Ковариантные функторы и шейпы в категории компактов

Аннотация

В данной заметке рассматриваются ковариантные функторы F : Comp → Comp, действующие в категории компактов, сохраняющих шейп [2], бесконечные компакты и шейповая эквивалентность [9]. Также изучается действие ковариантных функторов, шейповые свойства компактного пространства X, состоящего из компонентов связности ОX этого компакта X, и равенство шей-пов ShX = ShY бесконечных компактов X и Y для пространства P (X) вероятностных мер и егоподпространств.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 21 О топологии на подпространстве пространства вероятностных мер 23 Основная часть 25 Список литературы 31 ВВЕДЕНИЕ Для компактов X через P (X) обозначаются пространства вероятностных мер. Известно, что для бесконечного компакта X это пространство P (X) гомеоморфно гильбертову кубу Q (см. [5]). Для натурального числа n ∈ N через Pn(X) обозначается множество всех вероятностных мер не более чем с n носителями, т. е. Pn(X) = {μ ∈ P (X) : | supp μ| � n}. Множество Pn(X) состоит из выпуклых линейными комбинациями мер Дирака вида: μ = m1δx1 + m2δx2 + ··· + mnδxn , n '\" mi = 1, i=1 где mi ;? 0, xi ∈ X, δxi - мера Дирака в точке xi. Через δ(X) обозначается множество всех мер Дирака. Напомним, что пространство Pf (X) ⊂ P (X) состоит из всех вероятностных мер вида k μ = m1δx1 + m2δx2 + ... + mkδxk c конечными носителями, для каждой из которых mi ;? k +1 при некотором i (см. [3, 6]). Для натурального числа n положим Pf,n ≡ Pf ∩ Pn. Для компакта X имеет место Pf,n(X) = μEPf (X) : | supp μ| � n; Pc ≡ Pf ∩ Pc, Pc ≡ Pf ∩ Pn ∩ Pc, Pc ≡ Pc ∩ P. f f,n n Для компакта X через Pc(X) обозначается множество всех мер μ ∈ P (X), носитель каждой из которых лежит в одном из компонентов связности компакта X (см. [5]). Напомним определение и некоторые свойства нормальности ковариантного функтора F : Comp → Comp, действующего в категории компактов. Говорят, что функтор F : Сохраняет пустое множество и точку, если F (∅) = ∅ и F ({1}) = {1} , где через {k} , k ;? 0 мы обозначаем множество неотрицательных целых чисел - {0, 1,...,k - 1} , мень- ших k. В этой терминологии {0} = ∅. Мономорфен, если для всякого (топологического) вложения f : A → X отображение F (f ) : F (A) → F (X) является вложением. Эпиморфен, если для всякого отображения f : X → Y на Y отображение F (f ) : F (X) → F (Y ) является также отображением «на». Работа поддержана грантом ОТ-Ф-4-42 РУз. Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 21 Сохраняет пересечения, если для любого семейства {Aα : α ∈ A } замкнутых подмно- жеств компакта X и тождественных вложений iα : Aα → X отображение F (i) : П {F (Aα) : α ∈ A } → X, определяемое равенством F (i) (a) = F (iα) (a) , является вложе- нием для всякого a ∈ A . Сохраняет прообразы, если для всякого отображения f : X → Y и всякого замкнутого множества A ⊂ Y отображение F (f |f-1(A)) (f -1 (A)) → F (A) является гомеоморфизмом. Сохраняет вес, если ω (F (X)) = ω (X) для бесконечного компакта X. β Непрерывен, если для всякого обратного спектра S = {Xα; πα : α ∈ A} из компактов отобра- жение f : F (lim S) → lim F (S) является гомеоморфизмом, который есть предел отображений F (πα ), где πα : lim S → Xα сквозные проекции спектра S. В дальнейшем мы предполагаем, что все рассматриваемые функторы мономорфны и сохраня- ют пересечения. Мы предполагаем также, что все функторы сохраняют непустые пространства. Это ограничение несущественно, поскольку этим мы исключаем из рассмотрения только пустой функтор, т. е. функтор F, который переводит всякое пространство в пустое множество. В самом деле, пусть F (X) = ∅ для какого нибудь непустого компакта X. Тогда F (∅) = F (1) = ∅ в силу мономорфности F. Пусть теперь Y - произвольный непустой компакт. Рассмот- рим