О колебаниях сочлененных маятников с полостями, заполненными однородными жидкостями

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ История вопроса. В данной работе изучается проблема малых колебаний сочлененных тел (маятников) с полостями, заполненными полностью или частично одной либо несколькими однородными несжимаемыми жидкостями или системой таких жидкостей. Предполагается, что эта гидромеханическая система находится в поле сил тяжести (т. е. жидкости являются тяжелыми) и, таким образом, поверхностные силы не учитываются. Под системой сочлененных тел подразумевают систему маятников, последовательно присоеди- ненных с помощью сферических шарниров один к другому: первый маятник закреплен в непо- движной точке, второй закреплен в некоторой точке первого маятника и т. д. Первой работой, посвященной задаче о малых колебаниях твердого тела с полостью, заполнен- ной идеальной жидкостью, является работа Н. Е. Жуковского [14]. В ней впервые были введены вспомогательные функции, зависящие только от формы полости, которые сейчас называют по- тенциалами Жуковского. С их помощью удается задачу динамики тела с полостью, целиком за- полненной идеальной жидкостью, заменить на конечномерную задачу о движении эквивалентного твердого тела с видоизмененным тензором инерции. Если жидкость заполняет полость лишь частично, т. е. имеется ее движущаяся свободная по- верхность, то такая гидромеханическая система имеет уже бесконечное число степеней свободы. Эта проблема исследовалась (в связи с развитием космической техники: жидкое топливо в баке Данная работа выполнена при финансовой поддержке первого из соавторов грантом Министерства образования и науки РФ (проект 14.Z50.31.0037). Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 434 О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 435 космической ракеты) весьма интенсивно в пятидесятые-шестидесятые годы прошлого века многи- ми авторами. Среди первых отметим работы Н. Н. Моисеева (1952 г.), затем Г. С. Нариманова, Д. Е. Охоцимского, Б. И. Рабиновича и Л. Н. Сретенского (1956 г.). Начиная с работ Н. Н. Моисеева и совместной работы С. Г. Крейна и Н. Н. Моисеева [22] (1957 г.), при исследовании этих проблем применяются методы функционального анализа и теории линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Это позволяет в простой и весьма прозрачной форме представить и изучить задачу и установить общие свойства ее решений. В шестидесятые годы и позже появилось достаточно много монографий, посвященных задаче динамики тела с полостью, содержащей жидкость: Н. Н. Моисеев, В. В. Румянцев [28], Н. Н. Мои- сеев, А. А. Петров [27], И. М. Рапопорт [32], Г. Н. Микишев, Б. И. Рабинович [25], Ф. Л. Черноусь- ко [35], С. Ф. Фещенко, И. А. Луковский, Б. И. Рабинович, Л. В. Докучаев [33], Г. С. Нариманов, Л. В. Докучаев, И. А. Луковский [30], И. А. Луковский, М. Я. Барняк, А. И. Комаренко [24] и др. Операторные методы исследования задач подобного рода описаны в монографии Н. Д. Ко- пачевского, С. Г. Крейна и Нго Зуй Кана [20], в двухтомной монографии Н. Д. Копачевского, С. Г. Крейна [37, 38], см. также монографии А. Д. Мышкиса, Н. Д. Копачевского и др. [4, 29, 39]. Далее, в работах П. В. Харламова [34] изучались проблемы совместных движений сочленен- ных твердых тел (маятников), соединенных сферическими шарнирами. Затем Ю. Н. Кононов [15] исследовал вопросы устойчивости и стабилизации движения систем связанных твердых тел с по- лостями, содержащими жидкость. Наконец, в последние годы Э. И. Батыр и Н. Д. Копачевский [5] изучали проблему малых движений системы сочлененных твердых тел (гиростатов), соединенных сферическими шарнирами и имеющих полости, целиком заполненные идеальной либо вязкой жид- костью. Отметим еще работу Н. Д. Копачевского [16], где операторными методами изучалась начально- краевая задача о малых движениях маятника с полостью, частично заполненной идеальной жид- костью, статью Н. Д. Копачевского, В. И. Войтицкого и З. З. Ситшаевой [19], где исследованы проблемы малых колебаний сочлененных маятников, частично заполненных идеальной либо вяз- кой жидкостью, а также последние публикации авторов [7-10], предшествовавшие данной работе. О применении операторного подхода. Цель данной работы - реализовать в значитель- ной мере программу исследований (по гранту министерства образования и науки РФ, проект 14.Z50.31.0037, см. [8]) проблемы малых движений и нормальных колебаний сочлененных маят- ников с полостями, полностью или частично заполненными однородной несжимаемой жидкостью или системой таких несмешивающихся жидкостей. Желательно изучить широкий класс гидромеханических задач подобного рода и при этом пред- ложить универсальную схему исследования, основанную на использовании операторного подхода, разработанного для близких задач в [20, 37, 38] (см. также [4, 5, 16, 19, 29, 39]). Универсальность схемы исследования, по мнению авторов, состоит в том, что изучение задачи о малых движе- ниях каждой такой гидромеханической системы можно привести к рассмотрению задачи Коши для системы операторных обыкновенных дифференциальных уравнений в ортогональной сумме H = H1 ⊕ H2 гильбертовых пространств: C1 0 d z1 + A1 0 z1 + g 0 B12 z1 = f1(t) , (1.1) 0 gC2 dt z2 0 0 z2 B21 0 z2 0 z1(0) = z0, z2(0) = z0. 1 2 Здесь H1 - гильбертово пространство, связанное с кинетической энергией системы, а H2 -с по- тенциальной энергией. Далее, z1 - набор динамических переменных, z2 - набор кинематических переменных, описывающих движение системы, а g > 0 - ускорение силы тяжести. Операторные коэффициенты в (1.1) имеют отчетливый энергетический смысл. Так, C1 - оператор кинетической энергии системы, gC2 - оператор потенциальной энергии, A1 - оператор диссипации энергии, а 0 B12 B := g B21 0 (1.2) - оператор обмена между кинетической и потенциальной энергиями. В предлагаемую схему попадают следующие классы исследуемых задач: 436 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ 1◦. Консервативные системы: жидкости в полостях маятников идеальные, а трение в шарнирах не учитывается. 2◦. Диссипативные системы: жидкости в полостях маятников вязкие, трение в шарнирах учиты- вается. 3◦. Частично диссипативные системы: некоторые жидкости идеальные, некоторые вязкие, трение в одних шарнирах учитывается, а в других нет. Преимущества рассмотрения этих классов задач в форме (1.1) состоят в следующем. 1◦. Оператор кинетической энергии C1 ограничен и положительно определен в H1, причем он может быть составлен в виде операторной матрицы блочного типа, где блоки отвечают каж- дому маятнику и каждой жидкости в полости маятника, и эта структура не зависит от того, являются жидкости идеальными либо вязкими. 2◦. Оператор потенциальной энергии gC2 самосопряжен и ограничен в H2, причем в состоянии статической устойчивости системы он положительно определен. 3◦. Для консервативной системы оператор A1 = 0, а для диссипативной он положительно опре- делен и неограничен в H1; для частично диссипативной системы A1 � 0, Ker A1 /= {0}. 4◦. Оператор обмена энергиями B (см. (1.2)) неограничен в H, кососамосопряжен и также не зависит от того, являются жидкости в полостях маятников идеальными либо вязкими. Эти общие свойства операторов уже доказаны на примере задачи о колебаниях двух сочленен- ных маятников с полостями, частично заполненными одной идеальной либо вязкой жидкостью (см. [19]). Поэтому далее рассмотрим такой типичный и наиболее сложный вариант, когда гидро- механическая система состоит из трех подсистем (маятников), одна из которых является консерва- тивной, вторая диссипативной, а третья - частично диссипативной. Именно, считаем, что система состоит из трех сочлененных маятников, полости которых заполнены: для первого - системой из двух идеальных жидкостей, причем трение в первом шарнире учитывается; для второго - систе- мой из трех вязких жидкостей, трение во втором шарнире учитывается; для третьего - одной идеальной жидкостью, целиком заполняющей полость, трение в третьем шарнире не учитывается. Такая гидромеханическая система требует трех разных подходов к ее исследованию. В част- ности, для третьего маятника (консервативная подсистема) - использование потенциалов и из- вестной теоремы Н. Е. Жуковского; для первого маятника (частично диссипативная подсистема) - разбиение поля скорости в каждой подобласти, занятой одной из идеальных жидкостей, на три вза- имно ортогональных поля (в метрике кинетической энергии) и использование метода ортогональ- ного проектирования уравнений движения каждой жидкости на соответствующие подпространства (см. [20, 37, 38]); для второго маятника (диссипативная подсистема) - также использование метода ортогонального проектирования на два подпространства, связанные как с кинетической энергией, так и с конечной скоростью диссипации энергии в каждой вязкой жидкости (см. также [20, 37, 38]). Предварительно в работе эти три разных подхода реализованы на примере задачи о колебаниях одного маятника с указанными выше вариантами заполнения полостей жидкостями (см. пунк- ты 3.1, 3.2, 3.3). Это позволяет далее исследовать общую начально-краевую задачу о колебаниях трех сочлененных маятников, и становится ясно, как проводить рассмотрение проблемы в слу- чае любого количества сочлененных маятников при любых вариантах заполнения их полостей жидкостями. КЛАССИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Физическая постановка задачи. Итак, будем считать, что имеется система из трех физиче- ских маятников Gk, k = 1, 2, 3, которые сочленены друг с другом: маятник G1 имеет неподвижную точку O1, а маятники G2 и G3 - соответственно точки Ok, соединяющие Gk c Gk-1,k = 2, 3. Полагаем, что внутри каждого тела Gk имеется одна полость, заполненная одной либо несколь- кими несмешивающимися жидкостями. При этом в теле G1 полость Ω1 целиком заполнена систе- мой из двух однородных идеальных жидкостей с плотностями ρ11 > ρ12, занимающих в состоянии равновесия (когда система покоится) области Ω11 и Ω12 соответственно, разделенных равновесной поверхностью Γ11. В теле G2 полость Ω2 целиком заполнена системой из трех однородных вязких несжимаемых жидкостей с плотностями ρ21 > ρ22 > ρ23, занимающих в состоянии равновесия области Ω21, Ω22 и Ω23 соответственно и разделенных равновесными границами раздела Γ21 и О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 437 Γ22. Наконец тело G3 имеет полость Ω31, целиком заполненную однородной идеальной несжима- емой жидкостью с плотностью ρ31 > 0. Обозначим твердые границы областей Ωkj через Skj, а их подвижные границы раздела - соответственно через Γkj (t) (см. рис. 1). РИС. 1 Будем считать также, что в точках Ok соединения тел имеются сферические шарниры и пото- му тела могут совершать малые колебания друг относительно друга, причем в каждом шарнире момент силы трения пропорционален разности угловых скоростей примыкающих тел Gk и Gk-1 с коэффициентом пропорциональности αk � 0. В данной задаче, как было указано выше, α1 > 0, α2 > 0, α3 = 0. Однако сначала будем считать, что α3 > 0. Для описания малых движений данной гидромеханической системы около состояния равновесия введем неподвижную систему координат O1x1x2x3 c ортами _e j, j = 1, 2, 3, так, чтобы ускорение силы тяжести _g = -g_e 3. Выберем также в каждой точке Ok подвижные системы координат Okx1 x2 x3 с ортами _e j, j = 1, 2, 3, жестко связанные с телами Gk так, чтобы в состоянии покоя k k k k 1 _e j = _e j 2 = _e j 3 = _e j, j = 1, 2, 3. При этом предполагаем, что в указанном состоянии равновесия центры масс Ck тел Gk, а также точки подвеса маятников Ok находятся на одной оси O1x3, а равновесные границы Γkj раздела жидкостей горизонтальны. Положение подвижной системы координат Okx1 x2 x3 относительно неподвижной системы k k k O1x1x2x3 в процессе малых движений гидромеханической системы будем задавать малым век- тором углового перемещения 3 _δk (t) = '\" δj (t)_e j, k = 1, 2, 3. (2.1) k k j=1 Тогда угловая скорость ω_ k (t) тела Gk будет равна d_δk /dt, а угловое ускорение - величине d2_δk /dt2 = dω_ k/dt. Малые отклонения искомых границ раздела Γkj (t) от равновесных плоскостей 438 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ Γkj вдоль направленных вверх нормалей _nkj к Γkj будем задавать функциями ζkj (t, x), x ∈ Γkj. Кроме того, через _ukj (t, x), pkj (t, x), x ∈ Ωkj, обозначим поля малых относительных скоростей жидкостей в областях Ωkj и отклонения полей давлений в этих областях от равновесных давлений. Для удобства дальнейших записей введем также следующие краткие обозначения: r r G1 Ω10 Ω11 Ω12 r r (..) dm2 := (..)ρ20 3 dΩ02 + '\" r (..)ρ 2j dΩ2j, r r (..) dm3 := (..)ρ30 r dΩ30 + (..) dm1 := r (..)ρ10 dΩ01 + r (..)ρ11 dΩ11 + (..)ρ12 dΩ12, G2 Ω20 j=1Ω2j G3 Ω30 Ω31 (..)ρ31 dΩ31, (2.2) где Ωk0 - область, занятая твердой частью тела Gk и имеющая плотность ρk0 > 0, k = 1, 2, 3. В процессе малых движений будем считать, что на данную систему маятников действует воз- мущенное силовое поле F_ := _g + f_(t, x), где f_(t, x) - малая динамическая добавка к однородному гравитационному полю _g = -g_e 3. Тогда через f_k и f_kj далее будем обозначать поля, действующие 1G в областях Gk и Ωkj соответственно: f_k = f_1 k 1Ω , f_kj = f_1 . kj Математическая постановка начально-краевой задачи. Сформулируем полную поста- новку линеаризованной задачи математической физики о малых движениях системы из трех со- члененных маятников. Она состоит из нескольких групп уравнений, а также кинематических, динамических и начальных условий. Прежде всего, это уравнения изменения кинетических моментов системы тел относительно то- чек Ok подвеса маятников, k = 1, 2, 3. Эти уравнения, как хорошо известно из механики, обладают следующими свойствами (см., например [5, с. 10, 76-83]): левые и правые части последующего уравнения (при переходе от уравнения относительно O1 к уравнению относительно O2, а также для соответствующих уравнений относительно O2 и O3) целиком входят в левые и правые части предыдущего уравнения. Тогда, беря соответствующие разности левых и правых частей, а также последнее уравнение (т. е. относительно O3), получаем следующее преобразованные уравнения моментов количества движения сочлененных маятников (см. вывод в [7]). Первое уравнение (с учетом обозначений (2.2)): r _r1 × dω_ 1 dt × _r1 r dm1 + ρ11 _r1 × ∂_u11 dΩ + ρ r ∂t 11 12 _r1 × ∂_u12 dΩ + ∂t 12 G1 _ r dω_ 1 dω_ 2 Ω11 Ω12 _ r dω_ 1 _ dω_ 2 dω_ 3 + _h1 × G2 dt × h1 + dt × _r2 dm2 + G3 _h1 × dt × h1 + dt × h2 + dt × _r3 dm3+ 3 r + '\"ρ2j _h1 × ∂_u2j ∂t r dΩ2j + ρ3 _h1 × ∂_u3 ∂t dΩ31+ j=1 Ω2j Ω31 r + α1ω_ 1 - α2(ω_ 2 - ω_ 1)+ g(m1l1 + h1m2 + h1m3)P2_δ1 - g(ρ11 - ρ12) Γ11 1 (_e 3 × _r1)ζ11 dΓ11 = Второе уравнение: r 3 r = _r1 × f_1 dm1 + '\" G1 k=2Gk _h1 × f_k dmk =: M_ 1(t). (2.3) r _r2 × G2 dω_ 1 _ dt × h1 + dω_ 2 dt × _r2 dm2 + 3 '\" j=1 ρ2j r Ω2j _r2 × ∂_u2j dΩ + ∂t 2j r + _h2 × dω_ 1 _ dt × h1 + 2 _ dω_ dt × h2 + dω_ 3 dt × _r3 r dm3 + ρ31 _h2 × ∂_u3 dΩ + ∂t 31 G3 Ω31 О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 439 2 r + α2(ω_ 2 - ω_ 1) - α3(ω_ 3 - ω_ 2)+ g(m2l2 + h2m3)P2_δ2 - g'\"(ρ2j - ρ2,j+1) 2 (_e 3 × _r2)ζ2j dΓ2j = Третье уравнение: j=1 r r = _r2 × f_2 dm2 + G2 G3 Γ2j _h2 × f_3 dm3 =: M_ 2(t), (2.4) r _r3 × dω_ 1 _ dt × h1 + 2 _ dω_ dt × h2 + dω_ 3 dt × _r3 r dm3 + ρ31 _r3 × ∂_u3 dΩ + ∂t 31 G3 Ω31 r + α3(ω_ 3 - ω_ 2)+ gm3l3P2_δ3 = G3 _r3 × f_3 dm3 =: M_ 3(t). (2.5) В уравнениях (2.3)-(2.5) введены следующие обозначения. Через mk > 0 обозначены массы маятников, через _rk - радиус-вектор произвольной точки тела Gk, исходящий из точки Ok, _hk := 2 O---O--→, h := |h |, P δ = ), δj _e j - проектор на плоскость O x1 x2 , l = |-O--C→ - расстояние от k k+1 k _ k 2_k k k j=1 k k k k k k | точки подвеса маятника Gk до его центра масс Ck (в состоянии покоя). Вторая группа уравнений в формулируемой задаче - это линеаризованные уравнения движения и уравнения неразрывности каждой жидкости в полостях маятников, записанные в подвижной системе координат, жестко связанной с соответствующим маятником (см. [5, с. 12]). Для первого маятника имеем уравнения Эйлера (идеальные жидкости) в областях Ω11 и Ω12: ∂_u1j + dω_ 1 1 1j ∂t dt × _r1 = -ρ- ∇p1j + f_1j , div _u1j = 0 (в Ω1j ), j = 1, 2. (2.6) ∂_u2j + dω_ 1 _ dω_ 2 ∂t dt × h 1 + dt Для второго маятника имеем линеаризованные уравнения Навье-Стокса (вязкие жидкости) в областях Ω21, Ω22 и Ω23 (см., например, [20, с. 124]): -1 _ × _r2 = -ρ2j ∇p2j + ν2j Δ_u2j + f2j , div _u2j = 0 (в Ω2j ), j = 1, 2, 3, где ν2j := μ2j /ρ2j > 0 - кинематические вязкости жидкостей. Для третьего маятника имеем одно линеаризованное уравнение Эйлера: (2.7) ∂_u31 + dω_ 1 _ dω_ 2 _ dω_ 3 1 ∂t dt × h1 + 31 dt × h2 + dt × _r3 = -ρ- ∇p31 + f_31, div _u31 = 0 (в Ω31). (2.8) Выпишем теперь граничные условия на твердых стенках полостей, занятых жидкостями. Для идеальных жидкостей это условия непротекания, а для вязких - условия прилипания. Имеем _u11 · _n = 0 (на S11) , _u12 · _n = 0 (на S12); (2.9) _u2j = _0 (на S2j ) , j = 1, 2, 3; (2.10) _u31 · _n31 = 0 (на S31) , (2.11) где _n - единичный вектор внешней нормали к твердой стенке. Следующая группа условий - это кинематические и динамические связи на границах раздела жидкостей в полостях маятников. Кинематические условия имеют вид: ∂ζj1 = _u ∂t j1 _nj1 = _u12 _nj1 (на Γj1 ) , j = 1, 2, (2.12) ∂ζ22 = _u ∂t 22 · _n22 = _u23 · _n22 (на Γ22 ) . (2.13) Динамические условия на равновесных границах раздела выражают тот факт, что разность напряжений для соприкасающихся жидкостей равна гравитационному скачку давлений. Имеем 1 -p11 + p12 = -(ρ11 - ρ12)g(ζ11 + (P2_δ1 × _r1) · _e 3) (на Γ11); (2.14) μ21τj3(_u21) = μ22τj3(_u22) (на Γ21) , μ22τj3(_u22) = μ23τj3(_u23) (на Γ22) , j = 1, 2; (2.15) 440 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ г -p21 + 2μ21 г -p22 + 2μ22 ∂u 3 l 21 1 ∂x3 ∂u 3 l 22 2 ∂x3 г - -p22 + 2μ22 г - -p23 + 2μ23 ∂u 3 l 22 1 ∂x3 ∂u 3 l 23 2 ∂x3 2 = -(ρ21 - ρ22)g(ζ21 + (P2_δ2 × _r2) · _e 3) (на Γ21) , 2 = -(ρ22 - ρ23)g(ζ22 + (P2_δ2 × _r2) · _e 3) (на Γ22) . (2.16) Здесь τjk (_u2l) := ∂uk 2l + 2 ∂xj ∂uj 2l , l = 1, 2, j, k = 1, 2, 3, (2.17) 2 ∂xk - тензор деформаций, отвечающий полю _u2l(t, x). В процессе колебаний однородных жидкостей объем каждой жидкости сохраняется. Этот факт в рассматриваемой линейной задаче приводит к соотношениям r ζ11 dΓ11 = 0, Γ1 r Γ2j ζ2j dΓ2j = 0, j = 1, 2. (2.18) Для полной постановки формулируемой начально-краевой задачи необходимо задать еще меха- нические условия связи d P2_δk = P2ω_ k, d _δ 3 = ω_ 3, k = 1, 2, 3, (2.19) dt dt k k а также начальные условия для искомых функций: _ukj (0, x) = _u 0 (x), x ∈ Ωkj, ζkj (0, x) = ζ0 (x), x ∈ Γkj, ω_ k (0) = ω_ 0, _δk (0) = _δ 0. (2.20) kj kj k k Таким образом, задача о малых движениях трех сочлененных маятников с выбранным вариан- том заполнения полостей жидкостями состоит в нахождении искомых функций, удовлетворяющих уравнениям движения (2.3)-(2.5) системы маятников, уравнениям (2.6)-(2.8) движения каждой жидкости в полостях маятников, уравнениям (2.9)-(2.11) непротекания и прилипания жидкостей на твердых стенках, кинематическим условиям (2.12)-(2.13) на границах раздела жидких сред, а также динамическим условиям (2.14)-(2.16) на этих границах. Наконец, должны выполняться условия (2.18) сохранения объемов жидкостей, механические условия связи (2.19) для угловых скоростей и угловых перемещений маятников, а также начальные условия (2.20). Закон баланса полной энергии данной гидромеханической системы получен в работе [7]. При- ведем здесь лишь его формулировку и физический смысл: 1 d r r ρ10 2 r |ω_ 1 × _r1|2 dΩ10 + '\" ρ1j |ω_ 1 × _r1 + _u1j |2 dΩ1j + 2 dt r Ω10 j=1 3 Ω1j r +ρ20 Ω20 r |ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _r2|2 dΩ20 + '\" ρ1j j=1 r Ω2j |ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _r2 + _u2j |2 dΩ2j + +ρ30 Ω30 |ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _h2 + ω_ 3 × _r3|2 dΩ30 + ρ31 Ω31 |ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _h2 + ω_ 3 × _r3 + _u31|2 dΩ31 + g d r r + (ρ11 - ρ12) r|ζ11 + θ11((P2_δ1 × _r1) · _e 3)|2 - |θ11((P2_δ1 × _r1) · _e 3)|2 dΓ11+ 2 dt 2 1 1 Γ11 r r + '\"(ρ2j - ρ2,j+1) |ζ2j + θ2j ((P2_δ2 × _r2) · _e 3)|2 - |θ2j ((P2_δ2 × _r2) · _e 3)|2 dΓ2j + j=1 2 2 Γ2j + (m1l1 + (m2 + m3)h1)|P2_δ1|2 + (m2l2 + m3h2)|P2_δ2|2 + m3l3|P2_δ3|2 = О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 441 r 3 = - '\" μ2j E2j (_u2j , _u2j )+ α1|ω_ 1|2 + α2|ω_ 2 - ω_ 1|2 + α3|ω_ 3 - ω_ 2|2 + j=1 2 r + '\" ρ1j 2 r f_1j · _u1j dΩ1j + '\" ρ2j r f_2j · _u2j dΩ2j + ρ31 3 f_31 · _u31 dΩ31 + '\" M_ j · ω_ j. (2.21) j=1 Ω1j j=1 Ω2j Ω31 j=1 Первое выражение, стоящее слева в фигурных скобках, есть удвоенная кинетическая энергия гидромеханической системы. Соответственно второе выражение в фигурных скобках - удвоенная потенциальная энергия, отвечающая перемещениям системы на углы _δ1, _δ2, _δ3 и одновременном смещении границ раздела жидкостей, отвечающих отклонениям ζ11, ζ21 и ζ22. При этом выражение ω_ 1 ×_r1 - абсолютная скорость частиц твердой части Ω10 первого маятника, ω_ 1 ×_r1 +_u1j - абсолют- ные скорости жидкости в областях Ω1j, j = 1, 2 (первый маятник), а выражения ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _r2 и ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _r2 + _u2j , а также ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _h2 + ω_ 3 × _r3 и ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _h2 + ω_ 3 × _r3 + _u31 - аналогичные выражения для абсолютной скорости частиц из различных слоев жидкости во втором и третьем маятниках. Далее, выражение для потенциальной энергии системы (вторая фигурная скобка) состоит из двух групп слагаемых. Первая группа, содержащая интегралы, отвечает изменению потенциальной энергии при изменении границ раздела между жидкостями при фиксированных углах поворота, а вторая группа - изменению потенциальной энергии при наличии углов поворота _δ1, _δ2 и _δ3 и отсутствии возмущений границ раздела. Через θkj здесь и далее обозначен ортопроектор из L2(Γkj ) на L2,Γkj := L2(Γkj ) ⊕ {1Γkj }. Наконец, справа в (2.21) стоит мощность внутренних и внешних сил, состоящая из мощности сил вязкости (второй маятник) и сил трения в шарнирах, а также мощности малых внешних сил, наложенных на гравитационное поле. Проинтегрировав тождество (2.21) по t в пределах от 0 до T и воспользовавшись начальными условиями (2.20), получим закон баланса полной энергии в интегральной форме, который означает, что изменение полной энергии системы за время T равно работе внутренних и внешних сил, проведенных над системой за этот промежуток. О ТРЕХ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ГИДРОМЕХАНИКИ Как уже упоминалось в пункте 1.2, исследование задачи (2.3)-(2.20) требует использования трех разных операторных подходов к каждому маятнику системы. Поэтому целесообразно предва- рительно рассмотреть три задачи о колебаниях одного маятника с различными вариантами запол- нения полостей. Колебания маятника с полостью, целиком заполненной идеальной жидкостью. Эта задача известна как проблема Н. Е. Жуковского (см. [14]). Здесь она будет рассмотрена на базе того операторного подхода, который будет использован далее в работе применительно к другим вспомогательным задачам и общей исследуемой проблеме (2.3)-(2.20). Итак, рассмотрим пространственный маятник G1, закрепленный в точке O1 с помощью сфе- рического шарнира. Маятник имеет полость Ω1, целиком заполненную идеальной несжимаемой жидкостью плотности ρ1 > 0 с границей S1 = ∂Ω1. Считаем также, что твердое тело маятника Ω0 имеет плотность ρ0 > 0. Введем, как и выше, неподвижную декартову систему координат O1x1x2x3, а также подвижную систему