Спектр оператора энергии в трехэлектронных системах с примесью в модели Хаббарда.Второе дублетное состояние

Аннотация

В данной работе рассматриваются трехэлектронные системы с примесью в модели Хаббарда и исследуется спектр такой системы во втором дублетном состоянии в ν-мерной решетке Zν .

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ В начале 1970-х годов практически одновременно и независимо друг от друга вышли рабо- ты [5, 6, 10], в которых была представлена простая модель металла, ставшая впоследствии фунда- ментальной в теории сильно коррелированных электронных систем. В этой модели рассматрива- лась единственная невырожденная электронная зона с локальным кулоновским взаимодействием. Гамильтониан модели содержал только два параметра: матричный элемент t перескока электрона с одного узла решетки на соседний и параметр U кулоновского отталкивания двух электронов на одном узле. Во вторичном квантовании данный гамильтониан может быть записан как H = t "\" a+ am+τ,γ + U "\" a+ am, a+ am, , (1.1) m,τ,γ m,γ m,↑ m ↑ m,↓ ↓ m,γ где a+ и am,γ обозначают Ферми-операторы рождения и уничтожения электрона со спином γ в узле m, а суммирование по τ означает суммирование по ближайшим соседям в решетке. Модель, предложенная в [5, 6, 10], была названа моделью Хаббарда в честь Джона Хаббарда, ученого, внесшего огромный вклад в изучение статистической механики данной системы, хотя локальная форма кулоновского взаимодействия была впервые введена Андерсоном для модели с примесью в металле [4]. Также следует напомнить, что модель Хаббарда представляет собой част- ный случай полярной модели Шубина-Вонсовского [13], которая была описана еще за 30 лет до появления работ [5, 6, 10]. В модели Шубина-Вонсовского наряду с кулоновским взаимодействием на одном узле рассматривается взаимодействие электронов на соседних узлах. Модель Хаббарда является приближением, используемым в физике твердого тела для описа- ния перехода из проводящего состояния в диэлектрическое. Она представляет собой простейшую модель, которая описывает взаимодействие элементарных частиц в решетке. Ее гамильтониан со- стоит лишь из двух слагаемых: кинетическое, отвечающее за туннелирование (перескок) частиц между узлами решетки, и слагаемое, отвечающее за внутриузловое взаимодействие. Частицы мо- гут быть как фермионами (как в оригинальной работе Хаббарда), так и бозонами. Простота и Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 109 достаточность гамильтониана Хаббарда сделали данную модели довольно популярной и эффек- тивной для описания сильно коррелированных электронных систем. Модель Хаббарда хорошо описывает поведение частиц в периодическом потенциале при доста- точно низких температурах таких, что все частицы будет находиться в нижней энергетической зоне Блоха, а дальними взаимодействиями можно будет пренебречь. Если учитывается взаимодей- ствие между частицами на различных узлах, такая модель называется расширенной моделью Хаб- барда. Она была предложена для описания электронов в твердых телах, и до сих пор представляет немалый интерес при изучении высокотемпературной суперпроводимости. Позднее расширенной модели Хаббарда было найдено применение и при изучении поведения ультрахолодных атомов в оптических решетках. При рассмотрении электронов в твердых телах модель Хаббарда можно считать усовершен- ствованной версией модели сильно связанных электронов, которая учитывает только слагаемое из гамильтониана, отвечающее за перескок. В случае сильных взаимодействий эти две модели могут давать существенно отличающиеся результаты. Модель Хаббарда способна точно предсказать су- ществование так называемых изоляторов Мотта, в которых в силу сильного отталкивания между частицами отсутствует проводимость. Модель Хаббарда в настоящее время является одной из наиболее активно изучаемых мульти- электронных моделей металлов [1, 2, 11, 12, 15]. Однако точных результатов для спектра и волновых функций кристалла, описываемого моделью Хаббарда, по-прежнему крайне мало, следователь- но, получение соответствующих утверждений представляет большой интерес. Спектр и волновые функции системы двух электронов в кристалле, описываемом гамильтонианом Хаббарда, были изучены в [2]. Известно, что двухэлектронные системы могут находиться в двух различных со- стояниях - триплетном и синглетном [1, 2, 11, 12, 15]. В работе [2] было доказано, что спектр гамильтониана Ht системы в триплетном состоянии чисто непрерывен и совпадает с отрезком [m, M ], а у оператора Hs системы в синглетном состоянии, кроме непрерывного спектра [m, M ], существует единственное антисвязанное состояние при некоторых значениях квазиимпульса. Для антисвязанного состояния реализуется такое коррелированное движение электронов, при котором велик вклад двоичных состояний. При этом в силу замкнутости системы энергия должна оста- ваться постоянной и большой. Это вынуждает электроны не расходиться на большие расстояния. Далее, существенным является то обстоятельство, что связанные состояния (их иногда называют состояниями типа рассеяния) ниже непрерывного спектра не формируются. Это вполне понятно, так как взаимодействие имеет характер отталкивания. Заметим, что при U < 0 верна обратная ситуация: ниже непрерывного спектра имеется связанное состояние (антисвязанные состояния отсутствуют), поскольку в этом случае электроны притягиваются друг к другу. Для первой зоны спектр не зависит от параметра U внутриузлового кулоновского взаимодей- ствия двух электронов и соответствует энергии двух невзаимодействующих электронов, в точности совпадая с триплетной зоной. Вторая зона определяется кулоновским взаимодействием в гораздо большей степени: от U зависят как амплитуды, так и энергия двух электронов, причем сама зона исчезает при U → 0, а при U → ∞ неограниченно возрастает. Вторая зона в основном соответ- ствует одночастичному состоянию, а именно движению двойки, т. е. двухэлектронным связанным состояниям. Спектр и волновые функции системы трех электронов в кристалле, описываемом гамильтониа- ном Хаббарда, были изучены в [3]. В трехэлектронных системах существуют квартетное состояние и дублетные состояния двух типов. В работе [3] было доказано, что существенный спектр систе- мы в квартетном состоянии состоит из одного отрезка, а трехэлектронное связанное состояние отсутствует. Также было показано, что существенный спектр системы в дублетных состояниях является объединением не более чем трех отрезков, а в дублетных состояниях присутствуют трех- электронные связанные состояния. При этом спектры таких дублетных состояний различны. ОПЕРАТОР ЭНЕРГИИ В ТРЕХЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМАХ С ПРИМЕСЬЮ В МОДЕЛИ ХАББАРДА. ВТОРОЕ ДУБЛЕТНОЕ СОСТОЯНИЕ Здесь мы рассмотрим оператор энергии в трехэлектронных системах с примесью в модели Хаб- барда и опишем структуру существенного и дискретного спектров системы для второго дублетного состояния. Гамильтониан выбранной модели имеет вид H = A "\" a+ am,γ + B "\" a+ am+τ,γ + U "\" a+ am, a+ am, + (A - A) "\" a+ a0,γ + m,γ m,γ m,τ,γ m,γ m,↑ m ↑ m,↓ ↓ 0 0,γ γ +(B0 - B) "\"(a+ aτ,γ + a+ a0,γ )+ (U0 - U )a+ a0, a+ a0, . (2.1) τ,γ 0,γ τ,γ 0,↑ ↑ 0,↓ ↓ Здесь A (A0) - это энергия электрона на регулярном (примесном) узле решетки, B (B0) - ин- теграл перехода между электронами (между электроном и примесями) на соседних узлах (для удобства предположим, что B > 0 (B0 > 0)), τ = ±ej,j = 1, 2,..., ν, где ej - единичные вза- имно ортогональные векторы, что означает, что суммирование ведется по ближайшим соседям, U (U0) - параметр внутриузлового кулоновского взаимодействия двух электронов на регулярных (примесных) узлах, γ - спиновый индекс, γ =↑ либо γ =↓, где ↑ или ↓ обозначают значения спина 1 1 или - , а a+ и a - это операторы рождения и уничтожения электрона в узле m ∈ Zν, 2 2 m,γ m,γ соответственно. Энергия системы зависит от значения полного спина S. В трехэлектронных системах существу- ют квартетное состояние и два дублетных. Равно как и гамильтониан, Ne электронная система характеризуется полным спином S, S = Ne 1 Smax, Smax - 1,..., Smin, Smax = , Smin = 0, . 2 2 Гамильтониан (2.1) коммутирует со всеми компонентами полного спина оператора S = (S+, S-, Sz ), и следовательно, структура собственных функций и собственных значений систе- мы зависит от S. Второе дублетное состояние соответствует трехэлектронным связанным состояниям с базисны- ми функциями: 2d1/2 = a+ a+ a+ ϕ0. p,q,t p,↑ q,↑ t,↓ 1/2 Подпространство 2Ed , отвечающее второму дублетному состоянию, является множеством всех векторов вида ψ = f�(p, q, t)2d1/2 , f� ∈ las, где las - это подпространство антисимметричных p,q,t∈Zν функций в пространстве l2((Zν )3). p,q,t 2 2 В данном случае гамильтониан H действует в антисимметричном пространстве Фока Eas. Пусть ϕ0 - это вакуумный вектор в антисимметричном пространстве Фока Eas. Второе дублетное состо- яние соответствует свободному движению трех электронов по решетке и их взаимодействию. 1/2 Обозначим через 2Hd 1/2 сужение оператора H на пространство 2Ed . 