On solutions of Hamilton-Jacobi equations with exponential dependence on momentum

Full Text

1. Введение Многие задачи механики, физики, оптики и других областей приводят к рассмотрению различных типов задач для нелинейных уравнений Гамильтона-Якоби. Теория этих уравнений активно развивается, в ней рассмотрены различные подходы к определению обобщенного решения, доказаны теоремы существования и единственности, разработаны аналитические и численные методы построения решений (см., например, [1, 7, 11, 15]). При этом развитие науки и техники приводит к появлению новых задач. В частности, такие задачи возникают в кристаллографии и молекулярной генетике [8, 17]. В силу нетипичности новых задач их не всегда удается решить известными методами, и поскольку для таких задач не выполняются условия известных теорем существования, требуется вводить и исследовать новые обобщенные решения. © Л.Г. Шагалова, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 151 Настоящая работа продолжает цикл исследований, начатый в [3, 6], источником которых является полученная в [13] задача Коши для уравнения Гамильтона-Якоби в модели Кроу-Кимуры молекулярной эволюции. Для этой задачи с фазовыми ограничениями и некоэрцитивным вогнутым по импульсной переменной гамильтонианом, экспоненциально зависящим от этой переменной, известные концепции обобщенного решения (минимаксного и вязкостного [11, 15]) оказались неприменимы, что потребовало введения нового понятия решения. Были получены достаточные условия существования этого решения, репрезентативная формула, позволяющая строить его с помощью решений характеристической системы, исследованы свойства. В данной работе уравнение с экспоненциальными слагаемыми в непрерывном гамильтониане рассматривается в достаточно общем виде, когда коэффициенты перед этими слагаемыми являются монотонными функциями фазовой переменной. Рассмотрены три типа начальных задач: две задачи с фазовыми ограничениями, когда некоэрцитивный гамильтониан является соответственно выпуклым или вогнутым по импульсной переменной, а также задача без фазовых ограничений с трехкомпонентным вогнутым по импульсу гамильтонианом. Показано, что ключевую роль в существовании как вязкостного, так и обобщенного решений играет условие продолжимости характеристик. При этом в случае выпуклости гамильтониана по импульсу существует и единственно вязкостное решение, а в задаче с фазовыми ограничениями и вогнутым по импульсу гамильтонианом вязкостного решения не существует, и для построения обобщенного решения требуется непрерывно продолжить начальную функцию на границу фазовых ограничений. Продолжение начальной функции неединственно, его можно построить разными способами, в частности, с помощью вязкостного решения рассматриваемой задачи с трехкомпонентным гамильтонианом. 2. Рассматриваемые задачи В статье рассматриваются начальные задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби эволюционного типа, которые в общем виде можно представить следующим образом: , (2.1) u(0,x) = u0(x), x ∈ clX. (2.2) Здесь T - заданный момент времени, T > 0; X - ограниченный или бесконечный интервал, который в случае отсутствия фазовых ограничений совпадает с R; clX - замыкание множества X. Начальная функция u0(·) : clX → R непрерывно дифференцируема. Пусть заданы непрерывно дифференцируемые функции h(·):R → R, f(·):R → R и g(·):R → R. Предполагается, что функция f(·) является строго монотонно возрастающей, а функция g(·) - строго монотонно убывающей, и существуют точки x∗ и x∗ такие, что f(x∗) = 0, g(x∗) = 0, при этом x∗ < x∗. (2.3) Далее будем рассматривать задачу (2.1), (2.2) в трех частных случаях, когда гамильтониан H(·) задается с помощью функций f(·) и g(·), которые являются коэффициентами перед экспоненциальными слагаемыми. При этом основными объектами исследования являются две задачи с фазовыми ограничениями - задачи A и B. Для этих задач изучаются вопросы определения обобщенных решений, а также существования и единственности этих решений. Задача C имеет вспомогательный характер, она