O1x1x2x3, жестко связанную с телом G1. При этом считаем, что в состоянии покоя на 1 1 1 1 систему действует сила тяжести _g = -g_e 3, а _e k = _e k, k = 1, 2, 3. Задача о малых движениях маятника с полостью, содержащей жидкость, отвечающая внешнему полю F_ = -g_e 3 + f_ с малой добавкой f_, формулируется следующим образом. Уравнение моментов количества движения маятника: r ρ0 _r0 × Ω0 dω_ 1 dt × _r0 r dΩ0 + ρ1 Ω1 _r1 × dω_ 1 dt × _r1 + ∂_u1 ∂t dΩ1 + αω_ 1 + gm1l1P2_δ = 442 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ r = ρ0 Ω0 r _r0 × f_0\ r dΩ0 + ρ1 Ω1 r _r1 × f_1\ dΩ1 =: M_ 1(t), 1Ω f_k := f_1 k , k = 0, 1. (3.1) Уравнение движения жидкости в полости: dω_ 1 ∂_u1 1 ∂t 1 dt × _r1 + = -ρ- ∇p1 + f_1, div _u1 = 0 (в Ω1) . (3.2) Кинематическое условие непротекания: _u1 · _n1 = 0 (на Ω1) . (3.3) Также имеем очевидную связь d_δ1 = ω_ dt d 1, эквивалентную тому, что d P2_δ1 = P2ω_ 1, _δ 3 = ω_ 3, (3.4) dt и начальные условия _u1(0, x) = _u0(x), x ∈ Ω1, dt 1 1 ω_ 1(0) = ω_ 0, _δ1(0) = _δ0. (3.5) 1 1 1 Здесь, как и выше, α1 > 0 - коэффициент трения в шарнире O1, _u1 - поле относительной скорости в Ω1, p1 - отклонение давления от равновесного, ω_ 1 и _δ1 - угловая скорость и угловое перемещение маятника, m1 - масса маятника с жидкостью, l1 - расстояние от O1 до центра масс маятника. Отметим, что в процессе движения центр масс маятника в системе O1x1x2x3 непо- 1 1 1 движен и потому такую систему называют гиростатом. Заметим также, что при α1 > 0 данная гидромеханическая система частично диссипативна, а при α1 = 0 - консервативна. Для классических решений задачи (3.1)-(3.5) легко вывести закон баланса полной энергии: ⎧⎡ d ⎨ ρ r 0 ⎩ dt ⎣ Ω0 |ω_ 1 × _r0 |2 dΩ0 r + ρ1 Ω1 |ω_ 1 × _r1 + _u1 ⎤ |2 dΩ1⎦ + gm1l1 |P2_δ1 r ⎫ |2⎬ = ⎭ = -α1|ω_ 1|2 + ρ1 Ω1 f_1 · _u1 dΩ1 + M_ 1(t) · ω_ 1. (3.6) Опираясь на это тождество, будем при исследовании задачи (3.1)-(3.5) методами функциональ- ного анализа считать, что поле скоростей идеальной жидкости в полости Ω1 является при любом t � 0 элементом комплексного гильбертова пространства L_ 2(Ω1) со скалярным произведением r (_u1, _v1)L_ 2(Ω1) := Ω _u1 · _v1 dΩ1 (3.7) и соответствующей нормой. Более того, учитывая свойство соленоидальности и условие непроте- кания (см. (3.2), (3.3)), следует считать поле _u1 элементом подпространства _ J_0(Ω1) := Ju1 ∈ L_ 2(Ω1) : div _u1 = 0 (в Ω1), _u1 · _n1 = 0 (на S1) (3.8) (операции div _u1 и _u1 · _n1 понимаются в виде обобщенных функций, см., например, [20, с. 100- 102]). Как известно, ортогональным дополнением к потенциальных полей: J_0(Ω1) в L_ 2(Ω1) является подпространство L_ 2(Ω1) = J_0(Ω1) ⊕ G_ (Ω1), (3.9) r G_ (Ω1) := {_v1 = ∇p1 ∈ L_ 2(Ω1) : S1 p1 dS1 = 0�. (3.10) Опираясь на разложение (3.9), введем ортопроекторы P0 : L_ 2(Ω1) → J_0(Ω1), PG : L_ 2(Ω1) → G_ (Ω1), (3.11) О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 443 и подействуем ими на обе части уравнения движения жидкости (3.2). Будем иметь соотношения d_u1 + P dω_ 1 = P f , (3.12) dt 0 dt × _r1 0 _1 dω_ 1 PG dt × _r1 1 = -ρ-1∇p1 + PGf_1, (3.13) где _u1(t) и ∇p1(t) считаются функциями переменной t со значениями в L_ 2(Ω1) и потому произ- водные ∂/∂t заменены на d/dt. Соотношение (3.13) определяет поле ∇p1 по заданной функции f_1(t) и найденной ω_ 1(t), причем это потенциальное поле не входит в уравнения (3.1) и (3.4), где искомыми являются функции ω_ 1(t) и _δ1(t), а d_u1/dt через них выражается посредством соотношения (3.12). В итоге исходная задача (3.1)-(3.5) заменяется на задачу Коши в пространстве C3 ⊕ C2 = C5 относительно ω_ 1(t) и P2_δ1(t): dω_ 1 rJ_1 + J_пр\ + α1ω_ 1 + gm1l1P2_δ1 = M_ 1,пр(t), dt d 1 ω_ 1(0) = ω_ 0, 0 (3.14) gm1l1 dt P2_δ1 - gm1l1P2ω_ 1 = _0, P2_δ1(0) = P2_δ1 , а также тривиальную связь (см. (3.5)) d _δ 3 3 0 dt 1 = ω_ 1 , _δ1(0) = _δ1 . (3.15) В уравнениях (3.14) введены обозначения r r J_1ω_ 1 := ρ0 Ω0 _r0 × (ω_ 1 × _r0) dΩ0, J_прω_ 1 := ρ1 Ω1 _r1 × PG (ω_ 1 × _r1) dΩ1, (3.16) где J_1 - момент инерции твердой части маятника, J_пр - приведенный момент инерции, учитываю- щий движение жидкости в полости, а r M_ 1,пр(t) := ρ1 Ω1 r _r1 × PGf_1 dΩ1 + ρ0 Ω0 _r0 × f_0 dΩ0 (3.17) - приведенный момент малых внешних сил, действующих на систему. В частности, если силы f_1 потенциальны, то M_ 1,пр(t) ≡ M_ 1(t) (см. (3.1)). Таким образом, исходная задача о движении маятника с полостью, целиком заполненной од- нородной идеальной жидкостью, равносильна конечномерной задаче (3.14), (3.16), (3.17) в про- странстве C5, а также тривиальной проблеме (3.15). Этот общий вывод получил Н. Е. Жуковский (см. [14]). Продолжим далее рассмотрение задачи (3.1)-(3.5). Прежде всего, система уравнений (3.14) имеет вид (1.1) и отвечает случаю, когда H1 = C3, H2 = C2, 21 C1 := J_т + J_пр, C2 := m1l1, A1 := α1, B12 = -B∗ = m1l1P2. (3.18) При этом C1 - ограниченный и положительно определенный оператор кинетической энергии системы, C2 (оператор потенциальной энергии) также ограничен и положительно определен, A1 (оператор диссипации) ограничен и положительно определен, B12 и B21 - ограниченные кососа- моспряженные операторы. Далее для всех исследуемых проблем о колебаниях маятников либо системы маятников наряду с соответствующими начально-краевыми задачами будем исследовать также задачи о нормаль- ных (собственных) колебаниях. Для задачи (3.14), (3.15) - это решения однородной проблемы, зависящие от времени по закону exp (-λt), где λ - комплексный декремент затухания колебаний: ω_ 1(t) = ω_ 1exp (-λt), _δ1(t) = _δ1exp (-λt), ω_ 1, _δ1 ∈ C3. (3.19) 444 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ Для амплитудных элементов ω_ 1 и _δ1 возникает спектральная задача r _ _ \ -λ Jт + Jпр ω_ 1 + α1ω_ 1 + gm1l1P2_δ1 = _0, (3.20) -λP2_δ1 + P2ω_ 1 = _0, -λδ 3 = ω 3. 1 1 1 Отсюда следует, что при λ = 0 будет ω1 = 0, P2_δ1 = 0, ∀δ 3 ∈ C, что соответствует произволь- ному повороту маятника вокруг вертикальной оси и новому состоянию покоя системы. Далее, при λ /= 0 приходим к соотношению -λ r(J_т + J_пр)ω_ 1\ · ω_ 1 + α1|ω_ 1|2 + gm1l2λ-1|P2ω_ 1|2 = 0, α1 > 0, (3.21) откуда получаем, что Re λ > 0, т. е. все собственные значения λ расположены в правой полуплос- кости и нормальные режимы движений системы - апериодически затухающие. При отсутствии трения в шарнире собственные значения расположены на мнимой оси, т. е. собственные режимы колебаний периодические. Рассмотрим несколько подробнее случай консервативной системы, когда трение в шарнире от- сутствует, т. е. α1 = 0. В этом варианте получаем, что числа -λ2 =: μ составляют спектр вариа- ционного отношения μ 1→ gm1l1|P2ω_ 1|2/ r(J_т + J_пр)ω_ 1\ · ω_ 1 > 0, P2ω_ 1 /= 0, (3.22) т. е. собственные значения λ задачи (3.20) чисто мнимые и образуют три пары комплексно сопря- женных чисел. Для вычисления знаменателя в (3.22) можно использовать так называемые потенциа- лы Н. Е. Жуковского (см. [14]), зависящие лишь от формы полости Ω1. Именно, так как div (ω_ 1 × _r1) = 0, то поле ω_ 1 × _r1 принадлежит подпространству J_(Ω1) := Jv_1 ∈ L_ 2(Ω1) : div _v1 = 0 ⊃ J_0(Ω1), (3.23) причем имеет место следующее ортогональное разложение Г. Вейля (см., например, [20, с. 103]): L_ 2(Ω1) = G_ 0(Ω1) ⊕ G_ h(Ω1) ⊕ J_0(Ω1) = G_ 0(Ω1) ⊕ J_(Ω1), (3.24) где G_ h(Ω1) := {w_ 1 = ∇ψ : Δψ = 0 (в Ω1)} (3.25) - подпространство потенциально-гармонических полей, а G_ 0(Ω1) := {_v1 = ∇ϕ : ϕ = 0 (на S1)}⊂ G_ (Ω1). (3.26) В силу определения приведенного тензора инерции J_пр (см. (3.16)) имеем (I - P0)(ω_ 1 × _r1) = PG (ω_ 1 × _r1) = ∇ψ ∈ G_ h(Ω1), (3.27) Δψ = 0 (в Ω1), ∂ψ ∂n1 = (ω_ 1 × _r1) · _n1 (на S1), r ψ dS1 = 0, (3.28) S1 так как в подпространстве J_0(Ω1), куда действует ортопроектор P0, нормальные компоненты поля равны нулю на границе S1. Нетрудно видеть, что решение задачи (3.28) можно представить в виде 3 1 ψ = '\" ω3ψk, (3.29) k=1 где функции ψk (потенциалы Н. Е. Жуковского) являются решениями задач ∂ψk k r Δψk = 0 (в Ω1), ∂n = (_e1 × _r1) · _n1 (на S1), ψj dS1 = 0, k = 1, 3, (3.30) S1 и зависят лишь от формы полости Ω1. О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 445 Тогда квадратичную форму (J_прω_ 1) · ω_ 1 в (3.22) можно выразить через потенциалы Жуковского, и возникает вариационное отношение r μ 1→ gm1l1|P2ω_ 1|2/{ρ0 r |ω_ 1 × _r0|2 dΩ0 + ρ1 3 | ωk ∇ψk |2 dΩ1�, (3.31) '\" 1 Ω0 Ω1 k=1 j из которого можно вычислить собственные значения μj = -λ2,j = 1, 2, 3. Приведенные рассмотрения показывают, что маятник с полостью, полностью заполненной од- нородной идеальной жидкостью, движется в произвольном малом поле внешних сил, наложенных на гравитационное поле _g = -g_e 3, так же, как маятник в виде твердого тела с видоизмененными характеристиками и в видоизмененном поле малых внешних сил. В частности, если малое по- ле внешних сил потенциально, то изменяются лишь характеристики тела посредством введения потенциалов Жуковского. О колебаниях маятника с полостью, заполненной двумя несмешивающимися идеаль- ными жидкостями. Эта вспомогательная задача имеет и самостоятельный интерес и является неисследованной до настоящего времени. Случай одной жидкости, частично заполняющей полость маятника, изучены в ряде работ (см. в частности [16], [3, п. 1.3]). К постановке задачи. Рассмотрим, как и в пункте 3.1, маятник G1, закрепленный в точке O1 и имеющий полость Ω1, которая теперь заполнена не одной, а двумя несжимаемыми однородными жидкостями. Считаем, что в состоянии покоя граница раздела Γ1 между областью Ω11 с плотностью жидкости ρ1 и областью Ω12 с плотностью ρ2 горизонтальна и ρ1 > ρ2. Приведем постановку задачи о малых движениях такой гидромеханической системы. Уравнение движения маятника с полостью, заполненной двумя жидкостями, имеет вид r ρ0 _r0 × dω_ 1 dt × _r0 r dΩ0 + ρ1 _r11 × dω_ 1 dt × _r11 + ∂_u11 ∂t dΩ11+ Ω0 r + ρ2 _r12 × dω_ 1 dt × _r12 + Ω11 ∂_u12 ∂t r dΩ12 + α1ω_ 1 + gm1l1P2_δ1 - g (ρ1 - ρ2) 1 (_e 3 × _r11)ζ1 dΓ1 = Ω12 r = ρ0 Ω0 2 (_r0 × f_0) dΩ0 + '\" ρk k=1 r Ω1k Γ1 (_r1k × f_1k ) dΩ1k =: M_ 1(t), (3.32) 3 Здесь приняты те же обозначения, что и в пункте 3.1, m1l1 = m0l0 + m11l11 + m12l12, f_0 := f_ |Ω0 , f_1k := f_ |Ω1k . Кроме того, неизвестной функцией является отклонение ζ1 вдоль нормали _n1 = _e1 подвижной границы раздела Γ1(t) от равновесной поверхности Γ1. Уравнения движения жидкостей в областях Ω1k, k = 1, 2, а также условия непротекания на твердых стенках S1k имеют вид ∂_u1k + dω_ 1 1 ∂t dt × _r1k = -ρk - ∇p1k + f_1k , div _u1k = 0 (в Ωk ) , (3.33) _u1k · _n1k = 0 (на S1k ) , k = 1, 2. (3.34) Кинематические условия на границе разделе таковы: ∂ζ1 = _u ∂t 11 · _n11 = _u12 · _n11 = 0 (на Γ1) , _n11 1 = _e 3, (3.35) а условие сохранения объема каждой из жидкостей и механическое кинематическое условие имеет вид r ζ1 dΓ1 = 0, Γ1 d_δ1 = ω_ 1. (3.36) dt Далее, динамическое условие на равновесной поверхности выглядит следующим образом: 1 -p11 + p12 = -g(ρ1 - ρ2)(ζ1 + θ1(P2_δ1 × _r11) · _e 3) (на Γ1) , (3.37) 446 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ где θ1 : L2(Γ1) → L2,Γ1 - ортопроектор на подпространство функций из L2(Γ1), ортогональных к функции, тождественно равной единице на Γ1 (см. первое условие (3.36)). Наконец, для формулируемой начально-краевой задачи должны выполняться также начальные условия: 1k _u1k (0, x) = _u 0 (x), x ∈ Ω1k, k = 1, 2; (3.38) ζ1(0, x) = ζ0(x), x ∈ Γ1, ω_ 1(0) = ω_ 0, _δ1(0) = _δ 0. 1 1 1 Закон баланса полной энергии. Будем считать, что задача (3.32)-(3.38) имеет классиче- ское решение, и выведем закон баланса полной энергии для этой проблемы, используя обычные методы векторного анализа и классические формулы Грина для смешанных краевых задач. В диф- ференциальной форме этот закон баланса имеет вид d Jρ r dt 0 Ω0 1 |ω_ 1 × _r0|2 d J dΩ0 + r 2 '\" k=1 r ρk Ω1k |ω_ 1 × _r1k + _u1k |2 dΩ1k + r + g 2 dt (ρ1 - ρ2) Γ1 1 |ζ1 + θ1((P2_δ1 × _r11) · _e 3)|2 dΓ1 - Γ1 1 |θ1(P2_δ1 × _r11) · _e 3|2 dΓ1 + 2 + m1l1|P2_δ1|2 = -α1|ω_ 1|2 + M_ 1(t) · ω_ 1 + '\" ρk k=1 r Ω1k f_1k · _u1k dΩ1k. (3.39) Здесь, как и выше в формулах (2.21) и (3.6), слева в первых фигурных скобках стоит удвоенная кинетическая энергия системы, во вторых скобках - потенциальная энергия, состоящая из откло- нения потенциальной энергии за счет возмущения границы раздела жидкостей и за счет поворота системы на некоторый угол. Справа в (3.39) стоит мощность сил диссипации (трение в шарнирах) и мощность малых внешних сил, действующих на гидромеханическую систему. Выбор функциональных подпространств. Будем считать, что область Ω1, заполненная двумя жидкостями, имеет липшицеву границу, в частности, ее составляющие подобласти Ω11 и Ω12 имеет липшицевы границы, разбитые на липшицевы куски S11 и Γ1, а также S12 и Γ1 соответственно (см. рис. 1). Для такого класса областей справедливы так называемые обобщенные формулы Грина для оператора Лапласа, которые далее будут использоваться (см. [9]). }k=1 Формула (3.39) показывает, что поля скоростей _u11 и _u12 должны иметь конечную кинетиче- скую энергию. Поэтому набор таких полей _u1 = {_u1k 2 следует считать элементом гильбертова пространства L_ 2(Ω1) = L_ 2(Ω11) ⊕ L_ 2(Ω12), (3.40) в котором скалярное произведение введено по закону 2 (_u1, _v1)L_ 2(Ω1) := '\" k=1 r ρk _u1k · _v1k dΩ1k. (3.41) Ω1k Из разложения (3.9) и из (3.8), (3.10) следует, что L_ 2(Ω1) допускает ортогональное разложение в виде L_ 2(Ω1) = J_0(Ω1) ⊕ G_ (Ω1), (3.42) J_0(Ω1) := J_0(Ω11) ⊕ J_0(Ω12), G_ (Ω1) := G_ (Ω11) ⊕ G_ (Ω12). Элементы из J_0(Ω1) имеют нормальные компоненты поля, равные нулю на всей границе, т. е. }k=1 на ∂Ω11 и ∂Ω12, в частности, на Γ1. Однако кинематическое условие (3.35) на границе раздела Γ1 показывает, что для набора полей _u1 = {_u1k 2 эти нормальные компоненты должны лишь совпадать. В связи с этим введем пространство потенциальных элементов G_ h,S1 (Ω1) := k J {ρ-1∇Φk � 2 k=1 : ΔΦk = 0 (в Ωk ) , ∂Φk ∂n = 0 (на S1k ) , k = 1, 2, О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 447 ρ-1 ∂Φ1 = ρ-1 ∂Φ2 (на Γ ) , _n := _e 3 , (3.43) 1 ∂n1 2 ∂n1 1 1 1 которое следует добавить для полного описания полей скоростей в исследуемой проблеме. Предварительно отметим, что между потенциальными полями _u1k = ρ-1∇Φk ∈ G_ h,S (Ω1k ) и гармоническими потенциалами Φ1k из подпространства k 1k H1 h,Γ1 (Ω1k ) := J Φ1k ∈ H (Ω1k ) : ΔΦ1k = 0 (в Ωk ) , ∂Φ1k = 0 (на S ) , r ∂n 1k Γ1 = 0 Φ1k dΓ1 (3.44) имеет место взаимно однозначное соответствие и даже изометрия, если lΦ1k lH1 2 h,Γ1 (Ω1k ) r := Ω1k k ρ-2|∇Φ1k |2 dΩ1k. (3.45) Γ Отметим еще, что следы функций из H1 1k (Ω1k ) на границе ∂Ω1k принадлежат пространству H1/2(∂Ω1k ), а производные по нормали сопряженному пространству H-1/2(∂Ω1k ) (см. [1, 17, 18, 23, 36]). Что касается следов таких функций и их производных по нормали на липшицевом куске Γ1, то здесь положение следующее (см. [17, 18]). Будем говорить, что функция ϕ(x) (x ∈ Γ1) принадле- жит классу H� 1/2(Γ1), если она продолжима нулем на всю границу (в данном случае на всю ∂Ω1k ) ∂Ω в классе H1/2 1k 1 . При этом (H� 1/2(Γ1))∗ = H-1/2(Γ1). Аналогично будем говорить, что (∂ϕ/∂n)Γ принадлежит классу H� -1/2(Γ1), если она продолжима нулем на всю ∂Ω1k в классе H-1/2(∂Ω1k ). Здесь также (H1/2(Γ1))∗ = H� -1/2(Γ1). Подробно эти факты и соответствующие обобщенные фор- мулы Грина изложены в [18]. Γ1 В частности, для функций из H1 (Ω1k ) c нормой Дирихле (см. (3.45)) имеют место следующие формулы Грина: r ∇Ψ1k · ∇Φ1k dΩ1k = •Ψ1k, -ΔΦ1k )L2(Ω1k ) + •γS1k Ψ1k, ∂Φ1k ∂n )L2(S1k )- Ω1k - (-1)k •γΓ Ψ1k, ∂Φ1k )L (Γ ), k = 1, 2, (3.46) 1 ∂n1 2 1 где γS1k Ψ1k - след функции Ψ1k на S1k, γΓ1 Ψ1k - след Ψ1k на Γ1, а _n - внешняя нормаль. При этом косыми скобками обозначены значения функционалов, стоящих на втором месте в соот- ветствующих полуторалинейных формах, на элементах, стоящих на первом месте. В частно- сти, для гармонических функций Φ1k с однородным условием Неймана на S1k имеется два ва- 1/2 1/2 ∂Φ1k 1 -1/2 1/2 ∗ рианта: либо γΓ1 Ψ1k ∈ H�Γ1 = H� (Γ1) ∩ L2(Γ1), и тогда ∂n1 1Γ1 ∈ HΓ1 = (H�Γ1 ) , либо 1/2 1/2 ∂Φ1k 1 -1/2 1/2 ∗ γΓ1 Ψ1k ∈ HΓ1 = H (Γ1) ∩ L2(Γ1), и тогда ∂n1 1Γ1 ∈ H�Γ1 = (HΓ1 ) . Лемма 3.1. Ортогональным дополнением к подпространству G_ h,S1 (Ω1) в подпространстве G_ (Ω1) (см. (3.42)) является подпространство J { 1 2 k G_ 0,Γ1 (Ω1) := ρ- ∇ψk �k=1 ∈ L_ 2(Ω1) : ψ1 - ψ2 = 0 (на Γ1) . (3.47) k Доказательство. Заметим сначала, что G_ (Ω1) состоит из наборов {ρ-1∇ψk � 2 k=1 потенциальных полей из пространства L_ 2(Ω1). 2 2 Пусть теперь {ρ-1∇ϕk � произвольный элемент из G_ h,S (Ω1), а {ρ-1∇ψk � элемент из k k=1 2 1 k k=1 k G_ (Ω1), ортогональный к {ρ-1∇ϕk � k=1 . Тогда r{ρ-1 2 -1 2 \ r = ρ ρ-1 -1 r -1 -1 k ∇ψk �k=1 , {ρk ∇ϕk �k=1 L_ 2(Ω1) 1 Ω11 1 ∇ψ1 · ρ1 ∇ϕ1 dΩ11 + ρ2 Ω12 ρ2 ∇ψ2 · ρ2 ∇ϕ2 dΩ12 = 0. 448 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ Отсюда, пользуясь формулами Грина (3.46) для областей Ω11 и Ω12 и вспоминая определе- ние (3.43) элементов из G_ h,S1 (Ω1), приходим к выводу, что •ψ1 - ψ2, ρ-1 ∂ϕ1 )L (Γ ) = 0, ∀ρ-1 ∂ϕ1 1 ∈ H� -1/2, 1 ∂n 2 1 1 ∂n 1Γ1 Γ1 отсюда следует, что ψ1 - ψ2 = const = 0 (на Γ1), причем последнее свойство - в силу двух последних условий нормировки из (3.44). 2 Проектирование уравнений движения жидкостей на взаимно ортогональные подпро- странства. Итак, пространство L_ 2(Ω1) пар векторных полей _u1 = {_u1k }k=1, как следует из лем- мы 3.1 и из (3.42), (3.43), допускает ортогональное расположение L_ 2(Ω1) = J_0(Ω1) ⊕ G_ h,S1 (Ω1) ⊕ G_ 0,Γ1 (Ω1), (3.48) аналогично такому же разложению в случае, когда полость Ω1 частично заполнена лишь одной жидкостью (см. [20, с. 106]). При этом набор полей скоростей принадлежит ортогональной сумме подпространств J_0(Ω1) и G_ h,S1 (Ω1), а набор пар потенциальных полей - ортогональной сумме подпространств G_ h,S1 (Ω1) и G_ 0,Γ1 (Ω1). Опираясь на эти факты, перепишем уравнения движения жидкостей (3.33) в виде пары соотно- шений r ∂_u1k dt + dω_ 1 dt × _r1k 2 2 k=1 -1 k = - {ρ-1∇p1k � 2 2 k=1 + Jf_1k 2 k=1 (3.49) и будем разыскивать наборы {_u1k }k=1 и {ρk ∇p1k �k=1 неизвестных функций в виде, отвечающем разложению (3.48): {_u1k }k=1 = {w_ 1k + ρk ∇Φ1k }k=1, w_ 1 := {w_ 1k }k=1 ∈ J_0(Ω1), {ρk ∇Φ1k }k=1 ∈ G_ h,S1 (Ω1), (3.50) 2 -1 2 2 -1 2 {ρ-1 2 -1 2 -1 2 k ∇p1k �k=1 = {ρk ∇ϕk �k=1 + {ρk ∇ψk �k=1 , (3.51) {ρ-1 2 -1 2 k ∇ϕk �k=1 ∈ G_ h,S1 (Ω1), {ρk ∇ψk �k=1 ∈ G_ 0,Γ1 (Ω1). Введем теперь ортопроекторы P0 : L_ 2(Ω1) → J_0(Ω1), Ph,S1 : L_ 2(Ω1) → G_ h,S1 (Ω1), P0,Γ1 : L_ 2(Ω1) → G_ 0,Γ1 (Ω1) (3.52) на подпространстве (3.48), подставим представления (3.50), (3.51) для наборов полей скоростей и градиентов давлений в уравнения (3.49) и спроектируем обе части этого уравнения на подпро- странства (3.48). При этом, как и ранее (см. пункт 3.1), будем считать искомые наборы векторных полей функциями переменной t со значениями в L_ 2(Ω1). В итоге получим соотношения ∂ 2 ∂ 2 2 ∂t {w_ 1k }k=1 + ∂t P0{ω_ 1 × _r1k }k=1 = P0{f_1k } (в J_0(Ω1)); (3.53) ∂ 1 2 ∂ 2 -1 2 2 ∂t {ρ- ∇Φ1k } + Ph,S {ω_ 1 × _r1k } = -{ρ ∇ϕk } + Ph,S {f_1k } (в G_ h,S (Ω1)); (3.54) k k=1 _0+ ∂ P ∂t {ω_ 1 } × _r 2 k=1 k } = -{ρ-1∇ψ 2 k=1 + P 1 } {f_ 2 k=1 (в G_ 1 (Ω )). (3.55) ∂t 0,Γ1 1 1k k=1 k k k=1 0,Γ1 1k k=1 0,Γ1 1 Заметим теперь, что с учетом разложения (3.51) и определения (3.47) подпространства G_ 0,Γ1 (Ω1) динамическое граничное условие (3.37) переписывается в виде 1 -p11 + p12 = (-ϕ1 + ϕ2)+ (-ψ1 + ψ2) = -ϕ1 + ϕ2 = -g(ρ1 - ρ2)(ζ1 + θ1((P2_δ1 × _r11) · _e 3)) (на Γ1) 2 Отсюда и из (3.55) следует, что набор полей {ρ-1∇ψk } (3.56) непосредственно вычисляется по извест- k k=1 2 ному решению ω_ 1(t) и набору {f_1k }k=1, и поэтому далее следует рассматривать лишь уравнение движения маятника (3.32), уравнения движения жидкостей (3.53) и (3.54), а также граничные условия, где в силу (3.56) функции ϕk не входят. Наша ближайшая цель сейчас - преобразовать указанную группу динамических уравнений в первое уравнение вида (1.1), ввести соответствующие операторы и изучить их свойства. Для О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 449 этого в исследуемой задаче введем следующие динамические и кинематические переменные (как функции t со значениями в соответствующих пространствах). 2 -1 2 τ τ z1 := ( w_ 1k }k=1; {ρk ∇Φ1k }k=1; ω_ 1) , z2 := (ζ1; P2_δ1) , { {w_ 1k }k=1 ∈ J_0(Ω1), {ρk ∇Φ1k }k=1 ∈ G_ h,S1 (Ω1), ω_ 1 ∈ C , ζ1 ∈ L2,Γ1 , P2_δ1 ∈ C . (3.57) 2 -1 2 3 2 2 С этой целью сначала представим слагаемые {ρ-1∇ϕk } из (3.54) в виде действия вспомо- k k=1 гательного оператора на кинематические переменные ζ1 и P2_δ1. Именно, рассмотрим следующую вспомогательную краевую задачу сопряжения: k Δϕk = 0 (в Ω1k ), ρ-1 ∂ϕk ∂n = 0 (на S1k ), r ϕk dΓ1 = 0, k = 1, 2, Γ1 (3.58) ρ-1 ∂ϕ1 1 ∂ϕ2 3 2 = ρ- 1 ∂n , _n = _e1 ∂n (на Γ1), ϕ1 - ϕ2 = (ρ1 - ρ2)ζ1 (на Γ1). (Согласно классификации смешанных краевых задач сопряжения (см. [18, п. 5.2]), это задача Стеклова, отвечающая конфигурации, названной в [18] «разрезанный банан».) Γ1 Лемма 3.2. При любой ζ1 ∈ H1/2 существует единственное решение вспомогательной за- дачи (3.57): 2 Qζ1 := {ρ-1∇ϕk } ∈ G_ h,S (Ω1), Q ∈ L(H1/2; G_ h,S (Ω1)). (3.59) k k=1 1 Γ1 1 Доказательство. Введем в рассмотрение слабые решения двух вспомогательных краевых задач из (3.58), отвечающих заданным функциям ρ-1 ∂ϕ = ξ ∈ H� -1/2 на Γ . Например для области Ω имеем задачу k ∂n 1 Γ1 1 11 ∂ϕ1 1 Δϕ1 = 0 (в Ω11), ρ-1 ∂n ρ-1 ∂ϕ = 0 (на S11), r (3.60) ∂n 1 = ξ1 (на Γ1), ϕ1 dΓ1 = 0. Γ1 Слабые решения этой задачи (в области Ω11 с липшицевой границей ∂Ω11, разбитой на липшицевы куски S11 и Γ1) определяется из тождества, следующего из формулы Грина (3.15): r 1 Ω11 ∇ψ1 · ∇ϕ1 dΩ11 = •γ1ψ1, ρ1ξ1)L2,Γ1 , ∀ψ ∈ HΓ1 (Ω1), γ1ϕ1 := ψ1|Γ1 . (3.61) Γ1 Γ1 Так как здесь по предположению ξ1 ∈ H� -1/2, то правая часть в тождестве (3.61) является ли- нейным ограниченным функционалом в пространстве H1 (Ω11) поскольку по теореме Гальярдо (см. [36]) lγ1ϕ1lH1/2 c1lϕ1lH1 (Ω11). (3.62) Γ1 Γ1 Отсюда следует, что существует единственное слабое решение ϕ1 = ρV1ξ1 ∈ H1 (Ω11), V1 ∈ L(H� -1/2; H1 (Ω11)). (3.63) h,Γ1 Γ1 h,Γ1 Γ1 Аналогично устанавливается, что существует единственное слабое решение второй задачи в обла- сти Ω12 с той же заданной функцией ξ1 ∈ H� -1/2: ϕ2 = -ρ2V2ξ1 ∈ H1 (Ω12), V2 ∈ L(H� -1/2; H1 (Ω12)). (3.64) h,Γ1 Γ1 h,Γ1 Подставляя теперь представления (3.63) и (3.64) в выражение для разности следов на Γ1 (см. (3.58)), приходим к соотношению γ1ϕ1 - γ2ϕ2 = (ρ1γ1V1 + ρ2γ2V2)ξ1 =: (ρ1C1 + ρ2C2)ξ1 = (ρ1 - ρ2)ζ1, (3.65) из которого можно найти ξ1. В самом деле, можно доказать, опираясь на тождество (3.61) и аналогичное тождество в Ω12, что оператор ρ1C1 + ρ2C2 ∈ L(H� -1/2; H1/2) (3.66) Γ1 Γ1 450 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ является положительным и имеет обратный оператор (ρ1C1 + ρ2C2)-1 ∈ L(H1/2; H� -1/2). (3.67) Γ1 Γ1 Γ1 Поэтому из (3.64) имеем ξ1 ∈ (ρ1 -ρ2)(ρ1C1 +ρ2C2)-1ζ1 ∈ H� -1/2, и тогда решение вспомогательной задачи (3.58) таково: 1 1 ϕ1|Ω11 = ρ1(ρ1 - ρ2)V1(ρ1C1 + ρ2C2)- ζ1 ∈ Hh,Γ1 (Ω11), 1 1 (3.68) ϕ2|Ω12 = -ρ2(ρ1 - ρ2)V2(ρ1C1 + ρ2C2)- ζ1 ∈ Hh,Γ1 (Ω12). Введем теперь по решениям (3.68) оператор Q согласно формуле (см. (3.64)) Qζ1 := (ρ1 - ρ2){∇ (V1(ρ1C1 + ρ2C2)-1ζ1) ; -∇ (V2(ρ1C1 + ρ2C2)-1ζ1) �. (3.69) 1/2 _ Из проведенных построений ясно, что Q ∈ L(HΓ1 ; Gh,S1 (Ω1)), и лемма доказана. Введем еще оператор нормальной компоненты поля скоростей для элементов из G_ h,S1 (Ω1) по закону 2 r _ 1/2\ � γn{ρ-1∇ϕk } = γn{_uk }k=1 := _u1 · _n1 = _u2 · _n1 = γn_u, γn ∈L Gh,S (Ω1); H- . (3.70) k 1 Γ1 Лемма 3.3. Имеет место соотношение γn Q∗ = (ρ1 - ρ2) , (3.71) где Q - оператор вспомогательной задачи (3.58). Доказательство. Оно основано на использовании обобщенных формул Грина (3.46) для областей 1/2 -1 2 _ Ω1k, k = 1, 2. При любых ζ1 ∈ HΓ1 , {ρk ∇ψk }k=1 ∈ Gh,S1 (Ω1) имеем (см. (3.69), (3.58), (3.70), (3.61)): 2 (Qζ1, {ρ-1∇ψk } )_ 2 r = '\" ρk ρ-1 ∇ϕk · ρ-1 ∇ψk dΩ1k = ... = k k=1 L2(Ω) k=1 Ω1k k k ∂ψ1 ∂ψ2 = •γ11ϕ1, ρ-1 )L (Γ ) - •γ12ϕ2, ρ-1 )L (Γ ) = ∂ψ1 1 ∂n 2 1 2 ∂n 2 1 2 = •γ11ϕ1 - γ12ϕ2, ρ-1 )L (Γ ) = •(ρ1 - ρ2)ζ1, γn{ρ-1∇ψk }) = •ζ1, (ρ1 - ρ2)γn{ρ-1∇ψk } ), 1 ∂n 2 1 k k k=1 (3.72) откуда и следует свойство (3.71). С помощью введенного оператора Q уравнение (3.54) теперь можно переписать в виде d 1 2 d 2 3 2 dt {ρ- ∇Φk } + Ph,S {(ω_ 1 × _r1k )} + gQ(ζ1 + θ1((P2_δ1 × _r1k ) · _e )) = Ph,S {f_1k } . (3.73) dt k k=1 1 k=1 1 1 k=1 Переход к первой (динамической) группе дифференциально-операторных уравнений. Полученные уравнения (3.53), (3.73) и (3.31), т. е. уравнения движения наборов жидкостей в двух подпространствах и уравнение движения маятника с жидким заполнителем, перепишем в виде одного векторно-матричного соотношения для искомых динамических и кинематических пе- ременных (см. (3.57)). Будем иметь связь (см. (1.1)): dz1 0 C1 dt + A1z1 + gB12z2 = f1(t), z1(0) = z1 , (3.74) 2 2 ⎛ {w_ k }k=1 + P0{ω_ 1 × _r1k }k=1 ⎞ ⎜ {ρ-1 2 2 ⎟ ⎜ ⎟ C1z1 := ⎜ ⎜ ⎜ k ∇Φk }k=1 + Ph,S1 {ω_ 1 × _rk=1}k=1 r 2 '\" ⎟ , (3.75) ⎟ ⎟ k ⎝ J_ω_ 1 + k=1 ρk Ω1k (_r1k × (w_ k + ρ-1∇Φk )) dΩ1k ⎠ A1z1 := (0; 0; α1ω_ 1)τ , (3.76) О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 451 ⎛ ⎜ ⎜ B12z2 := ⎜ ⎜ _0 1 Q(ζ1 + θ1((P2_δ1 × _r11) · _e 3)) r ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ , (3.77) ⎟ ⎝ -(ρ1 - ρ2) (_e1 ×_r11)ζ1 dΓ1 + m1l1P2_δ1⎠ ⎜ 3 ⎟ Γ1 f1(t) := (P0{f_1k }k=1; Ph,S {f_1k } ; M_ 1(t)) , (3.78) 2 1 r 2 r τ k=1 J_ω_ 1 := ρ0 Ω0 (_r0 × (ω_ 1 × _r0)) dΩ0 + '\" ρk k=1 Ω1k (_r1k × (ω_ 1 × _r1k )) dΩ1k. (3.79) Здесь J_ - тензор инерции тела-маятника с затвердевшей жидкостью. Напомним (см. (3.57)), что динамическими переменными считаются в данной задаче наборы полей скоростей из соответствующих подпространств, а также угловая скорость маятника, а кине- матическими переменными - отклонение границы раздела между жидкостями в полости маятника и проекция углового перемещения на равновесную границу раздела. Изучим свойства операторных коэффициентов, т. е. соответствующих операторных мат- риц (3.75)-(3.77), входящих в уравнение (3.74). Заметим прежде всего, что матрица A1 является ограниченным неотрицательным оператором, действующим в пространстве 3 H1 := J_0(Ω1) ⊕ G_ h,S1 (Ω1) ⊕ C . Дальнейшие свойства операторных матриц из (3.74) представим в виде отдельных лемм. Лемма 3.4. Операторная матрица C1 является ограниченным положительно определенным оператором, действующим в пространстве H1. Ее квадратичная форма равна удвоенной ки- нетической энергии малых движений гидромеханической системы, т. е. C1 : H1 → H1 есть оператор кинетической энергии. 