1/2 Теорема 2.1. Подпространство 2Ed инвариантно относительно оператора H, а оператор 2Hd 1/2 является ограниченным самосопряженным. Он порождает замкнутый самосопряженный 1/2 оператор 2Hd 2 , действующий в пространстве las следующим образом: d 2H1/2ψ = 3Af (p, q, t)+ B "\"[f (p + τ, q, t)+ f (p, q + τ, t)+ f (p, q, t + τ )] + U (δp,t + δq,t)× τ ×f (p, q, t)+ (A0 - A)[δp,0f (p, q, t)+ δq,0f (p, q, t)+ δt,0f (p, q, t)] + (B0 - B) "\"[δp,0f (τ, q, t)+ τ +δq,0f (p, τ, t)+ δt,0f (p, q, τ )+ δp,τ f (0, q, t)+ δq,τ f (p, 0, t)+ δt,τ f (p, q, 0)]+ +(U0 - U )(δp,0δt,0 + δq,0δt,0)f (p, q, t), (2.2) 1/2 где δk,j - это символ Кронекера. Оператор 2Hd 1/2 действует на вектор ψ ∈2 Ed по формуле 1/2ψ = "\"( H1/2f )(p, q, t) dp,q,t. (2.3) 2Hd 2 d p,q,t 2 1/2 1/2 Доказательство. Применим гамильтониан H к векторам ψ ∈2 Ed , используя стандартные анти- коммутационные соотношения между операторами рождения и уничтожения электронов в узлах n,β решетки, {am,γ, a+ m,γ } = δm,nδγ,β, {am,γ, an,β } = {a+ , a + n,β } = θ, также учитывая, что am,γϕ0 = θ, 1/2 где θ - это нулевой элемент пространства 2Ed . Отсюда получаем утверждение теоремы. Обозначим ε1 = A0 - A, ε2 = B0 - B и ε3 = U0 - U. 1/2 Лемма 2.1. Спектры операторов 2Hd и H 2 d 1/2 совпадают. 1/2 Доказательство. В силу того, что 2Hd и H 2 d 1/2 являются ограниченными самосопряженными 1/2 операторами, имеем, что если λ ∈ σ(2Hd ), то из критерия Вейля (см. [14, ч. VII, п. 3, с. 262- n=1 263]) вытекает, что существует такая последовательность {ψn}∞ n , что ||ψn|| =1 и lim →∞ 1/2 ||(2Hd - 1 + + + 1 λ)ψn|| = 0. Положим ψn = / - δp,q p,q,t ap,↑aq,↑at,↓ϕ0. Тогда 1/2 ||(2Hd 1/2 - λ)ψn||2 = ((2Hd 1/2 - λ)ψn, (2Hd d - λ)ψn)= "\" ||(2H1/2 - λ)fn(p, q, t)||2× 1 + + + 1 + + + p,q,t "\" 2 d 2 1 ×(/ - δp,q - ap,↑aq,↑at,↓ϕ0, /1 δp,q ap,↑aq,↑at,↓ϕ0)= p,q,t ||( H1/2 - λ)Fn(p, q, t)|| × 1 + + + "\" 2 d 2 ×( 1 - δ p,q at,↓aq,↑ap,↑ap,↑aq,↑at,↓ϕ0, ϕ0)= p,q,t ||( H1/2 - λ)Fn(p, q, t)|| × 1 2 d 2 при n → ∞, где F = f (p, q, t). ×( 1 - δ p,q × (1 - δp,q )ϕ0, ϕ0)= p,q,t d ||( H1/2 - λ)Fn(p, q, t)|| → 0 d n n p,q,t 1/2 Отсюда следует, что λ ∈ σ(2H1/2). Следовательно, σ(2Hd ) ⊂ σ(2H1/2). И напротив, положим 1/2 λ ∈ σ(2Hd ). Тогда, исходя из критерия Вейля, существует последовательность {Fn d } ∞ n=1 такая, 1 что ||Fn = 1|| и lim ||(2H1/2 - λ)ψn|| = 0. Положив Fn = fn(p, q, t), ||Fn = ( |fn(p, q, t)|2) 2 , n→∞ p,q,t d d p,q,t мы вправе заключить, что ||ψn|| = ||ψn|| =1 и ||(2H1/2 - λ)Fn|| = ||(2H1/2 - λ)ψn|| → 0 при n → ∞. 1/2 Это означает, что λ ∈ σ(2Hd 1/2 ), и следовательно, σ(2Hd 1/2 ) ⊂ σ(2Hd ). Из этих двух соотношений 1/2 вытекает, что σ(2Hd 1/2 )= σ(2Hd ). 1/2 Назовем оператор 2Hd оператором второго дублетного состояния трехэлектронной систе- мы. Пусть F обозначает преобразование Фурье: F : l2((Zν )3) → L2((Tν )3) ≡2 ν-мерный тор, снабженный нормированной мерой Лебега dλ, λ(Tν )= 1. E� d 1/2 , где Tν - это 1/2 Положим 2H� d = F H 2 d 1/2 1/2 F -1. В квазиимпульсном представлении оператор 2Hd действует в гильбертовом пространстве Las((Tν )3), где Las - подпространство антисимметричных функций из 2 2 L2((Tν )3). 1/2 Теорема 2.2. Преобразование Фурье оператора 2Hd 1/2 есть оператор 2H� d = F H 2 d 1/2 F -1, 1/2 действующий в пространстве 2E�d (2H� d по формуле ν "\" 1/2f�)(λ, μ, γ)= {3A + 2B r r i=1 [cos λi + cos μi + cos γi]}f�(λ, μ, γ)+ r +U f�(s, μ, λ + γ - s)ds + U T ν T ν f�(λ, s, μ + γ - s)ds + ε1 T ν f�(s, μ, γ)ds+ r +ε1 r f�(λ, s, γ)ds + ε1 r f�(λ, μ, s)ds + 2ε2 ν "\"[cos si + cos λi]× T ν T ν r ν T ν i=1 r ν ×f�(s, μ, γ)ds + 2ε2 "\"[cos μi + cos si]f�(λ, s, γ)ds + 2ε2 "\"[cos γi + cos si]× T ν i=1 T ν i=1 r r ×f�(λ, μ, s)ds + ε3[ r r f�(s, r, γ)dsdr + f�(λ, r, l)drdl]. (2.4) T ν T ν T ν T ν Теорема 2.2 доказывается непосредственным преобразованием Фурье к (2.2). С помощью тензорных произведений гильбертовых пространств и тензорных произведений опе- 1/2 раторов в гильбертовых пространствах [14] можно убедиться в том, что оператор 2H� d представим в виде H� d � � 2 1/2 = H2 ⊗ I1 + I2 ⊗ H1, (2.5) ν где (H�2f�)(λ, μ)= {2A + 2B [cos λi + cos μi]}f�(λ, μ)+ ε1 Г f�(s, μ)ds + ε1 Г f�(λ, t)dt+ i=1 r ν T ν T ν r ν +2ε2 "\"[cos λi + cos si]f�(s, μ)ds + 2ε2 "\"[cos μi + cos ti]f�(λ, t)dt+ T ν i=1 r +ε3 r f�(s, t)dsdt + ε3 T ν i=1 r r f�(t, ξ)dtdξ, T ν T ν ν T ν T ν ν и (H�1f�)(λ)= {A + 2B cos γi}f�(γ)+ ε1 Г f�(ξ)dξ + 2ε2 Г [cos γi + cos ξi]f�(ξ)dξ, а I1 и I2 - это i=1 T ν T ν i=1 тождественные операторы в соответствующих пространствах. 