постоянное отображение f : Y → 1. Тогда F (f ) (F (Y )) ⊂ F (1) = ∅. Следовательно, про- странство F (Y ) пусто, поскольку оно отображается в пустое множество. Итак, мы доказали, что существует единственный мономорфный функтор, сохраняющий непустые множества. Пусть F : Comp → Comp - функтор. Через C (X, Y ) обозначается пространство непрерывных отображений из X в Y в компактно-открытой топологии. В частности, C ({k} , Y ) естественно гомеоморфно k-ой степени Y k пространства Y. Отображению ξ : {k}→ Y ставится в соответствие точка (ξ (0) ,..., ξ (k - 1)) ∈ Y k. Для функтора F, бикомпакта X натурального числа k определим отображение πF,X,k : C ({k} ,X) × F ({k}) → F (X) равенством где πF,X,k (ξ, a) = F (ξ) (a) , ξ ∈ C ({k} ,X) , a ∈ F ({k}) . Когда ясно, о каком функторе и каком компакте Y идет речь, мы будем отображение πF,X,k обозначать через πX,k или πk. По теореме Е. В. Щепина [6], отображение F : C (Z, Y ) → F (F (Z) ,F (Y )) непрерывно для всякого непрерывного функтора F и компактов Z и Y. Поэтому имеет место Предложение 1.1 (см. [6]). Для непрерывного функтора F, компакта X и натурального числа k отображение πF,X,k непрерывно. Определим подфунктор Fk функтора F следующим образом: для компакта X пространство Fk (X) есть образ отображения, т. е. πF,X,k (Xk × F (k)) = Fk (X), а для отображения f : X → Y отображение Fk (f ) есть сужение отображения F (f ) на Fk (X) . Из легко проверяемой коммута- тивности диаграммы C ({k}) × F ({k}) × f id → C ({k} ,Y ) × F ({k}) πX,k ↓ ↓ πX,k F (f ) F (X) -→ F (Y ), (1.1) где f (ξ) = f ◦ ξ, вытекает вложение F (f ) (Fk (X)) ⊂ Fk (Y ) и, следовательно, функториальность конструкции Fk. Функтор F называется функтором степени n, если Fn (X) = F (X) для всякого компакта X, но Fn-1 (X) ⊗= F (X) для некоторого X. Для функтора F определен носитель элемента a ∈ F (X) , т. е. пересечение всех замкнутых множеств A ⊂ X таких, что a ∈ F (A) . Это множество обозначается через suppF (X) (a) . Если ясно, о каком функторе и пространстве идет речь, то носитель a обозначается через supp (a) . Из определений функтора и носителя вытекает, что f (supp (a)) ⊃ supp (F (f ) (a)) (1.2) для непрерывного отображения f : X → Y и a ∈ F (X) . Ясно также, что a ∈ F (supp (a)) . (1.3) Если функтор F сохраняет прообразы, то F сохраняет носители, т. е. f (supp (a)) = supp (F (f ) (a)) . (1.4) Заметим, что в силу предложения 1.1 (см. [6]) для нормального функтора F : Comp → Comp имеется всюду естественное вложение Id ⊂ F. Поэтому всякий компакт X будем считать подпро- странством пространства F (X) . О ТОПОЛОГИИ НА ПОДПРОСТРАНСТВЕ ПРОСТРАНСТВА ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Пусть X - некоторое топологическое пространство. Через C (X) обозначается кольцо всех непрерывных вещественных функций на пространстве X с компактно-открытой топологией. Диа- гональное произведение 6(X) = 6gα, где gα ∈ C(X), всех отображений на C(X) определяет вложение X в RC(X). Если X - компакт, то замкнутая оболочка его образа в RC(X) является выпуклым компак- том, обозначаемым P (X) (см. [6]). С другой стороны, функтор P вероятностных мер является ковариантным функтором, действующим из категории компактов и непрерывных отображений в себя. P (X) - это выпуклое подпространство линейного пространства M (X) , сопряженного с пространством C (X) непрерывных функции на X и взятого в слабой топологии, состоящее из всех неотрицательных функционалов μ (т. е. μ (ϕ) ;? 