1 1 }k=1 Доказательство. Вычислим квадратичную форму оператора C1 в пространстве H1, используя представление ортопроектора Ph,S в виде {(Ph,S )k 2 . Будем иметь, расписывая выражение для J_ω_ 1 в виде трех слагаемых: r (C1z1, z1)H = ρ1 r (w_ 1 + P0,1(ω_ 1 × _r11)) · ω_ 1 dΩ11 + ρ2 (w_ 2 + P0,2(ω_ 1 × _r12)) · ω_ 2 dΩ12+ Ω11 r + ρ1 Ω12 (ρ-1∇Φ1 + (Ph,S )1(ω_ 1 × _r11)) · ρ-1∇Φ1 dΩ11+ 1 1 1 Ω11 r r + ρ2 (ρ-1∇Φ2 + (Ph,S )2(ω_ 1 × _r12)) · ρ-1∇Φ2 dΩ12 + ρ1 (_r11 × (w_ 1 + ρ-1∇Φ2)) dΩ11 · ω_ 1+ 2 1 Ω12 r 2 1 Ω11 r + ρ2 Ω12 2 (_r12 × (w_ 2 + ρ-1∇Φ2)) dΩ12 · ω_ 2 + ρ0 Ω0 (_r0 × (ω_ 1 × _r0)) dΩ0 · ω_ 1+ r + ρ1 r (_r11 × (ω_ 1 × _r11)) dΩ11 · ω_ 1 + ρ2 (_r12 × (ω_ 1 × _r12)) dΩ12 · ω_ 1. (3.80) Ω11 Ω12 Здесь, в силу ортогонального разложения (3.48), первые два слагаемых преобразуются к виду r r ρ1 (|w_ 1|2 + (ω_ 1 × _r11) · ω_ 1) dΩ11 + ρ2 (|w_ 2|2 + (ω_ 1 × _r12) · ω_ 2) dΩ12. (3.81) Ω11 Ω22 Аналогично преобразуются третье и четвертое слагаемые, в частности, r r (Ph,S 1 1 11 1 1 11 2 ρ1 1 ) (ω_ × _r ) · ρ- ∇Φ dΩ + ρ (Ph,S )2(ω_ 1 × _r12) · ρ-1∇Φ2 dΩ12 = Ω11 1 1 2 Ω12 452 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ 2 = r{(Ph,S )k (ω_ 1 × _r1k )} , {ρ-1 2 ∇Φk � \ 2 = rPh,S {ω_ 1 × _r1k } , {ρ-1 2 ∇Φk � \ = 1 k=1 2 -1 k=1 k 2 k=1 r L_ 2(Ω1) 1 -1 k=1 k r k=1 -1 L_ 2(Ω1) = r{ω_ 1 × _r1k } , {ρk ∇Φk � k=1 \ = ρ1 Ω11 (ω_ 2 ×_r11) · ρ1 ∇Φ1 dΩ11 + ρ2 Ω12 (ω_ 1 ×_r12) · ρ2 ∇Φ2 dΩ12. (3.82) Поэтому упомянутая сумма третьего и четверного слагаемых из (3.82) равна r r ρ1 (|ρ-1∇Φ1|2 + (ω_ 1 × _r11) · ρ-1∇Φ1) dΩ11 + ρ2 (|ρ-1∇Φ2|2 + (ω_ 1 × _r12) · ρ-1∇Φ2) dΩ12. (3.83) 1 Ω11 1 2 2 Ω12 Учитывая соотношения (3.82), (3.83), преобразуя аналогичным образом другие группы слагаемых в (3.80), а также учитывая тот факт, что k w_ k ⊥ ρ-1∇Φk в L_ 2(Ω1k ), k = 1, 2, получим после сворачивания слагаемых при ρ0, ρ1 и ρ2, формулу r (C1z1, z1)H1 = ρ0 Ω0 r |ω_ 1 × _r0|2 dΩ+ + ρ1 {|w_ 1|2 + |ρ-1∇Φ1|2 + |ω_ 1 × _r11|2 + 2Re (Ph,S )1(ω_ 1 × _r11) · ρ-1∇Φ1 + 1 1 1 Ω11 r +2Re (ω_ 1 × _r11) · ω_ 1 � dΩ11 + ρ2 Ω12 2 {|w_ 2|2 + |ρ-1∇Φ2|2 + |ω_ 1 × _r12|2+ (3.84) 1 +2Re (Ph,S1 )2(ω_ 1 × _r12) · ρ- ∇Φ2 + 2Re (ω_ 1 × _r12) · ω_ 2 � dΩ12 = r = ρ0 2 r |ω_ 1 × _r0|2 dΩ0 + ρ1 1 |ω_ 1 × _r11 + w_ 1 + ρ-1∇Φ1|2 dΩ11+ Ω0 r + ρ2 Ω11 2 |ω_ 1 × _r12 + w_ 2 + ρ-1∇Φ2|2 dΩ12. Ω12 H1 1 k k k Из этой формулы получаем следующие выводы. Оператор C1 неотрицателен в H1. Кроме того, он ограничен (см. (3.75)). Если (C1z1, z1) = 0, то ω_ = _0, а потому и w_ , ρ-1∇Φ - нулевые поля в Ω1k, k = 1, 2. Значит C1 - положительный оператор, действующий в H. Далее, так как C1 допускает представление C1 = C10 + C11, C10 := diag ({Ik }k=1; {Ik }k=1; J_) » 0 (3.85) 2 2 (оператор J_ положительно определен в C3), а C11 - конечномерный ограниченный оператор, дей- ствующий в H1, то C1 » 0, что и доказывает утверждение леммы. Свойство оператора B12 из (3.74) выясним позднее. Переход ко второй (кинематической) группе дифференциально-операторных уравне- ний. Перепишем кинематические условия (3.35), (3.36) (без тривиальных связей) в виде dζ1 = γ _u = γ (ρ-1∇Φ ) = γ (ρ-1∇Φ ) = γ _u =: γ d _u, P _δ - P ω_ = _0, (3.86) dt n,1 1 n,1 1 1 n,1 2 2 n,1 2 n dt 2 1 2 1 где γn,1 - оператор взятия нормальной компоненты поля на границе Γ1, 3 γn,1_u1 := (_u1 · _n1)Γ1 , _n1 = _e1 . (3.87) Эти кинематические условия при некоторых дополнительных ограничениях (см. ниже) можно переписать в эквивалентной форме, позволяющей ввести в рассмотрение оператор потенциаль- ной энергии системы и получить вторую (кинематическую) группу дифференциальных уравнений О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 453 (см. (1.1)), отвечающую эволюции системы. Проведем эти построения. Если выполнены усло- вия (3.86), то выполнены также следующие соотношения: г d 3 -1 3 l dt (ρ1 - ρ2) (ζ1 + θ1((P2_δ1 × _r11) · _e1 )) - (γn,1(ρ1 ∇Φ1)+ θ1((P2ω_ 1 × _r11) · _e1 )) = 0, r - (ρ1 - ρ2) Γ1 1 (_e 3 × _r11) dζ1 dt 1 - γn,1(ρ-1∇Φ1) dΓ1 + m1l1 d dt (P2_δ1) - P2ω_ 1 = _0. (3.88) Коротко эту систему можно записать в виде gC dz2 + gB z = 0, z := ( 2 dt 21 1 1 }k=1 w_ k 2 ; {ρ-1 2 ∇Φk }k=1; ω_ 1)τ , z2 = (ζ1; P2_δ1)τ . (3.89) { 1 ⎛ (ρ1 - ρ2) rζ1 + θ1((P2_δ1 × _r11) · _e 3) ⎞ ⎜ C2z2 := ⎜ r 3 ⎜ ⎟ _ ⎟ , (3.90) ⎟ ⎝ - (ρ1 - ρ2) (_e1 × _r )ζ dΓ + m l P δ ⎠ 11 1 1 Γ1 1 1 2 1 ⎛ - (ρ1 - ρ2) γn,1(ρ-1∇Φ1)+ θ1((P2ω_ 1 × _r11) · _e 3) ⎞ ⎜ B12z2 := ⎜ 1 r 3 -1 1 ⎟ ⎟ . (3.91) ⎝ (ρ1 - ρ2) Γ1 (_e1 × _r11)γn,1(ρ1 ∇Φ1) dΓ1 - m1l1P2ω_ 1⎠ Лемма 3.5. Введем коэффициенты r βjl := xj (θ1xl ) dΓ1 = βlj, j, l = 1, 2, (3.92) 1 1 Γ1 имеющие смысл осевых моментов инерции поверхности Γ1 для исследуемой гидромеханической системы. Введем также определитель Δ2 := det m1l1 - (ρ1 - ρ2)β22 (ρ1 - ρ2)β21 (ρ1 - ρ2)β12 m1l1 - (ρ1 - ρ2)β11 . (3.93) Если выполнено условие общего положения Δ2 /= 0, (3.94) то соотношения (3.86) и (3.88) эквивалентны. Доказательство. Достаточно проверить, что из условий (3.88) при выполнении (3.94) следуют условия (3.86). Перепишем (3.88) в виде r 1 ϕ + θ1((ψ_ × _r11) · _e 3) = 0, -(ρ1 - ρ2) Γ1 dζ1 1 (_e 3 × _r11)ϕ dΓ1 + m1l1ψ_ = _0, (3.95) d ϕ := 1 dt - γn,1(ρ-1∇Φ1), ψ_ := dt P2_δ1 - P2ω_ 1, (3.96) и докажем, что из условия Δ2 /= 0 следует, что задача (3.95) имеет лишь тривиальное решение. Подставляя выражение для ϕ из первого уравнения (3.95) во второе, приходим к векторному уравнению в C2: r m1l1ψ_ + (ρ1 - ρ2) (_e 3 × _r11) rθ1((ψ_ × _r11) · _e 3) dΓ1 = _0. (3.97) 1 1 Γ1 2 Разложим ψ_ по ортам: ψ_ = 1 ), ψj_e j. Тогда k=1 2 θ1((ψ_ × _r11) · _e 3) = ψ1(θ1x2) - ψ2(θ1x1), _r11 = '\" xj _e j, (3.98) 1 1 1 1 1 j=1 454 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ и из (3.97) приходим к системе двух скалярных уравнений: r m1l1ψ1 - (ρ1 - ρ2) x2(ψ1(θ1x2) - ψ2(θ1x1)) dΓ1 = 0, 1 1 1 Γ1 r (3.99) m1l1ψ2 - (ρ1 - ρ2) x1(ψ1(θ1x2) - ψ2(θ1x1)) dΓ1 = 0. 1 1 1 Γ1 Нетрудно видеть, что определитель этой однородной системы уравнений относительно ψ1 и ψ2 2 равен Δ2 и потому в силу условия (3.94) он ненулевой. Отсюда следует, что ψ_ = 1 ), ψj_e j = _0, а потому и ϕ = 0. Опираясь на эту лемму, изучим свойства оператора C2 из (3.90). j=1 Лемма 3.6. Оператор C2 : H2 → H2 является оператором потенциальной энергии гидроме- ханической системы. Он ограничен и при условии (3.94) имеет ограниченный обратный. 1 Доказательство. Как следует из определения (3.90) оператор C2 : H2 → H2 ограничен и самосо- пряжен в H2 = L2.Γ ⊕ C2. Его квадратичная форма равна r (C2z2, z2) = (ρ1 -ρ2) Γ1 r 1 [ζ1 +θ1((P2_δ1 ×_r11)·_e 3)]ζ1 dΓ1 -(ρ1 -ρ2) Γ1 1 (_e 3 ×_r11)ζ1 dΓ1 ·P2_δ1 +m1l1|P2_δ1|2 = ⎧ ⎨r = (ρ1 - ρ2) r|ζ1|2 + θ1((P2_δ1 × _r11) · _e 3)ζ_1 + ((P2_δ1 × _r11) · _e 3) · ζ1 ⎫ dΓ1⎬ + m1l1|P2_δ1|2 = 1 1 ⎩Γ1 ⎭ r r = (ρ1 - ρ2) Γ1 1 |ζ1|2 + 2Re ((P2_δ1 × _r11) · _e 3)ζ1 dΓ1 + m1l1|P2_δ1|2 = r = (ρ1 - ρ2) r |ζ1 + θ1((P2_δ1 × _r11) · _e 3)|2 - |θ1((P2_δ1 × _r11) · _e 3)|2 dΓ1 + m1l1|P2_δ1|2. (3.100) 1 1 Γ1 Отсюда следует, что C2 самосопряжен в H2, причем его квадратичная форма совпадает с удвоенной потенциальной энергией гидромеханической системы (см. (3.39)). Далее, условие C2z2 = 0 приводит к задаче (3.95) при ϕ = ζ1, ψ_ = P2_δ1, и потому по лемме 3.5 получаем, что (ζ1; P2_δ1)τ = z2 = 0, т. е. оператор C2 обратим. Наконец из соответствующей 2 неоднородной задачи, отвечающей системе (3.95), следует, что C-1 : H1 → H1 - ограниченный оператор, и лемма доказана. Отметим еще другие свойства оператора C2. Лемма 3.7. Разложим пространство H2 на два подпространства: r H2 = H21 ⊕ H22, H21 := {(ζ1; 0)τ := Γ1 1 ζ1xj dΓ1 = 0, j = 1, 2}, (3.101) H22 := Lin {(0, _e 1)τ , (0; _e 2)τ , (θ1x1; 0)τ , (θ1x2; 0)τ }, 1 1 1 1 где Lin - обозначение линейной оболочки. Тогда имеют место следующие свойства: 1◦. На подпространстве H21 оператор C2, как легко видеть, действует по закону C2z21 = (ρ1 - ρ2)z21 и потому положительно определен. 2◦. На подпространстве H22 оператор C2 неотрицателен тогда и только тогда, когда вы- полнены условия (1) Δ1 := m1l1 - (ρ1 - ρ2)β11 � 0, Δ2 � 0, (3.102) и положительно определен, если и только если Δ1 > 0, Δ2 > 0. (3.103) О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 455 Доказательство. Отметим сначала, что C2 самосопряжен и H21 инвариантно относительно него, поэтому H22 - также инвариантное подпространство для C2. На четырехмерном подпространстве H22 оператор C2, очевидно, ограничен снизу. Выясним, когда он будет неотрицательным на H22. Представим произвольный элемент z2 = (ζ1; P2_δ1)τ из H2 в виде z2 = z21 + z22, z21 = (ζ11; 0)τ , ζ11 := ζ1 + θ1((P2_δ1 × _r11) · _e 3), Тогда (см. (3.90)) 1 1 z22 = (-θ1((P2_δ1 × _r11) · _e 3); P2_δ1)τ . (3.104) r C2z21 = (ρ1 - ρ2)(ζ11; -(ρ1 - ρ2) Γ1 1 (_e 3 × _r11)ζ11 dΓ1)τ , r C2z22 = r0; m1l1P2_δ1 + (ρ1 - ρ2) τ θ1(_e 3 × _r11)((P2_δ1 × _r11) · _e 3) dΓ1\ . 1 1 Γ1 Отсюда получаем, что (z21, C2z22)H2 = (C2z21, z22)H2 = 0, так как пространства H21 и H22 инвариантны для C2, а также свойство r (C2z2, z2)H21 = (C2z21, z21)H21 + (C2z22, z22)H22 = (ρ1 - ρ2) Γ1 |ζ11|2 dΓ1 + (C2z22, z22)H22 . Значит, C2 будет неотрицательным на H2 тогда и только тогда, когда при некотором c � 0 будет выполнено неравенство H22 lH22 (C2z22, z22) � clz22 2 ∀z22 ∈ H22. (3.105) Из (3.90), (3.104), (3.105) имеем, используя представление (3.92), 2 r 1 2 2 (C2z22, z22)H22 = (m1l1)|P2_δ1| (1) - (ρ1 - ρ2) Γ1 |θ1(δ1,2x1 - δ1,1x1)| (1) dΓ1 = (1) (3.106) = (m1l1 - (ρ1 - ρ2)β22 )|δ1,1|2 + 2(ρ1 - ρ2)β21 Re (δ1,1δ1,2)+ (m1l1 - (ρ1 - ρ2)β11 )|δ1,2|2, где P2_δ1 = 2 1 ), δ1,j_e j. Отсюда, используя критерий Сильвестра, получаем, что для неотрицатель- j=1 ности оператора C2 на подпространстве H22, а значит и на всем пространстве H2, необходимо и достаточно выполнения условий (3.102). Соответственно для положительной определенности C2 на H22 требуется выполнение условий (3.103). Из доказательства леммы 3.7 следует, что ранг индефинитности квадратичной формы (C2z2, z2)H2 , т. е. количество ее отрицательных квадратов, не может превышать κ = 4, следо- вательно в H2 может быть не более чем четырехмерное подпространство элементов, на котором эта форма принимает отрицательные значения. Определение 3.1. Будем говорить, что изучаемая гидромеханическая система статически устойчива по линейному приближению, если оператор C2 потенциальной энергии системы поло- жительно определен, и тогда выполнены условия (3.103). Формулы (3.92), (3.93), (3.102), определяющие Δ1 и Δ2, показывают, что условия статической устойчивости системы выполнены для тела достаточно большой массы с расположенным доста- точно далеко от точки подвеса центром масс этого тела-маятника. 456 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ О свойствах оператора обмена энергий. Перейдем теперь к изучению свойств оператор- ных матриц B12 из (3.76) и B22 из (3.89), а также составленной из них операторной матрицы 0 B12 B := B21 0 . (3.107) Прежде всего, из определения B12 следует, что областью значений должно быть множество таких элементов, для которых Qζ1 ∈ G_ h,S1 (Ω1) (см. (3.59)). Поэтому по лемме 3.2 получаем, что 2 3 оператор B12 : H2 = L2,Γ1 ⊕ C → H1 = J_0(Ω2) ⊕ G_ h,S1 (Ω1) ⊕ C должен быть задан на области определения 1/2 2 плотной в H2. D(B12) = HΓ1 ⊕ C , (3.108) Что касается оператора B21, то он также неограничен, и для элементов из области его значений должно выполняться условие γn,1(ρ-1∇Φ1) = γn,1(ρ-1∇Φ2) ∈ L2,Γ . Поэтому 1 2 1 D(B21) = J_0(Ω1) ⊕ D(γn,1) ⊕ C3, (3.109) 2 D(γn,1) = {{ρ-1∇Φk } : γn,1(ρ-1 ∇Φ1) ∈ L2,Γ �. (3.110) k k=1 1 1 γn Здесь D(γn,1) - это суждение оператора (см. (3.70)) на плотное множество G_ h,S1 (Ω1) тех эле- ментов, для которых область значений оператора γn,1 γn = |D(γn,1) совпадает со всем L2,Γ1 . Лемма 3.8. Операторы B12 и B21, заданные на своих областях определения (3.108) и (3.109), (3.110), являются кососамосопряженными, т. е. ∗ B21 = -B12 ⇔ (B12z2, z1)H1 = -(z2, B21z1)H2 , ∀z1 ∈ D(B21), ∀z2 ∈ D(B12). (3.111) Доказательство. Достаточно проверить свойства (3.111) на соответствующих элементах опера- торных матриц B21 и B12. }k=1 1◦. Пусть z1 = r{w_ k 2 ; {ρ-1 2 ∇Φk }k=1 0 ; _\τ ∈ D(B21) ⊂ H1, z2 = (ζ1; _0)τ ∈ D(B12) ⊂ H2. Тогда (см. (3.77) и (3.91)) ⎛ 1 / -(ρ1 - ρ2)γn,1(ρ-1∇Φ1) \ 0 ⎞ Qζ1 B21z1 = (ρ1 - ρ2) { 1 × r11)γn,1(ρ-1∇Φ1) dΓ1 , B12z2 = ⎜ { 3 ⎟ . (_e 3 _ 1 Γ1 ⎝-(ρ1 - ρ2) Γ1 (_e1 × _r11)ζ1 dΓ1⎠ Имеем в силу определения Q (см. (3.58), (3.59), (3.69)): 2 1 2 -1 2 '\" r -1 -1 (B12z2, z1)H1 = ({ρ- ∇ϕk } , {ρ ∇Φk } )_ = ρk (ρ ∇ϕk ) · (ρ ∇Φk ) dΩ1k. k k=1 k k=1 L (Ω ) k k Далее, 2 1 k=1 r 1 r Ω1k 1 1 (z2, B21z1)H2 = -(ρ1 - ρ2) Γ1 ζ1γn,1(ρ- ∇Φ1) dΓ1 = - Γ1 1 (ϕ1 - ϕ2)γn,1(ρ- ∇Φ1) dΓ1 = r 1 = - ϕ1γn,1(ρ-1∇Φ1) dΓ1 + Γ1 r r r 2 ϕ2γn,1(ρ-1∇Φ2) dΓ2 = ... = Γ2 = -{ρ1 (ρ-1∇ϕ1) · (ρ-1∇Φ1) dΩ11 + ρ2 (ρ-1∇ϕ2) · (ρ-1∇Φ2) dΩ12� = -(B12z2, z1) . (3.112) 1 1 Ω11 2 2 H1 Ω12 1 2◦. Если z2 = (0; P2δ_1)τ , а z1 тот же, что и в 1◦, то аналогично получаем связь вида (3.112), если провести формальную замену ζ1 1→ θ1((P2δ_1 × _r11) · _e 3) и использовать связь 2 Qθ1((P2δ_1 × _r11) · _e 3) = {ρ-1∇ψk } , 1 k а также соотношения (3.58) для функций ψk, k = 1, 2. 3◦. Пусть теперь z2 = (ζ1; _0)τ , z1 = (0; 0; ω_ 1)τ . Тогда k=1 τ 1 B21z1 = (-(ρ1 - ρ2)θ1 ((P2ω_1 × _r11) · _e 3) ; -m1l1P2ω_ 1) , О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 457 Имеем r B12z2 = (_0; Qζ1; -(ρ1 - ρ2) Γ1 1 (_e 3 × _r11)ζ1 dΓ1)τ . r (B12z2, z1)H1 = -(ρ1 - ρ2) Γ1 1 (_e 3 × _r11)ζ1 dΓ1 · ω_ 1 = |ζ1 = θ1ζ1| = r = (ρ1 - ρ2) Γ1 1 θ1 ((ω_ 1 × _r11) · _e 3) ζ1 dΓ1 = (ρ1 - ρ2) r r 1 ζ1θ1 ((P2ω_ 1 × _r11) · _e 3) dΓ1, Γ1 3 (z2, B21z1)H2 = Γ1 ζ1 -(ρ1 - ρ2)θ1 ((P2ω_ 1 × _r11) · _e1 ) dΓ1 = = -(ρ1 - ρ2) r 1 H1 ζ1θ1 ((P2ω_ 1 × _r11) · _e 3) dΓ1 = -(B12z2, z1) . Γ1 4◦. Последний вариант тривиально проверяется: z2 = (0; P2δ_1)τ , z1 = (0; 0; ω_ 1), 1 τ B12z2 = r_0; θ1 r(P2_δ1 × _r11) · _e 3\ ; m1l1P2_δ1\ , 1 τ B21z1 = (-(ρ1 - ρ2)θ1 ((P2ω_ 1 × _r11) · _e 3) ; -m1l1P2ω_ 1) , (B12z2, z1)H1 = m1l1P2_δ1 · ω_ 1 = m1l1P2_δ1 · P2ω_ 1, (z2, B21z1)H2 = P2_δ1 · (-m1l1P2ω_ 1) = -m1l1P2_δ1 · P2ω_ 1. Проведенные рассмотрения приводят к следующему итоговому заключению. Теорема 3.1. Исходная начально-краевая задача (3.32)-(3.38) о малых движениях маятни- ка с полостью, заполненной двумя несмешивающимися идеальными жидкостями, равносильна совокупности тривиального соотношения (3.55), соотношения (см. (3.36)) d δ3 3 а также задаче Коши dz1 dt 1 = ω1 , (3.113) 0 C1 dt + A1z1 + gB12z2 = f1(t), z1(0) = z1 , (3.114) dz2 0 gC2 dt + gB21z1 = 0, z2(0) = z2 , рассматриваемой в гильбертовом пространстве r _ _ 3\ 2) H = H1 ⊕ H2 = J0(Ω1) ⊕ Gh,S1 (Ω1) ⊕ C ⊕ (L2,Γ1 ⊕ C . Свойства операторных коэффициентов описаны в леммах 3.4-3.8. Теорема о разрешимости задачи Коши (3.114), а также других изученных на базе операторного подхода задач, будет приведен ниже. 458 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ Проблема собственных колебаний (случай консервативной системы). Будем считать, что трение в шарнире подвеса маятника отсутствует (α1 = 0), и рассмотрим решения однородной задачи (3.113), (3.114), зависящие от t по закону exp (iλt), где λ ∈ C - частота собственных колебаний гидромеханической системы. Тогда для амплитудных элементов из (3.114) приходим к спектральной проблеме iλC1z1 + gB12z2 = 0, iλC2z2 + B21z1 = 0, iλδ3 = ω3. (3.115) 1 1 Изучим свойства спектра и собственных элементов этой задачи. Лемма 3.9. Число λ = λ0 = 0 является бесконечнократным собственным значением зада- чи (3.115). Ему отвечают собственные элементы z0 r 2 \τ 1 = {w_ 0} ; _0; _0 , ∀w_ 0 ∈ J_0(Ωk ), k = 1, 2, z0 = (0; _0)τ , ∀(δ3)0 ∈ C. (3.116) k k=1 k 2 1 1 Этим решениям соответствует поворот системы вокруг вертикальной оси на произвольный угол (δ3)0, а также произвольные движения жидкостей в областях Ω1k, k = 1, 2, с произволь- ными полями скоростей w_ k ∈ J_0(Ωk ), т. е. без отклонения границы раздела Γ1. Доказательство. Заметим сначала, что в силу леммы 3.5 (см. (3.94)) второе уравнение в (3.115) равносильно условиям iλζ1 = γn,1(ρ-1∇Φ2) = γn,1(ρ-1∇Φ2), iλP2δ_1 = P2ω_ 1. (3.117) 1 2 Отсюда и из последнего условия (3.115) при λ = λ0 = 0 получаем, что ω_ 1 = _0, а также условие γn,1(ρ-1 1 1 ∇Φ ) = γ -1 n,1(ρ1 ∇Φ2) = 0. Поэтому, рассматривая вспомогательную задачу (3.58) при k ϕk = Φk , k = 1, 2, приходим к следующим выводам. Во-первых, ρ-1∇Φk = _0, k = 1, 2, а во-вторых, ζ1 = 0. Далее, из первого уравнения (3.115) и определения (3.77) оператора B12, получаем, что P2δ_1 = _0. Остальных ограничений при λ = λ0 = 0 не оказывается, и поэтому нетривиальные решения задачи (3.115) имеют вид (3.116). Рассмотрим теперь свойства решений задачи (3.115), отвечающие ненулевым частотам колеба- ний системы. Здесь, как и в пункте 3.1, понадобится ввести потенциалы Жуковского для каждой из областей Ω1k, k = 1, 2. Прежде всего, из определений операторов C11 и B12 (см. (3.75), (3.77)) получаем связь iλ ( w_ k }k=1 + P0{ω_ 1 × _r1k }k=1) = _0, 2 2 { где P0 = diag (P0,1; P0,2) - оператор проектирования на J_0(Ω1) = J_0(Ω11)⊕J_0(Ω12). Отсюда следует, что w_ k + P0,k (ω_ 1 × _r1k ) = _0, k = 1, 2. (3.118) Далее, из первого уравнения (3.115) имеем, с учетом леммы 3.8, соотношение iλ(C1z1, z1)H1 + g(B12z2, z1)H1 = iλ(C1z1, z1)H1 - g(z2, B21z1)H1 = 0. (3.119) Вычислим отдельное слагаемое из правой части этого выражения с учетом связей (3.118), а так- же (3.117), т. е. на элементах z1 := r- {P0,k (ω_ 1 × _r1k )}2 ; {ρ-1∇Φk 2 τ ; P2ω_ 1\ , z1 = � k=1 k } k=1 (3.120) z2 := (γn,1ρ-1∇Φ1; P2ω_ 1)τ . z2 = � 1 Для квадратичного функционала (C1 � , � ) по формуле (3.84) имеем z1 2 r 2 '\" z1 H1 r 1 1 2 (C1 � z1)H2 = ρ0 |ω_ 1 × _r0| dΩ0 + ρk 1(Ik - P0,k )(ω_ 1 × _r1k )+ ρ- ∇Φk 1 dΩ1k = Ω0 r = ρ0 k=1 2 |ω_ 1 × _r0|2 dΩ0 + '\" ρk Ω1k r k 2 1ρ-1∇Φk + PG,k (ω_ 1 × _r1k )1 1 dΩ1k, (3.121) Ω0 k=1 2 1 k 1 Ω1k 2 {PG,k (ω_ 1 × _r1k )}k=1 := PG{ω_ 1 × _r1k }k=1. О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 459 Введем теперь, как и в пункте 3.1, потенциалы Жуковского для областей Ω1k : {(Ik - P0,k )(ω_ 1 × _r1k )}k=1 = {(PG,k )(ω_ 1 × _r1k )}k=1 = {∇ψk }k=1 ∈ G_ h(Ω1), 2 2 2 ∂ψk Δψk = 0 (в Ω1k ), r ∂n = (ω_ 1 × _r1k ) · _n1k (на ∂Ω1k ), (3.122) ∂Ω1k ψk d(∂Ω1k ) = 0, k = 1, 2. 3 1 Представляя ψk в виде ψk = ), ωjψkj, где j=1 ∂ψkj k Δψkj = 0 (в Ω1k ), r ∂n = (_e1 × _r1j ) · _n1,k (на ∂Ω1k ), (3.123) ∂Ω1k ψkjd(∂Ω1k ) = 0, k = 1, 2, j = 1, 2, 3, и подставляя введенные функции ψk (потенциалы Жуковского) в (3.121), получим окончательно выражение (C1 � r z1)H1 = ρ0 Ω0 |ω_ 1 × _r0|2 dΩ0 + 2 '\" k=1 r ρk Ω1k -1 |ρk ∇Φk + 3 '\" j=1 1 ωjψkj |2 dΩ1k. (3.124) Вычислим теперь второй функционал в (3.119), учитывая, в силу (3.117), что � z2 = (iλ)-1z2. (3.125) Тогда 1 z2 21z1 z1)H2 = (iλ)- (� ,B � )H2 = r r ∂Φ1 = (iλ)-1grm1l1|P2ω_ 1|2 +(ρ1 -ρ2) |ρ-1 +θ1((P2ω_ 1 ×_r11)·_e 3)|2 -|θ1((P2ω_ 1 ×_r11)·_e 3)|2 dΓ1\ = 1 ∂n Γ1 1 1 = (iλ)-1g(C2z2, z2) (3.126) (последняя связь проверяется непосредственно). Из (3.124)-(3.126) и (3.119) получаем, что -λ2/g = (C2 � , � ) � � H2 . (3.127) z2 z2 H2 z1)H1 z1, � При этом для потенциалов скоростей выполнены связи (3.58): k ΔΦk = 0 (в Ω1k ), ρ-1 ∂Φ1 ∂n = 0 (на S1k ), r ΦkdΓ1 = 0, k = 1, 2, Γ1 (3.128) ρ-1 ∂Φ1 1 ∂Φ2 3 2 = ρ- 1 ∂n ∂n =: ξ1 ∈ L2,γ1 , _n = _e1 . Из (3.128), в частности, следует, что ненулевые квадраты частот собственных колебаний при условии статистической устойчивости по линейному приближению положительны. Теорема 3.2. Пусть выполнено условие статической устойчивости по линейному прибли- жению, т. е. оператор C2 : H2 → H2 положительно определен. Тогда спектральная за- дача (3.115) имеет бесконечнократное нулевое собственное значение, которому отвечает собственные элементы вида (3.116), а остальной спектр задачи дискретен, расположен на мнимой оси симметрично относительно вещественной оси и имеет в качестве предель- ной бесконечно удаленную точку. При этом собственные элементы вида (3.120) и квадра- ты частот колебаний системы находятся из вариационного отношения (3.127) (см. так- же (3.124), (3.126)) при вычислении его последовательных минимумов в классе функций (3.120) с условиями (3.128). 