1/2 Для исследования спектра оператора 2H� d нам необходимо изучить спектры операторов H�2 и H�1. Действительно, оператор H�2 может быть представлен как H�2 = H�1 ⊗ I + I ⊗ H�1 + K, (2.6) где (Kf�)(λ, μ) = 2ε3 Г Г f (s, t)dsdt - оператор конечного ранга (т. е. конечномерный оператор). T ν T ν Ранг оператора K равен единице. Следовательно, существенные спектры операторов H�2 и H�1 ⊗ I + I ⊗ H�1 совпадают. Спектр оператора A ⊗ I + I ⊗ B, где A и B - плотно определенные ограниченные линейные операторы, был изучен в [7-9]. Там были даны явные формулы, выражающие существенный спектр σess(A ⊗ I + I ⊗ B) и дискретный спектр σdisc(A ⊗ I + I ⊗ B) оператора A ⊗ I + I ⊗ B через спектр σ(A) и дискретный спектр σdisc(A) оператора A и через спектр σ(B) и дискретный спектр σdisc(B) оператора B: σdisc(A ⊗ I + I ⊗ B)= {σ(A)\σess(A)+ σ(B)\σess(B)}\{(σess(A)+ +σ(B)) ∪ (σ(A)+ σess(B))}, (2.7) σess(A ⊗ I + I ⊗ B)= (σess(A)+ σ(B)) ∪ (σ(A)+ σess(B)). (2.8) Очевидно, что σ(A ⊗ I + I ⊗ B)= {λ + μ : λ ∈ σ(A),μ ∈ σ(B)}. Тем самым мы провели необходимое исследование спектра оператора H�1. СПЕКТР И ЛОКАЛЬНЫЕ ПРИМЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ ОПЕРАТОРА ЭНЕРГИИ ДЛЯ ОДНОЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ С ПРИМЕСЬЮ В МОДЕЛИ ХАББАРДА 0 Гамильтониан одно-магнонной примесной системы также имеет вид (2.1). Пусть E1 обозначает гильбертово пространство, порожденное векторами вида: Ψ= a+ ϕ . Такое пространство назы- p,↑ p вается пространством одноэлектронных состояний оператора H. Пространство E1 инвариантно относительно оператора H. Пусть H1 - сужение оператора H на пространство E1. Теорема 3.1. Подпространство E1 инвариантно относительно оператора H, а оператор H1 является ограниченным самосопряженным. Он порождает ограниченный самосопряженный оператор H1, действующий в пространстве l2 по формуле (H1f )(p)= Af (p)+ B "\" f (p + τ )+ ε1δp,0f (p)+ ε2 "\"(δp,τ f (0) + δp,0f (τ )), (3.1) τ τ где δk,j - символ Кронекера. Оператор H1 действует на вектор ψ ∈ E1 следующим образом: p, H1ψ = "\"(H1f )(p)a+ ϕ0. (3.2) ↑ p Доказательство. Применим гамильтониан H к векторам ψ ∈ E1, используя стандартные анти- коммутационные соотношения между операторами рождения и уничтожения электронов в узлах решетки, также учитывая, что am,γϕ0 = θ, где θ - это нулевой элемент пространства E1. Отсюда получаем утверждение теоремы. Лемма 3.1. Спектры операторов H1 и H1 совпадают. Обозначим через F преобразование Фурье: F : l2(Zν )) → L2(Tν ) ≡ E�1, где Tν - это ν-мерный тор, снабженный нормированной мерой Лебега dλ, λ(Tν )= 1. Положим H�1 = FH1F -1. В квазиимпульсном представлении оператор H1 действует в гильбер- товом пространстве L2(Tν ). Теорема 3.2. Преобразование Фурье оператора H1 есть оператор H�1 = FH1F -1, действу- ющий в пространстве E�1 по формуле ν r (H�1f )(λ)= [A + 2B "\" cos λi]f (λ)+ ε1 r f (s)ds + 2ε2 ν "\"[cos λi + cos si]f (s)ds. (3.3) i=1 T ν T ν i=1 Очевидно, что непрерывный спектр оператора H�1 не зависит от ε1 и ε2 и заполняет весь зам- кнутый интервал Gν = [mν, Mν ] = [A - 2Bν, A + 2Bν], где mν = min h(x), Mν = max h(x), а ν h(x)= A + 2B cos xi. i=1 p(s) x∈T ν x∈T ν 1 Положим Δν (z) = a(1 + νd) - νbc, где a = 1 + Г T ν h(s) - z ν ds, b = 2ε2 Г T ν h(s) - z ν ds, c = 2 Г Г p(s)q(si) ds, d = 2ε q(si) ds, а h(s) = A + 2B cos si, p(s) = ε1 + 2ε2 cos si и T ν h(s) - z T ν h(s) - z i=1 i=1 q(si)= cos si. Лемма 3.2. Величина z0 ∈/ Gν является собственным значением оператора H�1 тогда и только тогда, когда она является нулем функции Δν (z), т. е. Δν (z0)= 0. Доказательство. В рассматриваемом случае уравнение для собственных значений представляет собой интегральное уравнение с вырожденным ядром. Следовательно, оно эквивалентно системе линейных однородных уравнений. Как известно, система линейных однородных алгебраических уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, а в данном случае определитель есть функция Δν (z). Теорема 3.3. Пусть ν = 1. Тогда: Если ε1 ) -2B и ε2 = -B + 1 B2 + 1 Bε1, или ε1 ) -2B и ε2 = -B - 1 B2 + 1 Bε1, или 2 2 ε1 � 2B и ε2 = -B + 1 B2 - 1 2 Bε1, или ε1 � 2B и ε2 = -B - 1 B2 - 1 2 Bε1, то оператор H�1 не имеет собственных значений вне непрерывного спектра оператора H�1. Если ε1 > 0 и -B - 1 B2 + 1 Bε1 < ε2 < -2B, или ε1 > 0 и 0 < ε2 < -B + 1 B2 + 1 Bε1, или 2 2 -2B � ε1 < 0 и -2B < ε2 < -B - 1 B2 + 1 2 Bε1, или -2B � ε1 < 0 и -B + 1 B2 + 1 2 Bε1 < ε2 < 0, то оператор H�1 имеет только одно собственное значение z = z1 ниже непрерыв- ного спектра оператора H�1. Если ε1 < 0 и 0 < ε2 < -B + 1 B2 - 1 2 Bε1, или ε1 < 0 и -B - 1 B2 - 1 2 Bε1 < ε2 < -2B, или 0 < ε1 � 2B и -2B < ε2 < -B + 1 B2 - 1 2 Bε1, или 0 < ε1 � 2B и -B + 1 B2 - 1 2 Bε1 < ε2 < 0, то оператор H�1 имеет только одно собственное значение z = z2 выше непрерывного спектра оператора H�1. Если 0 < ε1 � 2B и ε2 > -B + 1 B2 + 1 Bε1, или 0 < ε1 � 2B и ε2 < -B - 1 B2 + 1 Bε1, 2 2 или 0 < ε1 � 2B и -B - 1 B2 + 1 Bε1 < ε2 < -B + 1 B2 + 1 Bε1, или 0 < ε1 � 2B и 2 2 -B - 1 B2 + 1 Bε1 < ε2 < -2B, или -2B � ε1, 0 и ε2 > -B + 1 B2 - 1 Bε1, или -2B � 2 2 ε1 < 0 и ε2 < -B - 1 B2 - 1 2 Bε1, или -2B � ε1 < 0 и -B - 1 B2 - 1 2 Bε1 < ε2 < -B + 1 B2 - 1 2 Bε1, или -2B � ε1 < 0 и -B - 1 B2 - 1 2 Bε1 < ε2 < -2B, то оператор H�1 имеет два собственных значения z = z1 и z = z2 ниже и выше непрерывного спектра оператора H�1, соответственно. Доказательство. Пусть ν = 1. В таком случае непрерывный спектр оператора H�1 совпадает с отрезком [A - 2B, A + 2B]. Выражая все интегралы в уравнении Δν (z) = 0 через интеграл J (z)= Г ν ds , находим, что уравнение Δ (z)=0 эквивалентно уравнению T ν A + 2B cos s - z 2 {ε1B2 + (ε2 + 2Bε2)(z - A)}J (z)+ (B + ε2)2 = 0. (3.4) Так как функция J (z) = Г ds является непрерывной при z ∈/ Gν, а [J (z)]! = Г ds T ν A + 2B cos s - z > 0, функция J (z) возрастает как функция от z при z ∈/ Gν. Более того, T ν [A + 2B cos s - z]2 J (z) → 0 при z → -∞, J (z) → +∞ при z → m1 - 0, J (z) → -∞ при z → M1 +0 и J (z) → 0 ε1B2 2 при z → +∞. Из ε1B2 + (ε2 + 2Bε2)(z - A) /= 0, т. е. из z /= A - следующего вида: ε2 2 + 2Bε2 , получаем выражение (B + ε2)2 J (z)= - ε B2 + (ε2 . (3.5) 1 (B + ε2)2 Обозначим ψ(z)= - ε B2 + (ε2 2 + 2Bε2)(z - A) . Функция ψ(z) имеет полюс z0 = A- B2ε1 . 1 2 + 2Bε2)(z - A) 2 ε2 + 2Bε2 Если ε2 = -B и ε1 < -2B, то оператор H�1 имеет только одно собственное значение z = A + ε1, лежащее ниже непрерывного спектра оператора H�1. Если ε2 = -B и ε1 > 2B, то оператор H�1 имеет только одно собственное значение z = A + ε1, лежащее выше непрерывного спектра 2 оператора H�1. Функция Ψ(z) является монотонно возрастающей, так как ψ!(z)= (B + ε2) > 0, а 2 [ε2 + 2Bε2)(z - A)]2 ψ(z) → +0 при z → -∞, ψ(z) → +∞ при z → z0 - 0, ψ(z) → -∞ при z → z0 +0 и ψ(z) → -0 при z → +∞. Если полюс функции ψ(z) совпадает с нижней границей непрерывного спектра оператора H�1, т. е. z0 = m1, то при условии, что ε1 ) -2B и ε2 = -B + 1 B2 + 1 2 Bε1 или ε1 ) -2B и ε2 = -B - 1 B2 + 1 2 Bε1, оператор H�1 не будет иметь собственных значений вне непрерывного спектра оператора H�1. Аналогично, если полюс функции ψ(z) совпадает с верхней границей непрерывного спектра оператора H�1, т. е. z0 = M1, то при условии, что ε1 � 2B и ε2 = -B + 1 B2 - 1 2 Bε1 или ε1 � 2B и ε2 = -B - 1 B2 - 1 2 Bε1, оператор H�1 не будет иметь собственных значений вне непрерывного спектра оператора H�1. Если полюс функции ψ(z) лежит ниже непрерывного спектра оператора H�1, т. е. z0 < m1, то оператор H�1 имеет только одно собственное значение z1 < m1, лежащее ниже непрерывного спектра оператора H�1. Если полюс функции ψ(z) лежит выше непрерывного спектра оператора H�1, т. е. z0 > M1, то оператор имеет только одно собственное значение z2 > M1, лежащее выше непрерывного спектра оператора H�1. Если полюс функции Ψ(z) находится внутри непрерывного спектра оператора H�1, т. е. m1 < z0 < M1, то оператор имеет два собственных значения z1 < m1 и z2 > M1, лежащих ниже и выше непрерывного спектра оператора H�1, соответственно. Из z0 < m1 найдем условия существования единственного собственного значения оператора H�1, лежащего ниже непрерывного спектра оператора H�1. Этими условиями являются: ε1 > 0 и -B - 1 B2 + 1 Bε1 < ε2 < -2B, или ε1 > 0 и 0 < ε2 < -B + 1 B2 + 1 Bε1, или -2B � ε1 < 0 и 2 2 -B + 1 B2 + 1 2 Bε1 < ε2 < 0, или -2B � ε1 < 0 и -2B < ε2 < -B - 1 B2 + 1 2 Bε1. Из z0 > M1 найдем условия существования единственного собственного значения оператора H�1, лежащего выше непрерывного спектра оператора H�1. Этими условиями являются: ε1 < 0 и 0 < ε2 < -B + 1 B2 - 1 Bε1, или ε1 < 0 и -B - 1 B2 - 1 Bε1 < ε2 < -2B, или 0 < ε1 < 2B и 2 2 -2B < ε2 < -B - 1 B2 - 1 2 Bε1, или 0 < ε1 < 2B и -B + 1 B2 - 1 2 Bε1 < ε2 < 0. Из m1 < z0 < M1 найдем условия существования двух собственных значений оператора H�1, лежащих ниже и выше непрерывного спектра оператора H�1, соответственно. Этими условиями являются: 0 < ε1 � 2B и ε2 > -B + 1 B2 + 1 Bε1, или -2B < ε1 � 0 и ε2 > -B + 1 B2 - 1 Bε1, 2 2 или 0 < ε1 � 2B и -B - 1 B2 + 1 Bε1 < ε2 < -2B, или -2B < ε1 � 0 и -B - 1 B2 - 1 Bε1 < ε2 < 2 2 -2B, или 0 < ε1 � 2B и ε2 < -B - 1 B2 + 1 Bε1, или -2B < ε1 � 0 и ε2 < -B - 1 B2 - 1 Bε1, 2 2 или -2B < ε1 � 0 и -B - 1 B2 - 1 Bε1 < ε2 < -B + 1 B2 - 1 Bε1, или 0 < ε1 � 2B и 2 2 -B - 1 B2 + 1 2 Bε1 < ε2 < -B + 1 B2 + 1 2 Bε1. Следовательно, если a) 0 < ε1 � 2B и ε2 > -B+ 1 B2 + 1 Bε1, или ε2 < -B- 1 B2 + 1 Bε1, или -B- 1 B2 + 1 Bε1 < 2 2 2 ε2 < -2B, или -B - 1 B2 + 1 Bε1 < ε2 < -B + 1 B2 + 1 Bε1, 2 2 