Циклическая компактность в банаховых C∞(Q)-модулях

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ С развитием бэровской теории ∗-алгебр и C∗-алгебр появилась возможность описать класс AW ∗-алгебр, схожих с алгебрами фон Неймана с точки зрения их алгебраических и порядковых свойств [12] (см. также рецензию [7]). Одним из важнейших результатов в теории AW ∗-алгебр является представление произвольной AW ∗-алгебры M типа I в виде ∗-алгебры всех линейных ограниченных операторов, действующих в специальном банаховом модуле над центром Z(M) алгебры M [14]. Банахова Z(M)-значная норма в данном модуле порождается скалярным про- изведением со значениями в коммутативной AW ∗-алгебре Z(M). Позднее такие модули стали называться модулями Капланского-Гильберта (МКГ). Важными примерами бэровских ∗-алгебр являются алгебры S(M) и LS(M) всех измери- мых и локально измеримых операторов, присоединенных к алгебрам фон Неймана или к AW ∗- алгебрам [9, 17-19, 22]. Если M является алгеброй фон Неймана, то центр Z(LS(M)) алгебры LS(M) отождествляется с алгеброй L0(Ω, Σ, μ) всех классов измеримых совпадающих почти всю- ду комплексных функций, определенных на некотором махарамовском измеримом пространстве (Ω, Σ, μ) (см. [5, п. 2.1, 2.2]). В случае же если M является AW ∗-алгеброй, то Z(LS(M)) - комплексная ∗-алгебра C∞(Q, C)= C∞(Q) ⊕ i · C∞(Q), где Q - стоуновский компакт, отвечающий булевой алгебре центральных проекторов из M [7]. Возникает естественный вопрос (схожий с вопросом в работе И. Капланского [13] относительно AW ∗-алгебр) о возможности представле- ∞ ния ∗-алгебр LS(M) в виде ∗-алгебр всех линейных L0(Ω, Σ, μ)-ограниченных (или C (Q, C)- ограниченных) операторов, действующих в соответствующих банаховых модулях над L0(Ω, Σ, μ) или C∞(Q, C), в случае если M - алгебра фон Неймана (или AW ∗-алгебра, соответственно) ти- па I. Для решения этой задачи необходимо построить подходящую теорию МКГ над алгебрами ∞ L0(Ω, Σ, μ) и C (Q, C). В работе [2] приводится решение этой задачи для вещественной алгебры L0(Ω, Σ, μ). Там же, в частности, приведено разложение МКГ над L0(Ω, Σ, μ) в прямую сумму однородных МКГ. Для регулярных дизъюнктно полных модулей над алгеброй C∞(Q) подобное Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 137 разложение в прямую сумму строго γ-однородных модулей приводится в работе [8] (см. определе- ния ниже в разделе 2). Алгебра A = C∞(Q) (или A = C∞(Q, C), соответственно) является примером коммутатив- ной унитарной регулярной алгебры над полем вещественных чисел R (или комплексных чисел C, соответственно). Для данной алгебры справедливо следующее предположение о дизъюнкт- ной полноте: для любого множества {ai}i∈I попарно дизъюнктных элементов в A существует элемент a ∈ A такой, что as(ai) = ai для всех i ∈ I, где s(ai) - это носитель элемента ai. Дан- ное свойство C∞(Q) играет ключевую роль в классификации регулярных дизъюнктно полных C∞(Q)-модулей [8]. Таким образом, будет довольно естественным рассмотреть класс дизъюнктно полных коммутативных унитарных регулярных алгебр A над произвольными полями и устано- вить различные варианты структурных теорем для модулей над такими алгебрами. В разделе 3 будет приведено решение этой задачи. Мы раскладываем такой A-модуль в прямую сумму строго однородных A-модулей. После мы определяем паспорт Γ(X) точного регулярного дизъюнктно пол- ного A-модуля X, состоящего из однозначно определенного разбиения единицы в булевой алгебре идемпотентных элементов из A и множества попарно различных кардинальных чисел. Уже было доказано, что равенство паспортов Γ(X) и Γ(Y ) является необходимым и достаточным условием для изоморфизма A-модулей X и Y. В разделе 4 мы изучаем банаховы C∞(Q)-модули и устанавливаем отношение эквивалентности для всех норм в конечномерном C∞(Q)-модуле. Кроме того, из уже доказанного варианта теоремы Рисса следует критерий конечномерности нормированного C∞(Q)-модуля. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Пусть A - коммутативная алгебра над полем K с единицей 1, а ∇ = {e ∈ A : e2 = e} - множество всех идемпотентных элементов из A. Для всех e, f ∈ ∇ будем писать e � f, если ef = e. Хорошо известно (см., например, [16, Prop. 1.6]), что данное бинарное отношение является частичным порядком на ∇, к тому же, ∇ - это булева алгебра относительно этого порядка. Более того, мы знаем, что e ∨ f = e + f - ef, e ∧ f = ef, Ce = 1 - e, где Ce - это дополнение e в ∇. Коммутативная унитарная алгебра A называется регулярной, если соблюдены следующие эквивалентные условия [6, §2, п. 4]: Для любого a ∈A существует b ∈A такой, что a = a2b; Для любого a ∈A существует e ∈∇ такой, что aA = eA. Регулярная алгебра A есть регулярная полугруппа относительно операции умножения [11, ч. I, § 1.9]. Из того, что все идемпотентные элементы в коммутативной алгебре A попарно коммутиру- ют, следует, что A - коммутативная инверсивная полугруппа, т. е. для любого a ∈A существует единственный элемент i(a) ∈ A, являющийся единственным решением системы: a2x = a, ax2 = x (см. [11, ч I, § 1.9]). Элемент i(a) называется инверсией элемента a. Очевидно, ai(a) ∈ ∇ для любого a ∈ A. Отображение i : A→A является биекцией и автоморфизмом (относительно произ- ведения) в полугруппе A. Кроме того, i(i(a)) = a и i(g)= g для всех a ∈ A, g ∈ ∇. Идемпотентный элемент s(a) ∈ ∇ называется носителем элемента a ∈ A, если s(a)a = a и ga = a, g ∈∇ влечет s(a) � g. Ясно, что s(a)= ai(a)= s(i(a)). В частности, s(e)= e для любого e ∈ ∇. Легко показать, что носители элементов имеют следующие свойства. Предложение 2.1. Пусть a, b ∈ A, тогда: s(ab)= s(a)s(b), в частности, ab =0 ⇔ s(a)s(b)= 0; если ab = 0, то s(a + b)= s(a)+ s(b). Элементы a и b из коммутативной унитарной регулярной алгебры A называются дизъюнктны- ми, если ab = 0. Если булева алгебра ∇ всех идемпотентных элементов из A полна, a ∈ A и r(a) = sup{e ∈ ∇ : ae = 0}, то s(a) = 1 - r(a). В таком случае для любого разбиения единицы {ei}i∈I в ∇, a, b ∈A из равенств aei = bei, i ∈ I следует, что r(a - b)= 1, т. е. a = b. Коммутативная унитарная регулярная алгебра A называется дизъюнктно полной (l-полной), если булева алгебра ее идемпотентных элементов полна, и для любого множества {ai}i∈I попарно дизъюнктных элементов из A существует элемент a ∈ A такой, что as(ai) = ai для всех i ∈ I. Элемент a ∈ A такой, что as(ai) = ai, i ∈ I, вообще говоря, не определяется однозначно. Однако равенство a sup s(ai)= b sup s(ai) всегда остается верным. i∈I i∈I Приведем несколько примеров l-полных коммутативных регулярных алгебр. Пусть Δ - произвольное множество, и KΔ - декартово произведение Δ копий поля K, т. е. множество