Интерпретация геометрии на многообразиях как геометрии в пространстве с проективными метриками

Аннотация

В этой статье мы приводим основные понятия геометрии трехмерных пространств в векторном изложении в аффинно-векторном пространстве An.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ: ГЕОМЕТРИЯ НА ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ В работе [4] Уильям Пол Терстон - американский математик, лауреат Филдсовской премии 1982 года, приводит классификацию геометрий на трехмерных многообразиях. Говорят, что многообразие Mn обладает геометрической структурой, если на нем существует полная локально-однородная метрика. Это означает, что универсальное накрывающее простран- ство M- многообразия M обладает полной однородной метрикой, такой что группа изометрий многообразия M- действует на нем транзитивно. Отсюда автоматически вытекает компактность стабилизатора точки в M-. Таким образом, получим геометрию (M-, G), где G - группа изометрий многообразия M-. Основной результат Tерcтона изложен в следующей теореме. Теорема (Тeрстон). Всякая максимальная односвязная трехмерная геометрия, допускаю- щая компактную факторгеометрию, эквивалентна геометрии (M-, Isom M-), где M- - одно из многообразий E3, H3, S3, S2 × R, H2 × R, SL2R, Nil или Sol. Указанное в этой теореме E3 - классическое евклидово пространство, H3 - трехмерное гипер- болическое пространство, т. е. пространство Лобачевского, а S3 - трехмерное эллиптическое про- странство. К тому же, по Кэли-Клейну существует 3n n-мерных пространств с проективными метриками, то есть пространств, метрики которых инвариантны при проективном преобразовании. Очевидно, что при n =3 их 27. При этом, упомянутые ранее пространства S2 × R, H2 × R, SL2R, Nil или Sol не имеют своих явных аналогов среди трехмерных пространств с проективными метриками. Ранее были предприняты попытки описать подобные пространства как подпространства евкли- дового пространства высокой размерности, см. [2]. В данной статье исследуется решение задачи определения эквивалентных пространств при по- мощи проективных метрик. Определим некоторые необходимые понятия о геометрии трехмерных пространств с проектив- ными метриками. Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 1 ТРЕХМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С ПРОЕКТИВНЫМИ МЕТРИКАМИ Рассмотрим n-мерное аффинное пространство An. Пусть O(0, 0,..., 0) - начало координат и l1(1, 0,..., 0), l2(0, 1, 0,..., 0), ... ln(0, 0,..., 1) - базис пространства An, где {x1, x2,,..., xn} - аф- финные координаты вектора X. Разобьем координаты xi,i = 1, 2,...,n вектора X на следующие группы: xa1 (m0 =1 � a1 � m1), xa2 (m1 � a2 � m2), xa3 (m2 � a3 � m3 = n). n Определение 2.1. Пространством l1l2l3 Rm1m2 будем называть аффинное пространство An, в котором скалярное произведение векторов X{x1, x2,..., xn} и Y {y1, y2,..., y3} задано следующим образом: где (X, Y )i = mi '\" ai=ai-1 εai xai yaj , (2.1) εai = - (-1, если mi 1 < ai � mi- 1 + li, 1, если mi-1 + li < ai � mi, причем i-е скалярное произведение определяется только для тех векторов, для которых выполнено условие x1 = x= ... = xi-1 = 0. Вектор называется вектором i-го порядка, если для него определен i-й скалярный квадрат вектора. Таким образом, вектор i-го порядка есть вектор с координатами x1, x2,..., xmi-1, равными нулю, - а среди координат xmi 1 + 1, xm i-1 + 2,..., xmi есть отличные от нуля. Норма вектора определяется по формуле | X |= j(X, X)i. (2.2) Расстояние между точками определяется как норма вектора, определяющегося этими точками. Если A(X) и B(Y ), то | AB |= j(Y - X, Y - X)i. (2.3) Норма вектора, как и расстояние между точками, может принимать действительные, мнимые и нулевые значения. Рассматриваемый вектор называется действительным, мнимым или же изо- тропным, соответственно. 