Обобщенные условия Келлера-Оссермана для полностью нелинейных вырождающихся эллиптических уравнений

Аннотация

Исследуется существование глобальных (т. е. определенных на всем пространстве) субрешений полностью нелинейных вырождающихся эллиптических уравнений. Необходимые и достаточные условия на коэффициенты при младших членах обобщают классические условия Келлера- Оссермана для полулинейных эллиптических уравнений. Наш анализ показывает, что в случае нарушения условия существования глобальных субрешений можно получить априорные оценки для локальных субрешений.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ В настоящей работе излагаются недавно полученные (см. [18, 19]) результаты о существовании глобальных субрешений и априорных оценок для локальных субрешений для полностью нелинейных вырождающихся эллиптических уравнений с младшими членами. В общем случае рассматриваются дифференциальные неравенства второго порядка вида F (x, D2u) � f (u)+ g(u) |Du|q, (1.1) где свободный член f : R → R и коэффициент первого порядка g : R → R - непрерывные монотонно возрастающие функции, причем функция f положительна. Будем считать, что показатель q принадлежит (0, 2], а главная часть F есть вырождающийся эллиптический оператор второго порядка, т. е. такая непрерывная функция F : Rn × Sn → R, что F (x, O) = 0 и выполняется (нормализованное) условие эллиптичности 0 � F (x, X + Y ) - F (x, X) � tr(Y ), ∀ x ∈ Rn, X, Y ∈ Sn, Y � O, (1.2) где Sn - пространство вещественных симметричных матриц порядка n × n, частично упорядоченное обычным образом. 0,1 В качестве модельных примеров F можно рассматривать вырождающийся максимальный оператор Пуччи M+ , определенный соотношением + M0,1(X)= '\' μi(X), (1.3) μi>0 а также k-частичный Лапласиан, задаваемый соотношением + Pk (X)= μn-k+1(X)+ ... + μn(X), (1.4) где μ1(X) � μ2(X) � ... � μn(X) - упорядоченные собственные значения матрицы X. Напомним, что экстремальные операторы Пуччи - это явные полностью нелинейные операторы, играющие центральную роль в теории эллиптической регулярности уравнений недивергентного Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2018 74 ОБОБЩЕННЫЕ УСЛОВИЯ КЕЛЛЕРА-ОССЕРМАНА 75 вида (см. [15]). Отметим, что оператор (1.3) является максимальным в классе всех вырождающихся эллиптических операторов, обращающихся в нуль при X = O. В частности, для любого k = 1,n и любого X из Sn справедливо неравенство P+(X) � M+ (X), а если u удовлетворяет неравенству k 0,1 + 2 Pk (D 1. � f (u)+ g(u) |Du|q (1.5) или неравенству (1.1), то u удовлетворяет и неравенству + M0,1(D2 u) � f (u)+ g(u) |Du|q. (1.6) k Что касается операторов P+, то они естественным образом возникают в римановой геометрии - в частности, при изучении k-выпуклых многообразий (см. [41, 42]). Их связь с уравнениями в частных производными недавно рассматривалась в [16, 30] (см. также [4, 26, 27]). Кроме того, они возникают при применении множеств уровня к геометрическим эволюционным задачам (см. [3, 28]), а также в задаче о выпуклой оболочке (см. [38]). Свежие