может быть использована для задания граничных условий в задаче B. 2.1. Задача A. Задачей A будем называть задачу (2.1), (2.2) в случае, когда гамильтониан имеет вид H(x,p) = h(x) + f(x)ep + g(x)e-p, (2.4) а область изменения фазовой переменной - отрезок, определяемый нулями введенных выше монотонных функций f(·) и g(·): X = [x∗,x∗]. (2.5) Поскольку значения функций f(·) и g(·) на отрезке [x∗,x∗] неотрицательны, гамильтониан (2.4) является выпуклым по импульсной переменной p. 2.2. Задача B. В этом случае задача (2.1), (2.2) рассматривается, когда X является отрезком (2.5), для гамильтониана вида H(x,p) = h(x) - f(x)ep - g(x)e-p. (2.6) В рассматриваемой области гамильтониан (2.6) является вогнутым по переменной p. 2.3. Задача C. В этом случае в задаче (2.1), (2.2) нет фазовых ограничений, и множество X совпадает со всей числовой прямой, т. е. X = R. Непрерывный гамильтониан склеивается из трех компонент следующим образом: , (2.7) Таким образом, в области [0,T]×(x∗,x∗) гамильтониан зависит от фазовой и импульсной переменных, а при x < x и x > x∗ гамильтониан является функцией только импульсной переменной p. ∗ Отметим, что гамильтониан (2.7) является вогнутым по переменной p. 3. Непрерывное вязкостное решение Вязкостное решение можно определить различными по форме, но эквивалентными по существу способами. В данной работе удобным оказалось использование определения вязкостного решения задачи (2.1), (2.2) с помощью суб- и супердифференциалов. Представим здесь это определение для актуального для нас случая одномерного фазового пространства. Сначала приведем определения суб- и супердифференциала функции в точке, которые в негладком анализе являются обобщениями понятий производной и градиента. Пусть дано множество W ⊂ R2. Через ∂W и C(W) обозначим соответственно границу этого множества и класс функций, непрерывных на W. Определение 3.1. Пусть u(·) ∈ C(W) и (t,x) ∈ W. Субдифференциалом функции u(·) в точке (t,x) называется множество . (3.1) Супердифференциалом функции u(·) в точке (t,x) называется множество . Замечание 3.1. В граничных точках замкнутого множества W субдифференциал D-u(t,x), если он непуст, является неограниченным множеством. Действительно, пусть (t∗,y∗) ∈ ∂W, (a,s) ∈ D-u(t∗,y∗), а вектор (n1,n2) - внешняя нормаль к множеству clW в точке (t∗,y∗). Тогда, как нетрудно заметить из определения субдифференциала (3.1), для любого положительного числа k справедливо (a + kn1,s + kn2) ∈ D-u(t∗,y∗). Ниже используются обозначения ΩT = (0,T) × X and Определение 3.2. Функция называется вязкостным решением задачи (2.1), (2.2), если она удовлетворяет начальному условию (2.2) и дифференциальным неравенствам , (3.2) (3.3) Замечание 3.2. В определении 3.2 для точек, расположенных на границе фазовых ограничений, , требуется выполнение только одного дифференциального неравенства - неравенства (3.3) для субдифференциала. Это объясняется тем фактом, что при достаточно общих условиях, накладываемых на гамильтониан и начальную функцию, набор условий (2.2), (3.2), (3.3) обеспечивает единственность вязкостного решения задачи (2.1), (2.2) и выполнение для этого решения неравенства (3.2) во всех точках области . Отметим, что гамильтонианы (2.4), (2.6) и (2.7) рассматриваемых задач A, B и C не удовлетворяют условиям, при которых доказаны известные теоремы существования вязкостных решений. В частности, для этих гамильтонианов не выполнено условие коэрцитивности. Для выпуклого по импульсной переменной p гамильтониана условие коэрцитивности имеет вид при |p| → ∞, x ∈ clX, (3.4) а для вогнутого по p гамильтониана условие коэрцитивности записывается следующим образом: H(x,p) | → -∞ при |p| → ∞. (3.5) p| В формулах (3.4) и (3.5) |p| обозначает модуль числа p. Легко проверить, что для гамильтонианов (2.4) и (2.6) соответствующие условия коэрцитивности нарушаются на линиях x = x∗ и x = x∗, а для гамильтониана (2.7) - при и при . Далее будет доказано, что в задаче A вязкостное решение существует и единственно, а в задаче B вязкостного решения не существует. Для задачи