3 Трехмерные пространства аффинной структуры. Рассмотрим подробнее трехмерные пространства l1l2l3 Rm1m2 . Очевидно, что при этом mi и li могут принимать значения 0, 1, 2. Рассмотрим всевозможные случаи: Если m1 = m2 = l1 = l2 = l3 = 0, тогда получим евклидово пространство -R3. В этом случае метрика невырождена и положительно определена. Если m1 = m2 = l1 = l2 = 0, а l3 =1 тогда скалярное произведение векторов имеет вид: (X, Y )= +x1y1 + x2y2 - x3y3. Пространство 1R3 называется пространством Минковского. Метрика этого пространства невырождена, хотя неположительно определена. Похожая геометрия имеет место при l3 = 2. Тогда скалярное произведение векторов опре- делено как (X, Y )= +x1y1 - x2y2 - x3y3. Координаты пространства 2R3 отличаются от координат пространства 1R3 на мнимый сомно- житель. Следовательно, геометрия этих пространств одинакова и исследование пространства 2R3 не представляет самостоятельного геометрического интереса. 3 Рассмотрим случай, когда m1 = 1, m2 = 3, а l1 = l2 = l3 = 0, т. е. пространство R1. Это пространство называется галилеевым пространством. Здесь скалярное произведение векторов определим следующим образом: (X, Y )1 = x1y1. (2.4a) Когда оно равно нулю, положим: (X, Y )2 = x2y2 + x3y3. (2.4b) Расстояние между точками A(x1, x2, x3) и B(y1, y2, y3) определено как | AB |1=| y1 - x1 |; (2.5a) когда | AB |1= 0, то | AB |2= j(y2 - x2)2 + (y3 - x3)2 (2.5b) 3 Рассмотрим случай, когда m1 = 2, m2 = 3, а l1 = l2 = l3 = 0, т. е. пространство R2. Это пространство называется изотропным пространством. В этом случае скалярное произведе- ние векторов и расстояние между точками определяется по формулам (2.4b), (2.4a) и (2.5b), (2.5a), соответственно. То есть меняется порядок исчисления. 3 Наконец, при изучении случая m1 = 1, m2 = 2, а l1 = l2 = l3 = 0, т. е. в пространстве R12 мы получим три скалярных произведения и трижды вырожденную метрику. Это пространство называется флаговым пространством. Во флаговом пространстве скалярное произведение векторов определяется формулой (X, Y )1 = x1y1; если же (X, Y )1 = 0, тогда если же (X, Y )2 = 0, то (X, Y )2 = x2y2; (X, Y )3 = x3y3. Аналогично можно определить расстояние между точками: |AB|1 = |y1 - x1|, |AB|2 = |y2 - x2|, |AB|3 = |y3 - x3|. Галилеево, изотропное и флагово пространства являются полуевклидовыми пространствами. Пространство 1R3 - трехмерное псевдоевклидово пространство. Аналогично полуевклидовым пространствам в псевдоевклидовом пространстве можно определить полупсевдоевклидовы про- странства. Трехмерные полупсевдоевклидовы пространства - это 01R1 - псевдогалилеево, 10R2 - псевдо- 3 3 изотропное пространство. Таким образом, трехмерными пространствами аффинной структуры являются 7 пространств: R3, R1, R2, R12, 1R3, 01R1 и 10R2. 3 3 3 3 3 О движении трехмерных пространств аффинной структуры. По Клейну, нам известно, что геометрии в рассматриваемом пространстве существует при существовании движения про- странства, т. е. при наличии линейного преобразования пространства, сохраняющего расстояние между соответствующими точками. Любое аффинное преобразование аффинного пространства A3 можно выразить формулой x× = Ax + B, (*) где B - вектор параллельного переноса, а матрица A - квадратичная матрица 3-го порядка. В случае, когда эта матрица симметрична и det A = 1, преобразование (*) определяет геомет- рию евклидового пространства. Аналогичным образом, в случае, когда матрица A симметрична и det A = -1, преобразование (*) определяет геометрию пространства Минковского. Перечислен- ные матрицы, очевидно, образуют подгруппу группы всех невырожденных трехмерных матриц. То есть, для рассмотрения отличных от классических геометрий нужно более детально изучить 3 другие подгруппы группы всех невырожденных трехмерных матриц. Так, например, движение галилеева пространства R1 задается формулами x× = x + a, y× = Ax + y cos α - z sin α + b, z× = Bx + y sin α + z cos α + c, где (a, b, c) - координаты направляющего вектора параллельного переноса. Вращения в этом про- странстве задаются матрицей вида: ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎝ A cos α - sin α ⎠ . B sin α cos