результаты о регулярности и существовании главных собственных функций можно найти в [10], а о теоремах типа Лиувилля - в [11]. Частным случаем неравенства (1.1) является полулинейное равномерно эллиптическое неравенство Δu � f (u). Для положительных f это неравенство изучалось в [32, 39] (независимо); хорошо известно, что в этом случае решения во всем пространстве Rn существуют тогда и только тогда, когда f удовлетворяет классическому условию +∞ r dt t 1/2 = +∞. (1.7) 0 Г f (s) ds 0 Цель настоящей работы - получить аналогичные результаты для неравенства общего вида (1.1), определив более точные условия на младшие коэффициенты, гарантирующие, что глобальных субрешений не существует, а для локальных субрешений справедливы универсальные оценки сверху. Поскольку рассматриваются операторы недивергентного вида, используется понятие вязкого решения; общие сведения о существовании, единственности и регулярности для этого класса решений можно найти в [15, 20]. Полученные нами условия обобщают (1.7) и зависят от знака функции g, т. е. от того, является ли член первого порядка «абсорбирующим» или «реактивным». Если lim t→+∞ g(t) > 0, то необходимое и достаточное условие «сублинейности» (1.7) нужно обобщить таким образом, чтобы правильно учесть положительно определенный член первого порядка. Мы доказываем, что неравенство (1.6) имеет глобальное вязкое решение тогда и только тогда, когда +∞ r q � 1 и t dt 1/2 t 1/(2-q) = +∞. (1.8) 0 Г f (s) ds 0 + Г g+(s) ds 0 Также доказывается, что это условие является необходимым и достаточным для существования глобального вязкого решения неравенства (1.5) при условии, что g(t) � 0 для всех вещественных значений t. В частности, устанавливается, что если q > 1, то глобальных субрешений не существует, как бы медленно ни росли f и g, а в случае, когда q � 1, ограничения на рост нужны и для f, и для g. В случае, когда lim t→+∞ g(t) � 0, члены нулевого и первого порядка неравенства (1.6) конкурируют друг с другом, поскольку имеют противоположные знаки. Наш анализ показывает, что в этом случае глобальные вязкие субрешения существуют тогда и только тогда, когда выполняется 76 И. КАПУЦЦО ДОЛЬЧЕТТА, Ф. ЛЕОНИ, А. ВИТОЛО следующий ослабленный вариант условия (1.7), содержащий f, g и q: +∞ r ⎛ t dt 2/q ⎞1/2 = +∞. (1.9) 0 t ⎝Г e 0 -2 г s g(τ ) - f (τ ) f (τ ) dτ f (s) ds⎠ В частности, доказывается, что если lim t→+∞ g(t) < 0, то (1.9) эквивалентно соотношению r +∞г 1 t 1/2 1 + f (t)1/q l dt = +∞. (1.10) 0 Г f (s) ds 0 Отметим, что при q = 2 это условие обращается в следующее условие «субквадратического» роста: Г +∞ dt = +∞. Кроме того, для всех случаев доказывается, что, если условие (1.8), (1.9) 0 f (t)1/2 или (1.10) (соответственно) нарушается, а u удовлетворяет неравенству (1.1) в любом открытом подмножестве Ω пространства Rn, то u универсально оценивается сверху явной функцией расстояния до границы, определенной функцией f, g или q соответственно (см. теорему 3.4). Из предшествующих результатов в данной области отметим результат [14] о