B на основе вязкостного подхода предложено определение обобщенного решения, требующее дополнительных условий на границе фазовых ограничений - на линиях x = x∗ и x = x∗. Эти дополнительные условия определяются неоднозначно и, в частности, могут быть получены с помощью решения задачи C. 4. Существование и единственность вязкостного решения задачи A Рассматривая задачи A и B, в которых присутствует фазовое ограничение вида (2.5), будем использовать обозначения , а также . Рассмотрим задачу A. Заметим, что для этой задачи ΩT = ΠT , ΩT = ΠT . Пусть число ε > 0 таково, что x∗ + ε < x∗ - ε. Символом Xε обозначим отрезок [x∗ + ε;x∗ - ε] и определим область | . ε Очевидно, что, и в области ΠT гамильтониан (2.4) удовлетворяет условию коэрцитивности (3.4). Из [9, Theorem X.I, с. 678] получаем, что в области существует единственное вязкостное решение uε(·) уравнения (2.1) с гамильтонианом вида (2.4), удовлетворяющее начальному условию (2.2). Это решение можно представить с помощью репрезентативной формулы Здесь - производная функции ξ в точке s, H∗ - функция, сопряженная к гамильтониану (преобразование Лежандра), определяемая следующим образом: . (4.2) Точная нижняя грань в выражении (4.1) ищется по функциям ξ из класса C2([0,T];[x∗+ε;x∗-ε]) дважды непрерывно дифференцируемых функций, определенных на отрезке [0,T] и принимающих значения из [x∗ + ε;x∗ - ε]. В области рассмотрим функцию . (4.3) Минимум в (4.3) ищется по функциям ξ из класса C1([0,T];[x∗;x∗]) непрерывно дифференцируемых функций, определенных на отрезке [0,T] и принимающих значения из сегмента [x∗;x∗]. Характеристическая система (см., например, [2, 16]) для задачи A имеет вид (4.4) . Здесь Система (4.4) рассматривается с начальными условиями . (4.5) Решения системы (4.4), (4.5) называются характеристиками. Компоненты x(·,y), p(·,y) и z(·,y) решения называются соответственно фазовыми, импульсными и ценовыми характеристиками. Выписывая необходимые условия экстремума, получим, что экстремалями вариационной задачи (4.3) являются фазовые характеристики. Из первого уравнения системы (4.4), учитывая условия, накладываемые на функции f(·) и g(·), получаем, что все экстремали, приходящие в точку (t,x) ∈ ΠT , лежат внутри ΠT , т. е. для значений 0 < τ t справедливо неравенство x∗ < x(τ) < x∗, и экстремали принадлежат классу C1([0,t];(x∗;x∗)). Поскольку в области ΠT гамильтониан H (2.4) удовлетворяет условию коэрцитивности (3.4), вторая частная производная сопряженного гамильтониана (4.2) по переменной q неотрицательна в этой области. Вычислим , (4.6) Поскольку фазовое пространство одномерно, из (4.6) и результатов работ [10, 14] следует, что минимум в (4.3) достигается. В соответствии с результатами работ [12, 16], посвященными методу обобщенных характеристик, значение (4.1) вязкостного решения в точке (t,x) ∈ ΠT равно , (4.7) где x(t) = x(t,y) и p(t) = p(t,y) - соответственно фазовая и импульсная компоненты решения характеристической системы (4.4), (4.5), определяемого параметром y ∈ (x∗,x∗). Рассмотрим дифференциальное уравнение для импульсной компоненты в характеристической системе (4.4). Поскольку функции h, f и g определены на ограниченном отрезке [x∗,x∗] и непрерывно дифференцируемы, и при этом f строго возрастает, а g строго убывает, можно получить следующую оценку: -Aep - B < p < Ae˙ -p + B, где. Используя эту оценку, можно показать, что существуют числа K > 0, C1 и C2 такие, что -Kt + C1 < p(t) < Kt + C2. (4.8) Из оценки (4.8) следует, что в области ΠT импульсные компоненты p(t) характеристик принимают конечные значения, и, следовательно, соответствующие фазовые компоненты x(t) характеристической системы (4.4) продолжимы либо до момента t = T, либо до верхней (x = x∗) или нижней (x = x∗) границы области ΠT . Таким образом, функцию, заданную формулой (4.7), можно непрерывно продолжить на область , замкнутую по переменной x. Очевидно, что непрерывное продолжение u(t,x) на область удовлетворяет начальному условию (2.2). Применяя схему, аналогичную использованной в работе [3] для доказательства