всех K-значных функций на Δ. Множество KΔ является коммутативной уни- тарной регулярной алгеброй относительно поточечных алгебраических операций, и, сверх того, булева алгебра ∇ всех идемпотентных элементов из KΔ является изоморфной дискрет- (j) ной булевой алгеброй всех подмножеств Δ. При этом ∇ - это полная булева алгебра. Если {aj = (αq )q∈Δ,j ∈ J } - это семейство попарно дизъюнктных элементов из K Δ, то, полагая q q q∈Δ Δj = {q ∈ Δ: α(j) /= 0}, j ∈ J и a = (α ) ∈ K q j Δ, где αq = α(j) для любых q ∈ Δ , j ∈ J, и αq = 0 для q ∈ Δ \ J Δj, мы получим, что as(aj ) = aj для всех j ∈ J. Следовательно, KΔ j∈J есть l-полная алгебра. Пусть ∇ - полная булева алгебра, и пусть Q(∇) - стоуновский компакт, отвечающий ∇. Алгебра C∞(Q(∇)) всех непрерывных функций a : Q(∇) → [-∞, +∞], принимающих значе- ния ±∞ только на нигде не плотных множествах в Q(∇), является l-полной коммутативной регулярной алгеброй [15, п. 1.4.2]. В случае когда ∇ - это полная дискретная булева алгебра, а Δ - это множество всех элементов Δ из ∇, C∞(Q(∇)) является изоморфной алгебре R . Комплексификация C∞(Q(∇), C)= C∞(Q(∇))⊕i·C∞(Q(∇)) алгебры C∞(Q(∇)) также является примером l-полной коммутативной регулярной алгебры над полем C. Последующие примеры дизъюнктно полных коммутативных регулярных алгебр суть вариации алгебр C∞(Q(∇)) для различных топологических полей, в частности, для поля Qp p-адических чисел. Пусть K - произвольное поле, а t - хаусдорфова топология на K. Если операции α → (-α), α → α-1, (α, β) → α + β, (α, β) → αβ, α, β ∈ K, непрерывны относительно заданной топологии, то поле (K, t) называется топологическим (см., например, [20, Ch. 20, § 165]). Пусть (K, t) - топологическое поле, (X, τ ) - произвольное топологическое пространство, и пусть ∇(X) - булева алгебра всех открыто-замкнутых подмножеств (X, τ ). Будем говорить, что отображение ϕ : (X, τ ) → (K, t) является почти непрерывным, если существует плотное откры- тое множество U в (X, τ ) такое, что сужение ϕ|U : U → (K, t) отображения ϕ на подмноже- ство U непрерывно на U. Множество всех почти непрерывных отображений мы обозначим через AC(X, K). Определим поточечные алгебраические операции на AC(X, K): (ϕ + ψ)(t)= ϕ(t)+ ψ(t), (αϕ)(t)= αϕ(t), (ϕ · ψ)(t)= ϕ(t)ψ(t) для всех ϕ, ψ ∈ AC(X, K), α ∈ K, t ∈ X. Так как пересечение двух плотных открытых множеств из (X, τ ) также является плотным открытым множеством в (X, τ ), то ϕ+ψ, ϕ·ψ ∈ AC(X, K) для любых ϕ, ψ ∈ AC(X, K). Очевидно, αϕ ∈ AC(X, K) для всех ϕ ∈ AC(X, K), α ∈ K. Можно легко проверить, что AC(X, K) - коммутативная алгебра над полем K с единичным элементом 1(t) = 1K, t ∈ X, где 1K - это единичный элемент поля K. В этом случае, алгебра C(X, K) всех непрерывных отображений из (X, τ ) в (K, t) является подалгеброй в AC(X, K). Рассмотрим следующий идеал алгебры AC(X, K): I0(X, K)= {ϕ ∈ AC(X, K): внутренность прообраза ϕ-1(0) плотна в (X, τ )}. Через C∞(X, K) обозначим фактор-алгебру AC(X, K)/I0(X, K), а через π : AC(X, K) → AC(X, K)/I0(X, K) соответствующий канонический гомоморфизм. Теорема 2.1. Фактор-алгебра C∞(X, K) является коммутативной унитарной регулярной алгеброй над полем K. Кроме того, если (X, τ ) - стоуновский компакт, то алгебра C∞(X, K) является дизъюнктно полной, а булева алгебра ∇ всех ее идемпотентов изоморфна булевой алгебре ∇(X). Доказательство. Так как AC(X, K) - коммутативная унитарная алгебра над K, то C∞(X, K) - также коммутативная унитарная алгебра над K с единичным элементом π(1). Теперь покажем, что C∞(X, K) является регулярной, т. е. для любого ϕ ∈ AC(X, K) существует ψ ∈ AC(X, K) такой, что π2(ϕ)π(ψ)= π(ϕ). Фиксируем элемент ϕ ∈ AC(X, K) и выбираем плотное открытое множество U ∈ τ таким, что сужение ϕ|U : U → (K, t) непрерывно. В силу того, что K \ {0} - открытое множество в (K, t), множество V = U ∩ ϕ-1(K \ {0}) открыто в (X, τ ). Совершенно ясно, что множество W = X \ V τ также открыто в (X, τ ), более того, V ∪ W - это плотное открытое множество в (X, τ ). Определим отображение ψ : X → K следующим образом: ψ(t) = (ϕ(t))-1, если t ∈ V, и ψ(t)= 0, если t ∈ X \ V. Видим, что ψ ∈ AC(X, K) и ϕ2ψ - ϕ ∈ I0(X, K), т. е. π2(ϕ)π(ψ)= π(ϕ). Следовательно, алгебра C∞(X, K) является регулярной. U Для любого открыто-замкнутого множества U ∈ ∇(X) его характеристическая функция χU при- надлежит AC(X, K), в этом случае π(χU )2 = π(χ2 ) = π(χU ), т. е. π(χU ) является идемпотентом в алгебре C∞(X, K). Предположим, что (X, τ ) - стоуновский компакт, и покажем, что для любого идемпотентного элемента e ∈ C∞(X, K) существует U ∈ ∇(X) такой, что e = π(χU ). Если e ∈ ∇, то e = π(ϕ) для некоторой ϕ ∈ AC(X, K) и π(ϕ) = e2 = π(ϕ2), т. е. (ϕ2 - ϕ) ∈ I0(X, K). Следовательно, существует плотное открытое множество V в X такое, что ϕ2(t) - ϕ(t)=0 для всех t ∈ V. Обозначим через U плотное открытое множество из X такое, что сужение ϕ|U : U → K непрерывно. Положим U0 = ϕ-1({0}) ∩ (U ∩ V ), U1 = ϕ-1({1K }) ∩ (U ∩ V ). Из того, что U0 ∩ U1 = ∅, U0 ∪ U1 = U ∩ V ∈ τ, а множества U0, U1 замкнуты в U ∩ V относительно топологии, индуцированной (X, τ ), следует, что U0, U1 ∈ τ. Таким образом, множество Uϕ = U1 принадлежит булевой алгебре ∇(X), и, кроме того, Uϕ ∩ U0 = ∅. Так как U0 ∪ U1 = U ∩ V - это плотное открытое множество в (X, τ ), а ϕ(t)= χUϕ (t) для всех t ∈ U0 ∪ U1, отсюда следует, что e = π(ϕ)= π(χUϕ ). Следовательно, отображение Φ: ∇(X) → ∇, определяемое равенством Φ(U )= π(χU ), U ∈ ∇(X), является сюръекцией. Более того, для U, V ∈ ∇(X) справедливы следующие равенства: Φ(U ∩ V )= π(χU ∩V )= π(χU χV )= π(χU )π(χV )= Φ(U )Φ(V ), Φ(X \ U )= π(χX\U )= π(1 - χU )= Φ(X) - Φ(U ). Помимо всего прочего, из равенства Φ(U ) = Φ(V ) следует, что непрерывные отображения χU и χV совпадают на плотном множестве в X. Поэтому χU = χV , а именно U = V. Тем самым, Φ является изоморфизмом между булевой алгеброй ∇(X) и булевой алгеброй ∇ всех идемпотентных элементов из C∞(X, K), при этом ∇ - полная булева алгебра. Наконец, для доказательства l-полноты алгебры C∞(X, K) покажем, что для любого семейства i {π(ϕi) : ϕ ∈ AC(X, K)}i∈I ненулевых попарно дизъюнктных элементов из C∞(X, K) существует ϕ ∈ AC(X, K) такой, что π(ϕ)s(π(ϕi)) = π(ϕi) для всех i ∈ I. Для любого i ∈ I выберем плотное открытое множество Ui таким, что сужение ϕi|Ui будет непрерывным, и положим Vi = Ui ∩ ϕ-1(K \ {0}), i ∈ I. Нетрудно доказать, что s(π(ϕi)) = Φ(Vi). В частности, Vi ∩ Vj = ∅, когда i /= j, i, j ∈ I (см. утверждение 2.1). Определим отображение ϕ : X → K следующим образом: ϕ(t) = ϕi(t), если t ∈ Vi, и ϕ(t) = 0, если t ∈ X \ π(ϕ)s(π(ϕi)) = π(ϕχVi )= π(ϕiχVi )= π(ϕi) для всех i ∈ I. ( J i∈I \ Vi . Очевидно, ϕ ∈ AC(X, K) и Пусть A - дизъюнктно