существовании и единственности глобальных решений полулинейных уравнений, в которых f (u)= |u|p-1u, p > 1, и результаты [12, 13, 21, 35, 36] о дальнейших обобщениях главной части и членов нулевого порядка на случаи, когда оператор имеет более общий дивергентный вид. Для полностью нелинейного случая аналогичные результаты получены в [5, 23, 24, 27], а для уравнений с гессианом, включая k-ю основную симметрическую функцию собственных значений μ1(D2u),..., μn(D2u) - в [6, 7, 31]. Результаты о приложениях к устранимым особенностям можно найти в [33]. Для уравнений с градиентными членами аналогичное «абсорбирующее» свойство суперлинейных членов первого порядка в полулинейных эллиптических уравнениях впервые установлено в [34]. Впоследствии оно активно изучалось разными авторами - см., например, [40] (о полулинейных уравнениях) или [1, 25] (о полностью нелинейных равномерно эллиптических уравнениях, в которых члены первого порядка имеют вид h(|Du|)). Как и в [32, 39], наши методы доказательств основаны на сравнении сферически симметричных решений неравенств (1.5) и (1.6). Этот подход требует подробного анализа начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют эти сферически симметричные решения. В частности, нужно исследовать существование глобальных максимальных решений; оказывается, что глобальные решения неравенства (1.6) существуют тогда и только тогда, когда существуют глобальные сферически симметричные решения. Отметим, что этот факт доказывается методом сравнения, который применим и в рассматриваемых здесь вырождающихся случаях, причем никаких априорных предположений о росте u на бесконечности не делается. Если максимальные решения соответствующей задачи для обыкновенного дифференциального уравнения не являются глобальными, то в шарах пространства Rn получаем существование сферически симметричных решений задач r M+ 0,1(D2u)= f (u)+ g(u) |Du|q в B, u = +∞ на ∂B; r P+ k (D2u)= f (u)+ g(u) |Du|q в B, u = +∞ на ∂B. Решения, разрушающиеся на границе, широко изучаются как для полулинейных, так и для полностью нелинейных эллиптических уравнений. Что касается полностью нелинейного случая, то, помимо основополагающей работы [34], отметим результаты [5, 22]. Из совсем свежих результатов о разрушающихся решениях полностью нелинейных сингулярных и вырождающихся уравнений отметим [9]. ОБОБЩЕННЫЕ УСЛОВИЯ КЕЛЛЕРА-ОССЕРМАНА 77 Кроме того, отметим, что в некоторых случаях наши результаты можно также применить для нахождения нижних оценок суперрешений вырожденных эллиптических уравнений. В качестве примера, пусть v - положительное суперрешение уравнения M-(D2v) + vθ � 0 в Ω, где Ω ∈ Rn - открытое подмножество с непустой границей, а M- - вырожденный inf-оператор Пуччи, 1 определенный как M-(M )= ), μi<0 v μi(M )= -M+(-M ). Тогда легко доказать, что функция u = удовлетворяет неравенству M+(D2u) � u2-θ. В случае θ < 1 из наших результатов о субрешениях C следует оценка u(x) � 2 d(x) 1-θ при x ∈ Ω, где C > 0 - положительная константа, а d(x) - расстояние от точки x до