супердифференцируемости определенного там обобщенного решения, можно показать, что функция u(t,x) является субдифференцируемой в области , т. е. справедливо соотношение . Отметим, что если функция u дифференцируема в точке (t,x), тогда . Из (4.7) следует, что функция u(t,x) удовлетворяет дифференциальным неравенствам (3.2), (3.3) в области ΠT . Таким образом, чтобы показать, что эта функция является вязкостным решением задачи A, необходимо проверить выполнение неравенства (3.3) в точках множества ΓT - на линиях x = x∗ и x = x∗. Пусть Dif(u) - множество точек, в которых функция u(·) дифференцируема, а co W обозначает выпуклую оболочку множества W. Определим множество ; (4.9) (ti,xi) → (t,x) при . При 0 < t < T справедливы включения D-(t,x∗) ⊂ {(a,s - k)|(a,s) ∈ ∂u(t,x∗), k > 0}, D-(t,x∗) ⊂ {(a,s + k)|(a,s) ∈ ∂u(t,x∗), k > 0}. Таким образом, в силу (2.4), для проверки выполнения неравенства (3.3) на верхней границе области достаточно показать, что если , тогда для всех s > 0 выполняется неравенство . (4.10) Поскольку f(x∗) > 0, неравенство (4.10) справедливо. Итак, для субдифференциала функции u(·) на верхней границе x = x∗ выполнено дифференциальное неравенство (3.3). Аналогично, для проверки неравенства (3.3) на линии x = x∗, нижней границе множества , достаточно показать, что если , тогда для всех s > 0 имеем . (4.11) Неравенство (4.11) справедливо, поскольку g(x∗) > 0. Таким образом, в точках нижней границы x = x∗ выполнено дифференциальное неравенство (3.3), и это завершает доказательство того, что функция u(·), построенная в области , удовлетворяет определению 3.2 вязкостного решения. Поскольку гамильтониан (2.4) и начальная функция u0(·) непрерывно дифференцируемы, из результатов [9] следует единственность вязкостного решения в ограниченной и замкнутой по x области . Итак, справедливо следующее утверждение. Теорема 4.1. Вязкостное решение задачи A существует и единственно. Это решение является субдифференцируемой функцией и может быть построено с помощью характеристик в соответствии с репрезентативной формулой (4.7), где параметр y ∈ [x∗,x∗]. Доказательство. Утверждение теоремы следует из приведенных выше построений и рассуждений. Отметим, что значительную роль в доказательстве теоремы 4.1 играет анализ поведения решений характеристической системы (4.4), (4.5). Вязкостное решение строится из фазовых характеристик, и эти построения осуществимы, поскольку все фазовые характеристики продолжимы либо до момента T, либо до границы множества, на котором рассматривается задача. 5. Обобщенные решения задачи B 5.1. Поведение характеристик. Несуществование вязкостного решения. Гамильтониан в задаче B определяется выражением (2.6), и соответствующая характеристическая система имеет вид x˙ = Hp(x,p) = -f(x)ep + g(x)e-p, (5.1) (5.2) z˙ = pHp(x,p) - H(x,p) = p(-f(x)ep + g(x)e-p) + f(x)ep + g(x)e-p - h(x). (5.3) Система (5.1)-(5.3) рассматривается с начальными условиями (4.5). Исследование поведения решений системы (5.1)-(5.3), (4.5) показывает, что возможны ситуации непродолжимости характеристик, когда значения импульсных компонент бесконечно убывают или возрастают, стремясь соответственно к -∞ или +∞. При этом соответствующие фазовые компоненты решения стремятся соответственно к значениям x∗ или x∗, но не достигают их. Кроме того, в ΠT существуют области, через точки которых не проходит ни одна фазовая характеристика. Примеры таких ситуаций и подробный анализ поведения решений характеристической системы для гамильтониана вида (5.4) приведены в [3-5]. На рис. 1 и рис. 2 в случае, когда h(x) = 0,25x2, f(x) = 1+x, g(x) = 1-x, u0(x) = 0,2cos(5(x- -0,2), показано поведение фазовых характеристик задачи A и задачи B соответственно. Фазовые характеристики задачи А заполняют всю прямоугольную область , включая нижнюю (x = x∗) и верхнюю (x = x∗) границы. Фазовые характеристики задачи B не заполняют полностью прямоугольник и не достигают его границ, стремясь к ним в случае непродолжимости. Покажем, что если в некоторой точке множества , лежащей на одной из