460 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ Доказательство. Свойства решений спектральной задачи при λ = λ0 = 0 уже описано в лем- ме 3.9. z1 При λ /= 0, как уже установлено выше, решения z1 = � имеют вид (3.120) (первая форму- z2 z2 ла), а элементы z2 = (iλ)-1 � (см. (3.124)), где � выражается второй формулой (3.120). При этом для квадратов частот колебаний возникает вариационное отношение, выражаемое правой частью (3.127). Покажем, что этому отношению отвечает дискретный положительный спектр. состоящий из конечнократных собственных значений с предельной точкой +∞. В самом деле, квадратичные функционалы в (3.127) лишь конечномерными добавками отлича- ются от функционалов в пространстве L2,Γ и G_ h,S1 (Ω1) соответственно, задающих вариационное отношение r (ρ1 - ρ2) 1 1ρ-1 1 ∂Φ1 12 dΓ1 / 2 '\" ρ-1 r |∇Φk |2 dΩ1k, (3.129) 1 1 1 1 ∂n 1 Γ1 k=1 k Ω1k если его рассматривать в классе функций (3.128). Однако, как следует из доказательства лем- мы 3.2, при условиях (3.128) справедлива формула ρ r 2 '\" -1 k |∇Φk |2 L dΩ1k = ((ρ1C1 + ρ2C2)ξ1, ξ1) 2,Γ1 1 =: (Cρξ1, ξ1)L2,Γ , (3.130) k=1 Ω1k 1 ξ1 = ρ-1 ∂Φ1 ∂n 2 = ρ-1 ∂Φ2 ∂n ∈ L2,Γ1 , H1/2 где оператор Cρ является компактным и положительным в L2,Γ1 , так как область значений R(Cρ) = Γ1 компактно вложена в L2,Γ1 (теорема Гальярдо). Отсюда следует, что вариационное отношение (3.129) при условиях (3.128) соответствует спек- тральной задаче μCρξ1 = ξ1, 0 < Cρ ∈ S∞(L2,Γ1 ), (3.131) которая, очевидно, имеет дискретный положительный спектр с предельной точкой +∞. Из этих свойств по теореме М. Ш. Бирмана (см. [6, 12]) получаем, что и исходная задача о нахождении j спектра вариационного отношения (3.127), (3.128) также имеет дискретный положительный спектр с предельной точкой +∞, причем асимптотика при j →∞ совпадает с асимптотикой собственных значений μ2/g второй задачи, т. е. задачи (3.129), (3.128). О малых движениях маятника с полостью, заполненной системой из трех однородных несмешивающихся вязких жидкостей. Рассмотрим третью вспомогательную задачу о малых движениях маятника с полостью, заполненной системой из трех вязких жидкостей. Отметим, что данная задача изучалась ранее в работе авторов [10]. Постановка начально-краевой задачи. Закон баланса полной энергии. Будем считать, что маятник G1 закреплен в точке подвеса O1 и совершает малые движения в поле сил тяжести. Маятник имеет полость Ω1, целиком заполненную тремя вязкими однородными несмешивающи- мися жидкостями (см. рис 2). Считаем, что плотности жидкостей удовлетворяют условиям ρ1 > ρ2 > ρ3, где ρk - плотность, отвечающая области Ω1k, k = 1, 2, 3. В состоянии покоя границы раздела жидкостей Γj, j = 1, 2, горизонтальны, причем границы областей Ω1k состоят соответственно из частей: ∂Ω11 = S11 ∪ Γ1 (Γ1 - граница между Ω11 и Ω12), ∂Ω12 = S12 ∪ Γ1 ∪ Γ2 (Γ2 - граница между Ω12 и Ω13), ∂Ω13 = S13 ∪ Γ2, где S1k - соответствующие твердые стенки. Как и ранее, будем считать, что в процессе малых движений на данную гидромеханическую систему действует внешнее поле сил F_ = _g + f_(t, x), где f_ - малая динамическая добавка к гравитационному полю. Далее для описания малых движений системы введем неподвижную систему декартовых ко- ординат O1x1x2x3 с ортами _e j, j = 1, 2, 3, так, чтобы _g = -g_e 3, а также подвижную систему O1x1x2x3, жестко связанную с телом, с ортами _e j, j = 1, 2, 3, причем в состоянии покоя полагаем, 1 1 1 1 что _e j = _e j, а центр масс системы находится на оси O1x3 = O1x3 в точке C1. 1 1 О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 461 РИС. 2 3 Введем также малый вектор углового перемещения системы _δ1(t) = ), δj (t)_e j и будем исполь- зовать обозначение r r (.. .) dG1 := 3 r (.. .)ρ0 dΩ0 + '\" 1 1 j=1 (.. .)ρ1k dΩ1k, G1 Ω0 k=1Ω1k где Ω0 - область, занятая твердым телом плотности ρ0 > 0. Будем считать, что момент силы трения в сферическом шарнире пропорционален угловой ско- рости ω_ 1 = d_δ1/dt c коэффициентом α1 > 0. Тогда, вычисляя кинетический момент гидроме- ханической системы относительно O1 и сумму моментов всех сил, приложенных к телу, после линеаризации в подвижной системе координат приходит к уравнению изменения кинетического момента системы: ⎡ r ⎢ ⎣ρ0 Ω0 _r0 × dω_ 1 dt × _r0 dΩ0 + 3 '\" k=1 r ρk Ω1k r _rk × dω_ 1 dt × _r1k + ∂ _uk ∂t ⎤ dΩ1k ⎥ + ⎦ r + αω_ 1 + gm1l1P2_δ1 - g(ρ1 - ρ2) Γ1 1 (_e 3 × _r11)ζ1 dΓ1 - g(ρ2 - ρ3) Γ2 1 (_e 3 × _r12)ζ2 dΓ2 = r = ρ0 Ω0 3 _r0 × f_0 dΩ0 + '\" ρk k=1 r Ω1k _r1k × f_k dΩ1k =: M_ 1(t). (3.132) Здесь первое слагаемое, т. е. выражение в квадратных скобках, равно J_1ω_ 1, где J_1 - тензор инерции твердого тела и жидкостей относительно O1. Далее, через ζj (t, x), x ∈ Γj, обозначены функции, описывающие малые отклонения границ раздела между жидкостями вдоль нормалей к Γj, направленных вверх. Из условия сохранения объемов жидкостей получаем, что r ζj dΓj = 0, j = 1, 2. (3.133) Γj 2 Как и ранее, здесь использованы также обозначения: l1 := |-O--C→ , P δ := ), δj_e j, f_ := f _ |Ωk , k = 1, 2, 3, |Ω0 f_0 := f_ . 1 1| 2_1 1 1 k j=1 Приведем теперь линеаризованные уравнения движения вязких жидкостей в подвижной систе- ме координат, а также соответствующие краевые и начальные условия. Имеем линеаризованные 462 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ уравнения Навье-Стокса dω_ 1 ρk dt × _r1k + ∂_uk ∂t = -∇pk + μk Δ_uk + ρk f_k , div _uk = 0 (в Ω1k ), k = 1, 2, 3, (3.134) где pk - поля динамических давлений, μk > 0 - динамические вязкости жидкостей. Что касается граничных условий, то для вязких жидкостей на твердых стенках S1k должно выполняться условие прилипания: _uk = _0 (на S1k ), (3.135) а на границах раздела Γj (j = 1, 2) - кинематические и динамические условия. Кинематические условия имеют вид ∂ζ1 = _u ∂t 1 ∂ζ2 = _u ∂t 2 · _n1 · _n2 = _u2 = _u3 · _n1, _n1 · _n2, _n2 1 = _e 3, γ11 1 = _e 3, γ22 _u1 _u2 = γ12 = γ23 _u2 _u3 (на Γ1), (на Γ2). (3.136) Здесь и далее через γjk_uk (k = 1, 2, 3, j = 1, 2) обозначен след поля скорости _uk на поверхности Γj. Кроме того, должны выполняться кинематические условия связи d P2_δ1 = P2ω_ 1, d δ3 = ω3. (3.137) dt dt 1 1 На границах раздела Γj должны выполняться динамические условия: равенство касательных напряжений при переходе из одной жидкой среды в другую, т. е. μ1τj3(_u1) - μ2τj3(_u2) = 0, j = 1, 2 (на Γ1), μ2τj3(_u2) - μ3τj3(_u3) = 0, j = 1, 2 (на Γ2), τjk (_ul) := ∂uk /∂xj + ∂uj /∂xk , (3.138) l l l l а также тот факт, что разность нормальных напряжений на границах раздела равна гравитацион- ному скачку давлений: [-p1 + μ1τ33(_u1)] - [-p2 + μ2τ33(_u2)] = -g(ρ1 - ρ2) [-p2 + μ2τ33(_u2)] - [-p3 + μ3τ33(_u3)] = -g(ρ2 - ρ3) rζ1 + θ1 rζ2 + θ2 1 1 r(P2_δ1 × _r11) · _e 3\ r(P2_δ1 × _r12) · _e 3\ (на Γ1), (на Γ2), (3.139) где θj : L2(Γj ) → L2,Γj - ортопроектор на L2,Γj := L2(Γj ) ⊕ {1|Γj }. Для полной постановки задачи необходимо также задать начальные условия: _uk (0, x) = _u0 (x), x ∈ Ω1k, k = 1, 2, 3, ζj (0, x) = ζ0(x), x ∈ Γj, j = 1, 2, k j ω_ 1(0) = ω_ 0, _δ2(0) = _δ0. (3.140) 1 1 Перед исследованием поставленной задачи (3.132)-(3.140) запишем закон баланса полной энер- гии для ее классического решения. Аналогично выводу формулы (2.21) (см. также [10]) для исследуемой сейчас задачи получаем тождество, являющееся законом баланса полной энергии в дифференциальной форме: ⎧ d ⎪⎨ r ρ0 ⎪⎩ dt Ω0 3 r |ω_ 1 × _r0|2 dΩ0 + '\" ρk k=1 Ωk ⎫ ⎬ ⎪ |ω_ 1 × _r1k + _uk |2 dΩ1k + ⎪⎭ d  + g dt r (ρ1 - ρ2) Γ1 г1 1ζ1 + θ1 1 1 r(P2_δ1 × _r11) · _e 3 \12 1 1 1 1 - 1θ1 1 r(P2_δ1 × _r11) · _e 3 \12l 1 1 dΓ1+ r +(ρ2 - ρ3) Γ2 г1 1ζ2 + θ2 1 1 r(P2_δ1 × _r12) · _e 3 \12 1 1 1 1 - 1θ2 1 r(P2_δ1 × _r12) · _e 3 \12l 1 1  dΓ2 + О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 463 2 +m1l1 1P2_δ11  3  = - α1|ω_ 1|2 + '\" μk Ek (_uk , _uk ) 3 r + '\" ρk f_k · _uk dΩ1k + M_ 1(t) · ω_ 1, (3.141) 1 1 1 1 k=1 1 r 3 '\" k=1 Ω1k 2 Ek (_uk , _uk ) := 2 Ω1k j,l=1 |τjl(_uk )| dΩ1k. Выбор функциональных пространств. Будем описывать, как и в пункте 3.2, движение системы жидкостей в полости в виде набора полей скоростей и градиентов давлений, заданных в 3 3 областях Ω1k : _u := {_uk }k=1, {∇pk }k=1. Тогда в силу (3.141) получаем, что эти наборы следует считать элементами гильбертова про- странства L_ 2(Ω1) со скалярным произведением (_u, _v)L_ 2Ω1 := 3 '\" k=1 r ρk _uk · _vk dΩk, Ω1 := Ω1k 3  k=1 Ω1k, определяющим конечную кинетическую энергию для системы несмешивающихся жидкостей. Из условий (3.135), (3.136), а также условия соленоидальности полей _uk (t, x), см. (3.134), следует, что эти поля должны быть функциями переменной t со значениями в J_0,S1k (Ω1k ) := {_uk ∈ L_ 2(Ω1k ) : div _uk = 0 (в Ω1k ), γn,k_u1k := _u1k · _n1k = 0 (на S1k )�, (3.142) где _n1k - внешняя нормаль к S1k. Как это было уже использовано выше (см. пункт 3.2.3), имеет место следующее ортогональное разложение r k L_ 2(Ω1k ) = J_0,S1k ⊕ G_ 0,Γ J (Ω1k ), (_uk , _v )L_ 2(Ω1k ) = Ω1k _uk _vk dΩ1k , (3.143) k G_ 0,Γ (Ω1k ) := ∇ψk ∈ L_ 2(Ω1k ) : ψk = 0 (на Γ�k ) , k = 1, 2, 3, (3.144) Γ�1 = Γ1, Γ�2 = Γ1 ∪ Γ2, Γ�3 = Γ2. Отсюда приходим к выводу, что имеет место ортогональное разложение L_ 2(Ω1) = J_0,S1 (Ω1) ⊕ G_ 0,Γ(Ω ), (3.145) 1 J 3 J_0,S1 (Ω1) = {_uk }k=1 : _uk ∈ J_0,S1k (Ω1k ) 3 , (3.146) G_ 0,Γ(Ω ) :=  G_ 0,Γ (Ω ). (3.147) 1 k=1 k 1k Введем теперь гильбертово пространство, связанное с диссипацией энергии в исследуемой про- блеме. Как следует из (3.141), для решений задачи наряду со свойством конечности кинетической энергии гидромеханической системы в любой момент времени должны выполняться свойства ко- нечности скорости диссипации энергии каждой из жидкостей, заполняющей полость маятника: E (_u , _u ) = 1 r k k k 2 3 '\" |τjl(_uk )|2 dΩ1k < ∞. Ω1k j,l=1 Опираясь на этот факт, введем в пространстве H_ 1(Ω1k ) подпространство соленоидальных полей, удовлетворяющих условию на твердой стенке: J_1 0,S1k (Ω1k ) := J _uk ∈ H_ 1(Ω1k ) : div _uk = 0 (в Ω1k ), _uk = _0 (на S1k ) , k = 1, 2, 3. (3.148) 0,S Скалярное произведение в J_1 1k (Ω1k ) определим по закону k k J_1 (_u , _v ) 0,S1k (Ω1k ) 1 r := Ek (_uk , _vk ) = 2 3 '\" τjl(_uk )τjl(_vk ) dΩ1k. (3.149) Ω1k j,l=1 464 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ В силу неравенства Корна (см. [20, с. 111]) 2 ck k 2 ck l k lJ_1 _u 0,S1k (Ω1k ) = Ek (_uk , _uk ) � � l_u lH_ 1(Ω1k ), � > 0, (3.150) норма, порожденная скалярным произведением (3.149), эквивалентна норме пространства H_ 1(Ω1k ) := ⊕3 H1(Ω1k ), H1(Ω1k ) = H1(Ω1k ) (неравенство противоположного смысла очевид- но). j=1 j j Отсюда и из теоремы вложения С. Л. Соболева (см. [20, c. 113]) следует компактное вложение _1 J0,S1k (Ω1k ) '→'→ J_0,S1k (Ω1k ), k = 1, 2, 3. (3.151) Введем теперь по аналогии с (3.145)-(3.147) пространство J_1 3  _1 3 '\" 0,S1 (Ω1) = k=1 0,S (Ω1k ) J0,Sk (Ω1k ), (_u, _v)J_1 1 := k=1 μk Ek (_uk , _vk ), (3.152) _u = {_uk }k=1, _v = {_vk }k=1 ∈ J_ (Ω1), 3 3 1 0,S1 отвечающее набору полей скоростей вязких жидкостей в трех областях. Из (3.151) следует, что _1 J0,S1 (Ω1) компактно вложено в J_0,S1 (Ω1): _1 J0,S1 (Ω1) '→'→ J_0,S1 (Ω1). (3.153) 1 0,S 1k Поэтому они образуют гильбертову пару пространств, как и пространства J_0,S1k (Ω1k ) и J_ (Ω1k ). При этом оператор Ak гильбертовой пары (J_0,S1k (Ω1k ), J_0,S1k (Ω1k )) определяется из тождества k k J_1 (_u , _v ) 0,S1k (Ω1k ) A r 1/2 = k k _uk , A1/2 _vk \ J_0,S 1k (Ω1k ) 1k = •_uk , Ak_vk )J_0,S _1 (Ω1k ) , ∀_uk , _vk ∈ J0,S1k (Ω1k ), \ (3.154) 0,S1k где косыми скобками обозначено значение функционала Ak_vk ∈ rJ_1 ∗ (Ω1k ) на элементе _uk ∈ J_1 _ 0,S1k (Ω1k ). Таким образом, возникает оснащенное гильбертово пространство J0,S1k (Ω1k ), т. е. причем J_1 _ 0,S1k (Ω1k ) '→'→ J0,S1k (Ω1k ) '→'→ 0,S1k ∗ rJ_1 (Ω1k )\ , (3.155) A1/2 r _1 \ 1/2 r _ _1 ∗\ k ∈L J0,S1k (Ω1k ); J_0,S1k (Ω1k ) , Ak ∈L J0,S1k (Ω1k ); (J0,S1k (Ω1k )) . (3.156) 0,S Аналогичными свойствами обладает и оператор A гильбертовой пары rJ_1 1 1 (Ω1); J_0,S (Ω1)\ , для него выполнено тождество 3 3 r 1/2 1/2\ '\" '\" 1 1/2 1/2 (_uk , _vk )J_1 = A _uk ,A = μk Ek (_uk , _vk ) = μkρ- (A _uk ,A ) _ = 0,S1 (Ω1) k k J_0,S 1 (Ω1) k=1 k k k=1 k J0,S1k (Ω1k ) = •_u, A_v)J_0,S 1 (Ω1)  3 '\" k = _uk , μkρ-1 k=1 A 1/2 k _vk  J_0,S 1k (Ω1k ) 0,S1 , ∀_u, _v ∈ J_1 (Ω1). (3.157) Отсюда, в частности, следует, что A = diag (μkρ-1Ak )3 . k k=1 Введем, наконец, те функциональные гильбертовы пространства, которые непосредственно свя- заны с исследуемой задачей (3.132)-(3.140). Это, во-первых, тот же набор полей скоростей 3 _u = {_uk }k=1 из J_0,S1 (Ω1), для которых выполнены первые условия связи полей на Γ1 и Γ2, т. е. первые условия (3.136). Совокупность таких наборов представляет собой подпространство r 3 J_0,S1,Γ(Ω1) := _u = {_uk }k=1 ∈ J_0,S1 (Ω1) : γn,1_u1 := _u1 · _n1 = _u2 · _n1 =: γn,1_u2 (на Γ1), 1 γn,2_u2 := _u2 · _n2 = _u3 · _n2 =: γn,2_u3 (на Γ2), _n1 = _n2 = _e 3 ⊂ J_0,S1 (Ω1). (3.158) О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 465 0,S Во-вторых, это набор полей скоростей из J_1 1 (Ω1), для которого выполнены условия связи полей на Γ1 и Γ2 не только для нормальных компонент, но и для полей целиком, см. также (3.136): J_1 3 1 0,S1 0,S1,Γ(Ω1) := {_u = {_uk }k=1 ∈ J_ (Ω1) : γ11_u1 = γ12_u2 (на Γ1), γ22_u2 = γ23_u3 (на Γ2)}⊂ J_0,S1 (Ω1). (3.159) Эти два пространства далее играют основную роль в исследуемой проблеме. В частности, они 0,S ,Γ образуют гильбертову пару пространств (J_1 1 (Ω1); J_0,S1,Γ(Ω1)); порождающий оператор A� этой 0,S пары является сужением оператора A (см. (3.158)) гильбертовой пары (J_1 1 (Ω1); J_0,S1 (Ω1)) на такие наборы полей, для которых выполнены кинетические условия прилипания из (3.158), (3.159). Для оператора A�, как и выше (см. (3.154), (3.155)), выполнены тождества 3 J_1 (_u, _v) 0,S1,Γ(Ω1) � = (A1/2 � _u, A1/2 1 _v)J_0,S ,Γ(Ω1) = '\" k=1 μk Ek (_u, _v) =  _u, A�_v  J_0,S1,Γ(Ω1) ∀_u, _v ∈ J_ 1 0,S1,Γ (Ω1). (3.160) Формулы действия ортопроекторов. В этом пункте приведем формулы действия орто- проектора P0 := P0,S1,Γ : J_0,S1 (Ω1) → J_0,S1,Γ(Ω1) (3.161) (см. (3.146), (3.158)), а также соответствующего ортопроектора (см. (3.148), (3.159)). P1 := P 1 0,S1,Γ : J _1 0,S1 (Ω1) → J _1 0,S1,Γ (Ω1) (3.162) Для получения закона действия ортопроектора P0 выясним сначала, каково ортогональное до- полнение в J_0,S1 (Ω1) к подпространству J_0,S1,Γ(Ω1). Учтем структуру пространства J_0,S1 (Ω1):  G_ h,S 1k 3 1 (Ω ) = J_0,S 1  k=1 (J_0(Ω1k ) 1k (Ω )). (3.163) Напомним, что для элементов из J_0(Ω1k ) нормальные компоненты полей равны нулю на ∂Ω1k, k = 1, 2, 3. Отсюда получаем, что J_0,S1 (Ω1) имеет структуру / 3 1 J_0,S ,Γ(Ω1) =  k=1 \ J_0(Ω1k ) 1  G_ h,S ,Γ(Ω1), (3.164) G_ h,S1,Γ(Ω1) := {_u = {_uk }k=1 : _uk = ρk ∇ϕk, Δϕk = 0 (в Ωk ), ∂ϕk = 0 (на S 3 ), ρ-1 ∂ϕ1 = ρ-1 ∂ϕ2 -1 (на Γ ), ρ-1 ∂ϕ2 = ρ-1 ∂ϕ3 (на Γ )}. (3.165) ∂n 1k ∂n ∂n 1 2 ∂n 3 ∂n 2 Лемма 3.10. Элементы из (G_ h,S1,Γ(Ω1))⊥, т. е. подпространства из пространства 3 G_ h,S1 (Ω1) = ⊕k=1G_ h,S (Ω1k ), ортогонального к G_ h,S1,Γ(Ω1), образуют множество 1 ∂ψk (G_ h,S1,Γ(Ω1))⊥ = {{∇ψk }k=1 : Δψk = 0 (в Ωk ), = 0 (на S1k ) ∂n 1 ρ1ψ1 - ρ2ψ2 = 0 (на Γ1), ρ2ψ2 - ρ3ψ3 = 0 (на Γ3), _n1 = _n2 = _e 3�. (3.166) (Это простое утверждение доказывается с использованием обобщенной формулы Грина для оператора Лапласа применительно к областям Ωk, k = 1, 2, 3.) Опираясь на представление (3.166), получим закон действия P0 из (3.161). Для любого _u = {_uk }∈ J_0,S1 (Ω1) должно быть P0_u = P0{_uk }k=1 = {_uk }k=1 - {∇ψk }k=1 ∈ J_0,S ,Γ(Ω1). (3.167) 3 3 3 1 3 Для отыскания {∇ψk }k=1 рассмотрим следующую вспомогательную задачу сопряжения для эле- ментов из (G_ h,S1,Γ(Ω1))⊥: Δψk = 0 (в Ω1k ), ∂ψk = 0 (на S ), ∂n 1k 466 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ χk где � � ρ1γ11ψ1 = ρ2γ12ψ2 =: χ1 (на Γ1), (3.168) � ρ2γ22ψ2 = ρ3γ23ψ3 =: χ2 (на Γ2), γjkψk := ψk |Γj , считаем заданными функциями. Будет рассматривать проблему (3.168) как задачу Зарембы для каждой из областей Ω1k. Тогда задача Δψ1 = 0 (в Ω11), 1 ∂ψ1 = 0 (на S ), γ ψ = ρ-1χ ∂n 11 11 1 1 � r (на Γ1), Γ1 1 1 χ dΓ � = 0 (3.169) 1 при условии χ � 1/2 ∈ HΓ1 имеет единственное слабое решение ∇ψ1 := Q11(ρ-1χ1), Q11 ∈ L(H1/2; G_ h,S (Ω11)). (3.170) Аналогично для задачи 1 � Γ1 11 ∂ψ3 Δψ3 = 0 (в Ω13), γ33ψ3 = ρ-1χ2 (на Γ2), = 0 (на S13) ∂n r χ2 dΓ2 = 0, _n = _e 3, (3.171) χ2 1/2 3 � � 1 Γ2 при условии � ∈ HΓ2 имеем единственное слабое решение ∇ψ3 := -Q33(ρ-1χ2), Q33 ∈ L(H1/2; G_ h,S (Ω13)). (3.172) 3 � Γ2 33 В области Ω12 решение будем разыскивать в виде суммы: ψ2 = ψ21 + ψ22, где ψ21 и ψ22 - слабые решения следующих задач: Δψ21 = 0 (в Ω12), 1 ∂ψ21 = 0 (на S ), γ ψ = ρ-1χ ∂n 12 21 21 2 � (на Γ1), γ22 ψ21 = 0 (на Γ2); (3.173) Δψ22 = 0 (в Ω12), 2 ∂ψ22 = 0 (на S ), γ ψ = 0 (на Γ ), γ ψ = ρ-1χ ∂n 12 12 22 1 22 22 2 � (на Γ2). (3.174) Тогда аналогично предыдущему получаем ∇ψ21 = -Q21(ρ-1χ1), ∇ψ22 = Q22(ρ-1χ2), (3.175) 2 � 1/2 _ 2 � 1/2 _ Q21 ∈ L(HΓ1 ; Gh,S12 (Ω12)), Q22 ∈ L(HΓ2 ; Gh,S12 (Ω12)). (3.176) Из (3.167) и (3.158) приходим к условиям γn,1(P0_u)1 = γn,1(P0_u)2 (на Γ1), γn,2(P0_u)2 = γn,2(P0_u)3 (на Γ2), из которых следует, что γn,1∇ψ1 - γn,1∇ψ2 = γn,1_u1 - γn,2_u2 (на Γ1) γn,2∇ψ2 - γn,2∇ψ3 = γn,2_u2 - γn,2_u3 (на Γ2). (3.177) Подставляя решения (3.170), (3.171) и (3.175) в эти условия и считая функции γn,1_u1 - γn,1_u2 и χ1 χ2 γn,2_u2 - γn,2_u3 заданными, получим систему уравнений относительно � и � : 1 1 -ρ-1 -1 2 χ + (ρ-1γ 2 γ χ - ρ-1 Q + ρ-1γ 2 Q χ � Q )χ = γn,1 = γ _u1 _u γn,1 γ _u2, _u . (3.178) 2 γn,2Q21 �1 Здесь операторная матрица (ρ-1 2 n,2 22 -1 3 n,2 33 �2 -1 n,2 2 n,3 3 Q := 1 γn,1Q11 + ρ2 γn,1Q21) ρ2 γn,1Q22 (3.179) -ρ-1 -1 -1 2 γn,2Q21 (ρ2 γn,2Q22 + ρ3 γn,2Q33) - линейный ограниченный оператор, действующий из пространства H1/2 × H1/2 в пространство H� -1/2 -1/2 Γ1 Γ2 Γ1 × H�Γ2 . Более того, можно доказать, что Q является положительным оператором, т. е. τ χ1 χ2)τ )L L > 0, 0 /= (χ1; χ2)τ ∈ H1/2 × H1/2, (3.180) •( � χ2) , Q( � ; � 2,Γ1 ⊕ 2,Γ2 � � Γ1 Γ2 О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 467 и отображает H1/2 × H1/2 на все H� -1/2 × H� -1/2. Отсюда по теореме Банаха получаем, что суще- Γ1 Γ2 Γ1 Γ2 ствует обратный оператор Q-1 ∈ L(H� -1/2 × H� -1/2 1/2 1/2 Γ1 Γ2 ; HΓ1 × HΓ2 ). (3.181) Следствием проведенного рассмотрения вспомогательной задачи является такое утверждение. Лемма 3.11. Ортопроектор P0 := P0,S1,Γ : J_0,S1 (Ω1) → J_0,S1,Γ(Ω1) действует по закону 1 P0_u = _u - {ρ-1Q11p1Q-1(γn,1_u1 - γn,1_u2; γn,2_u2 - γn,2_u3)τ ; -ρ-1 2 Q21p1Q-1 (γn,1_u1 - γn,1_u2; γn,2_u2 - γn,2_u3)τ ρ-1 2 Q22p2Q-1 (γn,1_u1 - γn,1_u2; γn,2_u2 - γn,2_u3)τ ; ρ-1 3 Q33p2Q-1 (γn,1_u1 - γn,1_u2; γn,2_u2 - γn,2_u3) τ �, (3.182) где Qkj - операторы вспомогательных задач Зарембы (см. (3.170), (3.172), (3.175)-(3.176)), Q - операторная матрица (3.179) со свойствами (3.181), а pk (ψ1; ψ2)τ := ψk, k = 1, 2, - опе- раторы взятия k-той компоненты. Получим теперь формулу действия другого ортопроектора P1 := P 1 0,S1,Γ : J _1 0,S1 (Ω1) → J _1 0,S1,Γ (Ω1). При этом будем действовать по тому же плану, что и в начале этого пункта, но теперь примени- 0,S тельно к пространству J_1 1 (Ω1). 0,S Используя определение скалярного произведения в пространстве J_1 1 (Ω1) и соответствующие 0,S обобщенные формулы Грина для пространств J_1 1k (Ω1k ), приходим к следующему утверждению. 0,S ,Γ Лемма 3.12. Ортогональное дополнение (J_1 1 0,S1,Γ (Ω2))⊥ к подпространству (J_1 (Ω1)) в 0,S пространстве J_1 1 3 (Ω1) состоит из слабых решений _v = {_vk }k=1 ∈ J _1 0,S1 (Ω1) краевых задач � P0,S1k (-μk Δ_vk )+ ∇pk = _0, div _vk = 0 (в Ω1), _vk = _0 (на S1k ), k = 1, 2, 3; -� + μ τ (_v ) = -� δ + μ τ (_v ), j = 1, 2, 3 (на Γ ), (3.183) p1δj3 1 j3 1 p2 j3 2 j3 2 1 -� + μ τ (_v ) = -� δ + μ τ (_v ), j = 1, 2, 3 (на Γ ), p2δj3 2 j3 2 p3 j3 3 j3 2 2 pk где P0,S1k - ортогональные проекторы на J_0,S1k (Ω1k ), а ∇� Опираясь на последние уравнения, приходим к выводу, что := P0,S1k ∇pk ∈ G_ h,S1k (Ω1k ). k=1 P1_u = P1{_u}3 3 k=1 = {_u}3 3 - {_v}k=1 ∈ J _1 0,S1,Γ (Ω1), (3.184) где {_v}k=1 - некоторое решение задачи (3.183). 3 Для нахождения соответствующего набора {_vk }k=1 сформулируем с учетом (3.183) следующие вспомогательные краевые задачи (их называют вспомогательными задачами С. Г. Крейна) для каждой из областей Ω1k, k = 1, 2, 3: p1 = _0, div _v1 = 0 (в Ω11), _v1 = _0 (на S11), P0,S11 (-μ1Δ_v1)+ ∇� -� p1δj3 + μ1τj3 (_v1) = χ1j (на Γ1), j = 1, 2, 3; (3.185) � P0,S13 (-μ3Δv_3)+ ∇p3 = _0, div _v3 = 0 (в Ω13), _v3 = _0 (в S13), (3.186) -� p3δj3 + μ3τj3 (_v3) = χ2j (на Γ2), j = 1, 2, 3; � P0,S12 (-μ2Δ_v2)+ ∇p2 = _0, div _v2 = 0 (в Ω12), _u2 = _0 (в S12), (3.187) -� + μ τ (_v ) = χ (на Γ ), -� δ + μ τ (_v ) = χ (на Γ ), j = 1, 2, 3. p2δj2 2 j3 2 1j 1 p2 j3 2 j3 2 2j 2 1δj3 1 j3 1 3 p2 j3 � + μ τ (_v )}j=1 = {-� δ + μ2τj3(_v2 ) 3 }j=1 H-1/2 -1/2 -1/2 1/2 1/2 1/2 Γ1 × HΓ1 × HΓ1 = (H�Γ1 × H�Γ1 × H�Γ1 2δj3 2 j3 2 3 p3 j3 � + μ τ (_v )}j=1 = {-� δ + μ3τj3(_v3 ) 3 }j=1 H-1/2 -1/2 -1/2 1/2 1/2 1/2 Γ2 × HΓ2 × HΓ2 = (H�Γ2 × H�Γ2 × H�Γ2 Здесь χ1j и χ2j - соответствующие компоненты заданных векторов χ_1 и χ_2 следующего вида: p χ_1|Γ1 := {- ∈ χ_2|Γ1 := {-p ∈ ∈ )∗; ∈ )∗. (3.188) 468 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ Замечание 3.1. Здесь и далее символом “∼” обозначен класс функций, продолжимых нулем на всю границу ∂Ω1k до элементов класса H1/2(∂Ω1k ), при этом H� 1/2(Γ1) = (H-1/2(Γ1))∗, H� 1/2(Γ2) = (H-1/2(Γ2))∗, см. [17, 18]. Опираясь на обобщенные формулы Грина для соленоидальных векторных полей применительно к областям Ω1k, можно установить, что задача (3.185) имеет слабое решение 1 _v1 = μ-1V11χ_1, V11 ∈ L(H_ -1/2(Γ1); J _1 0,S11 (Ω11)), (3.189) H_ -1/2(Γ1) := H-1/2(Γ1) × H-1/2(Γ1) × H-1/2(Γ1) =: (H_ 1/2(Γ1))∗. Аналогично задача (3.186) имеет слабое решение 3 _v3 = -μ-1V32χ_2, V32 ∈ L(H_ -1/2(Γ2); J _1 0,S13 (Ω13)), (3.190) H_ -1/2(Γ2) := H-1/2(Γ2) × H-1/2(Γ2) × H-1/2(Γ2) =: (H_ 1/2(Γ2))∗. Для задачи (3.187) будем искать решение в виде суммы: p21 p2 = ∇� p22 + ∇� , (3.191) p21 где _v21 и ∇� - искомые функции краевой задачи p21 P0,S12 (-μ2Δ_v21)+ ∇� = _0, div _v21 = 0 (в Ω12 ), _v21 = _0 (на S12), (3.192) -� δ + μ τ (_v ) = χ (на Γ ), -� δ + μ τ (_v ) = 0 (на Γ ), j = 1, 2, 3, p21 j3 2 j3 21 1j 1 p21 j3 2 j3 21 2 p22 а _v22 и ∇� - искомые функции задачи p22 P0,S12 (-μ2Δ_v22)+ ∇� = _0, div _v22 = 0 (в Ω12 ), _v22 = _0 (на S12) -� p22 δj3 + μ2τj3 (_v22 ) = 0 (на Γ1), (3.193) -� p22 δj3 + μ2τj3 (_v22 ) = χ2j (на Γ2), j = 1, 2, 3. Тогда аналогично предыдущему имеем слабое решение 2 _v2 = _v21 + _v22 = μ-1(-V21χ_1 + V22χ_2), ∈L V21 r (H_ 1/2(Γ1))∗; J _1 0,S12,Γ1 (Ω12)\ ∈L , V22 r (H_ 1/2(Γ2))∗; J _1 0,S12,Γ2 (Ω12)\ . (3.194) 0,S,Γ Из представления (3.184) и определения (3.159) пространства J_1 (Ω1) получаем условия γ11_v1 - γ12_v2 = γ11_u1 - γ12_u2 (на Γ1), γ22_v2 - γ23_v3 = γ22_u2 - γ23_u3 (на Γ2). (3.195) Считая здесь правые части заданными и используя представления решений в виде (3.189), (3.190), (3.194), приходим к системе линейных уравнений относительно χ_1 и χ_2: (μ-1 -1 -1 1 γ11V11 + μ2 γ12V21)χ_1 - μ2 γ12V12χ_2 = γ11_u1 - γ12_u2, (3.196) -μ-1 -1 -1 2 γ22V21χ_1 + (μ2 γ22V22 + μ3 γ23V32)χ_2 = γ22_u2 - γ23_u3. Опираясь на свойства взаимной сопряженности операторов γjk и Vkj, которое имеет место для слабых решений вспомогательных краевых задач, можно проверить, что операторная матрица си- стемы (3.196), т. е. (μ-1 -1 -1 C := 1 γ11V11 + μ2 γ12V21) -μ2 γ12V12 (3.197) -μ-1 -1 -1 2 γ22V21 (μ2 γ22V22 + μ3 γ23V32) принадлежит пространству L r(H_ 1/2(Γ1) × H_ 1/2(Γ2))∗; H_ 1/2(Γ1) × H_ 1/2(Γ2)\ , является положи- тельной и отображает первое пространство на второе. Отсюда по теореме Банаха получаем, что существует C-1 ∈L H1/2(Γ1) × H1/2(Γ2); (H1/2(Γ1) × H1/2(Γ2))∗\ , (3.198) r _ _ _ _ и поэтому система уравнений имеет единственное решение {χ_1; χ_2}, принадлежащее пространству H_ 1/2(Γ1) × H_ 1/2(Γ2). О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 469 0,S1,Γ Лемма 3.13. Оператор P1 = P 1 : J _1 0,S1 (Ω1) → J _1 0,S1,Γ (Ω1) действует по закону P1_u = _u - r 1 μ-1V11p1C-1(γ11_u1 - γ12_u2; γ22_u2 - γ23_u3)τ ; -μ-1 2 V21p1C -1(γ11_u1 - γ12_u2; γ22_u2 - γ23_u3)τ 2 + μ-1V22p2C -1(γ11_u1 - γ12_u2; γ22_u2 - γ23_u3)τ ; (3.199) -μ-1 3 V32p2C -1(γ11_u1 - γ12_u2; γ22_u2 - γ23_u3) τ \, где C > 0 - операторная матрица (3.197), Vjk - операторы сформулированных выше вспомо- гательных краевых задач, а pk (ψ_1; ψ_2)τ =: ψ_k , k = 1, 2, - операторы взятия k-той компоненты столбца. Применение операторного подхода. Преобразование уравнения движения жидкостей. Преобразуем уравнение движения жидкостей в полости маятника (см. (3.134)) с учетом гранич- ных условий к дифференциально-операторному уравнению в гильбертовом пространстве. Будем считать, что все функции, зависящие от времени, суть функции переменной t со значениями в соответствующем гильбертовом пространстве. Будем считать, что каждое слагаемое в k-том уравнении движения является элементом про- странства L_ 2(Ω1k ). Действуя ортопроектором P0,S1k : L_ 2(Ω1k ) → J_0,S1k (Ω1k ) и объединяя эти урав- нения в виде одного набора, будем иметь r du_k 3 r + P0,S1k ( dω_ 1 3 × _r1k ) +{P0,S1k (ρ- ∇pk )}k=1 -{μkρ P0,S1k Δ_uk }k=1 = {P0,S2k f_ k=1. dt k=1 dt k=1 1 3 -1 3 k k 3 } (3.200) Действуя еще ортопроектором P0 : J_0,S1 (Ω1) → J_0,S1Γ(Ω2), придем к уравнению d_u dω_ 1 3 -1 p 3 - dt + P0{P0,S1k ( dt } × _r1k )}k=1 + P0{ρk ∇�k k=1 k 1k - P0{μkρ-1P0,S 3 (Δ_uk )}k=1 = P0{P0,S1k 3 f_k } = P0{f_k }k=1 , (3.201) ρ-1 pk 1 k 0,S k k ∇� := P 1k (ρ- ∇p ). (Проектирование с помощью оператора I0 - P0 дает лишь тривиальные связи и не учитывается в дальнейшем.) Все слагаемые в (3.134) теперь являются элементами из J_0,S1,Γ(Ω1). Преобразуем это уравнение с учетом граничных условий, введя оператор 0,S1,Γ A� гильбертовой пары (J_1 (Ω1); J_0,S1,Γ(Ω1)). С 3 этой целью представим набор P0{ρ-1∇pk }k=1 в виде k � 3 -1 3 -1 3 P0{ρ-1∇pk }k=1 = {ρ ∇p1k } + P0{ρ ∇p2k } k � и будем считать, что наборы k 3 -1 k=1 k 3 k=1 {_uk }k=1, {ρk ∇p1k }k=1 являются решениями первой вспомогательной задачи -P0{μkρ-1P0,S (Δ_uk )�3 3 + {ρ-1∇p1k } = d_u k 1k dω_ 1 k=1 k 3 1 k=1 3 3 = - dt - P0{P0,S1k ( dt × _r1k )�k=1 - {ρ- ∇p2k } + P0{f_k } , k k=1 k=1 _uk = _0 (на S1k ), k = 1, 2, 3, (3.202) μ1τj3(_u1) - μ2τj3(_u2) = 0 (на Γ1), μ2τj3(_u2) - μ3τj3(_u3) = 0 (на Γ2), j = 1, 2, [-p11 + μ1τ33(_u1)] - [-p12 + μ2τ33(_u2)] = 0 (на Γ1), [-p12 + μ2τj3(_u2)] - [-p13 + μ3τj3(_u2)] = 0 (на Γ2). 