границы ∂Ω. Это, в свою очередь, дает равномерную оценку снизу 2 v(x) � c d(x) 1-θ при x ∈ Ω. 2. СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИП СРАВНЕНИЯ Пусть f, g - непрерывные неубывающие функции. Считая, что c > 0, q > 0 и a ∈ R, рассмотрим задачу Коши ⎧ c - 1 q ⎪⎨ ϕll + r ϕl = f (ϕ)+ g(ϕ) |ϕl| , ϕ(0) = a, ⎪⎩ ϕl(0) = 0. (2.1) Здесь и далее, решением задачи (2.1) в [0, R), где 0 < R � +∞, мы называем такую функцию ϕ из C2((0, R)) ∩ C([0, R)), для которой 0 = ϕl(0) = lim ϕl(r), ∃ lim ϕll(r) ∈ R. Следовательно, r→0 r→0+ обыкновенное дифференциальное уравнение из (2.1) должно выполняться и в точке r = 0. Существование локальных решений задачи (2.1) следует из классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывными данными. При доказательстве свойств монотонности и выпуклости локальных решений ϕ задачи (2.1) используется следующий результат. Лемма 2.1. Пусть c > 0, q > 0, а функции f, g : R → R непрерывны. Если ϕ - решение задачи (2.1) в [0, R), то справедливы следующие утверждения: 1. если f положительна, то ϕ строго возрастает; 2. если f положительна, f, g - неубывающие, а c � 1, то ϕ выпукла и f (ϕ(r)) 1/q ϕl(r) � g-(ϕ(r)) для всех r из [0, R); (2.2) 3. если f положительна, f, g - неубывающие, g неотрицательна, а c � 1, то ϕl(r) ϕll(r) � для всех r из [0, R). (2.3) r Доказательство. Из (2.1) следует, что cϕll(0) = lim r→0+ ϕll(r)+ (c - 1) ϕl(r) r = f (a) > 0, т. е., ϕl возрастает, а следовательно, положительна на некотором интервале (0, r0). В действительности неравенство ϕl(r) > 0 справедливо на всем интервале (0, R), поскольку в противном случае в (0, R) существовала бы точка такая r∗, что ϕl(r∗)= 0, ϕll(r∗) � 0 и ϕll(r∗)= f (ϕ(r∗)) > 0. Значит, утверждение (i) доказано. Теперь докажем утверждение (ii). Поскольку ϕll(0) > 0, существует такое положительное r1, что ϕl(r) > 0 и ϕll(r) > 0 для любого r из (0, r1]. Предположим обратное тому, что требуется доказать, т. е., что существует такое τ, превосходящее r1, что ϕll(τ ) < 0. Тогда функция ϕl имеет в (0,τ ) точку локального строгого максимума r0 и множество R = {r ∈ (0, r0): ϕl(r)= ϕl(τ )} не пусто. Пусть σ = min R. Тогда ϕll(σ) � 0. Значит, мы нашли такое σ, что σ < τ, ϕl(σ)= ϕl(τ ) и ϕll(σ) - ϕll(τ ) > 0. (2.4) С другой стороны, подставляя σ и τ в (2.1), получаем, что ϕll(σ) - ϕll(τ )= (c - 1) ϕl(τ ) τ - ϕl(σ) σ + g(ϕ(σ))ϕl(σ)q - g(ϕ(τ ))ϕl(τ )q f (ϕ(σ)) - f (ϕ(τ )). 78 И. КАПУЦЦО ДОЛЬЧЕТТА, Ф. ЛЕОНИ, А. ВИТОЛО Поскольку f, g и ϕ монотонны, c � 1, σ < τ и ϕl(σ) = ϕl(τ ), отсюда следует, что ϕll(σ) - ϕll(τ ) � 0, что противоречит (2.4). Следовательно, в [0, R) функция ϕ выпукла и возрастает. Тогда из (2.1) мы получаем, что f (ϕ)+ g(ϕ)(ϕl)q � 0 в [0, R), откуда вытекает (2.2), что и доказывает утверждение (ii). Наконец, докажем утверждение (iii). Умножая уравнение (2.1) на rc-1 и интегрируя результат по промежутку от 0 до r, получаем, что r rc-1ϕl(r) � If (ϕ(r)) + g(ϕ(r))ϕl(r)q l r Г l r c sc-1ds = ϕll(r)+ (c - 1) ϕl(r) , r c 0 поскольку ϕ, ϕl, f и g - неубывающие функции. Значит, (2.3) доказано. Теперь