линий x = x∗ или x = x∗, субдифференциал функции u непуст, тогда эта функция не может быть вязкостным решением задачи B. Пусть, для определенности, существует t∗ ∈ (0,T) такое, что (a,s) ∈ D-u(t∗,x∗). Из определения 3.1 субдифференциала (формула (3.1)) следует, что тогда для любого k > 0 справедливо включение (a,s + k) ∈ D-u(t∗,x∗). В этом случае неравенство (3.3), которому должно удовлетворять вязкостное решение, принимает вид . (5.5) Поскольку f(x∗) > 0, неравенство (5.5) не выполняется. Таким образом, для задачи B в общем случае невозможно построить непрерывное вязкостное решение, и для ее исследования обобщенное решение нужно определять иначе. 5.2. Обобщенные решения. Существование и неединственность. В [3] на базе вязкостного подхода было введено определение обобщенного решения для задачи B с гамильтонианом вида (5.4), которое можно использовать и в рассматриваемом здесь общем случае вогнутого по импульсной переменной гамильтониана вида (2.6). Определение 5.1. Функция называется обобщенным решением задачи B, если она удовлетворяет начальному условию (2.2) и дифференциальным неравенствам (5.6) (5.7) . (5.8) Рис. 1. Пример поведения фазовых характеристик в задаче A. Fig. 1. An example of the behavior of phase characteristics in problem A. Рис. 2. Пример поведения фазовых характеристик в задаче B. Fig. 2. An example of the behavior of phase characteristics in problem B. Отличие определения 5.1 от определения 3.2 вязкостного решения заключается в том, что в точках границы ΓT фазовых ограничений выполнение неравенства (5.8) требуется не для всех элементов соответствующего субдифференциала D-u(t,x), а лишь для тех, которые содержатся во множестве ∂u(t,x). Напомним, что множество ∂u(t,x) определено соотношением (4.9), и отметим, что в случае локальной липшицевости функции u это множество совпадает с субдифференциалом Кларка. Применяя конструкции и рассуждения, аналогичные использованным в [3], можно указать достаточные условия, при которых обобщенное решение задачи B существует. Ключевую роль при этом играет условие продолжимости характеристик. U1. Решения характеристической системы (5.1)-(5.3), (4.5) продолжимы до момента T. Кроме того, предполагается, что существует непрерывно дифференцируемая функция ϕ(t,x), определенная в R2, удовлетворяющая следующему набору условий: (5.9) (5.10) . (5.11) Гамильтониан H в условиях (5.10), (5.11) имеет вид (2.6). Справедливо следующее утверждение. Теорема 5.1. Пусть выполнено условие U1 и функция ϕ(·) удовлетворяет условиям (5.9)- (5.11). Тогда существует обобщенное в смысле определения 5.1 решение задачи B, являющееся супердифференцируемой функцией, которое при всех представимо в виде где, и при этом, если или , если. Функции - решения системы (5.1), (5.2), удовлетворяющие начальным условиям . Доказательство. Из условия U1 следует, что импульсные компоненты p(·,y) решений системы (5.1)-(5.3), (4.5) ограничены на отрезке [0,T]. Пусть P ⊂ R - такой ограниченный замкнутый отрезок, что p(t,y) ⊂ P ∀t ∈ [0,T], y ∈ [x∗,x∗]. (5.13) В области в «обратном» времени τ = T -t рассмотрим задачу OCP оптимального управления системой, динамика которой описывается дифференциальным уравнением x˙ = -Hp(x,p) = f(x)ep - g(x)e-p, p ∈ P. (5.14) Значение управляющего параметра выбирается из множества P. Если задано начальное состояние системы , то допустимыми управлениями являются измеримые функции p(·) : [t0,T] → P. Множество всех допустимых управлений обозначим символом P[t0,T]. Введем функцию и на движениях системы (5.14) определим функционал платы , где x(·) = x(·;t0,x0,p(·)):[t0,T] → [x∗,x∗] - траектория системы (5.14), стартующая из начальной точки (t0,x0) под воздействием управления - момент первого выхода этой траектории на целевое множество GT : , Задача OCP оптимального управления состоит в управлении системой (5.14) таким образом, чтобы обеспечить оптимальный результат (цену), который для начальной точки определяется соотношением V (t0,x0) = sup I(t0,x0)(p(·)). p(·))∈P[t0,T] В задаче OCP существует непрерывная функция