0 для всякой неотрицательной ϕ ∈ C (X)) единичной нормы [5, 6]. Для непрерывного отображения f : X → Y отображение P (f ) : P (X) → P (Y ) определяется равенством (P (f ) (μ)) ϕ = μ (ϕ ◦ f ) . Пространство P (X) естественно вложено в RC(X). Поэтому базу окрестностей меры μ ∈ P (X) образуют всевозможные множества вида O (μ1, ϕ1, ϕ2,..., ϕk , ε) = μ× ∈ P (X) : μ (ϕi) - μ× (ϕi) � ε, i = 1, k , где ε > 0, а ϕ1, ϕ2,..., ϕk ∈ C (X) - произвольные функции. Пусть F - подфунктор функтора P, имеющий конечные носители. Тогда базуокрестностей меры μ0 = m0 · δ (x1)+ ... + m0 · δ (xS ) ∈ f (X) 1 образуют множества вида: S s+1 O<μ0, U1,..., US> = {μ ∈ F (X) : μ = '\" μi}, i=1 где μi ∈ M + (X) - множество всех неотрицательных функционалов, lμi+1l < ε, supp μi ⊂ Ui, i lμil- m0 < ε для i = 1,..., S, где U1,..., US - окрестности точек x1,..., xS с дизъюнктными замыканиями. В самом деле, сначала покажем, что множество 0<μ0, U1,..., US, ε> содержит окрестность меры μ0 в слабой топологии. Для каждого i = 1,...,S возьмем функцию ϕi : X → I, удовлетворяющую условиям: ϕi([Ui]) = 1, ϕi( I [Uj ]) = 0. j∗=1 Кроме того, возьмем функцию ϕS+1 : X → I так, чтобы ϕS+1 (X\U1 ∪ ... ∪ US ) = 1 и ϕS+1 ({x1,..., xS }) = 0. Теперь проверим включение O (μ, ϕ1,..., ϕS , ϕS+1, ε/2) ⊂ O < (μ0, U1,..., Us, ε) . (2.1) ε Меру μ ∈ O (μ0, ϕ1,..., ϕS , ϕS+1, ε/2) представляем в виде μ = μ1 +.. .+μS +μS+1, где supp μi ⊂ Ui для i = 1,...,S и supp μi ⊂ X\ (U1 ∪ ... ∪ US ) . Тогда ε 2 > |μ0 (ϕS+1) - μ (ϕS+1)| = |μ (ϕS+1)|. Но μS+1 � μ, откуда μS+1 (ϕS+1) < . В то же время по определению функции ϕS+1 имеем 2 ε μS+1 (ϕS+1) = μS+1 (1x) = lμS+1l. Итак, lμS+1l < 2 < ε. Для проверки включения (2.1) осталось показать, что lμil- m0 < ε. Имеем i ε i 2 > |μ0 (ϕi) - μ (ϕi)| ;? |μ0 (ϕi)|- |μ (ϕi)| = m0 - |(μ1 + ... + μS + μS+1) (ϕi)| = (по определению функции ϕi) = m0 - (μi + μS+1) (ϕi) = m0 - μi (ϕi) - μS+1 (ϕi) = m0 - lμil- μS+1 (ϕi) . i i i Следовательно, ε ε ε ε ε m0 i - lμil < 2 + μS+1 (ϕi) � 2 + μS+1 (1x) = 2 + lμS+1l < 2 + 2 = ε. С другой стороны, ε > μi (ϕi)+ μS+1 (ϕi) - m0 = lμil- m0 + μS+1 (ϕi) , 2 i i ε откуда lμil- m0 < . Неравенство lμil- m0 < ε, а в месте с ним и включение (2.1) доказаны. i 2 i Теперь покажем, что во всякой базисной окрестности O (μ0, ϕ1, ϕ2,..., ϕk , ε) содержится окрест- ность вида O<μ0, U1,..., US, δ>. Для этого достаточно рассмотреть окрестность вида O (μ0, ϕ, ε) , посколькусемейство окрестностей меры μ0 вида O<μ0, U1,..., US, δ> направлено вниз по включе- нию (пересечение конечного числа окрестностей такого вида содержит окрестность такого вида). Это вытекает из справедливости включения O<μ0,U 1 ∩ U 2 ∩ ... ∩ U 1 ∩ U 2, 1 min {δ1, δ2}> ⊂ 1 1 S S 2 ⊂ O < U0,U 1,...,U 1, δ1 > ∩O < μ0,U 2,...,U 2, δ2 > (2.2) 1 S 1 S Основная часть проверки включения (2.2) состоит в следующем: s μ(Uj ) = μ(U 1 ∩ U 2)+ μ(Uj \U 1 ∩ U 2) � μ(U 1 ∩ U 2)+ μ(X\ I (U 1 ∩ U 2)) < i i i i i i i i e e e=1 < μ(U 1 ∩ U 2)+ 1 min {δ ,δ } � μ(U 1 ∩ U 2)+ 1 δ . i i 2 1 2 i i 2 j Поэтому для меры μ, принадлежащей левой части доказанного включения (2.2), имеем 1 μ0(Uj ) - μ(Uj ) � μ0(Uj ) - μ(U 1 ∩ U 2) = m0 - μ(U 1 ∩ U 2) � min {δ1, δ2} < δj, i i а с другой стороны, i i i i 1 i i 2 1 1 μ(Uj ) - μ0(Uj ) < μ(U 1 ∩ U 2)+ δj - m0 < min {δ1, δ2} + δj � δj. i i i i 2 i 2 2 Осталось в окрестности O (μ0, ϕ, ε) найти окрестность вида O<μ0, U1,..., US, δ>. Поскольку O (μ0, λϕ, λε) = O (μ0, ϕ, ε) для λ > 0, можно считать, что lϕl � 1. Кроме того, можно считать, что ϕ ;? 0. Для δ > 0 возьмем непересекающиеся окрестности Ui точек xi так, чтобы колебания функции ϕ на Ui были меньше δ. Тогда r 1 |μ0(ϕ) - μ(ϕ)| � |m0ϕ(x1) - r S ϕdμ| + ... + |m0 ϕ(xS ) - r ϕdμ| + | ϕdμ|. Далее r i |m0ϕ(xi) - ui u1 r i ϕdμ| = |m0ϕ(xi) - ui r ϕ(xi)dμ + ui uS ϕ(xi)dμ - X\U1∪...