рассмотрим уравнения в частных производных + M0,1(D2 u)= f (u)+ g(u) |Du|q, (2.5) + 2 Pk (D u)= f (u)+ g(u) |Du|q. (2.6) Покажем, что сферически симметричные решения указанных уравнений могут быть найдены из решений ϕ задачи (2.1), принадлежащих пространству C2 ([0, R)) . Лемма 2.2. Справедливы следующие утверждения: 4. Пусть f и g - непрерывные неубывающие функции, f положительна, q > 0, ϕ из C2([0, R)) - решение задачи Коши (2.1) при c = n. Тогда Φ(x) = ϕ(|x|) принадлежит C2(BR) и является классическим решением уравнения (2.5) в шаре BR. 5. Пусть f и g - непрерывные неубывающие функции, f положительна, g неотрицательна, q > 0, ϕ из C2([0, R)) - решение задачи Коши (2.1) при c = k. Тогда Φ(x) = ϕ(|x|) принадлежит C2(BR) и является классическим решением уравнения (2.6) в шаре BR. Доказательство. Непосредственные вычисления показывают, что если Φ(x)= ϕ(|x|), то ⎧ ϕ ll ⎪⎨ 6. In, если x = 0, D2Φ(x)= ϕl(|x|) ll ϕl(|x|) x x если x ⊗= 0. ⎪ n I + ⎩ |x| ϕ (|x|) - |x| |x| ⊗ |x| , Поскольку ϕ ∈ C2([0, R)), ϕl(0) = 0 и ϕll(0) = lim ϕl(r)/r, отсюда вытекает, что Φ принадлежит r→0 C2(BR). Кроме того, Φ - выпуклая, поскольку ϕ - выпуклая и возрастающая, а из определения оператора M+ l следует, что M+ (D2Φ(x)) = ϕll(|x|)+ (n - 1) ϕ (|x|) . Следовательно, если ϕ 0,1 0,1 |x| удовлетворяет (2.1) при c = n, то Φ удовлетворяет (2.5). Точно так же мы получаем, что если g � 0 и ϕ удовлетворяет (2.1) при c = k, то ϕll(|x|) � ϕl(|x|) |x| l в силу леммы 2.1(iii). Следовательно, P+(D2Φ(x)) = ϕll(|x|)+ (k - 1) ϕ (|x|) и Φ удовлетворя- ет (2.6). k |x| Следующий результат демонстрирует, какая форма принципа сравнения потребуется далее. Указанный результат непосредственно следует из определения суби суперрешения, если она из сравниваемых функций - гладкая. Чтобы сравнивать негладкие (а лишь вязкие) суби суперрешения, требуется некая общая техника регуляризации (см. [20]). Предложение 2.1. Пусть f, g - непрерывные функции, f - строго возрастающая, g - неубывающая, а F : Rn ×S → R - непрерывная функция, удовлетворяющая (1.2). Далее, предположим, что u из USC(BR) и Φ из C2(BR) удовлетворяют двойному неравенству F (x, D2u) - f (u) - g(u) |Du|q � 0 � F (x, D2Φ) - f (Φ) - g(Φ) |DΦ|q в BR и предельному соотношению lim sup (u(x) - Φ(x)) � 0. |x|→R- Тогда u(x) � Φ(x) для любого x из BR. ОБОБЩЕННЫЕ УСЛОВИЯ КЕЛЛЕРА-ОССЕРМАНА 79 Доказательство. Предположим, напротив, что u - Φ достигает положительного максимума во внутренней точке x0 шара BR. В определении вязкого субрешения u возьмем Φ(x)+ u(x0) - Φ(x0) в качестве основной функции в точке x0. Получим неравенство F (x0, D2Φ(x0)) � f (u(x0)) + g(u(x0)) |DΦ(x0)|q , которое в силу строгой монотонности f и монотонности g противоречит тому, что Φ - суперрешение. 