цены , обладающая такими свойствами, что обобщенное решение, о существовании которого говорится в утверждении теоремы, связано с функцией V (·) соотношением . (5.15) Доказательство существования функции цены задачи OCP и ее свойств, обеспечивающих выполнение соотношения (5.15), можно провести аналогично тому, как это сделано в [3] для задачи с гамильтонианом вида (5.4). Итак, построение обобщенного решения задачи B осуществляется посредством сведения начальной краевой задачи к задаче Дирихле путем непрерывного продолжения начальной функции u0(·) на границу фазовых ограничений c помощью гладкой функции ϕ(·). Обобщенное решение при этом формируется с помощью операции максимума из характеристик, выпущенных с начального многообразия и с границ фазового ограничения. Поскольку возможны различные продолжения ϕ(·) начальной функции u0(·), решение задачи B неединственно. 6. Вязкостное решение задачи C. Связь с решением задачи B Рассмотрим задачу C. Введем обозначения . Область ΩT = (0,T) × R, в которой рассматривается задача C, можно представить в виде . (6.1) При этом из (2.7) следует, что в каждой из трех областей в разбиении (6.1) гамильтониан задается своей формулой, поэтому в этих областях характеристическая система уравнения (2.1), (2.2) имеет разный вид. Докажем следующее утверждение. Теорема 6.1. Пусть выполнено условие U1 и начальная функция u0(·) такова, что справедливо условие: U2. Производная не возрастает на интервалах (-∞,x∗] и [x∗,+∞). Тогда существует вязкостное решение u(t,x) : ΩT → R задачи C такое, что в областях функция u(·) непрерывно дифференцируема, а сужение u(·) на область является обобщенным в смысле определения 5.1 решением задачи B. Доказательство. В областях гамильтониан (2.7) не зависит от фазовой переменной x, поэтому импульсные компоненты решений соответствующих характеристических систем сохраняют постоянные значения, а фазовые компоненты являются прямыми линиями. Выписав характеристическую систему для , x˙ = g(x∗)e-p, (6.2) , нетрудно проверить, что в этой области фазовые характеристики имеют вид . (6.3) Поскольку g(x∗) > 0, из (6.3) получаем, что фазовая характеристика, выпущенная из точки (0,y), пересечет прямую x = x∗ в момент. Соответствующее значение ценовой компоненты при этом будет равно. Из (6.3) и U2 получаем, что фазовые характеристики системы (6.2) полностью заполняют область и не пересекаются в этой области. Таким образом, применяя метод характеристик, мы можем построить гладкую функцию:, являющуюся решением начальной задачи Коши (2.1), (2.2) с гамильтонианом вида (2.7) при = (-∞,x∗). Рассмотрев характеристическую систему задачи C в , получим, что в этой области фазовые характеристики имеют вид . (6.4) Из (6.4) и U2 получаем, что фазовые характеристики системы (6.2) полностью заполняют область и не пересекаются в этой области. Применяя метод характеристик, построим гладкую функцию, являющуюся решением начальной задачи Коши (2.1), (2.2) с гамильтонианом вида (2.7) при X = [x∗,+∞). Заметим, что непрерывно дифференцируемые функции u-(·,x∗) и u+(·,x∗) удовлетворяют условиям (5.10) и (5.11) соответственно, откуда следует существование функции ϕ(·) такой, с помощью которой согласно утверждению теоремы 5.1 осуществляется построение обобщенного решения задачи B. Положив ϕ(t,x∗) = u-(·,x∗), ϕ(t,x∗) = u-(·,x∗) ∀t ∈ [0,T], построим c помощью репрезентативной формулы (5.12) в области ΠT функцию u0(·) - обобщенное решение задачи B. Итак, на множествах мы соответственно построили непрерывные функции u-(·), u0(·) и u+(·). Положим , (6.5) Из построений компонент функции u(·) (6.5) следует, что эта функция непрерывна и является вязкостным решением задачи C, удовлетворяющим заявленным в утверждении теоремы свойствам.

About the authors

L. G. Shagalova

Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the RAS

Author for correspondence.
Email: shag@imm.uran.ru
ORCID iD: 0000-0002-5602-076X
SPIN-code: 8448-6980
Scopus Author ID: 44961227500
ResearcherId: A-4754-2019
Yekaterinburg, Russia

References

Supplementary files