∪Us r ϕdμ| � ui r i � m0ϕ(xi) - r ϕ(xi)dμ + | r i [ϕ(xi) - ϕ]dμ| � ϕ(xi) · |m0 - lμil| + |ϕ(xi) - ϕ|dμ � ui ui ui � ϕ (xi) δ + δlμil � 2 · δ. Поэтому для δ < ε (2S + 1) выполняется включение O<μ0, U1,..., US, δ> ⊂ O (μ0, ϕ, ε) . Известно, что в бесконечном компакте X пространство P (X) гомеоморфно гильбертову кубу Q ∞ (см. [3, 5]), где Q = i=1 [-1, 1]i, [-1, 1]i - отрезок в R - вещественная прямая. Для натурального числа n ∈ N через Pn(X) обозначается множество всех вероятностных мер не более чем с n носителями, т. е. Pn(X) = {μ ∈ P (X) : |supp μ| � n}. Компакт Pn(X) является выпуклыми n линейными комбинациями мер Дирака вида: μ = m1δx1 + m2δx2 + ... + mnδxn , ), mi = 1, mi ;? 0, i=1 xi ∈ X, δxi - мера Дирака в точке xi. Через δ(X) обозначается множество всех мер Дирака, и ∞ Pω (X) = n=1 Pn (X). Напомним, что пространство Pf (X) ⊂ P (X) состоит из всех вероятностных мер вида μ = m1δx1 + m2δx2 + ... + mkδxk c конечными носителями, для каждой из которых k mi ;? k +1 при некотором i (см. [3, 5]). Для натурального числа n положим Pf,n ≡ Pf ∩ Pn. f Для компакта X имеет место Pf,n(X) = {μ ∈ Pf (X) : |supp μ| � n}; Pc f,n ≡ Pf ∩ Pc, Pc ≡ Pf ∩ Pn n ∩ Pc, Pc = Pc ∩ P. Для компакта X через Pc(X) обозначается множество всех мер μ ∈ P (X), носитель каждой из которых лежит в одном из компонентов связности компакта X (см. [5]). α Определение. Система X = {Xα,Pβ, L} состоящая из пространств Xα ∈ AN R, являет- Pβ ся обратной системой [9], если для каждых индексов α < β, α, β ∈ L, имеется проекция α : Xβ → Xα, где L - индексное множество. Система X называется подвижной [9], если для каждого α ∈ L имеется β ∈ L, β ;? α, и каждого γ ∈ L, γ ;? α, имеется отображение r : Xβ → Xγ. Имеет место следующее равенство: Pγ β α ◦ r • Pα . Компакт X называется подвижным компактом, если X является обратным пределом обратной подвижной системы. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ Теорема 3.1. Если функтор F : Comp → Comp - непрерывный, сохраняющий пустые мно- жества, точку, AN R-компакты и прообразы отображений, тогда F сохраняет подвижные компакты. α ,L Доказательство. Пусть X = fXα,Pβ обратная система из Xα α ∈ AN R, где Pβ : Xβ → Xα, α < β, α, β ∈ L - направление индексного множества. Семейство X называется подвижным, если для каждого α ∈ L имеется малое β ∈ L, β ;? α, γ ∈ L, γ ;? α, и существует отображение r : Xβ → Xγ такое, что имеет место следующее равенство: Pγ β α ◦ r • Pα . (3.1) β Рассмотрим обратную систему F (X) = fF (Xα) : F (πα\ , L . В силунепрерывности функтора β система F (X) является обратным пределом системы fF (Xα) : F (πα\ , L . Из того, что функтор , F π β F сохраняет AN R пространства, система fF (Xα) ( α\ : L является AN R-системой. Это означает, что F (X) , и следовательно, F (X) подвижно. Теорема доказана. Лемма 3.1. Если функтор F : Comp → Comp - непрерывный, сохраняющий пустое множе- ство и точку мономорфный, тогда F сохраняет гомотопные отображения. Доказательство. Пусть X и Y - топологические пространства и H : X × I → Y - непрерыв- ная гомотопия, соединяющая отображения h0 = H (x, 0) и h1 = H (x, 1) . Рассмотрим вложение it : X × {t}→ X × I, где I = [0, 1] - отрезок. Это вложение по предложению 1.1 (см. [6]) определя- ет вложение F (it) : F (X × {t}) → F (X × I) . Но пространство (компакт) F (X × {t}) естественно гомеоморфно пространству F (X × {t}) . Поэтому определено естественное (отображение) вложе- ние F (X × I) → F (X × I) . Тогда отображение F (H) |F (X×I) является непрерывной гомотопией, соединяющей отображения F (h0) и F (h1) , т. е. F (H) есть гомотопия между компактами F (X) и F (Y ) . Лемма 3.1 доказана. Пусть α ∈ L. Если семейство X подвижно, то имеется β ∈ L, β ;? α и для любого γ ;? α существует отображение r : Xβ → Xγ удовлетворяющее равенству (3.1). Рассмотрим отображе- ние F (r) : F (Xβ ) → F (Xγ ) , которое в силу ковариантности функтора F и в силу леммы 3.1 удовлетворяет равенству F (πγ ) ◦ F (r) • F (πβ \ . α α а) Если непрерывная гомотетия ht стягивает пространство X в точку x, то непрерывная гомото- пия F (ht) стягивает пространство F (X) в множество F ({x}) , которое