полная коммутативная регулярная алгебра, а ∇ - булева алгебра всех идемпотентных элементов из A. Пусть X - левый A-модуль с алгебраическими операциями x + y и a · x, x, y ∈ X, a ∈ A (и пусть X /= {0}). Так как алгебра A коммутативна, левый A-модуль X будет правым A-модулем X, если мы положим x · a = a · x для всех a ∈ A, x ∈ X. Следовательно, мы вправе предположить, что X - это A-бимодуль, для которого справедливо x · a = a · x, a ∈ A, x ∈ X. Далее A-бимодуль X мы будем называть A-модулем. A-модуль X называется точным, если для любого ненулевого e ∈∇ существует x ∈ X такой, что ex /= 0. Ясно, что для точного A-модуля X множество Xe := eX является точным Ae-модулем для любого 0 /= e ∈ ∇, где Ae := e · A. A-модуль X называется регулярным, если для любого x ∈ X из условия ex = 0 для всех e ∈ L ⊂∇ следует (sup L)x = 0. В таком случае, для x ∈ X идемпотент s(x)= 1 - sup{e ∈∇ : ex = 0} называется носителем элемента x. Ясно, что s(x)x = x и s(ax)= s(a)s(x) для всех x ∈ X, a ∈ A. Отметим также, что, если X - регулярный A-модуль, то Xe является регулярным Ae-модулем для любого ненулевого e ∈ ∇. Будем говорить, что A-модуль X является дизъюнктно полным (l-полным), если для любого множества {xi}i∈I ⊂ X и для любого разбиения {ei}i∈I единицы булевой алгебры ∇ существует x ∈ X такой, что eix = eixi для всех i ∈ I. В этом случае элемент x называется перемешиванием множества {xi}i∈I относительно разбиения единицы {ei}i∈I и обозначается как mix(eixi). i∈I Пусть {xi}i∈I ⊂ E ⊂ X, а {ei}i∈I есть разбиение единицы в ∇. Множество всех перемешиваний mix(eixi) называется циклической оболочкой множества E в X и обозначается как mix(E). Оче- i∈I видно, вложение E ⊂ mix(E) всегда сохраняется. Если E = mix(E), то E называется циклическим множеством в X (ср. [4, п. 1.1.2]). Таким образом, регулярный A-модуль X является l-полным A-модулем тогда и только тогда, когда X является циклическим множеством. В частности, в любом l-полном A-модуле X его под- модуль Xe также является l-полным Ae-модулем для любого ненулевого идемпотентного элемента e из A. Нам необходимы следующие свойства циклических оболочек множеств [10]. Предложение 2.2. Пусть X - это l-полный A-модуль, E - непустое подмножество в X, a ∈ A. Тогда: mix(aE)= amix(E); mix(Y ) - l-полный A-подмодуль в X для любого A-подмодуля Y в X; если U является изоморфизмом между A-модулем X и A-модулем Z, то Z - l-полный A-модуль и mix(U (E)) = U (mix(E)). Пусть ∇ - произвольная полная булева алгебра. Для любого ненулевого элемента e ∈ ∇ по- ложим ∇e = {q ∈ ∇ : q � e} = e · ∇. Множество ∇e является булевой алгеброй с единицей e относительно частичного порядка, индуцированного ∇. Множество B ⊂∇ называется минорантным подмножеством для ∇e, если для любого нену- левого q ∈ ∇e существует ненулевой p ∈ B такой, что p � q. Нам потребуется следующее свойство полных булевых алгебр. Теорема 2.2 (см. [15, п. 1.1.6]). Если ∇ - полная булева алгебра, 0 /= e ∈ ∇, а B - мино- рантное подмножество для ∇e, то существует дизъюнктное подмножество L ⊂ B такое, что sup L = e. Булева алгебра называется счетной или σ-конечной, если любое семейство ненулевых попарно дизъюнктных элементов из ∇ не более чем счетно. Полная булева алгебра ∇ называется мульти- σ-конечной, если для любого ненулевого элемента g ∈∇ существует 0 /= e ∈∇ такой, что e � g, а булева алгебра ∇e будет счетной. По теореме 2.2 мульти-σ-конечная булева алгебра ∇ всегда имеет такое разбиение {ei}i∈I единицы 1, что булева алгебра ∇ei будет σ-конечной для всех i ∈ I. Воспользовавшись теоремой 2.2, получим следующие полезные свойства l-полных A-модулей (доказательство этих свойств аналогично доказательству утверждения 2.4 из [8].) Предложение 2.3. Пусть X - это произвольный l-полный A-модуль, а ∇ - полная булева алгебра всех идемпотентных элементов из A. Тогда: если X есть точный A-модуль, то существует элемент x ∈ X такой, что s(x)= 1; если Y является l-полным A-подмодулем регулярного A-модуля X, и для любого ненуле- вого e ∈∇ существует ненулевой ge ∈∇ такой, что ge � e и geY = geX, то Y = X. Ниже приведем описание точного l-полного A-модуля X в виде декартова произведения семей- ства точных l-полных Aei -модулей, где {ei}i∈I есть разбиение единицы в булевой алгебре ∇ всех идемпотентных элементов из A. Рассмотрим декартово произведение ТТ eiX = {{yi}i∈I : yi ∈ eiX} i∈I A-подмодулей eiX с покоординатными алгебраическими операциями. Совершенно ясно, что ТТ eiX i∈I есть точный l-полный A-модуль. Определим отображение U : X → ТТ eiX, заданное с помощью U (x) = {eix}i∈I. Очевидно, U i∈I является A-линейным отображением из X на ТТ eiX. Если U (x) = U (y), то eix = eiy для всех i∈I i ∈ I, и в силу регулярности A-модуля X отсюда следует, что x = y. Если z = {xi}i∈I ∈ ТТ eiX, где xi ∈ eiX ⊂ X, i ∈ I, то l-полнота A-модуля X влечет существо- i∈I вание такого элемента x ∈ X, что eix = eixi = xi для всех i ∈ I. Следовательно, U (x) = z, т. е. U - сюръекция. Таким образом, справедливо следующее утверждение. Предложение 2.4. Если X - точный l-полный A-модуль, {ei}i∈I - разбиение единицы в бу- левой алгебре ∇ всех идемпотентных элементов из A, то ТТ eiX также есть точный l-полный i∈I A-модуль, а U (x)= {eix}i∈I, x ∈ X, - изоморфизм между X и ТТ eiX. i∈I Пусть Y - непустое подмножество A-модуля X. Нижеприведенный A-подмодуль в X называет- ся A-линейной оболочкой подмножества Y : ( n Lin(Y, A)= ) aiyi : ai ∈ A, yi ∈ Y, i = 1,..., n, n ∈ N , i=1 если N является множеством всех натуральных чисел. Если X - l-полный A-модуль, то в силу утверждения 2.2 (ii) mix(Lin(Y, A)) также является l-полным A-подмодулем в X. Множество {xi}i∈I в A-модуле X называется A-линейно независимым, если для любых n a1,..., an ∈ A, xi1 ,..., xin ∈ {xi}i∈I, n ∈ N, из равенства an = 0. ), akxik = 0 следует, что a1 = ... = k=1 Будем говорить, что A-линейно независимая система {xi}i∈I в l-полном A-модуле X является A-базисом Гамеля, если mix(Lin({xi}i∈I, A)) = X. В случае, когда A-базис Гамеля конечен, будем его называть A-базисом в X. Используем следующий A-вариант одного широко известного результата из линейной алгебры. n k k n Лемма 2.1 (см. [10]). Пусть {zi}i=1 ⊂ X, {yj }j=1 ⊂ X и {eyj }j=1 ⊂ Lin({ezi}i=1, Ae) для неко- торого идемпотентного элемента 0 /= e ∈ ∇. Если множество {ey1,..., eyk } Ae-линейно неза- висимо, то k � n. Зафиксируем некоторое кардинальное число γ. Точный l-полный A-модуль X называется γ-однородным, если существует A-базис Гамеля {xi}i∈I в X с card I = γ. Будем говорить, что A- модуль X однородный, если он является γ-однородным A-модулем для некоторого кардинального числа γ. Если X - γ-однородный A-модуль, то Xe, очевидно, также