α Таким образом, вращение в галилеевом пространстве представляет собой вращение на угол α вокруг оси Oz и скольжение, сохраняющее плоскости, параллельные координатной плоскости yOz. Также мы видим, что в этом случае матрица не симметрична. Теперь в изотропном пространстве матрица движения имеет следующий вид: ⎛ cos ϕ - sin φ 0 ⎞ ⎝ sin ϕ cos ϕ 0 ⎠ . A B 1 Движение во флаговой плоскости рассмотрим отдельно. О сферах в пространствах с проективными метриками. В геометрических рассуждениях важное место имеет занимает понятие сферы рассматриваемого пространства. Под сферой мы по- нимаем геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки рассматриваемого простран- ства. Разумеется, равноудаленность понимается в смысле расстояния между точками изучаемого пространства. Для наглядности рассмотрим сферы в галилеевом и изотропном пространстве в трехмерном случае. В галилеевом пространстве расстояние между точками A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) определяется формулой AB = |x2 - x1|. Тогда сфера с центром в начале координат O(0, 0, 0) и радиусом r имеет уравнение x2 = r2, т. е. x = ±r. 3 Геометрическим местом точек, удовлетворяющих данному уравнению, является пара плоскостей, параллельных координатной плоскости yOz и проходящих через точки (±r, 0, 0), соответственно. Если аналогично рассмотреть сферу изотропного пространства R2, то имеет место уравнение сферы следующего вида: x2 + y2 = r2. Следовательно, сфера изотропного пространства аффинно является цилиндром, направляющей которого является окружность на координатной плоскости xOy, а образующие есть прямые, па- раллельные оси Oz. Интересен тот факт, что сферы в пространствах с проективными метриками, в частности, в га- лилеевом и изотропном пространствах, инвариантны относительно вращений с центром в начале координат в этих пространствах. Это свойство сфер в пространствах с проективными метриками - аналог свойства сфер евклидовых пространств. Следовательно, остальные свойства сфер евклидо- вых пространств также будут актуальны для сфер в пространствах с проективными метриками. Трехмерное эллиптическое и гиперболическое пространства с проективными метри- ками. Известно, что 3-мерное эллиптическое пространство определяется как множество точек, изометричное множеству пар диаметрально противоположных точек сферы четырехмерного ев- клидова пространства [3]. n+1 Эллиптическое и гиперболическое пространство с проективными метриками определяются с помощью сферы S в пространстве l1l2l3 Rm1,m2,m2+1 и Rn+1. Сфера этого пространства определяется как геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой точки x0, и задается уравнением (x - x0,x - x0)= ±r2. Если центр сферы в начале координат, то (x, x)= ±r2. Расстояние δ между точками A и B пространства S, представляемое векторами X{x0, x1,... xn} и Y {y0, y1,... yn} пространства Rn+1, определяется по формуле (X, Y )1 cos δ = . |X|· |Y | В случае, когда δ = 0, определяется второе расстояние m2 d2 = '\" 2 1 1 (ya - xa )2. a1=m1+1 Если δ1 = d1 = 0, то третье расстояние определяется по формуле n d2 = '\" 2 2 2 (ya - xa )2. a2=m2+1 Прямая, для точек которой δ ∗= 0, называется эллиптической (гиперболической); если δ = 0, di = 0, то прямая называется i-параболической. Когда m1 = 0, сфера пространства Rn+1 распадается на две n-мерные плоскости. Рассмотрим всевозможные трехмерные эллиптические (гиперболические) пространства, получа- емые как сферы 4-мерных пространств с проективными метриками аффинной структуры. Здесь мы только перечислим всевозможные эллиптические (гиперболические) трехмерные про- странства с проективными метриками, представляющие геометрический интерес. Изучение гео- метрии и интерпретации этих пространств по необходимости проведено далее. Когда n = 4, m1 = 3, l1 = l2 = l3 = 0, т. е. R4 - евклидово пространство, на соответствующей сфере реализуется эллиптическое трехмерное пространство S3. Аналогично, когда n = 4, m1 = 3, l1 = 1, l2 = l2 = 0, т. е. 1R4 - псевдоизотропное, а геометрия на сфере будет гиперболической, 1S3 называется пространством Лобачевского [3]. 