стягиваемо, так как функтор F сохраняет точку. б) Известно, что произвольный AN R-компакт имеет гомотопический тип конечного полиэдра. В силу непрерывности функтора F из гомотопической эквивалентности пространств X и Y следует, что пространства F (X) и F (Y ) гомотопически эквивалентны. Абсолютные ретракты - в точности стягиваемые абсолютные окрестностные ретракты. Поэтому необходимо проверить, что функтор F сохраняет стягиваемость топологических пространств. Говорят, что хаусдорфово компактное пространство X ассоциировано с AN R-системой X (см. [9]), если X является обратным пределом этой системы, т. е. X = Inv lim X. В работе [9] показано, что каждое компактное метрическое пространство X ассоциировано с некоторой AN R-последовательностью X. Теорема 3.2. Пусть функтор F : Comp → Comp - непрерывный, сохраняющий AN R- компакты, точку и пустое множество. Тогда: а) если Sh (X) � Sh (Y ) , то ShF (X) � ShF (Y ); б) если Sh (X) = Sh (Y ) , то ShF (X) = ShF (Y ) . α Доказательство. Пусть X = fXα, πβ, Ω и Y = Yα α , μδ , £ - AN R-системы, состоящие из конечномерных AN R-компактов Xα и Yγ, ассоциирующие соответственно компакты X и Y. Допу- стим, Sh (X) � Sh (Y ) . Тогда имеются такие отображения f : X → Y и g : Y → X, что gf ≈ 1×x (см. [5]). Пусть f = {fγ, £} и g = {gα, Ω} . Для каждого a ∈ Ω имеется индекс a× ∈ Ω такой, что a× > f g (a) и выполнено условие fg(a) • πa a : Xa! → Xa. (3.2) , F π , a Ω Рассмотрим системы F (X) = fF (Xa) ( β \ и F (Y ) = F (Yγ a ) , F (μδ ) , £ . Заметим, что в силу эпиморфности функтора F имеет место равенство F (πβ \ (F (X )) = F (X ) . В силу α p α непрерывности функтора F и конечности степени функтора F (X) и F (Y ) являются конечномер- ными AN R-системами, ассоциирующими соответственно компакты F (X) и F (Y ) . Для каждого γ ∈ £ определяем отображение fγ (F ) = F (fγ ) : F (Xf (α)) → F (Yγ ) , полагая Fγ (γγ ) = F (ff (ν)) . Также определяем отображение F (gα) : F (Yg(α)) → F (Xα) , α ∈ Ω. В силу равенства (3.2) и леммы 3.1 имеет место следующее равенство: α · F πfg(α) π F ( α! \ fg(α) • π ( α! \ α : F (Xα! ) → F (Xα) . (3.3) В силу леммы 3.1 и непрерывности функтора имеем: система отображений F (f ) = {F (fγ ) , £} , F (g) = {F (gα) : Ω} отображает соответственно систему F (X) в систему F (Y ) и F (Y ) в F (X). В силу равенства (3.1) имеем F (g) ◦ F (f ) • 1X. Отсюда ShF (X) � ShF (Y ) . Так же доказывается, что из равенства Sh (X) = Sh (Y ) вытекает равенство ShF (X) = ShF (Y ) . Теорема 3.2 доказана. Напомним [2], что компактное хаусдорфово пространство X называется абсолютным шей- повым ретрактом (сокращенно, ASR-компактом), если для произвольного хаусдорфова ком- пакта Y, X ⊂ Y, компакт X является шейповым ретрактом для Y, т. е. существует шейповое отображение r : Y → X такое, что r ◦ i • 1X. Компактное хаусдорфово пространство X называется абсолютным окрестностным шейповым ретрактом (сокращенно, AN SR-компактом), если для каждого компактного хаусдорфова Z, X ⊂ Z, существует замкнутая окрестность Y компакта X в Z такая, что X является шейповым ретрактом для Y. Следствие 3.1. Пусть функтор F удовлетворяет условию теоремы 3.2. Тогда имеет место: а) если X есть ASR, тогда F (X) тоже ASR; б) если X есть AN SR, тогда F (X) тоже AN SR; в) если X подвижно, тогда F (X) тоже подвижно. Для компакта X определяется фундаментальная размерность FdX (см. [2]) как мини- мальная из размерностей dim X всех таких компактов X×, что ShX× ;? ShX, т. е. FdX = min {dim X× : ShX× ;? ShX} . Шейповой размерностью компакта X называется число SdX = min {dim Y : ShX � ShY } , где под dim Y мы понимаем размерность, определенную при помощи открытых локально-конечных нормальных покрытий пространства X. Теорема 3.3. Пусть F : Comp → Comp - непрерывный, сохраняющий AN R-компакты, точ- ку и