является γ-однородным Ae-модулем для любого ненулевого идемпотентного элемента e ∈ A. Помимо этого, из утверждения 2.2 (iii) следует, что если A-модуль Y изоморфен γ-однородному A-модулю X, то Y также γ-однородный модуль. В [10] было установлено следующее утверждение. Предложение 2.5. Если X и Y являются γ-однородными A-модулями, то X и Y изоморф- ны. Вдобавок к этому, для любого положительного целого n существует единственный, с точностью до изоморфизма, n-однородный A-модуль, который изоморфен An. Пусть X - это точный l-полный A-модуль, являющийся одновременно γ-однородным и λ- однородным. Возникает естественный вопрос, будет ли в таком случае выполняться равенство γ = λ? Схожий вопрос ставился в классификации МКГ X над коммутативными AW ∗-алгебрами A с булевой алгеброй проекций ∇. Для случая, когда ∇ есть мульти-σ-конечная булева алгеб- ра в [14], было доказано, что для МКГ X равенство λ = γ выполняется всегда. Однако данное равенство не может быть установлено для произвольной полной булевой алгебры ∇. Как след- ствие, в [15, п. 7.4.6] было введено понятие строго γ-однородных МКГ X, что дало возможность классифицировать МКГ X над произвольными коммутативными AW ∗-алгебрами A. По этой же причине ниже мы введем понятие строго γ-однородных точных l-полных модулей над дизъюнкт- но полными алгебрами A. С помощью этого понятия мы получим необходимые и достаточные условия изоморфизма l-полных A-модулей. Пусть X - это точный l-полный A-модуль, 0 /= e ∈ ∇. Через κ(e) обозначим наименьшее карди- нальное число γ такое, что Ae-модуль Xe будет γ-однородным. Если A-модуль X однородный, то кардинальное число κ(e) определено для всех ненулевых e ∈ ∇. Кроме того, в силу [15, п. 7.4.7], предполагаем, что κ(0) = 0. Будем говорить, что A-модуль X является строго γ-однородным (ср. [15, п. 7.4.6]), если X - γ-однородный и γ = κ(e) для всех ненулевых e ∈ ∇. Если A-модуль X строго γ-однороден для некоторого кардинального числа γ, то такой A-модуль X называется строго однородным. Очевидно, что любой строго γ-однородный A-модуль также является γ-однородным A-модулем. Из леммы 2.1 следует, что каждый n-однородный A-модуль X является строго n-однородным. Для случая, когда ∇ - это мульти-σ-конечная булева алгебра в [8], доказано, что любой γ-однородный A-модуль также является строго γ-однородным A-модулем. В частности, если X - это точный l-полный A-модуль, являющийся одновременно γ-однородным и λ-однородным, то λ = γ. Отметим также, что по утверждению 2.2 (iii) всякий A-модуль Y, изоморфный строго γ- однородному A-модулю X, является строго γ-однородным A-модулем. Следующее утверждение позволяет «склеить» γ-однородные (строго γ-однородные) A-модули (доказательство данного утверждения аналогично доказательству утверждения 3.10 из [8]). Предложение 2.6. Пусть A - l-полная коммутативная регулярная алгебра, X - l-полный A-модуль, а {ei}i∈I - множество попарно дизъюнктных ненулевых идемпотентных элемен- тов из A, и e = sup ei. Если Xei - γ-однородный (или строго γ-однородный) Aei -модуль для i∈I всех i ∈ I, то Ae-модуль Xe также будет γ-однородным (или строго γ-однородным, соответ- ственно). КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧНЫХ l-ПОЛНЫХ A-МОДУЛЕЙ В этом разделе нами доказывается, что всякий точный дизъюнктно полный A-модуль изоморфен декартову произведению строго однородных A-модулей. Следующая теорема является важным шагом при доказательстве этого факта. Теорема 3.1. Пусть A - l-полная коммутативная регулярная алгебра, ∇ - булева алгебра всех идемпотентных элементов из A, а X - точный l-полный A-модуль. Тогда существует такой ненулевой идемпотентный элемент p ∈ ∇, что Xp будет строго однородным Ap- модулем. Доказательство. Используя утверждение 2.3 (i), мы можем выбрать x0 ∈ X таким, что s(x0)= 1. Если X = Lin(x0, A), то X - строго 1-однородный модуль, и теорема 3.1 доказана. Предположим, что X /= mix ({x0}). Рассмотрим в X следующее непустое семейство подмно- жеств E = {B ⊂ X : x0 ∈ B, B - это A-линейно независимое множество}. Введем на E частичный порядок по B � C ⇔ B ⊂ C. По лемме Цорна существует максимальный элемент D в E . Если D - это A-базис Гамеля в X, то X - (card D)-однородный A-модуль. Предположим, что X /= mix (Lin (D, A)). Если для любого ненулевого e ∈∇ существует 0 /= qe ∈ ∇ такой, что qe · mix (Lin (D, A)) = qeX, то в силу утверждений 2.2 (ii) и 2.3 (ii) отсюда следует, что X = mix (Lin (D, A)), что противоречит нашему предположению. Следовательно, существует такой ненулевой e ∈ ∇, что выполняется следующее условие: g · mix (Lin (D, A)) /= gX для всех ненулевых g ∈ ∇e. (1) Обозначим через L множество всех ненулевых e ∈ ∇ со свойством (1). Положим e0 = sup L и покажем, что e0 /= 1. Предположим, что e0 = 1. В таком случае для всякого ненулевого q ∈∇ найдется e ∈L такой, что g = qe /= 0. Следовательно, gX /= g · mix (Lin (D, A)) (см. (1)), откуда вытекает qX /= q · mix (Lin (D, A)). (2) Покажем, что для любого ненулевого q ∈∇ существует ненулевой идемпотентный элемент r � q такой, что для любого 0 /= g ∈ ∇r выполняется следующее условие: существует xg ∈ gX такой, что s(xg )= g и l · xg /∈ Lin (D, A) для всех 0 /= l ∈ ∇g. (3) Если это не так, то существует такой ненулевой q ∈ ∇, что для всякого 0 /= r ∈ ∇q найдется ненулевой идемпотент gr ∈ ∇r без свойства (3), т. е. для любого x ∈ gr X с s(x)= gr существует ненулевой идемпотент e(xg, r) � gr � q такой, что e(xg, r)x ∈ e(xg, r) · Lin (D, A) ⊂ Lin (D, A). Покажем, что в таком случае gq X = gq · mix (Lin (D, A)). Пусть x - это ненулевой элемент из gq X, в частности, 0 /= s(x) � gq. Для любого ненулевого идемпотента a � s(x) существует такой ненулевой идемпотент e(ax, a) � a, что e(ax, a)x ∈ Lin (D, A). По теореме 2.2, существует такое разбиение {ei}i∈I носителя s(x), что eix ∈ s(x) · Lin (D, A) для всех i ∈ I. Это означает, что x ∈ mix · (s(x)Lin (D, A)) = s(x) · mix (Lin (D, A)) (см. утверждение 2.2 (i)). Так как s(x) � gq, получим, что x ∈ gq · mix (Lin (D, A)), откуда следует вложение gq X ⊂ gq · mix (Lin (D, A)). С другой стороны, в силу l-полноты Agq -модуля gq X будем иметь: gq · mix (Lin (D, A)) ⊂ gq · mix (X)= mix (gq X)= gq X. Тем самым, gq X = gq · mix (Lin (D, A)), что противоречит (2). Таким образом, для всякого ненулевого q ∈∇ найдется такой ненулевой идемпотентный элемент r � q, что для любого 0 /= g ∈ ∇r условие (3) выполняется. Вновь по теореме 2.2 можно выбрать разбиение {gj }j∈J идемпотента r ∈∇ и множество {xgj }j∈J в rX так, чтобы s(xgj )= gj и lxgj /∈ Lin (D, A) для всех 0 /= l ∈ ∇gi . Так как rX - это l-полный Ar -модуль, то существует x ∈ rX такой, что gjx = xgj . В частности, s(x)= r, при