4 При n = 4, m1 = 0, l1 = l2 = l3 = 0, т. е. R1 - 4-мерное галилеево пространство. Сферой этого пространства являются два параллельных трехмерных евклидовых пространства R3. Следователь- 3 но, S0 = R3. Когда n = 4, m1 = 1, l1 = l2 = l3 = 0, получаем трехмерное полуэллиптическое 3 пространство S1. При n = 4, m1 = 2, l1 = l2 = l3 = 0, имеем полуэллиптическое пространство S2 3 4 3 3 на сфере полуевклидова пространства R4 - четырехмерного изотропного пространства. Тогда при n = 4, m1 = 1, m2 = 2, l1 = l2 = l3 = 0 на сфере флагового пространства R23 - получаем геометрию с дважды вырожденной метрикой S12 - полуэллиптического пространства. Во всех вышеприведенных вариантах li = 0. Если же li ∗= 0, то аналогичным образом получаем геометрию полугиперболических пространств: 10S1, 11S1, 10S2 и 100S12, которые представляют геометрический интерес. 3 3 3 3 В остальных случаях геометрии полученных пространств отличаются от рассмотренных только лишь мнимым множителем при координатах. Таким образом, мы имеем эллиптические S3, S1, S2, S12 и гиперболические 1S3,10 S1, 11S1, 10S2, 100S12 2 10 2 3 3 3 3 3 3 рес. 3 , S3 , S3 пространства с проективными метриками, представляющие геометрический инте- Следовательно, число трехмерных пространств с проективными метриками, представляющих геометрический интерес, равно 18, при этом 7 из них обладают аффинной структурой. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРОСТРАНСТВА 1S3 В предыдущем пункте мы выяснили, что пространство Лобачевского 1S3 изометрично множе- ству диаметрально противоположных пар точек сферы мнимого радиуса пространства 1R4. Про- странство 1R4 имеет аффинную структуру. Геометрию пространства 1S3 построим с помощью векторов пространства. Пусть {Oxyzt} - ортогональная система координат пространства 1R4. Тогда скалярное произ- ведение векторов X{x1, y1, z1, t1} и Y {x2, y2, z2, t2} определяется по формуле (X, Y )= x1x2 + y1y2 + z1z2 - t1t2. Уравнение сферы мнимого радиуса r пространства 1R4 записывается в виде x2 + y2 + z2 - t2 = -r2. (3.1) Следовательно, точка пространства 1S3 имеет координаты {x, y, z, t} для точек пространства 1R4, связанных с условием (2.1), т. е. при r =1 имеем 1S3 = ( (x, y, z, t) ∈ 1R4 x2 + y2 + z2 - t2 = -1 . Так как диаметрально противоположные точки считаются за одну, рассматриваем только часть сферы, удовлетворяющую условию t> 0. Расстояние между точками A{x1, y1, z1, t1} и B{x2, y2, z2, t2} пространства 1S3 вычисляются по формуле: t1t2 - x1x2 - y1y2 - z1z2 ch δ = jt2 2 2 2j (3.2) 1 - x1 - y1 - z1 t2 - x2 - y2 - z2 2 2 2 2 Сфера мнимого радиуса (3.1) пространства 1R3 - это поверхность второго порядка, аффинно пред- ставляющая двуполостный гиперболоид. Она имеет предельный конус, заданный уравнением x2 + y2 + z2 - t2 = 0. Точка C(0, 0, 0, 1) является вершиной сферы (3.1). Рассмотрим касательную гиперплоскость сферы (3.1), проходящую через точку C, заданную уравнением t = 1. Это гиперплоскость трехмерного евклидова пространства R3{x, y, z}, являюща- яся подпространством t =1 в 1R4, т. е. {x, y, z, 1}∈ 1R4. Обозначим через {l0, i, j, k} ортонормированный базис пространства 1R4. Каждой точке X из 1S3 сопоставим точку TX на касательной плоскости t = 1. Лемма 3.1. Вектор, определяющий TX, связан с вектором X формулой: X + l0(l0X) TX = . |(l0X)| Доказательство. Действительно, радиус вектор точки X ∈ 1S3 - вектор пространства 1R4. Так как вектор X имеет координаты X{x, y, z, t}, то его точка пересечения с плоскостью t =1 имеет координаты X˜ = f x, y , z , 1 . t t t Учитывая, что (l0X)= -t, получим X + l0(X˜ )= xi + yj + zk + tl0 - l0(l0X)= xi + yj + zk. Следовательно, X + l0(l0X) = xi + y j + z k = X˜ . |(l0X)| t t t Отображение TX сопоставляет каждой точке пространства 1S3 точку в трехмерном евклидовом пространстве R3. Лемма 3.2. Множество точек X˜ , соответствующих точкам пространства 