пустое множество функтор степени � n. Тогда имеет место: а) если Fd (X) � Fd (Y ) , то Fd (F (X)) � Fd (F (Y )) ; б) если Sd (X) � Sd (Y ) , то Sd (F (X)) � Sd (F (Y )) ; n в) для компакта X выполнено Sd (F (X)) � nSdX + dim F (Г) . α Доказательство. Пусть X = lim fXα, Pβ, L , где Xα ∈ AN R и dim Xα � k для каждого α ∈ L. , F α В силу непрерывности функтора F : Comp → Comp имеем F (X) = lim f F (Xα) (Pβ \ ,L . ← В силу условия теоремы (см. [3, 5]). n dim Xα � k, тогда dim F (Xα) � nk + dim F (Г) = nk + n = n (k + 1) n Следовательно, dim F (X) � n dim X + dim F (Г) = nk + n = n (k + 1) . Пункты а) и б) теоремы доказываются аналогично. Теорема 3.3 доказана. Пространства X и Y называют гомотопически эквивалентными, если существуют такие два отображения f : X → Y и g : Y → X, что gf гомотопно idX и gf гомотопно idY , т. е. gf • idX и gf • idY . В данном случае пишем X • Y и говорим, что X и Y имеют один тот же гомотопиче- ский тип. Если X и Y - компакты, то в силу леммы 3.1, c использованием необходимых свойств функторов, имеет место следующая теорема. Теорема 3.4. Эпиморфный, сохраняющий точку, пустое множество и AN R-компакты непрерывный функтор F : Comp → Comp сохраняет: а) категорию AN R-системы компактов; б) гомотопически эквивалентные AN R-системы компактов; в) ассоциированные с AN R-системами хаусдорфовы компакты; г) гомотопические типы AN R-компактов. Теорема 3.5. Для любого компакта X и ковариантного функтора F : Comp → Comp - непрерывного, сохраняющего пересечение, пустое множество и точку, имеет место: Sh (X) � ShF (X) . Следствие 3.2. В условиях теоремы 3.5, если компакт X есть деформационный ретракт пространства F (X) , то Sh (X) = ShF (X) . В работах [5, 11] приведено равенство шейпов компактов X и Y, лежащих в гильбертовом кубе Q, дополнения которых удовлетворяют некоторым эквивалентностям. С помощью этих ре- зультатов получается следующая теорема. Теорема 3.6. Пусть F : Comp → Comp - нормальный функтор такой, что для компактов X и Y имеет место: F (X) = Q, F (Y ) = Q, η (X) и η (Y ) суть Z-множества в F (X) и F (Y ) соответственно. Тогда ShX = ShY тогда и только тогда, когда подпространства F (X) \X и F (Y ) \Y uch (UANR) эквивалентны. Для пространства X через ОX обозначим разложение (разбиение) пространства X, состоящее из всех компонентов связности [7]. Если f : X → Y - непрерывное отображение, то непрерывное отображение Оf : ОX → ОY однозначно определяется в силу условия πY ◦ f = Оf · πX, где πY : Y → ОY и πX : X → ОX - факторные отображения, т. е. имеет место следующая диаграмма: f X → Y πX ↓ Оf ↓ πY ОX → ОY (3.4) Лемма 3.2. Если X - компактное AN R-пространство, тогда отображение Pc(πX ) явля- ется гомотопической эквивалентностью. Доказательство. Пусть X есть AN R-компакт, тогда пространство Pc(X) является конечным множеством или Pc(X) является конечным объединением гильбертовых кубов и точек. Про- странство Pc(ОX) - конечное число точек, так как пространство X есть AN R-компакт. Для любого μ ∈ Pc(ОX) преобразование (Pc (f ))-1(μ) есть гильбертов куб или одна точка, т. е. Sh((Pc (f ))-1(μ)) тривиально. Тогда по теореме 3.7 (см. [7]) отображение Pc (f ) есть шейповая эквивалентность. Следовательно, имеет место гомотопическая эквивалентность. Лемма 3.2 дока- зана. Теорема 3.7. Пусть X - компакт и πX : X → ОX - факторное отображение. Тогда отоб- ражение Pc(πX ) порождает шейповую эквивалентность, т. е. Sh (Pc (X)) = Sh(ОX). Доказательство. Пусть X компактно, ОX также компакт, и по теореме В. И. Пономарева [4] dim ОX = 0. Отсюда dim Pc (X) = 0 и Pc (ОX) = 0. По теореме 3.2 (см. [7]) отображение Pc(πX ) является шейповой эквивалентностью, это означает, что Sh (Pc (X)) = Sh Pc (ОX) и |ОPc (ОX)| = |ОX| . Теорема доказана. Определение (см. [5]). Нормальный подфунктор F функтора