котором lx /∈ Lin (D, A) для всех 0 /= l ∈ ∇r. Опять же по теореме 2.2 выбираем разбиение {rk }k∈K единицы 1 в булевой алгебре ∇ и множество {xk }k∈K в X так, чтобы s(xk )= rk и lxk /∈ Lin (D, A) для любых 0 /= l ∈ ∇rk . В силу l-полноты A-модуля X существует xˆ ∈ X такой, что rk xˆ = xk для всех k ∈ K. В таком случае s(xˆ)= 1 и lxˆ /∈ Lin (D, A) для всех 0 /= l ∈ ∇. Теперь покажем, что множество D ∪ {xˆ} является A-линейно независимым. Пусть n a0xˆ + ), aixi = 0, где a0, ai ∈ A, xi ∈ D, i = 1,..., n. Если a0 = 0, то i=1 n ), aixi = 0, и в i=1 силу A-линейной независимости D отсюда следует, что ai = 0 для всех i = 1,..., n. Ес- ли a0 /= 0, то s(a0) /= 0, и для всех i(a0) = h ∈ A будем иметь, что ha0 = s(a0) и n s(a0)xˆ = - ), aihxi ∈ Lin (D, A), что не соответствует действительности. Следовательно, мно- i=1 жество D ∪ {xˆ} является A-линейно независимым в X, что противоречит максимальности множе- ства D. Тем самым, e0 /= 1 и e = 1 - e0 /= 0. По построению идемпотентного элемента e0 видно, что всякий ненулевой идемпотент r � e не обладает свойством (1). Таким образом, для любого 0 /= r ∈ ∇e существует такой ненулевой идемпотентный элемент pr � r, что pr X = pr mix (Lin (D, A)) = mix (Lin (pr D, Apr )) = pr mix (Lin (eD, Ae)). Из утверждений 2.2 (ii) и 2.3 (ii) имеем, что eX = mix Lin (eD, Ae)). Поскольку eD - Ae-линейно независимое подмножество в Ae-модуле eX, то eD - Ae-базис в eX, т. е. eX есть γ-однородный Ae-модуль, где γ = card (eD). При этом кардинальное число κ(p) определено для всех ненулевых p ∈ ∇e. Пусть γe - наименьшее кардинальное число из множества кардинальных чисел {κ(p):0 /= p � e}, т. е. γe = κ(p) для некоторого ненулевого p � e. За счет выбора идемпотентного элемента p получим, что γe = κ(p) = κ(q) для всех 0 /= q ∈ ∇p. Это означает, что Ap-модуль Xp является строго однородным. Теперь все готово для построения изоморфизма между точными дизъюнктно полными A- модулями и декартовым произведением строго однородных A-модулей. Теорема 3.2. Пусть A - это l-полная коммутативная регулярная алгебра, ∇ - булева ал- гебра всех идемпотентных элементов из A, а X - точный l-полный A-модуль. Тогда суще- ствуют определяемое единственным образом множество попарно дизъюнктных ненулевых идемпотентных элементов {ei}i∈I ⊂∇ и множество попарно различных кардинальных чисел {γi}i∈I такие, что sup ei = 1, а Xei - строго γi-однородный Aei -модуль для всех i ∈ I. В таком i∈I случае, A-модули X и ТТ Xei будут изоморфны. i∈I Доказательство. По теореме 3.1 для всякого ненулевого идемпотента e ∈A найдется такой нену- левой идемпотент g � e, что Xg будет строго однородным Ag -модулем. По теореме 2.2 мы можем выбрать множество попарно дизъюнктных ненулевых идемпотентных элементов {qj }j∈J так, чтобы sup qj = 1, а qj X был бы строго λj -однородным Aqj -модулем для всех j ∈ J. Представим мно- j∈J жество A = {λj }j∈J кардинальных чисел в виде объединения непересекающихся подмножеств Ai таким образом, чтобы каждый Ai состоял из одинаковых кардинальных чисел из A. По утвержде- нию 2.6 имеем, что Aei -модуль Xei является строго γi-однородным, где ei = sup{qj : λj ∈ Ai}. При этом по утверждению 2.4 A-модуль X и ТТ eiX изоморфны. i∈I Предположим, что существуют и другие множества попарно дизъюнктных ненулевых идемпо- тентов {gj }j∈J и попарно различных кардинальных чисел {μj }j∈J такие, что sup gj = 1, а Xgj - j∈J строго μj -однородный Agj -модуль для всех j ∈ J. Для любого фиксированного j ∈ J из равенства sup ei = 1 следует, что gj = sup eigj. Если существуют два различных индекса i1, i2 ∈ I таких, что i∈I ei1 gj /=0 и ei2 pj /= 0, то i∈I μj = κ(gj )= κ(ei1 gj )= κ(ei1 )= γi1 /= γi2 = κ(ei2 )= κ(ei2 gj )= μj. Получили противоречие, из которого следует, что eigj =0 для всех индексов i ∈ I кроме одного, который мы обозначим через i(j). Так как ei(j)gj /= 0, будем иметь, что μj = κ(gj )= κ(ei(j)gj )= κ(ei(j))= γi(j). Если gj /= ei(j), то ввиду равенства sup gj = 1 найдется такой индекс j1 ∈ J, j1 /= j, что ei(j)gj1 /= 0. j∈J Следовательно, μj = γi(j) = κ(ei(j))= κ(ei(j)gj1 )= κ(gj1 )= μj1 , что неверно. Таким образом, gj = ei(j) и μj = γi(j). По этой же причине для любого i ∈ I существует единственный индекс j(i) такой, что ei = gj(i) и γi = μj(i). Разложение {ei}i∈I единицы и множество кардинальных чисел {γi}i∈I из теоремы 3.2 назы- ваются паспортом для точного дизъюнктно полного A-модуля X и обозначаются как Γ(X) = {(ei(X), γi(X))}i∈I(X). Получим критерий изоморфизма между точными l-полными A-модулями посредством следую- щей теоремы и введенного понятия паспорта для этих A-модулей. Теорема 3.3. Пусть A - это l-полная коммутативная регулярная алгебра, а X и Y - точ- ные l-полные A-модули. Тогда следующие условия эквивалентны: Γ(X)= Γ(Y ); A-модули X и Y изоморфны. Доказательство. (i) ⇒ (ii). Пусть {(ei(X), γi(X))}i∈I(X) = Γ(X)= Γ(Y )= {(ei(Y ), γi(Y ))}i∈I(Y ), т. е. I(X)= I(Y ) := I, ei(X)= ei(Y ) := ei и γi(X)= γi(Y ) := γi для всякого i ∈ I. По теореме 3.2 существует изоморфизм U : X → ТТ eiX (или изоморфизм V : Y → ТТ eiY ), где U (x)= {eix}i∈I i∈I i∈I (или V (y)= {eiy}i∈I, соответственно) для всех x ∈ X (или для всех y ∈ Y, соответственно). Так как eiX (или eiY ) является строго γi-однородным Aei -модулем, то по утверждению 2.5 существует изоморфизм Ui : eiX → eiY для всех i ∈ I. Очевидно, что отображение Φ : X → Y, определяемое равенством Φ(x)= V -1({Ui(eix)}i будет изоморфизмом между A-модулем X и A-модулем Y. ∈I ), (ii) ⇒ (i). Пусть Ψ - это изоморфизм между X и Y, а Γ(X) = {(ei(X), γi(X))}i∈I(X) - это паспорт для A-модуля X. По утверждению 2.2 (iii) Aei(X)-модуль Yi = Ψ(ei(X)X)= ei(X)Ψ(X)= ei(X)Y является строго γi(X)-однородным. Это означает, что {(ei(X), γi(X))}i∈I является паспортом для A-модуля Y, т. е. Γ(X)= Γ(Y ). Пусть A - это l-полная коммутативная регулярная алгебра, а ∇ - булева алгебра всех идемпо- тентных элементов из A. Точный l-полный A-модуль X называется конечномерным, если суще- ствуют конечное разбиение ei /= 0, i = 1,..., k, единицы в булевой алгебре ∇ и конечное множе- ство натуральных чисел n1 < n2 < . . . < nk такие, что Xei будет ni-однородным Aei -модулем для всех i = 1,..., k. Это означает, что всякий конечномерный A-модуль X обладает паспортом следующего вида: }i=1 Γ(X)= {(ei(X), ni(X)) k , где e1(X)+ ... + ek (X)= 1, n1(X) < . . . < nk (X) < ∞. Нижеследующее описание конечномерных A-модулей непосредственно вытекает из теоремы 3.2 и утверждения 2.5. Предложение 3.1. Если X - это конечномерный A-модуль, то существуют определяемое единственным образом конечное разбиение ei /= 0, i = 1,..., k, единицы в булевой алгебре ∇ и конечное множество