b) -2B < ε1 � 0 и ε2 > -B + 1 B2 - 1 Bε1, или ε2 < -B - 1 B2 - 1 Bε1, или -B - 2 2 1 B2 - 1 2 Bε1 < ε2 < -2B, или -B - 1 B2 - 1 2 Bε1 < ε2 < -B + 1 B2 - 1 2 Bε1, то оператор H�1 имеет два собственных значения z1 < m1 и z2 > M1. Теперь рассмотрим двухмерный случай. В двухмерном случае также будем иметь, что уравнение ds1ds2 Δ2(z)=0 эквивалентно уравнению вида (3.4), а именно J (z)= Г . T 2 A + 2B(cos s1 + cos s2) - z Получены результаты, аналогичные одномерному случаю. Теперь же рассмотрим трехмерный случай. Теорема 3.4. Пусть ν = 3. Тогда: Если ε1 > 0 и 0 < ε2 � -B + 1 B2 + 1 6 Bε1, или -6B � ε1 < 0 и -B - 1 B2 + 1 6 Bε1 < ε2 < -2B, или -6B � ε1 < 0 и -2B < ε2 < -B - 1 B2 + 1 6 Bε1, или -6B � ε1 < 0 и -B + 1 B2 + 1 6 Bε1 < ε2 < 0, то оператор H�1 имеет только одно собственное значение z1 ниже непрерывного спектра оператора H�1. Если ε1 < 0 и -B - 1 B2 - 1 Bε1 < ε2 < -2B, или ε1 < 0 и 0 < ε2 < -B + 1 B2 - 1 Bε1, 6 6 или 0 < ε1 < 6B и -2B < ε2 < -B - 1 B2 - 1 6 Bε1, или 0 < ε1 < 6B и -B + 1 B2 - 1 6 Bε1 < ε2 < 0, то оператор H�1 имеет только одно собственное значение z2 выше непрерывного спектра оператора H�1. Если 0 < ε1 � 6B и ε2 > -B + 1 B2 + 1 Bε1, или -6B � ε1 < 0 и ε2 > -B + 1 B2 - 1 Bε1, 6 6 или 0 < ε1 � 6B и ε2 < -B - 1 B2 + 1 Bε1, или -6B � ε1 < 0 и ε2 < -B - 1 B2 - 1 Bε1, 6 6 или 0 < ε1 � 6B и -B - 1 B2 - 1 Bε1 < ε2 < -B + 1 B2 - 1 Bε1, или -6B � ε2 < 0 и 6 6 -B - 1 B2 + 1 6 Bε1 < ε2 < -B + 1 B2 + 1 6 Bε1, то оператор H�1 имеет два собственных значения z1 и z2 ниже и выше непрерывного спектра оператора H�1, соответственно. 2 Доказательство. В трехмерном случае также имеем уравнение вида (ε2 + B)2 + {ε1B2 + (ε2 + ds1ds2ds3 2Bε2)(z - A)}J (z)= 0, где J (z)= Г T 3 A + 2B(cos s1 + cos s2 . + cos s3) - z В трехмерном случае интеграл Г ds1ds2ds3 = Г ds1ds2ds3 ко- T 3 3+ cos s1 + cos s2 + cos s2 T 3 3 - cos s1 - cos s2 - cos s2 нечен. Выражая этот интеграл через интеграл Уотсона W, будем иметь, что J (z)= W . 3 Тогда J (z) → +0 при z → -∞, J (z) = W J (z)= - 3 при z = A + 6B. 3 W при z = A - 6B, J (z) → -0 при z → +∞ и (B + ε2)2 Функция ψ(z)= - ε B2 + (ε2 имеет полюс z0 = A - B2ε1 . 1 2 + 2Bε2)(z - A) 2 ε2 + 2Bε2 Если ε2 = -B и ε1 < -2B, то оператор H�1 имеет только одно собственное значение z = A + ε1, лежащее ниже непрерывного спектра оператора H�1. Если ε2 = -B и ε1 > 2B, то оператор H�1 имеет только одно собственное значение z = A + ε1, лежащее выше непрерывного спектра 2 оператора H�1. Функция Ψ(z) также является монотонно возрастающей, т. к. ψ!(z)= (B + ε2) > 0, 2 [ε2 + 2Bε2)(z - A)]2 а ψ(z) → +0 при z → -∞, ψ(z) → +∞ при z → z0 - 0, ψ(z) → -∞ при z → z0 +0 и ψ(z) → -0 при z → +∞. Если ε1 > 0 и 0 < ε2 � -B + 1 B2 + 1 Bε1, или -6B � ε1 < 0 и -B - 1 B2 + 1 Bε1 < ε2 < -2B, 6 6 или -6B � ε1 < 0 и -2B < ε2 < -B - 1 B2 + 1 6 Bε1, или -6B � ε1 < 0 и -B + 1 B2 + 1 6 Bε1 < ε2 < 0, то оператор H�1 имеет только одно собственное значение z1 ниже непрерывного спектра оператора H�1. Если ε1 < 0 и -B - 1 B2 - 1 Bε1 < ε2 < -2B, или ε1 < 0 и 0 < ε2 < -B + 1 B2 - 1 Bε1, или 6 6 0 < ε1 < 6B и -2B < ε2 < -B - 1 B2 - 1 6 Bε1, или 0 < ε1 < 6B и -B + 1 B2 - 1 6 Bε1 < ε2 < 0, то оператор H�1 имеет только одно собственное значение z2 выше непрерывного спектра оператора H�1. Если 0 < ε1 � 6B и ε2 > -B + 1 B2 + 1 Bε1, или -6B � ε1 < 0 и ε2 > -B + 1 B2 - 1 Bε1, 6 6 или 0 < ε1 � 6B и ε2 < -B - 1 B2 + 1 Bε1, или -6B � ε1 < 0 и ε2 < -B - 1 B2 - 1 Bε1, 6 6 или 0 < ε1 � 6B и -B - 1 B2 - 1 Bε1 < ε2 < -B + 1 B2 - 1 Bε1, или -6B � ε2 < 0 и 6 6 -B - 1 B2 + 1 6 Bε1 < ε2 < -B + 1 B2 + 1 6 Bε1, то оператор H�1 имеет два собственных значения z1 и z2 ниже и выше непрерывного спектра оператора H�1, соответственно. Из полученных результатов видно, что спектр оператора H�1 состоит из непрерывного спектра и максимум двух собственных значений. СТРУКТУРА СУЩЕСТВЕННОГО И ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРОВ ОПЕРАТОРА H�2 Теперь, используя полученные ранее результаты и представление (2.6), мы можем приступить к описанию структуры существенного и дискретного спектров оператора H�2. Следующие теоремы описывают структуру существенного и дискретного спектров оператора H�2. Теорема 4.1. Пусть ν = 1. Тогда: Если ε1 ) -2B и ε2 = -B + 1 B2 + 1 2 Bε1, или ε1 ) -2B и ε2 = -B - 1 B2 + 1 2 Bε1, или ε1 � 2B и ε2 = -B+ 1 B2 - 1 2 Bε1, или ε1 � 2B и ε2 = -B- 1 B2 - 1 2 Bε1, то существенный спектр оператора H�2 состоит из одного интервала σess(H�2) = [2A - 4B, 2A + 4B], а дискретный - не более чем из одной точки σdisc(H�2)= {z3}. Если ε1 > 0 и -B - 1 B2 + 1 Bε1 < ε2 < -2B, или ε1 > 0 и 0 < ε2 < -B + 1 