x ∈ (0, 1), (5.9) w(x, 0) = w0(x), wt(x, 0) = w1(x), x ∈ (0, 1), (5.10) 156 С. ПОПОВ, Ф. РАЙТМАНН, С. СКОПИНОВ где, так же, как и в системе (3.3), θ - температура, w - интеграл по времени от ненулевой компоненты электрического поля, σ - электропроводность, зависящая от температуры, а положительное T - время. Введем следующие условия: (A14) Скалярная функция σ удовлетворяет локальному условию Липшица на интервале (0, +∞) и существуют такие постоянные σ0 и σ1, что 0 < σ0 ::: σ(θ) ::: σ1 на (0, +∞). (A15) Почти всюду на интервале (0, 1) имеем w0, w1 ∈ L2(0, 1), θ0 ∈ L∞(0, 1), θ0 ;? 0. Если (A14) и (A15) выполняются, то для любого фиксированного положительного T существует слабое решение системы (5.5)-(5.10) в смысле интегральных тождеств. Введем обозначение v(x, t) := wt(x, t). Тогда задача (5.5)-(5.10) имеет слабое решение (w(x, t), v(x, t), θ(x, t)) в пространстве Z := (C([0,T ]; L2(0, 1)))2 × (L2(0,T ; H1(0, 1)) ∩ C([0,T ]; L2(0, 1))) (см. [16]). 0 Теперь определим нормированное пространство Y := H1(0, 1) × L2(0, 1) × L2(0, 1) с нормой Y ∗(w, v, θ)∗2 = ∗wx 2 ∗L2(0,1) + ∗v 2 ∗L2(0,1) + ∗θ 2 ∗L2(0,1) , (5.11) где (w, v, θ) ∈ Y. Рассмотрим функцию y(t) = y(t, t0, y0) = (w(·, t), v(·, t), θ(·, t)), представляющую решение задачи (5.5)-(5.10) в пространстве Y с нормой (5.11), для которого вместо начального момента 0 взято произвольное t0 такое, что 0 ::: t0 < T и y(t0, t0, y0) = (w0, w1, θ0), где векторфункция (w(·, t), v(·, t), θ(·, t)) принадлежит Y и удовлетворяет системе (5.5)-(5.10) в слабом смысле. Для задачи (5.5)-(5.10) введем процесс следующим образом. Предположим, что N = Y и определим ψt(s, u0) = {y(t + s, s, y0)|y(t + s, s, y0) ∈ D(s, y0)}, (5.12) где y(t, s, y0) = (w(·, t), v(·, t), θ(·, t)) - решение задачи (5.5)-(5.10), для которого y(s, s, y0) = y0 = (0, 0, θ0). Тем самым система (5.5)-(5.10) порождает процесс (ψ, (M, ρM)). Теперь понятие устойчивости процесса (5.3) на конечном промежутке времени можно использовать для исследования системы (5.5)-(5.10). Для процесса (5.12) сформулируем следующую теорему об устойчивости на конечном промежутке времени. Теорема 5.2. Пусть J := [t0, t0 + T l) ⊂ (0,T ), 0 < α ::: β, и существуют такой дифференцируемый по Фреше функционал Φ : Y → R и такая интегрируемая функция g : J → R, что выполнены следующие условия: d Φ(y(t)) < g(t) (5.13) dt для п. в. t из J и для любой функции y(·) из Z, удовлетворяющей оценке α ::: ∗y(t)∗Y ::: β для указанных t; t r g(τ )dτ ::: min y∈Y :∓y∓Y =β s Φ(y) - max y∈Y :∓y∓Y =α Φ(y) (5.14) для всех s, t из J, для которых s < t. Тогда процесс (5.12) является (α, β, t0,T l, ∗· ∗Y )-устойчивым. Ниже для задачи теплопроводности мы определим функционал Φ и функцию g конкретного вида, удовлетворяющие всем условиям теоремы 5.2. Здесь мы используем следующий результат, вытекающий из доказательства [16, Th. 4.1] и называемый далее свойством (S): (S) для любого положительного α и любого T l из (0,T ) существует такое конечное положительное κ = κ(α, T l), что для любого решения (w(x, t), v(x, t), θ(x, t)) системы (5.5)-(5.10) с 2 2 2 начальными данными (w0, w1, θ0) при t0 = 0 оценка ∗w0∗L2(0,1) + ∗w1∗L2(0,1) + ∗θ0∗L2(0,1) ::: α2 влечет за собой оценку sup t∈[0,T ∗] ∗θ(·, t)∗L∞(0,1) ::: κ. ОГРАНИЧЕННОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ДВАЖДЫ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 157 Теорема 5.3. Предположим, что существуют такие положительные значения параметров λ, κ, a и такое α, что 0 < α ::: β и выполнены условия 1 0 < λ < 1, λ( 2 σ1κ - 1 < 0, λ2 < κ < 1, 1 2κσ1 + 1) - σ0 + aσ1κ < 0, (5.15) λ2 2 2 2 0 ::: min[1 - κ, 1 - , a]β κ - max[2, 1+ λ , a]α , где параметры σ0 и σ1 взяты из (A14), а κ = κ(α, T l) - параметр, введенный в условии (S). Рассмотрим функционал Ляпунова вида 1 r Φ(y) = Φ(w, v, θ) = 0 а также функцию x (w2 + 2λwv + v2 + aθ2)dx, y = (w, v, θ) ∈ Y, (5.16) где g(t) ≡ -c min[1, a]α, t ∈ [0,T l), (5.17) 2 2 2 min[a, -λ( 1 σ1κ - 1), -(λ( 1 σ1 + 1) - σ0 + aσ1κ)] c := max[2, 1+ λ2, a] . (5.18) Тогда функционал Φ и функция g(t), определенные формулами (5.16) и (5.17) соответственно, удовлетворяют неравенствам (5.13) и (5.14) относительно функций из Z для t0 = 0 и тех α, β, 0 < α < β, для которых выполнено (5.15). Следовательно, процесс (5.3) является (α, β, 0,T l, ∗·∗Y )-устойчивым. Доказательство. Рассмотрим функционал Ляпунова (5.16). Применяя (5.15) к произвольным функциям (w, v, θ) из Y, получаем неравенства 1 r Φ(w, v, θ) = 0 x (w2 + 2λwv + v2 + aθ2)dx ::: 1 1 r r ::: 0 x (w2 + w2 + λ2v2 + v2 + aθ2)dx ::: 0 x (2w2 + (1+ λ2)v2 + aθ2)dx ::: 2 2 2 ::: max[2, 1+ λ2, a](∗wx∗L2(0,1) + ∗v∗L2(0,1) + ∗θ∗L2(0,1)); (5.19) 2 2 0 здесь использовано неравенство Фридрихса ∗w∗L2(0,1) ::: ∗wx∗L2(0,1) для функции w из H1(0, 1) и неравенство Коши-Буняковского. С другой стороны, для тех же самых функций (w, v, θ) из Y справедливы неравенства 1 r x (w2 + 2λwv + v2 + aθ2)dx ;? 0 r 2 1 ;? (w2 - κw2 - λ v2 + v2 + aθ2)dx ;? r 2 1 ((1 - κ)w2 + (1 - λ )v2 + aθ2)dx ;? x κ x κ 0 0 λ2 2 2 2 ;? min[1 - κ, 1 - κ , a](∗wx∗L2(0,1) + ∗v∗L2(0,1) + ∗θ∗L2(0,1)). (5.20) Теперь рассмотрим функционал Ляпунова на пространстве функций (w, v, θ) из Z. Для п. в. t из (0,T l) продифференцируем этот функционал по t. Получим 1 1 d r r x (w2 + 2λwv + v2 + aθ2)dx = 2 dt 0 0 (-wxxv + λv2 + (λw + v)vt + aθθt)dx; (5.21) 158 С. ПОПОВ, Ф. РАЙТМАНН, С. СКОПИНОВ 1 1 1 здесь использовано равенство [ wxwxtdx = [ -wxxwtdx = [ -wxxvdx, справедливое для любой 0 0 0 функции w(x, t), удовлетворяющей однородным (нулевым) краевым условиям. Теперь вычислим vt и θt из (5.5) и (5.6), используем полученный результат в (5.21) и оценим следующий интеграл для п. в. t из (0,T l): d Φ(y(t)) = 2 dt 1 r (-wxxv + λv2 + (λw + v)(wxx - σ(θ)v)+ aθ(θxx + σ(θ)v2))dx = 0 1 r = 2 (-λw2 - λσ(θ)wv + (λ - σ(θ)+ aσ(θ)θ)v2 - aθ2 ))dx ::: x x 0 1 r 1 2 1 2 2 ::: 2 0 2κ (-λ( 2 σ(θ)κ - 1)wx +( λσ(θ)+ λ - σ(θ)+ aσ(θ)θ)v - aθ ))dx. (5.22) Используя условие (A15), свойство (S) и соотношения (5.15), получаем, что неравенство d 2 2 2 dt Φ(y(t)) ::: -c1(∗wx∗L2(0,1) + ∗v∗L2(0,1) + ∗θ∗L2(0,1)) (5.23) справедливо для п. в. t из (0,T l), где c1 = 2 min 1a, -λ( 1 1 2 σ1κ - , - σ1 λ ( ( 1 +1 2κ l § σ0 + aσ1κ . - Теперь, учитывая (5.19), можно показать, что d Φ(y(t)) ::: cΦ(y(t)) для п. в. t из (0,T l), где c dt определено формулой (5.18). Теперь, учитывая неравенство (5.20), введем на [0,T l) функцию 2 2 2 g(t) := - c min[1, a] inf(∗wx(·, t)∗L2(0,1) + ∗v(·, t)∗L2(0,1) + ∗θ(·, t)∗L2(0,1)), (5.24) где точная нижняя грань берется по всем (w(·, ·), v(·, ·), θ(·, ·)) из Z, удовлетворяющим (двусторонней) оценке α ::: ∗w(·, t), v(·, t), θ(·, t)∗Y ::: β. Тогда условие (5.13) выполнено. Понятно, что g(t) = -c min[1, a]α есть искомая функция на [0,T l). Используя (5.19) и (5.20), оценим слагаемые из правой части неравенства (5.14): λ2 min y∈Y :∓y∓Y =β Φ(y) ;? min[1 - κ, 1 - , a]β2, max κ y∈Y :∓y∓Y =α Φ(y) ::: max[2, 1+ λ2, a]α2. (5.25) Следовательно, для выполнения соотношения (5.14) достаточно выполнения неравенств λ2 2 2 2 -c min[1, a]αT l ::: min[1 - κ, 1 - , a]β κ - max[2, 1+ λ , a]α , (5.26) λ2 2 2 2 0 ::: min[1 - κ, 1 - , a]β κ - max[2, 1+ λ , a]α . (5.27) Из условий (5.15) следует, что неравенства (5.26)-(5.27) выполнены. 6. УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ ДЛЯ ЛОКАЛЬНЫХ МНОГОЗНАЧНЫХ ПРОЦЕССОВ Пусть (N , ρN ) - полное метрическое пространство, а 2N - множество всех непустых подмножеств N . Введем понятие локального многозначного процесса на N (аналогичное определение можно найти в [14]): Определение 6.1. Отображение ψ : D → 2N называется локальным многозначным процессом на N , где D = {(t, s, u)|(s, u) ∈ R ×N ,t ∈ [0, b(s, u))}, а [0, b(s, u)) - максимальный полуинтервал существования отображения ψt, если выполнены следующие условия: N 1. для любого вещественного s отображение ψ0(s, ·) = I нием на N ; является тождественным отображе- 2. для любого (s, u) из R×N , любого tl из [0, b(s, u)) и любого t из [0, b(tl, ψt∗ (s, u))) неравенство t + tl < b(s, u) влечет за собой вложение ψt+t∗ (s, u) ⊂ ψt(tl + s, ψt∗ (s, u)). ОГРАНИЧЕННОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ДВАЖДЫ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 159 Введем обозначение J (s, us) = {t ∈ R|t ∈ [0, b(s, us))}. Определение 6.2. Пусть (ψ, (N , ρN )) - локальный многозначный процесс, а (s, us) - фиксированная точка в R ×N . Семейство однозначных отображений D(s, us) := {t ∈ J (s, us) → u(t) ∈ N } называется движением процесса ψ из точки (s, us), если u(t) ∈ ψt(s, u(s)) для любого t из J (s, us) и u(s) = us. Каждое такое одномерное отображение называется реализацией движения D(s, us). Определение 6.3. Пусть (ψ, (N , ρN )) - локальный многозначный процесс. Отображение Φ : R ×N → R называется функционалом Ляпунова для этого локального многозначного процесса, если выполняются следующие условия: 1. однопараметрическое семейство отображений Φ(t, ·) : N → R, t ∈ R непрерывно; 2. для любых фиксированных t из R и u из N имеем Φ˙ (t, u) := lim s→0+ s - 1 sup [Φ(t + s, ψ (t, u)) Φ(t, u)]. s Теперь для локальных многозначных процессов введем понятие устойчивости на конечном интервале времени. Определение 6.4. Локальный многозначный процесс (ψ, (N , ρN )) называют (α, β, t0,T l, ρN , p)устойчивым, где 0 < α ::: β, t0 > 0, T l ;? 