положительных целых чисел n1 < . . . < nk такие, что A-модуль X будет k изоморфен A-модулю A . ТТ ni ei i=1 Точный l-полный A-модуль X называется σ-конечномерным, если существуют счетное разбие- ние ei /= 0, i ∈ N, единицы в булевой алгебре ∇ и счетное множество положительных целых чисел n1 < n2 < ... такие, что Xei будет ni-однородным Aei -модулем для всех i ∈ N. Из теоремы 3.2 и утверждения 2.5 получим следующее описание σ-конечномерных A-модулей. Предложение 3.2. Если X - это σ-конечномерный A-модуль, то существуют определяемое единственным образом счетное разбиение ei /= 0, i ∈ N, единицы в булевой алгебре ∇ и счетное множество положительных целых чисел n1 < n2 < ... такие, что A-модуль X будет ТТ∞ . изоморфен A-модулю i=1 ni Aei БАНАХОВЫ C∞(Q)-МОДУЛИ R Пусть ∇ - полная булева алгебра, Q(∇) - стоуновский компакт, отвечающий ∇, а L0 := C∞(Q(∇)) - алгебра всех непрерывных функций f : Q(∇) → [-∞, +∞], принимающих значения ±∞ только на нигде не плотных множествах в Q(∇) (см. раздел 2). Пусть L0 = L0 ⊕ i · L0 - C R R это комплексификация векторной решетки L0 . Очевидно, что L0 является комплексной комму- R C тативной ∗-алгеброй всех непрерывных функций f : Q(∇) → C = C ∪ {∞}, принимающих зна- чение ∞ только на нигде не плотных множествах в Q(∇), при этом самосопряженная часть (L0 )h = {f ∈ L0 : f = f } комплексной векторной решетки L0 совпадает с L0 . В этом разделе C C C R будем исходить из предположения, что l-полная коммутативная алгебра A является вещественной R алгеброй L0 C либо комплексной алгеброй L0 . Обозначим через A+ (и A++) множество всех поло- R жительных (и положительных обратимых, соответственно) элементов из L0 . Основными задачами, требующими решения, являются: (A). Пусть X - это конечномерный (или σ-конечномерный) A-модуль, и пусть ≡· ≡i - это норма со значениями в A, i = 1, 2. Являются ли эти две нормы A-эквивалентными? (B). (A-версия теоремы Рисса). Следует ли из того, что единичный шар в банаховом A-модуле X циклически компактен, конечномерность (σ-конечномерность) модуля X? Вспомним, что отображение ≡·≡ : X → A называется A-нормой на точном A-модуле X со значениями в A, если выполняются следующие условия: ≡x≡ � 0 для любого x ∈ X, и ≡x≡ =0 ⇔ x = 0; ≡a · x≡ = |a|· ≡x≡ для всех x ∈ X, a ∈ A; ≡x + y≡ � ≡x≡ + ≡y≡ для любых x, y ∈ X. Пара (X, ≡· ≡) называется нормированным A-модулем. Сеть {fα}α∈A ⊂ Ah называется (o)-сходящейся к элементу f ∈ Ah, если существуют такие сети {gα}α∈A, {dα}α∈A ⊂ Ah, что gα � fα � dα для любых α ∈ A, и gα ↑ f, dα ↓ f. Лемма 4.1 (см. [3]). Пусть {ei}i∈I - это разбиение единицы в булевой алгебре ∇, {fα}α∈A ⊂ Ah, f ∈ Ah. Если eifα (o) -→ eif для любых i ∈ I, то fα (o) -→ f. Будем говорить, что сеть {xα}α∈A ⊂ X (bo)-сходится к элементу x ∈ X, если ≡xα - (o) x≡ -→ 0 (см. [15, ч. 2, § 2.1, п. 2.1.5]). Сеть {xα}α∈A называется (bo)-сетью Коши, если / \ sup α,β�γ ≡xα - xβ ≡ ↓ 0. Нормированный A-модуль называется банаховым A-модулем, если всякая (bo)-сеть Коши (bo)-сходится к некоторому элементу этого модуля. Предложение 4.1. Если (X, ≡· ≡) - банахов A-модуль, то X - l-полный A-модуль. n Доказательство. Пусть x ∈ X, e · x = 0 для всех e ∈ L ⊂ ∇, и q = sup L ∈ ∇. Пусть A - это направленное множество всех конечных подмножеств L, и xα = ( ), eik ) · x, α = {i1,..., ik }∈ A. k=1 Так как xα =0 и n k ≡q · x - xα≡ = ≡(q - ) ei k=1 n k ) · x≡ = (q - ) ei k=1 )≡x≡ (o) -→ 0, то отсюда следует, что q · x = 0. Это означает, что A-модуль X является регулярным. Пусть {xi}i∈I ⊂ X, а {ei}i∈I - любое разбиение единицы в булевой алгебре ∇. Пусть A - это n направленное множество всех конечных подмножеств I, и xα = ), eik · xik , α = {i1,..., ik }∈ A. k=1 Очевидно, что сеть {xα}α∈A является (bo)-сетью Коши. Следовательно, существует x ∈ X такой, что ≡xα - x≡ (o) -→ 0, при этом ≡ei · xα - ei · x≡ = ei · ≡xα - x≡ (o) -→ 0 для всех i ∈ I. Так как ei · xα = ei · xi, если i ∈ α ∈ A, отсюда следует, что ei · xi = ei · x, i ∈ I. Таким образом, A-модуль X является l-полным. Пусть ∇ - это счетная булева алгебра, а P (N) - множество всех счетных разбиений в ∇, зану- мерованных положительными целыми числами n ∈ N, т. е. P (N)= {a : N →∇ | a(n) ∧ a(m)= 0, n /= m, sup a(n)= 1}. n∈N Введем на P (N) частичный порядок, положив a � b в том и только том случае, если условие a(n) ∧ b(m) /=0 влечет n � m, n, m ∈ N. В [15, ч. 2, § 2.2, п. 2.2.2] было показано, что введенное отношение a � b является частичным порядком на P (N), а частично упорядоченное множество (P (N), �) - направлением. ∈ Пусть {xn}n∈N - это последовательность в X. Для каждого a ∈ P (N) положим xa = mix(a(n)xn). Всякая подсеть сети {xa}a P (N) называется циклической подсетью последовательn∈N ности {xn}n∈N. Подмножество K ⊂ X называется циклически компактным (соответственно, относительно циклически компактным), если K = mix(K), и любая последовательность в K имеет циклическую подсеть, которая (bo)-сходится к некоторому элементу x ∈ K (соответственно, x ∈ X) [15, ч. 8, § 8.5, п. 8.5.1]. Пусть (X, ≡· ≡) - это нормированный A-модуль, а F ⊆ X. Подмножество F ⊆ X называется (bo) (bo)-замкнутым, если из условий xα - → x, {xα}⊂ F следует, что x ∈ F. Если булева алгебра ∇ является счетной, то подмножество F ⊆ X (bo)-замкнуто тогда и только тогда, когда для любой (bo) последовательности {xn}n∈N ⊂ F, xn - → x можно сделать вывод, что x ∈ F [21, ч. VI, § 3, теорема VI.3.1]. Следовательно, множество K ⊂ X является циклически компактным тогда и только тогда, когда K относительно циклически компактно и (bo)-замкнуто. Вспомним следующий критерий относительной циклической компактности [15, ч. 8, § 8.5, п. 8.5.2]. Теорема 4.1. Пусть K - любое циклическое множество в банаховом A-модуле (X, ≡· ≡). То- гда K относительно циклически компактно тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 суn=1 ществуют счетное разбиение {en}∞ нечных подмножеств En = {xn,..., xn единицы в булевой алгебре ∇ и последовательность ко- }⊂ K такие, что en(mix(En)) будет ε-сетью для enK 1 k(n) для всех n ∈ N, т. е. для любого x ∈ enK существует такое разбиение единицы {qn,..., qn } в ∇, что k(n) ≡x - ) enqnxn≡ � ε1. 