1S3, содержит- ся внутри сферы единичного радиуса евклидова пространства R3. Доказательство. Действительно, координаты точки X˜ Учитывая эту связь, в полупространстве t> 0 получим: пространства 1S3 связаны условием (3.1). y Следовательно, y ( x )2 +( t t z )2 +( t - )2 =1 1 . t2 ( x )2 +( t t z )2 +( t )2 < 1. Отсюда следует, что |X˜ | < 1, т. е. вектор содержится внутри шара радиусом 1. Что и доказывает лемму 3.2. Когда точки пространства Лобачевского 1S3 интерпретируются точками сферы пространства 1R4, прямые и плоскости также представлены подпространствами 1R4. Плоскость пространства 1S3 определяется как пересечение трехмерной плоскости, проходящей через начало координат в 1R4, со сферой мнимого радиуса [3]. Следовательно, плоскость пространства 1S3 задается соотношениями ⎧ π := ⎨ (x, y, z, t) ∈1 R4 x2 + y2 + z2 - t2 = -1 ⎫ ⎬ , (3.3) ⎩ Ax + By + Cz + Dt =0 ⎭ а прямая как пересечение двух плоскостей пространства 1S3 выражается в виде ⎧ (x, y, z, t) ∈1 R4 ⎫ 2 ⎪⎨ l := x2 + y2 + z2 - t = -1 ⎪⎬ . (3.4) A1x + B1y + C1z + D1t =0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ A2x + B2y + C2z + D2t =0 Лемма 3.3. При отображении TX(1) прямые и плоскости пространства 1S3 изображаются как часть прямых и плоскостей, содержащихся внутри сферы единичного радиуса простран- ства 1R3. Доказательство. В справедливости этой леммы можно убедиться, переходя к координатам век- тора X˜ { x, y , z } в формулах (3.3) и (3.4). t t t Также, нетрудно представить геометрически, что пересечение плоскости, проходящей через на- чало координат пространства 1R4, со сферой и плоскостью t =1 является центральной проекцией соответствующих точек из начала координат. Теорема 3.1. Отображение TX является аналогом интерпретации Кэли-Клейна про- странства Лобачевского. Доказательство этой теоремы следует из лемм 3.1, 3.2 и 3.3. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ 10S2 И 10S2 3 3 4 Итак, расстояние между точками в 10R3 может быть мнимым, вещественным и равным нулю. 4 Если сферу S ⊂ 10R3 определить как множество точек, равноудаленных от данной точки, то согласно этому определению будет существовать три вида сферы: сфера вещественного радиуса, изотропная сфера и сфера мнимого радиуса. 4 Сфера S ⊂ 10R3 с мнимым радиусом определяется уравнением -x2 + x2 + x2 = -1. 0 1 2 3 4 Копсевдоевклидово пространство 10S2 определяется как множество точек, изометричных множе- ству диаметрально противоположных точек сферы мнимого радиуса пространства 10R3, см. [3]. Следовательно, 3 = {(x0, x1, x2, x3) ∈ R4; -x0 + x1 + x2 = -1� . 10S2 10 3 2 2 2 Расстояние между двумя точками в 10S2 равно углу между векторами пространства 10R3, которые 3 4 являются радиус-векторами этих точек. Формула расстояния имеет вид: cos δ = -x0y0 + x1y1 + x2y2 j j -x2 + x2 + x2 . -y2 + y2 + y2 0 1 2 0 1 2 Когда δ = 0, то d = |y3 - x3|. 3 Очевидно, пространство 10S2 имеет вырожденную метрику. По аналогии пространству 10S2 определяется коевклидово пространство S2 на сфере полуев- 3 3 4 клидова пространства R3. В работе [1] определено отображение TX, которое является аналогом центральной проекции сферы на касательную плоскость в пространствах с проективными метриками. Если применить отображение TX к сфере мнимого радиуса пространства Минковского 1R3, то получим аналог интерпретации Кэли-Клейна плоскости Лобачевского в круге. Применив это же отображение к сфере вещественного радиуса пространства 1R3, получим интерпретацию гиперболической плос- кости положительной кривизны. С помощью отображения TX = X + e0(e0,X) (e0,X) 4 в пространстве 10R3 получим интерпретацию 3 пространства 10S2 на касательную плоскость π, проходящую через точку (1, 0, 0, 0). Рассмотрим сначала геометрию на касательной плоскости π. 4 Так как {e0, e1, e2, e3} - базис пространства 10R3, то касательная плоскость к мнимоединичной сфере в точке (1, 0, 0, 0) будет трехмерной гиперплоскостью, параллельной плоскости x0 = 0. Следовательно, {e1, e2, e3} будет базисным вектором этой плоскости. Учитывая, что (e1, e1)1 = (e2, e2)1 = 1 и (e3, e3) = 1, можно утверждать, что геометрия гипер- 3 плоскости π будет геометрией изотропного пространства R2. 