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ ГЛОБАЛЬНЫХ СУПЕРРЕШЕНИЙ И АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ СВЕРХУ Подробный анализ максимального решения начальной задачи (2.1) приводит к следующим результатам о существовании глобальных решений (см. доказательство в [19]). Теорема 3.1. Пусть 0 < q � 2, c � 1, а f, g - непрерывные неубывающие функции, причем f положительна. Пусть ϕ - максимальное решение начальной задачи (2.1). Тогда справедливы следующие утверждения: 1. если lim t→+∞ g(t) > 0, то ϕ определена на всей полуоси [0, +∞) тогда и только тогда, когда +∞ q � 1 и r dt (tf (t))1/2 + (t g+(t))1/(2-q) 0 = +∞; (3.1) 2. если lim t→+∞ g(t) � 0, то ϕ определена на всей полуоси [0, +∞) тогда и только тогда, когда +∞ r dt ⎛ t g-(τ ) 2/q ⎞1/2 = +∞; (3.2) e-2 t Г 0 г f (τ ) ⎝ s 0 f (τ ) dτ f (s) ds⎠ 3. если lim t→+∞ g(t) < 0, то (3.2) равносильно соотношению +∞ r Г 1 (tf (t))1/2 0 1 l + f (t)1/q dt = +∞. (3.3) В частности, из теоремы 3.1 следует, что либо все максимальные функции задачи Коши (2.1) разрушаются при конечном R, либо все максимальные функции определены на всей полуоси [0, +∞), и это не зависит от начальных данных a, а зависит только от роста f и g при t → +∞ (и эта зависимость регулируется условиями (3.1)-(3.3)). Это соответствует классической теории субквадратичных обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [29]), поскольку при нашем предположении о том, что q � 2, выполняется условие роста Нагумо. Рассмотрим некоторые следствия условий (3.1), (3.2) и (3.3). Г +∞ dt Из условия (3.1) очевидно следует, что Г +∞ dt = +∞ и = +∞ при 0 (tf (t))1/2 t0 (t g+(t))1/(2-q) любом t0 > 0, так что g+(t0) > 0, но (3.1) не вытекает из этих двух условий. Таким образом, условие (3.1) сильнее, чем классическое условие Келлера-Оссермана +∞ r dt (tf (t))1/2 0 = +∞, (3.4) поскольку ограничивает на бесконечности рост и f, и g; например, для функций, растущих как степенные g(t) ,.. tα при t → +∞, условие (3.1) дает α � 1 - q, и при q =1 функция может расти не быстрее логарифмической g(t) ,.. (ln t)α, где α � 1. Г +∞ dt Условие (3.3) сводится к требованию либо Г +∞ dt = +∞, либо = +∞; 0 (tf (t))1/2 0 (f (t))1/q +∞ dt при q = 2 это равносильно следующему условию «субквадратичности»: Г = +∞. Для 0 (f (t))1/2 80 И. КАПУЦЦО ДОЛЬЧЕТТА, Ф. ЛЕОНИ, А. ВИТОЛО функций f со степенным ростом на бесконечности, например, для f (t) ,.. tα при t → +∞, соотношение (3.3) означает, что 0 � α � max{1, q}. Однако это справедливо и для функций вида f (t) ,.. t (ln t)α, где α � 0 при q > 1 и 0 � α � 2 при q � 1. Если lim t→+∞ g(t)= 0, то соотношение r +∞г 1 g-(t) + 1/q l dt = +∞ (3.5) (tf (t))1/2 0 f (t) является достаточным условием того, что все максимальные решения определены на всей полуоси [0, +∞). С другой стороны, если существует глобальное максимальное решение ϕ из C2([0, +∞)), то ⎡ ⎛ t +∞ Г - ⎞1/q ⎤ g (s) ds 1 r ⎢ ⎥ ⎢ ⎜ 0 ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ 1/2 + ⎜ t ⎢ ⎟ ⎥ dt = +∞. (3.6) ⎥ 0 ⎣(tf (t)) ⎝ Г f (s) ds ⎠ ⎦ 0 Условия (3.5) и (3.6) не эквиваленты друг другу (даже при q < 2). Это легко видеть на примере, в котором q = 2, f (t) ,.. t (ln t)α , а g(t) ,.. -1/t при t → +∞. В этом случае условие (3.5) выполняется тогда и только тогда, когда α � 2, в то время как (3.6) справедливо и при α � 3. Мы видим, что