0, а p ∈ N , если для любой реализации u(·) любого движения D(s, us) = {t ∈ J (s, us) → u(t) ∈ N }, s ::: t0, t0 + T l ::: b(s, us), us ∈ N , u(·) ∈ D(s, us), этого процесса из неравенства ρN (p, ut0 ) < α, ut0 = u(t0), следует, что ρN (p, u(t)) < β для любого t из [t0, t0 + T l). Теорема 6.1. Пусть (ψ, (N , ρN )) - локальный многозначный процесс, J := [t0, t0 + T l) ⊂ J (s, us), 0 < α ::: β, s > 0, us ∈ N , p ∈ N и существуют такой функционал Ляпунова Φ : J ×N → R в смысле (6.3) и такая интегрируемая функция g : J → R, что выполнены следующие условия: (i) Φ˙ (t, u(t)) < g(t), если t ∈ J, а u(t) - произвольные отображения из C(t0, t0 + T l; N ), для которых неравенство α ::: ρN (p, u(t)) ::: β выполняется при любом t из J ; t (ii) неравенство [ g(s)ds ::: min Φ(t, u(t)) - max Φ(s, u(s)) справедливо, если s s, t ∈ J, s < t. u∈N :ρN (p,u)=β u∈N :ρN (p,u)=α Тогда локальный многозначный процесс (ψ, (N , ρN )) является (α, β, t0,T l, ρN , p)-устойчивым. Доказательство. Пусть D(s, us) = {t ∈ J (s, us) → u(t) ∈ N }, s ∈ R, us ∈ N , есть произвольное движение локального многозначного процесса (ψ, (N , ρN )), а u(·) из D(s, us) есть произвольная реализация этого движения. Оставшаяся часть доказательства аналогична доказательству теоремы 5.1, использующему произвольную реализацию движения u(·) и определение производной (6.3). Введем понятие неустойчивости на конечном интервале времени для локальных многозначных процессов. Определение 6.5. Локальный многозначный процесс (ψ, (N , ρN )) называют (α, β, t0,T l, ρN , p)неустойчивым, где 0 < α ::: β, t0 > 0,T l ;? 0 и p ∈ N , если существуют такое движение D(s, us), s ::: t0, t0 + T l ::: b(s, us), us ∈ N , этого процесса, такая реализация u(·) из D(s, us), ρN (p, ut0 ) < α, ut0 = u(t0), этого движения и такое t1 из (t0, t0 + T l), что ρN (p, u(t1)) = β. Теорема 6.2. Пусть (ψ, (N , ρN )) - локальный многозначный процесс, J := [t0, t0 + T l) ⊂ J (s, us), 0 < α ::: β, s > 0, us ∈ N , p ∈ N . Предположим, что существуют такой непрерывный функционал Φ : J ×N → R, такая функция g : J → R, интегрируемая на J, такие постоянные α, δ, T, T1,δ < α, 0 < T1 < T, и такие множества Ω, Υ(t), U(t), что Ω = B(β) - B(δ), Υ(t) = {u|Φ(u) > max u∈N :ρN (p,u)=δ Φ(u)}, U(t) ⊂ Ω ∩ Υ(t), U(t) - связное непустое множество, U(t0 + T1) ∩ ∂B(β) ◦= ∅ и выполнены следующие условия: t 1. Φ(t, u(t)) - Φ(s, u(s)) > [ g(s)ds для всех t, s из J и для произвольных отображений u(·) из s C(t0, t0 + T l; N ), удовлетворяющих оценке α ::: ρN (p, u(t)) ::: β для любого t из J ; 160 С. ПОПОВ, Ф. РАЙТМАНН, С. СКОПИНОВ 2. существует такое u0 из U(t0), что для любого t1 из [t0, t0 + T1] имеем δ < ∗u0∗N < α, t0+T1 r g(s)ds ;? max u∈N :∓u∓N =β t0 Φ(t0 + T1, u) - Φ(t0, u0), t1 r g(s)ds ;? max u∈N :∓u∓N =δ t0 Φ(t1, u) - Φ(t0, u0); 3. Φ(t0 + T1, ul) ::: max u∈N :∓u∓N =β Φ(t0 + T1, u) для любого ul из U(t0 + T1). Тогда локальный многозначный процесс (ψ, (N , ρN )) является (α, β, t0,T l, ρM , p)-неустойчивым. Доказательство. Пусть D(s, us) = {t ∈ J (s, us) → u(t) ∈ N }, s ∈ R, us ∈ N , есть произвольное движение локального многозначного процесса (ψ, (N , ρN )), а u(·) из D(s, us) есть произвольная реализация этого движения, для которой u(t0) = u0 ∈ U(t0). Справедливо неравенство t r Φ(t, u(t)) - Φ(t0, u(t0)) > t0 g(s)ds. (6.1) Пусть существует значение t2 из J, для которого справедливо равенство ρN (p, u(t2)) = δ. Пусть ρN (p, u(t)) < β для всех t из [t0, t2]. Тогда Φ(t2, u(t2)) - Φ(t0, u(t0)) > t2 r g(s)ds > max u∈N :ρN (p,u)=δ t0 Φ(t2, u). (6.2) Это противоречит условию, из которого выбрано t2. Следовательно, такого t2 не существует. Значит, Φ(t, u(t)) > max u∈N :ρN (p,u)=δ Φ(t, u) для всех t из [t0, t0 + T1]. Отсюда следует, что ρN (p, u(t)) < β для всех t из [t0, t0 + T1]. Поэтому u(t) ∈ U(t) для всех t из [t0, t0 + T1]. Теперь предположим, что ρN (p, u(t)) < β для всех t из [t0, t0 + T1]. Тогда t0+T1 r Φ(t0 + T1, u(t0 + T1)) - Φ(t0, u(t0)) > t0 g(s)ds > max u∈N :ρN (p,u)=β Φ(t0 + T1, u). (6.3) Это противоречит условию (iii). Отсюда следует, что предположение относительно ρN (p, u(t)) неверно. Значит, существует такой момент времени t3 ∈ [t0, t0 + T1], для которого ρN (p, u(t)) = β. Рассмотрим следующую начально-краевую задачу (см. [16]): wtt - wxx + σ(θ)wt = 0, x ∈ (0, 1),t ∈ (0,T ), b(θ)t - θxx = σ(θ)wt2, x ∈ (0, 1),t ∈ (0,T ), w(0, t) = ξ1(t), w(1, t) = ξ2(t), t ∈ (0,T ), θ(0, t) = θ(1, t) = 0, t ∈ (0,T ), θ(x, 0) = θ0(x), x ∈ (0, 1), w(x, 0) = w0(x), wt(x, 0) = w1(x), x ∈ (0, 1), ⎧ ⎪⎨ s - 1, s < θ�, (6.4) b(s) = [θ� - 1, θ�], s = θ�, здесь θ� - параметр. ⎪⎩ s, s > θ�; Предположим, что выполнены следующие условия: (A16) функция σ локально липшицева на интервале (0, +∞); (A17) функции ξ1, ξ2 принадлежат пространству H1(0, 1), ξ1(0) = 0, ξ2(0) = 0, функции wt(x, 0), θ0(x) принадлежат пространству L2(0, 1). ОГРАНИЧЕННОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ДВАЖДЫ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 161 Предположим, что условия (A16)-(A17) выполнены. Тогда задача (6.4) имеет слабое решение (w(x, t), θ(x, t)) из H1(0,T ; H1(0, 1)) × L2(0,T ; H1(0, 1)) (см. [16]). Для задачи (6.4) введем локальный многозначный процесс. Введем обозначение v := wt и рас- 2 смотрим пространство N = H1(0, 1) × L2(0, 1) × L1(0, 1) с нормой ∗(w, v, θ)∗2 = max[∗wx∗ + ∗v∗ 2 2 L2(0,1) 0 , ∗θ ∗L1(0,1)]. N L2(0,1) Определим ψt(s, u0) = {y(t + s, s, y0)|y(t + s, s, y0) ∈ D(s, y0)}, (6.5) где y(t, s, y0) = (w(·, t), v(·, t), θ(·, t)) - такое решение задачи (6.4), для которого y(s, s, y0) = y0 = (w0, w1, θ0). Ясно, что в этом случае задача (6.4) порождает процесс (ψ, (N , ρN )), заданный соотношением (6.5). Как и для однофазной системы (см. выше), при определенных условиях можно показать (используя теорему 6.1), что порожденный многозначный процесс устойчив на некотором конечном интервале времени.

Об авторах

С Попов

Санкт-Петербургский государственный университет

Email: psa.87@mail.ru
198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр-т, д. 28

Ф Райтманн

Санкт-Петербургский государственный университет

Email: vreitmann@aol.com
198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр-т, д. 28

С Скопинов

Санкт-Петербургский государственный университет

Email: serg_vologda@mail.ru
198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр-т, д. 28

Список литературы