Pn называется локально выпук- лым, если множество F (n˜) локально выпукло. G n { Скажем, что функтор F1 является подфунктором (соответственно, надфунктором) функтора F2, если существует такое естественное преобразование h : F1 → F2, что для всякого объекта X отображение h (X) : F1(X) → F2(X) является мономорфизмом (эпиморфизмом). Через exp обозна- чается известный функтор гиперпространств замкнутых подмножеств. Так, например, тождествен- ный функтор Id является подфунктором функтора expn, где expnX = {F ∈ expX : |F | � n}, а функтор n-й степени Pn является надфунктором expn и SPn. Нормальный подфунктор F функто- ра Pn однозначно определяется своим значением F (n˜) на n˜, где через {Г} обозначается n-точечное множество 0, 1,...,n - 1}. Заметим, что Pn(n) - это (n - 1)-мерный симплекс. Всякое подмноже- ство (n - 1)-мерного симплекса σn-1 определяет нормальный подфунктор функтора Pn, если оно инвариантно относительно симплициальных отображений в себя. n Sn Примером не нормального подфунктора функтора Pn является функтор Pc вероятностных мер, носители которых лежат в одном компоненте связности пространства. Одним из примеров локаль- но выпуклых подфункторов Pn является функтор SPn ≡ SPn , где Sn - группа гомеоморфизмов (группа перестановок) n-элементного множества. Следствие 3.3. Если для компактов X и Y имеет место равенство |ОX| = |ОY | = ℵ0, то Sh (Pc (X)) = Sh (Pc (Y )) и Sh P (X) = Sh P (Y ), где |Z| - мощность множества Z. Доказательство. Пусть множества |ОX| и |ОY | счетны. В этом случае по результату А. В. Ар- хангельского [1] пространства |ОX| и |ОY | компактны и метризуемы. Заметим, что |ОX| и |ОY | имеют всюду плотное множество изолированных точек. Тогда компакты P (X) и P (Y ) гомео- морфны гильбертову кубу Q. С другой стороны, Pc [X] = ОX и Pc [ОY ] = ОY. Следовательно, Sh Pc [ОX] = Sh Pc [ОY ] . Следствие 3.3 доказано. Через MО обозначим класс таких всех компактов X, что ОX метризуемо. Из следствия 3.3 вы- текает, что если X, Y ∈ MО, то ОX и ОY имеют счетное всюдуплотное множество изолированных точек [12]. Следствие 3.4. Если X, Y ∈ MО, то Sh (Pc (X)) ;? Sh (Pc (Y )) или Sh(Pc (X)) � Sh (Pc (Y )). Следовательно, если ОX и ОY бесконечны, тогда Sh (Pc (X)) = Sh (Pc (Y )) , т. е. Sh (Pc (X)) ;? Sh (Pc (Y )) и Sh (Pc (X)) � Sh (Pc (Y )) . Доказательство. Пусть X и Y суть элементы семейства MО. Тогда ОX и ОY - нульмерные компакты. В частном случае, если ОX и ОY - конечные множества, то из одной теоремы [2] получаем искомую. Если |ОX| ;? ℵ0, тогда ОX содержит канторов дисконтиниум. В этом случае ОY можно вложить в ОX, тогда компакт ОY является ретрактом для ОX (см. [10]). Тогда Sh(ОX) ;? Sh(ОY) и Sh Pc [ОX] ;? Sh Pc [ОY ] . Следовательно, по теореме 3.7 имеем Sh Pc [ОX] ;? Sh Pc [ОY ] . Если ОX � ℵ0 и ОY � ℵ0, тогда компакты ОX и ОY гомеоморфны порядковому компакту Мазуркевича-Серпинского [10]. Последнее, пусть ОX и ОY - бесконечные множества, тогда Sh (ОX) = Sh(ОY) тогда и только тогда, когда ОX и ОY гомеоморфны [8]. Если |ОX| > |ОY | или |ОX| < |ОY | , тогда ОY или ОX является ретрактом для ОX и ОY соответственно. Отсюда по теореме 3.1 имеем Sh (Pc (X)) ;? Sh (Pc (Y )) . Следствие 3.4 доказано. Лемма 3.3. Для любого компакта X имеет место равенство |ОPf (X)| = |ОX| . Доказательство. Пусть X - произвольный компакт, ОX - его множество компонентов связности т. е. ОX = {x! ∈ X : π-1(x! ) - связная компонента точки x! }. Очевидно, что ОX компактно и i X i i ОX ⊂ X. Отсюда Sh (О X) � Sh (X). С другой стороны, из коммутативности диаграммы πX : X → ОX πX f ↑ ↑ δX Pf (πX ) : Pf (X) → δ (ОX) (3.5) |ОSh Pf (X)| = |ОX| . Из (3.5) равенство имеет место, т. е. |ОPf (X)| = |ОX| . Лемма 3.3 доказана. Заметим, что для любых x ∈ X и y ∈ X между множествами (r-1)(x) и (r-1)(y) имеется f f f