470 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ 3 При этом второй набор {ρ-1∇p2k } является решением второй вспомогательной задачи для k потенциалов (задачи Стеклова): k=1 ∂p2k Δp2k = 0 (в Ω1k ), = 0 (на S1k ), k = 1, 2, 3, ∂n ρ-1 ∂p21 1 ∂p22 3 2 = ρ- 1 ∂n =: ξ1 (на Γ1), _n = _e1 ; ∂n (3.203) ρ-1 ∂p22 1 ∂p23 3 3 = ρ- 2 ∂n =: ξ2 (на Γ2), _n = _e1 ; ∂n 1 1 p21 - p22 = (ρ1 - ρ2)ζ 1 := g(ρ1 - ρ2)[ζ1 + θ1((P2_δ1 × _r11) · _e 3)] (на Γ1), p22 - p23 = (ρ2 - ρ3)ζ 2 := g(ρ2 - ρ3)[ζ2 + θ2((P2_δ1 × _r12) · _e 3)] (на Γ2). (Нетрудно проверить, что сумма решений первой и второй вспомогательных задач дает решение исходной задачи.) Рассмотрим сначала вторую вспомогательную задачу. Пусть элементы ξj известны. Тогда для слабых решений из пространства H1(Ω1k ) и из граничных условий на S1k получаем, что ξj должны принадлежать классам H� -1/2 1/2 ∗ 1/2 ∗ Γj = (HΓj ) = (HΓj ∩ L2,Γj ) , j = 1, 2. (3.204) Здесь для нахождения функции p2k возникают три вспомогательные задачи Неймана. Для их слабых решений, аналогично ходу доказательства леммы 3.2, будем иметь p12|Ω11 = ρ1V11ξ1 + c1, p23|Ω13 = -ρ3V32ξ2 + c2, r r p21 dΓ1 = 0, Γ1 r r p23 dΓ2 = 0, Γ2 (3.205) p22|Ω12 = ρ2V22ξ2 - ρ2V21ξ1, (V22ξ2) dΓ2 = 0, Γ2 (V21ξ1) dΓ1 = 0, Γ1 где cj - константы. Из того представления получаем, что последние граничные условия из (3.203) можно переписать в виде матричного соотношения /(ρ - ρ )ζ \ ρ1γ11V11 + ρ2γ12V21 -ρ2θ1(γ12V22) ξ2 = g 1 2 1 . (3.206) -ρ2θ2(γ22V21) ρ2γ22V22 + ρ3γ23V32 ξ2 Здесь, как и выше (см. (3.197)), операторная матрица (ρ2 - ρ3)ζ 2 C = ρ1γ11V11 + ρ2γ12V21 -ρ2θ1(γ12V22) -ρ2θ2(γ22V21) ρ2γ22V22 + ρ3γ23V32 (3.207) является положительной, действующей из H� -1/2 × H� -1/2 на сопряженное пространство H1/2 × H1/2 Γ1 Γ2 Γ1 Γ2 . Отсюда получаем, что существует обратная операторная матрица C-1 ∈ L(H1/2 × H1/2; H� -1/2 -1/2 Γ1 Γ2 Γ1 × H�Γ2 ). (3.208) Поэтому слабое решение второй вспомогательной задачи (3.203) находится однозначно и имеет вид k ∇p2k }k=1 = gQ{ζ j }j=1 = gQ{ζj + θj ((P2_δ1 × _r1j ) · _e1 )}j=1, (3.209) {ρ-1 3 1/2 2 3 2 1/2 _ _ _ Q ∈ L(HΓ1 × HΓ2 ; Gh,S1,Γ(Ω1)), Gh,S1,Γ(Ω1) ⊂ J0,S1,Γ(Ω1). Введем теперь оператор нормального следа на границах раздела жидкостей: 2 γn_u := {γn,1_u1; γn,2_u2} = {(_uj · _e3 )|Γ } 3 , _u = {_uk } ∈ J_0,S ,Γ(Ω1), j γn ∈ L(J_0,S1,Γ j j=1 � 1 1/2 Γ k=1 1 -1/2 Γ (3.210) Лемма 3.14. Имеет место соотношение (Ω ); H- 1 2 γn × H� 2 ). Q∗ = {(ρj - ρj+1)}j=1 . (3.211) О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 471 2 1/2 1/2 -1 3 _ Доказательство. Пусть ζ := {ζj }j=1 ∈ HΓ1 × HΓ2 , Qζ = {ρk ∇ϕk }k=1 ∈ J0,S1,Γ(Ω1), _η = 3 {_ηk }k=1 ∈ J_0,S1,Γ(Ω1). Тогда с учетом обобщенной формулы Грина для негладких полей (см., например, [18]) _ 1 (∇ϕk, _ηk )L_ 2(Ω1k ) + •ϕk, div _ηk )L_ 2(Ω1k ) = •γϕk, _ηk · _n)L_ 2(∂Ω1k ), ∀η_k ∈ L2(Ω1k ), ϕk ∈ H (Ω1k ), (3.212) где оператор γ - оператор следа на ∂Ω1k получаем, что для выбранных выше элементов выполнено равенство (Qζ, _η)L_ 2(Ω1k ) = 3 '\" k=1 r ρk Ω1k k ρ-1∇ϕk · _ηk dΩ1k = = [•γ11ϕ1, γn,1_η1)L2(Γ1) - •γ12ϕ2, γn,1_η2)L2(Γ1)]+ [•γ22ϕ2, γn,2_η2)L2(Γ2) - •γ23ϕ3, γn,2_η3)L2(Γ2)] = = •γ11ϕ1 - γ12ϕ2, γn,1_η1)L2(Γ1) + •γ22ϕ2 - γ23ϕ3, γn,2_η2)L2(Γ2) = = (ρ1 - ρ2)•ζ1, γn,1_η1)L2(Γ1) + (ρ2 - ρ3)•ζ2, γn,2_η2)L2(Γ2) =: •ζ, Q∗_η)L2(Γ). (3.213) Вопрос о разрешимости первой вспомогательной задачи (3.202) рассмотрим позже. Преобразование кинематических граничных условий. Здесь рассуждения подобны тем, которые были проделаны в пункте 3.2.6 для случая двух несмешивающихся жидкостей. Если выполнены кинематические условия (3.136), (3.137), т. е. dζ1 d dt - γn,1_u1 = 0 (на Γ1), dt P2_δ1 - P2ω_ 1 = 0, то выполнены также условия dζ2 dt - γn,2_u2 = 0 (на Γ2), (3.214) rг dζ1 l г d 3 3 l [ρ1 - ρ2] dt - γn,1_u1 + dt θ1((P2_δ1 × _r11) · _e1 ) - θ1((P2ω_ 1 × _r11) · _e1 ) = 0, rг dζ2 l г d 3 3 l [ρ2 - ρ3] dt - γn,2_u2 r + г dζ1 dt θ2((P2_δ1 × _r12) · _e1 ) - θ2((P2ω_ 1 × _r12) · _e1 ) l = 0, (3.215) - (ρ1 - ρ2) Γ1 r - (ρ2 - ρ3) Γ2 1 (_e 3 × _r11) 1 (_e 3 × _r12) dt г dζ2 dt - γn,1_u2 l - γn,2_u2 dΓ1- dΓ2 + m1l1 г d l dt P2_δ1 - P2ω_ 1 = _0. Введем, как и в пункте 3.2.6, осевые моменты инерции границ раздела Γ1 и Γ2: β(k) (k) r j l jl = βlj := Γk xkθk (xk ) dΓk, j, l = 1, 2, k = 1, 2. Лемма 3.15. Если выполнено условие /m1l1 - [(ρ1 - ρ2)β(1) + (ρ2 - ρ3)β(2)] (ρ1 - ρ2)β(1) + (ρ2 - ρ3)β(2) \ Δ2 := det 22 (1) 22 (2) 21 (1) 21 (2) /= 0, (ρ1 - ρ2)β12 + (ρ2 - ρ3)β12 m1l1 - [(ρ1 - ρ2)β11 + (ρ2 - ρ3)β11 ] то условия (3.214) и (3.215) равносильны. (3.216) Доказательство. В правую сторону импликация (3.214) ⇒(3.215) уже проведена. Проверим ее в левую сторону. Для этого обозначим ϕ1 := dζ1 dt - γn,1_u1, ϕ2 := dζ2 dt - γn,2_u2, _1 2_1 - 2 1 d ψ := P δ P ω_ . (3.217) dt 472 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ Тогда из (3.215) получаем однородную систему уравнений ϕ1 + θ1((ψ_1 × _r11) · _e 3) = 0, ϕ2 + θ2((ψ_1 × _r12) · _e 3) = 0, r - (ρ1 - ρ2) Γ1 1 r 1 (_e 3 × _r11)ϕ1 dΓ1 - (ρ2 - ρ3) Γ2 1 1 (_e 3 × _r12)ϕ2 dΓ2 + m1l1ψ_1 = _0. (3.218) Отсюда приходим к уравнению для ψ_1: r m1l1ψ_1 + (ρ1 - ρ2) (_e 3 × _r11) rθ1((ψ_1 × _r11) · _e 3) dΓ1+ 1 1 Γ1 r (3.219) + (ρ2 - ρ3) (_e 3 × _r12) rθ2((ψ_1 × _r12) · _e 3) dΓ2 = _0. 1 1 Γ2 2 1 Представим ψ_1 в виде ψ_1 = ), ψ1j_e j и учтем, что j=1 _r1j × _e 3 = x2_e 1 - x1_e 2, θ1((ψ_1 × _r11) · _e 3) = ψ11(θ1x2) - ψ12(θ1x1), 1 j 1 j 1 1 1 1 (3.220) θ2((ψ_1 × _r12) · _e 3) = ψ11(θ2x2) - ψ12(θ2x1). 1 2 2 Тогда проекции векторного соотношения (3.219) дают однородную систему уравнений относи- тельно ψ11 и ψ12 с определителем Δ2 /= 0. Отсюда получаем, что ψ_1 = _0, ϕ1 = ϕ2 = 0. Введем теперь, опираясь на новые кинематические соотношения (3.215), оператор потенциаль- ной энергии системы, который на кинематических переменных действует по закону }j=1 z2 := ({ζj 2 ; P2ω_ 1)τ 2 ∈ H2 = (L2,Γ1 ⊕ L2,Γ2 ) ⊕ C (3.221) ⎛ J(ρ - ρ )[ζ + θ ((P δ × _r 2 ) · _e 3)] ⎞ C2z2 := ⎜ j j+1 j { j 2_1 1j { 1 j=1 ⎟ . (3.222) 1 ⎝-(ρ1 - ρ2) Γ1 1 (_e 3 × _r11)ζ1 dΓ1 - (ρ2 - ρ3) Γ2 (_e 3 × _r12)ζ2 dΓ2 + m1l1P2_δ1⎠ Лемма 3.16. Оператор потенциальной энергии (3.222) ограничен и самосопряжен в H2; при условии (3.216) он имеет ограниченный обратный. Доказательство. Ограниченность C2 следует из его определения, а ограниченная обратимость- из условия (3.216). Проверим свойство его самосопряженности: r r 3 (C2z2, z2)H2 = (ρ1 - ρ2) Γ1 ζ1 + θ1((P2_δ1 × _r11) · _e1 ) ζ1 dΓ1+ r + (ρ2 - ρ3) Γ2 r ζ2 + θ2((P2_δ1 × _r12) · _e 3) r 1 ζ2 dΓ2- r - (ρ1 - ρ2) Γ1 1 (_e 3 × _r11)ζ1 dΓ1 · P2_δ1 - (ρ2 - ρ3) Γ2 1 (_e 3 × _r12)ζ2 dΓ2 · P2_δ1 + m1l1|P2_δ1|2 = r r = (ρ1 - ρ2) Γ1 1 |ζ1|2 + 2Re (ζ1θ1((P2_δ1 × _r11) · _e 3)) dΓ1+ r r + (ρ2 - ρ3) Γ2 1 |ζ2|2 + 2Re (ζ2θ2((P2_δ1 × _r12) · _e 3)) dΓ2 + m1l1|P2_δ1|2 = r = (ρ1 - ρ2) Γ1 r 1 |ζ1 + θ1((P2_δ1 × _r11)|2 - |θ1((P2_δ1 × _r11)_e 3)|2 dΓ1+ О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 473 r + (ρ2 - ρ3) r |ζ2 + θ2((P2_δ1_r12) · _e 3)|2 - |θ2((P2_δ1_r12) · _e 3)|2 dΓ2 + m1l1|P2_δ1|2 ∈ R. (3.223) 1 1 Γ2 Лемма 3.17. Для того, чтобы оператор потенциальной энергии C2 был неотрицателен, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия 11 Δ1 := m1l1 - [(ρ1 - ρ2)β1 11 + (ρ2 - ρ3)β2 ] � 0, Δ2 � 0. (3.224) Для положительной определенности оператора C2 необходимо и достаточно выполнение условий Δ1 > 0, Δ2 > 0. (3.225) Доказательство. Оно проводится по тому же плану, что и в лемме 3.7, с некоторыми заменами обозначений. Возвращаясь к эквивалентным кинематическим условиям (3.215), приходим к выводу, что эти условия дают операторное уравнение gC dz2 + gB z = 0 (3.226) 2 dt 21 1 в гильбертовом пространстве H2. При этом }k=1 z1 := ({_uk 3 ; - динамические переменные системы, а ⎛J ∈ H1 = J_0,S ,Γ(Ω1) ⊕ C τ 1 ω_ 1) 3 2 ⎞ (3.227) ⎜ B21z1 := ⎜ j - (ρj - ρj+1)[γn,j _uj + θj ((P2ω_ 1 × _r1j ) · _e 3)] 2 j=1 ⎟ ⎟ , (3.228) 1 ⎝ ), (ρj - ρj+1) { (_e 3 × _r1j ) γn,j _uj dΓj - m1l1P2ω_ 1 ⎠ j=1 Γj J τ 3 D(B21) := z1 = {_u; ω_ 1} ∈ H1 : _u = {_uk }k=1 ∈ J_0,S1,Γ(Ω1), γn,j _uj ∈ L2,Γj , j = 1, 2 . (3.229) Оператор B21 : H1 → H2 является элементом оператора обмена энергией изучаемой гидромеха- нической системы; вместе с оператором B12 : H2 → H1 он составит в дальнейшем весь оператор обмена между кинетической и потенциальной энергиями (см. ниже, а также пункт 3.2.7). Переход к задаче Коши для системы дифференциально-операторных уравнений первого порядка. Вернемся теперь к рассмотрению первой вспомогательной задачи, т. е. задачи (3.202), считая, что первая часть _h в уравнении является элементом пространства J_0,S1,Γ(Ω1). Покажем, что эту задачу можно кратко переписать в виде A�_u = _h, _u ∈ D(A�), _h ∈ J_0,S1,Γ(Ω1), (3.230) где A� - оператор гильбертовой пары (J_0,S1,Γ(Ω1); J_0,S1,Γ(Ω1)), (см. (3.157), (3.158)). С этой целью воспользуемся формулами Грина (см. [18, с. 81]) для векторного оператора Ла- пласа применительно к областям Ω1k (с липшицевыми границами, разбитыми на липшицевые куски). Имеем для соленоидальных полей: p11 L_ 2(Ω11) μ1E1(_η1, _u1) = •_η1, -μ1P0,S11 (Δ_u1)+ ∇� ) + 3 11 + '\"•γS j=1 η1j, 3 p11 '\"(μ1τjk (_u1) - � k=1 δjk k ) cos(_n,∧ _e1 )) L2(S11)+ 3 1 + '\"•γΓ η1j, j=1 3 p11 '\"(μ1τjk (_u1) - � k=1 δjk k ) cos(_n,∧ _e1 )) L2(Γ1) ; (3.231) μ2E2(_η2, _u2) = •_η2, -μ2P0,S12 (Δ_u2)+ ∇� ) + p12 L_ 2(Ω12) 474 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ 3 12 + '\"•γS j=1 3 η2j, 3 p12 '\"(μ2τjk (_u2) - � k=1 3 δjk k ) cos(_n,∧ _e1 )) L2(S12)+ 2 + '\"•γΓ η2j, j=1 p12 '\"(μ2τjk (_u2) - � k=1 δjk k ) cos(_n,∧ _e1 )) L2(Γ2)- 3 '\" 3 '\" p12 jk k L (Γ ) - j=1 •γΓ1 η2j, k=1 (μ2τjk (_u2) - � δ ) cos(_n,∧ _e1 )) 2 1 ; (3.232) p13 L_ 2(Ω13) μ3E3(_η3, _u3) = •_η3, -μ3P0,S13 (Δ_u3)+ ∇� ) + 3 13 + '\"•γS j=1 η3j, 3 p13 '\"(μ3τjk (_u3) - � k=1 δjk k ) cos(_n,∧ _e1 )) L2(S13)- 3 '\" 3 '\" p13 jk k L (Γ ) - j=1 •γΓ2 η3j, k=1 (μ3τjk (_u3) - � δ ) cos(_n,∧ _e1 )) 2 2 . (3.233) }k=1 0,S1,Γ Из этих формул следует, что для полей _u = {_uk 3 ∈ J_1 (Ω1) справедлива формула Грина 3 3 '\" μk Ek (_ηk , _uk ) = '\"•_ηk , -μk P0,S (Δ_uk )+ ∇� ) + k=1 3 k=1 '\" 3 1k p1k L_ 2(Ω1k ) + '\"•γΓ η1j, {(μ1τjk (_u1) - � δ ) - (μ τ (_u ) - � δ k )} cos(_n,∧ _e1 )) + 1 p11 jk jk 2 p12 jk L (Γ ) (3.234) j=1 3 + '\"•γΓ η2j, '\" k=1 3 {(μ2τjk (_u2) - � δ ) - (μ τ (_u ) - � δ 2 1 k )} cos(_n,∧ _e1 )) . 2 j=1 k=1 p12 jk jk 3 p13 jk L2(Γ2) Отсюда, а также из формулировки задачи (3.202) и определения обобщенного решения краевых задач на основе гильбертовой пары пространств получаем, что для задачи (3.202) обобщенное решение при - - P _h := d _u rP dω_ 1 × _r 3 - {p-1∇p �3 + P Jf_ 3 ∈ J_ (Ω ) (3.235) dt 0 0,S1k dt 1k k=1 k 2k k=1 0 k k=1 0,S1,Γ 1 определяется из тождества 3 3 '\" μk Ek (_ηk , _uk ) = '\" ρk (_ηk , _hk )L_ (Ω ) = (_η, _h)L_ 1 (Ω ), ∀_η ∈ J_ (Ω1). (3.236) k=1 k=1 2 1k 2 1 0,S1,Γ В силу (3.160) здесь левая часть для _u ∈ D(A�) равна J_1 (_η, _u) 0,S1,Γ(Ω1) � = (A1/2 � _η, A1/2 1 _u)J_1 (Ω ) 0,S1,Γ 1 = (_η, A�_u)J_1 (Ω ) 0,S1,Γ . (3.237) Таким образом, первая вспомогательная задача (3.202) равносильна соотношению (3.230) при _h из (3.235). Вспоминая еще представление (3.209) для решения второй вспомогательной зада- чи (3.203), приходим к выводу, что уравнения движения системы из трех вязких жидкостей в полости маятника приводятся к дифференциальному уравнению d_u dt + A�_u + P0 r P0,S1k dω_ 1 dt × _r1k 3 k=1 + gQ 3 J ζj + θj ((P2_δ1 × _r1j ) · _e1 ) 2 j=1 = P0 k Jf_ 3 k=1 . (3.238) О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 475 Вместе с уравнением движения маятника (см. (3.132)), т. е. соотношением J_1 dω_ 1 dt 2 '\" 3 + '\" ρk k=1 r Ω1k r _r1k × d_uk dt dΩ1k + α1ω_ 1 + gm1l1P2_δ1- (3.239) - j=1 (ρj - ρj+1) Γj 1 (_e 3 × _r1j )ζjdΓj = M_ 1(t), можно эти оба соотношения кратко записать в виде операторного уравнения dz1 0 C1 dt + A1z1 + gB12z2 = f1(t), z1(0) = z1 . (3.240) Здесь z1 := (_u; ω_ 1)τ ∈ H1 = 1 J_0,S ,Γ(Ω1) ⊕ C3 - динамическая переменная изучаемой системы, _ τ { 2 j=1 j z2 := r ζj }j=1 ; P2δ1\ ∈ H2 = (⊕2 L2,Γ ) ⊕ C2 - кинематическая переменная, а f1(t) := P0 Jf_k 3 ; k=1 τ M_ 1(t) (3.241) - заданная функция времени со значениями в H1. Далее, операторные коэффициенты из (3.240) задаются формулами (см. также (3.209)) ⎛ 3 3 ⎞ {_uk }k=1 + P0 {P0,S1k (ω_ 1 × _r1k )}k=1 3 ⎝ ⎠ , (3.242) C1z1 := ⎜ J_1ω_ 1 + ), ρk { (_r1k × _uk ) dΩ1k ⎟ k=1 Ω1k A1 := diag (A�; α1), D(A1) = D(A�) ⊕ C3, (3.243) ⎛ Q Jζ + θ ((P δ × _r 2 ) · _e 3) ⎞ ⎜ B12z2 := ⎜ 2 j j 2_1 1j 1 j=1 ⎟ ⎟ , (3.244) 1 ⎝- ), (ρj - ρj+1) { (_e 3 × _r1j )ζj dΓj + m1l1P2_δ1⎠ j=1 Γj D(B12) = D(Q) ⊕ C2 = (H1/2 × H1/2) ⊕ C2. (3.245) Γ1 Γ2 Напомним, что символом J_1 в (3.239) обозначен тензор инерции (относительно точки подвеса O1) тела с жидкостями в состоянии равновесия, см. (3.132). Итоговая формулировка задачи Коши. Свойства операторных коэффициентов. Изу- чим сначала свойства операторных коэффициентов в уравнении (3.240). 3 Лемма 3.18. Оператор C1 из (3.242) является оператором кинетической энергии гидро- механической системы. Он ограничен, самосопряжен и положительно определен в H1 = J_0,S1,Γ(Ω1) ⊕ C . Доказательство. Ограниченность C1 в H1 следует из его определения. Проверим другие сфор- мулированные свойства. Используя равенство (см. (3.132)) J_ ω_ = ρ r \ r 1 1 · ω_ 1 0 Ω0 3 |ω_ 1 × _r0|2 dΩ0 + '\" ρk k=1 r Ω1k |ω_ 1 × _r1k |2 dΩ1k, (3.246) 476 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ вычислим квадратичную форму оператора C1. Имеем (C1z1, z1)H1 = 3 '\" k=1 r ρk Ω1k 2 |_uk | dΩ1k + 3 '\" k=1 r ρk Ω1k (P0,S1k (ω_ 1 × _r1k )) · _uk dΩ1k + 3 + rJ_1ω_ 1\ · ω_ 1 + '\" ρk k=1 r Ω1k r (_r1k × _uk ) dΩ1k · ω_ 1 = ... = ρ0 Ω0 |ω_ 1 × _r0|2 dΩ0+ (3.247) 3 + '\" ρk k=1 r Ω1k {|_uk |2 + (ω_ 1 × _r1k ) · _uk + (_r1k × _uk ) · ω_ 1 + |ω_ 1 × _r1k |2� dΩ1k = r = ρ0 Ω0 3 |ω_ 1 × _r0|2 dΩ0 + '\" ρk k=1 r Ω1k |_uk + ω_ 1 × _r1k |2 dΩ1k � 0. Отсюда при условии (C1z1, z1)H1 = 0 получаем, что ω_ 1 = _0, _uk ≡ _0 (k = 1, 2, 3), т. е. C10 = diag r{Ik } z1 = 0. Значит, C1 - положительный оператор. Так как он имеет структуру C1 = C10 + C11, 3 k=1 ; J_1\ » 0 (поскольку J_1 » 0 в C3), а C11 - конечномерный оператор, то C1 » 0 в H1. Отметим, наконец, что квадратичная форма (3.247) равна удвоенной кинетической энергии системы, т. е. C1 действительно является оператором кинетической энергии. Лемма 3.19. Оператор A1 из (3.243) является оператором диссипации энергии системы. Он неограничен, самосопряжен и положительно определен в H1, а его обратный оператор положителен и компактен в H1. Доказательство. Свойства оператора A1 следуют из свойств оператора A� (см. пункт 3.3.2) и того, что α1 > 0. Его квадратичная форма (A1z1, z1)H1 = 3 '\" k=1 μk Ek (_uk , _uk )+ α1|ω_ 1|2 (3.248) равна скорости диссипации энергии в системе. Лемма 3.20. Операторы B12 : D(B12) ⊂ H2 → H1 и B21 : D(B21) ⊂ H1 → H2, заданные фор- мулами (3.244), (3.245) и (3.228), (3.229) соответственно, являются кососамосопряженными: (z1, B12z2)H1 = -(B21z1, z2)H2 , ∀z1 ∈ D(B21), ∀z2 ∈ D(B12). (3.249) Доказательство. Проверим это свойство поэлементно. k=1 1◦. Пусть z1 = r{_uk }3 0 ; _\τ ∈ D(B21), z2 = j Jζ_ 2 j=1 τ ; _0 2 ∈ D(B12), тогда Q {ζj }j=1 = {ρ-1 3 k ∇ϕk �k=1 - решение вспомогательной задачи (3.203) (см. (3.209)). Имеем r 3 2 \ 3 '\" r -1 (z1, B12z2)H1 = {_uk }k=1 ; Q {ζj }j=1 L_ 2 = (Ω1) k=1 ρk Ω1k _uk · (ρk ∇ϕk ) dΩ1k = ... = = r(γn,1_u1, γ11ϕ1) L2(Γ1) - (γn,1_u2, γ12ϕ2) L2(Γ1) ( + r γn,2_u2, γ22ϕ2) 2 '\" L2(Γ2) - (γn,2_u3, γ23ϕ3) = L2(Γ2) = (γn,1_u1, (ρ1 - ρ2)ζ1)L2(Γ1) + (γn,2_u2, (ρ2 - ρ3)ζ2)L2(Γ2) = j=1 (ρj - ρj+1) (γn,j _uj , ζj )L2(Γj ) . О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 477 С другой стороны, r 2 2 \ (B21z1, z2)H2 = -{(ρj - ρj+1)γn,j _uk �j=1, {ζj }j=1 = L2(Γ1)⊕L2(Γ2) = -(ρ1 - ρ2) 2 r (γn,1_u1)ζ1 dΓ1 - (ρ2 - ρ3) Γ1 r (γn,2_u2)ζ2 dΓ2 = Γ2 = - '\"(ρj - ρj+1) (γn,j _uj , ζj )L (Γ ) = -(z1, B12z2)H . j=1 2 j 1 3 \τ r \τ k=1 2◦. Пусть теперь z1 = r{_uk } ; _0 , z2 = 0; P2_δ1 . Тогда с учетом соотношения } Q{θj ((P2_δ1 × _r1j ) · _e 3) 2 = {ρ-1 3 ∇ψk } , где Δψk = 0 (в Ωk ), ρ -1 ∂ψk = 0 (на S1k ), ρ -1 ∂ψ1 = 1 j=1 k k=1 k ∂n 1 ∂n ρ-1 ∂ψ2 1 ∂ψ2 1 ∂ψ3 3 3 2 (на Γ ), ρ- 2 1 ∂n 3 2 1 = ρ- ∂n (на Γ ), _n = _e ∂n , ψ1 - ψ2 = (ρ1 - ρ2)θ1((P2_δ1 ×_r11) ·_e1 ) (на Γ1), 1 ψ2 - ψ3 = (ρ2 - ρ3)θ2((P2_δ1 × _r12) · _e 3) (на Γ2), имеем r 3 3 2 \ (z1, B12z2)H1 = 2 {_uk }k=1 ; Q{θj ((P2_δ1 × _r1j ) · _e1 )}j=1 = L_ 2(Ω1) 1 = '\"(ρj - ρj+1) rγn,j _uj , θj (P2_δ1 × _r1j ) · _e 3)\ . L2(Γj ) Далее, j=1 r 3 r 3 (B21z1, z2)H2 = (ρ1 - ρ2) Γ1 (_e1 × _r11)γn,1_u1dΓ1 · P2_δ1 + (ρ2 - ρ3) Γ2 (_e1 × _r12)γn,2_u2dΓ2 · P2_δ2 = ... = 2 1 = - '\"(ρj - ρj+1) rγn,j _uj , θj (P2_δ1 × _r1j ) · _e 3)\ L2(Γj ) = -(z1, B12z2)H1 . j=1 }j=1 3◦. Рассмотрим вариант z1 = (_0, ω_ 1)τ , z2 = ({ζj 2 ; _0)τ . Тогда r (z1, B12z2)H1 = ω_ 1 · - (ρ1 - ρ2) Γ1 r r 1 (_e 3 × _r11)ζ1 dΓ1 - (ρ2 - ρ3) Γ2 r 1 (_e 3 × _r12)ζ2 dΓ2 = = (ρ1 - ρ2) Γ1 2 1 θ1((P2ω_ 1 × _r11) · _e 3)ζ1 dΓ1 + (ρ2 - ρ3) Γ2 1 θ2((P2ω_ 1 × _r12) · _e 3)ζ2 dΓ2 = = '\"(ρj - ρj+1) (θj ((P2ω_ 1 × _r1j ) · _e 3), ζj ) ; j=1 r{ 1 L2(Γj ) 3 2 \ (B21z1, z2)H2 = - (ρj - ρj+1)θj ((P2ω_ 1 × _r1j ) · _e1 ), ζj )L (Γ ) , {ζj }j=1 = 2 j L2(Γ1)⊕L2(Γ2) r r = -(ρ1 - ρ2) Γ1 2 1 θ1((P2ω_ 1 × _r11) · _e 3)ζ1 dΓ1 - (ρ2 - ρ3) Γ2 1 θ2((P2ω_ 1 × _r12) · _e 3)ζ1 dΓ2 = 1 = - '\"(ρj - ρj+1) (θj ((P2ω_ 1 × _r1j ) · _e 3), ζj ) L2(Γj ) = -(z1, B12z2)H1 . j=1 4◦. Последний вариант: z1 = (_0; ω_ 1)τ , z2 = (_0, P2_δ1)τ . Имеем (z1, B12z2)H1 = ω_ 1 · m1l1P2_δ1 = m1l1P2ω_ 1 · P2_δ1, (B21z1, z2)H2 = -m1l1P2ω_ 1 · P2_δ1. 478 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ Опираясь на доказанные утверждения в виде предыдущих лемм, сформулируем итоговый вывод рассмотрения начально-краевой задачи о малых движениях маятника с полостью, заполненной тремя несмешивающимися вязкими жидкостями. Теорема 3.3. Задача (3.132)-(3.140) равносильна задаче Коши для системы дифференциаль- ных уравнений dz1 0 C1 dt + A1z1 + gB12z2 = f1(t), z1(0) = z1 , (3.250) dz2 0 gC2 dt + gB21z1 = 0, z2(0) = z2 , в гильбертовом пространстве H := H1 ⊕ H2, а также тривиальной связи d δ3 3 3 3 0 dt 1 (t) = ω1 (t), δ1 (0) = (δ1 ) . (3.251) Операторные коэффициенты в (3.250) имеют отчетливый физический смысл: C1 - опера- тор кинетической энергии, C2 - оператор потенциальной энергии, A1 - оператор диссипации энергии. Коротко задачу (3.250) можно переписать в виде dz C + Az + gBz = f (t), z(0) = z0, (3.252) dt z = (z1; z2)τ ∈ H = H1 ⊕ H2, f (t) = (f1(t); 0)τ , (3.253) 0 B12 C := diag (C1; gC2), A := diag (A1; 0), B = -B∗ = B21 0 . (3.254) При этом C - оператор полной энергии системы, A - оператор диссипации энергии, а оператор B : D(B21) ⊕ D(B12) ⊂ H1 ⊕ H2 = H→ H (3.255) можно назвать оператором обмена между кинетической и потенциальной энергиями. Подводя итоги рассмотрения трех вспомогательных начально-краевых задач этого пункта, при- ходим к следующему выводу. Каждая из этих задач приводится к исследованию задачи Коши вида (3.250) в соответственно подобранном гильбертовом пространстве: задача (3.1)-(3.5) о ма- лых движениях маятника с полостью, целиком заполненной однородной идеальной жидкостью - к задаче Коши (3.14), задача (3.32)-(3.38) о малых движениях маятника с полостью, заполненной двумя несмешивающимися идеальными жидкостями - к задаче Коши (3.114), а задача (3.132)- (3.140) о малых движениях маятника с полостью, заполненной тремя несмешивающимися вязкими жидкостями - к задаче Коши (3.250). Кроме того, в каждой из этих задач дополнительно рассмат- ривается кинематическая связь вида (3.251). Далее будет показано, что и общая исходная задача (2.3)-(2.20) о малых движениях трех сочлененных маятников с полостями, заполненными одной или несколькими идеальными либо вязкими жидкостями, также приводится к задаче Коши вида (3.250) с аналогичными свойствами операторных коэффициентов. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ О КОЛЕБАНИЯХ СИСТЕМЫ ИЗ ТРЕХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ Перейдем теперь к изучению исходной начально-краевой задачи (2.3)-(2.20), опираясь на по- строения, проведенные выше для соответствующих вспомогательных задач для одиночных маят- ников. Применение метода ортогонального проектирования. Рассмотрим сначала наиболее про- стую проблему: уравнение движения идеальной жидкости в полости третьего маятника и уравне- ние движения этого маятника (см. (2.8), (2.5)). Имеем d_u31 + dω_ 1 _ dω_ 2 _ dω_ 3 1 dt dt × h1 + 31 dt × h2 + dt × _r31 + ρ- ∇p31 = f_31 (в Ω31), (4.1) О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 479 r ρ30 _r30 × dω_ 1 _ dt × h1 + 2 _ dω_ dt × h2 + dω_ 3 dt × _r30 dΩ30+ Ω30 r + ρ31 _r31 × dω_ 1 _ dt × h1 + 2 _ dω_ dt × h2 + dω_ 3 dt × _r31 dΩ31+ Ω31 r + ρ31 Ω31 r _r31 × dt 31 3 2 3 3 2 3 d_u31 dΩ + α(ω_ - ω_ )+ gm l P _δ = r (4.2) + ρ30 Ω30 (_r30 × f_30) dΩ30 + ρ31 Ω31 (_r31 × f_31) dΩ31 =: M_ 3(t). Введем, опираясь на ортогональное разложение L_ 2(Ω31) = J_0(Ω31) ⊕ G_ (Ω31), (4.3) _ J_0(Ω31) = Ju31 ∈ L_ 2(Ω31) : div _u31 = 0 (в Ω31), _u31 · _n31 = 0 (на S31 = ∂Ω31) , (4.4) ⎧ ) = G_ (Ω31 ⎨ r ∇p31 ∈ L_ 2(Ω31) : ⎫ = 0 p31 dS31 ⎬ , (4.5) ⎩ (см. (3.9), (3.10)), ортопроекторы S31 ⎭ P0,3 : L_ 2(Ω31) → J_0(Ω31), PG,3 : L_ 2(Ω31) → G_ (Ω31), (4.6) и напомним, что по постановке задачи (см. (2.8), (2.11)) _u31 является функцией переменной t со значениями в J_0(Ω31), а ∇p31 - функция t со значениями в G_ (Ω31). Применяя операторы P0,3 и PG,3 к обеим частям уравнения (4.1), получим соотношения d_u31 + P dω_ 1 _ dω_ 2 _ dω_ 3 dt 0,3 dt × h1 + dt × h2 + dt × _r31 = P0,3f_31, (4.7) PG,3 dω_ 1 _ dt × h1 + 2 _ dω_ dt × h2 + dω_ 3 dt × _r31 31 + ρ-1∇p31 = PG,3f_31. (4.8) Из (4.7) получаем поле скоростей в области Ω31: _ d_u31 = -P dω_ 1 _ dω_ 2 dω_ 3 dt 0,3 dt × h1 + dt × h2 + dt × _r31 + P0,3f_31, (4.9) а из (4.8) - поле давлений, если известны угловые скорости в каждом маятнике. Подставляя (4.9) в (4.2), приходим к уравнению движения третьего маятника в следующем виде (см. (3.14)): rJ_т,3 + J_пр,3\ dω_ 3 r + ρ30 _r30 _ dω_ 1 1 _ dω_ 2 2 30 dt Ω30 dt × h + dt × h dΩ + r + ρ31 _r31 × PG,3 dω_ 1 _ dt × h1 + 2 _ dω_ dt × h2 dΩ31 + α3(ω_ 3 - ω_ 2)+ gm3l3P2_δ3 = (4.10) Ω31 r = M_ 3,пр(t) := ρ30 r (_r30 × f_30) dΩ30 + ρ31 (_r31 × PG,3f_31) dΩ31, r J_т,3ω_ 3 := ρ30 Ω30 (_r30 × (ω_ 3 × _r30)) dΩ30, Ω31 r J_пр,3ω_ 3 := ρ31 (_r31 × PG,3(ω_ 3 - ω_ 2)) dΩ31, (4.11) Ω30 Ω3 где J_т,3 - момент инерции третьего маятника, отвечающий его твердой части Ω30, а J_пр,3 - приве- денный момент инерции, отвечающий его жидкой части Ω31. Таким образом, движение третьего маятника с жидкостью при полном заполнении области Ω31 приводится к его движению как твердого тела с видоизмененными характеристиками: приведен- ному моменту инерции J_пр,3 и приведенному внешнему полю M_ 3,пр(t). 