3 Пусть X{x0, x1, x2, x3} - точка пространства 10S2, тогда -x2 + x2 + x2 = -1. 0 1 2 Следовательно, вектор TX имеет координаты x1 , x2 , x3 . Вектор TX принадлежит касательной x0 плоскости π, которая является изотропным пр x0 x0м, причем x2 2 остранство 1 + x2 =1 - 1 < 1. x x x 2 2 2 0 0 0 Пусть Ou, Ov, Ot - координатные оси в R2. Тогда, обозначив u = x1 , v = x2 , t = 1 , получим 3 x0 x0 x0 следующее неравенство: u2 + v2 < 1. Равенство u2 + v2 =1 определяет сферу единичного радиуса 3 изотропного пространства R2 с центром в начале координат. Очевидно, она аффинно является цилиндром, направляющая которого - единичная окружность, с образующими, параллельными оси Ot. 3 Лемма 4.1. Пространство 10S2 интерпретируется внутри сферы единичного радиуса про- 3 странства R2. 3 3 Так как отображение TX является центральной проекцией сферы на касательную плоскость, то при этом отображении точка, прямая и плоскость пространства 10S2 переходят соответственно в точку, прямую и плоскость пространства R2, содержащиеся внутри сферы единичного радиуса. Тогда точки 10S2 будут точками внутренности сферы единичного радиуса в R2, т. е. цилиндра. 3 3 Прямые выражаются хордами цилиндра или прямыми, параллельными оси Ot, содержащимися 3 внутри цилиндра. Плоскости выражаются частями плоскостей пространства R2, содержащимися внутри цилиндра. 3 Напомним, что 10S2 - пространство с вырожденной метрикой. На всех плоскостях, однознач- но проектирующихся на плоскость x3 = 0, расстояние между точками определяется по первой метрике. Только на прямых, параллельных координатной прямой OX, расстояние вычисляется по второй метрике. Отображение TX сохраняет порядок метрики [1]. Следовательно, расстояние между точками A(u1, v1, t1) и B(u2, v2, t2) вычисляется по формуле 1 - u1u2 - v1v2 ch δ = j1 u2 2j . (4.1) - 1 - v1 1 - u2 - v2 2 2 Когда δ = 0, получим u1 = u2, v1 = v2. Второе расстояние определяется следующим образом: d = |t2 - t1|. Очевидно, на плоскости t = 0 формула вычисления расстояния (4.1) дает метрики плоскости Лобачевского. Значит, на круге u2 + v2 = 1, принадлежащем плоскости t = 0, получаем интерпретацию плоскости Лобачевского. Таким образом, справедливы следующие леммы. 3 Лемма 4.2. Внутренность сферы единичного радиуса R2 можно рассматривать как топо- логическое произведение диска D{u2 + v2 � 1} и прямой R, параллельной оси Ot. Лемма 4.3. На диске D{u2 + v2 � 1} реализуется метрика плоскости Лобачевского. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 3 Теорема 5.1. Геометрия пространства 10S2 эквивалентна геометрии (L2 × R) на трехмерном многообразии. Доказательство теоремы следует из лемм 4.1, 4.2 и 4.3. 3 4 Коевклидово пространство S2 множества точек, изометричных множеству диаметрально проти- воположных точек сферы единичного радиуса полуевклидова пространства R3, с помощью отображения PX = X - e0(e0,X) (e0,X) 3 интерпретируется в изотропном пространстве R2. Вышеизложенным методом доказывается следующая 3 Теорема 5.2. Геометрия пространства S2 эквивалентна геометрии (S2 × R) на трехмерном многообразии. 3 Теперь изучим более подробно геометрию флагового пространства R12. Как мы уже упомянули выше, расстояние между точками во флаговом пространстве измеряется следующим образом: |AB|1 = |y1 - x1|, |AB|2 = |y2 - x2|, |AB|3 = |y3 - x3|. Нетрудно доказать, что движение во флаговом пространстве задается следующем преобразовани- ем: x× = x + a, y× = Ax + y + b, z× = Bx + Cy + z + c, где (a, b, c) - координаты направляющего вектора параллельного переноса. Вращения в этом про- странстве задаются матрицей вида: ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎝ A 1 0 ⎠ . B C 1 Очевидно, это элемент группы Гейзенберга, что дает нам возможность сделать следующее Заключение. Геометрия многообразия Nil изоморфна геометрии флагового пространства.