B2 + 1 Bε1, или 2 2 -2B � ε1 < 0 и -2B < ε2 < -B - 1 B2 + 1 2 Bε1, или -2B � ε1 < 0 и -B + 1 B2 + 1 2 Bε1 < ε2 < 0, то существенный спектр оператора H�2 состоит из объединения двух интервалов σess(H�2)= [2A - 4B, 2A + 4B] ∪ [A - 2B + z1,A + 2B + z1], а дискретный - не более чем из двух точек σdisc(H�2)= {2z1, z3}. Если ε1 < 0 и 0 < ε2 < -B + 1 B2 - 1 Bε1, или ε1 < 0 и -B - 1 B2 - 1 Bε1 < ε2 < -2B, 2 2 или 0 < ε1 � 2B и -2B < ε2 < -B + 1 B2 - 1 2 Bε1, или 0 < ε1 � 2B и -B + 1 B2 - 1 2 Bε1 < ε2 < 0, то существенный спектр оператора H�2 состоит из объединения двух интервалов σess(H�2)= [2A - 4B, 2A + 4B] ∪ [A - 2B + z2,A + 2B + z2], а дискретный - не более чем из двух точек σdisc(H�2)= {2z2, z3}. Если 0 < ε1 � 2B и ε2 > -B + 1 B2 + 1 Bε1, или 0 < ε1 � 2B и ε2 < -B - 1 B2 + 1 Bε1, 2 2 или 0 < ε1 � 2B и -B - 1 B2 + 1 2 Bε1 < ε2 < -B + 1 B2 - 1 2 Bε1, или 0 < ε1 � 2B и -B - 1 B2 + 1 Bε1 < ε2 < -2B, или -2B � ε1 < 0 и ε2 > -B + 1 B2 - 1 Bε1, или 2 2 -2B � ε1 < 0 и ε2 < -B - 1 B2 - 1 Bε1, или -2B � ε1 < 0 и -B - 1 B2 - 1 Bε1 < 2 2 ε2 < -B + 1 B2 - 1 2 Bε1, или -B - 1 B2 - 1 2 Bε1 < ε2 < -2B, то существенный спектр оператора H�2 состоит из объединения трех интервалов σess(H�2)= [2A - 4B, 2A + 4B] ∪ [A - 2B + z1,A + 2B + z1] ∪ [A - 2B + z2,A + 2B + z2], а дискретный - не более чем из четырех точек σdisc(H�2)= {2z1, 2z2, z1 + z2, z3}. Доказательство. A) Как следует из представления (2.6), формул (2.7), (2.8) и теоремы 3.3, в одномерном случае непрерывный спектр оператора H�1 - это σcont(H�1) = [A - 2B, A + 2B, а дис- кретный спектр пуст. Оператор K является одномерным. Следовательно, существенный спектр оператора H�1 ⊗ I + I ⊗ H�1 и оператора H�2 представляет собой отрезок [2A - 4B, 2A + 4B]. Расширив одномерный оператор K в операторе H�1 ⊗ I + I ⊗ H�1, получим самое большее одно дополнительное собственное значение z3. Отсюда получаем утверждение A) данной теоремы. B) В этом случае оператор H�1 имеет одно собственное значение z1, лежащее ниже непрерывного спектра. Таким образом, существенный спектр оператора H�1 ⊗ I + I ⊗ H�1 состоит из объединения двух интервалов, а дискретный - из одной точки. Отсюда следует утверждение B) данной теоремы. Остальные утверждения получаем аналогичным путем. 2 Следующие теоремы описывают структуру существенного и дискретного спектров оператора H� s в трехмерном случае. Теорема 4.2. Пусть ν = 3. Тогда: Если ε1 > 0 и 0 < ε2 � -B + 1 B2 + 1 6 Bε1, или -6B � ε1 < 0 и -B - 1 B2 + 1 6 Bε1 < ε2 < -2B, или -6B � ε1 < 0 и -2B < ε2 < -B - 1 B2 + 1 6 Bε1, или -6B � ε1 < 0 и -B + 1 B2 + 1 6 Bε1 < ε2 < 0, то существенный спектр оператора H�2 состоит из объединения двух интервалов σess(H�2)= [2A - 12B, 2A + 12B] ∪ [A - 6B + z1,A + 6B + z1], а дискретный - не более чем из двух точек σdisc(H�2)= {2z1, z3}. Если ε1 < 0 и -B - 1 B2 - 1 Bε1 < ε2 < -2B, или ε1 < 0 и 0 < ε2 < -B + 1 B2 - 1 Bε1, 6 6 или 0 < ε1 < 6B и -2B < ε2 < -B - 1 B2 - 1 6 Bε1, или 0 < ε1 < 6B и -B + 1 B2 - 1 6 Bε1 < ε2 < 0, то существенный спектр оператора H�2 состоит из объединения двух интервалов σess(H�2)= [2A - 12B, 2A + 12B] ∪ [A - 6B + z2,A + 6B + z2], а дискретный - не более чем из двух точек σdisc(H�2)= {2z2, z3}. Если 0 < ε1 � 6B и ε2 > -B + 1 B2 + 1 Bε1, или -6B � ε1 < 0 и ε2 > -B + 1 B2 - 1 Bε1, 6 6 или 0 < ε1 � 6B и ε2 < -B - 1 B2 + 1 Bε1, или -6B � ε1 < 0 и ε2 < -B - 1 B2 - 1 Bε1, 6 6 или 0 < ε1 � 6B и -B - 1 B2 - 1 Bε1 < ε2 < -B + 1 B2 - 1 Bε1, или -6B � ε2 < 0 и 6 6 -B - 1 B2 + 1 6 Bε1 < ε2 < -B + 1 B2 + 1 6 Bε1, то существенный спектр оператора H�2 состоит из объединения трех интервалов σess(H�2) = [2A - 12B, 2A + 12B] ∪ [A - 6B + z1,A + 6B + z1] ∪ [A - 6B + z2,A + 6B + z2], а дискретный - не более чем из четырех точек σdisc(H�2)= {2z1, 2z2, z1 + z2, z3}. Доказательство. A). Из теоремы 3.4 следует, что для ν = 3, ε1 > 0 и 0 < ε2 � -B + 1 B2 + 1 6 Bε1, или -6B � ε1 < 0 и -B - 1 B2 + 1 6 Bε1 < ε2 < -2B, или -6B � ε1 < 0 и -2B < ε2 < -B - 1 B2 + 1 6 Bε1, или -6B � ε1 < 0 и -B + 1 B2 + 1 6 Bε1 < ε2 < 0, оператор H�1 имеет только одно собственное значение z1, лежащее ниже непрерывного спектра. Однако непрерывный спектр оператора H�1 состоит из отрезка [A - 6B, A + 6B], а существенный спектр оператора H�2, следовательно, состоит из объединения отрезков [2A - 12B, 2A + 12B] и [z1 + A - 6B, z1 + A + 6B], т. е. σess(H�2)= [2A - 12B, 2A + 12B] ∪ [A - 6B + z1,A + 6B + z1], а точка 2z1 является собственным значением этого оператора H�1 ⊗ I + I ⊗ H�1, и в представлении (2.6) оператор K имеет ранг, равный единице. Таким образом, оператор H�2 имеет не более одного дополнительного собственного значения z3. Следовательно, оператор H�2 имеет не более двух собственных значений 2z1 и z3. Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично. 1/2 СТРУКТУРА СУЩЕСТВЕННОГО И ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРОВ ОПЕРАТОРА 2H� d Теперь, зная спектры операторов H�2 и H�1, можно описать существенный и дискретный спектры 1/2 оператора 2H� d . Теорема 5.1. Пусть ν = 1. Тогда: Если ε1 ) -2B и ε2 = -B + 1 B2 + 1 Bε1, или ε1 ) -2B и ε2 = -B - 1 B2 + 1 Bε1, 2 2 или ε1 � 2B и ε2 = -B + 1 B2 - 1 2 Bε1, или ε1 � 2B и ε2 = -B - 1 B2 - 1 2 Bε1, то суще- 1/2 ственный спектр оператора 2H� d состоит из объединения не более чем двух интервалов σess(2H� d 3 3 1/2)= [3A - 6B, 3A + 6B] ∪ [2A - 4B + z , 2A + 4B + z ], а дискретный спектр пуст, 1/2 т. е. σdisc(2H� d )= ∅, где z3 - это собственное значение оператора H�2. Если ε1 > 0 и -B - 1 B2 + 1 Bε1 < ε2 < -2B, или ε1 > 0 и 0 < ε2 < -B + 1 B2 + 1 Bε1, или 2 2 -2B � ε1 < 0 и -2B < ε2 < -B - 1 B2 + 1 2 Bε1, или -2B � ε1 < 0 и -B + 1 B2 + 1 2 Bε1 < 1/2 ε2 < 0, то существенный спектр оператора 2H� d состоит из объединения не более чем 1/2 четырех интервалов σess(2H� d )= [3A - 6B, 3A + 6B] ∪ [2A - 4B + z1, 2A + 4B + z1] ∪ [A - 2B + z3,A + 2B + z3] ∪ [A - 2B + 2z1,A + 2B + 2z1], а дискретный - не более чем из двух 1/2 точек σdisc(2H� d )= {3z1, z1 + z3}. Если ε1 < 0 и 0 < ε2 < -B + 1 B2 - 1 Bε1, или ε1 < 0 и -B - 1 B2 - 1 Bε1 < ε2 < -2B, 2 2 или 0 < ε1 � 2B и -2B < ε2 < -B + 1 B2 - 1 2 Bε1, или 0 < ε1 � 2B и -B + 1 B2 - 1 2 Bε1 < 1/2 ε2 < 0, то существенный спектр оператора 2H� d состоит из объединения не более чем 1/2 четырех интервалов σess(2H� d )= [3A - 6B, 3A + 6B] ∪ [2A - 4B + z2, 2A + 4B + z2] ∪ [A - 2B + z3,A + 2B + z3] ∪ [A - 2B + 2z2,A + 2B + 2z2, а дискретный - не более чем из двух 1/2 точек σdisc(2H� d )= {3z2, z2 + z3}. Если 0 < ε1 � 2B и ε2 > -B + 1 B2 + 1 Bε1, или 0 < ε1 � 2B и ε2 < -B - 1 B2 + 1 Bε1, 2 2 или 0 < ε1 � 2B и -B - 1 B2 + 1 Bε1 < ε2 < -B + 1 B2 - 1 Bε1, или 0 < ε1 � 2B 2 2 и -B - 1 B2 + 1 2 Bε1 < ε2 < -2B, или -2B � ε1 < 0 и ε2 > -B + 1 B2 - 1 2 Bε1, или -2B � ε1 < 0 и ε2 < -B - 1 B2 - 1 Bε1, или -2B � ε1 < 0 и -B - 1 B2 - 1 Bε1 < ε2 < 2 2 -B + 1 B2 - 1 2 Bε1, or -B - 1 B2 - 1 2 Bε1 < ε2 < -2B, то существенный спектр оператора 2 d 2 d H�1/2 состоит из объединения не более чем семи интервалов σess( H�1/2)= [3A - 6B, 3A + 6B]∪[2A-4B +z1, 2A+4B +z1]∪[2A-4B +z2, 2A+4B +z2]∪[A-2B +z3, A+2B +z3]∪[A-2B + 2z1, A+2B+2z1]∪[A-2B+z1 +z2, A+2B+z1 +z2]∪[A-2B+2z2, A+2B+2z2], а дискретный - 1/2 не более чем из шести точек σdisc(2H� d )= {3z1, 3z2, 2z1 + z2, z1 + 2z2, z1 + z3, z2 + z3}. 1/2 В трехмерном случае структура существенного и дискретного спектров оператора 2H� d описывается следующей теоремой. Теорема 5.2. Пусть ν = 3. Тогда: Если ε1 > 0 и 0 < ε2 � -B + 1 B2 + 1 6 Bε1, или -6B � ε1 < 0 и -B - 1 B2 + 1 6 Bε1 < ε2 < -2B, или -6B � ε1 < 0 и -2B < ε2 < -B - 1 B2 + 1 6 Bε1, или -6B � ε1 < 0 и -B + 1 B2 + 1 1/2 6 Bε1 < ε2 < 0, то существенный спектр оператора 2H� d состоит из объединения четырех интервалов σess(H�2) = [3A - 18B, 3A + 18B] ∪ [2A - 12B + z1, 2A + 12B + z1] ∪ [A - 6B + 2z1,A + 6B + 2z1] ∪ [A - 6B + z3,A + 6B + z3], а дискретный - не более 1/2 чем из двух точек σdisc(2H� d )= {3z1, z1 + z3}. Если ε1 < 0 и -B - 1 B2 - 1 Bε1 < ε2 < -2B, или ε1 < 0 и 0 < ε2 < -B + 1 B2 - 1 Bε1, 6 6 или 0 < ε1 < 6B и -2B < ε2 < -B - 1 B2 - 1 6 Bε1, или 0 < ε1 < 6B и -B + 1 B2 - 1 6 Bε1 < 1/2 ε2 < 0, то существенный спектр оператора 2H� d состоит из объединения четырех 1/2 интервалов σess(2H� d )= [3A - 18B, 3A + 18B] ∪ [2A - 12B + z2, 2A + 12B + z2] ∪ [A - 6B + 2z2,A + 6B + 2z2] ∪ [A - 6B + z3,A + 6B + z3], а дискретный - не более чем из двух точек σdisc(2H� d 2 2 3 1/2)= {3z ,z + z }. 1 1 1 1 Если 0 < ε1 � 6B и ε2 > -B + B2 + Bε1, или -6B � ε1 < 0 и ε2 > -B + B2 - Bε1, 6 6 или 0 < ε1 � 6B и ε2 < -B - 1 B2 + 1 Bε1, или -6B � ε1 < 0 и ε2 < -B - 1 B2 - 1 Bε1, 6 6 или 0 < ε1 � 6B и -B - 1 B2 - 1 Bε1 < ε2 < -B + 1 B2 - 1 Bε1, или -6B � ε2 < 0 и 6 6 -B - 1 B2 + 1 6 Bε1 < ε2 < -B + 1 B2 + 1 1/2 6 Bε1, то существенный спектр оператора 2H� d 1/2 состоит из объединения семи интервалов σess(2H� d )= [3A - 18B, 3A + 18B] ∪ [2A - 12B + z1, 2A + 12B + z1] ∪ [2A - 12B + z2, 2A + 12B + z2] ∪ [A - 6B + 2z1,A + 6B + 2z1] ∪ [A - 6B + z1 + z2,A + 6B + z1 + z2] ∪ [A - 6B + 2z2,A + 6B + 2z2] ∪ [A - 6B + z3,A + 6B + z3], а дискретный - 1/2 не более чем из шести точек σdisc(2H� d )= {3z1, 3z2, 2z1 + z2, z1 + 2z2, z1 + z3, z2 + z3}. Доказательство. Доказательство теорем 5.1-5.2 проводится аналогично доказательству тео- рем 4.1-4.2.