1 k(n) i i i=1 Множество E ⊂ (X, ≡· ≡) называется A-ограниченным, если существует f ∈ A+ такая, что ≡x≡ � f для всех x ∈ E. Следующая теорема является A-версией широко известного критерия компактности подмножеств в конечномерных нормированных пространствах [1]. Теорема 4.2. Пусть (X, ≡· ≡) - это конечномерный (соответственно, σ-конечномерный) ба- нахов A-модуль, а K - циклическое множество в (X, ≡· ≡). Следующие условия являются эк- вивалентными: K - относительно циклически компактное множество (соответственно, циклически компактное множество); K - A-ограниченное множество (соответственно, A-ограниченное и (bo)-замкнутое мно- жество). Пусть (X, ≡· ≡X ), (Y, ≡· ≡Y ) - это банаховы модули. Отображение T : X → Y называется (bo)- непрерывным, если для любой сети {xα}⊂ X, которая (bo)-сходится к элементу x, сеть {T (xα)} (bo)-сходится к элементу T (x). Будем говорить, что отображение T : X → Y сохраняет перемешивание, если T (mix(eixi)) = i∈I mix(eiT (xi)) для любого разбиения {ei} ⊂ B единицы и любого множества {xi} ⊂ X таких, что i∈I существует перемешивание mix(eixi). i∈I Нам понадобится следующее свойство отображений, сохраняющих перемешивание [4, ч. 1, § 1.3, п. 1.3.6]. Предложение 4.2. Пусть X, Y - банаховы A-модули, а K ⊂ X - циклически компактное множество. Если T : X → Y - (bo)-непрерывное отображение, сохраняющее перемешивание, то T (K) - циклически компактное множество в Y. Следующая теорема является A-версией хорошо известной теоремы Вейерштрасса [3]. Теорема 4.3. Пусть K - циклически компактное множество в банаховом A-модуле X, а Φ: K → Ah - (bo)-непрерывное отображение, сохраняющее перемешивание. Тогда существуют элементы x, y ∈ K такие, что Φ(x)= sup Φ(K), Φ(y)= inf Φ(K). Пусть X - это A-модуль, а ≡ · ≡1, ≡ · ≡2 - две A-нормы на X. Эти нормы называются A-эквивалентными (обозначается ≡· ≡1 '"" ≡· ≡2), если существуют α, β ∈ A++ такие, что α≡x≡1 � ≡x≡2 � β≡x≡1 для всех x ∈ X. Понятно, что отношение ≡· ≡1 '"" ≡· ≡2 является отношением эквивалентности на множестве всех A-норм на A-модуле X. n Если X - это n-однородный A-модуль, то X = An (см. утверждение 2.5) и при этом любой элемент x ∈ X может быть однозначно представлен как x = ei = {0,..., 0, 1, 0,..., 0}, i = 1,...,n (единица 1 стоит на i-ом месте). ), αiei, где αi ∈ A и i=1 n Рассмотрим отображение ≡· ≡1 : X → Ah, определяемое правилом ≡x≡1 = ), |αi|. Очевидно, что i=1 ≡· ≡1 есть A-норма на A-модуле X. Теорема 4.4. Если ≡· ≡X - это A-норма на A-модуле X = An, то ≡· ≡X '"" ≡· ≡1. n Доказательство. Пусть x = ), αiei, αi ∈ A, i = 1,..., n, и α0 = max ≡ei≡X. Ясно видно, что α = α0 + 1 ∈ A++, а i=1 n 1�i�n n 1�i�n ≡x≡X � ) |αi|· ≡ei≡X � max ≡ei≡X ) |αi| � α≡x≡1. i=1 i=1 Следовательно, ≡x≡X � α≡x≡1 для всех x ∈ X, при которых α ∈ A++. Покажем, что множество K = {x ∈ X : ≡x≡1 = 1} является циклически компактным множе- ством в (X, ≡· ≡1). Пусть {qi}i∈I - это любое разбиение единицы в ∇, и {xi}i∈I ⊂ K. Так как X = An - это l-полный A-модуль, отсюда следует, что существует элемент x ∈ X такой, что qix = qixi для всех i ∈ I. Из равенств 1 1 ≡x≡1 = 1mix (qixi)1 = mix qi≡xi≡1 = mix qi = 1, 1 11 1 i∈I 1 i∈I i∈I ∈ получаем, что x K. Это означает, что K является циклическим множеством. n Очевидно, что подмножество D = ТТ [-1, 1] = {(α1,..., αn) : αi ∈ A, |αi| � 1, i = 1,..., n} i=1 содержит K и (bo)-замкнуто в (An, ≡· ≡1). Из теоремы 4.2 следует, что множество D циклически компактно в (X, ≡· ≡1). Отображение Φ: (X, ≡· ≡1) → Ah, задаваемое с помощью Φ(x)= ≡x≡X, сохраняет перемешивание; в этом случае неравенство 1≡x≡X - ≡y≡X 1 � ≡x - y≡X � α≡x - y≡1 влечет (bo)-непрерывность 1 1 отображения Φ. Из теоремы 4.3 следует, что существует y ∈ K такой, что Φ(y)= inf Φ(K), т. е. ≡y≡X = inf{≡x≡X : x ∈ X, ≡x≡1 = 1}. Так как y ∈ K, будем иметь, что ≡y≡1 = 1, и следовательно, s(≡y≡X ) = s(y) = s(≡y≡1) = 1, в частности, β = ≡y≡X ∈ A++. 1 Если x ∈ X, s(≡x≡X )= 1, то из ≡x≡X � α≡x≡1, α ∈ A++ получим, что s(≡x≡1)= 1. Тем самым, элемент z = ≡x≡-1x ∈ X определен, и ≡z≡1 = 1, т. е. z ∈ K. Следовательно, ≡z≡X � ≡y≡X, т. е. 1 ≡x≡-1≡x≡X � ≡y≡X, т. е. ≡x≡X � ≡y≡X · ≡x≡1. Таким образом, β · ≡x≡1 � ≡x≡X � α≡x≡1, где α, β ∈ A++. Пусть 0 /= x ∈ X, s(≡x≡X ) /= 1, e = 1 - s(≡x≡X ) /= 0. В силу l-полноты точного eA-модуля eX мы вправе выбрать элемент a ∈ eX таким, чтобы s(≡a≡X )= s(a)= e. Для элемента b = x + a ∈ X имеем s(b)= s(≡b≡X )= s(≡s(x)b + eb≡X )= s(≡s(x)b≡X + ≡eb≡X )= s(≡x≡X + ≡a≡X )= 1. В силу вышенаписанного, β≡b≡1 � ≡b≡X � α≡b≡1, т. е. β(≡x≡1 + ≡a≡1) � ≡x≡X + ≡a≡X � α(≡x≡1 + ≡a≡1). Умножив последнее неравенство на s(x), получим β≡x≡1 � ≡x≡X � α≡x≡1. Следовательно, A-нормы ≡· ≡1 и ≡·≡ являются A-эквивалентными. Из теоремы 4.4 немедленно следует Следствие 4.1. Любые две A-нормы на n-однородном A-модуле A-эквивалентны. Теперь рассмотрим конечномерные (σ-конечномерные) A-модули. В силу утверждения 3.1 (или утверждения 3.2, соответственно) конечномерный (или σ-конечномерный, соответственно) Aмодуль X изоморфен модулю дующая теорема. k A ТТ ni ei i=1 (или ТТ∞ i=1 ni Aei , соответственно). В таком случае верна сле- Теорема 4.5. Пусть X - это σ-конечномерный или конечномерный A-модуль. Тогда любые две A-нормы на X будут A-эквивалентны. Доказательство. Если X - это σ-конечный A-модуль, то существует счетное разбиение {en}n∈N единицы в ∇ такое, что enX будет kn-однородным enA-модулем, где k1 < k2 < . . . < kn < ... Пусть ≡· ≡1 и ≡· ≡2 - две A-нормы на X. Для любых x ∈ enX положим ≡x≡1,n = ≡enx≡1 = en≡x≡1; ≡x≡2,n = ≡enx≡2 = en≡x≡2. Очевидно, что ≡x≡1,n и ≡x≡2,n являются enA-нормами на kn-однородном enA-модуле en · X. Из следствия 4.1 вытекает, что существуют αn, βn ∈ (enA)++ такие, что αn≡x≡1,n � ≡x≡2,n � βn≡x≡1,n для всех x ∈ enX. Положим α = mix(αnen), β = mix(βnen). Ясно, что α, β ∈ A++, и для любого x ∈ X будем иметь n∈N n∈N enα≡x≡1 = enαnen≡x≡1 = αn≡enx≡1,n � ≡enx≡2,n = en≡x≡2 = = ≡enx≡2,n � βn≡enx≡1,n = enβn≡enx≡1,n = enβen≡x≡1 = enβ≡x≡1, т. е. enα≡x≡1 � en≡x≡2 � enβ≡x≡1 для всех n ∈ N, и, следовательно, α≡x≡1 � ≡x≡2 � β≡x≡1, где α, β ∈ A++. Это означает, что A-нормы ≡· ≡1 и ≡· ≡2 являются A-эквивалентными. Для конечномерных A-модулей доказательство аналогично. Следствие 4.2. Если (X, ≡ · ≡)X - нормированный конечномерный (σ-конечномерный) A- модуль, то (X, ≡· ≡)X - банахов A-модуль. Доказательство. Для начала предположим, что (X, ≡· ≡X ) - это n-однородный A-модуль, и на n n n (α) n X = An рассмотрим A-норму ≡x≡1 = (An, ≡· ≡1) - (bo)-сеть Коши, т. е. sup ), |xi|, x = {xi}i=1 ∈ A i=1 n x x 0. ) (α) (β) | - |↓ . Пусть xα = {xi }i=1 ⊂ (α) (β) i i α,β�γ i=1 Следовательно, sup α,β�γ |xi - xi | ↓ 0. Так как (A, ≡· ≡A) является (bo)-полным относительно A- (0) (α) (0) (o) нормы ≡λ≡A = |λ|, λ ∈ A, то существует xi ∈ A такой, что |xi - xi | -→ 0 для любых n i = 1,..., n. Таким образом, ), |x(α) - x(0)| (o) -→ 0. (0) n i i i=1 n (o) Полагая x = {xi }i=1 ∈ A (o) = X, получаем, что ≡xα - x≡1 -→ 0. Так как ≡· ≡1 ∼ ≡ · ≡X, то ≡xα - x≡X -→ 0. Тем самым, (X, ≡· ≡X ) является (bo)-полным. Теперь пусть (X, ≡· ≡X ) - σ-конечный A-модуль. Тогда существует счетное разбиение {en}n∈N единицы в ∇ такое, что enX будет kn-однородным enA-модулем. Пусть {xα}α∈A - (bo)-сеть Коши в X, т. е. sup α,β�γ ≡xα - xβ ≡X ↓ 0. Очевидно, что сеть {enxα}α∈A является (bo)-сетью Коши в knоднородном enA-модуле enX. Из написанного выше следует, что существует такой элемент xn ∈ (o) enX, что ≡enxα - xn≡X случае -→ 0. Так как X - l-полный A-модуль, то x = mix(enxn) ∈ X. В этом n∈N (o) en≡xα - x≡ = ≡enxα - enx≡ = ≡enxα - enxn≡ = ≡enxα - xn≡ (o) -→ 0. Используя лемму 4.1, получаем, что ≡xα - x≡ -→ 0, т. е. (X, ≡· ≡X ) - (bo)-полный. В случае конечномерного A-модуля X доказательство будет аналогичным. Из следствия 4.2 немедленно получаем Следствие 4.3. Если Y является конечномерным (σ-конечномерным) A-подмодулем в норми- рованном A-модуле (X, ≡· ≡)X, то множество Y (bo)-замкнуто в (X, ≡· ≡)X. Используя лемму Цорна, можем установить следующую теорему о существовании A-базиса Гамеля в точном l-полном A-модуле. Теорема 4.6. В любом точном l-полном A-модуле существует A-базис Гамеля, т. е. су- ществует максимальная A-линейно независимая система {xi}i∈I ⊂ X такая, что X = mix(Lin({xi}i∈I, A)). С помощью теоремы 4.6 получим следующую теорему. Теорема 4.7. Если все A-нормы на точном l-полном A-модуле X A-эквивалентны, то X является конечномерным или σ-конечномерным A-модулем. Доказательство. Предположим, что X не является σ-конечномерным A-модулем. Тогда по теоре- ме 3.2 существует 0 /= e ∈∇ такой, что e · X будет γ-однородным для некоторого неконечного кар- динального числа γ, т. е. A-базис Гамеля в e·X является бесконечным. Следовательно, A-базис Гаn(x) меля B = {xi}i∈I в X также бесконечен (см. теорему 4.6). Для всякого x = положим ), λik xik ∈ Lin(B, A) k=1 n(x) k ≡x≡1 = ) |λi k=1 |, ≡x≡∞ = sup 1�k�n(x) |λik |. Очевидно, что ≡x≡1 и ≡x≡∞ являются нормами на A-модуле Lin(B, A), при этом ≡x≡∞ � ≡x≡1 для любого x ∈ Lin(B, A). Так как B - это A-базис Гамеля в X, отсюда следует, что всякий x ∈ X имеет вид x = mix(ejyj ) j∈J для некоторого разбиения единицы {ej }j∈J в ∇ и {yj }j∈J ⊂ Lin(B, A). Положим ≡x≡1 = mix(ei≡yi≡1), ≡x≡∞ = mix(ei≡yi≡∞). j∈J j∈J Ясно видно, что ≡x≡1 и ≡x≡∞ являются нормами на X, и ≡x≡∞ � ≡x≡1 для всякого x ∈ X. Из того, что A-базис Гамеля B = {xi}i∈I бесконечен, следует, что существует A-линейно незаn n=1 висимая последовательность {xin }∞ ⊂ B. Если yn = ), xik k=1 ∈ X, то ≡yn≡1 = n · 1, ≡yn≡∞ = 1. ++ Следовательно, не существует такого γ ∈ L0 , что ≡yn≡1 � γ≡yn≡∞ для всех n ∈ N. Стало быть, нормы ≡.≡∞ и ≡.≡1 не являются A-эквивалентными на X. Таким образом, X является конечномер- ным или σ-конечномерным A-модулем. Из теорем 4.5 и 4.7 вытекает следствие: Следствие 4.4. Пусть X - точный l-полный A-модуль. Следующие условия эквивалентны: X - это конечномерный или σ-конечномерный A-модуль; все A-нормы на X A-эквивалентны. Как уже было отмечено ранее в теореме 4.2, всякое A-ограниченное, (bo)-замкнутое цикличе- ское множество в конечномерном (σ-конечномерном) нормированном A-модуле (X, ≡· ≡X ) явля- ется циклически компактным. В частности, циклически компактным множеством является еди- ничный шар B1(X) = {x ∈ X : ≡x≡X � 1}. Нашей следующей целью является версия тео- ремы Рисса, которая поможет установить конечномерность (σ-конечномерность) нормированного A-модуля (X, ≡· ≡X ) в случае, когда B1(X) - циклически компактное множество. Далее будем предполагать, что булева алгебра ∇ является счетной. Предложение 4.3. Пусть (X, ≡· ≡) - нормированный A-модуль, Y ⊂ X, Y /= X, - точный (bo)-замкнутый l-полный A-подмодуль в X, а 0 < ε < 1. Тогда существует uε ∈ (X \ Y ) такое, что ≡uε≡∈∇ и ≡uε - y≡ � (1 - ε) · e для всякого y ∈ Y и некоторого ненулевого e ∈ ∇, e � ≡uε≡. Доказательство. Предположим, что x0 ∈ (X \ Y ), и покажем, что ρ(x0,Y )= inf ≡x0 - y≡ = α /= 0, α ∈ A+. y∈Y Так как булева алгебра ∇ является счетной, отсюда следует, что существует такая последоваk=1 тельность {yk }∞ m ⊂ Y, что α = inf ≡x0 - yk ≡. Для каждого m ∈ N существует такое конечное k∈N разбиение {ei}i=1 единицы в булевой алгебре ∇, что ( inf 1�k�m ≡x0 - yk ≡) · ei = ≡x0 - yi≡· ei. Так как A-подмодуль Y является l-полным, то существует zm ∈ Y такой, что ei · zm = ei · yi для всех i = 1,..., m. Следовательно, inf 1�k�m m m ≡ - ≡ x0 yk = )( inf 1�k�m i=1 m m ≡x0 - yk ≡) · ei = ) ≡x0 - yi≡· ei = i=1 m = ) ≡ei · x0 - ei · yi≡ = ) ≡ei · x0 - ei · zm≡ = ) ei · ≡x0 - zm≡ = ≡x0 - zm≡ i=1 i=1 i=1 (bo) для всех m ∈ N. Это означает, что ≡x0 - zm≡ ↓ α. Если α = 0, то zm - → x0 и x0 ∈ Y, что неверно. Поэтому α /= 0. Таким образом, существуют ненулевой идемпотентный элемент e0 ∈ ∇ 1 и число m0 ∈ N такие, что e0 � s(α) и e0 · α � e0 · ≡x0 - zm0 ≡ � 1 o · e0 · α. Положим - uε = (x0 - zm ) · i(≡x0 - zm ≡), где i(a) - инверсия элемента a ∈A (см. ра 2). Очевидно, что 0 0 здел uε ∈ (X \ Y ) и ≡uε≡ = s(x0 - zm0 ). При этом для любого y ∈ Y имеем, что ≡uε - y≡ = ≡(x0 - zm0 ) · i(≡x0 - zm0 ≡) - y≡ � � ≡x0 - zm0 - y≡x0 - zm0 ≡· i(≡x0 - zm0 ≡)≡· i(≡x0 - zm0 ≡) · s(x0 - zm0 ) � � α · i(≡x0 - zm0 ≡) · e0 � (1 - ε) · e0. С помощью теоремы 2.2 и утверждения 4.3 получаем следствие. Следствие 4.5. Пусть (X, ≡ · ≡) - банахов A-модуль, Y ⊂ X, Y /= X, - точный (bo)- замкнутый l-полный A-подмодуль в X, а 0 < ε < 1. Если e · X /= e · Y для любого ненулевого e ∈ ∇, то существует uε ∈ (X \ Y ) такое, что ≡uε≡ = 1 и ≡uε - y≡ � (1 - ε) · 1 для всякого y ∈ Y. Следующая теорема является A-версией теоремы Рисса для банаховых A-модулей. Теорема 4.8. Пусть (X, ≡· ≡) - банахов A-модуль. Следующие условия эквивалентны: X - конечномерный или σ-конечномерный A-модуль; единичный шар B1(X) является циклически компактным. Доказательство. Импликация (i) ⇒ (ii) следует из теоремы 4.2. (ii) ⇒ (i). Пусть X не является σ-конечномерным A-модулем. Тогда существует ненулевой e ∈∇ n=1 такой, что A-модуль e·X обладает неконечным A-базисом Гамеля {xi}i∈I. Пусть {xn}∞ ⊆ {xi}i∈I , n n n n+1 n 2 а Yn = Lin{x1,..., xn, Ae} - это n-мерный Ae-подмодуль в e · X. Очевидно, что Yn будет точным (bo)-замкнутым l-полным Ae-модулем, при этом Yn � Yn+1 для всех n ∈ N. Из следствия 4.5 имеем, что существуют z ∈ Y такие, что ≡z ≡ = e и ≡z - z ≡ � 1 e для всех n ∈ N. Применяя теперь n=1 теорему 4.1, получаем, что {zn}∞ не является относительно циклически компактным множеством. Следовательно, единичный шар B1(X) не будет циклически компактным, что противоречит условию (ii). Таким образом, X является конечномерным или σ-конечномерным A-модулем.

Об авторах

В И Чилин

Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека

Email: vladimirchil@gmail.com
Узбекистан, 100174, г. Ташкент, ВУЗ городок, ул. Университетская, д. 4

Ж А Каримов

Институт математики им. В. И. Романовского, АН Респ

Email: karimovja@mail.ru
100170, г. Ташкент, Узбекистан, пр-т М. Улугбека, д. 81

Список литературы