в этом случае (3.2) требует выполнения неравенства α � 2. С другой стороны, легко доказать, что, если q < 2 и c1/tβ � g-(t) � c2/tβ , где c1, c2 и β - положительные постоянные, а t достаточно велико, то, независимо от поведения f, условия (3.5) и (3.6) эквиваленты друг другу. В этом случае оба эти условия являются более явными формулировками условия (3.2). Если g ≡ 0, то условие (3.2) сводится к классическому условию Келлера-Оссермана (3.4). Аналогичное условие можно получить и в том случае, когда g > 0 при q → 0. Действительно, при q → 0 условие (3.1) обращается в условие (3.4), примененное к положительной неубывающей нелинейности f (t)+ g(t). Объединяя теорему 3.1 с результатом сравнения, полученным в предложении 2.1, получаем следующий результат о существовании глобальных субрешений уравнения (2.5). Теорема 3.2. Пусть f, g - непрерывные неубывающие функции, причем f положительна и строго возрастает. Тогда справедливы следующие утверждения: 1. если lim t→+∞ g(t) > 0, то глобальное вязкое субрешение u уравнения (2.5), принадлежащее USC(Rn), существует тогда и только тогда, когда выполняется условие (3.1); 2. если lim t→+∞ g(t) = 0, то глобальное вязкое субрешение u уравнения (2.5), принадлежащее USC(Rn), существует тогда и только тогда, когда выполняется условие (3.2); 3. если lim t→+∞ g(t) < 0, то глобальное вязкое субрешение u уравнения (2.5), принадлежащее USC(Rn), существует тогда и только тогда, когда выполняется условие (3.3). Доказательство. 1. Если выполняется условие (3.1), то любое максимальное решение задачи Коши (2.1) при c = n, определенное на всей полуоси [0, +∞) в силу теоремы 3.1(i), дает в силу леммы 2.2 гладкое глобальное (суб)решение уравнения (2.5). Предположим, напротив, что существует глобальное субрешение u уравнения (2.5), принадлежащее USC(Rn), для которого соотношение (3.1) не выполняется. Рассмотрим максимальное решение ϕ(r) задачи Коши (2.1) при c = n и a < u(0). По теореме 3.1(i), функция ϕ(r) разрушается в некоторой положительной точке r = R(a). С другой стороны, по лемме 2.2 и предложению 2.1 функции u и Φ(x) = ϕ(|x|) можно сравнить в шаре BR(a), что приводит к следующему противоречию: u(0) � Φ(0) = a < u(0). Таким же образом утверждения (ii) и (iii) следуют из утверждений (ii) и (iii) теоремы 3.1 (соответственно). ОБОБЩЕННЫЕ УСЛОВИЯ КЕЛЛЕРА-ОССЕРМАНА 81 0,1 В силу максимальности оператора M+ , условия (3.1), (3.2) и (3.3) необходимы для существования глобальных вязких решений неравенства (1.1) при lim t→+∞ g(t) > 0, lim t→+∞ g(t) = 0 и lim t→+∞ g(t) < 0 соответственно. Доказательство теоремы 3.2 применимо и к субрешениям уравнения (2.6), но в этом случае требуется наложить дополнительное условие неотрицательности функции g(t), чтобы иметь соответствие между решениями системы (2.1) и сферически симметричными решениями уравнения (2.6). В итоге получаем следующий результат. Теорема 3.3. Пусть f, g - непрерывные неотрицательные неубывающие функции, причем f положительна и строго возрастает. Тогда глобальное вязкое субрешение u