взаимно однозначное соответствие, т. е. произвольной точке μx ∈ (P -1)(X) ставим в соответствие f 0 μy ∈ (Px)-1, где μx = m0δx + m1δx1 + ··· + mkδxk , μy = m0δy0 + ··· + mkδxk . В случае бесконечных компактов X и Y пространства P (X) и P (Y ) гомеоморфны гильбер- тову кубу Q. Если A и B, лежащие в компактах P (X) и P (Y ) , суть Z-множества, то в силу теоремы Чепмэна [2] ShA = ShB тогда и только тогда, когда P (X)\A гомеоморфно P (Y )\B. В работах [3, 5] было показано, что подпространства F (X) и F (Y ) суть Z-множества в компактах P (X) и P (Y ) , где F = Pf (X) , Pf,n (X) , PC (X), PC (X). Еще было отмечено, что эти проf,n f странства X являются сильными деформационными ретрактами для F (X) . Значит, имеет место следующий результат. Теорема 3.8. Для бесконечных компактов X и Y следующие условия эквивалентны: а) Sh X = Sh Y ; б) P (X)\Pf (X) • P (Y )\Pf (Y ); в) P (X)\δ(X) • P (Y )\δ(Y ); f,n г) P (X)\F (X) • P (Y )\F (Y ), где F = Pc f , Pc, Pf,n. Теорема 3.9. Пусть X и Y есть элементы MО, т. е. X ∈ MО и Y ∈ MО. Тогда следующие условия эквивалентны: а) Sh (ОX) = Sh(ОY ); б) P (X) \Pc (X) • P (Y ) \Pc (Y ) . Теорема 3.10. Пусть X и Y суть элементы множества MО. Тогда отношение Sh(ОX) = Sh(ОY ) тогда и только тогда, когда Sh X = Sh(ОX). Известно, что из Sh X � Sh Y вытекает неравенство Sh(ОX) � Sh(ОY ). В частном случае равенство Sh X = Sh Y дает нам равенство Sh(ОX) = Sh(ОY ). π-1 Пусть теперь Sh(ОX) = Sh(ОY ). Из нульмерности и метризуемости компактов ОX и ОY по теореме Мардешича-Сегала [8] ОX и ОY гомеоморфны. Пусть для любого y ∈ ОX множество y (y) имеет тривиальный шейп. Тогда по теореме 3.7 (см. [7]) имеем Sh Y = Sh(ОX). В силу нульмерности этих пространств и из равенств Sh Y = Sh (ОX) вытекает, что Y • ОX • ОY. Заметим, что в этом случае Sh X = Sh Y и X • Y, т. е. Sh X = Sh(ОX) эквивалентно равенству Sh X = Sh Y. Следствие 3.5. а) Пространство Pc(X) есть ASR тогда и только тогда, когда X связно; б) Pc(X) есть AN SR тогда и только тогда, когда X имеет конечное число компонент связности. Теорема 3.11. Для любых бесконечных нульмерных компактов X и Y верно: а) если Sh X = Sh Y, тогда Pn(X) • Pn(Y ); б) если Sh X = Sh Y, тогда P (X) \Pn(X) • P (Y ) \Pn(Y ); в) Sh Pn(X) = Sh Pn(Y ) тогда и только тогда, когда P (X) \Pn(X) • P (Y ) \Pn(Y ); г) Sh F (X) = Sh F (Y ) тогда и только тогда, когда P (X) \F (X) • P (Y ) \F (Y ), где F - локально выпуклые подфункторы функтора Pn; д) Sh X = Sh Y тогда и только тогда, когда P (X) \δ(X) • P (Y )\δ(Y ). Теорема 3.12. Для любых бесконечных нульмерных компактов X и Y следующие условия эквивалентны: а) Sh X = Sh Y ; f,n б) Sh F (X) = Sh F (Y ), где F = Pf,n, Pc f , Pf ,Pc; в) X • Y ; г) P (X) \F (X) • P (Y ) \F (Y ). Теорема 3.13. Для любых бесконечных компактов X и Y имеет место: а) если Sh X = Sh Y, тогда P (X) \Pn(X) • P (Y ) \Pn(Y ) для любого n ∈ N ; б) если Sh X = Sh Y, тогда P (X) \F (X) • P (Y ) \F (Y ), где F - локально выпуклые под- функторы функтора Pn. Теорема 3.14. Для любых бесконечных компактов X ∈ MО и Y ∈ MО имеет место: а) Sh X = Sh Y тогда и только тогда, когда Sh(ОX) = Sh(ОY ); б) Sh X = Sh Y тогда и только тогда, когда ShPn(ОX) = ShPn(ОY ). В работе [11] приведено равенство шейпов компактов X и Y, лежащих в гильбертовом ку- бе Q, дополнения которых удовлетворяют некоторым эквивалентностям. С помощью приведенных фактов в конкретных случаях получается следующий результат. Теорема 3.15. Для любых бесконечных компактов X и Y имеет место: ShPn(X) = ShPn(Y ) тогда и только тогда, когда пространства P (X) \Pn (X) и P (Y ) \Pn(Y ) uch(UANR) эквива- лентны. Следствие 3.6. Для бесконечных компактов X и Y пространства Pn (X) и Pn(Y ) hse(Z) эквивалентны тогда и только тогда, когда P (X) \Pn (X) и P (Y ) \Pn(Y ) cps (Z∗) - эквива- лентны.