480 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ Перейдем теперь к рассмотрению уравнений движения жидкостей в первом маятнике и уравне- нию движения этого маятника (см. (2.6), (2.3)). Имеем: d 2 dω_ 1 2 1 2 J _ 2 dt {_u1k }k=1 + { 1k dt × _r1k �k=1 + {ρ- ∇p1k �k=1 = f1k k=1 , (4.12) r ρ10 _r10 × dω_ 1 dt × _r10 dΩ10 + 2 '\" r ρ1k _r1k × dω_ 1 dt × _r1k dΩ1k + Ω10 2 + '\" ρ1k k=1 r Ω1k _r1k × d_u 1k dt k=1 r dΩ1k + ρ20 Ω20 Ω1k _h1 × dω_ 1 dt × _h1 + dω_ 2 dt × _h2 dΩ20+ 3 + '\" ρ2k k=1 r Ω2k _h1 × dω_ 1 dt × _h1 + dω_ 2 dt × _r2k 3 dΩ2k + '\" ρ2k k=1 r Ω2k _h1 × d_u 2k dt dΩ2k + r + ρ30 _h1 × dω_ 1 _ dt × h1 + 2 _ dω_ dt × h2 + dω_ 3 dt × _r30 dΩ30+ (4.13) Ω30 r + ρ31 _h1 × dω_ 1 _ dt × h1 + 2 _ dω_ dt × h2 + dω_ 3 dt × _r31 r dΩ31 + ρ31 _h1 × d_u31 dt dΩ31+ Ω31 Ω31 r + α1ω_ 1 - α2(ω_ 2 - ω_ 1)+ g(m1l1 + h1(m2 + m3))P2_δ1 - g(ρ11 - ρ12) Γ11 1 (_e 3 × _r11)ζ11 dΓ11 = r r = (_r1 × f_1) dm1 + G1 G2 2 r (_h1 × f_2) dm2 + G3 (_h1 × f_3) dm3 =: M_ 1(t). -1 2 Здесь {_u1k }k=1 - наборы полей скоростей жидкости в областях Ω1k, k = 1, 2, {ρ1k ∇p1k �k=1 - соответствующие наборы для давлений. Напомним (см. пункт 3.2.3), что в пространстве L_ 2(Ω1) = L_ 2(Ω11) ⊕ L_ 2(Ω12) со скалярным произведением (3.41), т. е. 2 '\" r 2 2 (_u1, _v1)L_ 2(Ω1) := k=1 ρ1k Ω1k _u1k · _v1k dΩ1k, _u1 = {_u1k }k=1 , _v1 = {_v1k }k=1 , (4.14) имеет место ортогональное разложение (3.42), (3.48): L_ 2(Ω1) = J_0(Ω1) ⊕ G_ h,S1 (Ω1) ⊕ G_ 0,Γ11 , (4.15) J_0(Ω1) = J_0(Ω11) ⊕ J_0(Ω12), (4.16) G_ h,S1 (Ω1) := 1k J {ρ-1∇Φ1k � 2 k=1 : ΔΦ1k = 0 (в Ω1k ), ∂Φ1k ∂n = 0 (на S1k ), ρ-1 ∂Φ11 = ρ-1 ∂Φ12 , _n = _e 3 (на Γ r ), Φ dΓ = 0, k = 1, 2 (4.17) , 11 ∂n11 12 ∂n11 11 1 11 1k 11 Γ11 J 1 2 G_ 0,Γ11 (Ω1) := {ρ- ∇ψ1k } ∈ L_ 2(Ω1) : ψ11 - ψ12 = 0 (на Γ11) . (4.18) 1k k=1 2 По постановке задачи набор полей скоростей в первом маятнике, т. е. {_u1k }k=1 , является функ- цией t со значениями в J_0(Ω1) ⊕ G_ h,S1 (Ω1), а набор полей давлений - функцией t со значениями в G_ h,S1 (Ω1) ⊕ G_ 0,Γ11 (Ω1). Поэтому, как в пункте 3.2.4, будем искать эти поля в виде (3.50), (3.51), т. е. 2 2 -1 2 2 -1 2 {_u1k }k=1 = {w_ 1k }k=1 + {ρ1k ∇Φ1k �k=1 , {w_ 1k }k=1 ∈ J_0(Ω1), {ρ1k ∇Φ1k �k=1 ∈ G_ h,S1 (Ω1), (4.19) {ρ-1 2 -1 2 -1 2 1k ∇p1k �k=1 = {ρ1k ∇ϕ1k �k=1 + {ρ1k ∇ψ1k �k=1 , (4.20) {ρ-1 2 -1 2 1k ∇ϕ1k �k=1 ∈ G_ h,S1 (Ω1), {ρ1k ∇ψ1k �k=1 ∈ G_ 0,Γ11 (Ω1). О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 481 Введем теперь, как в пункте 3.2.4, ортопроекторы P0,1 : L_ 2(Ω1) → J_0(Ω1), Ph,S1 : L_ 2(Ω1) → G_ h,S1 (Ω1), P0,Γ11 : L_ 2(Ω1) → G_ 0,Γ11 (Ω1), (4.21) отвечающие разложению (4.15)-(4.18), и подействуем ими на обе части уравнения (4.12). Будем иметь соотношения d 2 r dω_ 1 2 J _ 2 dt {w_ 1k }k=1 + P0,1 dt × _r1k k=1 = P0,1 f1k , (4.22) k=1 d {ρ-1 2 r dω_ 1 2 2 J _ 2 1 dt 1k ∇Φ1k �k=1 + Ph,S1 dt × _r1k k=1 1k + {ρ- ∇ϕ1k � k=1 = Ph,S1 f1k k=1 , (4.23) P0,Γ11 r dω_ 1 dt × _r1k 2 k=1 + {ρ- ∇ψ1k �k=1 = P0,Γ11 2 1k 1 Jf_1k 2 k=1 . (4.24) 1k Снова видим, что поле {ρ-1∇ψ1k � 2 k=1 находится из (4.24) по известному полю скорости ω_ 1 и полю внешних сил f_1. Поэтому далее рассматриваем лишь соотношения (4.22)-(4.23). Подставляя еще выражение для d_u3/dt из (4.9) в (4.13) и используя определение момента инерции для первого маятника, т. е. выражение r J_1ω_ 1 := ρ10 2 r (_r10 × (ω_ 1 × _r10)) dΩ10 + '\" ρ1k (_r1k × (ω_ 1 × _r1k )) dΩ1k, (4.25) Ω10 k=1 Ω1k получим преобразованное уравнение движения первого маятника: 2 J_1 d dω_ 1 dt + '\" ρ1k k=1 r Ω1k (_r1k × r 1k dt (w_ 1k + ρ-1∇Φ1k )) dΩ1k + G2 (_h1 × ( dω_ 1 dt × _h1 + dω_ 2 dt × _r2)) dm2+ 3 r + '\" ρ2k (_h1 × dω_ 2k ) dΩ + ρ r dt 2k 30 (_h1 × ( dω_ 1 dt × _h1 + dω_ 2 dt × _h2 + dω_ 3 dt × _r30)) dΩ30+ k=1 r + ρ31 Ω2k (_h1 × PG,3( 1 _ dω_ dt × h1 + Ω30 2 _ dω_ dt × h2 + dω_ 3 dt × _r31))dΩ31 + α1ω_ 1 - α2(ω_ 2 - ω_ 1)+ Ω31 r + g(m1l1 + (m2 + m3)h1)P2_δ1 - g(ρ11 - ρ12) r 1 (_e 3 × _r11)ζ11 dΓ11 = (_r1 × f_1) dm1+ r r + (_h1 × f_2) dm2 + ρ30 Γ11 r (_h1 × f_30) dΩ30 + ρ31 G1 (_h1 × PG,3f_31) dΩ31 =: M_ 1,пр(t). G2 Ω30 Ω31 (4.26) Таким образом, преобразованные уравнения движения жидкостей в полости первого маятника и уравнение движения этого маятника - это уравнения (4.22), (4.23) и (4.26). Перейдем теперь к соответствующим преобразованиям уравнений движения жидкостей во вто- ром маятнике и его уравнения движения (см. (2.7), (2.4)). Уравнения движения жидкостей из (2.7), как и в пункте 3.3.4, перепишем в виде одного соотношения для набора полей скоростей и давле- ний: r d_u2k 3 +{ dω_ 1 _ ×h1}k=1 +{ dω_ 2 ×_r2k }k=1 +{ρ2k ∇p2k }k=1 -{μ2kρ2k Δ_u2k }k=1 = {f_2k }k=1. (4.27) 3 dt k=1 dt dt 3 -1 3 -1 3 3 Далее, считая, что поля _u2k ∈ J_0,S2k (Ω2k ), J J_0,S2k (Ω2k ) := _u2k ∈ L_ 2(Ω2k ) : div _u2k = 0 (в Ω2k ), γn,2k_u2k := _u2k · _n2k = 0 (на S2k ) , (4.28) где _n2k - внешняя нормаль к S2k, введем ортопроекторы P0,S2k : L_ 2(Ω2k ) → J_0,S2k (Ω2k ). (4.29) 482 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ Затем подействуем ими на каждую компоненту в (4.27) и получим уравнение в пространстве 3  это уравнение таково: J_0,S2 (Ω2) := k=1 J_0,S2k (Ω2k ) ⊂ L_ 2(Ω2); (4.30) r d_u2k 3 r + P0,S2k dω_ 1 _h1 3 r + P0,S2k dω_ 2 _r2k 3 3 + {ρ-1∇p2k � - dt k=1 dt × 3 J k=1 3 dt × k=1 2k � k=1 (4.31) - {μ2kρ-1P0,S 2k � 0,S 2k 1 p2k 1 2k 0,S p2k 2k 2k Δ_u k=1 = P 2k f_ k=1 2k , ρ- ∇� := ρ- P 3 2k ∇� , k = 1, 2, 3. Однако, как показано в пункте 3.3.2, набор полей скоростей {_u2k }k=1 должен принадлежать под- пространству (см. (3.158)) J 3 J_0,S2,Γ(Ω2) := _u2 = {_u2k }k=1 ∈ J_0,S2 (Ω2) : _u21 · _n21 = _u22 · _n21 =: γn,2_u22 (на Γ21), (4.32) _u22 · _n22 = _u23 · _n22 =: γn,22_u23 (на Γ23), _n21 = _n22 = _e 3 ⊂ J_0,S (Ω2). 1 2 При этом действие ортопроектора P0 := J_0,S2 (Ω2) → J_0,S2,Γ(Ω2) (4.33) описано в пункте 3.3.3 (см. леммы 3.10, 3.11). Действуя теперь оператором P0 на обе части (4.31), приходим к следующему уравнению в пространстве J_0,S2,Γ(Ω2): d 3 r dω_ 1 3 r dω_ 2 3 dt {_u2k }k=1 + P0 3 P0,S2k _ dt × h1 k=1 + P0 3 P0,S2k dt × _r2k + k=1 3 (4.34) + P0 {ρ-1∇p2k � - P0 {μ2kρ-1P0,S (Δ_u2k )� = P0 JP f_ . 2k � k=1 2k 2k k=1 0,S2k 2k k=1 Далее осуществим те же преобразования, которые в пункте 3.3.4 были проделаны для случая колебаний одного маятника с полостью, заполненной тремя вязкими жидкостями. Именно, вво- 0,S ,Γ дим пространство J_1 2 (Ω2) наборов полей скоростей с конечной скоростью диссипации энергии (см. (3.159)): J_1 J 3 1 0,S2 0,S2,Γ(Ω2) := _u2 = {_u2k }k=1 ∈ J_ (Ω2) : γ11_u21 := γ12_u22 (на Γ11), γ22_u22 := γ23_u23 (на Γ22) , J_1 J_1 0,S2 (Ω2) := J 3 0,S2k J_  J_1 (Ω2k ), (_u2, _v2) 1 0,S2 (Ω2) k=1 1 3 := '\" k=1 (4.35) μk Ek (_u2k , _v2k ), (4.36) 0,S2k (Ω2k ) := _u2k ∈ H_ (Ω2k ) : div _u2k = 0 (в Ω2k ), _u2k = _0 (на S2k ) , k = 1, 2, 3, (4.37) гильбертову пару пространств J_1 r 0,S2,Γ(Ω2); \ J_0,S2,Γ(Ω2) (4.38) и оператор A�2 этой пары (см. (3.160)): 3 r 1/2 1/2 \ '\" 2 2 J_1 (_u , _v ) = 0,S2,Γ(Ω2) A�2 _u2, A�2 _v2 J_0,S2,Γ(Ω2) = k=1 μk Ek (_u2k , _v2k ) = (4.39) 3 3 _1 2 = •_u2, A�2_u2)J_0,S ,Γ(Ω2), ∀ _u2 = {_u2k }k=1 , _v2 = {_v2k }k=1 ∈ J0,S2,Γ(Ω2). Тогда так же, как в пунктах 3.3.4 и 3.3.6, можно установить, что уравнение (4.31) приводится к дифференциальному уравнению (см. (3.238)) d 3 3 r dω_ 1 3 r dω_ 2 3 dt {_u2k }k=1 + A2 {_u2k }k=1 + P0 P0,S2k 2 _ dt × h1 k=1 3 + P0 P0,S2k dt × _r2k + k=1 (4.40) 2 + gQ2 Jζj + θ2j ((P2_δ2 × _r2j ) · _e 3) j=1 2k = P0 JP0,S f_2k , k=1 О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 483 k=1 где Q2 - оператор вспомогательной задачи (3.203) применительно к области Ω2 = ∪3 Ω2k : Δp2k = 0 (в Ω2k ), ∂p2k = 0 (на S ), k = 1, 2, 3, ∂n 2k ρ-1 ∂p21 1 ∂p22 3 -1 ∂p22 1 ∂p23 3 = ρ - 21 ∂n 22 (на Γ21), _n = _e2 ∂n , ρ22 = ρ - ∂n 23 (на Γ22), _n = _e1 , ∂n (4.41) 1 p21 - p22 = (ρ21 - ρ22)ζˆ21 := g(ρ21 - ρ22) rζ21 + θ21((P2_δ2 × _r21) · _e 3) (на Γ21), 2 p22 - p23 = (ρ22 - ρ23)ζˆ22 := g(ρ22 - ρ23) rζ22 + θ22((P2_δ2 × _r22) · _e 3) (на Γ22), 1/2 1/2 _ Q2 ∈ L(HΓ21 × HΓ22 ; J 3 1 Gh,S2,Γ(Ω2)), G_ h,S2,Γ(Ω2) := 2k _u2 = {_u2k }k=1 : _u2k = ρ- ∇ϕ2k, Δϕ2k = 0 (в Ω2k ), (4.42) ∂ϕ2k = 0 (на S ), ρ-1 ∂ϕ21 = ρ-1 ∂ϕ22 (на Γ ), ρ-1 ∂ϕ22 = ρ-1 ∂ϕ23 (на Γ ), _n = _e 3 , ∂n 2k ∂n ∂n 21 22 ∂n 23 ∂n 22 2 {ρ-1 3 Jˆ 2 2k ∇p2k �k=1 := gQ2 ζ2j j=1 . (4.43) Преобразуем теперь уравнение движения второго маятника (см. (2.4)), раскрывая смысл обо- значений { (... ) dmk и используя формулу (4.9). Это приводит к соотношению Gk J_2 dω2 dt r + (_r2 × ( G2 dω1 dt 3 × _h1)) dm2 + '\" ρ2k k=1 r Ω2k (_r2k × d_u2k ) dΩ + dt 2k r + ρ30 (_h2 × ( 1 _ dω_ dt × h1 + 2 _ dω_ dt × h2 + dω_ 3 dt × _r30)) dΩ30+ Ω30 r + ρ31 Ω31 (_h2 × PG,3( 1 _ dω_ dt × h1 + 2 _ dω_ dt × h2 + 2 dω_ 3 dt × _r31)) dΩ31 + α2(ω_ 2 - ω_ 1)- r (4.44) - α3(ω_ 3 - ω_ 2)+ g(m2l2 + m3h2)P2_δ2 - g '\"(ρ2,j - ρ2,j+1) j=1 Γ2 2 (_e 3 × _r2j )ζ2j dΓ2j = r r = (_r2 × f_2) dm2 + ρ30 r (_r30 × f_30) dΩ30 + ρ31 (_h2 × PG,3f_31) dΩ31 =: M_ 2,пр(t). G2 Ω30 Ω31 Таким образом, поле проектирования уравнений движения жидкостей в полостях маят- ников и преобразования уравнений движения маятников приходим к системе обыкновенных дифференциально-операторных уравнений первого порядка (4.12), (4.23), (4.26) (первый маят- ник), (4.34), (4.44) (второй маятник), (4.7), (4.10) (третий маятник), к которым следует еще доба- вить соответствующие начальные условия. Об операторе кинетической энергии системы и его свойствах. Наша цель сейчас - представить выведенную систему уравнений в виде первого дифференциального уравнения ви- да (1.1) в некотором гильбертовом пространстве с операторными коэффициентами, имеющими отчетливый физический смысл для изучаемой гидромеханической системы из трех сочлененных маятников с жидким наполнением. Введем сначала совокупность динамических и кинематических переменных таких систем, от- вечающих каждому маятнику и всей системы в целом. Именно, будем считать, что искомыми динамическими переменными являются вектор-столбцы z1 := (z11; z12; z13)τ ∈ H1 := H11 ⊕ H12 ⊕ H13, z11 := r{w_ 1k } 2 k=1 ; ρ { -1 1k ∇Φ1k � 2 k=1 1 ; ω_ 1\ ∈ J_0(Ω1) ⊕ G_ h,S (Ω1) ⊕ C3 = H11, (4.45) z12 := r{_u2k } 2 k=1 ; 2 ω_ 2\ ∈ J_0,S (Ω2) ⊕ C3 =: H12, z13 := ω_ 3 ∈ C3 =: H13. 484 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ Соответственно кинематическими переменными будем считать z2 := (z21; z22; z23)τ ∈ H2 := H21 ⊕ H22 ⊕ H23, z21 := rζ11; P2_δ1\ ∈ L2,Γ 2 11 ⊕ C =: H21, (4.46) z22 := r{ζ2j } 2 j=1 ⊕j=1 ; P2_δ2\ ∈ ( 2 L2,Γ2j ) ⊕ C2 =: H22, z23 := P2_δ3 ∈ C2 =: H23. Далее, представим совокупность слагаемых в (4.12), (4.29), (4.26), (4.34), (4.44), (4.7), (4.10), содержащих производные по t от динамических переменных, в векторно-матричной форме с по- мощью операторной матрицы C(1) структурой 3 × 3, отвечающей ортогональному разложению 3 H1 =  H1k. Тогда эти слагаемые будут иметь вид C(1)dz1/dt, причем k=1 ⎛C11z11 + C12z12 + C13z13⎞ C(1)z1 = ⎝C21z11 + C22z12 + C23z13⎠ . (4.47) C31z11 + C32z12 + C33z13 Указанная процедура приводит к следующим соотношениям: C11z11 = r {w_ 1k } 2 k=1 + P0,1 {ω_ 1 × _r1k } 2 k=1 ; ρ { -1 1k ∇Φ1k � 2 k=1 + Ph,S1 2 {ω_ 1 × _r1k }k=1 ; 2 J_1ω_ 1 + '\" ρ1k k=1 r r Ω1k r 1k ((_r1k + ρ-1∇Φ1k )) dΩ1k + G2 r (_h1 × (ω_ 1 × _h2)) dm2+ (4.48) + ρ30 Ω30 (_h1 × (ω_ 1 × _h1))dΩ30 + ρ31 Ω31 (_h1 × PG,3(ω_ 1 × _h1)) dΩ31\; C12z12 = r_0; _0; r r 3 (_h1 × (ω_ 2 × _r2)) dm2 + '\" ρ2k G2 k=1 r r Ω2k (_h1 × _u2k )dΩ2k + (4.49) + ρ30 Ω30 (_h1 × (ω_ 2 × _h2)) dΩ30 + ρ31 Ω31 r ; (_h1 × PG,3(ω_ 2 × _h2)) dΩ31\ r C13z13 = r_0; _0; ρ30 Ω30 (_h1 × (ω_ 3 × _r30)) dΩ30 + ρ31 Ω31 (_h1 × PG,3(ω_ 3 × _r31)) dΩ31\; (4.50) 2k C21z11 = rP0 JP0,S r rω1 × _h1\ 3 ; k=1 r r r _r2 G2 × (ω_ 1 × _h1)\ dm2+ (4.51) + ρ30 Ω30 (_h2 × (ω_ 1 × _h1)) dΩ30 + ρ31 Ω31 (_h2 × PG,3(ω_ 1 × _h1)) dΩ31\; C22z12 = r {_u2k } 3 k=1 r + P0 {P0,S2k 3 (ω_ 2 × _r2k )}k=1 ; r 3 J_2ω_ 2 + '\" ρ2k k=1 r Ω2k (_r2k × _u2k ) dΩ2k + (4.52) + ρ30 Ω30 (_h2 × (ω_ 2 × _h2))dΩ30 + ρ31 Ω31 r (_h2 × PG,3(ω_ 2 × _h2)) dΩ31\; r C23z13 = r_0; ρ30 Ω30 (_h2 × (ω_ 3 × _r30))dΩ30 + ρ31 Ω31 (_h2 × PG,3(ω_ 3 × _r31)) dΩ31\; (4.53) r C31z11 = ρ30 r (_r30 × (ω_ 1 × _h1)) dΩ30 + ρ31 (_r31 × PG,3(ω_ 3 × _h1)) dΩ31; (4.54) Ω30 r C32z12 = ρ30 (_r30 × (ω_ 2 × _h2))dΩ30 + ρ31 Ω31 r (_r31 × PG,3(ω_ 2 × _h2)) dΩ31; (4.55) Ω30 Ω31 О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 485 J C33z13 = r _т,3 \ + J_пр,3 ω_ 3 . (4.56) Опираясь на связи (4.48)-(4.56), установим один из центральных фактов в исследуемой пробле- ме. Теорема 4.1. Оператор C(1) : H1 → H1, построенный по схеме (4.47)-(4.56), является опе- ратором кинетической энергии исследуемой гидромеханической системы. Он ограничен, само- сопряжен и положительно определен в пространстве H1. Доказательство. Оно основано на прямом вычислении выражения (C(1)z1, z1) = (C z ,z ) + (C z ,z ) + (C z ,z ) + H1 11 11 11 H11 12 12 11 H11 13 13 11 H11 + (C21z11, z12)H12 + (C22z12, z12)H12 + (C23z13, z12)H12 + + (C31z11, z13)H13 + (C32z12, z13)H13 + (C33z13, z13)H13 . (4.57) Перебрасывая ортопроекторы с одного множителя на другой и убирая эти ортопроекторы там, где они совпадают с тождественным оператором в подпространстве, получаем следующие соотноше- ния. 1) (C11z1, z1)H11 = ( w_ 1k }k=1 + P0,1{ω_ 1 × _r1}k=1, {w_ 1k }k=1) _ + 2 2 2 { J0(Ω1) + ( 1k ∇Φ1k }k=1 + Ph,S1 {ω_ 1 × _r1k }k=1, {ρ1k ∇Φ1k }k=1)G_ (Ω ) + {ρ-1 2 ⎛ 2 2 -1 2 h,S1 1 + ⎜J_ ω_ + '\" ρ r (_r (w_ + ρ-1 Φ )) dΩ r + (_h (ω_ _h )) dm + ⎝ 1 1 r k=1 1k Ω1k 1k × 1k 1k ∇ 1k r 1k 1 × G2 1 × 1 2 ⎞ +ρ30 Ω30 (_h1 × (ω_ 1 × _h1)) dΩ30 + ρ31 Ω31 (_h1 × PG,3(ω_ 1 × _h1)) dΩ31⎠ · ω_ 1 = ⎡ r r ⎤ = ⎣ρ11 Ω11 (|w_ 1|2 + (ω_ 1 × _r11) · w_ 1) dΩ11 + ρ12 Ω12 (|w_ 12|2 + (ω_ 1 × _r12) · w_ 12) dΩ12⎦ + ⎡ r + ⎣ρ11 (|ρ-1∇Φ11|2 + (ω_ 1 × _r11) · (ρ-1∇Φ11)) dΩ11+ 11 11 Ω11 r ⎤ + ρ12 (|ρ-1∇Φ12|2 + (ω_ 1 × _r12) · (ρ-1∇Φ12)) dΩ12⎦ + 12 12 Ω12 r r + ρ10 Ω10 (_r10 × (ω_ 1 × _r10)) · ω_ 1 dΩ10 + ρ11 Ω11 (_r11 × (ω_ 1 × _r11)) · ω_ 1 dΩ11+ r 2 r + ρ12 Ω12 (_r12 × (ω_ 1 × _r12)) · ω_ 1 dΩ12 + '\" ρ1k k=1 Ω1k 1k (_r1k × (w_ 1k + ρ-1∇Φ1k )) · ω_ 1 dΩ1k + r 3 r + ρ20 Ω20 r (_h1 × (ω_ 1 × _h1)) · ω_ 1 dΩ20 + '\" ρ2k k=1 r Ω2k (_h1 × (ω_ 1 × _h1)) · ω_ 1 dΩ2k + + ρ30 Ω30 (_h1 × (ω_ 1 × _h1)) · ω_ 1 dΩ30 + ρ31 Ω31 (_h1 × PG,3(ω_ 1 × _h1)) · ω_ 1 dΩ31 = r = ρ10 r |ω_ 1 × _r10|2 dΩ10 + ρ11 r 11 |w_ 11|2 + (ω_ 1 × _r11) · w_ 11 + |ρ-1∇Φ11|2+ Ω10 Ω11 + (ω_ 1 × _r11) · (ρ-1∇Φ11)+ |ω_ 1 × _r11|2 + (ω_ 1 × _r11) · (w_ 11 + ρ-1∇Φ11) dΩ11+ 11 11 486 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ r + ρ12 r|w_ 12|2 + (ω_ 1 × _r12) · w_ 12 + |ρ-1∇Φ12|2 + (ω_ 1 × _r12) · (ρ-1∇Φ12)+ |ω_ 1 × _r12|2+ Ω12 12 12 r 3 r 12 +(ω_ 1 × _r12) · (w_ 12 + ρ-1∇Φ12) dΩ12 + ρ20 |ω_ 1 × _h1|2 dΩ20 + '\" ρ2k |ω_ 1 × _h1|2 dΩ2k + r r Ω20 k=1 Ω2k + ρ30 Ω30 ⎡ |ω_ 1 × _h1|2 dΩ30 + ρ31 Ω31 (ω_ 1 × _h1) · PG,3(ω_ 1 × _h1) dΩ31 = ⎤ r = ⎢ ⎣ρ10 |ω_ 1 × _r10|2 dΩ10 + 2 '\" r ρ1k |ω_ 1 × _r11 + _u11|2 dΩ1k ⎥ + ⎦ ⎡ + ⎢ ⎣ρ20 Ω10 r |ω_ 1 × _h1|2 dΩ20 + k=1 3 '\" ρ2k Ω1k r |ω_ 1 × _h1|2 ⎤ dΩ2k ⎥ + ⎦ Ω20 r k=1 r Ω2k r + ρ30 Ω30 r |ω_ 1 × _h1|2 dΩ30 + ρ31 Ω31 r |PG,3(ω_ 1 × _h1)|2 dΩ31 = G1 r |ω_ 1 × _r1 + _u11|2 dm1+ + |ω_ 1 × _h1|2 dm2 + ρ30 G2 Ω30 |ω_ 1 × _h1|2 dΩ30 + ρ31 Ω31 |PG,3(ω_ 1 × _h1)|2 dΩ31; ⎛ r 2) (C12z12, z11)H1 = ⎜ (_h × (ω_ × _r ))dm 3 + '\" ρ r (_h × _u ) dΩ + ⎝ 1 2 G2 r 2 2 k=1 r 2k 1 Ω2k 2k 2k ⎞ + ρ30 Ω30 (_h1 × (ω_ 2 × _h2)) dΩ30 + ρ31 Ω31 (_h1 × PG,3(ω_ 2 × _h2)) dΩ31⎠ · ω_ 1 = ⎡ r = ⎢ (ω_ × _h ) · (ω_ × _r ) dΩ 3 + '\" ρ r (ω_ × _h ) · (ω_ × _r ) dΩ + ⎣ρ20 1 1 Ω20 2 2 20 k=1 2k 1 1 Ω2k 2 2k 2k 3 r ⎤ ⎡ r + '\" ρ2k (ω_ 1 × _h1) · _u2k dΩ2k ⎥ + ⎣ρ (ω_ × _h ) · (ω_ × _h ) dΩ + k=1 Ω2k r ⎦ 30 1 1 Ω30 ⎤ 2 2 30 +ρ31 Ω31 (ω_ 1 × _h1) · PG,3(ω_ 2 × _h2) dΩ31⎦ ; ⎛ r 3) (C13z13, z11)H1 = ⎝ρ30 r (_h1 × (ω_ 3 × _r30)) dΩ30 + ρ31 ⎞ (_h1 × PG,3(ω_ 3 × _r31)) dΩ31⎠ · ω_ 1 = Ω30 r Ω31 r = ρ30 Ω30 (ω_ 1 × _h1) · (ω_ 3 × _r30) dΩ30 + ρ31 Ω31 (ω_ 1 × _h1) · PG,3(ω_ 3 × _r31) dΩ31; 4) (C21z11, z12)H12 = J P0 P0,S2k (ω_ 1 × _h1) 3 k=1 }k=1 , {_u2k 3 J_0,S2,Γ2 (Ω2) + r r G2 (_r2 × (ω_ 1 × _h1)) dm2+ О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 487 r + ρ30 r (_h2 × (ω_ 1 × _h1)) dΩ30 + ρ31 (_h2 × PG,3(ω_ 1 × _h1)) dΩ31\ · ω_ 2 = Ω30 3 r Ω31 r = '\" ρ2k (P0,S 1 1 2k 2k 20 2 20 1 1 20 k=1 3 Ω2k r 2k (ω_ × _h )) · _u dΩ + ρ Ω20 r (ω_ × _r ) · (ω_ × _h ) dΩ + + '\" ρ2k k=1 Ω2k ((ω_ 2 × _r2k ) · (ω_ 1 × _h1) dΩ2k + ρ30 Ω30 (ω_ 2 × _h2) · (ω_ 1 × _h1) dΩ30+ + ρ31 r (ω_ 2 × _h2) · (PG,3(ω_ 1 × _h1)) dΩ31 = Ω31 r 3 r = ρ20 Ω20 (ω_ 2 × _r20) · (ω_ 1 × _h1) dΩ20 + '\" ρ2k k=1 Ω2k (ω_ 1 × _h1) · (ω_ 2 × _r2k + _u2k ) dΩ2k + + ρ30 r (ω_ 2 × _h2) · (ω_ 1 × _h1) dΩ30 + ρ31 r (ω_ 2 × _h2) · (PG,3(ω_ 1 × _h1)) dΩ31; Ω30 Ω31 r 3 3 3 \ 5) (C22z12, z12)H12 = ⎛ {_u2k }k=1 + P0 {P0,S2k (ω_ 2 × _r2k )}k=1 , {_u2k }k=1 J_0,S2,Γ2 + (Ω2) + ⎜J_ ω_ 3 + '\" ρ r (_r _u ) dΩ + ρ r (_h (ω_ _h )) dΩ + ⎝ 2 2 r k=1 2k Ω2k 2k × 2k 2k ⎞ 30 2 × Ω30 2 × 2 30 +ρ31 Ω31 3 (_h2 × PG,3(ω_ 2 × _h2)) dΩ31⎠ · ω_ 2 = r ⎡ r = '\" ρ2k k=1 Ω2k (_u2k + (ω_ 2 × _r2k )) · _u2k dΩ2k + ⎣ρ20 Ω20 (_r20 × (ω_ 2 × _r20)) dΩ20 · ω_ 2+ ⎤ 3 r + '\" ρ2k 3 (_r2k × (ω_ 2 × _r2k )) dΩ2k · ω_ 2 + '\" ρ2k r ⎦ (ω_ 2 × _r2k ) · _u2k dΩ2k ⎥ + k=1 ⎡ Ω2k r k=1 r Ω2k ⎤ + ⎣ρ30 Ω30 (_h2 × (ω_ 2 × _h2)) dΩ30 · ω_ 2 + ρ31 Ω31 (_h2 × PG,3(ω_ 2 × _h2)) dΩ31 · ω_ 2⎦ = r = ρ20 3 r |ω_ 2 × _r20|2 dΩ20 + '\" ρ2k |ω_ 2 × _r2k + _u2k |2 dΩ2k + + ρ30 Ω20 r k=1 r |ω_ 2 × _h2|2 dΩ30 + ρ31 Ω2k |PG,3(ω_ 2 × _h2)| dΩ31; Ω30 Ω31 ⎛ r r ⎞ 6) (C23z13, z12)H12 = ⎝ρ30 Ω30 r (_h2 × (ω_ 3 × _r30)) dΩ30 + ρ31 Ω31 r (_h2 × PG,3(ω_ 3 × _r31)) dΩ31⎠ · ω_ 2 = = ρ30 Ω30 (ω_ 2 × _h2) · (ω_ 3 × _r30) dΩ30 + ρ31 Ω31 (ω_ 2 × _h2) · PG,3(ω_ 3 × _r31) dΩ31; 488 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ ⎛ r 7) (C31z11, z13)H13 = ⎝ρ30 r (_r30 × (ω_ 1 × _h1)) dΩ30 + ρ31 ⎞ (_r31 × PG,3(ω_ 1 × _h1)) dΩ31⎠ · ω_ 3 = Ω30 r Ω31 r = ρ30 Ω30 (ω_ 3 × _r30) · (ω_ 1 × _h1) dΩ30 + ρ31 Ω31 (ω_ 3 × _r31) · PG,3(ω_ 1 × _h1) dΩ31; ⎛ r 8) (C32z12, z13)H13 = ⎝ρ30 r (_r30 × (ω_ 2 × _h2)) dΩ30 + ρ31 ⎞ (_r31 × PG,3(ω_ 2 × _h2)) dΩ31⎠ · ω_ 3 = Ω30 r Ω31 r = ρ30 Ω30 (ω_ 3 × _r30) · (ω_ 2 × _h2) dΩ30 + ρ31 Ω31 ⎛ (ω_ 3 × _r31) · PG,3(ω_ 2 × _h2) dΩ31; r 9) (C33z13, z13)H13 = (J_т,3 + J_пр,3)ω_ 3 · ω_ 3 = ⎝ρ30 Ω30 (_r30 × (ω_ 3 × _r30)) dΩ30+ r +ρ31 ⎞ (_r31 × PG,3(ω_ 3 × _r31)) dΩ31⎠ · ω_ 3 = Ω31 r = ρ30 r |ω_ 3 × _r30|2 dΩ30 + ρ31 |PG,3(ω_ 3 × _r31)|2 dΩ31. Ω30 Ω31 Складывая теперь левые и правые части соотношений 1)-9) и пользуясь формулой (4.57), получа- ем, что H1 (C(1)z1, z1) ⎧ ⎪⎨ r = ρ10 |ω_ 1 × _r10 2 | dΩ10 2 r + '\" ρ1k |ω_ 1 × _r1k + _u1k ⎫ ⎪⎬ 2 | dΩ1k + ⎪⎩ ⎧ ⎨⎪ r Ω10 k=1 3 Ω1k ⎭⎪ ⎫ r ⎪⎬ + ρ20 ⎩⎪ Ω20 |ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _r20|2 dΩ20 + '\" ρ2k k=1 ⎧ Ω2k |ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _r2k + _u2k |2 dΩ2k + ⎪⎭ r + ⎨ρ30 |ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _h2 + ω_ 3 × _r30|2 dΩ30+ ⎩ Ω30 r +ρ31 ⎫ |PG,3(ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _h2 + ω_ 3 × _r31)|2 dΩ31⎬ . (4.58) Ω31 ⎭ Отсюда приходим к выводу, что оператор C(1) : H1 → H1 ограничен и неотрицателен в H1. Далее, H1 равенство (C(1)z1, z1) = 0 имеет место лишь при z1 = 0, и поэтому C(1) - положительный оператор. Наконец, поскольку он равен сумме положительно определенного и конечномерного операторов, то C(1) » 0, что доказывает утверждение теоремы. Замечание 4.1. Так как векторы ω_ 1 × _h1 и ω_ 2 × _h2 потенциальные, т. е. (ω_ 1 × _h1) = ∇((ω_ 1 × _h1) · _r31), (ω_ 2 × _h2) = ∇((ω_ 2 × _h2) · _r31), то подынтегральное выражение в последнем слагаемом из (4.58) можно переписать в виде |ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _h2 + PG,3(ω_ 3 × _r31)|2. О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 489 Замечание 4.2. Квадратичный функционал (4.58) равен удвоенной кинетической энергии при- веденной гидромеханической системы, когда движение жидкости в третьем маятнике с поло- стью Ω31, целиком заполненной идеальной жидкостью, описывается лишь угловой скоростью ω_ 3, а поле скорости в Ω31 выражается через потенциалы Жуковского. Эквивалентные кинематические условия. Введение оператора потенциальной энергии. Напомним сначала, что исходные кинематические условия в исследуемой проблеме имеют вид (см. (2.12)-(2.13), (2.19)): для первого маятника dζ11 = γ dt d n,11 _u11 := _u11 · _n11 = _u12 · _n11 =: γ n,11 _u12 (на Γ11), (4.59) dt для второго маятника 1 P2_δ1 = P2ω_ 1, _n11 = _e 3; dζ21 = γ dt n,21 _u21 := _u21 · _n21 = _u22 · _n21 =: γ n,21 _u22 (на Γ12), dζ22 = γ dt d n,22 _u22 := _u22 · _n22 = _u23 · _n22 =: γ n,22 _u23 (на Γ21), (4.60) 2 P2_δ2 = P2ω_ 2, _n21 = _n22 = _e 3; dt для третьего маятника d P2_δ3 = P2ω_ 3. (4.61) dt Перепишем теперь, как это уже встречалось выше в пунктах 3.2.6 и 3.3.5, кинематические условия (4.59)-(4.61) в эквивалентной форме, введя оператор потенциальной энергии системы. Если выполнены условия (4.59)-(4.61), то выполнены также следующие соотношения: для первого маятника г d 1 3 l dt 11 (ρ11 - ρ12) (ζ11 + θ11(P2_δ1 × _r11)) - γn,11(ρ- ∇Φ11 + θ11((P2ω_ 1 × _r11) · _e1 )) = 0, r - (ρ11 - ρ12) 1 (_e 3 × _r11)r dζ11 dt 11 - γn,11(ρ-1∇Φ11)\ dΓ11+ (4.62) Γ11 d dt + (m1l1 + (m2 + m3)h1)r P2_δ1 - P2ω_ 1\ = 0; для второго маятника r (ρ2,j - ρ2,j+1) г dζ2j 1 dt - γn,2j (ρ- 2j d dt 2j 2_2 2j 2 2 -θ2j ((P2ω_ 2 × _r2j ) · _e 3) � 2j ∇Φ ) + = 0, θ ((P δ × _r ) · _e 3)- 2 '\" - (ρ2j - ρ2,j+1) 2 j=1 2 r (_e 3 × _r2j )r dζ2j dt 2j - γn,2j (ρ-1∇Φ2j )\ dΓ2j + (4.63) j=1 Γ2j d dt + (m2l2 + m3h2)r P2_δ2 - P2ω_ 2\ = _0; для третьего маятника m3l3 d dt P2_δ3 - P2ω_ 3 = _0. (4.64) (Здесь учтено, что γn,11_u11 = γn,11w_ 11 + γn,11(ρ-1∇Φ11) = γn,11(ρ-1∇Φ11), а также аналогичные соотношения в (4.60).) 