уравнения (2.6), принадлежащее USC(Rn), существует тогда и только тогда, когда выполняется условие (3.1). Технику сравнения, используемую при доказательстве теоремы 3.2, можно применить и для оценки сверху вязких решений неравенства (1.1) в любом открытом подмножестве Ω пространства Rn. Если ∂Ω ⊗= ∅, то при любом x из Rn определим d(x) = dist(x, ∂Ω) - функцию расстояния до границы ∂Ω. Тогда получаем следующий результат, доказательство которого можно найти в [19]. Теорема 3.4. Пусть f, g - непрерывные неубывающие функции, причем f - положительная и строго возрастающая, и lim t→+∞ ∞ t f (t)= + , если lim →+∞ g(t) < +∞. (3.7) Пусть Ω - открытая область с непустой границей в Rn. Пусть q ∈ (0, 2] и u ∈ USC(Ω) - вязкое решение неравенства (1.1) в Ω. Тогда справедливы следующие утверждения: 1. если lim t→+∞ венство g(t) > 0 и условие (3.1) не выполнено, то в каждой точке Ω выполнено нера- u(x) � max{t0, R-1(d(x))}, (3.8) где t0 = inf{t ∈ R : g(t) � 0}, а R : R → (0, +∞) определена соотношением ⎧ ⎪ n ⎪ r 1/(2-q) +∞ dt 2 - ⎪ 2 q ⎪ ⎪ ⎨⎪ t 1/2 a Г f (s) ds a при q < 2, t 1/(2-q) + Г g+(s) ds a R(a)= ⎪ / n +∞ r dt (3.9) ⎪ 2 ⎛ t при q = 2; ⎞1/2 ⎪ t a ⎪ Г ⎪ ⎝ ⎪⎩ a n 2 г g+(τ ) dτ e s f (s) ds⎠ 2. если lim t→+∞ g(t) = 0 и условие (3.2) не выполнено, то в каждой точке Ω выполнено неравенство u(x) � R-1(d(x)), где R : R → (0, +∞) определена соотношением +∞ n1/q r R(a)= √q ⎛ a t t г g-(r) dt 2/q f (r) dr ; (3.10) ⎞1/2 -2 e Г ⎝ s a f (r) f (s) ds⎠ 3. если lim t→+∞ g(t) < 0 и условие (3.3) не выполнено, то в каждой точке Ω выполнено неравенство u(x) � R-1(d(x)), где R : R → (0, +∞) определена соотношением ⎡ ⎛ t +∞ Г g-(s) ds ⎞1/q ⎤ ⎥ n1/q r ⎢ 1 ⎜ a ⎟ R(a)=2 q ⎢ ⎢ ⎢ t ⎥ + ⎜ 1/2 ⎜ t ⎟ ⎥ dt. (3.11) ⎟ ⎥ a ⎣ Г f (s) ds a ⎝ Г f (s) ds ⎠ ⎦ a 82 И. КАПУЦЦО ДОЛЬЧЕТТА, Ф. ЛЕОНИ, А. ВИТОЛО Относительно условия (3.7) отметим, что оно нужно только в случае, когда lim t→+∞ g(t) > 0 и q > 1; во всех остальных случаях оно выполняется в силу нарушения условий (3.1)-(3.3). Оно гарантирует, что амплитуда R(a) максимального интервала существования максимального решения задачи Коши (2.1) удовлетворяет соотношению lim a→+∞ R(a) = 0. Чтобы показать его необходимость, можно использовать тот же контрпример, что и в [40]. Действительно, пусть q = 2, g ≡ 1 и для любого вещественного a функция ϕ, принадлежащая C2([0, R(a))), является максимальным решением задачи ( ϕll + n - 1 ϕl = f (ϕ)+ (ϕl)2, r ϕ(0) = a, ϕl(0) = 0. Тогда сферически симметричная функция Φ(x)= ϕ(|x|) удовлетворяет и задаче r -ΔΦ + f (Φ) + |DΦ|2 =0 в BR(a), Φ= +∞ на ∂BR(a), а значит, функция Ψ(x)= e-Φ(x) удовлетворяет задаче ⎧ 1 ⎨ -ΔΨ = f ln Ψ Ψ в BR(a), ⎩ Ψ > 0 в BR(a), Ψ=0 на ∂BR(a). Тогда из свойств первого собственного значения оператора Лапласа с однородными условиями Дирихле вытекает, что lim t→+∞ f (t) � λ1 (BR(a)) , где λ1 (BR(a)) обозначает первое собственное значение Дирихле оператора -Δ в BR(a). Следовательно, если λ1 - это первое собственное значение λ1 - t оператора Δ в B1, а lim →+∞ f (t) < +∞, то R(a) � lim t→+∞ f (t) ∀ a ∈ R.