11 11 490 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ Введем, как и в пунктах 3.2.6 и 3.3.5, осевые моменты инерции, отвечающие границам раздела жидкостей в полостях первого и второго маятников: β(11) r j l jl := Γ11 x1(θ11x1) dΓ11, j, l = 1, 2; (4.65) β(2k) r j l jl := Γ2k x2(θ2kx2) dΓ2k, j, l = 1, 2, k = 1, 2. Лемма 4.1. Введем матрицы /(m1l1 + (m2 + m3)h1) - (ρ11 - ρ22)β(11) (11) (ρ11 - ρ12)β \ U1 := 22 (11) , 21 (11) (ρ11 - ρ12)β12 (m1l1 + (m2 + m3)h1) - (ρ11 - ρ22)β11 u11 u12 , U2 := r (21) u21 u22 (22) (21) (22) где u11 = (m2l2 +m3h2)- (ρ21 - ρ22)β22 + (ρ22 - ρ23)β22 , u12 = (ρ21 -ρ22)β21 +(ρ22 -ρ23)β21 , (21) (22) r (21) (22) u21 = (ρ21 - ρ22)β12 + (ρ22 - ρ23)β12 , u22 = (m2l2 + m3h2) - Если выполнены свойства (ρ21 - ρ22)β11 + (ρ22 - ρ23)β11 . Δ(11) (22) 2 := det U1 /= 0, Δ2 := det U2 /= 0, (4.66) то условия (4.59) эквивалентны условиям (4.62), а условия (4.60) эквивалентны услови- ям (4.63). Доказательство. Для выполнения эквивалентности условий (4.59) и (4.62) следует повторить доказательство леммы 3.5 с заменой m1l1 на m1l1 + (m2 + m3)h2 и некоторых обозначений. Для установления эквивалентности условий (4.60) и условий (4.63) следует повторить доказательства леммы 3.17 с заменой m1l1 на m2l2 + m3h2 и некоторых других обозначений. Замечание 4.3. Эквивалентность условий (4.61) и (4.64) очевидна. Введем теперь, опираясь на соотношения (4.62)-(4.64), операторную матрицу C(2) := diag rC(2); C(2); C(2)\, (4.67) 11 22 33 действующую на кинематические переменные 2 z2 = (z21, z22, z23)τ , z21 = (ζ11; P2_δ1), z22 = ({ζ2j }j=1; P2_δ2), z23 = P2_δ3, согласно следующим формулам: C(2) 11 z21 := r (ρ11 - ρ12) r 1 rζ11 + θ11((P1_δ1 × _r11) · _e 3) ; ⎞ (4.68) -(ρ11 - ρ12) Γ11 1 (_e 3 × _r11)ζ11 dΓ11 + (m1l1 + (m2 + m3)h2)P2_δ1⎠ ; C(2) rJ 2 2 22 z22 := 2 '\" (ρ2j - ρ2,j+1)(ζ2j + θ2j ((P2_δ2 × _r2j ) · _e 3)) r ; j=1 (4.69) - j=1 (ρ2j - ρ2,j+1) Γ2j 2 (_e 3 × _r2j )ζ2j dΓ2j + (m2l2 + m3h2)P2_δ2\; C(2) 23 z23 := m3l3P2_δ3. (4.70) Лемма 4.2. Операторная матрица C(2) : H2 → H2 является ограниченным самосопряжен- ным оператором потенциальной энергии гидромеханической системы. О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 491 Доказательство. Ограниченность C(2) следует из ее определения (см. (4.68)-(4.70)). Проверим, что C(2) - самосопряженная операторная матрица, вычислив ее квадратичную форму. Имеем (C(2) 11 z21, z21)H21 = ⎡ 1 r(ρ11 - ρ12)(ζ11 + θ11((P2_δ1 × _r11) · _e 3)), ζ11 r \ + L2,Γ11 ⎤ + ⎣-(ρ11 - ρ12) Γ11 1 (_e 3 × _r21)ζ11 dΓ11 + (m1l1 + (m2 + m3)h1)P2_δ1⎦ · P2_δ1 = r r = (ρ11 - ρ12) Γ11 1 |ζ11|2 + θ11((P2_δ1 × _r11) · _e 3)ζ11 dΓ11+ + (ρ11 - ρ12) r 1 ((P2_δ1 × _r11) · _e 3)ζ11 dΓ11 + (m1l1 + (m2 + m3)h1)|P2_δ1|2 = Γ11 r r r \ = (ρ11 - ρ12) Γ11 |ζ11|2 + 2Re 1 θ11((P2_δ1 × _r11) · _e 3)ζ11 dΓ11 + (m1l1 + (m2 + m3)h1)|P2_δ1|2 = r = (ρ11 - ρ12) r |ζ11 + θ11((P2_δ1 × _r11) · _e 3)|2 - |θ11((P2_δ1 × _r11) · _e 3)|2 dΓ11+ Γ11 1 1 + (m1l1 + (m2 + m3)h1)|P2_δ1|2; (4.71) (C(2) J 3 2 2 22 z22, z22)H22 = ⎛ 2 (ρ2j - ρ2,j+1)(ζ2j + θ2j ((P2_δ2 × _r2j ) · _e2 )) ⎞ r j=1 , {ζ2j }j=1 - L2,Γ21 ⊕L2,Γ22 - ⎜'\" 3 ⎟ 2 ⎝ j=1 2 (ρ2j - ρ2,j+1) Γ2j r (_e2 × _r2j )ζ2j dΓ2j ⎠ · P2_δ2 + (m2l2 + m3h2)|P2_δ2| = = '\"(ρ2j - ρ2,j+1) 2 _ 3 r r \ \ 2 |ζ2j | + 2Re θ2j ((P2δ2 × _r2j ) · _e ) ζ2j dΓ2j + j=1 Γ2j r 2 r + (m2l2 + m3h2)|P2_δ2|2 = '\"(ρ2j - ρ2,j+1) 2 |ζ2j + θ2j ((P2_δ2 × _r2j ) · _e 3)|2- j=1 Γ2j 2 -|θ2j ((P2_δ2 × _r2j ) · _e 3)|2 dΓ2j + (m2l2 + m3h2)|P2_δ2|2; (4.72) (C(2) 2 33 z23, z23)H23 = m3l3|P2_δ3| . (4.73) Складывая левые и правые части (4.71)-(4.73) и сравнивая с выражением во второй фигурной скобке слева в (2.21), приходим к выводу, что C(2) : H2 → H2 - оператор потенциальной энергии системы. Отсюда же следует и его самосопряженность. Введем теперь следующие величины (см. (4.66)): Δ(11) (11) 1 := (m1l1 + (m2 + m3)h2) - (ρ11 - ρ12)β11 , Δ(22) r (21) (22) (4.74) 1 := (m2l2 + m3h2) - (ρ21 - ρ22)β11 + (ρ22 - ρ23)β11 . Лемма 4.3. Оператор C(2) : H2 → H2 неотрицателен тогда и только тогда, когда выпол- нены условия Δ(11) (11) (22) (22) 1 � 0, Δ2 � 0, Δ1 � 0, Δ2 � 0, (4.75) и положительно определен, если и только если Δ(11) (11) (22) (22) 1 > 0, Δ2 > 0, Δ1 > 0, Δ2 > 0. (4.76) 492 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ Доказательство. Оно повторяет доказательства лемм 3.7 и 3.19 с заменой некоторых обозначе- ний. В (4.76) первые два условия необходимы и достаточны для положительной определенности операторной матрицы C(2) (лемма 3.7), а вторые два - для операторной матрицы C(2) (лемма 3.19). 11 22 33 Для C(2) это свойство очевидно. Введение оператора диссипации энергии и оператора обмена энергиями. Вернемся снова к системе уравнений (4.22), (4.23), (4.26), (4.40), (4.44), (4.10), описывающей в опера- торной форме эволюцию исследуемой гидромеханической системы, и выделим теперь оператор- ную матрицу, связанную с действием диссипативных сил: на элементах z1 = (z11; z12; z13)τ , 2 -1 2 3 z11 = ({w_ 1k }k=1; {ρ1k ∇Φ1k }k=1; ω_ 1), z12 = ({_u2k }k=1; ω_ 2), z13 = ω_ 3 она имеет вид 3 τ A1z1 = r_0, _0, α1ω_ 1 - α2(ω_ 2 - ω_ 1); A�2{_u2k }k=1 \ , α1(ω_ 2 - ω_ 1) - α3(ω_ 3 - ω_ 2); α3(ω_ 3 - ω_ 2) , 0,S2,Γ A1 : D(A1) ⊂ H1 → H1 = H11 ⊕ H12 ⊕ H13, D(A1) = H11 ⊕ (D(A�2) ⊕ C3) ⊕ H13, D(A�2) ⊂ J_1 (Ω2). (4.77) Лемма 4.4. Оператор A1, определенный в (4.77), является неограниченным неотрицатель- ным самосопряженным оператором, действующим в H1. Доказательство. Вычислим квадратичную форму оператора A1 на элементах из D(A1). Будем иметь r 3 3 \ 3 r 2 '\" 2\ (A1z1, z1)H1 = A�2{_u2k }k=1, {_u2k }k=1 r 3 J_0,S2,Γ + (Ω2) α1|ω_ 1| + l=2 αl|ω_ l - ω_ l-1| = (4.78) lJ_1 l 2k = _u 2 0,S2,Γ(Ω2) + α1|ω_ 1|2 + '\" l=2 2\ αl|ω_ l - ω_ l-1| � 0. Так как A�2 - самосопряженный неограниченный оператор, действующий в J_0,S2,Γ(Ω2) и заданный на D(A�2) ⊂ леммы. J _1 0,S2,Γ (Ω2) ⊂ J_0,S2,Γ(Ω2), R(A�2) = J_0,S2,Γ(Ω2), то из (4.78) получаем утверждение Введем, наконец, операторную матрицу вида 0 B12 B = B21 0 : H = H1 ⊕ H2 → H, (4.79) отвечающую оставшимся слагаемым в упомянутой выше системе уравнений, связанным с дей- ствием вспомогательных операторов на динамические и кинематические переменные изучаемой системы. Именно, для кинематических переменных 2 z2 = (z21; z22; z23)τ , z21 = (ζ11; P2_δ1), z22 = ({ζ2j }j=1; P2_δ2), z23 = P2_δ3, определим оператор B12 по закону B12 = diag (B12,1; B12,2; B12,3) : H2 = H21 ⊕ H22 ⊕ H23 → H1, (4.80) 1 B12,1z21 = r_0; Q1(ζ11 + θ11((P2_δ1 × _r11) · _e 3)); r - (ρ11 - ρ12) 1 (_e 3 × _r11)ζ11 dΓ11 + (m1l1 + (m2 + m3)h1)P2_δ1\; (4.81) Γ11 2 B12,2z22 = rQ2 Jζ2j + θ2j ((P2_δ2 × _r2j ) · _e 3) 2 ; j=1 2 '\" - r (ρ2j - ρ2,j+1) 2 (_e 3 × _r2j )ζ2j dΓ2j + (m2l2 + m3h2)P2_δ2\; (4.82) j=1 Γ2j B12,3z23 = m3l3P2_δ3. (4.83) О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 493 1/2 _ Отметим, что здесь Q1 : D(Q1) = HΓ11 → Gh,S1 (Ω1) - оператор краевой задачи вида (3.58) (см. 1/2 1/2 _ лемму 3.2), а Q2 : D(Q2) = HΓ21 × HΓ22 → Gh,S2,Γ(Ω2) - оператор краевой задачи (3.203) (см. также (3.209)). Далее, определим оператор B21 по закону B21 = diag rB21,1; B21,2; B21,3\ : H1 = H11 ⊕ H12 ⊕ H13 → H2, (4.84) 11 ∇Φ r )+ θ ((P ω_ × _r ) · _e 3) ; (ρ11 - ρ12) (_e 3 × _r11)γn,11(ρ-1∇Φ11) dΓ11 - (m1l1 + (m2 + m3)h1)P2ω_ 1); (4.85) 1 11 Γ11 2 B21,2z12 := r - {(ρ2j - ρ2,j+1) γn,2j _u2j + θ2j ((P2ω_ 2 × _r2j ) · _e 3) � ; 2 j=1 2 r (4.86) '\"(ρ2j - ρ2,j+1) 2 (_e 3 × _r2j )γn,2j _u2j dΓ2j - (m2l2 + m3h2)P2ω_ 2\; j=1 Γ2j B21,3z13 = -m3l3P2ω_ 3. (4.87) В (4.84)-(4.87) операторы B21,1 и B21,2 неограниченные и заданы, как и соответствующие операто- ры B21 и B22 из пунктов 3.2.7 и 3.3.5 (см. (3.109), (3.229)), на следующих областях определения: D(B21,1) = J_0(Ω2) ⊕ D(γn,11) ⊕ C3, (4.88) -1 2 D(γn,11) := {{ρ ∇Φ1k } : γn 1(ρ-1 ∇Φ11 ) = γ n,11 (ρ-1 ∇Φ12 ) ∈ L 2,Γ }; (4.89) 1k k=1 1 11 12 11 3 D(B21,2) := {z12 = (_u2; ω_ 2) ∈ H12 : _u2 = {_u2k }k=1 ∈ J_0,S2,Γ(Ω2), γn,2j _u2j ∈ L2,Γ2j , j = 1, 2}. (4.90) Лемма 4.5. Операторы B12 и B21, определяемые формулами (4.80)-(4.83) и (4.84)-(4.87) на своих областях определения, являются кососамосопряженными: (B12z2, z1)H1 = -(z2, B21z1)H2 , (4.91) ∀z1 ∈ D(B21), ∀z2 ∈ D(B12) = (D(Q1) ⊕ C2) ⊕ (D(Q2) ⊕ C2) ⊕ C2. (4.92) Доказательство. Оно повторяет доказательство лемм 3.8 (для B12,1 и B21,1) и 3.20(1) (для B12,2 и B21,2). Для B12,3 и B21,3 оно очевидно (см. (4.83) и (4.87)). Итоговая операторная формулировка исследуемой задачи. После введения всех опера- торных матриц задачу Коши для дифференциально-операторных уравнений, описывающих сов- местные малые движения системы из трех сочлененных маятников, т. е. совокупности динами- ческих уравнений (4.22), (4.23), (4.26), (4.40), (4.44), (4.10), а также кинематических уравне- ний (4.62)-(4.64), вместе с начальными условиями можно коротко переписать в виде C(1) dz1 + A z + gB z = f (t), z (0) = z0, dt 1 1 12 2 1 1 1 (4.93) gC(2) dz2 + gB z = 0, z (0) = z0, dt 21 1 2 2 где C(1) - операторная матрица кинетической энергии, C(2) - операторная матрица потенциальной энергии, A1 - операторная матрица диссипации энергии, B12 и B21 - операторные матрицы, по которым строится оператор обмена 0 B12 B = B21 0 , D(B) = D(B21) ⊕ D(B12), H1 ⊕ H2 = H (4.94) между кинематической и потенциальной энергиями. Напомним, что z1 - совокупность динами- ческих переменных исследуемой системы (см. (4.45)), а z2 - совокупность ее кинематических 494 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ переменных исследуемой системы (см. (4.46)). Наконец, заданная функция f1(t) переменной t со значениями в H1 такова: τ 2 2 3 f1(t) := (P0,1{f1k (t)}k=1; Ph,S1 {f_1k }k=1; M1,пр(t)); (P0{P0,S2k f_2k (t)}k=1; M_ 2,пр(t)); M_ 3,пр(t) . (4.95) Здесь функции справа - это заданные функции в уравнениях (4.22), (4.23), (4.26) - первый маят- ник, (4.40), (4.44) - второй маятник, (4.10) - третий маятник. Свойства операторов C(1), C(2), A1, B12 и B21 описаны в теореме 4.1 и леммах 4.1-4.5. Заметим еще, что начальные данные в (4.93) таковы: z1(0) = z0 = (z0 ; z0 ; z0 )τ , z0 = ( w_ 0 } ; {ρ ∇Φ } ; ω_ ∈ J_0(Ω1) ⊕ G_ h,S (Ω1) ⊕ C , 1 11 12 13 11 { 2 -1 1k k=1 1k 0 2 0) 3 1k k=1 1 1 12 = ({_u2k }k=1; ω_ 2) ∈ J_0,S2,Γ(Ω2) ⊕ C , z13 = ω_ 3 ∈ C , z2(0) = z2 = (z21; z22; z23), z0 3 z0 0 0 3 0 0 3 2 0 r 0 2 0\ 0 0 0 0 2 0 0 2 21 = (ζ11; P2_δ1 ) ∈ L2,Γ11 ⊕ C , z22 = {ζ2j }j=1 ; P2_δ2 ∈ (L2,Γ21 ⊕ L2,Γ22 ) ⊕ C , z23 = P2_δ3 ∈ C . (4.96) Как и ранее в пунктах 3.1, 3.2.7, 3.3.7, задачу (4.93) можно переписать в виде dz C + Az + gBz = f (t), z(0) = z0, (4.97) dt 0 B12 C := diag (C(1); gC(2)), A := diag (A1; 0), B := B21 0 , (4.98) где C - оператор полной энергии системы, A - оператор диссипации, а B - оператор обмена меж- ду кинетической и потенциальной энергиями. О разрешимости задачи Коши для финальной системы дифференциально-оператор- ных уравнений. Вернемся к задаче Коши (4.93) и выясним условия, при которых эта задача имеет решение на произвольном отрезке времени. Определение 4.1. Будем говорить, что задача (4.93) имеет сильное решение (по переменной t) на произвольном отрезке времени [0,T ], если выполнены следующие условия: 1◦. z1(t) ∈ C ([0,T ]; D(A1) ∩ D(B21)) ∩ C1([0,T ]; H1); (4.99) 2◦. z2(t) ∈ C ([0,T ]; D(B12)) ∩ C1([0,T ]; H2); (4.100) 3◦. При любом t ∈ [0,T ] выполнены уравнения (4.93), а при t = 0 - начальные условия. Очевидно, необходимыми условиями существования сильного решения задачи (4.93) являются условия f1(t) ∈ C([0,T ]; H1), z0 ∈ D(A1) ∩ D(B21), z0 ∈ D(B12). (4.101) 1 2 Переходя к вопросу о разрешимости задачи (4.93), т. е. задачи (4.97)-(4.98), выясним сначала, ка- кими свойствами обладает операторная матрица A+gB как оператор, действующий в пространстве 3 H = H1⊕H2, H2 =  H2k. Исходя из определений элементов матриц B12 и B21 (см. (4.80)-(4.87)) k=1 и леммы 4.5, а также из определения (4.77) оператора A1 и леммы 4.4, получаем представление A + gB = ⎛ 0 0 0 igF1 0 0 ⎞ ⎜ 0 A2,0 0 0 igF2 0 ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 igF3⎟ ⎟ ⎜igF ∗ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 0 igF ∗ 2 0 0 0 0 ⎟ ⎠ 0 0 igF ∗ 3 0 0 0 + diag (Aα; 0), (4.102) где r _ _ 3\ r _ 3\ 3 Aα : H1 → H1 = J0(Ω1) ⊕ Gh,S1 (Ω1) ⊕ C ⊕ J0,S2,Γ(Ω2) ⊕ C ⊕ C (4.103) О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 495 имеет вид ⎛0 ⎜0 ⎜0 ⎜ Aα = ⎜0 ⎜ ⎜ 0 ⎝ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 α1 + α2 0 -α2 0 0 0 0 0 0 0 -α2 0 α2 + α3 -α3 0 0 0 -α3 α3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . (4.104) ⎟ ⎟ ⎠ 12 Поясним обозначения в (4.102). Так как B∗ = -B21 и имеет диагональную структуру (см. (4.80)), то можно переобозначить (B12)k = iFk, k = 1, 2, 3, (4.105) k и тогда (B21)k = iF ∗. Далее, оператор A2,0 : H12 → H12 действует, согласно (4.77), по закону 3 A2,0z12 = (A�2_u2; _0), _u2 = {_u2k }k=1 ∈ D(A�2) ⊂ J_0,S2,Γ(Ω2), z12 = {_u2; Введем еще оператор A2,ε по формуле ω_ 2}∈ H12. (4.106) A2,εz12 := (A�2_u2; εω_ 2), ε > 0. (4.107) Тогда, в силу свойств оператора A�2, получим, что A2,ε : D(A�2) ⊕ C3 ⊂ H12 → H12 (4.108) - положительно определенный оператор. При этом возникает представление вида (4.102)-(4.104), где в (4.102) вместо A2,0 стоит оператор A2,ε из (4.107), а в (4.104) вместо α2 +α3 стоит выражение α2 + α3 - ε. Соответствующую матрицу обозначим Aα,ε. В итоге получим представление A + gB = A0,ε + Aα,ε, Aα,ε := diag (Aα,ε; 0), (4.109) где A0,ε - первая матрица справа в (4.102) с заменой A2,0 на A2,ε. Наконец, представим еще A0,ε в виде A0,ε = Aε - I5, I5 := diag (I; 0; I; I; I; I), (4.110) добавив к A0,ε единичные операторы на диагонали: ⎛ ⎜ ⎜ Aε = ⎜ I 0 0 igF1 0 0 0 A2,ε 0 0 igF2 0 ⎞ ⎟ ⎟ (4.111) 0 0 I 0 0 igF3⎟ . ⎜igF ∗ 0 0 I 0 0 ⎟ ⎜ 1 2 ⎝ ⎜ 0 igF ∗ ⎟ ⎠ 0 0 I 0 ⎟ Тогда получим представление 3 0 0 igF ∗ 0 0 I A + gB = Aε - I5 + Aα,ε. (4.112) Заметим теперь, что оператор A + gB аккретивный: Re ((A + gB)z, z)H � 0 ∀z ∈ D(A) ∩ D(B). (4.113) Покажем, опираясь на представление (4.112), что он является в существенном аккретивным оператором, т. е. его замыкание - максимальный аккретивный оператор. С этой целью воспользуемся следующей факторизацией оператора Aε из (4.111) с симметрич- ными крайними множителями: 1/2 1/2 Aε = diag (I; A2,ε ; I; I; I; I) Jε diag (I; A2,ε ; I; I; I; I), (4.114) ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Jε = ⎜i ⎜ ⎜ ⎝ I 0 0 igF1 0 0 0 I 0 0 igA-1/2F2 2,ε 0 0 0 I 0 0 igF gF ∗ 0 0 I 0 0 1 0 igF ∗A-1/ 2 2,ε 2 0 0 I 0 0 0 igF ∗ 3 0 0 I ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ 3⎟ ⎟ . (4.115) ⎟ ⎟ ⎠ 496 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ Заметим теперь, что операторы I5 и Aα,ε в выражении (4.112) ограничены и поэтому заданы на всем пространстве H. Поэтому достаточно убедиться, что Aε - в существенном максимальный оператор. Лемма 4.6. В представлении (4.114), (4.115) оператор F ∗A-1/2 : H12 → H22 компактен, а 2 2,ε 1/2 оператор A-1/2F2 допускает замыкание до компактного оператора (F ∗A- )∗ : H22 → H21. 2,ε 2 2,ε 2 Доказательство. Заметим сначала, что D(F ∗) = D((B21)2) (см. (4.90)) и это множество плотно в H12 = J_0,S2,Γ(Ω) ⊕ C . Далее, D(F2) = D((B12)2) (см. (4.82)) и множество D(F2) = D(Q2) ⊕ C = \ -1/2 r 1/2 HΓ21 H 1/2 × Γ22 3 ⊕ C2 плотно в H22. Так как оператор A�2 2 ограниченно действует из J_0,S2,Γ(Ω) в J_1 ∗ 1 1/2 1/2 -1/2 0,S2,Γ(Ω), а F2 = -i(B21)2 из J_ (Ω) в H × H , то F ∗A : H12 → H22 - компактный 0,S2,Γ Γ21 Γ22 2 2,ε оператор (в силу теоремы вложения Гальярдо, см. [7]). Пусть теперь z22 ∈ D(F2), z12 ∈ H12. Тогда (A-1/2 r \ 2,ε F2)z22, z12 2,ε = rF2z22, A-1/2z12\ = rz22,F ∗A-1/2 z12\ . Отсюда следует, что H12 A-1/2 H12 r -1/2\∗ 1 2 2,ε H22 2,ε F2 = F ∗A 1 , 2 2,ε 1D(F2) и так как D(F2) плотно в H22, то замыкание оператора A-1/2F2 на все H22 совпадает с (F ∗A-1/2)∗, причем A-1/2 2,ε F2 = rF ∗A-1/2\∗ 2,ε : H22 → H12 2 2,ε - компактный оператор. 2 2,ε В качестве следствия из леммы 4.6 получаем такой вывод: средний множитель в (4.114) допус- ∗ кает замыкание до ограниченного оператора Jε путем замены A-1/2F2 на rF ∗A-1/2\ , причем оператор Jε равномерно аккретивен: 2,ε 2 2 2,ε Re (Jεz, z)H � lzlH ∀z ∈ H. (4.116) Другим следствием леммы 4.6 является такое утверждение. Теорема 4.2. Оператор A + gB допускает замыкание до максимального аккретивного опе- ратора A + gB, действующего в H, и поэтому оператор -(A + gB) является генератором сжимающей полугруппы операторов. При этом A + gB задан на области определения D(A + gB) = {z = (z1; z2)τ , z1 = (z11; z12; z13), z2 = (z21; z22; z23) : z12 ∈ D(A-1/2), A-1/2 A r -1/2\∗ 2 z22 ∈ D(A-1/2 ), (4.117) 2,ε 2,ε z12 + ig F ∗ 2,ε 2,ε 1 z11 ∈ D(F ∗), z13 ∈ C3, z21 ∈ D(F1), z22 ∈ C3� и действует на ней по закону A + gBz = Aεz - I5z - Aα,εz, (4.118) Aεz = rz11 + igF1z21; A1/2 r A1/2z12 + ig(F ∗A-1/2)∗z22\ ; z13 + igF3z23; \ 2,ε 2,ε 2 2,ε τ (igF ∗z11 + z21; igF ∗z12 + z22; igF ∗z13 + z23) . (4.119) 1 2 3 Доказательство. Так как в представлении (4.112) операторы I5 и Aα,ε ограничены, то доста- точно установить, что оператор допускает замыкания до максимального оператора. Заметим, что свойство аккретивности в таком процессе сохраняется (см. (4.113)). В представлении (4.114) крайние множители - самосопряженные положительно определенные операторы, имеющие ограниченные обратные, заданные на всем пространстве. После замыкания оператор Jε сохраняет свойство (4.116) равномерной аккретивности. Поэтому он имеет ограничен- ный обратный оператор, заданный на всем пространстве. Отсюда следует, что Aε - максимальный О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 497 равномерно аккретивный оператор, и поэтому область его значений совпадает со всем простран- ством. Можно непосредственно убедиться также, что тогда область определения оператора Aε задается посредством (4.117), а сам он действует по закону (4.118), (4.119). Перейдем теперь к рассмотрению вопроса разрешимости задачи Коши (4.97). Определение 4.2. Будем говорить, что состояние равновесия гидромеханической системы из трех сочлененных маятников с полостями, заполненными жидкостями, является статически устойчивым по линейному приближению, если оператор потенциальной энергии C(2) положи- тельно определен в пространстве H2: (C(2)z2, z2) l � clz 2 , c > 0. (4.120) H 2 H Будем считать далее, что свойство (4.120) выполнено. Тогда оператор полной энергии C в (4.97), (4.98) - ограниченный положительно определенный, и потому существует ограниченный положительно определенный оператор C-1, заданный на всем H. Учитывая этот факт, перепишем задачу Коши (4.94) в равносильном виде: dz - = C-1(A + gB)z + C-1f (t), z(0) = z0, (4.121) dt и введем в H новое скалярное произведение [z, w] := (Cz, w)H ∀z, w ∈ H, (4.122) порождающее, в силу свойств оператора C, эквивалентную норму в H = HC. Рассмотрим, наряду с задачей (4.121), задачу Коши с замкнутым оператором: dz - = C-1(A + gB)z + C-1f (t), z(0) = z0. (4.123) dt Так как оператор -(A + gB) является максимальным диссипативным оператором в H, то -C-1(A + gB) обладает этим свойством в HC : H Re [C-1(A + gB)z, z] = Re [((A + gB)z, z) ] � 0 ∀z ∈ D(A + gB). (4.124) Поэтому оператор -C-1(A + gB) есть оператор сжимающей полугруппы операторов в HC = H. Отсюда по теореме Р. С. Филлипса (см., например, [13, с. 166], а также [26, с. 127]) следует, что если выполнены условия f (t) ∈ C1 ([0,T ], H) , z0 ∈ D((A + gB)), (4.125) то задача (4.123) имеет сильное решение на отрезке [0,T ]. Теорема 4.3. Пусть выполнены следующие условия. 1◦. Первая группа условий: 11 = ({w_ 1k }k=1; {ρ1k ∇Φ1k }k=1; ω_ 1 ) ∈ J_0(Ω1) ⊕ D(γn,11) ⊕ C ; z0 2 z0 0 3 -1 0 2 0 r 0 3 2 \ 3 0 3 12 = ({_u2k }k=1; 2◦. Вторая группа условий: ω_ 2 ) ∈ D(A�2) ∩ D({γn,2j }j=1) ⊕ C , z13 ∈ C . z0 21 = rζ0 ; P2_δ0\ H 1/2 ∈ ⊕ C2, z0 22 = ζ r 0 2 { } ; P2_δ0\ 11 r 1/2 ∈ H 1 Γ11 2 0 1/2\ × H ⊕ C , z = P2_δ0 ∈ C2. 2j j=1 2 Γ21 Γ22 23 3 3◦. Третья группа условий: f_1k ∈ C1 r[0,T ]; L_ 2(Ω1k )\ , k = 0, 1, 2; f_2k ∈ C1 r[0,T ]; L_ 2(Ω2k )\ , k = 0, 1, 2, 3; f_3k ∈ C1 r[0,T ]; L_ 2(Ω3k )\ , k = 0, 1. Тогда задача (4.121) имеет единственное сильное (по переменной t) решение на отрезке [0,T ]. 498 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ Доказательство. Пусть выполнена первая и вторая группы условий, т. е. начальные условия исследуемой проблемы. Тогда можно проверить, что в задаче Коши (4.123) выполнено условие z(0) = z0 ∈ D(A + gB) = D(C-1(A + gB)) ⊂ D(C-1(A + gB)). Можно убедиться также, что в этой задаче f (t) ∈ C1([0,T ]; H). Поэтому по теореме Р. С. Фил- липса задача (4.123) имеет единственное сильное решение на отрезке [0,T ]. Это означает, что справедливо уравнение (4.123), где все слагаемые - элементы из C([0,T ]; HC ). Отсюда следует, что справедливо и уравнение C dz + (A + gB)z = f (t), (4.126) dt где все слагаемые - элементы из C([0,T ]; H). Учитывая представление (4.118), (4.119) для (A + gB)z, а также факторизацию Aε в виде (4.114) со средним множителем J ε (см. (4.114), (4.119)) получим из предыдущего, что имеет место уравнение dz dt C + Aεz - I5z - Aα,εz = f (t), z(0) = z0, (4.127) где все слагаемые в уравнении - непрерывные по t функции, а Aεz выражается формулой (4.119). Заметим теперь, что уравнение (4.121) и соответственно исходную задачу (4.97), т. е. зада- чу (4.93), можно переписать в эквивалентной форме dz dt C + Aεz - I5z - Aα,εz = f (t), z(0) = z0, (4.128) с незамкнутым оператором Aε (см. (4.111), (4.112), (4.114), (4.115)). Поэтому утверждение тео- ремы будет доказано, если в задаче (4.127) можно в представлении для Aε (см. (4.119)) иметь возможность раскрыть скобки в выражении A1/2 rA1/2 -1/2 \ 2,ε 2,ε z12 + ig(F ∗A2,ε )∗z22 , (4.129) 2,ε т. е. установить, что в скобках каждое слагаемое является функцией из C([0,T ]; D(A1/2)). С этой целью перепишем задачу (4.126) в исходной форме, опираясь на представления для Aε и Aε (см. (4.111)) и переходя к системе уравнений с компонентами z1 и z2. Тогда, в частности, второе уравнение примет вид второго уравнения из (4.93), где C(2) и B21 - диагональные операторы (см. (4.67)-(4.70)). Значит, второе уравнение этой диагональной системы имеет прежний вид: C(2) dz22 dt 22 + ig(B21)2z12 = 0. (4.130) Напомним теперь, что согласно лемме 4.1 при выполнении условия (4.66) связь (4.130) равносиль- на соотношениям (4.60), которые можно переписать в виде dz22 = γ z := ( γ 2 _u } ; P ω_ ) . (4.131) Отсюда получаем, что dt �n 12 t r { n,2j 2 j=1 2 2 22 z22(t) = z0 + 0 � γnz12(s) ds ∈ C1([0,T ]; H22). (4.132) Представляя это выражение в (4.129), приходим к выводу, что для сильного решения зада- чи (4.127) (с замкнутым оператором Aε) имеет место свойство t A1/2 -1/2 r r \ 1/2 2,ε z12(t)+ ig(F ∗A )∗ z0 + γnz12(s) ds =: v12(t) ∈ C([0,T ]; D(A )). (4.133) 2 2,ε 22 � 0 2,ε Отсюда, в свою очередь, следует, что t ∗ r z12(t)+ igA-1/2 rF ∗A-1/2\ γnz12(s) ds = 2,ε 2 2,ε � 0 О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 499 F = A-1/2 rv12(t) - ig r A-1/2\∗ z 0 \ =: ϕ (t) C ([0; T ]; (A )) , (4.134) так как rF ∗ 1/2\∗ z 0 2,ε -1/2 ∗ 2 1/2 2,ε 22 12 ∈ D 2,ε 2,ε 22 = A2,ε F2z 0 2,ε 22 2 A- (см. (4.82) и лемму 4.6). Докажем, что на самом деле 22 ∈ D(A ), z 0 ∈ D(F2) = D((B12)2) = D(Q2) ⊕ C2, (4.135) z12(t) ∈ C ([0; T ]; D(A2,ε)) . (4.136) Действительно, рассмотрим (4.134) как интегральное уравнение Вольтерра второго рода в про- странстве H(A2,ε) = D(A2,ε) с нормой, эквивалентной норме графика (поскольку A2,ε » 0): lz12lH(A2,ε) := lA2,εz12lH12 . В (4.134) правая часть ϕ12(t) - непрерывная функция t со значениями в H(A2,ε). Далее, оператор rA-1/2 rF ∗ -1/2\∗ γ \ , суженный на H(A ), ограниченно действует из H(A ) в H(A ). В 2,ε 2 A2,ε �n 2,ε u2 2 1/2 2,ε 2,ε самом деле, если z12 = (_u2; ω_ 2) ∈ D(A2,ε), то � ∈ D(A� ) ⊂ D(A�2 ) = J _1 0,S2,Γ (Ω2), и тогда γnz12 r 1/2 1/2\ 2 2 � ∈ HΓ12 × HΓ22 ⊕ C = D(Q2) ⊕ C = D((B12)2) = D(F2). Поэтому по лемме 4.6 имеем A-1/2 rF ∗ -1/2\∗ γ z = A-1 γ z ) (A ) = (A ). 2,ε 2 A2,ε �n 12 2 (F2�n 12 ∈D 2,ε H 2,ε Отсюда следует, что уравнение (4.134) однозначно разрешимо и имеет решение z12(t) со свойством (4.136). Поэтому в сумме (4.129) каждое слагаемое является элементом из 2,ε C r[0; T ]; D(A1/2)\ , и потому в этом выражении можно раскрыть скобки. Это означает, что ис- ходное уравнение (с замкнутым оператором) после раскрытия скобок переходит в уравнение с оператором Aε - I5 - A2,ε = A + gB, где все слагаемые - непрерывные функции t со значениями в H. Таким образом, доказано, что задача (4.121), а вместе с ней и задача (4.97) имеет сильное решение на отрезке [0; T ]. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ ИЗ ТРЕХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ В этом параграфе рассмотрим упрощенный вариант исследуемой гидромеханической системы, когда сила трения в шарнирах пренебрежимо мала, а жидкости в полостях маятников идеальные (т. е. невязкие): αk = 0, μ2k = 0, k = 1, 2, 3. (5.1) Такая система будет консервативной, так как диссипативные силы равны нулю. Получение операторных уравнений движения системы. Общая схема получения урав- нений движения системы маятников и жидкостей в полостях маятников остается прежней, за исключением уравнений движения трех жидкостей во втором маятнике. Именно, для третьего маятника по-прежнему приходим к уравнению (4.10), а для первого маят- ника - к уравнениям (4.22)-(4.24), (4.26). Далее, для соответствующих уравнений, описывающих динамику второго маятника с полостью, заполненной системой из трех идеальных жидкостей, т. е. уравнений (2.7) и (2.8) при условиях (5.1), теперь следует применить тот же подход, который был применен при рассмотрении динамики первого маятника. В частности, в уравнении (4.27) следует }k=1 положить μ2k = 0 (k = 1, 2, 3), а затем набор полей скоростей {_u2k 3 искать в форме 3 3 -1 3 {_u2k }k=1 = {w_ 2k }k=1 + {ρ2k ∇Φ2k �k=1 , (5.2) 3 -1 3 {w_ 2k }k=1 ∈ J_0(Ω2) = J_0(Ω21) ⊕ J_0(Ω22) ⊕ J_0(Ω23), {ρ2k ∇Φ2k �k=1 ∈ G_ h,S2,Γ(Ω2) (5.3) и воспользоваться ортогональным разложением L_ 2(Ω2) = J_0(Ω2) ⊕ G_ h,S2,Γ(Ω2) ⊕ G_ 0,Γ(Ω2) (5.4) (см. соответствующие построения для первого маятника и формулы (4.15)-(4.18)). При этом набор полей давлений разыскиваем в виде {ρ-1 3 -1 3 -1 3 2k ∇p2k �k=1 = {ρ2k ∇ϕ2k �k=1 + {ρ2k ∇ψ2k �k=1 , (5.5) 500 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ {ρ-1 3 -1 3 2k ∇ϕ2k �k=1 ∈ G_ h,S2,Γ(Ω2), {ρ2k ∇ψ2k �k=1 ∈ G_ 0,Γ(Ω2). (5.6) Применим далее метод ортогонального проектирования для уравнений движения жидкостей во втором маятнике, т. е. для уравнения r d_u2k 3 r dω_ 1 + 3 × _h1 r dω_ 2 + 3 × _r2k 3 + {ρ-1∇p2k � 3 = Jf_2k (5.7) dt k=1 dt k=1 dt 2k k=1 k=1 k=1 (см. (4.27) при μ2k = 0). Введя ортопроекторы 3 P0,2 : Ph,S2,Γ : P0,2,Γ : L_ 2(Ω2) → J_0(Ω2), P0,2 = {P0,2k }k=1 , L_ 2(Ω2) → G_ h,S2,Γ(Ω2), L_ 2(Ω2) → G_ 0,Γ(Ω2), (5.8) и действуя ими на обе части (5.7), получим уравнения в проекциях: r dw_2k 3 + P0,2 r dω_ 1 3 _h1 + P0,2 r dω_ 2 3 _r2k 3 = P0,2 Jf_2k , (5.9) dt k=1 dt × k=1 dt × k=1 k=1 3 r d (ρ-1 _ r dω_ 1 3 + P r dω_ 2 3 + dt 2k ∇Φ2k ) k=1 + Ph,S2,Γ dt × h1 k=1 h,S2,Γ dt × _r2k k=1 + {ρ-1 3 Jf_ 3 , (5.10) r dω_ 1 3 r dω_ 2 3 2k ∇ϕ2k �k=1 = Ph,S2,Γ �3 2k k=1 P0,2,Γ _ dt × h1 + P0,2,Γ dt × _r2k + {ρ-1 2k 0,2,Γ f2k 3 }k=1 . (5.11) k=1 k=1 2k ∇ψ k=1 Здесь снова (как и в уравнениях движения жидкостей в первом маятнике) набор полей {ρ-1 3 2k ∇ψ2k �k=1 явно находится по другим искомым и заданным переменным задачи, и поэтому уравнение (5.11) далее не учитывается в исследовании проблемы. Аналогично преобразуется и уравнение движения второго маятника, что приводит (взамен урав- нения (4.44)) к уравнению J_2 dω_ 2 r + dt G2 _r2 × dω_ 1 dt × _h1 3 dm2 + '\" ρ2k k=1 r Ω2k _r2k × d (w_ + ρ-1 Φ dt 2k 2k ∇ 2k ) dΩ2k + r + ρ30 _h2 × dω_ 1 _ dt × h1 + 2 _ dω_ dt × h2 + dω_ 3 dt × _r30 dΩ30+ + ρ31 Ω30 r _h2 × PG,3 dω_ 1 _ dt × h1 + 2 _ dω_ dt × h2 + dω_ 3 dt × _r31 dΩ31+ Ω31 2 r + g(m2l2 + m3h2)P2_δ2 - g '\" (ρ2j - ρ2,j+1) 2 (_e 3 × _r2j ) ζ2j dΓ2j = M_ 2,пр(t). (5.12) j=1 Γ2j Таким образом, система уравнений, описывающая эволюцию системы сочлененных маятников с полостями, содержащими идеальные жидкости при отсутствии трения в шарнирах, свелась к за- даче Коши для уравнения (4.12), уравнения (4.19) при α1 = α2 = 0, уравнений (5.9), (5.10), (5.12) и уравнения (4.10) при α3 = 0. Переход к задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения в гильберто- вом пространстве. Введем, как и ранее, динамические и кинематические переменные задачи, однако с соответствующими изменениями для второго маятника. Именно, будем считать, что они имеют вид (4.45), (4.46), но теперь z12 = r{w_ 2k } 3 k=1 ; ρ { -1 2k ∇Φ2k � 3 k=1 ; 2 ω_ 2\ ∈ J_0(Ω2) ⊕ G_ h,S ,Γ(Ω2) ⊕ C3. (5.13) О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 501 Далее вводим оператор кинетической энергии системы посредством соотношений вида (4.47)- (4.56), осуществляя замены в этих формулах _u2k = w_ 2k + ρ-1∇Φ2k, k = 1, 2, 3, а P0 = P0,S ,Γ выражая в виде 2k 2 P0 = P0,2 + P0,S2,Γ. (5.14) Тогда новый оператор кинетической энергии C(1) будет обладать прежними свойствами (см. теорему 4.1). Оператор потенциальной энергии C(2) (см. (4.67)) будет прежний, и для него спра- 2j ведливы утверждения лемм 4.2 и 4.3. Введем, наконец, оператор обмена энергиями (4.79) с ком- понентами (4.80)-(4.83) и (4.84)-(4.87), снова заменяя _u2j на w_ 2j + ρ-1∇Φ2j,j = 1, 2, в форму- лах (4.85), (4.86). Здесь опять справедливы утверждения леммы 4.5. В конечном итоге приходим к задаче Коши в пространстве H = H1 ⊕ H2: C(1) dz1 + gB z = f (t), z (0) = z0, dt 12 2 1 1 1 (5.15) gC(2) dz2 + gB z = 0, z (0) = z0, dt 21 1 2 2 она является частным случаем задачи (4.93) при A1 = 0. Здесь 2 k=1 z1 = (z11; z12; z13)τ , z11 = r{w_ 1k } ; ρ { -1 1k ∇Φ1k � 2 k=1 ; ω_ 1\ , z12 = r{w_ 2k } 3 k=1 ; ρ { -1 2k ∇Φ2k � 3 k=1 ; ω_ 2\ , z13 = ω_ 3, (5.16) 2 j=1 z2 = (z21; z22; z23)τ , z21 = (ζ11; P2_δ1), z22 = ({ζ2j } ; P2_δ2), z23 = P2_δ3. Коротко эту задач записываем в виде dz C + gBz = f (t), z(0) = z0, (5.17) dt (сравн. с (4.97), (4.98)), где C - оператор полной энергии системы, а B - оператор обмена между кинетической и потенциальной энергиями системы, B∗ = -B. Скажем несколько слов о разрешимости задачи (5.17). Если система статически устойчива по линейному приближению, т. е. оператор C(2) положительно определен в H2, то оператор -C-1B является консервативным и потому порождает изометрическую полугруппу операторов, действу- ющих в пространстве HC = H с эквивалентной нормой (см. (4.122)). Потому при выполнении условий z0 ∈ D(B) ⊂ H, f (t) ∈ C1 ([0; T ]; H) (5.18) задача (5.17) имеет единственное сильное (по переменной t) решение на любом отрезке [0; T ] . Для этого решения имеет место закон баланса полной энергии, а при f (t) ≡ 0 - закон сохранения полной энергии. Более подробно на этой эволюционной проблеме не будем останавливаться. О собственных колебаниях консервативной системы. Будем считать, что в задаче (5.15) оператор C(2) потенциальной энергии положительно определен, т. е. система статически устойчива по линейному приближению. Рассмотрим решения однородной задачи (5.15), зависящие от t по закону zk (t) = exp (iλt)zk, k = 1, 2. (5.19) Здесь λ - частота собственных колебаний, а zk - амплитудные элементы. Для нахождения амплитудных элементов (ненулевых решений задачи) приходим к спектральной проблеме iλC(1)z1 + gB12z2 = 0, iλC(2)z2 + B21z1 = 0. (5.20) Проверим сначала, имеет ли задача (5.20) вместе с тривиальной проблемой iλP 3_δk - P 3ω_ 3 = _0, k = 1, 2, 3, (5.21) возникшей из связи d(P 3_δk )/dt = P 3ω_ k, k = 1, 2, 3, решения при λ = λ0 = 0. Приходим к задаче B12z2 = 0, B21z1 = 0, P 3ω_ k = 0, k = 1, 2, 3, (5.22) 502 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ Напомним, что для рассматриваемой гидромеханической системы выполнены условия леммы 4.1, т. е. условия (4.66). Поэтому по этой лемме и из определений (4.80)-(4.83) для блоков матрицы B12 и определений (4.84)-(4.87) для блоков матрицы B21 получаем из (5.22), что справедливые соотношения (4.59)-(4.62) для решений вида (5.19) при λ = λ0 = 0 приводят к формулам γn,11_u11 = γn,11_u12 = 0 (на Γ11), P2ω_ 1 = _0, P2ω_ 2 = _0, P2ω_ 3 = _0, γn,21_u21 = γn,21_u22 = 0 (на Γ21), γn,22_u22 = γn,22_u23 = 0 (на Γ22). Отсюда приходим к выводу, что (5.23) z2 = z0 = (z0 ; z0 ; z0 ) ; z0 = (ζ0 ; P2_δ 0) = (0, _0), P2_δ 0 = 0, 2 z0 r{ 21 22 23 21 �2 \ 21 1 3 22 = ζ 0 2 2j j=1 ; P2_δ 0 = (0, _0); τ z1 = z0 = (z0 ; z0 ; z0 ) ; z0 = r{w_ 0 �2 ; {ρ-1∇Φ 0 �2 ; ω_ 0\ = 1 11 12 13 11 1k k=1 1k 1k k=1 1 (5.24) = r{w_ 0 �2 \ ; _0; _0 , ∀ w_ 0 ∈ J_ (Ω ), k = 1, 2; 1k z0 r{ k=1 �3 { 1k 0 1k �3 \ r{ �3 \ 12 = w_ 0 ; ρ-1∇Φ 0 ; ω_ 0 = w_ 0 ; _0; _0 , 2k k=1 2k 2k k=1 2 2k k=1 2k ∀ w_ 0 13 ∈ J_0(Ω2k ), k = 1, 2, 3, z0 3 = ω_ 0 = _0. Лемма 5.1. Собственное значение λ = λ0 = 0 спектральной задачи (5.20), (5.21) бесконеч- нократно. Физически ему отвечает такое стационарное состояние системы, когда движение жидкостей в полостях маятников не зависят от времени и являются чисто вихревыми, при- чем границы раздела Γ11, Γ21, Γ22 между жидкостями не отклоняются, а вся система в целом (каждый маятник) по отношению к исходному состоянию повернута вокруг вертикальной оси на произвольные углы (_δ 3)0, (_δ 3)0, (_δ 3)0 соответственно. 1 2 3 Рассмотрим теперь случай ненулевых частот колебаний: λ /= 0. Здесь можно исключить пере- менную z2 и ввести характеристики, зависящие от z1 = (z11; z12; z13) . В самом деле, для динамических переменных из однородного уравнения (4.22) движения жид- костей в первом маятнике для решений вида (5.19) получаем связь iλ r 2 w_ 1k } 2 + P0,1 {ω_ 1 × _r1k } \ = 0, (5.25) и тогда z11 { k=1 r 2 1k 0,1 1 1k k=1 1 2 1k � \ z11 = � := -P {ω_ × _r }k=1 ; {ρ- ∇Φ k=1 ; ω_ 1 . (5.26) Далее, из аналогичного уравнения для второго маятника (см. (5.9)) получаем также связь 3 J 3 и тогда iλ {w_ 2k }k=1 + P0,2 ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _r2k k=1 = _0, (5.27) z12 J 0,2 1 1 3 2 2k 2 1 2k � 2 z12 = � := -P ω_ × _h + ω_ × _r k=1 ; {ρ- ∇Φ k=1 ; ω_ 2k . (5.28) Для третьего маятника имеем z13 z13 = � = ω_ 3. (5.29) Что касается соответствующих преобразований для кинематических переменных, то здесь име- ем связь для первого маятника: iλζ11 = γn,11 (ρ-1∇Φ11) = γn,11 (ρ-1 12) 2_1 2 1 11 Перепишем их в такой форме 12 ∇Φ , iλP δ = P ω_ . (5.30) z21 = (iλ)-1 (γn,11 (ρ-1∇Φ11) ; P2ω_ 1) =: (iλ)-1 z21. (5.31) 11 � z21 Отсюда видно, что � также выражается через динамические переменные системы. Для второго маятника соответственно имеем: iλζ21 = γn,21 (ρ-1 21) n,21 ( 22 22) 21 ∇Φ = γ ρ-1∇Φ , (5.32) iλζ22 = γn,22 (ρ-1∇Φ22) = γn,23 (ρ-1 23) 2_2 2 2 22 23 ∇Φ , iλP δ = P ω_ , О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 503 и эти связи перепишем в виде 2 z22 = (iλ)-1 r{γn,2j (ρ-1∇Φ2j )} ; P2ω_ 2\ =: (iλ)-1 z22. (5.33) Наконец, 2j j=1 � � z23 = P2_δ3 = (iλ)-1 P2ω_ 3 =: (iλ)-1 z23. (5.34) Подставим теперь представления (5.31), (5.33), (5.34) в систему уравнений (5.11) и умножим первое уравнение на � в H . Используя свойство B∗ = -B , будем иметь соотношение z1 1 12 21 iλ(C(1)z1, z1) - g(iλ)-1(z2, B21z1) = 0. (5.35) � � H1 � � H2 Однако непосредственное вычисление показывает, что (2)z2 (2)z2 z2 (� z1)H2 = (z2,C � )H2 = (C � , � )H2 . (5.36) Поэтому числа μ := λ2/g (квадраты частот колебаний системы) можно найти по формуле (2)z2 z2 μ = λ2/g = (C � , � )H2 , (5.37) (C(1) � , � ) z1 z1 H1 z1 где � и � z2 - соответствующие амплитудные элементы в задаче (5.20), (5.21). Напомним, что вариационное отношение (5.37) следует рассматривать на классе функций 1k ∇Φ1k }k=1 ∈ G_ h,S1,Γ(Ω1), {ρ2k ∇Φ2k }k=1 ∈ G_ h,S2,Γ(Ω2), (5.38) {ρ-1 2 -1 3 т. е. таких, для которых выполнены следующие уравнения и краевые условия: для первого маятника ΔΦ1k = 0 (в Ω1k ), ∂Φ1k = 0 (на S ), ∂n 1k (5.39) ρ-1 ∂Φ11 = ρ-1 ∂Φ12 (на Γ ), _n = _e 3; для второго маятника 11 ∂n11 12 ∂n11 11 ∂Φ2k 11 1 ΔΦ2k = 0 (в Ω1k ), = 0 (на S2k ), ∂n ρ-1 ∂Φ21 = ρ-1 ∂Φ22 (на Γ ), _n = _e 3, (5.40) 21 ∂n21 22 ∂n21 21 21 2 ρ-1 ∂Φ21 = ρ-2 ∂Φ23 (на Γ ), _n = _e 3. 22 ∂n21 23 ∂n22 22 22 2 Теорема о дискретности спектра. Использование потенциалов Жуковского. Докажем, что вариационному отношению (5.37) на решениях задач сопряжения (5.39), (5.40) отвечает дис- кретный спектр частот колебаний гидродинамической системы из трех сочлененных маятников. Предварительно преобразуем вариационную задачу введением потенциалов Жуковского для каж- дого маятника. Воспользуемся выражением (4.58) для кинетической энергии третьего маятника и учтем, что PG,3(ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _h2) = ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _h2. Имеем квадратичную форму r ρ30 Ω30 + ρ31 |ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _h2 + ω_ 3 × _r30|2 dΩ30+ r |ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _h2 + PG,3(ω_ 3 × _r31)|2 dΩ31, (5.41) Ω31 PG,3 : L_ 2(Ω31) → G_ (Ω31) := {_u31 = ∇ψ31 : r ∂Ω31 ψ31 dS = 0} 504 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ - ортопроектор. Тогда, рассуждая так же, как и в пункте 3.1, и вводя потенциалы Жуковского ψ31,l (см. (3.21)-(3.31)), будем иметь из (5.41) форму r ρ30 r |ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _h2 + ω_ 3 × _r30|2 dΩ30 + ρ31 3 3 |ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _h2 + '\" ωl ∇ψ31,l|2 dΩ31. (5.42) Ω30 Ω31 l=1 Аналогичные преобразования проведем для первого и второго маятников. Для первого маятника квадратичная форма кинетической энергии, как следует из (4.58), имеет вид r ρ10 2 r |ω_ 1 × _r10|2 dΩ10 + '\" ρ1k 1k |ω_ 1 × _r1k + w_ 1k + ρ-1∇Φ1k |2 dΩ1k, (5.43) Ω10 k=1 Ω1k причем для спектральной задачи при λ /= 0 выполнено условие связи (5.25), которое приводит к квадратичной форме r ρ10 2 r |ω_ 1 × _r10|2 dΩ10 + '\" ρ1k 1k |ρ-1∇Φ1k + PG,1k (ω_ 1 × _r1k )|2 dΩ1k, (5.44) Ω10 k=1 Ω1k где PG,1k : L_ 2(Ω1k ) → G_ (Ω1k ), k = 1, 2 - соответствующие ортопроекторы. Вводя потенциал Жуковского соотношениями PG,1k (ω_ 1 × _r1k ) = ∇ψ1k, k = 1, 2, (5.45) и представляя их в виде 3 1 ψ1k = '\" ωl ψ1k,l, Δψ1k,l = 0 (в Ω1k ), l=1 (5.46) ∂ψ1k,l = (_e l r ∂n 1 × _r1k ) · _n1k (на ∂Ω1k ), ∂Ω1k ψ1k,l dS = 0, приходим к следующему выражению для кинетической энергии первого маятника: r ρ10 2 r |ω_ 1 × _r10|2 dΩ10 + '\" ρ1k 3 |ρ-1∇Φ1k + '\" ωl ∇ψ1k,l|2 dΩ1k. (5.47) Ω10 k=1 1k Ω1k 1 l=1 Для второго маятника аналогично из (4.58) имеем квадратичную форму r ρ20 3 r |ω_ 1 × _h + ω_ 2 × _r20|2 dΩ20 + '\" ρ2k 2k |ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _r2k + w_ 2k + ρ-1∇Φ2k |2 dΩ2k, (5.48) Ω20 k=1 Ω2k причем для спектральной задачи из (5.27) следует, что iλ(w_ 2k + P0,2k (ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _r2k )) = 0, k = 1, 2, 3. (5.49) Подставляя эти связи в (5.48), вводя потенциалы Жуковского ∇ψ2k := PG,2k (ω_ 2 × _r2k ), k = 1, 2, 3, и их компоненты ψ2k,l: 3 2 ψ2k := '\" ωl ψ2k,l, Δψ2k,l = 0 (в Ω2k ), l=1 (5.50) ∂ψ2k,l = (_e l r ∂n 2 × _r2k ) · _n2k (на ∂Ω2k ), Ω2k ψ2k,l dS = 0, О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 505 приходим к квадратичному функционалу для кинетической энергии второго маятника r ρ20 3 r |ω_1 × _h1 + ω_2 × _r20|2 dΩ20 + '\" ρ2k 3 |ω_1 × _h1 + ρ-1∇Φ2k + '\" ωl ∇ψ2k,l|2 dΩ2k. (5.51) Ω20 k=1 Ω2k 2k 2 l=1 Окончательно получаем, что квадратичный функционал кинетической энергии гидромеханической энергии из трех сочлененных маятников имеет вид (C(1)z1 z1) = r r |ω_ × _r 2 | dΩ 2 + '\" ρ r |ρ-1∇Φ 3 + '\" ωl ∇ψ 2 | dΩ � , � H1 ρ10 1 10 Ω10 10 k=1 3 1k 1k Ω1k 1k 1 l=1 1k,l 3 1k + r r + ρ20 |ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _r20|2 dΩ20 + '\" r ρ2k 2k |ω_ 1 × _h1 + ρ-1∇Φ2k + ωl ∇ψ2k,l|2 dΩ2k + '\" 2 Ω20 k=1 Ω2k l=1 3 r r + ρ30 r |ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _h2 + ω_ 3 × _r30|2 dΩ30 + ρ31 |ω_ 1 × _h1 + ω_ 2 × _h2 + '\" 3 ωl ∇ψ3k,l|2 dΩ31 . Ω30 Ω31 l=1 (5.52) Опираясь теперь на определения операторных блоков оператора потенциальной энергии (см. (4.67)-(4.70)), формулы (4.71)-(4.73) для соответствующих квадратичных функционалов и z2 на определения (5.31)-(5.34) элемента � и его компонент, приходим к квадратичному функцио- налу (C(2)z2 z2) r = J(ρ11 - ρ12) |γn,11(ρ-1∇Φn)+ θ11((P2ω_ 1 × _r11) · _e 3)|2- � , � H2 11 1 Γ11 1 - |θ11((P2ω_ 1 × _r11) · _e 3)|2 dΓ11 + (m1l1 + (m2 + m3)h2)|P2ω_ 2|2 + 2 r + J '\"(ρ2,j - ρ2,j+1) |γn,2j (ρ-1 2j 2 2j 2 2 2j j=1 Γ2j 2j ∇Φ )+ θ ((P ω_ × _r ) · _e 3)|2- 2 - |θ2j ((P2ω_ 2 × _r2j ) · _e 3)|2 dΓ2j + (m2l2 + m3h2)|P2ω_ 2|2 + m3l3|P2ω_ 3|2. (5.53) Таким образом, вариационное отношение (5.37) с квадратичными функционалами (5.52), (5.53) следует рассматривать в классе функций, удовлетворяющих связям (5.39), (5.40), с заданными потенциалами Жуковского для областей Ω1k, k = 1, 2 (первый маятник, см. (5.46)), для областей Ω2k, k = 1, 2, 3 (второй маятник, см. (5.50)), а также для области Ω31 (третий маятник). Теорема 5.1. Вариационная задача (5.37), (5.52), (5.53), (5.39), (5.40) имеет дискретный j=1 спектр {μj }∞ , состоящий из конечнократных положительных собственных значений μj с предельной точкой μ = +∞. Отвечающая им система собственных элементов {� = ((� ) ; (� ) ; (� ) }∞ , z1j z1,j 1 z1,j 2 z1,j 3) j=1 (� ) = ( - P {ω_ × _r }k=1; {ρ1k ∇Φ }j=1; ω_ , (5.54) z1,j 1 0,1 2 1,j 1k -1 1k,j 2 1,j ) (� ) = ( - P {ω_ × _h + ω_ × _r }k=1; ω_ , (� ) = ω_ . z1,j 2 0,2 1,j 1 3 3,j 2k 2,j ) z1,j 3 3,j k=1 образует базис в подпространстве пространства H1 = ⊕3 H1k ортогональном к подпро- странству H10 решений, отвечающих нулевому собственному значению λ = λ0 = 0 (см. (5.24)). Этот базис ортогонален по формам операторов кинетической и потенциальной энергии гид- ромеханической системы (см. (5.52), (5.53)). Собственные элементы и собственные значения можно найти, рассматривая последова- тельные минимумы вариационного отношения (5.37) в классе функций, удовлетворяющих условиям (5.39), (5.40). Для нахождения приближенных решений задачи можно применить метод Ритца к функционалу z1) := (C(2)z2, z2) - μ(C(1)z1, z1) . (5.55) F (� � � H2 � � H1 506 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ При j →∞ собственные значения μj асимптотически разбиваются на 2 ветви μj,k , k = 1, 2, j = 1, 2,..., (5.56) отвечающие пограничным волнам в окрестности поверхности раздела Γ11 (первый маятник), и волнами в окрестности Γ21 и Γ22 (второй маятник). Эти ветви имеют следующее асимп- тотическое поведение: μj,1 = (j/c1)1/2[1 + o(1)] (j → ∞), c1 = 1 (ρ11 + ρ12)2 |Γ11| > 0; (5.57) 4π (ρ11 - ρ12)2 μj,2 = (j/c2)1/2[1 + o(1)] (j → ∞), c2 = 2 1 '\" 4π k=1 (ρ2k + ρ2,k+1)2 (ρ2k - ρ2,k+1)2 |Γ2k | > 0. (5.58) Доказательство. Заметим сначала, что совокупность элементов { � } ∈ H ⊕H , для которых z1 1 10 при условиях (5.39), (5.40) конечна квадратичная форма (5.53), компактна в H1 ⊕H10. Поэтому по теореме С. Г. Михлина (см. [26]) вариационная задача имеет дискретный положительный спектр j=1 {μj }∞ z1,j с предельной точкой μ = +∞, а система собственных элементов {� } ∞ j=1 отвечающая этим собственным значениям, образует ортогональный базис в H1 ⊕ H10 как по форме (5.52), так и по форме (5.53). В частности, этот базис можно выбрать удовлетворяющим свойствам � (C(1)z1,j � ; z1,j )H1 = δjl , (C � (2)z2,j � ; z2,j )H2 = μjδjl , j, l = 1, 2,.... (5.59) Из [26] также получаем, что собственные значения μj можно найти по методу Ритца на осно- ве функционала (5.55). Переходя к доказательству последних (асимптотических) утверждений теоремы, заметим, что квадратичная форма (C(1) � , � ) отличаются от «невозмущенной» квад- ратичной формы z1 z2 H1 2 r 3 r (C(1)z1 z2) := '\" ρ1k |ρ-1∇Φ1k |2 dΩ1k + '\" ρ2k |ρ-1∇Φ2k |2 dΩ2k (5.60) 0 � , � H1 k=1 1k Ω1k k=1 2k Ω2k тем, что первая форма является расширением формы (5.60) на конечномерное (девятимерное) подпространство. Далее, аналогично квадратичная форма потенциальной энергии (5.53) является расширением формы (C(2)z2 z2) r = (ρ11 - ρ12) 2 r |γn,11(ρ-1∇Φ11)|2 dΓ11 + '\"(ρ2j - ρ2,j+1) |γn,2j (ρ-1∇Φ2j )|2 dΓ2j 0 � , � H2 11 Γ11 j=1 2j Γ2j (5.61) на это же конечномерное подпространство. Отсюда и из общих результатов М. Ш. Бирмана и М. З. Соломяка (см., например, [26]) следует, что асимптотическое поведение чисел μj при j → ∞ такое же, как для собственных значений вариационного отношения (C(2)z2 z2) / (C(1)z1, z1) (5.62) 0 � , � H2 при дополнительных условиях (5.39), (5.40). 0 � � H1 Однако вариационному отношению (5.62) отвечают две независимые спектральные задачи: пер- вая задача - для отношения r (ρ11 - ρ12) 11 |γn,11(ρ-1∇Φ11)|2 dΩ11 / 2 r '\" ρ1k 1k |ρ-1∇Φ1k |2 dΩ1k, (5.63) Γ11 k=1 Ω1k рассматриваемого в классе функций (5.39), и вторая задача - для отношения 2 r '\"(ρ2j - ρ2,j+1) |γn,2j (ρ-1 2j 3 '\" r 2j 2k 2k 2 2k 2k j=1 Γ2j 2j ∇Φ )|2 dΓ / ρ k=1 Ω2k |ρ-1∇Φ | dΩ , (5.64) рассматриваемого в классе функций (5.40). Вариационные задачи (5.63) и (5.64) подробно исследованы, см., например, [37, с. 189-198]. j,k Каждая из них имеет дискретный положительный спектр {μ0 } ∞ j=1 , k = 1, 2 с предельной точкой О КОЛЕБАНИЯХ СОЧЛЕНЕННЫХ МАЯТНИКОВ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ 507 μ0 = +∞. Асимптотические формулы (5.57) и (5.58) для этих задач следуют из работ И. С. Вулиса и М. З. Соломяка (см. [11, 12]). С физической точки зрения собственным значениям μj,1 отвечают пограничные волны соб- ственных колебаний системы из двух идеальных жидкостей, заполняющих неподвижный сосуд, и имеющих границу раздела Γ11. Соответственно собственным значениям μj,2 отвечают погранич- ные волны собственных колебаний систем из трех жидкостей в окрестностях их границ раздела Γ21 и Γ22 (в полости неподвижного второго маятника). Замечание 5.1. Как показывают примеры, совокупность пограничных волн у поверхностей Γ21 и Γ22 во втором маятнике также асимптотически распадается на две совокупности: пограничные волны в окрестности Γ21 и пограничные волны в окрестности Γ22. Каждой из этих совокупностей j,kl отвечает своя серия положительных собственных значений {μ0 } ∞ j=1 , kl = 21, 22, с асимптотиче- ским поведением вида (5.57), т. е. отвечающим колебаниям лишь в одной окрестности Γkl. Обращение теоремы Лагранжа об устойчивости. До сих пор предполагалось, что ис- следуемая гидродинамическая система из трех сочлененных маятников статически устойчива по линейному приближению, то есть оператор потенциальной энергии системы положительно опре- делен. Рассмотрим теперь случай, когда оператор C(2) имеет конечное число (не более 4) отрица- тельных собственных значений, то есть система не является статически устойчивой. Учитывая формулы (5.26), (5.28), (5.29) и (5.31), (5.33), (5.34), а также связь (iλ)-1P 3ω_ k = z1 P 3_δk , введем оператор, связывающий между собой � 1 z2 и � . Имеем -1 2 z2 = γ˘n � := (γ (ρ- ∇Φ ); P ω_ ; {γ (ρ2l ∇Φ )}l=1; P ω_ ; P ω_ ) (5.65) � z1 n,11 11 11 2 1 n,2l 2l 2 2 2 3 и заметим, что задача о спектре вариационного отношения (5.37) равносильна задаче (γ˘n)∗C(2)γ˘nz1 = μC(1)z1, γ˘n : H1 ⊕ H10 → H2, (5.66) � 0 � 0 где C(1) - сужение оператора C(1) на H1 ⊕ H10; при этом C(2) представим в виде C(2) = |C(2)|1/2Jκ|C(2)|1/2, (5.67) где оператор |C(2)|1/2 » 0 в H2, а Jκ - каноническая симметрия: Jκ = J -1 = J ∗. Можно привести κ κ также (с учетом дополнительной связи и опираясь на свойства решений вспомогательных задач сопряжения, см. (5.58), (5.60) и (4.41)-(4.43)), что операторы (γ˘n)∗ и γ˘n имеют ограниченные (и даже компактные) обратные в подпространстве H1 ⊕ H10, т. е. на элементах у которых P 3ω_ k = _0. Тогда, осуществляя в (5.65), (5.66) замену по формуле приходим к задаче � |C(2)|1/2γ˘nz1 =: v1 ∈ H2, (5.68) 0 v1 = μJκCv1, C := |C(2)|-1/2((γ˘n)∗)-1C(1)(γ˘n)-1|C(2)|-1/2, (5.69) где оператор C положительный и компактный. j=1 Теорема 5.2. Задача (5.66) имеет дискретный спектр {μj }∞ , состоящий из конечнократ- ных собственных значений μj ∈ R с предельной точкой μ = +∞. При этом первые κ собствен- ных значений отрицательные, а остальные положительные. Собственные элементы {z2,j } ∞ j=1 z1 z1 задачи (5.66) образуют базис, ортогональный по форме (C � , � )H1 . При этом выполнены формулы ортогональности (5.59), где теперь μj < 0 (j κ), μj > 0 (j � κ + 1). Асимптотическое поведение собственных значений μj при j → ∞ по-прежнему имеет вид (5.57), (5.58). Доказательство. Оно основано на теореме Л. С. Понтрягина (см. [31], а также [2]) с учетом того, что оператор JκC в (5.69) является компактным положительным оператором, действующим в пространстве с индефинитной метрикой [v, w] := (Jκv, w)H2 . 508 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В. И. ВОЙТИЦКИЙ Следствием установленных фактов является утверждение, которое называют обращением тео- ремы Лагранжа об устойчивости. Теорема 5.3. Пусть выполнены условия (4.66) и не выполнены условия (4.76), т. е. изуча- емая гидромеханическая система не является статически устойчивой по линейному прибли- жению. Тогда она является и динамически неустойчивой, т. е. имеются решения однородной начально-краевой задачи (4.63), экспоненциально возрастающие по t при t → +∞. Доказательство. В самом деле, при μ = λ2/g < 0 задача имеет решения, зависящие от t по закону exp ((|μ|g)1/2t).

Об авторах

Н Д Копачевский

Таврическая академия Крымского федерального университета им. В. И. Вернадского

Email: kopachevsky@list.ru

В И Войтицкий

Таврическая академия Крымского федерального университета им. В. И. Вернадского

Email: victor.voytitsky@gmail.com

Список литературы